2013年高考真题—文科数学(重庆卷)精校精析
2013学年高考文科数学年重庆卷
2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（文史类）答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】B【解析】{1,2,3}{2,2}{2}-=，故选B. 【提示】找出A 与B 的公共元素即可求出交集. 【考点】集合的交集. 2.【答案】D【解析】先观察俯视图，再结合正视图和侧视图还原空间几何体.由俯视图是圆环可排除A ，B ，由正视图和侧视图都是等腰梯形可排除C ，故选D.【提示】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形. 【考点】三视图. 3.【答案】B【解析】设i(,)z a b a b =+∈R ，且0a <，0b >，则z 的共轭复数为i a b -，其中0a <，0b -<故应为B 点.【提示】直接利用共轭复数的定义，找出点A 表示复数z 的共轭复数的点即可. 【考点】复数，复数的代数表示法. 4.【答案】C【解析】命题p 是全称命题：x M ∀∈，()p x ，则p ⌝是特称命题：x M ∃∈，()p x ⌝，故选C. 【提示】“全称命题”的否定一定是“存在性命题”据此可解决问题.【解析】11π212T =图法可知当π12x =【提示】根据函数在同一周期内的最大值、最小值对应的20y x x ⎪-≤⎪⎨≥⎪⎩（步骤1）由图知目标函数（步骤3）(),0, A a B∥又AB OPc==ea b【解析】由向量加法的平行四边形法则，得AB AD AC +=.（步骤+2AB AD AO ∴=. 又+AB AD AO λ=.=2.λ∴【提示】依题意，AB AD AC +=，而2AC AO =，从而可得答案【考点】平面向量. 4(a x a x =（步骤1）又由已知sin2α=π(,π2α∈又π(,π2α∈tan2tanα=坐标即可.cos BA B 解得1c =或7c =-（负值舍去），（步骤6向量BA 在BC 方向上的投影为cos BA B （Ⅱ）利用42a =，结合正弦定理，求出小，然后求解向量BA 在BC 方向上的投影112P =111AC AA=，所以111331 326A QCDE S==11AA 的值，1DE ，运算求【考点】直线与平面垂直的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积3)(3,)+∞(3,0)(0,3))∈-24)4-=得3>.3)(3,)+∞上，可设点M 22)k x +，（步骤3,0)(0,3).（步骤23155m =3,0)(0,3)).（步骤12)()x x -即221()x x -即221ln x x +-两切线重合的充要条件是122x =+11 / 11。
2013学年高考文科数学年重庆卷答案
于是对 i＝1，2，，n－1， di＝Ai－Bi＝ai－ai＋1＝a1 (1－q)qi－1
因此 di
0且
di 1 di
q
(i＝1，2， ，n－2)
，
即 d1，d2，，dn－1 是等比数列。
（3）设 d 为 d1，d2，，dn－1 的公差。
对1 i n－2 ，因为 Bi Bi＋1，d＞0 ，
所以 Ai＋1＝Bi＋1＋di＋1 Bi＋di＋d＞Bi＋di＝Ai 。
又因为 Ai＋1＝max{Ai，ai＋1}，
所以 ai＋1＝Ai＋1＞Ai ai 。
从而 a1，a2，，an－1 是递增数列。
因此 Ai＝ai (i＝1，2，，n－1) 。
又因为 B1＝A1－d1＝a1－d1＜a1 ，
6/8
由于函数 f x 在区间 (－，0) 和 (0，＋) 上均单调，所以当 b＞1 时曲线 y＝f x 与直线 y＝b 有且仅有两
个不同交点。
综上可知，如果曲线 y＝f x 与直线 y＝b 有两个不同交点，那么 b 的取值范围是 (1，＋) 。
19．【答案】（1） 2 3
42
16
16．【答案】（1） 6 13
（2） 4 13
【解析】（1）在 3 月 1 日至 3 月 13 日这 13 天中，1 日、2 日、3 日、7 日、12 日、13 日共 6 天的空气质量
优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率是 6 。 13
（2）根据题意，事件“此人在该市停留期间只有 1 天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是 4 日，或
2013 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学（文科）答案解析
第Ⅰ卷
2013年全国大纲高考数学文科试卷带详解
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}{}1,2,3,4,5,1,2,U U A A ===集合则ð ( )A.{}1,2B.{}3,4,5C.{}1,2,3,4,5D.∅ 【测量目标】集合的补集.【考查方式】直接给出集合，用列举法求集合补集. 【参考答案】B【试题解析】依据补集的定义计算. {}1,2,3,4,5U =，{}1,2A =，∴ U A =ð{3,4,5}. 2．已知α是第二象限角，5sin ,cos 13αα==则 （ ） A.1213- B.513- C.513 D.1213【测量目标】同角三角函数基本关系.【考查方式】直接给出角的象限和正弦值，求余弦值. 【参考答案】A【试题解析】利用同角三角函数基本关系式中的平方关系计算.因为α为第二象限角，所以12cos .13α==-3．已知向量()()()()1,1,2,2,,=λλλ=+=++⊥-若则m n m n m n （ ）A.-4B.-3C.-2D.1- 【测量目标】平面向量的坐标运算与两向量垂直的坐标公式等.【考查方式】给出两向量的坐标表示，两向量坐标运算的垂直关系，求未知数.λ 【参考答案】B【试题解析】利用坐标运算得出+-与m n m n 的坐标，再由两向量垂直的坐标公式求λ， 因为()()23,3,1,1,λ+=+-=--m n m n 由()(),+⊥-m n m n 可得()()()()23,31,1260,λλ+-=+--=--= m n m n (步骤1)解得 3.λ=- (步骤2)4．不等式222x -<的解集是 （ ）A.()1,1-B.()2,2-C.()()1,00,1-D.()()2,00,2- 【测量目标】含绝对值的一元二次不等式的解.【考查方式】给出绝对值不等式，求出满足不等式的解集. 【参考答案】D【试题解析】将绝对值不等式转化为一元二次不等式求解.由222,x -<得2222,x -<-<即204,x <<(步骤1)所以20x -<<或02,x <<故解集为()()2,00,2.- (步骤2)5．()862x x +的展开式中的系数是 （ ）A.28B.56C.112D.224 【测量目标】二项式定理.【考查方式】由二项式展开式，求满足条件的项的系数. 【参考答案】C【试题解析】写出二项展开式的通项，从而确定6x 的系数.该二项展开式的通项为88188C 22C ,r r r r r r r T x x --+==(步骤1)令2,r =得2266382C 112,T x x ==所以6x 的系数是112. (步骤2)6．函数()()21log 10f x x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的反函数1()f x -= ( ) A.()1021x x >- B.()1021xx ≠- C.()21x x -∈R D.()210x x -> 【测量目标】反函数的求解方法，函数的值域求法. 【考查方式】给出函数的解析式，求它的反函数.. 【参考答案】A【试题解析】由已知函数解出,x 并由x 的范围确定原函数的值域，按照习惯把,x y 互换，得出反函数. 由21log 1y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭得112,yx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭故1.21yx =-(步骤1)把x 和y 互换，即得()11.21x f x -=-(步骤2) 由0,x >得111,x+>可得0.y > 故所求反函数为()11(0).21xf x x -=>-(步骤3) 7．已知数列{}n a 满足{}12430,,103n n n a a a a ++==-则的前项和等于 ( )A.()10613---B.()101139-- C.()10313-- D.()1031+3-【测量目标】等比数列的定义及等比数列前n 项和.【考查方式】给出一个数列{n a }、它的前后项的关系，判断是否为特殊数列，从而求出它的前n 项和. 【参考答案】C【试题解析】先根据等比数列的定义判断数列{}n a 是等比数列，得到首项与公比，再代入等比数列前n 项和公式计算. 由130,n n a a ++=得11,3n n a a +=-故数列{}n a 是公比13q =-的等比数列. (步骤1)又24,3a =-可得1 4.a =(步骤2)所以()1010101413313.113S -⎡⎤⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==-⎛⎫-- ⎪⎝⎭(步骤3)8．()()1221,0,1,0,F F C F x -已知是椭圆的两个焦点过且垂直于轴的直线交于A B 、两点，且3AB =，则C 的方程为 ( )A.2212x y += B.22132x y += C.22143x y += D.22154x y += 【测量目标】椭圆的标准方程及简单几何性质.【考查方式】给出椭圆焦点，由椭圆与直线的位置关系，利用待定系数法求椭圆的标准方程. 【参考答案】C【试题解析】设出椭圆的方程，依据题目条件用待定系数法求参数.由题意知椭圆焦点在x 轴上，且1,c =可设C 的方程为()22221,1x y a a a +>-(步骤1)由过2F 且垂直于x 轴的直线被C 截得的弦长3,AB =知点21,3⎛⎫ ⎪⎝⎭必在椭圆上，(步骤2)代入椭圆方程化简得4241740,a a -+=所以24a =或214a =（舍去）. (步骤3) 故椭圆C 的方程为221.43x y +=(步骤4) 9．若函数()()sin 0=y x ωϕωω=+>的部分图像如图，则 ( ) A.5 B.4 C.3 D.2第9题图【测量目标】根据函数的部分图象确定函数解析式.【考查方式】给出正弦函数的未知解析式及正弦函数的部分图象.根据图象求出T ，确定ω的值.【参考答案】B【试题解析】根据图象确定函数的最小正周期，再利用2πT ω=求.ω设函数的最小正周期为T ，由函数图象可知0ππ=,244T x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭所以π.2T =(步骤1)又因为2π,T ω=可解得 4.ω=(步骤2)10．已知曲线()421128=y x ax a a =++-+在点，处切线的斜率为， ( )A.9B.6C.9-D.6- 【测量目标】导数的几何意义及求导公式等知识.【考查方式】已知曲线在未知点处的切线斜率，利用导数的几何意义求未知数a . 【参考答案】D【试题解析】先对函数求导，利用导数的几何意义得出点()1,2a -+处的切线斜率，解方程所得.342,y x ax '=+由导数的几何意义知在点(1,2)a -+处的切线斜率1|428,x k y a =-'==--=解得 6.a =-11．已知正四棱柱1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦值等于 ( )A.23 D.13 【测量目标】直线与平面所成角和线面垂直的判定.【考查方式】已知正四棱柱，利用其性质和几何体中的垂直关系求线面角的正弦值. 【参考答案】A【试题解析】利用正四棱柱的性质，通过几何体中的垂直关系，判断点C 在平面1BDC 上的射影位置，确定线平面角，并划归到直角三角形中求解.如图，连接AC ，交BD 于点O ，由正四棱柱的性质，有.AC BD ⊥ 因为1CC ⊥平面ABCD ，所以 BD ⊥（步骤1）又1,CC AC C = 所以BD ⊥平面 O （步骤2） 在平面1CC O 内作1,CH C O ⊥垂足为H ，则.BD CH ⊥又1,BD C O O = 所以CH ⊥平面1,BDC （步骤3） 第11题图 连接DH ，则DH 为CD 在平面1BDC 上的射影，所以CDH ∠为CD 与1BDC 所成的角.（步骤4）设12 2.AA AB ==在1Rt COC △中，由等面积变换易求得2,3CH =在Rt CDH △中，2sin .3CH CDH CD ∠==（步骤5） 12．已知抛物线2:8C y x =与点()2,2M -，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点，若0MA MB =，则k = ( )A ．12 D.2 【测量目标】直线与抛物线的位置关系，平面向量的坐标运算等知识.【考查方式】已知抛物线标准方程,利用抛物线性质及直线与抛物线的位置关系求解过焦点的直线的斜率. 【参考答案】D【试题解析】联立直线与抛物线的方程，消元得一元二次方程并得两根之间的关系，由0MA MB =进行坐标运算解未知量k .抛物线C 的焦点为()2,0,F 则直线方程为()2,y k x =-与抛物线方程联立，消去y 化简得()22224840.k x k x k -++=(步骤1)设点()()1122,,,,A x y B x y 则1212284, 4.x x x x k +=+=所以()121284,y y k x x k k+=+-=()21212122416.y y k x x x x =-++=-⎡⎤⎣⎦(步骤2) ()()()()()()112212122,22,22222MA MB x y x y x x y y =+-+-=+++--()()121212122280,x x x x y y y y =+++-++=(步骤3)将上面各个量代入，化简得2440,k k -+=所以 2.k =(步骤4)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．设()[)()21,3=f x x f x ∈是以为周期的函数，且当时， . 【测量目标】函数周期的应用及根据函数解析式求值.【考查方式】给出函数()f x 的周期及取值范围，代入解析式求函数值.【参考答案】1-【试题解析】利用周期将自变量转化到已知解析式中x 的范围内，代入解析式计算 . 由于()f x 的周期为2，且当[)1,3x ∈时，()2,f x x =-(步骤1)()2,f x x =-()()()112112 1.f f f -=-+==-=-(步骤2)14．从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有 种.（用数字作答）【测量目标】简单的排列组合知识的应用. 【考查方式】直接利用排列组合知识列式求解. 【参考答案】60【试题解析】利用排列组合知识列式求解. 由题意知，所有可能的决赛结果有12365354C C C 61602⨯=⨯⨯=（种）.15．若x y 、满足约束条件0,34,34,x x y x y ⎧⎪+⎨⎪+⎩………则z x y =-+的最小值为 .【测量目标】二元线性规划求目标函数最值.【考查方式】直接给出函数的约束条件，利用线性规划性质及借助数形结合思想求z 的最小值.【参考答案】0【试题解析】作出定义域，借助数形结合寻找最优解.由不等式组作出可行域，如图阴影部分所示()包括边界，且()()41,1040,.3A B C ⎛⎫⎪⎝⎭，，，，由数形结合知，直线y x z =+过点()1,1A 时，min 110.z =-+= 16．已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，3602OK O K = ，且圆与圆所在的平面所成角为，则球O 的表面积等于 .【测量目标】球的大圆、小圆及球的截面性质，二面角的平面角，球的表面积公式等知识. 【考查方式】已知二面角的平面角，根据球的截面性质，直角三角形的性质，求出球的半径，并由球的表面积公式求球的表面积. 【参考答案】16π 【试题解析】根据球的截面性质以及二面角的平面角的定义确定平面角，把球的半径转化到三角形中计算，进而求得球的表面积.如图所示，公共弦为AB ，设球的半径为R ，则,AB R =取AB 为中点M ，连接OM 、,KM由圆的性质知,,OM AB KM AB ⊥⊥ 所以KMO ∠为圆O 与圆K 所在平面所成的一个二面角的平面角，则60.KOM ∠=(步骤1)Rt KOM △中，3,2OK =所以sin 60OK OM == (步骤2) 在Rt OMA △中，因为222,OA OM AM =+所以2213,4R R =+解得24,R =(步骤3)所以球O 的表面积为24π16π.R =(步骤4)三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）等差数列{}n a 中，71994,2,a a a ==（I ）求{}n a 的通项公式； （II ）设{}1,.n n n nb b n S na =求数列的前项和 【测量目标】等差数列的通项公式、裂项相消法求数列的前n 项和.【考查方式】（1）根据等差数列的通项公式求出首项和公差，进而求出等差数列的通项公式.（2）已知通项公式，利用裂项相消法求和.【试题解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则()11.n a a n d =+-因为71994,2,a a a =⎧⎨=⎩所以()11164,1828.a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩(步骤1)解得11,1.2a d =⎧⎪⎨=⎪⎩所以{}n a 的通项公式为1.2n n a +=(步骤2) （2）因为()222,11n b n n n n ==-++所以2222222.122311n n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭(步骤3) 18．（本小题满分12分）设ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，()()a b c a b c ac ++-+=.（I ）求B（II）若1sin sin 4A C =，求C . 【测量目标】余弦定理解三角形，三角恒等变换公式及其应用.【考查方式】已知三角形的三边及三边关系.（1）由已知关系式展开，利用余弦定理求角. （2）三角形内角和得出A C +,由给出的sin sin A C 的形式，联想构造与已知条件相匹配的余弦公式,求出角C .【试题解析】（1）因为()(),a b c a b c ac ++-+=所以222.a c b ac +-=-(步骤1)由余弦定理得2221cos ,22a cb B ac +-==-因此120.B =(步骤2)（2）由（1）知60,A C +=所以()cos cos cos sin sin A C A C A C -=+cos cos sin sin 2sin sin A C A C A C =-+()11cos 2sin sin 2242A C A C =++=+⨯=(步骤1) 故30A C -=或30,A C -=- 因此15C =或45.C =(步骤2) 19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，==90ABC BAD ∠∠，BC =2AD ,△P AB 与△PAD 都是边长为2的等边三角形. 图（1）（I ）证明：;PB CD ⊥（II ）求点.A PCD 到平面的距离【测量目标】空间垂直关系的证明和点到平面距离的求解.第19题图【考查方式】已知四棱锥，底面为特殊的直角梯形，侧面为特殊三角形（1）借助线线、线面垂直求解.（2）通过做辅助线将点面距离转化为图形中的线段，再求解.【试题解析】（1）证明：取BC 的中点E ，连接DE ,则四边形ABCD 为正方形. 过点P 作PO ABCD ⊥平面，垂足为O .连接OA ,OB,OD ,OE . 图（2） 由PAB △和PAD △都是等边三角形知,PA PB PD ==(步骤1)所以,O A O B O D ==即O 为正方形ABED 对角线的交点，故 ,OE BD ⊥从而.P B O E ⊥(步骤2)因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，所以OE //CD .因此.PB CD ⊥(步骤3)(2)解：取PD 的中点F ，连接OF ，则//.OF PB 由（1）知，,PB CD ⊥故.OF CD ⊥(步骤4)又12OD BD ==OP ==故POD △为等腰三角形，(步骤5) 因此.OF PD ⊥又,PD CD D = 所以.OF PCD ⊥平面(步骤6)因为//,AE CD CD PCD ⊂平面，,AE PCD ⊄平面所以//.AE PCD 平面(步骤7) 因此点O 到平面PCD 的距离OF 就是点A 到平面PCD 的距离，(步骤8) 而112OF PB ==，所以点A 到平面PCD 的距离为1. (步骤9) 20．（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为1,2各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判.（I ）求第4局甲当裁判的概率；（II ）求前4局中乙恰好当1次裁判概率. 【测量目标】相互独立事件同时发生的概率，互斥事件概率加法公式的应用.【考查方式】（1）直接利用独立事件的概率公式求解.（2）由已知，直接利用互斥事件的加法公式求解.【试题解析】（1）记1A 表示事件“第2局结果为甲胜”，2A 表示“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A 表示事件“第4局甲当裁判”.则12.A A A = ()()()()12121.4P A P A A P A P A === (步骤1)(2)记1B 表示事件“第1局比赛结果为乙胜”，2B 表示事件“第2局乙参加比赛，结果为乙胜”，3B 表示事件“第3局中乙参加比赛时，结果为乙胜”，B 表示事件“前4局中乙恰好当1次裁判”， 则1312312.B B B B B B B B =++ （步骤2）()()1312312P B P B B B B B B B =++=()()()1312312P B B P B B B P B B ++=()()()()()()()1312312P B P B P B P B P B P B P B ++=111+484+ =5.8(步骤3) 21．（本小题满分12分）已知函数()32=33 1.f x x ax x +++（I ）求();a f x =的单调性； （II ）若[)()2,0,x f x ∈+∞时，…求a 的取值范围. 【测量目标】导数在研究函数中的应用.【考查方式】已知含未知数a 的函数()f x （1）对()f x 求导，得出()f x =0时的根，根据导数性质讨论函数单调性.(2)利用特殊值法和放缩法求a 的范围.【试题解析】（1）当a =()3231,f x x x =-++()23 3.f x x '=-+(步骤1)令()0,f x '=得121, 1.x x ==(步骤2)当()1x ∈-∞时，()0,f x '>()f x 在()1-∞上是增函数；当)1x ∈时，()0,f x '<()f x 在)1上是减函数；当)1,x ∈+∞时，()0,f x '>()f x 在)1,+∞上是增函数. (步骤3) （2）由()20f …得4.5a -…当45a -…，()2,x ∈+∞时， ()()225321312f x x ax x ⎛⎫'=++-+ ⎪⎝⎭… =()1320,2x x ⎛⎫--> ⎪⎝⎭所以()f x 在()2,+∞上是增函数，(步骤4)于是当[)2+x ∈∞，时，()()20f x f 厖.综上，a 的取值范围是4,.5⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭(步骤5) 22．（本小题满分12分） 已知双曲线()221222:10,0x y C a b F F a b-=>>的左、右焦点分别为，，离心率为3，直线2y C =与（I ）求,;a b（II ）2F l C A B 设过的直线与的左、右两支分别相交于、两点，且11,AF BF = 证明：22AF AB BF 、、成等比数列.【测量目标】双曲线的方程、性质，直线与双曲线的位置关系，等比中项等性质.【考查方式】(1)由双曲线与直线的位置关系、双曲线的几何性质求出a,b 值.(2)由直线方程和双曲线方程，利用双曲线与直线的位置关系及两点间距离公式证明线段的等比关系.【试题解析】（1）解：由题设知3,c a =即2229,a b a+=故228.b a = 所以C 的方程为22288.x y a -=(步骤1)将y=2代入上式，求得x =(步骤2)由题设知，=解得2 1.a =所以1,a b ==(步骤3)（2）证明：由（1）知，()()123,0,3,0,F F -C 的方程为2288.x y -=○1(步骤4)由题设可设l 的方程为()3,y k x k =-<将其代入○1并化简，得 ()222286980.k x k x k --++=(步骤5)设()1122,,(,),A x y B x y 则22121212226981,1,,.88k k x x x x x x k k +-+==--剠(步骤6)于是()1131,AF x ==-+123 1.BF x ==+(步骤7)由11,AF BF =得()123131,x x -+=+(步骤8) 即2122262,,383k x x k +=-=--故 解得212419,.59k x x ==-从而(步骤9)由于2113,AF x ===-2231,BF x ===- 故()2212234,AB AF BF x x =-=-+=(步骤10)()221212=39116,AF BF x x x x +--= 因而222,AF BF AB = 所以22AF AB BF 、、成等比数列(步骤11).。
2013年-高考试卷及答案解析-数学-文科-重庆(精校版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（重庆文）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.已知集合{1,2,3,4}U =，集合={1,2}A ，={2,3}B ，则()U A B = ð A.{1,3,4} B.{3,4} C.{3} D.{4}2.命题“对任意x R ∈，都有20x ≥”的否定为A.对任意x R ∈，使得20x <B.不存在x R ∈，使得20x <C.存在0x R ∈，都有200x ≥D.存在0x R ∈，都有200x <3.函数21log (2)y x =-的定义域为A.(,2)-∞B.(2,)+∞C.(2,3)(3,)+∞D.(2,4)(4,)+∞4.设P 是圆22(3)(1)4x y -++=上的动点，Q 是直线3x =-上的动点，则PQ 的最小值为A.6B.4C.3D.2 5.执行如题（5）图所示的程序框图，则输出的k 的值是A.3B.4C.5D.66.下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间[20,30）内的概率为A.0.2B.0.4C.0.5 （D ）0.61 8 92 1 2 2 7 9 337.关于x 的不等式22280x ax a --<（0a >）的解集为12(,)x x ，且：2115x x -=，则a =A.52 B.72 C.154 D.1528.某几何体的三视图如题（8）所示，则该几何体的表面积为A.180B.200C.220D.2409.已知函数3()sin 4(,)f x ax b x a b R =++∈，2(lg(log 10))5f =，则(lg(lg 2))f =A.5-B.1-C.3D.410.设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相较于点O 、所成的角为060的直线11A B 和22A B ，使1122A B A B =，其中1A 、1B 和2A 、2B 分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是A.2]B.2)C.)+∞D.)+∞ 二．填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．11.已知复数12z i =+（i 是虚数单位） 12.若2、a 、b 、c 、9成等差数列，则c a -= ．13.若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为 ．14.OA 为边，OB 为对角线的矩形中，(3,1)OA =-，(2,)OB k =- ，则实数k = ． 15.设0απ≤≤，不等式28(8sin )cos 20x x αα-+≥对x R ∈恒成立，则a 的取值范围为 ．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （16）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）设数列{}n a 满足：11a =，13n n a a +=，n N +∈．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（Ⅱ）已知{}n b 是等差数列，n T 为前n 项和，且12b a =，3123b a a a =++，求20T ．（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问9分，（Ⅱ）、（Ⅲ）小问各2分）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入i x （单位：千元）与月储蓄i y （单位：千元）的数据资料，算得10180ii x==∑，10120i i y ==∑，101184i i i x y ==∑，1021720i i x ==∑．（Ⅰ）求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y bx a =+； （Ⅱ）判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；（Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y bx a =+中，1221ni ii ni i x y nx yb x nx ==-=-∑∑，a y bx =-，其中x ，y 为样本平均值，线性回归方程也可写为y bx a =+ ．（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问9分）在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c，且222a b c =+． （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）设a =S 为△ABC 的面积，求3cos cos S B C +的最大值，并指出此时B 的值．（19）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）如题（19）图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，PA =，2BC CD ==，3ACB ACD π∠=∠=．（Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若侧棱PC 上的点F 满足7PF FC =，求三棱锥P BDF -的体积．（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．（Ⅰ）将V 表示成r 的函数()V r ，并求该函数的定义域；（Ⅱ）讨论函数()V r 的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）如题（21）图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e =，过左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于A 、A '两点，4AA '=．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）取平行于y 轴的直线与椭圆相较于不同的两点P 、P '，过P 、P '作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．求PP Q '∆的面积S 的最大值，并写出对应的圆Q 的标准方程． 2013年普通高等学校招生全国统一考试答案（重庆文）1.答案：D解析：∵{1,2}{2,3}{1,2,3}A B == ，{1,2,3,4}U =，∴(){4}U C A B = 2.答案：A解析：由全称命题:p x D ∀∈，()p x 的否定为p ⌝：0x D ∃∈，0()p x ⌝ 3.答案：C 解析：由题知220,log 20x x ->⎧⎨(-)≠⎩，解得221x x >⎧⎨-≠⎩即23x x >⎧⎨≠⎩4.答案：B解析：由圆32(3)(1)4x y -++=知，圆心的坐标为(3,1)-，半径2r =，∴圆心到直线3x =-的距离|3(3)|6d =--=. ∴min ||624PO d r =-=-=5.答案：C解析：21,1(11)1k s ==+-=；22,1(21)2k s ==+-=；23,2(31)6k s ==+-=24,6(41)15k s ==+-=；25,15(51)3115k s ==+-=>，所以5k =6.答案：B解析：数据总个数10n =，又∵落在区间[22,30)内的数据个数为4， ∴所求的频率为40.410= 7.答案：A解析：由22280(0)x ax a a --<>，得(4)(2)0x a x a -+<，即24a x a -<<，即12x a =-，24x a =∵214(2)615x x a a a -=--==，所以15562a ==. 8.答案：D解析：由三视图知该几何体是底面为等腰梯形的直棱柱，如图所示，=210=20S ⨯上，=810=80S ⨯下，==105=50S S ⨯后前，1==(28)4202S S +⨯=右左，所以240S =表9.答案：C 解析：21log 10lg2=，所以12lg(log 10)lg(lg2)lg(lg2)-==-．令3()sin g x ax b x =+， 易知()g x 为奇函数．2(lg(log 10))(lg(lg2))(lg(lg2))45f f g =-=-+=，所以(lg(lg 2))1g -=∴(lg(lg 2))1g =-，即(lg(lg 2))(lg(lg 2))4143f g =+=-+=10.答案：A解析：不妨令双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，由1122||||A B A B =及双曲线的对称性知1A ，2A ，1B ，2B 关于x 轴对称，如图．又因为满足条件的直线只有一对，所以t a n 30t a n 6ba︒<<︒，即3ba<≤所以22133b a <≤，∵222b c a =-，∴222133c a a -<≤，即2443e <≤＜e ≤2，即e ∈2⎤⎥⎝⎦11.解析：12z i =+，所以||z ==12.答案：72解析：设公差为d ，则92772225142c ad --==⨯=⨯=- 13.答案：23解析：甲、乙、丙三人随机站在一排有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6种．若甲、乙两人相邻而站则有甲乙丙、丙甲乙、乙甲丙、丙乙甲，共4种，故所求的概率为4263= 14.答案：4解析：∵(3,1)OA =- ，(2,)OB k =-，所以AB ＝OB －(2,)(3,1)(1,1)OA k k =---=-． 又OA ，AB为矩形相邻两边所对应的向量，所以OA ⊥ AB ，即OA ·311(1)40AB k k =-⨯+⨯-=-+=，即4k =.15.答案：π5π0,,π66⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦解析：不等式28(8sin )cos20x x αα-+≥对x R ∈恒成立， 则有22(8sin )48cos264sin 32cos20αααα∆=-⨯=-≤，即 22222sincos22sin (12sin )4sin 10ααααα-=--=-≤.所以21sin 4α≤.即11sin 22α-≤≤. 又0απ≤≤，结合下图可知， π5π0,,π66α⎡⎤⎡⎤∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ .16.解析：(1)由题设知{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列， 所以13n n a -=，131(31)132n nn S -==--． (2) 123b a ==，313913b =++=，31102b b d -==，所以公差5d =，故202019203510102T ⨯=⨯+⨯= 17.解析：(1)由题意知10n =，1180810n i i x x n ====∑，1120210n i i y y n ====∑，又222172010880nxx ii l xnx ==-=-⨯=∑，1184108224nxy i i i l x y nxy ==-=-⨯⨯=∑，由此得240.380xy xxl b l ===，20.380.4a y bx =-=-⨯=-， 故所求回归方程为0.30.4y x =-(2)由于变量y 的值随x 的值增加而增加（0.30b =>)，故x 与y 之间是正相关． (3)将7x =代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为0.370.4 1.7y =⨯-= (千元)18.解析：(1)由余弦定理得222222b c a cosA bc bc +-===-. 又因0A π<<，所以5π6A =. (2)由(1)得1sin 2A =，又由正弦定理及a =11sin sin sin 3sin sin 22sin a B S bc A a C B C A===，因此，3cos cos 3(sin sin cos cos )3cos()S B C B C B C B C +=+=-． 所以，当B C =，即ππ212A B -==时，3cos cos S B C +取最大值3. 19.解析：(1)证明：因BC CD =，即BCD ∆为等腰三角形， 又ACB ACD ∠=∠，故BD AC ⊥． 因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA BD ⊥．从而BD 与平面P AC 内两条相交直线PA ，AC 都垂直， 所以BD ⊥平面PAC ．(2)三棱锥P BCD -的底面BCD的面积11222sin 223BCD S BC CD π∆=⋅=⨯⨯⨯= 由PA ⊥底面ABCD ，得11233P BCD BCD V S PA -∆=⋅⋅==.由7PF FC =，得三棱锥F BCD -的高为18PA ，故1111138384F BCD BCD V S PA -∆=⋅=⨯=， 所以17244P BDF P BCD F BCD V V V ---=-=-= 20.解析：(1)因为蓄水池侧面的总成本为1002200rh rh ππ⋅=元，底面的总成本为2160r π元，所以蓄水池的总成本为2(200160)rh r ππ+元．又据题意220016012000rh r πππ+=，所以21(3004)5h r r=-， 从而22()(3004)5V r r h r r ππ==-．因0r >，又由0h >可得r <，故函数()V r 的定义域为． (2)因3()(3004)5V r r r π=-，故'2()(30012)5V r r π=-．令'()0V r =，解得15r =，25r =- (因25r =-不在定义域内，舍去)． 当(0,5)r ∈时，'()0V r >，故V (r )在(0,5)上为增函数；当r ∈时，'()0V r <，故()V r 在上为减函数． 由此可知，()V r 在5r =处取得最大值，此时8h =. 即当5r =，8h =时，该蓄水池的体积最大．21.解析：(1)由题意知点(,2)A c -在椭圆上，则222221c a b (-)+=.从而2241e b +=.由e =22481b e ==-，从而222161b a e ==-. 故该椭圆的标准方程为221168x y +=. (2)由椭圆的对称性，可设0(,0)Q x ．又设(,)M x y 是椭圆上任意一点，则22222222000001||()28(1)(2)8([4,4])162x QM x x y x x x x x x x x =-+=-++-=--+∈- ．设11(,)P x y ，由题意，P 是椭圆上到Q 的距离最小的点，因此，上式当1x x =时取最小值， 又因1(4,4)x ∈-，所以上式当02x x =时取最小值，从而102x x =，且220||8QP x =-. 由对称性知'11(,)P x y -，故'1|||2|PP y =，所以110011|2|||22S y x x =-⨯=当0x ='PP Q ∆的面积S 取到最大值此时对应的圆Q 的圆心坐标为(Q ，半径||QP ==因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为22(6x y +=，22(6x y +=.。
2013年高考真题文-重庆卷文科数学试题及答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（重庆卷）一、选择题1．已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，则∁U (A ∪B )等于( ) A ．{1,3,4} B ．{3,4} C ．{3}D ．{4}答案 D解析 因为A ∪B ＝{1,2,3}，全集U ＝{1,2,3,4}，所以∁U (A ∪B )＝{4}，故选D. 2．命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为( ) A ．存在x 0∈R ，使得x 20<0 B ．不存在x ∈R ，都有x 2<0 C ．存在x 0∈R ，使得x 20≥0 D ．对任意x ∈R ，都有x 2<0 答案 A解析 由于“对任意x ∈R ”的否定为“存在x 0∈R ”，对“x 2≥0”的否定为“x 2<0”，因此选A.3．函数y ＝1log 2(x －2)的定义域为( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(2,3)∪(3，＋∞)D ．(2,4)∪(4，＋∞)答案 C解析 由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，x －2≠1，即x >2且x ≠3，故选C.4．设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为( ) A ．6B ．4C ．3D ．2答案 B解析 由题意，知圆的圆心坐标为(3，－1)，圆的半径长为2，|PQ |的最小值为圆心到直线x ＝－3的距离减去圆的半径长，所以|PQ |min ＝3－(－3)－2＝4.故选B.5．执行如图所示的程序框图，则输出的k 的值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 C解析 由题意，得k ＝1时，s ＝1；k ＝2时，s ＝1＋1＝2；k ＝3时，s ＝2＋4＝6；k ＝4时，s ＝6＋9＝15；k ＝5时，s ＝15＋16＝31>15，此时输出的k 值为5.6．下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22,30)内的概率为( )**B ．0.4C ．0.5D ．0.6答案 B解析 10个数据落在区间[22,30)内的数据有22,22,27,29共4个，因此，所求的频率为410＝0.4.故选B. 7．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a 等于( ) A.52B.72C.154D.152答案 A解析 由x 2－2ax －8a 2<0，得(x ＋2a )(x －4a )<0，因a >0，所以不等式的解集为(－2a,4a )，即x 2＝4a ，x 1＝－2a ，由x 2－x 1＝15，得4a －(－2a )＝15，解得a ＝52.8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．180B ．200C ．220D ．240答案 D解析 由三视图还原的几何体为两底面为梯形的直棱柱，底面梯形的面积为12(2＋8)×4＝20，梯形的腰长为32＋42＝5，棱柱的四个侧面的面积之和为(2＋8＋5＋5)×10＝200.所以棱柱的表面积为200＋2×20＝240.9．已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，则f (lg(lg 2))等于( ) A ．－5B ．－1C ．3D ．4答案 C解析 lg(log 210)＝lg ⎝⎛⎭⎫1lg 2＝－lg(lg 2)，由f (lg(log 210))＝5，得a [lg(lg 2)]3＋b sin(lg(lg 2))＝4－5＝－1，则f (lg(lg 2))＝a (lg(lg 2))3＋b sin(lg(lg 2))＋4＝ －1＋4＝3.10．设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O 、所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1、B 1和A 2、B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤233，2B.⎣⎡⎭⎫233，2C.⎝⎛⎭⎫233，＋∞D.⎣⎡⎭⎫233，＋∞ 答案 A解析 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由双曲线的对称性知，直线A 1B 1与A 2B 2关于坐标轴对称，否则不会有|A 1B 1|＝|A 2B 2|，设双曲线的两条渐近线的夹角为2θ，由题意知2θ>(60°，120°]，否则，若2θ<60°，则不存在满足题意的直线对，若2θ>120°，则直线对不唯一．因此双曲线渐近线的斜率满足关系式tan 60°≥b a >tan 30°，即3≥b a >33，平方得：3≥e 2－1>13，解得e ∈⎝⎛⎦⎤233，2.二、填空题11．已知复数z ＝1＋2i(i 是虚数单位)，则|z |＝________.答案 5解析 因为z ＝1＋2i ，所以|z |＝12＋22＝ 5. 12．若2、a 、b 、c 、9成等差数列，则c －a ＝________. 答案 72解析 设等差数列2，a ，b ，c,9的公差为d ，则9－2＝4d ， ∴d ＝74，c －a ＝2d ＝2×74＝72.13．若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为________． 答案 23解析 甲、乙、丙三人站成一排，共有甲、乙、丙，甲、丙、乙，乙、甲、丙，乙、丙、甲，丙、甲、乙，丙、乙、甲共6种情况，其中甲、乙丙人相邻而站共4种情况，故 P ＝46＝23.14．OA 为边，OB 为对角线的矩形中，OA →＝(－3,1)，OB →＝(－2，k )，则实数k ＝________. 答案 4解析 AB →＝OB →－OA →＝(1，k －1)， 因OA →⊥AB →，所以OA →·AB →＝0， 即－3＋k －1＝0，所以k ＝4.15．设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围为________．答案 ⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎦⎤5π6，π 解析 由题意，得Δ＝64sin 2α－32cos 2α≤0， 化简得cos 2α≥12，∵0≤α≤π，∴0≤2α≤2π， ∴0≤2α≤π3或5π3≤2α≤2π，∴0≤α≤π6或5π6≤α≤π.三、解答题16．设数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝3a n ，n ∈N ＋. (1)求{a n }的通项公式及前n 项和S n ；(2)已知{b n }是等差数列，T n 为前n 项和，且b 1＝a 2，b 3＝a 1＋a 2＋a 3，求T 20.解 (1)由题设知{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，所以a n ＝3n －1，S n ＝1－3n 1－3＝12(3n－1)．(2)b 1＝a 2＝3，b 3＝1＋3＋9＝13，b 3－b 1＝10＝2d ， 所以公差d ＝5，故T 20＝20·3＋20·192·5＝1 010.17．从某居民区随机抽取10个家庭,获得第i 个家庭的月收入x (单位:千元)与月储蓄y (单位:千元)的数据资料,算得(Ⅰ)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y=bx+a;(Ⅱ)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关;(Ⅲ)若该居民区某家庭月收入为7千元,预测该家庭的月储蓄.18．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且a 2＝b 2＋c 2＋3bc . (1)求A ；(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos B cos C 的最大值，并指出此时B 的值．解 (1)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc 2bc ＝－32.又因0<A <π，所以A ＝5π6.(2)由(1)得sin A ＝12，又由正弦定理及a ＝3得S ＝12bc sin A ＝12·a sin B sin A ·a sin C ＝3sin B sin C ， 因此，S ＋3cos B cos C ＝3(sin B sin C ＋cos B cos C ) ＝3cos(B －C )．所以，当B ＝C ，即B ＝π－A 2＝π12时，S ＋3cos B cos C 取最大值3.19．如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝23，BC ＝CD ＝2，∠ACB ＝ ∠ACD ＝π3.(1)求证：BD ⊥平面P AC ；(2)若侧棱PC 上的点F 满足PF ＝7FC ，求三棱锥P －BDF 的体积． (1)证明 因BC ＝CD ，即△BCD 为等腰三角形， 又∠ACB ＝∠ACD ，故BD ⊥AC . 因为P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥BD .从而BD 与平面P AC 内两条相交直线P A ，AC 都垂直， 所以BD ⊥平面P AC .(2)解 三棱锥P －BCD 的底面BCD 的面积 S △BCD ＝12BC ·CD ·sin ∠BCD ＝12·2·2·sin 2π3＝ 3.由P A ⊥底面ABCD ，得V P －BCD ＝13·S △BCD ·P A ＝13·3·23＝2.由PF ＝7FC ，得三棱锥F －BCD 的高为18P A ，故V F －BCD ＝13·S △BCD ·18P A ＝13·3·18·23＝14，所以V P －BDF ＝V P －BCD －V F －BCD ＝2－14＝74.20．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．解 (1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh ＝200πrh 元，底面的总成本为160πr 2元． 所以蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元． 又根据题意得200πrh ＋160πr 2＝12 000π， 所以h ＝15r (300－4r 2)，从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)．因r >0，又由h >0可得r <53，故函数V (r )的定义域为(0,53)． (2)因V (r )＝π5(300r －4r 3)，故V ′(r )＝π5(300－12r 2)，令V (r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(因r 2＝－5不在定义域内，舍去)． 当r ∈(0,5)时，V ′(r )>0，故V (r )在(0,5)上为增函数； 当r ∈(5,53)时，V ′(r )<0，故V (r )在(5,53)上为减函数． 由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8. 即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．21．如图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e ＝22，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A 、A ′两点，|AA ′|＝4. (1)求该椭圆的标准方程；(2)取平行于y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P 、P ′，过P 、P ′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．求△PP ′Q 的面积S 的最大值，并写出对应的圆Q 的标准方程．解 (1)由题意知A (－c,2)在椭圆上， 则(－c )2a 2＋22b 2＝1.从而e 2＋4b 2＝1.由e ＝22得b 2＝41－e 2＝8， 从而a 2＝b 21－e 2＝16. 故该椭圆的标准方程为x 216＋y 28＝1.(2)由椭圆的对称性，可设Q (x 0,0)． 又设M (x ，y )是椭圆上任意一点，则 |QM |2＝(x －x 0)2＋y 2＝x 2－2x 0x ＋x 20＋8⎝⎛⎭⎫1－x 216＝12(x －2x 0)2－x 20＋8(x ∈[－4,4])． 设P (x 1，y 1)，由题意，P 是椭圆上到Q 的距离最小的点， 因此，上式当x ＝x 1时取最小值，又因x 1∈(－4,4)，所以上式当x ＝2x 0时取最小值， 从而x 1＝2x 0，且|QP |2＝8－x 20.由对称性知P ′(x 1，－y 1)，故|PP ′|＝|2y 1|， 所以S ＝12|2y 1||x 1－x 0|＝12×28⎝⎛⎭⎫1－x 2116|x 0| ＝2(4－x 20)x 20＝2－(x 20－2)2＋4.当x 0＝±2时，△PP ′Q 的面积S 取到最大值2 2.此时对应的圆Q 的圆心坐标为Q (±2，0)，半径|QP |＝8－x 20＝6， 因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为 (x ＋2)2＋y 2＝6，(x －2)2＋y 2＝6.。
2013年重庆市高考数学试卷(文科)含答案
优点：通过理解单词的构成，可 以更好地理解单词的含义，并且 有助于记忆和回忆。
学习建议：学习者可以通过学习 常用的词根和词缀，以及理解单 词的构成方式来提高记忆效果。
故事记忆法
定义：将需要记忆的词汇 串联成一个有趣的故事， 通过故事情节的关联来记
尝试多种记忆方法：尝试 不同的记忆方法，如联想 记忆、重复记忆、制作思 维导图等，找到适合自己 的方法。
制定合理的学习计划：制 定合理的学习计划，将优 生词汇分散到不同的时间 段进行记忆，避免一次性 记忆过多造成负担。
结合实际应用：将优生词 汇应用到实际生活中，通 过实践加深记忆，同时也 能更好地掌握词汇的用法 。
优生词汇记忆方法注重个性化学习，根据学生的兴趣和需求进行定制化教学，提高学 习动力。
促进学习方法的创新与改进
优生词汇记忆方 法能够帮助学生 更高效地记忆词 汇，从而提高学
习效率。
优生词汇记忆方 法可以帮助学生 更好地掌握语言 学习的规律，从 而促进学习方法 的创新与改进。
优生词汇记忆方 法可以帮助学生 更好地理解语言 学习的本质，从 而更好地改进学
忆词汇
优点：增强记忆的趣味性， 提高记忆的持久性
适用范围：适用于记忆大 量词汇或需要长期记忆的
知识点
注意事项：故事的设计要 符合逻辑，避免生搬硬套， 同时要经常复习巩固记忆
效果
PART THREE
学习策略的培养
制定学习计划
确定学习目标：明确要掌握的词汇和记忆要求 制定时间表：合理安排每天的学习时间和进度 多样化学习方式：采用多种方式进行词汇记忆，如读写、听、说等 定期复习：定期回顾已学过的词汇，加强记忆
2013年高考重庆卷文科数学试题及答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（重庆卷）一、选择题1．已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，则∁U (A ∪B )等于( ) A ．{1,3,4} B ．{3,4} C ．{3}D ．{4}答案 D解析 因为A ∪B ＝{1,2,3}，全集U ＝{1,2,3,4}，所以∁U (A ∪B )＝{4}，故选D. 2．命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为( ) A ．对任意x ∈R ，都有x 2<0 B ．不存在x ∈R ，都有x 2<0 C ．存在x 0∈R ，使得x 20≥0 D ．存在x 0∈R ，使得x 20<0 答案 D解析 由于“对任意x ∈R ”的否定为“存在x 0∈R ”，对“x 2≥0”的否定为“x 2<0”，因此选D.3．函数y ＝1log 2(x －2)的定义域为( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(2,3)∪(3，＋∞)D ．(2,4)∪(4，＋∞)答案 C解析 由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，x －2≠1，即x >2且x ≠3，故选C.4．设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为( ) A ．6B ．4C ．3D ．2答案 B解析 由题意，知圆的圆心坐标为(3，－1)，圆的半径长为2，|PQ |的最小值为圆心到直线x ＝－3的距离减去圆的半径长，所以|PQ |min ＝3－(－3)－2＝4.故选B.5．执行如图所示的程序框图，则输出的k 的值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 C解析 由题意，得k ＝1时，s ＝1；k ＝2时，s ＝1＋1＝2；k ＝3时，s ＝2＋4＝6；k ＝4时，s ＝6＋9＝15；k ＝5时，s ＝15＋16＝31>15，此时输出的k 值为5.6．下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22,30)内的概率为( )1 8 92 1 2 2 7 9 33A.0.2 B ．0.4答案 B解析 10个数据落在区间[22,30)内的数据有22,22,27,29共4个，因此，所求的频率为410＝0.4.故选B.7．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a 等于( ) A.52B.72C.154D.152答案 A解析 由x 2－2ax －8a 2<0，得(x ＋2a )(x －4a )<0，因a >0，所以不等式的解集为(－2a,4a )，即x 2＝4a ，x 1＝－2a ，由x 2－x 1＝15，得4a －(－2a )＝15，解得a ＝52.8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．180B ．200C ．220D ．240答案 D解析 由三视图还原的几何体为两底面为梯形的直棱柱，底面梯形的面积为12(2＋8)×4＝20，梯形的腰长为32＋42＝5，棱柱的四个侧面的面积之和为(2＋8＋5＋5)×10＝200.所以棱柱的表面积为200＋2×20＝240.9．已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，则f (lg(lg 2))等于( ) A ．－5B ．－1C ．3D ．4答案 C解析 lg(log 210)＝lg ⎝⎛⎭⎫1lg 2＝－lg(lg 2)，由f (lg(log 210))＝5，得a [lg(lg 2)]3＋b sin(lg(lg 2))＝4－5＝－1，则f (lg(lg 2))＝a (lg(lg 2))3＋b sin(lg(lg 2))＋4＝－1＋4＝3.10．设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O 、所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1、B 1和A 2、B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤233，2B.⎣⎡⎭⎫233，2C.⎝⎛⎭⎫233，＋∞D.⎣⎡⎭⎫233，＋∞ 答案 A解析 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由双曲线的对称性知，直线A 1B 1与A 2B 2关于坐标轴对称，否则不会有|A 1B 1|＝|A 2B 2|，设双曲线的两条渐近线的夹角为2θ，由题意知2θ>(60°，120°]，否则，若2θ<60°，则不存在满足题意的直线对，若2θ>120°，则直线对不唯一．因此双曲线渐近线的斜率满足关系式tan 60°≥b a >tan 30°，即3≥b a >33，平方得：3≥e 2－1>13，解得e ∈⎝⎛⎦⎤233，2.二、填空题11．已知复数z ＝1＋2i(i 是虚数单位)，则|z |＝________. 答案5解析 因为z ＝1＋2i ，所以|z |＝12＋22＝ 5.12．若2、a 、b 、c 、9成等差数列，则c －a ＝________. 答案 72解析 设等差数列2，a ，b ，c,9的公差为d ，则9－2＝4d ， ∴d ＝74，c －a ＝2d ＝2×74＝72.13．若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为________． 答案 23解析 甲、乙、丙三人站成一排，共有甲、乙、丙，甲、丙、乙，乙、甲、丙，乙、丙、甲，丙、甲、乙，丙、乙、甲共6种情况，其中甲、乙丙人相邻而站共4种情况，故P ＝46＝23. 14．OA 为边，OB 为对角线的矩形中，OA →＝(－3,1)，OB →＝(－2，k )，则实数k ＝________. 答案 4解析 AB →＝OB →－OA →＝(1，k －1)， 因OA →⊥AB →，所以OA →·AB →＝0， 即－3＋k －1＝0，所以k ＝4.15．设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围为________．答案 ⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎦⎤5π6，π 解析 由题意，得Δ＝64sin 2α－32cos 2α≤0， 化简得cos 2α≥12，∵0≤α≤π，∴0≤2α≤2π， ∴0≤2α≤π3或5π3≤2α≤2π，∴0≤α≤π6或5π6≤α≤π.三、解答题16．设数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝3a n ，n ∈N ＋. (1)求{a n }的通项公式及前n 项和S n ；(2)已知{b n }是等差数列，T n 为前n 项和，且b 1＝a 2，b 3＝a 1＋a 2＋a 3，求T 20.解 (1)由题设知{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，所以a n ＝3n －1，S n ＝1－3n 1－3＝12(3n－1)．(2)b 1＝a 2＝3，b 3＝1＋3＋9＝13，b 3－b 1＝10＝2d ， 所以公差d ＝5，故T 20＝20·3＋20·192·5＝1 010.17．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑i ＝110x i ＝80，∑i ＝110y i ＝20，∑i ＝110x i y i ＝184，∑i ＝110x 2i ＝720.(1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ＝bx ＋a ； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y ＝bx ＋a 中，b ＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2，a ＝y －b x ，其中x ，y 为样本平均值，线性回归方程也可写为y ^＝b ^x ＋a ^. 解 (1)由题意知n ＝10，x ＝1n ∑i ＝1n x i ＝8010＝8，y ＝1n ∑i ＝1n y i ＝2010＝2，又l xx ＝∑i ＝1nx 2i －n x 2＝720－10×82＝80，l xy ＝ i ＝1nx i y i －n x y ＝184－10×8×2＝24，由此得b ＝l xy l xx ＝2480＝0.3，a ＝y －b x ＝2－0.3×8＝－0.4， 故所求回归方程为y ＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 值的增加而增加(b ＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关． (3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)． 18．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且a 2＝b 2＋c 2＋3bc . (1)求A ；(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos B cos C 的最大值，并指出此时B 的值． 解 (1)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc 2bc ＝－32.又因0<A <π，所以A ＝5π6.(2)由(1)得sin A ＝12，又由正弦定理及a ＝3得S ＝12bc sin A ＝12·a sin B sin A ·a sin C ＝3sin B sin C ， 因此，S ＋3cos B cos C ＝3(sin B sin C ＋cos B cos C ) ＝3cos(B －C )．所以，当B ＝C ，即B ＝π－A 2＝π12时，S ＋3cos B cos C 取最大值3.19．如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝23，BC ＝CD ＝2，∠ACB ＝∠ACD ＝π3.(1)求证：BD ⊥平面P AC ；(2)若侧棱PC 上的点F 满足PF ＝7FC ，求三棱锥P －BDF 的体积． (1)证明 因BC ＝CD ，即△BCD 为等腰三角形， 又∠ACB ＝∠ACD ，故BD ⊥AC . 因为P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥BD .从而BD 与平面P AC 内两条相交直线P A ，AC 都垂直， 所以BD ⊥平面P AC .(2)解 三棱锥P －BCD 的底面BCD 的面积 S △BCD ＝12BC ·CD ·sin ∠BCD ＝12·2·2·sin 2π3＝ 3.由P A ⊥底面ABCD ，得V P －BCD ＝13·S △BCD ·P A ＝13·3·23＝2.由PF ＝7FC ，得三棱锥F －BCD 的高为18P A ，故V F －BCD ＝13·S △BCD ·18P A ＝13·3·18·23＝14，所以V P －BDF ＝V P －BCD －V F －BCD ＝2－14＝74.20．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．解 (1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh ＝200πrh 元，底面的总成本为160πr 2元．所以蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元． 又根据题意得200πrh ＋160πr 2＝12 000π， 所以h ＝15r (300－4r 2)，从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)．因r >0，又由h >0可得r <53，故函数V (r )的定义域为(0,53)． (2)因V (r )＝π5(300r －4r 3)，故V ′(r )＝π5(300－12r 2)，令V (r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(因r 2＝－5不在定义域内，舍去)． 当r ∈(0,5)时，V ′(r )>0，故V (r )在(0,5)上为增函数； 当r ∈(5,53)时，V ′(r )<0，故V (r )在(5,53)上为减函数． 由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8. 即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．21．如图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e ＝22，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A 、A ′两点，|AA ′|＝4. (1)求该椭圆的标准方程；(2)取平行于y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P 、P ′，过P 、P ′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．求△PP ′Q 的面积S 的最大值，并写出对应的圆Q 的标准方程．解 (1)由题意知A (－c,2)在椭圆上， 则(－c )2a 2＋22b 2＝1.从而e 2＋4b2＝1.由e ＝22得b 2＝41－e 2＝8， 从而a 2＝b 21－e 2＝16.故该椭圆的标准方程为x 216＋y 28＝1.(2)由椭圆的对称性，可设Q (x 0,0)． 又设M (x ，y )是椭圆上任意一点，则 |QM |2＝(x －x 0)2＋y 2＝x 2－2x 0x ＋x 20＋8⎝⎛⎭⎫1－x 216＝12(x －2x 0)2－x 20＋8(x ∈[－4,4])． 设P (x 1，y 1)，由题意，P 是椭圆上到Q 的距离最小的点， 因此，上式当x ＝x 1时取最小值，又因x 1∈(－4,4)，所以上式当x ＝2x 0时取最小值， 从而x 1＝2x 0，且|QP |2＝8－x 20.由对称性知P ′(x 1，－y 1)，故|PP ′|＝|2y 1|， 所以S ＝12|2y 1||x 1－x 0|＝12×28⎝⎛⎭⎫1－x 2116|x 0| ＝2(4－x 20)x 20＝2－(x 20－2)2＋4.当x 0＝±2时，△PP ′Q 的面积S 取到最大值2 2. 此时对应的圆Q 的圆心坐标为Q (±2，0)，半径|QP |＝8－x 20＝6，因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为 (x ＋2)2＋y 2＝6，(x －2)2＋y 2＝6.。
2013年重庆市高考数学试卷(文科)学生版
2013 年重庆市高考数学试卷（文科）一．选择题：本大题共 10 小题，每题5 分，共 50 分．在每题给出的四个备选项中，只有一个选项是切合题目要求的．1．（ 5 分）（2013?重庆）已知全集 U={ 1，2，3，4} ，会合 A={ 1，2} ，B={ 2，3} ，则?U （A ∪B ）=（）A ．{ 1，3，4}B ．{ 3，4}C ．{ 3}D ．{ 4}2 ．（ 5 分）（ 2013? 重庆）命题 “对随意2≥0”的否认为（ ）x ∈ R ，都有 xA ．存在 x 0∈R ，使得 x 02＜0B ．对随意 x ∈ R ，使得 x 2＜ 0．存在 x 0∈R ，都有．不存在 ∈ ，使得 2＜0CDx Rx3．（5 分）（2013?重庆）函数 y=的定义域为（ ）A ．（﹣∞， 2）B ．（2，+∞）C ．（ 2， 3）∪（ 3，+∞）D ．（2，4）∪（ 4， +∞）4 ．（5 分）（ 重庆）设 P 是圆（ x ﹣3） 2+（y+1）2=4 上的动点， Q 是直线x= 2013?﹣3 上的动点，则 | PQ| 的最小值为（）A ．6B ．4C ．3D ．25．（5 分）（2015?北京）履行如下图的程序框图，输出的 k 值为（ ）A．3B．4C．5D．66．（ 5 分）（ 2013?重庆）如图是某企业 10 个销售店某月销售某产品数目（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间[ 22， 30）内的概率为（）A．0.2B．0.4C．0.5D．0.67．（ 5 分）（ 2013?重庆）对于 x 的不等式 x2﹣2ax﹣ 8a2＜ 0（a＞0）的解集为（x1，x 2），且：x2﹣x1，则（）=15a=A．B．C．D．8．（5 分）（2013?重庆）某几何体的三视图如下图，则该几何体的表面积为（）A．180B．200C．220D．240．（分）（重庆）已知函数3+bsinx+4（ a，b∈R），f（lg（log））9 52013?f（x）=ax210=5，则 f（lg（lg2）） =（）A．﹣ 5B．﹣ 1C．3D．410．（5 分）（2013?重庆）设双曲线 C 的中心为点 O，如有且只有一对订交于点O，所成的角为 60°的直线 A1 1和 A2 2，使| A1 1| =| A22| ，此中 A1、B1和 A2、B2B B B B分别是这对直线与双曲线 C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（）．，B．，C．，D．，A二．填空题：本大题共 5 小题，考生作答 5 小题，每题 5 分，共 25 分．把答案填写在答题卡相应地点上．11．（ 5分）（2013?重庆）已知复数 z=1+2i（i 是虚数单位），则 | z| =．12．（ 5分）（2013?重庆）若 2、 a、 b、 c、9 成等差数列，则 c﹣a=．13．（ 5分）（2013?重庆）若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为．14．（ 5分）（2013?重庆） OA为边， OB为对角线的矩形中，，，，，则实数 k=．15．（ 5 分）（2013?重庆）设 0≤α≤π，不等式 8x2﹣（ 8sin α）x+cos2α≥0 对 x∈R 恒建立，则α的取值范围为．三．解答题：本大题共 6 小题，共 75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（ 13 分）（ 2013?重庆）设数列 { a n} 知足： a1=1， a n+1=3a n，n∈N+．（Ⅰ）求 { a n} 的通项公式及前n 项和 S n；（Ⅱ）已知 { b n} 是等差数列， T n为前 n 项和，且 b1=a2，b3=a1+a2+a3，求 T20．17．（13 分）（2013?重庆）从某居民区随机抽取10 个家庭，获i 个家庭的月，取第收入 x（i单位：千元）与月积蓄 y（i单位：千元）的数据资料，算得，，．（Ⅰ）求家庭的月积蓄y 对月收入 x 的线性回归方程y=bx+a；（Ⅱ）判断变量x 与 y 之间是正有关仍是负有关；（Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为7 千元，展望该家庭的月积蓄．附：线性回归方程y=bx+a 中，，，此中，为样本均匀值，线性回归方程也可写为．18．（ 13 分）（ 2013?重庆）在△ ABC中，内角 A、 B、 C 的对边分别是 a、b、 c，且 a2=b2+c2+ bc．（Ⅰ）求 A；（Ⅱ）设 a= ，S 为△ ABC的面积，求 S+3cosBcosC的最大值，并指出此时 B 的值．19．（12 分）（2013?重庆）如图，四棱锥 P﹣ABCD中，PA⊥底面 ABCD，PA=2，BC=CD=2，∠ ACB=∠ ACD= ．（Ⅰ）求证： BD⊥平面 PAC；（Ⅱ）若侧棱 PC上的点 F 知足 PF=7FC，求三棱锥 P﹣BDF的体积．20．（12 分）（ 2013?重庆）某乡村拟修筑一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为 r 米，高为 h 米，体积为 V 立方米．假定建筑成本仅与表面积有关，侧面积的建筑成本为 100 元/ 平方米，底面的建筑成本为 160元/ 平方米，该蓄水池的总建筑成本为 12000π元（π为圆周率）．（Ⅰ）将 V 表示成 r 的函数 V（r），并求该函数的定义域；（Ⅱ）议论函数 V（r）的单一性，并确立 r 和 h 为什么值时该蓄水池的体积最大．21．（ 12 分）（2013?重庆）如图，椭圆的中心为原点 O，长轴在 x 轴上，离心率，过左焦点 F1作 x 轴的垂线交椭圆于 A、A′两点， | AA′|=4．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）取平行于 y 轴的直线与椭圆订交于不一样的两点P、P′，过 P、P′作圆心为 Q 的圆，使椭圆上的其他点均在圆Q 外．求△ PP'Q的面积 S 的最大值，并写出对应的圆 Q 的标准方程．。
2013年重庆市高考数学试卷(文科)答案与解析教案资料
2013年重庆市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•重庆）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∪B）2，都有，使得3．（5分）（2013•重庆）函数的定义域为（）解：要使原函数有意义，则4．（5分）（2013•重庆）设P是圆（x﹣3）2+（y+1）2=4上的动点，Q是直线x=﹣3上的动5．（5分）（2013•重庆）执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是（）6．（5分）（2013•重庆）如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间[22，30）内的概率为（）=0.47．（5分）（2013•重庆）关于x的不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），且：B=a=8．（5分）（2013•重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）×9．（5分）（2013•重庆）已知函数f（x）=ax3+bsinx+4（a，b∈R），f（lg（log210））=5，则10．（5分）（2013•重庆）设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|=|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与B，由解：不妨令双曲线的方程为°，，∴，∴，∴双曲线的离心率的范围是二．填空题：本大题共5小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．11．（5分）（2013•重庆）已知复数z=1+2i（i是虚数单位），则|z|=．=故答案为：12．（5分）（2013•重庆）若2、a、b、c、9成等差数列，则c﹣a=．，2a=2+b=2+=，解之可得，=，解得c=﹣==故答案为：13．（5分）（2013•重庆）若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为．甲、乙、丙三人随机地站成一排的所有排法有则甲、乙两人相邻而站，把甲和乙当做一个整体，甲和乙的排列有种，因此共有=故答案为：14．（5分）（2013•重庆）OA为边，OB为对角线的矩形中，，，则实数k=4．=0=15．（5分）（2013•重庆）设0≤α≤π，不等式8x2﹣（8sinα）x+cos2α≥0对x∈R恒成立，则α的取值范围为[0，]∪[，π]．α≤，≤α≤][][，三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（2013•重庆）如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点，|AA′|=4．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′，过P、P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．求△PP'Q的面积S的最大值，并写出对应的圆Q的标准方程．（Ⅰ）设椭圆方程为，将左焦点横坐标代入椭圆方程可得，则，又，y=①，所以椭圆方程为：；代入，得，，得t=≤×=2，t=t+r=+的最大值为的标准方程为：的方程为的最大值仍为为16．（13分）（2013•重庆）设数列{a n}满足：a1=1，a n+1=3a n，n∈N+．（Ⅰ）求{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）已知{b n}是等差数列，T n为前n项和，且b1=a2，b3=a1+a2+a3，求T20．；=101017．（13分）（2013•重庆）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i（单位：千元）与月储蓄y i（单位：千元）的数据资料，算得，，，．（Ⅰ）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a；（Ⅱ）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；（Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y=bx+a中，，，其中，为样本平均值，线性回归方程也可写为．，，进而可得，==8，=2b=═=0.3a=18．（13分）（2013•重庆）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且a2=b2+c2+bc．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）设a=，S为△ABC的面积，求S+3cosBcosC的最大值，并指出此时B的最值．=，A=，由正弦定理得：b=，a= bcsinA=••B=C=时，19．（12分）（2013•重庆）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=2，BC=CD=2，∠ACB=∠ACD=．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若侧棱PC上的点F满足PF=7FC，求三棱锥P﹣BDF的体积．．求出，运算求得结果．，的高的BC BCD=．×．20．（12分）（2013•重庆）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．（Ⅰ）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域；（Ⅱ）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．（（（）（）5。
重庆高考数学文科试卷带详解
2013年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（文史类）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合{1,2,3,4}U =，集合={1,2}A ，={2,3}B ，则()U A B = （ ）A.{1,3,4}B.{3,4}C.{3}D.{4}【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】集合的表达（列举法），求集合的并集与补集.【参考答案】D【试题分析】先求出两个集合的并集，再结合补集的概念求解.2．命题“对任意x ∈R ，都有20x ”的否定为 （ ）A.对任意x ∈R ，都有20x <B.不存在x ∈R ，都有20x <C.存在0x ∈R ，使得200x D.存在0x ∈R ，使得200x <【测量目标】全称量词与存在量词.【考查方式】含有量词的命题否定，直接求该命题的否定.【参考答案】D【试题分析】根据含有一个量词的命题进行否定的方法直接写出",()"",()",x M p x x M p x ∀∈∃∈⌝的否定是故“对任意x ∈R ，都有20x ≥”的否定是“存在0x ∈R ，使得200x <”3．函数21log (2)y x =-的定义域为 （ ） A.(,2)-∞ B.(2,)+∞ C.(2,3)(3,)+∞ D.(2,4)(4,)+∞ 【测量目标】函数的定义域.【考查方式】给定函数式，使每个部分有意义，求其定义域.【参考答案】C【试题分析】利用函数有意义的条件直接运算求解.2log (2)0,20,x x -≠⎧⎨->⎩23,x x >≠得且故选C 4．设P 是圆22(3)(1)4x y -++=上的动点，Q 是直线3x =-上的动点，则PQ 的最小值为 （ ）A.6B.4C.3D.2【测量目标】直线与圆的位置关系、动点间距离最值问题.【考查方式】给出圆与直线的方程，利用数形结合求两图形上动点的最短距离.【参考答案】B【试题解析】圆心(3,1)M -与定直线3x =-的最短距离为3(3)6MQ =--=，又圆的半径为2，故所求最短距离为6-2=4.5．执行如题5图所示的程序框图，则输出的k 的值是 （ ）A.3B.4C.5D.6【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】考查循环结构的流程图，注意循环条件的设置，以及循环体的构成，特别是注意最后一次循环k 的值，输出k .【参考答案】C【试题解析】利用循环结构相关知识直接运算求解.第5题图6．下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间[22,30）内的概率为 （ ）A.0.2B.0.4C.0.5D.0.6【测试目标】茎叶图.【考查方式】题给出茎叶图，直接求解.【参考答案】B【试题分析】利用频率及茎叶图的知识直接求解，由题意知，这10个数据落在区间[)22,30内的有22,22,27,29四个，所以频率为0.47．关于x 的不等式22280x ax a --<（0a >）的解集为12(,)x x ，且：2115x x -=，则a =（ ） A.52 B.72 C.154 D.152【测量目标】解含参的一元二次不等式.【考查方式】给出不等式，给出两解集的范围差，利用因式分解求不等式中的未知数.【参考答案】利用因式分解法解一元二次不等式寻求a 的关系式后，带入求解.22280(0)(2)(4)0(0),x ax a a x a x a a --<>∴+-<>即24a x a -<<，故原不等式的解集为(2,4)a a -，215154(2)15,615,2x x a a a a -=∴--=∴=∴=（步骤2）8．某几何体的三视图如题8所示，则该几何体的表面积为 （ ）A.180B.200C.220D.240【测量目标】由三视图求几何体的表面积.【考查方式】给出几何体的三视图，直接求几何体的表面积.【参考答案】D【试题分析】利用三试图还原几何体，结合直观图直接运算求解.由三视图知识知该几何体是底面为等腰梯形的直四棱柱.等腰梯形的上底长为2，下底长为8，高为4，腰长为5，直四棱柱的高为10，所以1=82)42402S ⨯+⨯⨯=底（， 9．已知函数3()sin 4(,)f x ax b x a b =++∈R ，2(lg(log 10))5f =，则(lg(lg 2))f = （ ）A.5-B.1-C.3D.4【测量目标】对数函数性质、函数的奇偶性综合运用.【考查方式】给定函数式，给定某个函数值，用函数的奇偶性与对数的性质去求另一个函数值.【参考答案】C【试题分析】运用奇函数的性质，整体换元求解. 因为210log 10lg 2(log 2)与即互为倒数，2lg(log 10)∴lg(lg 2)与互为相反数，（步骤1）不妨令332lg(log 10),lg(lg 2),()()(sin 4)()sin()48x x f x f x ax b x a x b x ⎡⎤=∴=-+-=+++-+-+=⎣⎦故()8()853f x f x -=-=-=（步骤2）10．设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相较于点O 、所成的角为60的直线11A B 和22A B ，使1122A B A B =，其中1A 、1B 和2A 、2B 分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是 （ ）A.(2]3B.[,2)3C.)+∞D.)+∞【测量目标】双曲线的简单几何性质、直线与双曲线的位置关系.【考查方式】通过“有且只有一对”限定双曲线渐近线倾斜角的范围，求取离心率.【参考答案】A【试题分析】由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于x 轴（或y 轴）对称又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于30且小于等于60，即221tan 30tan 60, 3.3b b a a <∴<二．填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．11．已知复数12i z =+（i 是虚数单位），则z =．【测量目标】复数的模.【考查方式】给出复数的方程式，直接求解复数的模.【试题分析】利用求模公式直接求解.12．若2、a 、b 、c 、9成等差数列，则c a -= ．【测量目标】等差数列的通项公式.【考查方式】题给此数列为等差数列，求出公差，再进行求解数列中两项的差值. 【参考答案】72【试题分析】利用等差数列的有关知识先求出公差在运算求解. 由题意得该等差数列的公差927514d -==-， 所以722c ad -== 13．若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为 ．【测量目标】古典概型.【考查方式】三个人随机站一排，把两人放在一起去求概率. 【参考答案】23【试题分析】首先写出甲，乙，丙三人站成一排的所有结果及甲乙相邻而站的所有结果，然后将两结果数相除可得.甲乙丙三人随机的站成一排有（甲乙丙）、（甲丙乙）、（乙甲丙）、（乙丙甲）、（丙甲乙）、（丙乙甲）共6种排法，甲乙相邻而站有（甲乙丙）、（乙甲丙）、（丙甲乙）、（丙乙甲）共4种排法，由概率计算公式得甲乙两人相邻而站的概率为4263= 14．OA 为边，OB 为对角线的矩形中，(3,1)OA =-，(2,)OB k =-，则实数k = ．【测量目标】向量坐标形式的加减运算及数量积运算.【考查方式】平面向量的坐标运算，其未知数k .【参考答案】4【试题分析】画出矩形草图，利用向量加减运算及数量积运算直接求解.如图所示，由于(3,1),(2,),OA OB k =-=-所以(1,1),AB OB OA k =-=-（步骤1）在矩形中，由0,OA AB OA AB ⊥=得所以(3,1)(1,1)0,311(1)0k k --=-⨯+⨯-=即解得4k =（步骤2）15．设0πα，不等式28(8sin )cos 20x x αα-+对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为 ．【测量目标】一元二次不等式.【考查方式】限定α的大范围，带入不等式中求解出α的范围.【参考答案】π5π0,,π66⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【试题分析】根据开口向上的二次函数定义域为R 时函数值非负的条件(0)∆列式直接运算求解 由题意，要使28(8sin )cos 20x x αα-+对x ∈R 恒成立 需2=64sin 32cos 0αα∆-，化简得1cos 2.2α，（步骤1） π023α∴或5π22π,3α解得π06α或5ππ6α（步骤2） 三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分13分，（1）小问7分，（2）小问6分）设数列{}n a 满足：11a =，13n n a a +=，n +∈N ．（1）求{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）已知{}n b 是等差数列，n T 为前n 项和，且12b a =，3123b a a a =++，求20T ．【测量目标】等比数列、等差数列的通项公式及前n 项和公式.【考查方式】给定1a ，n a 与1n a +的关系，去求{}n a 的通项公式及前n 项和n S ，再根据{}n b 与n a 的关系，求n T .【试题分析】根据等比，等差数列的通项公式及前n 项和公式直接求解.解：（1）由题设知{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列，11313,(31)132n n n n n a S --∴===--.（步骤1） 5,d ∴=故202019203510102T ⨯=⨯+⨯=（步骤2） 17．（本小题满分13分，（1）小问9分，（2）、（3）小问各2分）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入i x （单位：千元）与月储蓄i y （单位：千元）的数据资料，算得10180i i x==∑，10120i i y ==∑，101184i i i x y ==∑，1021720i i x ==∑． （1）求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y bx a =+；（2）判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；（3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y bx a =+中，1221n i ii n i i x y nx y b xnx ==-=-∑∑，a y bx =-， 其中x ，y 为样本平均值，线性回归方程也可写为y bx a =+．【测量目标】线性回归方程，利用线性回归方程解决实际应用问题.【考查方式】给出月收入与月储蓄，求解其线性回归方程，并判断两者之间的相关性，给定数据代入线性回归方程求解.【试题分析】根据线性回归方程相关知识直接运算求解.解：（1）由题意知1118012010,8,21010n n i i i i n x x y y n n =========∑∑（步骤1） 2221172010880,184108224,n xx i i n xy i i i l x nx l x y nx y ===-=-⨯==-=-⨯⨯=∑∑又（步骤2）故所求线性回归方程为0.30.4.y x =-（步骤3）（2）由于变量y 的值随x 值的增加而增加(0.30)b =>，故x 与y 之间是正相关.（步骤4）（3）将7x =带入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为0.370.4 1.7y =⨯-=（千元）（步骤5）18．（本小题满分13分，（1）小问4分，（2）小问9分）在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c，且222a b c =++．（1）求A ；（2）设a =S 为ABC △的面积，求3cos cos S B C +的最大值，并指出此时B 的值．【测量目标】利用正余弦定理解决有关角度问题.【考查方式】给出三角形三边的数量关系，求其中一角;再给出其中一边具体数值情况下，计算所给函数式的值，并求其中角的数值.【试题分析】利用正、余弦定理及差角三角函数直接运算解答.解（1）由余弦定理得222cos 2b c a A bc +-===（步骤1） 又因为5π0π,6A A <<∴=（步骤2）（2）由（1）得1sin .2A =又由正弦定理及3a = 11sin sin sin 3sin sin ,22sin aB S abC a C B C A===（步骤3） 当ππ,,3cos cos 212A B C B S B C -===+取最大值3（步骤4） 19．（本小题满分12分，（1）小问5分，（2）小问7分）如题（19）图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，23PA =2BC CD ==，π3ACB ACD ∠=∠=． （1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）若侧棱PC 上的点F 满足7PF FC =，求三棱锥P BDF -的体积．【测量目标】线线-线面垂直的判定以及三棱锥体积的求解.【考查方式】（1）给出四棱锥的图形，给出其中部分直线的位置与代数关系及部分角，线线垂直推出线面垂直（2）再给出一条棱上的比例关系，求三棱锥体积.【试题分析】运用线面垂直的性质和判定证明BD ⊥平面,PAC 利用割补法求三棱锥体积.（1） 证明：因为,BC CD =所以BCD △为等腰三角形.（步骤1）又,ACB ACD BD AC ∠=∠∴⊥.（步骤2）因为PA ⊥底面,ABCD PA BD ∴⊥.（步骤3）从而BD 与平面PAC 内两条相交直线,PA AC 都垂直,BD ∴⊥平面PAC （步骤4）（2）解三棱锥-P BCD 的底面BCD 的面积112πsin 22sin 3.223BCD S BC CD BCD =∠=⨯⨯⨯=△（步骤5） PA ⊥平面ABCD-11323233P BCD BCD V S PA ==⨯=△（步骤6） 由7PF FC =，得三棱锥-F BCD 的高为18PA ，故 -11111323,38384F BCD BCD V S PA ==⨯⨯=△（步骤7） 所以---172.44P BDF P BCD F BCD V V V =-=-=（步骤8） 20．（本小题满分12分，（1）小问5分，（2）小问7分）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．（1）将V 表示成r 的函数()V r ，并求该函数的定义域；（2）讨论函数()V r 的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．【测量目标】函数的实际运用，函数的定义域，导数在实际问题中的应用.【考查方式】根据题意列出函数方程式，求其定义域；结合导数研究函数的单调性及最值问题。
2013年重庆高考数学试题及答案——文史类(真正的全word解析)
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(重庆卷)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 答案：D解析：∵A ∪B ＝{1,2}∪{2,3}＝{1,2,3}，U ＝{1,2,3,4}，∴U (A ∪B )＝{4}，故选D ． 2． 答案：A解析：由全称命题p ：∀x ∈D ，p (x )的否定为⌝p ：∃x 0∈D ，⌝p (x 0)，知选A ． 3． 答案：C 解析：由题知220,log 20,x x ->⎧⎨(-)≠⎩解得2,21,x x >⎧⎨-≠⎩即2,3.x x >⎧⎨≠⎩所以该函数的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)，故选C ． 4． 答案：B解析：∵由圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4知，圆心的坐标为(3，－1)，半径r ＝2， ∴圆心到直线x ＝－3的距离d ＝|3－(－3)|＝6. ∴|PQ |min ＝d －r ＝6－2＝4，故选B ． 5． 答案：C解析：∵k ＝1，s ＝1＋(1－1)2＝1； k ＝2，s ＝1＋(2－1)2＝2； k ＝3，s ＝2＋(3－1)2＝6； k ＝4，s ＝6＋(4－1)2＝15； k ＝5，s ＝15＋(5－1)2＝31＞15. ∴k ＝5.故选C ． 6． 答案：B解析：∵数据总个数n ＝10，又∵落在区间[22,30)内的数据个数为4， ∴所求的频率为40.410=. 7． 答案：A解析：∵由x 2－2ax －8a 2＜0(a ＞0)，得(x －4a )(x ＋2a )＜0，即－2a ＜x ＜4a ，∴x 1＝－2a ，x 2＝4a . ∵x 2－x 1＝4a －(－2a )＝6a ＝15， ∴15562a ==.故选A ． 8．答案：D 解析：由三视图知该几何体是底面为等腰梯形的直棱柱，如图所示，S 上＝2×10＝20， S 下＝8×10＝80，S 前＝S 后＝10×5＝50，S 左＝S 右＝12(2＋8)×4＝20， 所以S 表＝S 上＋S 下＋S 前＋S 后＋S 左＋S 右＝240， 故选D ． 9． 答案：C解析：∵21log 10lg2=， ∴lg(log 210)＝lg(lg 2)－1＝－lg(lg 2)．令g (x )＝ax 3＋b sin x ，易知g (x )为奇函数．∵f (lg(log 210))＝f (－lg(lg 2))＝g (－lg(lg 2))＋4＝5，∴g (－lg(lg 2))＝1.∴g (lg(lg 2))＝－1. ∴f (lg(lg 2))＝g (lg(lg 2))＋4＝－1＋4＝3. 故选C ． 10． 答案：A解析：不妨令双曲线的方程为22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)，由|A 1B 1|＝|A 2B 2|及双曲线的对称性知A 1，A 2，B 1，B2关于x 轴对称，如图．又∵满足条件的直线只有一对，∴tan 30°＜ba≤tan 60°，即3b a <≤∴22133b a<≤. ∵b 2＝c 2－a 2，∴222133c a a -<≤，即43＜e 2≤4.e ≤2，即e ∈23⎛⎤ ⎥ ⎝⎦.故选A ． 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．11．解析：∵z ＝1＋2i ，∴||z ==12．答案：72解析：设公差为d ，则c －a ＝2d ＝9277225142-⨯=⨯=-. 13．答案：23解析：甲、乙、丙三人随机站在一排有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6种．若甲、乙两人相邻而站则有甲乙丙、丙甲乙、乙甲丙、丙乙甲，共4种，故所求的概率为4263=. 14．答案：4解析：∵OA ＝(－3,1)，OB＝(－2，k )，∴AB ＝OB－OA ＝(－2，k )－(－3,1)＝(1，k －1)． 又OA ，AB为矩形相邻两边所对应的向量， ∴OA ⊥AB ，即OA ·AB＝－3×1＋1×(k －1)＝－4＋k ＝0，即k ＝4.15．答案：π5π0,,π66⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦解析：不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则有Δ＝(8sin α)2－4×8cos 2α＝64sin 2α－32cos 2α≤0，即2sin 2α－cos 2α＝2sin 2α－(1－2sin 2α)＝4sin 2α－1≤0. ∴sin 2α≤14. ∴11sin 22α-≤≤. 又0≤α≤π，结合下图可知，α∈π5π0,,π66⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解：(1)由题设知{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，所以a n ＝3n －1，S n ＝1313n --＝12(3n－1)．(2)b 1＝a 2＝3，b 3＝1＋3＋9＝13，b 3－b 1＝10＝2d ，所以公差d ＝5， 故T 20＝20×3＋20192⨯×5＝1 010. 17．解：(1)由题意知n ＝10，1180810n i i x x n ====∑，1120210n i i y y n ====∑，又l xx ＝221nii xnx =-∑＝720－10×82＝80，l xy ＝1ni ii x y nx y =-∑＝184－10×8×2＝24，由此得240.380xy xxl b l ===，a y bx =-＝2－0.3×8＝－0.4， 故所求回归方程为y ＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 的值增加而增加(b ＝0.3＞0)，故x 与y 之间是正相关． (3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)． 18．解：(1)由余弦定理得cos A＝222222b c a bc bc +-==-.又因0＜A ＜π，所以5π6A =.(2)由(1)得sin A ＝12，又由正弦定理及a ＝3得S ＝12bc sin A ＝12·sin sin a B A·a sin C ＝3sin B sin C ， 因此，S ＋3cos B cos C ＝3(sin B sin C ＋cos B cos C )＝3cos(B －C )．所以，当B ＝C ，即ππ212A B -==时，S ＋3cos B cos C 取最大值3. 19．(1)证明：因BC ＝CD ，即△BCD 为等腰三角形， 又∠ACB ＝∠ACD ，故BD ⊥AC ．因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥BD ．从而BD 与平面PAC 内两条相交直线PA ，AC 都垂直， 所以BD ⊥平面PAC ．(2)解：三棱锥P －BCD 的底面BCD 的面积S △BCD ＝12BC ·CD ·sin∠BCD ＝12×2×2×2πsin 3由PA ⊥底面ABCD ，得V P －BCD ＝13·S △BCD ·PA ＝123=.由PF ＝7FC ，得三棱锥F －BCD 的高为18PA ，故V F －BCD ＝13·S △BCD ·18PA ＝111384⨯=，所以V P －BDF ＝V P －BCD －V F －BCD ＝17244-=.20．解：(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh ＝200πrh 元，底面的总成本为160πr 2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元．又据题意200πrh ＋160πr 2＝12 000π，所以h ＝15r(300－4r 2)， 从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)．因r ＞0，又由h ＞0可得r <故函数V (r )的定义域为(0,)．(2)因V (r )＝π5(300r －4r 3)， 故V ′(r )＝π5(300－12r 2)．令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(因r 2＝－5不在定义域内，舍去)． 当r ∈(0,5)时，V ′(r )＞0，故V (r )在(0,5)上为增函数；当r ∈(5,时，V ′(r )＜0，故V (r )在(5,上为减函数． 由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8. 即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大． 21．解：(1)由题意知点A (－c,2)在椭圆上，则222221c a b (-)+=.从而e 2＋24b ＝1.由e =22481b e ==-，从而222161b a e ==-. 故该椭圆的标准方程为221168x y +=. (2)由椭圆的对称性，可设Q (x 0,0)． 又设M (x ，y )是椭圆上任意一点，则|QM |2＝(x －x 0)2＋y 2＝x 2－2x 0x ＋x 02＋28116x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝12(x －2x 0)2－x 02＋8(x ∈[－4,4])． 设P (x 1，y 1)，由题意，P 是椭圆上到Q 的距离最小的点，因此，上式当x ＝x 1时取最小值，又因x 1∈(－4,4)，所以上式当x ＝2x 0时取最小值，从而x 1＝2x 0，且|QP |2＝8－x 02.由对称性知P ′(x 1，－y 1)，故|PP ′|2＝|2y 1|， 所以S ＝1|2y 1||x 1－x 0|＝01|2⨯当0x =PP ′Q 的面积S 取到最大值此时对应的圆Q 的圆心坐标为Q (0)，半径||QP ==因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为(x )2＋y 2＝6，(x )2＋y 2＝6.。
2013年普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解重庆文
2013年重庆文一、选择题（共10小题；共50分）1. 已知集合U=1,2,3,4，集合A=1,2，B=2,3，则∁U A∪B= A. 1,3,4B. 3,4C. 3D. 42. 命题"对任意x∈R，都有x2≥0 "的否定为 A. 存在x0∈R，使得x02<0B. 对任意x∈R，都有x2<0C. 存在x0∈R，使得x02≥0D. 不存在x∈R，使得x2<03. 函数y=1log2x−2的定义域是 A. −∞,2B. 2,+∞C. 2,3∪3,+∞D. 2,4∪4,+∞4. 设P是圆x−32+y+12=4上的动点，Q是直线x=−3上的动点，则PQ 的最小值为 A. 6B. 4C. 3D. 25. 执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是 A. 3B. 4C. 5D. 66. 如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间22,30内的频率为 A. 0.2B. 0.4C. 0.5D. 0.67. 关于x的不等式x2−2ax−8a2<0a>0的解集为x1,x2，且x2−x1=15，则a= A. 52B. 72C. 154D. 1528. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A. 180B. 200C. 220D. 240 9. 已知函数f x =ax 3+b sin x +4 a ,b ∈R ,f lg log 210 =5，则f lg lg2 = A. −5B. −1C. 3D. 410. 设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60∘的直线A 1B 1和A 2B 2，使A 1B 1 = A 2B 2 ，其中A 1,B 1和A 2,B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是 A. 2 33,2 B.2 33,2 C.2 33,+∞ D.2 33,+∞二、填空题（共5小题；共25分） 11. 设复数z =1+2i （i 是虚数单位），则 z = ． 12. 若2，a ，b ，c ，9成等差数列，则c −a = ．13. 若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为 ．14. 在OA 为边、OB 为对角线的矩形中，已知OA= −3,1 ，OB = −2,k ，则实数k = ．15. 设0≤α≤π，不等式8x 2− 8sin α x +cos2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为 ．三、解答题（共6小题；共78分）16. 设数列 a n 满足：a 1=1,a n +1=3a n ,n ∈N +．（1）求 a n 的通项公式及前n 项和S n ； （2）已知 b n 是等差数列，T n 为其前n 项和，且b 1=a 2,b 3=a 1+a 2+a 3，求T 20．17. 从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i （单位：千元）与月储蓄y i （单位：千元）的数据资料，算得 x i =8010i =1, y i =2010i =1, x i y i =18410i =1, x i 2=72010i =1．附：线性回归方程y =bx +a 中，b = x i y i −nxyn i =1 x i −nx2i =1，a =y −bx ，其中x ,y 为样本平均值，线性回归方程也可写为y =b x +a ．（1）求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y =bx +a ； （2）判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关； （3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．18. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2=b 2+c 2+ 3bc ．（1）求A ； （2）设a = 3，S 为△ABC 的面积，求S +3cos B cos C 的最大值，并指出此时B 的值．19. 如图，四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，PA =2 3，BC =CD =2，∠ACB =∠ACD =π3．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）若侧棱PC上的点F满足PF=7FC，求三棱锥P−BDF的体积．20. 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为ℎ米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．（1）将V表示成r的函数V r，并求该函数的定义域；（2）讨论函数V r的单调性，并确定r和ℎ为何值时该蓄水池的体积最大．21. 如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率e=2，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A，2Aʹ两点， AAʹ =4．（1）求该椭圆的标准方程；（2）取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P，Pʹ，过P，Pʹ作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外，求△PPʹQ的面积S的最大值，并写出对应的圆Q的标准方程．答案第一部分1. D2. A3. C 【解析】要使函数x−2>0log2x−2≠0有意义，则x−2>0x−2≠1，即，即x>2且x≠3，故选C．4. B 【解析】设圆心到直线的距离为d，则d=6，则PQ的最小值为d−r，所以PQ的最小值为4．5. C6. B7. A8. D9. C 10. A【解析】先考虑焦点在x轴上的双曲线，由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于x轴（或y 轴）对称，又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于30∘且小于等于60∘，即tan30∘<ba ≤tan60∘，所以13<b2a2≤3．又e2=ca2=c2a2=1+b2a2,所以43<e2≤4，解得233<e≤2．焦点在y轴上的双曲线与焦点在x轴上的双曲线的开口宽窄要求完全相同，所以离心率的范围一致．第二部分11. 512. 7213. 2314. 4【解析】OA⋅OB=OA×OB cos OA,OB=OA 2=6+k，OA=10，故k=4．15. 0,π6∪5π6,π【解析】由题意，得Δ=64sin2α−32cos2α≤0，化简得cos2α≥12，又0≤α≤π，则0≤2α≤π3或5π3≤2α≤2π，即0≤α≤π6或5π6≤α≤π．第三部分16. （1）由题设知a n是首项为1，公比为3的等比数列，所以a n=3n−1,S n=1−3n1−3=123n−1.（2）由题b1=a2=3,b3=1+3+9=13,可得b3−b1=10=2d,所以公差d=5，故T20=20×3+20×192×5=1010.17. （1）由题意知n=10，x=1nx i=8010=8 ni=1,y=1y i=20=2 ni=1,又l xx=x i2ni=1−nx2=720−10×82=80,l xy=x ini=1y i−nxy=184−10×8×2=24,由此得b=l xyl xx=2480=0.3,a=y−bx=2−0.3×8=−0.4,故所求线性回归方程为y=0.3x−0.4.（2）由于变量y的值随x值的增加而增加b=0.3>0，故x与y之间是正相关．（3）将x=7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y=0.3×7−0.4=1.7千元.18. （1）由余弦定理得cos A=b2+c2−a22bc=−3bc2bc=−32.又因为0<A<π，所以A=5π.（2）由（1）得sin A=12．又由正弦定理及a=3，得S=1ab sin C=12⋅a sin Bsin A⋅a sin C=3sin B sin C,因此S+3cos B cos C=3sin B sin C+cos B cos C=3cos B−C.所以，当B=C，即B=π−A2=π12时，S+3cos B cos C取最大值3．19. （1）因为BC=CD，所以△BCD为等腰三角形．又∠ACB=∠ACD，所以BD⊥AC．因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD．从而BD与平面PAC内两条相交直线PA,AC都垂直，所以BD⊥平面PAC．（2）三棱锥P−BCD的底面BCD的面积S△BCD=1BC⋅CD⋅sin∠BCD=12×2×2×sin2π3= 3.由PA⊥底面ABCD，得V P−BCD=1⋅S△BCD⋅PA=13×3×23=2.由PF=7FC，得三棱锥F−BCD的高为18PA，故V F−BCD=13⋅S△BCD⋅18PA=13×3×18×23=1 ,所以V P−BDF=V P−BCD−V F−BCD=2−1 4=7 4 .20. （1）因为蓄水池侧面的总成本为100⋅2πrℎ=200πrℎ（元），底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为200πrℎ+160πr2元．又根据题意200πrℎ+160πr2=12000π,所以ℎ=15r300−4r2，从而V r=πr2ℎ=π300r−4r3.因为r>0，又由ℎ>0，可得r<53，故函数V r的定义域为0,53．（2）因为V r=π5300r−4r3，所以Vʹr=π300−12r2.令Vʹr=0，解得r1=5,r2=−5（因为r2=−5不在定义域内，舍去）．当r∈0,5时，Vʹr>0，故V r在0,5上为增函数；当r∈5,5时，Vʹr<0，故V r在5,5上为减函数．由此可知，V r在r=5处取得最大值，此时ℎ=8．即当r=5，ℎ=8时，该蓄水池的体积最大．21. （1）由题意知，A−c,2在椭圆上，则−c22+222=1,从而e2+4b =1．由e=22，得b2=42=8,从而a2=b21−e2=16．故该椭圆的标准方程为x2 16+y28=1.（2）由椭圆的对称性，可设Q x0,0．又设M x,y是椭圆上任意一点，则QM 2=x−x02+y2=x2−2x0x+x02+81−x2 16=1x−2x02−x02+8x∈−4,4.设P x1,y1，由题意知，点P是椭圆上到点Q的距离最小的点，因此，上式当x=x1时取最小值．又因为x1∈−4,4，所以，上式当x=2x0时取最小值，从而x1=2x0，且QP 2=8−x02．由对称性知Pʹx1,−y1，故 PPʹ =2y1，所以S=12y1⋅x1−x0=12⋅281−x1216⋅x0=2⋅4−x02x02=2⋅ − x02−22+4.当x0=±2时，△PPʹQ的面积S取到最大值22．此时对应的圆Q的圆心坐标为Q ±2,0，半径QP =8−x02=6,因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为x+22+y2=6,x−22+y2=6.。
2013年高考文科数学重庆卷(含详细答案)
数学试卷 第1页（共20页） 数学试卷 第2页（共20页）绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（文史类）数学试题卷（文史类）共4页.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项：1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时,必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号.3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.5.考试结束后,将试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{1,2,3,4}U =,集合={1,2}A ,={2,3}B ,则()U A B =ð ( )A .{1,3,4}B .{3,4}C .{3}D .{4} 2.命题“对任意x ∈R ,都有20x ≥”的否定为( )A .存在0x ∈R ,使得200x < B .对任意x ∈R ,都有20x < C .存在0x ∈R ,使得20x ≥ D .不存在x ∈R ,使得20x < 3.函数21log (2)y x =-的定义域是( )A .(,2)-∞B .(2,)+∞C .(2,3)(3,)+∞ D .(2,4)(4,)+∞4.设P 是圆22(3)(1)4x y -++=上的动点,Q 是直线3x =-上的动点,则||PQ 的最小值为( )A .6B .4C .3D .25.执行如图所示的程序框图,则输出的k 的值是 ( )A .3B .4C .5D .66.如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量（单位：台）的茎叶图,则数据落在区间[22,30)内的频率为( )1 8 92 1 2 2 7 9 33A .0.2B .0.4C .0.5D .0.67.关于x 的不等式22280x ax a --<(0)a >的解集为12(,)x x ,且2115x x -=,则a =( )A .52B .72C .154 D .1528.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 ( )A .180B .200C .220D .2409.已知函数3()sin 4f x ax b x =++(,)a b ∈R ,2(lg(log 10))5f =,则(lg(lg 2))f =( ) A .5-B .1-C .3D .410.设双曲线C 的中心为点O ,若有且只有一对相交于点O ,所成的角为60的直线11A B 和22A B ,使1122||||A B A B =,其中1A ,1B 和2A ,2B 分别是这对直线与双曲线C 的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是( )姓名________________ 准考证号_____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共20页） 数学试卷 第4页（共20页）A. B. C.)+∞ D.)+∞ 二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填写在答题卡相应位置上. 11.设复数12i z =+（i 是虚数单位）,则||z = . 12.若2,a ,b ,c ,9成等差数列,则c a -= .13.若甲、乙、丙三人随机地站成一排,则甲、乙两人相邻而站的概率为 . 14.在OA 为边,OB 为对角线的矩形中,(3,1)OA =-,(2,)OB k =-,则实数k = . 15.设0πα≤≤,不等式28(8sin )cos20x x αα-+≥对x ∈R 恒成立,则a 的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分13分,（Ⅰ）小问7分,（Ⅱ）小问6分）设数列{}n a 满足：11a =,13n n a a +=,*n ∈N . （Ⅰ）求{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（Ⅱ）已知{}n b 是等差数列,n T 为其前n 项和,且12b a =,3123b a a a =++,求20T .17.（本小题满分13分,（Ⅰ）小问9分,（Ⅱ）,（Ⅲ）小问各2分）从某居民区随机抽取10个家庭,获得第i 个家庭的月收入i x （单位：千元）与月储蓄iy （单位：千元）的数据资料,算得10180i i x ==∑,10120i i y ==∑,101184i i i x y ==∑,1021720i i x ==∑. （Ⅰ）求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y bx a =+； （Ⅱ）判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；（Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为7千元,预测该家庭的月储蓄.附：线性回归方程y bx a =+中,1221ni ii ni i x ynx yb x nx==-=-∑∑,a y bx =-,其中x ,y 为样本平均值.线性回归方程也可写为y bx a =+.18.（本小题满分13分,（Ⅰ）小问4分,（Ⅱ）小问9分）在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,且222a b c =++. （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）设a =,S 为△ABC 的面积,求3cos cos S B C +的最大值,并指出此时B 的值.19.（本小题满分12分,（Ⅰ）小问5分,（Ⅱ）小问7分）如图,四棱锥P ABCD -中,PA ⊥底面ABCD,PA =,2BC CD ==,π3ACB ACD ∠=∠=. （Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若侧棱PC 上的点F 满足7PF FC =,求三棱锥P BDF -的体积.20.（本小题满分12分,（Ⅰ）小问5分,（Ⅱ）小问7分）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）,设该蓄水池的底面半径为r 米,高为h 米,体积为V 立方米,假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100 元/平方米,底面的建造成本为160 元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12 000π 元（π为圆周率）.（Ⅰ）将V 表示成r 的函数()V r ,并求该函数的定义域；（Ⅱ）讨论函数()V r 的单调性,并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大. 21.（本小题满分12分,（Ⅰ）小问4分,（Ⅱ）小问8分）如图,椭圆的中心为原点O ,长轴在x 轴上,离心率e =,过左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于A ,A '两点,||4AA '=. （Ⅰ）求该椭圆的标准方程； 相交于不同的两点P ,（Ⅱ）取平行于y 轴的直线与椭圆椭圆上的其余点均在P ',过P ,P '作圆心为Q 的圆,使大值,并写出对应的圆Q 外.求PP Q '△的面积S 的最圆Q 的标准方程.2013年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（文史类）答案解析一、选择题1.【答案】D【解析】{1,2}A=∵，{2,3}B={1,2,3}A B=∴(){4}UA B=∴ð【提示】先求出两个集合的并集，再结合补集的概念求解.【考点】集合的基本运算2.【答案】A【解析】根据全称命题的否定是特称命题可得:命题“对任意x∈R，都有20x≥”的否定为“存在0x∈R，使得2x<”.【提示】根据全称命题“()x M p x∀∈，”的否定是特称命题“()x M p x∃∈⌝，”，可直接写出.【考点】全称与存在量词3.【答案】C【解析】要使原函数有意义，则2log(2)020xx-≠⎧⎨->⎩，解得23x<<，或3x>，所以原函数的定义域为(2,3)(3,)+∞.【提示】根据“让解析式有意义”的原则，对数的真数大于0，分母不等于0，建立不等式，解之即可. 【考点】函数的定义域4.【答案】B【解析】过圆心A作AQ⊥直线3x=-，与圆交于点P，此时||PQ最小，由圆的方程得到(3,1)A-，半径2r=，则||||624AQQ rP=-==-.【提示】根据题意画出相应的图形，过圆心A作AQ⊥直线3x=-，与圆交于点P，此时||PQ最小，由圆的方程找出圆心A坐标与半径r，求出AQ的长，由||AQ r-即可求出||PQ的最小值【考点】直线与圆的位置关系3 / 10数学试卷第7页（共20页）数学试卷第8页（共20页）1212A AB B，，，关于轴对称，如图所示：5 / 10数学试卷 第11页（共20页）数学试卷 第12页（共20页）【解析】画出矩形草图：由于(3,1)(2,OA OB k =-=-， 所以(1,AB OB OA k =-=，在矩形中，由0OA AB OA AB ⊥=得，所以2()(3,1)(2,)106OA OB OA OA OB OA k k -=-=---=+-7 / 10【提示】由题意可得OA AB ⊥，故有0OA AB =，即()0OA OB OA OA OB OA -=-==，解方程求得5π,π6⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎦⎣⎦【解析】由题意，要使28x -18410nx y =-数学试卷 第15页（共20页）数学试卷 第16页（共20页）1sin sin 3sin 2sin a B a C A=cos 3(sin sin C B C =πA -sin BC CD BCD ∠1133BCD S PA ∆=⨯FC ，得三棱锥111383B C D S PA ∆=⨯1002π200rh=9 / 10数学试卷 第19页（共20页）数学试卷 第20页（共20页）22220002(4)2(2)4x x x -=--+。
da2013年高考数学试卷答案 重庆文
【参考答案】【选择题】【1】．D【2】．D【3】．C【4】．B【5】．C【6】．B【7】．A ．【8】．D【9】．C【10】．A【填空题】【11】．【12】．72【13】．23 【14】．4【15】．5[0,][,]66πππ【解答题】【16】．解：(1)由题设知{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，所以a n ＝3n －1， S n ＝1－3n 1－3＝12(3n －1)． (2)b 1＝a 2＝3，b 3＝1＋3＋9＝13，b 3－b 1＝10＝2d ，所以公差d ＝5，故T 20＝20×3＋20×192×5＝1 010.【17】．解：(1)由题意知n ＝10，11808,10n i i x x n ====∑ 11202,10n i i y y n ====∑ 又222172010880,n xx ii l x nx ==-=-⨯=∑ 1184108224,n xy i i i l x y nx y ==-=-⨯⨯=∑由此得b ＝l xy l xx ＝2480＝0.3，a ＝y －bx ＝2－0.3×8＝－0.4，故所求回归方程为y ＝0.3x －0.4. (2)由于变量y 的值随x 的值增加而增加(b ＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关．(3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．【18】．解：(1)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc 2bc ＝－32. 又因为0<A <π，所以A ＝5π6. (2)由(1)得sin A ＝12，又由正弦定理及a ＝3得 S ＝12bc sin A ＝12·a sin B sin A·a sin C ＝3sin B sin C ， 因此，S ＋3cos B cos C ＝3(sin B sin C ＋cos B cos C )＝3cos(B －C )．所以，当B ＝C ，即B ＝π－A 2＝π12时，S ＋3cos B cos C 取最大值3. 【19】．(1)证明：因为BC ＝CD ，即△BCD 为等腰三角形，又∠ACB ＝∠ACD ，故BD ⊥AC .因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥BD ，从而BD 与平面PAC 内两条相交直线PA ，AC 都垂直，所以BD ⊥平面PAC .(2) 解：三棱锥P －BCD 的底面BCD 的面积S △BCD ＝12BC ·CD ·sin∠BCD ＝12·2·2·sin 2π3＝ 3. 由PA ⊥底面ABCD ，得V P －BCD ＝13·S △BCD ·PA ＝13×3×2 3＝2. 由PF ＝7FC ，得三棱锥F －BCD 的高为18PA ，故V F －BCD ＝13·S △BCD ·18PA ＝13×3×18×2 3＝14， 所以V P －BDF ＝V P －BCD －V F －BCD ＝2－14＝74. 【20】．解：(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh ＝200πrh 元，底面的总成本为160πr 2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元.又据题意200πrh ＋160πr 2＝12 000π，所以h ＝15r(300－4r 2)，从而 V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)． 因为r >0，又由h >0可得r <5 3，故函数V (r )的定义域为(0，5 3)．(2)因为V (r )＝π5(300r －4r 3)，故V ′(r )＝π5(300－12r 2)．令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(r 2＝－5不在定义域内，舍去)．当r ∈(0，5)时，V ′(r )>0，故V (r )在(0，5)上为增函数；当r ∈(5，5 3)时，V ′(r )<0，故V (r )在(5，5 3)上为减函数．由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8，即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大． 其标准方程分别为(x ＋2)2＋y 2＝6，(x －2)2＋y 2＝6.【21】．解：(1)由题意知点A (－c ，2)在椭圆上，则（－c ）2a 2＋22b 2＝1，从而e 2＋4b 2＝1. 由e ＝22得b 2＝41－e 2＝8，从而a 2＝b 21－e2＝16. 故该椭圆的标准方程为x 216＋y 28＝1. (2)由椭圆的对称性，可设Q (x 0，0)，又设M (x ，y )是椭圆上任意一点，则 |QM |2＝(x －x 0)2＋y 2＝x 2－2x 0x ＋x 20＋82(1)16x - ＝12(x －2x 0)2－x 20＋8(x ∈[－4，4])． 设P (x 1，y 1)，由题意，P 是椭圆上到Q 的距离最小的点，因此，上式当x ＝x 1时取最小值，又因为x 1∈(－4，4)，所以上式当x ＝2x 0时取最小值，所以x 1＝2x 0，且|QP |2＝8－x 20.由对称性知P ′(x 1，－y 1)，故|PP ′|＝|2y 1|，所以S ＝12|2y 1||x 1－x 0|＝12×20＝2（4－x 20）x 20＝2－（x 20－2）2＋4. 当x 0＝±2时，△PP ′Q 的面积S 取到最大值2 2. 此时对应的圆Q 的圆心坐标为Q (±2，0)，半径|QP |＝8－x 20＝6，因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为(x ＋2)2＋y 2＝6，(x －2)2＋y 2＝6.。
最新重庆高考数学文科试卷带详解
2013年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（文史类）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合{1,2,3,4}U =，集合={1,2}A ，={2,3}B ，则()U A B =U ð （ ）A.{1,3,4}B.{3,4}C.{3}D.{4} 【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】集合的表达（列举法），求集合的并集与补集. 【参考答案】D【试题分析】先求出两个集合的并集，再结合补集的概念求解.{}{}{}{}1,2,2,3,1,2,3,()4U A B A B A B ==∴=∴=Q U U ð2．命题“对任意x ∈R ，都有20x …”的否定为 （ ）A.对任意x ∈R ，都有20x <B.不存在x ∈R ，都有20x <C.存在0x ∈R ，使得200x …D.存在0x ∈R ，使得200x <【测量目标】全称量词与存在量词.【考查方式】含有量词的命题否定，直接求该命题的否定. 【参考答案】D【试题分析】根据含有一个量词的命题进行否定的方法直接写出",()"",()",x M p x x M p x ∀∈∃∈⌝Q 的否定是故“对任意x ∈R ，都有20x ≥”的否定是“存在0x ∈R，使得200x <”3．函数21log (2)y x =-的定义域为 （ ）A.(,2)-∞B.(2,)+∞C.(2,3)(3,)+∞UD.(2,4)(4,)+∞U 【测量目标】函数的定义域.【考查方式】给定函数式，使每个部分有意义，求其定义域. 【参考答案】C【试题分析】利用函数有意义的条件直接运算求解.2log (2)0,20,x x -≠⎧⎨->⎩23,x x >≠得且故选C4．设P 是圆22(3)(1)4x y -++=上的动点，Q 是直线3x =-上的动点，则PQ 的最小值为 （ ）A.6B.4C.3D.2 【测量目标】直线与圆的位置关系、动点间距离最值问题.【考查方式】给出圆与直线的方程，利用数形结合求两图形上动点的最短距离. 【参考答案】B【试题解析】圆心(3,1)M -与定直线3x =-的最短距离为3(3)6MQ =--=，又圆的半径为2，故所求最短距离为6-2=4.5．执行如题5图所示的程序框图，则输出的k 的值是 （ ）A.3B.4C.5D.6 【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】考查循环结构的流程图，注意循环条件的设置，以及循环体的构成，特别是注意最后一次循环k 的值，输出k .【参考答案】C【试题解析】利用循环结构相关知识直接运算求解.第5题图222221,101;2,112;3,2264,6315;5,1543115,5k s k s k s k s k s k ==+===+===+===+===+=>=故输出6．下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间[22,30）内的概率为 （ ）A.0.2B.0.4C.0.5D.0.6 【测试目标】茎叶图.【考查方式】题给出茎叶图，直接求解. 【参考答案】B【试题分析】利用频率及茎叶图的知识直接求解，由题意知，这10个数据落在区间[)22,30内的有22,22,27,29四个，所以频率为0.47．关于x 的不等式22280x ax a --<（0a >）的解集为12(,)x x ，且：2115x x -=，则a =（ ）A.52 B.72 C.154 D.152【测量目标】解含参的一元二次不等式.【考查方式】给出不等式，给出两解集的范围差，利用因式分解求不等式中的未知数. 【参考答案】利用因式分解法解一元二次不等式寻求a 的关系式后，带入求解.22280(0)(2)(4)0(0),x ax a a x a x a a --<>∴+-<>即24a x a-<<，故原不等式的解集为(2,4)a a -，215154(2)15,615,2x x a a a a -=∴--=∴=∴=Q （步骤2）8．某几何体的三视图如题8所示，则该几何体的表面积为 （ ）A.180B.200C.220D.240 【测量目标】由三视图求几何体的表面积.【考查方式】给出几何体的三视图，直接求几何体的表面积. 【参考答案】D【试题分析】利用三试图还原几何体，结合直观图直接运算求解.由三视图知识知该几何体是底面为等腰梯形的直四棱柱.等腰梯形的上底长为2，下底长为8，高为4，腰长为5，直四棱柱的高为10，所以1=82)42402S ⨯+⨯⨯=底（，=108+102+2105=200=40+200=240S S ⨯⨯⨯⨯侧表，9．已知函数3()sin 4(,)f x ax b x a b =++∈R ，2(lg(log 10))5f =，则(lg(lg 2))f = （ ）A.5-B.1-C.3D.4【测量目标】对数函数性质、函数的奇偶性综合运用.【考查方式】给定函数式，给定某个函数值，用函数的奇偶性与对数的性质去求另一个函数值.【参考答案】C【试题分析】运用奇函数的性质，整体换元求解.因为210log 10lg 2(log 2)与即互为倒数，2lg(log 10)∴lg(lg 2)与互为相反数，（步骤1）不妨令332lg(log 10),lg(lg 2),()()(sin 4)()sin()48x x f x f x ax b x a x b x ⎡⎤=∴=-+-=+++-+-+=⎣⎦Q 故()8()853f x f x -=-=-=（步骤2）10．设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相较于点O 、所成的角为60o 的直线11A B 和22A B ，使1122A B A B =，其中1A 、1B 和2A 、2B 分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是 （ ）A.(2]3B.[,2)3C.)+∞D.)+∞【测量目标】双曲线的简单几何性质、直线与双曲线的位置关系.【考查方式】通过“有且只有一对”限定双曲线渐近线倾斜角的范围，求取离心率. 【参考答案】A【试题分析】由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于x 轴（或y 轴）对称又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于30o且小于等于60o，即221tan 30tan 60, 3.3b b a a <∴<oo剟222224()1,4, 2.33c b e e ea a ==+∴<∴<又剟二．填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．11．已知复数12i z =+（i 是虚数单位），则z = ． 【测量目标】复数的模.【考查方式】给出复数的方程式，直接求解复数的模.【试题分析】利用求模公式直接求解.12i,z z =+∴==Q12．若2、a 、b 、c 、9成等差数列，则c a -= ． 【测量目标】等差数列的通项公式.【考查方式】题给此数列为等差数列，求出公差，再进行求解数列中两项的差值. 【参考答案】72【试题分析】利用等差数列的有关知识先求出公差在运算求解. 由题意得该等差数列的公差927514d -==-，所以722c ad -==13．若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为 ． 【测量目标】古典概型.【考查方式】三个人随机站一排，把两人放在一起去求概率. 【参考答案】23【试题分析】首先写出甲，乙，丙三人站成一排的所有结果及甲乙相邻而站的所有结果，然后将两结果数相除可得.甲乙丙三人随机的站成一排有（甲乙丙）、（甲丙乙）、（乙甲丙）、（乙丙甲）、（丙甲乙）、（丙乙甲）共6种排法，甲乙相邻而站有（甲乙丙）、（乙甲丙）、（丙甲乙）、（丙乙甲）共4种排法，由概率计算公式得甲乙两人相邻而站的概率为4263= 14．OA 为边，OB 为对角线的矩形中，(3,1)OA =-u u u r，(2,)OB k =-u u u r ，则实数k = ．【测量目标】向量坐标形式的加减运算及数量积运算. 【考查方式】平面向量的坐标运算，其未知数k . 【参考答案】4【试题分析】画出矩形草图，利用向量加减运算及数量积运算直接求解.如图所示，由于(3,1),(2,),OA OB k =-=-u u u r u u u r所以(1,1),AB OB OA k =-=-u u u r u u u r u u u r（步骤1）在矩形中，由0,OA AB OA AB ⊥=u u u r u u u r u u u r u u u rg 得所以(3,1)(1,1)0,311(1)0k k --=-⨯+⨯-=g即 解得4k =（步骤2）15．设0πα剟，不等式28(8sin )cos 20x x αα-+…对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为 ．【测量目标】一元二次不等式.【考查方式】限定α的大范围，带入不等式中求解出α的范围. 【参考答案】π5π0,,π66⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦U【试题分析】根据开口向上的二次函数定义域为R 时函数值非负的条件(0)∆„列式直接运算求解由题意，要使28(8sin )cos 20x x αα-+…对x ∈R 恒成立 需2=64sin 32cos 0αα∆-，„化简得1cos 2.2α…，（步骤1）0πα又剟π023α∴剟或5π22π,3α剟解得π06α剟或5ππ6α剟（步骤2）三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分13分，（1）小问7分，（2）小问6分）设数列{}n a 满足：11a =，13n n a a +=，n +∈N ． （1）求{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）已知{}n b 是等差数列，n T 为前n 项和，且12b a =，3123b a a a =++，求20T ． 【测量目标】等比数列、等差数列的通项公式及前n 项和公式.【考查方式】给定1a ，n a 与1n a +的关系，去求{}n a 的通项公式及前n 项和n S ，再根据{}n b 与n a 的关系，求n T .【试题分析】根据等比，等差数列的通项公式及前n 项和公式直接求解. 解：（1）由题设知{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列，11313,(31)132n n nn n a S --∴===--.（步骤1） 12331(2)3,13913,102,b a b b b d ===++=-==5,d ∴=故202019203510102T ⨯=⨯+⨯=（步骤2） 17．（本小题满分13分，（1）小问9分，（2）、（3）小问各2分）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入i x （单位：千元）与月储蓄i y （单位：千元）的数据资料，算得10180ii x==∑，10120i i y ==∑，101184i i i x y ==∑，1021720i i x ==∑．（1）求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y bx a =+； （2）判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；（3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y bx a =+中，1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，a y bx =-，其中x ，y 为样本平均值，线性回归方程也可写为$$y bxa =+$． 【测量目标】线性回归方程，利用线性回归方程解决实际应用问题.【考查方式】给出月收入与月储蓄，求解其线性回归方程，并判断两者之间的相关性，给定数据代入线性回归方程求解.【试题分析】根据线性回归方程相关知识直接运算求解.解：（1）由题意知1118012010,8,21010n n i i i i n x x y y n n =========∑∑（步骤1）2221172010880,184108224,nxx ii nxy i i i l x nx l x y nx y ===-=-⨯==-=-⨯⨯=∑∑又（步骤2）240.3,20.380.4,80xy xxl b a y bx l ====-=-⨯=-由此得 故所求线性回归方程为0.30.4.y x =-（步骤3）（2）由于变量y 的值随x 值的增加而增加(0.30)b =>，故x 与y 之间是正相关.（步骤4）（3）将7x =带入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为0.370.4 1.7y =⨯-=（千元）（步骤5）18．（本小题满分13分，（1）小问4分，（2）小问9分）在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c，且222a b c =++． （1）求A ； （2）设a =S 为ABC △的面积，求3cos cos S B C +的最大值，并指出此时B 的值．【测量目标】利用正余弦定理解决有关角度问题.【考查方式】给出三角形三边的数量关系，求其中一角;再给出其中一边具体数值情况下，计算所给函数式的值，并求其中角的数值.【试题分析】利用正、余弦定理及差角三角函数直接运算解答.解（1）由余弦定理得222cos 2b c a A bc +-===（步骤1）又因为5π0π,6A A <<∴=（步骤2） （2）由（1）得1sin .2A =又由正弦定理及3a =11sin sin sin 3sin sin ,22sin a B S ab C a C B C A===g g （步骤3）3cos cos 3(sin sin cos cos )3cos()S B C B C B C B C ∴+=+=-， 当ππ,,3cos cos 212A B C B S B C -===+取最大值3（步骤4） 19．（本小题满分12分，（1）小问5分，（2）小问7分）如题（19）图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，23PA =2BC CD ==，π3ACB ACD ∠=∠=． （1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）若侧棱PC 上的点F 满足7PF FC =，求三棱锥P BDF -的体积．【测量目标】线线-线面垂直的判定以及三棱锥体积的求解. 【考查方式】（1）给出四棱锥的图形，给出其中部分直线的位置与代数关系及部分角，线线垂直推出线面垂直（2）再给出一条棱上的比例关系，求三棱锥体积.【试题分析】运用线面垂直的性质和判定证明BD ⊥平面,PAC 利用割补法求三棱锥体积. （1） 证明：因为,BC CD =所以BCD △为等腰三角形.（步骤1）又,ACB ACD BD AC ∠=∠∴⊥.（步骤2）因为PA ⊥底面,ABCD PA BD ∴⊥.（步骤3） 从而BD 与平面PAC 内两条相交直线,PA AC 都垂直,BD ∴⊥平面PAC （步骤4）（2）解三棱锥-P BCD 的底面BCD 的面积112πsin 22sin 3.223BCD S BC CD BCD =∠=⨯⨯⨯=g g △（步骤5） PA ⊥平面ABCD-11323233P BCD BCD V S PA ===g g △（步骤6）由7PF FC =，得三棱锥-F BCD 的高为18PA ，故-11111,38384F BCD BCD V S PA ==⨯=g g △（步骤7）所以---172.44P BDF P BCD F BCD V V V =-=-=（步骤8）20．（本小题满分12分，（1）小问5分，（2）小问7分）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）． （1）将V 表示成r 的函数()V r ，并求该函数的定义域；（2）讨论函数()V r 的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大． 【测量目标】函数的实际运用，函数的定义域，导数在实际问题中的应用.【考查方式】根据题意列出函数方程式，求其定义域；结合导数研究函数的单调性及最值问题。
高考文科数学真题重庆卷2013年_真题-无答案
高考文科数学真题（重庆卷）2013年(总分150,考试时间120分钟)一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.A. {1,3,4}B. {3,4}C. {3}D. {4}2.A.B.C.D.3.A. (－∞，2)B. (2，＋∞)C. (2,3)∪(3，＋∞)D. (2,4)∪(4，＋∞)4.A. 6B. 4C. 3D. 25. 执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是（）A. 3B. 4C. 5D. 66. 下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22,30)内的频率为（）A. 0.2B. 0.4C. 0.5D. 0.67.A.B.C.D.8.A. 180B. 200C. 220D. 2409.A. －5B. －1C. 3D. 410.A.B.C.D.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．11. 设复数z＝1＋2i(i是虚数单位)，则|z|＝__________.12. 若2，a，b，c,9成等差数列，则c－a＝__________.13. 若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为__________．14.15.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.1.2.17.1. 求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y＝bx＋a；2. 判断变量x与y之间是正相关还是负相关；3. 若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．18.1.2.19.1.2.20.1.2.21.1. 求该椭圆的标准方程；2.。
【精校】2013年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)数学文
2013年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学文一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.(5分)已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则C U(A∪B)=( )A. {1，3，4}B. {3，4}C. {3}D. {4}解析：∵A={1，2}，B={2，3}，∴A∪B={1，2，3}，∵全集U={1，2，3，4}，∴C U(A∪B)={4}.答案：D2.(5分)命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为( )A. 存在x0∈R，使得x02＜0B. 对任意x∈R，使得x2＜0C. 存在x0∈R，都有D. 不存在x∈R，使得x2＜0解析：根据全称命题的否定是特称命题可得：命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为“ x0∈R，使得”.答案：A.3.(5分)函数的定义域为( )A. (-∞，2)B. (2，+∞)C. (2，3)∪(3，+∞)D. (2，4)∪(4，+∞)解析：要使原函数有意义，则，解得：2＜x＜3，或x＞3，所以原函数的定义域为(2，3)∪(3，+∞).答案：C.4.(5分)设P是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点，Q是直线x=-3上的动点，则|PQ|的最小值为( )A. 6B. 4C. 3D. 2解析：过圆心A作AQ⊥直线x=-3，与圆交于点P，此时|PQ|最小，由圆的方程得到A(3，-1)，半径r=2，则|PQ|=|AQ|-r=6-2=4.答案：B5.(5分)执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是( )A. 3B. 4C. 5D. 6解析：s=1+(1-1)2=1，不满足判断框中的条件，k=2，s=1+(2-1)2=2，不满足判断框中的条件，k=3，s=2+(3-1)2=6，不满足判断框中的条件，k=4，s=6+(4-1)2=15，不满足判断框中的条件，k=5，s=15+(5-1)2=31，满足判断框中的条件，退出循环，输出的结果为k=5答案：C6.(5分)如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22，30)内的概率为( )A. 0.2B. 0.4C. 0.5D. 0.6解析：由茎叶图10个原始数据，数据落在区间[22，30)内的共有4个，则数据落在区间[22，30)内的概率为=0.4.答案：B.7.(5分)关于x的不等式x2-2ax-8a2＜0(a＞0)的解集为(x1，x2)，且：x2-x1=15，则a=( )A.B.C.D.解析：因为关于x的不等式x2-2ax-8a2＜0(a＞0)的解集为(x1，x2)，所以x1+x2=2a…①，x1·x2=-8a2…②，又x2-x1=15…③，①2-4×②可得(x2-x1)2=36a2，代入③可得，152=36a2，解得a==，因为a＞0，所以a=.答案：A.8.(5分)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A. 180B. 200C. 220D. 240解析：由三视图可知：该几何体是一个横放的直四棱柱，高为10；其底面是一个等腰梯形，上下边分别为2，8，高为4.∴S表面积=2××(2+8)×4+2×5×10+2×10+8×10=240.答案：D.9.(5分)已知函数f(x)=ax3+bsinx+4(a，b∈R)，f(lg(log210))=5，则f(lg(lg2))=( )A. -5B. -1C. 3D. 4解析：∵lg(log210)+lg(lg2)=lg1=0，∴lg(log210)与lg(lg2)互为相反数则设lg(log210)=m，那么lg(lg2)=-m令f(x)=g(x)+4，即g(x)=ax3+bsinx，此函数是一个奇函数，故g(-m)=-g(m)，∴f(m)=g(m)+4=5，g(m)=1，∴f(-m)=g(-m)+4=-g(m)+4=3.答案：C.10.(5分)设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|=|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A.B.C.D.解析：由双曲线的基本性质对称轴是坐标轴，这时只须考虑双曲线的焦点在x轴的情形. 因为有且只有一对相交于点O、所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，所以直线A1B1和A2B2，关于x轴对称，并且直线A1B1和A2B2，与x轴的夹角为30°，双曲线的渐近线与x轴的夹角大于30°且小于等于60°，否则不满足题意.可得，即，，所以e＞.同样地，当，即，所以e≤2.所以双曲线的离心率的范围是.答案：A.二.填空题：本大题共5小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.11.(5分)已知复数z=1+2i(i是虚数单位)，则|z|= .解析：复数z=1+2i(i是虚数单位)，则|z|==.答案：.12.(5分)若2、a、b、c、9成等差数列，则c-a= .解析：由等差数列的性质可得2b=2+9，解得b=，又可得2a=2+b=2+=，解之可得a=，同理可得2c=9+=，解得c=，故c-a=-==答案：13.(5分)若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为 . 解析：记甲、乙两人相邻而站为事件A，甲、乙、丙三人随机地站成一排的所有排法有=6，则甲、乙两人相邻而站的战法有=4种站法，∴=.答案：14.(5分)OA为边，OB为对角线的矩形中，，，则实数k= .解析：由于OA为边，OB为对角线的矩形中，OA⊥AB，∴=0，即==(-3，1)·(-2，k)-10=6+k-10=0，解得k=4，答案： 4.15.(5分)设0≤α≤π，不等式8x2-(8sinα)x+cos2α≥0对x∈R恒成立，则α的取值范围为.解析：由题意可得，△=64sin2α-32cos2α≤0，得2sin2α-(1-2sin2α)≤0，∴sin2α≤，-≤sinα≤，∵0≤α≤π，∴α∈[0，]∪[，π].答案：[0，]∪[，π].三.解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(12分)如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率，过左焦点F1作x 轴的垂线交椭圆于A、A′两点，|AA′|=4.(Ⅰ)求该椭圆的标准方程；(Ⅱ)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′，过P、P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外.求△PP'Q的面积S的最大值，并写出对应的圆Q的标准方程.解析：(Ⅰ)设椭圆方程为，将左焦点横坐标代入椭圆方程可得y=，则，又②，a2=b2+c2③，联立①②③可求得a，b；(Ⅱ)设Q(t，0)(t＞0)，圆的半径为r，直线PP′方程为：x=m(m＞t)，则圆Q的方程为：(x-t)2+y2=r2，联立圆与椭圆方程消掉y得x的二次方程，则△=0①，易求P点坐标，代入圆的方程得等式②，由①②消掉r得m=2t，则，变为关于t的函数，利用基本不等式可求其最大值及此时t值，由对称性可得圆心Q在y轴左侧的情况；答案：(Ⅰ)设椭圆方程为，左焦点F1(-c，0)，将横坐标-c代入椭圆方程，得y=，所以①，②，a2=b2+c2③，联立①②③解得a=4，，所以椭圆方程为：；(Ⅱ)设Q(t，0)(t＞0)，圆的半径为r，直线PP′方程为：x=m(m＞t)，则圆Q的方程为：(x-t)2+y2=r2，由得x2-4tx+2t2+16-2r2=0，由△=0，即16t2-4(2t2+16-2r2)=0，得t2+r2=8，①把x=m代入，得，所以点P坐标为(m，)，代入(x-t)2+y2=r2，得，②由①②消掉r2得4t2-4mt+m2=0，即m=2t，=×(m-t)=×t=≤×=2，当且仅当4-t2=t2即t=时取等号，此时t+r=+＜4，椭圆上除P、P′外的点在圆Q外，所以△PP'Q的面积S的最大值为，圆Q的标准方程为：.当圆心Q、直线PP′在y轴左侧时，由对称性可得圆Q的方程为，△PP'Q的面积S的最大值仍为为.17.(13分)设数列{a n}满足：a1=1，a n+1=3a n，n∈N+.(Ⅰ)求{a n}的通项公式及前n项和S n；(Ⅱ)已知{b n}是等差数列，T n为前n项和，且b1=a2，b3=a1+a2+a3，求T20.解析：(Ⅰ)可得数列{a n}是首项为1，公比为3的等比数列，代入求和公式和通项公式可得答案；(Ⅱ)可得b1=3，b3=13，进而可得其公差，代入求和公式可得答案.答案：(Ⅰ)由题意可得数列{a n}是首项为1，公比为3的等比数列，故可得a n=1×3n-1=3n-1，由求和公式可得S n==；(Ⅱ)由题意可知b1=a2=3，b3=a1+a2+a3=1+3+9=13，设数列{b n}的公差为d，可得b3-b1=10=2d，解得d=5，故T20=20×3+=1010.18.(13分)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i(单位：千元)与月储蓄y i(单位：千元)的数据资料，算得，，，.(Ⅰ)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a；(Ⅱ)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；(Ⅲ)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄.附：线性回归方程y=bx+a中，，，其中，为样本平均值，线性回归方程也可写为.解析：(Ⅰ)由题意可知n，，，进而可得，，代入可得b值，进而可得a值，可得方程；(Ⅱ)由回归方程x的系数b的正负可判；(Ⅲ)把x=7代入回归方程求其函数值即可.答案：(Ⅰ)由题意可知n=10，===8，===2，故=720-10×82=80，=184-10×8×2=24，故可得b===0.3，a==2-0.3×8=-0.4，故所求的回归方程为：y=0.3x-0.4；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知b=0.3＞0，即变量y随x的增加而增加，故x与y之间是正相关；(Ⅲ)把x=7代入回归方程可预测该家庭的月储蓄为y=0.3×7-0.4=1.7(千元)19.(13分)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且a2=b2+c2+bc. (Ⅰ)求A；(Ⅱ)设a=，S为△ABC的面积，求S+3cosBcosC的最大值，并指出此时B的最值. 解析：(Ⅰ)由余弦定理表示出cosA，将依照等式变形后代入求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；(Ⅱ)由(Ⅰ)求出sinA的值，由三角形的面积公式及正弦定理列出关系式，表示出S，代入已知等式中提取3变形后，利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，由余弦函数的图象与性质即可求出S+3cosBcosC的最大值，以及此时B的值.答案：(Ⅰ)由余弦定理得：cosA===-，∵A为三角形的内角，∴A=；(Ⅱ)由(Ⅰ)得sinA=，由正弦定理得：b=，csinA=asinC及a=得：S=bcsinA=··asinC=3sinBsinC，则S+3cosBcosC=3(sinBsinC+cosBcosC)=3cos(B-C)，则当B-C=0，即B=C==时，S+3cosBcosC取最大值3.20.(12分)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=2，BC=CD=2，∠ACB=∠ACD=.(Ⅰ)求证：BD⊥平面PAC；(Ⅱ)若侧棱PC上的点F满足PF=7FC，求三棱锥P-BDF的体积.解析：(Ⅰ)由等腰三角形的性质可得BD⊥AC，再由PA⊥底面ABCD，可得PA⊥BD.再利用直线和平面垂直的判定定理证明BD⊥平面PAC.(Ⅱ)由侧棱PC上的点F满足PF=7FC，可得三棱锥F-BCD的高是三棱锥P-BCD的高的.求出△BCD的面积S△BCD，再根据三棱锥P-BDF的体积 V=V P-BCD-V F-BCD=-，运算求得结果.答案：(Ⅰ)∵BC=CD=2，∴△BCD为等腰三角形，再由，∴BD⊥AC.再由PA⊥底面ABCD，可得PA⊥BD.而PA∩AC=A，故BD⊥平面PAC.(Ⅱ)∵侧棱PC上的点F满足PF=7FC，∴三棱锥F-BCD的高是三棱锥P-BCD的高的.△BCD的面积S△BCD=BC·CD·sin∠BCD==.∴三棱锥P-BDF的体积 V=V P-BCD-V F-BCD=-=×==.21.(12分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率).(Ⅰ)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(Ⅱ)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.解析：(I)由已知中侧面积和底面积的单位建造成本，结合圆柱体的侧面积及底面积公式，根据该蓄水池的总建造成本为12000π元，构造方程整理后，可将V表示成r的函数，进而根据实际中半径与高为正数，得到函数的定义域；(Ⅱ)根据(I)中函数的定义值及解析式，利用导数法，可确定函数的单调性，根据单调性，可得函数的最大值点.答案：(Ⅰ)∵蓄水池的侧面积的建造成本为200·πrh元，底面积成本为160πr2元，∴蓄水池的总建造成本为200·πrh+160πr2元，即200·πrh+160πr2=12000π，∴h=(300-4r2)，∴V(r)=πr2h=πr2·(300-4r2)=(300r-4r3)，又由r＞0，h＞0可得0＜r＜5，故函数V(r)的定义域为(0，5).(Ⅱ)由(Ⅰ)中V(r)=(300r-4r3)，(0＜r＜5)，可得V′(r)=(300-12r2)，(0＜r＜5)，∵令V′(r)=(300-12r2)=0，则r=5，∴当r∈(0，5)时，V′(r)＞0，函数V(r)为增函数，当r∈(5，5)时，V′(r)＜0，函数V(r)为减函数，且当r=5，h=8时该蓄水池的体积最大.考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高考生谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。
2013年高考文科数学重庆卷试题与答案word解析版
2021年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(重庆卷)一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个备选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的． 1．(2021重庆，文1)全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，那么U (A ∪B )＝( )．A ．{1,3,4}B ．{3,4}C ．{3}D ．{4}2．(2021重庆，文2)命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否认为( )．A ．存在x0∈R ，使得x02＜0B ．对任意x ∈R ，都有x2＜0C ．存在x0∈R ，使得x02≥0D ．不存在x ∈R ，使得x2＜03．(2021重庆，文3)函数21log 2y x =(-)的定义域是( )．A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C．(2,3)∪(3，＋∞) D ．(2,4)∪(4，＋∞)4．(2021重庆，文4)设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，那么|PQ |的最小值为( )．A ．6B ．4C ．3D ．2 5．(2021重庆，文5)执行如下图的程序框图，那么输出的k 的值是( )．A ．3B ．4C ．5D ．6 6．(2021重庆，文6)下列图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，那么数据落在区间[22,30)内的频率为( ).1 2 3 8 91 22 7 9 00 3A ．0.2B ．0.4C ．0.5D ．0.6 7．(2021重庆，文7)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2＜0(a ＞0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，那么a ＝( )．A ．52B ．72C ．154D ．152 8．(2021重庆，文8)某几何体的三视图如下图，那么该几何体的外表积为( )．A ．180B ．200C ．220D ．2409．(2021重庆，文9)函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，那么f (lg(lg 2))＝( )．A ．－5B ．－1C ．3D ．410．(2021重庆，文10)设双曲线C 的中心为点O ，假设有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1，B 1和A 2，B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，那么该双曲线的离心率的取值范围是( )．A ．232⎤⎥⎝⎦B ．232⎫⎪⎪⎣⎭C ．23⎫+∞⎪⎪⎝⎭D ．23⎫+∞⎪⎪⎣⎭ 二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．11．(2021重庆，文11)设复数z ＝1＋2i(i 是虚数单位)，那么|z|＝__________. 12．(2021重庆，文12)假设2，a ，b ，c,9成等差数列，那么c －a ＝__________.13．(2021重庆，文13)假设甲、乙、丙三人随机地站成一排，那么甲、乙两人相邻而站的概率为__________．14．(2021重庆，文14)在OA 为边，OB 为对角线的矩形中，OA ＝(－3,1)，OB ＝(－2，k )，那么实数k ＝__________.15．(2021重庆，文15)设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，那么α的取值范围为__________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．(2021重庆，文16)(本小题总分值13分，(1)小问7分，(2)小问6分．)设数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝3a n ，n ∈N ＋.(1)求{a n }的通项公式与前n 项和S n ；(2){b n }是等差数列，T n 为其前n 项和，且b 1＝a 2，b 3＝a 1＋a 2＋a 3，求T 20.17．(2021重庆，文17)(本小题总分值13分，(1)小问9分，(2)、(3)小问各2分．)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得10180i i x ==∑，10120i i y ==∑，101184i i i x y ==∑，1021720i i x ==∑.(1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ＝bx ＋a ； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)假设该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄． 附：线性回归方程y ＝bx ＋a 中，1221ni ii nii x y nx yb xnx ==-=-∑∑，a y bx =-，其中x ，y 为样本平均值．线性回归方程也可写为y bx a =+.18．(2021重庆，文18)(本小题总分值13分，(1)小问4分，(2)小问9分．)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2. (1)求A ；(2)设a =S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos B cos C 的最大值，并指出此时B 的值．19．(2021重庆，文19)(本小题总分值12分，(1)小问5分，(2)小问7分．)如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=BC＝CD＝2，∠ACB＝∠ACD＝π3.(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)假设侧棱PC上的点F满足PF＝7FC，求三棱锥P－BDF的体积．20．(2021重庆，文20)(本小题总分值12分，(1)小问5分，(2)小问7分．)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造本钱仅与外表积有关，侧面的建造本钱为100元/平方米，底面的建造本钱为160元/平方米，该蓄水池的总建造本钱为12000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．21．(2021重庆，文21)(本小题总分值12分，(1)小问4分，(2)小问8分．)如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率2e=，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A，A′两点，|AA′|＝4.(1)求该椭圆的标准方程；(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P，P′，过P，P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．求△PP′Q的面积S的最大值，并写出对应的圆Q的标准方程．2021年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(重庆卷)一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个备选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．答案：D解析：∵A ∪B ＝{1,2}∪{2,3}＝{1,2,3}，U ＝{1,2,3,4}， ∴U (A ∪B )＝{4}，应选D ． 2．答案：A解析：由全称命题p ：∀x ∈D ，p (x )的否认为⌝p ：∃x 0∈D ，⌝p (x 0)，知选A ． 3．答案：C解析：由题知220,log 20,x x ->⎧⎨(-)≠⎩解得2,21,x x >⎧⎨-≠⎩即2,3.x x >⎧⎨≠⎩所以该函数的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)，应选C ． 4．答案：B解析：∵由圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4知，圆心的坐标为(3，－1)，半径r ＝2， ∴圆心到直线x ＝－3的距离d ＝|3－(－3)|＝6. ∴|PQ |min ＝d －r ＝6－2＝4，应选B ． 5．答案：C解析：∵k ＝1，s ＝1＋(1－1)2＝1； k ＝2，s ＝1＋(2－1)2＝2； k ＝3，s ＝2＋(3－1)2＝6； k ＝4，s ＝6＋(4－1)2＝15； k ＝5，s ＝15＋(5－1)2＝31＞15. ∴k ＝5.应选C ． 6．答案：B解析：∵数据总个数n ＝10，又∵落在区间[22,30)内的数据个数为4，∴所求的频率为40.410=.7． 答案：A解析：∵由x 2－2ax －8a 2＜0(a ＞0)，得(x －4a )(x ＋2a )＜0，即－2a ＜x ＜4a ，∴x 1＝－2a ，x 2＝4a .∵x 2－x 1＝4a －(－2a )＝6a ＝15，∴15562a ==.应选A ．8． 答案：D 解析：由三视图知该几何体是底面为等腰梯形的直棱柱，如下图，S 上＝2×10＝20， S 下＝8×10＝80，S 前＝S 后＝10×5＝50， S 左＝S 右＝12(2＋8)×4＝20，所以S 表＝S 上＋S 下＋S 前＋S 后＋S 左＋S 右＝240， 应选D ． 9．答案：C解析：∵21log 10lg2=，∴lg(log 210)＝lg(lg 2)－1＝－lg(lg 2)． 令g (x )＝ax 3＋b sin x ，易知g (x )为奇函数．∵f (lg(log 210))＝f (－lg(lg 2))＝g (－lg(lg 2))＋4＝5，∴g (－lg(lg 2))＝1.∴g (lg(lg 2))＝－1.∴f (lg(lg 2))＝g (lg(lg 2))＋4＝－1＋4＝3. 应选C ． 10． 答案：A解析：不妨令双曲线的方程为22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)，由|A 1B 1|＝|A 2B 2|与双曲线的对称性知A1，A 2，B 1，B 2关于x 轴对称，如图．又∵满足条件的直线只有一对，∴tan 30°＜ba≤tan 60°，即3b a <≤. ∴22133b a<≤. ∵b 2＝c 2－a 2，∴222133c a a -<≤，即43＜e 2≤4.∴＜e ≤2，即e ∈23⎛⎤ ⎥ ⎝⎦.应选A ． 二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．11．解析：∵z ＝1＋2i ，∴||z ==12．答案：72解析：设公差为d ，那么c －a ＝2d ＝9277225142-⨯=⨯=-. 13．答案：23解析：甲、乙、丙三人随机站在一排有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6种．假设甲、乙两人相邻而站那么有甲乙丙、丙甲乙、乙甲丙、丙乙甲，共4种，故所求的概率为4263=.14．答案：4解析：∵OA ＝(－3,1)，OB ＝(－2，k )，∴AB ＝OB －OA ＝(－2，k )－(－3,1)＝(1，k －1)． 又OA ，AB 为矩形相邻两边所对应的向量，∴OA ⊥AB ，即OA ·AB ＝－3×1＋1×(k －1)＝－4＋k ＝0， 即k ＝4.15．答案：π5π0,,π66⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦解析：不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，那么有Δ＝(8sin α)2－4×8cos 2α＝64sin 2α－32cos 2α≤0，即2sin 2α－cos 2α＝2sin 2α－(1－2sin 2α)＝4sin 2α－1≤0.∴sin 2α≤14.∴11sin 22α-≤≤.又0≤α≤π，结合下列图可知，α∈π5π0,,π66⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解：(1)由题设知{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，所以a n ＝3n －1，S n ＝1313n --＝12(3n －1)．(2)b 1＝a 2＝3，b 3＝1＋3＋9＝13，b 3－b 1＝10＝2d ， 所以公差d ＝5，故T 20＝20×3＋20192⨯×5＝1 010.17．解：(1)由题意知n ＝10，1180810n i i x x n ====∑，1120210n i i y y n ====∑， 又l xx ＝221ni i x nx =-∑＝720－10×82＝80，l xy ＝1ni i i x y nx y =-∑＝184－10×8×2＝24，由此得240.380xyxx l b l ===，a y bx =-＝2－0.3×8＝－0.4，故所求回归方程为y ＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 的值增加而增加(b ＝0.3＞0)，故x 与y 之间是正相关． (3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．18．解：(1)由余弦定理得cos A ＝222222b c a bc bc +-==-.又因0＜A ＜π，所以5π6A =. (2)由(1)得sin A ＝12， 又由正弦定理与a ＝3得S ＝12bc sin A ＝12·sin sin a B A·a sin C ＝3sin B sin C ，因此，S ＋3cos B cos C ＝3(sin B sin C ＋cos B cos C )＝3cos(B －C )．所以，当B ＝C ，即ππ212A B -==时，S ＋3cos B cos C 取最大值3.19．(1)证明：因BC ＝CD ，即△BCD 为等腰三角形， 又∠ACB ＝∠ACD ，故BD ⊥AC ．因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥BD ．从而BD 与平面PAC 内两条相交直线PA ，AC 都垂直， 所以BD ⊥平面PAC ．(2)解：三棱锥P －BCD 的底面BCD 的面积S △BCD ＝12BC ·CD ·sin∠BCD ＝12×2×2×2πsin 3＝由PA ⊥底面ABCD ，得V P －BCD ＝13·S △BCD ·PA ＝123=.由PF ＝7FC ，得三棱锥F －BCD 的高为18PA ，故V F －BCD ＝13·S △BCD ·18PA ＝111384⨯=，所以V P －BDF ＝V P －BCD －V F －BCD ＝17244-=.20．解：(1)因为蓄水池侧面的总本钱为100·2πrh ＝200πrh 元，底面的总本钱为160πr 2元，所以蓄水池的总本钱为(200πrh ＋160πr 2)元． 又据题意200πrh ＋160πr 2＝12 000π，所以h ＝15r(300－4r 2)，从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)．因r ＞0，又由h ＞0可得r <，故函数V (r )的定义域为(0,)．(2)因V (r )＝π5(300r －4r 3)，故V ′(r )＝π5(300－12r 2)．令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(因r 2＝－5不在定义域内，舍去)． 当r ∈(0,5)时，V ′(r )＞0，故V (r )在(0,5)上为增函数；当r ∈(5,)时，V ′(r )＜0，故V (r )在(5,)上为减函数． 由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8.即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大． 21．解：(1)由题意知点A (－c,2)在椭圆上，那么222221c a b (-)+=.从而e 2＋24b＝1.由2e =得22481b e==-，从而222161b a e ==-. 故该椭圆的标准方程为221168x y +=. (2)由椭圆的对称性，可设Q (x 0,0)． 又设M (x ，y )是椭圆上任意一点，那么 |QM |2＝(x －x 0)2＋y 2＝x 2－2x 0x ＋x 02＋28116x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝12(x －2x 0)2－x 02＋8(x ∈[－4,4])． 设P (x 1，y 1)，由题意，P 是椭圆上到Q 的距离最小的点，因此，上式当x ＝x 1时取最小值，又因x 1∈(－4,4)，所以上式当x ＝2x 0时取最小值，从而x 1＝2x 0，且|QP |2＝8－x 02. 由对称性知P ′(x 1，－y 1)，故|PP ′|2＝|2y 1|，所以S ＝12|2y 1||x 1－x 0|＝01|2⨯＝＝当0x =PP ′Q 的面积S 取到最大值.此时对应的圆Q 的圆心坐标为Q (，0)，半径||QP ==因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为(x )2＋y 2＝6，(x 2＋y 2＝6.。
2013年重庆市高考数学试卷(文科)教师版
2013 年重庆市高考数学试卷（文科）一．选择题：本大题共10 小题，每题 5 分，共 50 分．在每题给出的四个备选项中，只有一个选项是切合题目要求的．1．（ 5 分）（2013?重庆）已知全集 U={ 1，2，3，4} ，会合 A={ 1，2} ，B={ 2，3} ，则?U（A∪B）=（）A．{ 1，3，4}B．{ 3，4}C．{ 3}D．{ 4}【剖析】依据 A 与 B 求出两会合的并集，由全集U，找出不属于并集的元素，即可求出所求的会合．【解答】解：∵ A={ 1， 2} ，B={ 2，3} ，∴A∪ B={ 1， 2， 3} ，∵全集 U={ 1， 2， 3， 4} ，∴?U（A∪B）={ 4} ．应选： D．．（分）（重庆）命题“对随意2≥0”的否认为（）2 52013?x∈ R，都有 xA．存在 x0∈R，使得 x02＜0B．对随意 x∈ R，使得 x2＜ 0．存在∈R，都有．不存在∈ ，使得2＜0xD x R【剖析】依据全称命题“? x∈M，p（ x）”的否认为特称命题：“? x0∈M ，￢p（x）”即可得出．【解答】解：依据全称命题的否认是特称命题可得：命题“对随意 x∈ R，都有 x2≥0”的否认为“? x0∈ R，使得＜”．应选： A．3．（5 分）（2013?重庆）函数 y=的定义域为（）A．（﹣∞， 2）B．（2，+∞）C．（ 2， 3）∪（ 3，+∞）D．（2，4）∪（ 4， +∞）【剖析】依据“让分析式存心义”的原则，对数的真数大于0，分母不等于0，建立不等式，解之即可．【解答】解：要使原函数存心义，则＞，解得： 2＜x＜3，或 x＞ 3所以原函数的定义域为（2， 3）∪（ 3，+∞）．应选： C．．（分）（重庆）设P 是圆（ x﹣3）2+（y+1）2=4上的动点，Q是直线x=4 52013?﹣3 上的动点，则 | PQ| 的最小值为（）A．6B．4C．3D．2【剖析】过圆心 A 作 AQ⊥直线 x=﹣3，与圆交于点P，此时 | PQ| 最小，由此能求出 | PQ| 的最小值．【解答】解：过圆心 A 作 AQ⊥直线 x=﹣ 3，与圆交于点 P，此时 | PQ| 最小，由圆的方程获取A（ 3，﹣ 1），半径 r=2，则 | PQ| =| AQ| ﹣r=6﹣2=4．应选： B．5．（5 分）（2015?北京）履行如下图的程序框图，输出的k 值为（）A．3B．4C．5D．6【剖析】模拟履行程序框图，挨次写出每次循环获取的a，k 的值，当 a=时满足条件 a＜，退出循环，输出k 的值为 4．【解答】解：模拟履行程序框图，可得k=0， a=3， q=a= ， k=1不知足条件 a＜，a= ，k=2不知足条件 a＜，a= ，k=3不知足条件 a＜，a=，k=4知足条件 a＜，退出循环，输出k 的值为 4．应选： B．6．（ 5 分）（ 2013?重庆）如图是某企业 10 个销售店某月销售某产品数目（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间[ 22， 30）内的概率为（）A．0.2B．0.4C．0.5D．0.6【剖析】由茎叶10 个原始数据数据，数出落在区[ 22，30）内的个数，由古典概型的概率公式可得答案．【解答】解：由茎叶 10 个原始数据，数据落在区[ 22，30）内的共有 4 个，包含2 个22，1 个 27，1 个 29，数据落在区[ 22，30）内的概率=0.4．故： B．7．（ 5 分）（ 2013?重）对于 x 的不等式 x22ax 8a2＜ 0（a＞0）的解集（x1，x 2），且：x2 x1，（）=15a=A．B．C．D．【剖析】利用不等式的解集以及达定理获取两根关系式，而后与已知条件化求解 a 的即可．【解答】解：因对于 x 的不等式 x22ax 8a2＜0（a＞0）的解集（ x1，x2），所以 x1+x2=2a⋯①，x1?x2= 8a2⋯②，又 x2 x1⋯③，=15①2 4×②可得（ x2 x1）2=36a2，代入③可得， 152=36a2，解得 a== ，因 a＞0，所以 a= ．故： A．8．（5 分）（2013?重）某几何体的三如所示，几何体的表面（）A．180B．200C．220D．240【剖析】由三视图可知：该几何体是一个横放的直四棱柱，高为10；其底面是一个等腰梯形，上下面分别为 2，8，高为 4；据此可求出该几何体的表面积．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个横放的直四棱柱，高为10；其底面是一个等腰梯形，上下面分别为2，8，高为 4．∴S表面积 =2× ×（ 2+8）× 4+2×5×10+2×10+8×10=240．应选： D．9．（ 5 分）（2013?重庆）已知函数 f（x）=ax3+bsinx+4（ a，b∈R），f（lg（log210））=5，则 f（lg（lg2）） =（）A．﹣ 5B．﹣ 1C．3D．4【剖析】由题设条件可得出lg（ log2 10）与 lg（lg2）互为相反数，再引入g（x）=ax3+bsinx，使得（fx）=g（ x）+4，利用奇函数的性质即可获取对于f（lg（lg2））的方程，解方程即可得出它的值【解答】解：∵ lg（ log210）+lg（lg2）=lg1=0，∴lg（log210）与 lg（lg2）互为相反数则设 lg（log210）=m，那么 lg（lg2）=﹣m令 f（ x）=g（x）+4，即 g（x）=ax3+bsinx，此函数是一个奇函数，故 g（﹣ m）=﹣g（m），∴ f （m ） =g （m ） +4=5， g （m ）=1 ∴ f （﹣ m ）=g （﹣ m ）+4=﹣g （m ） +4=3．应选： C ．10．（5 分）（2013?重庆）设双曲线 C 的中心为点 O ，如有且只有一对订交于点O ，所成的角为 60°的直线 A 1B 1 和 A 2B 2，使 | A 1B 1| =| A 2B 2| ，此中 A 1、B 1 和 A 2、B 2分别是这对直线与双曲线 C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是 （）A ．，B ．，C ．，D ．，【剖析】不如令双曲线的方程为＞ ， ＞，由| A 1B 1| =| A 2B 2| 及双曲线的对称性知 A 1，A 2 ，B 1，B 2 对于 x 轴对称，由知足条件的直线只有一对，得＜，由此能求出双曲线的离心率的范围．【解答】 解：不如令双曲线的方程为＞，＞，由 | A 1B 1| =| A 2B 2| 及双曲线的对称性知 A 1，A 2， B 1，B 2 对于 x 轴对称，如图，又∵知足条件的直线只有一对，当直线与 x 轴夹角为 30°时，双曲线的渐近线与 x 轴夹角大于 30°，双曲线与直线才能有交点 A 1，A 2，B 1，B 2，若双曲线的渐近线与 x 轴夹角等于 30°，则无交点，则不行能存在 | A 1B 1| =| A 2B 2| ，当直线与 x 轴夹角为 60°时，双曲线渐近线与 x 轴夹角大于 60°，双曲线与直线有一对交点 A 1， A 2，B 1， B 2，若双曲线的渐近线与 x 轴夹角等于 60°，也知足题中有一对直线，可是假如大于 60°，则有两对直线．不切合题意，＜，即＜，∴ tan30 ° ∴ ＜，∵ b 2=c 2﹣ a 2，∴ ＜ ，∴ ＜，∴＜，∴双曲线的离心率的范围是 ， ．应选： A．二．填空题：本大题共5 小题，考生作答 5 小题，每题 5 分，共 25 分．把答案填写在答题卡相应地点上．11．（ 5 分）（2013?重庆）已知复数z=1+2i（i 是虚数单位），则 | z| =．【剖析】直接利用复数的模的求法公式，求解即可．【解答】解：复数z=1+2i（i 是虚数单位），则 | z| ==．故答案为：．12．（ 5 分）（2013?重庆）若 2、 a、 b、 c、9 成等差数列，则 c﹣a=．【剖析】由等差数列的性质可得2b=2+9，解之可得 b 值，再由等差中项可得a，c 的值，作差即可得答案．【解答】解：由等差数列的性质可得2b=2+9，解得 b=，又可得 2a=2+b=2+ =，解之可得a=，同理可得2c=9+=，解得c=，故 c﹣a= ﹣ = =故答案为：13．（ 5 分）（2013?重庆）若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为．【剖析】甲、乙两人相邻，能够把两个元素看做一个元素同其余元素进行摆列，而后辈入古典概率的求解公式即可求解【解答】解：记甲、乙两人相邻而站为事件A甲、乙、丙三人随机地站成一排的全部排法有=6，则甲、乙两人相邻而站，把甲和乙当成一个整体，甲和乙的摆列有种，而后把甲乙整体和丙进行摆列，有种，所以共有=4 种站法∴=故答案为：14．（ 5 分）（2013?重庆） OA 为边， OB 为对角线的矩形中，，，则实数 k= 4．【剖析】由题意可得OA⊥ AB，故有=0，即=0，解方程求得 k 的值．【解答】解：因为 OA 为边， OB 为对角线的矩形中， OA⊥ AB，∴，，==0，即=（﹣，）（﹣，）﹣10=6+k ﹣，=3 1 ? 2 k10=0解得 k=4，故答案为 4．15．（5分）（重庆）设≤α≤π，不等式2﹣（ 8sin α）x+cos2α≥0 对 x∈2013?08xR 恒建立，则α的取值范围为[0， ]∪[，π] ．【剖析】由题意可得，△ =64sin2α﹣ 32cos2 α≤0即 2sin2α﹣（ 1﹣ 2sin2α）≤ 0，解不等式联合 0≤α≤π可求α的取值范围．【解答】解：由题意可得，△ =64sin2α﹣32cos2 α≤0，得 2sin2α﹣（ 1﹣2sin2α）≤ 0∴sin2α≤，﹣≤ sin α≤，∵ 0≤α≤π∴α∈ [ 0， ] ∪[，π]．故答案为： [ 0， ] ∪[，π]．三．解答题：本大题共6 小题，共 75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（ 13 分）（ 2013?重庆）设数列 { a n} 知足： a1=1， a n+1=3a n，n∈N+．（Ⅰ）求 { a n} 的通项公式及前n 项和 S n；（Ⅱ）已知 { b n} 是等差数列， T n为前 n 项和，且 b1=a2，b3=a1+a2+a3，求T20．【剖析】（Ⅰ）由题意可得数列 { a n } 是以 1 为首项，以 3 为公比的等比数列，则其通项公式与前 n 项和可求；（Ⅱ）由 b1=a2=3，b3=a1+a2+a3=1+3+9=13，可得等差数列 { b n } 的公差，再由等差数列的前 n 项和求得 T20．【解答】解：（Ⅰ）由 a n+1=3a n，得，又 a1=1，∴数列 { a n} 是以 1 为首项，以 3 为公比的等比数列，则，；（Ⅱ）∵ b1=a2=3，b3=a1+a2+a3=1+3+9=13，∴b3﹣b1=10=2d，则 d=5．故．17．（13 分）（2013?重庆）从某居民区随机抽取10 个家庭，获取第收入 x（i单位：千元）与月积蓄 y（i单位：千元）的数据资料，算得，，．（Ⅰ）求家庭的月积蓄 y 对月收入 x 的线性回归方程 y=bx+a；（Ⅱ）判断变量 x 与 y 之间是正有关仍是负有关；（Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为7 千元，展望该家庭的月积蓄．i个家庭的月，附：线性回归方程y=bx+a 中，，，此中，为样本均匀值，线性回归方程也可写为．【剖析】（Ⅰ）由题意可知 n，，，从而可得，，代入可得 b 值，从而可得 a 值，可得方程；（Ⅱ）由回归方程x 的系数 b 的正负可判；（Ⅲ）把 x=7 代入回归方程求其函数值即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知 n=10， =，=，= =8= =2故 lxx=﹣×2，=184﹣ 10×8×2=24，=720108 =80 l xy=故可得 b= ═，﹣×﹣，=0.3 a==20.38=0.4故所求的回归方程为： y=0.3x﹣0.4；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b=0.3＞ 0，即变量 y 随 x 的增添而增添，故 x 与 y 之间是正有关；（Ⅲ）把x=7 代入回归方程可展望该家庭的月积蓄为y=0.3×7﹣0.4=1.7（千元）．18．（ 13 分）（ 2013?重庆）在△ ABC中，内角 A、 B、 C 的对边分别是 a、b、c，且 a2=b2+c2+ bc．（Ⅰ）求 A；（Ⅱ）设 a= ，S 为△ ABC的面积，求 S+3cosBcosC的最大值，并指出此时 B 的值．【剖析】（Ⅰ）由余弦定理表示出 cosA，将依据等式变形后辈入求出 cosA 的值，由 A 为三角形的内角，利用特别角的三角函数值即可求出A 的度数；（Ⅱ）由（Ⅰ）求出 sinA 的值，由三角形的面积公式及正弦定理列出关系式，表示出 S，代入已知等式中提取 3 变形后，利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，由余弦函数的图象与性质即可求出 S+3cosBcosC的最大值，以及此时 B 的值．【解答】解：（Ⅰ）由余弦定理得： cosA==﹣，=∵ A 为三角形的内角，∴ A=；（Ⅱ）由（Ⅰ）得sinA= ，由正弦定理得： b=，csinA=asinC及a=得：S= bcsinA= ??asinC=3sinBsinC，则 S+3cosBcosC=3（sinBsinC+cosBcosC） =3cos（B﹣C），则当 B﹣C=0，即 B=C==时，S+3cosBcosC取最大值3．19．（12 分）（2013?重庆）如图，四棱锥 P﹣ABCD中，PA⊥底面 ABCD，PA=2，BC=CD=2，∠ ACB=∠ ACD= ．（Ⅰ）求证： BD⊥平面 PAC；（Ⅱ）若侧棱 PC上的点 F 知足 PF=7FC，求三棱锥 P﹣BDF的体积．【剖析】（Ⅰ）由等腰三角形的性质可得BD⊥AC，再由 PA⊥底面 ABCD，可得 PA ⊥BD．再利用直线和平面垂直的判断定理证明BD⊥平面 PAC．（Ⅱ）由侧棱PC上的点 F 知足 PF=7FC，可得三棱锥 F﹣ BCD的高是三棱锥P﹣BCD的高的．求出△ BCD的面积S△BCD，再依据三棱锥P﹣BDF的体积V=V P﹣BCD﹣V F﹣ BCD=﹣，运算求得结果．【解答】解：（Ⅰ）∵BC=CD=2，∴△ BCD为等腰三角形，再由，∴BD⊥AC．再由 PA⊥底面 ABCD，可得 PA⊥ BD．而 PA∩ AC=A，故 BD⊥平面 PAC．（Ⅱ）∵侧棱 PC上的点 F 知足 PF=7FC，∴三棱锥F﹣ BCD的高是三棱锥 P﹣BCD的高的．△ BCD的面积 S△BCD= BC?CD?sin∠ BCD==．∴三棱锥 P﹣BDF 的体积 V=V P﹣BCD﹣V F﹣BCD=﹣=×== ．20．（12 分）（ 2013?重庆）某乡村拟修筑一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为 r 米，高为 h 米，体积为 V 立方米．假定建筑成本仅与表面积有关，侧面积的建筑成本为 100 元/ 平方米，底面的建筑成本为 160元/ 平方米，该蓄水池的总建筑成本为 12000π元（π为圆周率）．（Ⅰ）将 V 表示成 r 的函数 V（r），并求该函数的定义域；（Ⅱ）议论函数 V（r）的单一性，并确立 r 和 h 为什么值时该蓄水池的体积最大．【剖析】（I）由已知中侧面积和底面积的单位建筑成本，联合圆柱体的侧面积及底面积公式，依据该蓄水池的总建筑成本为 12000π元，结构方程整理后，可将V 表示成 r 的函数，从而依据实质中半径与高为正数，获取函数的定义域；（Ⅱ）依据（I）中函数的定义值及分析式，利用导数法，可确立函数的单一性，依据单一性，可得函数的最大值点．【解答】解：（Ⅰ）∵蓄水池的侧面积的建筑成本为200?πrh 元，2底面积成本为 160πr 元，∴蓄水池的总建筑成本为2 200?πrh+160πr元2即 200?πrh+160πr=12000π∴ h=（300﹣4r2）222﹣4r3∴ V（ r）=πr πr（300﹣4r ）= （300r）h=?又由 r＞0，h＞0 可得 0＜r＜ 5故函数 V（ r）的定义域为（ 0，5）（Ⅱ）由（Ⅰ）中V（r ）= （ 300r﹣ 4r3），（ 0＜ r＜5）可得 V′（ r）= （300﹣ 12r2），（0＜r ＜5）∵令 V′（ r）= （300﹣ 12r2）=0，则 r=5∴当 r∈（ 0，5）时， V′（r）＞ 0，函数 V（r）为增函数当 r∈（ 5，5 ）时， V′（r）＜ 0，函数 V（r ）为减函数且当r=5，h=8 时该蓄水池的体积最大21．（ 12 分）（2013?重庆）如图，椭圆的中心为原点O，长轴在 x 轴上，离心率，过左焦点 F1作 x 轴的垂线交椭圆于A、A′两点， | AA′|=4．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）取平行于 y 轴的直线与椭圆订交于不一样的两点P、P′，过 P、P′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆 Q 外．求△ PP'Q的面积 S 的最大值，并写出对应的圆 Q 的标准方程．【剖析】（Ⅰ）设椭圆方程为＞＞，将左焦点横坐标代入椭圆方程可得 y=，则，又②，a2=b2+c2③，联立①②③可求得 a， b；（Ⅱ）设 Q（t， 0）（t ＞0），圆的半径为 r ，直线 PP′方程为： x=m（m＞ t ），则圆Q 的方程为：（ x﹣t ）2+y2=r2，联立圆与椭圆方程消掉 y 得 x 的二次方程，则△=0①，易求 P 点坐标，代入圆的方程得等式②，由①②消掉r 得 m=2t，则，变成对于 t 的函数，利用基本不等式可求其最大值及此时 t 值，由对称性可得圆心Q 在 y 轴左边的状况；【解答】解：（Ⅰ）设椭圆方程为＞＞，左焦点F1（﹣ c，0），将横坐标﹣ c 代入椭圆方程，得y=，所以①，②， a2=b2+c2③，联立①②③解得a=4，，所以椭圆方程为：；（Ⅱ）设 Q（t， 0）（t ＞0），圆的半径为 r，直线 PP′方程为： x=m（m＞t ），则圆 Q 的方程为：（ x﹣ t）2+y2=r2，由得 x2﹣4tx+2t2+16﹣2r2=0，由△ =0，即 16t 2﹣ 4（ 2t2+16﹣ 2r2）=0，得 t 2+r2=8，①把 x=m 代入，得，所以点 P 坐标为（m，222），代入（x﹣t ）+y=r ，得由①②消掉 r2得 4t2﹣ 4mt+m2=0，即 m=2t，=×（ m﹣ t ） =× t==2，当且仅当 4﹣t2=t2即 t=时取等，此时 t+r= +＜4，椭圆上除P、P′外的点在圆Q外，所以△ PP'Q的面积 S 的最大值为，圆Q的标准方程为：当圆心 Q、直线 PP′在 y 轴左边时，由对称性可得圆 Q 的方程为△PP'Q的面积 S的最大值仍为为．，②≤×．，。
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2013年高考真题精校精析2013·重庆卷(文科数学)1． 已知全集U ＝{1，2，3，4}，集合A ＝{1，2}，B ＝{2，3}，则∁U (A ∪B )＝( ) A ．{1，3，4} B ．{3，4} C ．{3} D ．{4}1．D [解析] 因为A ∪B ＝{1，2，3} ，所以∁U (A ∪B )＝{4}，故选D. 2． 命题“对任意x ∈，都有x 2≥0”的否定为( ) A ．存在x 0∈，使得x 20<0 B ．对任意x ∈，都有x 2<0C ．存在x 0∈，使得x 20≥0 D ．不存在x ∈，使得x 2<02．A [解析] 根据定义可知命题的否定为：存在x 0∈，使得x 20<0，故选A. 3． 函数y ＝1log 2（x －2）的定义域是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(2，3)∪(3，＋∞)D ．(2，4)∪(4，＋∞)3．C [解析] 由题可知⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，x －2≠1，所以x ＞2且x ≠3，故选C.4．、和 设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为( )A ．6B ．4C ．3D ．24．B [解析] |PQ |的最小值为圆心到直线距离减去半径．因为圆的圆心为(3，－1)，半径为2，所以|PQ |的最小值d ＝3－(－3)－2＝4.图1－15． 执行如图1－1所示的程序框图，则输出的k 的值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．65．C [解析] 第一次循环s ＝1＋(1－1)2＝1，k ＝2；第二次循环s ＝1＋(2－1)2＝2，k ＝3；第三次循环s ＝2＋(3－1)2＝6，k ＝4；第四次循环s ＝6＋(4－1)2＝15，k ＝5；第五次循环s ＝15＋(5－1)2＝31，结束循环，所以输出的k 的值是5，故选C.6． 图1－2是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22，30)内的频率为( )A ．0.2B ．0.4C ．0.5D ．0.66．B [解析] 由茎叶图可知数据落在区间[22，30)内的频数为4，所以数据落在区间[22，30)内的频率为410＝0.4，故选B.7． 关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( ) A.52 B.72 C.154 D.1527．A [解析] 由条件知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2，由(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152，解得a ＝52(负值舍去)，故选A.8．和 某几何体的三视图如图1－3所示，则该几何体的表面积为( )图1－3A ．180B ．200C ．220D ．2408．D [解析] 该几何体为直四棱柱，其高为10，底面是上底为2，下底为8，高为4，其腰为5的等腰梯形，所以底面面积和为12(2＋8)×4×2＝40.四个侧面的面积和为(2＋8＋5×2)×10＝200，所以该直四棱柱的表面积为S ＝40＋200＝240，故选D.9．和 已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈)，f (lg(log 210))＝5，则f (lg(lg 2))＝( ) A ．－5 B ．－1 C ．3 D ．49．C [解析] 因为f (lg(log 210))＝f ⎝⎛⎭⎫lg ⎝⎛⎭⎫1lg 2＝f (－lg(lg 2))＝5，又因为f (x )＋f (－x )＝8，所以f (－lg(lg2))＋f (lg(lg2))＝5＋f (lg(lg2))＝8，所以f (lg(lg 2))＝3，故选C.10．、和 设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1，B 1和A 2，B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤2 33，2B.⎣⎡⎭⎫2 33，2C.⎝⎛⎭⎫2 33，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫2 33，＋∞10．A [解析] 设双曲线的焦点在x 轴上，则由作图易知双曲线的渐近线的斜率b a 必须满足33<ba ≤3，所以13<⎝⎛⎭⎫b a 2≤3，43<1＋⎝⎛⎭⎫b a 2≤4，即有233<1＋⎝⎛⎭⎫b a 2≤2.又双曲线的离心率为e ＝c a＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2，所以233<e ≤2. 11． 设复数z ＝1＋2i(i 是虚数单位)，则|z |＝________． 11.5 [解析] |z |＝12＋22＝ 5.12． 若2，a ，b ，c ，9成等差数列，则c －a ＝________． 12.72 [解析] 设公差为d ，则d ＝9－25－1＝74，所以c －a ＝2d ＝72. 13． 若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为________． 13.23 [解析] 三人站成一排的情况包括甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6种，其中甲、乙相邻的排法有4种，所以甲、乙相邻而站的概率为46＝23.14．和 在OA 为边，OB 为对角线的矩形中，OA →＝(－3，1)，OB →＝(－2，k )，则实数k ＝________． 14．4 [解析] 因为AB →＝OB →－OA →＝(1，k －1)，且OA →⊥AB →，所以OA →·AB →＝0，即－3×1＋1×(k －1)＝0，解得k ＝4. 15．、和 设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈恒成立，则α的取值范围为________．15.⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎦⎤5π6，π [解析] 根据二次函数的图像可得Δ＝(8sin α)2－4×8cos 2α≤0，即2sin 2 α－cos 2α≤0，转化为2sin 2 α－(1－2sin 2 α)≤0，即4sin 2α≤1，即－12≤sin α≤12.因为0≤α≤π，故α∈⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎦⎤5π6，π. 16．和 设数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝3a n ，n ∈＋. (1)求{a n }的通项公式及前n 项和S n ；(2)已知{b n }是等差数列，T n 为其前n 项和，且b 1＝a 2，b 3＝a 1＋a 2＋a 3，求T 20.16．解：(1)由题设知{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，所以a n ＝3n －1， S n ＝1－3n 1－3＝12(3n －1)．(2)b 1＝a 2＝3，b 3＝1＋3＋9＝13，b 3－b 1＝10＝2d ，所以公差d ＝5，故T 20＝20×3＋20×192×5＝1 010.17． 从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得17．解：(1)由题意知n ＝10，x ＝1n ∑i ＝1n x i ＝8010＝8，y ＝1n ∑i ＝1n y i ＝2010＝2，由此得b ＝l xy l xx ＝2480＝0.3，a ＝y －bx ＝2－0.3×8＝－0.4，故所求回归方程为y ＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 的值增加而增加(b ＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关． (3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为 y ＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．18．和 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2＋3bc . (1)求A ；(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos B cos C 的最大值，并指出此时B 的值． 18．解：(1)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc 2bc ＝－32.又因为0<A <π，所以A ＝5π6.(2)由(1)得sin A ＝12，又由正弦定理及a ＝3得S ＝12bc sin A ＝12·a sin B sin A·a sin C ＝3sin B sin C ， 因此，S ＋3cos B cos C ＝3(sin B sin C ＋cos B cos C )＝3cos(B －C )． 所以，当B ＝C ，即B ＝π－A 2＝π12时，S ＋3cos B cos C 取最大值3.19．和 如图1－4所示，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝2 3，BC ＝CD ＝2，∠ACB ＝∠ACD ＝π3.(1)求证：BD ⊥平面P AC ；(2)若侧棱PC 上的点F 满足PF ＝7FC ，求三棱锥P －BDF 的体积．图1－419．解：(1)证明：因为BC ＝CD ，即△BCD 为等腰三角形，又∠ACB ＝∠ACD ，故BD ⊥AC . 因为P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥BD ，从而BD 与平面P AC 内两条相交直线P A ，AC 都垂直，所以BD ⊥平面P AC .(2)三棱锥P －BCD 的底面BCD 的面积S △BCD ＝12BC ·CD ·sin ∠BCD ＝12·2·2·sin 2π3＝ 3.由P A ⊥底面ABCD ，得V P －BCD ＝13·S △BCD ·P A ＝13×3×2 3＝2.由PF ＝7FC ，得三棱锥F －BCD 的高为18P A ，故V F －BCD ＝13·S △BCD ·18P A ＝13×3×18×2 3＝14，所以V P －BDF ＝V P －BCD －V F －BCD ＝2－14＝74.20．和 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．20．解：(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh ＝200πrh 元，底面的总成本为160πr 2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元，又据题意200πrh ＋160πr 2＝12 000π，所以h ＝15r (300－4r 2)，从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)．因为r >0，又由h >0可得r <5 3，故函数V (r )的定义域为(0，5 3)．(2)因为V (r )＝π5(300r －4r 3)，故V ′(r )＝π5(300－12r 2)．令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(r 2＝－5不在定义域内，舍去)．当r ∈(0，5)时，V ′(r )>0，故V (r )在(0，5)上为增函数；当r ∈(5，5 3)时，V ′(r )<0，故V (r )在(5，5 3)上为减函数．由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8，即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．21．、、、和 如图1－5所示，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e ＝22，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A ，A ′两点，|AA ′|＝4. (1)求该椭圆的标准方程；(2)取平行于y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P ，P ′，过P ，P ′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．求△PP ′Q 的面积S 的最大值，并写出对应的圆Q 的标准方程．图1－521．解：(1)由题意知点A (－c ，2)在椭圆上，则（－c ）2a 2＋22b 2＝1，从而e 2＋4b 2＝1. 由e ＝22得b 2＝41－e 2＝8，从而a 2＝b 21－e 2＝16.故该椭圆的标准方程为x 216＋y 28＝1.(2)由椭圆的对称性，可设Q (x 0，0)，又设M (x ，y )是椭圆上任意一点，则 |QM |2＝(x －x 0)2＋y 2＝x2－2x 0x ＋x 20＋8⎝⎛⎭⎫1－x 216＝12(x －2x 0)2－x 20＋8(x ∈[－4，4])． 设P (x 1，y 1)，由题意，P 是椭圆上到Q 的距离最小的点，因此，上式当x ＝x 1时取最小值，又因为x 1∈(－4，4)，所以上式当x ＝2x 0时取最小值，所以x 1＝2x 0，且|QP |2＝8－x 20.由对称性知P ′(x 1，－y 1)，故|PP ′|＝|2y 1|，所以S ＝12|2y 1||x 1－x 0|＝12×2 8⎝⎛⎭⎫1－x 2116|x 0|＝ 2（4－x 20）x 20＝2－（x 20－2）2＋4.当x 0＝±2时，△PP ′Q 的面积S 取到最大值2 2.此时对应的圆Q 的圆心坐标为Q (±2，0)，半径|QP |＝8－x 20＝6，因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为(x ＋2)2＋y 2＝6，(x －2)2＋y 2＝6.。