初中数学人教版八年级上册第十五章分式15.2分式的运算15.2.3第2课时科学记数法同步训练新版新22
八年级数学上册第十五章分式15.2分式的运算15.2.2分式的加减15.2.2.2分式的混合运算教案新版新人教版2
第2课时分式混合运算
◇教学目标◇
【知识与技能】
明确分式混合运算的顺序.
【过程与方法】
经历探索分式混合运算步骤的过程,能熟练地进行分式的混合运算.【情感、态度与价值观】
结合已有的数学经验解决新问题,获得成就感和克服困难的方法和勇气.
◇教学重难点◇
【教学重点】
分式混合运算的顺序.
【教学难点】
分式的混合运算.
◇教学过程◇
一、情境导入
我们学习了分式的加减乘除、乘方运算,你能解决下面的问题吗?
化简:.
二、合作探究
探究点1分式乘除混合运算
典例1化简:.
[解析]原式=-=-.
探究点2分式混合运算
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典例2先化简,再求值:,其中x=5.
[解析]原式=
=
=-(x-2)
=-x+2.
当x=5时,原式=-5+2=-3.
探究点3化简求值
典例3先化简,再求值:.其中x的值从不等式组的整数解中选取.
[解析]由不等式组可解得-1<x≤2.
∵x是整数,
∴x=0或1或2.
∴原式==(x+2)·,
当x=0时,原式=0.
当x=2时,原式=.
当x=1时,原式=.
三、板书设计
分式混合运算
分式混合运算
◇教学反思◇
本节是一节习题课,内容是分式的混合运算,要把握运算顺序.不少学生在分式运算中出错,就是因为不重视审题,题没看完就动笔计算,或者受题中部分算式的特殊结构的影响而不遵循运算顺序,如化简,就常出现乱约分而不遵循运算顺序的典型错误,要同学通过练习、板演充分暴露问题所在,纠正,最后总结出容易忽视和出错的地方,提醒自己.
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人教版八年级数学(上)课件：15_2_3 整数指数幂(第2课时)
解：原式=1.08×10-6
(2)(1.8×103)÷(3×10-4).
解：原式= 0.6×107=6×106
课堂检测
拓广探索题
一根约为1米长、直径为80毫米的光纤预制棒，可拉成至少
400公里长的光纤.试问：1平方厘米是这种光纤的横截面积
的多少倍？(用科学记数法表示且保留一位小数)
8 2
解：这种光纤的横截面积为
观察这两个等式，你能发现10的指数与什么有关呢？
对于一个小于1的正小数，从小数点前的第一个0 算起至小数点后第一个非0数字前有几个0，用科学记 数法表示这个数时，10的指数就是负几．
探究新知
素养考点 1 用科学记数法表示小于1的数
例1 用科学记数法表示下列各数：
(1)0.005
小数点最后的位置
0.005
巩固练习
计算： (1)(2×10－6)× (3.2×103) (2)(2×10－6)2 ÷ (10－4)3
解：(1)(2×10－6)× (3.2×103) = (2×3.2)×(10-6×103) =6.4×10-3
(2)(2×10－6)2 ÷ (10－4)3 =(4×10-12)÷10-12 =4×10-12-(-12) =4×100 =4×1
1
0.000 1= 10 000 = 104；
1
0.000 01= 100 000 = 105．
10n = 1 = 0.00 0 1．
1 00 0
n个0
n个0
探究新知
如何用科学记数法表示0.0035和0.0000982呢？
0.003 5=3.5×0.001 = 3.5×103 0.000 098 2=9.82×0.000 01= 9.82× 105
2024年人教版八年级数学上册教案及教学反思全册第15章 分式 整数指数幂(第2课时)教案.
第十五章分式15.2分式的运算15.2.3整数指数幂第2课时一、教学目标【知识与技能】1.会利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数.2.经历探索用10的负整数次幂来表示绝对值较小的数的过程，完善科学记数法，培养正向、逆向思维能力.【过程与方法】经历探索用科学记数法表示数的过程,理解科学记数法.【情感、态度与价值观】用科学记数法的形式渗透数学的简洁之美，通过完善科学记数法，培养对数学完美形式的追求.二、课型新授课三、课时第2课时，共2课时。
四、教学重难点【教学重点】用科学记数法表示绝对值较小的数.【教学难点】含负指数的整数指数幂的运算，尤其是混合运算以及科学记数法中10的指数与小数点的关系.五、课前准备教师：课件、直尺、科学记数结构图等。
学生：三角尺、练习本、铅笔、圆珠笔或钢笔。
六、教学过程（一）导入新课通过上节课的学习，大家明确了整数指数幂具有正整数指数幂的运算性质，这节课我们来学习运用其性质进行有关计算及负整数指数幂在科学记数法中的运用.（出示课件2）（二）探索新知1.创设情境，探究用科学记数法表示绝对值较小的数教师问1：口答：(1)(3－2)2；(2)[(－4)－3]0；(3)5－3×52；(4)(－0.5)－2；(5)222332--⎛⎫⎛⎫⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(6)4.7×10－4.注：前三个小题计算比较直接，可快速抢答，并陈述所用法则；后三个小题允许学生笔算后再口答，并陈述计算时的注意点，尤其是第(5)小题，有正向、逆向两个思路，注意方法的选择.而(6)为学习科学记数法表示绝对值较小的数作了铺垫.学生回答：（1）3-4=181；（2）1；（3）5-1=15；（4）（-12）-2=（-2）2=4；（5）（23×32）-2=1-2=1；（6）0.00047教师问2：由前面的练习可知4.7×10－4＝0.00047，反过来就是，0.00047＝4.7×10－4，由这个形式同学们能想到什么？学生回答：科学记数法.教师问3：那现在我们就一起研究怎样把绝对值较小的数用科学记数法表示出来.请同学们首先完成以下练习：填空：(用科学记数法表示一些绝对值较大的数)(1)4000000000＝________；(2)－369000＝________；学生回答：(1)4×109(2)－3.69×105教师问4：对于一个小于1的正小数，如果小数点后至第一个非0数字前有8个0，用科学记数法表示这个数时，10的指数是多少？如果有m个0呢？（出示课件4）先完成下面的题目：（出示课件5）填空：（1）0.1=______=______;（2）0.01=______=_______;（3）0.001=______=______;（4）0.0001=_______=______;（5）0.00001=_______=________.学生讨论后回答：（1）110=10-1；（2）1100=10-2；（3）11000=10-3；（4）110000=10-4；（5）1100000=10-5.教师问5：你发现用10的负整数指数幂表示0.0000…001这样较小的数有什么规律吗？请你把总结的规律和你的同伴交流.学生交流后，师生达成共识：表达成10的负整数指数幂的形式时，其指数恰好是第一个非零数前面所有“0”的个数的相反数.教师问6：你能归纳出数学式子吗？学生讨论后回答：教师问7：你能利用10的负整数指数幂，将绝对值较小的数表示成类似形式吗？0.00001＝________；0.0000000257＝2.57×0.00000001＝2.57×________.学生回答：10-5；10-8教师问8：如何用科学记数法表示0.0035和0.0000982呢？（出示课件6）学生回答：0.0035=3.5×0.001=3.5×10-3；0.0000982=9.82×0.00001=9.82×10-5教师问9：观察这两个等式，你能发现10的指数与什么有关呢？师生共同讨论后解答如下：对于一个小于1的正小数，从小数点前的第一个0算起至小数点后第一个非0数字前有几个0，用科学记数法表示这个数时，10的指数就是负几．教师问10：归纳：请说一说你对科学记数法的认识.师生共同讨论后解答如下：绝对值较大的数用科学记数法能表示为a×10n的形式，其中，n等于数的整数位数减1，a的取值为1≤|a|<10；绝对值较小的数用科学记数法能表示为a×10－n的形式，其中，a的取值一样为1≤|a|<10，但n的取值为小数中第一个不为零的数字前面所有的零的个数.教师讲解：这样，任何一个数根据需要都可以记成科学记数法的形式. a×10n的形式，其中，n为整数，a的取值为1≤|a|<10；例1：用科学记数法表示下列各数：（出示课件7-9）(1)0.005师生共同解答如下：(2)0.0204师生共同解答如下：(3)0.00036师生共同解答如下：例2：计算下列各题：（出示课件11）(1)(－4×10-6)÷(2×103)(2)(1.6×10-4)×(5×10-2)师生共同解答如下：解：(1)(－4×10-6)÷(2×103)=(-4÷2)(10-6÷103)=-2×10-9(2)(1.6×10-4)×(5×10-2)=(1.6×5)×(10-4×10-2)=8×10-6总结点拨：科学记数法的有关计算，分别把前边的数进行运算，10的幂进行运算，再把所得结果相乘.例3：纳米(nm)是非常小的长度单位，1nm=10–9m，把1nm3的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上，1mm3的空间可以放多少个1nm3的物体？(物体之间间隙忽略不计)师生共同解答如下：（出示课件13）解：1mm=10－3m，1nm=10－9m.(10－3)3÷(10－9)3=10－9÷10－27=1018，1mm3的空间可以放1018个1nm3的物体.（三）课堂练习（出示课件16-20）1.斑叶兰被列为国家二级保护植物,它的一粒种子重约0.0000005克将0.0000005用科学记数法表示为()A.5×107B.5×10-7C.0.5×10-6D.5×10-62.用科学记数法表示下列各数：(1)0.001=________________；(2)-0.000001=_______________；(3)0.001357=____________________；(4)-0.000504=________________________.3.下列是用科学记数法表示的数，试写出它的原数.(1)4.5×10-8=________________；(2)-3.14×10-6=________________；(3)3.05×10-3=___________________.4.计算(结果用科学记数法表示).(1)(6×10-3)×(1.8×10-4)；(2)(1.8×103)÷(3×10-4).5.一根约为1米长、直径为80毫米的光纤预制棒，可拉成至少400公里长的光纤.试问：1平方厘米是这种光纤的横截面积的多少倍？(用科学记数法表示且保留一位小数)参考答案：1.B2.（1）10-3；（2）-10-6；（3）1.357×10-3；（4）-5.04×10-43.（1）0.000000045；（2）-0.00000314；（3）-0.00305.4.（1）解：原式=1.08×10-6；（2）解：原式=0.6×107=6×1065.解：这种光纤的横截面积为1÷(1.256×10-4)≈8.0×103答：1平方厘米是这种光纤的横截面的8.0×103倍.（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:用科学记数法表示绝对值小于1的数绝对值小于1的数用科学记数法表示为a×10-n的形式，1≤│a│<10，n为原数第1个不为0的数字前面所有0的个数(包括小数点前面那个0).（五）课前预习预习下节课（15.3）149页到151页的相关内容。
精ppt分式的混合运算
解：原式＝－xx－＋22
(2)a＋a 1·(a＋2a1)2－(a－1 1－a＋1 1)． 解：原式＝4a2a－2－4a1－2
精ppt分式的混合运算（PPT优秀课件 ）
精ppt分式的混合运算（PPT优秀课件 ）
12．(2016·巴中)先化简：x2－x2＋2xx＋1÷(x－2 1－1x)，然后再从－2<x≤2 的 范围内选取一个合适的 x 的整数值代入求值．
(2)(3ba)2·3a＋1 b－ba÷b3； 解：原式＝－3ab3＋a b2
精ppt分式的混合运算（PPT优秀课件 ）
精ppt分式的混合运算（PPT优秀课件 ）
(3)(2016·成都)(a＋a 2＋a2－1 4)÷aa－ ＋12； 解：原式＝aa－－12
(4)(2016·重庆)x2x＋2＋4x2＋x 4÷(2x－4＋xx2)． 解：原式＝x－1 2
精ppt分式的混合运算（PPT优秀课件 ）
精ppt分式的混合运算（PPT优秀课件 ） 精ppt分式的混合运算（PPT优秀课件 ）
精ppt分式的混合运算（PPT优秀课件 ）
9．(2016·北京)如果 a＋b＝2，那么代数(a－ba2)·a－a b的值是( A )
A．2
B．－2
1 C.2
D．－12
10．李明同学从家到学校的速度是 a 千米/小时，沿原路从学校返回家的速
2ab 度是 b 千米/小时，则李明同学来回的平均速度是 a＋b
(用含 a，b 的式子表示)
千米/小时．
精ppt分式的混合运算（PPT优秀课件 ）
精ppt分式的混合运算（PPT优秀课件 ）
11．(习题 6 变式)计算： (1)(2016·聊城)(xx2＋－84－x－2 2)÷x2－x－4x4＋4；
人教版数学八年级上册第十五章分式全章复习(第二课时)教学设计
（3）采用分组合作学习，培养学生的团队协作能力和交流表达能力。
2.教学过程：
（1）导入：通过回顾分式的概念，引导学生思考分式在生活中的应用，为新课的学习做好铺垫。
（2）新知传授：以问题为导向，引导学生探究分式的性质和运算法则，总结解题方法。
4.能够利用分式解决一些生活中的优化问题，如折扣、百分比等，提高学生的应用能力。
（二）过程与方法
1.通过对分式的复习，培养学生自主探究、合作交流的学习习惯，提高学生分析问题和解决问题的能力。
2.引导学生运用数形结合的思想，通过绘制图像、列式分析等方法，加深对分式性质和运算的理解。
3.通过设计不同难度的练习题，让学生在解答过程中逐步掌握分式运算的技巧和方法，提高解题效率。
4.引导学生总结分式学习中的常见错误，分析原因，培养学生自我纠正和反思的能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学习的兴趣和热情，激发学生主动参与课堂活动的积极性。
2.通过分式的学习，让学生认识到数学与实际生活的紧密联系，增强学生的应用意识。
3.培养学生严谨、细致的学习态度，提高学生的逻辑思维能力和判断力。
4.鼓励学生面对困难时，保持积极的心态，培养良好的学习习惯和自主学习能力。
在教学过程中，教师要关注学生的个体差异，因材施教，充分调动学生的积极性，使学生在复习分式的过程中，既能巩固基础知识，又能提高解决问题的能力，从而达到教学目标。
二、学情分析
八年级学生在学习分式这一章节时，已经具备了一定的代数基础，掌握了整式的运算和方程求解，这为学习分式打下了基础。然而，分式的概念和运算对学生来说仍存在一定的难度，尤其是在分式的有理化、分式方程的求解等方面，学生容易产生混淆和错误。此外，学生在解决实际问题时，往往难以将分式知识灵活运用，需要教师引导和指导。
2022年人教版八年级上第15章《分式》全章教案
第十五章分式15．1分式15．从分数到分式1．以描述实际问题中的数量关系为背景抽象出分式的概念，建立数学模型，并理解分式的概念．2．能够通过分式的定义理解和掌握分式有意义的条件．重点理解分式有意义的条件及分式的值为零的条件．难点能熟练地求出分式有意义的条件及分式的值为零的条件．一、复习引入1．什么是整式？什么是单项式？什么是多项式？2．判断以下各式中，哪些是整式？哪些不是整式？①8m ＋n 3；②1＋x ＋y 2；③a 2b ＋ab 23；④a ＋b 2；⑤2x 2＋2x ＋1；⑥3a 2＋b 2；⑦3x 2－42x . 二、探究新知1．分式的定义(1)学生看教材的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等，江水的流速为多少？分析：设江水的流速为v 千米/时．轮船顺流航行90千米所用的时间为9030＋v 小时，逆流航行60千米所用时间为6030－v小时，所以9030＋v ＝6030－v. (2)学生完成教材第127页“思考〞中的题．观察：以上的式子9030＋v ，6030－v ，S a ，V s，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？可以发现，这些式子都像分数一样都是A B(即A÷B)的形式．分数的分子A 与分母B 都是整数，而这些式子中的A ，B 都是整式，并且B 中都含有字母．归纳：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A B叫做分式． 稳固练习：教材第129页练习第2题．2．自学教材第128页思考：要使分式有意义，分式中的分母应满足什么条件？分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B ≠0时，分式A B才有意义． 学生自学例1.例1以下分式中的字母满足什么条件时分式有意义？(1)23x ；(2)x x －1；(3)15－3b ；(4)x ＋y x －y.解：(1)要使分式23x有意义，那么分母3x ≠0，即x ≠0； (2)要使分式x x －1有意义，那么分母x －1≠0，即x ≠1； (3)要使分式15－3b有意义，那么分母5－3b ≠0，即b ≠53； (4)要使分式x ＋y x －y有意义，那么分母x －y ≠0，即x ≠y. 思考：如果题目为：当x 为何值时，分式无意义．你知道怎么解题吗？稳固练习：教材第129页练习第3题．3．补充例题：当m 为何值时，分式的值为0(1)m m －1；(2)m －2m ＋3；(3)m 2－1m ＋1. 思考：当分式为0时，分式的分子、分母各满足什么条件？分析：分式的值为0时，必须同时满足两个条件：(1)分母不能为零；(2)分子为零． 答案：(1)m ＝0；(2)m ＝2；(3)m ＝1.三、归纳总结1．分式的概念．2．分式的分母不为0时，分式有意义；分式的分母为0时，分式无意义．3．分式的值为零的条件：(1)分母不能为零；(2)分子为零．四、布置作业，3题．在引入分式这个概念之前先复习分数的概念，通过类比来自主探究分式的概念，分式有意义的条件，分式值为零的条件，从而更好更快地掌握这些知识点，同时也培养学生利用类比转化的数学思想方法解决问题的能力．15．分式的根本性质(2课时)第1课时分式的根本性质1．了解分式的根本性质，灵活运用分式的根本性质进行分式的变形．2．会用分式的根本性质求分式变形中的符号法那么．重点理解并掌握分式的根本性质．难点灵活运用分式的根本性质进行分式变形．一、类比引新1．计算：(1)56×215；(2)45÷815. 思考：在运算过程中运用了什么性质？教师出示问题．学生独立计算后答复：运用了分数的根本性质．2．你能说出分数的根本性质吗？分数的分子与分母都乘(或除以)同一个不为零的数，分数的值不变．3．尝试用字母表示分数的根本性质：小组讨论交流如何用字母表示分数的根本性质，然后写出分数的根本性质的字母表达式．a b ＝a·c b·c ，a b ＝a÷c b÷c.(其中a ，b ，c 是实数，且c ≠0) 二、探究新知1．分式与分数也有类似的性质，你能说出分式的根本性质吗？分式的根本性质：分式的分子与分母乘(或除以)同一个不为零的整式，分式的值不变． 你能用式子表示这个性质吗？A B ＝A·C B·C ，A B ＝A÷C B÷C.(其中A ，B ，C 是整式，且C ≠0) 如x 2x ＝12，b a ＝ab a 2，你还能举几个例子吗？ 回忆分数的根本性质，让学生类比写出分式的根本性质，这是从具体到抽象的过程． 学生尝试着用式子表示分式的性质，加强对学生的抽象表达能力的培养．2．想一想以下等式成立吗？为什么？－a －b ＝a b ；－a b ＝a －b＝－a b . 教师出示问题．学生小组讨论、交流、总结．例1不改变分式的值，使以下分式的分子与分母都不含“－〞号：(1)－2a －3a；(2)－3x 2y ；(3)－－x 2y . 例2不改变分式的值，使以下分式的分子与分母的最高次项的系数都化为正数：(1)x ＋1－2x －1；(2)2－x －x 2＋3；(3)－x －1x ＋1. 引导学生在完成习题的根底上进行归纳，使学生掌握分式的变号法那么．例3填空：(1)x 3xy ＝〔〕y ，3x 2＋3xy 6x 2＝x ＋y 〔〕； (2)1ab ＝〔〕a 2b ，2a －b a 2＝〔〕a 2b.(b ≠0) 解：(1)因为x 3xy的分母xy 除以x 才能化为y ，为保证分式的值不变，根据分式的根本性质，分子也需除以x ，即x 3xy ＝x 3÷x xy ÷x ＝x 2y. 同样地，因为3x 2＋3xy 6x 2的分子3x 2＋3xy 除以3x 才能化为x ＋y ，所以分母也需除以3x ，即3x 2＋3xy 6x 2＝〔3x 2＋3xy 〕÷〔3x 〕6x 2÷〔3x 〕＝x ＋y 2x . 所以，括号中应分别填入x 2和2x.(2)因为1ab的分母ab 乘a 才能化为a 2b ，为保证分式的值不变，根据分式的根本性质，分子也需乘a ，即1ab ＝1·a ab·a ＝a a 2b. 同样地，因为2a －b a 2的分母a 2乘b 才能化为a 2b ，所以分子也需乘b ，即 2a －b a 2＝〔2a －b 〕·b a 2·b＝2ab －b 2a 2b . 所以，括号中应分别填a 和2ab －b 2.在解决例题1，2的第(2)小题时，教师可以引导学生观察等式两边的分母发生的变化，再思考分式的分子如何变化；在解决例2的第(1)小题时，教师引导学生观察等式两边的分子发生的变化，再思考分式的分母随之应该如何变化．三、课堂小结1．分式的根本性质是什么？2．分式的变号法那么是什么？3．如何利用分式的根本性质进行分式的变形？学生在教师的引导下整理知识、理顺思维．四、布置作业，5题．通过算数中分数的根本性质，用类比的方法给出分式的根本性质，学生接受起来并不感到困难，但要重点强调分子分母同乘(或除)的整式不能为零，让学生养成严谨的态度和习惯．第2课时分式的约分、通分1．类比分数的约分、通分，理解分式约分、通分的意义，理解最简公分母的概念．2．类比分数的约分、通分，掌握分式约分、通分的方法与步骤．重点运用分式的根本性质正确地进行分式的约分与通分．难点通分时最简分分母确实定；运用通分法那么将分式进行变形．一、类比引新1．在计算56×215时，我们采用了“约分〞的方法，分数的约分约去的是什么？分式a 2＋ab a 2b，a ＋b ab相等吗？为什么？ 利用分式的根本性质，分式a 2＋ab a 2b约去分子与分母的公因式a ，并不改变分式的值，可以得到a ＋b ab. 教师点拨：分式a 2＋ab a 2b 可以化为a ＋b ab，我们把这样的分式变形叫做__分式的约分__． 2．怎样计算45＋67？怎样把45，67通分？ 类似的，你能把分式a b ，c d变成同分母的分式吗？ 利用分式的根本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，我们把这样的分式变形叫做__分式的通分__．二、探究新知1．约分：(1)－25a 2bc 315ab 2c ；(2)x 2－9x 2＋6x ＋9； (3)6x 2－12xy ＋6y 23x －3y. 分析：为约分，要先找出分子和分母的公因式．解：(1)－25a 2bc 315ab 2c ＝－5abc ·5ac 25abc ·3b＝－5ac 23b ； (2)x 2－9x 2＋6x ＋9＝〔x ＋3〕〔x －3〕〔x ＋3〕2＝x －3x ＋3； (3)6x 2－12xy ＋6y 23x －3y ＝6〔x －y 〕23〔x －y 〕＝2(x －y )． 假设分子和分母都是多项式，那么往往需要把分子、分母分解因式(即化成乘积的形式)，然后才能进行约分．约分后，分子与分母没有公因式，我们把这样的分式称为__最简分式__．(不能再化简的分式)2．练习：约分：2ax 2y 3axy 2；－2a 〔a ＋b 〕3b 〔a ＋b 〕；〔a －x 〕2〔x －a 〕3；x 2－4xy ＋2y ；m 2－3m 9－m 2；992－198. 学生先独立完成，再小组交流，集体订正．3．讨论：分式12x 3y 2z ，14x 2y 3，16xy 4的最简公分母是什么？ 提出最简公分母概念．一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母．学生讨论、小组交流、总结得出求最简公分母的步骤：(1)系数取各分式的分母中系数最小公倍数；(2)各分式的分母中所有字母或因式都要取到；(3)相同字母(或因式)的幂取指数最大的；(4)所得的系数的最小公倍数与各字母(或因式)的最高次幂的积(其中系数都取正数)即为最简公分母．4．通分：(1)32a 2b 与a －b ab 2c ；(2)2x x －5与3x x ＋5. 分析：为通分，要先确定各分式的公分母．解：(1)最简公分母是2a 2b 2c .32a 2b ＝3·bc 2a 2b ·bc ＝3bc 2a 2b 2c， a －b ab 2c ＝〔a －b 〕·2a ab 2c ·2a＝2a 2－2ab 2a 2b 2c . (2)最简公分母是(x －5)(x ＋5)．2x x －5＝2x 〔x ＋5〕〔x －5〕〔x ＋5〕＝2x 2＋10x x 2－25， 3x x ＋5＝3x 〔x －5〕〔x ＋5〕〔x －5〕＝3x 2－15x x 2－25. 5．练习：通分：(1)13x 2与512xy ；(2)1x 2＋x 与1x 2－x ；(3)1〔2－x 〕2与x x 2－4.教师引导：通分的关键是先确定最简公分母；如果分式的分母是多项式那么应先将分母分解因式，再按上述的方法确定分式的最简公分母．学生板演并互批及时纠错．6．思考：分数和分式在约分和通分的做法上有什么共同点？这些做法的根据是什么？ 教师让学生讨论、交流，师生共同作以小结．三、课堂小结1．什么是分式的约分？怎样进行分式的约分？什么是最简分式？2．什么是分式的通分？怎样进行分式的通分？什么是最简公分母？3．本节课你还有哪些疑惑？四、布置作业，7题．本节课是在学习了分式的根本性质后学的，重点是运用分式的根本性质正确的约分和通分，约分时要注意一定要约成最简分式，熟练运用因式分解；通分时要将分式变形后再确定最简公分母．15．2分式的运算15．分式的乘除(2课时)第1课时分式的乘除法1．理解并掌握分式的乘除法那么．2．运用法那么进行运算，能解决一些与分式有关的实际问题．重点掌握分式的乘除运算．难点分子、分母为多项式的分式乘除法运算．一、复习导入1．分数的乘除法的法那么是什么？2．计算：35×1512；35÷152. 由分数的运算法那么知35×1512＝3×155×12；35÷152＝35×215＝3×25×15. 3．什么是倒数？我们在小学学习了分数的乘除法，对于分式如何进行计算呢？这就是我们这节要学习的内容．二、探究新知问题1：一个水平放置的长方体容器，其容积为V ，底面的长为a ，宽为b 时，当容器的水占容积的m n时，水面的高度是多少？ 问题2：大拖拉机m 天耕地a hm 2，小拖拉机n 天耕地b hm 2，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？问题1求容积的高V ab ·m n ，问题2求大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的a m ÷b n倍．根据上面的计算，请同学们总结一下对分式的乘除法的法那么是什么？分式的乘法法那么：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母． 分式的除法法那么：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． a b ·c d ＝a·c b·d ；a b ÷c d ＝a b ·d c ＝a·d b·c. 三、举例分析例1计算：(1)4x 3y ·y 2x 3；(2)ab 32c 2÷－5a 2b 24cd. 分析：这道例题就是直接应用分式的乘除法法那么进行运算．应该注意的是运算结果应约分到最简，还应注意在计算时跟整式运算一样，先判断运算符号，再计算结果．解：(1)4x 3y ·y 2x 3＝4xy 6x 3y ＝23x 2； (2)ab 32c 2÷－5a 2b 24cd ＝ab 32c 2·4cd －5a 2b 2＝－4ab 3cd 10a 2b 2c 2＝－2bd 5ac. 例2计算：(1)a 2－4a ＋4a 2－2a ＋1·a －1a 2－4； (2)149－m 2÷1m 2－7m. 分析：这两题是分子与分母是多项式的情况，首先要因式分解，然后运用法那么．解：(1)原式〔a －2〕2〔a －1〕2·a －1〔a ＋2〕〔a －2〕＝a －2〔a －1〕〔a ＋2〕； (2)原式1〔7－m 〕〔7＋m 〕÷1m 〔m －7〕＝1〔7－m 〕〔7＋m 〕·m 〔m －7〕1＝－m m ＋7. 例3“丰收1号〞小麦试验田边长为a 米(a ＞1)的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的局部，“丰收2号〞小麦的试验田是边长为(a －1)米的正方形，两块试验田的小麦都收获了500千克．(1)哪种小麦的单位面积产量高？(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？分析：此题的实质是分式的乘除法的运用．解：(1)略．(2)500〔a －1〕2÷500a 2－1＝500〔a －1〕2·a 2－1500＝a ＋1a －1. “丰收2号〞小麦的单位面积产量是“丰收1号〞小麦的单位面积产量的a ＋1a －1倍． 四、随堂练习1．计算：(1)c 2ab ·a 2b 2c ；(2)－n 22m ·4m 25n 3；(3)y 7x ÷(－2x)； (4)－8xy÷2y 5x ；(5)－a 2－4a 2－2a ＋1·a 2－1a 2＋4a ＋4；(6)y 2－6y ＋9y ＋2÷(3－y)． 答案：(1)abc ；(2)－2m 5n ；(3)－y 14；(4)－20x 2；(5)－〔a ＋1〕〔a －2〕〔a －1〕〔a ＋2〕；(6)3－y y ＋2. 2．教材第137页练习1，2，3题．五、课堂小结(1)分式的乘除法法那么；(2)运用法那么时注意符号的变化；(3)因式分解在分式乘除法中的应用；(4)步骤要完整，结果要最简．最后结果中的分子、分母既可保持乘积的形式，也可以写成一个多项式，如〔a －1〕2a 或a 2－2a ＋1a. 六、布置作业，2题．本节课从两个具有实际背景的问题出发，使学生在解决问题的过程中认识到分式的乘除法是由实际需要产生的，进而激发他们学习的兴趣，接着，从分数的乘除法那么的角度引导学生通过观察、探究、归纳总结出分式的乘法法那么．有利于学生接受新知识，而且能表达由数到式的开展过程．第2课时分式的乘方及乘方与乘除的混合运算1．进一步熟练分式的乘除法法那么，会进行分式的乘、除法的混合运算．2．理解分式乘方的原理，掌握乘方的规律，并能运用乘方规律进行分式的乘方运算． 重点分式的乘方运算，分式的乘除法、乘方混合运算．难点分式的乘除法、乘方混合运算，以及分式乘法、除法、乘方运算中符号确实定．一、复习引入1．分式的乘除法法那么．分式的乘法法那么：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，用分母的积作为积的分母． 分式的除法法那么：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．2．乘方的意义：a n ＝a·a·a·…·a(n 为正整数)．二、探究新知例1(教材例4) 计算2x 5x －3÷325x 2－9·x 5x ＋3. 解：2x 5x －3÷325x 2－9·x 5x ＋3＝2x 5x －3·25x 2－93·x 5x ＋3(先把除法统一成乘法运算) ＝2x 23.(约分到最简公式) 分式乘除运算的一般步骤：(1)先把除法统一成乘法运算；(2)分子、分母中能分解因式的多项式分解因式；(3)确定分式的符号，然后约分；(4)结果应是最简分式．1．由整式的乘方引出分式的乘方，并由特殊到一般地引导学生进行归纳．(1)(a b )2＝a b ·a b ＝a 2b 2； ↑↑由乘方的意义由分式的乘法法那么(2)同理：(a b )3＝a b ·a b ·a b ＝a 3b 3； (a b )n ＝a b ·a b ·…·a b n 个＝a ·a ·…·an 个b ·b ·…·bn 个＝a n b n . 2．分式乘方法那么：分式：(a b )n ＝a nb n .(n 为正整数) 文字表达：分式乘方是把分子、分母分别乘方．3．目前为止，正整数指数幂的运算法那么都有什么？(1)a n ·a n ＝a m ＋n ；(2)a m ÷a n ＝a m －n ；(3)(a m )n ＝a mn ；(4)(ab)n ＝a n b n ；(5)(a b )n ＝a nb n . 三、举例分析例2计算：(1)(－2a 2b 3c)2； (2)(a 2b －cd 3)3÷2a d 3·(c 2a )2. (3)(－x 2y )2·(－y 2x )3÷(－y x)4； (4)a 2－b 2a 2＋b 2÷(a －b a ＋b)2. 解：(1)原式＝〔－2a 2b 〕2〔3c 〕2＝4a 4b 29c 2； (2)原式＝a 6b 3－c 3d 9·d 32a ·c 24a 2＝－a 3b 38cd 6； (3)原式＝x 4y 2·(－y 6x 3)·x 4y 4＝－x 5； (4)原式＝〔a ＋b 〕〔a －b 〕a 2＋b 2·〔a ＋b 〕2〔a －b 〕2＝〔a ＋b 〕3〔a －b 〕〔a 2＋b 2〕. 学生板演、纠错并及时总结做题方法及应注意的地方：①对于乘、除和乘方的混合运算，应注意运算顺序，但在做乘方运算的同时，可将除变乘；②做乘方运算要先确定符号．例3计算：(1)b 3n －1c 2a 2n ＋1·a 2n －1b 3n －2；(2)(xy －x 2)÷x 2－2xy ＋y 2xy ·x －y x 2； (3)(a 2－b 2ab )2÷(a －b a)2. 解：(1)原式＝b 3n －2·b ·c 2a 2n －1·a 2·a 2n －1b3n －2＝bc 2a 2； (2)原式＝－x 〔x －y 〕1·xy 〔x －y 〕2·x －y x 2＝－y ； (3)原式＝〔a ＋b 〕2〔a －b 〕2a 2b 2·a 2〔a －b 〕2＝a 2＋2ab ＋b 2b 2. 本例题是本节课运算题目的拓展，对于(1)指数为字母，不过方法不变；(2)(3)是较复杂的乘除乘方混合运算，要进一步让学生熟悉运算顺序，注意做题步骤．四、稳固练习教材第139页练习第1，2题．五、课堂小结1．分式的乘方法那么．2．运算中的本卷须知．六、布置作业．分式的乘方运算这一课的教学先让学生回忆以前学过的分数的乘方的运算方法，然后采用类比的方法让学生得出分式的乘方法那么．在讲解例题和练习时充分调动学生的积极性，使大家都参与进来，提高学习效率．15．分式的加减(2课时)第1课时分式的加减理解并掌握分式的加减法那么，并会运用它们进行分式的加减运算．重点运用分式的加减运算法那么进行运算．难点异分母分式的加减运算．一、复习提问1．什么叫通分？2．通分的关键是什么？3．什么叫最简公分母？4．通分的作用是什么？(引出新课)二、探究新知1．出示教材第139页问题3和问题4.教材第140页“思考〞．分式的加减法与分数的加减法类似，它们的实质相同．观察以下分数加减运算的式子：15＋25＝35，15－25＝－15，12＋13＝36＋26＝56，12－13＝36－26＝16.你能将它们推广，得出分式的加减法法那么吗？教师提出问题，让学生列出算式，得到分式的加减法法那么．学生讨论：组内交流，教师点拨．2．同分母的分式加减法． 公式：a c ±b c ＝a±b c.文字表达：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．3．异分母的分式加减法． 分式：a b ±c d ＝ad bd ±bc bd ＝ad±bcbd.文字表达：异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减． 三、典型例题例1(教材例6) 计算：(1)5x ＋3y x 2－y 2－2x x 2－y 2；(2)12p ＋3q ＋12p －3q . 解：(1)5x ＋3y x 2－y 2－2x x 2－y 2＝5x ＋3y －2x x 2－y 2＝3x ＋3y x 2－y 2＝3x －y；(2)12p ＋3q ＋12p －3q ＝2p －3q 〔2p ＋3q 〕〔2p －3q 〕＋2p ＋3q〔2p ＋3q 〕〔2p －3q 〕＝2p －3q ＋2p ＋3q 〔2p ＋3q 〕〔2p －3q 〕＝4p4p 2－9q 2.小结：(1)注意分数线有括号的作用，分子相加减时，要注意添括号． (2)把分子相加减后，如果所得结果不是最简分式，要约分． 例2计算：m ＋2n n －m ＋n m －n －2mn －m. 分析：(1)分母是否相同？(2)如何把分母化为相同的？(3)注意符号问题． 解：原式＝m ＋2n n －m －n n －m －2mn －m＝m ＋2n －n －2mn －m＝n －mn －m＝1.四、课堂练习1．教材第141页练习1，2题． 2．计算：(1)56ab －23ac ＋34abc ；(2)12m 2－9＋23－m ； (3)a ＋2－42－a；(4)a 2－b 2ab －ab －b 2ab －ab 2.五、课堂小结1．同分母分式相加减，分母不变，只需将分子作加减运算，但注意每个分子是个整体，要适时添上括号．2．对于整式和分式之间的加减运算，那么把整式看成一个整体，即看成是分母为1的分式，以便通分．3．异分母分式的加减运算，首先观察每个公式是否为最简分式，能约分的先约分，使分式简化，然后再通分，这样可使运算简化．4．作为最后结果，如果是分式那么应该是最简分式． 六、布置作业 ，5题．从直观的分数加减运算开始，先介绍同分母分式的加减运算的具体方法，通过类比的思想方法，由数的运算引出式的运算规律，表达了数学知识间具体与抽象、从特殊到一般的内在联系．而后，利用同样的类比方法，安排学习异分母的分式加减运算，这样由简到繁、由易到难，符合学生认知的开展规律，有助于知识的层层落实与掌握．第2课时分式的混合运算1．明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算． 2．能灵活运用运算律简便运算．重点熟练地进行分式的混合运算． 难点熟练地进行分式的混合运算． 一、复习引入回忆：我们已经学习了分式的哪些运算？ 1．分式的乘除运算主要是通过( )进行的，分式的加减运算主要是通过( )进行的．2．分数的混合运算法那么是( )，类似的，分式的混合运算法那么是先算( )，再算( )，最后算( )，有括号的先算( )里面的．二、探究新知 1．典型例题 例1计算：(x ＋2x －2＋4x 2－4x ＋4)÷x x －2. 分析：应先算括号里的． 例2计算：x ＋2y ＋4y 2x －2y －4x 2yx 2－4y 2.分析：(1)此题应采用逐步通分的方法依次进行； (2)x ＋2y 可以看作x ＋2y1.例3计算：12x －1x ＋y ·(x ＋y 2x－x －y)．分析：此题可用分配律简便计算．例4 [1〔a ＋b 〕2－1〔a －b 〕2]÷(1a ＋b －1a －b)．分析：可先把被除式利用平方差公式分解因式后再约分．例5(教材例7) 计算(2a b )2·1a －b －a b ÷b4.解：(2a b )2·1a －b －a b ÷b4＝4a 2b 2·1a －b －a b ·4b＝4a 2b 2〔a －b 〕－4a b 2＝4a 2b 2〔a －b 〕－4a 〔a －b 〕b 2〔a －b 〕 ＝4a 2－4a 2＋4ab b 2〔a －b 〕＝4ab b 2〔a －b 〕＝4aab －b 2. 点拨：式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减． 例6(教材例8) 计算： (1)(m ＋2＋52－m )·2m －43－m； (2)(x ＋2x 2－2x －x －1x 2－4x ＋4)÷x －4x .解：(1)(m ＋2＋52－m )·2m －43－m＝〔m ＋2〕〔2－m 〕＋52－m ·2m －43－m＝9－m 22－m ·2〔m －2〕3－m ＝〔3－m 〕〔3＋m 〕2－m ·－2〔2－m 〕3－m＝－2(m ＋3)；(2)(x ＋2x 2－2x －x －1x 2－4x ＋4)÷x －4x＝[x ＋2x 〔x －2〕－x －1〔x －2〕2]·xx －4 ＝〔x ＋2〕〔x －2〕－〔x －1〕x x 〔x －2〕2·xx －4＝x 2－4－x 2＋x〔x －2〕2〔x －4〕 ＝1〔x －2〕2.分式的加、减、乘、除混合运算要注意以下几点：(1)一般按分式的运算顺序法那么进行计算，但恰当地使用运算律会使运算简便．(2)要随时注意分子、分母可进行因式分解的式子，以备约分或通分时用，可防止运算烦琐．(3)注意括号的“添〞或“去〞、“变大〞与“变小〞． (4)结果要化为最简分式．强化练习，引导学生及时纠正在例题中出现的错误，进一步提高运算能力．三、稳固练习1．(1)x 2x －1－x －1；(2)(1－2x ＋1)2÷x －1x ＋1；(3)2ab 〔a －b 〕〔a －c 〕＋2bc 〔a －b 〕〔c －a 〕； (4)(1x －y ＋1x ＋y )÷xy x 2－y 2. 2．教材第142页第1，2题．四、课堂小结1．分式的混合运算法那么是先算( )，再算( )，最后算( )，有括号先算( )里的．2．一些题应用运算律、公式能简便运算．五、布置作业 1．．2．先化简再求值1x ＋1－1x 2－1·x 2－2x ＋1x ＋1，其中x ＝2－1.分式的混合运算是分式这一章的重点和难点，涉及到因式分解和通分这两个较难的知识点，可根据学生的具体情况，适当增加例题、习题，让学生熟练掌握分式的运算法那么并提高运算能力．15．整数指数幂1．知道负整数指数幂a －n ＝1a n .(a ≠0，n 是正整数)2．掌握整数指数幂的运算性质．3．会用科学记数法表示绝对值小于1的数．重点掌握整数指数幂的运算性质，会有科学记数法表示绝对值小于1的数． 难点负整数指数幂的性质的理解和应用． 一、复习引入1．回忆正整数指数幂的运算性质：(1)同底数的幂的乘法：a m ·a n ＝a m ＋n (m ，n 是正整数)； (2)幂的乘方：(a m )n ＝a mn (m ，n 是正整数)；(3)积的乘方：(ab)n ＝a n b n (n 是正整数)；(4)同底数的幂的除法：a m ÷a n ＝a m －n (a ≠0，m ，n 是正整数，m ＞n)； (5)分式的乘方：(a b )n ＝a nb n (n 是正整数)．2．回忆0指数幂的规定，即当a ≠0时，a 0＝1. 二、探究新知(一)≠0时，a 3÷a 5＝a 3a 5＝a 3a 3·a 2＝1a2，再假设正整数指数幂的运算性质a m ÷a n ＝a m －n (a ≠0，m ，n 是正整数，m ＞n)中的m ＞n 这个条件去掉，那么a 3÷a 5＝a 3－5＝a －2.于是得到a －2＝1a 2(a ≠0)．总结：负整数指数幂的运算性质：一般的，我们规定：当n 是正整数时，a －n ＝1a n (a ≠0)．2．练习稳固：填空：(1)－22＝________， (2)(－2)2＝________， (3)(－2)0＝________，(4)20＝________，(5)2－3＝________，(5)(－2)－3＝________． 3．例1 (教材例9) 计算： (1)a－2÷a 5；(2)(b 3a 2)－2； (3)(a －1b 2)3；(4)a －2b 2·(a 2b －2)－3. 解：(1)a －2÷a 5＝a－2－5＝a －7＝1a7；(2)(b 3a 2)－2＝b －6a －4＝a 4b －6＝a 4b 6；(3)(a －1b 2)3＝a －3b 6＝b 6a 3； (4)a－2b 2·(a 2b －2)－3＝a －2b 2·a －6b 6＝a －8b 8＝b 8a 8. [分析] 本例题是应用推广后的整数指数幂的运算性质进行计算，与用正整数指数幂的运算性质进行计算一样，但计算结果有负指数幂时，要写成分式形式．4．练习：计算：(1)(x 3y －2)2；(2)x 2y －2·(x －2y)3；(3)(3x 2y －2)2÷(x －2y)3.5．例2判断以下等式是否正确？ (1)a m ÷a n ＝a m ·a －n ；(2)(a b)n ＝a n b －n .[分析] 类比负数的引入使减法转化为加法，得到负指数幂的引入可以使除法转化为幂的乘法这个结论，从而使分式的运算与整式的运算统一起来，然后再判断等式是否正确．(二)因为0.1＝110＝10－1；0.01＝________＝________；0．001＝________＝________……××10－5.我们可以利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a ×10－n的形式，其中n 是正整数，1≤|a|＜10.2．例3(教材例10) 纳米是非常小的长度单位，1纳米＝10－9米，把1纳米的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上.1立方毫米的空间可以放多少个1立方纳米的物体？(物体之间的间隙忽略不计)[分析] 这是一个介绍纳米的应用题，是应用科学记数法表示小于1的数． 3．用科学记数法表示以下各数： 0．0004，，00045，009.4．计算：(1)(3×10－8)×(4×103)；(2)(2×10－3)2÷(10－3)3. 三、课堂小结1．引进了零指数幂和负整数幂，指数的范围扩大到了全体整数，幂的性质仍然成立． 2．科学记数法不仅可以表示一个值大于10的数，也可以表示一些绝对值较小的数，在应用中，要注意a 必须满足1≤|a|＜10，其中n 是正整数．四、布置作业 ，8，9题．本节课教学的主要内容是整数指数幂，将以前所学的有关知识进行了扩充．在本节的教学设计上，教师重点挖掘学生的潜在能力，让学生在课堂上通过观察、验证、探究等活动，加深对新知识的理解．15．3分式方程(2课时) 第1课时分式方程的解法1．理解分式方程的意义．2．理解解分式方程的根本思路和解法．3．理解解分式方程时可能无解的原因，并掌握解分式方程的验根方法．重点解分式方程的根本思路和解法． 难点理解解分式方程时可能无解的原因． 一、复习引入问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30 km /h ，它以最大航速沿江顺流航行90 km 所用时间，与以最大航速逆流航行60 km 所用的时间相等，江水的流速为多少？[分析]设江水的流速为x 千米/时，根据题意，得9030＋v ＝6030－v.① 方程①有何特点？[概括]方程①中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程． 提问：你还能举出一个分式方程的例子吗？ 辨析：判断以下各式哪个是分式方程．(1)x ＋y ＝5；(2)x ＋25＝2y －z 3；(3)1x ；(4)y x ＋5＝0；(5)1x ＋2x ＝5.根据定义可得：(1)(2)是整式方程，(3)是分式，(4)(5)是分式方程． 二、探究新知1．思考：怎样解分式方程呢？为了解决本问题，请同学们先思考并答复以下问题：(1)回忆一下解一元一次方程时是怎么去分母的，从中能否得到一点启发？ (2)有没有方法可以去掉分式方程的分母把它转化为整式方程呢？ [可先放手让学生自主探索，合作学习并进行总结] 方程①可以解答如下：方程两边同乘以(30＋v)(30－v)，约去分母，得90(30－v)＝60(30＋v)． 解这个整式方程，得v ＝6.所以江水的流度为6千米/时．[概括]上述解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解．所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母．2．例1解方程：1x －5＝10x 2－25.②解：方程两边同乘(x 2－25)，约去分母，得x ＋5＝10. 解这个整式方程，，当x ＝5时，原分式方程左边和右边的分母(x －5)与(x 2－25)都是0，方程中出现的两个分式都没有意义，因此，x ＝5不是分式方程的根，应当舍去，所以原分式方程无解．解分式方程的步骤：在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘一个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解(或根)，这种根通常称为增根．因此，在解分式方程时必须进行检验．3．那么，可能产生“增根〞的原因在哪里呢？解分式方程去分母时，方程两边要乘同一个含未知数的式子(最简公分母)．方程①两边乘(30＋v)(30－v)，得到整式方程，它的解v ＝6.当v ＝6时，(30＋v)(30－v)≠0，这就是说，去分母时，①两边乘了同一个不为0的式子，因此所得整式方程的解与①的解相同．方程②两边乘(x －5)(x ＋5)，得到整式方程，它的解x ＝5.当x ＝5时，(x －5)(x ＋5)＝0，这就是说，去分母时，②两边乘了同一个等于0的式子，这时所得整式方程的解使②出现分母为0的现象，因此这样的解不是②的解．4．验根的方法： 解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方程的根是否使原分式方程中的分式的分母为零．有时为了简便起见，也可将它代入所乘的整式(即最简公分母)，看它的值是否为零．如果为零，即为增根．如例1中的x ＝5，代入x 2－25＝0，可知x ＝5是原分式方程的增根．三、举例分析 例2(教材例1) 解方程2x －3＝3x. 解：方程两边乘x(x －3)，得2x ＝3x －9. 解得x ＝9.检验：当x ＝9时，x(x －3)≠0. 所以，原分式方程的解为x ＝9. 例3(教材例2) 解方程x x －1－1＝3〔x －1〕〔x ＋2〕. 解：方程两边乘(x －1)(x ＋2)，得x(x ＋2)－(x －1)(x ＋2)＝3.解得x ＝1.检验：当x ＝1时，(x －1)(x ＋2)＝0，因此x ＝1不是原分式方程的解． 所以，原分式方程无解．四、课堂小结1．分式方程：分母中含有未知数的方程． 2．解分式方程的一般步骤如下：。
人教版八年级数学上册第十五章《分式》教案
第十五章分式15.1 分式15.1.1 从分数到分式1.理解分式的意义，掌握使分式有意义时分母中字母的取值范围或字母之间的相互关系.2.在经历探索、思考、类比的过程中，体会分式的意义，感受分式是刻画现实问题中数量关系的一种模型.3.进一步增强从特殊到一般的认知过程，发展学生的数学思维能力.【教学重点】理解分式的意义，掌握使分式有意义时分母中字母的取值范围的判别方法.【教学难点】在分式有意义的条件下，分式值为0的字母的取值情况.一、情境导入，初步认识问题一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/小时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？【教学说明】章前画面和上述问题可用多媒体展示，让学生感受生活，感受数学.对所提出的问题让学生相互交流，探索解决问题的过程、方法，教师巡视，适时参与学生的讨论，最后选取学生代表展示成果，教师及时提出新问题.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知问题1刚才大家通过探讨，获得到100602020v v+-，这样的式子，它们是整式吗？如果不是，区别在哪里？思考1（1）长方形的面积为10cm2，长为7cm，宽为；若长方形的面积为S，长为a，则宽应为；（2）把体积为200cm3的水倒入底面积为33cm2的圆柱的容器中，水面高度为cm；把体积为V的水倒入底面积为S的圆柱形容器中，水面高度应为.思考2 式子S/a、V/S与10/7，200/33有什么区别？它们与10060 2020v v+-，有什么共同点？谈谈你的看法.【教学说明】教师应引导学生对上述三个问题进行积极思考，感受整式与分式、分式与分数之间的联系和区别，初步形成对分式的概念的理解.教师在学生交流过程中，巡视全场，引导学生关注所给式子的分子，分母的特征，此时可类比分数分子、分母进行描述.分式：一般地如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB 叫做分式.问题2（1）使分式11x-有意义，则x的取值有什么要求？（2）使分式A/B有意义，所需要的条件是什么？【教学说明】让学生自主探究，获得结论，然后相互交流，教师再予以总结.【归纳结论】使分式A/B有意义时，必有B≠0.三、典例精析，掌握新知例1指出下列各式中的整式与分式：【教学说明】教师总结判断分式的依据：看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式.然后让学生自主探索，获得结论，这里要注意：π不是字母，是常数，所以x/π是整式.例2填空：（1）当x时，分式23x有意义？（2）当b时，分式153b-有意义？（3）当x ，y 满足关系 时，分式x y x y +-有意义？ （4）当x 时，分式231x x + 有意义？ 解：（1）由题意有：3x ≠0，故x ≠0，所以当x ≠0时，分式23x 有意义；（2）由题意有：5-3b ≠0，故b ≠5/3,所以当b ≠5/3时，分式153b -有意义；（3）由题意有x-y ≠0，故x ≠y ，所以当x ≠y 时，分式x y x y+-有意义；（4）由题意有x 2+1≠0，因为x 2≥0，x 2+1≥1，故x 为任何数时，分式231x x +有意义. 【教学说明】让学生自主探索，获得结论，选取一、两名同学汇报自己的结论，师生共同评论.评析时，教师应注意引导学生对（3）、（4）小题进行反思，巩固对分式有意义的条件和认识.例3什么条件下，下列分式的值为0？（1）1x x - ；（2）23m n m n-+ ；（3）()236x x x x --- . 解：（1）由题意有：x-1=0，∴x=1.当x=1时，分母x ≠0，所以当x=1时，分式1x x-的值为0； （2）由题意有：2m-3n=0，∴m=32n ，∴m+n=52n ，又m+n ≠0，即52n ≠0，∴n ≠0，从而在m=32n ≠0时，分式23m n m n-+的值为0； （3）由题意有：x(x-3)=0，∴x=0或x=3，当x=0时，分母x 2-x-6=-6≠0，当x=3时，x 2-x-6=9-3-6=0，故使分式()236x x x x ---的值为0时，x 的值为x=0. 【教学说明】教学时，教师应讲清楚使分式=0时所必须的条件是：分子=0且分母≠0，这样让学生自己通过探讨三个问题的结论时，感知分式有意义是确定分式的值的前提条件，然后给一定时间让学生自己尝试解决所提出的问题，再由老师给予完整解答，让学生在比较、分析与反思中巩固所学知识.在完成上述例题后，教师可引导学生做教材P4练习，以巩固知识.四、师生互动，课堂小结1.这节课你有哪些收获？2.通过这节课的学习，你还有哪些疑问？与同伴交流.【教学说明】问题都可由学生自己总结，选取代表发表自己的看法，从而系统地对本节知识进行回顾与思考，针对学生的疑问，可当堂予以解释，帮助学生掌握所学的知识.1.布置作业：从教材“习题15.1”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.这节课的内容较少，比较贴近实际生活，要求学生知道什么是分式，能区分整式与分式，对保证分式有意义、分子分母要同时满足什么条件能很准确地指出来.此外，分式的值为0时分子分母也要满足一定的条件.教学中可以多出具一些实例，让学生在实际问题中去感知.15.1.2分式的基本性质1.掌握分式的基本性质，能依据分式的性质进行约分和通分运算.2.通过归纳、类比等方法得出分式的基本性质，通过观察、实验、推理等活动，发现并总结出运用分式基本性质进行分式的约分和通分.3.进一步增强学生的创新思维能力.【教学重点】理解并掌握分式的基本性质，能用分式的性质进行分式的约分和通分.【教学难点】在分式通分时找几个分母的公分母是关键，在分式的约分时应注意将分子、分母中的多项式进行分解因式.一、情境导入，初步认识分数的基本性质：一个分数的分子、分母同乘以（或除以）一个不为0的数，分数的值不变.思考下列从左到右的变形成立吗？为什么？【教学说明】教师应引导学生用类比分数的基本性质来解决上述问题，加深对分式性质的初步认识.教学时，让学生相互交流，感受新知.二、思考探究，获取新知（一）分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变.即··A A C A A CB BC B B C÷==÷，（A、B、C均为整式，且C≠0）试一试【教学说明】让学生自主探究，教师巡视，针对学生可能出现的问题及时给予指导，最后师生共同分析，完善答案.教学重点在于让学生明白通过分子（或分母）的变化特征，来获得分母（或分子）的变化思路，为后面的分式约分和通分作好铺垫.2.不改变分式的值，使下列分式的分子或分母都不含有“-”号：3.不改变分式的值，将下列分式中分子或分母的系数化为整数：【教学说明】2、3两道小题均由学生自主完成，相互交流.教师在学生处理第2题时应引导学生运用分数除法法则得到商的符号来完成分式中分子（或分母）的符号的处理办法，第3题应引导学生运用分式性质在分子、分母同乘以一个合适倍数来达到目的，边巡视，边指导，让学生在练习过程中加深对性质的理解和运用.（二）分式的约分分式的约分：把分式的分子、分母中的公因式约去的过程叫做分式的约分，如由2122x x x x =--，就是分式的约分. 最简分式：分子与分母中没有公因式的分式叫做最简分式.分式的约分，一般要约去分子和分母中所有公因式，使所得结果成为最简分式或整式.【教学说明】上述定义或结论，在教学时，教师可结合分数的约分和前面的1（1）小题进行说明，让学生通过感性认识获得理性思考，体验由特殊到一般的辨证思维方法.试一试4.约分：【教学说明】在学生自主探究，探索问题结论过程中，教师应关注学生以下几个方面：（1）找分式的分子、分母中的公因式是否彻底，是否考虑了分子、分母中各项的系数；（2）是否注意到分式的符号的变化；（3）约分是否彻底等，对所出现的问题一定要做好个别指导，最后师生共同讨论，给出正确答案，让学生对比自己的解答，进行必要的反思.（三）分式的通分思考：联想分数的约分，如何进行分式的通分呢？试一试5.将下列分式通分：【分析】（1）把分式化成分母相同的分式的过程叫做分式的通分；（2）通分的关键是确定几个分式的最简公分母，而确定最简公分母通常按以下三个步骤进行：①取各分母系数的最小公倍数作为公分母系数；②各个分母中所有不同的因式均作为公分母中的一个因式；③所有因式的指数以它的最高次幂作为公因式中该因式的指数.【教学说明】教学时，给几分钟时间先让学生尝试着解决问题，在学生出现思维盲区时，教师给予详细分析，边讲边演示，在思维的激烈碰撞过程中，逐渐形成对分式通分的认识.三、师生互动，课堂小结1.通过本节课的学习，你有哪些收获？2.通过这节课的学习，你觉得有哪些知识是难以把握的？你有何想法？【教学说明】通过对问题的思考，让学生回顾本节学过的知识点有哪些，怎样利用分式的性质来化简分式中分子（或分母）的符号，怎样将分子、分母中的系数化成整数，如何进行分式的约分和通分，在约分和通分时最关键的问题有哪些，如何解决等等，进一步深化对本节知识的理解.在这里，教师可引导学生做教材P8练习以及习题14.1中的题，以帮助学生进一步掌握.1.布置作业：从教材“习题15.1”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.“分式的基本性质”在分式教学中占有重要的地位，它是约分、通分的依据.这部分知识比较容易理解，教师在设计这节课时，可利用“猜想和验证”的方法，留给学生足够的探索时间和广阔的思维空间，让学生得到的不仅是数学知识，更主要的是数学学习的方法，从而激励学生进一步地主动学习，产生我会学的成就感.教师应注重提高在验证、交流环节中学生的参与率，尤其是一些后进生可能普遍会感觉无从下手，在交流时不主动，从而停留在一知半解的状态.在巩固练习环节上，教师要注意学生的练习密度，最好给每位学生准备一份练习纸，这样能确保达到一定的练习量.15.2 分式的运算15.2.1 分式的乘除第1课时分式的乘除1.掌握分式的乘除法运算法则，能进行分式的乘除法运算.2.在经历探索、类比、归纳的过程中，理解并掌握分式的乘除法运算法则.3.在类比分数乘除法运算法则获得分式乘除法法则中，让学生体验由数到式的数学发展过程，激发学生学习兴趣，增强求知欲.【教学重点】理解并掌握分式乘除法运算法则，能用它来进行分式乘除法运算.【教学难点】运用分式乘除法运算法则解决一些实际应用问题，进一步增强数学应用能力.一、情境导入，初步认识观察下列算式：由上述算式，我们知道，分数的乘法法则是；分数的除法法则是.思考类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法法则吗？【教学说明】让学生直接由分数的乘除法运算法则感知分式的乘除法法则，可激发学生的学习兴趣，增强求知欲.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知类比分数的乘除法运算，可以发现分式的乘除法也有相同的运算法则.乘法法则：分式乘分式，把分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，用式子可表示为：···a d a db c b c=.除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用式子可表示为：···a d a c a cb c b d b d÷==.【教学说明】分式的乘除法则可由学生类比分数得到结论，让学生在合作交流中感受新知；教师不必直接给出结论.在教学时，教师可进一步地展示下面的一些问题，帮助学生加深理解.问题【教学说明】在教学时，上述三个问题教师可延时展示给学生，让学生逐一思考，获得结论.教师巡视，对有困难的学生适时给予指导，同时分别选派2～3名学生上黑板演示，师生共同评析.在问题1中，着重于除式是整式情形，这时应引导学生先将整式看作分母为1的式子来参与计算；问题中侧重于运算结果应予以约分化简，必须是最简分式时才算运算结束；问题3侧重于分式的分母、分子是多项式情形，此时应注重于分解因式，以便于约分化简，整个过程都应是学生自主探究，合作交流来完成的.三、典例精析，掌握新知【分析】本题是分式乘除法，分子、分母是多项式的应先把多项式分解因式再运用法则，而分式乘除法实质就是约分.【教学说明】本例仍由学生自主探究，抽学生回答，教师适时点拨，师生共同寻求解题方法，完成解题过程.在完成之后，教师可引导学生做P138练习第2、3题，在这个过程中，仍可让学生举手回答，教师予以点评.四、运用新知，深化理解1.一个水平放置的长方体容器，其容积为V，底面的长为a，宽为b，当容器内的水占容积的m、n时，水面的高为多少？2.大拖拉机m天耕地a公顷，小拖拉机n天耕地b公顷，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？【教学说明】这两个题可由学生自主探究，获得结论，教师应关注学生将实际问题转化成分式模型的能力及是否能正确运用分式乘除法法则来完成解答.【答案】可参见教材P135问题1、问题2的解答.五、师生互动，课堂小结运用分式乘除法法则解决具体问题时有哪些需要注意的问题？谈谈你的看法，与同伴交流.1.布置作业：从教材“习题15.2”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.分式的乘除不是特别难上的课，主要是要让学生掌握方法.拿乘法来说，其方法有两种：一种是先约分再乘；另一种是先乘再约分.一般应这样处理：如果分子分母全是单项式，就用先乘后约分的方法；如果分子分母含有可分解因式的多项式，就先约分后相乘.当然两种方法并不一定非得有固定的模式，你觉得哪种容易接受就选择哪种.并且在约分时应教给学生一个不容易错的方法，就是约分后把每个约好的式子写在原来的上（分子）下（分母）方，不约的照抄，最后就看写着结果再相乘，既不容易漏乘，也不容易多乘.分式除法可转变为分式乘法后再按上述方法进行.在教学方法上，教师应努力结合现实的问题情境，引导学生理解分式乘除的意义.由于练习计算是比较单调和枯燥的，为了避免单纯的机械计算，将计算学习与解决问题有机结合，创设学生喜欢的实际情境，引导学生根据实际问题的数量关系，列出算式.第2课时分式的乘除混合运算与分式的乘方1.掌握分式的乘除法法则，能用它们进行分式的乘除混合运算.2.理解分式乘方的意义，能进行有关分式乘方的运算.3.通过对具体问题的探究思考，感受分式乘除混合运算、分式乘方运算方法，进一步增强类比的数学思想方法的理解.4.进一步增强学生的数学计算能力，发展严密的数学思维能力，增强数学学习兴趣.【教学重点】分式乘除、乘方混合运算能力.【教学难点】分式乘方法则的理解和运用.一、情境导入，初步认识问题分式乘除法运算法则是什么？如何进行分式乘除法混合运算呢？试一试参见教材P138例4.想一想小明同学在计算xy÷yx·xy时，其过程如下：原式=xy÷1=xy，你认为他的计算正确吗？说说你的理由，与同伴交流.【教学说明】教师延时展示上述三个问题，让学生自主探究，加深对分式乘除法法则的理解，体会分式乘除法混合运算方法.教师对学生的结论给予恰当评析，肯定学生的成绩，对出现的疑问给予鼓励，帮助他们形成正确认知.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知思考参见教材P138“思考”.【归纳结论】参见教材P138最后一段.【教学说明】教师提出问题，由学生自主探究，发现规律，形成认知，从而感受分式乘方的意义.试一试计算：【教学说明】选派两名同学上黑板计算，其余同学在座位上自主探究.教师巡视，最后全班同学一道对两位同学的演示结果进行评析，教师应对学生的解答进行详细讲解，帮助学生完善认知.【归纳结论】分式的乘方，就是把分式的分子、分母各自乘方.三、典例精析，掌握新知例计算：（1）参见教材P139例5第（2）小题；（2）参见教材P139练习第2题第（2）小题.【分析】分式的乘除、乘方混合运算，应先算乘方，再算乘除，能约分的一定要约分.【教学说明】教学时，教师应对一些学生易出现错误的地方予以强调，如（-c2d）2=-c4d2或c2d2，(-3c)3=-9c3等错误，引起学生注意.四、运用新知，深化理解1.参见教材P139“练习”第1题.2.计算：（1）参见教材P139“练习”第2题第（1）小题；（2）参见教材P146第3题第（4）小题.【教学说明】学生独立完成这些小题，然后相互交流，有时间的话，教师予以评价，让学生查漏补缺，巩固新知.五、师生互动，课堂小结本节课所学习的主要知识是什么？有哪些需要特别注意的地方？谈谈你的看法，并与同伴交流.1.布置作业：从教材“习题15.2”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.由于前面学生已对分式的乘除法有一定的了解，所以本课时的教学可采用类比的方法进行，一方面类比整式的乘除混合运算，另一方面类比前面分式的乘除.教学时，教师要起引导作用，引导学生自主发现和解决问题.15.2.2 分式的加减第1课时 分式的加减1.理解并掌握分式的加减法法则，能用它进行简单的分式加减.2.经历探究实际问题中数量关系的过程，感受分式的加减法也是实际需要，进而掌握分式的加减方法.3.进一步增强用类比的思想方法解决数学问题的能力，锻炼数学应用意识和用数学解决实际问题的能力，体验数学的应用价值.【教学重点】分式的加减法运算方法.【教学难点】异分母分式的加减法即化异分母分式为同分母分式的方法.一、情境导入，初步认识问题1参见教材P139“问题3”.问题2参见教材P139“问题4”.【教学说明】让学生对上述两个问题的思考，得出算式分别为11)3(n n ++ 和322121()s s s s s s --- ，教师巡视，对不能尽快得出算式的学生给予个别指导，让学生能自主分析问题，并探寻解决问题的方法.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知思考参见教材P140“思考”.【归纳结论】同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母分式相加减，先通分，化为同分母分式，再加减.【教学说明】在师生共同探讨获得分式加减法法则后，教师应强调以下两个问题：①分式加减的最后结果能约分的一定要约分，化为最简分式；②异分母分式加减时，一定要先确定各分式的最简公分母，化为同分母分式后再进行加减法运算.三、典例精析，掌握新知例 参见教材P140例6.解：参见教材P140例6“解”部分.四、运用新知，深化理解参见教材P141“练习”.【教学说明】第1题只须与学生核对答案即可，而第2题建议选三名中等成绩同学上黑板演示，其它同学独立探究，然后师生共同评析三位同学的演算过程，在评讲过程中教师应有针对性地强调一些需注意的问题：如（1）中的最简公分母；（2）中化为同分母分式后分子应适时添加括号，（3）中应先将22a a b- 化为()()a a b a b +- ，再通分等.五、师生互动，课堂小结1.在进行异分母分式的加减法运算时，应关注哪些问题？2.通过这节课的学习，你还有哪些疑惑，与同伴交流.【教学说明】用问题形式对本节知识进行归纳总结，让学生对知识进行梳理，形成知识体系.1.布置作业：从教材“习题15.2”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.这节课教师可采用探究与自主学习相结合的模式来完成.探究的目的是让学生经历类比分数加减运算的过程，通过将分式中的字母赋值，从而把分数的加减运算法则推及到分式的加减运算.整个过程中既有从特殊到一般的归纳，也有从一般到特殊的演绎.此外还可以通过把例题的再加工，使学生把错误暴露出来，引起他们的共鸣，而这些课堂内学生的差错会成为学生自己可贵的复习资料.接着可出些不同类型的题，让学生再次经历分式的加减运算过程，强化技能，以达到熟练的程度.第2课时分式的混合运算1.进一步掌握分式的加减法运算方法，能用它解决实际问题.2.能进行分式的乘除、加减、乘方混合运算.3.在具体问题情境的探索思考过程中，进一步增强学生的数学应用意识，锻炼分析问题、解决问题的能力.4.进一步培养学生严密的科学态度和良好的学习习惯.【教学重点】掌握分式乘除、加减、乘方混合运算.【教学难点】运用分式乘除、加减、乘方等解决实际问题.一、情境导入，初步认识问题1异分母分式的加减法的一般步骤有哪些？在运算过程中有哪些需要注意的问题？问题2在进行分式的乘除、加减，乘方混合运算时，你认为应该怎样做？谈谈你的想法.【教学说明】问题1的设置在于巩固上节课学过知识，并能用它解决本节问题，起承上启下作用；问题2则是让学生联想到分式乘除、分式加减法则是类比分数而得到的，因而可类比得到分式混合运算法则.在教学时，可让学生自主探究，相互交流，在探讨中形成认知.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知【教学说明】上述两个例题都应先让学生独立完成试试，然后教师再予以评讲，例1的（1）题侧重于展示分式的混合运算方法；先算乘方，再算乘除，最后算加减；而第（2）题进一步强调混合运算中的运算顺序：“先算乘方，再算乘除，最后算加减.有括号应先做括号内的运算，再算括号外的运算”.三、典例精析，掌握新知【教学说明】教学时，可让学生自主探索，获得结论，教师再行讲解.例1中计算（x2+xy+y2）（x-y）时，若已掌握公式（a2+ab+b2）（a-b）＝a3-b3，可直接写出结果x3-y3，如果不知道此公式，可利用多项式乘多项式的法则计算.例2中含有一个开放性问题，这里教师应该强调：选择一个值代入时，一定要使原代数式有意义，即不能选x为0，1这两个值.四、运用新知，深化理解2.在一块a公顷的稻田上插秧，如果10个人插秧，要用m天完成；如果一台插秧机工作，需比10个人插秧提前3天完成.一台插秧机的工作效率是一个人工作效率的多少倍？【教学说明】学生独立探究，教师巡视时，对有困难同学给予指导，最后予以评讲，让学生在自查中反思，积累解题经验和方法.五、师生互动，课堂小结1.通过这节课的学习，你有哪些收获？2.你还有哪些疑问？与同伴交流.【教学说明】让学生对照上述两个问题自我反思，既系统回顾本节所学知识，又查找问题所在，在与同伴交流中加深认识.1.布置作业：从教材“习题15.2”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.本课时要求学生理解并掌握分式的乘除、加减和乘方混合运算，为达到教学目标，本课时通过问题的提出，让学生类比前面不含乘方的混合运算.例题的讲解旨在引导学生把实际问题数学化.当然，无论是例题的分析还是练习题的落实，都以学生为中心，给予充分的时间让学生去演算并暴露问题，再指出问题所在，为后面的教学提供较好的对比分析材料.此外，教师还应引导学生发现并总结多。
人教版八年级数学上册第15章 分式1 第2课时 分式的乘方
思考：a 可以取任何实数吗？
a 不可以取 0，±1，-2.
分式 乘除 混合 运算
混合运算
乘除法运算及乘方法则 先算乘方，再算乘除
乘方运算 乘方法则
注意
(1) 乘除运算属于同级运算，应按照 先出现的先算的原则，不能交换运算 顺序
(2) 当除变成乘的形式时，灵活运用 乘法交换律和结合律可以简化运算
分母分解因式，再进行约分化简．
x 2x 4 3x 42 x 2x 4 解：原式 = x 4 x 4 • x 22 • x 33x 4
= 3x 4 . x3
方法总结：进行分式的乘除、乘方混合运算时，要 严格按照运算顺序进行运算，先算乘方，再算乘除. 注意结果一定要化成一个整式或最简分式的形式.
1.
计算
(ab)2 ab2
的结果为（
B
）
A. b
B. a C. 1
D. 1
b
2.
化简
2b a
2
•
ac 6b2
的结果是
2c 3a
.
3. 计算：
1
3x
2
y
2x2 y
3
；
3
2
x y
y2
x
2
x2 y 2
z
.
解：(1) 原式 3x2 y
8x6 y3
3x2 y y3 8x6
(2) am÷an＝am-n；
(3) (am)n＝amn；
(4) (ab)n ＝ anbn；
5
a n b
an bn .
例2 下列运算结果不正确的是( D )
√ A.
8a2bx2 6ab2 x
2
4ax 3b
八年级数学上册 第十五章 分式 15.2 分式的运算教案 (新版)新人教版-(新版)新人教版初中八年
15．2 分式的运算（第1课时）教学目标1．理解并掌握分式的乘除法则，运用法则进行运算．2．经历探索分式的乘除运算法则的过程，并能结合具体情境说明其合理性．教学重点理解并掌握分式的乘除法则．教学难点运用法则，熟练地进行分式乘除运算．一、创设情景，明确目标1．计算，并叙述你应用的运算法则．(1)34×59；(2)34÷59. 2．(1)见教材P135的问题1：长方体容器的高为V ab ，水面的高度就为：V ab ·m n. (2)见教材P135的问题2：大拖拉机的工作效率是小拖拉机工作效率的⎝ ⎛⎭⎪⎫a m ÷b n 倍． 从上面的问题可知，讨论数量关系有时需要进行分式的乘除运算，如何进行相关运算呢，这就是我们这节课学习的主要内容．二、自主学习，指向目标自学教材第135至137页．●合作探究 达成目标探究点一 分式的乘除法运算法则活动一：阅读教材，思考问题：类比分数乘除法则，你能说出分式乘除法法则吗？ 观察下列运算：23×45＝2×43×5；57×29＝5×27×9，23÷45＝23×54＝2×53×4，57÷29＝57×92＝5×97×2. 【小组讨论】1.a b ×d c ＝？ b a ÷d c＝？ 如何进行运算？2．其运算方法和分数的乘除法有何联系？展示点评：类似于分数，分式有：(1)分式的乘法法则：分式乘分式，用________的积做积的分子，________的积作为积的分母．(2)分式的除法法则：分式除以分式，把除式的________、________颠倒位置后，与被除式________．a b ÷c d ＝a b×________＝________. 小组讨论：分式的乘除运算与分数的乘除运算有什么联系？反思小结：分数的乘除法运算实际上就是分式乘除运算的一种特殊形式，分式的乘除法运算就是对分数乘除法运算的深化．活动二：计算：(1)4x 3y ·y 2x 3 ； (2)ab 32c 2÷－5a 2b 24cd. 解：(1)原式＝23x 2 . (2)原式＝－2bd 5ac. 例2 计算：(1)a 2－4a ＋4a 2－2a ＋1·a －1a 2－4; (2)149－m 2÷1m 2－7m. 解：(1)原式＝a －2（a －1）（a ＋2）. (2)原式＝－m m ＋7. 展示点评：分式的乘除时不漏项，结果要化成最简形式．小组讨论：例2和例1有什么不同？分式的乘除运算时应注意什么问题？反思小结：分式乘除运算，结果是分式应化为最简分式或整式；运算过程中分子、分母是多项式时，先分解因式再运算．探究点二 分式乘除法的简单运用活动三：如图，“丰收1号”小麦试验田是边长为a m 的正方形去掉一个边长为1 m 的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦试验田是边长为(a －1) m 的正方形，两块试验田的小麦都收获了500 kg.(1)哪种小麦单位面积产量高？(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？思考完成下列3个问题：1．列出表示两块试验田单位面积产量的代数式：“丰收1号”________；“丰收2号”________．2．对于分子相同的分式，如何比较其大小？你能比较题中两分式的大小吗？3．运用分式的除法法则确定两块试验田单位面积产量的倍数关系．展示点评：(1)“丰收1号”小麦试验田的面积是(a 2－1) m 2，单位面积的产量是500a 2－1kg/m 2；“丰收2号”小麦试验田的面积是(a －1)2 m 2，单位面积的产量是500（a －1）2 kg/m 2. ∵0<(a －1)2<a 2－1，∴500a 2－1<500（a －1）2. 故“丰收2号”小麦的单位面积产量高．(2)500（a －1）2÷500a 2－1＝500（a －1）2·a 2－1500＝（a ＋1）（a －1）（a －1）2＝a ＋1a －1. 故“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量的a ＋1a －1倍． 小组讨论：分式的大小比较与分数的大小比较有什么联系？反思小结：式是数的扩展，数的一些方法与技巧，对于式一样适用．两个大于0的分式，当分子相同时，分母越大，分式的值越小．四、总结梳理，内化目标1．自主学习时，你的疑问是否得到解决？2．知识小结——(1)分式的乘法、除法法则是什么？在进行运算时应当注意两点：①符号问题；②运算结果一定是最简分式(或整式)．(2)能运用分式的乘除运算解决简单的实际问题．3．思想方法小结——类比、转化等数学思想．五、达标检测，反思目标1．将分式x 2x 2＋x 化简得x x ＋1，则x 应满足的条件是__x ≠0__． 2.3xy 24z ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－8z 2y 等于( C ) A ．6xyz B ．－3xy 2－8z 34yzC ．－6xyzD ．6x 2yz 3.ab 22cd ÷－3ax 4cd等于( C ) A.2b 23x B.32 b 2x C ．－2b 23x D ．－3a 2b 2x 8c 2d 2 4．如果从一大捆粗细均匀的电线上截取1 m 长的电线称得它的质量为a kg ，再称得剩余电线的质量为b kg ，那么这捆电线原来的总长度为( B )A.b ＋1a mB.⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋1 mC.⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b a ＋1 mD.⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋1 m 5．计算：(1)x ＋2x －3·x 2－6x ＋9x 2－4； 解：原式＝x ＋2x －3·（x －3）2（x ＋2）（x －2）＝x －3x －2. (2)ab 22c 2÷－3a 2b 24cd . 解：原式＝ab 22c 2·4cd －3a 2b 2＝－2d 3ac. 15．2 分式的运算（第2课时）教学目标1．能运用分式的乘除法法则进行分式乘除的混合运算．2．探索并掌握分式的乘方法则，并能运用它进行运算．教学重点能运用分式的乘除法法则进行分式乘除的混合运算．教学难点掌握分式的乘方法则，并能运用它进行运算．一、创设情景，明确目标1．回顾：分式的乘除法运算法则如何？积的乘方法则是什么？2．实数乘除混合运算的运算顺序是如何规定的？分式乘除混合又该如何运算呢？分式的乘方如何运算呢？这就是我们今天所要学习的内容．二、自主学习，指向目标自学教材第138至139页．三、合作探究，达成目标探究点一 分式乘除混合运算活动一：计算2x 5x －3÷325x 2－9·x 5x ＋3. 展示点评：原式＝2x 23.同分数的混合运算是一致的． 小组讨论：在这个式子中包含几种运算？本题的运算顺序是怎样的？反思小结：分式乘除混合运算可以统一为乘法运算．探究点二 分式的乘方的法则及应用活动二：1.思考： ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 3＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 10＝ 小组讨论： (1)从乘方的意义去理解，⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2、⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 3、⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 10的意义是什么？ (2)请根据乘方的意义和分式乘法法则计算： ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＝________＝________ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 3＝________＝________ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 10＝________＝________ 展示点评：一般地，当n 是正整数时， ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b n ＝________＝________＝________，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a b n＝________. 这就是说，分式的乘方要把________、________分别乘方．反思小结：分式乘方法则的推导，就是转化成乘方意义和分式乘法的问题．小组讨论：归纳分式乘方法则推导的思路．活动三：计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 2b 3c 2； 解：原式＝4a 4b 29c 2. (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b－cd 33÷2a d 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2a 2. 解：原式＝－a 3b 38cd 6. 展示点评：(1)根据乘方的法则，分子、分母分别乘方；(2)先算乘方，再算乘除． 小组讨论：分式的混合运算与数的混合运算在运算顺序上有什么联系？反思小结：在运算时，先确定运算结果的符号，负数的偶次幂为正，而奇次幂为负；式与数有相同的运算顺序，先乘方，再乘除．四、总结梳理，内化目标1．自主学习时，你的疑问是否得到解决？2．知识小结——(1)本节课学习了分式乘除混合运算，其运算顺序是什么？注意分解因式和约分在分式乘除法中的应用．(2)分式的乘方法则是什么？如果乘除混合运算中有乘方，要先算乘方．3．思想方法小结——从特殊到一般以及转化等数学思想．五、达标检测，反思目标 1．计算⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y ·⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x 的结果是( B ) A.x 2y B ．－x 2y C.x y D ．－x y 2.⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a 2n的值是( C ) A.b 2＋2n a 2n B ．－b 2＋2n a 2n C.b 4n a 2n D ．－b 4n a 2n 3．计算:3232-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c b a ＝336278-c b a ．4．计算：(1)2x －6x 2－4x ＋4÷(x ＋3)·（x ＋3）（x －2）3－x; 解：原式＝2（x －3）（x －2）2·1x ＋3·（x ＋3）（x －2）3－x ＝－2x －2. (2)3223⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x yz y xz z y x . 解：原式=24633226z xy x z y y xz z y x =⋅⋅. 15．2 分式的运算（第3课时）教学目标1．理解同分母分式与异分母分式加减法的运算法则，体会类比思想．2．能运用同分母分式和异分母分式加减运算法则进行运算，体会化归思想．教学重点分式的加减法法则．教学难点异分母分式的加减运算．一、创设情景，明确目标同学们还记得分数是如何进行加减法运算的吗？(找同学叙述)现在我们看下面两个问题：问题1：甲工程队完成一项工程需要n 天，乙工程队要比甲队多用3天，才能完成这项工程，两队共同工作一天完成这项工程的几分之几？问题2：2015年、2016年、2017年某地的森林面积(单位：公顷)分别是S 、2S 、3S ，2017年与2016年相比，森林面积增长率提高了多少？请按两个问题的要求列出代数式，请观察两个代数式有何特征，如何对这类代数式进行运算，这就是我们今天所要探究的内容．二、自主学习，指向目标自学教材第139至140页．三、合作探究，达成目标探究点一 分式加减法运算法则及应用活动一：1．让学生观察教材P140思考，并让学生叙述分数加减法法则．2．类似分数加减法运算法则，推广可得分式的加减法法则，你能叙述吗？展示点评：同分母的分式相加减，分母________，把分子相________．异分母的分式相加减，先________，变为________分式，再加减．这些法则用式子可表示为：a c ±bc ＝________；a b ±cd ＝ad bd±________＝________. 针对训练：下列运算是否正确，如果不正确，错在什么地方？1.a m ＋b m ＝a ＋b m； ( √ ) 2.x m ＋y n ＝x ＋y m ＋n； ( × ) 3.x m －y n ＝x －y m －n. ( × )例1 计算：(1)5x ＋3y x 2－y 2－2x x 2－y 2； 解：原式＝3x －y. (2)12p ＋3q ＋12p －3q. 解：原式＝4p 4p 2－9q 2. 小组讨论：1.(2)和(1)有什么不同？2．进行异分母分式加减运算时如何确定分式的最简公分母？变式训练：计算：(1)2a 2a －b ＋ab b 2-； (2)42142---x x x. 解：(1)1.(2)）（221+x . 反思小结：异分母分式相加减，通分后变成同分母分式，再加减．体现了转化的数学思想．探究点二 分式加减混合运算活动二：计算：x ＋2y ＋4y 2x －2y ＋4x 2y 4y 2－x 2. 展示点评：(1)x y x +=22原式.在解答中可把x ＋2y 当成一个整体． 小组讨论：分式的加减混合运算注意什么问题？反思小结：同分母分式相加减，当分子是一个多项式时应把多项式看作一个整体，加上括号参与运算．四、总结梳理，内化目标1．我们是怎么引出分式加减法法则的？2．知识小结——(1)理解同分母分式与异分母分式加减法的运算法则，并能熟练地运用同分母分式和异分母分式加减运算法则进行运算；(2)运算结果必须是最简分式．3．思想方法小结——类比、转化等数学思想．五、达标检测，反思目标1．化简x 2y －x －y 2y －x的结果是( A ) A ．－x －y B ．y －x C ．x －y D ．x ＋y2．分式1a ＋1＋1a （a ＋1）的计算结果是( C ) A.1a ＋1 B.a a ＋1 C.1a D.a ＋1a 3．计算a －2a ＋1－2a －3a ＋1＝1-1+a a _． 4．已知a(a －1)－(a 2－b)＝2，那么a 2＋b 22－ab 的值为__2__． 5．计算：(1)5a ＋3b a ＋b ＋3b －4a a ＋b －a ＋3b a ＋b； 解：原式＝5a ＋3b ＋3b －4a －a －3b a ＋b ＝3b a ＋b. (2)2x 2－4－12x －4.解：原式＝42（x ＋2）（x －2）－x ＋22（x －2）（x ＋2）＝－12（x ＋2）. 15．2 分式的运算（第4课时）教学目标掌握分式混合运算的顺序，能进行分式的混合运算．教学重点分式的混合运算．●学习过程灵活进行分式的混合运算．一、创设情景，明确目标1．说出分数混合运算的顺序．2．分式的混合运算与分数的混合运算的顺序是否相同，这节课我们就来学习分式的混合运算.二、自主学习，指向目标自学教材第141页．三、合作探究，达成目标探究点 分式的混合运算活动一：计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫2a b 2·1a －b －a b ÷b 4. 解：原式＝4a ab －b 2. 例2 计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋2＋52－m ·2m －43－m; (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2－2x －x －1x 2－4x ＋4÷x －4x . 展示点评：(1)原式＝－2m －6；(2)原式＝1（x －2）2.有时恰当运用运算律可简化运算． 小组讨论：分式的乘、除、加、减以及乘方的法则分别是什么？这些式子的运算顺序是怎样的？反思小结：分式的混合运算顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的；若是同级运算，按从左到右的顺序进行(加减是同级运算，乘除是同级运算)．四、总结梳理，内化目标1．自主学习时，你的疑问是否得到解决？2．知识小结——分式的混合运算与分数的混合运算类似，运算是应注意两点． (1)灵活应用交换律、结合律、分配律；(2)运算结果化成最简分式． 3．思想方法小结——类比、转化等数学思想． 五、达标检测，反思目标1．计算：1－11－x ·x －1x ＝__x x 1+__．2．计算：⎝⎛⎭⎪⎫a a －b －b b －a ÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1b .解：原式＝a ＋b a －b ·ab b －a ＝－a 2b ＋ab 2（a －b ）2.15．2 分式的运算（第5课时）教学目标1．了解负整数指数幂的含义，理解并掌握整数指数幂的规定及此规定的前提条件． 2．会根据负整数指数幂的规定进行有关幂指数的运算． 教学重点会根据负整数指数幂的规定进行有关幂指数的运算． 教学难点了解负整数指数幂的含义． 一、创设情景，明确目标a n(n 是正整数)的意义是什么？我们已学过正整数指数幂的哪些运算性质，你能完整的叙述出来吗？同底数的幂的乘法：a m·a n＝a m ＋n(m ，n 是正整数)；幂的乘方：(a m )n ＝a mn(m ，n 是正整数)；积的乘方：(ab)n＝a n b n(n 是正整数)；同底数的幂的除法：a m÷a n＝am －n(a ≠0，m ，n是正整数，m ＞n)；分式的乘方：⎝ ⎛⎭⎪⎫a b n＝a nbn (n 是正整数)；零指数幂：a ≠0时，a 0n a ，n 能否为负整数呢？其意义又是什么？这就是我们这节课所要探究的内容．二、自主学习，指向目标 自学教材第142至144页． 三、合作探究，达成目标探究点一 负整数指数幂的产生及意义 活动一：1．用两种方法计算：a 3÷a 5，你们得到的结果有哪些形式？ 方法一(约分的方法)： a 3÷a 5＝a 3a 5＝a 3a 3·a 2＝1a2①方法二(同底数幂相除)：如果把同底数幂相除的运算法则：a m ÷a n ＝am －n(a ≠0，m ，n 是正整数，m ＞n)中的条件m ＞n 去掉，假设这个性质对于a 3÷a 5的情形也适用，则有：a 3÷a 5＝a3－5＝a－2②2．由①②两式，同学们发现a －2与1a2有何关系？展示点评：因此在数学中规定：一般地，当n 是正整数时，a －n＝1a n (a ≠0)，这就是说，a －n是a n的倒数．小组讨论：上述规定中，为什么强调a ≠0.反思小结：至此，乘方中的指数已扩展为全体整数，但要注意指数为正整数、负整数或0时，底数的取值X 围是不相同的．探究点二 整数指数幂的运算 活动二：正整数指数幂的各个运算法则：a m·a n＝am ＋n(m ，n 是正整数)；(a m )n ＝a mn(m ，n 是正整数)；(ab)n＝a n b n(n 是正整数)；a m÷a n＝a m －n (a ≠0，m ，n 是正整数，m ＞n)；⎝ ⎛⎭⎪⎫a b n＝n n b a (n 是正整数)．小组讨论：当m 分别是正整数、0、负整数时，a m各表示什么意义？ 当指数m 、n 扩展到全体整数的情形时，是否仍然适用？ 观察：a 3·a －5＝)5(322531-+-===a a a a a ，即a 3·a －5＝a3＋(－5).a －3·a －5＝853111a a a=⋅＝a －8＝a －3＋(－5)，即a －3·a －5＝a－3＋(－5).展示点评：a m·a n＝am ＋n这条法则对于m 、n 是任意整数的情形仍然适用．扩展：随着指数的取值X 围由正整数推广到全体整数，前面的运算性质也推广到任意整数指数幂．例 计算：(1)a 2÷a 5＝a －3; (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫b 3a 2－2＝a 4b 6;(3)(a －1b 2)3＝b 6a 3 ; (4)a －2b 2·(a 2b －2)－3＝88ab .分析：这几个式子分别属于幂的哪种运算？运算法则和顺序是怎样的？小组讨论：整数指数幂的运算性质有哪些？在运用这些性质计算时，应注意什么问题？ 反思小结：对于运算的结果是负整数指数幂的形式，要化为正整数指数幂的形式．负指数幂的引入可以使幂的除法转化为幂的乘法运算．四、总结梳理，内化目标1．自主学习时，你的疑问是否得到解决？2．知识小结——(1)了解负整数指数幂的含义，理解并掌握整数指数幂的规定及此规定的前提条件；(2)会根据负整数指数幂的规定作有关幂指数的运算． 3．思想方法小结——类比、转化等数学思想． 五、达标检测，反思目标 1．下列运算正确的是( B )A ．a 2·b 3＝a 6B ．5a 2－3a 2＝2a 2C ．a 0＝1 D ．(2)－1＝－2 2．下列运算正确的是( C ) A ．4x 6÷(2x 2)＝2x 3B ．2x －2＝12x2 C ．(－2a 2)3＝－8a 6D.a 2－b2a －b＝a －b3．计算－22＋(－2)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－1的结果是( A )A ．2B ．－2C ．6D ．104.⎝ ⎛⎭⎪⎫130＝__1__;⎝ ⎛⎭⎪⎫－14－2＝__16__. 5．计算：(1)(a －2)－3·(bc －1)3;解：原式＝a 6·b 3c －3＝a 6b 3c3.(2)(3x 3y 2z －1)－2·(5xy －2z 3)2.解：原式＝3－2(x 3)－2(y 2)－2(z －1)－2·25x 2y －4z 6＝19x －6y －4z 2·25x 2y －4z 6＝259x －4y －8z 8＝25z 89x 4y8. 15．2 分式的运算（第6课时）教学目标会根据负整数指数幂的意义运用科学记数法表示小于1的正数(重难点)． 一、创设情景，明确目标纳米是非常小的长度单位，1纳米＝10－9米，把1纳米的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上.1立方毫米的空间可以放多少个1立方纳米的物体(物体之间的间隙忽略不计)?二、自主学习，指向目标 自学教材第145页． 三、合作探究，达成目标探究点一 用科学记数法表示小于1的正数 活动一：思考： 10－1＝__101__＝0.1； 10－2＝__2101__＝____；10－3＝__3101__＝____；10－5＝__01__； 10－6＝__001__；10－n＝__n101__．反之：0．00001＝110（ ）＝10( )0．000025×1105×10－5展示点评：填空的依据是负整数指数幂的意义．小组讨论：用科学记数法表示小于1的正数：a ×10n，如何确定a 的值和n 的值，你有什么好方法？探究点二 科学记数法的简单运用活动二：纳米是非常小的长度单位，1 nm ＝10－9m ，把1 nm 的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上.1 mm 3的空间可以放多少个1 nm 3的物体(物体之间的间隙忽略不计)?展示点评：先把不同的长度单位转化成相同的长度单位，1 mm ＝10－3m ， 1 nm ＝10－9m ，再求出体积进行比较．小组讨论：用科学记数法表示绝对值较小的数的关键是什么？ 反思小结：用科学记数法表示绝对值较小的数的关键是确定a 和n. 四、总结梳理，内化目标1．自主学习时，你的疑问是否得到解决？2．知识小结——用科学记数法表示小于1的正数：a ×10n，1≤a ≤10，n 的值是此数第一个非零数字前面0的个数的相反数(含小数点前面的0).五、达标检测，反思目标 1.009×10n，那么n ＝__－6__．2.×10－5＝_－0168_，2－2×10－3＝__×10－4_． 3.下列各式，错误的是(D)A ．0.001＝10－3 B.10.001＝103C ．3000＝3×103D ．(－0.01)－3＝1064.计算：(1)(3×10－8)×(4×103)； 解：原式＝(3×4)×(10－8×103) ＝12×10－5＝×10－4.(2)(2×10－3)2÷(10－3)3.解：原式＝22×10－6÷10－9＝4×103.。
八年级数学人教版(上册)第2课时用科学记数法表示绝对值小于1的数
B．－3
C．2
D．3
5．(2021·桂林)细菌的个体十分微小，大约 10 亿个细菌堆积起
来才有一颗小米粒那么大．某种细菌的直径是 0.000 002 5 米，用科
学记数法表示这种细菌的直径是( D )
A．25×10－5 米
B．25×10－6 米
C．2.5×10－5 米
D．2.5×10－6 米
6．(2021·日照)实验测得，某种新型冠状病毒的直径是 120 纳米
第2课时
第十五章 分式
15.2 分式的运算 15.2.3 整数指数幂 用科学记数法表示绝对值小于1的数
知识点 用科学记数法表示绝对值小于 1 的数 1．用科学记数法表示下列各数： (1)0.000 003 2＝ 3.2×10－6 ． (2)－0.000 000 305＝ －3.05×10－7 ．
2．把下列用科学记数法表示的数还原： (1)7.2×10－5＝ 0.000 072 ． (2)－1.5×10－4＝ －0.000 15 ．
(1 纳米＝10－9 米)，120 纳米用科学记数法可表示为( B )
A．12×10－6 米
B．1.2×10－7 米
C．1.2×10－8 米
D．120×10－9 米
7．一次抽奖活动中特等奖的中奖率为50 1000，把50 1000用科学
记数法表示为( D )
A．5×10－4
B．5×10－5
C．2×10－4
11．一块 900 mm2 的芯片上能集成 10 亿个元件． (1)每个这样的元件约占多少平方毫米？ 解： 10 亿＝10×108＝109， 900÷109＝9×10－7(mm2)． ∴每个这样的元件约占 9×10－7 m m 2.
(2)每个这样的元件约占多少平方米？
人教版八年级数学上册15.2.2.2《分式的混合运算》教案
人教版八年级数学上册15.2.2.2《分式的混合运算》教案一. 教材分析人教版八年级数学上册15.2.2.2《分式的混合运算》一节，主要让学生掌握分式的加减乘除运算规则，以及混合运算的运算顺序。
这一节内容在分式知识体系中占据重要地位，为后续分式方程和不等式的学习打下基础。
教材通过例题和练习，使学生熟练掌握分式混合运算的方法和技巧。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了分式的基本概念和运算规则，对分式有了一定的认识。
但学生在混合运算方面，可能会存在运算顺序混乱、对运算规则理解不深等问题。
因此，在教学过程中，需要引导学生理清运算顺序，加深对运算规则的理解。
三. 教学目标1.让学生掌握分式的加减乘除运算规则。
2.培养学生解决分式混合运算问题的能力。
3.提高学生对数学运算的兴趣和自信心。
四. 教学重难点1.重点：分式的加减乘除运算规则，混合运算的运算顺序。
2.难点：理解并运用运算规则解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究分式混合运算的规则。
2.用实例讲解，让学生在实际问题中体会运算规则的应用。
3.运用小组合作学习，培养学生团队合作精神。
4.及时反馈，激发学生学习兴趣。
六. 教学准备1.准备相关例题和练习题，涵盖分式混合运算的各种情况。
2.制作课件，辅助讲解和展示。
3.准备黑板，用于板书关键步骤和结论。
七. 教学过程1. 导入（5分钟）以一个实际问题引入：某商店举行打折活动，原价100元的商品，打8折后售价是多少？让学生尝试用分式混合运算解决这个问题。
2. 呈现（10分钟）讲解分式混合运算的规则，通过PPT展示各种类型的题目，让学生观察和分析，引导学生发现运算规律。
3. 操练（10分钟）让学生独立完成PPT上的练习题，教师巡回指导，及时解答学生的疑问。
4. 巩固（10分钟）学生分组讨论，互相检查答案，教师随机抽取学生回答，检验掌握情况。
5. 拓展（10分钟）让学生举例说明分式混合运算在实际生活中的应用，分享给其他同学。
洪泽县第八中学八年级数学上册第十五章分式15.2分式的运算15.2.1分式的乘除第2课时分式的乘方及
第2课时 分式的乘方及乘方与乘除的混合运算1．进一步熟练分式的乘除法法则，会进行分式的乘、除法的混合运算．2．理解分式乘方的原理，掌握乘方的规律，并能运用乘方规律进行分式的乘方运算．重点分式的乘方运算，分式的乘除法、乘方混合运算． 难点分式的乘除法、乘方混合运算，以及分式乘法、除法、乘方运算中符号的确定．一、复习引入1．分式的乘除法法则．分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，用分母的积作为积的分母．分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． 2．乘方的意义： a n＝a·a·a·…·a(n 为正整数)． 二、探究新知例1(教材例4) 计算2x 5x －3÷325x 2－9·x5x ＋3. 解：2x 5x －3÷325x 2－9·x 5x ＋3＝2x 5x －3·25x 2－93·x 5x ＋3 (先把除法统一成乘法运算) ＝2x23.(约分到最简公式) 分式乘除运算的一般步骤： (1)先把除法统一成乘法运算；(2)分子、分母中能分解因式的多项式分解因式； (3)确定分式的符号，然后约分； (4)结果应是最简分式．1．由整式的乘方引出分式的乘方，并由特殊到一般地引导学生进行归纳． (1)(a b )2＝a b ·a b ＝a 2b2；↑ ↑由乘方的意义 由分式的乘法法则 (2)同理：(a b )3＝a b ·a b ·a b ＝a 3b3； (a b )n ＝a b ·a b ·…·a b n 个＝a ·a ·…·an 个b ·b ·…·bn 个 ＝a nb n . 2．分式乘方法则：分式：(a b )n ＝anbn .(n 为正整数)文字叙述：分式乘方是把分子、分母分别乘方．3．目前为止，正整数指数幂的运算法则都有什么？(1)a n ·a n ＝a m ＋n ；(2)a m ÷a n ＝a m －n；(3)(a m )n ＝a mn ；(4)(ab)n ＝a n b n； (5)(a b )n ＝a nb n .三、举例分析 例2 计算： (1)(－2a 2b 3c)2；(2)(a 2b －cd 3)3÷2a d 3·(c 2a )2. (3)(－x 2y )2·(－y 2x )3÷(－y x )4；(4)a 2－b 2a 2＋b 2÷(a －b a ＋b)2. 解：(1)原式＝（－2a 2b ）2（3c ）2＝4a 4b 29c 2； (2)原式＝a 6b 3－c 3d 9·d 32a ·c 24a 2＝－a 3b38cd 6；(3)原式＝x 4y 2·(－y 6x 3)·x 4y4＝－x 5；(4)原式＝（a ＋b ）（a －b ）a 2＋b 2·（a ＋b ）2（a －b ）2＝（a ＋b ）3（a －b ）（a 2＋b 2）. 学生板演、纠错并及时总结做题方法及应注意的地方：①对于乘、除和乘方的混合运算，应注意运算顺序，但在做乘方运算的同时，可将除变乘；②做乘方运算要先确定符号．例3 计算：(1)b 3n －1c 2a 2n ＋1·a2n －1b3n －2；(2)(xy －x 2)÷x 2－2xy ＋y 2xy ·x －y x2；(3)(a 2－b 2ab )2÷(a －b a )2.解：(1)原式＝b 3n －2·b ·c 2a 2n －1·a 2·a 2n －1b 3n －2＝bc 2a2； (2)原式＝－x （x －y ）1·xy （x －y ）2·x －yx 2＝－y ；(3)原式＝（a ＋b ）2（a －b ）2a 2b 2·a 2（a －b ）2＝a 2＋2ab ＋b2b2. 本例题是本节课运算题目的拓展，对于(1)指数为字母，不过方法不变；(2)(3)是较复杂的乘除乘方混合运算，要进一步让学生熟悉运算顺序，注意做题步骤．四、巩固练习教材第139页练习第1，2题．五、课堂小结1．分式的乘方法则．2．运算中的注意事项．六、布置作业教材第146页习题15.2第3题．分式的乘方运算这一课的教学先让学生回忆以前学过的分数的乘方的运算方法，然后采用类比的方法让学生得出分式的乘方法则．在讲解例题和练习时充分调动学生的积极性，使大家都参与进来，提高学习效率．2 一定是直角三角形吗一、选择题：1、以下面每组中的三条线段为边的三角形中，是直角三角形的是（ ） A 5cm ，12cm ，13cm B 5cm ，8cm ，11cm C 5cm ，13cm ，11cm D 8cm ，13cm ，11cm2、⊿ABC 中，如果三边满足关系2BC =2AB +2AC ，则⊿ABC 的直角是（ ） A ∠ C B ∠AC ∠BD 不能确定3、由下列线段组成的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A a=7，b=25，c=24 B a=2.5，b=2，c=1.5 C a=45，b=1，c= 32 D a=15，b=20，c=254、三角形的三边长a 、b 、c 满足ab c b a 2)(22=-+，则此三角形是（ ） A 直角三角形 B 锐角三角形C 钝角三角形D 等腰三角形5、小红要求△ABC 最长边上的高，测得AB =8 cm ，AC =6 cm ，BC =10 cm ，则可知最长边上的高是6.满足下列条件的△ABC ，不是直角三角形的是A.b 2=c 2－a 2B.a ∶b ∶c =3∶4∶5C.∠C =∠A －∠BD.∠A ∶∠B ∶∠C =12∶13∶157.在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是A.5，6，7B.1，4，9C.5，12，13D.5，11，128.若一个三角形的三边长的平方分别为：32，42，x 2则此三角形是直角三角形的x 2的值是A.42B.52C.7D.52或79.如果△ABC 的三边分别为m 2－1，2 m ，m 2+1(m ＞1)那么A.△ABC 是直角三角形，且斜边长为m 2+1 B.△ABC 是直角三角形，且斜边长2 为mC.△ABC 是直角三角形，但斜边长需由m 的大小确定D.△ABC 不是直角三角形 二、填空题：10、若一个三角形的三边长分别是m+1，m+2，m+3，则当m= ，它是直角三角形。
永丰县三中八年级数学上册 第十五章 分式15.2 分式的运算15.2.1 分式的乘除第2课时 分式的
第2课时 分式的乘方1．理解并记住分式乘方的法则．(重点)2．能运用乘方法则熟练地进行分式乘方运算．(重点)3．能分清乘方、乘除的运算顺序，进行分式的乘除、乘方混合运算．(难点)一、情境导入复习乘方的意义：a m＝a ×a ×a ×a ×…×a,\s \do 4(m 个)) (m 为正整数)，指出底数a 可以代表一个数，一个整式或代数式，也可以是一个分式，当底数为分式，m 为正整数时，(b a)m表示分式的乘方．那么，分式的乘方怎么计算呢？二、合作探究探究点一：分式的乘除混合运算计算：a －1a ＋2·a 2－4a 2－2a ＋1÷1a 2－1.解析：先将除法变为乘法，再根据分式的乘法运算法则进行运算． 解：原式＝a －1a ＋2·（a ＋2）（a －2）（a －1）2·（a ＋1）（a －1）1＝(a －2)(a ＋1)＝a 2－a －2. 方法总结：分式乘除混合运算要注意以下几点：(1)利用分式除法法则把除法变成乘法；(2)进行约分，计算出结果．特别提醒：分式运算的最后结果是最简分式或整式．探究点二：分式的乘方【类型一】 分式的乘方运算下列运算结果不正确的是( )A ．(8a 2bx 26ab 2x )2＝(4ax 3b )2＝16a 2x 29b2B ．[－(x 32y )2]3＝－(x 32y )6＝－x 1864y 6C ．[y －x （x －y ）2]3＝(1y －x )3＝1（y －x ）3D ．(－x n y 2n )n ＝x 2ny3n解析：A 、B 、C 计算都正确；D 中(－x n y 2n )n ＝(－1)n xn 2y 2n 2，原题计算错误．故选D. 方法总结：分式的乘方就是分子、分母分别乘方，最后化为最简分式．【类型二】 分式的乘除、乘方混合运算计算：(1)(－x 2y )2·(－y 2x )3·(－1x)4；(2)（2－x ）（4－x ）x 2－16÷(x －24－3x )2·x 2＋2x －8（x －3）（3x －4）. 解析：(1)先算乘方，然后约分化简，注意符号；(2)先算乘方，再将除法转换为乘法，把分子、分母分解因式，再进行约分化简．解：(1)原式＝x 4y 2·(－y 6x 3)·1x 4＝－y 4x3；(2)原式＝（x －2）（x －4）（x ＋4）（x －4）·（3x －4）2（x －2）2·（x －2）（x ＋4）（x －3）（3x －4）＝3x －4x －3. 方法总结：进行分式的乘除、乘方混合运算时，要严格按照运算顺序进行运算．先算乘方，再算乘除．注意结果一定要化成一个整式或最简分式的形式．【类型三】 分式乘方的应用通常购买同一品种的西瓜时，西瓜的质量越大，花费的钱越多，因此人们希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好．假如我们把西瓜都看成球形，并把西瓜瓤的密度看成是均匀的，西瓜的皮厚都是d ，已知球的体积公式为V ＝43πR 3(其中R 为球的半径)，求：(1)西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多少？ (2)西瓜瓤与整个西瓜的体积比是多少？解析：(1)根据体积公式求出即可；(2)根据(1)中的结果得出即可；(3)求出两体积的比即可．解：(1)西瓜瓤的体积是43π(R －d )3；整个西瓜的体积是43πR 3；(2)西瓜瓤与整个西瓜的体积比是43π（R －d ）343πR 3＝（R －d ）3R 3.方法总结：本题能够根据球的体积，得到两个物体的体积比即为它们的半径的立方比是解此题的关键．【类型四】 分式的化简求值化简求值：(2xy 2x ＋y )3÷(xy 3x 2－y 2)2·[12（x －y ）]2，其中x ＝－12，y ＝23. 解析：按分式混合运算的顺序化简，再代入数值计算即可．解：原式＝8x 3y 6（x ＋y ）3·（x ＋y ）2（x －y ）2x 2y 6·14（x －y ）2＝2x x ＋y .将x ＝－12，y ＝23代入，得原式＝－6.方法总结：先算乘方再算乘除，将原式化为最简形式，是解决此类问题的常用方法．三、板书设计分式的乘方1．分式乘方的法则：分式的乘方就是把分子、分母分别乘方．2．分式的混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减．在分式乘方的教学中，通过回忆乘方的定义，让学生利用乘方的定义和分式的乘除法则进行一些具体的计算，进而归纳出分式的乘方法则，再通过一组练习加深对乘方法则的理解和应用．本节课知识点较多，对运算法则的推理过程占了相当多的时间，因此，对基本法则的理解和熟练程度还有待在后续的练习中予以加强．12.2 一次函数第6课时一次函数与一元一次方程、一元一次不等式【学习目标】1．通过具体实例，初步体会一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的内在联系．2．了解一次函数、一元一次方程、一元一次不等式在解决问题过程中的作用和联系．【重、难点】重点：运用一元一次方程、一元一次不等式解决一次函数问题．难点：运用一次函数的图像解一元一次不等式．【新知预习】1. 已知一次函数y=2x-3，（1）当x取什么值时，一次函数y=2x-3的值是0；(2) 当x取什么值时，一次函数y=2x-3的值是正数；（3）当x取什么值时，一次函数y=2x-3的值是负数?【导学过程】一、活动问题1：一根长25cm的弹簧，一端固定，另一端挂物体（2）画出函数图像；（3）求出这根弹簧在所允许的限度内所挂物体的最大质量；（4）请用一元一次不等式求这根弹簧在所允许的限度内所挂物体的最大质量?问题2：已知一次函数y=2x+4的图像．(1)根据一次函数y=2x+4的图像，求出2x+4=0的解；(2)根据一次函数y=2x+4的图像，求出2x+4＞0的解集；(3)根据一次函数y=2x+4的图像，求出2x+4＜0的解集？问题3：一辆汽车行驶35km 后，驶入高速公路，并以105km/h 的速度匀速行驶了xh ．(1) 请根据上述情境，提出一个用一次函数来解决的问题，并解答； (2) 请根据上述情境，提出一个用一元一次方程来解决的问题，并解答； (3) 请根据上述情境，提出一个用一元一次不等式来解决的问题，并解答？二、例题1．已知函数y ＝32x ＋3，先画出函数的图像，再根据图像回答下列问题：（1）当x 取哪些值时，函数值y 等于0、大于0、小于0？（2）在函数图象中，y 值等于0的点在什么位置；（3）y 值大于0的点对应的横坐标在什么范围；（4）y 值小于0的点对应的横坐标在什么范围？2.已知y 1=-x+1,y 2=4x-2,当x 取何值时，（1）y 1=y 2；(2)y 1＞y 2；(3)y 1＜y 2?【反馈练习】1.已知函数y 1＝2x －4与y 2＝－2x ＋8的图像，观察图像并回答问题： （1）x 取何值时，2x －4＞0； （2）x 取何值时，－2x ＋8＜0； （3）当-4≤x ≤8,求y 1的范围； （4）当-4≤y 2≤8,求x 的范围?第3课时平行四边形的判定[知识与技能]1.在探索平行四边形的判别条件中 , 理解并掌握用边、対角线来判定平行四边形的方式.2.会综合运用平行四边形的判定方式和性质来解决问题.3.培养用类比、逆向联想及运动的思维方式来研究问题.[过程与方式]经历平行四边形判定条件的探索过程 , 发展学生的合情推理意识和表述能力.[情感态度]培养学生合情推理能力 , 以及严谨的书写表达 , 体会几何思维的真正内涵.[教学重点]理解和掌握平行四边形的判定定理.[教学难点]几何推理方式的应用.（一）创设情境 , 导入新课小明的父亲手中有一些木条 , 他想通过适当的测量、割剪 , 钉制一个平行四边形框架 , 你能帮他想出一些方式来吗？[教学说明]通过创设情境激发学生探究的兴趣 , 让学生实际动手操作以使学生印象深刻.（二）合作探究 , 探索新知1.平行四边形的定义是什么？有两组対边分别平行的四边形是平行四边形2.让学生利用手中的学具——硬纸板条通过观察、测量、猜测、验证、探索构成平行四边形的条件 , 思考并探讨 :〔1〕你能适当选择手中的硬纸板条搭建一个平行四边形吗？〔2〕你怎样验证你搭建的四边形一定是平行四边形？〔3〕你能说出你的做法及其道理吗？〔4〕能否将你的探索结论作为平行四边形的一种判别方式？你能用文字语言表述出来吗？〔5〕你还能找出其他方式吗？3.从探究中得到 :平行四边形判定方式1 两组対边分别相等的四边形是平行四边形.平行四边形判定方式2 対角线互相平分的四边形是平行四边形.4、取两根等长的木条AB、CD , 将它们平行放置 , 再用两根木条BC、AD加固 , 得到的四边形ABCD是平行四边形吗？结论 : 一组対边平行且相等的四边形是平行四边形.[教学说明]学生先动手实际操作 , 然后教师引导学生根据拼接画出相应的图形 , 先观察图形 , 再进行证明 , 最后教师再引导学生进行总结.教师要注意引导学生探究的方向 , 在总结时一定要结合具体的图形进行 , 使学生能充分理解和掌握平行四边形的判定方式.（三）例如讲解 , 掌握新知例已知 : 如以下图 , □ABCD中 , E、F分别是AD、BC的中点 , 求证 : BE=DF.[分析]证明BE=DF , 可以证明两个三角形全等 , 也可以证明四边形BEDF是平行四边形 , 比拟方式 , 可以看出第二种方式简单.证明 : ∵四边形ABCD是平行四边形 ,∴AD∥CB , AD=BC.∵E、F分别是AD、BC的中点 ,∴DE∥BF , 且DE=12AD , BF=12BC.∴DE=BF.∴四边形BEDF是平行四边形〔一组対边平行且相等的四边形是平行四边形〕.∴BE=DF[教学说明]此题综合运用了平行四边形的性质和判定 , 先运用平行四边形的性质得到判定另一个四边形是平行四边形的条件 , 再应用平行四边形的性质得出结论 ; 题目虽不复杂 , 但层次有三 , 且利用知识较多 , 因此应使学生获得清晰的证明思路.（四）练习反馈 , 巩固提高1.在四边形ABCD中,AB=4 , BC=5 , 当CD=_______ , DA=_______时 , 四边形ABCD 是平行四边形.2.如以下图 , AC是四边形ABCD的対角线 , ∠1=∠2,要使四边形ABCD是平行四边形 , 还需增加的一个条件是_______.第2题第3题3.如以下图 , AD是△ABC的中线 , CF , BE分别垂直于AD , 垂足分别为F , E , 那么四边形BECF是______________ , 理由是____________________________.4.已知 : 如以下图 , 在□ABCD中 , BN=DM,BE=DF.求证 : 四边形MENF是平行四边形.[答案]1.4;5 2.∠3=∠4等3.平行四边形対角线互相平分的四边形是平行四边形4.解 : ∵四边形ABCD是平行四边形 ,∴AD∥BC ,∴∠MDF=∠NBE,又∵BN=DM,BE=DF∴△MDF≌△NBE(SAS),∴EN=MF,∠BEN=∠DFM,∴∠MFE=∠NEF,∴MF∥EN,∴四边形MENF是平行四边形.[教学说明]学生尝试独立完成 , 教师要提醒学生先观察图形 , 再结合条件 , 选择合适的判定方式.（五）师生互动 , 课堂小结我们学习了平行四边形的定义、性质、判定、画法 , 平行四边形的性质和判定尤为重要 , 同学们要掌握好.[教学说明]用图表的形式対平行四边形的性质和判定进行总结 , 教师要求学生分清性质和判定 , 并理解它们之间的联系.完成同步练习册中本课时的练习.现行教材中的定理教学 , 多数是沿用〞定义—定理—证明—应用〞这样的模式.按照这样的程序去教学 , 教学的结果往往只限于几条枯燥乏味的结论.长此以往 , 学生不易引起兴趣 , 教师也感到索然无味.怎么才能把兴趣还给学生 , 把信心留给教师 , 使课堂散发出魅力和活力 , 使学生得到思考的乐趣和机会 , 充分展示数学的魅力所在呢？本节课的设计是让定理的教学充分展现知识的发生 , 发展过程.既対定理的产生有探索过程 , 又対论证方式有发现过程 , 既教发现 , 又教证明.教师要充分发挥引导者的作用 , 以学生为主体 , 让学生自主探究 , 在探究的教程中 , 鼓励学生大胆尝试 , 从中获得成功的体验 , 由学生充分的动脑 , 动口 , 动手完成知识的迁移 , 通过探索式证明学习 , 开拓学生的思路 , 发展学生的思维能力 ; 通过尝试的过程中 , 发展学生的合情推理意识、主动探究的习惯 , 激发学生学习数学的热情和兴趣.7。
15.2.3.2 科学计数法
15.2 分式的运算 15.2.3 整数指数幂 第2课时 科学计数法
1 课堂讲解
用科学记数法表示绝对值小于1的数 科学记数法的实际应用 含有科学记数法表示的数的运算
2 课时流程
预习 导学
题型 分类
当堂 演练
课后 作业
1．用科学记数法表示小于1的正数 表示方法：小于1的正数可以用科学记数法表示 为a×10－n的形式，其中1≤a＜10，n是正整数．
(2)(2017·内江)PM2.5 是指大气中直径小于或等 于 2.5μm(1μm＝0.000 001m)的颗粒物，也称为可 入肺颗粒物，它们含有一定量的有毒、有害物质， 对人体健康和大气环境质量有很大影响，2.3μm 用科学记数法可表示为( C ) A．23×10－5m B．2.3×10－5m C．2.3×10－6m D．0.23×10－7m
解：原式＝3.2×10－6.
(2)－0.000 000 305.
解：原式＝－3.05×10－7.
题题型型 二 科学记数法的实际应用
【例 2】(1)(中考·菏泽)生物学家发现了一种病毒，其 长度约为 0.000 000 32mm，数据 0.000 000 32 用 科学记数法表示正确的是( C ) A．3.2×107 B．3.2×108 C．3.2×10－7 D．3.2×10－8
数法表示为( B )
A．4×108
－4×108
3．纳米(nm)是非常小的长度单位，1 nm＝0.000 000 001 m.
用科学记数法表示 35 nm＝__3_.5_×__1_0__－_8_m.
4．把下列用科学记数法形式表示的数还原：
(1)7.2×10－5＝_____0_.0__0_0__0_7__2_____； (2)－1.5×10－4＝___－__0_._0_0_0__1_5____．
八年级上册数学第十五章 分式思维导图
八年级上册数学第十五章
分式15.1 分式
15.1.1 从分数到分式分式的定义
如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式
分式中，A叫做分子，B叫做分母
B
A
B
A
15.1.2 分式的基本性质
分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变
相关概念
约分把一个分式的分子或分母的公因式约去，叫做分式的约分
最简分式分子与分母没有公式式的分式
通分把几个异分母的分式分别化成雨原来分式相等的同分母的分式
最简公分母各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母
15.2 分式的运算
15.2.1 分式的乘除
乘法法则1
除法法则2
分式乘方要把分子、分母分别乘方
15.2.2 分式的加减
加法法则3
减法法则4
15.2.3 整数指数幂 这条性质对于m,n是任意整数的情形仍然适用
a∗
m a=
n a m+
(n)
15.3 分式方程
概念分母中含未知数的方程
检验
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是
原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解
八年级上册数学总大纲
备注：
1. 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母
2. 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘
3. 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减
4. 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。
新人教版八年级数学上册第十五章《分式的运算》精品教案 (2)
本题源自《教材帮》
课后小知识
学习方法指导
同学们，天道酬勤，一个人学习成绩的优劣取决于他的学习 能力，学习能力包括三个要素：
规范的学习行为； 良好的学习习惯； 有效的学习方法。 只要做好以上三点，相信你一定会成为学习的强者。 加油！加油！加油！
课后反思
1、今天的学习结束，你收获了什么？ 2、引导学生归纳本课知识重点。 3、同桌之间交流一下学习心得与学习方法。
注意科学记数法表示的数是 一个整体，要用括号括起来.
本题源自《教材帮》
拓展提升 2
小时候我们用肥皂水吹泡泡，其泡泡的厚度约为0.000326毫米，用科学记数法
表示为（ A ）
A. 3.2610-4 毫米
B. 0.32610-4 毫米
C. 3.2610-4 厘米
D. 32.610-4 厘米
解析：观察4个选项，只有A和C是正确的科学记数法的表示形式，只需要判断 毫米和厘米即可，本题答案为A.
am an am-n（m、n是整数，a≠0）
( a )n b
an bn
（n是整数）
学习目标
1、掌握用科学记数法表示较小的数的方法. 2、理解科学记数法中的指数与小数点后面零的个数的关系.
课堂导入
思考1：我们已经知道较大的数适合用科学记数法表示，例如光速约为 3×108m/s，太阳的半径约为6.96×105km，2010年世界人口数约为6.9×109等.
本题源自《教材帮》
随堂练习 2
用科学记数法表示下列各数：
（1）0.0000000467
（2）-0.0000208
解：（2）-0.0000208=-2.08×10-5
第一个不为0的数字是2，2的前面有5个0（包括小数点前面的0）， 则n的值就是5.注意这个数前面的符号是“-”，用科学记数法表示 后仍然带上符号“-“.
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初中数学人教版八年级上册实用资料
第2课时科学记数法
[学生用书P115]
1．下列各式中是用科学记数法表示的数是( )
A．0.99×10－7 B．(9×10)－2
C．32×105 D．1.5×10－1
2．已知0.000 49＝4.9×10n，则n为( )
A．4 B．－4 C．5 D．－5
3．[2015·内江]用科学记数法表示0.000 006 1，结果是( )
A．6.1×10－5 B．6.1×10－6
C．0.61×10－5 D．61×10－7
4．[2016·宜宾]科学家在实验中检测出某微生物细胞的直径约为0.000 003 5 m，将0.000 003 5用科学记数法表示为( )
A．3.5×10－6 B．3.5×106
C．3.5×10－5 D．35×10－5
5．[2016·资阳]世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.000 000 076克，将数0.000 000 076用科学记数法表示为( )
A．7.6×10－9 B．7.6×10－8
C．7.6×109 D．7.6×108
6．[2016·苏州]肥皂泡的泡壁厚度大约是0.000 7 mm，0.000 7用科学记数法表示为( )
A．0.7×10－3 B．7×10－3
C．7×10－4 D．7×10－5
7．已知0.003×0.005＝1.5×10n，则n等于( )
A．－4 B．－5 C．－6 D．－7
8．[2016·威海]蜜蜂建造的蜂巢既坚固又省料，其厚度约为0.000 073 m，将0.000 073
用科学记数法表示为_ _．
9．(1)已知氢原子中原子核和电子之间的距离为0.000 000 005 29 cm，可记作__ __cm；
(2)人的头发的直径约为0.000 07 m，可记作_ _m.
10．用科学记数法表示下列各数：
0．000 1，0.000 13，0.000 000 204，－0.000 000 004 06.
11．计算：
(1)(－1.3×10－6)×0.000 4＝__ __；
(2)(3×10－4)3÷(0.000 1)2＝__ _．
12．1纳米相当于1根头发丝直径的六万分之一，则用科学记数法表示头发丝的半径是( )
A．6万纳米 B．6×104纳米
C．3×10－6米 D．3×10－5米
13．计算：(1)(5×1010)÷(－0.2×102)2×(－200)2；
(2)9×10－9÷(1.8×10－2)×(3.5×10－4)．
14．如图15-2-1，点O，A在数轴上表示的数分别是0，0.1.
图15-2-1
将线段OA分成100等份，其分点由左向右依次为M1，M2，…，M99；
再将线段OM1分成100等份，其分点由左向右依次为N1，N2，…，N99；
继续将线段ON1分成100等份，其分点由左向右依次为P1，P2，…，P99；则点P37所表示的数用科学记数法表示为__ __．
参考答案
【知识管理】
1．正整数负整数
【归类探究】
例1(1)5.07×10－6(2)－1.102×10－7
(3)1.2×10－7
例2(1)1.49×108(2)9×10－3
例3(1)1.5×10－7(2)6×10－12(3)－1.8×10－19
(4)－2×10－19
【当堂测评】
1．D 2.C 3.B 4.B 5.3.05×10－12
【分层作业】
1．D 2.B 3.B 4.A 5.B 6.C 7.B
8．7.3×10－59.(1)5.29×10－9(2)7×10－5
10．1×10－4 1.3×10－4 2.04×10－7－4.06×10－9
11．(1)－5.2×10－10(2)2.7×10－3
12．D 13.(1)5×1012(2)1.75×10－10
14．3.7×10－6。