高二数学文科第一学期期末考试试卷

高二数学（文科）第一学期期末考试试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共150分．
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题（每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的．）
1．命题“若b a >，则c b c a +>+”的逆否命题为（ ） A ．若b a <，则c b c a +<+. B ．若b a ≤，则c b c a +≤+. C ．若c b c a +<+，则b a <. D ．若c b c a +≤+，则b a ≤. 2．抛物线2
y x =的焦点坐标是（ ）
A ．()1,0
B ．1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．10,8⎛
⎫ ⎪⎝⎭ D ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
3．命题p ：存在实数m ，使方程2
10x mx ++=有实数根，则“非p ”形式的命题是（ ）
A ．存在实数m ，使得方程2
10x mx ++=无实根． B ．不存在实数m ，使得方程2
10x mx ++=有实根． C ．对任意的实数m ，使得方程210x mx ++=有实根． D ．至多有一个实数m ，使得方程210x mx ++=有实根．
4. 顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点()2,3-，则它的方程是（ ）
A ．2
92x y =-
或243y x = B ．292y x =-或24
3x y = C ．243x y = D ．2
92
y x =-
5．函数2
221
x y x =+的导数是（ ）
A ．()()23
2
2
4141x x x y x +-'=
+ B ．()()22
2
2
4141x x x y x +-'=
+
C ．()()
23
2
2
2141x x x y x
+-'=
+ D ．()()
22
2
4141x x x
y x
+-'=
+
6．若椭圆
22
110036
x y +=上一点P 到焦点F 1的距离等于6，则点P 到另一个焦点F 2的距离是（ ）
A ．4
B ．194
C ．94
D ．14 7．,,A B C 是三个集合，那么“B A =”是“A C B
C =”成立的（ ）
A ．充分非必要条件．
B ．必要非充分条件．
C ．充要条件．
D ．既非充分也非必要条件．
8．已知：点()2,3-与抛物线2
2(0)y px p =>的焦点的距离是5，则p 的值是（ ）
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16 9．函数3
2y x x =-+的单调递减区间是（ ） A ．-∞(，)36-
B ．36
(
，)∞+ C ．-∞(，36()36 -
，)∞+ D ．36(-，)3
6
10．抛物线x y 82
=上的点),(00y x 到抛物线焦点的距离为3，则|y 0|=（ ） A ．2 B ．22 C ．2 D ．4
11．以坐标轴为对称轴、渐近线互相垂直、两准线间距离为2的双曲线方程是（ ） Ａ．22
2
=-y x B ．22
2
=-x y
C ．42
2
=-y x 或42
2=-x y D ．22
2
=-y x 或22
2
=-x y
12．已知函数()y f x =的导函数的图象如图甲所示， 则()y f x =的图象可能是（ ）
B C D
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（每小题6分，共30分．）
13．用符号“∀”与“∃”表示含有量词的命题：
（1）实数的平方大于等于0. ______________________.
（2）存在一对实数，使2x ＋3y ＋3>0成立.______________________. 14．离心率3
5
=
e ，一条准线为3=x 的椭圆的标准方程是______________________. 15．曲线3
2x x y -=在点（1，1）处的切线方程为___ _______.
16．若直线l 过抛物线()20y ax a =>的焦点，并且与x 轴垂直，若l 被抛物线截得的线段长
为4，则a =___ _______.
17. 过双曲线82
2=-y x 的右焦点2F 有一条弦PQ ，7PQ =,1F 是左焦点，那么1F PQ ∆的
周长为___ _______.
三、解答题（共60分）
18．已知命题P ：“若,0≥ac 则二次方程02
=++c bx ax 没有实根”. (1)写出命题P 的否命题；（4分）
(2)判断命题P 的否命题的真假, 并证明你的结论．（6分）
19．已知双曲线的一条渐近线方程是20x y -=
，若双曲线经过点M ，求双曲线的标
准方程．（12分）
20．已知直线1y kx =+与曲线3
y x ax b =++切于点(1，3)，求a 和b 的值．（14分） 21．求5962
3
-+-=x x x y 的单调区间和极值．（10分）
22．一段双行道隧道的横截面边界由椭圆的上半部分和矩形的三边组成，如图所示.一辆卡车 运载一个长方形的集装箱，此箱平放在车上与车同宽，车与箱的高度共计4.2米，箱宽3 米，若要求通过隧道时，车体不得超过中线. 试问这辆卡车是否能通过此隧道，请说明理由
（14分）
高二数学（文科）第一学期期末考试试卷参考答案
一、选择题（每小题5分，共60分）
二、填空题（每小题6分，共30分）
13．（1）2
,0x R x ∀∈≥ （2）,,2330x y R x y ∃∈++> 14．
22
120
59
x y += 15． 20x y +-= 16． 4 17．2814
+ 三、解答题（共60分．）
18．已知命题P ：“若,0≥ac 则二次方程02
=++c bx ax 没有实根”.
(1)写出命题P 的否命题；（4分）
(2)判断命题P 的否命题的真假, 并证明你的结论．（6分）
18．解:(1)命题P
的否命题为:“若,0<ac 则二次方程02
=++c bx ax 有实根”. (2)命题P 的否命题是真命题.
证明:2
0040ac ac b ac <⇒->⇒∆=->
⇒二次方程02=++c bx ax 有实根.
∴该命题是真命题.
19．已知双曲线的一条渐近线方程是20x y -=，若双曲线经过点M ，求双曲线的标
准方程．（12分）
解：由已知可知双曲线的两条渐近线为20x y ±=
因此可设所求双曲线为()2
2
40x y λλ-=≠ （6分）
将M 代入()22
40x y λλ-=≠，解得16λ= （4分）
∴双曲线方程为2
2
416x y -=
∴标准方程为：
22
1164
x y -= （2分）
20．已知直线1y kx =+与曲线3
y x ax b =++切于点(1，3)，求a 和b 的值．（14分） 解：∵直线1y kx =+与曲线3
y x ax b =++切于点(1，3)
∴点(1，3)在直线1y kx =+与曲线3
y x ax b =++上 （2分） ∴312k k =+⇒=
31a b =++ （4分）
又由(
)3
2
3y x ax b
x
a ''=++=+ （4分）
由导数的几何意义可知：1|321x k y a a ='==+=⇒=- （2分） 将1a =-代入31a b =++，解得3b = （2分）
21．求5962
3-+-=x x x y 的单调区间和极值．（10分）
解：(
)322
6953129y x x x x x '
'=-+-=-+ （2分）
令0y '=，即2
31290x x -+=，解得31x x ==或 （2分） 当0y '>时，即2
31290x x -+>，解得13x x <>或，
函数5962
3
-+-=x x x y 单调递增； （2分）
当0y '<时，即2
31290x x -+<，解得13x <<，
函数5962
3
-+-=x x x y 单调递减； （2分）
综上所述，函数59623
-+-=x x x y 的单调递增区间是()(),13,-∞+∞或，单调递减区
间是()1,3；当1x =时取得极大值1-，当3x =时取得极小值5-。

（2分）
22．一段双行道隧道的横截面边界由椭圆的上半部分和矩形的三边组成，如图所示.一辆卡
车运载一个长方形的集装箱，此箱平放在车上与车同宽，车与箱的高度共计4.2米， 箱宽3米，若要求通过隧道时，车体不得超过中线. 试问这辆卡车是否能通过此隧道，请说明理由.（14分）
解：建立如图所示的坐标系， （4分）
则此隧道横截面的椭圆上半部分方程为：
22
1(0)254
x y y +=≥. （4分） 令3x =，则代入椭圆方程，解得 1.6y =，因为1.63 4.6 4.2+=>， （5分）
所以，卡车能够通过此隧道. （1分）。