Chapter 10 含有耦合电感的电路
10章 含有耦合电感的电路
jω L2 (支路 支路3)L ± 同侧取 同侧取“ 支路 3=±M(同侧取“＋”,异 异
R2
侧取“ 侧取“－”) (支路 1’=L1 m M，M前所取符 支路1)L 支路 ， 前所取符 号与L 号与 3中的相反 (支路 2’=L2 m M，M前所取 支路2)L 支路 ， 前所取 符号与L 符号与 3中的相反
反相串联无互感等效电路
R1 u1 u M L1 R1 L1-M u1 R2 u2 L2 u R2 L2-M u2
Z = Z1 + Z 2 = R1 + R2 + jω ( L1 + L2 − 2 M )
R1
L1 u1
2、顺向串联 、 每一耦合电感支路的阻抗为： 每一耦合电感支路的阻抗为：
Z1 = R1 + jω ( L1 + M )
两个耦合线圈的磁通链可表示为： 两个耦合线圈的磁通链可表示为：
ψ 1 = ψ 11 ± ψ 12
= L1i1±Mi2
ψ 2 = ±ψ 21 + ψ 22
= ±Mi1+L2i2 上式表明， 上式表明 ， 耦合线圈中的磁通链与施感电流 线性关系 关系， 成 线性 关系 ， 是各施感电流独立产生的磁通链叠 加的结果。 加的结果。
di di u2 = R2i + ( L2 −M ) dt dt di = R2i + ( L2 − M ) dt
无互感等效电路
R1 u1 u M L1 R1 L1-M u1 R2 u2 L2 u R2 L2-M u2
di u = u1 + u 2 = ( R1 + R2 )i + ( L1 + L2 − 2 M ) dt
L1 N1 L2 N2
电路第十章含有耦合电感的电路
.. . . .. .. . . .. 一致，故1，4是同名端，（不2是，同名端，1，4是同名端，
3也是同名i1 端） i2 （2，3也是同名端i1 ） i2
1 23 4
1 23 4
同名端只与线圈的绕向有关，与电流方向无关。 只要知道线圈的绕向，就能标出同名端。
L L1L2 M2 L1 L2 2M
M2 L1L2
M L1L2 M L1 L2
2
几何平均值（小） 算术平均值（大）
除非两电感相同，一般：几何平均值< 算术平均值
∴用几何平均值求M更严格
∴互感M必须满足 M L1L2 的要求 ∴ M的最大值 Mmax L1L2
3.耦合系数 k M M max
最大值
i(t)
••
u ( t ) L1 L2
i(t)
u(t)
L1 -
di
M
dt +
L2
+
M
di
- dt
utL1d d ti Md d ti L2d d ti Md dti
L1
L2
2Mdi
dt
L
di dt
反接时，串联电感值为
LL1L22M
电感贮能 WL 12LiL2 0
即L一定为正值
L1L22M
M L1 L2 2
实际值
M L1 L 2
0k1
k 反应了磁通相耦合的程度
k=1 k→1 k<0.5 k=0
全耦合
线圈中电流产生的磁通全部与另一个线 圈交链达到使M无法再增加
紧耦合，强耦合
松耦合，弱耦合
无耦合
4.耦合电感的T型等效
第10章 含有耦合电感的电路
2. 耦合电感的并联
i
M
①同侧并联
+
u
L1
di1 dt
M
di2 dt
u –
i1 * * i2
L1
L2
u
L2
di2 dt
M
di1 dt
i = i1 +i2
解得u, i 的关系：
u
(L1L2 M 2 ) L1 L2 2M
di dt
返回 上页 下页
等效电感：
Leq
(L1L2 M 2 ) L1 L2 2M
有了同名端，表示两个线圈相互作用时，就不
需考虑实际绕向，而只画出同名端及u、i参考方
向即可。
M
*
*
i1
+ u21 –
u21
M
di1 dt
M
* i1
* – u21 +
u21
M
di1 dt
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例 i1 M i2
+* *+ u_1 L1 L2 _u2
u1
L1
di1 dt
M
di2 dt
u2
M
di1 dt
第10章 含有耦合电感的电路
本章重点
10.1 互感 10.2 含有耦合电感电路的计算 10.3 耦合电感的功率 10.4 变压器原理 10.5 理想变压器
首页
重点
1.互感和互感电压 2.有互感电路的计算 3.变压器和理想变压器原理
返回
10.1 互感
耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中， 如收音机、电视机中的中周线圈、振荡线圈，整 流电源里使用的变压器等都是耦合电感元件，熟 悉这类多端元件的特性，掌握包含这类多端元件 的电路问题的分析方法是非常必要的。
电路原理第十章含耦合电感电路
•
•
•
•
U R1 I1 +j L1 I1 －j M I 2
•
•
•
•
U R 2 I 2 +j L2 I 2 －j M I1
•
•
•
I I1 I2
根据前面的电路图，列写方程：
U (R1 jL1)I1 jMI2 Z1I1 ZM I2
U (R2 jL2 )I2 jMI1 Z2I2 ZM I1
Ψ21 Ψ22
Ψ11 Ψ12
Ψ21 Ψ22
i1 a + u1
i2
-b
c+
u2
d
i1 *a + u1 -b
i2 c + u2 -d *
(a)
(b)
说明耦合线圈的伏安关系用图
Ψ1=Ψ11 +Ψ12 Ψ2=Ψ22 +Ψ21
Ψ1=Ψ11 －Ψ12 Ψ2=Ψ22 －Ψ21
11
21
N1 i1
N2
+ u11 – + u21 –
同名端与两个线圈的绕向和相对位置有关。
11
s
0
N1 i1 * •
+ u11 –
N2
N3
*
•
+ u21 – – u31 +
i
1*
*2
1•*
2
3
1'
2'
1'
2'*
3' •
两个以上线圈彼此耦合时，同名端应一对一对加以标记。 如果每个电感都有电流时，每个电感的磁通链等于自感磁 通链和所有互感磁通链的代数和。
通链Ψ22 。22 部分或全部与线圈1相链，产生线圈2对线圈
第十章含耦合电感的电路
r R
E
(a)
r R
E
(b)
直接连接
P
I
2
R
E R
r
2
R
8
6 100
2
8
25mW
用匝比为n = 3的变压器耦合
扬声器的反射阻抗
R'
N1 N2
2
R
300 100
i1 * N1
n :1
i2
பைடு நூலகம்
+
N2
u2
*
－
实际变压器与理想变压器近似的条件
变压器原、副边线圈自电感 ：L1、L2 耦合电感 ： M k L1L2 近似条件： k M 1 L1、L2很大
L1L2
n n1 n2
例题
一个理想变压器的额定值是2400V/120V，9.6kVA且 在次级有50匝。计算：（a）匝数比，（b）初级的匝 数，（c）初级绕组和次级绕组的额定电流值。
原、副边匝比： 初级匝数：
n V1 2400 20 V2 120
n1 n 50 2050 1000 匝
初级绕组和次级绕组的额定电流值
I1
9600 V1
9600 2400
4A
I2
9600 V2
9600 120
80A
例题
求负载的端电压 U 2。
副边电压、电流关系。 配合电阻元件等，可模拟实际变压器
第10章含有耦合电感的电路37072共42页
i1 +
i2 +
L1
L2
- - u1
M
di2 dt
+
–
-
+
M
di1 dt
–
u2
-
i2
注意受控电压源 （即互感电压）的 极性问题
12
相量模型：耦合电感的受控电源模型
i1
+
u 1 L1
-
M
L2
+ i2
+
•
U1
u2
-
-
•
I1
jωL1
•+
jM I2
-
•
I2
+
jω L2
•
U2
+
•
jM I1
-
-
•
•
•
U1 jωL1 I1 jωM I2
jωM
•
I
.
.
R1
+
jωL1
U1 -
jωL2 R2
a
b
16
• 解：1、求开路电压
•+
U1 -
•
I
.
jωM
.
R1
jωL1
jωL2 R2
•
•
•
U oc R2 I jωM I
•
( R2
jωM ) R1
U1 jωL1 R2
300V
a +
•
U oc
b-
17
• 2、求等效阻抗
Jω(L1-M) R1
+ uL11
*
L2
+ u2 u
-
Chapter10含有耦合电感的电路
Chapter 10 含有耦合电感的电路主要内容1.互感；2.含有耦合电感电路的分析计算；3.空心变压器；4.理想变压器。
V 1 2f2§ 10-1互感1 .磁耦合：载流线圈之间通过彼此的磁场相互联系的物理现象施感电流i2自感磁通22自感磁通链22N2 22L2i2互感磁通12互感磁通链12N1 12M 12i2施感电流i1自感磁通11自感磁通链11N1 11互感磁通21互感磁通链21N2 21M 21i1 K A A 4 A A A Zvr i a f2可以证明,2. 两个线圈耦合时的磁通链：① 磁通链与施感电流成线性关系，是各施感电流独立产生的磁通链叠加的结 果。
② M 前“+”号表示互感磁通与自感磁通方向一致，称为互感的“增助”作 用；“-”号则相反，表示互感的“削弱”作用。
③ 同名端：在两个耦合的线圈中各取一端子，并用“• ”或“ * ”表示，且当一对 施感电流l1和l2从同名端流进（出）各自的线圈时，互感起增 助作用。
a, 根据它们的绕向和相对位置判断； b, 实验方法判断；④ 多个线圈耦合时：风与监同向取“ + ”，反之取“-例10-1 :互感耦合电路中l110A,l25cOs10t A, L1求两耦合线圈中的磁通链。
解：h 、i 2都是从标记的同名端流进，互感“增助”，则鳴 L 1l 120Wb;卑2 L 2l 2 15cos10tWb;出2 MI 2 5cos10tWb;里1 MI 1 10Wb;出出1 出2 20 5cos10t Wb 出坚闿210 15cos10t WbL i l i M 1212 L 2l 2 M 21l 11 i 1, i2l l 」22H, L 2 3H, M 1HM 12 M 21 M（两个线圈耦合时的互感系数）耦合电感的电压是自感电压和互感电压的叠加；如果Uj 、ij ,j 112为关联参考方向，则自感电压 如果互感电压“ + ”极性端与产生它的电流的流入端为一对同名端, “ +”，反之取“-”。
电路第10章---含有耦合电感的电路讲解
§10.1 互感耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中，如收音机、电视机中的中周线圈、振荡线圈，整流电源里使用的变压器等都是耦合电感元件，熟悉这类多端元件的特性，掌握包含这类多端元件的电路问题的分析方法是非常必要的。
1. 互感两个靠得很近的电感线圈之间有磁的耦合，如图10.1所示，当线圈1中通电流 i 1 时，不仅在线圈1中产生磁通f 11，同时，有部分磁通 f 21 穿过临近线圈2，同理，若在线圈2中通电流i 2 时，不仅在线圈2中产生磁通f 22，同时，有部分磁通 f 12 穿过线圈1，f 12和f 21称为互感磁通。
定义互磁链：图 10.1ψ12 = N 1φ12 ψ21 = N 2φ21当周围空间是各向同性的线性磁介质时，磁通链与产生它的施感电流成正比，即有自感磁通链：互感磁通链：上式中 M 12 和 M 21 称为互感系数，单位为（H ）。
当两个线圈都有电流时，每一线圈的磁链为自磁链与互磁链的代数和：需要指出的是：１）M 值与线圈的形状、几何位置、空间媒质有关，与线圈中的电流无关，因此，满足M12 =M21 =M２）自感系数L 总为正值，互感系数 M 值有正有负。
正值表示自感磁链与互感磁链方向一致，互感起增助作用，负值表示自感磁链与互感磁链方向相反，互感起削弱作用。
2. 耦合因数工程上用耦合因数k 来定量的描述两个耦合线圈的耦合紧密程度，定义一般有：当k =1 称全耦合，没有漏磁，满足f11 = f21，f22 = f12。
耦合因数k 与线圈的结构、相互几何位置、空间磁介质有关。
3. 耦合电感上的电压、电流关系当电流为时变电流时，磁通也将随时间变化，从而在线圈两端产生感应电压。
根据电磁感应定律和楞次定律得每个线圈两端的电压为：即线圈两端的电压均包含自感电压和互感电压。
在正弦交流电路中，其相量形式的方程为注意：当两线圈的自感磁链和互感磁链方向一致时，称为互感的“增助”作用，互感电压取正；否则取负。
第10章 含有耦合电感的电路
–
相量形式
2
–
U1
+
2
•
•
+ –
U
j ωM I
j ωM I 1
–
–
–
还可以用电流控制电压源来表 示互感电压的作用。 示互感电压的作用。
9
控制源形式的互感模型
思考：三种不同形式的方程特点？ 思考：三种不同形式的方程特点？
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五、耦合系数 (coupling coefficient)k： ：
Φ
* 2 2'
1'
di > 0, dt
u22' = M di > 0 dt
R S 1 ♦ 1'
i *
电压表瞬时正偏。 电压表瞬时正偏。 思考：当开关 打开时 电压表？ 打开时， 思考：当开关S打开时，电压表？
*2 ♦ 2'
+ V –
12
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10--2 含有耦合电感电路的计算
在正弦交流电路中， 在正弦交流电路中，其相量形式的方程为
*
*
L2
△
L1
+ u2 _
时域形式
•
•
U 1 = j ω L1 I 1 + j ω M I 2
•
•
•
I1
jωM
•
I
2
+
•
U
2
•
= jω M I 1 + jω L2 I 2
•
•
•
j ω L1
*
*
+
j ω L2
•
U1
I
第十章 含有耦合电感的电路讲解
ZM Z11
U1
求Zeq，将独立源置零：
得：Zeq
U 2 I2
Z 22
M 2
Z11I1 ZM I2 U1 — —① ZM I1 Z22I2 0 — —②
目的：寻求原副边等效电路。
1、原边等效电路：
由方程②得： ③代入①得：
I1
I2
Z11
ZM
Z
ZZ22M
M Z22
I1
U1
③
Z1
铁芯的作用：增大导磁率μ，减小漏磁损耗.
3、空心变压器： 没有铁芯的变压器，原副绕组绕在非铁磁材料制成的骨架上； 铁芯变压器：K≈1； 空心变压器：K很小——最大特点：电磁特性为线性；
空心变压器电路模型
二、空心变压器的特性方程
R1 jL1I1 jMI2 U1
jMI1 R2 RL jL2 jX I2 0
可见：公共端为异名端时， 可从公共端抽出一个－M，原来的 两个电感变为：L1+M，L2+M；
2、互感线圈的并联
2、互感线圈的并联（同侧并联和异侧并联） 再用互感消去法看串联两种情况：
Z R1 R2 jL1 L2 2M Z R1 R2 jL1 L2 2M
U1 I1
Z11
ZM 2 Z22
Z11
M 2
Z22
M
Z22
2
的物理意义：原边施I1，由于互感的作用（磁的
耦合）
将副边阻抗反映到原边的等效阻抗。
引入阻抗的性质与Z22相反，即感性变为容性
2、副边等效电路
第十章 含有耦合电感的电路
含有耦合电感的电路
§10-1 互感 §10-2 含有耦合电感电路的计算 §10-3 耦合电感的功率 §10-4 变压器原理 §10-5 理想变压器
制作群
主
页
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退
出
理解耦合电感的定义；掌握判断同名端的方法； 掌握运用去耦法分析计算含有耦合电感的电路；了解 含有空心变压器电路的阻抗折算；掌握理想变压器的 VCR和阻抗变换关系。
R jL I U 1 1 1 jMI 2 Z1 I1 Z M I 2 jMI R jL I U 1 2 2 2 Z M I1 Z 2 I 2
I I I 3 1 2
+
I 3
jM
①
I 1
解： 1 L1i1 Mi2 2 1 1 5 cos10t
2 5 cos10t Wb
1
+
i1 L1
M L2
i2
2
+
2 Mi1 L2i2 11 3 5 cos10t
1 15 cos10t Wb
制作群
主
u1
u2
1'
jL1
I 2
jL2
U
-
R1
R2
① jM I 3
+
jMI R j L M I U 3 1 1 1
I 1
jL1 M jL2 M
I 2
jMI R j L M I U U 3 2 2 2
1'
11 ห้องสมุดไป่ตู้2 21 22
1 i1
第10章含有耦合电感的电路
• • •
耦合系数 k：表示两个耦合线圈磁耦合的紧密程度。 ：表示两个耦合线圈磁耦合的紧密程度。 def k = M ≤1 L1 L2 全耦合: 全耦合 Φ11= Φ21 ，Φ22 =Φ12
Q ∴ ∴ N1Φ11 L1 = i1 M 12 M 21 = L1 L2 k =1 N 2Φ22 L2 = i2 , N1Φ12 M 12 = i2 N 2Φ21 M 21 = i1
当 L1=L2 时 , M=L 4L L= 0 书例10－ 书例 －3 反接 顺接
二、耦合电感的并联 1. 同侧并联： 同侧并联： M i + u R1 –
•
i1 L1
*
*
i2 L2
di1 di2 u = R1i1 + L1 +M dt dt di di u = R2 i2 + L2 2 + M 1 dt dt
R2 jωM
i = i1 +i2
I
+
•
•
•
I1
*
*
I
2
U = R1 I 1 +jω L1 I 1 + jω M I 2
U = R 2 I 2 +jω L2 I 2 + jω M I 1
• • • •
•
•
•
•
jωL1
U
jωL2 R2
R1 –
I = I1+ I2
•
•
•
2. 异侧并联 i + u R1 –
同名端通常用标志“ 如图： 同名端通常用标志“·” 表示 ，如图：
i1 a + u1 b (a)
耦合电感的电路符号
M
第10章 含有耦合电感的电路
R1
L1 u1
i
R1
u1
L1
u
M
R2 u2
u
M R2 u2
L2
L2（a）顺向串联电路（来自）反向串联电路1、计算公式
对于反向串联电路，按图示参考方向，列写 KVL方程为： di di
u 1 R 1 i ( L1 M )
i
R1 u1
L1
dt
dt di dt di dt di dt )
R 1 i ( L1 M ) u 2 R2i ( L2 di dt
1 L1 i1 M i 2
2
M i1 L 2 i 2
i L 例1：下图中，i1 1 0 A ，2 5 co s(1 0 t ) A ，1 2 H ， L M 求 2 3 H ， 1H 。求两耦合线圈中的磁通链。
1
i1
M
i2
2
L2 u2 2’
1 1 L1 i1 2 0 W b
U j M I 3 [ R 1 j ( L1 M )] I 1 U j M I 3 [ R 2 j ( L 2 M )] I 2
根据上述方程可以给出一个无互感的等效电路， 如右下图所示：
I3
j M
I3
I2
j M
I1
解：
1 L1 i1 M i 2 [ 2 0 5 co s(1 0 t )]W b
2
M i1 L 2 i 2 [1 0 1 5 co s(1 0 t )]W b
u 1 L1 u2 M
第10章耦合电感电路201936856
u 2 L cd d 2 it L bd (id 1 i2 ) t L bd d 1 i( tL b L c )d d 2it
L1 La Lb L2 Lb Lc M Lb
La L1 M Lb M Lc L2 M
这种等效变换得出的T型电路已消除了两个线 圈的互感作用，称为互感消除法。这种等效电 路称为互感线圈的T型去耦等效电路。
(b)磁通相消
i1 11
a
u1
b
21
12
i2
c
u2
d
22
3、同名端的应用：
互感电压符号的确定：当两线圈电流均从同名
端流入（或流出）时，互感电压与该线圈中的
自感电压同号。当两线圈电流均从异名端流入
（或流出）时，互感电压与自感电压异号。
或：互感电压的参考极性与产生它的变化电流
的参考方向对同名端一致。
u1 L1 L2 u2
b
d
Fig-a
a i1 La
Lc i2 c
+
+
u1 Lb b
u2 d
Fig-b
Fig-a: u1 L1dd1itMddi2t
u2
L2
d2i Md1i dt dt
L1 La Lb L2 Lb Lc M Lb
Fig-bu :1 L ad d 1 it L bd (id 1 i2 ) t (L a L b )d d 1 it L bd d 2it
(b)
空心变压器电路
R 1j L 1I1j M I2U S
jM I1R 2jL 2 Z LI2 0I1 R1
I 2 R2
第十章--含有耦合电感的电路
正值表示自感磁链与互感磁链方向一致，互感起
增助作用，负值表示自感磁链与互感磁链方向相 反，互感起削弱作用。
2024年7月17日星期
11
三
3. 同名端的概念及其判断方法！
通过线圈的绕向、 位置和施感电流的
F12
参考方向，用右手
螺旋法则，就可以 F11 判定互感是“增助”
还是“削弱” 。
但实际的互感线圈 往往是封闭的，看 不出绕向；
三
§10-1 互感
1. 互感的概念 一个电感线圈的情况
L1 N1
i1产生的磁通为F11。
i1与F11的参考方向符 F11
合右手螺旋法则，为
关联的参考方向。
i1
1' -
u11
1 +
F11穿越自身线圈时，
产生的自感磁通链用
若u11与i1取关联参考方向
Y11表示：Y11= L1i1
当i1变化时，将产生 自感电压u11。
第十章 含有耦合电感的电路
学习要点 熟练掌握互感的概念； 具有耦合电感电路的计算方法：
①直接列写方程的支路法或回路法。 ②受控源替代法。 ③互感消去法。 掌握空心变压器和理想变压器的应用。
2024年7月17日星期
1
三
重点
互感和互感电压的概念及同名端的含义； 含有互感电路的计算； 空心变压器和理想变压器的电路模型。
名端要用不同的符号一对一对标记。
L2
M
L1 *
* L2
2'பைடு நூலகம்
1 i1
+
M
i2 2
+
M
L3 M
u1
-
L1
1'
电路分析基础第10章 含有耦合电感的电路
+
2
线圈彼此耦合的情况:
线圈1中的电流i1产生自感磁通链ψ11和互感 磁通链ψ21, 同样线圈2中的电流i2也产生自感磁通 链ψ22和互感磁通链ψ12 （图中未标出）.
L1
N1
L2
N2
11
i1 i1
21
2‘ _
i2
1‘
1
u21
+
2
L1
N1
L2
N2
11
i1 i1
21
2‘ _
i2
1‘
1
u21
22 L2i2
12 M12i2 21 M 21i1 互感磁通链 上式中M12和M21称为互感系数，简称互感。
互感用符号M表示，单位为:亨利H。 由于互感具有互易性质，即M12= M21 ， 当只有两个线圈耦合时，可略去下标，统一使用M。
两个耦合线圈的磁通链可表示为：
1 11 12
d 1 di1 di2 u1 L1 M dt dt dt d 2 di1 di2 u2 M L2 dt dt dt
令自感电压 互感电压
di1 u11 L1 dt di2 u12 M dt
u 22
di2 L2 dt
di1 u 21 M dt
di2 u 22 L2 自感电压 dt di1 u 21 M 互感电压 dt 说明 u12是变动电流i2在L1中产生的互感电压，
Z1 R1 j ( L1 M )
u
R1 u1
L1
M
R2
u2
L2
Z 2 R2 j ( L2 M )
而
Z Z1 Z 2 R1 R2 j ( L1 L2 2M )
(整理)含有耦合电感的电路(学生用)
-------------第十章 含有耦合电感的电路§1. 耦合电感器与互感电压 一、耦合电感器──如果电感器L 1，L 2之间有公共磁通相交链，这两个电感器就构成一个耦合电感器。
有公共磁通交链 二、耦合电感器中的自感与互感 1、 自感与互感 11φ──自感磁通21φ──互感磁通（同时交链N 1，N 2） 1L φ──漏磁通)(211111111φφφψ+==L N N电感器1的自感：11111111i N i L φψ=∆=电感器2与1的互感（mutual inductance ）121212121i N i M φψ=∆注2，21φ的方向与电感器2导线的绕向无关。
1 1’2 2’1L 11’22’11-------------22φ──自感磁通 12φ──互感磁通2L φ──漏磁通)(122222222φφφψ+==L N N电感器2的自感：22222222i N i L φψ=∆电感器1与2的互感212121212i N i M φψ=∆同样，12φ的方向与电感器1导线的绕向无关。
物理学中已证明。
M M M ∆=2112单位：亨利H 2. 耦合系数k──表明两个电感器之间磁耦合的紧密程度。
22211112ψψψψ⋅∆k21 L L M k =),,,(12121222221111Mi Mi i L i L ====ψψψψ1≤k1=k ──全耦合电感器（相当于021==L L φφ无漏磁通） 实际中：当双线并绕时，耦合最强，1→k 。
当两个耦合电感器相距甚远，或彼此垂直时，其间耦合较弱，0→k 。
11’22’⎩⎨⎧><称强耦合时称弱耦合时,5.0,5.0k k21112111Mi i L +=+=ψψψ 12221222Mi i L +=+=ψψψ表明：在该种绕线方式中，互感磁链与自感磁链方向一致，称为互感的“增助”作用。
改变电感器2的绕线方式：31113111Mi i L -=-=ψψψ 13331333Mi i L -=-=ψψψ表明：在这种绕线方式中，互感磁链与自感磁链方向相反，称为互感的“削弱”作用。
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Chapter 10 含有耦合电感的电路 主要内容1.互感；2.含有耦合电感电路的分析计算;3.空心变压器;4.理想变压器。
§10-1 互感1.磁耦合：载流线圈之间通过彼此的磁场相互联系的物理现象。
⎩⎨⎧=Φ=ψ→Φ→=Φ=ψ→Φ→12121221211111111111 i M N i L N i 互感磁通链互感磁通自感磁通链自感磁通施感电流⎩⎨⎧=Φ=ψ→Φ→=Φ=ψ→Φ→21212112122222222222 i M N i L N i 互感磁通链互感磁通自感磁通链自感磁通施感电流 可以证明，M M M ==2112 (两个线圈耦合时的互感系数)2.两个线圈耦合时的磁通链：()()21212122212222112121112111,, i i f i M i L ΨΨΨi i f i M i L ΨΨΨ=±=+==±=+=① 磁通链与施感电流成线性关系，是各施感电流独立产生的磁通链叠加的结果。
② M 前“+”号表示互感磁通与自感磁通方向一致，称为互感的“增助”作用；“-”号则相反，表示互感的“削弱”作用。
③ 同名端：在两个耦合的线圈中各取一端子，并用“·”或“*”表示，且当一对 施感电流 1i 和 2i 从同名端流进（出）各自的线圈时，互感起增助作用。
a , 根据它们的绕向和相对位置判断；b , 实验方法判断；④ 多个线圈耦合时：∑≠+=k j kjkk k ΨΨΨ kj Ψ与kk Ψ同向取“+”，反之取“-”。
例10-1：互感耦合电路中()H M H L H L A t i A i 1 ,3 ,2 ,10cos 5 ,102121=====,求两耦合线圈中的磁通链。
解： 1i 、2i 都是从标记的同名端流进，互感“增助”，则(); 10cos 15 ; 2022221111W b t i L ΨW b i L Ψ==== (); 10 ; 10cos 5121212W b Mi ΨW b t Mi Ψ==== ∴ ()W b t ΨΨΨ10cos 52012111+=+= ()W b t ΨΨΨ10cos 151022212+=+=例10-2：线圈的绕向及相互位置如下图，判断i M 的正负。
3.两个线圈中的感应电压：设 21,L L 中电压和电流 11,i u 和 22,i u 都取关联参考方向，有212212222121121111 ;u u dt di M dt di L dt d u u u dt di M dt di L dt d u ±=±=ψ=±=±=ψ=互感电压dt di M u 212= 是 2i 在 1L 中产生的互感电压； 互感电压 dt di M u 121= 是 1i 在 2L 中产生的互感电压。
① ① 耦合电感的电压是自感电压和互感电压的叠加；② ② 如果j u 、j i ,2,1=j 为关联参考方向，则自感电压jj u 取“+”，反之取“-”；③ ③ 如果互感电压“+”极性端与产生它的电流的流入端为一对同名端，互感电压取“+”，反之取“-”。
例10-3：求例10-1中两耦合电感的端电压 21 ,u u 。
解：()V t dt di M dt di L u 10sin 502111-=+=; 互感电压()V t dt di M dt di L u 10sin 1501222-=+=; 自感电压a , 不变的直流 1i 虽产生自感磁通链 11ψ 和互感磁通链 21ψ，但不产生自感电压 11u 和互感电压 21u ；b , 121u u =, 只含有互感电压，是由 2i 产生的；c , 222u u =, 只含有自感电压，也是由 2i 产生的。
例10-4：根据图中“同名端”，写出感应电压表达式。
例10-5：电路如下图，试确定开关打开瞬间，2，2， 间电压的真实极性。
解：假定 i 及 M u 的参考方向如图中所示，则根据同名端定义，dt di M u M =，S 打开瞬间, dt di ＜0, ∴ M u ＜0。
4.耦合电感的等效受控源电路⎩⎨⎧+=+=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=1222211112222111 I M j I L j U I M j I L j U dt di M dt di L u dt di M dt di L u ωωωωM M j Z M ωω , = 为互感抗5.耦合系数1 2122112112≤⇒ψψψψL L M def K def K① 紧密耦合K →1,如电力变压器、无线电技术（采用铁磁材料）； ② 采用屏蔽合理布置线圈可使K →0,减小互感作用。
§10-2 含有耦合电感电路的计算含有耦合电感电路的正弦稳态分析可采用相量法。
KCL 的形式不变，但KVL 的表达式中应计入互感作用引起的互感电压，相当于电路中有电流控制电压源（CCVS ）。
1.电感串联①① 反向串联（反接，互感起“削弱” 作用），同名端相接a .()dt di M L i R dt di M dt di L i R u -+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=11111()dt di M L i R dt di M dt di L i R u -+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=22222()()dt di M L L i R R u u u 2 212121-+++=+= 0221≥-+=M L L L eq b .()[]()M L j R Z I Z I M L j R U -+==-+=1111111 , ωω()[]()M L j R Z I Z I M L j R U -+==-+=2222222 , ωω ;()[]()()M L L j R R Z I Z I M L L j R R U 2 , 221212121-+++==-+++=ωω ;()Z U M L L j R R U I =-+++=22121ω 反接，类似于串联电容，常称为互感的“容性 ”效应。
② 顺向串联（顺接，互感起“增助”作用），异名端相接a .()dt di M L i R dt di M dt di L i R u ++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=11111()dt di M L i R dt di M dt di L i R u ++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=22222()()dt diM L L i R R u u u 2 212121++++=+=M L L L eq 221++= b .()[]()M L j R Z I Z I M L j R U ++==++=1111111 , ωω()[]()M L j R Z I Z I M L j R U ++==++=2222222 , ωω ;()[]()()M L L j R R Z I Z I M L L j R R U 2 , 221212121++++==++++=ωω ;Z U I = 例10-6：反接耦合电路中 , 5.12 , 5, 5.7 , 3 , 502211Ω=Ω=Ω=Ω==L R L R V U ωωΩ=8 M ω, 求耦合系数k 和各支路的复功率 1S 和 2S 。
解：① 826.05.125.78 2121=⨯==L L M L L M def k ωωω② ()Ω︒-∠=-=-+= 46.904.35.03111j M L j R Z ω（容性）()Ω︒∠=+=-+= 4273.65.45222j M L j R Z ω（感性）Ω︒∠=+=+= 57.2694.84821j Z Z Z令 V U050︒∠= , 电流 I 为 A Z U I 57.2659.557.2694.8050︒-∠=︒∠︒∠==∴ ()VA j Z I S 63.1575.93121-==()VA j Z I S 63.14025.156222+==电源发出的复功率 ()21 125250 S S VA j I U S +=+==2.电感并联① ① 同侧并联（同名端连接在同一个结点上）()()⎪⎩⎪⎨⎧+=++=+=++=22122212112111 I Z I Z I L j R I M j U I Z I Z I M j I L j R U M M ωωωω (原电路相量关系) 其中M j Z L j R Z L j R Z M , , 222111ωωω=+=+=∴U Y Z Z Y Z U Z Z Z Z Z I U Y Z Z Y Z U Z Z Z Z Z I M M M M M M M M 122122112221222121 1 , 1--=--=--=--= U Z Z Z Z Z Z I I I M M 221212132--+=+= 式中 22111 , 1Z Y Z Y ==, ∴ ()[]()[]⎪⎩⎪⎨⎧-++=-++=22231113 I M L j R I M j U I M L j R I M j U ωωωω （去耦等效电路相量关系） ⇒ M L M L L M L L =-='-='32211, , (同侧并联替代电感) ②异侧并联（异名端连接在同一个结点上）()()⎪⎩⎪⎨⎧+-=++-=-=-+=22122212 112111 I Z I Z I L j R I M j U I Z I Z I M j I L j R U M M ωωωω (原电路相量关系) 其中M j Z L j R Z L j R Z M , , 222111ωωω=+=+=∴U Y Z Z Y Z U Z Z Z Z Z I U Y Z Z Y Z U Z Z Z Z Z I M M M M M M M M 122122112221222121 1 , 1-+=-+=-+=-+= U Z Z Z Z Z Z I I I M M 221212132-++=+=式中22111 , 1Z Y Z Y ==, ∴ ()[]()[]⎪⎩⎪⎨⎧+++-=+++-=22231113 I M L j R I M j U I M L j R I M j U ωωωω（去耦等效电路相量关系） ⇒ M L M L L M L L -=+='+='32211, , (异侧并联替代电感) 例10-7：同侧并联耦合电路中，设正弦电压Ω=Ω== 5.7 , 3, 5011L R V U ω,Ω=Ω=Ω= 8 , 5.12 , 522M L R ωω, 求支路1、2吸收的复功率 1S 和 2S 。
解；令 V U050︒∠= , 按以上公式有 ()S j j Y 069.0028.05.12512-=+=A U Y Z Z Y Z U Z Z Z Z Z I M M M M 33.5939.41221222121︒-∠=--=--= A M j I Z U I 1.10199.11112︒-∠=-=ω()VA j I U S 74.18897.111 *11+== ()VA j I U S 5.9335.34 *22+-== ③ 有公共端的耦合电感的T 形等效电路a .同名端相接),,(21M L L M L M L L c b a -==-=b .异名端相接),,(21M L L M L M L L c b a +=-=+=§10-3 空心变压器特点：松耦合，可用耦合电感作为模型()()⎪⎩⎪⎨⎧=+=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++++=++0 0 222112111222112111I Z I Z U I Z I Z I jX R L j R I M j U I M j I L j R M M L L ωωωω 其中 M j Z jX R L j R Z L j R Z M L L , , 22221111ωωω=+++=+= 解得：2221112221111 ) ( Y M Z U Y Z Z U I M ω+=-=1222221112211222111112221112 ) ( ) ( I MY j Y M Z U Y M j Y M Z U Y M j Y Z Z U Y Z I M M ωωωωω-=+-=+-=--=由以上分析可得如下的简化分析方法。