人教B版2017年数学必修2同步练习2.3.2圆的一般方程含答案
人教B版数学必修二2.3.2
数
学 必 修 ②
＋12)2＝52，即 x2＋y2－3x＋y＝0.
人 教 B
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·
第二章 平面解析几何初步
3．圆 x2＋y2－2y－1＝0 关于直线 y＝x 对称的圆的方程是 导学号 92434785
(A) A．(x－1)2＋y2＝2 C．(x－1)2＋y2＝4
B．(x＋1)2＋y2＝2 D．(x＋1)2＋y2＝4
第二章 平面解析几何初步
命题方向1 ⇨二元二次方程表示圆的条件
典例 1 m 是什么实数时，关于 x、y 的方程(2m2＋m－1)x2＋(m2－m＋2)y2 ＋m＋2＝0 表示一个圆？ 导学号 92434788
[解析] 由题意，得2m2＋m－1＝m2－m＋2，
数
即m2＋2m－3＝0，
学
必 修
解得m＝－3或m＝1.
[解析] ∵方程 x2＋y2－2x＋4y＋m＝0 表示圆，
∴(－2)2＋42－4m>0，
∴m<5.
数
又∵圆与 x 轴相切，∴ －22＋2 42－4m＝2，
学
必 修
∴m＝1.
②
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B
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第二章 平面解析几何初步
5．(2016·浙江文，10)已知 a∈R，方程 a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0 表示 圆，则圆心坐标是__(－__2_，__－__4_)____，半径是____5___. 导学号 92434787
②
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第二章 平面解析几何初步
当 m＝1 时，原方程化为 2x2＋2y2＋3＝0.
不合题意舍去；
当 m＝－3 时，原方程化为 14x2＋14y2－1＝0，
新高中数学2-3圆的方程2-3-1圆的标准方程2-3-2圆的一般方程自主训练新人教B版必修2
新高中数学2-3圆的方程2-3-1圆的标准方程2-3-2圆的一般方程自主训练新人教B 版必修2 圆的标准方程2.3.2 圆的一般方程自主广场我夯基 我达标1.下列方程中表示圆的是( )A.x 2+y 2-2x+2y+2=0B.x 2+y 2-2xy+y+1=0C.x 2+2y 2-2x+4y+3=0D.x 2+y 2+4x-6y+9=0思路解析:题中的4个选项都是二元二次方程，一个二元二次方程是否表示圆，要判断它是否同时满足以下这三个条件：(1)x 2、y 2项的系数相等且不为零，即A=C≠0;(2)没有xy 项，即B=0;(3)D 2+E 2-4F ＞0.根据这三个条件对每一个方程进行判断.因为选项A 中D 2+E 2-4F=4+4-8=0，所以选项A 不正确；因为选项B 中有-2xy 项，所以选项B 也不正确；因为选项C 中两个平方项的系数一个等于1，另一个等于2，不满足A=C 的条件，所以选项C 也不正确；选项D 同时满足这三个条件，所以选项D 是正确的.因此，选D.答案：D2.已知方程x 2+y 2-2kx+2k+3=0表示圆,则k 的取值范围是( )A.(-∞,-1)B.(3,+∞)C.(-∞,-1)∪(3,+∞)D. ∅思路解析:利用D 2+E 2-4F ＞0就可求得k∈(-∞,-1)∪(3,+∞).答案：C3.已知圆C 的方程为f(x ，y)=0，点A(x 0，y 0)是圆外的一点，那么方程f(x ，y)-f(x 0，y 0)=0表示的曲线是( )A.与圆C 重合的圆B.过点A 与圆C 相交的圆C.过点A 且与圆C 同心的圆D.可能不是圆思路解析:此题所给出的圆的方程是一个抽象的方程，实际上，我们只学习了两种圆的方程，完全可以分别用两种方程来分析这道题.这里还基于一个结论：圆外的点的坐标代入圆的方程后，方程就变成了不等式.因为点A(x 0，y 0)是圆外的一点，所以f(x 0，y 0)＞0，由方程f(x ，y)-f(x 0，y 0)=0,得f(x ，y)=f(x 0，y 0)，不妨设圆C 的方程f(x ，y)=0为方程(x-a)2+(y-b)2-r 2=0，则方程f(x ，y)=f(x 0，y 0)即为(x-a)2+(y-b)2=r 2+f(x 0，y 0)，此方程表示的正是过点A 且与圆C 同心的圆.因此，选C.答案：C4.圆(x+2)2+y 2=5关于原点(0，0)对称的圆的方程为( )A.(x-2)2+y 2=5B.x 2+(y-2)2=5C.(x+2)2+(y+2)2=5D.x 2+(y+2)2=5思路解析:求圆关于某点或直线的对称图形的方程,主要是求圆心关于点或直线的对称点.求出圆心(-2,0)关于(0,0)的对称点为(2,0).答案：A5.设P(x ，y)是曲线x 2+(y+4)2=4上任意一点，则22)1()1(-+-y x 的最大值为( ) A.26+2 B.26 C.5 D.6思路解析:此题的解题关键是要能从观察式子22)1()1(-+-y x 的特征中产生联想，即这个式子的几何意义是什么. 因为式子22)1()1(-+-y x 的几何意义是点P(x ，y)与点(1，1)之间的距离，又因为P(x ，y)是曲线x 2+(y+4)2=4上任意一点，所以22)1()1(-+-y x 的最大值即为在圆x 2+(y+4)2=4上求一点，使这个点到点(1，1)的距离最大.如图2-3-(1,2)-4所示，|CB|即为所求，而|CB|=|CA|+|AB|，圆x 2+(y+4)2=4的圆心坐标为A(0，-4)，半径为2，即|AB|=2，而|AC|=26，所以|CB|=26+2，即22)1()1(-+-y x 的最大值为26+2.因此，选A.图2-3-(1,2)-4答案：A6.程x 2+y 2+x-2y+m=0表示圆时，m∈___________.思路解析:如果方程x 2+y 2+x-2y+m=0表示圆，则D 2+E 2-4F ＞0一定成立.根据这个条件可以把题意转化为不等式，从而求出m 的取值范围.因为方程x 2+y 2+x-2y+m=0表示圆，所以1+4-4m ＞0，解得m ＜45.所以m∈(-∞,45). 答案：(-∞, 45) 7.直线3x+4y-12=0和两坐标轴围成的三角形的外接圆的方程是_______________.思路解析:直线与两坐标轴的交点是A 、B ，AB 为圆的直径，即AB 的中点为圆心，AB 长的一半为圆的半径.答案：(x-2)2+(y-23)2=425 8.已知圆M ：(x+cos θ)2+(y-sin θ)2=1，直线l ：y=kx ，下面四个命题：A.对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 相切B.对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 有公共点C.对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 与圆M 相切D.对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 与圆M 相切其中真命题的代号是____________.(写出所有真命题的代号)思路解析:圆心坐标为(-cos θ，sin θ)，圆的半径为1，圆心到直线的距离为d=2221|)sin(|11|sin cos |k k k k +++=+--ϕθθθ=|sin(θ+φ)|≤1,故选B 、D.答案：BD我综合 我发展9.求圆心在直线y=-4x 上,并且与直线l ：x+y-1=0相切于点(3,-2)的圆的方程.思路分析:已知圆心在y=-4x 上，所以可设圆心为(a,-4a)，利用圆心到直线l ：x+y-1=0的距离等于圆心到点(3，-2)的距离等于半径，就可以求出圆的方程.解：依题意,设圆心为(a,-4a),则其到直线x+y-1=0的距离及其到点(3，-2)的距离都等于半径的长度.应用两点间的距离公式及点到直线的距离公式,可得圆心到点(3，-2)的距离=22)42()3(a a -+-,圆心到直线l 的距离=2211|14|+--a a ，即得22)42()3(a a -+-=2211|14|+--a a ，对这个式子两边平方并化简得a=1.于是容易计算得到此圆的圆心为(1,-4),半径长为22,于是得到此圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.10.求过点A(-1,3),B(4,2),且在x 轴、y 轴上的四个截距之和是14的圆的方程.思路分析:本题所给的条件是过两个定点和截距三个条件，考虑到知道三点就可以求出圆的方程，所以考虑应用圆的一般式并结合根与系数的关系解决这个问题.解：设圆的一般式方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，①由题意可知⎪⎩⎪⎨⎧=++++=++++-.02424,033)1(2222F E D F E D 令①中的y=0，可得x 2+Dx+F=0，圆在x 轴上的截距之和为-D ；令①中的x=0，可得y 2+Ey+F=0，圆在y 轴上的截距之和为-E.结合以上的方程组可以解得D=-4,E=-10,F=16.所以我们得到此圆的方程为x 2+y 2-4x-10y+16=0.11.设A 、B 两点是圆心都在直线3x-2y+5=0上的相交两圆的两个交点,且A 的坐标是(-4,5),求点B 的坐标.思路分析:解本题要充分利用平面几何的知识.注意到两圆相交，则意味着两交点关于连心线对称,即B 点应为点A 关于直线3x-2y+5=0的对称点.解：设B(x ，y),因AB 垂直于直线l ：3x-2y+5=0，且A(-4，5)，故直线AB 的方程为y-5=32-(x+4). 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-+-=-,0523)4(325y x x y 得交点P(1331,131-). 又由中点坐标公式得251331,24131y x +=-=-.解得x=133,1350-=y . ∴B(133,1350-). 12.已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2-4x+1=0.(1)求yx 的最大值和最小值; (2)求x 2+y 2的最大值和最小值.思路分析:方程x 2+y 2-4x+1=0表示圆心(2,0),半径为3的圆;x y 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,x 2+y 2表示圆上一点到原点距离的平方,故可借助于平面几何知识,利用数形结合来求解.解：(1)原方程化为(x-2)2+y 2=3,表示以点(2,0)为圆心,以3为半径的圆. 设x y =k,即y=kx,当直线与圆相切时,斜率k 取最大值和最小值,此时有31|02|2=+-k k ,解得k=±3. 故xy 的最大值为3,最小值为-3. (2)x 2+y 2表示圆上一点到原点距离的平方,由平面几何知识知原点与圆心的连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为2,故(x 2+y 2)max =(2+3)2=7+43,(x 2+y 2)min =(2-3)2=7-43.。
人教版高一数学必修2(B版)全册完整课件
1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
实习作业
1.2.2 空间中的平行关系
本章小结
ห้องสมุดไป่ตู้
第二章 平面解析几何初步
2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式
2.2.2 直线方程的几种形式
2.2.4 点到直线的距离
2.3.2 圆的一般方程
2.3.4 圆与圆的位置关系
2.4.2 空间两点的距离公式
阅读与欣赏
笛卡儿
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1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球 的表面积
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1.1.7 柱、锥、台和球的体积
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后记
第一章 立体几何初步
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1.1 空间几何体
1.1.1
构成空间几何体的基本元素
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1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结 构特征
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0002页 0040页 0102页 0185页 0223页 0295页 0343页 0365页 0411页 0460页 0490页 0520页 0548页 0570页 0601页 0603页
第一章 立体几何初步
1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征
1.1.4 投影与直观图
1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球
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1.1.4 投影与直观图
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1.1.5 三视图
高中数学必修二人教B版练习：2.3 圆的方程2.3.2 Word版含解析
第二章 2.3 2.3.2A 级 基础巩固一、选择题1．圆x 2＋y 2－2x ＋y ＋14＝0的圆心坐标和半径分别是 ( B )A ．(－1，12)；1B ．(1，－12)；1C ．(1，－12)；62D ．(－1，12)；62[解析] 圆x 2＋y 2－2x ＋y ＋14＝0化为标准方程为(x －1)2＋(y ＋12)2＝1，圆心坐标为(1，－12)，半径是1，故选B ． 2．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的范围是 ( D ) A ．a <－2或a >23B ．－23<a <2C ．－2<a <0D ．－2<a <23[解析] 由题知a 2＋(2a )2－4(2a 2＋a －1)>0，即(3a －2)(a ＋2)<0，因此－2<a <23.3．圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0的周长等于 ( C ) A ．2π B ．2π C ．22πD ．4π[解析] 圆的方程x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0 可化为(x －1)2＋(y ＋3)2＝2，∴圆的半径r ＝2，故周长l ＝2πr ＝22π.4．方程2x 2＋2y 2－4x ＋8y ＋10＝0表示的图形是 ( A ) A ．一个点 B ．一个圆 C ．一条直线D ．不存在 [解析] 方程2x 2＋2y 2－4x ＋8y ＋10＝0， 可化为x 2＋y 2－2x ＋4y ＋5＝0， 即(x －1)2＋(y ＋2)2＝0，∴方程2x 2＋2y 2－4x ＋8y ＋10＝0 表示点(1，－2).5．若直线mx ＋2ny －4＝0始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －4＝0的周长，则mn 的取值范围是 ( D )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．(－∞，1)D ．(－∞，1][解析] 可知直线mx ＋2ny －4＝0过圆心(2,1)，有2m ＋2n －4＝0，即n ＝2－m ，则mn ＝m ·(2－m )＝－m 2＋2m ＝－(m －1)2＋1≤1.6．已知点P 是圆C ：x 2＋y 2＋4x ＋ay －5＝0上任意一点，P 点关于直线2x ＋y －1＝0的对称点在圆C 上，则实数a 等于 ( B )A ．10B ．－10C ．20D ．－20[解析] 由题意知，直线2x ＋y －1＝0过圆C 的圆心(－2，－a 2)，∴2×(－2)－a2－1＝0，∴a ＝－10.二、填空题7．点P (1，－2)和圆C ：x 2＋y 2＋m 2x ＋y ＋m 2＝0的位置关系是__在圆C 外部__. [解析] 将点P (1，－2)代入圆的方程，得1＋4＋m 2－2＋m 2＝2m 2＋3>0，∴点P 在圆C 外部.8．若方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F ＝__4__. [解析] 由题意，知D ＝－4，E ＝8，r ＝(－4)2＋82－4F2＝4，∴F ＝4.三、解答题9．已知圆D 与圆C ：x 2＋y 2－x ＋2y ＝0关于直线x －y ＋1＝0对称，求圆D 的一般方程. [解析] 圆C 的圆心坐标为(12，－1)，半径r ＝52，C (12，－1)关于直线x －y ＋1＝0对称的点D (－2，32)，故所求圆D 的方程为(x ＋2)2＋(y －32)2＝54，即圆D 的一般方程为x 2＋y 2＋4x －3y ＋5＝0.10．一动点到A (－4,0)的距离是到B (2,0)的距离的2倍，求动点的轨迹方程.[解析] 设动点M 的坐标为(x ，y )， 则|MA |＝2|MB |， 即(x ＋4)2＋y 2＝2(x －2)2＋y 2，整理得x 2＋y 2－8x ＝0.∴所求动点的轨迹方程为x 2＋y 2－8x ＝0.B 级 素养提升一、选择题1．一束光线从点A (－1,1)出发经x 轴反射到圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0上的最短路程是 ( A )A ．4B ．5C ．32－1D ．2 6[解析] 将方程C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0配方，得(x －2)2＋(y －3)2＝1，即圆心为C (2,3)，半径为1. 由光线反射的性质可知：点A 关于x 轴的对称点A ′(－1，－1)到圆上的最短距离就是所求的最短路程，即|A ′C |－r ＝(2＋1)2＋(3＋1)2－1＝5－1＝4，故选A ．2．已知x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x 2＋y 2的最大值为 ( D ) A ．9 B ．14 C ．14－6 5D ．14＋6 5[解析] 已知方程表示圆心为(－2,1)，r ＝3的圆. 令d ＝x 2＋y 2，则d 表示(x ，y )与(0,0)的距离，∴d max ＝(－2－0)2＋(1－0)2＋r ＝5＋3，∴(x 2＋y 2)max ＝(5＋3)2＝14＋6 5.3．如果直线l 将圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0平分，且不通过第四象限，那么直线l 的斜率的取值范围是 ( A )A ．[0,3]B ．[0,1]C ．⎣⎡⎦⎤0，13 D ．⎣⎡⎭⎫0，13 [解析] l 过圆心C (1,3)，且不过第四象限. 由数形结合法易知：0≤k ≤3.4．已知圆x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，当该圆的面积取最大值时，圆心坐标是 ( A ) A ．(0，－1) B ．(1，－1) C ．(－1,0)D ．(－1,1)[解析] 圆的半径r ＝124－3k 2，要使圆的面积最大，即圆的半径r 取最大值，故当k＝0时，r 取最大值1，∴圆心坐标为(0，－1).二、填空题5．圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋c ＝0与y 轴交于A 、B 两点，圆心为P ，若∠APB ＝90°，则c 等于__－3__. 导学号 92434810[解析] 圆与y 轴的交点A 、B 的坐标为(0，－1±1－c )，点P 坐标为(2，－1)，由∠APB ＝90°，得k P A ·k PB ＝－1，∴c ＝－3.6．若x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0，则点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的__外部__.导学号 92434811[解析] ∵x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0，∴点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的外部.三、解答题7．经过两点P (－2,4)、Q (3，－1)，且在x 轴上截得的弦长为6的圆的方程. 导学号 92434812[解析] 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将P 、Q 两点的坐标分别代入，得⎩⎪⎨⎪⎧2D －4E －F ＝203D －E ＋F ＝－10①②又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0.由已知，|x 1－x 2|＝6(其中x 1，x 2是方程x 2＋Dx ＋F ＝0的两根)，∴D 2－4F ＝36，③ ①、②、③联立组成方程组，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2E ＝－4F ＝－8，或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6E ＝－8F ＝0.∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.C 级 能力拔高1．(2016·唐山调研)已知点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足|P A |＝2|PB |. 导学号 92434813 (1)若点P 的轨迹曲线C ，求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|QM |的最小值.[解析] (1)设点P 的坐标为(x ，y )，则 (x ＋3)2＋y 2＝2(x －3)2＋y 2.化简可得(x －5)2＋y 2＝16，此方程即为所求.(2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图所示.由直线l 2是此圆的切线，连接CQ ，则 |QM |＝|CQ |2－|CM |2＝|CQ |2－16，当CQ ⊥l 1时，|CQ |取最小值，此时|CQ |＝|5＋3|2＝42，则|QM |的最小值为32－16＝4.2．已知方程x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t 4＋9＝0(t ∈R )的图形是圆. 导学号 92434814(1)求t 的取值范围；(2)当实数t 变化时，求其中面积最大的圆的方程. [解析] (1)方程即(x －t －3)2＋(y ＋1－4t 2)2 ＝(t ＋3)2＋(1－4t 2)2－16t 4－9.∴r 2＝－7t 2＋6t ＋1>0，∴－17<t <1.(2)∵r ＝－7t 2＋6t ＋1＝－7⎝⎛⎭⎫t －372＋167， ∴当t ＝37∈⎝⎛⎭⎫－17，1时r max ＝477， 此时圆面积最大，所对应的圆的方程是⎝⎛⎭⎫x －2472＋⎝⎛⎭⎫y ＋13492＝167.。
人教B版高中数学必修2-2.3知识拓展：直线系、圆系方程
直线系、圆系方程1、过定点直线系方程在解题中的应用过定点（0x ，0y ）的直线系方程：00()()0A x x B y y -+-=（A,B 不同时为0）. 例 1 求过点(14)P -，圆22(2)(3)1x y -+-=的切线的方程．分析：本题是过定点直线方程问题，可用定点直线系法.解析：设所求直线的方程为(1)(4)0A x B y ++-=（其中A B ，不全为零）， 则整理有40Ax By A B ++-=，∵直线l 与圆相切，∴圆心(23)C ，到直线l 的距离等于半径1，故1=，整理，得(43)0A A B -=，即0A =（这时0B ≠），或304A B =≠． 故所求直线l 的方程为4y =或34130x y +-=．点评：对求过定点（0x ，0y ）的直线方程问题，常用过定点直线法，即设直线方程为: 00()()0A x x B y y -+-=，注意的此方程表示的是过点00()P x y ，的所有直线（即直线系），应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象．练习： 过点(14)P -，作圆22(2)(3)1x y -+-=的切线l ，求切线l 的方程． 解：设所求直线l 的方程为(1)(4)0A x B y ++-=（其中A B ，不全为零）， 则整理有40Ax By A B ++-=，∵直线l 与圆相切，∴圆心(23)C ，到直线l 的距离等于半径1，故1=，整理，得(43)0A A B -=，即0A =（这时0B ≠），或304A B =≠． 故所求直线l 的方程为4y =或34130x y +-=．2、过两直线交点的直线系方程在解题中的应用过直线l ：1110A x B y C ++=（11,A B 不同时为0）与m ：2220A x B y C ++=（22,A B 不同时为0）交点的直线系方程为：111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=（R λ∈，λ为参数）.例2 求过直线：210x y ++=与直线：210x y -+=的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.分析：本题是过两直线交点的直线系问题，可用过交点直线系求解. 解析：设所求直线方程为：21(21)0x y x y λ+++-+=， 当直线过原点时，则1λ+=0，则λ=－1，此时所求直线方程为：20x y -=；当所求直线不过原点时，令x =0，解得y =12λλ+-， 令y =0，解得x =121λλ+-+， 由题意得，12λλ+-=121λλ+-+，解得13λ=， 此时，所求直线方程为：5540x y ++=.综上所述，所求直线方程为：20x y -=或5540x y ++=.3、求直线系方程过定点问题例3 证明：直线10mx y m +--=(m 是参数且m ∈R )过定点，并求出定点坐标.分析：本题是证明直线系过定点问题，可用恒等式法和特殊直线法. 解析：（恒等式法）直线方程化为:(1)10x m y -+-=,∵m ∈R, ∴1010x y -=⎧⎨-=⎩，解得，1x =，1y =，∴直线10mx y m +--=(m 是参数且m ∈R )过定点（1,1）. （特殊直线法）取m =0，m =1得，1y =，20x y +-=，联立解得，1x =，1y =，。
高一数学必修2(人教B版)第一章各节同步检测1-2-3-03
1.2.3第3课时一、选择题1．若平面α与平面β不垂直，那么平面α内能与平面β垂直的直线有()A．0条B．1条C．2条D．无数条[答案] A[解析]假设平面α内存在一条直线l⊥β，则α⊥β，这与α与β不垂直矛盾，故平面α内不存在能与平面β垂直的直线．2．给出下列四个命题：①若直线l与平面α内无数条直线垂直，则直线l⊥平面α；②平面α与β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β；③若直线l⊥平面α，则存在a⊂α，使l∥a；④若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β.其中正确命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．4[答案] A[解析]当l与平面α内的无数条平行直线垂直时，l不一定与α垂直，①错误；当平面α与β分别过两条互相垂直的直线时，α，β可能垂直，也可能不垂直，②错误；根据直线与平面垂直的定义，知直线l⊥平面α时，l与α内的所有直线都垂直，不可能存在直线与l平行的情况，③错误；根据线面垂直的判定定理知④正确．选A.3．直线a和平面α内两条直线b、c都垂直，给出下列说法，正确的说法是()①a∥α可能成立；②a⊥α；③平面α可能经过a；④a有可能与平面α相交．A．①②③④ B．③④C．①②④D．①③④[答案] D[解析]如图所示，a∥α，b⊂α，c⊂α，a⊥b，a⊥c，故①正确，②不正确，故选D.4．空间四边形ABCD中，若AB＝BC＝CD＝DA＝AC＝BC，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．则四边形EFGH的形状是()A．平行四边形 B．长方形C．菱形D．正方形[答案] D[解析] 如图所示，∵E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，∴EF 綊12AC ，HG 綊12AC ，∴四边形EFGH 是平行四边形，又EH ＝12BD ，BD ＝AC ，∴EH ＝EF ，∴四边形EFGH 是菱形．取BD 中点M ，连结AM 、CM ，∵AB ＝AD ，∴AM ⊥BD ，又CB ＝CD ，∴CM ⊥BD ，又AM ∩CM ＝M ，∴BD ⊥平面ACM ， ∴BD ⊥AC .又EF ∥AC ，BD ∥EH ，∴EF ⊥EH ，∴四边形EFGH 是正方形．5．α、β、γ、ω是四个不同平面，若α⊥γ，β⊥γ，α⊥ω，β⊥ω，则( ) A ．α∥β且γ∥ω B ．α∥β或γ∥ωC ．这四个平面中可能任意两个都不平行D ．这四个平面中至多有一对平面平行 [答案] B[解析] 设α∩β＝a .∵α⊥γ，β⊥γ.∴a ⊥γ.同理a ⊥ω.∴γ∥ω；若α∥β，则γ与ω相交或平行． ∴α∥β或γ∥ω.6．设a 、b 是异面直线，下列命题正确的是( )A ．过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一条直线和a 、b 都相交B ．过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一个平面和a 、b 都垂直C ．过a 一定可以作一个平面与b 垂直D ．过a 一定可以作一个平面与b 平行 [答案] D[解析] A 不正确，若点P 和直线a 确定平面α，当b ∥α时，满足条件的直线不存在；B 不正确，若存在，则有a ∥b ，这与a 、b 是异面直线矛盾；C 不正确，只有a 、b 垂直时，才能作出满足条件的平面．只有D 正确．二、填空题7．给出下列四个命题：①经过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直；②如果一条直线和两个垂直平面中的一个垂直，它必和另一个平行；③过不在平面内的一条直线可作无数个平面与已知平面垂直；④如果两个平面互相垂直，经过一个平面内一点与另一个平面垂直的直线在这个平面内．其中正确的是________．[答案] ④[解析] 过平面外一点可作一条直线与平面垂直，过该直线的任何一个平面都与已知平面垂直，①不对；若α⊥β，a ⊥α，则a ⊂β或a ∥β，②不对；当平面外的直线是平面的垂线时可以作无数个，否则只能作一个，③不对，故只有④对．8．平行四边形ABCD 的对角线交点为O ，点P 在平行四边形ABCD 所在平面外，且P A ＝PC ，PD ＝PB ，则PO 与平面ABCD 的位置关系是________________．[答案] PO ⊥平面ABCD[解析] 如图所示，∵O 为平行四边形ABCD 对角线的交点，∴OA ＝OC ，又P A ＝PC ∴△POA ≌△POC ， ∴∠POA ＝∠POC ＝90°， ∴PO ⊥AC .同理PO ⊥BD ，又AC ∩BD ＝O ，∴PO ⊥面ABCD .9．(2010·湖南文，13)如下图中的三个直角三角形是一个体积20cm 3的几何体的三视图，则h ＝________ cm.[答案] 4[解析] 该几何体是一个底面是直角三角形，一条侧棱垂直于底面的三棱锥如图，V ＝13×⎝⎛⎭⎫12×5×6×h ＝20，∴h ＝4 cm.10．已知：直线l 和平面α，β，且l ⊄α，l ⊄β，若从①l ⊥α，②α⊥β，③l ∥β中任取两个作为条件，余下一个作为结论，在构成的诸命题中，写出你认为正确的一个命题：______________.[答案] ①③⇒②(答案不惟一)[解析] 如图所示，∵l ∥β，∴过直线l 作平面γ∩β＝a ，∴l ∥a ， ∵l ⊥α，∴a ⊥α，又a ⊂β，∴α⊥β. 三、解答题11．如右图所示，四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ，已知∠ABC ＝45°，SA ＝SB .求证：SA ⊥BC .[解析] 作SO ⊥BC ，垂足为O ，连结AO ，∵侧面SBC ⊥底面ABCD ，∴SO ⊥底面ABCD . ∵SA ＝SB ，∴AO ＝BO .又∠ABC ＝45°，故△AOB 为等腰直角三角形，即AO ⊥BO ，又BC ⊥SO ，且SO ∩OA ＝O ，∴BC ⊥平面SOA ，∴SA ⊥BC .12．(2010·辽宁文，19)如图，棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1是菱形，B 1C ⊥A 1B .(1)证明：平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1；(2)设D 是A 1C 1上的点，且A 1B ∥平面B 1CD ，求A 1D DC 1的值． [解析] (1)∵侧面BCC 1B 1是菱形，∴B 1C ⊥BC 1， 又∵B 1C ⊥A 1B ，且A 1B ∩BC 1＝B ， ∴B 1C ⊥平面A 1BC 1，又B 1C ⊂平面AB 1C∴平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1 .(2)设BC 1交B 1C 于点E ，连结DE ，则DE 是平面A 1BC 1与平面B 1CD 的交线． ∵A 1B ∥平面B 1CD ，A 1B ⊂平面A 1BC 1，平面A 1BC 1∩平面B 1CD ＝DE ，∴A 1B ∥DE . 又E 是BC 1的中点，∴D 为A 1C 1的中点． 即A 1D DC 1＝1.13．我国北方冬季种植蔬菜时要在温室里进行，如图，某蔬菜专业户要借助自家围墙修建一温室，温室由两墙面、地面和塑料薄膜四个面围成，已知：两墙的长度分别为a 米和b 米，高为c 米，假定两墙面、地面彼此的交线互相垂直．问：修建温室需要多少塑料薄膜？[解析] ∵OC ⊥OA ，OC ⊥OB ，OA ∩OB ＝0，∴OC ⊥平面AOB ，∴OC ⊥AB .过点O 作OM ⊥AB 于M ，则AB ⊥平面COM ，∴AB ⊥CM .在Rt △AOB 中，AB ＝OA 2＋OB 2＝a 2＋b 2， ∴OM ＝OA ·OB AB ＝ab a 2＋b2.在Rt△COM中，CM＝OC2＋OM2＝a2b2＋b2c2＋c2a2a2＋b2.∴S△ABC＝12AB·CM＝a2b2＋b2＋c2＋c2a22.故修建温室需要塑料薄膜a2b2＋b2c2＋c2a22平方米．14．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°的菱形，侧面P AD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求证：AD⊥PB；(2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．[解析](1)设G为AD的中点，连结PG，∵△P AD为正三角形，∴PG⊥AD.在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，∴BG⊥AD.又BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PGB.∵PB⊂平面PGB，∴AD⊥PB.(2)当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.取PC的中点F，连结DE、EF、DF，在△PBC中，EF∥PB.在菱形ABCD中，GB∥DE，而EF⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，EF∩DE＝E，∴平面DEF∥平面PGB，由(1)得PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB，∴平面PGB⊥平面ABCD，∴平面DEF⊥平面ABCD.15．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E∈CC1，B1E⊥BC1，AB＝AD，求证：AC1⊥面B1ED1.[解析]∵ABCD－A1B1C1D1为长方体，∴AB⊥平面BB1C1C，又∴B1E⊂平面BB1，C1C，∴AB⊥B1E，又∵B1E⊥BC1，AB∩BC1＝B，∴B1E⊥平面ABC1，∴B1E⊥AC1，连结A1C1，∵AB＝AD，∴长方体上、下底面ABCD、A1B1C1D1为正方形．∴A1C1⊥B1D1.又∵AA1⊥平面A1B1C1D1，∴AA1⊥B1D1，AA1∩A1C1＝A1，∴B1D1⊥平面AA1C1，∴B1D1⊥AC1，B1E∩B1D1＝B1，∴AC1⊥平面B1ED1.。
人教b版高中数学必修课后习题答案 (2)
人教B版高中数学必修课后习题答案第一章函数与方程1.1 函数的概念和性质课后习题答案1.函数的定义：函数是一种规定了输入和输出之间关系的映射关系。
在数学中，函数常用字母 f、g 或 h 来表示。
例如，函数 f(x) = 2x 将输入的值 x 加倍作为输出。
2.函数的性质：–单调性：函数的值随自变量的增减而有规律地增减。
–奇偶性：函数通过原点对称称为奇函数，函数经过坐标轴的对称称为偶函数。
–周期性：函数的图像在某个长度为 T 的区间上有特定的重复性。
1.2 二次函数的图像和性质课后习题答案1.二次函数的定义：二次函数是函数的一种形式，其公式为 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a、b 和 c 是常数。
2.二次函数的图像特点：–对称轴：二次函数的图像关于对称轴对称。
–顶点坐标：顶点坐标为 (-b/2a, f(-b/2a))。
–开口方向：当 a>0 时，二次函数开口向上；当a<0 时，二次函数开口向下。
1.3 四种函数的比较与选择课后习题答案1.线性函数：线性函数的表达式为 f(x) = kx + b，其中k 和 b 是常数。
线性函数图像为一条直线，即斜率为 k，截距为 b 的直线。
2.一次函数：一次函数是线性函数的一个特例，当 b= 0 时，一次函数就是线性函数。
一次函数图像为一条经过原点的直线。
3.二次函数：二次函数的图像为一条开口向上或开口向下的抛物线。
二次函数有一个顶点，它是图像的最高点或最低点。
4.指数函数：指数函数的表达式为 f(x) = a^x，其中 a 是常数。
指数函数的图像是一条通过点(0,1) 的递增曲线，当 a>1 时，曲线增长迅速；当 0<a<1 时，曲线递减缓慢。
5.对数函数：对数函数的表达式为f(x) = logₐx，其中a 是常数。
对数函数的图像是一条斜率始终为正的递增曲线，当 x 增大时，函数值也相应增大。
1.4 反函数的概念和性质课后习题答案1.反函数的定义：如果函数 f 将集合 A 中的每一个元素 x 对应到集合 B 中唯一确定的 f(x)，则称 f 为从 A 到 B的一对一的映射。
新教材高中数学第2章平面解析几何圆的一般方程课件新人教B版选择性必修第一册
(2)由圆的一般方程判断点与圆的位置关系
已知点 M(x0，y0)和圆的方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．则 其位置关系如下表：
位置关系
代数关系
点 M 在圆 06 _外__ 点 M 在圆 07 _上__ 点 M 在圆 08 _内__
x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F>0 x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F＝0 x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F<0
89＋8D＋5E＋F＝0， 由题意知73＋3D＋8E＋F＝0，
9＋3E＋F＝0，
D＝－8， 解得E＝－8，
解
(3)两边同除以 2，得
x2＋y2＋ax－ay＝0，D＝a，E＝－a，F＝0，
∴D2＋E2－4F＝2a2>0，
∴方程(3)表示圆，它的圆心为－a2，a2，
半径 r＝12
D2＋E2－4F＝
2 2 |a|.
解
题型二 求圆的一般方程
例 2 已知 Rt△ABC 的顶点 A(8,5)，直角顶点为 B(3,8)，顶点 C 在 y 轴 上，求：
半径长．
[跟踪训练 1] 下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心和半 径．
(1)x2＋y2＋x＋1＝0； (2)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)；(3)2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)．
解 (1)∵D＝1，E＝0，F＝1， ∴D2＋E2－4F＝1－4＝－3<0， ∴方程(1)不表示任何图形． (2)∵D＝2a，E＝0，F＝a2， ∴D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0， ∴方程(2)表示点(－a,0)．
判断二元二次方程 Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆要“两看”： 一看方程是否具备圆的一般方程的特征：①A＝C≠0；②B＝0； 二看它能否表示圆．此时判断 D2＋E2－4AF 是否大于 0；或直接配方变 形，判断等号右边是否为大于零的常数．
【名师点睛】2017高中数学人教B版必修二《直线的两点式方程》word版同步练习含答案
人教B 版 数学 必修2：直线的两点式方程一、选择题1、如果AC<0, 且BC<0,那么直线0=++C By Ax 不通过 （ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2、经过点A （1，2）并且在坐标轴上截距的绝对值相等的直线共有（ ）A. 4条B. 3条C. 2条D.1条3、ABC ∆的一个顶点是A （3，1），∠B 、∠C 的平分线分别是x=0、x=y ，则直线AB 的方程为（ ）A. 32+=x yB. 53+=x yC. 252+-=x y D. 52+=x y 4、设Ａ、Ｂ是x 轴上的两点，点Ｐ的横坐标为２，且|ＰＡ|＝|ＰＢ|，若直线ＰＡ的方程为x－y ＋1=0，则直线ＰＢ的方程是（ ）A ．x ＋y －5=0B ．2x －y －1=0C ．x －2y ＋4=0D ．2x ＋y －7=05、下列命题中正确的是( )A. 经过点P 0(x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0=k(x －x 0)表示B. 经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y=kx ＋b 表示．C. 经过任意两个不同点P 1(x 1，y 1)， P 2(x 2，y 2)的直线都可用方程(x 2－x 1)(y －y 1)=(y 2－y 1)(x－x 1)表示． D. 不经过原点的直线都可以用方程a x ＋by=1表示． 二、填空题6、直线043=+-k y x 在两坐标轴上截距之和为2，则实数=k __________________.7、直线053=-+y mx 经过连接A （-1，-2）、B （3，4）的线段的中点，则实数=m __________________.8、直线024=-+y Ax 与052=+-C y x 垂直，垂足为),1(m ，则=++m C A __________________.9、直线1=+by ax )0(≠ab 与两坐标轴围成的面积是__________________.10、已知三点A （2，-1）、B （5，7）、C （-1，-3），则通过ABC ∆的重心G 及顶点A 和原点连线的中点M 的直线方程是__________________. 三、解答题11、已知正方形边长为4，其中心在原点，对角线在坐标轴上，求正方形各边所在的直线的方程。
高中数学必修2单元配套练习试题4.1.2圆的一般方程及参考答案解析
4.1.2圆的一般方程姓名:___________班级:______________________1.圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为 ( )A.(4,－6),r＝16B.(2,－3),r＝4C.(－2,3),r＝4D.(2,－3),r＝162.若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆,则实数k的取值范围是( )A.RB.(－∞,1)C.(－∞,1]D.[1,＋∞)3.方程x2＋y2＋4x－2y＋5＝0表示的曲线是 ( )A.两直线B.圆C.一点D.不表示任何曲线4.如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)所表示的曲线关于y＝x对称,则必有( )A.D＝EB.D＝FC.F＝ED.D＝E＝F5.两圆x2＋y2－4x＋6y＝0和x2＋y2－6x＝0的圆心连线方程为( )A.x＋y＋3＝0B.2x－y－5＝0C.3x－y－9＝0D.4x－3y＋7＝06.若圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与x轴切于原点,则( )A.D＝0,E＝0,F≠0B.F＝0,D≠0,E≠0C.D＝0,F＝0,E≠0D.E＝0,F＝0,D≠07.若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限,那么直线x＋ay＋b＝0一定不经过( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限8.在圆x2＋y2－2x－6y＝0内,过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为( )A. C.9.圆心是(－3,4),经过点M(5,1)的圆的一般方程为 .10.已知圆C:x2＋y2－2x＋2y－3＝0,AB为圆C的一条直径,点A(0,1),则点B的坐标为________.11.若实数x,y满足x2＋y2＋4x－2y－4＝0,的最大值是__________.12.求经过两点P(－2,4),Q(3,－1),并且在x轴上截得的弦长等于6的圆的方程.13.已知方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9＝0表示一个圆.(1)求实数m的取值范围;(2)求该圆的半径r的取值范围.程.参考答案1.C【解析】由圆的一般方程可知圆心坐标为(－2,3),半径 4.r ==故选C. 考点:圆的一般方程.2.B【解析】由D 2＋E 2－4F ＝(－4)2＋22－4×5k＝20－20k ＞0,得k ＜1.考点:圆的一般方程.3.C【解析】原方程变形为222)(1)0x y ++-=（,所以方程表示的曲线是一个点(−2,1),故选C.考点:方程的曲线.4.A【解析】由题知圆心(2D - , 2E -)在直线y ＝x 上,即2E -＝2D -, ∴D＝E.故选A.考点:圆的一般方程.5.C【解析】两圆的圆心分别为(2,－3)、(3,0),直线方程为y ＝3(x －3),即3x －y －9＝0,故选C.考点:圆的一般方程及直线方程.6.C【解析】点(0,0)在圆上,代入圆的方程可得F ＝0.因为圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0与x 轴切于原点,所以圆心的横坐标为0,即02D -=,∴D＝0.由D 2＋E 2－4F ＞0,可得E 2＞0,∴E≠0,故选C.考点:圆的一般方程.7.D【解析】圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心为(a,32b -),则a ＜0,b ＞0.直线y ＝1x a -－b a ,其斜率k ＝1a -＞0,在y 轴上的截距为－b a＞0,所以直线不经过第四象限,故选D. 考点:圆与直线.8.B【解析】x 2＋y 2－2x －6y ＝0化成标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10,则圆心坐标为M(1,3),半径为.由圆的几何性质可知:过点E 的最长弦AC 为点E 所在的直径,则|AC|＝是过点E 的最短弦,则点E 为线段BD 的中点,且AC⊥BD ,E 为AC 与BD 的交点,则由垂径定理可是|BD|＝==.从而四边形ABCD 的面积为12|AC||BD|＝12×故选B. 考点:圆的弦长及四边形的面积.9.x 2＋y 2＋6x －8y －48＝0【解析】圆的半径r == ∴圆的标准方程为(x ＋3)2＋(y －4)2＝73,整理得,x 2＋y 2＋6x －8y －48＝0.考点:圆的一般方程.10.(2,－3)【解析】由x 2＋y 2－2x ＋2y －3＝0,得(x －1)2＋(y ＋1)2＝5,所以圆心为C(1,－1).设B(x 0,y 0),由中点坐标公式得0002,12,x y +=⎧⎨+=-⎩解得002,3,x y =⎧⎨=-⎩所以点B 的坐标为(2,－3).考点:圆心及中点坐标.3【解析】实数x,y 满足方程x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0,所以(x,y)为方程所表示的曲线上的动点. =,几何意义为:动点(x,y)到原点(0,0)的距离.对方程进行配方得:(x ＋2)2＋(y －1)2＝9,它表示以C(－2,1)为圆心,半径R ＝3的圆,原点在圆内.连接CO,由圆的几何性质可知,所求的最大值为|OC|+R 3.考点:利用曲线的几何意义求最值.12.x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0【解析】设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0,将P(－2,4),Q(3,－1)代入圆的方程得2420,310,D E F D E F --=⎧⎨-+=-⎩ 令y ＝0得x 2＋Dx ＋F ＝0.设x 1,x 2为方程x 2＋Dx ＋F ＝0的两根.由|x 1－x 2|＝6有D 2－4F ＝36,解得D ＝－2,E ＝－4,F ＝－8或D ＝－6,E ＝－8,F ＝0.∴圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.考点:求圆的方程.13.(1)－17＜m ＜1 (2)0 【解析】(1)要使方程表示圆,则4(m ＋3)2＋4(1－4m 2)2－4(16m 4＋9)＞0,即4m 2＋24m ＋36＋4－32m 2＋64m 4－64m 4－36＞0,整理得7m 2－6m －1＜0,解得－17＜m ＜1.(2)r===,.考点:圆的方程与轨迹.14.x2＋y2－2x＋4y－20＝0【解析】设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.∵圆经过点(4,2)和(－2,－6),∴42200, 26400,D E FD E F+++=⎧⎨+--=⎩①②设圆在x轴上的截距为x1、x2,它们是方程x2＋Dx＋F＝0的两个根,得x1＋x2＝－D.设圆在y 轴上的截距为y1、y2,它们是方程y2＋Ey＋F＝0的两个根,得y1＋y2＝－E.由已知,得－D＋(－E)＝－2,即D＋E－2＝0. ③由①②③联立解得D＝－2,E＝4,F＝－20.∴所求圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.考点:圆的方程.。
高中数学2.3圆的方程2.3.1圆的标准方程2.3.2圆的一般方程例题与探究新人教B版必修22017
2.3.1 圆的标准方程2.3.2 圆的一般方程典题精讲例 1求过三点 A(1,12)、B(7,10)、C(-9,2)的圆的方程,并求出圆的圆心与半径,作出图形. 思路分析:因为圆过三个定点,故可以设圆的一般式方程来求圆的方程. 解：设所求的圆的方程为 x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,依题意有 1144 12D E F,49 100 7D 10E F81 4 9D 2E F 0.0, 图 2-3-(1,2)-1解得 D=-2,E=-4,F=-95.于是所求圆的方程为 x 2+y 2-2x-4y-95=0. 将上述方程配方得(x-1)2+(y-2)2=100.于是,圆的圆心 D 的坐标为(1,2),半径为 10,图形如图 2-3-(1,2)-1所示.绿色通道：求过三个定点的圆的方程往往采用待定系数法求解.利用圆经过不在同一直线上的 三点的条件,由待定系数法求出圆的一般式方程,并由此讨论圆的几何性质.对于由一般式给出的圆的方程,研究其几何性质(圆心与半径等)时,常可用配方法或公式法加 以求解.变式训练 1已知圆 C 与圆(x-1)2+y 2=1关于直线 y=-x 对称，则圆 C 的方程为( ) A.(x+1)2+y 2=1 B.x 2+y 2=1 C.x 2+(y+1)2=1 D.x 2+(y-1)2=1 思路解析:求出圆心(1,0)关于直线 y=-x 的对称点为(0,-1),得到圆 C 的圆心.故选 C. 答案：C例 2求下列圆的方程:(1)圆心在直线 y=-2x 上,且与直线 y=1-x 相切于点(2,-1)； (2)圆心为 C(0,3),且截直线 y=x+1所得弦长为 4.思路分析:利用圆的标准方程,把条件转化为关于圆心和半径的方程组来求解. 解：(1)设圆心(a,-2a),圆的方程为(x-a)2+(y-2a)2=r 2.2a a 由r1(1) 1, 2(a 2)2(2a1) 2,a 解得 r1, 2,∴所求圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=2.(2)设圆的方程为(x-3)2+y2=r2,利用点到直线的距离公式可以求得d=| 3111=22,再根据垂径定理可知r= (22)22223.1∴所求圆的方程为(x-3)2+y 2=12.绿色通道：在解决与圆相关的问题时,如果涉及到圆心和半径,或者截得的弦长等问题,一般选 用圆的标准方程来解题.变式训练 2已知圆的半径为 10 ,圆心在直线 y=2x 上,圆被直线 x-y=0截得的弦长为 4 2 ,求 圆的方程.解：设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2,由圆心在直线 y=2x 上,得 b=2a.① 由圆被直线 x-y=0截得的弦长为 4 2 ,将 y=x 代入(x-a)2+(y-b)2=10,整理得 2x 2-2(a+b)x+a 2+b 2-10=0.由弦长公式得 2(a b )2 2(a 2 b 2 10) 4 2 .化简得 a-b=±2.②解①②得 a=2,b=4或 a=-2,b=-4,∴所求圆的方程为(x-2)2+(y-4)2=10或(x+2)2+(y+4)2=10.例 3如图 2-3-(1,2)-2所示,已知圆的内接四边形 ABCD 中两对角线 AC 、BD 互相垂直,垂足为 E,又 F 是 BC 的中点,试用坐标法证明 EF⊥AD.图 2-3-(1,2)-2思路分析:题中两对角线互相垂直,不妨就选它们为坐标轴,此时四个顶点的坐标表示较为简捷. 证 明 ： 建 立 如 图 2.3(1.2)2所 示 的 直 角 坐 标 系 xOy,并 设 A 、 B 、 C 、 D 的 坐 标 分 别 为 (0,-a),(b,0),(0,c),(-d,0)(a 、b 、c 、d ＞0).b c于是 BC 中点 F 的坐标为( , ),故 k EF = 2 2a ca又 k AD = EF ·k AD = ,故 k .,故 k . d bdc b.由圆的相交弦定理得 AE·EC=DE·EB,即 ac=bd.∴k EF ·k AD =-1.∴EF⊥AD.黑色陷阱：用坐标法处理平面几何问题的关键是建立好坐标系,此题若不以两对角线为坐标轴, 处理起来相当麻烦.在建立坐标系时,要使尽量多的点落在坐标轴上,或利用图中现有的垂直关 系.变 式 训 练 3在 △AOB 中 ,|OB|=3,|OA|=4,|AB|=5,点 P 是 △AOB 内 切 圆 上 的 点 ,求 |PA|2+|PB|2+|PC|2的最大值与最小值.2图 2-3-(1,2)-3解：如图 2-3-(1,2)-3建立直角坐标系,使 A 、B 、O 三点坐标分别为(4,0)、(0,3)、(0,0). 设内切圆半径为 r,则有 2r+|AB|=|OA|+|OB|,∴r=1.故内切圆方程为(x-1)2+(y-1)2=1.化为 x 2+y 2-2x-2y+1=0,① 设点 P(x,y),又∵|PA|2+|PB|2+|PC|2=3x 2+3y 2-8x-6y+25,② 由①知 x 2+y 2-2y=2x-1,代入②得 |PA|2+|PB|2+|PC|2=3(2x-1)-8x+25 =-2x+22. ∵x∈[0,2],∴|PA|2+|PB|2+|PC|2最大值为 22,最小值为 18.例 4判断下列方程是否表示圆，如果是,求出圆心和半径；如果不是,请说明理由. (1)x 2+y 2+4x-2y+12=0； (2)x 2+y 2-11x+3y-30=0； (3)3x 2+2y 2+3x-3y+5=0.思路解析:本题首先要观察各题目二次项系数是否相等,判定方程是否满足表示圆的条件,再依 据公式得出圆心和半径.答案：(1)x 2+y 2+4x-2y+12=0可以转化为(x+2)2+(y-1)2=-7,所以该方程不是圆的方程.(2)在 x 2+y 2-11x+3y-30=0中,- D 2 11 = ,- 2E 2 =-3 2 ,D 2+E 2-4F=250＞0,所以该方程表示圆心为11( ,-23 2),半径为5 10 的圆. (3)在 3x 2+2y 2+3x-3y+5=0中,因二次项系数不相等,所以该方程不是圆的方程. 绿色通道：对于这类问题,首先看题中所给方程是否能化为圆的方程的一般式形式：x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,在 D 2+E 2-4F ＞0的情况下,则有(-D 2 ,-E 2 )为圆心, 1 2 D 2E 2 为半径.不必死记这个公式,4F要掌握通过配方将圆的一般式转化为圆的标准式的方法.变式训练 4方程 ax 2+ay 2-4(a-1)x+4y=0表示圆,求实数 a 的取值范围,并求出其中半径最小的 圆的方程.解：原方程可化为［x-2(a1) a］2+(y+2 a)2=4(a 22a2 a2,∵a 2-2a+2＞0,∴当 a≠0 且 a∈R 时,原方程表示圆. 又∵4(a 22a2a2=2(a 242(2)a 4)a22aa22+2≥2,当且仅当 a=2时等号成立.∴a=2 时圆的半径最小,此时圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2. 问题探究问题 1探究圆的标准方程和圆的一般方程的异同点.导思：求圆的方程一般采用待定系数法，探究求圆的标准方程和圆的一般方程的异同点就是确3定待定系数个数是否相同,待定系数的特征是否相同,需要具备什么样的已知条件才能分别求出这两种圆的方程.探究：相同点：圆的标准方程和圆的一般方程中都有三个未知量(圆的标准方程中有三个待定系数:a、b、r，圆的一般方程中有三个待定系数:D、E、F)，故确定一个圆需要三个独立的条件，一般利用待定系数法确定，基本步骤为:(1)根据题意，设所求的圆的方程;(2)根据已知条件，建立关于a、b、r或D、E、F的方程组；(3)解方程组，求出a、b、r或D、E、F的值，并把它们代入所设的方程中去，就可得到所求圆的方程.不过针对具体问题，通过数形结合的思想，有时利用圆的几何性质解题，会有更简捷的解题途径.不同点：一是待定系数的含义不同，圆的标准方程中的三个待定系数有明确的几何特征，而圆的一般方程中的三个待定系数没有明确的几何特征；二是要根据具体题目中的已知条件确定是求圆的标准方程还是求圆的一般方程.当题目中已知圆心和半径的条件时，要求圆的标准方程，当题目中已知圆上的三个点的时候，要求圆的一般方程.问题2圆的一般方程是一个二元二次方程，试探究圆的一般方程与二元二次方程的关系.导思：圆的一般方程是一个特殊的二元二次方程，也就是说只有当二元二次方程满足特定的条件时，这个二元二次方程才能表示圆，这就需要我们把圆的一般方程和普通的二元二次方程写出来，分析它们的具体特征和限制条件.探究：比较圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的系数和二元二次方程的一般形式Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0的系数可以发现，圆的一般方程是当二元二次方程的系数满足以下三个条件时的特殊情况.(1)x2、y2项的系数相等且不为零，即A=C≠0;(2)没有xy项，即B=0;(3)D2+E2-4AF＞0.由此，我们可以发现二元二次方程不都表示圆，只有满足上面三个条件的二元二次方程才可以表示圆，但是，所有圆的方程都是二元二次方程，圆的方程只是二元二次方程中的一类特殊的方程.问题3一些圆的位置比较特殊，它们的方程有何特点？导思：圆的方程由圆心坐标和半径唯一确定.当圆与x轴相切时，圆心到x轴的距离等于圆的半径，此时圆心的纵坐标等于圆的半径或半径的相反数；当圆与y轴相切时，圆心到y轴的距离等于圆的半径，此时圆心的横坐标等于圆的半径或半径的相反数；当圆心在某一直线上时，圆心坐标满足圆的方程.探究：当圆心在原点时，x2+y2=r2(a=b=0)；当圆与x轴相切时，(x-a)2+(y-b)2=b2(b≠0)；当圆与y轴相切时，(x-a)2+(y-b)2=a2(a≠0)；当圆与两坐标轴都相切时，(x-a)2+(y-b)2=a2(|a|=|b|≠0)；当圆心在x轴上时，(x-a)2+y2=r2(r≠0)或x2+y2+Dx+F=0(D2-4F＞0)；当圆心在y轴上时，x2+(y-b)2=r2(r≠0)或x2+y2+Ey+F=0(E2-4F＞0).如果圆的位置符合上述情况，若按上述方程去设方程，可相对减少未知数的个数.4。
高中数学必修2(人教B版)第二章平面解析几何初步2.2知识点总结含同步练习题及答案
|a| = |b|
⋯⋯②
由 ①② 解得 a = b = 5 或 a = −1 ，b = 1 ，所以直线方程为 x + y − 5 = 0 或 x − y + 1 = 0． （ii）当 a = b = 0 时，直线过原点和 P (2, 3) ，所以直线方程为 3x − 2y = 0 ． 综上可知，所求直线方程为 x + y − 5 = 0 或 x − y + 1 = 0 或 3x − 2y = 0 ． 已知三角形的顶点是 A(−5, 0) ，B(3, −3) ，C (0, 2) ，求 AC 边所在直线的方程，以及该边上的 中线所在直线的方程． 解：过点 A(−5, 0) ，C (0, 2) 的两点式方程为
直线的基本量与方程 直线与直线的位置关系 直线的相关计算
三、知识讲解
1.直线的基本量与方程 描述： 直线的倾斜角 当直线l 与x 轴相交时，我们取 x 轴作为基准，x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α叫做直 线l 的倾斜角（angle of inclination）．直线倾斜角α 的取值范围为0 ∘ ≤ α < 180 ∘ ．
2 y − (−3) x−3 由两点式得直线 BD 的方程为 ，整理可得 8x + 11y + 9 = 0 ，这就是 = 1 − (−3) −5 − 3 2 AC 边上的中线所在直线的方程．
⎪ ⎩
2.直线与直线的位置关系 描述： 直线 l 1 ：y = k1 x + b 1 ，l 2 ：y = k2 x + b 2 ． 当 l 1 与 l 2 平行时，则 k1 = k2 且 b 1 ≠ b 2 ； 当 l 1 与 l 2 重合时，则 k1 = k2 且 b 1 = b 2 ； 当 l 1 与 l 2 相交时，则 k1 ≠ k2 ，特别地，若两直线垂直，则 k1 ⋅ k2 =#43; B 1 y + C1 = 0, A 2 1 + B 1 ≠ 0 ，l 2 ：A 2 x + B 2 y + C2 = 0, A 2 + B 2 ≠ 0 ． 当 l 1 与 l 2 平行时，则 A 1 B 2 = A 2 B 1 且 B 1 C2 ≠ B 2 C1 ； 当 l 1 与 l 2 重合时，则 A 1 B 2 = A 2 B 1 且 B 1 C2 = B 2 C1 ； 当 l 1 与 l 2 相交时，则 A 1 B 2 ≠ A 2 B 1 ，特别地，若两直线垂直，则 A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0 ． 例题： 直线 3x − 2y + m = 0 和 (m 2 + 1)x + 3y − 3m = 0 的位置关系是（ A．平行 B．重合 C．相交 D．不确定 解：两直线的斜率分别为 交． ）
人教版B版高中数学必修2圆的标准方程
y 轴相切的圆的方程.
3.已知圆的方程为 x2 y2 25，求过圆上一点 巩
A(4,3) 的切线方程.
固
你能归纳出具有一般性的结论吗？
提
已知圆的方程是 x2 y 2 r 2 ，经过圆上一点
高
M (x0 , y0 ) 的切线的方程是什么？
应
用
如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨 举
货车能不能驶入这个隧道？
启
迪
思
维
返回
应
用
如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨 举
度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需 例
用一个支柱支撑，求支柱A2 P2 的长度(精确到0.01m)
P2
巩
A
A1 A2 A3 A4 B
固 提
高
返回
1.求轨迹的一般思路：
坐标法
2.利用图形变换进行平移
②加深对数形结合思想的理解和 加强对待定系数法的运用；
景 分 析
③增强学生用数学的意识.
返 回
教学目标
教
情感目标: ①培养学生主动探究知识、合作
学 背
交流的意识；
景
②在体验数学美的过程中激发学 分生的学习兴趣. Nhomakorabea析
返 回
教
教学的重点和难点
学
重 点:
背
圆的标准方程的求法及其应用. 景
难 点:
分
①会根据不同的已知条件求圆的标 析
方 法
小
结
①圆心在C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为：
反 思
(x a)2 ( y b)2 r2
圆心在原点时，半径为r的圆的标准方程为：
高中数学必修二人教B版练习：2.3 圆的方程2.3.4 Word版含解析
第二章 2.3 2.3.4A级基础巩固一、选择题1．两圆x2＋y2＝r2，(x－3)2＋(y＋4)2＝4外切，则正实数r的值为导学号92434866 (C)A．1B．2C．3D．4[解析]两圆心的距离d＝5，由题意，得r＋2＝5，∴r＝3.2．已知M是圆C：(x－1)2＋y2＝1上的点，N是圆C′：(x－4)2＋(y－4)2＝82上的点，则|MN|的最小值为导学号92434867(D)A．4 B．42－1C．22－2 D．2[解析]∵|CC′|＝5＜R－r＝7，∴圆C内含于圆C′，则|MN|的最小值为R－|CC′|－r＝2.3．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A、B两点，则AB的垂直平分线的方程是导学号92434868(C)A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0[解析]圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0的圆心坐标分别为(2，－3)和(3,0)，AB的垂直平分线必过两圆圆心，只有选项C正确.4．两圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0和C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有导学号92434869(B)A．1条B．2条C．3条D．4条[解析]⊙C1圆心C1(－1，－1)，半径r1＝2，⊙C2圆心C2(2,1)，半径r2＝2，|C1C2|＝13，0<13<4，∴两圆相交.5．圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝2上与点(0，－5)距离最大的点的坐标是导学号 92434870( B )A ．(1，－2)B ．(3，－2)C ．(2，－1)D ．(2＋2，2－3)[解析] 验证法：所求的点应在圆心(2，－3)与点(0，－5)确定的直线x －y －5＝0上，故选B ．6．动点P 与定点A (－1,0)，B (1,0)连线的斜率之积为－1，则P 点的轨迹方程为导学号 92434871( B )A ．x 2＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝1(x ≠±1)C ．x 2＋y 2＝1(x ≠0)D ．y ＝1－x 2[解析] 直接法，设P (x ，y )，由k P A ＝yx ＋1，k PB ＝y x －1及题设条件y x ＋1·yx －1＝－1(x ≠±1)知选B ．二、填空题7．圆x 2＋y 2＋6x －7＝0和圆x 2＋y 2＋6y －27＝0的位置关系是__相交__. 导学号 92434872[解析] 圆x 2＋y 2＋6x －7＝0的圆心为O 1(－3,0)，半径r 1＝4，圆x 2＋y 2＋6y －27＝0的圆心为O 2(0，－3)，半径为r 2＝6，∴|O 1O 2|＝(－3－0)2＋(0＋3)2＝32，∴r 2－r 1<|O 1O 2|<r 1＋r 2. 故两圆相交.8．两圆x 2＋y 2－6x ＝0和x 2＋y 2＝4的公共弦所在直线的方程是__x ＝23导学号 92434873[解析] 两圆的方程x 2＋y 2－6x ＝0和x 2＋y 2＝4相减，得公共弦所在直线的方程为x ＝23.三、解答题9．判断下列两圆的位置关系. 导学号 92434874 (1)C 1：x 2＋y 2－2x －3＝0，C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0； (2)C 1：x 2＋y 2－2y ＝0，C 2：x 2＋y 2－23x －6＝0；(3)C1：x2＋y2－4x－6y＋9＝0，C2：x2＋y2＋12x＋6y－19＝0；(4)C1：x2＋y2＋2x－2y－2＝0，C2：x2＋y2－4x－6y－3＝0.[解析](1)∵C1：(x－1)2＋y2＝4，C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝2.∴圆C1的圆心坐标为(1,0)，半径r1＝2，圆C2的圆心坐标为(2，－1)，半径r2＝2，d＝|C1C2|＝(2－1)2＋(－1)2＝ 2.∵r1＋r2＝2＋2，r1－r2＝2－2，∴r1－r2<d<r1＋r2，两圆相交.(2)∵C1：x2＋(y－1)2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，∴圆C1的圆心坐标为(0,1)，r1＝1，圆C2的圆心坐标为(3，0)，r2＝3，d＝|C1C2|＝3＋1＝2.∵r2－r1＝2，∴d＝r2－r1，两圆内切.(3)∵C1：(x－2)2＋(y－3)2＝4，C2：(x＋6)2＋(y＋3)2＝64.∴圆C1的圆心坐标为(2,3)，r1＝2，圆C2的圆心坐标为(－6，－3)，r2＝8，d＝|C1C2|＝(2＋6)2＋(3＋3)2＝10.∵r1＋r2＝10，∴d＝r1＋r2，两圆外切.(4)∵C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，C2：(x－2)2＋(y－3)2＝16，∴圆C1的圆心坐标为(－1,1)，r1＝2，圆C2的圆心坐标为(2,3)，r2＝4，d＝|C1C2|＝(2＋1)2＋(3－1)2＝13.∵r1＋r2＝6，r2－r1＝2，∴r2－r1<d<r1＋r2，两圆相交.10．已知圆C1：x2＋y2－2x－4y－13＝0，C2：x2＋y2－2ax－6y＋a2＋1＝0(其中a>0)相外切，且直线l ：mx ＋y －7＝0与C 2相切. 导学号 92434875求：(1)圆C 2的标准方程； (2)m 的值.[解析] (1)由题知C 1：(x －1)2＋(y －2)2＝18， C 2：(x －a )2＋(y －3)2＝8.因为C 1与C 2相外切，所以圆心距d ＝r 1＋r 2， 即(a －1)2＋(3－2)2＝32＋22，所以a ＝8或－6(舍去).所以圆C 2的标准方程为(x －8)2＋(y －3)2＝8. (2)由(1)知圆心C 2(8,3)，因为l 与C 2相切， 所以圆心C 2到直线l 的距离d ＝r ， 即|8m ＋3－7|m 2＋1＝22， 所以m ＝1或17.B 级 素养提升一、选择题1．(2016～2017·太原高一检测)已知半径为1的动圆与圆(x －5)2＋(y ＋7)2＝16相外切，则动圆圆心的轨迹方程是导学号 92434876( A )A ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝25B ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝9C ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝15D ．(x ＋5)2＋(y －7)2＝25 [解析] 设动圆圆心为P (x ，y )，则(x －5)2＋(y ＋7)2＝4＋1，∴(x －5)2＋(y ＋7)2＝25. 故选A ．2．过圆x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0内的点M (3,0)作一条直线l ，使它被该圆截得的线段最短，则直线l 的方程是导学号 92434877( A )A ．x ＋y －3＝0B ．x －y －3＝0C ．x ＋4y －3＝0D ．x －4y －3＝0[解析] 圆x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0的圆心C (1，－2)，当CM ⊥l 时，l 截圆所得的弦最短，k CM ＝－2－01－3＝1，∴k l ＝－1，故所求直线l 的方程为y －0＝－(x －3)，即x ＋y －3＝0. 3．(2016·山东文)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是导学号 92434878( B )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离[解析] 由题知圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a2，所以2a 2－a 22＝22，解得a ＝2. 圆M 、圆N 的圆心距|MN |＝2，两圆半径之差为1、半径之和为3，故两圆相交.二、填空题4．⊙O ：x 2＋y 2＝1，⊙C ：(x －4)2＋y 2＝4，动圆P 与⊙O 和⊙C 都外切，动圆圆心P 的轨迹方程为__60x 2－4y 2－240x ＋225＝0__. 导学号 92434879[解析] ⊙P 与⊙O 和⊙C 都外切，设⊙P 的圆心P (x ，y )，半径为R ， 则|PO |＝x 2＋y 2＝R ＋1， |PC |＝(x －4)2＋y 2＝R ＋2，∴(x －4)2＋y 2－x 2＋y 2＝1，移项、平方化简得：60x 2－4y 2－240x ＋225＝0.5．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝49－x 2}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋m }，且A ∩B ≠∅，则m 的取值范围是导学号 92434880[解析] 由A ∩B ≠∅，即直线y ＝x ＋m 与半圆y ＝49－x 2有交点，如图所示.如图可知，－7≤m ≤7 2.三、解答题6．求经过两圆x 2＋y 2－2x －3＝0与x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0的交点，且圆心在直线2x －y ＝0上的圆的方程. 导学号 92434881[解析] 解法一：由两圆方程联立求得交点A (1，－2)，B (3,0)，设圆心C (a ，b )，则由|CA |＝|CB |及C 在直线2x －y ＝0上，求出a ＝13，b ＝23.∴所求圆的方程为3x 2＋3y 2－2x －4y －21＝0.解法二：同上求得A (1，－2)、B (3,0)，则圆心在线段AB 的中垂线y ＝－x ＋1上，又在y ＝2x 上，得圆心坐标⎝⎛⎭⎫13，23.∴所求圆的方程为3x 2＋3y 2－2x －4y －21＝0.C 级 能力拔高1．求⊙C 1：x 2＋y 2－2y ＝0与⊙C 2：x 2＋y 2－23x －6＝0的公切线方程. 导学号 92434882[解析] ⊙C 1：x 2＋(y －1)2＝12，圆心C 1(0,1)，半径r ＝1， ⊙C 2：(x －3)2＋y 2＝32，圆心C 2(3，0)，半径R ＝3， 圆心距|C 1C 2|＝2，∴|C 1C 2|＝R －r ，故两圆内切，其公切线有且仅有一条过该两圆的公共点(切点)，又由内切两圆的连心线过切点且垂直于两圆的公切线知，切点在直线C 1C 2上， ∵C 1C 2：x ＋3y －3＝0，∴切线斜率k ＝ 3.设切线方程为y ＝3x ＋b ，由圆心C 1(0,1)到切线距离d ＝1，得|－1＋b |2＝1，∴b ＝3或－1.由C 2(3，0)到切线距离d ′＝3，得|3＋b |2＝3，∴b ＝3或－9，∴b ＝3，∴公切线方程为y ＝3x ＋3，即3x －y ＋3＝0.2．已知圆A ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0，若圆B 平分圆A 的周长，且圆B 的圆心在直线l ：y ＝2x 上，求满足上述条件的半径最小的圆B 的方程. 导学号 92434883[解析] 解法一：设圆B 的半径为r ，∵圆B 的圆心在直线l ：y ＝2x 上，∴圆B 的圆心可设为(t,2t )，则圆B 的方程是(x －t )2＋(y －2t )2＝r 2，即x 2＋y 2－2tx －4ty ＋5t 2－r 2＝0. ①∵圆A 的方程x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0.② ∴②－①，得两圆的公共弦方程(2＋2t )x ＋(2＋4t )y －5t 2＋r 2－2＝0.③又∵圆B 平分圆A 的周长，∴圆A 的圆心(－1，－1)必在公共弦上，于是，将x ＝－1，y ＝－1代入方程③，并整理得：r 2＝5t 2＋6t ＋6＝5⎝⎛⎭⎫t ＋352＋215≥215，所以t ＝－35时，r min ＝215. 此时，圆B 的方程是⎝⎛⎭⎫x ＋352＋⎝⎛⎭⎫y ＋652＝215.解法二：如图，设圆A 、圆B 的圆心分别为A 、B . 则A (－1，－1)，B 在直线l ：y ＝2x 上，连接AB ，过A 作MN ⊥AB ，且MN 交圆于M 、N 两点. ∴MN 为圆A 的直径.∵圆B 平分圆A ，∴只需圆B 经过M 、N 两点. ∵圆A 的半径是2，设圆B 的半径为r ， ∴r ＝|MB |＝|AB |2＋|AM |2＝|AB |2＋4.欲求r 的最小值，只需求|AB |的最小值. ∵A 是定点，B 是l 上的动点， ∴当AB ⊥l ，即MN ∥l 时，|AB |最小. 于是，可求得B ⎝⎛⎭⎫－35，－65，r min ＝215， 故圆B 的方程是⎝⎛⎭⎫x ＋352＋⎝⎛⎭⎫y ＋652＝215.。
数学人教B必修二刷题首选卷：2.3.2 圆的一般方程 Word含解析含答案
►2．3．2 圆的一般方程1．若圆的方程是x 2＋y 2－2x ＋10y ＋23＝0，则该圆的圆心坐标和半径分别是( )A ．(－1，5)， 3B ．(1，－5)， 3C ．(－1，5)，3D ．(1，－5)，3 答案 B解析 解法一(化为标准方程)：(x －1)2＋(y ＋5)2＝3； 解法二(利用一般方程)：⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2为圆心，半径r ＝D 2＋E 2－4F 2，－D2＝1，－E2＝－5，r ＝3．2．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋54a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是( ) A ．a<1 B ．a>1C ．－2<a<23 D ．－2<a<0 答案 A解析 当a 2＋4a 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫54a 2＋a －1>0时表示圆的方程，故－a ＋1>0，解得a<1．A ．x 2＋y 2＋8x ＋6y ＝0B ．x 2＋y 2－8x －6y ＝0C ．x 2＋y 2＋8x －6y ＝0D ．x 2＋y 2－8x ＋6y ＝0 答案 D解析 设所求的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，因为A(0，0)，B(1，1)，C(4，2)三点在圆上，则⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，D ＋E ＋F ＋2＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－8，E ＝6，F ＝0，于是所求圆的一般方程是x 2＋y 2－8x ＋6y ＝0．4．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，则圆C 的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x －3＝0B ．x 2＋y 2＋4x ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －3＝0D ．x 2＋y 2－4x ＝0 答案 D解析 设圆心为(a ，0)(a>0)，由题意知圆心到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离d ＝|3a ＋4|32＋42＝3a ＋45＝r ＝2，解得a ＝2，所以圆心坐标为(2，0)，则圆C 的方程为：(x －2)2＋y 2＝4，化简得x 2＋y 2－4x ＝0，所以D 正确．轨迹问题5．已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，那么点P 的轨迹所包围的图形的面积等于()A．π B．4π C．8π D．9π答案 B解析设点P的坐标为(x，y)，则(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，即(x－2)2＋y2＝4，所以点P的轨迹是以(2，0)为圆心，2为半径的圆，故面积为π×22＝4π．6．已知等腰三角形ABC的顶点为A(3，20)，一底角顶点为B(3，5)，求另一底角顶点C的轨迹方程．解设另一底角顶点为C(x，y)，则由等腰三角形的性质可知|AC|＝|AB|，即(x－3)2＋(y－20)2＝(3－3)2＋(5－20)2，整理得(x－3)2＋(y－20)2＝225．当x＝3时，A，B，C三点共线，不符合题意，故舍去．综上可知，另一底角顶点C的轨迹方程为(x－3)2＋(y－20)2＝225(x≠3)．一、选择题1．方程x2＋y2－2x＋m＝0表示一个圆，则m的取值范围是()A．m＜1 B．m＜2 C．m≤12D．m≤1答案 A解析由圆的一般式方程可知(－2)2－4m＞0，∴m＜1．2．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为22，则a的值为()A ．－2或2B ．12或32 C ．2或0 D ．－2或0 答案 C解析 将圆的一般方程化为圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，所以圆心(1，2)到直线的距离d ＝|1－2＋a|2＝22，解得a ＝0或a ＝2．3．点P(4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 答案 A解析 设圆上任一点为Q(x 0，y 0)，PQ 中点为M(x ，y)，根据中点坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2.因为Q(x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，即(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化为(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，故选A ．4．圆x 2＋y 2－2x －1＝0关于直线2x －y ＋3＝0对称的圆的方程是( ) A ．(x ＋3)2＋(y －2)2＝12 B ．(x －3)2＋(y ＋2)2＝12 C ．(x ＋3)2＋(y －2)2＝2 D ．(x －3)2＋(y ＋2)2＝2 答案 C解析 已知圆的圆心为(1，0)，半径等于2，圆心关于直线2x －y ＋3＝0对称的点为(－3，2)，此点即为对称圆的圆心，两圆的半径相等，故选C ．5．与圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＋3＝0同心，且过点(1，－1)的圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2－4x ＋6y －8＝0 B ．x 2＋y 2－4x ＋6y ＋8＝0 C ．x 2＋y 2＋4x －6y －8＝0 D ．x 2＋y 2＋4x －6y ＋8＝0答案 B解析 设所求圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋6y ＋m ＝0，由该圆过点(1，－1)，得m ＝8，所以所求圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋6y ＋8＝0．二、填空题6．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋23y －5＝0，则圆心坐标为________；此圆中过原点的弦最短时，该弦所在的直线方程为________．答案 (－1，－3) x ＋3y ＝0解析 将圆C 的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝9，故圆心为C(－1，－3)．因为k CO ＝3，所以所求直线的斜率为k ＝－33，直线的方程为y ＝－33x ，即x ＋3y ＝0．7．已知点P 是圆C ：x 2＋y 2＋4x ＋ay －5＝0上任意一点，P 点关于直线2x ＋y －1＝0的对称点也在圆C 上，则实数a ＝________．答案 －10解析 由题意知圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－a 2应在直线2x ＋y －1＝0上，代入解得a ＝－10，符合D 2＋E 2－4F>0的条件．8．若圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋m ＝0与y 轴交于A ，B 两点，且∠ACB ＝90°(其中C 为已知圆的圆心)，则实数m 等于________．答案 －3解析 设A(0，y 1)，B(0，y 2)，在圆方程中令x ＝0得y 2＋2y ＋m ＝0，y 1，y 2即为该方程的两根，由根与系数的关系及判别式得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－4m>0，y 1＋y 2＝－2，y 1·y 2＝m ，而∠ACB ＝90°，知C(2，－1)，AC ⊥BC ，即得k AC ·k BC ＝－1，即y 1＋1－2·y 2＋1－2＝－1，即y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝－4代入上面的结果得m －2＋1＝－4，∴m ＝－3，符合m<1的条件． 三、解答题9．试判断A(1，2)，B(0，1)，C(7，－6)，D(4，3)四点是否在同一个圆上． 解 解法一：线段AB ，BC 的斜率分别是k AB ＝1，k BC ＝－1，得k AB ≠k BC ，则A ，B ，C 三点不共线，设过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0．因为A ，B ，C 三点在圆上，所以⎩⎪⎨⎪⎧D ＋2E ＋F ＋5＝0，E ＋F ＋1＝0，7D －6E ＋F ＋85＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－8，E ＝4，F ＝－5，所以过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2＋y 2－8x ＋4y －5＝0，将点D 的坐标(4，3)代入方程，得42＋32－8×4＋4×3－5＝0，即点D 在圆上，故A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上．解法二：因为k AB ·k BC ＝2－11－0×1＋60－7＝－1，所以AB ⊥BC ，所以AC 是过A ，B ，C 三点的圆的直径，|AC|＝(1－7)2＋(2＋6)2＝10，线段AC 的中点M 即为圆心M(4，－2)．因为|DM|＝(4－4)2＋(3＋2)2＝5＝12|AC|，所以点D 在圆M 上，所以A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上．10．已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．解(1)设AP中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标(2x－2，2y)．因为点P在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4．故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1．(2)设PQ的中点为N(x，y)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4．故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0．。
人教B版数学必修2同步练习-2.3.2 圆的一般方程 Word版含答案
．已知圆的方程为＋＋－－＝，那么经过圆心的一条直线的方程是()．．－＋＝．－＋＝．－－＝．－－＝．如果方程＋－＋＋＝表示的曲线是圆，则实数的取值范围是()．．＞或＜．．＜＜．≥或≤．已知(－)、()，点是圆＋－＝上任意一点，则△的面积的最大值为()．．．．．．圆＋－＋＋＝与轴交于、两点，其圆心为，若∠＝°，则实数的值是()．．－．．．．已知圆＋－－(－)＋－－＝()，若圆的圆心一定在直线上，则的方程为．．已知圆：＋＋＋－＝(为实数)上任意一点关于直线：－＋＝的对称点都在圆上，则＝.．在平面上，已知定点、，且＝.如果动点到点的距离和到点的距离之比为∶，那么求动点的轨迹．．在平面直角坐标系中，设二次函数()＝＋＋()的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为．()求实数的取值范围；()求圆的方程；()问圆是否经过某定点(其坐标与无关)？请证明你的结论．.已知圆：＋－－＋＝及点(－)．()若点(，＋)在圆上，求直线的方程；()若是圆上任一点，求的最大值和最小值；()若点(，)满足关系＋－－＋＝，求的最大值和最小值．参考答案.答案：.答案：.答案：解析：要使△的面积最大，即要求点到的距离最大，亦即求圆上点中到直线距离的最大值，应为圆心到直线距离与半径之和．由于圆心()到直线：－＋＝的距离为，即到的距离的最大值为，故△面积的最大值为.答案：解析：由题意得令＝得＋＋＝，∴＋＝－，＝.∴＝－＝(＋)－＝－.又∵∠＝°，∴＝．∴(－)＝－.解得＝－．.答案：－－＝解析：设圆心坐标为(，)，则消去得－－＝..答案：－.解：如图所示，取所在直线为轴，从到为正方向，以的中点为原点，以的中垂线为轴，建立直角坐标系，则(－)，()．设(，)，由，得到，化简整理，得＋－＋＝，即．这就是动点移动形成的曲线的方程，它表示以()为圆心，为半径的圆．.解：()令＝，得抛物线与轴的交点是(，)．令()＝，得＋＋＝，由题意≠，且△＞，解得＜且≠.()设所求圆的一般方程为＋＋＋＋＝，令＝，得＋＋＝，这与＋＋＝是同一个方程，故＝，＝.令＝，得＋＋＝，此方程有一个根为，将代入方程得＝－－．所以圆的方程为＋＋－(＋)＋＝.()圆必过定点()和(－)．。
人教B版数学必修2同步练习-2.3.2 圆的一般方程 Word版含答案
1．已知圆的方程为x 2＋y 2＋2x －4y －10＝0，那么经过圆心的一条直线的方程是()．A ．x －3y ＋7＝0B ．3x －y ＋7＝0C ．x －3y －7＝0D ．3x －y －7＝02．如果方程2x 2＋2y 2－ax ＋2y ＋58a ＝0表示的曲线是圆，则实数a 的取值范围是()．A ．a ＞4或a ＜1B ．a RC ．1＜a ＜4D ．a ≥4或a ≤13．已知A (－2,0)、B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 的面积的最大值为()．A ．3B ．4C ．62-D ．34．圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋m ＝0与y 轴交于A 、B 两点，其圆心为P ，若∠APB ＝90°，则实数m 的值是()．A ．－3B ．3C ．D ．85．已知圆x 2＋y 2－6mx －2(m －1)y ＋10m 2－2m －24＝0(mR )，若圆的圆心一定在直线l 上，则l 的方程为______________________．6．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝____.7．在平面上，已知定点A 、B ，且|AB |＝2a .如果动点P 到点A 的距离和到点B 的距离之比为2∶1，那么求动点P 的轨迹．8．在平面直角坐标系xOy 中，设二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b (xR )的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C ．(1)求实数b 的取值范围；(2)求圆C 的方程；(3)问圆C 是否经过某定点(其坐标与b 无关)？请证明你的结论．9.已知圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0及点Q (－2,3)．(1)若点P (m ，m ＋1)在圆C 上，求直线PQ 的方程；(2)若M 是圆C 上任一点，求|MQ |的最大值和最小值；(3)若点N (a ，b )满足关系a 2＋b 2－4a －14b ＋45＝0， 求32b u a -=+的最大值和最小值．参考答案1.答案：A2.答案：A3.答案：D解析：要使△ABC的面积最大，即要求点C到AB的距离最大，亦即求圆上点中到直线AB距离的最大值，应为圆心到直线AB距离d与半径r之和．由于圆心(1,0)到直线AB：x－y＋2＝0的距离d为=，即C到AB的距离的最大值为1，故△ABC面积的最大值为1|AB|1)32⨯⨯=4.答案：A解析：由题意得r=令x＝0得y2＋2y＋m＝0，∴y1＋y2＝－2，y1y2＝m.∴|AB|2＝|y1－y2|2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝4－4m.又∵∠APB＝90°，∴2r2＝|AB|2．∴2(5－m)＝4－4m.解得m＝－3．5.答案：x－3y－3＝0解析：设圆心坐标为(x，y)，则3,1,x my m=⎧⎨=-⎩消去m得x－3y－3＝0.6.答案：－27.解：如图所示，取AB所在直线为x轴，从A到B为正方向，以AB的中点O为原点，以AB的中垂线为y 轴，建立直角坐标系，则A(－a,0)，B(a,0)．设P(x，y)，由21PAPB=2=，化简整理，得3x2＋3y2－10ax＋3a2＝0，即222516()39x a y a-+=．这就是动点P移动形成的曲线的方程，它表示以C(53a,0)为圆心，43a为半径的圆．8.解：(1)令x＝0，得抛物线与y轴的交点是(0，b)．令f(x)＝0，得x2＋2x＋b＝0，由题意b≠0，且△＞0，解得b＜1且b≠0.(2)设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b.令x＝0，得y2＋Ey＋b＝0，此方程有一个根为b，将b代入方程得E＝－b－1．所以圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.(3)圆C必过定点(0,1)和(－2,1)．证明如下：将(0,1)代入圆C的方程，得左边＝02＋12＋2×0－(b ＋1)＋b ＝0，右边＝0.所以圆C 必过定点(0,1)．同理可证圆C 必过定点(－2,1)．9.解：将圆C 的方程变形，得(x －2)2＋(y －7)2＝8，所以圆心C 为(2,7)．(1)因为点P (m ，m ＋1)在圆C 上，所以将点P 的坐标代入圆C 的方程，得(m －2)2＋(m ＋1－7)2＝8，解得m ＝4．∴点P 的坐标为(4,5)，∴经过P 、Q 两点的直线方程为535(4)4(2)y x --=---，即x －3y ＋11＝0. (2)经过Q 、C 两点的直线方程为733[(2)]2(2)y x --=----，即y ＝x ＋5. M 是圆C 上任一点，要使点M 到点Q 的距离达到最大或最小，点M 必是直线QC 与圆C 的交点，因此解方程组225,(2)(7)8,y x x y =+⎧⎨-+-=⎩得0,5x y =⎧⎨=⎩或4,9.x y =⎧⎨=⎩ 所以，得到M ′(0,5)、M ″(4,9)．故min |||'|MQ M Q ===max ||MQ M Q "＝(3)由题意可得，点N 在圆C 上，因此求u 的最大与最小值，就是求直线NQ 的斜率的最大与最小值，也就是求过点Q ，且与圆C 相切的直线的斜率．设直线NQ 的斜率为k ，则直线NQ 的方程为：y ＝kx ＋2k ＋3，将y ＝kx ＋2k ＋3代入圆C 的方程，并化简得(1＋k 2)x 2＋(4k 2－8k －4)x ＋4k 2－16k ＋12＝0，令△＝(4k 2－8k －4)2－4(1＋k 2)(4k 2－16k ＋12)＝0，解得2k =所以max 2u =min 2u =.。
2016-2017学年高中数学人教B版必修2学业测评：2.3.2 圆的一般方程 含解析
学业分层测评(建议用时：45分钟)［学业达标］一、选择题1．方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是( ）A．一个点B．一个圆C．一条直线D．不存在【解析】方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0，可化为x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，即(x－1)2＋(y＋2）2＝0，故方程表示点（1，－2）．【答案】A2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的圆过原点且圆心在直线y ＝x上的条件是（)A．D＝E＝0，F≠0B．D＝F＝0，E≠0C．D＝E≠0,F≠0D．D＝E≠0,F＝0【解析】∵圆过原点,∴F＝0，又圆心在y＝x上，∴D＝E≠0。
【答案】D3．由方程x2＋y2＋x＋（m－1）y＋错误!m2＝0所确定的圆中,最大面积是（）A。
错误!πB。
错误!πC．3πD．不存在【解析】所给圆的半径为r＝错误!＝错误!错误!。
所以当m＝－1时,半径r取最大值错误!，此时最大面积是错误!π.【答案】B4．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为错误!，则a的值为（）A．－2或2 B。
错误!或错误!C．2或0 D．－2或0【解析】把圆x2＋y2－2x－4y＝0化为标准方程为（x－1）2＋(y－2)2＝5，故此圆圆心为(1，2)，圆心到直线x－y＋a＝0的距离为错误!，则错误!＝错误!,解得a＝2或a＝0。
故选C.【答案】C5．（2016·惠州高一检测)若Rt△ABC的斜边的两端点A，B的坐标分别为（－3,0）和（7，0),则直角顶点C的轨迹方程为（）A．x2＋y2＝25（y≠0)B．x2＋y2＝25C．（x－2）2＋y2＝25（y≠0）D．(x－2)2＋y2＝25【解析】线段AB的中点为（2，0)，因为△ABC为直角三角形，C为直角顶点，所以C到点（2,0)的距离为错误!｜AB|＝5，所以点C（x,y)满足错误!＝5（y≠0)，即（x－2)2＋y2＝25（y≠0）．【答案】C二、填空题6．已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数）上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝________。
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1．已知圆的方程为x2＋y2＋2x－4y－10＝0，那么经过圆心的一条直线的方程是()．A．x－3y＋7＝0B．3x－y＋7＝0
C．x－3y－7＝0 D．3x－y－7＝0
2．如果方程2x2＋2y2－ax＋2y＋5
8
a＝0表示的曲线是圆，则实数a的取值范围是()．
A．a＞4或a＜1 B．a R
C．1＜a＜4 D．a≥4或a≤1
3．已知A(－2,0)、B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC的面积的最大值为()．
A．3B．4C D．3
4．圆x2＋y2－4x＋2y＋m＝0与y轴交于A、B两点，其圆心为P，若∠APB＝90°，则实数m的值是()．
A．－3B．3 C．D．8
5．已知圆x2＋y2－6mx－2(m－1)y＋10m2－2m－24＝0(m R)，若圆的圆心一定在直线l上，则l的方程为______________________．
6．已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝____.
7．在平面上，已知定点A、B，且|AB|＝2a.如果动点P到点A的距离和到点B的距离之比为2∶1，那么求动点P的轨迹．
8．在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x R)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．
(1)求实数b的取值范围；
(2)求圆C的方程；
(3)问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论．
9.已知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0及点Q(－2,3)．
(1)若点P(m，m＋1)在圆C上，求直线PQ的方程；
(2)若M是圆C上任一点，求|MQ|的最大值和最小值；
(3)若点N(a，b)满足关系a2＋b2－4a－14b＋45＝0，
求
3
2
b
u
a
-
=
+
的最大值和最小值．
参考答案
1. 答案：A
2. 答案：A
3. 答案：D
解析：要使△ABC 的面积最大，即要求点C 到AB 的距离最大，亦即求圆上点中到直线AB 距离的最大值，应为圆心到直线AB 距离d 与半径r 之和．由于圆心(1,0)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d
=即C 到AB
1，故△ABC
面积的最大值为1|AB|1)32
⨯⨯=+ 4. 答案：A 解析：
由题意得r =令x ＝0得y 2＋2y ＋m ＝0，
∴y 1＋y 2＝－2，y 1y 2＝m .∴|AB |2＝|y 1－y 2|2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝4－4m .
又∵∠APB ＝90°，∴2r 2＝|AB |2．
∴2(5－m )＝4－4m .解得m ＝－3． 5. 答案：x －3y －3＝0
解析：设圆心坐标为(x ，y )，则3,1,x m y m =⎧⎨
=-⎩消去m 得x －3y －3＝0. 6. 答案：－2
7. 解：如图所示，取AB 所在直线为x 轴，从A 到B 为正方向，以AB 的中点O 为原点，以AB 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系，则A (－a ,0)，B (a ,0)．
设P (x ，y)，由21PA
PB =
2=，
化简整理，得3x 2＋3y 2－10ax ＋3a 2＝0，即222516()39
x a y a -+=． 这就是动点P 移动形成的曲线的方程，它表示以C (
53a ,0)为圆心，43a 为半径的圆． 8. 解：(1)令x ＝0，得抛物线与y 轴的交点是(0，b )．
令f (x )＝0，得x 2＋2x ＋b ＝0，由题意b ≠0，且△＞0，解得b ＜1且b ≠0.
(2)设所求圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，
令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，这与x 2＋2x ＋b ＝0是同一个方程，故D ＝2，F ＝b . 令x ＝0，得y 2＋Ey ＋b ＝0，此方程有一个根为b ，将b 代入方程得E ＝－b －1． 所以圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －(b ＋1)y ＋b ＝0.
(3)圆C 必过定点(0,1)和(－2,1)．
证明如下：将(0,1)代入圆C 的方程，
得左边＝02＋12＋2×0－(b ＋1)＋b ＝0，右边＝0.
所以圆C 必过定点(0,1)．
同理可证圆C 必过定点(－2,1)．
9. 解：将圆C 的方程变形，得(x －2)2＋(y －7)2＝8，
所以圆心C 为(2,7)．
(1)因为点P (m ，m ＋1)在圆C 上，所以将点P 的坐标代入圆C 的方程，得(m －2)2＋(m ＋1－7)2＝8，解得m ＝4．
∴点P 的坐标为(4,5)，
∴经过P 、Q 两点的直线方程为535(4)4(2)
y x --=---，即x －3y ＋11＝0. (2)经过Q 、C 两点的直线方程为733[(2)]2(2)y x --=
----，即y ＝x ＋5. M 是圆C 上任一点，要使点M 到点Q 的距离达到最大或最小，点M 必是直线QC 与圆C 的交点，因此解方程组225,(2)(7)8,y x x y =+⎧⎨-+-=⎩ 得0,5x y =⎧⎨=⎩或4,9.x y =⎧⎨=⎩
所以，得到M ′(0,5)、M ″(4,9)．
故min |||'|MQ M Q ===
max ||MQ M Q "＝
(3)由题意可得，点N 在圆C 上，因此求u 的最大与最小值，就是求直线NQ 的斜率的最大与最小值，也就是求过点Q ，且与圆C 相切的直线的斜率．
设直线NQ 的斜率为k ，则直线NQ 的方程为：y ＝kx ＋2k ＋3，将y ＝kx ＋2k ＋3代入圆C 的方程，并化简得
(1＋k 2)x 2＋(4k 2－8k －4)x ＋4k 2－16k ＋12＝0，
令△＝(4k 2－8k －4)2－4(1＋k 2)(4k 2－16k ＋12)＝0，
解得2k =±
所以max 2u =，min 2u =.。