高二期中考试复习题

高二下学期期中考试复习题 2014-5-5一、选择题1.a 为正实数，i 为虚数单位，2a ii+=，则a =（ ）A 2 BC D 12．已知1a =，b =3+5，c =4，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ． a b c >> B ．c a b >> C ．c b a >> D ．b c a >>3．5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有（ ）A 150种B 180种C 200种D 280种4.已知函数()(),y f x y g x ==的导函数的图象如下图，那么()(),y f x y g x == 的图象可能是（ ）5.从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求 每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去 巴黎游览，则不同的选择方案共有（ ）A. 240种B. 300种C. 144种D. 96种 6．曲线12x y e =在点2(4,)e 处的切线与坐标轴所围城三角形的面积为（ ）A ．292e B ．42e C ．22e D ．2e7. 四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，每个仓库至少放一种产品。

那么安全存放的不同方法种数为（ ） A 48 B 96 C 24 D 08. 若函数)1,1(12)(3+--=k k x x x f 在区间上不是单调函数，则实数k 的取值范围是（ ）A ．3113≥≤≤--≤k k k 或或B ．22<<-kC ．3113<<-<<-k k 或D ．不存在这样的实数k9．函数()32393f x x x x =--+，若函数()()g x f x m =-在x ∈[-2,5]上有3个零点，则m 的取值范围为（ ） A ．[1, 8） B ．（-24,1] C ．[1,8] D ．（-24,8）10有8张卡片分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,从中取出6张卡片排成3行2列, 要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5,则不同的排法共有( ) A. 1344种 B. 1248种 C. 1056种 D. 960种 11．若()f x 是定义在()0,+∞上的可导函数，且满足()()0xf x f x '+≤，对任意正数,a b若a b <，则必有（ ）A ． ()()bf a af b ≤B ．()()af b bf a ≤C ．()()af a bf b ≤D ．()()bf b af a ≤ 12.设函数()y f x =在(,)a b 上的导函数为'()f x ,'()f x 在(,)a b 上的导函数为''()f x , 若在(,)a b 上,''()0f x <恒成立,则称函数函数()f x 在(,)a b 上为“凸函数”. 已知当2m ≤时,3211()62f x x mx x =-+在(1,2)-上是“凸函数”. 则()f x 在(1,2)-上( )A.既有极大值,也有极小值B.既有极大值,也有最小值C.有极大值,没有极小值D.没有极大值,也没有极小值二、填空题13．已知函数()2321f x x x =++，若()()112f x dx f a -=⎰成立，则a =______14．已知函数()f x 在1x =处的导数为1，则 0(1)(1)3limx f x f x x→--+=15．若函数2()(1)x f x e x ax a =+++没有极值点，则a 的范围是 16．设函数f (x )＝xx ＋2(x ＞0)，观察： f 1(x )＝f (x )＝xx ＋2，f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x3x ＋4，f 3(x )＝f (f 2(x )＝x7x ＋8，f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x15x ＋16，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n -1(x ))＝ ．三、解答题17．（本小题满分12分）(1)6个人坐在一排10个座位上, 问：①空位不相邻的坐法有多少种?② 4个空位只有3个相邻的坐法有多少种?(2)n⎛⎝的展开式奇数项的二项式系数之和为128，求展开式中二项式系数最大项。

18.已知函数()ln(1)f x x =+。

(1) 若0x >，证明：2()2xf x x >+； (2) 若不等式2221()232x f x m bm ≤+--对一切[1,1]b ∈-及[1,1]x ∈-恒成立，求实数m 的取值范围。

19.（本小题满分12分）已知：0,0,0a b c ab bc ca abc ++>++>>.求证：0,0,0a b c >>> 20．（本小题满分12分）已知函数2(),()2ln (x f x g x a x e e==为自然对数的底数） （1）求()()()F x f x g x =-的单调区间，若()F x 有最值，请求出最值； （2）是否存在正常数a ，使()()f x g x 与的图象有且只有一个公共点， 且在该公共点处有共同的切线？若存在，求出a 的值， 以及公共点坐标和公切线方程；若不存在，请说明理由。

21．（本小题满分12分）已知函数212=-+()()ln f x a x x .（R a ∈）(1)当1a =时，求()f x 在区间[1，e ]上的最大值和最小值；(2)若在区间（1，+∞）上，函数()f x 的图象恒在直线2y ax =下方， 求a 的取值范围．22（本小题满分10分）已知复数w 满足()432w w i -=- (i 为虚数单位)，52z w w=+-,求z高二下学期期中考试复习题答案13. 11,3a a =-=; 14. 23-; 15. 04a ≤≤； 16. ()212n n x x -+ 17. 解：(1) ①A 66C 74 =25200种； …………………………………………………3分②A 66A 72=30240种 …………………………………………………6分(2) 由已知得1351...128,2128,8n n n n C C C n -+++===，而展开式中二项式系数最大项是 ………………………………………9分444418(70T C x +==。

…………………………………12分18.令22()()ln(1)22x xF x f x x x x =-=+-++， 则22212(2)2'()1(2)(1)(2)x x x F x x x x x +-=-=++++ 当0x >时，'()0F x >，所以 ()F x 在(0,)+∞上单调递增。

又(0)0F =，所以当0x >时，()(0)0F x F >=，即 2ln(1)02xx x +->+。

所以，0x >时，2()2xf x x >+。

-----4分 (2) 22222211()23()2322x f x m bm x f x m bm ≤+--⇔-≤--设222211()()ln(1)22g x x f x x x =-=-+，则32222(1)(1)'()111x x x x x x g x x x x x -+-=-==+++， -----6分令'()0g x =，得0,1x =±，于是可得()g x 随x 的变化而变化的情况如下表所以，当[1,1]x ∈-时，max ()0g x =，于是不等式2221()232x f x m bm ≤+--对一切[1,1]b ∈-及[1,1]x ∈-恒成立2023m bm ⇔≤--对[1,1]b ∈-恒成立。

-----9分令22()2323h b m bm mb m =--=-+-，则应有22(1)230(1)230h m m h m m ⎧=-+-≥⎨-=+-≥⎩，解得：3m ≥或3m ≤- 所以，m 的取值范围是(,3][3,)m ∈-∞-+∞ -----12分 19[证明] 用反证法：假设a ，b ，c 不都是正数，由abc >0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数， 不妨设a <0，b <0，c >0，则由a ＋b ＋c >0， 可得c >－(a ＋b )，又a ＋b <0，∴c (a ＋b )<－(a ＋b )(a ＋b ) ab ＋c (a ＋b )<－(a ＋b )(a ＋b )＋ab 即ab ＋bc ＋ca <－a 2－ab －b 2∵a 2>0，ab >0，b 2>0，∴－a 2－ab －b 2＝－(a 2＋ab ＋b 2)<0，即ab ＋bc ＋ca <0， 这与已知ab ＋bc ＋ca >0矛盾，所以假设不成立． 因此a >0，b >0，c >0成立．20.解：（1）3222()()()()(0)x a x ea F x f x g x x e x ex-'''=-=-=> ①当0,()0a F x '≤>时恒成立()(0,)F x +∞在上是增函数，()F x F 只有一个单调递增区间（0，+∞），没有最值 1分②当0a >时，2(()(0)x x F x x ex-=>，若0x <<()0,()F x F x '<在上单调递减；若x >()0,())F x F x '>+∞在上单调递增，x ∴=当()F x 有极小值，也是最小值，即min ()2ln F x F a a a a ==-=-…………5分所以当0a >时，()F x 的单调递减区间为单调递增区间为)+∞，最小值为ln a a -，无最大值…………6分（2）方法一，若()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点， 则方程()()0f x g x -=有且只有一解，所以函数()F x 有且只有一个零点……7分由（1）的结论可知min ()ln 01F x a a a =-==得…………9分此时，2()()()2ln 0x F x f x g x x e =-=-≥min ()0F x F ==1,()()f g f x g x ∴==∴与的图象的唯一公共点坐标为又()f e g ''==()()f x g x 与的图象在点处有共同的切线，其方程为1y x -=-，即1y x =-…………11分综上所述，存在a 1=，使()()f x g x 与的图象有且只有一个公共点，且在该点处的公切线方程为 1.y x =-…………12分方法二：设()f x 与g(x)图象的公共点坐标为00(,)x y ，根据题意得00''00()()()()f x g x f x g x =⎧⎪⎨=⎪⎩即200002ln 22x a x ex aex ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩由②得20x a e =，代入①得021ln ,2x x =∴=从而1a =…………9分此时由（1）可知min ()0F x F == 0x x ∴>≠当且()0,()()F xf xg x >>即因此除0x =0x ，使00()()f x g x =…………11分故存在1a =，使()()fx g x 与的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线，易求得公共点坐标为，公切线方程为1y x =-…………12分21解：(1)当1=a 时，212()ln f x x x =+，211()x f x x x x+'=+=； 对于x ∈[1，e]，有0()f x '>，∴()f x 在区间[1，e]上为增函数， -2分 ∴212max ()()e f x f e ==+，112min ()()f x f ==. -------- 4分(2)令21222()()()ln g x f x ax a x ax x =-=--+，则()g x 的定义域为（1，+∞） - 6在区间（1，+∞）上函数()f x 的图象恒在直线2y ax =下方等价于0()g x <在区间（1，+∞）上恒成立.∵2121211211212()()[()]()()a x ax x a x g x a x a x x x--+---'=--+==① 若12a >，令0()g x '=，得极值点11x =，2121x a =-，当211x x >=，即112a <<时，在（2x ，+∞)上有0()g x '>，此时()g x 在区间(2x ，+∞)上是增函数，并且在该区间上有()g x ∈(2()g x ，+∞)， 不合题意； 当211x x <=，即1a ≥时，同理可知，()g x 在区间(1，+∞)上， 有()g x ∈(1()g ，+∞)，也不合题意； ---- 12分② 若12a ≤，则有210a -≤，此时在区间(1，+∞)上恒有0()g x '<，从而)(x g在区间(1，+∞)上是减函数； ------ 14分 要使0()g x <在此区间上恒成立，只须满足1102()g a =--≤12a ⇒≥-， 由此求得a 的范围是[12-，12]. 综合①②可知，当a ∈[21-，21]时，函数)(x f 的图象恒在直线ax y 2=下方.22.。