偏好与效用

习题
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二、效用函数
效用函数（Utility Function）是对每个可能 的消费束都赋予数值的一种方法，这种方法 要做到对于更受偏好的消费束，赋值更大。
1、效用函数—偏好的数学表示
• 效用是指消费者从消费某种物品中得到 的满意程度，或者说商品满足人的欲望 和需要的能力和程度。 • 效用函数刻画了满足水平与所消费的商 品之间的关系。 • 基数效用论和序数效用论 • 函数可以表示为 u f ( x1 , x2 , xn )
x2 （ 1元面额 ）
u( x1 , x2 ) x1 x2
, 0
2
1 I1
I2
10
20
x1 （ 1元面额 ）
4 效用函数的实例
• 完全互补品
x2
U(x1,x2) = min{ax1,bx2}
45o
8 5 3 3 5 8
min{x1,x2} = 8
min{x1,x2} = 5 min{x1,x2} = 3 x1
4
x2
效用函数的实例
– 每条无差异曲线都是一条单一无差异曲线 垂直移动得到的。 – x2 =k-v (x1) – U(x1,x2) =k=x2+v (x1)
• 拟线性偏好：
x1
4 效用函数的实例
• 柯布-道格拉斯效用函数
U(x1,x2) = x1a x2b a > 0 and b > 0
x2
– 柯布-道格拉斯效用函数一 般用来描述良好性状偏好
R x1, x2 , , xn : xi R, xi 0, i 1,2, , n
n
xi是第i种商品的数量。
x1
R
n
o
x2
两种商品的消费集
闲暇小时
24
x
o
面包
消费集
x2
3 2
1 o
x1
商品2必须以整数数量消费时的消费集。第一 种商品完全可分，第二种商品只能以整数数量 消费。
效用函数的单调变换
– 单调变换就是在保持效用次序不变的条件下将一组数字变 换成另一组数字的方法。 –如果U代表偏好关系的效用函数； – 如果函数f是一个严格递增函数; – V = f(U)代表的偏好与原函数U代表的偏好相同。
• 几种常见的正单调变换
u ( x ) u ( x) h u( x) m u( x)
–考虑以下消费束 (4,1), (2,3) and (2,2).
假设(2,3)
–分配给上述消费束保持偏好顺序的任何效用
e.g. U(2,3) = 6 > U(4,1) = U(2,2) = 4
• 这些被分配的效用称为效用水平。
–无差异曲线表示相同偏好的消费束集合。 –相同偏好同样的效用水平
• 无差异曲线上所有消费束有同样的效用水平
o
x
不同水平的无差异曲线
1
(5)良好性状的无差异曲线 第一假设：多多益善(单调性）
单调类偏好。(x1 ,x2 ) 右上方的消费束比(x1 ,x2 )； (x1 ,x2 )左下方的消费束比(x1 ,x2 )差。
良性形状无差异曲线 第二假设：平均束好于端点束
图A 为凸偏好；图B 和图C 为非凸偏好，其中图C 为凹偏好
hR
u ( x) [u ( x)]q u ( x) ln[u ( x)]
m0
q
为奇数
一个正单调变换
A 图为单调函数，它是递增的函数。B 图的函数不是单 调的，因为它有时增有时减。
• 效用函数的单调变换是一个新的效用函 数，它代表的偏好与原效用函数相同。
3、 效用函数和无差异曲线
• 效用函数和无差异曲线的关系
– 比较更多的消费束，百度文库得到更大的无差异 集合和消费者更好地描述。 – 无差异曲线与效用函数是等价的。 x2
x1
U6 U4 U2
用效用函数推出无差异曲线
–知道效用函数U(x1, x2)要绘制无差异曲线只要标出所有 使得U(x1, x2)=常数的点即可。 –假设效用函数U(x1,x2)=x1x2=k
严格凸偏好的无差异曲线必须是弧形的
•
u 的无差 和 x ( x , x ) 是效用为 0 1 x , x R 的定义函 异曲线上的两个点， 数 • x2 f ( x1 ) 代表这条无差异曲线，当 0 1 1 1 时，一定存在： f ( x10 ) (1 ) f ( x1 f x10 (1 ) x1 )
第一章 消费者理论
一、偏好与优先理论 二、效用函数 三、效用最大化的选择 四、显示偏好理论
一、偏好与优先理论
1、消费空间
消费空间是指消费者在进行消费时所能选择的 商品组合，也称为消费集。 它可以用一个n元商品组合的向量描述，记为x， 在几何上x为n维欧式空间上的一点。 整个消费组合可以用 X R n 来表示。
上午时间长 沙的消费量
x
o
上午时间北 京的消费量
只能消费一种商品时的消费集
反映生存需要的消费集
米饭
5元
x
5元 蔬菜
o
2、消费集的性质
（1）消费集是商品空间的子集，但不是空集
X R
（2）消费集是闭集
即消费者的任意消费组合都存在于消 费集中，而且，由于消费组合有无穷 多个，填充了整个消费集空间，故假 定消费集连续是合理的。这个假定通 常用X是闭集表示。或者说，消费集 中的所有的极限点都包含在该集之中， 因此，X是连续的。
弱 偏 好 集：阴影区域的所有消费束都至少和（x1， x2）一样好。
无差异曲线不能相交
Impossible Indifference Curves
Impossible Indifference Curves
(cont’d)
（4）偏好的实例—一些特殊的无差异曲线
• 1、完全替代品
–消费者愿意按照固定的比率用一种商品来替代另一种 商品。 –例如，面额为10元的人民币和面额为1元的人民币总 可以1比10的比例互相替代（假定不考虑携带不便）这 对持币人（消费者）来讲是完全替代品。 – x1=1元面额 x2=10元面额
（3）消费集是凸集 凸集的数学表示形式：
[λx1+(1-λ)x2]⊆Rn
y


z x (1 ) y
x

凸组合
x2
y
X
x (1 ) y
x
o
x1
凸集偏好
y
x (1 ) y
x
非凸集偏好
x1
x0
x2
I ( x)
o
x2
A
B
O
x1
（4）消费集的下限
–因此消费束 (4,1) ， (2,2) 是在同一条无差异曲线上，效用水 平 U 4 –消费束(2,3) 是在另一条无差异曲线上，效用水平 U 6.
p
(4,1) ~ (2,2).
(2,3)
p
x2
(2,2) ~ (4,1)
U6 U4
x1
效用函数和无差异曲线
• 效用函数和无差异曲线的关系
（2）偏好关系的公理
• 关于偏好最基本的假定就是偏好是理性的，一 个理性的偏好必须满足以下三个条件： • 1、完备性：任意两个消费束之间是可以进行 比较的，要么x>=y,要么y>=x,或者y=x。 • 2、反身性（非对称性）：一个消费束至少和 它本身一样好，x>=x。 • 3、传递性：对于任意的消费束x、y、z，如果 由x>=y,y>=z,那么有x>=Z。
2、效用函数的存在性
• 效用函数的存在性由德布鲁于1954年首次提出， 随后有许多经济学家进行了补充。在证明中， 只要能够存在一个消费束x和另一个消费束y, 使得u(x)≥u(y)成立，满足x≧y的性质， 那么函数u(x)就是代表偏好的效用函数。 • 效用函数就是按照一定的偏好特征给消费束赋 值，使之保持一定的次序。在次序不变的情况 下，可以有多种赋值方法
效用函数的导数
• 若效用函数为：
u u( x1, x2 ,
, xn )
u xn
u u mu(x) , , x1 x2
边际效用
边际效用的意义
6、效用函数的凹性和拟凹性
• 凹性是指对于任意给定的两个消费束，一定存 在一个任意的线性组合，使得加权平均消费的 效用水平至少和单独消费每一种商品所得到的 消费效用水平及其加权平均效用水平相一致。 • 对某一种商品而言，其边际效用是非递增的。 • 拟凹性又称为准凹性，即对于任意给定的两个 消费束，则它们的任意加权消费束的效用水平 至少与原消费束的差者一样好 • 这个性质的存在排除了无差异曲线凹向原点和 平直的部分
餍足点或 最佳点
Better
x1
偏好的实例——离散商品
• 6、离散商品：只能以整数（离散）数量获得的商
品。 • 假设商品2是一连续变量商品——汽油，商品1是 一离散变量商品——飞机，无差异曲线如何呢？ 汽油
无差异“曲线” 是一 些离散点的集合。
0
1
2
3
4 飞机
x0
u ( x) a3
u ( x) a2 u( x) a1
1 1 1 1 2
0 x0 ( x10 , x2 )
0


• 可以做出如下图形
无差异曲线凸性图
x2
x
0 2
x2
f (x )
1

f (x
0 1
)
x
0
x2
f (x )
1
~
1 f ( x10 ) (1 ) f ( x1 )
x0 (1 ) x1
1 f x10 (1 ) x1
x1
柯布-道格拉斯无差异曲线
当c=1/2,d=1/2 时的无差异曲线（图A）； 当c=1/5,d=4/5时的无差异曲线（图B）
5、边际效用
• 效用函数的一阶导数称为边际效用 • 边际效用是新增一个单位商品的消费所 增加的总效用 • 戈森认为边际效用随着商品数量的增加 而不断减少，以后被称为戈森第一定理
从无差异曲线构造一个效用函数
画出一条对角线，测量对角线与每条无差异曲线交点到 原点的距离，将这些距离标记在相应的无差异曲线上。
4、效用函数的实例
• 完全替代品
–用人民币总数测定效用。 –选U(x1,x2)=x1+10x2作为效用函数。 –该效用函数的任何单调变换都是描述完全替代 品合适的效用函数。
• （1）保持k值不变，可画出与之相对应的无差异曲线。 • （2）改变k值，可以画出k = 1，2，… n时的多条无差异曲线。
x2
4 3 1
2
x1
用无差异曲线推出效用函数
数学方法：已知无差异曲线，运用数学 方法找出一个函数，沿每条无差异曲 线它都是一个常数，并且对较高的无 差异曲线指派较大的数字。 定性分析后确定：假定已知偏好的图形， 我们尽量考虑消费者试图使之实现最 大化的是什么——哪一种商品组合能 描述消费者的选择行为，能有效描述 消费者的选择行为的函数就是效用函 数。
(3)无差异曲线—偏好的图形描述
• 无差异曲线是一个上水平集或上等高集 • 表示在二维平面上，消费者有商品x和y组成的 任意数量组合上所得到的效用水平不存在差异 • 无差异曲线的边界可以被看成为一个常数 • 无差异曲线一般具有良好性状的偏好性质 • 无差异曲线具有以下性质：是凸向原点的凸函 数；距离原点越远代表的效用水平越高；不同 的无差异曲线两两不能相交
9
5 5 9 I1
I2
x1 （右鞋）
偏好的实例——厌恶品
• 3、厌恶品 • 希望东西越少越好
– 比如：
•垃圾 污染: 噪音、灰尘、污染空气
弱偏好集
休闲
偏好的实例-中性商品
4.中性商品（neutral good）是指某种商品，消费
者有它也行无它也可。
偏好的实例-饱和点
5.饱和点：某个消费束严格偏好于其他消 费束，这个消费束就是一个餍足点或最 佳点。 x2
• 指消费者可以不消费
{0,0，…,0}⊆R
0 ⊆X
3、偏好
• （1）偏好的定义 • 消费者的偏好实际上是指消费者根据自 身的愿望对不同消费束之间的一个排序， 即在一个消费中，两个消费束哪个更受 到消费者的偏好，使得消费者在心理上 对那个消费方案更加趋向。 • 偏好关系有以下几个：没有差别(~)；严 格的偏好关系(>,<)和弱偏好关系(≤,≥) 。

x1
u x0 (1 ) x1
u1
x1 2
f (x )
1 1
u( x0 ) u( x1 ) u 0
x
0 1
x (1 ) x
0 1
1 1
x
1 1
x1
食品和衣服的无差异曲线（Eastwood and Craven，1981）
（6）偏好关系的性质
• 1、偏好的连续性：即偏好不应具有“跳跃” • 2、偏好的强单调性：即消费者总是偏好更多 的商品，或者在心理上反映为多多益善。 • 3、偏好的局部非饱和性，或称局部非餍足性： 即对于任意的消费都不存在充分的满足。 • 4、偏好的严格凸性：即任意两个消费束的线 性组合至少应当与原来的消费束中的差者一样 好。
x2 2 I2 I1
10
描述完全替代品偏好的无差异曲 线具有固定的斜率。 I2 上的消费束严格偏好于I1上的 消费束。
1
20
x1
偏好的实例——完全互补品
• 2、完全互补品——是指必须以固定比例搭配起来才 能满足消费者某种需求的两种或多种商品。
x2 （左鞋）
45o
I2 上的消费束严格 偏好于I1上的消费束。