九上6.2-2反比例函数的图像与性质
6.2反比例函数的图像和性质(2)教案
6.2反比例函数的图像和性质（2）【教学目标】1、巩固反比例函数图像和性质，通过对图像的分析，进一步探究反比例函数的增减性.2、掌握反比例函数的增减性，能运用反比例函数的性质解决一些简单的实际问题.【教学重点、难点】重点：通过对反比例函数图像的分析，探究反比例函数的增减性.难点：由于受小学反比例关系增减性知识的负迁移，又由于反比例函数图像分成两条分支，给研究函数的增减性带来复杂性.【教学过程】一、知识回顾，引入课题1．反比例函数的图象：双曲线2．图像的位置：当k>0时,图象的两个分支分别在第一、三象限内；当k<0时,图象的两个分支分别在第二、四象限内；3．对称性：中心对称4．增减性：二、合作学习巩固训练一一、判断：1）函数 x y 1-= 在每一象限内 ,y 随x 的增大而减小 （ ） 2）函数xy 3= 在每一象限内, y 随x 的增大而增大 （ ） 3) 若反比例函数 x k y =， 在每一象限内,y 随x 的增大而 ，则它的图象经过一、三象限（ ）二、填空：1）反比例函数 x y 25-= ，图像，经过 象限，在每一象限内，y 随x 的增大而 2）反比例函数xk y = ，当x=1时，y ＝2，则k= ， 在每一象限内， y 随x 的减小而 请大家解决下面问题：1）已知反比例函数x y 6=的图像上，有两点（-2，1y ）和（-3，2y ），比较1y 和2y 的大小。
2）已知反比例函数xy 6=的图像上，有两点（1x ，1y ）和（2x ，2y ），若1x >2x >0,比较1y 和2y 的大小。
3）若1x >2x >0改成若1x >2x ，比较1y 和2y 的大小。
巩固训练二1）反比例函数xy 1=的图象上有两点A(1,1y ),B(2,2y ), 则1y －2y 的值是（ ）A 正数B 负数C 非正数D 不能确定2）反比例函数)0(>=k xk y 的图象上有两点A(1x ,1y ),B(2x ,2y ),且 1x <2x ，则1y －2y 的值是（ ）A 正数B 负数C 非正数D 不能确定3）已知反比例函数 xy 5= ． （1）当x ＞5时， 0 y 1；（2）当x ≤5时，则y 1,或y ＜4）已知反比例函数 xy 12-=，当x ＞-3且x ≠0时，y ＞ 或y ＜ . 三、例题教学 学以致用例1 从A 市到B 市列车的行驶里程为120千米.假设火车匀速行驶，记火车行驶的时间为t 小时，速度为v 千米/时,且速度限定为不超过160千米/时。
6.2.2反比例函数的图像和性质ppt课件
值y随自变量x的增大而减小；
7
（2）y 6
第二象限
x X的值从小到大
第四象限
X的值从小到大
x
… -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 …
y=
6 x
… 1 1.2 1.5 2 3 6 -6 -3 -2 -1.5 -1.2 -1 …
y的值从小到大
y
x
0
y=
1 ），（ 3，y2），（2，y3）是反比例函数
y
2 x
的图象上的三个点，则
y1，y2，y3
的大小关系是
y3 y2 y1
．
12
4．已知反比例函数 y 5 ．
x
< < （1）当x＞5时，0 y 1； ≥ 0 （2）当x≤5时，则y 1,或y＜ ．
（3）当y＞5时，x？ 0＜ x ＜1
O
x
D ( x4，y4 )
C ( x3，y3 )
当 k 0时，在每个象限 内，当 k 0时，在 每个象限 内，
y 随 x 的增大而 减少 ．
y 随 x 的增大而
增大
． 9
巩固训练
已知反比例函数y=
6 x
的图象上
有两点（-2，y1）和（-3，y2）。?
比较y1和y2的大小。 y
-3 -2
y02
y1
11
2．已知（ x1，y1 ），（ x2，y2），（ x3，y3 ）是反比例函数
y 2 x
的图象上的三个点，并且
y1 y2
y3 0
，则
C x1，x2，x3 的大小关系是（ ）
（A）x1 x2 x3；
（B） x3 x1 x2；
（C） x1 x2 x3；
北师大九年级上册6.2.2 反比例函数的图象与性质
x
B
课堂总结
当k＞0时，在每一象限内，y的值随x
的增大而减小.
性质
反比例函数的性质
当k<0时，在每一象限内，y的值随x
的增大而增大.
反比例函数图象中比例系数k的几何意义
板书设计
6.2.2反比例函数的图象与性质
1、反比例函数的性质
2、反比例函数k的几何意义
作业布置
教材第157页习题6.3
2，3，4题。
作 QA 垂直于 y 轴，作 QB 垂直于x 轴
矩形AOBQ的面积与 k 的关系是S矩形AOBQ=
推理：△QAO与△QBO的面积和 k 的关系
是S△QAO=S△QBO=
y
y
•Q
A
O
B
x
x
因为k有正负，所以表达面积
的时，要加上绝对值符号.
课堂练习
1. 如图所示， P 是反比例函数 = 的图象上一点，过点 P 作 PB ⊥x 轴于点
内,在每一个象限内,y的值随x值的增大而增大.|k|越大，对应的
|y|值越大．函数图象离坐标轴越远。
归纳总结
反比例函数 = 的图象
当k>0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而减小；
当k<0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而增大。
想一想
为什么要强调在“每一个象限内”？
同一个函数图象在不同的象限的点的函数值的大小不能用增减性进行判断：
.
课堂练习
3. 已知反比例函数 =
m＞2
是________.
−
的图象在第一、三象限内，则m的取值范围
4. 下列关于反比例函数 = −
数学北师大版九年级上册 《6.2 反比例函数的图象与性质》第2课时教案
数学北师大版九年级上册《6.2 反比例函数的图象与性质》第2课时教案第六章反比例函数6.2 反比例函数的图象与性质第2课时一、教学目标1．复习巩固反比例函数图象与性质．2．理解和掌握反比例函数图象的增减性．二、教学重点及难点重点：反比例函数图象的增减性．难点：运用反比例函数图象的增减性．三、教学用具多媒体课件、直尺或三角板．四、相关资源动画，知识卡片.五、教学过程【复习导入】1．一般地，反比例函数的图象是双曲线，它具有以下性质：（1）当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限；（2）当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限．2．反比例函数的图象是轴对称图形，对称轴是直线y=x或y=-x；反比例函数的图象也是中心对称图形，对称中心是坐标原点．设计意图：通过对反比例函数图象与性质的复习，为接下来学习反比例函数图象的增减性做好铺垫．【探究新知】议一议1．观察反比例函数，，的图象（如下图所示），你能发现它们的共同特征吗？（1）函数图象分别位于哪几个象限内？（2）在每一个象限内。
随着x值的增大，y的值是怎样变化的？能说明这是为什么吗？师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，师生共同得出答案．答：（1）函数图象均位于第一、三象限内．（2）在每一象限内，随着x值的增大，y的值减小；理由：在每一象限的图象上任意取两点A（x1，y1），B（x2，y2），当k＞0，x2＞x1时，y2-y1=＜0，即y2＜y1．因此，在每一象限内，随着x值的增大，y的值减小．2．观察当k=-2，-4，-6时，反比例函数的图象（如下图所示），它们有哪些共同特征？师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，师生共同得出答案．答：它们的图象均位于第二、四象限；在每一象限内，随着x值的增大，y的值增大；它们的图象都不与x轴、y轴相交．教师总结：反比例函数的图象，当k＞0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而减小；当k＜0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而增大．想一想在一个反比例函数图象上任取两点P，Q．过点P分别作x 轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1；过点Q分别作x 轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S2．S1与S2有什么关系？为什么？师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，教师引导，师生共同得出答案．答：S1=S2；由：在反比例函数(k≠0)的图象上任意取一点，过这个点分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积总等于常数．设计意图：引导学生根据一定的分类标准研究反比例函数的性质，同时鼓励学生用自己的语言进行表述，从而提高学生的语言表达能力与数学语言的组织能力．【典例精析】例1 已知反比例函数的图象经过点A（2，6）．（1）这个函数的图象位于哪些象限？y随x的增大如何变化？（2）点B（3，4），，D（2，5）是否在这个函数的图象上？师生活动：师生共同分析，教师引导并提出下列问题：（1）点A（2，6）在图象上的含义是什么？（2）图象的位置由哪个量确定？我们如何求出这个量？（3）反比例函数y随x的变化情况与哪个量有关？y随x的变化情况有没有限制条件？（4）某点不在图象上的含义是什么？学生解答，在小组里讨论，互相检查，小组代表展示解答过程．解：（1）因为点A（2，6）在第一象限，所以这个函数的图象位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小．（2）设这个反比例函数的解析式为．因为点A（2，6）在这个函数的图象上，所以点A的坐标满足，即．解得k=12．所以这个反比例函数的解析式为．把点B，C，D的坐标代入，可知点B，点C的坐标满足函数关系式，点D的坐标不满足函数关系式，所以点B，点C在函数的图象上，点D不在这个函数的图象上．设计意图：从学生已有的数学知识出发，理解点在图象上的含义，运用待定系数法求函数解析式．通过解析式分析图象及性质，让学生感悟由“数”到“形”的过程，初步体会数形结合的数学思想．例2 如图，点P是反比例函数图象上一点，作PM⊥y轴于点M，若图中阴影部分的面积为3，则该反比例函数的解析式为．(xyPOM)师生活动：教师出示问题，学生思考，教师请学生代表回答，讲解出现的问题．解析：设点P的坐标为（x，y）．⊥S⊥POM=3，S⊥POM=PM·OM，⊥PM·OM=6，即．设该反比例函数的解析式为，⊥xy=k．⊥k＜0，⊥k=-6．⊥．设计意图：让学生理解k的几何意义．【课堂练习】1．对于反比例函数y=，下列说法不正确的是（）．A．点（-2，-1）在它的图象上B．它的图象在第一、第三象限C．当x＞0时，y随x的增大而增大D．当x＜0时，y随x的增大而减小2．如图，函数y1=x-1和函数y2=的图象相交于点M(2，m)，N(-1，n)，若y1＞y2，则x的取值范围是（）．A．x＜-1或0＜x＜2 B．x＜-1或x＞2C．-1＜x＜0或0＜x＜2 D．-1＜x＜0或x＞2 3．下列函数中，其图象位于第一、三象限的有______________；在其图象所在象限内，y的值随x值的增大而增大的有_____________．（1）；（2）；（3）；（4）．4．已知反比例函数，当m_____________时，其图象的两个分支在第一、三象限内；当m_____________时，其图象在每个象限内y随x 的增大而增大．5．在函数的图象上有三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），已知x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3由小到大的顺序是___________．师生活动：教师找几名学生代表回答，讲解出现的问题．6．反比例函数y=(k＞0)在第一象限的图象如下图所示，点M是图象上一点，MP垂直x轴于点P．如果⊥MOP的面积为1，那么k的值是_______．7．设函数，当m取何值时，它是反比例函数？它的图象位于哪个象限？参考答案1．C．2．D．3．（1）（2）（3）；（4）．4．，．5．y2＜y1＜y3．6．2．7．解：由题意，得解得m=3．所以当m=3时，函数是反比例函数．当m=3时，代入可得．因为k=1＞0，所以它的图象位于第一、第三象限．设计意图：进一步巩固所学知识，加深对所学知识的理解．六、课堂小结1．一般地，反比例函数的图象是双曲线，它具有以下性质：（1）当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；（2）当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大．2．反比例函数(k为常数，k≠0)中k的几何意义如图．（1）过反比例函数图象上的任意一点P作x轴、y轴的垂线，两条垂线与x轴、y轴围成的长方形的面积等于．（2）若点A是反比例函数图象上任意一点，过点A作x轴（或y轴）的垂线，则所作垂线、x轴（或y轴）与线段OA围成的三角形的面积等于．注意：因为反比例函数(k为常数，k≠0)中的k有正负之分，所以在利用解析式表示长方形或三角形的面积时，都应加上绝对值符号．师生活动：教师引导学生归纳、总结本节课所学内容．设计意图：帮助学生养成系统整理知识的学习习惯，加深认识，深化提高，形成学生自己的知识体系．七、板书设计6.2 反比例函数的图形与性质（2）1．反比例函数图象的增减性2．反比例函数中k的几何意义。
6.2反比例函数的图象与性质课件北师大版数学九年级上册(3)2
这个图形吗？
当容积S=1000 时,
时间t与每小时水流
量v之间的关系是：
（t >0）
1．什么是反比例函数？ 一般地，形如 数叫做反比例函数．
( k是常数, k ≠0 )的函
2．反比例函数的定义中需要注意什么？ （1）k 是非零常数.
（2）三种形
式：
，
，
．
3．还记得一次函数的图像与性质吗？
xy = k
第六章 反比例函数
6.2 反比例函数的图象与性质
第1课时 反比例函数的图象
1.会用描点法画出反比例函数的图象,并掌握反比 例函数图象的特征.（重点） 2.会利用反比例函数图象解决相关问题.（难点）
问题 某游泳池容积为
,现在需要灌满它，
每小时水流量v(m3/h )与时间t(h)之间有怎样的函
数关系呢？你能在平面直角坐标系中形象的画出
象限的交点为A(2，n)，求点A的坐标及反比例函数的解
析式．
y
解：（1）由题意可得，
A
m－5＞0，解得m＞5.
o
x
如图所是函数
(m为常数)图象的一支．
(2)若该函数的图象与正比例函数y＝2x的图象在第一象
限的交点为A(2，n)，求点A的坐标及反比例函数的解析
式．
y
解：（2）∵点A(2，n)在直线 ＝2 上，
函数
正比例函数
表达式 y=kx(k是常数，k≠0)
图象形状 直线（经过原点）
位置 一、三象限
对称性
位置 二、四象限
☆是中心对称图形，
也是轴对称图形.
反比例函数
( k是常数,k≠0 )x ≠0
?
4.如何画函数的图象？
6.2.2反比例函数的图象与性质
实际运用 巩固新知 1.下列函数中， P155 2 （1）图象位于二、四象限的有 (4) ； （2）在每一象限内，y随x的增大而增大的有 (4) ； （1）（ 2） （3）在每一象限内，y随x的增大而减小的有 ．
1 0.3 10 7 (1) y ; (2) y ; (3) y ; (4) y 2x x x 100 x
第六章 反比例函数
6.2.2 反比例函数的图象与性质
学习目标
1、能画出反比例函数的图象，根据图象和解析 表达式探索并理解反比例函数的主要性质．
2.经历知识的探究过程，通过全面的观察和比较， 逐步提高观察和归纳分析能力，体验数形结合和 分类讨论的数学思想
3.经历小组合作与交流活动，在质疑、追问、讨 论中达成共识，发展合作能力和语言表达能力.
设问质疑 探究尝试
观察反比例函数 象，回答下列问题：
的图
（1）函数图象分别位于哪几个象限内？ （2）在每一个象限内，随着x值的增大，y的值 是怎样变化的？能说明这是为什么吗？
（3）你能说说这些反比例函数的共同特征吗？
2 4 6 考察反比例函数 y , y , y 的图象， x x x
归纳总结 纳入系统
本节课你学到了反比例函数的哪些新知识? 你有哪些感悟和收获？ 你还有想继续探究的问题吗？ 你对小组成员有什么评价和建议呢？
作业：练习册P91 1-3题 P92 1、3、4、6、7
图象上经过点A（2，3）.
（1）求这个函数的解析式；
（2）判断点B（-1，6），C（3，2）是否在这
个函数图象上，并说明理由.
（3）当-3<x<-1时，直接写出y的取值范围.
分层达标
评价矫正
C层： a2 a 7 已知反比例函数 y a 1 x ,在 每一象限内y随x的增大而减小，求a的值和 表达式.
北师大版九上数学6.2《反比例函数的图象与性质》知识点精讲
知识点讲解反比例函数的性质（1）反比例函数y=xk（k≠0）的图象是双曲线；（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大。
注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点。
比例系数k的几何意义在反比例函数y=xk图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|。
在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|2，且保持不变。
用描点法画反比例函数的图象步骤：列表---描点---连线。
（1）列表取值时，x≠0，因为x=0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值。
（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确。
（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线。
（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴。
视频讲解反比例函数中的面积类型视频讲解图文解析教学设计【教材分析】《反比例函数的图象与性质》安排在北师大版教材九年级上册，共分两课时，本节课是第二课时．在第一课时中，学生已经学会如何画反比例函数的图象，并对k＞0和k＜0时函数图象的特点有了初步的认识，本节课主要是在第一课时的基础上，通过对反比例函数图象的全面观察和比较，发现函数的自身规律，在质疑、讨论、交流、总结中增强学生对图象的感知能力，加深对反比例函数性质和几何意义的理解和掌握。
注意数形结合以及分类思想运用。
【学情分析】特别是在学习一次函数时，学生已经掌握了如何画一次函数的图象，探究过一次函数的性质，积累了一定的活动经验和方法感悟，在此基础上学习反比例函数的图象与性质，可以让学生进一步体会函数的概念，进一步积累探究函数图象和性质的方法，为后续探究二次函数的图象和性质做好知识上和方法上的铺垫．学生对于画函数图象已经积累了一定的经验，所以画函数图象的过程不仅在于“画”，更在于“探究”．为引导学生体会函数三种表示方法之间的联系和转化积累经验．九年级的学生已经具备了研究函数图象性质的许多方法，但是学习能力有所不同数形结合的抽象能力存在较大差异．所以需要教师在教学中不仅关注教法，更关注学法指导．同时，因为反比例函数较为抽象，所以学生学完性质直接应用的难度很大．这就需要教师精心设计教学方案帮助学生理解和掌握反比例函数的性质。
6.2+反比例函数的图像与性质(2)课件+2024—2025学年北师大版数学九年级上册
(1)解:由反比例函数解析式,可知
k=xy=6m=4×(-3),
解得k=-12,m=-2,
12
∴反比例函数解析式为y=- ,A(-2,6).
(2)解:一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围为x<-2或0<x<4.
数学
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◆ 能力提升◆
2 +1
1.已知函数y=的图象经过点P1(x1,y1),P2(x2,y2),如果x2<0<x1,那么
−4
(2)把点A(2,4)代入y= ,
−4
得4= ,
2
解得k=12.
数学
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2.如图,一次函数的图象与反比例函数y= 的图象交于点A(m,6)和点B(4,-3).
(1)求反比例函数的表达式和点A的坐标;
(2)根据图象回答,x在什么范围时,一次函数的值大于反比例函数的值.
数学
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∴k=4×1=4,
4
∴反比例函数的解析式为y= .
数学
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(2)将直线AB向下平移m(m>0)个单位长度得直线解析式为y=-x+5-m,
∵直线AB向下平移m(m>0)个单位长度后与反比例函数的图象只有一个
公共交点,
4
∴ =-x+5-m,
整理,得x2+(m-5)x+4=0,
Δ=(m-5)2-4×1×4=0,解得m=9或m=1,
即m的值为1或9.
数学
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8.如图,平面直角坐标系中,点C在x轴上,点A的横坐标是1,以OA,OC为邻
边作▱ABCO,点D是BC的中点,反比例函数y= (x>0)的图象经过点A,点D.
6.2.2 反比例函数的图像和性质
课题：6.2.2 反比例函数的图象与性质课型：新授课年级：九年级教学目标：1．会画出反比例函数的图象，能根据图象探索并理解反比例函数的主要性质．2．提高观察和归纳分析能力，体验数形结合和分类讨论的数学思想．会运用数形结合的思想方法解决反比例函数的有关问题．教学重点与难点：重点：探索反比例函数的主要性质.难点：理解反比例函数性质的探索过程，从“数”和“形”两方面综合考虑问题．课前准备：多媒体课件、三角板．教学过程：一、感悟导入活动内容：回答下列问题.问题1.下列函数中，哪些是反比例函数？问题3. 你知道反比例函数的图象还有哪些特点吗？反比例函数还有其它的性质吗？处理方式：问题1由学生口答,并说出理由，借以复习反比例函数的定义；问题2让学在具体问题中加深对反比例函数定义以及图象的再认知．师及时给予指导纠错，再通过问题3引入本节课的内容．设计意图：反比例函数的定义以及函数图象的特点，是继续进行本节内容学习的重要知识储备．本环节避免单纯的复习定义以及对知识的简单复述，力图通过具体问题，让学生在解决问题的过程中加深对知识本身的理解，培养学生的空间想象能力和对知识的实际运用能力．二、自主探究活动内容1：探究反比例函数图像的增减性（k＞0）观察反比例函数2yx=，4yx=，6yx=的图象，你能发现它们的共同特征吗?（1）函数图象分别位于哪几个象限内？（2）在每一个象限内，随着x值的增大，y的值是怎样变化的？能说明这是为什么吗？处理方式：让学生课前预习并画好函数图像，课上由教师展示，让学生自主观察所画图像，并结合问题探究得出反比例函数性质.学生有可能总结为：当k＞0时, y的值随x值的增大而减小.这时教师可以提示：这样不够严谨，应强调“在每一个象限内”这个前提条件.然后动画演示几何画板课件,并总结结论: 当k＞0时,图象的两个分支分别在第一、三象限内，在每一象限内，y的值随x的增大而减小．（借助于下图进行说明）设计意图: 学生通过观察比较，总结出三个反比例函数图象的共同特征,在活动中放手让学生去观察，去类比，去感受，去总结，实现学生主动参与，探究新知的目的,培养学生“以图识性、以性画图”的能力；及时的小结有助于理清思路，培养学生的归纳能力和语言表达能力.活动内容2：探究反比例函数图像的增减性（k<0）处理方式：前面已经对0k >时，反比例函数图象的特征进行了分析，此处可以完全放手给学生，让学生观察课前预习时画好的函数图像，通过类比，分析、归纳、概括出0k <时图象的共同特征，教师只需进行适时的点拨．由于上面在总结k ＞0时的性质时，强调了“在每一象限内”，所以在总结k ＜0的性质时，学生比较容易想到“在每一象限内”.设计意图:通过对0k <时反比例函数图像特征的探究，培养学生利用数形结合探究问题的意识，发展学生类比分析问题的能力，使学生在知识上更加完善，在能力上逐步提高．活动内容3：归纳性质从具体问题的分析进一步上升到理性的概括、归纳．教师要鼓励学生大胆表述自己的想法，语言即使不规范、不完整，教师也要给以充分的肯定、表扬，在讨论、交流的基础上使语言更加完善．最后由教师板书：当k ＞0时,在每一象限内，y 的值随x 值的增大而减小；当k ＜0时，在每一象限内，y 的值随x 值的增大而增大.设计意图：本环节主要是将知识进行系统的归纳、概括，通过讨论、交流，形成完整、规范的结论，可以培养学生的语言表达能力和对知识的归纳、概括能力．三、巩固新知活动内容：做一做.y 随x y 随x2. 的增大而增大，则m 的取值范围3.点1,1()A x y ，2,2()B x y 1,2y y 的大处理方式：让学生独立完成，然后小组交流，再选派代表进行讲解，力争让所有学生都积极地投入到知识的学习中．设计意图：通过几个小题目的练习，及时运用、巩固所学的知识，使学生加深对反比例函数性质的理解．问题3是一道易错题，不仅考察了性质中的“在每一象限内”这一条件，并且还蕴含着分类讨论思想，可以拓展学生思维的广度和深度．课堂上以小组合作讲解的形式，让每个学生都融入到表达与倾听中，可以调动每个学生的主观能动性．四、合作竞学活动内容：探究k 的几何意义 (课件展示问题)问题1. 如图1，在反比例函数xy 2=的图象上任取一点P ，过点P 分别作x 轴，y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为多少?图1 图2问题2. 如图2， 在反比例函数xk y =的图象上任取一点P ，过点P 分别作x 轴，y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为多少?图3 图4问题3. 如图3，在反比例函数xk y =图象上任取两点P 、Q ，过点P 分别作x 轴，y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为1S ；过点Q 分别作x 轴，y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为2S ，1S 与2S 有什么关系? 为什么?问题4. 如图4，在反比例函数xk y =的图象上任取点P ，过点P 作PF ⊥x 轴于F ，△OPF 的面积又是多少呢? 为什么?处理方式：（1）鼓励学生先独立思考,然后以小组为单位,讨论分析,动手计算，总结小组成果.教师一边巡视,一边加入到各个小组的学生讨论中. 四个问题层层推进，让不同层次的学生都有事可干．（2）充分讨论后可由学生讲解，教师进行方法的总结和点拨．在探究的基础上，对于一般的反比例函数xk y =，充分利用小组成员间的合作，探究、归纳出一般性的结论——矩形面积总等于k ，三角形的面积总等于k 21．（3）利用几何画板软件通过拖动改变P 点位置（如下图），直观感受所得结论的正确性．可以发现矩形与三角形的面积是一个定值，加深学生对所得规律的理解．设计意图: 课本中只给出了问题3. 考虑到如果直接探究函数xk y =，对于有些学生来说有一定的困难，所以为了突破这一难点，我先给出简单的反比例函数xy 2=，在探究了这个具体函数的基础上，再由特殊到一般，进一步探究xk y =，符合学生的认知规律．最后通过几何画板的动画演示，让学生更直观地理解矩形和三角形的面积与比例系数K 的对应关系，向学生渗透数形结合的思想方法.五、反思总结活动内容：本节课你学到了反比例函数的哪些新知识?你有哪些感悟和收获？你还有什么困惑？处理方式：先由学生自由发言，畅谈收获．师引导学生对自己的学习过程进行提炼、反思，从知识上和方法上进行总结．最后课件展示以下表格，通过对比形式，引导学生小结正比例函数、反比例函数的性质．设计意图：小结能使学生养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识．小结还能引导学生关注数学的学习过程，通过交流、反思，倾听其他同学的感悟和收获，可以取长补短，共同提高．六、布置作业必做题：课本157页，习题6.3第1题、第2题、第3题．。
6.2反比例函数图象与性质(二) 教学设计
6.2反比例函数图象与性质（二）教学设计【摘要】本文将重点讨论关于反比例函数图象与性质的教学设计。
在我们首先探讨了教学设计的重要性，接着复习了反比例函数图象与性质。
在我们详细介绍了反比例函数的概念、反比例函数图象的性质，以及如何进行练习题目分析。
我们还提出了教学方法与工具，并概述了课堂实施步骤。
在我们分析了学生能力提升的可能性，进行了教学反思，并展望了未来的发展方向。
通过本文的学习，读者将更加深入地了解反比例函数图象与性质，为教学实践提供有力的支持和指导。
【关键词】反比例函数、图象、性质、教学设计、概念、练习题目、教学方法、教学工具、课堂实施步骤、学生能力提升、教学反思、展望1. 引言1.1 教学设计的重要性教学设计的重要性在于它直接影响着教学质量和效果。
一个好的教学设计可以有效地帮助学生理解知识，培养他们的思维能力和动手能力。
教学设计还可以提高教师的教学效率，使得课堂更加生动有趣。
通过细致的教学设计，教师可以在课堂上更好地把握教学进度，让学生在有限的时间内获得最大的收获。
教学设计还可以帮助教师更好地调整教学方法和手段，以适应不同学生的学习特点和需求。
通过科学合理的教学设计，教师可以更好地发挥自己的教学才能，使得教学过程更加高效和有效。
教学设计是教学工作中至关重要的一环，它关乎着教育教学的质量和效果，对于提高学生学习成绩和能力有着重要的意义。
我们应该重视教学设计，不断完善和改进，以使得教育教学工作更加顺利地进行。
1.2 反比例函数图象与性质的复习在上一节课中，我们已经简要地介绍了反比例函数的概念以及其图象的性质。
在本节课中，我们将更深入地复习反比例函数的图象与性质，以帮助学生更好地掌握这一知识点。
我们需要回顾反比例函数的定义：如果一个函数的定义域为非零实数集，且对于任意非零实数x，都有f(x)=k/x（k≠0），那么这个函数就是反比例函数。
我们将重点讲解反比例函数图象的性质。
反比例函数的图象是一条过原点的开口向下的曲线，且随着x的取值增大，y的取值会逐渐减小；反之，随着x的取值减小，y的取值会逐渐增大。
专题6_2 反比例函数的图象和性质(第2课时)-九年级数学上册教材配套教学课件(北师大版)
归纳：
k
对于反比例函数 y ，
x
点 Q 是其图象上的任意一
点，作 QA 垂直于 y 轴，作
QB 垂直于x 轴，矩形AOBQ
的面积与 k 的关系是
S矩形AOBQ= |k| .
y
A
•Q
O B
x
推理：△QAO与△QBO的
面积和 k 的关系是
k
S△QAO=S△QBO=
.
2
反比例函数的
面积不变性
练一练
3
A． 2
ABC
1
，则 k 的值是（
B．3
5
C． 2
）
D．2
k
k
【详解】解： 如图，反比例函数 y= x （k≠0，x＞0）与反比例函数 y=− x （k≠0，x＜0）的
图象关于 y 轴对称，延长 GF 交 x 轴于 M，设 AB 交 y 轴于 N．
1
3
5
∴ AN BN 2 AB 2 ，NH=OM= 2 ，
k
∵点 A、C 在反比例函数 y= x 的图象上，
3 2k
5 2k
∴A ( 2 , 3 ) ，C ( 2 , 5 ) ，
又∵ S
ABC
1
，
∴ 2 AB•CH=1，
1
∵AB=3，
∴CH= 3 ，
2
∵点 A、C 纵坐标的差是 CH，
2k
2k
即35
2
3
，
5
解得 k= 2 ，
故选 C．
k
5．如图，P 是反比例函数 y = x 图象上一点，过 P 作 x 轴的垂线 PA，若 S
直角坐标系中是怎样一种情况呢？可以试着动手画一画．
6.2反比例函数图象与性质(二) 教学设计
6.2反比例函数图象与性质（二）教学设计教学内容：反比例函数图象与性质一、教学目标1. 知识与技能（1）了解反比例函数的概念与特点；（2）掌握反比例函数图象的绘制方法；（3）掌握反比例函数性质的运用。
3. 情感态度与价值观培养学生对数学的兴趣，增强学生对反比例函数的理解和应用能力。
二、教学重点与难点2. 教学难点反比例函数图象的绘制方法。
三、教学过程1. 导入教师通过举例让学生感受反比例函数的特点，引出本节课的主题。
2. 讲解（1）反比例函数的概念与特点- 介绍反比例函数的定义和特点，引导学生理解反比例函数的基本概念。
（2）反比例函数图象的绘制方法- 通过示意图和实例，讲解反比例函数图象的绘制方法，让学生掌握绘制反比例函数图象的步骤和技巧。
（3）反比例函数性质的运用- 结合实际问题，讲解反比例函数性质的运用方法，引导学生理解反比例函数在实际问题中的应用。
3. 练习教师设计一些练习题，让学生在课堂上进行练习，巩固所学知识。
4. 拓展教师设计一些拓展题，让学生在课后进行拓展练习，提高对反比例函数的理解和运用能力。
5. 总结教师对本节课的重点内容进行总结，并强调学生在复习时需要重点掌握的知识点和技能。
四、教学设计说明2. 教师在教学过程中要注重引导学生理解反比例函数的概念和特点，通过实例讲解和练习题的设计，帮助学生掌握反比例函数图象的绘制方法和反比例函数性质的运用方法，并通过拓展练习提高学生的数学运用能力。
3. 教学中要注重培养学生的数学思维能力和实际问题解决能力，引导学生将所学知识运用到实际问题中去，加强学生对反比例函数的理解和应用能力。
五、教学反思本节课主要是介绍了反比例函数的图象与性质，在教学设计中，通过讲解、练习和拓展，让学生全面掌握了反比例函数的相关知识和技能。
在教学过程中，教师注重引导学生理解和应用，调动学生的学习兴趣，提高学生的学习效果。
在今后的教学中，要继续注重培养学生的数学思维能力和实际问题解决能力，加强理论与实践的结合，提高学生的数学素养。
6.2反比例函数图象与性质(二) 教学设计
6.2反比例函数图象与性质（二）教学设计一、教学内容分析：反比例函数是初中数学中的一个重要内容，学生在初中阶段就开始接触并学习反比例函数。
在6.2反比例函数图象与性质（二）这一教学内容中，主要是对反比例函数的图象与性质进行深入的学习和探讨。
通过本节课的学习，学生将能够更加深入地理解反比例函数的性质，掌握反比例函数的图象特点，并能够运用所学知识解决相关问题。
二、教学目标：1. 知识与技能：掌握反比例函数的图象特点和性质，能够绘制反比例函数的图象，并能够利用反比例函数解决实际问题。
2. 过程与方法：培养学生的观察、分析和解决问题的能力，培养学生的动手能力和合作意识。
3. 情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，增强学生的自信心，提高学生的学习积极性。
三、教学重点与难点：重点：反比例函数的图象特点和性质难点：利用反比例函数解决实际问题四、教学过程：1.导入新课老师可以通过一个有趣的实例引入本节课的主题。
讲述一个关于反比例函数的生活实例，让学生通过生活中的场景来理解反比例函数的图象特点和性质。
2.呈现新知识在呈现新知识环节，老师可以通过课件或者板书向学生介绍反比例函数的图象特点和性质，包括反比例函数的图象穿过第一、第二象限，并且不经过原点。
要让学生掌握反比例函数的图象是一条经过原点的反比例函数的图象。
3.引导学生发现规律4.巩固训练在这一环节，老师可以设计一些练习题让学生巩固所学知识。
通过练习题，让学生掌握绘制反比例函数图象的方法，同时培养学生解决问题的能力。
5.拓展应用在本节课的拓展应用中，老师可以设计一些生活中的实际问题，让学生利用所学知识解决问题。
通过反比例函数解决物体放大缩小的问题，或者解决两个物体的关联问题等。
通过这些拓展应用的例子，帮助学生更好地理解反比例函数的实际应用。
6.课堂总结在本节课的总结环节，老师可以对本节课的重点内容做一个简要的总结，并对学生在学习中可能存在的问题进行解答和讨论。
6.2.2反比例函数的图象和性质
性 质
1、反比例函数y= - 5 的图象大致是（ x y y
A：
o x
D ）
x
B：
o
y y
C：
x o
D：
o x
练一练
2
20 一、三 象限, 的图象在第________ x 减小 在每一象限内，y 随x 的增大而_________.
1、函数 y
二、四 象限, 2、 函数 y 30 的图象在第________ x 增大 在每一象限内，y 随x 的增大而_________.
跟踪练习1
练一练
4
若点（-2，y1）、（-1，y2）、（2，y3）在 反比例函数 y 100 的图象上，则（ C ）
x
A、y1>y2>y3
B、y2>y1>y3
C、y3>y1>y2
D、y3>y2>y1
《课时集训》 P79 跟踪练习2
练一练
5
2 x
考察函数 y 的图象,当x=-2时,y=
___ -1
（2）画出所求函数的图象。
（3）从A市开出一列火车，在40分钟内（包括40分钟） 到达B市可能吗？ 50分钟内（包括50分钟）呢？如有可 能，此时对火车的行驶速度有什么要求？
《课时集训》 P79 典例3 Nhomakorabea跟踪练习3
反比例函数的图象和性质： 1.反比例函数的图象是双曲线; 2.图象性质见下表： k y= K>0 K<0
x
图 象
当k＞0时，函数图象 的两个分支分别在第 一、三象限，在每个 象限内，y随x的增大 而减小. 当k＜0时，函数图象 的两个分支分别在第 二、四象限，在每个 象限内，y随x的增大 而增大.
6.2.2反比例函数的图象与性质(二)
m 1 经过点 A(x1,y1),B(x2,y2),当 x1<0<x2 时,有 y1>y2,则 m 的取值范围是 x
(2)将反比例函数的图象绕原点旋转 180 度后,能与原来的图象重合吗?
思考：反比例函数是轴对称图形吗？若是，有几条对称轴？ 知识宝典： 1.过反比例函数图象上任意一点向 x 轴,y 轴作垂线,与坐标轴围成的矩形面积等于_____-,若 与原点相连,所构成的直角三角形的面积等于________. 2.反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形. 对称轴有两条:y=x 和 y=-x,对称中心是原点.
当k 0, 函数 y k x 1与y
y
（3） 反比例函数的图象可能与 x 轴相交吗？可能与 y 轴相交吗？为什么？
y x o (2)
k 在同一直角坐标系中的 图象大致是 : x
y
y
o
知识宝典：当 k>0 时． ,两支双曲线分别位于第一,三象限内; 在每一象限内 , y 随 x 的增大而 ．．．．．． _______.当 k＜0 时,两支双曲线分别位于第二,四象限内；在每一象 限内 , y 随 x 的增大而 ．．．． ．．
课前寄语：发现美、学习美、应用美、到处都有数学美。
泗 交 初 中 学 案
授课时间 课型
初三数学组 12.3 新授
三、能力提升：你很棒！ 1.下列函数中,其图象位于第一、 三象限的是______;在其图象所在象限内,y 的值随 x 的值增 大而增大的有_________
年级 课题 主备人 学习目标 重点 难点
3 x
C.y=
3 x
D.y=-3x
3 x
,当 x>0 时图象在第______象限, y 随 x 的值增大而_____,当 x<0 时图象在第______
九上数学 第27讲 第六章 6.2反比例函数性质和图像
第27讲 《反比例函数》培优训练6.2 反比例函数图像和性质【基础知识精讲】反比例函数y=kx （k ≠0）中k 的几何意义： 过函数 y=kx（k ≠0）的图像上任一点),(y x p 作PM ⊥x 轴，PN ⊥y 轴，所得矩形PMON 的面积S=∣xy ∣=∣k ∣；所得△POM 的面积S=21∣k ∣。
【例题巧解点拨】例1．正比例函数y=x 与反比例函数y=1x的图象相交于A 、C 两点，AB ⊥x 轴于B ，CD •⊥x 轴于D ，如图1所示，则四边形ABCD 为_______．图1 图2 图3练习：如图2，P 是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形PEOF 的面积为8，则反比例函数的表达式是_____________________．例2.如图3，两个反比例函数y=3x ，y=6x在第一象限内的图象如图所示，点P 1，P 2，P 3……P 2018，在反比例函数y=6x的图象上，它们的横坐标分别是x 1，x 2，x 3，…x 2018，纵坐标分别是1，3，•5•……，•共2018个连续奇数，过点P 1，P 2，P 3，…，P 2018分别作y 轴的平行线与y=3x的图象交点依次是Q 1（x 1，y 1），Q 2（x 2，y 2），Q 3（x 3，y 3），…，Q 2018（x 2018，y 2018），则y 2018=________．练习：1、如图：函数y=-kx （k ≠0）与y=-4x的图象交于A 、 B 两点，过点A 作AC ⊥y 轴，•垂足为点C ，则△BOC 的面积为________．2、如图，正比例函数y=3x 的图象与反比例函数y=kx（k>0）的图象交于点A ，若 取k 为1，2，3，…，20，对应的Rt △AOB 的面积分别为S 1，S 2，…，S 20，则S 1+S 2+…+S 20=_________．例3．如图所示,直线122y x =+分别交x 轴、y 轴于A ，C 两点，P 是该直线上在第一象 限内的一 点，PB ⊥x 轴于B ，9ABPS =.(1)求P 点坐标; (2)双曲线ky x=经过点P ，能否在双曲线上PB 的右侧求作一点R ，作RT ⊥x 轴于T ，使△BRT 与△AOC 相似? 如能，求出点R 坐标；若不能，说明理由。
6.2.2反比例函数的图像与性质
-2 -3
-4 -5
-6
反比例函数的图象和性质：
1、k＞0
图象在第一和第三象
限，在每个象限内y随x的增大而减小.
2、k＜0
图象在第二和第四象
限，在每个象限内y 随x的增大而增大.
自学检测一
1.课本155页随堂练习1、2； 助学161页例2
2.助学162页自主评价 2, 4、5、6、 9、11
完成助学
第六章 反比例函数
6.2.2 反比例函数的 图像与性质
学习目标
1. 会画反比例函数的图像，并 分析其性质.
2.能用反比例函数的定义和性 质解决实际问题.
自学指导一
内容：课本154-155页想一想上面的部分 时间：2分钟 要求： 1. 回答课本154页两个问题 2.复述反比例函数的性质，并完成助学160
自学指导二
内容：课本155页想一想 时间：2分钟 要求：
1.在课本图6-4上按想一想的要求作出S1、S2 2.S1、S2有什么数量关系？ 3.总结k的几何意义，并完成助学159页知识
梳理3
自学检测二
1. 课本157页知识技能3 2.助学161----162页自主评价
1、3、7、8 、10
达标测试
-1 -2
大而减小.
-3
-4
-5
-6
x … -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 …
y=
6 x
…
1 1.2 1.5 2
3 6 -6 -3 -2 -1.5-1.2 -1 …
2、k＜0 图象在第二 和第四象限， 在每个象限 内y 随x的增 大而增大。
y
6
y=
6 x
5 4
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科目
数学
年级
九
课型
新
备课时间
2016、10
教学内容
6.2反比例函数图像与性质（2）
主备教师
吕志伟
讲课教师
教学目标
1.进一步巩固作反比例函数的图象.
2.逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质.
主备教师导学设计
个案完善
一、温故互查：
通过画图象总结出：当k＞0时,函数图象的两支曲线分别位于（）；当k＜0时（）.还讨论了k取相反数时反比例函数图象的异同点：
3.(知识点1)如图2，在直角坐标系中，点 是 轴正半轴上的一个定点，点 是双曲线 （ ）上的一个动点，当点 的横坐标逐渐增大时， 的面积将会（）
A．逐渐增大B．不变C．逐渐减小D．先增大后减小
五、拓展题:
1．点(-2， )、(-1， )、(1， )在反比例函数 = (k< 0)的图象上，比较 、 、 的大小。
三、检测题
P152随堂练习1、2，
四、巩固题：
1．已知反比例函数 的图象在第二、四象限内，函数图象上有两点 ， ，则 与 的大小关系为（）
A． B． C． D．无法确定
2．如图1，A、B是函数 的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥ 轴，AC∥ 轴，△ABC的面积记为 ，则（）
A． B． C． D．
(2)在每一个象限内，随着x值的增大，y的值是怎样变化的?能说明这是为什么吗？
(3)反比例函数的图象可能与x轴相交吗?可能与y轴相交吗？为什么？
议一议用类比的方法来探究y＝- ，y＝- ,y=- 的图象的共同特征并总结它们的共同特征
[总结并记忆]反比例函数的主要性质.
3.将反比例函数的图象绕原点旋转180°后能与原来的图象重合吗?
(5)当x为何值时， > ?当x为何值时， < ?
二人小组互查
学生自主画图探究知识，四人小组纠错，教师点拨。
我们在学习一次函数y=kx+b图象时还研究了: 函数值随自变量的变化而变化的情况：当k＞0时,y的值随x的增大而（），当k＜0时，（）. 函数图象与x轴的交点，y轴的交点= ,y= ，观察它们有什么共同点？
2．总结它们的共同特征（先独立思考再互相交流）：
(1)函数图象分别位于哪几个象限?
4．在一个反比例函数图象任取两点P、Q，过点Q分别作x轴y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为S1,过点Q分别作x轴y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为S2，S1与S2有什么关系?为什么?
5．从上面的图中可以看出，P、Q两点在同一支曲线上，如果P，Q分别在不同的曲线，情况又怎样呢?
6．因此只要是在同一个反比例函数图象上任取两点P、Q.不管P、Q是否在同一支曲线上，过P、Q分别作x轴y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2，总有
2．正比例函数 = 2x的图象与反比例函数 = 的图象有一个交点的横坐标是3，
(1)求k的值；
(2)根据反比例函数的图象，当-3 <x< -1时，求 的取值范围；
(3)当-3 < < -1时，求x的取值范围；
(4)当0 <x< 3时， >；当x> 3时，0 < <，即 是小于的正数；当x>时， 是小于1的正数.