高中数学选修2-3 北师大版 离散型随机变量及其分布列 ppt课件(49张)
(北师大版)数学选修2-3课件：第2章-离散型随机变量的均值ppt课件
(北师大版)数学选修2-3课件：第2章-离散型随机变量的方差ppt课件
高中数学北师大版选修2-3第2章第5节《离散型随机变量的均值》(共31张ppt)
解
用
X
、
1
X
和
2
X
分
3
别
表
示
三
种
方
案
的
损
失
.
于是 , EX 1 3 800(元 ),
EX2 62 000 PX2 62 000 2000 PX2 2000
62 000 0.01 2 000 1 0.01 2 600（ 元 ）,
EX3 60 000 PX3 60 000 10 000 PX3 10 000 0 PX3 0
均，这里的权数分别是 价格应该为：
，所以混合糖果的合1理, 1 , 1 236
18 1 24 1 36 1 23(元 / kg)
2
3
6
如果混合糖果中每颗糖果的质量都相等，你能解
释权数的含义吗？
这就是我们本节课所要学习的主要内容.
1.理解随机变量均值的概念.（重点） 2.初步学会应用随机变量的均值分析有关随机现象. 3.掌握离散型随机变量均值的求法. (难点）
它表示，在一次的抽取中，3件产品中平均有1.2 件是次品，而 1.2 4 ，相当于10件产品中有4件次品.
3 10
这样，平均数1.2就代表了“取次品问题”中随机变 量X的平均取值.
1.均值的概念
设随机变量X的可能取值为a1,a2, …,ar,取ai的概率为 pi(i=1,2,3,…,r) ,即X的分布列为：
实例分析
高二（1）班有45人，本学期期中考试数学平均
分为80分，高二（2）班有55人，平均分为90分，求 两班的数学平均分。 问题1：能否利用两个平均数相加除以二求平均数？ 如果不能，应该怎么做？
分析：两个平均数相加除以二显然不合适,可通过
高中数学选修2-3优质课件：离散型随机变量及其分布列
离散型随机变量及其分布列1.随机变量(1)定义：在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示.在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化.像这种随着整结果变化而变化的变量称为鰹壁(2)表示法:随机变量常用字母X，丫，f，〃，…表示.2.离散型随机变量所有取值可以一一列岀的随机变量，称为离散型随机变量.3.分布列的定义若离散型随机变量X可能取的不同值为兀1，兀2，…，5X取每一个值Xi(i=l,29…,兀)的概率P(X=Xi)=p i9以表格的形式表示如下:此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的含鯉4.分布列的性质(1”NO, Z=1,2,3 n1=15.两点分布称分布列为两点分布列•若随机变量X的分布列为一两点分布列，就称X服从两点分布，并称“=P（X=1）_为成功概率.6.超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取〃件，其中恰有X件次品，则P（x=k）= _______ 鱼,疋=0,1,2, •••, m,其中/w=min{M, n}9且MWN, n, M, NwZ.称分布列为超几何分布列•如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X月艮从_超几何分布【冷考龜鰹】离散型随机变量［例1］写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.(1)在含有10件次品的100件产品中，任意抽取4件, 可能含有的次品的件数X是随机变量;⑵一袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个,其中所含白球的个数e是一个随机变量.［解］⑴随机变量X可能的取值为：04,2,3,4. {X=0},表示抽出0件次品；{X=l},表示抽出1件次品；{X=2}f表示抽出2件次品；{X=3},表示抽出3件次品；{X=4},表示抽出的全是次品.(2)随机变量可能的取值为：04,2,3.K=o},表示取出o个白球, 3个黑球; 忙=1},表示取出1个白球, 2个黑球; K=2},表示取出2个白球, 1个黑球; K=3},表示取出3个白球, 0个黑球.这类问题主要考查随机变量的概念，解答过程中要明确随机变量满足的三个特征：（1）可用数来表示；（2）试验之前可以判断其可能出现的所有值；（3）在试验之前不能确定取值.［对点训练］判断下列各个变量是否是随机变量，若是，是否是离散型随机变量?⑴天成书业公司信息台一天接到的咨询电话个数;(2)从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张,被抽出卡片的号数;(3)某林场的树木最高达30 m,在此林场中任取一棵树木的高度；(4)体积为27 cm3的正方体的棱长.解：⑴接到的咨询电话的个数可能是0,1,2,3,…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量，并且是离散型随机变量.(2)被抽取的卡片号数可以一一列岀，符合离散型随机变量的定义，是离散型随机变量.(3)林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0,30］内的一切值,无法一一列岀，不是离散型随机变量.(4)体积为27 cm3的正方体的棱长为3 cm,为定值，不是随机变量•［例2］设随机变量X的分布列为比=|)=吨=1,2,3,4,5).⑴求常数"的值;(3)⑵求P\X^(1 7)⑶求缶＜Xv討55［解］⑴由P\^=i =必仇=1，2,3,4,5),可知工=》ak=I »丿k=l ' 丿k=\a+2a+3a+4«+5a = l,解得"=在］A k 3\ 3\(2)由⑴可知片X=j=左仇=1，2,3,4,5),所以P\X^^=P\X=^(4)3454+申可+P("1)在+計后p(1 7〕r n f 2)⑶％＜Xv帀=p+P3)+忙沪ii+4+4=在求解有关离散型随机变量性质的题目时，记准以下两条即可1 = 1,2,…，n；n(2)2j?z=l.1=1［对点训练］若离散型随机变量X的分布列为:试求出常数C.解：由离散型随机变量的分布列性质可知: P(X=O)+P(X=1)=1,1亠 2 即9C2-9C+3=1,得C=3或C=y(9C2-C^0,又因为〔3-8CM0,13 1解得所以C=y:型三离散型随机变量的分布列［例3］放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球的盒子中，已知红球个数是绿球个数的2倍，黄球个数是绿球个数的一半.现从中随机取出一个小球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得一1分，试写出从该盒中取出一球所得分数X的分布列.［解］设黄球有«个，则由题意知绿球有2n个，红球有4〃个，球的总数为7〃个.X的可能取值为一1,0,1.In 2所以从该盒中取出一球所得分数X的分布列为-101P 271747n 1 4n 4［类题通法］求离散型随机变量的分布列的步骤(1)明确随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义;(2)利用概率的有关知识求出随机变量取每个值的概率;(3)按规范形式写岀分布列.［对点训练］某班有学生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，型血的有15人.现从中抽1人，其血型为随机变量X,求X的分布列.题型四超几何分布的应用解：将O, A, B, 4B四种血型分别编号为1,2,3,4,则X的可能取值为1,2,3,4.De C；o 2 C%4P(X-l)-c i -^, P(X-2)-c i s-15，P(X=3)=^=余’P(X=4)=^=l故其分布列为［例4］在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张, 每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖品.(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X 的分布列；(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张,①求顾客乙中奖的概率;②设顾客乙获得的奖品总价值为y元，求丫的分布列.题型四超几何分布的应用［解］（1）抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X 的取值只有0和1两种情况.cl 4 22 3则P（X=O）=I—P（X=I）=I—因此X的分布列为(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖.故所求概率P=虫苧②Y 的所有可能取值为0,10,20,50,60,且 15 1 45_3‘ C}CJ 6 2 p(Y=50)=^=-=-c{cl 3 1p （y=io ）=^^= 5o 18_2 45=5, 尸(丫=20)=琴目= 5o 3 1 45一15’P(Y=60)=~^2^=5o45 15*此随机变量F的分布列为［类题通法］解决此类问题，先分析随机变量是否满足超几何分布,若满足超几何分布，则建立超几何分布列的组合关系式，求出随机变量取相应值的概率；否则直接利用概率公式和计数原理求随机变量取相应值的概率.在解题中不应拘泥于某一特定的类型.［对点训练］从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回的任取3 件，求取得次品数为X的分布列.解：设随机变量X表示取出次品的个数，则X服从超几何分布，其中N =15, M=2, w=3, X可能的取值为0丄2湘应的概率依次为所以随机变量X的分布列为【條対反績】1.袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码,任意抽取2个球，设2个球号码之和为y,则丿所有可能值的个数是（）A. 25B. 10C. 7D. 6解析：y的可自老取值为3,4,5,6,7,8,9,共7个.答案：c2. 一批产品共10件，次品率为20%,从中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为解析：由题意知10件产品中有2件次品，故所求概率为答案：BP(X=1)=^^=5o 16 45*28 A -- 入4517 D 453.某篮球运动员在一次投篮训练中的得分X的分布列如下表,其中a, b, c成等差数列，且c=ab,则这名运动员得3分的概率是 ____________解析：由题中条件，知2b=a+c f c=ab,再由分布列的性质, 知a+方+c = l,且a, b, c都是非负数，由三个方程联立成方程组，可解得"=£，方=扌’c=£,所以得3分的概率是”.答案応尖向上的概率为0.8,随机变量X 的分布列为 解析：随机变量X 服从两点分布，KP(X=0)+P(X=l)=l, 由 P(X=l)=0.8,可得 P(X=0) = l-0-8=0.2,故可写出 X 的分布列・ 答案:5.已知一批200件的待出厂产品中，有1件不合格品，现从中任意抽取2件进行检查，若用随机变量X 表示抽取的2件 产品中的次品数，求X 的分布列.4.在掷一枚图钉的随机试验中，令％=1(针尖向上), 0(针尖向下)，如果针解：由题意知，X服从两点分布，p(x=0)=^F=^, ~ 99 1所以P(X=1) = 1—硕=硕・所以随机变量X的分布列为。
北师大版高中数学选修2-3课件2.5 离散型随机变量 课件 2
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3
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6 20 15
【典例】(12分)(2011·无锡高二检测)交5元钱，可以参加 一次抽奖，一袋中装有同样大小的球10个，其中8个标有 “1元钱”，2个标有“5元钱”，抽奖者从中任取两个球， 他所得奖金是所抽两球上标的钱数之和，求抽奖人获利的 期望.
【审题指导】抽到的两个球上所标的钱数之和X是一个离散 型随机变量，且每一个X取值时所代表的随机事件的概率值 是可求的，但本题所求的是另一个离散型随机变量，即参 加抽奖的人获利Y的数学期望，Y与X的关系为Y=X-5，利 用公式Y=aX+b时EY=aEX+b可求得.
(2) EX 2 1 1 1 0 1 1 1 2 1 17 .
4
3 5 6 20 30
(3)方法一：由公式E(aX+b)=aEX+b
得EY=E(2X-3)=2EX-32= ( 17 ) 3 62 .
30
15
方法二：由于Y=2X-3，所以Y的分布列如下：
所以 EY 7 1 5 1 3 1 1 1 1 1 62 .
6
丙三位同学每人购买了一瓶该饮料. (1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率； (2)求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ.
【审题指导】问题(1)甲中奖且乙、丙都没有中奖为独立事 件可考虑利用独立事件的概率公式求解；问题(2)直接利用 n次独立重复试验概率公式P(ξ=k)= Cknpk(1-p)n-k,列出分 布列，求期望.
【规范解答】(1)记A表示事件：稿件能通过两位初审专家 的评审； B表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审； C表示事件：稿件能通过复审专家的评审； D表示事件：稿件被录用.
则D=A∪(BC)， P(A)=0.5×0.5=0.25,P(B)=2×0.5×0.5=0.5,P(C)=0.3, P(D)=P(A∪(BC)) =P(A)+P(BC) =P(A)+P(B)P(C) =0.25+0.5×0.3 =0.40.
2.1离散型随机变量课件 (北师大版选修2-3)
[例1]
判断下列各个变量是否是随机变量，若是，
是否是离散型随机变量？ (1)天成书业公司信息台一天接到的咨询电话个数； (2)从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一 张，被抽出卡片的号数； (3)某林场的树木最高达30 m，在此林场中任取一棵 树木的高度；
(4)体积为27 cm3的正方体的棱长．
1．随机变量的概念及其表示
(1)定义：随着 试验结果 的不同而变化的变量称为随 机变量． (2)表示：常用字母 X ， Y …等表示． 2．离散型随机变量
如果随机变量X的所有可能的取值都能 一一列举 出来，
则称X为离散型随机变量．
1．对随机变量的认识 (1)随机变量是用来表示不同试验结果的量． (2)试验结果和实数之间的对应关系产生了随机变量，
否则不是．
1．如果X是一个离散型随机变量且Y＝aX＋b，其中a，b 是常数且a≠0，那么Y A．不一定是随机变量 ( )
B．一定是随机变量，不一定是离散型随机变量
C．可能是定值 D．一定是离散型随机变量 解析：若X是离散型随机变量，根据函数的性质，则Y 必是离散型随机变量． 答案：D
2．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变 量的是 A．取到产品的件数 B．取到正品的概率 ( )
[思路点拨] 判断． 根据随机变量、离散型随机变量的定义
[精解详析]
(1)接到的ห้องสมุดไป่ตู้询电话的个数可能是
0,1,2,3，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量， 并且是离散型随机变量． (2)被抽取的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机 变量的定义，是离散型随机变量．
(3)林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0,30]
限个，或者说能将它的可能取值按一定次序一一列出．
高二数学选修2-3离散型随机变量及其分布列(2)_ppt
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6
12 34
1
1
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1
P(6)1 ξ的分布列
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1
1
形式 P 6
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6
6
该表不仅列出了随机变量 的所有取值． ξ的分布表
而且列出了 的每一个取值的概率．
建构定义
1.定义:概率分布（ ξ分布列与分布表）
设离散型随机变量ξ可能取的值为 x1,x2,x3, ,xi
ξ取每一个值 xi(i1,2, )的概率 P(xi)pi
（3）会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布；
新课导入
对于一个随机试验，仅仅知道试验的可能结果是不
够的，还要能把握每一个结果发生的概率.
引例：抛掷一枚骰子，所得的点数 有哪些值？ 取
每个值的概率是多少？
解： 的取值有1、2、3、4、5、6
则 P(1)1
6
P(2)1
6
P(3)1
6
列成 表的
P(4)1 P(5)1
1
2
3
4
1
P
6
1
1
p
3
6
则 p 的值为 1 ．
4.设随机变量
则 a 的值为
3
的分布列为
27
P(
i)a13i
,
i
1,2,3
13
．
1
0
1
5.设随机变量
则 q （
A、1
的分布为
D
B、1
）
2 2
C、
1
P
2 2
1 2
D、
1 2q 1 2
2
q2
6.设随机变量 只能取5、6、7、···、16这12个值，
高中数学选修2-3 北师大版 离散型随机变量的方差 ppt课件(44张)
1 2 1 2q q 1 2 【规范解答】由分布列性质知 q 2 1 0 1 2q 1 2 解得： q 1 . 2
1 3 EX 1 0 ( 2 1) 1 ( 2) 2 2
1 2.
1 3 2 2 DX (2 2) (1 2) ( 2 1) ( 2) ( 2) 2 1. 2 2
∴ξ的分布列为
由定义知：Eξ=0.2×(1+2+3+4+5)=3，………………10分 Dξ=0.2×(22+12+02+12+22)=2.…………………………12分
【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：
1.已知X的分布列为
则DX等于( (A)1.8
) (B)0.76 (C)3.6 (D)0.841
信息：
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪个单位？
【审题指导】可根据工资待遇情况，做出决策.可先对甲、
乙两单位的平均工资及稳定情况进行比较，转化为数学中 的均值与方差比较.
【规范解答】根据月工资的分布列，可算得, EX1=1 200×0.4+1 400×0.3+1 600×0.2+1 800×0.1= 1 400(元)， DX1=(1 200-1 400)2×0.4+(1 400-1 400)2×0.3+(1 6001 400)2×0.2+(1 800-1 400)2×0.1=40 000(元2)； EX2=1 000×0.4+1 400×0.3+1 800×0.2+2 200×0.1= 1 400(元)，
DX2=(1 000-1 400)2×0.4+(1 400-1 400)2×0.3+(1 8001 400)2×0.2+(2 200-1 400)2×0.1=160 000(元2)；
高中数学 北师大选修2-3 2.1离散型随机变量及其分布列
2、分布列的性质:
（1）pi 0, i 1, 2,
n
（2） pi p1 p2 pn 1 i 1
求离散型随机变量分布列的基本步骤： （1）确定随机变量的所有可能的值xi （2）求出各取值的概率P(X=xi)=pi （3）列出表格
定值 求概率 列表
说明：在写出X的分布列后，要及时检查所有的 概率之和是否为1．
掷一枚骰子 时,出现的点 数如何表示?
那么掷一枚硬 币的结果是否 也可以用数字 来表示呢?
以1和0表示 正面向上和 反面向上
0
1
某次产品检验，在可能含有次品的100件 产品中任意抽取4件，那么其中含有的次 品可能是0件，1件，2件，3件，4件，
即可能出现的 结果可以由0， 1，2，3，4这5 个数表示
性质3：离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于在这一范围内取每一 个值的概率之和
课堂练习：
1、随机变量x 的所有等可能取值为1, 2,3，…, n ，
若 Px 4 0.3，则（ C ）
A． n 3 B． n 4 C． n 10 D．不能确定 3
2、若随机变量ξ的分布列如下表所示，则常数a=___5__
例3、袋子中有3个红球，2个白球，1个黑球，这些球 除颜色外完全相同，现要从中摸一个球出来，若摸到
黑球得1分，摸到白球得0分，摸到红球倒扣1分，试写 出从该盒内随机取出一球所得分数X的分布列.
解：因为只取1球，所以X的取值只能是1，0，-1
P( X 1) 1 , P( X 0) 2 1 ,
若ξ是随机变量，则η=aξ+b（其中a、b是常数） 也是随机变量 ．
小结:
1.随机变量是随机事件的结果的数量化． 随机变量ξ的取值对应于随机试验的某一随机事件。
高中数学选修2-3：第五讲离散型随机变量及其分布列 含解析 精品
第五讲 离散型随机变量及其分布列【教材扫描】1．随机变量(1)定义：在一个对应关系下，随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量． (2)表示：随机变量常用字母X ，Y ，ξ，η等表示． 2．离散型随机变量如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X 为离散型随机变量． 3．随机变量和函数的关系随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映射为实数，函数把实数映射为实数．在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域． 4．离散型随机变量的分布列(1)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n, X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则称表：为离散型随机变量X 的概率分布列， 简称为X 的分布列．用等式可表示为P (X ＝x i )＝pi ，i ＝1,2，…，n, 也可以用图象来表示X 的分布列． （2）根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质： （1）0i p ≥，1,2,,i n =；（2）1nii p==∑1．5．两个特殊分布 (1)两点分布随机变量X 的分布列是：则称离散型随机变量X 服从两点分布，称p ＝P (X ＝1)为成功概率． (2)超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{X ＝k }发生的概率P (X ＝k )＝C k M C n －kN －M C n N，k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *，称分布列服从超几何分布．[点睛] (1)超几何分布的模型是不放回抽样．(2)超几何分布中的参数是M，N，n．(3)超几何分布可解决产品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、同学中的男和女等问题，往往由差异明显的两部分组成．【知识运用】题型一随机变量的理解【例1】(1)抛掷一枚均匀硬币一次，随机变量为( )A．抛掷硬币的次数B．出现正面的次数C．出现正面或反面的次数D．出现正面和反面的次数之和(2)6件产品中有2件次品，4件正品，从中任取1件，则可以作为随机变量的是( )A．取到的产品个数B．取到的正品个数C．取到正品的概率 D．取到次品的概率[解] (1)抛掷一枚硬币一次，可能出现的结果是正面向上或反面向上．以某一个为标准，如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0,1，故选B．而A项中抛掷次数就是1，不是随机变量；C项中标准不明；D项中，出现正面和反面的次数之和为必然事件，试验前便知是必然出现的结果，也不是随机变量．(2)由随机变量的定义知，随机变量是随机试验的结果，排除C、D项，又取到的产品个数是一个确定值，排除A项．故选B项．[答案] (1)B (2)B【变式】指出下列哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由：(1)某人射击一次命中的环数；(2)掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数；(3)某个人的属相随年龄的变化．(4)北京国际机场候机厅中2013年5月1日的旅客数量；(5)2013年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数；(6)2013年6月1日济南到北京的某次动车到北京站的时间；(7体积为1 000 cm3的球的半径长．解：(1)某人射击一次，可能命中的所有环数是0,1，…，10，而且出现哪一个结果是随机的，因此命中的环数是随机变量．(2)掷一枚骰子，出现的结果是1点，2点，3点，4点，5点，6点中的一个且出现哪一个结果是随机的，因此出现的点数是随机变量．(3)一个人的属相在他出生时就确定了，不随年龄的变化而变化，因此属相不是随机变量．(4)旅客人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(5)所查酒驾的人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(6)动车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量．(7)球的体积为1 000 cm3时，球的半径为定值，不是随机变量．题型二离散型随机变量的判定【例2】指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．(1)某座大桥一天经过的车辆数X；(2)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ；(3)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ.【变式】判断下列变量是否为离散型随机变量：(1)下节课外语老师提问学生的次数η；(2)同时掷两枚硬币得到硬币反面向上的个数X；(3)汽车的使用寿命Y；(4)小麦的单位面积产量X.【解】(1)(2)中的随机变量的取值均能一一列出，故为离散型随机变量．(3)(4)中的随机变量取值不能一一列出，故不是离散型随机变量．题型三：用随机变量表示试验的结果【例3】写出下列随机变量可能取的值，并说明这些值所表示的随机试验的结果．(1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，取后不放回，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数．(2)从标有数字1,2,3,4,5,6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和．[解] (1)设所需的取球次数为X, 则X＝1,2,3,4，...，10,11，X＝i表示前(i－1)次取到的均是红球，第i 次取到白球，这里i＝1,2,3,4， (11)(2)设所取卡片上的数字之和为X, 则X＝3,4,5， (11)X＝3, 表示“取出标有1,2的两张卡片”；X＝4, 表示“取出标有1,3的两张卡片”；X＝5, 表示“取出标有2,3或1,4的两张卡片”；X＝6, 表示“取出标有2,4或1,5的两张卡片”；X＝7, 表示“取出标有3,4或2,5或1,6的两张卡片”；X＝8, 表示“取出标有2,6或3,5的两张卡片”；X＝9, 表示“取出标有3,6或4,5的两张卡片”；X＝10, 表示“取出标有4,6的两张卡片”；X＝11, 表示“取出标有5,6的两张卡片”．[一题多变]1．[变条件]若本例(2)中条件不变，所取卡片上的数字之差的绝对值为随机变量ξ，请问ξ有哪些取值？其中ξ＝4表示什么含义？解：ξ的所有可能取值有：1,2,3,4,5．ξ＝4表示“取出标有1,5或2,6的两张卡片”．2．[变条件，变问法]甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”，用X表示需要比赛的局数，写出X所有可能的取值，并写出表示的试验结果．解：根据题意可知X的可能取值为4,5,6,7．X＝4表示共打了4局，甲、乙两人有1人连胜4局．X＝5表示在前4局中有1人输了一局，最后一局此人胜出．X＝6表示在前5局中有1人输了2局，最后一局此人胜出．X＝7表示在前6局中，两人打平，后一局有1人胜出．题型四求离散型随机变量的分布列【例4】（1）同时掷两枚质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数，求两枚骰子中出现的点数之差的绝对值X 的分布列；（2）袋中装有编号分别为1，2，3，4，5，6的同样大小的6个白球，现从袋中随机取3个球，设η表示取出的3个球中的最小号码，求η的分布列．【解析】（1）易知掷两枚质地均匀的骰子朝上一面出现的点数有36种等可能的情况，X的可能取值为0，1，2，3，4，5，如下表码，写出随机变量ξ的分布列．[解] 随机变量ξ的可能取值为3,4,5．当ξ＝3时，即取出的三只球中最大号码为3，则其他两只球的编号只能是1,2，故有P (ξ＝3)＝C 22C 35＝110；当ξ＝4时，即取出的三只球中最大号码为4，则其他两只球只能在编号为1,2,3的3只球中取2只， 故有P (ξ＝4)＝C 23C 35＝310；当ξ＝5时，即取出的三只球中最大号码为5，则其他两只球只能在编号为1,2,3,4的4只球中取2只，故有P (ξ＝5)＝C 24C 35＝610＝35．因此，ξ的分布列为ξ3 4 5 P110310352某班有学生45人，其中O 型血的有10人，A 型血的有12人，B 型血的有8人，AB 型血的有15人．现从中抽1人，其血型为随机变量X ，求X 的分布列．解：将O ，A ，B ，AB 四种血型分别编号为1,2,3,4，则X 的可能取值为1,2,3,4． P (X ＝1)＝C 110C 145＝29， P (X ＝2)＝C 112C 145＝415，P (X ＝3)＝C 18C 145＝845， P (X ＝4)＝C 115C 145＝13．故其分布列为X 1 2 3 4 P2941584513题型五 离散型随机变量分布列性质的应用【例5】（1）设随机变量ξ的分布列为()6k P mk ξ==，1,2,3,4,5,6k =，求常数m 及1()2P ξ≥； （2）已知X 是离散型随机变量，其分布列如下，求n 的值及(0)P X >．X 1-1 2P1313n 2n49【解析】（1）随机变量ξ的分布列为ξ16 13 12 23 561Pm 2m 3m 4m 5m 6m由234561m m m m m m +++++=，解得121m =． 故11256()()()()(1)1822367P P P P P m ξξξξξ≥==+=+=+===．【变式】已知随机变量X 的分布列如下表：则x 的值为________，P (23<X <92)＝________.【解析】 根据分布列的性质 115＋215＋x ＋415＋13＝1，解得，x ＝15. 当23<X <92时，X ＝1,2,3,4.∴P (23<X <92)＝1－P (X ＝5)＝1－13＝23. 【答案】 15 23题型六 两点分布的应用【例6】（1）不透明的袋中装有大小、形状完全相同的5个白球和4个红球，从中随机摸出两个球，记X =0,1,⎧⎨⎩两球颜色相同两球颜色不同，求随机变量X 的分布列； （2）已知一批200件的待出厂产品中有1件次品，现从中任意抽取2件进行检查，若用随机变量Y 表示抽取的2件产品中的次品数，求Y 的分布列．【变式】袋内有10个白球，5个红球，从中摸出2个球，记X ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，两球全红；1，两球非全红.求X 的分布列．【自主解答】 由题设可知X 服从两点分布 P (X ＝0)＝C 25C 215＝221，P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)＝1921.∴X 的分布列为题型七：超几何分布的应用【例7】生产方提供的某批产品共50箱，其中有2箱不合格品，采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格品，便接收该批产品．问该批产品被接收的概率是多少？【思路分析】将50箱产品看作50件“产品”，2箱不合格品看作2件“次品”，任取5箱中不合格品的箱数可以看作是任取5件“产品”中所含的次品数，根据公式可求概率． 【解析】从中随机抽取5箱，用X 表示“5箱中不合格品的箱数”， 则X 服从参数为50N =，2M =，5n =的超几何分布．该批产品被接收的条件是5箱中没有不合格品或只有1箱不合格品， 所以被接收的概率为(1)P X ≤，【变式】袋中有8个球，其中5个黑球，3个红球，从袋中任取3个球，求取出的红球数X 的分布列，并求至少有一个红球的概率．【自主解答】 X ＝0,1,2,3，X ＝0表示取出的3个球全是黑球，P (X ＝0)＝C 35C 38＝1056＝528，同理P (X ＝1)＝C 13·C 25C 38＝3056＝1528，P (X ＝2)＝C 23·C 15C 38＝1556，P (X ＝3)＝C 33C 38＝156.∴X 的分布列为至少有一个红球的概率为：P (X ≥1)＝1－28＝28.【强化练习】1．袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ的所有可能取值的个数是 A ．5B ．9C ．10D ．25B 【解析】号码之和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9个．故选B ．2．已知随机变量X 的分布列为()15k P X k ==，1,2,3,4,5k =A ．215B ．25C ．115D ．15D511521)2()1(=+==+=x P x P ，故选D ．3．已知X 是一个离散型随机变量，其分布列为则常数q 等于A ．1B CD C C ．4．一盒子中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则(4)P X ==A ．2201B．5527 C ．22027D ．2521 C 【解析】从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，当盒中旧球的个数为4X =时，相当于旧球的个数在原来3个的基础上增加了一个，所以取出的3个球中只有一个新球，即取出的3个球中有2个旧球、1个新球，所以C ．5如图所示，A ，B 两点由5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为ξ，则P (ξ≥8)＝____. 【答案】错误！未找到引用源。
高中数学 2.1 第2课时 离散型随机变量及其分布列课件 北师大版选修2-3
C2 7 7 P(X＝0)＝ 2＝ ， C9 12
1 C1 C 7 7 2 P(X＝2)＝ C2 ＝18， 9
C2 1 2 P(X＝4)＝ 2＝ . C9 36 故 X 的分布列为
X＝i P(X＝i)
0 7 12
2 7 18
4 1 36
离散型随机变量的性质及应用
C2 1 2 P(X＝4)＝C2＝36. 9 故 X 的分布列为
X＝i P(X＝i) 0 1 2 3 4
1 1 11 1 1 6 3 36 6 36
1．解答本题首先要明确 X 指的是什么，能取哪些值． 2．解答此类题目，要注意解题格式．
本例中，若每取到一个黑球得 0 分，每取到一个白球也 得 0 分，每取到一个红球得 2 分，其它条件不变，求 X 的分 布列． 【解】
1．离散型随机变量 随机变量的取值能够 一一列举出来 ， 这样的随机变量 称为离散型随机变量．
2．离散型随机变量 X 的分布列 (1)定义： 设离散型随机变量 X 的取值为 a1，a2，…，随机变量 X 取 ai 的概率为 pi(i＝1,2，…)，记作： P(X＝ai)＝pi(i＝1,2，…)，① 或把①式列成如下表格： X＝ai a1 a 2 …
判断下列变量是否为离散型随机变量： (1)下节课外语老师提问学生的次数 η； (2)同时掷两枚硬币得到硬币反面向上的个数 X； (3)汽车的使用寿命 Y； (4)小麦的单位面积产量 X.
【解】 (1)(2)中的随机变量的取值均能一一列出，故为 离散型随机变量． (3)(4)中的随机变量取值不能一一列出，故不是离散型随 机变量．
k 设随机变量 X 的分布列 P(X＝5 )＝ ak(k＝1,2,3,4,5)． (1)求常数 a 的值； 3 (2)求 P(X≥ )； 5 1 7 (3)求 P(10<X<10)． 【思路探究】 (1)先求出 X 的分布列，再根据分布列的
北师大版高中数学选修2-3课件2.1离散型随机变量及其分布列
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题型一
题型二
题型三
当取到 1 白 1 黑时,结果赢 1 元,随机变量 X=1,此时 P(X=1)=CC6112C241 = 141;
当取到 2 黄时,结果无输赢,随机变量 X=0,此时 P(X=0)=CC12222 = 616;
当取到 1 黑 1 黄时,结果赢 2 元,随机变量 X=2,此时 P(X=2)=CC4112C221 = 343;
解:从箱中取两个球的情形有以下六种: {2 白},{1 白 1 黄},{1 白 1 黑},{2 黄},{1 黑 1 黄},{2 黑}. 当取到 2 白时,结果输 2 元,随机变量 X=-2,此时 P(X=-2)=CC12622 = 252;
当取到 1 白 1 黄时,结果输 1 元,随机变量 X=-1,此时 P(X=-1)=CC6112C221 = 121;
第二章 概 率
-1-
§1 离散型随机变量及其分布列
-2-
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1.在对具体问题的分析中,了解随机变量、离散型随机变量的意义,并能写出 随机变量所取的值及所表示的随机试验的结果. 2.在对具体问题的分析中,理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列 的概念,认识分布列对于刻画随机现象的重要性.
当取到 2 黑时,结果赢 4 元,随机变量 X=4,此时 P(X=4)=CC12422 = 111,
可见,随机变量 X 可以取-2,-1,0,1,2,4,其分布列为:
X=xi
-2 -1 0 1 2 4
521441 P(X=xi) 22 11 66 11 33 11
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2017-2018学年高中数学北师大版选修2-3课件：第二章 1 离散型随机变量及其分布列
[一点通] 利用分布列的性质解题时要注意以下两个问 题：
(1)X 的各个取值表示的事件是互斥的． (2)p1＋p2＋…＝1，且 pi＞0，i＝1,2，….
4．设随机变量 X 的分布列为 P(X＝i)＝a·13i，i＝1,2,3，则 a 的
值为
()
A．1
3．抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子 掷出的点数之差为 X，试求 X 的集合，并说明“X>4”表示的试 验结果． 解：设第一枚骰子掷出的点数为 x，第二枚骰子掷出的点数 为 y，其中 x，y＝1,2,3,4,5,6. 依题意得 X＝x－y. 则－5≤X≤5， 即 X 的集合为{－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5}． 则 X＞4⇔X＝5，表示 x＝6，y＝1， 即第一枚骰子掷出 6 点，第二枚骰子掷出 1 点．
2．判断一个随机变量是否为离散型随机变量关键是看随 机变量的所有可能取值能否一一列出．
3．求离散型随机变量的分布列关键是搞清随机变量所取 的所有可能值，以及对应的概率．
随机变量的概念
[例 1] 写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量 所取的值所表示的随机试验的结果：
(1)从一个装有编号为 1 号到 10 号的 10 个球的袋中，任取 1 球，被取出的球的编号为 X；
30
25
y
10
结算时间
(分钟/人)
1
1.5
2
2.5
3
已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. (1)求 x，y 的值； (2)将频率视为概率，求顾客一次购物的结算时间 X 的分布列．
解： (1)由已知得 25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以 x＝15，y＝ 20. 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为 100 的 简单随机样本，将频率视为概率得 P(X＝1)＝11050＝230，P(X＝1.5)＝13000＝130， P(X＝2)＝12050＝14，P(X＝2.5)＝12000＝15，
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【规范解答】①老师提问学生的次数X是随机变量，其值域
是{0，1，2，…，n}，所有取值可以一一列出，是离散型 随机变量； ②连续不断射击，首次命中目标需要的射击次数 X是随机变 量，其值域是{1，2，3，…}所有取值可以一一列出，是离 散型随机变量；
③将一个骰子掷3次，3次出现的点数之和X是随机变量，其 值域是{3，4，5，…，18}，所有取值可以一一列出，是离 散型随机变量； ④钢管外径与规定的外径尺寸之差X∈(-d,d).其中d∈R， 是随机变量但所有取值无法一一列出，不是离散型随机变 量.
可考虑利用随机变量的定义及其实际意义判断 .
【规范解答】(1)参观学习的人数可能是0,1，2，…出现哪
一个结果都是随机的，因此是随机变量. (2)由于2012年奥运会还没举行，中国取得多少枚金牌是随 机的，符合随机变量的定义. (3)韩鹏在某场比赛的上场时间在［0,90］内是随机的，故 是随机变量. (4)体积为8 m3的正方】写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所 取的值表示的随机试验的结果.
(1)一个袋中装有2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中
所含白球的个数ξ.
(2)从4张已编号(1号～4号)的卡片中任意取出2张，被取出
的卡片号数之和X.
【审题指导】已知袋中装有不同的小球，从中任取3只.可 考虑随机试验的特征，写出随机变量的可能取值，得出具 体随机试验的结果.
答案：①②③
【典例】(12分)一个袋子中有6个同样大小的黑球，编号为 1,2，3,4，5,6，现从中随机取出3个球，以X表示取出球的
最大编号，求随机变量X的分布列.
【审题指导】本题求随机变量X的分布列，先确定X的所有
可能值，再结合概率知识求解.
【规范解答】随机变量X可能的取值为3,4，5,6. 从袋中随机取出3个球，包含的基本事件总数为 C3 6. 事件“X=3”包含的基本事件数为 C3 3
用随机变量表示随机试验的结果
随机变量应满足的三个特征： (1)可用数表示. (2)试验之前可以判断其可能出现的所有值. (3)在试验之前不能确定取值.
解答此类问题的关键在于明确随机变量的所
有可能的取值，以及其取每一个值时对应的意义，即一个
随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解 答过程中不要漏掉某些试验结果.
球的个数为X.
(A)①中的X (B)②中的X
(C)③中的X
(D)④中的X
【解析】选C.①②④中的随机变量X可能取的值我们都可以 按一定次序一一列出，因此是离散型随机变量 .③中的X可 以取某一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故 不是离散型随机变量.
2.设离散型随机变量X的分布列如下：
【例】下列变量中是离散型随机变量的是_______.
①下节数学课老师提问学生的次数X； ②连续不断射击，首次命中目标需要的射击次数X； ③将一个骰子掷3次，3次出现的点数之和X； ④某工厂加工的某种钢管的外径与规定外径尺寸之差X. 【审题指导】仔细分析每个变量的具体情境及实际意义， 结合离散型随机变量的特征分别作出判断 .
2 事件“X=6”包含的基本事件数为 C5
2 C5 1 ∴P(X=6)= 3 . ………………………………………10分 C6 2
所以离散型随机变量X的分布列为
…………12分
【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：
1.下列不是离散型随机变量的是(
)
①某机场候机室中一天的游客数量为X； ②某寻呼台一天内收到的寻呼次数为X； ③某水文站观察到一天中长江的水位为X； ④从装有4个红球，3个白球的盒中随机摸取2个球，所得红
随机变量的概念 对随机变量的理解应注意把握如下几点： (1)随机变量其实是一种映射，是随机试验结果到实数之间 的映射，因此我们可以这样理解，随机试验的结果相当于 函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域.
(2)随机变量是将随机试验的结果数量化.如掷一枚硬币， “正面向上”用数字“1”表示，即X=1. (3)这个数在随机试验前是无法预先确定的，在不同的随机试 验中，结果可能有变化，说明随机试验的结果可以用一个变 量来表示.如某人射击一次，可能出现命中0环，命中1环， …，命中10环的结果，即可能出现的结果可以用0,1，…， 10这11个数表示.
【例1】指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机 变量，并说明理由. (1)某天到世纪金榜公司参观学习的人数. (2)2012年奥运会上中国取得的金牌数. (3)2011年亚冠联赛某场比赛中(90分钟)山东鲁能球员韩鹏
上场比赛的时间.
(4)体积为8 m3的正方体的棱长.
【审题指导】本题中给出四个变量，判断是否为随机变量
C3 1 3 . ………………………………………4分 ∴P(X=3)= 3 C6 20
…2 分
事件“X=4”包含的基本事件数为C2
3
2 C3 ∴P(X=4)= 3 3 . ………………………………………6分 C6 20
事件“X=5”包含的基本事件数为 C2 4
C2 3 4 ∴P(X=5)= 3 . ………………………………………8分 C6 10
{X=7}表示取出分别标有3,4的两张卡片.
离散型随机变量的判定
1.随机变量的分类. 随机变量分为离散型随机变量和连续型随机变量.离散型随
机变量可能的取值可以按一定次序一一列出，而连续型随
机变量可能的取值不可以一一列出.
2.判定离散型随机变量的具体步骤. (1)依据题意分析变量是否为随机变量. (2)由条件求解随机变量的值域. (3)判断变量的取值能否按一定顺序列举出来，若能则是离 散型随机变量，否则不是.
【规范解答】(1)ξ可取0,1，2. ξ=i表示取出的3个球中有i个白球，(3-i)个黑球，其中i= 0,1,2. (2)X可取3,4,5,6,7.其中 {X=3}表示取出分别标有1,2的两张卡片；
{X=4}表示取出分别标有1,3的两张卡片；
{X=5}表示取出分别标有1,4或2,3的两张卡片；
{X=6}表示取出分别标有2,4的两张卡片；