1、实数
第1讲实数
而太阳的中心的温度达到了 19200000℃，用科学记数法可将
19200000 表示为( C )
A．1.92×106
B．1.92×107
C．19.2×106
D．0.192×107
5．(2012·丽水)如图，数轴的单位长度为 1，如果点 A，B 表
示的数的绝对值相等，那么点 A 表示的数是( B )
A．－4 B．－2 C．0 D．4
A．－3＜－2＜1 B．－2＜－3＜1 C．1＜－2＜－3 D．1＜－3＜－2 (2)(2014·河北)a，b是两个连续整数，若a＜＜b，则a， b分别是( A ) A．2，3 B．3，2 C．3，4 D．6，8
【点评】 实数的大小比较要依据数值特点来灵活运用比较大小的几 种方法来进行．
实数的大小比较
3．(1)近似数2.5万精确到__千__位．
(2)(2014·内江)一种微粒的半径是0.00004米，
这个数据用科学记数法表示为( C )
A．4×106
B．4×10－6
C．4×10－5 D．4×105
与实数相关的概念
【例4】 (1)(2014·河北)－2是2的( B )
A．倒数
B．相反数
C．绝对值
数形结合思想 数形结合思想是指将数(量)与(图)形结合起来进行分析、研究、解决问题的 一种思想策略．“数无形，少直观；形无数，难入微．”数形结合思想可以使 问题化难为易、化繁为简． 分类讨论思想 分类讨论思想是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略，分类注 意按一定的标准进行；分类既不能遗漏，也不能交叉重复．
实数
分数
正分数
有限小数或无
负实数 根据需要，我们也可以按符号进行分类，如：实数零
0到1之间的实数和自然数
0到1之间的实数和自然数在数学中，实数和自然数是两个基本的概念。
实数是指包括整数、分数和无理数在内的所有数，其范围从负无穷到正无穷。
而自然数则是从1开始的正整数。
实数是数学中最基本的概念之一，它包括了我们日常生活中所使用的所有数。
从0到1的实数范围是一个无限大的区间，其中包括无数个数字。
每个实数都可以用一个无限不循环的小数表示，例如0.5、0.25等。
实数的性质非常丰富，它们可以进行加、减、乘、除等各种运算。
实数还可以用于衡量物体的大小、时间的流逝以及各种数学模型的建立等。
而自然数是最简单的数集，它由1、2、3、4、5等无限个数构成。
自然数最早出现在人类社会的早期，最初是用来计算物品的数量。
随着人类文明的发展，自然数的概念也逐渐扩展，包括了加法、乘法、除法等运算。
自然数的性质也非常有趣，例如两个自然数相加得到的结果还是自然数，两个自然数相乘得到的结果也是自然数。
实数和自然数在数学中有着重要的地位。
它们是数学研究的基础，也是其他数学概念的基础。
在实数和自然数之间，存在着一些有趣的关系。
首先，自然数是实数的一个子集，即自然数是实数的一部分。
其次，实数可以用自然数来表示，例如1可以表示为1/1，2可以表示为2/1，3可以表示为3/1等。
这种表示方法称为分数表示，它可以将实数转化为自然数的形式。
实数和自然数在数学应用中也有着广泛的应用。
在几何学中，实数可以用来表示点的坐标、线段的长度等。
在物理学中，实数可以用来表示物体的质量、速度、时间等。
在经济学中，实数可以用来表示货币的价值、股票的价格等。
实数和自然数的应用领域非常广泛，几乎涉及到了我们生活的方方面面。
实数和自然数是数学中非常重要的概念。
实数是包括0到1之间的所有数的集合，而自然数则是从1开始的正整数集合。
实数和自然数在数学研究和实际应用中都有着重要的地位，它们是其他数学概念的基础。
无论是在几何学、物理学还是经济学等领域，实数和自然数都得到了广泛的应用。
数字1的特征
数字1的特征数字1是自然数中最小的正整数，它是整个数学体系的基础。
在数学中，数字1具有许多特征和性质，这些性质使得数字1在数学中具有重要的地位和作用。
首先，数字1是唯一的单位元素。
在任何一个数学系统中，数字1都是唯一的单位元素，它是加法和乘法的单位元素。
这意味着，任何数加上1都等于它本身，任何数乘以1都等于它本身。
这种性质使得数字1在数学中具有重要的地位，它是整个数学体系的基础。
其次，数字1是最小的自然数。
数字1是自然数中最小的正整数，它是整个自然数序列的起点。
在数学中，自然数序列是非常重要的，它是整个数学体系的基础。
自然数序列中的每个数都可以通过加1得到，因此，数字1是整个自然数序列的起点。
第三，数字1是素数。
素数是指只能被1和自身整除的正整数，而数字1只能被1整除，因此它是素数。
但是，在数学中，素数通常指大于1的正整数，因此数字1不被认为是素数。
第四，数字1是分数的单位元素。
在分数中，分母表示分割成几份，分子表示取几份，而数字1表示取一份，因此它是分数的单位元素。
任何数乘以1都等于它本身，因此，在分数中，分子和分母同时乘以1不会改变分数的值。
第五，数字1是实数中的单位元素。
在实数中，数字1表示长度为1的单位长度，它是整个实数轴的起点。
任何数乘以1都等于它本身，因此，在实数中，数字1是非常重要的。
综上所述，数字1在数学中具有重要的地位和作用。
它是整个数学体系的基础，是加法和乘法的单位元素，是自然数序列的起点，是分数和实数的单位元素。
数字1的特征和性质使得它在数学中具有不可替代的地位和作用。
一章节实数集与函数
规定 空集为任何集合的子集.
2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a,b R,且a < b.
{x a < x < b} 称为开区间, 记作 (a,b)
若a0 > b0或存在非负整数 l, 使得 ak bk (k 1,2Ll)而al+1 > bl+1
则称x大于y或y小于x，分别记为 x > y或y < x.
说明:
对于负实数x,y,若有-x = -y与-x > -y, 则 分别称x = y与x <y (y >x)
说明:
自然规定任何非负实数大于任何 负实数.
xn
a0 .a1a2 an
1 10n
和
xn a0 .a1a2 an
注意：对任何实数x, 有
x0 x1 x2 L ,
x0 x1 x2 L
•命题1 设 x a0.a1a2 , y b0.b1b2
为两个实数，则
x > y 存在非负整数 n , 使得 xn > yn
❖实数的性质
1.实数集R对加,减,乘,除(除数不为0)四则运算是 封闭的.即任意两个实数和,差,积,商(除数不为0) 仍然是实数. 2.实数集是有序的.即任意两个实数a, b必满足下 述三个关系之一: a < b, a = b, a > b .
例2 设a,b R,证明: 若对任何正数e有a < b + e ,则a b.
证明 用反证法 .假若结论不成立 , 则根据实数的有序性
实数1
第13章实数一、知识要点：1.有理数：整数和分数统称为有理数。
有理数都可以表示为有限小数或无限循环小数，如可表示为0.4，可表示为等等；所有形如(m, n为互质的整数，n≠0)的数都是有理数。
2.无理数：无限不循环小数叫做无理数，无理数不能表示成分数的形式。
如：π，，- ，- ……。
3.实数：有理数和无理数统称为实数。
我们一般用下列两种情况将实数进行分类：4.实数与数轴上的点是一一对应的。
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反之数轴上的每一个点又都表示一个实数。
5.实数的相反数：如果a表示一个正实数，-a就表示一个负实数。
又如果a表示一个负实数，则-a表示一个正实数。
a与-a互为相反数。
0的相反数仍是0。
如π与-π，与- ，m与-m…均互为相反数。
6.实数的绝对值：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
即如果a是一个实数，则有|a|=例如，|- |= ，|-π|=π，| |= ，| - |=-( - )= - …注意：-a(a<0)是正数，例如：-( - )7.平方根：①如果一个正数X的平方等于A，那么这个正数X就叫做A的算术平方根。
②如果一个数X的平方等于A，那么这个数X就叫做A的平方根。
③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。
④求一个数A的平方根运算，叫做开平方，其中A叫做被开方数。
8.立方根：①如果一个数X的立方等于A，那么这个数X就叫做A的立方根。
②正数的立方根是正数/0的立方根是0/负数的立方根是负数。
③求一个数A的立方根的运算叫开立方，其中A叫做被开方数。
9. 有理数的运算加法：①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。
②异号相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
③一个数与0相加不变。
减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
乘法：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。
第1讲实数的概念
7、 3 的绝对值等于 3 ， 2 4 的平方根等于 3 ， 9
1 3 的倒数是 2
2 7 。
8. 2的相反数是 A． 1 B．
2
9. A
1 2
2
C．-2
D．2
2的相反数是（）
2
B
C -2
1 2
D 2
10、的相反数的倒数是 .
课时训练
1、把下列各数填在相应的大括号内： 5 , , 3.14, 0 , 3. 3 3 3, 3, tg 300 , 1, 7
cos600 ,
3
64, 2.1010010001 .
3
-1，0， 64 整数集合：{ ……}； -1 奇数集合：{ ……}； 5 有理数集合：{ -1，，3.14，0， . 3 3 3，cos60°， 3 64 }； 3
1
；
（2） 3 －2的绝
（3）若 x 1, y 2 ，且xy>0，x+y=
3 ; 8; 3 27; 例2、把下列各数填到相应的集合里: 22 ; 3.14; 0.100110001 ; sin 300 ; 7 0 tan45 3; 0.3 21; 3.2
整数集合：{ 3 27 ;tan45°; － 3 }； 3-1；3.14；22/7;sin30°；｜-3.2｜；-0.32· 1· 分数集合：{ }； 有理数集合： 3-1；3 27 ；3.14；22/7；sin30°；tan45°-3;-0.321;｜-3.2｜ ； 无理数集合：{
4、下列运算正确的是
A.
1 1 5 5
2
B. ( 2) 2
1 3 1 D. ( ) 2 8
第1课 实数
特别关注
1．区分有理数与无理数，不能只看形式，要看化简的结果．有限小数 和无限循环小数都是有理数，只有无限不循环小数才是无理数． 2．－a 不一定是负数，应根据 a 本身的数值进行综合判断．
3 3 【典例 1】 (2015· 内蒙古通辽)在实数 tan 45° ， 8， 0， － π， 9， 5 1 － ，sin 60° ，0．3131131113…(两个“3”之间依次多一个“1”)中， 3
用科学记数法表示的数 a× 10n 中，要求 1≤ a＜10，且 n 为
整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少 位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数的绝对值 ≥1 时，n 是自然数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负整数．
特别关注 对于用科学记数法表示的数 a× 10n， 在判断其精确到
是解题的关键． 【解析】 根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为
a× 10n， 其中 1≤|a|<10， n 为整数． ∴11.4 万＝114000＝1.14× 105．
【答案】 C
考点四
平方根、算术平方根、立方根、无理数的估算
考点清单
1．平方根：如果一个数 x 的平方等于 a，那么 x 叫作 a 的平 方根，记作± a．
无理数的个数是 A．4
【点评】
( C．2 D．1
)
B． 3
本题主要考查无理数的定义，弄清有理数与无理数的
区别是解题的关键．
3 【解析】 所给实数中， － π， sin 60° ， 0． 3131131113…(两个“3” 5 之间依次多一个“1”)这 3 个数是无理数．
自然数和实数的关系(一)
自然数和实数的关系(一)
自然数和实数的关系
自然数和实数的定义
•自然数：自然数是从1开始，逐个递增的正整数集合。
用符号N表示。
•实数：实数是包括自然数、整数、有理数和无理数的集合。
用符号R表示。
自然数是实数的子集
•自然数是实数的一个子集，即所有的自然数也是实数。
•这是因为自然数是实数中的一种特殊情况，不仅包括自然数1、2、3等，还包括0和负整数。
自然数和实数的值域不同
•自然数的值域是正整数集合，即N={1, 2, 3, …}。
•而实数的值域是包括正数、负数和零的所有实数，即R={…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}。
实数包括无理数
•自然数中不存在无理数，而实数集合包括所有的无理数。
•无理数是指不能表示为两个整数的比值的实数，例如π和根号2。
实数是更广泛的数集
•实数是包括自然数在内的更广泛的数集。
•在数学中，我们通常使用实数进行各种计算和推理。
应用
•在数学中，自然数和实数的关系是非常基础和重要的。
•自然数和实数的理解和运用，在各个领域都起到关键作用，例如在代数、几何、数理逻辑等方面。
•了解并掌握自然数和实数的关系，对进一步学习数学和解决实际问题都具有重要意义。
以上是关于自然数和实数的关系的简要说明，通过对两者的定义、值域和应用的讨论，可以看出自然数是实数的一个子集，实数包括自
然数和更广泛的数集，对于理解数学和解决实际问题都有重要作用。
中考数学总复习1.实数的概念
3 ⎩ ⎩1.实数的概念一、知识要点1. 实数的分类(两种分类方式——①按定义分类；②按性质分类):⎧ ⎧ ⎧正整数 ⎫ ⎧ ⎧ ⎧正整数⎪ ⎪ ⎨零⎪ ⎪⎪ ⎪正有理数⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪正实数⎨ ⎩正分数 负整数 小数或 小数； 正无理数 ⎪ ⎨ ⎩ ⎬⎪ ⎩ (1) )实数⎨ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ 实数⎨零 ⎪ ⎧⎪ ⎪ ⎩ ⎩ ⎪⎭ ⎪负实数⎪负有理数⎨ ⎪ 小数. ⎪⎩ ⎨ ⎬ ⎩⎪ ⎩ ⎭ ⎪⎩⎪负无理数 ()2 数轴上的点与 一一对应；在平面直角坐标系中，平面上的点与 一一对应. (3) 常见无理数的 4 种形式：①字母型：如π和 ；②构造型：如 0.101001…和 ；③根式型：如 和 ；④三角函数型：如sin150和 等.2. 数轴：数轴的三要素是、 和 ......... 在数轴上右边的数总是 左边的数；3. 相反数：实数 a 的相反数为. 若a ，b 互为相反数，则a + b = ............ 在数轴上表示互为相反数的两个点（原点除外）分别在两侧，且与原点的 .................................4. 倒数：非零实数 a 的倒数为 . 若a ，b 互为倒数，则ab = ................ 5. 绝对值： ⑴性质：正数的绝对值是 ，负数的绝对值是 ，0 的绝对值是 .... 即a = ⎧⎪ ⎨ (a > 0)(a = 0)⑵几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点 ................................... ⑶任何数的绝对值都是，即 a0 ；若a ，b 互为相反数，则 a b ；⎪ (a < 0) ⎧3 a 3 ① ( ) 若 a = b ，则a b 或 a + b = .6. 科学计数法：把一个数表示成 的形式，其中1≤ a <10 的数，n 是整数. 其方法是：①确定 a ， a 是只有一位整数的数；②确定 n ，当原数的绝对值≥10 时，n 为正整数，n 等于原数中整数部分的数位减去；当原数的绝对值＜1 时，n 为负整数，如 0.00305＝，－0.000236＝．7. 若 x 2=a ，则x 叫作 a 的 ，记作，a 叫作 x 的 ........... 任何正数 a 都有个平方根,它们互为，其中正的平方根 叫，没有平方根，0 的算术平方根为 ........8.若 x 3=a ，则 x 叫作 a 的 ，记作 ；a 叫作 x 的.任何实数a 都有立方根，记为 .............9. 非负数: a 0；a 20； a 0 ；性质是：若几个非负数的和等于 0，则这几个非负数同时为 ...........10.绝对值是它本身的数是；相反数是它本身的数是 ；倒数是它本身的数是 ； 平方是它本身的数是 ；立方是它本身的数是 ；平方根是它本身的数是；算术平方根是它本身的数是；立方根是它本身的数是 .............................二、例题分析【例 1】在 2 , ②3.14, ③π, ④( 2- 3)0 , ⑤ 1 -2 , ⑥0.010⋅⋅⋅, ⑦0.10110111⋅⋅⋅, ⑧tan 450,2 21⑨ 中 ， 是 无 理 数 的 是 ( 只 写 序 号 ).π【例 2】(1)在数轴上表示-2 的点，离原点的距离等于 ....................(2)实数 a ，b 在数轴上的对应点如图所示，则下列不等式中错．误．的是( ).A. ab > 0B. a + b < 0C. a < 1bD.a -b < 0 ab(3) 在数轴上的点 A 、B 位置如图所示，则线段 AB 的长度为 ................. AB-5 0 2(4)实数 x 、y 在数轴上的位置如图所示，则 x ，y ，0 的大小是 ...............................x y()5 如图所示，数轴上 A ，B 两点表示的数分别为-1和 ，点 B 关于点 A 的对称点为 C ，则点 C 所表示的数为 ................C A 0 B【例 3】(1)如果规定向东走 80m 记为 80m ，那么向西走 60m 记为.(2) -2 的相反数是 .............(3)对于式子“ -(-8) ”，有下列理解：①可表示-8 的相反数；②可表示-1与-8 的乘积；③可表示-8 的绝对值；④运算结果等于 8．其中理解正确的是 (只写序号). 【例 4】(1) - 1 的倒数为 ；2的倒数为；(2)若 x = (-2) ⨯ 3 ，则x 的倒数是 .................【例 5】(1)－5 的绝对值是 ；- 的绝对值是； 3 -27 的绝对值是 .....................(2)式子“ | 6 - 3 |”在数轴上的几何意义是：“数轴上表示 6 的点与表示 3 的点之间的距离”．类似地，3 2b +1 9 9 b -3 式 子 “| a + 5 |” 在 数 轴 上 的 几 何 意 义 是 “ ”． (3)①如果 a 与 1 互为相反数，则| a + 2 | =. ②若 a = 3 ，则a 的值是 .................(4) 若 m - n = n - m ， 且 m = 4 ， n = 3 ， 则 (m + n )2 = ． (5)若 a = 5，b = -2，且ab > 0，则a + b = ．(6)如果实数 a 在数轴上的位置如图所示，那么|1- a | + a 2 =----------------- 1 0 a 1【例 6】(1)16 的平方根是 ，16 的算术平方根是 ， 16 的平方根是 ；16 的算术平方根 ；-8 的立方根是 .....................(2) 一个自然数的算术平方根为a ，则和这个自然数相邻的下一个自然数是 .........................(3)下列运算正确的是( ). A.= ±3 B. - 3 = -3 C. - = -3 D. - 32 = 9(4)在实数﹣2，0，2，3 中，最小的实数是( ).A.-2B.0C.2D.3 (5)若 ab ≠ 0 ，则a +b 的取值不可能是().bA.0B.1C.2D.-2【例 7】(1)目前，我国人口总数大约是 13.7 亿，用科学记数法表示为 人.(2) 港珠澳大桥工程估算总投资 726 亿元，用科学记数法表示是 元，精确到万位是 .................(3) “鸟巢”的建筑面积达 25.8 万平方米，用科学记数法表示约为 平方米.(4) 太阳内部高温核聚变反应释放的“辐射能”功率为3.8⨯1023千瓦，而到达地球的仅占 20 亿分之一，到达地球的“辐射能”功率为 千瓦（用科学计数法表示） (5)已知空气的单位体积质量为1.24⨯10－3g /cm 3，1.24 ⨯10－3用小数表示为 g /cm 3.(6) “黄金分割比”是= 0.61803398…，将“黄金分割比”精确到 0.001 的近似数是．2(7) 下列说法正确的是（ ）A.近似数 3.9×10 3 精确到十分位B.按科学计数法表示的数 8.04×10 5 其原数是 80400C.把数 50430 精确到千位是 5.0×10 4D.用四舍五入得到的近似数 8.1780 精确到 0.001 【例 8】(1)若 a - 2 + + (c - 4)2= 0 则 a - b + c = ．(2) 等腰三角形一边长为 a ，一边长b ，且(2a -b )2+ 9 - a 2 = 0 ，则它的周长为 .....................(3) 已知 a + 3 += 0 ，则实数a + b 的相反数 .........................5 -1 aa +b(- 2)2873 3 3 3(4) a，b 互为相反数，c，d 互为倒数，m 的绝对值是 2，则2m2 +1+ 4m - 3cd = ......................(5) = 0，则a +b = ......................三、课后作业1.在22，π，0，，sin60°，(cos60°)－1，2-， 2.313131…，0.010010001…，3- 64 中，无7 2理数有个 .2.下列说法不正确的是( ).A.没有最大的有理数B.没有最小的有理数C.有最大的负数D.有绝对值最小的有理数8⨯1+( 2)0 的结果为( ).3.计算2A.B．C．3 D．54.下列各组数中是互为相反数的一组是( ).A.- 2与B. - 2与3- 8C. - 2与-1D. - 2 与225.如图A，B，C 三点所表示的数分别为a，b，c ，根据图中各点位置，下列各式正确的是( ).A. (a -1)(b -1) > 0B. (b -1)(c -1) >0C. (a +1)(b +1) < 0D. (b +1)(c +1) < 0C O A B-1 0 a 16.数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点P 所表示的数是这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做( ).A.代人法 B．换元法 C．数形结合D．分类讨论7.如果将三个数“ - 3，7，”表示在数轴上，其中被如图所示的墨迹覆盖的数是．8.如右图所示的数轴上，点B 与点C 关于点A 对称，A、B 两点 B A C对应的实数是3 和-1，则点C 所对应的实数是( ).-1 0 3A. 1+B. 2+C. 2 -1D. 2 +19.一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在( ).A.2与3之间B.3与4之间C.4与5之间D.5与6之间10.由四舍五入法得到的近似数8.8×103，下列说法中正确的是( ).A．精确到十分位B．精确到个位C．精确到百位D．精确到千位11.某市 2014 年实现生产总值（GDP）1545.35 亿元，用科学记数法表示是元.112 ”，(a - 3b)2 +a2 - 4a + 212.近似数 13.7 万是精确到位.3 + 1 b - c 2 12 3 3 64 x 2 a -1 13. -5 的倒数是 ， -3 的绝对值是，绝对值大于 1 小于 4 的整数的和是 .................14. 已知一个正数的平方根是3x - 2 和5x + 6 ，则这个数是 ，若 a > 0 且a x = 2 ，a y = 3 ，则a x - y的值为 ................. 的 立 方 根 是 ；若 = 5， 则 x = ； 若 3 15. 已知一个正数的平方根是3x - 2 和 x + 6 ，则这个数是 ..................... 16. 已知， + a + b +1 = 0 ，则 a b = ． 17. 把 7 的平方根和立方根按从小到大的顺序排列为.1 -1= 5,则x = ...........18．计算： ( ) 3- (3 - 3)0 - 4 sin 60︒+ 12 =.19．已知 a = 3 ，且(4 tan 45︒ - b )2+ = 0 ，以a ，b ，c 为边组成的三角形面积等于 .................20．计算： 2-1﹣3tan30° +(2 + 2)0 + .参考答案：三、例题分析 【例 1】①③⑦⑨；【例 2；(1) 2； (2)C ； (3)7； (4)0<x <y ； (5) -2- ； 【例 3】 (1)-60m ； (2) -2； (3)①②③④；x 3336【例 5】(1) 5， - 2 ，3；；(2)数轴上表示 a 的点与数轴上表示-5 的点之间的距离； (3) ①1； ② ±3 ； (4) 1 或 49； (5)-7； (6)1；【例 6】(1) ±4，4，±2，2，-2； (2)a 2+1； (3)C ；(4) A ；(5) B ；【例 7】(1) 1.37×109；(2) 7.26×1010，7260000 万元；(3) 2.581.37×105；B ；(4) 1.9×1014；(5) 0.00124； (6) 0.618； (7) C ；【例 8】(1) 3； (2)15； (3)4； (4) 5 或-11； 8(5) ；3四、课后作业 1.5；2. C ；3. C ；【例 4】（1）-2， 3 ，（2） - 1；7 3 7 7. 7 ；4. A ；5. D ；6. C ；8. D ； 9. B ； 10. C ；11.1.54535×1011； 12.千； 13.- 1，3，0；5 49214.， ， 3 4 ， ±5 ，5；4 315.25； 16.1；17. - < < 7 ； 18.2；19.6；20.3 + 2 3 ；2。
1、实数的概念
第一课时 实数的有关概念一、学习目标1． 使学生复习巩固有理数、实数的有关概念．2． 了解有理数、无理数以及实数的有关概念；理解数轴、相反数、绝对值等概念，了解数的绝对值的几何意义。
3． 会求一个数的相反数和绝对值，会比较实数的大小4． 画数轴，了解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数，会利用数轴比较大小。
二、实数的有关概念 (1)实数的组成{}⎧⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎭⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数零负整数有理数有尽小数或无尽循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无尽不循环小数 负无理数(2)数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时，要注童上述规定的三要素缺一个不可)，实数与数轴上的点是一一对应的。
数轴上任一点对应的数总大于这个点左边的点对应的数， (3)相反数实数的相反数是一对数(只有符号不同的两个数，叫做互为相反数，零的相反效是零)． 从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称． (4)绝对值⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(||a a a a a a从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离 (5)倒数实数a(a ≠0)的倒数是a1(乘积为1的两个数，叫做互为倒数)；零没有倒数． 三、知识点填空1、 和 统称为有理数。
有理数还可以分为 、 和 三类。
2、数轴的三要素是： 、 、 。
3、一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到原点的 。
正数的绝对值是 ，负数的绝对值是 ，0的绝对值是 。
4、 相同、 不同的两个数互为相反数，0的相反数是 。
5、乘方运算：na 读作 ，它表示 相乘，它的运算结果叫做 ，底数是 ，指数是 。
6、科学记数法：把一个数表示成 na 10⨯ 的形式，其中a 的取值范围是 7、有理数混合运算的顺序是：先算 ，再算 ，最后算 。
四、【典型例题】例1.右图是我市2月份某天24 小时内的气温变化图,则该天的 最大温差是_____ ℃． （2006连云港）例2.2006年5月12日20时19分，我国单机容量最大的核电站———江苏田湾核电站的1号机组成功并网发电，它将为华东电网新增1060000千瓦的供电能力.“1060000”用科学记数法可表示为 ．（2006连云港）例3.a 、b 两数在一条隐去原点的数轴上的位置如图所示，下列4个式子中一定成立．．的是 .（只填写序号）（2006连云港） ①a -b ＜0；②a +b ＜0；③a b ＜0；④a b +a +b +1＜0.例4．观察下列各等式中的数字特征：85358535⨯=-，1192911929⨯=-，17107101710710⨯=-，…… 将你所发现的规律用含字母a ，b 的等式表示出来： ．（2006连云港）例5．计算：－22－[－5＋（0.2×31－1）÷（57-）]例6．股民李明上星期六买进春兰公司股票1000股，每股27元，下表为本周内每日该股票的涨跌（1（2）本周内最高价是每股多少元？最低价每股多少元？（3）已知李明买进股票时付了0.15%的手续费，卖出时需付成交额0.15%的手续费和0.1%的交易税，如果李明在星期六收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 五、考查题型： 以填空和选择题为主。
1、实数
A． B． C． D．
2．(08泰州)国家投资建设的泰州长江大桥已经开工，据《泰州日报》报道，大桥预算总造价是9 370 000 000元人民币，用科学计数法表示为（）B
A． 元B． 元C． 元D． 元
（2008温州）1．下列各数中，最小的数是（）
A． B． C． D．
A． 亩B． 亩C． 亩D． 亩
答案：B
1、(1T)( 2008湖北省襄樊,3分)2的相反数是（B）．
A． B． C． D．
1． 的绝对值是（）
A． B． C． D．
答案：B
6．（2008资阳市）2008年5月5日，奥运火炬手携带着象征“和平、友谊、进步”的奥运圣火火种，离开海拔5200米的“珠峰大本营”，向山顶攀登．他们在海拔每上升100米，气温就下降0.6°C的低温和缺氧的情况下，于5月8日9时17分，成功登上海拔8844.43米的地球最高点．而此时“珠峰大本营”的温度为－4°C，峰顶的温度为（结果保留整数）
答案：7，63
1.（2008黄石） 的相反数是（）
A． B． C． D．
答案：C.
2.（2008黄石）在实数 ， ， ， ， 中，无理数有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
答案：B.
（滨州市2008） 的相反数是（）
A、－3 B、3 C、 D、－
答案：D
（济宁市二○○八）1． 的相反数是（）
A． B． C． D．
答案A
（2008金华）1.如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数,那么运出5吨大米表示为（）
A．－5吨B．＋5吨C．－3吨D．＋3吨
答案A
1、（2008嘉兴）计算 的结果是（）
A． B． C． D． 答案：D
1实数
3
3-1；3.14；22/7;sin30°；｜-3.2｜；-0.32· 1· }；
3-1；3-27；3.14；22/7；sin30°；tan45°-3;-0.32· ;｜-3.2｜ 1· ；
27 ;tan45°-3 }；
;-π；0.100110001…
例 8 三个大圈里各有三个小圈，大圈和小圈里的数字有一 定规律：
２
１ ４
３
３
４
0５
５
４ -5
６
根据你的发现，说出下图中a、b表示的数．
２ a
３
４
８
７ -32
a=3
b b=9
1.关于数式规律性问题的一般解题思路：
(1)先对给出的特殊数式进行观察、比较； (2)根据观察猜想、归纳出一般规律； (3)用得到的规律去解决其他问题． 2.对数式进行观察的角度及方法： (1)横向观察：看等号左右两边什么不变，什么在变， 以及变化的数字或式子间的关系； (2)纵向观察：将连续的几个式子上下对齐，观察上 下对应位置的式子什么关系，不变，什么在变，以 及变化的数字或式子间的关系
基本概念
6.绝对值
正数的绝对值是它的本身；负数的绝对 值是它的相反数；零的绝对值是零.即实 数的绝对值是非负数. a ( a 0) a 0( a 0) a ( a 0)
几何意义：
表示这个实数的点离开原点的距离.
基本概念
7.倒数： ⑴倒数：１除以一个不等于零的数的商叫做这个 数的倒数.
a 12a 36 b 8 (c 10) 0
试判定△ABC的形状.
直角三角形
17.一跳蚤在一直线上从O点开始，第1次向右跳1
1实数的概念(教师)
实数的概念课时目标1. 理解无理数以及实数的概念，并会按要求对实数进行分类；2. 理解平方根与算术平方根的概念和性质，会表示任意非负数的平方根；3. 理解开平方运算的概念，以及开平方运算与平方运算的关系.知识精要1. 无理数的定义无限不循环小数叫做无理数.无理数可分为正无理数和负无理数. 2. 实数的定义：有理数和无理数统称为实数. 3. 实数的分类⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 4. 平方根的定义如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根（或二次方根），即2x a =，那么x 就叫做a 的平方根.5. 平方根的性质与表示（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，就是0本身；负数没有平方根.（2）正数a 的两个平方根可以用“a ±”表示，其中a 表示a 的正平方根，叫做a 的正平方根，也叫做a 的算术平方根；a -表示a 的负平方根.6. 开平方的定义：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.7. 平方与开平方的关系：平方与开平方互为逆运算关系.8. 常见的无理数有三种类型： 第一类：π型：如π，π+2，…； 第二类：根号型：如3,12,24,…； 第三类：小数型：如0．1010010001…． 9. 立方根的定义如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也叫做三次方根，记做3a ，读作“三次根号a ”，其中a 叫做被开方数，3叫做根指数. 10. 开立方的定义：求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 11. 立方根的性质：任何实数都有唯一确定的立方根. （1）正数的立方根是一个正数； （2）负数的立方根是一个负数； （3）0的立方根是0．12. 开立方与立方的关系：开立方与立方互为逆运算关系. 13. n 次方根的定义如果一个数的n 次方（n 是大于1的整数）等于a ，那么这个数叫做a 的n 次方根，当n 为奇数时，这个数为a 的奇次方根；当n 为偶数时，这个数为a 的偶次方根.其中a 叫做被开方数，n 叫做根指数.14. 开n 次方的定义：求一个数a 的n 次方根的运算，叫做开n 次方. 15. 开n 次方与n 次方的关系：开n 次方与n 次方互为逆运算关系. 16. n 次方根的性质（1）实数a 的奇次方根有且只有一个，用“n a ”表示；（2）正数a 的偶次方根有两个，它们互为相反数，正n 次方根用“n a ”表示； 负n 次方根用“－n a ”表示（a >0，n 是正偶数）； （3）负数的偶次方根不存在；（4）0的n 次方根等于0，表示为“00 n ”.热身练习1. 将下列各数填在相应括号内：π， 32， 3.14， ⋅⋅12.0， 327-， 21-， 3333+-， 有理数集合{ 3.14， ⋅⋅12.0， 327-， 3333+-， …}； 整数集合 { 327-， 3333+-， …}；正数集合 { π， 32， 3.14， ⋅⋅12.0， …}；分数集合 { 3.14， ⋅⋅12.0， …}；实数集合 { π， 32， 3.14， ⋅⋅12.0， 327-， 21-， 3333+-，}.2. 判断 （1）无限小数都是无理数 （ × ） （2）无理数都是开方开不尽的数 （ × ） （3）不带根号的数都是有理数 （ × ） （4）带根号的数都是无理数（ × ）3.（1）35，介于哪两个整数之间？ 解：3介于1和2之间，5介于2和3之间.（2）写出一个比－1大的负有理数是 －0.5 ，比－1大的负无理数是22-. 4. 在实数范围内，下列方根是否存在？如果存在，用符号表示这些方根，并求出它的值.（1）－16的四次方根 （2）16的四次方根 （3）－32的五次方根 （4）28-的六次方根 （5）－0.00243的五次方根 （6）2(27)-的六次方根 解：（1）－16没有四次方根 （2）16的四次方根为 ±2 （3）－32的五次方根为2- （4）28-无六次方根 （5）－0.00243的五次方根为－0.3 （6）2(27)-的六次方根为3±5. 求下列各数的平方根 （1）121 （2）649（3）0.0009 （4）361 解：(1)11± (2) 83± (3) 0.03± （4）±196．求下列各数的算术平方根 （1）81 （2）1625（3）289 （4）0.0001 解： (1)9 (2)45(3)17 (4) 0.017．求下列各数的值. （1）21425（2）22135±- （3）2(5) 解： (1)115(2)12± (3)58. 求下列各式的值（1）2(15) （2）2()(0)a a > （3）2()(0)a a -> （4）2(15)- （5）2()(0)a a -> （6）2()a a 是实数解： (1)15 (2)a (3)a (4)15 (5)a (6)a9. 一个正数的两个平方根为2a +1,5－a 求这个数. 解：2a +1+5－a =0解得：a =－6 这个数是121.10. 已知a 的两个平方根,x y 为322x y +=的一组解，求a 的平方根.解：0322x y x y +=⎧⎨+=⎩得22x y =⎧⎨=-⎩故a 的平方根是 2或－2.11. 求下列各数的立方根.（1）－64 （2）343 （3）1918- （4）0.729解：（1）－4 （2）7 （3）92- （4）0.912. 求下列各式的值（1）318-- （2）3911125+ （3）32445200⨯⨯解：（1）12 （2）65（3）6013. 解简单的高次方程（1）16842=-x （2）81)3(42=-x解：6±=x 解：23215-=或x（3）3918x += （4）3(1)27x +=- 解：21=x 解：4-=x（5）60444=-x （6）7645=x解：2±=x 解：519=x精解名题例1 如图，四个同样大小的正方形排列在一起面积和是80，求小正方形的边长. 解：设小正方形的边长为x .8042=x解得52±=xx 是正数52=∴x答：小正方形的边长为52. 例2 用移位法求平方根被开方数的小数点向右（或左）移动两位，它的平方根的小数点相应地向右（向左）移动一位.若5 2.236≈，507.071≈，求下列各式的值.（1） 500 ≈ 22.36 （2）5000-≈－70.71 （3）0.05 ≈ 0.2236 （4）0.5≈ 0.7071注意: 被开方数平方根移动的位数与方向. 第一: 小数点是同向移动；第二: 被开方数移动的位数是平方根移动的位数的2倍.例3 用移位法求立方根被开方数的小数点向右（或左）移动 三 位，它的立方根的小数点相应地向右（向左）移动 一 位.若3333330029.0290002906619.029.0072.329426.19.2，，，求，，-≈≈≈的值. 解：；619.62903≈ 72.30290003-≈-；1426.00029.03≈..巩固练习一、填空1.把下列各数分别填到相应的数集里边-52，3π，2，116-，3.14，0，21-，52，41- 整数集合 { 0 ，41- …}； 无理数集合{3π，2，21-，52， …}； 有理数集合{ -52，116-，3.14，0，41- …}； 2．如果9=x ，那么x ＝ ±9 ；如果92=x ，那么=x ±3 ． 3．若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则这个数是 1,0 ． 4．算术平方根等于它本身的数有 0，1 ，立方根等于本身的数有 ±1,0 ． 5. 若3,x x x ==则 0,1 ，若2,x x x =-=则 非正数 . 6．81的平方根是 ±3 ， 210-的算术平方根是 0.1 ． 7．若一个正数的平方根是12-a 和2+-a ，则a =－1，这个正数是 9 ． 8．21++a 的最小值是 2 ，此时a 的取值是 －1 ． 二、选择题1. 下列说法正确的个数是（ A ）（1）无理数都是实数 （2）实数都是无理数 （3）无限小数都是有理数 （4）带根号的数都是无理数（5）除了π之外不带根号的数都是有理数.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 若2x a =，则（ D ）A.0x >B. 0x ≥C. 0a >D. 0a ≥3．2)3(-的值是（ B ）A ．3-B ．3C ．9-D ．94．设x 、y 为实数，且554-+-+=x x y ，则y x -的值是（ A ） A ．1 B ．9 C ．4 D ．5 5．如果53-x 有意义，则x 可以取的最小整数为（ C ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 6. 若5x -能开偶次方，则x 的取值范围是（ C ）A ．0x ≥ B.5x > C. 5x ≥ D. 5x ≤ 7. 若n 为正整数,则211n +-等于（ A ）A ．－1 B.1 C.±1 D.21n + 8. 若正数a 的算术平方根比它本身大，则（ A ）A.01a <<B.0a >C. 1a <D. 1a >自我测试一、填空1. 把下列各数分别填到相应的数集里边327，2，2π，－3.1415926927，103，34-，72-，0.2010010001-， 1.732，7-有理数{327 ，－3.1415926927， 103， 72-， 1.73 2…} 无理数{2，2π，34-，0.2010010001-，7- …} 非负实数{327， 2，2π ，103，1.732 …}2.()332-= －2 ，()337-= －7 .3.641-的立方根是14.4.－0.001的立方根是 －0.1 ；－1的9次方根是 －1 .5.()=-553 －3 ；363）（-= 9 .二、选择题 1.81的算术平方根是 （ C ）A. 9B. ±3C. 3D. －3 2. 下列计算正确的是（ D ） A.8282+=+ B.42-=- C.93=± D.2(2)2-=3. 下列各数中，没有平方根的是 （ A ） A ．－2 B. 0 C. 13D.24．下列实数317，π-，3.14159 ，8，327-，21中无理数有（ A ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个5．下列各式中，无论x 取何实数，都没有意义的是（ B ） A ．2006x -B ．220061x --C ．22006x -D ．320063x --6．下列各组数中互为相反数的一组是（ C ） A ．2--与38- B ．4-与2(4)-- C ．32-与32- D ．2-与12三、计算 1、求值（1）49144的平方根； （2）2500- 解：原式= 712± 解：原式=－50 （3） 1600 （4） 719±解：原式=40 解：原式= 43± （5） 0.0036的平方根 （6）2(5)--解：原式= 0.06± 解：原式= －5（7）33(2)-- （8）641-的立方根解：原式= 2 解：原式=14（9）()次方根的531277⎪⎭⎫⎝⎛-； （10） ()次方根；的421.12-解：原式 =－5181解：原式= 1.1±2、解方程（1）;272=x （2）;0183=-x 解：27±=x 解：21=x（3） ()2512=-x ； （4）()016223=++x .解：64或-=x 解：4x =-。
高一必修一数学实数知识点总结
高一必修一数学实数知识点总结实数是高中数学的基础，是我们学习数学的基石。
在高一必修一的数学学习中，实数占据了重要的地位。
下面将对高一必修一数学中的实数知识点进行总结，方便同学们对这一重要概念的理解和运用。
一、实数的概念及表示实数是数学中一个广泛的概念，包括了有理数和无理数两种。
有理数包括整数、分数以及整数与分数的混合数，可以用分数的形式表示；无理数则不能化为有限小数或循环小数的数。
实数可以用数轴表示，数轴上的每一点都与实数一一对应。
其中，整数对应数轴上的整数点，分数对应数轴上的有理数点，无理数则对应数轴上的无理数点。
二、实数的运算1. 实数的加法和减法：实数的加法和减法遵循交换律、结合律和分配律。
对于任意的实数a、b和c，有以下运算规律：- 加法交换律：a + b = b + a- 加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c)- 减法定义：a - b = a + (-b)，其中- b是b的相反数2. 实数的乘法和除法：实数的乘法和除法也满足交换律、结合律和分配律。
对于任意的实数a、b和c，有以下运算规律：- 乘法交换律：a × b = b × a- 乘法结合律：(a × b) × c = a × (b × c)- 除法定义：a ÷ b = a × (1/b)，其中1/b是b的倒数3. 整式的加法和减法：对于实数的加法和减法，我们可以对整式运用同样的规律。
将同类项相加或相减，保留变量部分和同类项的系数，结果仍为整式。
三、实数的大小与比较实数的大小可以通过数轴上的位置来比较。
在数轴上，左边的数小于右边的数。
对于任意的实数a和b，有以下比较规则：- a < b表示a小于b- a > b表示a大于b- a ≤ b表示a小于等于b- a ≥ b表示a大于等于b四、绝对值与绝对值不等式1. 绝对值的定义：对于任意的实数a，其绝对值记作|a|，表示a到原点的距离。
一·实数的组成
一·实数的组成实数又可分为正实数，零，负实数2.数轴：数轴的三要素——原点、正方向和单位长度。
数轴上的点与实数一一对应二·相反数、绝对值、倒数1. 相反数：只有符号不同的两个数称为相反数。
数a 的相反数是。
正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，零的相反数是零. 性质：互为相反数的两个数之和为0。
2.绝对值：表示点到原点的距离，数a 的绝对值为3.倒数：乘积为1的两个数互为倒数。
非0实数a 的倒数为a 1.0没有倒数。
4.相反数是它本身的数只有0,；绝对值是它本身的数是非负数（0和正数）；倒数是它本身的数是±1.三、平方根与立方根1.平方根：如果一个数的平方等于a ，这个数叫做a 的平方根。
数a 的平方根记作 （a ≥0） 特性：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，零的平方根还是零。
负数没有平方根。
正数a 的正的平方根也叫做a 的算术平方根，零的算术平方根还是零。
开平方:求一个数的平方根的运算，叫做开平方。
2.立方根：如果一个数的立方等于a ，则称这个数为a 立方根 。
数a 的立方根用 表示。
任何数都有立方根，一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根，零的立方根是零。
开立方：求一个数的立方根（三次方根）的运算，叫做开立方。
正确理解： 、 、 、 几个性质： 、 、 、四·实数的运算1. 有理数的加法法则：a ）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；b)异号两数相加。
绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 任何数与零相加等于原数。
2.有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。
3.乘法法则：a ）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何数都得零．b ）几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数为奇数时，积为负，为偶数，积为正c ）几个数相乘，只要有一个因数为0，积就为04.有理数除法法则：a ）两个有理数相除（除数不为0）同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
1第一章 实数集与函数1
结论显然成立． 结论显然成立．
1 1 当 a+b < 且 a − b < 时， 2 2 1 1 1 − b = 1 − ( a + b) + ( a − b) 2 2
≥ 1− 1 1 1 1 1 a + b − a − b > 1− − = . 2 2 4 4 2
所以
综上可知平均不等式成立． 综上可知平均不等式成立．
退出
n +1 . 证明： 例3 证明：∀n > 2, n < n ! < 2
n
证：
又 故不等式成立. 故不等式成立 退出
1 证明： 例4 证明：∀a, b ∈ R, max { a + b , a − b , 1 − b } ≥ . 2
证： 当 a + b ≥
减
整数
除
有理数
极限
实数． 实数．
Hale Waihona Puke 自然数—— 一个一个地数，数出来的数称为自然数． 一个一个地数，数出来的数称为自然数． 自然数 自然数与其相反数构成的整体称为整数． 整数 —— 自然数与其相反数构成的整体称为整数． 有理数—— 能表为分数的数称为有理数．(可公度的数 能表为分数的数称为有理数． 可公度的数 可公度的数) 有理数 无理数—— 不可公度的数．(不能表为分数的数 不可公度的数． 不能表为分数的数 不能表为分数的数) 无理数 退出
此与题设矛盾， 此与题设矛盾，
∴
为无理数． 为无理数． 退出
2、基本性质 、 (1) 四则运算封闭 —— 实数参与四则运算，其结果仍 实数参与四则运算， 是实数． 是实数． (2) 有序性 —— 有且只有一个成立． 有且只有一个成立． (3) 阿基米德性 —— (4) 稠密性 —— (5) 连续性 —— 数轴上的点与点之间无间隙． 数轴上的点与点之间无间隙． (6) 数与形 —— 实数与数轴上的点构成一一对应． 退出 实数与数轴上的点构成一一对应．
1、实数的概念
A．－4 C．0
图1－1
B．－2
D．4
探究二 实数的有关概念 命题角度： 1．数轴、相反数、倒数等概念； 2．绝对值的概念及计算．
例2 填空题： (1)相反数等于它本身的数是____0____． (2)倒数等于它本身的数是___±__1___． (3)平方等于它本身的数是___0_或__1__． (4)平方根等于它本身的数是____0____． (5)绝对值等于它本身的数是__非__负__数__．
A．＋2
B．－3
C．＋3
D．＋4
[解析] 根据题意，最接近标准的数就是绝对值最小的那个 数，选A.
9．[2011·遵义]某种生物细胞的直径约为 0.00056m，将 0.00056
用科学记数法表示为( B ) A．0.56×10－3
B. 5.6×10－4
C. 5.6×10－5
D. 56×10－5
[解析]将一个比较小的数表示成a×10p的形式，其中1≤|a|<10， p为整数，确定p的方法是第一个有效数字前有多个零，p就等于 多少．
[注意]
(1)任何分数都是有理数，如272，－131等． (2)0 既不是正数，也不是负数，但 0 是自然数． (3)常见的几种无理数：
①根号型： 2，3 4等开方开不尽的； ②三角函数型：sin60°，tan30°等；
π ③与π有关的： 3 ，π－1 等； ④构造型：1.323223222…(每两个 3 之间依次多一个 2)等．
若a、b互为相反数，则有a ＋b＝0，
|a|＝|b|.0的相反数是0
__乘__积____为1的两个数互为 0没有倒数，倒数等于本身
倒数
1、实数
ab = 1 a与b互为倒数即____________
下列各组数中互为相反数的是 （
( A)
2 5和 （ 5）；
）
（B） | 5 | 和 5）； （ （D） 5和 1 5
（C） 5和3 125；
从左到右依次计算 同级运算应_________________________
2. 熟练掌握实数的运算 （1）熟悉运算律 （2）灵活运用各种运算法则 （3）掌握一定运算技巧，如去括号法则
计算下列各题：
(1) (3) 8 | 1 2 2 | ( 6 3) ( 2) 12 2 | 3 2 | 3 sin 30
3.142 __________ _ （保留4个有效数字）
下列哪一个数值最小
（A）9.5×10–9 ； （C） 9.5×10–8 ；
（
）
（B） 2.5×10–9 ； （D） 2.5×10–8
已知 A = a + 2，B = a2 – a + 5，C = a2 + 5a – 19 其中a > 2 （1）求证： B > A （2）指出 A与C哪个大？说明理由 规定一种△新运算：ab = a ·b– a + b – 1 比较大小 （– 3）× 4________4 △（– 3）
A
A
P B
Q
C
B
C
E
（B） 3.2×105升； （D） 3.2×107升
在“We like maths.”这个句子的所有字母中，字母 “e”出现的频率约为___________（结果保留2个有 效数字）
1. 实数的运算顺序：
实数初步一知识点总结
实数初步一知识点总结一、实数的基本概念实数是所有有理数和无理数的总称。
有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括正整数、负整数、零和分数。
无理数是无法表示为两个整数的比值的数，如π、√2等。
实数包括有理数和无理数两大类，它们的特点是可以在数轴上表示，并且满足加法、减法、乘法和除法的封闭性。
二、实数的性质1. 实数的大小比较实数可以进行大小比较，两个实数a和b，若a>b，则称a大于b；若a<b，则称a小于b；若a=b，则称a等于b。
实数的大小比较是实数运算的基础，我们可以利用大小比较来解决实际生活中的问题。
2. 实数的绝对值实数a的绝对值，记作|a|，是a到原点的距离。
当a≥0时，|a|=a；当a<0时，|a|=-a。
实数的绝对值可以用来表示距离、温度、误差等概念，在实际问题中有着广泛的应用。
3. 实数的加法和减法实数的加法和减法满足交换律、结合律和分配律。
对于任意的实数a、b和c，有a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)，a(b+c)=ab+ac。
实数的加法和减法是我们日常生活中经常使用的运算法则，我们可以利用这些法则解决各种实际问题。
4. 实数的乘法和除法实数的乘法和除法也满足交换律、结合律和分配律。
对于任意的实数a、b和c，有a×b=b×a，(a×b)×c=a×(b×c)，a(b÷c)=(a÷c)b。
实数的乘法和除法是我们在日常生活中经常使用的运算法则，例如购物、计算面积和体积等都离不开这些法则。
5. 实数的幂运算实数的幂运算是将实数连乘若干次的运算，对于任意的实数a和自然数n，有a^n=a×a×⋯×a(n个a相乘)。
实数的幂运算在代数式、方程式和不等式的求解中有着非常重要的作用，它使得我们能够用简单的运算规则处理复杂的数学问题。
三、实数的应用1. 实数的分数表示实数可以用分数表示，分数是指一个整数除以一个非零的整数，例如1/2、3/4等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数学练习课的习题优化策略旧街中学李军习题课是数学教学中的重要的课型，习题课的教学必须有优质的练习题，有优质的习题才有优质的练习课，优化习题是优化练习课的关键，优化习题要依托学生的认知规律和教学规律，在习题的设计与选择上，必须突出针对教学的重难点，注意适应学生的不同的认知层次、设计合理的份量和注重差异。
一、习题安排要分层次无论是针对哪一个知识点，在练习题的选用上，都考虑习题的层次，安排习题的层次可以考虑五个层次：1.单项习题。
按从部分到整体的原则，分析构成本知识点的各项基础知识，分别为复习加深各单项知识拟定习题。
要求学生吃透‚部分‛。
例如在针对平行四边形这一知识点习题教学中，要为每个性质定理和判定定理设计一个习题。
2.基本习题。
从教材中选择本课题的基本题，要求学生综合运用单项知识正确解答。
3.对比习题。
一个课题是个小的单位，处于相对孤立的状态。
学生仅仅会解答单纯新课的问题的状态，对新知的掌握是不牢固的，技能也较弱。
需要精心设计或选择本课题的‚变式题‛、‚变化题‛，与本课题相近、相似、相关、互逆知识的‚联系题‛、‚区别题‛，组成可作比较的题组。
要求学生把新学知识纳入已有的知识网络中去，发挥整体的功能，促进知识的巩固和思维的变通。
如把平行四边形的知识放在整个平面几何知识结构中，关把它与学过的三角形及直角三角形的知识结合起来进行训练。
4.综合、深化习题。
包括新旧知识结合的综合性习题和巧用新知识的深化性习题。
要求学生发散思维，对相关知识点达到融会贯通的境界。
5.实践性、开放性的习题。
把学习的知识与实际问题的情境相结合，体现数学知识的实践价值和思维价值。
二、习题选编要符合重难点的教学要求。
教学重难点是习题课习题编选的核心。
上文中提到的五个层次习题的选与编，都要围绕这个中心：第一层次为攻破重难点奠定基础，第二层次让学生着力解决重难点，第三第四层次让学生深刻理解、牢固掌握重难点，第五个层次让学生创造性应用所学知识解决生活中的问题在习题课的习题选编上，不仅要顾及所针对的知识点的重难点，还要对相关联知识的重点，难点加以分析，力争在精选习题时能照顾到前置的知识点，并对后续的学习进行启发和诱导。
三、各层次习题搭配的比例要适度前述五个层次的练习若数量均等、力量平分是不合理，不科学的。
各个层次习题的份量主要依据练习课的类型、教学目标以及课前课中学习的反馈情况酌定。
只要求达到基本目标的课题，或者学生对本课题的理解和掌握尚有困难的情况下，应当增多第一、二层次的习题，减少或删去第三、四层次的练习；知识纵横联系较紧密，学生容易混淆的课题，或者带复习性质的综合练习题，则应加重第三层次习题的份量；对教学目标较高，或者学生较熟练完成第二、三层次练习的情况下，应进行适量的第四、五层次的练习；巩固性的练习课，一般习题重点放在第二、三层次。
在具有针对性的前题下，提倡适当增加习题的份量，保证练习的密度。
这样对不同层次的习题按不同的比例分配，不仅在课堂上易于把握，而且符合学生的认知规律。
四、习题选配要讲究因材施教，因‚生‛而异在选编，拟设各层次的习题时，不但要考虑知识点的要求，教学重难点的要求，还应该考虑学生能力的差异，不强求统一。
每个层次的习题都要相应的进行难易程度的配置，对于学困生、酌情多练第一、二层次的练习，而三四五层次的练习也要在难度上进行调整；对于中等生，力争过好第三层次的练习关；少量第四层次的‚提高题‛和第五层次的‚开放题‛，仅给优良生思考练习。
总之，习题课习题的设计和安排要遵循‚以学生为主体‛的原则，着眼于让学生有序，高效地掌握重难点，同时获得成功的体验。
只有在这样的前提下，才能保证习题的适量和优质，在练习过程中实现‚人的发展，人人的发展‛，让不同的学生学习不同水平的数学，让不同的学生得到不同的发展。
1. 修改后的安全生产法12 月1 日起正式实施。
这是安全生产法出台12 年来的首次修改。
修改后的法律更加全面地反映了当前安全生产的特点，充分体现了（）的精神，是我国安全生产法制建设新的里程碑。
A、制度为本、依法治国B、以人为本、以人治国C、以人为本、依法治国D、以法为本、以人治国2. 12 月1 日，中国铁建股份有限公司（中国铁建）承建的（）首都阿布贾至卡杜纳州现代化铁路（阿卡铁路）铺通仪式在卡杜纳州瑞卡萨镇隆重举行。
阿卡铁路的全线贯通标志着该国现代化铁路建设迈出坚实步伐，也标志着首条采用中国标准的现代化铁路扎根非洲大地。
A、保加利亚 B、尼日利亚 C、阿尔及利亚 D、埃塞俄比亚答案:B3. 12 月 2 日，在国防科工局召开的新闻发布会上，再入返回飞行试验任务飞行器系统副总设计师张伍宣布，通过对再入返回试验任务所获取数据的初步分析，科研人员认为数据内容完整有效。
总体来看，试验任务实现了全部飞行目标，全面突破和掌握了高速半弹道（）。
A、平滑式再入返回技术B、跳跃式单返回技术C、跳跃式再入返回技术D、平滑式单返回技术4. 在首个国家（）日到来之际，中共中央总书记、国家主席、中央军委主席习近平作出重要指示。
他强调，（）是国家的根本法，是治国安邦的总章程，是党和人民意志的集中体现，具有最高的法律地位、法律权威、法律效力。
A、宪法B、民法C、邢法D、诉讼法5. 中共中央政治局2014年12 月5 日召开会议，分析研究2015 年经济工作。
会议强调，我国进入经济发展新常态，经济韧性好、潜力足、回旋空间大，为明年和今后经济持续健康发展提供了有利条件。
同时，也要看到，经济发展新常态下出现的一些趋势性变化使经济社会发展面临不少困难和挑战，要高度重视、妥善应对。
会议指出，（）是全面完成‚十二五‛规划的收官之年，是全面深化改革的关键之年，也是全面推进依法治国的开局之年，做好经济工作意义重大。
A、2014 年B、2015 年C、2016 年D、2017 年19. 外交部12 月7 日受权发表《中华人民共和国政府关于（）所提南海仲裁案管辖权问题的立场文件》，重申中国不接受、不参与该仲裁的严正立场，并从法律角度全面阐述中国关于仲裁庭没有管辖权的立场和理据。
A、越南B、马来西亚C、印度尼西亚D、菲律宾20. 12 月7 日11 时26 分，我国在太原卫星发射中心用长征四号乙运载火箭，成功将中巴地球资源卫星04 星发射升空，卫星顺利进入预定轨道。
这是（）的第200 次飞行。
A、银河系列运载火箭B、长城系列运载火箭C、长江系列运载火箭D、长征系列运载火箭34. （）中线一期工程12 月12 日正式通水。
习近平强调该工程是实现我国水资源优化配置、促进经济社会可持续发展、保障和改善民生的重大战略性基础设施。
A、北水南调B、东水西调C、西水东调D、南水北调35. 日前，深圳（）各项开业准备工作已就绪，12 月12 日由深圳银监局批复开业。
这是首批试点的5 家民营银行中首家获准开业的银行。
A、金城银行B、前海微众银行C、民商银行D、华瑞银行答案：B36. 2014 年12 月13 日是第一个南京大屠杀死难者（）。
A、国家公祭日B、国家纪念日C、国家祭祀日D、国家祭奠日答案：A37. 国务院常务会议日前决定，将上海自贸试验区的部分开放措施辐射到浦东新区，并在广东、天津、（）特定区域再设三个自由贸易园区。
这意味着上海自贸区‚大胆闯、大胆试、自主改‛的改革创新试验获得肯定，将在更大范围推开，以推动我国新一轮高水平对外开放。
A、山东B、江苏C、浙江答案：D38. 我国（）近年来呈现快速稳步发展态势，种植面积占全国农业耕地面积的0.95%。
A、绿色产业B、有机产业C、无公害产业D、低碳产业答案：B39. 中共中央总书记、国家主席、中央军委主席习近平近日在江苏调研时强调，要全面贯彻党的十八大和十八届三中、四中全会精神，落实中央经济工作会议精神，主动把握和积极适应经济发展（），协调推进全面建成小康社会、全面深化改革、全面推进依法治国、全面从严治党，推动改革开放和社会主义现代化建设迈上新台阶。
A、新趋势B、非常态C、新常态D、超常态答案：C40. 中共中央总书记、国家主席、中央军委主席习近平12 月14 日来到南京军区机关视察，强调要紧紧围绕强军目标，深入贯彻全军政治工作会议精神，扎实推进依法治军、从严治军，全面加强部队（）建设，切实履行好党和人民赋予的庄严使命。
A、军事化现代化正规化B、革命化机械化正规化C、革命化现代化规模化D、革命化现代化正规化答案：D41. 12 月15 日下午，国家文化产业（）揭牌暨建设发展研讨会在北京市朝阳规划艺术馆举行，这标志着全国首家也是目前唯一的正式在京启动建设。
A、创新示范区B、创新实验区C、改革示范区D、改革实验区答案：B42. 银监会近日发布《关于鼓励和引导民间资本参与农村信用社产权改革工作的通知》，支持民间资本与其他资本按同等条件参与农村信用社产权改革，鼓励民间资本参与农村商业银行增资扩股，将并购方合计持股比例从10%调整放宽至（）。
A、15%B、20%C、25%D、30%答案：B43. 12 月16 日，历时两年多的第三次全国（）基本结束。
此次普查全过程公开透明，摸清了我国第二、三产业家底，真实反映我国经济社会发展状况，达到预期目标。
A、人口普查B、经济普查C、社会普查D、工业普查答案：B44. 经国务院关税税则委员会审议并报请国务院批准，自2015 年1 月1 日起，我国将对进出口关税进行部分调整。
2015 年我国将对部分进口商品实施（）最惠国税率的进口暂定税率。
A、低于B、高于C、等同于D、不低于答案：A45. 辽宁将利用2015、2016 两年时间，建成省市县三级统一的网上审批平台。
网上审批系统可实现全方位、（）服务。
A、全天候、跨地域、全动态B、全天候、本地化、全透明C、全流程、跨地域、全透明D、全天候、跨地域、全透明答案：D46. 教育部12 月16 日发布了《关于（）高中学业水平考试的实施意见》《关于加强和改进（）高中学生综合素质评价的意见》。
在多年实践的基础上完善高中学业水平考试，规范高中学生综合素质评价。
A、普通、普通B、重点、普通C、普通、重点D、重点、重点答案：A47. 国务院总理李克强当地时间12 月16 日下午在贝尔格莱德出席第三次（）国家领导人会晤。
与会各方就进一步拓展合作进行深入讨论，达成广泛共识。
A、中国—中欧B、中国—东欧C、中国—中南欧D、中国—中东欧答案：D48. 这些年来，我国农业生产一直坚持高投入、高产出模式，耕地长期高强度、超负荷利用，耕地质量呈现出（）态势。
A、‘三小’‘三低’B、‘三大’‘三高’C、‘三小’‘三高’D、‘三大’‘三低’答案：D49. 税务总局近日发布《股权转让所得个人所得税管理办法（试行）》，《办法》规定股权转让（）为扣缴义务人。