学案7 双曲线

4 离之和s≥ c.求双曲线的离心率 的取值范围 求双曲线的离心率e的取值范围 离之和 求双曲线的离心率 的取值范围. 5
4 c”这个条 这个条 5
【分析】直接用已知的“距离之和s≥ 分析】直接用已知的“距离之和
件列出只含有a和 的不等式 再通过构造法,将此不等式 的不等式,再通过构造法 件列出只含有 和c的不等式 再通过构造法 将此不等式 c 变形为一个只有e= 的不等式 再解不等式即可得解 的不等式,再解不等式即可得解 再解不等式即可得解. 变形为一个只有 a 返回目录
a +b c
2ab ≥ 由s≥ c 于是得5 于是得 e2 -1≥2e2.
4 c,得 得 5
4 c,即5a 即 5
≥2c c2 -a2 2.
5 2 ≤e ≤5. 4
解不等式,得 即4e4-25e2+25≤0,解不等式 得 解不等式 由于e>1,所以 的取值范围是 所以e的取值范围是 由于 所以
5 2
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2.双曲线的标准方程和几何性质 2.双曲线的标准方程和几何性质
x2 y2 2 - 2 =1(a>0,b>0) a b y2 x2 2 - 2 =1(a>0,b>0) a b
标准方程
图形
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名师伴你行 范围 对称性 x≥a或x≤-a 轴 轴 对称轴： x轴，y轴 对称中心: 顶点坐标A1 顶点 性 质 A2 (a,0) 原点 (-a,0) , y≥a或y≤-a 轴 轴 对称轴： x轴，y轴 原点 对称中心: 顶点坐标A1 A2 (0,a ) (0,-a)
考点四 双曲线的综合应用 已知双曲线C的中心是原点，右焦点为 （ 已知双曲线 的中心是原点，右焦点为F（ 3，0）， 的中心是原点 ）， 一条渐近线m： 一条渐近线 ：x+ 的方向向量e=(1,k). 的方向向量 (1)求双曲线 的方程 求双曲线C的方程 求双曲线 的方程; (2)若过原点的直线 ∥ l，且a与l的距离为 6 ,求k的值 若过原点的直线a 的值; 若过原点的直线 ， 与 的距离为 求 的值 2 ,在双曲线 的右支上不存在点 (3)证明：当k≥ 证明： 在双曲线C的右支上不存在点 证明 时 在双曲线 的右支上不存在点Q, 2 使之到直线l的距离为 使之到直线 的距离为 6 . 返回目录 的直线l ，设过点A(-3 2 ,0)的直线 的直线 2 y=0，设过点
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【解析】如图，设动圆M的半径为 ，则由已知 解析】如图，设动圆 的半径为 的半径为r， |MC1|=r+ 2 ，|MC2|=r- 2， ∴|MC1|-|MC2|=2 2 . ），C 又C1（-4，0）， 2（4，0）， ， ）， ， ）， ∴|C1C2|=8， ， ∴2 2 ＜|C1C2|. 根据双曲线定义知， 的轨迹是以C 根据双曲线定义知，点M的轨迹是以 1（-4，0）,C2 的轨迹是以 ， ） （4，0）为焦点的双曲线的右支 ， ）为焦点的双曲线的右支. ∵a= 2，c=4，∴b2=c2-a2=14. ， x2 y2 - =1 （x≥ ）. ∴点M的轨迹方程是 的轨迹方程是 2 2 14 返回目录
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＊对应演练＊ 对应演练＊
为动点， 为定点， 在△ABC中，A为动点，B,C为定点，B(中 为动点 为定点 迹方程是（ 迹方程是（ A. B. C. D. ）
a ，0)， ， 2
a 1 C( ，0)且满足条件 且满足条件sinC-sinB= sinA,则动点 的轨 则动点A的轨 且满足条件 则动点 2 2
,
渐近线 离心率
b y=± y=± x a c e= e∈ (1,+∞) ，其中c= a
a y=± y=± x b
a2 +b2 .
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|= 2a ； 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|= 2b ；a 叫做双曲线的 实半轴 长，b叫做双曲线的虚半轴长. c=
x2 y2 - =1 . ∴双曲线方程为 36 64
②
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x2 y2 轴上时， （2）当焦点在 轴上时，设双曲线方程 2 - 2 =1 ,由 ）当焦点在y轴上时 由 a b a2+b2=100 题设得 a 4 , =
{
b
3
解得a=8,b=6. 解得
y2 x2 - =1 . ∴另一条双曲线方程为 64 36
32 9 又 - 2 =1 ,又a2+b2=c2=25, 2 a b
联立解之得a 联立解之得 2=16,b2=9.
x2 y2 故所求双曲线方程为 - =1 . 16 9
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x2 y2 （2）与双曲线 ） - =1 有共同渐近线的双曲 9 16 2 2 x y =m(m≠0), 线方程可表示为 9 16
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＊对应演练＊ 对应演练＊
根据下列条件求双曲线方程： 根据下列条件求双曲线方程：
x2 y2 的长轴端点为焦点， （1）以椭圆 25 - 9 = 1 的长轴端点为焦点，过P(4 2 ,3); ）
x2 y2 有共同渐近线， （2）与双曲线 - = 1 有共同渐近线，且过点 ） 9 16
P(3,4 2 ).
有一点Q（ ， ）， ），若 上存在一点 上存在一点P， 有一点 （2a，0），若C上存在一点 ，使AP，PQ=0， ， ， 求此双曲线离心率的取值范围. 求此双曲线离心率的取值范围 设P点坐标为 点坐标为(x,y),则由 则由AP·PQ=0，得AP⊥PQ， 点坐标为 则由 ， ⊥ ， 点在以AQ为直径的圆上 为直径的圆上， 则P点在以 为直径的圆上， 点在以
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（1）∵椭圆长轴端点为（±5,0）, ） 椭圆长轴端点为（ ） 轴上， ∴所求双曲线的两焦点在x轴上，且c=5，又设 所求双曲线的两焦点在 轴上 ， x2 y2 双曲线的方程为 2 - 2 =1 (a>0,b>0), a b 在双曲线上， ∴P(4 2 ,3)在双曲线上， 在双曲线上 ∴
3 2 2 a 2 即 (x- a) +y =( ) 2 2
.
①
x2 y2 点在双曲线上， 又P点在双曲线上，得 2 - 2 =1 . ② 点在双曲线上 a b
由①②消去 ，得 ①②消去y， 消去 返回目录
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（a2+b2）x2-3a2x+2a4-a2b2=0. 即［(a2+b2)x-(2a3-ab2)］(x-a)=0. ］ 重合， 当x=a时，P与A重合，不符合题意，舍去 时 与 重合 不符合题意，舍去.
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学案7
双曲线
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考点一

考点二 考点三 考点四
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1.双曲线的定义 1.双曲线的定义 平面内与两个定点F 平面内与两个定点 1，F2的距离的差的绝对值等 于常数（小于|F 且不等于零） 于常数（小于 1F2|且不等于零）的点的轨迹叫做双曲 且不等于零 叫做双曲线的焦点， 线.这 两个定点 叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫 这 . 做双曲线的 焦距 返回目录
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y2 x2 x2 y2 - =1 是一对共轭双曲线， 是一对共轭双曲线， 双曲线 - =1 与 64 36 36 64 2 x y2 一般形式是 2 - 2 =±1. ± a b x2 y2 因而本题有另一解法， 因而本题有另一解法，设双曲线方程为 2 - 2 =λ, 3 4
于是(3 |λ| )2+(4 |λ| )2=100, 于是 解得λ=± 解得 ±4. 即
≤e≤
.5 返回目录
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c2 a2 + b2 e2= 2 = 这一关系在双曲线 2 a a 的有关运算中常常用到，同时要注意三种曲线关于e的 的有关运算中常常用到，同时要注意三种曲线关于 的
范围的区别. 范围的区别
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＊对应演练＊ 对应演练＊
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x2 y2 双曲线C： 双曲线 ： 2 - 2 =1（a＞0,b＞0）的右顶点 ，x轴上 ＞ ＞ ）的右顶点A， 轴上 a b
故应选D.） 故应选 ）
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考点二 求双曲线方程
4 已知双曲线的渐近线方程为y=± 已知双曲线的渐近线方程为 ± x，并且焦点都在圆 ， 3
x2+y2=100上，求双曲线方程 上 求双曲线方程. 【分析】从圆的对称性及双曲线的焦点都在圆上知 分析】 焦点可能在x轴上，也可能在 轴上 轴上， 焦点可能在 轴上，也可能在y轴上，故应分两种情况 轴上 讨论求解. 讨论求解
x2 y2 36 64
x2 y2 - =±4, 所以所求双曲线方程为 ± 9 16
=±1. ±
一般言之，若双曲线的渐近线方程为 一般言之，若双曲线的渐近线方程为f1(x,y)=0,f2(x, y)=0,则其共轭双曲线方程形式为 1(x,y)·f2(x,y)=λ(λ≠0). 则其共轭双曲线方程形式为f 则其共轭双曲线方程形式为 返回目录
点的轨迹是以B， 为焦点的双曲线右支 为焦点的双曲线右支， ∴A点的轨迹是以 ，C为焦点的双曲线右支，其 点的轨迹是以 a 焦距为|BC|=a. 中实半轴长为 ，焦距为
4
∴虚半轴长为
16x2 16y2 (y≠0)的右支 的右支. 方程得 的右支 2 2 =1 a 3a
a 2 a 2 3 ( ) -( ) = a ，由双曲线标准 2 4 4
a,b,c的关系
a2 +b2
(c>a>0,c>b>0 )
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考点一 双曲线的定义 已知动圆M与圆 ：（x+4）2+y2=2外切，与圆 2： 外切， 已知动圆 与圆C1：（ 与圆 ） 外切 与圆C 内切， 的轨迹方程. （x-4）2+y2=2内切，求动圆圆心 的轨迹方程 ） 内切 求动圆圆心M的轨迹方程 【分析】利用两圆内、外切的充要条件找出M点满足的 分析】利用两圆内、外切的充要条件找出 点满足的 几何条件，结合双曲线定义求解. 几何条件，结合双曲线定义求解 返回目录