5.1认识二元一次方程组

北师版八年级数学
第五章二元一次方程组
5.1认识二元一次方程组
花溪第三中学罗香红
一、学生起点分析
在学习本节之前，学生已经掌握了有理数、整式的运算、一元一次方程等知识，具备了进一步学习二元一次方程及二元一次方程组的基本能力.
二、学习任务分析
《认识二元一次方程组》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第五章《二元一次方程组》的第一节，本节内容安排1个课时完成.具体内容是：让学生通过对实际问题的分析，体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型；同时了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等有关概念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解.
二元一次方程是继一元一次方程后，又一个体现符号表示思想的内容，它是刻画现实世界的一个有效数学模型，在数学上有着广泛的应用，同时也是学习物理、化学等其他学科知识的一个重要基础.它既是一元一次方程知识的延伸和拓广，又是今后学习一般线性方程组及平面解析几何等知识的基础，具有承上启下的作用.
基于学生对一元一次方程理解的基础上，教科书从实际问题出发，通过引导学生经历自主探索和合作交流的活动，类比一元一次方程学习二元一次方程、二元一次方程组及其解等基本概念.在学习过程中，要突出强调建模思想，展现方程是刻画现实世界的有效数学模型.
三、学习目标分析
1.学习目标
知识与技能：了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等有关概念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解.
过程与方法：通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型。

情感态度价值观：⑴培养学生良好的数学应用意识。

⑵通过古代数学名题，展示我国古代数学的杰出成就，激发学生的
学习兴趣。

2.教学重点
理解二元一次方程、二元一次方程组等有关概念。

3.教学难点
让学生体会方程是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生良好的数学应用意识. 四、学习过程设计
（一）合作交流，探究新知
引例1.我国古算名题：
今有鸡兔同笼
上有三十五头
下有九十四足
问鸡兔各几何
师解释：各几何？
师：你会用学过的一元一次方程解决这个问题吗？
学生先独立思考，再同位交流，分享成果。

（一生口答）
解：设鸡x只，兔（35-x）只，则
2x+4(35-x)=94
师：能不能根据题意直接设两个未知数，来列出方程？
设鸡x只，兔y只，则(引导学生分析其中的等量关系)
上有三十五头，可得什么方程？ x+y=35
下有九十四足，可得什么方程？ 2x+4y=94
引例2.昨天，我们8个人去红山公园玩，有大人和儿童，买门票一共花了34元。

每张成人票5元，每张儿童票3元，你知道他们到底去了几个成人，几个儿童呢？
学生先独立思考，再同位交流。

方法1：设x个成人，（8-x）个儿童，则
5x+3(8-x)=34
方法2：设x个成人，y个儿童，则
x+y=8
5x+3y=34
师引导学生自主完成此题，可以列一元一次方程解决这个问题，也可以设两个未知数，
寻找两个等量关系来列出方程。

想一想：
2x+4(35-x)=94，5x+3(8-x)=34
这两个方程是什么方程？（学生回答：一元一次方程）
师：什么是一元一次方程？（学生回忆作答）
师强调：必须是整式方程。

x+y=35 x+y=8
2x+4y=94 5x+3y=34
师：上面所列方程各含有几个未知数?
含未知数的项的次数是多少?
学生同位讨论。

师：请同学们类比一元一次方程给它们起一个恰当的名字？
学生试着描述：①两个未知数
②所含未知数的项的次数都是 1
③整式方程
师追问：为什么是“所含未知数的项的次数”？
举反例：xy=1
练习：请判断下列各方程中，哪些是二元一次 方程，哪些不是？并说明理由.
⑴x+3y-9=0 ⑵3x 2-2y+12=0
⑶x 2+y=20 ⑷113=-y
x ⑸3a-4b=7 ⑹2x+10=0
议一议:
方程x+y=8和5x+3y=34中，x 所代表的对象相同吗？y 呢？
学生同位讨论。

师归纳：方程x+y=8和5x+3y=34中，x 、y 所代表的对象分别相同,因而x,y 必
须同时满足方程x+y=8 和5x+3y=34 ,把它们联立起来,得
｛34358
=+=+y x y x
定义：像这样共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程,叫做二元一
次方程组.
注意：1.方程组各方程中同一字母必须代表同一对象.
2.“共含有”
师：是否每个方程都要含有两个未知数？
举例：⎩
⎨⎧==;2,1y x • 试一试：请在自己的草稿纸上列举几个二元一次方程组.
• 练习：判断下列方程组是否是二元一次方程组：
1）⎩⎨⎧=+=-;1253,12y x y x （2）⎩⎨⎧=-=+;
53,12y x y x （3）⎩⎨⎧=+=-;153,37z y y x
（4）⎩⎨⎧==;2,1y x （5）⎪⎩
⎪⎨⎧=+=-;1283,52
y x y x （6）⎩⎨⎧=+=-.325,132b ab b a • 师：通过两题练习让学生理解二元一次方程组。

师：2x+4(35-x)=94，5x+3(8-x)=34
这两个一元一次方程同学们已经会解。

问：什么是方程的解？（学生回忆作答）
下面我们一起来探寻二元一次方程的解。

做一做：
⑴.x =6,y =2适合方程x +y =8吗？x =5,y =3呢？x =4,y =4呢？你还能找到其他x ,y 值适合x +y =8方程吗？
⑵. x =5, y =3适合方程5x +3 y =34吗？x =2, y =8呢？
⑶.你能找到一组值x , y 同时适合方程x + y =8和5x +3 y =34吗？
师生交流合作完成并归纳：
定义： 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的解.
如x =6, y =2是方程x + y =8的一个解，记作⎩⎨⎧==2,6y x ；同样，⎩
⎨⎧==3,5y x 也是方程x + y =8的一个解，同时⎩
⎨⎧==3,5y x 又是方程5x +3y =34的一个解.
定义： 二元一次方程各个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
例如，⎩⎨⎧==3,5y x 就是二元一次方程组⎩
⎨⎧=+=+3435,8y x y x 的解. 注：二元一次方程有无数解
然后，同样呈现一些辨析性练习：（投影）
1.下列四组数值中，哪些是二元一次方程13=-y x 的解？
（A ）⎩⎨⎧==;3,2y x （B ）⎩⎨⎧==;1,4y x （C ）⎩
⎨⎧==;3,10y x （D ）⎩⎨⎧-=-=.2,5y x 2.二元一次方程2832=+y x 的解有：
⎩⎨⎧==._____,5y x ⎩⎨⎧-==.2_____,y x ⎩⎨⎧=-=._______,5.2y x ⎪⎩
⎪⎨⎧==.37_____,y x 3.二元一次方程组⎩
⎨⎧==+x y y x 2,102的解是（ ） （A ）⎩⎨⎧==;3,4y x （B ）⎩⎨⎧==;6,3y x （C ）⎩⎨⎧==;4,2y x （D ）⎩
⎨⎧==.2,4y x 4.以⎩
⎨⎧==2,1y x 为解的二元一次方程组是（ ） （A ）⎩⎨⎧=-=-;13,3y x y x （B ）⎩
⎨⎧-=+-=-;53,1y x y x （C ）⎩⎨⎧-=+-=-;553,32y x y x （D ）⎩
⎨⎧=+-=-.53,1y x y x 5.写出一个以⎩⎨⎧-==3
,2y x 为解的二元一次方程组为 .
（答案不唯一）
意图：通过新课的讲解以及学生的练习，充分做到讲练结合，让学生更好巩固新知识. 同时渗透一些解题小技巧。

效果：通过本环节的讲解与训练，让学生对利用新知识解决一些简单问题有更加明确的认识，同时也尽量让学生明白知识点不是孤立的，需要前后联系，才能更好地处理一些新
问题.
（三）归纳总结、自我反思
1.本节课你有哪些收获？
2.你有哪些需进一步探究的问题？
学生同位讨论交流，请几生回答，师生共同归纳：
（四）布置作业：
基础性作业：书P106习题5.1第1、2、3题
发展性作业：书P106习题5.1第5题
送给同学们一个礼物：x+y=100
这是一个什么方程？
生答：二元一次方程
（五）板书设计：
5.1认识二元一次方程组
解：设鸡x只，兔（35-x）只，则设x个成人，（8-x）个儿童，则 1 方程的模型思想2x+4(35-x)=94 5x+3(8-x)=34 2.类比思想
设鸡x只，兔y只，则设x个成人，y个儿童，则
x+y=8 x+y=3
2x+4y=94 5x+3y=34
多!
教后反思：
本节课的教学紧紧围绕两个中心展开：
1.类比思想。

类比一元一次方程引入二元一次方程，类比方程的解引入二元
一次方程的解、二元一次方程组的解。

2.方程是刻画现实世界的有效数学模型。

在教学的最后环节通过习题的第二题，巧妙地渗透了二元一次方程与上一章学习的一次函数的联系，同时数形结合成功解决了为什么二元一次方程有无数解，并和学生一起初步了解了二元一次方程组解的情况，留给学生更多的探究空间。

整个学习过程，学生积极参与，思维活跃，目标达成度高，不同层次的学生都得到不同程度的发展。

通过古算名题（鸡兔同笼），展示我国古代数学的杰出成就，同时激发学生学习的兴趣。

课后通过反思，我觉得如果在课堂上能够把更多的空间留给学生，学生的收获会更。