九年级数学下册26_1二次函数教案新版华东师大版

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华东师大版九年级数学下册最新全册教案

第26章二次函数26．1 二次函数教学目标：1．探索具体问题中的数量关系和变化规律．2．结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义，并了解二次函数的有关概念． 3．会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质． 4．会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴． 5．会利用二次函数的图象求一元二次方程（组）的近似解．6．会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题．教学重点：解二次函数的有关概念教学难点：解二次函数的有关概念的应用本节知识点通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义．教学过程（1）正方形边长为a （cm ），它的面积s （cm 2）是多少？（2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x 厘米，则面积增加y 平方厘米，试写出y 与x 的关系式．请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义．实践与探索例1． m 取哪些值时，函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的二次函数？分析若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数，须满足的条件是：02≠-m m ．解：若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数，则 02≠-m m ．解得0≠m ，且1≠m ．因此，当0≠m ，且1≠m 时，函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数．回顾与反思形如c bx ax y ++=2的函数只有在0≠a的条件下才是二次函数．探索若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的一次函数，则m 取哪些值？例2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．（1）写出正方体的表面积S （cm 2）与正方体棱长a （cm ）之间的函数关系；（2）写出圆的面积y （cm 2）与它的周长x （cm ）之间的函数关系；（3）某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y （元）与所存年数x 之间的函数关系；（4）菱形的两条对角线的和为26cm ，求菱形的面积S （cm 2）与一对角线长x （cm ）之间的函数关系．解（1）由题意，得 )0(62>=a a S ，其中S 是a 的二次函数；（2）由题意，得 )0(42>=x x y π，其中y 是x 的二次函数；（3）由题意，得10000%98.110000⋅+=x y （x ≥0且是正整数），其中y 是x 的一次函数；（4）由题意，得)260(1321)26(212<<+-=-=x x x x x S ，其中S 是x 的二次函数．例3．正方形铁片边长为15cm ，在四个角上各剪去一个边长为x （cm ）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子．(1)求盒子的表面积S （cm 2）与小正方形边长x （cm ）之间的函数关系式； (2)当小正方形边长为3cm 时，求盒子的表面积．解（1）)2150(4225415222<<-=-=x x x S；（2）当x=3cm 时，189342252=⨯-=S （cm 2）．课堂练习1．下列函数中，哪些是二次函数？（1）02=-x y（2）2)1()2)(2(---+=x x x y（3）xx y12+= （4）322-+=x x y 2．当k 为何值时，函数1)1(2+-=+kkx k y 为二次函数？3．已知正方形的面积为)(2cm y ，周长为x （cm ）． (1)请写出y 与x 的函数关系式； (2)判断y 是否为x 的二次函数．课外作业A 组1．已知函数72)3(--=m x m y 是二次函数，求m 的值．2．已知二次函数2ax y =，当x=3时，y= -5，当x= -5时，求y 的值．3．已知一个圆柱的高为27，底面半径为x ，求圆柱的体积y 与x 的函数关系式．若圆柱的底面半径x为3，求此时的y ．4．用一根长为40 cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形，求扇形的面积y 与它的半径x 之间的函数关系式．这个函数是二次函数吗？请写出半径r 的取值范围．B 组5．对于任意实数m ，下列函数一定是二次函数的是（） A ．22)1(x m y -= B ．22)1(x m y += C ．22)1(x m y += D ．22)1(x m y -= 6．下列函数关系中，可以看作二次函数c bx ax y ++=2（0≠a）模型的是（）A ．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系B ．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系C ．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）D ．圆的周长与圆的半径之间的关系课堂小结：教学反思：26.2 二次函数的图象与性质（1）教学目标：1、会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质．2、会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴．重点：二次函数的图象与性质难点：二次函数的图象与性质本节要点会用描点法画出二次函数2ax y =的图象，概括出图象的特点及函数的性质．教学过程：我们已经知道，一次函数12+=x y ，反比例函数xy 3=的图象分别是、，那么二次函数2x y =的图象是什么呢？（1）描点法画函数2x y =的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x 取互为相反数的值时，y 的值如何？（2）观察函数2x y =的图象，你能得出什么结论？实践与探索例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？（1）22x y = （2）22x y -=解列表x…-3-2-1123…… 18 8 2 0 2 8 18 ……-18-8-2-2-8-18…分别描点、连线，画出这两个函数的图象，这两个函数的图象都是抛物线，如图26．2．1．共同点：都以y 轴为对称轴，顶点都在坐标原点．不同点：22x y =的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升．22x y -=的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降．回顾与反思在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接．例2．已知42)2(-++=k kx k y是二次函数，且当0>x 时，y 随x 的增大而增大．（1）求k 的值；（2）求顶点坐标和对称轴．解（1）由题意，得⎩⎨⎧>+=-+02242k k k ，解得k=2．（2）二次函数为24x y =，则顶点坐标为（0，0），对称轴为y 轴．例3．已知正方形周长为Ccm ，面积为S cm 2．（1）求S 和C 之间的函数关系式，并画出图象；（2）根据图象，求出S=1 cm 2时，正方形的周长；（3）根据图象，求出C 取何值时，S ≥4 cm 2．分析此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C 的取值应在取值范围内．解（1）由题意，得)0(1612>=C C S ．列表：C 24 68 …14…描点、连线，图象如图26．2．2．（2）根据图象得S=1 cm 2时，正方形的周长是4cm ．（3）根据图象得，当C ≥8cm 时，S ≥4 cm 2．回顾与反思（1）此图象原点处为空心点．（2）横轴、纵轴字母应为题中的字母C 、S ，不要习惯地写成x 、y ．（3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分．课堂练习1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并分别写出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．（1）23x y = （2）23x y -= （3）231x y=2．（1）函数232x y =的开口，对称轴是，顶点坐标是；（2）函数241x y -=的开口，对称轴是，顶点坐标是．3．已知等边三角形的边长为2x ，请将此三角形的面积S 表示成x 的函数，并画出图象的草图．课外作业A 组1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．（1）24x y -= （2）241x y =2．填空：（1）抛物线25x y -=，当x= 时，y 有最值，是．（2）当m= 时，抛物线mm xm y --=2)1(开口向下．（3）已知函数1222)(--+=k kx k k y 是二次函数，它的图象开口，当x 时，y 随x 的增大而增大． 3．已知抛物线102-+=k kkx y 中，当0>x 时，y 随x 的增大而增大．（1）求k 的值；（2）作出函数的图象（草图）．4．已知抛物线2ax y =经过点（1，3），求当y=9时，x 的值．B 组5．底面是边长为x 的正方形，高为0．5cm 的长方体的体积为ycm 3．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）根据图象，求出y=8 cm 3时底面边长x 的值；（4）根据图象，求出x 取何值时，y ≥4．5 cm 3． 6．二次函数2ax y =与直线32-=x y 交于点P （1，b ）．（1）求a 、b 的值；（2）写出二次函数的关系式，并指出x 取何值时，该函数的y 随x 的增大而减小． 27．一个函数的图象是以原点为顶点，y 轴为对称轴的抛物线，且过M （-2，2）．（1）求出这个函数的关系式并画出函数图象；（2）写出抛物线上与点M 关于y 轴对称的点N 的坐标，并求出⊿MON 的面积．课堂小结：教学反思：26．2 二次函数的图象与性质（2）教学目标：1、会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质．2、会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴．教学重点：二次函数的图象与性质教学难点：二次函数的图象与性质本节知识点会画出k ax y +=2这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．教学过程同学们还记得一次函数x y 2=与12+=x y 的图象的关系吗？，你能由此推测二次函数2x y =与12+=x y 的图象之间的关系吗？，那么2x y =与22-=x y 的图象之间又有何关系？．实践与探索例1．在同一直角坐标系中，画出函数22x y =与222+=x y 的图象．解列表．描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26．2．3所示．回顾与反思当自变量x 取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？探索观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的？又有哪些不同？你能由此说出函数22x y =与222-=x y 的图象之间的关系吗？例2．在同一直角坐标系中，画出函数12+-=x y 与12--=x y 的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线12+-=x y 得到抛物线12--=x y ．解列表．x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … 18 8 2 0 2 8 18 ……20104241020…x…-3-2-1123…12--=x y 是由抛物线12+-=x y 向下平移两个单位得到的．回顾与反思抛物线12+-=x y 和抛物线12--=x y 分别是由抛物线2x y -=向上、向下平移一个单位得到的．探索如果要得到抛物线42+-=x y ，应将抛物线12--=x y 作怎样的平移？例3．一条抛物线的开口方向、对称轴与221x y =相同，顶点纵坐标是-2，且抛物线经过点（1，1），求这条抛物线的函数关系式．解由题意可得，所求函数开口向上，对称轴是y 轴，顶点坐标为（0，-2），因此所求函数关系式可看作)0(22>-=a ax y ，又抛物线经过点（1，1），所以，2112-⋅=a ，解得3=a ．故所求函数关系式为232-=x y ．回顾与反思 k ax y +=2（a 、k 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下：课堂练习1．在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：221x y =， 2212+=x y ， 2212-=x y ．观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置．你能说出抛物线k x y +=221的开口方向及对称轴、顶点的位置吗？ 2．抛物线9412-=x y 的开口，对称轴是，顶点坐标是，它可以看作是由抛物线241x y =向平移个单位得到的．3．函数332+-=x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小．当x 时，函数取得最值，最值y= ．课外作业A 组1．已知函数231x y =， 3312+=x y ， 2312-=x y ．（1）分别画出它们的图象；（2）说出各个图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；（3）试说出函数5312+=x y 的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标． 2．不画图象，说出函数3412+-=x y 的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明它是由函数241xy -=通过怎样的平移得到的．3．若二次函数22+=ax y 的图象经过点（-2，10），求a 的值．这个函数有最大还是最小值？是多少？B 组4．在同一直角坐标系中b ax y +=2与)0,0(≠≠+=b a b ax y的图象的大致位置是( )5．已知二次函数7)1(82-+--=k x k x y ，当k 为何值时，此二次函数以y 轴为对称轴？写出其函数关系式．课堂小结：教学反思：26．2 二次函数的图象与性质（3）教学目标：1、会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质．2、会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴．重点：二次函数的图象与性质难点：二次函数的图象与性质本节知识点会画出2)(h x a y -=这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．教学过程我们已经了解到，函数k ax y +=2的图象，可以由函数2ax y =的图象上下平移所得，那么函数2)2(21-=x y 的图象，是否也可以由函数221x y =平移而得呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？实践与探索例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．221x y =，2)2(21+=x y ，2)2(21-=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．解列表．描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．5所示．它们的开口方向都向上；对称轴分别是y 轴、直线x= -2和直线x=2；顶点坐标分别是（0，0），（-2，0），（2，0）．回顾与反思对于抛物线2)2(21+=x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小；当x 时，函数值y 随x 的增大而增大；当x 时，函数取得最值，最值y= ．探索抛物线2)2(21+=x y 和抛物线2)2(21-=x y 分别是由抛物线221x y =向左、向右平移两个单位得到的．如果要得到抛物线2)4(21-=x y ，应将抛物线221x y =作怎样的平移？例2．不画出图象，你能说明抛物线23x y -=与2)2(3+-=x y 之间的关系吗?解抛物线23x y -=的顶点坐标为（0，0）；抛物线2)2(3+-=x y 的顶点坐标为（-2，0）．因此，抛物线23x y -=与2)2(3+-=x y 形状相同，开口方向都向下，对称轴分别是y 轴和直线2-=x ．抛物线2)2(3+-=x y 是由23x y -=向左平移2个单位而得的．回顾与反思 2)(h x a y -=（a 、h 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下：课堂练习1．画图填空：抛物线2)1(-=x y 的开口，对称轴是，顶点坐标是，它可以看作是由抛物线2x y =向平移个单位得到的．2．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．22x y -=，2)3(2--=x y ，2)3(2+-=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．课外作业A 组1．已知函数221x y -=，2)1(21+-=x y ， 2)1(21--=x y ．（1）在同一直角坐标系中画出它们的图象；（2）分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）分别讨论各个函数的性质．2．根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线221x y -=得到抛物线2)1(21+-=x y 和2)1(21--=x y ？3．函数2)1(3+-=x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小．当x 时，函数取得最值，最值y= ．4．不画出图象，请你说明抛物线25x y =与2)4(5-=x y 之间的关系．B 组5．将抛物线2ax y =向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为 -2，且新抛物线经过点（1，3），求a 的值．课堂小结：教学反思：26．2 二次函数的图象与性质（4）教学目标：1、会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质．2、会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴．教学重点：二次函数的图象与性质教学难点：二次函数的图象与性质本节知识点1．掌握把抛物线2ax y =平移至2)(h x a y -=+k 的规律；2．会画出2)(h x a y -=+k 这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．教学过程由前面的知识，我们知道，函数22x y =的图象，向上平移2个单位，可以得到函数222+=x y的图象；函数22x y =的图象，向右平移3个单位，可以得到函数2)3(2-=x y 的图象，那么函数22x y =的图象，如何平移，才能得到函数2)3(22+-=x y 的图象呢？实践与探索例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．221x y =，2)1(21-=x y ，2)1(212--=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．解列表．描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．6所示．它们的开口方向都向，对称轴分别为、、，顶点坐标分别为、、．请同学们完成填空，并观察三个图象之间的关系．回顾与反思二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数2)(h x a y -=+k 中k 的值；左右平移，只影响h 的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外，图象的平移与平移的顺序无关．探索你能说出函数2)(h x a y -=+k （a 、h 、k 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？试填写下表．例2．把抛物线c bx x y ++=2向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线2x y =，求b 、c 的值．分析抛物线2x y =的顶点为（0，0），只要求出抛物线c bx x y ++=2的顶点，根据顶点坐标的改变，确定平移后的函数关系式，从而求出b 、c 的值．解 c bx x y ++=2c b b bx x +-++=442224)2(22b c b x -++=．向上平移2个单位，得到24)2(22+-++=b c b x y ，再向左平移4个单位，得到24)42(22+-+++=b c b x y ，其顶点坐标是)24,42(2+---b c b ，而抛物线2x y =的顶点为（0，0），则解得⎩⎨⎧=-=148c b 探索把抛物线c bx x y ++=2向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线2x y =，也就意味着把抛物线2x y =向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到抛物线c bx x y ++=2．那么，本题还可以用更简洁的方法来解，请你试一试．课堂练习1．将抛物线1)4(22--=x y 如何平移可得到抛物线22x y = （） A ．向左平移4个单位，再向上平移1个单位 B ．向左平移4个单位，再向下平移1个单位 C ．向右平移4个单位，再向上平移1个单位 D ．向右平移4个单位，再向下平移1个单位 2．把抛物线223x y -=向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的函数关系式为． 3．抛物线22121x x y -+=可由抛物线221x y -=向平移个单位，再向平移个单位而得到．课外作业A 组1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．23x y -=，2)2(3+-=x y ，1)2(32-+-=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．2．将抛物线522++-=x x y 先向下平移1个单位，再向左平移4个单位，求平移后的抛物线的函数关系式． 3．将抛物线23212++-=x x y 如何平移，可得到抛物线32212++-=x x y ？B 组4．把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线532+-=x x y ，则有（） A ．b =3，c=7 B ．b= -9，c= -15 C ．b=3，c=3 D ．b= -9，c=215．抛物线c bx x y ++-=23是由抛物线132+--=bx x y 向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到的，求b 、c 的值．6．将抛物线)0(2≠=a ax y 向左平移h 个单位，再向上平移k 个单位，其中h ＞0，k ＜0，求所得的抛物线的函数关系式．课堂小结：教学反思：26．2 二次函数的图象与性质（5）教学目标：1、会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质．2、会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴．教学重点：二次函数的图象与性质教学难点：二次函数的图象与性质本节知识点1．能通过配方把二次函数c bx ax y ++=2化成2)(h x a y -=+k 的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标；2．会利用对称性画出二次函数的图象．教学过程我们已经发现，二次函数1)3(22+-=x y 的图象，可以由函数22x y =的图象先向平移个单位，再向平移个单位得到，因此，可以直接得出：函数1)3(22+-=x y 的开口，对称轴是，顶点坐标是．那么，对于任意一个二次函数，如232-+-=x x y ，你能很容易地说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出图象吗？实践与探索例1．通过配方，确定抛物线6422++-=x x y 的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图．解 6422++-=x x y因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x=1，顶点坐标为（1，8）．由对称性列表：描点、连线，如图26．2．7所示．回顾与反思（1）列表时选值，应以对称轴x=1为中心，函数值可由对称性得到，．（2）描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点．探索对于二次函数c bx ax y ++=2，你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？请你完成填空：对称轴，顶点坐标．例2．已知抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上，求a 的值．分析顶点在坐标轴上有两种可能：（1）顶点在x 轴上，则顶点的纵坐标等于0；（2）顶点在y 轴上，则顶点的横坐标等于0．解 9)2(2++-=x a x y 4)2(9)22(22+-++-=a a x ，则抛物线的顶点坐标是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+4)2(9,222a a ．当顶点在x 轴上时，有 022=+-a ，解得2-=a ．当顶点在y 轴上时，有 04)2(92=+-a ，解得4=a 或8-=a ．所以，当抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上时，a 有三个值，分别是 –2，4，8．课堂练习1．（1）二次函数x x y 22--=的对称轴是．（2）二次函数1222--=x x y 的图象的顶点是，当x 时，y 随x 的增大而减小．（3）抛物线642--=x ax y 的顶点横坐标是-2，则a = ．2．抛物线c x ax y ++=22的顶点是)1,31(-，则a 、c 的值是多少？课外作业A 组1．已知抛物线253212+-=x x y ，求出它的对称轴和顶点坐标，并画出函数的图象． 2．利用配方法，把下列函数写成2)(h x a y -=+k 的形式，并写出它们的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．（1）162++-=x x y（2）4322+-=x x y（3）nx x y +-=2 （4）q px x y ++=23．已知622)2(-++=k k xk y 是二次函数，且当0>x 时，y 随x 的增大而增大．（1）求k 的值；（2）求开口方向、顶点坐标和对称轴．B 组4．当0<a时，求抛物线22212a ax x y +++=的顶点所在的象限．5. 已知抛物线h x x y +-=42的顶点A 在直线14--=x y 上，求抛物线的顶点坐标．课堂小结：教学反思：26．2 二次函数的图象与性质（6）教学目标：1、会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质．2、会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴．教学重点：二次函数的图象与性质教学难点：二次函数的图象与性质本节知识点1．会通过配方求出二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的最大或最小值；2．在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值．教学过程在实际生活中，我们常常会碰到一些带有“最”字的问题，如问题：某商店将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润．经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销售量可增加约10件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？在这个问题中，设每件商品降价x 元，该商品每天的利润为y 元，则可得函数关系式为二次函数2000100102++-=x x y ．那么，此问题可归结为：自变量x 为何值时函数y 取得最大值？你能解决吗? 实践与探索例1．求下列函数的最大值或最小值．（1）5322--=x x y ；（2）432+--=x x y ．分析由于函数5322--=x x y 和432+--=x x y 的自变量x 的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值．解（1）二次函数5322--=x x y 中的二次项系数2＞0，因此抛物线5322--=x x y 有最低点，即函数有最小值．因为5322--=x x y =849)43(22--x ，所以当43=x 时，函数5322--=x x y 有最小值是849-．（2）二次函数432+--=x x y 中的二次项系数-1＜0，因此抛物线432+--=x x y 有最高点，即函数有最大值．因为432+--=x x y =425)23(2++-x ，所以当23-=x时，函数432+--=x x y 有最大值是425．回顾与反思最大值或最小值的求法，第一步确定a 的符号，a ＞0有最小值，a ＜0有最大值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．探索试一试，当2．5≤x ≤3．5时，求二次函数322--=x x y 的最大值或最小值．例2．某产品每件成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x （元）与产品的日销售量y （件）之间关系如下表：x （元） 130 150 165 y （件）705035若日销售量y 是销售价x 的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元？此时每日销售利润是多少？分析日销售利润=日销售量×每件产品的利润，因此主要是正确表示出这两个量．解由表可知x+y=200，因此，所求的一次函数的关系式为200+-=x y ．设每日销售利润为s 元，则有1600)160()120(2+--=-=x x y s ．因为0120,0200≥-≥+-x x ，所以200120≤≤x ．所以，当每件产品的销售价定为160元时，销售利润最大，最大销售利润为1600元．回顾与反思解决实际问题时，应先分析问题中的数量关系，列出函数关系式，再研究所得的函数，得出结果．例3．如图26．2．8，在Rt ⊿ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D 在斜边AB 上，分别作DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，得四边形DECF ，设DE=x ，DF=y ．（1）用含y 的代数式表示AE ；（2）求y 与x 之间的函数关系式，并求出x 的取值范围；（3）设四边形DECF 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系，并求出S 的最大值．解（1）由题意可知，四边形DECF 为矩形，因此y DF AC AE -=-=8．（2）由DE ∥BC ，得AC AE BC DE =，即884yx -=，所以，x y 28-=，x 的取值范围是40<<x ．（3）8)2(282)28(22+--=+-=-==x x x x x xy S ，所以，当x=2时，S 有最大值8．课堂练习1．对于二次函数m x x y +-=22，当x= 时，y 有最小值．2．已知二次函数b x a y +-=2)1(有最小值 –1，则a 与b 之间的大小关系是（） A ．a ＜b B ．a=b C ．a ＞b D ．不能确定3．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？课外作业A 组1．求下列函数的最大值或最小值．（1）x x y 22--=；（2）1222+-=x x y ． 2．已知二次函数m x x y +-=62的最小值为1，求m 的值．，3．心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x （单位：分）之间满足函数关系：)300(436.21.02≤≤++-=x x x y ．y 值越大，表示接受能力越强．（1）x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x 在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？（2）第10分时，学生的接受能力是多少？（3）第几分时，学生的接受能力最强？B 组4．不论自变量x 取什么数，二次函数m x x y +-=622的函数值总是正值，求m 的取值范围． 5．如图，有长为24m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a 为10m ），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB 为x m ，面积为S m 2．（1）求S 与x 的函数关系式；（2）如果要围成面积为45 m 2的花圃，AB 的长是多少米？（3）能围成面积比45 m 2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．6．如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，线段EF 在对角线AC 上，EG⊥AD ，FH ⊥BC ，垂足分别是G 、H ，且EG+FH=EF ．（1）求线段EF 的长；（2）设EG=x ，⊿AGE 与⊿CFH 的面积和为S ，写出S 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围，并求出S 的最小值．课堂小结：教学反思：26 . 2 二次函数的图象与性质（7）教学目标：1、会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质．2、会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴．教学重点：二次函数的图象与性质教学难点：二次函数的图象与性质本节知识点会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式．教学过程一般地，函数关系式中有几个独立的系数，那么就需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式．例如：我们在确定一次函数)0(≠+=k b kx y 的关系式时，通常需要两个独立的条件：确定反比例函数)0(≠=k xky 的关系式时，通常只需要一个条件：如果要确定二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的关系式，又需要几个条件呢？实践与探索例1．某涵洞是抛物线形，它的截面如图26．2．9所示，现测得水面宽1．6m ，涵洞顶点O 到水面的距离为2．4m ，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？分析如图，以AB 的垂直平分线为y 轴，以过点O 的y 轴的垂线为x 轴，建立了直角坐标系．这时，涵洞所在的抛物线的顶点在原点，对称轴是y 轴，开口向下，所以可设它的函数关系式是)0(2<=a ax y ．此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函数关系式．解由题意，得点B 的坐标为（0．8，-2．4），又因为点B 在抛物线上，将它的坐标代入)0(2<=a ax y ，得所以415-=a ．因此，函数关系式是2415x y -=．。

华师大版九年级数学下册26.1：二次函数教案

26.1 二次函数一、教学目标：（1）知识和能力能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围（2）过程和方法注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识（3）情感态度价值观培养学生的良好的学习习惯二、教学重点：能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。

教学难点：会列二次函数表达式解决实际问题。

教学过程：一、情境引入：1.雨后天空的彩虹，公园里的喷泉，跳绳等都会形成一条曲线.这些曲线能否用函数关系式表示？2.展示视频，提示学生思考：视频中得到的优美曲线可以用函数来表示吗?二、探究二次函数定义：1.旧知回顾：什么是函数，一次函数？一元二次方程的一般形式是什么？2. 新知探究：问题1 正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x ，表面积为 y ，则 y 关于x 的关系式为 y=6x ² .问题2 n 个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛，比赛的场次数m 与球队数n 有什么关系？ m=()121-n n →m=n n 21212-问题3 某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x 倍，那么两年后这种产品的产量y 将随计划所定的x 的值而确定，y 与x 之间的关系怎样表示？分析：这种产品的原产量是20件, 一年后的产量是20(1+x)件,再经过一年后的产量是20(1+x)²件,即两年后的产量y=20(1+x)²→y=20x ²+40x+20二次函数的定义：形如y=ax ²+bx+c(a,b,c 是常数,a ≠ 0)的函数叫做二次函数.其中x 是自变量，a,b,c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项.注意：（1）等号左边是变量y ，右边是关于自变量x 的整式；（2）a,b,c 为常数，且a ≠ 0;（3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.三、例题精讲：例1. 下列函数中哪些是二次函数？为什么？（x 是自变量）① y=ax2+bx+c ② s=3-2t ² ③y=x ² ④ 21x y =⑤y=x ²+x ³+25 ⑥ y=(x+3)²-x ²判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.除此之外，二次函数除有一般形式y=ax ²+bx+c(a ≠0)外，还有其特殊形式如y=ax ²,y=ax ²+bx, y=ax ²+c 等.例2.想一想:二次函数的一般式y=ax ²＋bx ＋c （a ≠0）与一元二次方程ax ²＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有什么联系和区别？联系：(1)等式一边都是ax ²＋bx ＋c 且a ≠0；(2)方程ax ²＋bx ＋c=0可以看成是函数y= ax ²＋bx ＋c 中y=0时得到的.区别:前者是函数.后者是方程.等式另一边前者是y,后者是0. 例3. ()723-+=m m y（1）m 取什么值时，此函数是正比例函数？（2） m 取什么值时，此函数是二次函数？例4：某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．(1) 若生产第x 档次的产品一天的总利润为y 元(其中x 为正整数，且1≤x ≤10)，求出y 关于x 的函数关系式；(2) 若生产第x 档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次．四、当堂练习：1.把y=(2-3x)(6+x)变成一般式，二次项为_____,一次项系数为______，常数项为 .2.函数 y=(m-n)x ²+ mx+n 是二次函数的条件是( )A . m,n 是常数,且m ≠0B . m,n 是常数,且n ≠0C. m,n 是常数,且m ≠n D . m,n 为任何实数3．下列函数是二次函数的是 ( )A ．y ＝2x ＋1B ．()()()2211+--+=x x x yC ．y ＝3x ²＋1D ．112+=x y 4. 已知函数 5312-=-m x y① 当m=＿＿时，y 是关于x 的一次函数；②当m=＿＿时，y是关于x的二次函数 .5.写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数（1）写出正方体的表面积S(cm²)与正方体棱长a（cm）之间的函数关系；（2）写出圆的面积y(cm²)与它的周长x(cm)之间的函数关系；（3）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S(cm2)与一对角线长x(cm)之间的函数关系．6.矩形的周长为16cm,它的一边长为x（cm),面积为y（cm²).求（1）y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围；（2）当x=3时矩形的面积.五、小结：六、作业：课本练习1.2。

华师大版数学九年级下册《26.1 二次函数》教学设计3

华师大版数学九年级下册《26.1 二次函数》教学设计3一. 教材分析华师大版数学九年级下册《26.1 二次函数》是学生在初中阶段学习二次函数的起始章节，它是在学生已经掌握了函数概念、一次函数和二次方程的基础上进行的。

本节课的主要内容是介绍二次函数的定义、性质和图像，以及二次函数的顶点公式。

教材通过生动的实例和丰富的练习，帮助学生理解和掌握二次函数的知识，为学生进一步学习高中数学打下坚实的基础。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对函数概念、一次函数和二次方程有一定的了解。

但二次函数相对于一次函数来说，其图像和性质更加复杂，需要学生通过实例和练习来进一步理解和掌握。

此外，学生的学习兴趣和动机对他们的学习效果有很大影响，因此教师需要设计有趣的教学活动来激发学生的学习兴趣。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解和掌握二次函数的定义、性质和图像，能够运用二次函数的知识解决实际问题。

2.过程与方法：通过实例和练习，培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的合作意识和创新精神。

四. 教学重难点1.重点：二次函数的定义、性质和图像。

2.难点：理解二次函数的顶点公式，并能运用其解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。

通过提出问题，引导学生思考和探索；通过分析具体案例，使学生理解和掌握二次函数的知识；通过小组合作，培养学生的合作意识和解决问题的能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学案例和练习题。

2.准备多媒体教学设备，如投影仪和黑板。

3.准备教案和教学笔记。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出问题，引导学生思考和探索二次函数的概念。

例如：“什么是二次函数？它与一次函数有什么区别？”2.呈现（10分钟）通过分析具体案例，使学生理解和掌握二次函数的定义、性质和图像。

例如，展示一个二次函数的图像，引导学生观察其特点。

华东师大版九年级数学下册26.1二次函数教学案

一、知识回顾：1．一元二次方程的一般形式是什么？2．什么叫函数？在某变化过程中的两个变量x、y，当变量x在某个范围内取________确定的值，另一个变量y总有________的值与它对应．这样的两个变量之间的关系我们把它叫做函数关系．3．回忆已学过的函数．二、探索新知探究问题1要用总长为20米的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃．怎样围才能使围成的面积最大？图26－1－61．设矩形与墙垂直的一边AB的长x m，矩形的面积y m2.能用含x的代数式来表示y吗？4．我们发现y是x的函数，试写出这个函数的关系式．探究问题2某商店将每件进价为8元的商品按每件10元出售，一天可售出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润．经市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？1．设每件商品降低x元(0≤x≤2)，销售该商品每天的利润为y元，y是x的函数吗？为什么要限定x的值？2因此，我们得出问题1的函数关系式：____________________．问题2的函数关系式：________________________．观察：这两个函数关系式有什么共同点：__________________．总结：(1)二次函数定义：一般地，形如________的函数叫做二次函数．其中________是自变量，________叫做二次项，________为二次项系数，________为一次项系数，________为常数项．(2)二次函数的一般形式：____________________．(3)二次函数的特殊形式：________________．判断二次函数的关键是____________________．看谁反应快：1．下列函数中，哪些是二次函数？(1)y＝3x－1()；(2)y＝x2()；(3)y＝3x3＋2x2()；(4)y＝2x2＋1()；(5)y＝x－2＋x()；(6)y＝x2－x(1＋x)()．2．下列函数中，哪些是二次函数？若是，分别指出二次项系数，一次项系数，常数项．y＝3(x－1)2＋1的二次项系数是________，一次项系数是________，常数项是________．(2)s＝3－2t2的二次项系数是________，一次项系数是________，常数项是________．(3)y＝(2x＋3)2－x2的二次项系数是________，一次项系数是________，常数项是________．(4)y＝x2－x的二次项系数是________，一次项系数是________，常数项是________．(6)v＝8πr2二次项系数是________，一次项系数是________，常数项是________．三、例题赏析例1关于x的函数y＝(m＋1)x m2－m是二次函数，求m的值．练习：m取何值时，函数y＝(m＋1)x m2－2m－1＋(m－3)x＋m是二次函数？例2已知函数y＝(m＋3)x m2－7.(1)m取什么值时，此函数是正比例函数？(2)m取什么值时，此函数是反比例函数？(3)m取什么值时，此函数是二次函数？随堂练习：1．一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与半径r之间的关系式．2．n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式．3．请举1个符合以下条件的y关于x的二次函数的例子．(1)二次项系数是一次项系数的2倍，常数项为任意值．(2)二次项系数为－5，一次项系数为常数项的3倍．4．一农民用40 m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园，和墙垂直的一边长为x m，菜园的面积为y m2，求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围，当x＝12 m时，计算菜园的面积．。

九年级数学下册26.1二次函数教案(新版)华东师大版

26.1二次函数教学内容：课本P2~4；教学目标：1、通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义，了解二次函数是刻画现实数量关系的又一个重要的数学模型；2、通过列出函数表达式，概括出二次函数的概念；3、掌握二次函数的一般形式，理解 a≠0的必要性；教学重难点：重点：二次函数的概念和一般形式；难点：通过实例列出表达式，a≠0的应用；教学准备：课件教学方法：练习引导法教学过程：一、学习问题11、问题1：用总长为20m的围栏材料，一面靠墙，围成一个矩形花圃。

怎样围才能使花圃的面积最大？从抽填的表格中，可以看出：随着AB的长度的增大，BC的长度将，矩形的面积将，当AB的长度为时，矩形的面积最大，最大面积是。

3、列式分析设AB的长为xm，矩形的面积为ym2，则BC的长为，y与x的函数关系式是，自变量的取值范围是。

二、学习问题21、问题2：某商店将每件进价为8元的某种商品按每件１０元出售，一天可售出100件。

该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润。

绕过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加１０件。

将这种商品的售价降低多少时，其每天的销售利润最大？从表格可以看出：随着售价的降低，销售量，销售利润，当售价为时，销售利润最大，最大利润是。

3、列式分析设将这种商品每件降价x 元，销售量增加件。

销售一件商品的利润是元，每天销售利润是元。

自变量的取值范围是。

三、探索1、问题1的函数关系式为：2220(010)y x x x =-+<< 问题2的函数关系式为：2100100200(02)y x x x =-++≤≤2、观察所得的两个函数关系式，它们有什么共同特点？教师总结：函数的表达式都是自变量的2次式。

3、概括：形如2y ax bx c =++（a 、b 、c 为常数，a ≠0）的函数叫做二次函数。

4、一般形式：2y ax bx c =++（a 、b 、c 为常数，a ≠0）特殊形式：2y ax =（a 为常数，a ≠0） 2y ax bx =+（a 、b 为常数，a ≠0） 2y ax c =+（a 、b 、c 为常数，a ≠0）四、例题例1、m 取哪些值时，函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的二次函数？分析：若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数，须满足的条件是：02≠-m m ．解：若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数，则 02≠-m m ．解得 0≠m ，且1≠m ．因此，当0≠m ，且1≠m 时，函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数．练习：若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的一次函数，则m 取哪些值？例2、已知二次函数y=ax ２+c ，当x=２时，y=７；当x=-４时，y=１３;求y 与x 之间的函数关系。

华师大版九年级数学下册教案261二次函数

华师大版九年级数学下册教案261 二次函数一、教学内容本节课我们将学习华师大版九年级数学下册第261页的二次函数。

具体内容包括：二次函数的定义、图像、性质及其应用。

我们将详细探讨二次函数的顶点式、标准式和一般式的相互转换，以及二次函数图像的绘制方法。

二、教学目标1. 理解并掌握二次函数的定义，能够用顶点式、标准式和一般式表示二次函数。

2. 学会绘制二次函数的图像，了解二次函数图像的性质。

3. 能够运用二次函数解决实际问题，提高学生的应用能力。

三、教学难点与重点教学难点：二次函数图像的性质及其应用。

教学重点：二次函数的定义、图像的绘制方法及二次函数的性质。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔。

2. 学具：直尺、圆规、铅笔、橡皮、草稿纸。

五、教学过程1. 引入：通过实际生活中的抛物线现象，如投篮、抛物线运动等，引入二次函数的概念。

2. 知识讲解：(1) 二次函数的定义及表示方法。

(2) 二次函数图像的绘制方法。

(3) 二次函数图像的性质。

3. 例题讲解：(1) 求给定二次函数的顶点、开口方向及对称轴。

(2) 根据二次函数图像，确定函数的解析式。

4. 随堂练习：完成教材第261页的练习题，巩固所学知识。

5. 小组讨论：探讨二次函数在实际问题中的应用，如最大（小）值问题、面积问题等。

六、板书设计1. 二次函数定义及表示方法。

2. 二次函数图像的绘制方法及性质。

3. 例题解答步骤及关键点。

七、作业设计1. 作业题目：(1) 求函数y=x^22x+1的顶点、开口方向及对称轴。

(2) 已知二次函数的顶点为（1，3），且过点（0，1），求函数的解析式。

2. 答案：(1) 顶点：(1,0)，开口向上，对称轴：x=1。

(2) y=(x1)^23。

八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对二次函数的定义、图像及性质掌握情况，对实际问题的应用能力。

2. 拓展延伸：引导学生思考二次函数与一次函数、反比例函数之间的关系，以及二次函数在高中数学中的应用。

华师大版数学九年级下册《26.1 二次函数》教学设计

华师大版数学九年级下册《26.1 二次函数》教学设计一. 教材分析华师大版数学九年级下册《26.1 二次函数》是学生在初中阶段学习函数知识的最后一部份，也是较为重要的一部份。

本节内容主要介绍二次函数的定义、性质及其图象。

二次函数是初中数学中的重要知识，它不仅涉及到方程的解法，还与实际生活中的许多问题密切相关。

学生在学习本节内容时，需要掌握二次函数的基本知识，并能够运用二次函数解决实际问题。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了初一、初二级的函数知识，对函数的概念、性质有一定的了解。

同时，学生也学习了平面直角坐标系、图象的知识，能够理解和绘制简单的函数图象。

但是，学生对于二次函数的定义、性质及其图象的理解还较为模糊，需要通过本节课的学习进一步掌握。

三. 教学目标1.了解二次函数的定义，掌握二次函数的性质。

2.能够绘制二次函数的图象，理解二次函数图象与系数的关系。

3.能够运用二次函数解决实际问题，提高解决问题的能力。

四. 教学重难点1.二次函数的定义及其性质。

2.二次函数图象的绘制与分析。

3.运用二次函数解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等教学方法，引导学生主动探究、合作交流，培养学生的动手操作能力和解决问题的能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作二次函数的定义、性质、图象及其应用的教学课件。

2.教学素材：准备一些关于二次函数的实际问题，用于巩固和拓展学生的知识。

3.学具：为学生准备一些纸张、彩笔等绘画工具，方便学生绘制二次函数的图象。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实例，如抛物线形的篮球架、跳水板等，引导学生思考这些实例与数学知识的联系，从而引出二次函数的概念。

2.呈现（10分钟）呈现二次函数的定义、性质及其图象，引导学生理解二次函数的基本知识。

3.操练（10分钟）学生分组合作，绘制一些二次函数的图象，并分析图象的性质。

教师巡回指导，解答学生的问题。

华师大版数学九年级下册《26.1 二次函数》说课稿3

华师大版数学九年级下册《26.1 二次函数》说课稿3一. 教材分析华师大版数学九年级下册《26.1 二次函数》这一节的内容是在学生已经掌握了函数概念、一次函数和二次函数的性质的基础上进行教学的。

本节课的主要内容是二次函数的图象和性质，以及二次函数的应用。

教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生深入理解二次函数的图象和性质，提高学生解决实际问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对一次函数的概念和性质有一定的了解。

但是，对于二次函数的图象和性质，以及如何运用二次函数解决实际问题，学生可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，教师需要通过生动的实例和丰富的练习，帮助学生理解和掌握二次函数的知识。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握二次函数的图象和性质，能够运用二次函数解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，培养学生解决函数问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和探究精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：二次函数的图象和性质，以及二次函数的应用。

2.教学难点：二次函数的性质，如何运用二次函数解决实际问题。

五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中，我将采用问题驱动法、案例分析法、合作学习法等教学方法。

同时，利用多媒体课件和数学软件，帮助学生直观地理解二次函数的图象和性质。

六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引入二次函数的概念，激发学生的学习兴趣。

2.探究新知：引导学生观察二次函数的图象，分析二次函数的性质，总结规律。

3.巩固新知：通过一系列的练习题，帮助学生巩固二次函数的知识。

4.应用拓展：布置一些实际问题，让学生运用二次函数的知识解决，提高学生的应用能力。

5.课堂小结：对本节课的内容进行总结，引导学生反思学习过程，提高学生的思维能力。

七. 说板书设计板书设计要简洁明了，能够突出二次函数的图象和性质。

新华东师大版九年级数学下册《26章二次函数 26.1 二次函数》教案_10

22．1.1 二次函数01 教学目标1．结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念．2．能够表示简单变量之间的二次函数关系．02 预习反馈阅读教材P 28～29，理解二次函数的意义及有关概念，完成下列内容．1．一般地，形如y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，a ≠0)的函数，叫做二次函数．其中二次项系数、一次项系数和常数项分别为a ，b ，c ．(1)下列函数中，不是二次函数的是(D )A ．y ＝1－2x 2B ．y ＝(x －1)2－1C ．y ＝12(x ＋1)(x －1) D ．y ＝(x －2)2－x 2 (2)二次函数y ＝x 2＋4x 中，二次项系数是1，一次项系数是4，常数项是0．【点拨】判断二次函数要紧扣定义．2．现在我们已学过的函数有一次函数、二次函数，它们的表达式分别是y ＝ax ＋b(a ，b 是常数，a ≠0)、y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，a ≠0)．如：一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S 与半径r 之间的关系式．解：S 表＝4πr 2.03 名校讲坛例1 (教材P28问题1)n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式．【解答】每个球队要与其他(n －1)个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数是m ＝12n (n －1)＝12n 2－12n .【跟踪训练1】 (《名校课堂》22.1.1习题)某校九(1)班共有x 名学生，在毕业典礼上每两名同学都握一次手，共握手y 次，试写出y 与x 之间的函数关系式y ＝12x 2－12x ，它是(填“是”或“不是”)二次函数．例2 (教材P28问题2)某种产品现在的年产量是20 t ，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x 倍，那么两年后这种产品的产量y 将随计划所定的x 的值而确定，y 与x 之间的关系应怎样表示？【解答】这种产品的原产量是20 t ，一年后的产量是20(1＋x )t ，再经过一年后的产量是20(1＋x )(1＋x )t ，即两年后的产量y ＝20(1＋x )2．【跟踪训练2】 (《名校课堂》22.1.1习题)国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为x ，该药品原价为18元，降价后的价格为y 元，则y 与x 的函数关系式为(C)A ．y ＝36(1－x )B ．y ＝36(1＋x )C ．y ＝18(1－x )2D ．y ＝18(1＋x 2)例3 (教材P29练习T2的变式)一个正方形的边长是12 cm ，若从中挖去一个长为2x cm ，宽为(x ＋1)cm 的小矩形，剩余部分的面积为y cm 2.(1)写出y 与x 之间的关系式，并指出y 是x 的什么函数？(2)当小矩形中x 的值分别为2和4时，相应的剩余部分的面积是多少？【解答】 (1)y ＝122－2x (x ＋1)，即y ＝－2x 2－2x ＋144.∴y 是x 的二次函数．(2)当x ＝2和4时，相应的y 的值分别为132和104.【点拨】几何图形的面积一般需画图分析，相关线段必须先用x 的代数式表示出来．【跟踪训练3】用总长为60 m 的篱笆围成矩形场地，写出场地面积S(m 2)与矩形一边长a(m )之间的关系式．解：S ＝a •（60－2a ）2＝－a 2＋30a.04 巩固训练1．下列方程是一元二次方程的是(A )A ．(5－a)2＝2B ．3x 2＋x －y 2＝0C ．y 2＝5－(2y －y 3)D ．x －1x 2＋1＝0 2．若y ＝(b －1)x 2＋3是二次函数，则b ≠1．3．有一个人患流感，经过两轮传染后共有y 人患了流感，每轮传染中，平均一个人传染了x 人，则y 与x 之间的函数关系式为y ＝x 2＋2x ＋1．4．如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD ，设AB 边长为x m ，则菜园的面积y(m 2)与x(m )的函数解析式为y ＝－12x 2＋15x(不要求写出自变量x 的取值范围)．5．已知函数y ＝(m ＋1)xm 2－3m －2＋(m －1)x(m 是常数)．m 为何值时，它是二次函数？解：m ＝4.【点拨】不要忽视m ＋1≠0.05 课堂小结1．二次函数的定义．2．熟记二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，a ≠0，a ，b ，c 为常数．3．如何表示简单变量之间的二次函数关系？。

华师大版数学九年级下册《26.1 二次函数》教学设计2

华师大版数学九年级下册《26.1 二次函数》教学设计2一. 教材分析华师大版数学九年级下册《26.1 二次函数》是学生在学习了一次函数和二次函数的基础上，进一步深化对二次函数的理解和应用。

本节课的主要内容是介绍二次函数的图像和性质，以及如何利用二次函数解决实际问题。

教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握二次函数的基本知识，提高解决问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对一次函数的概念、图像和性质有一定的了解。

但是，对于二次函数的图像和性质，以及如何从实际问题中抽象出二次函数模型，对学生来说是一个新的挑战。

因此，在教学过程中，需要引导学生从实际问题中提炼出二次函数模型，并通过形象直观的图形，帮助学生理解和掌握二次函数的性质。

三. 教学目标1.理解二次函数的图像和性质，能够识别二次函数的各类图像。

2.能够从实际问题中抽象出二次函数模型，并利用二次函数解决实际问题。

3.提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.二次函数的图像和性质的理解和应用。

2.从实际问题中抽象出二次函数模型的方法。

五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过丰富的例题和练习题，引导学生从实际问题中提炼出二次函数模型，并通过数形结合的方法，帮助学生理解和掌握二次函数的性质。

同时，注重学生的参与和合作，鼓励学生积极思考和解决问题。

六. 教学准备1.PPT课件2.教学素材（如实际问题、图形等）七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考如何建立数学模型。

例如，一个抛物线形的水池，已知底面半径和高，如何求水池的体积？让学生感受到二次函数在实际生活中的应用。

2.呈现（10分钟）通过PPT课件，展示二次函数的图像和性质，引导学生观察和分析图像，总结二次函数的性质。

同时，给出二次函数的一般形式，让学生理解二次函数与一次函数的区别和联系。

3.操练（10分钟）让学生通过解决一些具体的实际问题，运用二次函数的性质。

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第二十六章二次函数
[本章知识要点]
1．探索具体问题中的数量关系和变化规律．
2．结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义，并了解二次函数的有关概念．
3．会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质．
4．会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴．
5．会利用二次函数的图象求一元二次方程（组）的近似解．
6．会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简
单的实际问题．
26．1 二次函数
[本课知识要点] 通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义．
[MM 及创新思维]
（1）正方形边长为a （cm ），它的面积s （cm 2）是多少？
（2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x 厘米，则面积增加y 平方厘米，试写出y 与x 的关系式．
请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义．
[实践与探索]
例1． m 取哪些值时，函数)1()(2
2+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的二次函数？分析若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数，须满足的条件是：02≠-m m ．解若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数，则
02≠-m m ．
解得 0≠m ，且1≠m ．
因此，当0≠m ，且1≠m 时，函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数．回顾与反思形如c bx ax y ++=2的函数只有在0≠a 的条件下才是二次函数．
探索若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的一次函数，则m 取哪些值？例2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．（1）写出正方体的表面积S （cm 2）与正方体棱长a （cm ）之间的函数关系；
（2）写出圆的面积y （cm 2）与它的周长x （cm ）之间的函数关系；
（3）某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y （元）与所存年数x 之间的函数关系；
（4）菱形的两条对角线的和为26cm ，求菱形的面积S （cm 2）与一对角线长x （cm ）之间的
函数关系．
解（1）由题意，得 )0(62>=a a S ，其中S 是a 的二次函数；
（2）由题意，得 )0(42>=x x y π
，其中y 是x 的二次函数；（3）由题意，得 10000%98.110000⋅+=x y （x ≥0且是正整数），
其中y 是x 的一次函数；
（4）由题意，得 )260(132
1)26(212<<+-=-=x x x x x S ，其中S 是x 的二次函数．例3．正方形铁片边长为15cm ，在四个角上各剪去一个边长为x （cm ）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子．
(1)求盒子的表面积S （cm 2）与小正方形边长x （cm ）之间的函数关系式；
(2)当小正方形边长为3cm 时，求盒子的表面积．
解（1）)2
150(4225415222<<-=-=x x x S ；（2）当x=3cm 时，189342252=⨯-=S （cm 2）．
[当堂课内练习]
1．下列函数中，哪些是二次函数？
（1）02=-x y
（2）2)1()2)(2(---+=x x x y （3）x
x y 12+= （4）322-+=x x y 2．当k 为何值时，函数1)1(2+-=+k k x
k y 为二次函数？ 3．已知正方形的面积为)(2cm y ，周长为x （cm ）．
(1)请写出y 与x 的函数关系式；
(2)判断y 是否为x 的二次函数．
[本课课外作业]
A 组
1．已知函数72)3(--=m x
m y 是二次函数，求m 的值． 2．已知二次函数2ax y =，当x=3时，y= -5，当x= -5时，求y 的值．
3．已知一个圆柱的高为27，底面半径为x ，求圆柱的体积y 与x 的函数关系式．若圆柱的
底面半径x 为3，求此时的y ．
4．用一根长为40 cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形，求扇形的面积y 与它的半径x 之间
的函数关系式．这个函数是二次函数吗？请写出半径r 的取值范围．
B 组
5．对于任意实数m ，下列函数一定是二次函数的是（）
A ．22)1(x m y -=
B ．22)1(x m y +=
C ．22)1(x m y +=
D ．2
2)1(x m y -=
6．下列函数关系中，可以看作二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）模型的是（）
A．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系
B．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系
C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）
D．圆的周长与圆的半径之间的关系
[本课学习体会]。