小学五年级奥数练习及部分答案--10数的进位制(二)

北师大版最新小学五年级下册数学奥数题带答案图文百度文库

北师大版最新小学五年级下册数学奥数题带答案图文百度文库一、拓展提优试题1．观察下表中的数的规律，可知第8行中，从左向右第5个数是．2．（7分）对于a、b，定义运算“@”为：a@b＝（a+5）×b，若x@1.3＝11.05，则x＝．3．如图，在梯形ABCD中，若AB＝8，DC＝10，S△AMD＝10，S△BCM＝15，则梯形ABCD的面积是．4．某数学竞赛有10道题，规定每答对一题得5分，答错或不答扣2分．A、B 两人各自答题，得分之和是58分，A比B多得14分，则A答对道题．5．如图，若长方形S长方形ABCD＝60平方米，S长方形XYZR＝4平方米，则四边形S四边＝平方米．形EFGH6．解放军战士在洪水不断冲毁大坝的过程中要修好大坝，若10人需45分钟，20人需要20分钟，则14人修好大坝需分钟．7．四位数的所有因数中，有3个是质数，其它39个不是质数．那么，四位数有个因数．8．对于自然数N，如果1﹣9这九个自然数中至少有六个数可以整除N，则称N是一个“六合数”，则在大于2000的自然数中，最小的“六合数”是．9．将100按“加15，减12，加3，加15，减12，加3，…”的顺序不断重复运算，运算26步后，得到的结果是．（1步指每“加”或“减”一个数）10．（8分）如果两个质数的差恰好是2，称这两个质数为一对孪生质数．例如3和5是一对孪生质数，29和31也是一对孪生质数．在数论研究中，孪生质数是最热门的研究课题之一．华裔数学家张益唐在该课题的研究中取得了令人瞩目的成就，他的事迹激励着更多的青年学子投身数学研究．在不超过100的整数中，一共可以找到对孪生质数．11．小猫咪A、B、C、D、E、F排队依次从猫妈妈手中领鱼干，每只小猫咪每次领一条，领完后在道队尾继续排队领，直到鱼干发完．若猫妈妈有278条鱼干，则最后一个领到鱼干的小猫咪是．12．（15分）甲、乙两船顺流每小时行8千米，逆流每小时行4千米，若甲船顺流而下，然后返回；乙船逆流而上，然后返回，两船同时出发，经过3小时同时回到各自的出发点，在这3小时中有多长时间甲、乙两船同向航行？13．（8分）一个大于1的正整数加1能被2整除，加2能被3整除，加3能被4整除，加4能被5整除，这个正整数最小是．14．（8分）在如图每个方框中填入一个数字，使得乘法竖式成立．那么，两个乘数的和是．15．定义新运算：θa＝，则（θ3）+（θ5）+（θ7）（+θ9）+（θ11）的计算结果化成最简真分数后，分子与分母的和是．16．（8分）小胖把这个月的工资都用来买了一支股票．第一天该股票价格上涨，第二天下跌，第三天上涨，第四天下跌，此时他的股票价值刚好5000元，那么小胖这个月的工资是元．17．观察下面数表中的规律，可知x＝．18．同学们去春游，带水壶的有80人，带水果的有70人，两样都没带的有6人．若既带水壶又带水果的人数是所有参加春游人数的一半，则参加春游的同学共有人．19．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，且图中两个阴影部分＝．（甲和乙）的面积差是5.04，则S△ABC20．如图，魔术师在一个转盘上的16个位置写下来了1﹣16共16个数，四名观众甲、乙、丙、丁参与魔术表演．魔术师闭上眼，然后甲从转盘中选一个数，乙、丙、丁按照顺时针方向依次选取下一个数，图示是一种可能的选取方式，魔术师睁开眼，说：“选到偶数的观众请举手．”，这时候，只有甲和丁举手，这时候魔术师就大喝一声：“我知道你们选的数了！”．你认为甲和丁选的数的乘积是．21．商店对某饮料推出“第二杯半价”的促销办法．那么，若购买两杯这种饮料，相当于在原价的基础上打折．22．（12分）甲、乙两人从A地步行去B地．乙早上6：00出发，匀速步行前往；甲早上8：00才出发，也是匀速步行．甲的速度是乙的速度的2.5倍，但甲每行进半小时都需要休息半小时．甲出发后经过分钟才能追上乙．23．（15分）如图，正六边形ABCDEF的面积为1222，K、M、N分别AB，CD，EF的中点，那么三角形PQR的边长是．24．甲乙两人分别从AB两地同时出发相向而行，当甲走到一半时，乙将速度提高一倍，结果两人在距离B地1200米处相遇，并且最后同时到达，那么两地相距米25．由120个棱长为1的正方体，拼成一个长方体，表面全部涂色，只有一面染色的小正方体，最多有块26．先将从1开始的自然数排成一列：123456789101112131415…然后按一定规律分组：1，23，456，7891，01112，131415，…在分组后的数中，有一个十位数，这个十位数是．27．如果一个自然数的约数的个数是奇数，我们称这个自然数为“希望数”，那么，1000以内最大的“希望数”是．28．星期天早晨，哥哥和弟弟去练习跑步，哥哥每分钟跑110米，弟弟每分钟跑80米，弟弟比哥哥多跑了半小时，结果比哥哥多跑了900米，那么，哥哥跑了米．29．如图，若每个小正方形的边长是2，则图中阴影部分的面积是．30．小松鼠储藏了一些松果过冬．小松鼠原计划每天吃6个松果，实际每天比原计划多吃2个，结果提前5天吃完了松果．小松鼠一共储藏了个松果．31．如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边AB上有一点D，已知CD＝5，BD比AD长2，那么三角形ABC的面积是．32．（8分）小张有200支铅笔，小李有20支钢笔．每次小张给小李6支铅笔，小李还给小张1支钢笔．经过次这样的交换后，小张手中铅笔的数量是小李手中钢笔数量的11倍．33．甲、乙两车从A城市出发驶向距离300千米远的B城市．已知甲车比乙车晚出发1小时，但提前1小时到达B城市．那么，甲车在距离B城市千米处追上乙车．34．已知一个五位回文数等于45与一个四位回文数的乘积（即＝45×），那么这个五位回文数最大的可能值是59895．35．如图，正方形的边长是6厘米，AE＝8厘米，求OB＝厘米．36．甲、乙两人进行射击比赛，约定每中一发得20分，脱靶一发扣12分，两人各打10分，共得208分，最后甲比乙多得64分，乙打中发．37．小明从家到学校去上课，如果每分钟走60米，可提前10分钟到校；如果每分钟走50米，要迟到4分钟到校．小明家到学校相距米．38．（8分）有四个人甲、乙、丙、丁，乙欠甲1元，丙欠乙2元，丁欠丙3元，甲欠丁4元．要想把他们之间的欠款结清，只因要甲拿出元．39．如图中，A、B、C、D为正六边形四边的中点，六边形的面积是16，阴影部分的面积是．40．小明带了30元钱去买文具，买了3个笔记本和5支笔，剩余的钱，如果再买2支笔还差0.4元，如果再买2个笔记本则还差2元，那么，笔记本每个元，笔每支元．【参考答案】一、拓展提优试题1．解：由图可知，第1行的数为1，第2行的最后一个数为2×2＝4，第3行的最后一个数为3×3＝9，…所以第7行最后一个数为7×7＝49，则第8行第1个数为49+1＝50，第5个数为50+4＝54，故答案为：54．2．解：由定义可知：x @1.3＝11.05，（x +5）1.3＝11.05，x +5＝8.5，x ＝8.5﹣5＝3.5故答案为：3.53．解：△ADM 、△BCM 、△ABM 都等高，所以S △ABM ：（S △ADM +S △BCM ）＝8：10＝4：5，已知S △AMD ＝10，S △BCM ＝15，所以S △ABM 的面积是：（10+15）×＝20，梯形ABCD 的面积是：10+15+20＝45；答：梯形ABCD 的面积是45．故答案为：45．4．解：（58+14）÷2＝72÷2＝36（分）答错：（5×10﹣36）÷（2+5）＝14÷7＝2（道）答对：10﹣2＝8道．故答案为：8．5．解：根据分析，如下图所示：长方形S 长方形ABCD ＝S 长方形XYZR +△AEF +△EFR +△FBG +△FGX +△HCG +△HGY +△DHE +△HEZ＝S 长方形XYZR +2×（a +b +c +d ）⇒60＝4+2×（a +b +c +d ）⇒a +b +c +d ＝28四边形S 四边形EFGH ＝△EFR +△FGX +△HGY +△HEZ +S 长方形XYZR＝a +b +c +d +S 长方形XYZR＝28+4＝32（平方米）．故答案是：32．6．解：假设每人每分钟修大坝1份洪水冲毁大坝速度：（10×45﹣20×20）÷（45﹣20）＝（450﹣400）÷25＝50÷25＝2（份）大坝原有的份数45×10﹣2×45＝450﹣90＝360（份）14人修好大坝需要的时间360÷（14﹣2）＝360÷12＝30（分钟）答：14人修好大坝需30分钟．故答案为：30．7．解：首先根据奇偶位数和相等一定是11的倍数．因数一共的个数是3+39＝42（个），将42分解成3个数字相乘42＝2×3×7．＝a ×b 2×c 6．如果是11×52×26＝17600（不是四位数不满足条件）．再看一下如果这个数字最小是＝11×32×26＝6336．＝3663＝11×37×32．因数的个数共2×2×3＝12（个）．故答案为：12个．8．解：依题意可知：要满足是六合数．分为是3的倍数和不是3的倍数．如果不是3的倍数那么一定是1，2，4，8，5，7的倍数，那么他们的最小公倍数为：8×5×7＝280．那么280的倍数大于2000的最小的数字是2240．如果是3的倍数．同时满足是1，2，3，6的倍数．再满足2个数字即可．大于2000的最小是2004（1，2，3，4，6倍数）不符合题意；2010是（1，2，3，5，6倍数）不符合题意；2016是（1，2，3，4，6，7，8，9倍数）满足题意．2016＜2240；故答案为：20169．解：每一个计算周期运算3步，增加：15﹣12+3＝6，则26÷3＝8…2，所以，100+6×8+15﹣12＝100+48+3＝151答：得到的结果是 151．故答案为：151．10．解：在不超过100的整数中，以下8组：3，5；5，7；11，13；17，19；29，31；41，43；59，61；71，73是孪生质数．故答案为8．11．解：共有6只小猫咪，每发6条鱼重复出现，而278÷6＝46…2，余数是2，则最后一个领到鱼干的小猫咪是B．故答案为：B．12．解：设3小时顺流行驶单趟用时间为x小时，则逆流行驶单趟用的时间为（3﹣x）小时，故：x：（3﹣x）＝4：88x＝4×（3﹣x）8x＝12﹣4x12x＝12x＝1逆流行驶单趟用的时间：3﹣1＝2（小时），两船航行方向相同的时间为：2﹣1＝1（小时），答：在3个小时中，有1小时两船同向都在逆向航行．13．解：根据分析：这个数除以2，3，4，5均余1，那么这个数减去1后就能同时被2，3，4，5整除；2，3，4，5的最小公倍数是60，则这个数为60的倍数加1．又因为这个数大于1，所以这个数最小是61．故答案为：61．14．解：依题意可知：结果的首位是2，那么在第二个结果中的首位还是2．再根据第一个结果中有一个1，那么就是有和数字5相乘以后数字1的进位同时十位数字是偶数才能满足条件，第一个乘数的个位数字只能是2或者3才能满足进位是1．当第一个乘数尾数是2时，首位数字无论是哪一个偶数都不能得到200多的结果．不满足题意．当第一个乘数尾数是3时，来看看偶数的情况．23×9＝207.43，63，83无论乘以数字几都不能构成百位十位是20的结果．故是23×95＝2185，那么23+95＝118．故答案为：11815．解：原式＝++++＝++++＝×（﹣+﹣+…+﹣）＝×（）＝5+24＝29故答案为：2916．解：5000÷（1﹣）÷（1+）÷（1﹣）÷（1+）＝5000××××＝5000（元）答：小胖这个月的工资是5000元．故答案为：5000．17．解：根据分析可得，81＝92，所以，x＝9×5＝45；故答案为：45．18．解：设既带水壶又带水果的为x人，则参加春游的同学共有2x人，由题意可得：80+70﹣x+6＝2x156﹣x＝2x3x＝156x＝52则2x＝2×52＝104答：则参加春游的同学共有104人．故答案为：104．19．解：根据分析，S△BDC＝S△EBC⇒S△DOB＝S△EOC，∴S甲﹣S乙＝（S甲+S△DOB）﹣（S乙+S△EOC）＝5.04，又∵S△BDC ：S△DEC＝BC：DE＝2：1即：S△BDC＝2S△DEC∴S四边形DECB ＝3S△DEC；S△ADE＝S△DEC∴S△ABC ＝S四边形DECB+S△ADE＝4S△DEC，设S△DEC ＝X，则S△BDC＝2X，故有2X﹣X＝5.04，∴X＝5.04，S△ABC ＝4S△DEC＝4X＝4×5.04＝20.16故答案是：20.1620．解：依题意可知：2个偶数中间间隔是2个奇数．发现只有数字10，11，9，12是符合条件的数字．乘积为10×12＝120．故答案为：12021．解：设这种饮料每杯10，两杯售价是20元，实际用了：10+10×，＝10+5，＝15（元），15÷20＝0.75＝75%，所以是打七五折；故答案为：七五．22．解：法一：假设甲一小时走5米，乙一小时走2米，列表如下：时间甲（米）乙（米）时间甲（米）乙（米）0小时043小时7.5100.5小时 2.55 3.5小时10111小时 2.564小时10121.5小时57 4.5小时12.5132小时585小时12.5142.5小时7.59 5.5小时1515观察得5.5小时恰好追上（如果这时间超过了乙，就要用具体追及公式计算追及时间）法二：也可以设甲的速度为每小时10a（甲要休息，实际每小时走5a），乙的速度为每小时4a，因此要追8a．半小时内最多追3a，可以先从要追的8a中扣除3a，因为在此之前不可能追上（之前的距离差不止3a）．之后再开始按每半小时列出，若不够半小时的话，用追及公式算．前面追的5a，相当于每小时追a，可以用5a÷（5a﹣4a）＝5（小时）计算．之后，甲半小时再走2a，乙再走5a，加上还差的3a，正好追上．因此，要追5.5小时，即330分钟．故答案为：330．23．解：如图延长BA和EF交于点O，并连接AE，由正六边形的性质，我们可知S ABCM＝S CDEN＝S EF AK＝六边形面积，根据容斥原理，重叠部分三个三角形面积和等于阴影部分面积，且因为对称，△AKP，△CMQ，△ENR三个三角形是一样的，有KP＝RN，AP＝ER，RP＝PQ，＝，则＝，＝，由鸟头定理可知道3×KP×AP＝RP×PQ，综上可得：PR＝2KP＝RE，那么由三角形AEK是六边形面积的，且S△APK＝S △AKE ，S △APK ＝S ABCDEF ＝47，所以阴影面积为47×3＝141故答案为141．24．2800[解答] 设两地之间距离为S 。

小学五年级奥数题大全及答案(更新版)

小学五年级奥数题大全及答案五年级奥数1、小数的巧算2、数的整除性3、质数与合数4、约数与倍数5、带余数除法6、中国剩余定理7、奇数与偶数8、周期性问题9、图形的计数10、图形的切拼11、图形与面积12、观察与归纳13、数列的求和14、数列的分组15、相遇问题16、追及问题17、变换和操作18、逻辑推理19、逆推法20、分数问题1.1小数的巧算（一）年级班姓名得分一、填空题1、计算 1.135+3.346+5.557+7.768+9.979=_____.2、计算 1.996+19.97+199.8=_____.3、计算 9.8+99.8+999.8+9999.8+99999.8=_____.4、计算6.11+9.22+8.33+7.44+5.55+4.56+3.67+2.78 +1.89=_____.5、计算1.1+3.3+5.5+7.7+9.9+11.11+13.13+15.15+17.17+19.19=_____.6、计算 2.89⨯4.68+4.68⨯6.11+4.68=_____.7、计算 17.48⨯37-17.48⨯19+17.48⨯82=_____.8、计算 1.25⨯0.32⨯2.5=_____.9、计算 75⨯4.7+15.9⨯25=_____.10、计算 28.67⨯67+32⨯286.7+573.4⨯0.05=_____.二、解答题11、计算 172.4⨯6.2+2724⨯0.3812、计算 0.00...0181⨯0.00 (011)963个0 1028个013、计算12.34+23.45+34.56+45.67+56.78+67.89+78.91+89.12+91.2314、下面有两个小数:a=0.00...0105 b=0.00 (019)1994个0 1996个0求a+b,a-b,a⨯b,a÷b.1.2小数的巧算（二）年级班姓名得分一、真空题1、计算 4.75-9.64+8.25-1.36=_____.2、计算 3.17-2.74+4.7+5.29-0.26+6.3=_____.3、计算 (5.25+0.125+5.75)⨯8=_____.4、计算 34.5⨯8.23-34.5+2.77⨯34.5=_____.5、计算 6.25⨯0.16+264⨯0.0625+5.2⨯6.25+0.625⨯20=_____.6、计算 0.035⨯935+0.035+3⨯0.035+0.07⨯61⨯0.5=_____.7、计算 19.98⨯37-199.8⨯1.9+1998⨯0.82=_____.8、计算 13.5⨯9.9+6.5⨯10.1=_____.9、计算 0.125⨯0.25⨯0.5⨯64=_____.10、计算 11.8⨯43-860⨯0.09=_____.二、解答题11、计算32.14+64.28⨯0.5378⨯0.25+0.5378⨯64.28⨯0.75-8⨯64.28⨯0.125⨯0.537812、计算 0.888⨯125⨯73+999⨯313、计算 1998+199.8+19.98+1.99814、下面有两个小数:a=0.00...0125 b=0.00 (08)1996个0 2000个0试求a+b, a-b, a⨯b, a÷b.2.1数的整除性（一）年级班姓名得分一、填空题1、四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____.2、在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填_____.3、能同时被2、3、5整除的最大三位数是_____.4、能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____.5、1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____.6、所有能被3整除的两位数的和是______.7、已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位数是_____.8、如果六位数1992□□能被105整除,那么它的最后两位数是_____.9、42□28□是99的倍数,这个数除以99所得的商是_____.10、从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行,从左向右1至11报数,报数为11的同学原地不动,其余同学出列;然后留下的同学再从左向右1至11报数,报数为11的留下,其余同学出列;留下的同学第三次从左向右1至11报数,报到11的同学留下,其余同学出列,那么最后留下的同学中,从左边数第一个人的最初编号是_____号.二、解答题1、173□是个四位数字.数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字,所得到的3个四位数,依次可被9、11、6整除.”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？12、在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被2、3、5、11整除，这个七位数最小值是多少？13、在“改革”村的黑市上,人们只要有心,总是可以把两张任意的食品票换成3张其他票券,也可以反过来交换.试问,合作社成员瓦夏能否将100张黄油票换成100张香肠票,并且在整个交换过程中刚好出手了1991张票券？14、试找出这样的最小自然数,它可被11整除,它的各位数字之和等于13.2.2数的整除性(二)年级班姓名得分一、填空题1、一个六位数23□56□是88的倍数,这个数除以88所得的商是_____或_____.2、123456789□□,这个十一位数能被36整除,那么这个数的个位上的数最小是_____.3、下面一个1983位数33…3□44…4中间漏写了一个数字(方框),已知这991个 991个个多位数被7整除，那么中间方框内的数字是_____.4、有三个连续的两位数,它们的和也是两位数,并且是11的倍数.这三个数是_____.5、有这样的两位数,它的两个数字之和能被4整除,而且比这个两位数大1的数,它的两个数字之和也能被4整除.所有这样的两位数的和是____.6、一个小于200的自然数,它的每位数字都是奇数,并且它是两个两位数的乘积,那么这个自然数是_____.7、任取一个四位数乘3456,用A表示其积的各位数字之和,用B表示A的各位数字之和,C表示B的各位数字之和,那么C是_____.8、有0、1、4、7、9五个数字，从中选出四个数字组成不同的四位数，如果把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来，第五个数的末位数字是_____.9、从0、1、2、4、5、7中，选出四个数，排列成能被2、3、5整除的四位数，其中最大的是_____.10、所有数字都是2且能被66……6整除的最小自然数是_____位数.100个二、解答题11、找出四个互不相同的自然数,使得对于其中任何两个数,它们的和总可以被它们的差整除,如果要求这四个数中最大的数与最小的数的和尽可能的小,那么这四个数里中间两个数的和是多少？12、只修改21475的某一位数字,就可知使修改后的数能被225整除,怎样修改？13、500名士兵排成一列横队.第一次从左到右1、2、3、4、5（1至5）名报数；第二次反过来从右到左1、2、3、4、5、6（1至6）报数，既报1又报6的士兵有多少名？14、试问,能否将由1至100这100个自然数排列在圆周上,使得在任何5个相连的数中,都至少有两个数可被3整除？如果回答：“可以”，则只要举出一种排法；如果回答：“不能”，则需给出说明.3.1质数与合数(一)年级班姓名得分一、填空题1在一位的自然数中，既是奇数又是合数的有_____；既不是合数又不是质数的有_____；既是偶数又是质数的有_____.2、最小的质数与最接近100的质数的乘积是_____.3、两个自然数的和与差的积是41，那么这两个自然数的积是_____.4、在下式样□中分别填入三个质数,使等式成立.□+□+□=505、三个连续自然数的积是1716,这三个自然数是_____、_____、_____.6、找出1992所有的不同质因数,它们的和是_____.7、如果自然数有四个不同的质因数, 那么这样的自然数中最小的是_____.8、9216可写成两个自然数的积，这两个自然数的和最小可以达到_____.9、从一块正方形的木板上锯下宽为3分米的一个木条以后,剩下的面积是108平方分米.木条的面积是_____平方分米.10、今有10个质数:17,23,31,41,53,67,79,83,101,103.如果将它们分成两组,每组五个数,并且每组的五个数之和相等,那么把含有101的这组数从小到大排列,第二个数应是_____.二、解答题11、2，3，5，7，11，…都是质数，也就是说每个数只以1和它本身为约数.已知一个长方形的长和宽都是质数个单位,并且周长是36个单位.问这个长方形的面积至多是多少个平方单位?12、把7、14、20、21、28、30分成两组，每三个数相乘，使两组数的乘积相等.13、学生1430人参加团体操,分成人数相等的若干队,每队人数在100至200之间,问哪几种分法?14、四只同样的瓶子内分别装有一定数量的油,每瓶和其他各瓶分别合称一次,记录千克数如下:8、9、10、11、12、13.已知四只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数,求最重的两瓶内有多少油?3.2质数与合数(二)年级班姓名得分一、填空题1、在1~100里最小的质数与最大的质数的和是_____.2、小明写了四个小于10的自然数,它们的积是360.已知这四个数中只有一个是合数.这四个数是____、____、____和____.3、把232323的全部质因数的和表示为AB,那么A⨯B⨯AB=_____.4、有三个学生,他们的年龄一个比一个大3岁,他们三个人年龄数的乘积是1620,这三个学生年龄的和是_____.5、两个数的和是107,它们的乘积是1992,这两个数分别是_____和_____.6、如果两个数之和是64,两数的积可以整除4875,那么这两数之差是_____.7、某一个数,与它自己相加、相减、相乘、相除，得到的和、差、积、商之和为256.这个数是_____.8、有10个数:21、22、34、39、44、45、65、76、133和153.把它们编成两组,每组5个数,要求这组5个数的乘积等于那组5个数的乘积.第一组数____________；第二组数是____________.9、有_____个两位数,在它的十位数字与个位数字之间写一个零,得到的三位数能被原两位数整除.10、主人对客人说：“院子里有三个小孩，他们的年龄之积等于72，年龄之和恰好是我家的楼号，楼号你是知道的，你能求出这些孩子的年龄吗？”客人想了一下说：“我还不能确定答案。

五年级奥数学练习试卷思维培训资料数的进制

第四讲数的进制卷Ⅰ教学目标数的进制问题一直是我们教学大纲的一个漏洞，只在三年级春季班讲了一次简单的二进制与十进制的互化之外，再也没有讲过，到了六年级也只是简单提一下．这几年随着二进制与计算机的联系、一年12个月、一周7天等生活中的其它进制问题的凸显，数的进制问题将来一定会是命题的热点．我们常用十进制，可是这并不代表其它进制没有学习的必要，就像我们56个民族，汉族是多数，但其它民族也有可以学习和借鉴之处，更何况在生活中我们用的很多就是二进制、三进制、七进制等等．所以调整了大纲，放了这么一讲，大部分题目都是原创题，不妥之处请批评指教．本讲主要从两个方面来系统地介绍数的进制：一是从进制的基本计数关系、运算法则出发，使学生从十进制的计数思维中解脱出来；二是从进制的转化及应用来说，进一步巩固进制的使用（还有各种进制的整除特征及法则，怕学生难以接受就没放）．建议教师专题回顾讲起，先介绍几种进制的计数单位及运算法则，再引出想挑战吗．中间穿插了两个信息点，教师可以简单介绍．下表是十进制与二进制、三进制、八进制、十六进制的位值（计数单位）对比图：十进制 … 105 104 103 102 101 100 二进制 … 25 24 23 22 21 20 三进制 … 35 34 33 32 31 30 八进制 … 85 84 83 82 81 80 十六进制…16516416316216116n 进制的运算法则是“逢n 进一”、“借一当n”．n 进制的四则混合运算和十进制一样：先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号，先算括号里面的．7进制乘法表 8进制乘法表12345611234562461113153121521244222633534426511234567112345672461012141631114172225420243034531364364452761我们都学过十进制乘法口诀表，那么聪明的你能写出七进制的乘法口诀表吗？八进制的呢？想挑战吗？专题回顾计算：（1）；（2）；（3）；（4）22(101)(111)+22(1101)(110)-22(1101)(101)⨯22(101101)(111)÷分析：和十进制一样列数式计算，“逢二进一”、“借一当二”.（1）（2）1011111100+1101110111-（3）（4）1101101110111011000001⨯110111101101111100011111专题精讲（一）进制的概念及性质【例1】（奥数网原创题）在八进制中，1234-456-322=________. 分析：十进制中，两个数的和是整十整百整千的话，我们称为“互补数”，凑出“互补数”的这种方法叫“凑整法”，在n 进制中也有“凑整法”，要凑的就是整n. 原式=1234-(456+322)=1234-1000=234.[前铺] （奥数网原创题）在十进制中，1234-456-544=________.分析：观察两个减数，会发现它们的和是1000．所以，原式=1234-(456+544)=1234-1000=234．[拓展1] （奥数网原创题）在八进制中，63121-1247-16034-26531-1744=________.分析：原式=63121-(1247+26531)-(16034+1744)=63121-30000-20000=13121．[拓展2] （奥数网原创题）在九进制中，14438+3123-7120-11770+5766=________.分析：原式=14438+(3123+5766)-(7120+11770)=14438+10000-20000=4438．[信息提示] 关于八进制的奥秘来自外星世界的太空飞船突然出现在我们上空时将会发生什么样的情况？科学家曾经仔细研究过来自外形世界的信号并发现信息是采用的八进制编码．地球上流行十进制，换句话说，我们有0到9共10个数码．在十进制计数法中，每个数码表示10的某个乘幂，但是，没有任何理由假定外星生物也会使用十进制，来自外星的信息不大可能用十进制编码．在地球上，我们的数学计算用的是十进制，因为我们恰好有10个手指．事实上，我们的语言已经提示了手指同数制的联系——“digit”这个单词兼有两种意思：数或手指．由于十进制来自我们的10只手指，那么八进制会不会透漏一点外星生物的解剖学结构呢？也许八进制会意味着：外星人的每只手上有一个大拇指，3个手指；或者是有着8根触须的怪物；或者是：这种动物长着4只手，而每只手上有一个大拇指，一个小指．甚至还有更荒唐的设想：外星人长着3个头颅，点头和摇头的全部组合刚好是8种！（当然也有可能他们的计数制同其身体结构毫无关系．毕竟，古巴比伦的60进制不能为我们提供关于人体结构的任何信息）．【例2】（奥数网原创题）在六进制中，15+255+3555+45555+555555=________.分析：利用凑整法，十进制中，接近整十整百整千的数，后面会有若干个9，那么类似地，在n 进制中，接近一个比较整的数，后面会有若干位是n-1．原式=(20-1)+(300-1)+(4000-1)+(50000-1)+(1000000-1)=1054320-5=1054311．[前铺] （奥数网原创题）在十进制中，19+299+3999+49999+599999=________.分析：观察各个数，发现每一个都比一个整十整百整千之类的数少1．所以，也可以利用凑整法，原式=(20-1)+(300-1)+(4000-1)+(50000-1)+(600000-1)=654320-5=654315．[拓展] （奥数网原创题）在七进制中，666661-66662-6663-664-65-6=________.分析：原式=(1000000-6)-(100000-5)-(10000-4)-(1000-3)-(100-2)-(10-1)=(1000000-111110)-6+21=555560+12=555602．【例3】（仁华考题）若是的4倍，那么化为十进制是多少？ (62)n (14)n (41)n分析：因为，所以(62)4(14)n n =， 1010(62)4(4)624167n n n n n +=⨯+⎧⎪+=+⎨⎪=⎩710.(41)471(29)=⨯+=[前铺] 表示n 进制数，若，求n. (54)n 10(54)(64)n =【例4】（仁华考题）在几进制中有4×13=100．分析：我们利用尾数分析来求解这个问题：不管在几进制均有(4)×(3)=(12)．但是，式中为100，101010尾数为0．也就是说已经将12全部进到上一位．所以说进位制为12的约数，也就是12，6，4，3，2．但n 是出现了4，所以不可能是4，3，2进制．我们知道(4)×(13)=(52)，因52 < 100，也就是说不到10101010就已经进位，才能是100，于是我们知道<10．所以，只能是6． n n[前铺] 计算：（234）7+（656）7分析：7进制的运算是逢7进1，所以原式=（1223）7.【例5】（仁华考题）证明10101在任何进制的记数法中，都是一个合数.分析：设在a 进制，则， 4222222(10101)111(1)(1)(1)a a a a a a a a a =⨯+⨯+=+-=+-++可以将其表达为两个均不为1的整数乘积，显然为合数.[前铺] 证明10201在大于2的任何进制的记数法中，都是一个合数.分析：设在b 进制，则，所以不管在任何进制，均是一个非1的4222(10201)121(1)b b b b =⨯+⨯+=+完全平方数，当然是一个合数.卷Ⅱ（二）进制的转化及应用【例6】（奥数网原创题）把二进制自然数10100001101转化为八进制自然数.分析：二进制数转化为八进制是从个位开始往前每三位转化为八进制．对应关系如下：二进制 000 001 010 011 100 101 110 111 八进制 0 1 2 3 4 5 6 7 对其进行分组，情况如下：（一定要从后往前）有： 10 100 001 101 2进制 2 4 1 5 8进制 (10100001101)=(2415)． 28[拓展1] （奥数网原创题）把二进制小数11.0010010001转化为八进制小数．分析：小数和整数转化的方法类似，只不过是从小数点处，向前和向后都要三位三位数．但是本题的小数点后位数不是3的倍数，所以必须补0． 11. 001 001 000 100 3. 1 1 0 4所以，二进制11.0010010001转化为八进制是3.1104．[拓展2] （奥数网原创题）把二进制循环小数转化为八进制循环小数． 0.10011分析：循环小数转化的方法也类似，但是循环节长度不是3的倍数，所以需要把循环节连写三遍，如下： 0. 100 111 001 110 011 0. 4 7 1 6 3所以，二进制转化为八进制是． 0.100110.47163[拓展3] （奥数网原创题）在几进制中，是一个整数的倒数？ 0.1463分析：看到这类问题不知道如何入手的话，可以这样想：大家都熟悉的十进制循环小数中，循环节的前一半和后一半“互补”，也就是对应位相加10.1428577= 等于9，也就是进制数减1．而的循环节前一半和后一半对应位相加等于7，所以应该是八进制．经0.1463 检验，． 10.14635= [信息提示] 莫尔斯-瑟厄数列在管乐声中有两个调子，用表示长调，用表示短调，所有乐曲都可以用类似或表示，就是这种看似既非完全规则、又非全然不规则节奏的神奇模式就是著名的、奇异的二进制数字模式——莫尔斯-瑟厄数列，它可以用0和1的数字串来表示.莫尔斯-瑟厄数列是为了纪念挪威数学家阿克塞尔-瑟厄和普林斯顿大学的马斯登-莫尔斯而命名的.瑟厄引入这个数列，作为一种非周期性的、但又可以通过递推办法而算出来的实例.有好几种办法可以生成莫尔斯-瑟厄数列.第一种：从数0开始，反复进行下列置换：0→01，1→10．换句话说，你一旦见到0，就用01取代它，见到1就用10来取代，从一个单独的0开始，我们就可以得出以下各“代”：你可以用一支笔、一张纸来形成这个数列．从0开始，代之以01，现在你已有了一个两个数码的数列，用01代替0，10代替．从而有了数列0110，下一个二进数模式是01101001，请注意0110是对称的，它是一个回文数，然而01101001则不是．但是，你要顶住！再下面一个模式0110100110010110又是回文了．这种现象是否交替出现？显然，数列的神奇性质只是刚刚开始，奥妙还在后面呢．注意数列的第四行可以译成管乐声中的8个手指记号，如果表示0，表示1的话，真是令人惊讶！（未完，见数学知识）【例7】（奥数网原创题）在三进制中的数12120120110110121121，则将其改写为九进制，其从左向右数第l 位数字是几?分析：我们如果通过十进制来将三进制转化为九进制，那运算量很大．注意到，三进制进动两位则我们注意到进动了3个3，于是为9．所以变为遇9进1．也就是九进制.于是，两个数一组，两个数一组，每两个数改写为九进制，如下表：3进制 12 12 0l 20 11 01 10 12 11 21 9进制 5 5 l 6 4 1 3 5 4 7 所以，首位为5．[总结] 若原为进制的数，转化为进制，则从右往左数每个数一组化为进制．n n kk n k【例8】（仁华考题）N 是整数，它的b 进制表示是777，求最小的正整数b ，使得N 是十进制整数的四次方.分析：先化为十进制数，，则有，因为N 是7的倍数，2(777)777b b b =⨯+⨯+24777b b x ⨯+⨯+=所以也是7的倍数，又7为质数，所以是7的倍数.于是令，则，4x x 7x t =247772401b b t ⨯+⨯+=则，，则.因为最小，所以也是最小的.即有最小在18进制有21343b b ++=(1)342b b +=18b =t b41810.(777)(7)=[前铺] 在7进制中有三位数，化为9进制是，求这个三位数在十进制中是多少？ abc cba分析：都化为十进制数，，27()77497abc a b c a b c =⨯+⨯+=++，于是，，即29()99819cba c b a c b a =⨯+⨯+=++497819a b c c b a ++=++48802a c b =+，因为是8的倍数，也是8的倍数，所以也是8的倍数.于是或，2440a c b =+24a 40c b 0b =8b =但在7进制不可能有8.所以，即，则，所以为5 的倍数，为3的倍数，有0b =2440a c =35a c =a c 或，首位不可以是0，所以，那么，所以0a =5a =5a =3c =77()(503)5493248.abc ==⨯+=[拓展] 设1987可以在进制中写成三位数，且=1+9+8+7，试确定出所有可能的、、b xyz x y z ++x y z 及． b分析：我们注意2()19871987b xyz b x by z x y z ⎧=++=⎨++=+++⎩①②①-②得：(-1)+(-1)=1987-25，则(-1)(+1)+(-1)=1962，即(-1)[(+1)2b x b y b b x b y b b x +]=1962．所以，1962是(-1)的倍数．1962=2×9×109， y b 当-1=9时，=10，显然不满足；b b 当-1=18时，=19，则（-1)[(+1)+]=18×(20+)=1962；则20+=109，b b b b x y x y x y 所以， 545,(929911b x x x y y y z ⎧⎪===⎧⎧⎪⎨⎨⎨===⎩⎩⎪⎪=⎩=19不满足),......则显然，当=109不满足，=2×109不满足，当=9×109也不满足．于是为(59B)=(1987)，B 代表11． b b b 1910【例9】（仁华考题）若能被15整除，自然数n 可以取哪些值？ n21-分析：因为，而，如果能被15整除，即 nn 1n 02221=10001111⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 个个2151111=（）n21- n 12111⎛⎫ ⎪⎝⎭ 个能被整除，所以n 是4的倍数，n=4，8，12，… 21111（）[前铺] 求证：能被7整除.1821-分析：直接用十进制比较困难，我们考虑化为二进制的整除问题.因为.而，于是18181180222110001111⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 个个27111=（），所以能被7整除.182218122171111111001001001001001⎛⎫÷÷= ⎪⎝⎭ 个（-）=（）（）1821-[拓展] 计算：÷26的余数．2003333 3...31⎛⎫⨯⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭个分析：==，26=(222)， 2003333 3...31⎛⎫⨯⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭ 个2003331000...01⎛⎫⨯- ⎪ ⎪⎝⎭个20033222...2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ 个23所以÷26=÷(222)，(222)整除(222)，2003÷3=667……2，所以余数2003333 3...31⎛⎫⨯⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭个20033222 (2)⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 个2333是(22)=8．3【例10】（仁华考题）三个两位数恰构成公差为6的等差数列，而在五进制的表示中，这三个数的数字和是依次减少的，那么符合这样要求的等差数列有多少个？分析：设等差数列中最小的那个数表示为5进制为，最大可为5（abc ），最小可为.那么有、、的数字5(322)996287=-⨯=5(20)10=5()abc 55()(11)abc +55()(22)abc +和依次减少，所以、在运算时均必须有进位，不难发现有、55()(11)abc +55()(22)abc +5(24)a 5(43)a 满足，而a 可以取0，1，2，于是共有6组符合要求的数列.[前铺] 用、、、、分别表示五进制中互不相同的数字，如果、、是由小a b c d e 5()ade 5()adc 5()aab 到大排列的连续正整数，那么所表示的整数写成十进制的表示是多少？5()cde 分析：由题意知，，根据进位原则知，.又，55()1()ade adc +=55()1()adc aab +=4,0c b ==1c e -=所以.，且、只能在1，2中取值，所以.即，转化为十进3e =1a d -=a d 2,1a d ==55()(413)cde =制的表示为.22510(413)45153(108)=⨯+⨯+=【例11】（奥数网原创题）一串数：1，3，4，9，10，12，13，…，由一些正整数组成，它们或者是3的幂，或者是若干个不同的3的幂的和，求这串数中的第100项是多少？分析：将已知数改写成三进制数，得：1 3 4 9 10 12 13110 11 100 101 110 111十进制：三进制：观察发现，在三进制数中，各位上的数字均不是2，若将它们看成二进制数，可以看出，它们与十进制数1，2，3，4，5，6，7，…对应，第100项与十进制数100对应．因为10010=26+25+22=11001002，所【例12】（仁华考题）称n 个相同的数a 相乘叫做a 的n 次方，记做，并规定.如果某个自然n a 01a =数可以写成2的两个不同次方（包括零次方）的和，我们就称这样的数为“双子数”，如，.它们都是双子数，那么小于1040的双子数有多少个？30922=+523622=+分析：双子数与二进制的联系，，310102(9)(22)(1001)=+=，写成2的两个不同次方（包括零次方）的和，这样的数改写成二进制5210102(36)(22)(100100)=+=后只含有2个1，有，这样的二进制数为11位数，但104101022(1040)(22)(1000000000010000)(10000010000)=+=+=是11位数有限制：先看10位数，于是，这样10位数，选择2个数位填1，其它为0，()**********所以为，再考虑11位数，于是，只有4个“”和紧邻的“1”，于是有5种选择，210C (1000001)*****所以共有种选择方法，所以这样的“双子数”为50个.210550C +=[拓展] 一个非零自然数，如果它的二进制表示中数码l 的个数是偶数，则称之为“坏数”.例如：是“坏数”．试求小于1024的所有坏数的个数. 218=10010（）分析：我们现把1024转化为二进制：(1024)=2=(10000000000)2．于是，在二进制中为11位数，但1010是我们只用看10位数中情况．并且，我们把不足10位数的在前面补上0，如=502111...10000...0⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ 5个1个或以上912111...1⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ 个则，可以含2个l ，4个1，6个1，8个l ，10个1．于是为9120111...1⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 个10* * * * * * * * * *⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭个位置 2268101010101010C C C C C ++++=10910987109876510987654312123412345612345678⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯＋＋＋=45+210+210+45+1=511，于是，小于1024的“坏数”有511个.【例13】（奥数网原创题）在地球上有一个矮人国，这个国家不用通常的十进制，而是用大于十的另一种进制．但是该国家的钟表与中国的本质上相同（当然可能钟面标的数字有区别，这不是本质区别）．一名司机开车在笔直的公路上匀速行驶，每小时的速度是整数．当钟表的时针与分针垂直的时候，司机发现他刚好经过路边的一个里程碑，上面的数字是一个两位数．当钟表的时针与分针再次垂直的时候，司机再次发现他刚好经过路边的里程碑，上面的数字是刚才那个两位数的数字颠倒过来．当钟表的时针与分针第三次垂直的时候，司机第三次发现他刚好经过路边的里程碑，上面的数字是一个三位数，是在第一次的那个两位数中间插了一个数字．在该国家的进制数尽量小的情况下，司机的时速是多少？（请把答案转化成十进制）分析：每个小时，时针走过周，分针走过1周，也就是分针比时针多走过周．两次垂直之间，分1121112针比时针多走过半周，所以时间为小时． 111621211÷=显然，第三次所经过的里程碑的首位是1．设矮人国用N 进制，设第一次的里程数是，则第二次的1X 里程数是，再设第三次的里程数是．则有．从个位上看，X+X 个位是2，所1X 1YX 1112X YX X +=⨯以2X=N+2，N 必须是偶数，． 12NX =+．也就是说，车的时速等于(1)111(1)1(1)222N N N N X X NX N X N N --=+--=++--+=，所以N 最小是12，时速是121． (1)611(1)21112N N N N --÷=专题展望六年级还会继续学习数的进制哦！练习四1. （例4）在几进制中有125×125=16324.分析：因为，且，所以.再来看尾数，101010(125)(125)(15626)⨯=1562516324 10n ，16324的末位是4，所以25-4=21进到上一位.即n 为21的约数，也就是1，3，101010(5)(5)(25)⨯=7，21，因为原式中出现了6，所以n 只能是7.2. （例8）在6进制中有三位数，化为9进制为，求这个三位数在十进制中为多少? abc cba分析：()=×62＋×6+=36+6+；()=×92+×9+=81+9+．所以36+6abc 6a b c a b c cba 9c b a c b a a b +=81+9+；于是35=3b+80；因为35是5的倍数，80也是5的倍数．所以3也必须是5c c b a a c a c b 的倍数，又(3，5)=1．所以，=0或5．b ①当=0，则35=80；则7=16；(7，16)=1，并且、≠0，所以=16，=7：但是在6,9进b ac a c a c a c 制，不可以有一个数字为16．②当=5，则35=3×5+80；则7=3+16；mod 7后，3+2≡0，所以=2或者2+7(为整数)．因b a c a c c c k k 为有6进制，所以不可能有9或者9以上的数，于是=2．于是，35=15+80×2；=5．于是() c a a abc 6=(552)=5×62+5×6+2=212．所以．这个三位数在十进制中为212．63. （例9）试求除以992的余数是多少？200621（-）分析：因为被除数与2的次幂有关，所以我们可以用二进制来解决.，，在二进制中一定能整除1029921111100000=（）（） 2006220061221111⎛⎫= ⎪⎝⎭ 个（-） 515502111000⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 个个或个以上的，因为能整除，所以余数为21111100000（） 20001602111000⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 个个21111100000（），所以原式的余数为63.543210211111122222263=+++++=（）4. （例9）求证能被5整除. 151413121110982222222221-+-+-+-++-分析：15141312111098151311914121081010222222222222122222222211010101010101010101010101010101101010101010101-+-+-+-++-=+++++-+++++=-= （）（）（）（）（）又，显然能被整除，所以得证.25101=（）2101010101010101（）2101（）5. （例10）一个10进制的三位数，把它分别化为9进制和8进制数后，就又得到了2个三位数．老师发现这3个三位数的最高位数字恰好是3、4、5，那这样的三位数一共有多少个?分析：我们设(3)=(4)=(5)；我们知道(4) 在(400)～(488)之间，也就是4×92～ab 10cd 9ef 8cd 9995×92-1，也就是324～406；还知道(5) 在(500)～(577)之间，也就是5×82～6×82-1，也就是ef 888320～383；又知道(3) 在(300)～(399)之间．所以，这样的三位数应该在324～383之间，于是ab 101010有383-324+1=60个三位数满足条件.6. 一个g 进制数，，要计算它的十进制数时，有一54321543210N a g a g a g a g a g a =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+个简便算法：，这样进行5次乘法和5次加法，543210(((())))N a g a g a g a g a g a =⋅+⋅+⋅+⋅++现在请你用简便算法求出六进制数的N.=(6)312150N =(10)_____分析：如按，则需进行15（=5+4+3+2+1）次乘法和5次加54321543210a g a g a g a g a g a ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+法，显然浪费时间.根据题目中给出的简便算法 =(6)312150N =543210361626165606⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（（（（3×6+1）×6+2）×6+1）×6+5）×6+0=(10)25211数学知识莫尔斯-瑟厄数列也可以用别的办法来生成乐音数列：每一代都可以由其前代挂上它的“补数列”而得出，这意味着如果你看到了0110，就在它的后面加挂1001．此外，还有第三种办法来生成它．一开始先写0，1，2，3，…，然后把它们改写成二进制数：0，1，10，11，100，101，110，111，…．（本书第21节的“第一步探索”中将详细阐述二进制数，如果你渴望了解背景信息，不妨直接跳到那里去阅读．）现在，对每个二进制数字求和，并取其模2同余．也就是说，把每个和数用2去除，并取其余数．例如，二进数11求数字和后奖成为2，在最后的数列中就应当用0表达，通过这种办法可以得出数列0，1，1，0，1，0，0，1……同欺其他办法是一致的！让果戈尔博士来告诉你，何以这一数列如此迷人．首先，它是自相似的，这意味着你可以取数列的一段而生成全部无穷数列！例如，逐项相间地截取，可以复制全部数列．也就是说，你可以取最前面的二个数，再跳过二个，如此等等．其次，数列没有任何周期性．例如，不会出现，诸如00，11，00，11这类情况．然而，数列虽然没有周期可言，它去决非随机，它具有极强的短程与长程结构．例如，不可能有两个以上相邻的项是完全一样的．发现数列中所存在的模式的方法是傅里叶频谱，用它来分析本数列时显示出了明显的波峰．采用这种数学方法，你可以绘出一个图像，表明数列中项的位置与数据频度，在第三维上有着更稠密的频率分量，而在二维图像上不过是极其简单的一个黑点．数列的生长极其迅速，下面是第8代：有时候，按此种方式把数列堆积在它自身之上时会冒出一些模式，在这里，你能看出什么名堂来吗？表示莫尔斯——瑟厄数列的另外一种办法是使用超市里常用的商品分类的“条形码”，看到1的时候是一根垂直线段，而在出现0时则跳过一段空白．为了使肉眼更易辨识，当两个1连续出现时，可以用短横加以联接．我们可以用喜欢的植物图形来描述莫尔斯——瑟厄数列，用花朵表示1，空档表示0：倘若采用较高的树木，图形甚至更加好看．你能否对行、列作出巧妙安排以便更好地显示出数列的模式？在这种神奇的森林里漫步会有什么感受？不妨去想一想，你握着心上人的玉手，走入这个一望无际的莫尔斯——瑟厄森林中去的美妙情景哦！。

小学五年级奥数练习及部分答案部分答案

奥数五年级上一、数列规律的应用--找规律(四) (1)二、等差数列求和的应用--数列(二) (7)三、包含与排除(二) (14)四、小数的巧算--巧算(四) (19)五、行程问题(三) (25)六、行程问题(四) (31)七、牛吃草问题 (36)八、平面图形的面积(二) (39)九、计数问题 (45)十、数的进位制(二) (50)十一、简单抽屉原理(一) (54)十二、简单的统筹规划问题 (60)部分答案 (68)奥数五年级上部分答案例2、解：从2到1994，偶数的个数是1994÷2=997(个)997÷8=124(组)……5(个)那么1994在第125组中的第5个，它在第4列，它所在的行数是第125组中第2行，也就是从上往下的第125×2=250(行)所以1994在第250行第4列。

例3、解：①各行的数的个数是：1，3，5，7，9，……各行最后一个数依次是：12，22，32，42，……那么第9行最后一个数是92=81∴第10行有2×10-1=19(个)数，第10行正中的一个数是第10个数：81+10=91（或100-10+1=91）②估算1999在哪个完全平方数之间？442=1936 452=2025则1999=442+(1999-1936)= 442+63∴1999在第45行左起第63个数。

观察每一行正中的数：1，3，7，13，……例4、解：①第一行第8个数是:1+2+3+…+8=36②第10行第1个数是:1+1+2+3+…+(10-1)=46第10行第8个数是:46+11+12+13+…+17=46+98=144例12、解：这串数字是：199731339731339……，这串数从第3个起，每6个为一周期(973133)，(2002-2)÷6=333(周期) (2)∴第2002个是第334个周期的第2个数，是7。

例14、解：试算后可知当n依次等于1,2,3,4,5,……时，7n 的个位依次是：7,9,3,1,7,9,3,1,……,每4次重复出现(为一周期) 1998÷4=499…2，即共有499个周期多2个，∴1998个47(71998)的乘积的个位数字是9。

小学五年级奥数题大全及答案

12、把 7、14、20、21、28、30 分成两组，每三个数相乘，使两组数的乘积相等 .
13、学生 1430 人参加团体操 , 分成人数相等的若干队 , 每队人数在 100 至 200 之间, 问哪几种分法 ?
14、四只同样的瓶子内分别装有一定数量的油 , 每瓶和其他各瓶分别合称一次 , 记录千克数如下 :8 、9、10、11、12、13. 已知四只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数 , 求最重的两瓶内有多少油 ?
14、试问 , 能否将由 1 至 100 这 100 个自然数排列在圆周上 , 使得在任何 5 个相连的数中 , 都至少有两个数可被 3 整除？如果回答：“可以”，则只要举出一种排法；如果回答：“不能”，则需给出说明 .
5
3.1 质数与合数 ( 一 )
年级
班
姓名
Hale Waihona Puke 得分一、填空题1 在一位的自然数中，既是奇数又是合数的有 _____；既不是合数又不是质数的有_____；既是偶数又是质数的有 _____.
报数为 11 的同学原地不动 , 其余同学出列 ; 然后留下的同学再从左向右 1 至 11 报数 , 报数为 11 的留下 , 其余同学出列 ; 留下的同学第三次从左向右 1 至 11 报数 , 报到 11 的同学留下 , 其余同学出列 , 那么最后留下的同学中 , 从左边数第一个人的最初编号是 _____号.
991
个 991 个
个多位数被 7 整除，那么中间方框内的数字是 _____.
4、有三个连续的两位数 , 它们的和也是两位数 , 并且是 11 的倍数 . 这三个数是
_____.
5、有这样的两位数 , 它的两个数字之和能被 4 整除 , 而且比这个两位数大 1 的数 ,

五年级奥数专题数的进制(学生版)

学科培优数学 “数的进制” 学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位所谓二进制,就是只用0与1两个数字,在计数与计算时必须是“满二进一”。

即每两个相同的单位组成一个和它相邻的较高的单位（所以任意一个二进制只需要“0”与“1”表示就够了）。

例如：2在二进制中是10；3写成二进制数是11；4写成二进制数便是100,那么5呢？应该是101随着科学计数的发展,数字电子计算机的使用日益普遍,计算器内部进行的运算就使用的是二进制数。

我们经常和计算器打交道,应该懂一些二进制方面的知识。

知识梳理一、二进制按照“逢二进一”的法则,很容易得到一下两种进制的数字的对照表：十进制二进制十进制二进制 1 2 3 4 5 6 7 8 1 10 11 100 101 110 111 1000 9 10 11 12 13 14 15 16 100110101011110011011110111110000二进制的最大优点是：每个数的各个数位上只有两种状态——0或1。

这样,我们便可以通过简单的方法,例如白与黑、虚与实、负与正、点与划、小与大、暗与亮等等手段加以表示。

当然,二进制也有不足,同一个数在二进制中要比在十进制中位数多得多。

二、十进制与二进制的互相转化当我们写上一个数目1997时,实际上意味着我们使用了“十进制”数,即也就是说：1997中含有一个1000,九个100,九个10与七个1.199111000910091071=⨯+⨯+⨯+⨯在上表中可以看到,二进制数10表示十进制2；二进制数100表示十进制数4；二进制数1000表示十进制数8；二进制数10000表示十进制数16；……可以看出规律：二进制数100000应该表示十进制数32,……。

那么我们写下一个二进制数10110,则应表示它含有一个16,一个4与一个2,也就是明白了上面所说的两点,则二进制与十进制之间的转化的道理就容易懂了。

为了叙述的方便,我们约定：用表示括号内写的是二进制数,如；用表示括号中写的数是十进制数,如。

小学五年级奥数题大全及答案(更新版)

小学五年级奥数题大全及答案五年级奥数1、小数的巧算2、数的整除性3、质数与合数4、约数与倍数5、带余数除法6、中国剩余定理7、奇数与偶数8、周期性问题9、图形的计数10、图形的切拼11、图形与面积12、观察与归纳13、数列的求和14、数列的分组15、相遇问题16、追及问题17、变换和操作18、逻辑推理19、逆推法20、分数问题1.1小数的巧算（一）年级班姓名得分一、填空题1、计算 1.135+3.346+5.557+7.768+9.979=_____.2、计算 1.996+19.97+199.8=_____.3、计算 9.8+99.8+999.8+9999.8+99999.8=_____.4、计算6.11+9.22+8.33+7.44+5.55+4.56+3.67+2.78 +1.89=_____.5、计算1.1+3.3+5.5+7.7+9.9+11.11+13.13+15.15+17.17+19.19=_____.6、计算 2.89⨯4.68+4.68⨯6.11+4.68=_____.7、计算 17.48⨯37-17.48⨯19+17.48⨯82=_____.8、计算 1.25⨯0.32⨯2.5=_____.9、计算 75⨯4.7+15.9⨯25=_____.10、计算 28.67⨯67+32⨯286.7+573.4⨯0.05=_____.二、解答题11、计算 172.4⨯6.2+2724⨯0.3812、计算 0.00...0181⨯0.00 (011)963个0 1028个013、计算12.34+23.45+34.56+45.67+56.78+67.89+78.91+89.12+91.2314、下面有两个小数:a=0.00...0105 b=0.00 (019)1994个0 1996个0求a+b,a-b,a⨯b,a÷b.1.2小数的巧算（二）年级班姓名得分一、真空题1、计算 4.75-9.64+8.25-1.36=_____.2、计算 3.17-2.74+4.7+5.29-0.26+6.3=_____.3、计算 (5.25+0.125+5.75)⨯8=_____.4、计算 34.5⨯8.23-34.5+2.77⨯34.5=_____.5、计算 6.25⨯0.16+264⨯0.0625+5.2⨯6.25+0.625⨯20=_____.6、计算 0.035⨯935+0.035+3⨯0.035+0.07⨯61⨯0.5=_____.7、计算 19.98⨯37-199.8⨯1.9+1998⨯0.82=_____.8、计算 13.5⨯9.9+6.5⨯10.1=_____.9、计算 0.125⨯0.25⨯0.5⨯64=_____.10、计算 11.8⨯43-860⨯0.09=_____.二、解答题11、计算32.14+64.28⨯0.5378⨯0.25+0.5378⨯64.28⨯0.75-8⨯64.28⨯0.125⨯0.537812、计算 0.888⨯125⨯73+999⨯313、计算 1998+199.8+19.98+1.99814、下面有两个小数:a=0.00...0125 b=0.00 (08)1996个0 2000个0试求a+b, a-b, a⨯b, a÷b.2.1数的整除性（一）年级班姓名得分一、填空题1、四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____.2、在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填_____.3、能同时被2、3、5整除的最大三位数是_____.4、能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____.5、1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____.6、所有能被3整除的两位数的和是______.7、已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位数是_____.8、如果六位数1992□□能被105整除,那么它的最后两位数是_____.9、42□28□是99的倍数,这个数除以99所得的商是_____.10、从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行,从左向右1至11报数,报数为11的同学原地不动,其余同学出列;然后留下的同学再从左向右1至11报数,报数为11的留下,其余同学出列;留下的同学第三次从左向右1至11报数,报到11的同学留下,其余同学出列,那么最后留下的同学中,从左边数第一个人的最初编号是_____号.二、解答题1、173□是个四位数字.数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字,所得到的3个四位数,依次可被9、11、6整除.”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？12、在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被2、3、5、11整除，这个七位数最小值是多少？13、在“改革”村的黑市上,人们只要有心,总是可以把两张任意的食品票换成3张其他票券,也可以反过来交换.试问,合作社成员瓦夏能否将100张黄油票换成100张香肠票,并且在整个交换过程中刚好出手了1991张票券？14、试找出这样的最小自然数,它可被11整除,它的各位数字之和等于13.2.2数的整除性(二)年级班姓名得分一、填空题1、一个六位数23□56□是88的倍数,这个数除以88所得的商是_____或_____.2、123456789□□,这个十一位数能被36整除,那么这个数的个位上的数最小是_____.3、下面一个1983位数33…3□44…4中间漏写了一个数字(方框),已知这991个 991个个多位数被7整除，那么中间方框内的数字是_____.4、有三个连续的两位数,它们的和也是两位数,并且是11的倍数.这三个数是_____.5、有这样的两位数,它的两个数字之和能被4整除,而且比这个两位数大1的数,它的两个数字之和也能被4整除.所有这样的两位数的和是____.6、一个小于200的自然数,它的每位数字都是奇数,并且它是两个两位数的乘积,那么这个自然数是_____.7、任取一个四位数乘3456,用A表示其积的各位数字之和,用B表示A的各位数字之和,C表示B的各位数字之和,那么C是_____.8、有0、1、4、7、9五个数字，从中选出四个数字组成不同的四位数，如果把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来，第五个数的末位数字是_____.9、从0、1、2、4、5、7中，选出四个数，排列成能被2、3、5整除的四位数，其中最大的是_____.10、所有数字都是2且能被66……6整除的最小自然数是_____位数.100个二、解答题11、找出四个互不相同的自然数,使得对于其中任何两个数,它们的和总可以被它们的差整除,如果要求这四个数中最大的数与最小的数的和尽可能的小,那么这四个数里中间两个数的和是多少？12、只修改21475的某一位数字,就可知使修改后的数能被225整除,怎样修改？13、500名士兵排成一列横队.第一次从左到右1、2、3、4、5（1至5）名报数；第二次反过来从右到左1、2、3、4、5、6（1至6）报数，既报1又报6的士兵有多少名？14、试问,能否将由1至100这100个自然数排列在圆周上,使得在任何5个相连的数中,都至少有两个数可被3整除？如果回答：“可以”，则只要举出一种排法；如果回答：“不能”，则需给出说明.3.1质数与合数(一)年级班姓名得分一、填空题1在一位的自然数中，既是奇数又是合数的有_____；既不是合数又不是质数的有_____；既是偶数又是质数的有_____.2、最小的质数与最接近100的质数的乘积是_____.3、两个自然数的和与差的积是41，那么这两个自然数的积是_____.4、在下式样□中分别填入三个质数,使等式成立.□+□+□=505、三个连续自然数的积是1716,这三个自然数是_____、_____、_____.6、找出1992所有的不同质因数,它们的和是_____.7、如果自然数有四个不同的质因数, 那么这样的自然数中最小的是_____.8、9216可写成两个自然数的积，这两个自然数的和最小可以达到_____.9、从一块正方形的木板上锯下宽为3分米的一个木条以后,剩下的面积是108平方分米.木条的面积是_____平方分米.10、今有10个质数:17,23,31,41,53,67,79,83,101,103.如果将它们分成两组,每组五个数,并且每组的五个数之和相等,那么把含有101的这组数从小到大排列,第二个数应是_____.二、解答题11、2，3，5，7，11，…都是质数，也就是说每个数只以1和它本身为约数.已知一个长方形的长和宽都是质数个单位,并且周长是36个单位.问这个长方形的面积至多是多少个平方单位?12、把7、14、20、21、28、30分成两组，每三个数相乘，使两组数的乘积相等.13、学生1430人参加团体操,分成人数相等的若干队,每队人数在100至200之间,问哪几种分法?14、四只同样的瓶子内分别装有一定数量的油,每瓶和其他各瓶分别合称一次,记录千克数如下:8、9、10、11、12、13.已知四只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数,求最重的两瓶内有多少油?3.2质数与合数(二)年级班姓名得分一、填空题1、在1~100里最小的质数与最大的质数的和是_____.2、小明写了四个小于10的自然数,它们的积是360.已知这四个数中只有一个是合数.这四个数是____、____、____和____.3、把232323的全部质因数的和表示为AB,那么A⨯B⨯AB=_____.4、有三个学生,他们的年龄一个比一个大3岁,他们三个人年龄数的乘积是1620,这三个学生年龄的和是_____.5、两个数的和是107,它们的乘积是1992,这两个数分别是_____和_____.6、如果两个数之和是64,两数的积可以整除4875,那么这两数之差是_____.7、某一个数,与它自己相加、相减、相乘、相除，得到的和、差、积、商之和为256.这个数是_____.8、有10个数:21、22、34、39、44、45、65、76、133和153.把它们编成两组,每组5个数,要求这组5个数的乘积等于那组5个数的乘积.第一组数____________；第二组数是____________.9、有_____个两位数,在它的十位数字与个位数字之间写一个零,得到的三位数能被原两位数整除.10、主人对客人说：“院子里有三个小孩，他们的年龄之积等于72，年龄之和恰好是我家的楼号，楼号你是知道的，你能求出这些孩子的年龄吗？”客人想了一下说：“我还不能确定答案。

(小学奥数)进制的应用

1. 瞭解進制；2. 會對進制進行相應的轉換；3. 能夠運用進制進行解題一、數的進制1.十進位：我們常用的進制為十進位，特點是“逢十進一”。

在實際生活中，除了十進位計數法外，還有其他的大於1的自然數進位制。

比如二進位，八進制，十六進制等。

2.二進位：在電腦中，所採用的計數法是二進位，即“逢二進一”。

因此，二進位中只用兩個數字0和1。

二進位的計數單位分別是1、21、22、23、……，二進位數也可以寫做展開式的形式，例如100110在二進位中表示為：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。

二進位的運算法則：“滿二進一”、“借一當二”，乘法口訣是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。

注意：對於任意自然數n ,我們有n 0=1。

3.k 進制：一般地，對於k 進位制，每個數是由0，1，2，，1k -（）共k 個數碼組成，且“逢k 進一”．1k k >（）進位制計數單位是0k ，1k ，2k，．如二進位制的計數單位是02，12，22，，八進位制的計數單位是08，18，28，．知識點撥教學目標5-8-2.進制的應用4.k 進位制數可以寫成不同計數單位的數之和的形式1110110n n n n k n n a a a a a k a k a k a ---=⨯+⨯++⨯+（）十進位表示形式：1010101010n n n n N a a a --=+++；二進位表示形式：1010222n n n n N a a a --=+++；為了區別各進位制中的數，在給出數的右下方寫上k ，表示是k 進位制的數如：8352（），21010（），123145（）,分別表示八進位制，二進位制，十二進位制中的數．5.k 進制的四則混合運算和十進位一樣先乘除，後加減；同級運算，先左後右；有括弧時先計算括弧內的。

二、進制間的轉換：一般地，十進位整數化為k 進制數的方法是：除以k 取餘數，一直除到被除數小於k 為止，餘數由下到上按從左到右順序排列即為k 進制數．反過來，k 進制數化為十進位數的一般方法是：首先將k 進制數按k 的次冪形式展開，然後按十進位數相加即可得結果．如右圖所示:模組一、進制在生活中的運用【例 1】有個吝嗇的老財主，總是不想付錢給長工。

五年级数学上册数字的进制转换练习题

五年级数学上册数字的进制转换练习题数学是一门需要逻辑思维和数学技巧的学科，而数字的进制转换是其中的重要一环。

在五年级数学上册，学生对数字的进制转换进行了一系列的练习题，通过这些题目的解答，可以帮助学生巩固和提高自己的进制转换能力。

本文将以实例为基础，介绍和解答五年级数学上册中数字的进制转换练习题。

1. 十进制到二进制的转换十进制是我们常用的一种进位制，而二进制则是计算机中最基础的进位制。

在十进制到二进制的转换中，我们需要将一个十进制数转换为一串二进制数。

下面是一道典型的十进制到二进制的转换题目：题目：将十进制数63转换为二进制数。

解答：我们可以通过除二取余的方法来进行转换。

具体步骤如下：1) 用63除以2，得商31余1；2) 再用31除以2，得商15余1；3) 再用15除以2，得商7余1；4) 再用7除以2，得商3余1；5) 最后用3除以2，得商1余1。

将所得余数从下往上依次排列，得到二进制数111111。

通过这个例子，我们清楚了解到了十进制到二进制的转换步骤。

2. 二进制到十进制的转换与十进制到二进制的转换相反，二进制到十进制的转换是将一个二进制数转换为一个十进制数。

下面是一道典型的二进制到十进制的转换题目：题目：将二进制数101010转换为十进制数。

解答：我们可以通过计算每一位数的权重来进行转换。

具体步骤如下：1) 将二进制数101010从右到左依次对位，给每一位数赋予对应的权重：第一位数权重为2^0，第二位数权重为2^1，第三位数权重为2^2，以此类推；2) 对应位数上的数与对应权重相乘，然后将各项结果相加。

在这个例子中，我们可以计算得到：1×2^5 + 0×2^4 + 1×2^3 + 0×2^2 + 1×2^1 + 0×2^0 = 32 + 0 + 8 + 0 + 2 + 0 = 42。

这样，我们就完成了二进制到十进制的转换。

3. 十进制到八进制的转换在十进制到八进制的转换中，我们需要将一个十进制数转换为一个八进制数。

小学奥数.进制的性质及应用(ABC级).教师版

一、数的进制（1）十进制：我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。

在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。

比如二进制，八进制，十六进制等。

（2）二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。

因此，二进制中只用两个数字0和1。

二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。

二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。

注意：对于任意自然数n ,我们有n 0=1。

（3） k 进制：一般地，对于k 进位制，每个数是由0，1，2，，1k -（）共k 个数码组成，且“逢k 进一”．1k k >（）进位制计数单位是0k ，1k ，2k ，．如二进位制的计数单位是02，12，22，，八进位制的计数单位是08，18，28，．（4） k 进位制数可以写成不同计数单位的数之和的形式1110110n n n n k n n a a a a a k a ka k a ---=⨯+⨯++⨯+（）十进制表示形式：1010101010n n n n N a a a --=+++；二进制表示形式：1010222n n n n N a a a --=+++；为了区别各进位制中的数，在给出数的右下方写上k ，表示是k 进位制的数如：8352（），21010（），123145（）,分别表示八进位制，二进位制，十二进位制中的数．（5） k 进制的四则混合运算和十进制一样先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。

知识结构进制的性质与应用二、进制间的转换：一般地，十进制整数化为k 进制数的方法是：除以k 取余数，一直除到被除数小于k 为止，余数由下到上按从左到右顺序排列即为k 进制数．反过来，k 进制数化为十进制数的一般方法是：首先将k 进制数按k 的次幂形式展开，然后按十进制数相加即可得结果．如右图所示:1．几进制就是逢几进一，借一当几。

小学五年级奥数练习及部分答案--10数的进位制(二)

奥数五年级上一、数列规律的应用--找规律(四) (1)二、等差数列求和的应用--数列(二) (7)三、包含与排除(二) (14)四、小数的巧算--巧算(四) (19)五、行程问题(三) (25)六、行程问题(四) (31)七、牛吃草问题 (36)八、平面图形的面积(二) (39)九、计数问题 (45)十、数的进位制(二) (50)十一、简单抽屉原理(一) (54)十二、简单的统筹规划问题 (60)部分答案 (68)十、数的进位制(二)求相同因素的乘积的运算叫作乘方。

乘方是乘法的简便计算。

如：2×2记作22=4，读作2的平方等于4；3×3记作32=9，读作3的平方等于9；10×10记作102=4，读作10的平方等于100。

又如：23=2×2×2=8；33=3×3×3=27；103=10×10×10=1000；一般地，a ×a ×…×a(n 个a 相乘)记作a n ，读作a 的n 次方。

其中a 叫底数，n 叫指数，a n 叫幂，它表示乘方的结果。

加、减法叫第一级运算，乘除法叫第二级运算，乘方叫第三级运算。

在混合运算中，先乘方，后乘除，最后加减，有括号时先算括号内。

注意：规定a n =1(a ≠0)如：20=1；30=1；100=11、十进制计数法我们已经学习过，十进制计数法有以下特点：(1)数字(数码)：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9；(2)满十进一；(3)位置值原则：用不同数位上的数表示不同单位的数；(4)计数单位和数位顺序。

如：693528.47=6×105+9×104+3×103+5×102+2×105+8×100+4×101+7×10012、二进制计数法前面已经初步学习过二进制，二进制计数法的特点是：(1)2个数字：0、1；(2)满二进一；(3)位置值原则：用不同数位上的数表示不同单位的数；(4)计数单位：由低到高有：…1/23、1/22、1/2、1、2、22、23、24、25、26…如：1011001.01=1×26+0×25+1×24+1×23+0×22+0×2+1×20+0×1/22+1×1/22=89.253、和十进制、二进制一样，任意进制数有类似的特点，K进制计数法(K=2、3、4、5…10、11、12…)的特点是：(1)K个数字：0、1、2、3、…、K-1；(2)满K进一；(3)位置值原则；(4)计数单位由低到高有:…1/K3、1/K2、1/ K、1、K、K 2、K 3、K 4…如：K=4312133=3×45+1×44+2×43+1×42+3×41+3×40=3×1024+1×256+2×64+1×16+3×4+3×1=3487用20, 21, 22, 23,…,2n作单位,可以表示1到2n+1-1的所有自然数(n=1,2,3,…)。

小学五年级下册数学奥数题带答案word百度文库

小学五年级下册数学奥数题带答案word百度文库一、拓展提优试题1．如图所示，P为平行四边形ABDC外一点。

已知PCD∆的面积等于5平方厘米，PAB∆的面积等于11平方厘米。

则平行四边形ABCD的面积是CADBP2．（7分）爱尔兰作家刘易斯曾写过一篇反讽寓言，文中描述了一个名为尼亚特泊的野蛮国家．在这个国家里使用西巴巴数字．西巴巴数字的形状与通用的阿拉伯数字相同，但含义相反．如“0”表示“9”，“1”表示“8”，以次类推．他们写数字是从左到右，使用的运算符号也与我们使用的一样．例如，他们用62代表我们所写的37．按照尼亚特泊人的习惯，应怎样写837+742的和是419．【分析】“0”表示“9”，0+9＝9，“1”表示“8”，1+8＝9，由此可知西巴巴数字，表示的数字与正常数字的和都是9；由此找出837、742表示的数字，然后相加即可．3．鸡与兔共100只，鸡的脚比兔的脚多26只．那么，鸡有只．4．（8分）小张有200支铅笔，小李有20支钢笔．每次小张给小李6支铅笔，小李还给小张1支钢笔．经过次这样的交换后，小张手中铅笔的数量是小李手中钢笔数量的11倍．5．小胖和小亚两人在生日都是在五月份，而且都是星期三．小胖的生日晚，又知两人的生日日期之和是38，小胖的生日是5月日．6．（1）数一数图1中有个三角形．（2）数一数图2中有个正方形．7．对于自然数N，如果在1﹣9这九个自然数中至少有七个数是N的因数，则称N是一个“七星数”，则在大于2000的自然数中，最小的“七星数”是．8．如图，若每个小正方形的边长是2，则图中阴影部分的面积是．9．如图，在梯形ABCD中，若AB＝8，DC＝10，S△AMD＝10，S△BCM＝15，则梯形ABCD的面积是．10．两个数的最大公约数和最小公倍数分别是3和135，求这两个数的差最小是．11．如图，魔术师在一个转盘上的16个位置写下来了1﹣16共16个数，四名观众甲、乙、丙、丁参与魔术表演．魔术师闭上眼，然后甲从转盘中选一个数，乙、丙、丁按照顺时针方向依次选取下一个数，图示是一种可能的选取方式，魔术师睁开眼，说：“选到偶数的观众请举手．”，这时候，只有甲和丁举手，这时候魔术师就大喝一声：“我知道你们选的数了！”．你认为甲和丁选的数的乘积是．12．（8分）6个同学约好周六上午8：00﹣11：30去体育馆打乒乓球，他们租了两个球桌进行单打比赛每段时间都有4 个人打球，另外两人当裁判，如此轮换到最后，发现每人都打了相同的时间，请问：每人打了分钟．13．（8分）有一个特殊的计算器，当输入一个数后，计算器先将这个数乘以3，然后将其结果是数字逆序排列，接着再加2后显示最后的结果，小明输入了一个四位数后，显示结果是2015，那么小明输入的四位数是．14．如图是一个由26个相同的小正方体堆成的几何体，它的底层由5×4个小正方体构成，如果把它的外表面（包括底面）全部涂成红色，那么当这个几何体被拆开后，有3个面是红色的小正方体有块．15．A、B两桶水同样重，若从A桶中倒2.5千克水到B桶中，则B桶中水的重量是A桶中水的重量的6倍，那么B桶中原来有水千克．【参考答案】一、拓展提优试题1．12[解答]作PF AB⊥，由于//AB DC，所以PF CD⊥。

五年级奥数春季实验班第4讲数论基础之进位制

第四讲数论基础之进位制模块1、十进制和k进制的相互转化以及k进制下的直接运算例1．（1）在二进制下进行加法：(101010)2+(1010010)2=( )2；（2）在七进制下进行加法：(1203)7+(64251)7=( )7；（3）在九进制下进行加法：(178)9+(8803)9=( )9；解：（1）(101010)2+(1010010)2=( 1111100 )2； 101010 1010010 1111100 +（2）(1203)7+(64251)7=( 65454 )7； 1203 64251 65454 +（3）(178)9+(8803)9=( 10082 )9； 178 8803 10082 +例2．在进制中有4×13=100.解：一定是大于4的进位制，如果是五进制，把式子转化为十进制的数计算，左式(4×13)5=(4×8)10=(32)10，右式(100)5=(25)10，左式≠右式，不成立；如果是六进制，把式子转化为十进制的数计算，左式(4×13)6=(4×9)10=(36)10，右式(100)5=(36)10，左式=右式，成立；所以这是在六进制下进行的运算。

例3．在6进制中有三位数abc，化为9进制为cba，求这个三位数在十进制中为。

解：(abc)6=(a×62+b×6+c)10，(cba)9=(c×92+b×9+a)10，所以36a+6b+c=81c+9b+a，得35a−3b−80c=0，其中a、c≠0，a、b、c都是小于6的自然数。

其中35a与80c都是5的倍数，所以3b也是5的倍数，若b=0，则有7a=16c，矛盾；所以b=5，得7a=3+16c，得c=2，a=5，所以在六进制中是552，在九进制中是255，在十进制中是5×62+5×6+2=212。

模块2 利用进位制的思想解决问题例4．将2、3、4、5、6、7、8、9这八个数分别填入下面的八个方格（不能重复），可以组成许多不同的减法算式，要使计算结果最小，并且是自然数，则这个计算结果是。

小学五年级数学奥数题专项训练：数字数位问题

小学五年级数学奥数题专项训练：数字数位问题（学习版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制学校：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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小学奥数五年级测试及答案(计数综合)

一、计数综合（一）
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第1题
第2题
第3题
第5题
第6题
试题答案
第1题：
正确答案:B 答案解析
第2题：
正确答案:C 答案解析
第3题：
正确答案:B 答案解析
第4题：正确答案:A 答案解析
第5题：正确答案:B 答案解析
正确答案:D
答案解析
第7题：
正确答案:D
答案解析
二、计数综合（二）第1题
第2题
第4题
第5题
试题答案
第1题：
正确答案:B 答案解析
第2题：正确答案:B 答案解析
第3题：正确答案:C 答案解析
第4题：正确答案:C 答案解析
第5题：正确答案:A 答案解析。

5到10奥数题及答案

5到10奥数题及答案1. 问题：一个数列的前三项分别是1，2，3，从第四项开始，每一项都是它前三项的和。

求这个数列的第10项是多少？答案：这个数列是1, 2, 3, 6, 11, 21, 42, 85, 170, 341。

第10项是341。

2. 问题：一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，如果长方体的体积不变，长和宽都增加到原来的2倍，那么高应减少到原来的多少倍？答案：如果长和宽都增加到原来的2倍，那么新的体积将是2a *2b * c。

要使体积不变，高应该减少到原来的1/4，即c/4。

3. 问题：一个圆的半径是10厘米，求这个圆的周长和面积。

答案：圆的周长是 \(2\pi r = 2 \times 3.14 \times 10 =62.8\) 厘米，面积是 \(\pi r^2 = 3.14 \times 10^2 = 314\) 平方厘米。

4. 问题：一个分数的分子和分母的和是21，分子比分母小9，求这个分数。

答案：设分子为x，分母为y，根据题意有 \(x + y = 21\) 和\(x = y - 9\)。

解这个方程组得到 \(x = 6\)，\(y = 15\)。

所以这个分数是 \(\frac{6}{15}\)，简化后是 \(\frac{2}{5}\)。

5. 问题：一个正方体的棱长是4厘米，求它的表面积和体积。

答案：正方体有6个面，每个面的面积是 \(4 \times 4 = 16\)平方厘米，所以表面积是 \(6 \times 16 = 96\) 平方厘米。

体积是\(4^3 = 64\) 立方厘米。

6. 问题：一个自然数，它的平方的末尾数字是9，求这个数。

答案：一个数的平方末尾是9，这个数的个位数只能是3或7。

通过尝试，我们发现只有3的平方是9，所以这个数是3。

7. 问题：一个数列的前三项分别是1，1，2，从第四项开始，每一项都是它前两项的平均数。

求这个数列的第10项。

答案：这个数列是1, 1, 2, 1.5, 1.75, 1.625, 1.6875,1.671875, 1.6640625, 1.6650390625。

小学五年级数学下册奥数50题、附解析及参考答案

练习题一、工程问题1．甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时.丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，问水池注满还需要多少小时？2．修一条水渠，单独修，甲队需要20天完成，乙队需要30天完成.如果两队合作，由于彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低，甲队的工作效率是原来的五分之四，乙队工作效率只有原来的十分之九.现在计划16天修完这条水渠，且要求两队合作的天数尽可能少，那么两队要合作几天？3．一件工作，甲、乙合做需4小时完成，乙、丙合做需5小时完成.现在先请甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成.乙单独做完这件工作要多少小时？4．一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间要比前一种多半天.已知乙单独做这项工程需17天完成，甲单独做这项工程要多少天完成？5．师徒俩人加工同样多的零件.当师傅完成了1/2时，徒弟完成了120个.当师傅完成了任务时，徒弟完成了4/5这批零件共有多少个？6．一批树苗，如果分给男女生栽，平均每人栽6棵；如果单份给女生栽，平均每人栽10棵.单份给男生栽，平均每人栽几棵？7．一个池上装有3根水管.甲管为进水管，乙管为出水管，20分钟可将满池水放完，丙管也是出水管，30分钟可将满池水放完.现在先打开甲管，当水池水刚溢出时，打开乙,丙两管用了18分钟放完，当打开甲管注满水是，再打开乙管，而不开丙管，多少分钟将水放完？8．某工程队需要在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成，若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如期完成，问规定日期为几天？9．两根同样长的蜡烛，点完一根粗蜡烛要2小时，而点完一根细蜡烛要1小时，一天晚上停电，小芳同时点燃了这两根蜡烛看书，若干分钟后来点了，小芳将两支蜡烛同时熄灭，发现粗蜡烛的长是细蜡烛的2倍，问：停电多少分钟？二．鸡兔同笼问题1．鸡与兔共100只，鸡的腿数比兔的腿数少28条，,问鸡与兔各有几只？三．数字数位问题1．把1至2005这2005个自然数依次写下来得到一个多位数123456789.....2005,这个多位数除以9余数是多少?2．A和B是小于100的两个非零的不同自然数.求A+B分之A-B的最小值...3．已知A.B.C都是非0自然数,A/2 + B/4 + C/16的近似值市6.4,那么它的准确值是多少?4．一个三位数的各位数字之和是17.其中十位数字比个位数字大1.如果把这个三位数的百位数字与个位数字对调,得到一个新的三位数,则新的三位数比原三位数大198,求原数.5．一个两位数,在它的前面写上3,所组成的三位数比原两位数的7倍多24,求原来的两位数.6．把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数,它与原数相加,和恰好是某自然数的平方,这个和是多少?7．一个六位数的末位数字是2,如果把2移到首位,原数就是新数的3倍,求原数.8．有一个四位数,个位数字与百位数字的和是12,十位数字与千位数字的和是9,如果个位数字与百位数字互换,千位数字与十位数字互换,新数就比原数增加2376,求原数.9．有一个两位数,如果用它去除以个位数字,商为9余数为6,如果用这个两位数除以个位数字与十位数字之和,则商为5余数为3,求这个两位数.10．如果现在是上午的10点21分,那么在经过28799...99(一共有20个9)分钟之后的时间将是几点几分?四．排列组合问题1．有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人都相邻的排法有（）A 768种B 32种C 24种D 2的10次方中2 若把英语单词hello的字母写错了,则可能出现的错误共有( )A 119种B 36种C 59种D 48种五．容斥原理问题1．有100种赤贫.其中含钙的有68种,含铁的有43种,那么,同时含钙和铁的食品种类的最大值和最小值分别是( )A 43,25B 32,25 C32,15 D 43,112．在多元智能大赛的决赛中只有三道题.已知:(1)某校25名学生参加竞赛,每个学生至少解出一道题;(2)在所有没有解出第一题的学生中,解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍:(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1人;(4)只解出一道题的学生中,有一半没有解出第一题,那么只解出第二题的学生人数是( )A，5 B，6 C，7 D，83．一次考试共有5道试题.做对第1、2、3、、4、5题的分别占参加考试人数的95%、80%、79%、74%、85%.如果做对三道或三道以上为合格，那么这次考试的合格率至少是多少？六．抽屉原理、奇偶性问题1．一只布袋中装有大小相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四种，问最少要摸出几只手套才能保证有3副同色的？2．有四种颜色的积木若干，每人可任取1-2件，至少有几个人去取，才能保证有3人能取得完全一样？3．某盒子内装50只球，其中10只是红色，10只是绿色，10只是黄色，10只是蓝色，其余是白球和黑球，为了确保取出的球中至少包含有7只同色的球，问：最少必须从袋中取出多少只球？4．地上有四堆石子，石子数分别是1、9、15、31如果每次从其中的三堆同时各取出1个，然后都放入第四堆中，那么，能否经过若干次操作，使得这四堆石子的个数都相同?（如果能请说明具体操作，不能则要说明理由）七．路程问题1．狗跑5步的时间马跑3步，马跑4步的距离狗跑7步，现在狗已跑出30米，马开始追它.问：狗再跑多远，马可以追上它？2．甲乙辆车同时从a b两地相对开出，几小时后再距中点40千米处相遇？已知，甲车行完全程要8小时，乙车行完全程要10小时，求a b 两地相距多少千米？3．在一个600米的环形跑道上，兄弟两人同时从同一个起点按顺时针方向跑步，两人每隔12分钟相遇一次，若两个人速度不变，还是在原来出发点同时出发，哥哥改为按逆时针方向跑，则两人每隔4分钟相遇一次，两人跑一圈各要多少分钟？4．慢车车长125米，车速每秒行17米，快车车长140米，车速每秒行22米，慢车在前面行驶，快车从后面追上来，那么，快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车需要多少时间？5．在300米长的环形跑道上，甲乙两个人同时同向并排起跑，甲平均速度是每秒5米，乙平均速度是每秒4.4米，两人起跑后的第一次相遇在起跑线前几米？6．一个人在铁道边，听见远处传来的火车汽笛声后，在经过57秒火车经过她前面，已知火车鸣笛时离他1360米，(轨道是直的),声音每秒传340米，求火车的速度（得出保留整数）7．猎犬发现在离它10米远的前方有一只奔跑着的野兔，马上紧追上去，猎犬的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步，但是兔子的动作快，猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步，问猎犬至少跑多少米才能追上兔子.8．AB两地,甲乙两人骑自行车行完全程所用时间的比是4:5,如果甲乙二人分别同时从AB两地相对行使,40分钟后两人相遇,相遇后各自继续前行,这样，乙到达A地比甲到达B地要晚多少分钟?9．甲乙两车同时从AB两地相对开出.第一次相遇后两车继续行驶，各自到达对方出发点后立即返回.第二次相遇时离B地的距离是AB全程的1/5.已知甲车在第一次相遇时行了120千米.AB两地相距多少千米？10．一船以同样速度往返于两地之间，它顺流需要6小时;逆流8小时.如果水流速度是每小时2千米，求两地间的距离？11．快车和慢车同时从甲乙两地相对开出，快车每小时行33千米，相遇是已行了全程的七分之四，已知慢车行完全程需要8小时，求甲乙两地的路程.12．小华从甲地到乙地,3分之1骑车,3分之2乘车;从乙地返回甲地,5分之3骑车,5分之2乘车,结果慢了半小时.已知,骑车每小时12千米,乘车每小时30千米,问:甲乙两地相距多少千米?八．比例问题1．甲乙两人在河边钓鱼,甲钓了三条,乙钓了两条,正准备吃,有一个人请求跟他们一起吃,于是三人将五条鱼平分了,为了表示感谢,过路人留下10元,甲、乙怎么分？2．一种商品，今年的成本比去年增加了10分之1，但仍保持原售价，因此，每份利润下降了5分之2，那么，今年这种商品的成本占售价的几分之几？3．甲乙两车分别从A.B两地出发,相向而行,出发时,甲.乙的速度比是5:4,相遇后,甲的速度减少20%,乙的速度增加20%,这样,当甲到达B地时,乙离A地还有10千米,那么A.B 两地相距多少千米?4．一个圆柱的底面周长减少25%，要使体积增加1/3，现在的高和原来的高度比是多少？5、某市举行小学数学竞赛，结果不低于80分的人数比80分以下的人数的4倍还多2人，及格的人数比不低于80分的人数多22人，恰是不及格人数的6倍，求参赛的总人数？6、有7个数，它们的平均数是18.去掉一个数后，剩下6个数的平均数是19；再去掉一个数后，剩下的5个数的平均数是20.求去掉的两个数的乘积.7、小明参加了六次测验，第三、第四次的平均分比前两次的平均分多2分，比后两次的平均分少2分.如果后三次平均分比前三次平均分多3分，那么第四次比第三次多得几分？7、某工车间共有77个工人，已知每天每个工人平均可加工甲种部件5个，或者乙种部件4个，或丙种部件3个.但加工3个甲种部件，一个乙种部件和9个丙种部件才恰好配成一套.问应安排甲、乙、丙种部件工人各多少人时，才能使生产出来的甲、乙、丙三种部件恰好都配套？8、哥哥现在的年龄是弟弟当年年龄的三倍，哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄相同，哥哥与弟弟现在的年龄和为30岁，问哥哥、弟弟现在多少岁？参考答案一、工程问题1、解：1/20+1/16＝9/80表示甲乙的工作效率9/80×5＝45/80表示5小时后进水量1-45/80＝35/80表示还要的进水量35/80÷（9/80-1/10）＝35表示还要35小时注满答：5小时后还要35小时就能将水池注满.2、解：由题意得，甲的工效为1/20，乙的工效为1/30，甲乙的合作工效为1/20*4/5+1/30*9/10＝7/100，可知甲乙合作工效>甲的工效>乙的工效.又因为，要求“两队合作的天数尽可能少”，所以应该让做的快的甲多做，16天内实在来不及的才应该让甲乙合作完成.只有这样才能“两队合作的天数尽可能少”.设合作时间为x天，则甲独做时间为（16-x）天1/20*（16-x）+7/100*x＝1x＝10答：甲乙最短合作10天3、由题意知，1/4表示甲乙合作1小时的工作量，1/5表示乙丙合作1小时的工作量（1/4+1/5）×2＝9/10表示甲做了2小时、乙做了4小时、丙做了2小时的工作量.根据“甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成”可知甲做2小时、乙做6小时、丙做2小时一共的工作量为1.所以1－9/10＝1/10表示乙做6-4＝2小时的工作量.1/10÷2＝1/20表示乙的工作效率.1÷1/20＝20小时表示乙单独完成需要20小时.答：乙单独完成需要20小时.4、解：由题意可知1/甲+1/乙+1/甲+1/乙+……+1/甲＝11/乙+1/甲+1/乙+1/甲+……+1/乙+1/甲×0.5＝1（1/甲表示甲的工作效率、1/乙表示乙的工作效率，最后结束必须如上所示，否则第二种做法就不比第一种多0.5天）1/甲＝1/乙+1/甲×0.5（因为前面的工作量都相等）得到1/甲＝1/乙×2又因为1/乙＝1/17所以1/甲＝2/17，甲等于17÷2＝8.5天5、答案为300个120÷（4/5÷2）＝300个可以这样想：师傅第一次完成了1/2，第二次也是1/2，两次一共全部完工，那么徒弟第二次后共完成了4/5，可以推算出第一次完成了4/5的一半是2/5，刚好是120个.6、答案是15棵算式：1÷（1/6-1/10）＝15棵7、答案45分钟.1÷（1/20+1/30）＝12 表示乙丙合作将满池水放完需要的分钟数.1/12*（18-12）＝1/12*6＝1/2 表示乙丙合作将漫池水放完后，还多放了6分钟的水，也就是甲18分钟进的水.1/2÷18＝1/36 表示甲每分钟进水最后就是1÷（1/20-1/36）＝45分钟.8、答案为6天解：由“若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如期完成，”可知：乙做3天的工作量＝甲2天的工作量即：甲乙的工作效率比是3：2甲、乙分别做全部的的工作时间比是2：3时间比的差是1份实际时间的差是3天所以3÷（3-2）×2＝6天，就是甲的时间，也就是规定日期方程方法：[1/x+1/（x+2）]×2+1/（x+2）×（x-2）＝1解得x＝69、答案为40分钟.解：设停电了x分钟根据题意列方程1-1/120*x＝（1-1/60*x）*2解得x＝40二．鸡兔同笼问题1、解：4*100＝400，400-0＝400 假设都是兔子，一共有400只兔子的脚，那么鸡的脚为0只，鸡的脚比兔子的脚少400只.400-28＝372 实际鸡的脚数比兔子的脚数只少28只，相差372只，这是为什么？4+2＝6 这是因为只要将一只兔子换成一只鸡，兔子的总脚数就会减少4只（从400只变为396只），鸡的总脚数就会增加2只（从0只到2只），它们的相差数就会少4+2＝6只（也就是原来的相差数是400-0＝400，现在的相差数为396-2＝394，相差数少了400-394＝6）372÷6＝62 表示鸡的只数，也就是说因为假设中的100只兔子中有62只改为了鸡，所以脚的相差数从400改为28，一共改了372只100-62＝38表示兔的只数三．数字数位问题1、解：首先研究能被9整除的数的特点：如果各个数位上的数字之和能被9整除，那么这个数也能被9整除；如果各个位数字之和不能被9整除，那么得的余数就是这个数除以9得的余数.解题：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45；45能被9整除依次类推：1~1999这些数的个位上的数字之和可以被9整除10~19，20~29……90~99这些数中十位上的数字都出现了10次，那么十位上的数字之和就是10+20+30+……+90=450 它有能被9整除同样的道理，100~900 百位上的数字之和为4500 同样被9整除也就是说1~999这些连续的自然数的各个位上的数字之和可以被9整除；同样的道理：1000~1999这些连续的自然数中百位、十位、个位上的数字之和可以被9整除（这里千位上的“1”还没考虑，同时这里我们少200020012002200320042005从1000~1999千位上一共999个“1”的和是999，也能整除；200020012002200320042005的各位数字之和是27，也刚好整除.最后答案为余数为0.2、解：(A-B)/(A+B) = (A+B - 2B)/(A+B) = 1 - 2 * B/(A+B)前面的 1 不会变了，只需求后面的最小值，此时(A-B)/(A+B) 最大.对于 B / (A+B) 取最小时，(A+B)/B 取最大，问题转化为求(A+B)/B 的最大值.(A+B)/B = 1 + A/B ，最大的可能性是A/B = 99/1(A+B)/B = 100(A-B)/(A+B) 的最大值是： 98 / 1003、解：因为A/2 + B/4 + C/16＝8A+4B+C/16≈6.4，所以8A+4B+C≈102.4，由于A、B、C为非0自然数，因此8A+4B+C为一个整数，可能是102，也有可能是103.当是102时，102/16＝6.375当是103时，103/16＝6.43754、解：设原数个位为a，则十位为a+1，百位为16-2a根据题意列方程100a+10a+16-2a－100（16-2a）-10a-a＝198解得a＝6，则a+1＝7 16-2a＝4答：原数为476.5、解：设该两位数为a，则该三位数为300+a7a+24＝300+aa＝24答：该两位数为24.6、解：设原两位数为10a+b，则新两位数为10b+a它们的和就是10a+b+10b+a＝11（a+b）因为这个和是一个平方数，可以确定a+b＝11因此这个和就是11×11＝121答：它们的和为121.7、解：设原六位数为abcde2，则新六位数为2abcde（字母上无法加横线，请将整个看成一个六位数）再设abcde（五位数）为x，则原六位数就是10x+2，新六位数就是200000+x根据题意得，（200000+x）×3＝10x+2解得x＝85714所以原数就是8571428、答案为3963解：设原四位数为abcd，则新数为cdab，且d+b＝12，a+c＝9根据“新数就比原数增加2376”可知abcd+2376=cdab,列竖式便于观察abcd2376cdab根据d+b＝12，可知d、b可能是3、9；4、8；5、7；6、6.再观察竖式中的个位，便可以知道只有当d＝3，b＝9；或d＝8，b＝4时成立.先取d＝3，b＝9代入竖式的百位，可以确定十位上有进位.根据a+c＝9，可知a、c可能是1、8；2、7；3、6；4、5.再观察竖式中的十位，便可知只有当c＝6，a＝3时成立.再代入竖式的千位，成立.得到：abcd＝3963再取d＝8，b＝4代入竖式的十位，无法找到竖式的十位合适的数，所以不成立.9、解：设这个两位数为ab10a+b＝9b+610a+b＝5（a+b）+3化简得到一样：5a+4b＝3由于a、b均为一位整数得到a＝3或7，b＝3或8原数为33或78均可以10、解：（28799……9（20个9）+1）/60/24整除，表示正好过了整数天，时间仍然还是10:21，因为事先计算时加了1分钟，所以现在时间是10:20四．排列组合问题1、解：根据乘法原理，分两步：第一步是把5对夫妻看作5个整体，进行排列有5×4×3×2×1＝120种不同的排法，但是因为是围成一个首尾相接的圈，就会产生5个5个重复，因此实际排法只有120÷5＝24种.第二步每一对夫妻之间又可以相互换位置，也就是说每一对夫妻均有2种排法，总共又2×2×2×2×2＝32种综合两步，就有24×32＝768种.2、解：5全排列5*4*3*2*1=120有两个l所以120/2=60原来有一种正确的所以60-1=59五．容斥原理问题1、解：根据容斥原理最小值68+43-100＝11最大值就是含铁的有43种2、解：根据“每个人至少答出三题中的一道题”可知答题情况分为7类：只答第1题，只答第2题，只答第3题，只答第1、2题，只答第1、3题，只答2、3题，答1、2、3题.分别设各类的人数为a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123由（1）知：a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123＝25…①由（2）知：a2+a23＝（a3+ a23）×2……②由（3）知：a12+a13+a123＝a1－1……③由（4）知：a1＝a2+a3……④再由②得a23＝a2－a3×2……⑤再由③④得a12+a13+a123＝a2+a3－1⑥然后将④⑤⑥代入①中，整理得到a2×4+a3＝26由于a2、a3均表示人数，可以求出它们的整数解：当a2＝6、5、4、3、2、1时，a3＝2、6、10、14、18、22又根据a23＝a2－a3×2……⑤可知：a2>a3因此，符合条件的只有a2＝6，a3＝2.然后可以推出a1＝8，a12+a13+a123＝7，a23＝2，总人数＝8+6+2+7+2＝25，检验所有条件均符.故只解出第二题的学生人数a2＝6人.3、答案：及格率至少为71％.假设一共有100人考试100-95＝5100-80＝20100-79＝21100-74＝26100-85＝155+20+21+26+15＝87（表示5题中有1题做错的最多人数）87÷3＝29（表示5题中有3题做错的最多人数，即不及格的人数最多为29人）100-29＝71（及格的最少人数，其实都是全对的）及格率至少为71％六．抽屉原理、奇偶性问题1、解：可以把四种不同的颜色看成是4个抽屉，把手套看成是元素，要保证有一副同色的，就是1个抽屉里至少有2只手套，根据抽屉原理，最少要摸出5只手套.这时拿出1副同色的后4个抽屉中还剩3只手套.再根据抽屉原理，只要再摸出2只手套，又能保证有一副手套是同色的，以此类推.把四种颜色看做4个抽屉，要保证有3副同色的，先考虑保证有1副就要摸出5只手套.这时拿出1副同色的后，4个抽屉中还剩下3只手套.根据抽屉原理，只要再摸出2只手套，又能保证有1副是同色的.以此类推，要保证有3副同色的，共摸出的手套有：5+2+2=9（只）答：最少要摸出9只手套，才能保证有3副同色的.2、解：每人取1件时有4种不同的取法,每人取2件时,有6种不同的取法.当有11人时,能保证至少有2人取得完全一样:当有21人时,才能保证到少有3人取得完全一样.3、解：需要分情况讨论，因为无法确定其中黑球与白球的个数.当黑球或白球其中没有大于或等于7个的，那么就是：6*4+10+1=35(个)如果黑球或白球其中有等于7个的，那么就是：6*5+3+1＝34（个）如果黑球或白球其中有等于8个的，那么就是：6*5+2+1＝33如果黑球或白球其中有等于9个的，那么就是：6*5+1+1＝324、解：不可能.因为总数为1+9+15+31＝5656/4＝14.14是一个偶数，而原来1、9、15、31都是奇数，取出1个和放入3个也都是奇数，奇数加减若干次奇数后，结果一定还是奇数，不可能得到偶数（14个）.七．路程问题1、解：根据“马跑4步的距离狗跑7步”，可以设马每步长为7x米，则狗每步长为4x 米.根据“狗跑5步的时间马跑3步”，可知同一时间马跑3*7x米＝21x米，则狗跑5*4x ＝20米.可以得出马与狗的速度比是21x：20x＝21：20根据“现在狗已跑出30米”，可以知道狗与马相差的路程是30米，他们相差的份数是21-20＝1，现在求马的21份是多少路程，就是30÷（21-20）×21＝630米2、解：由“甲车行完全程要8小时，乙车行完全程要10小时”可知，相遇时甲行了10份，乙行了8份（总路程为18份），两车相差2份.又因为两车在中点40千米处相遇，说明两车的路程差是（40+40）千米.所以算式是（40+40）÷（10-8）×（10+8）＝720千米.3、解：600÷12=50，表示哥哥、弟弟的速度差600÷4=150，表示哥哥、弟弟的速度和（50+150）÷2=100，表示较快的速度，方法是求和差问题中的较大数（150-50）/2=50，表示较慢的速度，方法是求和差问题中的较小数600÷100=6分钟，表示跑的快者用的时间600/50=12分钟，表示跑得慢者用的时间4、解：算式是（140+125)÷(22-17)=53秒可以这样理解：“快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车”就是快车车尾上的点追及慢车车头的点，因此追及的路程应该为两个车长的和.5、解：300÷（5-4.4）＝500秒，表示追及时间5×500＝2500米，表示甲追到乙时所行的路程2500÷300＝8圈……100米，表示甲追及总路程为8圈还多100米，就是在原来起跑线的前方100米处相遇.6、解：算式：1360÷(1360÷340+57）≈22米/秒关键理解：人在听到声音后57秒才车到，说明人听到声音时车已经从发声音的地方行出1360÷340＝4秒的路程.也就是1360米一共用了4+57＝61秒.7、答案是猎犬至少跑60米才能追上.解：由“猎犬跑5步的路程，兔子要跑9步”可知当猎犬每步a米，则兔子每步5/9米.由“猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步”可知同一时间，猎犬跑2a米，兔子可跑5/9a*3＝5/3a米.从而可知猎犬与兔子的速度比是2a：5/3a＝6：5，也就是说当猎犬跑60米时候，兔子跑50米，本来相差的10米刚好追完8、解：设全程为1,甲的速度为x乙的速度为y列式40x+40y=1x:y=5:4得x=1/72 y=1/90走完全程甲需72分钟,乙需90分钟故得解答案：18分9、解：通过画线段图可知，两个人第一次相遇时一共行了1个AB的路程，从开始到第二次相遇，一共又行了3个AB的路程，可以推算出甲、乙各自共所行的路程分别是第一次相遇前各自所走的路程的3倍.即甲共走的路程是120*3＝360千米，从线段图可以看出，甲一共走了全程的（1+1/5）.因此360÷（1+1/5）＝300千米10、解：（1/6-1/8）÷2＝1/48表示水速的分率2÷1/48＝96千米表示总路程11、解：相遇是已行了全程的七分之四表示甲乙的速度比是4：3时间比为3：4所以快车行全程的时间为8/4*3＝6小时6*33＝198千米12、解：把路程看成1，得到时间系数去时时间系数：1/3÷12+2/3÷30返回时间系数：3/5÷12+2/5÷30两者之差：（3/5÷12+2/5÷30）-（1/3÷12+2/3÷30）=1/75相当于1/2小时去时时间：1/2×（1/3÷12）÷1/75和1/2×（2/3÷30）1/75路程：12×〔1/2×（1/3÷12）÷1/75〕+30×〔1/2×（2/3÷30）1/75〕=37.5（千米）八．比例问题1、解：“三人将五条鱼平分，客人拿出10元”，可以理解为五条鱼总价值为30元，那么每条鱼价值6元.又因为“甲钓了三条”，相当于甲吃之前已经出资3*6＝18元，“乙钓了两条”，相当于乙吃之前已经出资2*6＝12元.而甲乙两人吃了的价值都是10元，所以甲还可以收回18-10＝8元乙还可以收回12-10＝2元刚好就是客人出的钱.2、解：最好画线段图思考：把去年原来成本看成20份，利润看成5份，则今年的成本提高1/10，就是22份，利润下降了2/5，今年的利润只有3份.增加的成本2份刚好是下降利润的2份.售价都是25份.所以，今年的成本占售价的22/25.3、解：原来甲.乙的速度比是5:4现在的甲：5×（1-20％）＝4现在的乙：4×（1+20％）4.8甲到B后，乙离A还有：5-4.8＝0.2总路程：10÷0.2×（4+5）＝450千米4、答案为64：27解：根据“周长减少25％”，可知周长是原来的3/4，那么半径也是原来的3/4，则面积是原来的9/16.根据“体积增加1/3”，可知体积是原来的4/3.体积÷底面积＝高现在的高是4/3÷9/16＝64/27，也就是说现在的高是原来的高的64/27或者现在的高：原来的高＝64/27：1＝64：275、解：设不低于80分的为A人，则80分以下的人数是（A-2）/4，及格的就是A+22，不及格的就是A+（A-2）/4-（A+22）=（A-90）/4，而6*（A-90）/4=A+22，则A=314，80分以下的人数是（A-2）/4，也即是78，参赛的总人数314+78=3926、解： 7*18-6*19=126-114=126*19-5*20=114-100=14去掉的两个数是12和14它们的乘积是12*14=1687、解：第三、四次的成绩和比前两次的成绩和多4分，比后两次的成绩和少4分，推知后两次的成绩和比前两次的成绩和多8分.因为后三次的成绩和比前三次的成绩和多9分，所以第四次比第三次多9－8=1（分）.8、算式：这道题可以用方程解：解：设加工后乙种部件有x个.3/5X + 1/4X + 9/3X=77x=20甲：0.6×20=12（人）乙： 0.25×20=5（人）丙： 3×20==60（人）答：甲12人，乙5人，丙60人.9、算式：这道题可以用方程解：解：设哥哥现在的年龄为x岁.x-(30-x)=(30-x)-x/3x=18弟弟30-18=12（岁）答：哥哥18岁，弟弟12岁.。

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