第六节 空间直线及其方程教案

就可将对称式方程变成参数方程（t为参数）
旁批栏：
三种形式可以互换，按具体要求写相应的方程。
例1：用对称式方程及参数方程表示直线 ．
解：在直线上任取一点 ，取 ，
解得 ，即直线上点坐标 ．
因所求直线与两平面的法向量都垂直，
取 ，
对称式方程为：
参数方程： ．
例2：一直线过点 ，且和 轴垂直相交，求其方程．
因此，所求直线的方程为
旁批栏：
例2：求过点（2，1，3）且与直线 垂直相交的直线方程．
解：先作一平面过点（2，1，3）且垂直于已知直线（即以已知直线的方向向量为平面的法线向量），这平面的方程为
再求已知直线与这平面的交点。将已知直线改成参数方程形式为
x= -1+3ty=1+2tz=-t
并代入上面的平面方程中去，求得t＝ ，从而求得交点为 ．
空间直线可以看成是两个平面的交线。故其一般方程为：
二、空间直线的对称式方程与参数方程
平行于一条已知直线的非零向量叫做这条直线的方向向量。
已知直线上的一点 和它的一方向向量 ，设直线上任一点为 ，那么 与s平行，由平行的坐标表示式有：
此即空间直线的对称式方程（或称为点向式方程）。（写时参照书上注释）
如设
解：设所求直线的方向向量为 ，根据题意知，直线的方向向量与两个平面的法向量都垂直，所以可以取 ，
所求直线的方程 ．
旁批栏：
四、直线与平面的夹角
当直线与平面不垂直时，直线与它在平面上的投影直线的夹ห้องสมุดไป่ตู้ 称为直线与平面的夹角，当直线与平面垂直时，规定直线与平面的夹角为 。
设直线 的方向向量为 ，平面的法线向量为 ，直线与平面的夹角为 ，那么
重庆科创职业学院授课教案
课名：高等数学（上）教研窒：高等数学教研室
班级：编写时间：
课题：
第六节空间直线及其方程
教学目的及要求：
介绍空间曲线中最常用的直线，与平面同为本章的重点
教学重点：
1.直线方程2.直线与平面的综合题
教学难点：1.直线的几种表达式2.直线与平面的综合题
教学步骤及内容：
一、空间直线的一般方程
解：因为直线和 轴垂直相交，所以交点为 ，于是取 ，
所求直线方程：
三、两直线的夹角：
两直线的方向向量的夹角（通常指锐角）叫做两直线的夹角。
设两直线 和 的方向向量依次为 和 ，两直线的夹角可以按两向量夹角公式来计算
两直线 和 垂直： （充分必要条件）
两直线 和 平行： （充分必要条件）
例3：求过点 且与两平面 和 的交线平行的直线方程．
作业：见作业本7.6
旁批栏：
以此交点为起点、已知点为终点可以构成向量s即为所求直线的方向向量：
故所求直线方程为
例3：求直线 在平面 上的投影直线的方程．
解：应用平面束的方法．
设过直线 的平面束方程为
即
这平面与已知平面 垂直的条件是
解之得
代入平面束方程中得投影平面方程为
y－z－1＝0
所以投影直线为
旁批栏：
小结与思考：本节介绍了空间直线的一般方程，空间直线的对称式方程与参数方程，两直线的夹角（注意两直线的位置关系），直线与平面的夹角（注意直线与平面的位置关系）。
直线与平面垂直：s//n，相当于 （充分必要条件）
直线与平面平行：s n，相当于 （充分必要条件）
平面束方程：
过平面直线 的平面束方程为
五、杂例：
例1：求与两平面x－4z＝3和2x－y－5z＝1的交线平行且过点（－3，2，5）的直线方程。
解：由于直线的方向向量与两平面的交线的方向向量平行，故直线的方向向量s一定与两平面的法线向量垂直，所以