1.1实数的概念(2017年)

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实数的概念与性质

实数的概念与性质

实数的概念与性质实数是数学中的一个重要概念,它包括整数、有理数和无理数。

实数的性质是指实数所具有的一些特点和规律。

本文将从实数的定义、种类和性质等方面进行论述。

一、实数的定义实数是数学上最基本的数集,包括了所有的有理数和无理数。

有理数是可以表示为两个整数的比值的数,包括整数、分数和纯循环小数等;而无理数则是不能表示为两个整数的比值的数,如π和根号2等。

实数集通常用R表示。

二、实数的种类实数可以分为有序实数和无序实数。

有序实数是可以按大小进行比较的,它们包括正实数、负实数和零;而无序实数则是无法进行大小比较的,例如无理数。

有序实数的性质更具体、更明确,后文将重点论述有序实数的性质。

三、实数的性质1. 实数的闭包性:实数集在四则运算下仍然保持封闭,即实数的加、减、乘、除的结果仍然是实数。

2. 实数的稠密性:有理数和无理数在实数集中是密集排列的,对于任意两个实数a和b(a<b),必然存在一个有理数和一个无理数,它们位于a和b之间。

3. 实数的无限性:实数集是无限的,既没有最大值也没有最小值。

任意正实数都可以找到一个比它更大的实数,任意负实数也都可以找到一个比它更小的实数。

4. 实数的传递性:对于任意三个实数a、b和c,如果a<b,b<c,则必有a<c。

这一性质是实数大小比较的基础。

5. 实数的稳定性:实数在加法和乘法下具有稳定性,即实数的加法和乘法不受运算顺序的影响。

6. 实数的有界性:实数集在区间上具有有界性,即如果一个实数区间存在上界,则必然存在最小上界;如果一个实数区间存在下界,则必然存在最大下界。

7. 实数的分割性:实数集具有分割性,即如果一个实数区间中的两个子集A和B,如果A中的任意数都小于B中的任意数,并且A和B 无交集,则存在一个实数可以将AB分开。

8. 实数的等价性:实数的大小可以用等号或不等号进行表示,不等号的成立性是根据实数的大小关系而决定的。

通过以上的论述,我们可以了解到实数的概念与性质。

1.1实数的有关概念及运算2

1.1实数的有关概念及运算2
1.1 实数 (2)
——实数的相关概念及运算
1.1实数 (2) ——实数的相关概念及运算
复习目标:
1、理解平方根、算术平方根、立方根的概念; 2、会求一个数的平方根、算术平方根、立方根。 3、会比较实数的大小,并能进行实数的运算。
剖析关键词 (1)了解平方根、算术平方根、立方根的概念 (2)会用实数的运算法则进行实数的简单运算 (一)“了解”: “关键词”:概念
2 8 的立方根是___________;
3、填空并举例计算: (1) a ____; ( a ) _____( a 0);
2 2
(2) a ____; ( a ) _____;
3 3 3 3
反思: 1、求一个数的平方根、算数平方根、立方根的方法及 应该注意的问题; 2、练习3的化简公式中对字母a的取值范围有什么要 求?
( 4 ) 3 , ,10 ;
复习指导三: 看试题研究第3页考点4、5,完成填空。 计算下列各题。
1 1 (1) 9 (2) (1) ( ) 3
0
(2)(1)
2011
1 3 0 ( ) (sin 58 - ) 3 - 4 cos60 2 2
反思:上述计算中容易出错的地方是什么?
算术平方根记作____ ____; 2 、立方根记作3 2
2 9 ___; 2 3 27 ___; 3 (3)3 8 ___; 3 (2) 4 ___;
巩固练习:2、填空: 3 (1) 9 的平方根是_______; (2) (3)
3
2 的算术平方根是 ________; 16
巩固练习:计算下列各题。 1 3 (1) 32 3 2 12
6 3

实数的概念与性质

实数的概念与性质

实数的概念与性质实数是数学中的一种数集,包括有理数和无理数两部分。

有理数可以表示为两个整数的比值,而无理数则无法精确表示为有理数的比值。

实数的概念与性质对于数学的发展和应用起着重要的作用。

下面将对实数的概念和性质进行探讨。

一、实数的概念实数是数学中最基本的数集,包括所有的有理数和无理数。

有理数是可以表示成两个整数之比的数,它们可以无限制地进行有限的或无限循环的小数表示。

无理数是不能表示为有理数之比的数,例如根号2和π等。

实数的概念可以用数轴来表示,数轴是一条直线,上面的每个点都与实数对应。

实数可以根据其在数轴上的位置进行分类,比如正数、负数和零等。

二、实数的性质1. 实数的稠密性:实数的稠密性指的是,对于任意两个实数a和b (a<b),一定存在一个实数c满足a<c<b。

换句话说,实数在数轴上没有间隙,任意两个实数之间都可以找到其他实数。

2. 实数的有序性:实数可以根据大小进行比较。

对于任意两个实数a和b,有以下关系:a=b、a<b或a>b。

这种有序性使得实数可以进行数值大小的比较和排序。

3. 实数的闭区间性:实数可以分为开区间、闭区间和半开半闭区间。

闭区间指的是包含了区间两端点的实数集合,开区间不包含两端点,而半开半闭区间则包含一个端点但不包含另一个端点。

4. 实数的运算性质:实数具有加法、减法、乘法和除法等运算。

实数的运算满足交换律、结合律和分配律等基本性质。

5. 实数的无理数性质:无理数具有无限不循环的小数表示,并且无理数之间可以进行加法、减法和乘法等运算。

无理数的加法和乘法结果仍为无理数。

6. 实数的有理数性质:有理数可以表示为有限小数或无限循环小数,并且有理数之间可以进行加法、减法、乘法和除法等运算。

有理数的运算结果仍为有理数。

总结:实数是数学中最基本的数集,包含有理数和无理数。

实数具有稠密性、有序性、闭区间性、运算性质、无理数性质和有理数性质等特点。

这些性质使得实数在数学中有着广泛的应用,同时也为数学的发展奠定了基础。

实数的概念

实数的概念

实数的概念
实数是数学中的一个重要概念,它包括有理数和无理数两种数的集合。

实数可以用来表示数量、度量、顺序和比较。

在实数集合中,包含了所有可能的数,无论是整数、分数还是无限不循环小数。

实数的定义相对简单,但却蕴含着丰富的数学道理。

根据Cauchy序列或Dedekind划分的定义,一个实数可以被表示为所有比它小的数的集合。

这个定义确保了实数的连续性和完备性。

实数的集合可以表示为R,其中R是实数的拉丁字母缩写。

R包含了有理数和无理数,有理数是可以表示为两个整数的比值,而无理数则是不能表示为有理数的比值。

无理数包括了诸如根号2、π和自然常数e等数。

实数集合的特性很多,其中最重要的是实数的稠密性、有序性和连续性。

实数的稠密性意味着在任意两个实数之间都存在一个实数,这保证了实数的无限性和密集性。

实数的有序性则意味着任意两个实数之间都可以比较大小。

实数的连续性则意味着在实数集合中没有任何间断。

实数在数学中具有广泛的应用领域,如代数、几何、分析学和概率论等。

实数的加法、减法、乘法和除法运算规则成为数学的基础。

实数的顺序关系使我们能够进行比较和排序。

实数的连续性帮助我们解决方程和证明定理。

总之,实数是数学中一个非常重要的概念。

它包含了所有的有理数和无理数,具有稠密性、有序性和连续性等特性。

实数的定义使用Cauchy序列或Dedekind划分,它在数学的各个领域中具有广泛的应用。

对于理解数学和解决实际问题,实数是一个必不可少的概念。

实数的名词解释

实数的名词解释

实数的名词解释实数是数学中的一个重要概念,它是指包括有理数和无理数在内的一类数。

在数轴上,实数代表了所有可能的点,它们既可以是有理数上的点,也可以是无理数上的点。

本文将对实数进行名词解释,从数学定义到实际应用进行探究。

一、实数的定义和性质实数的定义可以从两个角度来考虑。

从数学上看,实数是一种无限的数集,包括有理数和无理数。

有理数是可以用两个整数的比例表示的数,如正整数、负整数、分数。

无理数则是无法被有理数表示为比例的数,如无限不循环小数等。

从几何上看,实数是数轴上的点,每一个点都对应一个实数,反之亦然。

实数的性质是实数理论的基石之一。

首先,实数满足加法和乘法的封闭性,即两个实数相加或相乘的结果仍为实数。

其次,实数的加法和乘法满足交换律、结合律和分配律。

再者,实数集上有一种次序关系,可以通过大小比较来对实数进行排序,这被称为实数的次序性。

最后,实数上存在着完备性,即实数集中的任何非空有上界的子集都有一个上确界,也就是实数集中的“空隙”被填满。

二、实数的应用实数不仅仅是数学中的概念,它在现实生活中有着广泛的应用。

首先,实数在科学研究中扮演着重要的角色。

例如,在自然科学中,测量和观测往往涉及到无限小数的计算,而无限小数就是无理数的一种表现形式。

这使得实数成为物理学、化学、生物学等学科中不可或缺的工具。

同时,实数还广泛应用于金融领域,用来计算利息、汇率等经济指标。

此外,实数还在信息科学、工程技术等领域中有重要的应用,如信号处理、图像压缩等。

三、实数的伊辛堡-格登瓦定理伊辛堡-格登瓦定理是实数理论中的一项重要成果,它指出实数是不可数的。

这一定理的证明十分巧妙,依赖于对实数的分割和二进制表示。

简单来说,这个定理通过构造一个递归的过程,将实数集分割成若干段,每一段中都不存在实数,从而说明实数的数量无穷无尽。

这个结果反直觉,因为实数似乎是可以通过有理数的组合得到的,有理数是可数的。

但实数的无穷性和稠密性使得它与有理数有着本质的区别。

实数基本概念

实数基本概念

实数基本概念实数基本概念及应用一、实数的定义与性质1.1 实数的定义实数是由有理数和无理数组成的数。

其中,有理数包括整数和分数,无理数则是无法表示为有限小数或无限循环小数的数。

1.2 实数的性质实数具有连续性、完备性、有序性等性质。

连续性指实数在数轴上是可以无限接近的,没有间隙;完备性指实数可以表示为任意精确程度的有限小数或无限循环小数;有序性指实数可以按照大小进行比较,可以排序。

二、实数的表示方法2.1 有限小数表示法有限小数表示法是指用小数点后几位数字来表示实数的方法。

例如,123.45表示为有限小数123.45。

2.2 无限小数表示法无限小数表示法包括无限循环小数和无限不循环小数。

无限循环小数是指小数点后的数字重复出现,例如1/3=0.3333……。

无限不循环小数是指小数点后的数字不重复出现,例如π=3.141592……。

三、实数的运算3.1 加法运算实数的加法运算按照加法交换律和结合律进行。

即a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c)。

3.2 减法运算实数的减法运算按照加法交换律和结合律进行。

即a-b=a+(-b),a-b-c=a+(-b)+(-c)。

3.3 乘法运算实数的乘法运算按照乘法交换律和结合律进行。

即a×b=b×a,(a×b)×c=a×(b×c)。

3.4 除法运算实数的除法运算按照乘法交换律和结合律进行。

即a/b=c,则ac=bc,c/a=b,则ca=cb。

3.5 指数运算实数的指数运算可以使用幂运算进行。

即a^b=c,则log(a)c=b。

3.6 对数运算实数的对数运算可以使用指数运算进行。

即log(a)b=x,则a^x=b。

四、实数在生活中的应用4.1 测量中的应用实数在测量中有着广泛的应用。

例如,长度、面积、体积等都可以用实数来表示。

4.2 工程中的应用在工程中,实数被广泛应用于计算各种物理量。

例如,物体的质量、速度、加速度等都可以用实数来表示。

实数的基本概念与运算

实数的基本概念与运算

实数的基本概念与运算实数是数学中的一个基本概念,它包括了整数、有理数和无理数。

实数的运算是数学中的重要内容,包括加法、减法、乘法和除法等。

本文将介绍实数的基本概念以及实数的运算法则。

一、实数的基本概念实数是用于表示现实世界中各种物质和现象的数,它包括了整数、有理数和无理数。

整数由正整数、负整数和零组成,例如-3、-2、-1、0、1、2、3等。

有理数是可以表示为两个整数之商的数,例如2/3、-4/5、1等。

无理数是不能表示为两个整数之商的数,例如π和√2等。

二、实数的加法与减法运算实数的加法是指将两个实数相加得到一个新的实数。

加法运算满足交换律、结合律和零元律。

例如,对于任意实数a、b和c,有以下等式成立:1. 交换律:a + b = b + a2. 结合律:(a + b) + c = a + (b + c)3. 零元律:a + 0 = a实数的减法是指将一个实数减去另一个实数得到一个新的实数。

减法运算可以看作是加法运算的逆运算。

例如,对于任意实数a、b和c,有以下等式成立:a -b = a + (-b)三、实数的乘法与除法运算实数的乘法是指将两个实数相乘得到一个新的实数。

乘法运算满足交换律、结合律和单位元律。

例如,对于任意实数a、b和c,有以下等式成立:1. 交换律:a × b = b × a2. 结合律:(a × b) × c = a × (b × c)3. 单位元律:a × 1 = a实数的除法是指将一个实数除以另一个非零实数得到一个新的实数。

除法运算可以看作是乘法运算的逆运算。

例如,对于任意实数a、b和c(其中b≠0),有以下等式成立:a ÷b = a × (1/b)四、实数的运算性质实数的运算满足分配律、零因子律和单位元律等性质。

1. 分配律:对于任意实数a、b和c,有以下等式成立:a × (b + c) = (a × b) + (a × c)a × (b - c) = (a × b) - (a × c)2. 零因子律:如果两个实数的乘积等于零,则其中至少一个实数为零。

关于实数的知识点总结

关于实数的知识点总结

关于实数的知识点总结一、基本概念1.1 实数的定义实数是一切有理数和无理数的总称。

有理数指整数和分数的集合,无理数指不能表示为分数形式的数。

实数包括了整数、有理数和无理数三种类型的数。

1.2 实数的表示实数可以用十进制、分数、无限不循环小数等形式表示。

其中,十进制形式是常见的实数表示形式,可以直观地表示出实数的大小。

1.3 实数的性质实数具有加法、减法、乘法、除法等运算性质,满足交换律、结合律、分配律等基本性质。

此外,实数还满足最大值和最小值的性质,即任何有上界的非空有限实数集合必有上确界,并且同样地有下确界。

二、实数的子集2.1 有理数集有理数包括整数和分数,其中整数是不含小数部分的数,分数是两个整数的比,可以用分数形式表示。

2.2 无理数集无理数是不能表示为有理数的数,其十进制表示形式为无限不循环小数。

无理数包括了无限多的十进制无限不循环小数,如$\sqrt{2}$、$\pi$等。

2.3 实数集实数集是有理数和无理数的总称,它包括了一切可以表示为十进制数的数。

三、实数的运算3.1 加法和减法实数的加法和减法满足交换律和结合律,对任意两个实数a和b,有a+b=b+a,a-b≠b-a。

3.2 乘法和除法实数的乘法和除法满足交换律和结合律,对任意两个实数a和b,有a×b=b×a,a/b≠b/a。

3.3 幂运算实数的幂运算是指a的n次方,其中a是实数,n是自然数。

幂运算的性质包括a的m 次方与a的n次方的乘积等。

3.4 开方实数的开方是指对任意非负实数a,存在唯一的非负实数b,使得b的平方等于a。

开方的性质包括平方根存在性和唯一性等。

四、实数的序关系4.1 实数的大小比较实数之间可以进行大小比较,对于任意两个实数a和b,有a<b、a>b或a=b中的一种关系。

4.2 实数的绝对值实数a的绝对值是指a到原点的距离,用|a|表示。

如果a≥0,则|a|=a;如果a<0,则|a|=-a。

实数及其相关知识点总结

实数及其相关知识点总结

实数及其相关知识点总结实数是数学中最基本的一类数,它包括有理数和无理数。

它们可以用来描述现实世界中的各种量、度、数值等情况。

在数学中,实数是一种被广泛应用的数学概念,在各个数学领域中都有重要的地位。

一、实数的概念及表示1. 实数的概念实数是指包括有理数和无理数在内的一类数,它们可以用来度量各种量和数值,是数学中最基本的数。

实数有两个特点:一是可以按照大小次序进行排列,二是实数之间的加法和乘法满足交换律、结合律和分配律。

2. 实数的表示实数可以用小数、分数、根式、无理数、无穷小数等形式来表达,例如π是一个无理数,表达为π=3.1415926...。

二、实数的分类实数可以根据有理数和无理数的不同来进行分类。

1. 有理数有理数是可以表示为两个整数之比的数,包括正整数、负整数、零、分数(有理数本质上是一个整数和一个非零整数的比值)。

有理数之间的加减乘除运算结果仍然为有理数。

2. 无理数无理数是不能表示为两个整数之比的数,包括根式、圆周率π、自然对数e等。

无理数的小数部分是无限不循环的。

三、实数的运算实数之间的加减乘除运算是实数运算的基本规则。

在进行实数运算时,需要注意以下几点:1. 实数的加法和减法实数的加法和减法要求实数为同号时,两数的绝对值相加,符号不变;异号时,两数的绝对值相减,结果符号取绝对值大的数的符号。

2. 实数的乘法和除法实数的乘法和除法满足交换律、结合律和分配律。

当实数相乘时,同号得正,异号得负;当实数相除时,被除数不能为0,且除零法则成立。

3. 实数的乘方与开方实数的乘方和开方是实数运算的重要部分,它们满足一些特殊的运算规律,比如相同底数的指数相加、相同底数不同指数的指数相减、开方运算等。

四、实数的性质1. 实数的代数性质实数具有封闭性、结合律、交换律、分配律、恒等律和互补律等性质,这些性质对于实数的运算都有重要的作用。

2. 实数的有序性实数集具有良序性,对于任意两个实数a和b,可以确定它们的大小关系,即a=b、a>b 或a<b,这种大小关系称为实数的大小次序。

实数的基本概念

实数的基本概念

实数的基本概念实数的基本概念实数指的是包括有理数和无理数在内的所有数的集合。

在数学中,实数是最基本也是最常用的数系之一。

实数的概念可以用来描述现实世界中的各种量,如长度、时间、温度等。

有理数•有理数是可以表示为两个整数的比值的数。

•有理数包括整数、分数和零。

•有理数可以用无限循环小数或无限非循环小数表示。

无理数•无理数是不能表示为两个整数之比的数。

•无理数包括无限不循环小数,如π和e。

实数运算实数运算包括加法、减法、乘法和除法等。

•加法:实数的加法遵循交换律和结合律。

•减法:实数的减法是加法的逆运算。

•乘法:实数的乘法也遵循交换律和结合律。

•除法:实数的除法是乘法的逆运算。

实数的顺序实数可以进行大小比较,有以下顺序关系:•小于:a<b表示实数a小于实数b。

•大于:a>b表示实数a大于实数b。

•小于等于:a≤b表示实数a小于或等于实数b。

•大于等于:a≥b表示实数a大于或等于实数b。

实数的属性实数具有多种重要属性:•封闭性:实数集合在加法、减法、乘法和除法下都是封闭的,即运算结果也是实数。

•密度性:在实数轴上的任意两个实数之间,总是可以找到另一个实数。

•稠密性:实数轴上的有理数和无理数是相互交替分布的。

应用领域实数的基本概念和运算在数学的各个领域都有广泛应用,特别是在解析几何、微积分和数学分析等领域中。

实数的基本概念也在物理学、工程学和计算机科学等科学领域中有着重要的应用。

以上就是实数的基本概念及相关内容的简述。

实数的扩展实数还可以通过扩展来引入更多数。

常见的实数扩展包括无穷大和虚数。

•无穷大:无穷大是超过所有实数的数,可以分为正无穷大和负无穷大。

•虚数:虚数是不能表示为实数的数,其中最知名的虚数为i,满足i2=−1。

虚数可以与实数相加、相减和相乘,得到复数。

复数复数是由实数和虚数构成的数。

•复数的一般形式为a+bi,其中a为实部,b为虚部。

•复数可以进行加法、减法、乘法和除法等运算。

实数知识点总结归纳

实数知识点总结归纳

实数知识点总结归纳一、实数的定义1. 实数的定义实数是指包括有理数和无理数在内的所有数的集合。

有理数是可以表示为两个整数的比值的数,包括整数、分数和循环小数等;无理数是不能表示为有理数的数,如π和根号2等。

实数的概念是对一切可以在数轴上标出的点的统称。

2. 实数的表示实数可以用十进制数表示,包括整数部分和小数部分。

例如,数3.14是一个实数,3是它的整数部分,0.14是它的小数部分。

3. 实数的性质实数具有有限性、稠密性、连续性和比较性等基本性质。

有理数与无理数的性质有所不同,但它们都是实数的一部分。

二、实数的性质1. 实数的顺序性实数集合中任意两个数都可以比较大小,即对于任意a,b∈R,要么a<b,要么a= b,要么a>b。

2. 实数的稠密性实数集合中任意两个不相等的实数之间都有无穷多个实数。

例如,任意两个有理数之间必存在无理数,任意两个无理数之间必存在有理数。

3. 实数的加法性质实数的加法运算满足交换律、结合律和分配律。

对于任意a,b,c∈R,有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c),a(b+c)=ab+ac。

4. 实数的乘法性质实数的乘法运算也满足交换律、结合律和分配律。

对于任意a,b,c∈R,有ab=ba,(ab)c=a(bc),a(b+c)=ab+ac。

另外,实数0的乘法恒等于0,实数1的乘法恒等于自身。

5. 实数的整除性实数可以相互整除,如果a,b∈R,且a≠0,则必存在一个实数c,使得a=bc。

这个性质表明了实数的整除性。

6. 实数的实数运算实数的加法、减法、乘法和除法都是封闭的,即对于任意a,b∈R,a+b,a-b,ab,a/b∈R。

这意味着实数的四则运算可以得到实数。

7. 实数的有理数和无理数性质有理数和无理数的性质有所不同,其中有理数可以表示为有限小数、循环小数或分数,而无理数不能用这些形式表示。

三、实数的应用1. 实数在数轴上的表示实数可以用数轴上的点表示,数轴是一个无限延伸的直线,用来表示实数的大小和相对位置。

《实数》 讲义

《实数》 讲义

《实数》讲义一、实数的定义实数,是数学中的一个基本概念。

简单来说,实数就是有理数和无理数的总称。

有理数,大家应该比较熟悉,像整数(正整数、零、负整数)以及分数(正分数、负分数),都属于有理数。

例如3、-5、0、1/2 等等。

而无理数呢,则是无限不循环小数。

比如大家熟知的圆周率π,约等于 31415926,还有像根号 2 ,约等于 141421356 这些数都是无理数。

二、实数的分类实数可以按照不同的标准进行分类。

如果按照符号来分,可以分为正实数、零、负实数。

正实数,就是大于 0 的实数,包括正有理数和正无理数。

负实数,是小于 0 的实数,包括负有理数和负无理数。

零,既不是正实数,也不是负实数。

从另一个角度,如果按照是否为有理数来分,实数就分为有理数和无理数。

有理数又可以进一步细分为整数和分数。

整数包括正整数、零和负整数;分数包括正分数和负分数。

三、实数的性质1、实数的有序性对于任意两个实数 a 和 b,在三种关系中,有且仅有一种成立:a < b,a = b,a > b。

2、实数的稠密性实数在数轴上的分布是稠密的,也就是说,在任意两个不同的实数之间,总是存在着无穷多个其他的实数。

3、实数的四则运算实数的加法、减法、乘法和除法运算(除数不为 0),其结果仍然是实数。

加法交换律:a + b = b + a加法结合律:(a + b) + c = a +(b + c)乘法交换律:a × b = b × a乘法结合律:(a × b) × c = a ×(b × c)乘法分配律:a ×(b + c) = a × b + a × c4、实数的绝对值实数 a 的绝对值记作|a|,其定义为:当a ≥ 0 时,|a| = a;当 a < 0 时,|a| = a 。

绝对值具有非负性,即|a| ≥ 0 。

四、实数与数轴数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线。

实数的概念与性质

实数的概念与性质

实数的概念与性质实数是数学中最基本和最广泛使用的一种数,包括有理数和无理数。

作为数学的基础,实数具有一些独特的性质和特点。

本文将探讨实数的概念以及它的性质。

一、实数的概念实数是指包括有理数和无理数的全体数的集合。

有理数是可以表示为两个整数的比值的数,包括整数、分数和小数。

无理数是不能表示为有理数的比值的数,它们通常以无限不循环小数的形式存在。

实数可以通过不同的方式表示和描述,例如:1. 十进制表示法:实数可以用十进制数来表示,有限的十进制数是有理数,无限不循环的十进制数是无理数。

2. 小数和分数表示法:实数可以表示为有限小数或者无限循环小数,有理数可以用分数表示。

3. 数轴表示法:通过在数轴上标记实数的位置,可以直观地表示实数的大小关系。

不同表示方法可以相互转换,实数的概念是统一和相互联系的。

二、实数的性质1. 有序性:实数集是有序的,任意两个实数之间可以进行比较大小。

这是实数集比有理数集更加广泛适用的一个重要性质。

2. 稠密性:实数集是稠密的,任意两个实数之间都存在一个实数。

这意味着在实数集中,无论多么接近的两个实数,总是可以找到另一个实数介于它们之间。

3. 完备性:实数集是完备的,任何一个非空有上界的实数集都有最小上界。

这一性质称为实数集的确界性质,它保证了实数集在数学推导中的连续性和完整性。

4. 代数运算性质:实数集上定义了加法和乘法两种代数运算,满足交换律、结合律、分配律等基本性质。

实数集上还具有整除性和唯一因子分解等重要性质。

5. 密度性:实数集中的有理数和无理数彼此之间也是密集的。

这一性质使得实数集成为了展开无限不循环小数的基础。

6. 绝对值性质:实数的绝对值是非负的,它表示一个数到原点的距离。

绝对值具有非负性、正定性、三角不等式等重要的性质。

7. 有限性:实数集是无限的,没有最大实数和最小实数。

实数集的无限性质使得它可以涵盖无数个数值。

总结:实数是数学中最基本和最广泛使用的一种数。

1.1实数的概念与计算

1.1实数的概念与计算
3、把下列各数填入相应的集合内-7.5,,4,,,0,,0.31,-π,0.151515……,0.313113111……①有理数集合( )②无理数集合( )③正实数集合()④负整数集合()
4、判断:①带有符号的数一定是负数()②若a表示有理数,则-a表示负有理数()③存在最小的正整数()④存在最小的有理数()⑤存在最大的负整数()⑥无限小数都是无理数()⑦无理数都是无限小数()
练习二:计算:①16÷(-2)-(-)×(-4)
②-32-|--|÷7×③10(5-sin30°)+()-2÷|-3|2
④()-1-|-|+(2-π)0+(+1)
感悟与收获:把有理数,实数,绝对值,数轴,相反数,倒数的意义成体系。
六:检测题:1、选择:下列说法正确的是()(A)负数和零没有平方根(B)的倒数是2004(C)是分数(D)0和1的相反数是它本身2、1米3水中的水分子有3.34×109个,则用科学计数法表示的数的原数是
实数的有关概念和运算(1)
学习目标:1、进一步掌握实数概念及大小比较的方法。
2、进一步掌握绝对值,数轴,相反数,倒数的意义。
3、熟练进行实数范围内的混合运算。
交流预习:(一)理解并掌握有理数,实数,绝对值,数轴,相反数Байду номын сангаас倒数的意义。
(二)理解并掌握平方根,算数平方根,立方根的意义。
(三)1、和统称有理数2、实数与数轴上的点是。
3、1-的相反数是倒数是绝对值是
4、的算术平方根是5、的平方根是
⑤化简:=()2=-=,=8的平方根为若+=0,则a-b的平方根为
巩固练习一:①一个数的平方等于它本身,则这个数是
②平方根等于本身的数是③算术平方根等于本身的数是④立方根等于本身的数是⑥一个正数的平方等于361,则这个正数为⑦一个数的平方等于196,则这个数为⑧81的算术平方根的平方根为⑨的算术平方根为

实数概念知识点总结

实数概念知识点总结

实数概念知识点总结一、实数的定义实数是指所有的有理数和无理数的总称。

有理数是指可以表示为两个整数之比的数,无理数是指不能表示为有理数的数。

实数包括了所有的有理数和无理数,是数轴上的所有点的集合。

实数的定义还可以从数轴的角度来理解。

数轴是一条无限长的直线,上面标记了所有的实数。

数轴上任意一点都对应着一个实数,数轴上的点是有序的,也就是说数轴上的点按大小顺序排列。

这种对应关系使得我们可以将实数看做是一个有序的集合。

二、实数的性质1.实数的代数性质实数满足加法、减法、乘法和除法运算。

对于任意的实数a、b和c,有以下代数性质成立:(1)交换律:a + b = b + a,ab = ba;(2)结合律:(a + b) + c = a + (b + c),(ab)c = a(bc);(3)分配律:a(b + c) = ab + ac;(4)单位元素:存在0和1,使得a + 0 = a,a · 1 = a;(5)加法逆元:对于任意的实数a,存在一个数-b,使得a + (-b) = 0;(6)乘法逆元:对于任意的非零实数a,存在一个数1/a,使得a · (1/a) = 1。

2.实数的大小比较实数具有大小的比较关系。

对于任意的实数a和b,有以下性质成立:(1)对于任意的实数a,有a > 0,a = 0或a < 0;(2)对于任意的实数a和b,有严格不等式a < b,a > b或者a = b。

3.实数的密度性质实数是一个稠密的集合,它意味着在数轴上,任意两个不相等的实数之间都存在着无限多个实数。

这一性质对于实数的连续性和无限性具有重要意义。

4.实数的有理数与无理数性质(1)有理数的性质:有理数是可以表示为两个整数之比的数,它们在数轴上是分散的、不连续的点。

有理数包括了整数和分数两种类型。

(2)无理数的性质:无理数是不能表示为有理数的数,它们在数轴上是一些孤立的、不连续的点。

实数的知识点总结课件

实数的知识点总结课件

实数的知识点总结课件一、实数的概念1.1 实数的定义实数是数学领域中的一种数字概念,包括有理数和无理数。

实数是可以用来度量和计算数量的数,是数学中最基本的数。

1.2 实数的分类实数可以分为有理数和无理数两类。

有理数是可以用整数或整数分数表示的数,而无理数是不能用有限的整数或整数分数表示的数。

二、实数的性质2.1 实数的加法实数的加法满足交换律、结合律和分配律。

即对于任意的实数a、b、c有:a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c),a(b+c)=ab+ac。

2.2 实数的减法实数的减法满足异减法a-b=a+(-b),其中-a称为a的相反数,满足a+(-a)=0。

2.3 实数的乘法实数的乘法满足交换律、结合律和分配律。

即对于任意的实数a、b、c有:ab=ba,(ab)c=a(bc),a(b+c)=ab+ac。

2.4 实数的除法实数的除法满足a÷b=a×(1/b),其中b≠0。

2.5 实数的乘方实数的乘方满足乘方的次序异法则:(a^m )^n=a^(mn),其中a为非零实数,m和n为任意实数。

三、实数的表示和比较3.1 实数的表示实数可以用数轴上的点表示,数轴上任意一点与原点的距离称为这个点的坐标。

3.2 实数的比较实数的比较可以通过数轴上的位置进行比较,即若a在b的左边,则a小于b,若a在b的右边,则a大于b。

四、实数的运算4.1 实数的加减运算实数的加减运算即是对实数进行加法和减法的操作,按照加法和减法的性质进行运算。

4.2 实数的乘除运算实数的乘除运算即是对实数进行乘法和除法的操作,按照乘法和除法的性质进行运算。

4.3 实数的乘方运算实数的乘方运算即是对实数进行乘方的操作,按照乘方的性质进行运算。

五、实数的应用5.1 实数在代数中的应用实数在代数中可以用来解方程、求根以及进行代数计算。

5.2 实数在几何中的应用实数在几何中可以用来表示线段、面积、体积等几何量,并进行几何计算。

数学实数知识点全面总结

数学实数知识点全面总结

数学实数知识点全面总结在数学的学习中,实数是一个非常重要的概念。

实数是指所有的有理数和无理数的集合,它包括了所有的正数、负数、零,以及所有的分数和无限不循环小数。

实数可以用来描述各种物理量和现象,也是解决数学问题的基础。

下面我们来总结一下实数的各种性质和特点。

一、实数的概念实数是数学中最基本的概念之一,它包括有理数和无理数。

有理数是可以用两个整数的比例来表示的数,而无理数则是不能用有理数表示的数。

这两种数的集合构成了实数。

二、实数的表示实数可以用无数个十进制数来表示,比如π、√2等无理数,和分数形式的有理数都是实数。

实数还可以表示为小数、分数、整数等形式。

三、实数的运算1.实数的加法和减法实数的加法和减法遵循一般的运算法则,即加法交换律、结合律和分配律。

两个实数相加或相减可以得到另一个实数。

2.实数的乘法和除法实数的乘法和除法也遵循一般的运算法则,即乘法交换律、结合律和分配律。

两个实数相乘或相除也可以得到另一个实数。

3.实数的幂运算和根号运算实数还可以进行幂运算和开方运算,比如a^b和√a。

幂运算是指以某个实数为底数,另一个实数为指数的运算,开方运算是指求某个实数的平方根、立方根等运算。

四、实数的性质1.实数的比较性实数可以相互比较大小,即可以进行大小关系的判断。

两个实数之间可以进行比较大小的关系,比如大小、大小等于、小于等于等。

2.实数的分布性实数的分布性指的是其在数轴上的分布情况。

实数可以在数轴上表示为一个点,可以根据大小关系来进行分布,例如大的实数在数轴上表示为较远的位置,小的实数在数轴上表示为较近的位置。

3.实数的密集性实数的密集性指的是实数在数轴上的密集程度。

实数在数轴上随意两个数之间总存在有理数和无理数,这表明实数是非常密集的。

4.实数的无限性实数是无限的,即实数的数量是无穷的。

无论多大或多小的实数,都可以找到一个比它更大或更小的实数。

五、实数的应用实数在数学中有着广泛的应用,它是解决各种数学问题的基础。

1.1实数的概念及运算

1.1实数的概念及运算

(8)、下列说法中,错误的个数是
(C )
①无理数都是无限小数;②无理数都是开方开不尽的数; ③带根号的都是无理数;④无限小数都是无理数。 A.1个; B.2个; C.3个; D.4个。
9观察下列等式

1 1 1 1 2 2
1 1 1 23 2 3
1 1 1 3 4 3 4

1 n(n, 1)

1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 . n( n 1)
(3)探究并计算:
1 1 1 1 2 4 4 6 68 2006 2008
• 搞清实数的分类标准,尤其要弄懂无理数的 三种常见形式:① ;②无限不循环小数, 如0.1010010001……;③开方开不尽的数, 如 等。 2 ; tg 60 0 • 绝对值的性质——要注意正确区分数的三种 情况,尤其是负数去掉绝对值应变为其相反 数。 • 实数的大小比较应重点掌握作差法和作商法, 才能更好地有的放矢。
将以上三个等式两边分别相加得:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 2 2 3 3 4 2 2 3 3 4 4 4

(1)猜想并写出:
1 1 1 1 (2)直接写出下列各式的计算结果: 1 2 2 3 3 4 2006 2007
无理数集合:{
8
;-π;0.100110001…
1
3.2
}。
中考时刻
(10上海)1.下列实数中,是无理数的为( C )
A. 3.14
1 B. 3
C.
3
D. 9
数轴、相反数、绝对值、倒数 例2 1.如图,矩形ABCD的顶点A,B在数轴上, CD = 6,点 A对应的数为-1,则点B所对应的数为 5 .

实数的概念及例子

实数的概念及例子

实数的概念及例子实数是数学中最基本的概念之一,它包含了所有的有理数和无理数。

实数可以表示为有限小数、无限循环小数以及无限不循环小数。

在实数的概念中,我们可以进行基本的数学运算,比如加减乘除,也可以进行比较大小。

首先,我们先来了解有理数。

有理数是可以写成两个整数之比的数,其中分母不为零,例如:2、-3、1/2等。

有理数是实数的子集,它们可以在数轴上找到对应的位置。

比如,数轴上的0、1、-1、2等都是有理数。

除了有理数,实数中还包含了无理数。

无理数是不能写成两个整数之比的数,它们的小数部分是无限不循环的。

比如,√2、π、e等都是无理数。

举个例子来说明实数的概念。

假设我们希望计算一个三角形的斜边长度,已知其底边长度为3,高为4。

利用勾股定理,我们可以求得斜边的长度为√(3^2 + 4^2) = 5。

这里的√2就是一个无理数,属于实数的范畴。

除了上述例子中的无理数,实数中还有一类特殊的无理数,称为超越数。

超越数是无理数的一种特殊类型,它们不能成为代数方程的根(即不能成为多项式方程的解)。

例如,圆周率π和自然对数的底e都是超越数。

另外,实数还可以用小数的形式表示。

小数可以是有限的,也可以是无限的。

有限小数是指小数部分有限位数的数,例如0.5、1.25等。

无限小数是指小数部分有无限位数的数,它们可以有循环和非循环两种形式。

一个经典的例子是圆周率π,它的小数表示是无限不循环的。

π约等于3.14,在十进制下的表示是一个无限的小数:3.1415926535...,它没有重复的循环部分。

另一个例子是根号2(√2),它也是一个无限不循环的小数。

另一种无限循环小数的例子是1/3,它可以表示为0.33333...。

这种无限循环小数的特点是小数部分有一个周期性的循环,即3不断重复。

除了有限小数和无限小数,实数中还有一种特殊形式的无理数,被称为无限不循环小数。

无限不循环小数的小数部分没有任何规律可言,无法用有限位数的小数表示。

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1. (2017 湖南省长沙市) 下列实数中,为有理数的是()
A.3 B. C.32 D.1
答案:
答案D
解析
试题分析:根据实数的意义,有理数为有限小数和有限循环小数,无理数为无限不循环小数,可知1是有理数.
故选:D
考点:有理数
20171012090812468181 1.1 实数的概念选择题基础知识2017-10-12
2. (2017 湖北省襄阳市) 】.(3分)(2017•襄阳, 2, 3分)下列各数中,为无理数的是()A.B.C.D.
答案:
考点26:无理数.
分析根据无理数、有理数的定义即可判定选择项.
解答解:,,是有理数,
是无理数,
故选:D.
点评此题主要考查了无理数的定义,注意带根号的要开不尽方才是无理数,无限不循环小数为
无理数.如π,,0.8080080008…(每两个8之间依次多1个0)等形式.
20171012083536890612 1.1 实数的概念 选择题 基础知识 2017-10-12
3. (2017 浙江省宁波市) 12,0,2-这四个数中,为无理数的是( )
B.12
C.0
D.2-
答案:答案A.
解析
试题解析:在12
,0,2- 故选A.
考点:无理数.
20170919151309437394 1.1 实数的概念 选择题 基础知识 2017-9-19
4. (2017 浙江省湖州市) 实数2,,
12,0中,无理数是( )
A .2
B .12
D .0
答案:答案B
考点:无理数
20170919145711984581 1.1 实数的概念 选择题 基础知识 2017-9-19
5. (2017 上海市) 】.下列实数中,无理数是( )
A .0
B .
C .﹣2
D .
答案:】.分析根据无理数、有理数的定义即可判定选择项.
解答解:0,﹣2,是有理数,
数无理数,
故选:B.
点评此题主要考查了无理数的定义,注意带根号的要开不尽方才是无理数,无限不循环小数为无理数.如π,,0.8080080008…(每两个8之间依次多1个0)等形式.
20170919133556937690 1.1 实数的概念选择题基础知识2017-9-19
6. (2017 山东省烟台市) 下列实数中的无理数是()
A.9 B. C.0 D.
3
1
答案:答案B.
解析
试题解析:0,1
3
是有理数,π是无理数,
故选:B.
考点:无理数.
20170919121244921986 1.1 实数的概念选择题基础知识2017-9-19
7. (2017 山东省聊城市) 、悉尼与北京时差如下表(正数表示同一时刻比北京时间早的时数,负数表示同一时刻比北京时间晚的时数):
当北京6月15日23时,悉尼、纽约的时间分别是()
A.6月16日1时;6月15日10时B.6月16日1时;6月14日10时
C.6月15日21时;6月15日10时D.6月15日21时;6月16日12时
答案:考点11:正数和负数.
分析由统计表得出:悉尼时间比北京时间早2小时,悉尼比北京的时间要早2个小时,也就是6月16日1时.纽约比北京时间要晚13个小时,也就是6月15日10时.
解答解:悉尼的时间是:6月15日23时+2小时=6月16日1时,
纽约时间是:6月15日23时﹣13小时=6月15日10时.
故选:A.
20170919104121328701 1.1 实数的概念选择题基础知识2017-9-19
8. (2017 江苏省盐城市) 请写出一个无理数.
答案:请写出一个无理数.
考点26:无理数.
分析根据无理数定义,随便找出一个无理数即可.
解答解:是无理数.
故答案为:.
20170918161056031514 1.1 实数的概念填空题基础知识2017-9-18
9. (2017 湖南省常德市) 下列各数中无理数为()
A B.0 C.
1
2017
D.﹣1
答案:答案A.
考点:无理数.
20170915090042781559 1.1 实数的概念选择题基础知识2017-9-15
10. (2017 湖北省十堰市) 】.】.】.气温由﹣2℃上升3℃后是()℃.
A.1 B.3 C.5 D.﹣5
答案:】.】.】.分析根据有理数的加法,可得答案.
解答解:由题意,得
﹣2+3=+(3﹣2)=1,
故选:A.
点评本题考查了有理数的加法,异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减较小的绝对值.
20170914163607593334 1.1 实数的概念选择题基础知识2017-9-14
11. (2017 湖北省荆门市) 3分)在实数﹣、、π、中,是无理数的是()A.﹣B.C.πD.
答案:答案C.
解析
试题分析:根据无理数、有理数的定义即可判定选择项.
22
7
-是有理数,π是无理数,故选C . 考点:无理数.
20170914153735531331 1.1 实数的概念 选择题 基础知识 2017-9-14
12. (2017 湖北省黄石市) 下列各数是有理数的是( )
A .13
- B C D .π
答案:答案A .
解析
试题分析:有理数为13
-π,故选A . 考点:实数.
20170914151802703653 1.1 实数的概念 选择题 基础知识 2017-9-14
13. (2017 湖北省鄂州市) 下列实数是无理数的是( )
A. 23 C .0 D .-1.010101
答案:答案B
解析
试题分析:分别根据无理数、有理数的定义即可知
23
,0,-1.010101是无理数, 故选:B .
考点:无理数
20170914111726500304 1.1 实数的概念 选择题 基础知识 2017-9-14
14. (2017 贵州省毕节地区) 下列实数中,无理数为( )
A.0.2 B.C.D.2
答案:考点26:无理数.
分析有限小数和无限循环小数是有理数,而无限不循环小数是无理数.由此即可判定选择项.
解答解:是无理数.
故选:C.
20170913161914171876 1.1 实数的概念选择题基础知识2017-9-13
15. (2017 广西河池市) 下列实数中,为无理数的是()
A.﹣2 B.C.2 D.4
答案:考点26:无理数.
分析无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念,一定要同时理解有理数的概念,有理数是整数与分数的统称.即有限小数和无限循环小数是有理数,而无限不循环小数是无理数.由此即可判定选择项.
解答解:A、﹣2是整数,是有理数,选项不符合题意;
B、是无理数,选项符合题意;
C、2是整数,是有理数,选项不符合题意;
D、4是整数,是有理数,选项不符合题意.
故选B.
20170913140827843030 1.1 实数的概念选择题基础知识2017-9-13
16. (2017 甘肃省天水市) 关于的叙述不正确的是()
A. =2
B.面积是8的正方形的边长是
C.是有理数
D.在数轴上可以找到表示的点
答案:考点27:实数.
分析=2,是无理数,可以在数轴上表示,还可以表示面积是8的正方形的边长,由此作判断.
解答解:A、=2,所以此选项叙述正确;
B、面积是8的正方形的边长是,所以此选项叙述正确;
C、=2,它是无理数,所以此选项叙述不正确;
D、数轴既可以表示有理数,也可以表示无理数,所以在数轴上可以找到表示的点;所以此选项叙述正确;
本题选择叙述不正确的,
故选C.
20170821161947906605 1.1 实数的概念选择题双基简单应用2017-8-21。

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