1-1双曲线导学案.doc
高二数学 2.2.2双曲线的简单几何性质导学案(1)新人教A版选修1-1
高中数学 2.2.2双曲线的简单几何性质(1)导学案 【自主学习】（预习教材P49~ P51） 问题1：由椭圆的哪些几何性质出发，类比探究双曲线22221x y a b-=的几何性质?范围：x ： y ：对称性：双曲线关于 轴、 轴及 都对称．顶点：（ ），（ ）．实轴，其长为 ；虚轴，其长为 ．离心率：1c e a=>． 渐近线：双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为：0x y a b±=．问题2：双曲线22221y x a b-=的几何性质? 图形：范围：x ： y ：对称性：双曲线关于 轴、 轴及 都对称．顶点：（ ），（ ）实轴，其长为 ；虚轴，其长为 ．离心率：1c e a=>． 渐近线：双曲线22221y x a b-=的渐近线方程为： ．新知：实轴与虚轴等长的双曲线叫 双曲线．【合作探究】例1．（教材P51例3）求双曲线22916144y x-=的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．例2求双曲线的标准方程：⑴实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上；⑶渐近线方程为23y x=±，经过点9(,1)2M-．【目标检测】1．双曲线221168x y-=实轴和虚轴长分别是（）．A．8、42 B．8、22 C．4、42 D．4、22 2．双曲线224x y-=-的顶点坐标是（）．A．(0,1)± B．(0,2)± C．(1,0)± D．（2,0±）3．双曲线22148x y-=的离心率为（）．A．1 B．2 C．3D．2 4．双曲线2241x y-=的渐近线方程是．5、已知双曲线的离心率2e=(5,3)M-，求其标准方程。
人教B版选修(1-1)2.2.2《双曲线的几何性质》word学案
§2.2.2双曲线的简单几何性质（1）能类比椭圆的几何性质的研究方法，探究并掌握双曲线的简单几何性质。
（2）能通过双曲线的标准方程确定双曲线的顶点、实虚轴、焦点、离心率、渐近线学习重点及难点：由双曲线的方程求其相关几何性质；利用双曲线的性质求双曲线方程．使用说明： （1）预习教材P 49~ P 51，用红色笔画出疑惑之处，并尝试完成下列问题，总结规律方法；（2）用严谨认真的态度完成导学案中要求的内容；预习案（20分钟）一．知识链接前面我们学习了椭圆的哪些几何性质？ 二．新知导学（1）双曲线14322=-y x 的实轴长和虚轴长分别是( ) 组长评价： 教师评价：A. 32， 4B.4，32C.3，4D. 2，3 （2）如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为( )A.23 B. 26C. 23D.2（3）双曲线222516400x y -=的实轴长等于 ，虚轴长等于 ，顶点坐标为 ， 焦点坐标为 ，渐近线方程为 ，离心率等于 ．探究案（30分钟）三．新知探究 【知识点一】【例1】求双曲线22916144y x -=的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程【例2】求双曲线的标准方程：⑴实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x 轴上；⑵离心率e (5,3)M -；⑶渐近线方程为23y x =±，经过点9(,1)2M -．【知识点二】双曲线第二定义【例3】点(,)M x y 到定点(5,0)F 的距离和它到定直线l :165x =的距离的比是常数54，求点M 的轨迹．小结：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数（大于1）的点的轨迹是双曲线【知识点三】过双曲线22136x y -=的右焦点，倾斜角为30 的直线交双曲线于,A B 两点，求,A B 两点的坐标．变式：求AB 思考：1AF B ∆的周长？四．我的疑惑（把自己在使用过程中遇到的疑惑之处写在下面，先组内讨论尝试解决，能解决的划“√”，不能解决的划“×”）（1） （ ） （2） （ ） （3） （ ）（通过解决本节导学案的内容和疑惑点，归纳一下自己本节的收获，和大家交流一下，写下自己的所得）随堂评价（15分钟）※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：15分钟 满分：30分）计分：1．双曲线221168x y -=实轴和虚轴长分别是（ ）．A ．8、B ．8、C ．4、D ．4、2．双曲线224x y -=-的顶点坐标是（ ）．A ．(0,1)±B ．(0,2)±C ．(1,0)±D ．（2,0±） 3．过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的直线，交双曲线于P 、Q ，1F 是另一焦点，若∠12PFQ π=，则双曲线的离心率e 等于（ ）．1 B. C. 1 D. 24．双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，这双曲线的方程为_______________.5．双曲线2241x y -=的渐近线方程是 ．6．方程22141x y k k+=--表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围课后巩固（30分钟）1.双曲线22169144x y -=-的渐近线的方程是（ ）A ．169y x =±B ．169x y =±C ．43y x =±D ．43x y =± 2.过点()2,2-且与双曲线2222x y -=有共同渐近线的双曲线的方程是（ ）A ．22142x y -+= B ．22142x y -= C ．22124x y -+= D ．22124x y -= 3.已知双曲线的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率是（ ）A B C ．2 D 4.等轴双曲线的一个焦点是()16,0F -，则它的标准方程是（ ）A ．2218x y -=- B ．2218x y -= C ．228x y -=- D ．228x y -=5已知方程22152x y k k -=--的图形是双曲线，则k 的取值范围是（ ）A ．5k >B ．522k k >-<<或C ．2k >或k<-2D ．22k -<<6．若椭圆2212516x y +=和双曲线22145x y -=的共同焦点为F 1，F 2，P 是两曲线的一个交点，则12PF PF ⋅的值为（ ）．A ．212B ．84C ．3D ．21 7.P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>右支上的一点，12,F F 分别是左右焦点，且焦距为2c ，则12PFF ∆的内切圆的圆心的横坐标是（ ）A ．a B ．b C ．c D ．a b c ++ 8.经过双曲线2213y x -=的右焦点2F 作倾斜角为030的直线，与双曲线交于,A B 两点，求：（1）AB ；（2）1F AB ∆的周长（1F 是双曲线的左焦点）。
高中数学选修1,1《双曲线》教案
高中数学选修1,1《双曲线》教案高中数学选修1-1《双曲线》教案【一】教学准备教学目标教学目标: 1.能用与椭圆对比的方法分析并掌握双曲线的范围、对称性、顶点等几何性质;2.掌握双曲线的渐近线的概念和证明;3.明确双曲线标准方程中a、b、c的几何意义;4.能根据双曲线的几何性质确定双曲线的方程, 并解决简单问题.教学重难点教学重点: 双曲线的几何性质教学难点: 双曲线的渐近线教学过程教学过程:一、知识回顾:1. 双曲线的标准方程;2. 椭圆的几何性质及其研究方法.二、课堂新授:1. 要求学生按照研究椭圆几何性质的方法, 研究双曲线的几何性质.(1) 范围: 双曲线在不等式x≤-a与x≥a所表示的区域内.(2) 对称性: 双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的. 这时, 坐标轴是双曲线的对称轴, 原点是双曲线的对称中心. 双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.(3) 顶点: 双曲线和它的对称轴有两个交点, 它们叫做双曲线的顶点.顶点坐标A1 (-a, 0), A2 (a, 0)① 线段A1A2叫做双曲线的实轴, 它的长等于2a, a叫做双曲线的实半轴长.② 双曲线与y轴没有交点, 取点B1 (0,-b)、 B2 (0, b), 线段B1B2叫做双曲线的虚轴, 它的长等于2b, b叫做双曲线的虚半轴长.(4) 离心率: 双曲线的焦距与实轴长的比e = , 叫做双曲线的离心率.双曲线的离心率的取值范围是(1, +∞).2. 双曲线的渐近线(1) 观察: 经过A2、A1作y轴的平行线x = ±a, 经过B2、B1作x 轴的平行线y = ±b, 四条直线围成一个矩形. 矩形的两条对角线所在直线的方程是y =±x, 观察可知: 双曲线的各支向外延伸时, 与这两条直线逐渐接近.(2) 证明: 取双曲线在第一象限内的部分进行证明. 这一部分的方程可写为高中数学选修1-1《双曲线》教案【二】教学准备教学目标1、熟练掌握曲线的方程和方程的曲线概念;2、掌握坐标法和解析几何的概念3、掌握根据已知条件求平面曲线方程的基本步骤;4、学会根据已知条件求简单的平面曲线的方程。
双曲线导学案1
双曲线及其标准方程一、学习目标1、能口述：双曲线的定义和标准方程。
2、会利用双曲线的定义求双曲线的标准方程。
会与椭圆的类比中获得双曲线的知识，从而培养学生分析、归纳、推理等能力．3、本节课注意发挥类比和设想的作用，与椭圆进行类比、设想，使学生得到关于双曲线的定义、标准方程一个比较深刻的认识．4．重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程．5．难点：双曲线的标准方程的推导．二、情景导入，问题引领：1．椭圆的定义是什么？(学生回答，教师板书)2．椭圆的标准方程是什么？(学生口答，教师板书)老师：如果把椭圆的定义中的和变成差呢?同学们能求一下它的轨迹方程吗？三、自主学习1、类比椭圆得出双曲线的概念2、类比椭圆得出双曲线的标准方程四、合作探究1、双曲线的定义把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？它的方程是怎样的呢？（1）、简单实验(边演示、边说明)如图2-23，定点F1、F2是两个按钉，MN是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M移动时，|MF1|-|MF2|是常数，这样就画出曲线的一支；由|MF2|-|MF1|是同一常数，可以画出另一支．注意：常数要小于|F1F2|，否则作不出图形．这样作出的曲线就叫做双曲线．（2）、类比椭圆设问问题1：定点F1、F2与动点M不在平面上，能否得到双曲线？请学生回答：问题2：|MF1|与|MF2|哪个大？请学生回答：问题3：点M与定点F1、F2距离的差是否就是|MF1|-|MF2|？请学生回答：问题4：这个常数是否会大于等于|F1F2|？请学生回答：（3）．定义在上述基础上，引导学生概括双曲线的定义：平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距．教师指出：双曲线的定义可以与椭圆相对照来记忆，不要死记．2、双曲线的标准方程现在来研究双曲线的方程．我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程．这时设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？不要求学生回答，主要引起学生思考，随即引导学生给出双曲线的方程的推导．标准方程的推导：两种标准方程的比较(引导学生归纳)：教师指出：(1)双曲线标准方程中，a＞0，b＞0，但a不一定大于b；(2)如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上．(3)双曲线标准方程中a、b、c的关系是c2=a2+b2，不同于椭圆方程中c2=a2-b2．五、典型例题书上相关例题六、练习及其巩固，布置作业。
人教新课标版数学高二选修1-1导学案 双曲线及其标准方程
2.2.1双曲线及其标准方程【教学目标】1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．【教学过程】一、创设情景教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生观看《2.2.1双曲线及其标准方程》课件“新课导入”部分，通过一首有趣而形象的诗歌及几幅美观的图片，引入本节课要学习的双曲线及其标准方程的知识.二、自主学习知识点一双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距；(2)关于“小于|F1F2|”：①若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；②若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在；(3)若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的一支；(4)若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是线段F1F2的中垂线．知识点二双曲线的标准方程(1)两种形式标准方程焦点所在的坐标轴x轴y轴标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形焦点坐标F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)a 、b 、c 的关系式a 2＋b 2＝c 2(2)如果含x 2项的系数为正数，那么焦点在x 轴上，如果含y 2项的系数是正数，那么焦点在y 轴上．对于双曲线，a 与b 无截然的大小关系，因而不能像椭圆那样，通过比较a 与b 的大小来确定其焦点位置．三、合作探究问题1 若取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F 1，F 2上，把笔尖放在点M 处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点应满足怎样的几何条件？答案 如图，曲线上的点满足条件：|MF 1|－|MF 2|＝常数；如果改变一下笔尖位置，使|MF 2|－|MF 1|＝常数，可得到另一条曲线．问题2 双曲线的标准方程的推导过程是什么？答案 (1)建系：以直线F 1F 2为x 轴，F 1F 2的中点为原点建立平面直角坐标系． (2)设点：设M (x ，y )是双曲线上任意一点，且双曲线的焦点坐标为F 1(－c,0)，F 2(c,0)． (3)列式：由|MF 1|－|MF 2|＝±2a ， 可得x ＋c2＋y 2－x －c 2＋y 2＝±2a .①(4)化简：移项，平方后可得(c 2－a 2)x 2－a 2y 2＝a 2(c 2－a 2)． 令c 2－a 2＝b 2，得双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．② (5)验证：从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都满足方程②；以方程②的解(x ，y )为坐标的点到双曲线两个焦点(－c,0)，(c,0)的距离之差的绝对值为2a ，即以方程②的解为坐标的点都在双曲线上，这样，就把方程②叫做双曲线的标准方程．(此步骤可省略)问题3 双曲线中a ，b ，c 的关系如何？与椭圆中a 、b 、c 的关系有何不同？ 答案 双曲线标准方程中的两个参数a 和b ，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b 2＝c 2－a 2，即c 2＝a 2＋b 2，其中c >a ，c >b ，a 与b 的大小关系不确定；而在椭圆中b 2＝a 2－c 2，即a 2＝b 2＋c 2，其中a >b >0，a >c ，c 与b 大小不确定．探究点1 双曲线定义的理解及应用例1 (1)已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，在平面内满足下列条件的动点P 的轨迹中为双曲线的是( )A ．|PF 1|－|PF 2|＝±3B ．|PF 1|－|PF 2|＝±4C ．|PF 1|－|PF 2|＝±5D ．|PF 1|2－|PF 2|2＝±4(2)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________________．答案 (1)A(2)x 2－y 28＝1(x ≤－1)解析 (1)当|PF 1|－|PF 2|＝±3时，||PF 1|－|PF 2||＝3<|F 1F 2|＝4，满足双曲线定义， P 点的轨迹是双曲线．(2)如图，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于点A 和B ，根据两圆外切的条件 |MC 1|－|AC 1|＝|MA |，|MC 2|－|BC 2|＝|MB |, 因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|，即|MC 2|－|MC 1|＝2，这表明动点M 与两定点C 2，C 1的距离的差是常数2.根据双曲线的定义，动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)，这里a ＝1，c ＝3，则b 2＝8，设点M 的坐标为(x ，y )，其轨迹方程为x 2－y 28＝1 (x ≤ －1)．反思与感悟 双曲线定义的两种应用：(1)根据双曲线的定义判断动点轨迹时，一定要注意双曲线定义中的各个条件，不要一看到动点到两个定点的距离之差的绝对值是常数，就认为其轨迹是双曲线，还要看该常数是否小于两个已知定点之间的距离且大于零，否则就不是双曲线．(2)巧妙利用双曲线的定义求曲线的轨迹方程，可以使运算量大大减小，同时提高解题速度和质量.其基本步骤为：①寻求动点M 与定点F 1，F 2之间的关系；②根据题目的条件计算是否满足||MF 1|－|MF 2||＝2a (常数，a >0)；③判断：若2a <2c ＝|F 1F 2|，满足定义，则动点M 的轨迹就是双曲线，且2c ＝|F 1F 2|，b 2＝c 2－a 2，进而求出相应a ，b ，c ；④根据F 1，F 2所在的坐标轴写出双曲线的标准方程． 探究点2 待定系数法求双曲线的标准方程例2 (1)已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线过点(3，－42)和⎝⎛⎭⎫94，5，求双曲线的标准方程；(2)求与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线方程．解 (1)由已知可设所求双曲线方程为y 2a 2－x2b 2＝1(a >0，b >0)，则⎩⎨⎧32a 2－9b 2＝1，25a 2－8116b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16，b 2＝9，∴双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.(2)方法一 设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意易求得c ＝2 5.又双曲线过点(32，2)，∴322a 2－4b2＝1. 又∵a 2＋b 2＝(25)2，∴a 2＝12，b 2＝8. 故所求双曲线方程为x 212－y 28＝1.方法二 设双曲线方程为x 216－k －y 24＋k ＝1(－4<k <16)，将点(32，2)代入得k ＝4，∴所求双曲线方程为x 212－y 28＝1.反思与感悟 待定系数法求方程的步骤(1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴． (2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)． ②与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)共焦点的双曲线的标准方程可设为x 2a 2－k －y 2b 2＋k ＝1(－b 2＜k ＜a 2)．(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值． (4)结论：写出双曲线的标准方程． 探究点3 双曲线定义的综合应用例3 已知A ，B 两地相距2000m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚4s ，且声速为340m/s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程．解 如图，建立直角坐标系xOy ，使A ，B 两点在x 轴上，并且坐标原点O 与线段AB 的中点重合．设爆炸点P 的坐标为(x ，y )， 则|P A |－|PB |＝340×4＝1 360. 即2a ＝1 360，a ＝680. 又|AB |＝2 000，所以2c ＝2 000，c ＝1 000，b 2＝c 2－a 2＝537 600. 因为|P A |－|PB |＝340×4＝1 360>0，所以x >0.因此炮弹爆炸点的轨迹(双曲线)的方程为x 2462 400－y 2537 600＝1(x >0)．反思与感悟 结合双曲线的定义，解决综合问题，诸如：实际应用题，焦点三角形问题等，要充分利用双曲线的定义、正弦定理、余弦定理等，利用化归思想，重点考查综合运用能力与求解能力．四、当堂测试1．平面内有两个定点F 1(－5,0)和F 2(5,0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝6，则动点P 的轨迹方程是( )A.x 216－y 29＝1(x ≤－4) B.x 29－y 216＝1(x ≤－3) C.x 216－y 29＝1(x ≥4) D.x 29－y 216＝1(x ≥3) 答案 D解析 |PF 1|－|PF 2|＝6<|F 1F 2|＝10，根据双曲线的定义可得D 正确． 2．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是( )A.12 B ．1或－2 C ．1或12D ．1答案 D解析 由于a ＞0,0＜a 2＜4，且4－a 2＝a ＋2，所以可解得a ＝1，故选D. 3．若方程x 210－k ＋y 25－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( )A ．(5,10)B ．(－∞，5)C ．(10，＋∞)D ．(－∞，5)∪(10，＋∞) 答案 A解析 由题意得(10－k )(5－k )<0，解得5<k <10.4．设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝________.答案 16解析 由已知条件知m ＋9＝52，所以m ＝16.5．已知双曲线x 29－y 216＝1上一点M 的横坐标为5，则点M 到左焦点的距离是________．答案343解析 由于双曲线x 29－y 216＝1的右焦点为F (5,0)，将x M ＝5，代入双曲线方程可得|y M |＝163，即为点M 到右焦点 的距离，由双曲线的定义知M 到左焦点的距离为163＋2×3＝343.五、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容?(1)椭圆、双曲线的标准方程以及它们之间的区别与联系：程后，再运用待定系数法求解．求双曲线的标准方程也是从“定形”“定式”和“定量”三个方面去考虑．“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”是根据“形”设双曲线标准方程的具体形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确定a ，b 的值．。
新人教A版数学选修1-1《2.2.1双曲线及其标准方程》导学案
河北省唐山市开滦第二中学高中数学 2.2.1双曲线及其标准方程学案 新人教A 版选修1-1【学习目标】1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程；2.掌握双曲线的标准方程；3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.【重点难点】双曲线定义及其标准方程【学习过程】一、问题情景导入：1.太空中飞过太阳系的彗星，其轨道就是双曲线，彗星从无穷处飞来，又飞到无穷远处，双曲线是不封闭的圆锥曲线，它不同于抛物线，也不是两个抛物线构成双曲线的两支，最明显的差别是双曲线有渐近线，而抛物线没有.初中学过的反比例函数图象是双曲线，它以坐标轴为渐近线.2.我们知道，与两个定点距离的和为非零常数（大于两个定点间的距离）的点的轨迹是椭圆，那么，与两个定点距离的差为非零常数的点的轨迹是什么？3.你能类比椭圆的标准方程的推导过程推导出双曲线的标准方程吗？二、自学探究：（阅读课本第45-47页，完成下面知识点的梳理）1.双曲线的定义：把平面内与两个定点21,F F 的距离的 等于常数（小于21F F ）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 . 双曲线的定义用集合语言表示为{}21212,2F F a a MF MF M P <=-=思考:双曲线定义中212F F a <,如果212F F a =轨迹是什么图形呢？能否有212F F a <的轨迹图形呢？ 2.焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图象 标准方程焦点坐标c b a ,,的关系思考：⑴方程13222=-y x 与13222=-x y 分别表示焦点在哪个坐标轴上的双曲线？焦点坐标分别是什么？⑵方程122=+ny m x ，当参数n m ,的取值怎样时，方程分别表示焦点在x 轴上与焦点在y 轴上的双曲线？三、例题演练：例 1.若一个动点()y x P ,到两个定点()()0,1,0,1B A -的距离之差的绝对值为定值()0≥a a 时，讨论点P 的轨迹.例 2.已知双曲线两个焦点分别为()()0,5,0,521F F -,双曲线上一点P 到21,F F 距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.变式：求适合下列条件的双曲线的标准方程：⑴5,4==c a ，焦点在x 轴上；⑵4=a ，经过点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3104,1A ; ⑶求与双曲线141622=-y x 有共同的焦点，且过点()2,23的双曲线的标准方程.例3.在ABC ∆中，已知4=BC ,且A B C sin 21sin sin =-，求动点A 的轨迹方程.变式：已知定圆02410:221=+++x y x C ，定圆:C 091022=+-+x y x ，动圆C 与定圆21,C C 都外切，求动圆圆心C 的轨迹方程.【课堂小结与反思】【课后作业与练习】1.判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三量c b a ,,的值. ①12422=-y x ②12222=-y x ③12422-=-y x ④369422=-x y2．求a =4，b =3，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程3．求a =25，经过点（2，-5），焦点在y 轴上的双曲线的标准方程4．证明：椭圆22525922=+y x 与双曲线151522=-y x 的焦点相同5．若方程1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在y 轴上的双曲线，则角α所在象限是（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限6．设双曲线191622=-y x 上的点P 到点)0,5(的距离为15，则P 点到)0,5(-的距离是（ ） A ．7 B.23 C.5或23 D.7或237．椭圆134222=+n y x 和双曲线116222=-y nx 有相同的焦点，则实数n 的值是 （ ） A 5± B 3± C 5 D 98．已知21,F F 是双曲线191622=-y x 的焦点，PQ 是过焦点1F 的弦，且PQ 的倾斜角为600，那么PQ QF PF -+22的值为________9．设21,F F 是双曲线1422=-y x 的焦点，点P 在双曲线上,且02190=∠PF F ,则点P 到x 轴的距离为( )A 1 B55 C 2 D 510．P 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上一点，若F 是一个焦点，以PF 为直径的圆与圆222a y x =+的位置关系是（）A 内切B 外切C 外切或内切D 无公共点或相交。
选修1-1双曲线性质导学案
5．求满足下列条件的双曲线方程： (1) 离心率为 54，半虚轴长为 2； (2) 与椭圆 x2＋ 5y2＝ 5 共焦点且一条渐近线方程为 y－ 3x＝ 0.
．
§1.3.2
双曲线的简单几何性质
当堂训练
1．双曲线 2x2－ y2＝ 8 的实轴长是 (
)
A． 2
B．22
C． 4
D． 42
2．双曲线 mx2＋ y2＝ 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 m的值为 (
)
A．－ 14
B．－ 4
C． 4
D.14
3．若双曲线 x28－ y2m＝1 的渐近线方程为 y＝± 2x，则实数 m等于 ( )
A．4 B．8
C．16 D．32
4．若直线 x＝ a 与双曲线 x24－ y2＝ 1 有两个交点，则 a 的值可以是 (
)
A．4 B．2
C．1 D．－ 2
5．设 a>1，则双曲线的离心率 e 的取值范围是 ( )
§ 1.3.2
双曲线的简单几何性质
编制：曹树建
审核：陈李琼
学习目标：
1． 掌握双曲线的简单几何性质．
2． 了解双曲线的渐近性及渐近线的概念．
曲线的简单几何性质
学习难点： 双曲线的渐近性及渐近线
课前预习案
教材助读：
阅读教材 56-58 页的内容，思考并完成下列问题：
()
A.x24 － y212 ＝ 1
1
D.x26 －y210＝1
B.x212 － y24 ＝ 1
C.x210 － y26 ＝
3．双曲线的渐近线方程为 y＝± 34x，则双曲线的离心率是 ( )
A.54
B．2
C.54 或 53
苏教版选修1-1高中数学双曲线教案
双曲线【考点透视】 一、考纲指要熟练掌握双曲线的定义、标准方程、简单的几何性质． 二、命题落点1．考查了圆锥曲线中双曲线的渐近线方程与准线方程，以及标准方程中a,b,c 之间的关系,两渐近线间的夹角的求法，如例1.2．双曲线的第一、第二定义在解题中的灵活运用,如例2;3．考查等边三角形的性质，焦点三角形公式及离心率公式，灵活运用焦点三角形公式避免了繁琐的运算，突出观察研究能力的考查，如例3. 【典例精析】例1：已知双曲线22a x －22b y ＝1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，△OAF 的面积为22a （O 为原点），则两条渐近线的夹角（ ）A ．30ºB ．45ºC ．60ºD ．90º解析:双曲线的右焦点F(c,0)，右准线方程为x=c a 2,一条渐近线方程为y=a b x ，可得点A 的坐标（c a 2，c ab ），△OAF 的面积S △OAF=21OF│YA│=21c ab c ⋅=21ab,又题意已知S △OAF=21a2,所以a=b,两条渐近线间的夹角为900 .答案： D例2：已知双曲线2212yx -=的焦点为F1、F2，点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅=则点M 到x 轴的距离为（ ）A ．43B ．53 C． D解析: 设M 到x 轴的距离为h，∵1,a b c ==， 又∵222121212012(2)MF MF MF MF c MF MF ⋅=⇒⊥⇒+==，由双曲线定义得22121212||224MF MF MF MF MF MF ⋅-=⇒+-=，再由1212121122MF F MF MF F F h S ⋅∆=⨯=⨯⋅，∴h =. 答案： C例3：已知F1、F2是双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是( )A ．324+B ．13-C ．213+ D ．13+解析:令12(,0),(,0)F c F c -，边MF1交双曲线于点N ，连结2F N 易知的边长，且点必在轴上，可得的坐标（0）又为正三角形由焦点三角形面积公式121122121290MF F F F C M y M MF F F N MF F NF =\\^\?\oV QV又又c又e=a12121222122222222cot211122222(11NF F NF F MF F F NF S b b S S C b b c a a c e Ð====鬃==-\=-\===+V V V Q Q Q答案： D例4.设双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ，右准线l 与两条渐近线交于P 、Q 两点，如果PQF ∆是直角三角形，则双曲线的离心率___________e =.解析:如图所示，PF QF ⊥且PF QF =，2(,0)(,)a ab Fc Pc c ,在PFQ ∆中MF =， OF OM -=． ①(PF =② 2,aO F c O Mc == ③将②③代入①式化简得：2a c e c a ===答案【常见误区】1．对双曲线离心率、双曲线渐近线等基本知识考察时, 应想法利用已知曲线构造等式,从而解出,c a 的比值,即双曲线的离心率.这一点考生常不能注意到,致使离心率求解出错,如例3、例4. 2．解题过程中,特别是客观题中,应注意双曲线第一第二定义的应用,此问题考生常会忽视,如例1、例2. 【基础演练】1．已知双曲线2239x y-=，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（ ）A ． C ．2D ． 42．设双曲线以椭圆192522=+y x 长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为 （ ）A ．2±B ．34±C ．21±D ．43±3．平面内有两个定点12,F F 和一动点M ，设命题甲，12||||||MF MF -是定值，命题乙：点M 的轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的（ ）A ．充分但不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．双曲线和它的共轭双曲线的离心率分别为12,e e ，则12,e e 应满足的关系是 （ ）A ．22121e e +=B ．22121e e -=C ． 1112221=-e eD ．1112221=+e e5． 过双曲线22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_________．6．以下几个关于圆锥曲线的命题中：①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，||||PA PB k -=，则动点P 的轨迹为双曲线；②设定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，若1(),2OP OA OB =+则动点P 的轨迹为椭圆；③方程22520x x -+=的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线221259x y -=与椭圆22135x y +=有相同的焦点.其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）7．已知双曲线22125144x y -=的左右焦点分别为12,F F ，左准线为l ，能否在双曲线的左支上求一点P ，使1||PF 是P 到l 的距离d 与2||PF 的等比中项？若能，求出P 的坐标，若不能，说明理由．8．过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点F 作双曲线在第一、第三象限的渐近线的垂线l ，垂足为P ，l 与双曲线的左、右支的交点分别为,A B ． （1）求证：P 在双曲线的右准线上；（2）求双曲线离心率的取值范围．9．是否同时存在满足下列条件的双曲线，若存在，求出其方程，若不存在，说明理由．（1）渐近线方程为20,20x y x y +=-=，（2）点(5,0)A 到双曲线上动点P。
高中数学《双曲线》学案1新人教A版选修1-1
§2．2．1双曲线的标准方程教案【学习目标】学习要求： 1、娴熟掌握求曲线方程的方法；2、掌握双曲线的标准方程及其推导方法；3、能依据已知条件求双曲线的标准方程，依据标准方程求a、 b、 c 焦点。
高考要求：理解掌握双曲线的定义及标准方程，娴熟运用。
【学习要点】双曲线的定义、标准方程及推导过程，娴熟依据已知条件求双曲线的标准方程。
【学习难点】双曲线标准方程的推导及联合实质条件求双曲线的标准方程。
【学习过程】(一)问题情境我们前面一同研究学习了圆锥曲线中的椭圆的定义、标准方程及其几何性质。
今日我们继续研究学习。
我们来看一个拉链实验，它表现了我们学习过的圆锥曲线____________ 的特点？它的定义是什么？用数学式子表达________________________________________, 当 2a=|F F | 时它1 2的轨迹是 ____________________________ 当2a>|F1F|时它的轨迹是2____________________________.(二)学生活动怎样推导推导双曲线的标准方程呢？能否类比求椭圆标准方程的方法来求双曲线的标准方程呢？请同学们自己试试推导双曲线的标准方程类比：写出焦点在y 轴上，中心在原点的双曲线的标准方程_____________________ ．阅读课本第34 页完美自己的推导过程我们来察看一下双曲线的标准方程与椭圆的方程比较，有什么差别？椭圆双曲线定义方程焦点 a 、b 、c 的关系在双曲线的标准方程中， 依据 __________________________________________ 确立其焦 点在哪个坐标轴上。
（三）数学应用例 1：请判断以下方程哪些表示双曲线？假如，恳求出 a 、 b 、 c 和它的焦点坐标。
x 2 y 2 1x 2 y 2 1（ 1）2（ 2）434（ 3） 16x29 y 2144（ 4） 4x23y 21x 2 y 2 1(m 0)（ 5）m 21 m 2变式运用： 已知x 2y 21 表示双曲线，求 k 的取值范围。
数学北师大版选修1-1导学案-2.3.1双曲线及其标准方程(1)
§3.3.1双曲线及其标准方程（第一课时） 【学习目标】1．记双曲线的定义；(重点)2．会求简单双曲线的标准方程；(重点、难点)3．能区分焦点在不同坐标轴上的标准方程.(难点)一、知识记忆与理解【自主预习】阅读教材P39-P40，完成下列问题 1.双曲线的定义是什么？2.焦点在x 轴上的双曲线的标准方程是什么？3.焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是什么？4.求双曲线的标准方程的一般步骤是什么？【预习检测】1.完成课本P41课后练习2.求下列双曲线的焦点坐标，并画出草图（1）13-22=x y（2）1-322=y x（3）25522=+-y x二、思维探究与创新 【问题探究】探究一、求标准方程（1）已知两定点),0,5(),0,5(21F F -曲线上的点到21,F F 的距离之差的绝对值为4.求曲线的标准方程；（2）已知两定点),5,0(),5-,0(21F F 曲线上的点到21,F F 的距离之差的绝对值为4.求曲线的标准方程。
（3）已知两定点),5,0(),5-,0(21F F 曲线上的点到1F 的距离比到2F 的距离大4.求曲线的标准方程。
（4）过点）），（，（5,4924-3整理 反思变式训练1、求满足下列条件的双曲线的标准方程并画出草图：（1）a=5,b=4,焦点在x 轴上；（2）焦点为（0，-5），（0,5），经过点（2，253）。
【总结归纳】1、双曲线标准方程的求解方法是“先定型，后计算”，先看焦点位置，再设标准方程。
2、根据双曲线的定义确定方程，注意双曲线的一支的情况。
【当堂检测】1.知P 是双曲线x24－y29＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．1或5B ．6 C.7 D.92.已知两定点F 1(－5,0)，F 2(5,0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2a ，则当a ＝3和a ＝5时，P 点的轨迹为( )A ．双曲线和一条直线B ．双曲线和一条射线C ．双曲线的一支和一条射线D ．双曲线的一支和一条直线3．若方程x 2k 2－4－y 25－k ＝1表示双曲线，则实数k 的取值范围为________.4．设m 为常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝________.【拓展延伸】求以椭圆x 216＋y 29＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A (4，－5)的双曲线的标准方程；整理反思。
高二数学(人教A版)选修1-1导学案设计：2.2.2双曲线的简单几何性质(无答案)
编号：gswhsxxx1-1----02-04文华高中高二数学选修1-1§2.1《双曲线的简单几何性质》导学案学习目标初步掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质．重点难点重点：双曲线的简单几何性质 难点：对渐近线的理解 学习方法类比椭圆，数形结合 情感态度与价值观通过坐标系把数与形有机联系起来，通过研究双曲线等圆锥曲线的方程得到圆锥曲线的几何性质，形成研究曲线的一般方法学习过程一、自学探究(预习教材49页至51页)双曲线的简单几何性质：（1）焦点在x 轴上 ：12222=-b y a x )0,0(>>b a （2）焦点在y 轴上122=-bx a y焦点：1F （ ）、2F （ ） 焦点：1F （ ）、2F （ ） 焦距： 12____F F = 焦距： 12______F F = 范围：R y a x a x ∈≥-≤,或 范围：R x a y a y ∈≥-≤,或 对称性：由图形可观察双曲线关于___轴、____轴成轴对称，关于_______成中心对称 实顶点：1A ( )、2A ( ) 实顶点：1A ( )、2A ( ) 虚顶点：1B ( )、2B ( ) 虚顶点：1B ( )、2B ( )轴：实轴长12_______A A = 虚轴长12______B B =（a 总表示实半轴长，b 总表示虚半轴长）离心率： 2222211()c a b b be a a a a+===+=+越大，开口越_____xyQ B 1B 2A 1A 2N M Oa 、b 、c 的关系：___________________ （数形结合记忆）渐近线：____________ 渐近线：__________等轴双曲线的离心率为 ；等轴双曲线的两条渐近线的夹角是 .二、例题探究（教材51页例3）例1求双曲线14416922=-x y 的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图．三、合作探究例2 求满足下列条件的双曲线方程（1）顶点在x 轴上，两顶点的距离是8，54e =； （2）焦点在y 轴上，渐近线方程为034=±y x ，焦距为10.四、展示提升1.求下列双曲线的实轴长和虚轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程。
高中数学 双曲线的简单性质导学案 新人教A版选修1-1 学案
某某省某某市育才中学高中数学 双曲线的简单性质导学案 新人教A版选修1-1学习目标:1.了解平面解析几何研究的主要问题：（1）根据条件，求出表示曲线的方程；（2）通过方程，研究曲线的性质．2.理解双曲线的X 围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；3.掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题；通过例题和探究了解双曲线的第二定义，准线及焦半径的概念．重点、难点：理解双曲线的X 围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题自主学习复习旧知1F ，2F 的距离的差的绝对值等于＿＿＿（小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线（hyperbola ）．其中这两个定点叫做双曲线的＿＿＿，两定点间的距离叫做双曲线的＿＿＿．即当动点设为M时，双曲线即为点集P ={}122M MF MF a -=2. 写出焦点在x 轴上，中心在原点的双曲线的标准方程：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿,3.写出焦点在Y 轴上，中心在原点的双曲线的标准方程：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
合作探究1.通过图像研究双曲线的简单性质： ①X 围：由双曲线的标准方程得，222210y x b a=-≥，进一步得：x a ≤-，或x a ≥．这说明双曲线在不等式x a ≤-，或x a ≥所表示的区域；②对称性：由以x -代x ，以y -代y 和x -代x ，且以y -代y 这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心；③顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴，焦点不在的对称轴叫做虚轴； ④渐近线：直线b y x a=±叫做双曲线22221x y a b -=的渐近线； ⑤离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比a c e =叫做双曲线的离心率（1e >） 2.求双曲线22916144y x -=的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程．221169x y -=共渐近线，且经过()3A -点的双曲线的标准方及离心率．练习反馈1.求下列双曲线的实轴和虚轴的长，焦距和离心率：（1）9x 2—y 2=81； （2）252y - 92x =192x -162y =1与双曲线 -92x + 162y =1，它们的离心率1e ，2e 是否满足等式e 21-+e 22-=1分析：若设点(),M x y ，则()225MF x y =-+，到直线l ：165x =的距离165d x =-，则容易得点M 的轨迹方程．图2-3-1。
高中数学 双曲线及其标准方程导学案 新人教A版选修1-1 学案
陕西省榆林市育才中学高中数学 双曲线及其标准方程导学案 新人教A 版选修1-1学习目标：1.理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义、会用双曲线的定义解决实际问题；2.理解双曲线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；重点、难点：理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义；会用双曲线的定义解决实际问题.自主学习复习旧知:1. 把平面内与两个定点，的距离之和等于＿＿＿（大于）的点的轨迹叫做椭圆（ellipse ）．其中这两个定点叫做＿＿＿＿＿，两定点间的距离叫做＿＿＿＿＿＿．即当动点设为时，椭圆即为点集．2.平面内与一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做＿＿＿定点F 不在定直线l 上)．定点F 叫做抛物线的＿＿＿，定直线l 叫做抛物线的＿＿＿.3.抛物线的＿＿＿在一次项对应的轴上，其数值是一次项系数的＿＿倍，准线方程与焦点坐标相反；反之可以逆推。
合作探究1.由教材探究过程容易得到双曲线的定义．叫做双曲线．其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线的焦距．即当动点设为M 时，双曲线即为点集P = 。
2.双曲线标准方程的推导过程思考：已知椭圆的图形，是怎么样建立直角坐标系的？类比求椭圆标准方程的方法自己建立直角坐标系．类比椭圆：设参量b 的意义：第一、便于写出双曲线的标准方程；第二、,,a b c 的关系有明显的几何意义．类比：写出焦点在y 轴上，中心在原点的双曲线的标准方程()222210,0y x a b b a-=>>．推导过程：3.已知双曲线两个焦点分别为()15,0F -，()25,0F ，双曲线上一点P 到1F ，2F 距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．4.已知A ，B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2s ，且声速为340/m s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程．练习反馈1.求满足下列条件的双曲线的标准方程：（1）a=3,b=4,焦点在x 轴上；（2）焦点为（0，-10），（0，10），双曲线上的点到两个焦点距离之差的绝对值是16；（3）焦点为（0，-5），（0,5），经过点（2，253）。
数学选修1-1人教A教案导学案：双曲线的几何性质
1. 1.2双曲线的几何性质课前预习学案一、预习目标理解并掌握双曲线的几何性质，并能从双曲线的标准方程出发，推导出这些性质，并能具体估计双曲线的形状特征．二、预习内容1、双曲线的几何性质及初步运用．类比椭圆的几何性质．2．双曲线的渐近线方程的导出和论证．观察以原点为中心，2a、2b长为邻边的矩形的两条对角线，再论证这两条对角线即为双曲线的渐近线．三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、教学过程(一)复习提问引入新课1．椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？请一同学回答．应为：范围、对称性、顶点、离心率，是从标准方程探讨的．2．双曲线的两种标准方程是什么？再请一同学回答．应为：中心在原点、焦点在x轴上的双曲线的标下面我们类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质．(二)类比联想得出性质(性质1～3)引导学生完成下列关于椭圆与双曲线性质的表格(让学生回答，教师引导、启发）(三)问题之中导出渐近线(性质4)在学习椭圆时，以原点为中心，2a、2b为邻边的矩形，对于估计仍以原点为中心，2a、2b为邻边作一矩形(板书图形)，那么双曲线和这个矩形有什么关系？这个矩形对于估计和画出双曲线简图(图2-26)有什么指导意义？这些问题不要求学生回答，只引起学生类比联想．接着再提出问题：当a、b为已知时，这个矩形的两条对角线的方程是什么？下面，我们来证明它：双曲线在第一象限的部分可写成：当x逐渐增大时，|MN|逐渐减小，x无限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON．在其他象限内也可以证明类似的情况．现在来看看实轴在y轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的？由于焦点在y轴上的双曲线方程是由焦点在x轴上的双曲线方程，将x、y字母对调所得到，自然前者渐近线方程也可由后者渐近线方程将x、y字这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向问题，从而可比较精再描几个点，就可以随后画出比较精确的双曲线．(四)离心率(性质5)由于正确认识了渐近线的概念，对于离心率的直观意义也就容易掌握了，为此，介绍一下双曲线的离心率以及它对双曲线的形状的影响：变得开阔，从而得出：双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．这时，教师指出：焦点在y轴上的双曲线的几何性质可以类似得出，双曲线的几何性质与坐标系的选择无关，即不随坐标系的改变而改变．(五)练习与例题1．求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．请一学生演板，其他同学练习，教师巡视，练习毕予以订正．由此可知，实半轴长a=4，虚半轴长b=3．焦点坐标是(0，-5)，(0，5)．本题实质上是双曲线的第二定义，要重点讲解并加以归纳小结．解：设d是点M到直线l的距离，根据题意，所求轨迹就是集合：化简得：(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)．这就是双曲线的标准方程．由此例不难归纳出双曲线的第二定义．(六)双曲线的第二定义1．定义(由学生归纳给出)平面内点M与一定点的距离和它到一条直线的距离的比是常数e=叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率．2．说明(七)小结(由学生课后完成)将双曲线的几何性质按两种标准方程形式列表小结．五、布置作业1．已知双曲线方程如下，求它们的两个焦点、离心率e和渐近线方程．(1)16x2-9y2=144；(2)16x2-9y2=-144．2．求双曲线的标准方程：(1)实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上；(2)焦距是10，虚轴长是8，焦点在y轴上；曲线的方程．点到两准线及右焦点的距离．六、板书设计1.1.2双曲线的几何性质学案一、课前预习目标理解并掌握双曲线的几何性质，并能从双曲线的标准方程出发，推导出这些性质，并能具体估计双曲线的形状特征．二、预习内容1、双曲线的几何性质及初步运用．类比椭圆的几何性质．2．双曲线的渐近线方程的导出和论证．观察以原点为中心，2a、2b长为邻边的矩形的两条对角线，再论证这两条对角线即为双曲线的渐近线．三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究1、椭圆与双曲线的几何性质异同点分析2、描述双曲线的渐进线的作用及特征3、描述双曲线的离心率的作用及特征4、例、练习尝试训练：例1．求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．解：解：5、双曲线的第二定义1）．定义(由学生归纳给出)2）．说明(七)小结(由学生课后完成)将双曲线的几何性质按两种标准方程形式列表小结．作业：1．已知双曲线方程如下，求它们的两个焦点、离心率e和渐近线方程．(1)16x2-9y2=144；(2)16x2-9y2=-144．2．求双曲线的标准方程：(1)实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上；(2)焦距是10，虚轴长是8，焦点在y轴上；曲线的方程．点到两准线及右焦点的距离．。
高中数学(双曲线)学案 新人教版选修1-1 学案
22、双曲线 和椭圆 有共同的焦点，则 。
23、椭圆 与双曲线 焦点相同，则 。
24、以椭圆 =1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程是。
A、 =1B、 =1
C、 =1D、 =1
某某省某某首峰中学高中数学《双曲线》学案新人教版选修1-1
1、双曲线的两个焦点为 ， ，其上一点 满足 ，求双曲线的标准方程。
2、已知双曲线 上一点 到左右焦点的距离之比为1：2，那么点 到右焦点的距离是。
3、F1、F2为双曲线 的两个焦点，点P在双曲线上，且 ，则
A、2B、4
C、8D、16
4、到两定点 、 的距离之差的绝对值等于6的点 的轨迹是
A、椭圆B、线段
C、双曲线D、两条射线
5、已知F1、F2为定点， ，则动点A的轨迹是
A、焦点为F1，F2的双曲线B、不存在
C、以F1，F2为端点且方向相反且无公共点的两条直线D、以上都有可能
6、若方程 表示双曲线，则实数k的取值X围是。
7、方程 表示双曲线，则 的取值X围是
A、 B、
C、 或 D、
8、双曲线 =1的离心率为 ，则实数m的值为。
17、双曲线的离心率为2，经过点M（-2，3），则双曲线的标准方程是。
18、双曲线 =1的渐近线方程是
A、y=± x B、y=± x
C、y=± x D、y=± x
19、双曲线的一条渐近线是 ，一个焦点是 ，求双曲线的标准方程和离心率。
20、焦点为（0，6）且与双曲线 有相同渐近线的双曲线方程为。
思考：4题中，“焦点为（0，6）”改为“ ”，双曲线方程为。
14、中心在原点，一个顶点为A（-3，0），离心率为 的双曲线方程是
高中数学 2.3.2双曲线的简单几何性质(1)导学案 新人教版选修1-1(1)
§2.3.2双曲线的简单几何性质(1) 学习目标 1．理解并掌握双曲线的几何性质．学习过程一、课前准备：（预习教材理P 56~ P 58，文P 49~ P 51找出疑惑之处） 复习1：写出满足下列条件的双曲线的标准方程： ①3,4a b ==，焦点在x 轴上；②焦点在y 轴上，焦距为8，2a =．复习2：前面我们学习了椭圆的哪些几何性质？二、新课导学：※ 学习探究问题1：由椭圆的哪些几何性质出发，类比探究双曲线22221x y a b -=的几何性质?范围：x ： y ：对称性：双曲线关于 轴、 轴及 都对称．顶点：（ ），（ ）．实轴，其长为 ；虚轴，其长为 ． 离心率：1ce a =>．渐近线： 双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为：0x y a b±=． 问题2：双曲线22221y x a b-=的几何性质? 图形：范围：x ： y ：对称性：双曲线关于 轴、 轴及 都对称．顶点：（ ），（ ）实轴，其长为 ；虚轴，其长为 ．离心率：1c e a=>． 渐近线：双曲线22221y x a b-=的渐近线方程为： ． 新知:实轴与虚轴等长的双曲线叫 双曲线．※ 典型例题例1求双曲线2214925x y -=的实半轴长、虚半轴的长、焦点坐标、离心率及渐近线的方程．变式：求双曲线22916144y x -=的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．例2求双曲线的标准方程：⑴实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上；⑵离心率2e=，经过点(5,3)M-；⑶渐近线方程为23y x=±，经过点9(,1)2M-．※动手试试练1．求以椭圆22185x y+=的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程．练2．对称轴都在坐标轴上的等到轴双曲线的一个焦点是1(6,0)F-，求它的标准方程和渐近线方程．三、总结提升：※ 学习小结 双曲线的图形、范围、顶点、对称性、离心率、渐近线． ※ 知识拓展 与双曲线22221x y a b -=有相同的渐近线的双曲线系方程式为2222x y a b λ-= (0)λ≠ 学习评价※ 当堂检测1．双曲线221168x y -=实轴和虚轴长分别是（ ） A ．8、42 B ．8、22C ．4、42D ．4、222．双曲线224x y -=-的顶点坐标是 （ ）A ．(0,1)±B ．(0,2)±C ．(1,0)±D ．（2,0±）3．双曲线22148x y -=的离心率为 （ ） A ．1 B 23．24．双曲线2241x y -=的渐近线方程是 ．5．经过点(3,1)A -，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程是 ． 课后作业1．求焦点在y 轴上，焦距是16，43e =的双曲线的标准方程．2．求与椭圆2214924x y +=有公共焦点，且离心率54e =的双曲线的方程．。
高中数学人教B版选修1-1导学案：2.2.2双曲线的几何性质Word版
2.2.2双曲线的几何性质学习目标：1使学生能根据双曲线的标准方程指出双曲线的范围，顶点和对称轴及对称中心，理解实轴、虚轴的意义2 让学生能熟练掌握基本量c b a ,,之间的关系及其几何意义，理解并掌握双曲线离心率的定义，了解等轴双曲线的概念及其简单性质3.使学生掌握双曲线的渐近线的概念及其几何意义，并会利用渐近线来解相关的双曲线的问题德育目标：通过本节课的学习，使学生进一步体会曲线与方程的对应关系，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用重点：通过类比椭圆的几何性质及研究方法，结合双曲线的几何图形，学习探究双曲线的几何性质难点：了解双曲线的渐近线及离心率对双曲线的影响活动一：自主预习，知识梳理一．焦点在x 轴，y 轴上的双曲线的几何性质与特征的比较二．双曲线的离心率对开口大小的影响双曲线的离心率ac e =反映了双曲线开口的大小，e 越大，双曲线的开口就活动二：问题探究不同的双曲线，渐近线能相同吗？其方程有何特点？活动三：要点导学，合作探究要点一：利用双曲线的标准方程研究其几何性质例1：求双曲线14491622=-y x 的实轴长和虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程P54练习A-1要点二、利用椭圆的几何性质求其标准方程例2：已知双曲线的焦点在x 轴上，中心在原点，如果焦距为8，实轴长为6，求此双曲线的标准方程及其渐近线的方程，并画出它的图形练习：P54A-2要点三 与双曲线渐近线有关的问题例3：（1）已知双曲线122=-ny m x 的一条渐近线方程为x y 34=，则该双曲线的离心率e 为 （2）求与双曲线116922=-y x 有共同的渐近线，且过点（-3，32）的双曲线的标准方程练习：P54 B-2要点四：与双曲线的离心率有关的问题例4：（1）设21,F F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点，若双曲线上存在点A ，使9021=∠AF F ,且213AF AF =,则双曲线的离心率为 （ ） A.25 B.210 C.215 D.5(2)设双曲线)0(12222>>=-a b by a x 的半焦距为c ，直线l 过),0(),0,(b a 两点，已知原点到直线l 的距离为c 43，求双曲线的离心率。
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§221双曲线及其标准方程（1）、【学习且标L（1）了解双曲线的实际背景，体会双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.（2）了解双曲线的定义、焦点、焦距等基本概念.（3）了解双曲线的标准方程，能根据已知条件求出双曲线的基本量.【重点、难点】重点：双曲线定义、焦点、焦距等基本概念难点：双曲线的标准方程【学习方法】类比、合作探究、讨论、归纳r【知识链接】（1）.椭圆的定义：；（2）椭圆标准方程的推导过程：建系、设点、写动点的满足的儿何条件、儿何条件坐标化、化简整理⑶椭圆的标准方程：①焦点在工上 ;焦点坐标;②焦点在了上；焦点坐标；（其中 / _b2 +。
2）一、【新知探究】探究一、双曲线定义教材导读（预习教材P45）尝试回答下列问题：（1）把椭圆定义中的“距离的和（大于伊1旦|）"改为“距离的差（小于旧已|）”，那么点的轨迹会怎样? 如图定点匕E点心移动时，是常数，这样就画出一条曲线；由\MF2\-\MF.\是同一常数, 可以画出另一支.（2）双曲线定义中动点归到两定点F”气满足几何条件（3）在椭圆的定义中，强调了2a<2c；若2a = 2c动点的轨迹是什么？若2a>2c呢？设动点归，两定点F l9F2满足||"]|一\MF^ = 2a（2。
常数），时气| = 2。
⑵为常数）|MFj-\MF2\ = 2a<2c时轨迹是；\MF2\-\MF1\ = 2a<2c轨迹是\MF V\-\MF2\ = 2a = 2c时，轨迹是；|MF2|-|MFj = 2a = 2c 轨迹是||MF I|-|MF2|| = 2a> 2c时，轨迹是.尝试：动点户到点中-2,0）及点灼（2,0）的距离之差为2,则点P的轨迹是（）.A.双曲线B.双曲羸的一支C.两条射线D. 一条射线探究二、双曲线标准方程教材导读，预习课本P46的内容，并思考下列问题（1）在双曲线中如何建立适当的直角坐标系求动点轨迹？依据什么建立直角坐标系？（2）设双曲线上任意一点M（x9y）满足儿何条件\MF^-\MF^2a（V时尤| = 2。
）,仲①尤、旦坐标为—②几何条件坐标形式为\ ③双曲线标准方程为—（焦点在工轴上）%1孔、气坐标为____________________%1儿何条件坐标形式为___________________________%1双曲线标准方程为 (焦点在y轴上)(3)在标准方程的推导过程中，引入了b — 2,你能结合图形加以解释。
、b、C的含义吗?(4)如何根据双曲线的标准方程判断焦点位党？尝试：y2 2 y2X2(1)在双曲线—=1中，焦点坐标为___________________ 在双曲线---------- =1中，焦点坐标为 _____________16 25 4 5(2)已知双曲线--匕=1的左支上一点P到左焦点的距离为10,则点P到右焦点的距离16 9为.探究三、双曲线定义及标准方程简单应用【例1】已知双曲线的两焦点为*(-5,0),灼(5,0),双曲线上任意点到的距离的差的绝对值等于6, 求双曲线的标准方程.(焦点位置、a,b,c的值)1例2】求适合下列条件的双曲线的标准方程式：(注意焦点位置，a,b,c的值)(1)焦点在工轴上，。
=4, 8 = 3；(2)焦点为(0,-6),(0,6),旦经过点(2,-5)(3)焦^在x轴上，a = 2抵，经过女*(-5,2) (4)焦点任工轴上，经过(一一龙)，(VB, JI)；3反思：求双曲线的标准方程“先定型，再定量”，或定义法、待定系数法可把标准方程设成mx2-ny2=l(m- n> 0且拒。
〃)形式不用考虑焦点所在的坐标轴三、【基础达标】1.试求：点A(l,0) , B(-l,0),若\AC\-\BC\ = \,则点C的轨迹是・(注意判断&与2c的关系)2.双曲线的两焦点分别为氏(-3,0)上(3,0)，若。
=2,贝此=.3.已知点Af(-2,0),N(2,0),动点P满足条件IPA/I-IPNI=2V^ .则动点P的轨迹方程为・4.求适合下列条件的双曲线的标准方程式(1)经过也p(—3,2j7)和0—6扼,一7) (2)与椭圆5 +弓=1有共同的焦点旦经过点(-V5, 2Ji)27 36§221双曲线及其标准方程（2）【学习目标】（1）进一步熟悉理解双曲线的定义及其标准方程和动点轨迹的求法；（2）掌握理解含参数的双曲线方程的表示.【重点、难点】重点：双曲线定义及其标准方程简单应用难点：含参数双曲方程表示的理解【学习方法】类比、合作探究、归纳总结一、知识点链接（1）双Illi线定义：平面内，动点M到两定点F x, F 2的距离之差的绝对值等于常数& （小于常数2€ ="气|）的轨迹（2）双曲线的标准方程：①焦点在x上；焦点坐标；②焦点在夕上；焦点坐标；二、知识点应用知识点一、含参数的双曲线方程例1.双1印线5/+妒=5的一个焦点是（76,0）,求实数刊勺值, r22v例2.已知方程---------- =1表示双曲线，求实数,〃的取值范围2+ m m +1反思:知识点二、动点的轨迹求法【例4】已知两地相距80（成，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s ,且声速为34（）〃?/s ,求炮弹爆炸点的轨迹方•程.定义法（建系------------- 设点 ----- 写动点几何条件……确定轨迹类型）变式：如果两处同时听到爆炸声，那么爆炸点在什么曲线上？为什么？变式1：点AM的坐标分别是（-5,0）, （5,0）,直线AM , 相交于点A/,且它们斜率之积是£ ,试求9点M的轨迹方程式，并由点M的轨迹方程判断轨迹的形状.（设动点坐标----- 写动点满足的几何条件---------- 坐标化--------- 化简整理------- 检验）变式2：已知圆Ci：(X +3)2+)，2=1和圆C2：(x-3)24-y2 =9，动圆M同时与圆C】及圆C2相外切, 求动圆圆心M的轨迹方程。
三、【基础达标】 2 21.如果苻三+己=T表示焦点在y轴上的双曲线，则k的取值范围( )A. (l,+oo)B.(2,+oo)C. (-2,1)D. (-00,-2)D(2,+00)2 22.已知方程-------- =1表示双曲线，则k的取值范围是.1+k \-k3.已知双Illi线的左、右焦点分别为匕尸2,在左支上过6的弦人B的长为5,若2。
=8，那么\ABF2的周长是____________ .2 ,24.过双曲线一-二=1左焦点鸟的直线交双曲线的左支于M,N两点，凡为其右焦点，则4 3 1 2MF2\+\NF2\-\MN\的值为.2 ,2| = 32 ,则可得5.氏子2是双曲线3一希=1的两个焦点，点尸在双曲线上旦满足|PFj.|PF2ZF,PF2=.6.已知方程。
尸一〃y2 = wb < ()),则它表示的曲线是 ______________ ・7.动圆尸过5(2,0)且与圆人：(尤+ 2)2+；/=［外切，则动圆圆心p轨迹方程是.28.设P为双曲线子_匕=1上一点，《匕是双曲线的两个焦点，若|PFj:|PF2卜3:2,则八PFE的12面积为.都对称.),(探究2：请你说出双曲线久七=1的儿何性质： x : y :双曲线关于—轴、—轴及 都对称.);虚轴，其长为・ %1 范围： %1 对称性: %1 顶点：(实轴, ④离心率: ),(其长为—e = ->\ .a图形:⑤渐近线:A. 2用,4B.4, 2^3C.3, 4D.2, V3焦距为6,那么双仙线的离心率为( C. 22D.2§222双曲线的简单几何性质(1)【学习目标】(1) 能类比椭圆的几何性质的研究方法，探究并掌握双曲线的简单几何性质。
(2) 能通过双曲线的标准方程确定双曲线的顶点、实虚轴、焦点、离心率、渐近线【重点、难点】重点：由双曲线的方程求其相关几何性质；难点：利用双曲线的性质求双曲线方程. 【学习方法】类比、合作探究、归纳总结 一、【知识链接】(1) 双曲线定义：:(2) 双曲线的标准方程：①焦点在X 上 ；焦点坐标；②焦点在y 上；焦点坐标二*1新知探究】知识点一、双曲线的简单几何性质jUHim 预习教材「49〜㈤ ,探究1：由椭圆的哪些儿何性质出发，类比探究双曲线4-4=1的儿何CT b 1性质？%1 范围：X ：>' :%1 对称性：双曲线关于—轴、轴及—%1 顶点：( )，().实轴，其长为;虚轴，其长为%1 离心率：e = ->l.a22⑤渐近线：双曲线^7-4 = 1的渐近线方程为：-±2= o. cT a b §=1的渐近线方程为：-新知：实轴与虚轴等长的双曲线叫 双曲线. 尝试：2?(1)双曲线—=1的实轴长和虚轴长分别是(3 4(2)如果双曲线的实半轴长为2,A 必B 2 2知识点二、双曲线简单几何性质简单应用图 2-268.求下列双曲线的标准方程4（1）焦点在y轴上，焦距是16, e = -.7。
【例1】求双曲线三-匕=1的实半轴长、虚半轴的长、焦点坐标、离心率及渐近线的方程.49 25变式：求双曲线9y 2-16x 2=144的实半轴长利虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.【例2】求双曲线的标准方程：⑴实轴的长是1。
，虚轴长是8,焦点在对|1|上；⑵离心率e = VL 经过点79⑶渐近线方程为），=±弓，经过点3 2—」基础逐标11. 双曲线土一匕=1实轴和虚轴长分别是（）. 16 8A. 8、漆B. 8、2媚C. 4、4^2D. 4、2® 2. 双曲线X 2-/=-4的顶点坐标是（）.A. (0,±1)B. (0,±2)C. (±1,0)D.( ±2,0 ) 3.双曲线亍-4/=1的渐近线方程是 __________________ .2 2 4. 双曲线—-^ = 1的离心率为4 85. 经过点A （3,-l ）,并旦对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程是2,26. 若双曲线% — *- = 1 （。
〉0）的渐近线方程为3x±2y = 0,则。
=.7. 求双曲线9/-16<=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.（2）与椭圆三+二=1有公共焦点，并且离心率为439 42（3）以椭圆—+ ^ = 1的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点（4）经过点A （3, -1）的等轴双曲线8 5§222双曲线的简单几何性质(2)【学习目标】(1)巩固双曲线的几何性质；(2)能熟练地利用双曲线的性质求双曲线的标准方程.【教堂重点、难点】双曲线几何性质的运用.r _j_a识链掰1.复习双曲线的几何性质：①范围；②对称性；③顶点；④渐近线；⑤离心率。