江苏省苏州市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷

高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题列出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将符合要求的答案涂在答题卷上）1．（4分）若集合M={x|2﹣x＜0}，N={x|x﹣3≤0}，则M∩N为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，3]B．（﹣∞，3]C．（2，3]D．（1，3] 2．（4分）“”是“A=30°”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也必要条件3．（4分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）内单调递增的是（）A．y=x3B．y=|x|+1 C．y=﹣x2+1 D．y=2﹣x 4．（4分）已知sinα=，α是第二象限的角，则cos（π﹣α）=（）A．B．C．D．5．（4分）已知f（x）=，若f（x）=3，则x的值为（）A．1或B．±C．D．1或或6．（4分）将函数y=sin（2x+）图象上的所有点向左平移个单位，得到的图象的函数解析式是（）A．y=sin（2x+）B．y=sin（2x+）C．y=sin（2x﹣）D．y=sin2x7．（4分）△ABC中，已知a=2，b=2，A=60°，则B=（）A．60°B．30°C．60°或120°D．120°8．（4分）若x满足不等式|2x﹣1|≤1，则函数y=（）x的值域为（）A．[0，）B．（﹣∞，]C．（0，1]D．[，1]9．（4分）函数在区间[5，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．[6，+∞）B．（6，+∞）C．（﹣∞，6]D．（﹣∞，6）10．（4分）设f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），其中a，b，α，β均为非零实数，若f=﹣1，则f等于（）A．﹣1 B．1C．0D．2二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将答案填写在题中横线上）11．（4分）函数的定义域是．12．（4分）若sinα+2cosα=0，则sin2α﹣sinαcosα=．13．（4分）已知f（x）是以2为周期的奇函数，在区间[0，1]上的解析式为f（x）=2x，则f （11.5）=．14．（4分）f（x）是R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=2x+1，若f（m）=5，则m的值为．15．（4分）某项工程的流程图如图（单位：天）：根据图，可以看出完成这项工程的最短工期是天．三、解答题（本大题共8小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（8分）计算：log24+（﹣1）0﹣（）+cos．17．（10分）设a，b，c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边，S是△ABC的面积，已知a=4，b=5，S=5．（1）求角C；（2）求c边的长度．18．（12分）已知函数f（x）=a+b x（b＞0，b≠1）的图象过点（1，4）和点（2，16）．（1）求f（x）的表达式；（2）解不等式f（x）＞（）；（3）当x∈（﹣3，4]时，求函数g（x）=log2f（x）+x2﹣6的值域．19．（12分）设f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，当a，b∈（0，+∞）时，均有f（a•b）=f（a）+f（b），已知f（2）=1．求：（1）f（1）和f（4）的值；（2）不等式f（x2）＜2f（4）的解集．20．（12分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期：（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．22．（14分）已知函数f（x）=x2+（a+1）x﹣b2﹣2b，且f（x﹣1）=f（2﹣x），又知f（x）≥x 恒成立．求：（1）y=f（x）的解析式；（2）若函数g（x）=log2[f（x）﹣x﹣1]，求函数g（x）的单调区间．23．（14分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．江苏省苏州市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题列出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将符合要求的答案涂在答题卷上）C．BB．A．C．A．7．（4分）△ABC中，已知a=2，b=2，A=60°，则B=（）A．60°B．30°C．60°或120°D．120°考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由正弦定理可得：sinB==，B=30°+k360°或B=150°+k360°，k∈Z，由0＜B＜180°，a=2＞b=2，即可求B的值．解答：解：∵由正弦定理可得：sinB====sin30°．∴B=30°+k360°或B=150°+k360°，k∈Z，又∵0＜B＜180°，a=2＞b=2，∴由大边对大角可得：0＜B＜60°，∴B=30°．故选：B．点评：本题主要考察了正弦定理，三角形中大边对大角等知识的应用，属于基础题．8．（4分）若x满足不等式|2x﹣1|≤1，则函数y=（）x的值域为（）A．[0，）B．（﹣∞，]C．（0，1]D．[，1]考点：函数的值域．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由不等式可得0≤x≤1；从而化简求函数的值域．解答：解：由不等式|2x﹣1|≤1解得，0≤x≤1；则≤≤1；故函数y=（）x的值域为[，1]；故选D．9．（4分）函数在区间[5，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．[6，+∞）B．（6，+∞）C．（﹣∞，6]D．（﹣∞，6）考点：复合函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：令t=x2﹣2（a﹣1）x+1，则二次函数t的对称轴为x=a﹣1，且f（x）=g（t）=2t，故函数t在区间[5，+∞）上是增函数，故有a﹣1≤5，由此求得a的范围．解答：解：令t=x2﹣2（a﹣1）x+1，则二次函数t的对称轴为x=a﹣1，且f（x）=g（t）=2t，根据f（x）在区间[5，+∞）上是增函数，故二次函数t在区间[5，+∞）上是增函数，故有a﹣1≤5，解得a≤6，故选：C．点评：本题主要考查复合函数的单调性、二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．10．（4分）设f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），其中a，b，α，β均为非零实数，若f=﹣1，则f等于（）A．﹣1 B．1C．0D．2考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：把x=2012，f=﹣1代入已知等式求出asinα+bcosβ的值，再将x=2013及asinα+bcosβ的值代入计算即可求出值．解答：解：由题意得：f=asin+bcos=asinα+bcosβ=﹣1，则f=asin+bcos=﹣（asinα+bcosβ）=1，故选：B．点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将答案填写在题中横线上）11．（4分）函数的定义域是（0，1]．12．（4分）若sinα+2cosα=0，则sin2α﹣sinαcosα=．解答：解：∵sinα+2cosα=0，∴移项后两边同除以cosα可得：tanα=﹣2，∴由万能公式可得：sin2α===﹣，cos2α===﹣，∴sin2α﹣sinαcosα==﹣=．13．（4分）已知f（x）是以2为周期的奇函数，在区间[0，1]上的解析式为f（x）=2x，则f （11.5）=﹣1．考点：函数的周期性．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由f（x）是以2为周期的奇函数知f（11.5）=﹣f（0.5）=﹣1．解答：解：∵f（x）是以2为周期的奇函数，∴f（11.5）=f（12﹣0.5）=f（﹣0.5）=﹣f（0.5）=﹣1；故答案为：﹣1．点评：本题考查了函数的性质的应用，属于基础题．14．（4分）f（x）是R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=2x+1，若f（m）=5，则m的值为±2．考点：函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性的性质进行求解即可．解答：解：若m≥0，则由f（m）=5得f（m）=2m+1=5，即2m=4，解得m=2，∵f（x）是偶函数，∴f（﹣2）=f（2）=5，则m=±2，故答案为：±2点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，解方程即可，比较基础．15．（4分）某项工程的流程图如图（单位：天）：根据图，可以看出完成这项工程的最短工期是7天．考点：流程图的作用．专题：图表型．分析：本题考查的是根据实际问题选择函数模型的问题．在解答时，应结合所给表格分析好可以合并的工序，注意利用优选法对重复的供需选择用时较多的．进而问题即可获得解答．解答：解：由题意可知：工序①→工序②工时数为2；工序②→工序③工时数为2．工序③→工序⑤工时数为2，工序⑤→工序⑥工时数为1，所以所用工程总时数为：2+2+2+1=7天．故答案为：7．点评：本题考查的是工序流程图（即统筹图），在解答的过程当中充分体现了优选法的利用、读图表审图表的能力以及问题的转化和分析能力，属于基础题．三、解答题（本大题共8小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（8分）计算：log24+（﹣1）0﹣（）+cos．考点：有理数指数幂的化简求值．专题：计算题．分析：根据指数幂的运算性质进行计算即可．解答：解：原式====1．点评：本题考查了指数幂的运算性质，是一道基础题．17．（10分）设a，b，c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边，S是△ABC的面积，已知a=4，b=5，S=5．（1）求角C；（2）求c边的长度．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）由题意和三角形的面积公式求出，由内角的范围求出角C；（2）由（1）和余弦定理求出c边的长度．解答：解：（1）由题知，由S=absinC得，，解得，又C是△ABC的内角，所以或；（2）当时，由余弦定理得==21，解得；当时，=16+25+2×4×5×=61，解得．综上得，c边的长度是或．点评：本题考查余弦定理，三角形的面积公式的应用，注意内角的范围．18．（12分）已知函数f（x）=a+b x（b＞0，b≠1）的图象过点（1，4）和点（2，16）．（1）求f（x）的表达式；（2）解不等式f（x）＞（）；（3）当x∈（﹣3，4]时，求函数g（x）=log2f（x）+x2﹣6的值域．考点：指数函数的图像与性质；指数函数的图像变换．专题：函数的性质及应用．分析：（1）把点代入即可求出f（x）的表达式，（2）根据指数的单调性，原不等式转化为2x＞x2﹣3，解不等式即可；（3）根据对数函数的图象和性质，函数g（x）转化为g（x）=（x+1）2﹣7，根据定义域即可求出值域解答：解：（1）由题知解得或（舍去）∴数f（x）=4x，（2）f（x）＞（），∴4x＞（），∴22x＞∴2x＞x2﹣3解得﹣1＜x＜3∴不等式的解集为（﹣1，3），（3）∵g（x）=log2f（x）+x2﹣6=log24x+x2﹣6=2x+x2﹣6=（x+1）2﹣7，∴x∈（﹣3，4]，∴g（x）min=﹣7，当x=4时，g（x）max=18∴值域为[﹣7，18]点评：本题考查了指数函数的图象和性质，属于基础题19．（12分）设f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，当a，b∈（0，+∞）时，均有f（a•b）=f（a）+f（b），已知f（2）=1．求：（1）f（1）和f（4）的值；（2）不等式f（x2）＜2f（4）的解集．考点：抽象函数及其应用；函数单调性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）由f（a•b）=f（a）+f（b），令a=b=1得，令a=b=2，从而解得．（2）化简f（x2）＜2f（4）得f（x2）＜f（16）；从而由函数的单调性求解．解答：解：（1）∵f（a•b）=f（a）+f（b），令a=b=1得，f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0；令a=b=2，则f（4）=f（2）+f（2）=2；（2）∵f（x2）＜2f（4），∴f（x2）＜f（16）；∵f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，∴0＜x2＜16；故﹣4＜x＜0或0＜x＜4；故不等式f（x2）＜2f（4）的解集为（﹣4，0）∪（0，4）．点评：本题考查了抽象函数的应用及单调性的应用，属于基础题．20．（12分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期：（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．考点：三角函数的周期性及其求法；两角和与差的余弦函数；三角函数的最值．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）利用两角和公式和二倍角公式对函数的解析式进行化简整理后，利用正弦函数的性质求得函数的最小正周期．（Ⅱ）利用x的范围确定2x+的范围，进而利用正弦函数的单调性求得函数的最大和最小值．解答：解：（Ⅰ）∵，=4cosx（）﹣1=sin2x+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+），所以函数的最小正周期为π；（Ⅱ）∵﹣≤x≤，∴﹣≤2x+≤，∴当2x+=，即x=时，f（x）取最大值2，当2x+=﹣时，即x=﹣时，f（x）取得最小值﹣1．点评：本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值．解题的关键是对函数解析式的化简整理．22．（14分）已知函数f（x）=x2+（a+1）x﹣b2﹣2b，且f（x﹣1）=f（2﹣x），又知f（x）≥x 恒成立．求：（1）y=f（x）的解析式；（2）若函数g（x）=log2[f（x）﹣x﹣1]，求函数g（x）的单调区间．考点：对数函数的图像与性质；函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由f（x﹣1）=f（2﹣x），得出f（x）的对称轴，求出a的值，再由f（x）≥x恒成立，△≤0，求出b的值即可；（2）求出g（x）的解析式，利用复合函数的单调性，判断g（x）的单调性与单调区间．解答：解：（1）∵f（x﹣1）=f（2﹣x），∴f（x）的对称轴为x=；…（1分）又∵函数f（x）=x2+（a+1）x﹣b2﹣2b，∴﹣=，解得a=﹣2，∴f（x）=x2﹣x﹣b2﹣2b；…（1分）又∵f（x）≥x恒成立，即x2﹣x﹣b2﹣2b≥x恒成立，也即x2﹣2x﹣b2﹣2b≥0恒成立；∴△=（﹣2）2﹣4（﹣b2﹣2b）≤0，…（1分）整理得b2+2b+1≤0，即（b+1）2≤0；∴b=﹣1，…（2分）∴f（x）=x2﹣x+1；…（1分）（2）∵g（x）=log2[x2﹣x+1﹣x﹣1]=log2（x2﹣2x），…（1分）令u=x2﹣2x，则g（u）=log2u；由u=x2﹣2x＞0，得x＞2或x＜0，…（2分）当x∈（﹣∞，0）时，u=x2﹣2x是减函数，当x∈（2，+∞）时，u=x2﹣2x是增函数；…（2分）又∵g（u）=log2u在其定义域上是增函数，…（1分）∴g（x）的增区间为（2，+∞），减区间为（﹣∞，0）．…（2分）点评：本题考查了函数的图象与性质的应用问题，也考查了不等式恒成立的应用问题，是综合性题目．23．（14分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．考点：函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．专题：应用题．分析：（Ⅰ）根据题意，函数v（x）表达式为分段函数的形式，关键在于求函数v（x）在20≤x≤200时的表达式，根据一次函数表达式的形式，用待定系数法可求得；（Ⅱ）先在区间（0，20]上，函数f（x）为增函数，得最大值为f=1200，然后在区间[20，200]上用基本不等式求出函数f（x）的最大值，用基本不等式取等号的条件求出相应的x值，两个区间内较大的最大值即为函数在区间（0，200]上的最大值．解答：解：（Ⅰ）由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v（x）=ax+b 再由已知得，解得故函数v（x）的表达式为．（Ⅱ）依题并由（Ⅰ）可得当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200当20≤x≤200时，当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立．所以，当x=100时，f（x）在区间在区间[0，200]上取得最大值为，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．答：（Ⅰ）函数v（x）的表达式（Ⅱ）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．点评：本题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力，属于中等题．。