《二次函数的图象(第二课时)》参考教案
二次函数的图象第二课时教案
二次函数的图象第二课时教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点的概念；（2）学会如何通过二次函数的系数判断开口方向和对称轴的位置；（3）能够熟练运用二次函数的性质解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、归纳二次函数图象的性质；（2）利用数形结合的方法，理解二次函数图象与系数的关系。
3. 情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，提高学生分析问题、解决问题的能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点的判断方法；（2）运用二次函数的性质解决实际问题。
2. 教学难点：（1）开口方向与对称轴的判断；（2）二次函数图象与实际问题的结合。
三、教学过程1. 复习导入：（1）回顾一次函数图象的性质；（2）引导学生思考二次函数图象的特点。
2. 新课讲解：（1）介绍二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点的概念；（2）讲解如何通过二次函数的系数判断开口方向和对称轴的位置；（3）举例说明二次函数图象与系数的关系。
3. 课堂练习：（1）让学生绘制几个二次函数的图象，观察开口方向、对称轴和顶点的位置；（2）引导学生分析二次函数图象与系数的关系。
四、课后作业2. 选取几个实际问题，运用二次函数的性质进行解答。
五、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高学生对二次函数图象的理解和运用能力。
关注学生在课堂上的参与度和思维发展，激发学生的学习兴趣。
六、课堂实践1. 案例分析：分析实际问题，将其转化为二次函数形式；利用二次函数的性质，解答实际问题。
2. 分组讨论：学生分组，讨论如何将实际问题转化为二次函数；每组选取一个实际问题，展示解题过程和答案。
七、拓展与延伸1. 探讨二次函数图象在其他领域的应用；引导学生思考二次函数在物理学、经济学等领域的应用；举例说明二次函数在其他领域的实际应用。
2. 课堂小结：强调二次函数图象在实际问题中的应用价值。
二次函数的图象第二课时教案
二次函数的图象第二课时教案一、教学目标：1. 让学生理解二次函数的图象特征，掌握二次函数图象的顶点、开口方向等基本概念。
2. 培养学生利用二次函数图象解决实际问题的能力。
3. 引导学生通过观察、分析、归纳等方法，探索二次函数图象的性质。
二、教学重点与难点：1. 教学重点：二次函数的图象特征，如何利用二次函数图象解决实际问题。
2. 教学难点：二次函数图象的顶点、开口方向等概念的理解与应用。
三、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生自主探究二次函数图象的性质。
2. 利用数形结合法，让学生直观地理解二次函数图象的特点。
3. 采用案例分析法，培养学生运用二次函数图象解决实际问题的能力。
四、教学准备：1. 教师准备二次函数图象的PPT、案例素材等教学资源。
2. 学生准备笔记本、笔等学习用品。
五、教学过程：1. 导入新课：回顾上一课时内容，引出本课时的主题——二次函数的图象。
2. 自主学习：让学生自主探究二次函数图象的性质，引导学生观察、分析、归纳。
3. 课堂讲解：结合PPT，讲解二次函数图象的顶点、开口方向等基本概念，并通过案例进行分析。
4. 练习巩固：布置一些有关二次函数图象的练习题，让学生独立完成，检验学习效果。
5. 课堂小结：总结本节课的主要内容，强调二次函数图象在实际问题中的应用。
6. 课后作业：布置一些有关二次函数图象的课后作业，让学生进一步巩固所学知识。
7. 课后反思：鼓励学生反思本节课的学习过程，总结收获，发现不足，为下一节课做好准备。
六、教学评价：1. 通过课堂讲解、练习巩固等环节，评价学生对二次函数图象的基本概念和性质的掌握程度。
2. 观察学生在解决实际问题时的表现，评价其运用二次函数图象的能力。
3. 结合课后作业，评价学生对课堂所学知识的巩固情况。
七、教学反思：1. 教师在课后对自己的教学进行反思，分析教学过程中的优点和不足，为下一节课的教学做好准备。
2. 学生对自己的学习进行反思，总结在本节课中的收获，发现存在的问题，制定改进措施。
二次函数的图象第二课时教案
二次函数的图象第二课时教案一、教学目标：1. 理解二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点等特征。
2. 学会通过观察二次函数图象来判断函数的单调性、极值等性质。
3. 能够运用二次函数图象解决实际问题，提高解决问题的能力。
二、教学内容：1. 复习一次函数和反比例函数的图象性质。
2. 学习二次函数图象的性质，包括开口方向、对称轴、顶点等。
3. 分析二次函数图象的单调性和极值。
4. 运用二次函数图象解决实际问题。
三、教学重点：1. 二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点的确定。
2. 二次函数图象的单调性和极值的判断。
四、教学难点：1. 理解二次函数图象的性质，并能灵活运用。
2. 解决实际问题时，如何正确运用二次函数图象。
五、教学方法：1. 采用直观演示法，通过展示二次函数图象，让学生直观地理解其性质。
2. 运用实例讲解法，结合具体例子，让学生学会分析二次函数图象的性质。
3. 运用问题驱动法，引导学生主动探究二次函数图象的性质，提高解决问题的能力。
4. 小组合作学习，让学生在讨论中互相学习，共同提高。
教案一、导入（5分钟）1. 复习一次函数和反比例函数的图象性质。
2. 提问：同学们，你们认为二次函数的图象会有哪些特殊的性质呢？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点等性质。
2. 分析二次函数图象的单调性和极值。
3. 通过实例，讲解如何运用二次函数图象解决实际问题。
三、课堂练习（10分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
2. 教师选取部分学生的练习题，进行讲解和分析。
四、课堂小结（5分钟）1. 总结本节课所学内容，强调二次函数图象的性质及其运用。
2. 提醒学生在解决实际问题时，注意灵活运用二次函数图象。
五、课后作业（课后自主完成）1. 完成课后练习题，巩固二次函数图象的知识。
2. 结合生活实际，寻找一个可以用二次函数图象解决的问题，并尝试解决。
教学反思：在课后，教师应认真反思本节课的教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高学生对二次函数图象的理解和运用能力。
初中数学_二次函数的图象与性质(第2课时)教学设计学情分析教材分析课后反思
《二次函数的图像与性质(第2课时)》课堂教学设计教学目标：1.会画二次函数的图象与22)(h x a y k ax y -=+=2.能结合图象确定抛物线；的对称轴与顶点坐标与22)(h x a y k ax y -=+= 3.通过比较抛物线222)(ax y h x a y k ax y =-=+=同与 的相互关系，培养观察、分析、总结的能力。
教学重点:画出形如 22)(h x a y k ax y -=+=与形如 的二次函数的图象，能指出上述函数图象的开口方向，对称轴，顶点坐标。
教学难点:理解函数 222)(ax y h x a y k ax y =-=+=同与 及其图象间的相互关系。
活动一，温故知新形如 2ax y = 的二次函数的图像和性质各是什么？（多媒体直观展示表格） 活动二，探究新知1请你在同一直角坐标系中，画出二次函数y ＝x 2，y ＝x 2＋1，y ＝x 2－1x观察所画的三个函数图像，我能够完成下列填空：归纳：于是，我进一步发现了：函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+k (a≠0)的图象的联系。
1.函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+k (a≠0)的图象形状，只是位置不同；当k >0时，函数y=ax2+ k的图象可由y=ax2的图象向平移个单位得到，当k＜0时，函数y=ax2+ k的图象可由y=ax2的图象向平移个单位得到。
2.a的正负决定开口的；a决定开口的，即a不变，则抛物线的形状。
因为平移没有改变抛物线的开口方向和形状，所以平移前后的两条抛物线a值。
3.抛物线y ＝ax 2＋k 的性质活动三，应用新知1 1.填空2.抛物线y= −2x 2+3是由抛物线y= −2x 2线怎样平移得到的__________。
3.求形状与y=−2x 2+3的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（0，1）的抛物线解析式。
4.将二次函数y ＝5x 2－3向上平移7个单位后所得到的抛物线解析式为_________________。
二次函数第二课时教案
收获
• 1、|a|越大，开口度越小 • 2、增减性要分段，分为对称轴的左侧和右侧
3、
y＝a x2
开口方向 对称轴 顶点坐标
增减性 对称轴左侧， y随x的增 大（ ）， 右侧y随x 的增大而 （ ） 对称轴左侧， y随x的增 大（ ）， 右侧y随x 的增大而 （ ）
最值（大或 小）
a＞0
a＜0
作业
a＞0
a＜0
五、练一练
开口方向 顶点 对称轴 有最（）点 增减性
对称轴左侧，y随x的增 大（ ），右侧y随x 的增大而（ ）
y＝ 4x2
y＝-8x2
对称轴左侧，y随x的增 大（ ），右侧y随x 的增大而（ ）
六、测一测
1、若二次函数y＝ax2的图象过点（1，－2），则a 的值是___________． 2、二次函数y＝(m－1)x2的图象开口向下，则 m____________． 3、如图 ① y＝ax2 ② y＝bx2 ③ y＝cx2 ④ y＝dx2 比较a、b、c、d的大小。
22.1
二次函数一、回忆旧知：
1、用描点法画函数图像的一般步骤是什么？ 2、我们通过什么研究一次函数的图像和性质 的？ 3、一次函数的图像是什么？ 4、二次函数的一般形式是什么？各项系数有 什么要求？ 5、最简单的二次函数形式是什么？
二、学习目标：
1、会画二次函数y＝ax2的图象； 2、知道二次函数的图象是一条抛物线； 3、掌握二次函数y＝ax2的性质，并会灵活应 用． 4、体会数形结合、类比的思想．
y＝a
x2
开口方向 对称轴 顶点坐标
增减性 对称轴左侧， y随x的增 大（ ）， 右侧y随x 的增大而 （ ）
最值（大或 小）
a＞0
人教版九年级数学上册《二次函数的图象和性质(第2课时)》示范教学设计
二次函数的图象和性质（第2课时）教学目标1．能够利用描点法画形如y＝ax2(a≠0)的二次函数图象．2．通过观察图象能够说出二次函数y＝ax2(a≠0)的图象特征和性质．3．在由具体的二次函数图象归纳总结二次函数y＝ax2(a≠0)的图象和性质的过程中，进一步体会由特殊到一般和数形结合的思想．教学重点会用描点法画具体的形如y＝ax2(a≠0)的二次函数图象，并由具体图象归纳总结出二次函数y＝ax2(a≠0)的图象和性质．教学难点通过对a的取值分类讨论，总结出二次函数y＝ax2(a≠0)的图象和性质，特别是|a|的大小对抛物线开口大小的影响．教学过程知识回顾1．一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．2．画出一次函数y＝x＋1的图象．【答案】（1）列表：（2）描点、连线．3．一次函数的图象是一条直线，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x 的增大而减小．【设计意图】通过复习已经学过的有关函数的知识，为引出“二次函数y＝ax2(a≠0)的图象和性质”作铺垫．新知探究一、探究学习【思考】二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象又是什么样的呢？【师生活动】教师提示：结合图象讨论性质是数形结合地研究函数的重要方法．我们将从最简单的二次函数y＝x2开始，逐步深入地讨论一般二次函数的图象和性质．【问题】仿照前面的画法，画出二次函数y＝x2的图象．【师生活动】教师提示：可以用描点法画出二次函数y＝x2的图象．学生根据提示独立思考，并作图．解：（1）在y＝x2中，自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：（2）描点：根据表中x，y的数值在坐标平面中描点(x，y)．（3）连线：用平滑曲线顺次连接各点，就得到y＝x2的图象．教师提问：1．观察所画图象，你能说一下它的形状特征吗？学生分小组讨论，并派代表发言．教师分析：从图象可以看出，二次函数y＝x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮时或掷铅球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上．这条曲线叫做抛物线y＝x2．教师总结：二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者向上或者向下．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象叫做抛物线y＝ax2＋bx＋c．教师提问：2．在所画出的抛物线y＝x2上分别取点(2，4)，(3，9)，并找到它们关于y 轴的对称点，你发现了什么？学生思考并回答：点(2，4)，(3，9)关于y轴的对称点(－2，4)，(－3，9)也在抛物线y ＝x 2上．教师追问：在所画出的抛物线y ＝x 2上任取一点(m ，m 2)，它关于y 轴的对称点(－m ，m 2)也在抛物线y ＝x 2上吗？学生分小组讨论，并派代表发言．教师总结：在抛物线y ＝x 2上任取一点(m ，m 2)，因为它关于y 轴的对称点(－m ，m 2)也在抛物线y ＝x 2上，所以抛物线y ＝x 2关于y 轴对称．抛物线y ＝x 2与它的对称轴的交点(0，0)叫做抛物线y ＝x 2的顶点，它是抛物线y ＝x 2的最低点．每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点．顶点是抛物线的最低点或最高点．教师提问：3．观察所画出的二次函数y ＝x 2的图象，在对称轴的左右两侧，抛物线有什么特点？学生思考并回答：在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升．教师总结：二次函数y ＝x 2的图象：当x ＜0时，y 随x 的增大而减小；当x ＞0时，y 随x 的增大而增大．【设计意图】通过提出问题“二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象又是什么样的”，激发学生的求知欲，引导学生利用数形结合的方法研究函数的图象和性质．进而让学生利用已学过的描点法画出二次函数y ＝x 2的图象，通过小组交流让学生充分发表意见，总结自己观察出的图象的特征和函数性质，为讨论一般二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象和性质作铺垫．二、典例精讲【例题】在同一直角坐标系中，画出函数212y x ＝，y ＝2x 2的图象．【师生活动】教师提出问题，学生独立思考并作图． 【答案】解：分别列表，再画出它们的图象．【设计意图】通过例题的练习与讲解，巩固学生对描点法画函数图象的应用，为探究二次函数y ＝ax 2(a ＞0)的图象和性质作铺垫．三、探究学习【思考】（1）函数212y x ＝，y ＝2x 2的图象与函数y ＝x 2（图中的虚线图形）的图象相比，有什么相同点和不同点？【师生活动】教师提出问题，学生观察所作图象思考并尝试回答．教师总结：相同点：（1）抛物线的开口向上；（2）对称轴是y 轴；（3）顶点是原点，顶点是抛物线的最低点；（4）当x ＞0时，y 随x 的增大而增大；当x ＜0时，y 随x 的增大而减小．不同点：开口大小不同，a 越大，抛物线的开口越小．【思考】（2）当a ＞0时，二次函数y ＝ax 2的图象有什么特点？ 【师生活动】教师提示，学生尝试总结归纳． 【答案】二次函数y ＝ax 2(a ＞0)的图象与性质如下．【探究】（1）在同一直角坐标系中，画出函数y ＝－x 2，212y x ＝－，y ＝－2x 2的图象，并考虑这些抛物线有什么相同点和不同点．【师生活动】教师提示：可以参照讨论“函数212y x ＝，y ＝2x 2，y ＝x 2的图象的相同点和不同点”的方法来思考．学生按照提示先在同一直角坐标系中，画出函数图象，再分小组讨论，并派代表回答．教师总结：相同点：（1）抛物线的开口向下；（2）对称轴是y 轴；（3）顶点是原点，顶点是抛物线的最高点；（4）当x ＞0时，y 随x 的增大而减小；当x ＜0时，y 随x 的增大而增大．不同点：开口大小不同，a 越小，抛物线的开口越小．【探究】（2）当a ＜0时，二次函数y ＝ax 2的图象有什么特点？ 【师生活动】教师提出问题，学生大胆思考并尝试回答．【答案】二次函数y ＝ax 2(a ＜0)的图象与性质如下．【归纳】一般地，抛物线y ＝ax 2的对称轴是y 轴，顶点是原点．当a ＞0时，抛物线y ＝ax 2的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a ＜0时，抛物线y ＝ax 2的开口向下，顶点是抛物线的最高点．对于抛物线y ＝ax 2，|a |越大，抛物线的开口越小．二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象与性质【设计意图】通过对a 的取值分类讨论，总结出二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象和性质，在由具体的二次函数图象归纳总结出二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象和性质的过程中，让学生进一步体会由特殊到一般和数形结合的思想．课堂小结板书设计一、二次函数y＝ax2(a＞0)的图象与性质二、二次函数y＝ax2(a＜0)的图象与性质三、二次函数y＝ax2(a≠0)的图象与性质课后任务完成教材第32页练习．。
2二次函数的图像及其性质(二)教案
B、②
C、③
D、④
3.在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD的小屋，AB+BC=10m.拴住小狗的10m长的绳子一端固定在B点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为S（m2）.
①如图1，若BC＝4m，则S＝________m.
②如图2，现考虑在(1)中的矩形ABCD小屋的右侧以CD为边拓展一正△CDE区域，使之变成落地为五边形ABCED的小屋，其它条件不变.则在BC的变化过程中，当S取得最小值时，边BC的长为________m.
教学重点
1.函数形如y=a(x－h)2＋k图象的性质。
2.用描点法画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标。
3.会通过配方求出二次函数 的最大或最小值
教学难点
1.识图能力的培养
2.学生能通过图象的观察，对比分析发现规律，从而归纳性质
理解二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x＝－ 、(－ ， )
当k＜0时，函数y=kx2开口向下，而y=kx﹣2的图象过二、三、四象限，
分析选项可得，只有B符合，
故选B．
5.【答案】﹣3
【解析】已知了抛物线的顶点横坐标为2，即抛物线的对称轴方程为x=﹣ =2，可据此求出m的值．
解：∵抛物线y=x2+（m﹣1）x﹣ 的顶点的横坐标是2，
∴ =2；
解得m=﹣3，
故答案为：﹣3．
答案与解析
1.【答案】A
【解析】∵抛物线的解析式为：y=x2+5x+6，
设原抛物线上有点(x,y),绕原点旋转180∘后,变为(−x,−y),点(−x,−y)在抛物线y=x2+5x+6上，
浙教版数学九年级上册2.2《二次函数的图象》教学设计
浙教版数学九年级上册2.2《二次函数的图象》教学设计一. 教材分析浙教版数学九年级上册2.2《二次函数的图象》是学生在学习了二次函数的解析式的基础上，进一步探究二次函数图象性质的一节内容。
教材通过丰富的探究活动，让学生感受二次函数图象的顶点、开口、对称轴等特点，从而提高学生分析问题、解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了二次函数的解析式，对函数的概念有一定的理解。
但学生在学习过程中，可能对函数图象的直观理解不够深入，对一些性质的推导仍需借助于几何直观。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生通过观察、操作、思考、交流等方式，感悟二次函数图象的性质。
三. 教学目标1.理解二次函数图象的顶点、开口、对称轴等性质。
2.能运用二次函数图象解决实际问题。
3.培养学生的观察能力、操作能力、推理能力。
四. 教学重难点1.二次函数图象的顶点、开口、对称轴等性质的理解和应用。
2.引导学生通过观察、操作、思考、交流等方式，感悟二次函数图象的性质。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实际问题，引发学生对二次函数图象的兴趣。
2.启发式教学法：引导学生观察、操作、思考，发现二次函数图象的性质。
3.小组合作学习：让学生在小组内讨论、交流，提高学生的合作能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示二次函数图象的性质。
2.教学素材：准备一些实际问题，供学生练习。
3.几何画板：用于演示二次函数图象的变化。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实际问题，引入二次函数图象的学习。
例如：抛物线投篮问题，让学生观察抛物线的形状，引出二次函数图象的顶点、开口等性质。
2.呈现（10分钟）利用课件展示二次函数图象的性质，包括顶点、开口、对称轴等。
同时，结合几何画板，动态演示二次函数图象的变化，让学生直观感受。
3.操练（10分钟）让学生运用已学的二次函数图象性质，解决一些实际问题。
例如：给定二次函数的解析式，判断其图象的形状；给定二次函数图象，写出其解析式等。
初中数学_二次函数的图象与性质(第2课时)教学设计学情分析教材分析课后反思
鼓励学生在小组内展开讨论，交流各自的想法和解题思路，共同探究问题的解决方法。
教师在巡视过程中，给予学生必要的指导和帮助，引导他们深入思考。
每个小组选派一名代表，向全班展示他们的探究成果和解题思路。
教师对学生的展示进行点评和总结，肯定他们的探究成果和表现。
其他同学认真倾听，对展示的内容进行评价和提问，形成积极的互动氛围。
教材通过实例引入二次函数的概念，进而详细阐述了二次函数的图象特征和性质，最后通过练习题加以巩固。
结构安排
内容概述
特点突出
教材注重从实际问题出发，引导学生理解二次函数的概念和性质，同时强调数形结合的思想方法。
亮点鲜明
教材通过丰富的图形和实例，帮助学生直观地理解二次函数的图象和性质，提高了学生的学习兴趣和效果。
二次函数图象是一个抛物线，开口方向由二次项系数决定，向上或向下。
抛物线形状
二次函数图象关于对称轴对称，对称轴方程为 $x = -frac{b}{2a}$。
对称性
抛物线的顶点坐标为 $(-frac{b}{2a}, c - frac{b^2}{4a})$，是函数的最值点。
顶点
平移变换
二次函数图象沿 $x$ 轴或 $y$ 轴平移，不改变抛物线的形状和开口方向。
过程与方法
通过探究、观察、归纳、总结等方法，培养学生的数学思维能力、创新能力和实践能力。
情感态度与价值观
激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数学素养和审美情趣，使学生认识到数学在解决实际问题中的重要作用。
03
二次函数与一元二次方程的关系
理解二次函数与一元二次方程的联系，掌握通过二次函数的图象求一元二次方程的近似解的方法。
知识与技能目标
通过本节课的探究和实践活动，学生已经学会了观察、分析、归纳和总结数学规律的方法，提高了数学思维和解决问题的能力。
二次函数图象与性质(第2课时) 教学设计
第二章 二次函数《二次函数的图象与性质（第2课时）》教学设计说明一、学生知识状况分析学生在前面已经学习过一次函数、反比例函数，经历过探索、分析和建立两个变量之间的一次函数、反比例函数关系的过程，并学会了用描点法作出函数图象的方法.在本章第一节课中学习了二次函数的概念，经历了探索和表示二次函数关系的过程，获得了用二次函数表示变量之间关系的体验.第二节课又学习过并能够独立作出一个二次函数的图像，掌握了二次函数y =x 2和y=-x 2的一般性质.二、教学任务分析本节将讨论形如)0(2≠=a ax y 和)0(2≠+=a c ax y 的二次函数图象和性质.它和学生前一节课学习的2x y =、2x y -=的图象之间有什么区别和联系？如何在已经学习过的类型上通过变化学习新的类型？具体的，本节课的教学目标是：知识与技能1．能够利用描点法作出函数)0(2≠=a ax y 的图象，能根据图象认识和理解二次函数)0(2≠=a ax y 的性质．能正确说出)0(2≠=a ax y 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.2．能够作出函数)0(2≠+=a c ax y 的图象，能根据图象认识和理解二次函数)0(2≠+=a c ax y 的性质．能正确说出)0(2≠+=a c ax y 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.过程与方法1．经历探索二次函数)0(2≠=a ax y 的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．2．经历探索二次函数)0(2≠+=a c ax y 的图象的作法和性质的过程.情感与态度1．通过学生自己的探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解．2．在利用图象讨论二次函数的性质时，让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的性质．教学重点：作出函数)0(2≠=a ax y 和)0(2≠+=a c ax y 的图象，并根据图象认识和理解二次函数)0(2≠=a ax y 和)0(2≠+=a c ax y 的性质.教学难点：)0(2≠=a ax y 和)0(2≠+=a c ax y 的图象的关系，)0(2≠+=a c ax y 的图象性质.三、教学过程分析(一) 复习引入提出问题，让学生讨论交流：二次函数2x y =图象的形状、开口方向、对称轴、顶点坐标、y 随x 的变化情况分别是什么？二次函数22x y =的图象是什么形状？它与我们已经作过的二次函数2x y =的图象有什么关系？（二） 合作探究（1）先作二次函数22x y =的图象，再回答问题.1. 在同一坐标系下用描点法画二次函数2x y =、22x y =与221x y =的图象 函数2x y =、22x y =与221x y =的图象有什么关系?与同桌交流 2. 他们的对称轴、开口方向、顶点坐标相同吗？3. 当x<0时,随着x 的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？4. 当x 取什么值时,y 的值最小?最小值是什么？你是如何知道的？总结二次函数)0(2≠=a ax y 的性质：（三）课堂练习（1）1.函数图象开口方向______,对称轴________，顶点坐标_____;函数图象开口方向______,对__________，顶点坐标_______.2.二次函数y=ax 2 (a≠0)的图象经过点A （1，2），则函数y=ax 2的表达式为________；若点C(-2,m), D （n ,4）也在函数的图象上，则点C 的坐标为______,点D 的坐标为_________.3. 已知点（1，y 1），（2，y 2），（3，y 3）在抛物线y=4x 的 图像上，则y 1, y 2, y 3的大小关系___________;已知点（-1,y 1），（-2，y 2），（-3，y 3）在抛物线y=-3x 2 的 图像上，则 y 1, y 2, y 3 的大小关系__________.（四）合作探究（2）1.在同一坐标系中作出二次函数2x y =与12+=x y 的图象.2.二次函数2x y =,12+=x y 的图象的形状相同吗？3. 函数12+=x y 的图象与2x y =的图象的位置有什么关系?4. 在同一坐标系中作出二次函数2x y =与22-=x y 的图象.5. 2x y =图像经过怎样的平移得到22-=x y 的图像？ 总结出二次函数)0(2≠+=a c ax y 与)0(2≠=a ax y 的关系232x y =273x y -=一般地,由)0(2≠=a ax y 的图象便可得到二次函数)0(2≠+=a c ax y 的图象: )0(2≠+=a c ax y 的图象可以看成)0(2≠=a ax y 的图象先沿y 轴整体上(下)平移|c |个单位(当从c >0时,向上平移;当c <0时,向下平移c)得到的.因此,二次函数)0(2≠+=a c ax y 的图象是一条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a 、c 的值有关.总结二次函数)0(2≠+=a c ax y k 的性质(五) 课堂练习1. 函数y=4x 2+5的图象可由y=4x 2的图象向 平移 个单位得到；y=4x 2-11的图象 可由 y=4x 2的图象向 平移 个单位得到.2. 将函数y=-3x 2+4的图象向 平移 个单位可得y=-3x 2的图象；将y=2x 2-7的图象向 平移 个单位得到可由 y=2x 2的图象.将y=x 2-7的图象向 平移 个单位可得到 y=x 2+2的图象.3. 将抛物线y=4x 2向上平移3个单位，所得的抛物线的函数式是 .将抛物线y=-5x 2+1向下平移5个单位,所得的抛物线的函数式是 .4. 抛物线y=-3x 2+5的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 ，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而 ，当x= 时，取得最 值，这个值等于 .5. 抛物线y=7x 2-3的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 ，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而 ，当x= 时，取得最 值，这个值等于 .6. 二次函数y=ax 2+c (a≠0)的图象经过点A （1，-1），B （2，5），则函数y=ax 2+c 的表达式为 ；若点C(-2,m),D （n ,15）也在函数的图象上，则点C 的坐标为 点D 的坐标为______________.（六）课堂小结填表：二次函数)0(2≠=a ax y 和)0(2≠+=a c ax y 的性质（七）布置作业习题2.3 3题、 4题四、教学反思1．要发掘教材，参照课本内容选择适合自己所教学生使用的材料；2．加强教学的计划性,保证每堂课的教学效果,提高教学质量；3，在函数教学中采用计算机辅助教学，教学效果更好.。
浙教版数学九年级上册2.2《二次函数的图象》教案5
浙教版数学九年级上册2.2《二次函数的图象》教案5一. 教材分析《二次函数的图象》是浙教版数学九年级上册第二章第二节的内容，本节课主要让学生掌握二次函数的图象特点及变化规律，能够通过图象判断二次函数的性质。
教材通过实例引入二次函数的图象，让学生观察、分析、总结二次函数的图象特征，从而提高学生的数学素养和解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了函数的概念、一次函数的图象和性质，对函数有一定的认识。
但二次函数图象的理解和掌握对大部分学生来说还是有一定难度的。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对学生的薄弱环节进行有针对性的辅导，帮助学生更好地理解和掌握二次函数的图象。
三. 教学目标1.理解二次函数的图象特点及变化规律。
2.能够通过图象判断二次函数的性质。
3.提高学生的数学素养和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次函数的图象特点及变化规律。
2.如何通过图象判断二次函数的性质。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实例引入二次函数的图象，激发学生的学习兴趣。
2.观察分析法：让学生观察、分析二次函数图象，总结变化规律。
3.问题驱动法：引导学生提出问题，讨论解决问题，培养学生的思维能力。
4.实践操作法：让学生动手绘制二次函数图象，加深对知识的理解。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的课件，展示二次函数的图象及变化规律。
2.练习题：准备一些有关二次函数图象的练习题，巩固所学知识。
3.板书设计：合理安排板书内容，突出重点。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些实际问题，引导学生思考如何用数学知识解决这些问题。
通过分析问题，引入二次函数的图象。
2.呈现（10分钟）展示二次函数的图象，让学生观察并分析二次函数的图象特点及变化规律。
引导学生总结二次函数的性质。
3.操练（10分钟）让学生动手绘制一些二次函数的图象，观察其性质。
期间教师巡回指导，解答学生疑问。
4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生独立完成。
二次函数图象与性质(第2课时) 教学设计1
第二章 二次函数《二次函数的图象与性质（第2课时）》一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：在此之前，学生已掌握一次函数和反比例函数的图像和性质，并刚刚学习了二次函数的基本概念，能利用描点法画抛物线的图象；对于抛物线的图象形状、开口方向、对称轴、顶点坐标有所了解；能够根据图象认识和理解二次函数的性质.学生活动经验基础：学生在上节课经历利用描点法画抛物线的图象的活动过程，因此对于画二次函数2y ax =和2y ax c =+的图象不会存在太大问题；由于二次函数的图象比较直观，因此在分析两个或者多个二次函数的图象形状、开口方向、对称轴、顶点坐标时，也有了上一课时的活动基础.二、教学任务分析本课时要研究的问题是关于函数2y ax =和2y ax c =+的图象的作法和性质，逐步积累研究函数图象和性质的经验．为此，本节课的教学目标是：知识与技能1.能画二次函数2y ax =和2y ax c =+的图象，并能够比较它们与二次函数2y ax =的图象的异同，理解a 与c 对二次函数图象的影响.2.能说出二次函数2y ax =和2y ax c =+图象的开口方向、对称轴、顶点坐标.过程与方法经历探索二次函数2y ax =和2y ax c =+的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验，体会数形结合思想在数学中的应用.情感态度与价值观体会二次函数是某些实际问题的数学模型，由有趣的实际问题，使学生能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲.教学重点：2y ax =和2y ax c =+图象的作法和性质教学难点：能够比较2y ax =和2y ax c =+的图象的异同，理解a 与c 对二次函数图象的影响.三、教学过程分析运用类比的学习方法，通过与2y x =，y=2x 2的图象和性质的比较，总结出它们的异同，从而更进一步地掌握不同形式的二次函数的图象和性质．第一环节： 复习旧知，引入新知1、什么是二次函数？二次函数y ＝x 2与y=-x 2的图象一样吗？它们有什么相同点？不同点？2.二次函数是否只有y ＝x 2与y ＝-x 2这两种呢?有没有其他形式的二次函数？设计意图：首先用问题作为切入点，引出新知.学生会根据已有的知识储备轻松得出结果，这样问题就出来了，我们用列表，描点，连线的方法画出二次函数的图像，那么，是不是只有二次函y ＝x 2与y ＝-x 2两种呢？从而自然而然的引出数学活动第二环节： 新课讲解活动内容：在平面直角坐标系中作二次函数y=x 2和y=2x 2的图象． (1)完成下表：(2)分别画二次函数y=x 2和y=2x 2的图象．(3)二次函数y ＝2x 2的图象是什么形状?它与二次函数y=x 2的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?第三环节：想一想它与y=2x，y=2x2的图象有什么相同和不同？活动目的：让学生画完整的二次函数图象，然后用自己的语言进行描述图象的性质，初步体验二次函数2的系数a对图象的影响.y ax第四环节: 做一做活动内容：在同一直角坐标系内画函数y＝2x2+1的图象.1）同桌之间，一个列表，一个描点，然后用彩笔连线.2）教师巡视，指导画法.3）展示好的作品（以做探讨，研究性质之用）.活动目的：对二次函数性质的巩固与拓展，从图象直观理解函数之间（a相同）的平移关系，培养学生的动态思维.第五环节：议一议活动内容：二次函数y＝2x2+1的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？1.通过刚才画的函数y＝2x2+1的图象与函数y=2x2的图象，比较它们的图形特点．(从轴对称图形、开口方向、对称轴和顶点坐标方面比较)2.在同一直角坐标系内画函数y＝2x2-1的图象，也比较它们的图形特点．(从轴对称图形、开口方向、对称轴和顶点坐标方面比较)活动目的：引导学生通过表格上函数值的变化让学生猜想函数图象的位置变化，再结合图象，从图象直观理解函数之间（a相同）的平移关系，掌握图象的平移规律，培养学生的动态思维.第六环节：课堂小结活动内容：师生互相交流总结：y=ax2+c.第七环节：布置作业完成习题2.3知识技能1、2题.四、教学反思函数的教学，尤其是二次函数是学生普遍感觉较为抽象难懂的知识.在教学过程中，先通过表格中数据的变化规律去理解函数的变化趋势，再让学生动手画图象，通过学生自己画的图象去印证发现的变化趋势，加深他们对函数图象的了解，也加深他们对函数性质的了解，更重要的是让学生参与到函数图象和性质的探索中去，这样学生才能真正理解并掌握它.其次合理、充分利用了多媒体教学的手段，利用powerpoint，几何画板等软件画出的二次函数的图像，让抽象思维不强的学生，更加形象的结合图形，分析说出二次函数y=ax²及y=ax2+c的有关性质，充分体现了“数形结合”的数学思想.整节课是一个动手作图、动眼观察、动脑猜想、实践验证、巩固应用的动态生成过程，学生能力得到培养.。
《二次函数的图象》教案-02
《二次函数c bx ax y ++=2的图象》教案教学目标1、 经历探索二次函数c bx ax y ++=2的图象的作法和性质的过程2、 能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决问题教学重点和难点重点：二次函数c bx ax y ++=2的图象的作法和性质难点：理解二次函数c bx ax y ++=2的图象的性质教学过程设计从学生原有的认知结构提出问题上一节课，我们把一个二次函数通过配方化成顶点式k h x a y +-=2)(来研究了二次函数中的a 、h 、k 对二次函数图象的影响。
但我科觉得，这样的恒等变形运算量较大，而且容易出错。
这节课，我们研究一般形式的二次函数图象的作法和性质。
师生共同研究形成概念1、 复习旧知识||a 越大，开口越小；||a 越小，开口越大当0>a 时，抛物线的开口向上；当0<a 时，抛物线的开口向下；当0>c 时，抛物线与y 轴的交点在原点的上方；当0<c 时，抛物线与y 轴的交点在原点的下方。
平移：左加右减 对称轴、顶点坐标：前相反，后相同2、 桥梁钢缆此时提供了一个桥梁钢缆的情境，通过解决相关问题，使学生体会建立二次函数对称轴和顶点坐标公式的必要性。
此例可先由学生自己尝试运用配方的方法求解，让他们感受到运算的繁琐，再引入运算公式的方法求解。
3、 推导二次函数c bx ax y ++=2图象的对称轴和顶点坐标公式对称轴：直线a b x 2-= 顶点坐标：（ab 2- ，a b ac 442-）4、 讲解例题例1 运用公式求二次函数图象的对称轴和顶点坐标。
（1）232++-=x x y ； （2）12212-+=x x y ； （3）)1)(2(+-=x x y ； （4）422-+-=x x y 分析：此例是《练习册》P26第3题的四个题目，通过运用公式的方法求对称轴和顶点坐标，再对照《练习册》的配方法所求的值，让学生体会两种方法所求得的解都是一样的。
《二次函数的图象(第二课时)》参考教案
26.1.3 二次函数2()y a x h k=-+的图象第一课时教学目标1．知识与技能会作函数y=ax2和y=ax2＋c的图象，并能比较它们的异同；理解a，c对二次函数图象的影响．能正确说出两函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．了解抛物线y=ax2上下平移规律．2．过程与方法经历探索二次函数y=ax2＋c的图象的画法和性质的过程，增强对二次函数图象的理解，体会数形结合的思想与方法．.3．情感、态度与价值观进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验，体会知识的转化、图象移动的理会，感受到数学数形之间转换的魅力．教学重点难点1．重点作出函数y=ax2和y=ax2＋c的图象，比较它们的异同，了解它们的性质．2．难点函数y=ax2＋c的图象与性质的理解，掌握抛物线的上下平移规律．教与学互动设计（一）创设情境导入新课导语一回忆二次函数y=ax2的图象与性质．从而导人探求函数y=ax2＋c的图象导语二一个长方形的长为x（cm)，宽为12x（cm)，则这个长方形的面积s(cm2）与它的长x (cm）的关系如何？你能作出它的函数图象吗？这个图象与y=ax2的图象有哪些区别？【答案】y=12x2（x>0）它的图象只是抛物线的一部分，而y=x2的图象是一条抛物线.导语三比较函数y=x2与y=x2＋l中的系数有什么异同？猜想它们的图象有何关系？从而引人新课.（二）合作交流解读探究1．二次函数y=ax2+c的图象与性质【做一做】，在同一坐标系中，画出函数y=x2-1和函数y=x2+1的图象．教师在学生做完以后，可提供如下解答过程． 解：先列表x…-3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x 2+1 … 10 5 2 1 2 5 10 … y=x 2+1 …83-138…然后描点画图，如图26-1-5【想一想】抛物线y=x 2+1，y=x 2， y=x 2-1有哪些相同点和不同点 相同点：①开口方向相同，它们的开口都向上 ②对称轴相同，它们都关于y 轴对称 ③形状大小相同.不同点：顶点的位置不同，抛物线的位置也不同结合【议一议】三个函数的形状相同，从哪些方向可以看出？①用幻灯片展示，将抛物线y=x 2向上平移1个单位后抛物线y=x 2+1完全重合. ②观察两个图象中各5个点的特殊位置，在①的展示上可以看出这5个点可以通过平移重合情况，从而可推断出抛物线y=x 2与y=x 2+1完全重合③从解析式和表格中数据也可以看出以上平移情况，从而可以肯定抛物线y=x 2，y=x 2+1的形状、大小完全相同.【议一议】抛物线y=ax 2与y=ax 2±c 有何联系？【答案】①抛物线y=ax 2±c 的形状与y=ax 2的形状完全相同，只是位置不同.②抛物线y=ax 2c −−−−→向上平移个单位y=ax 2+c. y=ax 2c −−−−→向下平移个单位y=ax 2-c 【练一练】教科书P7练习 【答案】①它们的图象略 ②见下表③抛物线2y=x 2向上平移k(k>0)个单位后抛物线2y=x 2+k 完全重合.（三）应用迁移巩固提高类型之一函数y=ax 2+c 的图象特征与性质的运用例1 抛物线y=ax 2+c 与y=-5x 2的形状大小，开口方向都相同，且顶点坐标是(0,3),则其表达式为 y=-5x 2+3 ，它是由抛物线y=-5x 2向上平移 3 个单位得到的.【分析】根据两抛物线的形状大小相同，开口方向相同，可确定a 的值，再根据顶点坐标（0，3），可确定c 的值，从而可判断平移方向.解：抛物线y=ax 2+c 与y=-5x 2的形状、大小相同，开口方向也相同，∴a=-5. 又∵其顶点坐标为（0，3）. ∴c=3.∴y=-5x 2+3.它是由抛物线y=5x 2向上平移3个单位得到的.【点评】①解这类题，必须根据二次函数y=ax 2+c 的图象与性质来解.a 确定抛物线的形式及开口方向，c 确定顶点的位置.②抛物线平移多少个单位，主要看两顶点相隔的距离，从而确定平移的方向与单位.（有时也可以比较两抛物线上横坐标相同的两点相隔的距离，从而确定平移的方向与单位长）类型之二求二次函数的解析式例2若抛物线y=ax 2+c 经过点（-1，2），（0，4），求该抛物线的解析式【分析】抛物线经过点（-1，2），（0，4），那么这两点坐标满足函数关系式，故列方程组可求.解：由已知条件得22a (1)c 2a 0c 4⎧-+=⎪⎨+=-⎪⎩，解得a 6c 4=⎧⎨=-⎩∴所求解析式为y=6x 2-4.【点评】二次函数y=ax 2+c 中有两个待定系数a 、c ，故通常需至两足对应值或图象上的两个点的坐标，列方程组可求出a 、c 的值例3 已知抛物线y=ax 2+c 向下平移2个单位后，所得抛物线为y=-3x 2+2.试求a 、c 的值【分析】这里a 、c 值可利用抛物线的特征和平移规律来求出.解：根据题意知，a 3c 22=-⎧⎨-=⎩，解得a 3c 4=-⎧⎨=⎩，【点评】可根据规律直接求出a 、c. （四）总结反思拓展升华【总结】本节所学知识是函数y=ax 2+c 的图象与性质以及抛物线y=ax 2上下平移规律. 所学的思想方法图象法、数形结合的思想.【反思】若将抛物线y=2x 2+3绕其顶点旋转1800，所得抛物线的解析式为y=-2x 2+3 【拓展】若抛物线y=ax 2+c 与y=-2x 2+5关于x 轴对称.求a 、c 的值. 【答案】a=2,c= -5.草图如26-1-6【点评】此类题通常画出草图，利用对称关系求出顶点坐标.进而求出a 、c 的值 （五）当堂检测反馈1.抛物线y=-2x 2-5的开口方向向下，对称轴是 y 轴，顶点坐标（0，-5）. 【分析】根据抛物线y=ax 2+c 的特征解答即可.2. 抛物线y=ax 2+c 与y=3x 2的形状相同，且其顶点坐标为（0，1），则其表达式 为 y=3x 2+1或y=-3x 2+1.解：∵抛物线y=ax 2+c 与y=3x 2的形状相同，故a=±3, 又∵其顶点坐标为（0，1），∴c=1. ∴所求抛物线y=3x 2+1或y=-3x 2+1【注意】两抛物线的形状相同时，它们的二次项系数的绝对值相等，故有两种情况3. 抛物线y=-212x +7向下平移 10 个单位后得到抛物线y=-212x -34. 下列各组抛物线中能够互相平移而彼此得到对方的是（ D ）A.y=2x 2与y=3x 2B. y=212x +2与y=2x 2+12C.y=2x 2与y=x 2+2D.y=x 2+2与y=-x 2-2， 【分析】根据a 的值相同判断即可5．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c 与二次函数y=ax 2+c 的图象大致为（B ）解：根据图象知，只有B中两个函数解析式中系数a 和c 的正、负情况保持一致.故选择B6．若抛物线y=ax 2+c 经过点A(-3,2),B(0,1).求该抛物线的解析式解：由已知得222(3)10a c a c ⎧=-+⎪⎨-=+⎪⎩，解得131a c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩. ∴所求抛物线的解析式为y=13x 2-1ABD。
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26.1.3 二次函数2
()
y a x h k
=-+的图象
第一课时
教学目标
1．知识与技能
会作函数y=ax2和y=ax2＋c的图象，并能比较它们的异同；理解a，c对二次函数图象的影响．能正确说出两函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．了解抛物线y=ax2上下平移规律．
2．过程与方法
经历探索二次函数y=ax2＋c的图象的画法和性质的过程，增强对二次函数图象的理解，体会数形结合的思想与方法．.
3．情感、态度与价值观
进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验，体会知识的转化、图象移动的理会，感受到数学数形之间转换的魅力．
教学重点难点
1．重点
作出函数y=ax2和y=ax2＋c的图象，比较它们的异同，了解它们的性质．
2．难点
函数y=ax2＋c的图象与性质的理解，掌握抛物线的上下平移规律．
教与学互动设计
（一）创设情境导入新课
导语一回忆二次函数y=ax2的图象与性质．从而导人探求函数y=ax2＋c的图象
导语二一个长方形的长为x（cm)，宽为1
2
x（cm)，则这个长方形的面积s(cm2）与它
的长x (cm）的关系如何？你能作出它的函数图象吗？这个图象与y=ax2的图象有哪些区别？
【答案】y=1
2
x2（x>0）它的图象只是抛物线的一部分，而y=x2的图象是一条抛物线.
导语三比较函数y=x2与y=x2＋l中的系数有什么异同？猜想它们的图象有何关系？从而引人新课.
（二）合作交流解读探究
1．二次函数y=ax2+c的图象与性质
【做一做】，在同一坐标系中，画出函数y=x2-1和函数y=x2+1的图象．
教师在学生做完以后，可提供如下解答过程． 解：先列表
然后描点画图，如图26-1-5
【想一想】抛物线y=x 2+1，y=x 2， y=x 2-1有哪些相同点和不同点 相同点：①开口方向相同，它们的开口都向上 ②对称轴相同，它们都关于y 轴对称 ③形状大小相同.
不同点：顶点的位置不同，抛物线的位置也不同结合
【议一议】三个函数的形状相同，从哪些方向可以看出？
①用幻灯片展示，将抛物线y=x 2向上平移1个单位后抛物线y=x 2+1完全重合. ②观察两个图象中各5个点的特殊位置，在①的展示上可以看出这5个点可以通过平移重合情况，从而可推断出抛物线y=x 2与y=x 2+1完全重合
③从解析式和表格中数据也可以看出以上平移情况，从而可以肯定抛物线y=x 2，y=x 2+1的形状、大小完全相同.
【议一议】抛物线y=ax 2与y=ax 2±c 有何联系？
【答案】①抛物线y=ax 2±c 的形状与y=ax 2的形状完全相同，只是位置不同.
②抛物线y=ax 2c −−−−→向上平移个单位y=ax 2+c. y=ax 2c −−−−→向下平移个单位
y=ax 2-c 【练一练】教科书P7练习 【答案】①它们的图象略 ②见下表
③抛物线2
y=x
2向上平移k(k>0)个单位后抛物线2
y=x
2
+k完全重合.
（三）应用迁移巩固提高
类型之一函数y=ax2+c的图象特征与性质的运用
例1 抛物线y=ax2+c与y=-5x2的形状大小，开口方向都相同，且顶点坐标是(0,3),则其表达式为y=-5x2+3 ，它是由抛物线y=-5x2向上平移 3 个单位得到的.
【分析】根据两抛物线的形状大小相同，开口方向相同，可确定a的值，再根据顶点坐标（0，3），可确定c的值，从而可判断平移方向.
解：抛物线y=ax2+c与y=-5x2的形状、大小相同，开口方向也相同，∴a=-5.
又∵其顶点坐标为（0，3）. ∴c=3.
∴y=-5x2+3.它是由抛物线y=5x2向上平移3个单位得到的.
【点评】①解这类题，必须根据二次函数y=ax2+c的图象与性质来解.a确定抛物线的形式及开口方向，c确定顶点的位置.
②抛物线平移多少个单位，主要看两顶点相隔的距离，从而确定平移的方向与单位.（有时也可以比较两抛物线上横坐标相同的两点相隔的距离，从而确定平移的方向与单位长）类型之二求二次函数的解析式
例2若抛物线y=ax2+c经过点（-1，2），（0，4），求该抛物线的解析式
【分析】抛物线经过点（-1，2），（0，4），那么这两点坐标满足函数关系式，故列方程组可求.
解：由已知条件得
2
2
a(1)c2
a0c4
⎧-+=
⎪
⎨
+=-
⎪⎩
，解得
a6
c4
=
⎧
⎨
=-
⎩
∴所求解析式为y=6x2-4.
【点评】二次函数y=ax2+c中有两个待定系数a、c，故通常需至两足对应值或图象上的两个点的坐标，列方程组可求出a、c的值
例3 已知抛物线y=ax2+c向下平移2个单位后，所得抛物线为y=-3x2+2.试求a、c的值
【分析】这里a 、c 值可利用抛物线的特征和平移规律来求出.
解：根据题意知，a 3c 22=-⎧⎨-=⎩，解得a 3
c 4=-⎧⎨=⎩，
【点评】可根据规律直接求出a 、c. （四）总结反思 拓展升华
【总结】本节所学知识是函数y=ax 2+c 的图象与性质以及抛物线y=ax 2上下平移规律. 所学的思想方法图象法、数形结合的思想.
【反思】若将抛物线y=2x 2+3绕其顶点旋转1800，所得抛物线的解析式为y=-2x 2+3 【拓展】若抛物线y=ax 2+c 与y=-2x 2+5关于x 轴对称.求a 、c 的值. 【答案】a=2,c= -5.草图如26-1-6
【点评】此类题通常画出草图，利用对称关系求出顶点坐标.进而求出a 、c 的值 （五）当堂检测反馈
1.抛物线y=-2x 2-5的开口方向 向下 ，对称轴是 y 轴 ，顶点坐标 （0，-5）. 【分析】根据抛物线y=ax 2+c 的特征解答即可.
2. 抛物线y=ax 2+c 与y=3x 2的形状相同，且其顶点坐标为（0，1），则其表达式 为 y=3x 2+1或y=-3x 2+1.
解：∵抛物线y=ax 2+c 与y=3x 2的形状相同，故a=±3, 又∵其顶点坐标为（0，1），∴c=1. ∴所求抛物线y=3x 2+1或y=-3x 2+1
【注意】两抛物线的形状相同时，它们的二次项系数的绝对值相等，故有两种情况
3. 抛物线y=-212x +7向 下 平移 10 个单位后得到抛物线y=-21
2
x -3
4. 下列各组抛物线中能够互相平移而彼此得到对方的是（ D ）
A.y=2x 2与y=3x 2
B. y=212x +2与y=2x 2+1
2
C.y=2x 2与y=x 2+2
D.y=x 2+2与y=-x 2-2， 【分析】根据a 的值相同判断即可
5．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c 与二次函数y=ax 2+c 的图象大致为（ B ）
解：根据图象知，只有B 中两个函数解析式中系数
a 和c 的正、负情况保持一致.故选择B
6．若抛物线y=ax 2+c 经过点A(-3,2),B(0,1).求该抛物线的解析式
解：由已知得22
2(3)10a c a c ⎧=-+⎪⎨-=+⎪⎩，解得131
a c ⎧=⎪
⎨⎪=-⎩. ∴所求抛物线的解析式为y=1
3
x 2-1
A
B
D。