高中数学题：简单的幂函数与函数的奇偶性
09-第四节 函数的奇偶性与简单的幂函数-课时2 简单幂函数的图象和性质高中数学必修一北师大版
知识点2 幂函数的图象和性质 4年3考
3.下列命题正确的是( D )
A.幂函数的图象都经过 0,0 , 1,1 两点
B.当 = 0时，函数 = 的图象是一条直线
C.如果两个幂函数的图象有三个公共点，那么这两个函数一定相同
D.如果幂函数为偶函数，则图象一定经过点 −1,1
【解析】 对于A,幂函数 = 的图象都经过点 1,1 ,当 ≤ 0时,不过点
D.若 > 1，则 > 1
1
,故A正确.
2
1
2
= ,则函数 的定义
1
2
域为[0, +∞),且 为非奇非偶函数,故B,C错误.因为 = > 0,所以函数
1
2
= 在区间[0, +∞)上单调递增,所以当 > 1时, > 1 = 1,故D
正确.
6.有四个幂函数：① = −1 ；② = −2 ；③ = 2 ；
情形,②是 = 2的情形,⑤是 =
1
− 的情形,所以①②⑤都是幂函数；③是
2
常函数,不是幂函数；④中 2 的系数是2,所以不是幂函数.故选C.
【归纳总结】幂函数 = （为常数）具有形式上的严格性，在幂函数
的表达式中，要注意以下四点：
（1） 的系数为1；（2） 的底数是自变量；（3）指数为常数；
−∞, 0 ∪ 0, +∞ ,且在 0, +∞ 上单调递减,满足条件；对于②, = −2
是 −∞, 0 ∪ 0, +∞ 上的偶函数,值域是 0, +∞ ,且在 0, +∞ 上单调递减,
满足条件；对于③, = 2 是上的偶函数,值域是[0, +∞),在 0, +∞ 上
高二数学函数的奇偶性试题答案及解析
高二数学函数的奇偶性试题答案及解析1.是函数为偶函数的_________条件．【答案】充分必要【解析】当时，函数，为偶函数；当为偶函数时，由，即，即恒成立，，因此是函数为偶函数的充分必要条件.【考点】充分条件和必要条件2.已知为偶函数，当时，，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】令,当时，;当时，;即由于函数为R上的偶函数，所以,故选A.【考点】解关于分段函数不等式；函数性质应用；换元法3.已知函数是奇函数，且当时，，则＝____________。
【答案】1；【解析】因为是奇函数，当时，，有，所以当时；所以；另解：；【考点】函数的奇偶性；4.设是定义在上的奇函数，当时，，则 .【答案】-3【解析】由奇函数的定义可知，【考点】奇函数的应用.5.已知是定义在上的奇函数，且时的图像如图所示，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由于是奇函数，，由图知，【考点】奇函数的应用和认识图的能力.6.若函数是奇函数，则的值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】Ｂ【解析】由函数是奇函数得：，又当时，函数，所以是奇函数，故选B．【考点】函数的奇偶性．7.已知定义在R上的奇函数有最小正周期2，且当时，．(1)求和的值；(2)求在[－1,1]上的解析式．【答案】（1）；（2）．【解析】解题思路：（1）利用周期性与奇偶性求解，即且解得；（2）利用奇偶性求解析式．规律总结：函数的单调性、奇偶性、周期性的综合运用，要记住一些常见结论，且要真正理解定义．试题解析： (1)∵是周期为2的奇函数，，．(2)由题意知，．当时，．由是奇函数，，综上，【考点】函数的奇偶性、周期性．8.已知是定义在上的奇函数，当时，．（1）求；（2）求的解析式；（3）若，求区间．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）根据是定义在上的奇函数可知：，，从而可得；（2）根据根据是定义在上的奇函数可知：再结合在上的解析式，可以得到其在上的解析式：，将两者综合，即可得；（3）由（2）得到的解析式，可知需对的取值范围分类讨论，从而可以得到关于的不等式：当时，，解得，当时，，解得，因此区间.试题解析：（1）∵是奇函数，∴；（2）∵为奇函数，∴当时，，∴；（3）由（2）求得的解析式可知：当时，，解得，当时，，解得，∴区间．【考点】1.奇函数的性质；2.分类讨论的数学思想.9.已知函数y=f(x)是定义在上的奇函数,且当x>0时，f(x)=2x-1-3,则f(f(1))= 。
高中数学第二章函数4函数的奇偶性与简单的幂函数4-2简单幂函数的图象和性质课件北师大版必修第一册
§4 函数的奇偶性与简单的幂函数 4.2 简单幂函数的图象和性质
【素养目标】 1．通过具体实例，理解幂的概念．(数学抽象) 2．会画简单幂函数的图象，并能根据图象得出这些函数的性 质．(直观想象) 3．理解常见幂函数的基本性质．(逻辑推理)
【学法解读】 以五种常见的幂函数为载体，学生应自己动手在同一个平面直角坐 标系下画出这五种幂函数的图象，通过观察比较研究其图象和性质，进 而研究一般幂函数的图象和性质．
___(1_，__1_)___
思考2：在区间(0，＋∞)上，幂函数有怎样的单调性？ 提示：幂函数在区间(0，＋∞)上，当α＞0，y＝xα是增函数；当α＜0 时，y＝xα是减函数．
基础自测
1．下列函数为幂函数的是
( D)
A．y＝2x4
B．y＝2x3－1
C．y＝2x
D．y＝x2
[解析] y＝2x4 中，x4 的系数为 2，故 A 不是幂函数；y＝2x3－1 不
题型二
Hale Waihona Puke 幂函数的图象例 2 函数 y＝xα 与 y＝αxα∈－1，1，12，2，3的图象只可能是
下面中的哪一个
(C)
[分析] 逐个分析函数图象，也可给α分别取已知数值，研究两个函
数在同一个坐标系的图象形状．
[解析] A 中直线对应函数 y＝x，曲线对应函数为 y＝x－1，1≠－1，
1
故 A 错；B 中直线对应函数为 y＝2x，曲线对应函数为 y＝x2
【对点练习】❸ (1)比较下列各组数的大小：
①1.10.1，1.20.1；②0.24－0.2，0.25－0.2．
(2)已知幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1为偶函数，则m＝
A．1
幂函数经典例题(答案)
幂函数经典例题(答案)A ．-1<n<0<m<1B ．n <－1,0<m <1C ．－1<n <0，m >1D ．n <－1，m >1解析 在(0,1)内取同一值x 0，作直线x ＝x 0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0<m <1，n <－1.答案 B点评 在区间(0,1)上，幂函数的指数越大，图象越靠近x 轴；在区间(1，＋∞)上，幂函数的指数越大，图象越远离x 轴．例4、已知x 2>x 13，求x 的取值范围．错解 由于x 2≥0，x 13∈R ，则由x 2>x 13，可得x ∈R.错因分析 上述错解原因是没有掌握幂函数的图象特征，尤其是y ＝x α在α>1和0<α<1两种情况下图象的分布．正解作出函数y=x2和y=31x 的图象(如右图所示)，易得x<0或x>1.例5、函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋m －3是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，求f (x )的解析式．分析 解答本题可严格根据幂函数的定义形式列方程求出m ，再由单调性确定m .解 根据幂函数定义得m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1，当m ＝2时，f (x )＝x 3在(0，＋∞)上是增函数；当m ＝－1时，f (x )＝x －3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故f (x )＝x 3. 点评 幂函数y ＝x α (α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．对本例来说，还要根据单调性验根，以免增根．变式 已知y ＝(m 2＋2m －2)x 1m 2－1＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．解由题意得⎩⎨⎧m 2＋2m －2＝1m 2－1≠02n －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－3n ＝32， 所以m ＝－3，n ＝32.例6、比较下列各组中两个数的大小：（1）535.1，537.1；（2）0.71.5，0.61.5；（3）32)2.1(－－，32)25.1(－－．解析：（1）考查幂函数y ＝53x 的单调性，在第一象限内函数单调递增， ∵1.5＜1.7，∴535.1＜537.1，（2）考查幂函数y ＝23x 的单调性，同理0.71.5＞0.61.5． （3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数， ∵32)2.1(－－＝322.1－，32)25.1(－－＝3225.1－，又322.1－＞3225.1－， ∴32)2.1(－－＞3225.1－．点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是： （1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性； （2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．例7、比较下列各组数的大小(1) 3－52与3.1－52；(2)－8－78与－⎝ ⎛⎭⎪⎫1978.分析 比较大小问题一般是利用函数的单调性，当不便利用单调性时，可用0与1去比较，这种方法叫“搭桥”法．解 (1)函数y ＝x －52在(0，＋∞)上为减函数，又3<3.1，所以3－52>3.1－52.(2)－8－78＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1878，函数y ＝x 78在(0，＋∞)上为增函数，又18>19，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1878>⎝ ⎛⎭⎪⎫1978， 从而－8－78<－⎝ ⎛⎭⎪⎫1978.点评 比较大小的题，要综合考虑函数的性质，特别是单调性的应用，更善于运用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的参数．变式 比较下列各组数的大小： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－23与⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－23； (2)4.125，(－1.9)35与3.8－23.解 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－23，⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－23，∵函数y ＝x －23在(0，＋∞)上为减函数，又∵23>π6，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－23<⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－23. (2)(4.1)25>125＝1,0<3.8－23<1－23＝1，(－1.9)35<0，所以(－1.9)35<3.8－23<(4.1)25.例8、 已知幂函数y ＝x 3m －9 (m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x 的增大而减小，求满足(a ＋1)－m 3<(3－2a )－m3的a 的范围．解 ∵函数在(0，＋∞)上递减， ∴3m －9<0，解得m <3， 又m ∈N *，∴m ＝1,2.又函数图象关于y 轴对称， ∴3m －9为偶数，故m ＝1，∴有(a ＋1)－13<(3－2a )－13.又∵y ＝x －13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均递减，∴a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a 或a ＋1<0<3－2a ，解得23<a <32或a <－1.点评 (1)解决与幂函数有关的综合题时，一定要考虑幂函数的定义．(2)幂函数y ＝x α，由于α的值不同，单调性和奇偶性也就不同．变式 已知幂函数y ＝xm 2－2m －3 (m ∈Z)的图象与x 轴、y 轴都无公共点，且关于y 轴对称，求m 的值，且画出它的图象．解 由已知，得m 2－2m －3≤0，∴－1≤m ≤3. 又∵m ∈Z ，∴m ＝－1,0,1,2,3，当m ＝0或m ＝2时，y ＝x －3为奇函数，其图象不关于y 轴对称，不符合题意．当m ＝－1或m ＝3时，有y ＝x 0，其图象如图①所示． 当m ＝1时，y ＝x －4，其图象如图②所示．练习一、选择题 1．下列命题：①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；②幂函数的图象不可能在第四象限；③n ＝0时，y ＝x n 的图象是一条直线；④幂函数y ＝x n ，当n >0时，是增函数；⑤幂函数y ＝x n ，当n <0时，在第一象限内函数值随x 值的增大而减小． 其中正确的是( )A ．①和④B ．④和⑤C ．②和③D ．②和⑤ 答案 D2．下列函数中，不是幂函数的是( )A ．y ＝2xB ．y ＝x －1C ．y ＝xD ．y ＝x 2 答案 A3．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，13，12，1，2，3，则使f (x )＝x α为奇函数且在(0，＋∞)内单调递减的α值的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 A4．当x ∈(1，＋∞)时，下列函数图象恒在直线y ＝x 下方的偶函数是( )A ．y ＝x 12B ．y ＝x －2C ．y ＝x 2D ．y ＝x －1答案 B5．如果幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图象不过原点，则m 的取值是( )A ．－1≤m ≤2B ．m ＝1或m ＝2C ．m ＝2D ．m ＝1 答案 B解析 由已知⎩⎨⎧m 2－3m ＋3＝1m 2－m －2≤0∴m ＝1或m ＝2.6．在函数y ＝1x2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1 (x ≠0)中幂函数的个数为( )A ．1B ．0C ．2D ．3 答案 C解析 依据幂函数的定义判定，应选C.7．幂函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，那么f (8)的值为( )A ．2 6B ．64 C.24 D.164答案 C解析 设f (x )＝x α (α为常数)，将⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12点代入得12＝4α，∴α＝－12，f (x )＝x－12，∴f (8)＝8－12＝24. 8．下列函数中，值域为[0，＋∞)的函数是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝x 2 C ．y ＝x －2 D ．y ＝log a x (a >0，且a ≠1) 答案 B解析 根据函数图象，选B. 二、填空题1．若幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫9，13，则f (25)＝_____________.答案 15解析 设f (x )＝x α，则9α＝13，α＝－12.∴f (25)＝25－12＝15.2．设幂函数y ＝x α的图象经过点(8,4)，则函数y ＝x α的值域是______________．答案 [0，＋∞)解析 由4＝8α，得α＝23，∴y ＝x 23≥0.3. 如图所示是幂函数y=x α在第一象限内的图象，已知α取±2，± 四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的α依次为 .答案 2，12，－12，－24．若幂函数y ＝f (x )的图象经过点(2，2)，则f (25)的值是________． 答案 5解析 设y ＝x α，∵点(2，2)在y ＝x α的图象上，∴2＝2α，∴α＝12，∴f (x )＝x 12.故f (25)＝2512＝5.5．幂函数y ＝x α (α∈R)的图象一定不经过第________象限． 答案 四6．把下列各数223，⎝ ⎛⎭⎪⎫53－13，⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，⎝ ⎛⎭⎪⎫150，⎝ ⎛⎭⎪⎫3223，按由小到大的排列顺序为__________________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－233<⎝ ⎛⎭⎪⎫53－13<⎝ ⎛⎭⎪⎫150<⎝ ⎛⎭⎪⎫3223<223.7．已知幂函数f (x )＝x －12，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围是________．答案 3<a <5解析 f (x )＝x －12＝1x(x >0)，由图象知x ∈(0，＋∞)时为减函数，又f (a＋1)<f (10－2a )，∴⎩⎨⎧a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a .得⎩⎨⎧a >－1，a <5，a >3.∴3<a <5.三、解答题1．求函数y ＝52x ＋2x 51＋4（x ≥－32）值域．解析：设t ＝x 51，∵x ≥－32，∴t ≥－2，则y ＝t 2＋2t ＋4＝（t ＋1）2＋3． 当t ＝－1时，y min ＝3．∴函数y ＝52x ＋2x 51＋4（x ≥－32）的值域为［3，＋∞）．点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法．2．已知f (x )＝(m 2＋2m )·xm 2＋m －1，m 是何值时，f (x )是(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．解 (1)若f (x )为正比例函数，则 ⎩⎨⎧ m 2＋m －1＝1m 2＋2m ≠0，∴m ＝1. (2)若f (x )为反比例函数，则 ⎩⎨⎧m 2＋m －1＝－1m 2＋2m ≠0，∴m ＝－1. (3)若f (x )为二次函数，则 ⎩⎨⎧m 2＋m －1＝2m 2＋2m ≠0，∴m ＝－1±132.(4)若f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1，∴m ＝－1±2。
幂函数解析
专题6 简单的幂函数与函数的奇偶性【知识回顾】一、简单的幂函数1．幂函数的定义 如果一个函数， 是自变量x ， 是常量α，即y ＝x α，这样的函数称为幂函数．2．简单的幂函数的图像和性质函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x－1在同一平面直角坐标系中的图像如图所示：二、函数的奇偶性1、一般地，函数图像关于原点对称函数叫做 ，有 ；反之，若满足 的函数y=f(x)一定是奇函数。
2、函数图像关于y 轴对称函数叫做 ，有 ；反之，若满足 的函数y=f(x)一定是偶函数。
【典例应用】考点1 幂函数的概念例1 下列所给出的函数中，是幂函数的是______（填序号）.①3y x =-；①3y x -=；①32y x =；①31y x =-【答案】①【解析】【分析】由幂函数的定义，排除不是幂函数的选项【详解】根据幂函数的定义可知，形如()y f x x α==的函数是幂函数①中，3x 的系数不为1；①中，=-3α的幂函数；①中，3x 的系数不为1；①中，3x 之后不能加常数项；故答案为①【点睛】本题考查了幂函数的定义，判断函数是否为幂函数，注意x α的系数为1且不含常数项，属于基础题.练习：已知幂函数2223(1)mm y m m x --=--⋅，求此幂函数的解析式，并指出其定义域. 【答案】3y x -=或0y x =，{|0}x x ≠.【解析】【分析】由幂函数的概念求解．【详解】2223(1)m m y m m x --=--为函数，211m m ∴--=，解得2m =或1m =-.当2m =时，2233m m --=-，则3y x -=，且有0x ≠； 当1m =-时，2230m m --=，则0y x =，且有0x ≠.故所求幂函数的解析式为3y x -=或0y x =，它们的定义域都是{|0}x x ≠.【点睛】本题考查幂函数的概念与性质，属于基础题．考点2 幂函数的图像例2 如图，给出四个幂函数的图像，则图像与函数大致对应的是（ ）① ① ① ①A ．①12y x =；①2y x ；①3y x =；①1y x -=B ．①3y x =；①12y x =；①2y x ；①1y x -=C ．①2y x ；①3y x =；①12y x =；①1y x -=D ．①3y x =；①2y x ；①12y x =；①1y x -= 【答案】D【解析】【分析】利用幂函数的奇偶性、单调性、定义域等来分析判断图象得解.【详解】3y x =是奇函数，且在R 上递增，对应题图①；2y x 是偶函数，对应题图①；12y x =的定义域为[)0,+∞，对应题图①；1y x -=的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，对应题图①．故选D ．【点睛】本题主要考查幂函数的定义域、单调性和奇偶性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.练习：幂函数24m m y x =－（m Z ∈）的图象如图所示，则m 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】【分析】 由给出的幂函数的图象，得到幂指数小于0，且幂函数为偶函数，然后逐一代入验证即可得到答案．【详解】解：由函数图象可知，幂函数为偶函数，且幂指数小于0，当0m =时，240m m -=，不合题意；当1m =时，243m m -=-，幂函数为奇函数，不合题意；当2m =时，244m m -=-，满足幂函数为偶函数，且幂指数小于0，符合题意； 当3m =时，243m m -=-，幂函数为奇函数，不合题意．①m 的值为2．故选C ．【点睛】本题考查了幂函数的图象，考查了幂函数的性质，训练了代入验证法，是基础题． 考点3 利用幂函数的特点求参数的值例3 已知幂函数()()23m f x m x -=-在()0,∞+为单调增函数，则实数m 的值为（ ）AB ．2±C ．2D ．2-【答案】D【解析】【分析】 根据()f x 为幂函数，求得m 的可能取值，再由()f x 在()0,∞+上的单调性，求得m 的值.【详解】由于()f x 为幂函数，所以231,2m m -==±，当2m =时，()2f x x -=在()0,∞+上递减，不符合题意，当2m =-时()2f x x =在()0,∞+上递增，符合题意. 故选：D【点睛】本小题主要考查根据函数为幂函数求解析式，考查幂函数的单调性，属于基础题.练习：若函数()223()1m m f x m m x +-=--是幂函数且在(0,)+∞是递减的，则m =（ ）A ．-1B ．2C ．-1或2D ．3 【答案】A【解析】【分析】 根据幂函数的定义和性质列方程和不等式，求解即可．【详解】解：函数()223()1m m f x m m x +-=--是幂函数且在(0,)+∞是递减的，则221130m m m m ⎧--=⎨+-<⎩，解得1m =-． 故选：A ．【点睛】本题考查幂函数的定义和性质，是基础题．考点4：函数奇偶性例4.已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－2x .(1)求出函数f (x )在R 上的解析式；(2)在如图所示的平面直角坐标系中画出函数f (x )的图像．练习：已知f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减小的，且f (3)＝0，则使f (x )<0的x 的范围为________．【等级过关练】1．幂函数()y f x =图象过点11(,)42，则[(9)]f f =（ ）A B ．3 C ．13 D2．已知幂函数223()m m f x x --=（m ∈Z ）是偶函数，且112⎛⎫> ⎪⎝⎭f ，则m 的值是（ ） A ．－1 B ．0 C ．1D ．2 3．下列幂函数中过点)0,0(，)1,1(的偶函数是（ ）A ．21x y = B ．4x y = C ．1y x -= D ．3y x =4．已知一个偶函数的定义域为{}2,1,,m n -,则m n +的值为（ ）A ．1-B ．1C ．0D ．25．判断下列函数的奇偶性; (1)1()f x x x=+;(2)()2||f x x =-;(3)()1x f x x =-. 参考答案1．A【解析】【分析】用待定系数法求出幂函数的解析式，然后用代入法进行求解即可.【详解】设()y f x x α==，因为幂函数()y f x =图象过点11(,)42， 所以有11()24α=，解得12α=，所以12()y f x x ===因为(9)3f ==，所以[(9)](3)f f f ==故选：A【点睛】本题考查了幂函数解析式的求法，考查了求函数值问题，考查了数学运算能力.2．C【解析】【分析】 先化简112⎛⎫> ⎪⎝⎭f 得到实数m 的范围，再检验即得解. 【详解】 因为112⎛⎫> ⎪⎝⎭f ，所以2230211(),31()230,122m m m m m -->-=-∴-<∴<<. 因为m ∈Z ，所以0,1,2m =.经检验，当1m =时，函数是偶函数，当0,2m =时，函数是奇函数.故选：C【点睛】本题主要考查幂函数的图象和性质，考查指数函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．B【解析】试题分析：根据幂函数nx y =的性质，当0>n 时，图象过)1,1()0,0(、点，在第一象限部分图象为增函数；当0<n 时，图象过点)1,1(，在第一象限部分图象为减函数；排除C ，而D B A 、、中只有B 是偶函数，因此选B .考点：1.幂函数图象和性质;2.函数的奇偶性；4．B【解析】【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称可得结果．【详解】解：如果一个偶函数的定义域为{}2,1,,m n -,则210m n -+++=，得1m n +=，故选：B ．【点睛】本题考查奇偶函数的性质，奇偶函数的图像不仅自身具有对称性，定义域也必须要关于原点对称，本题难度不大．5．(1)奇函数.(2)偶函数.(3)非奇非偶函数.【解析】【分析】利用函数的奇偶性的定义判断得解.【详解】解:(1)函数()f x 的定义域是{|R x x ∈且0x ≠},关于原点对称,11()()f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=-+=- ⎪-⎝⎭,()f x ∴为奇函数. (2)函数()f x 的定义域为R ,关于原点对称,()2||2||()f x x x f x -=--=-=,()f x ∴为偶函数.(3)①函数()f x 的定义域为{|R x x ∈且1x ≠},显然不关于原点对称, ()f x ∴为非奇非偶函数.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。
高三数学函数的奇偶性试题
高三数学函数的奇偶性试题1.设是定义在上的奇函数，当时，，则的图像与圆的公共点的个数是（）A．个B．个C．个D．个【答案】B【解析】根据奇函数的定义，可知x＜0时，f（x）＝x－1直接检验可得x＞0是与圆有一个公共点，x＜0时没有公共点，但注意到奇函数中f（0）＝0恰好在圆周上，所以两者有两个公共点.选B【考点】函数的奇偶性，图像的公共点2.已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f（x）＝3x，则f（log94）的值为（）A．－2B．C．D．2【答案】B【解析】根据对数性质，f（log94）＝f（log32）因为f（x）是奇函数，于是f（log32）＝－f（－log32）＝－f（log3），且log3<0故f（log94）＝－f（log3）＝－【考点】函数的奇偶性，分段函数3.已知奇函数f (x)和偶函数g(x)分别满足，，若存在实数a，使得成立，则实数b的取值范围是A．(-1,1)B．C．D．【答案】C，【解析】由f (x)的解析式知，当0≤＜1时，f (x)=是增函数，其值域为[0,1]，当≥1时，f (x)=是减函数，值域为（0,1]，故当≥0时，值域为[0,1]，因为f (x)是奇函数，根据奇函数的对称性知，当≤0时，值域为[-1,0]，所以f (x)的最小值为-1，由存在实数a，使得成立知，＞=-1，①当≥0时，，解得，因为g(x)是偶函数，由偶函数的对称性知，当b≤0时，不等式的解为，所以实数b的取值范围是，故选C．【考点】函数奇偶性，指数函数与幂函数图像性质，含参数不等式成立问题4.已知，.现有下列命题：①；②；③.其中的所有正确命题的序号是（）A．①②③B．②③C．①③D．①②【答案】A【解析】对①，，成立；对②，左边的可以取除之外的任意值，而右边的，故不成立；注：.当时成立.对③，，所以在内单调递增，且在处的切线为.作出图易知③成立法二、根据图象的对称性，可只考虑的情况. 时，，则，所以，所以③成立.标准答案选A，笔者认为有错，应该选C.题干中的应理解为函数的定义域，而不是后面三个命题中的范围，因为在它的前面是逗号.如果前是句号，则选A.【考点】1、函数的奇偶性；2、对数运算；3、函数与不等式.5.已知为偶函数，当时，，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】Ａ【解析】先画出当时，函数的图象，又为偶函数，故将轴右侧的函数图象关于轴对称，得轴左侧的图象，如下图所示，直线与函数的四个交点横坐标从左到右依次为，由图象可知，或，解得，选A．【考点】１、分段函数；2、函数的图象和性质；3、不等式的解集．6.已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)<5的解集是________．【答案】{x|－7<x<3}【解析】设x<0，则－x>0.∵当x≥0时，f(x)＝x2－4x，∴f(－x)＝(－x)2－4(－x)．∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝x2＋4x(x<0)，∴f(x)＝由f(x)＝5得或∴x＝5或x＝－5.观察图像可知由f(x)<5，得－5<x<5.∴由f(x＋2)<5，得－5<x＋2<5，∴－7<x<3.∴不等式f(x＋2)<5的解集是{x|－7<x<3}．7.（5分）（2011•湖北）若定义在R上的偶函数f（x）和奇函数g（x）满足f（x）+g（x）=e x，则g（x）=（）A．e x﹣e﹣x B．（e x+e﹣x）C．（e﹣x﹣e x）D．（e x﹣e﹣x）【答案】D【解析】根据已知中定义在R上的偶函数f（x）和奇函数g（x）满足f（x）+g（x）=e x，根据奇函数和偶函数的性质，我们易得到关于f（x）、g（x）的另一个方程：f（﹣x）+g（﹣x）=e﹣x，解方程组即可得到g（x）的解析式．解：∵f（x）为定义在R上的偶函数∴f（﹣x）=f（x）又∵g（x）为定义在R上的奇函数g（﹣x）=﹣g（x）由f（x）+g（x）=e x，∴f（﹣x）+g（﹣x）=f（x）﹣g（x）=e﹣x，∴g（x）=（e x﹣e﹣x）故选D点评：本题考查的知识点是函数解析式的求法﹣﹣方程组法，及函数奇偶性的性质，其中根据函数奇偶性的定义构造出关于关于f（x）、g（x）的另一个方程：f（﹣x）+g（﹣x）=e﹣x，是解答本题的关键．8.已知函数是定义在R上的可导函数，其导函数记为，若对于任意实数x，有，且为奇函数，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】令，所以在R上是减函数，又为奇函数，所以，所以，所以原不等式可化为，所以，故选B.【考点】导数的综合应用问题9.已知且，若，则 .【答案】【解析】由得，令，则，又由得，而函数是奇函数，∴，即，．【考点】奇函数的性质．10.已知定义在上的函数满足为奇函数，函数关于直线对称，则下列式子一定成立的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为为奇函数，所以，则．又因为关于直线对称，所以关于对称，所以，则，于是8为函数的周期，所以，故选B．【考点】1、抽象函数；2、函数的奇偶性；3、函数的对称性；4、函数的周期性．11.已知函数是定义在上的偶函数，为奇函数，，当时，logx，2则在内满足方程的实数为A．B．C．D．【答案】C【解析】由f（x+1）为奇函数，可得f（x）=-f（2-x）．由f（x）为偶函数可得f（x）=f（x+4），故 f（x）是以4为周期的函数．当8＜x≤9时，求得f（x）=f（x-8）=log2（x-8）．由log2（x-8）+1=0，得x的值．当9＜x＜10时，求得x无解，从而得出结论．【考点】函数性质的综合应用.12.已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数，则a＝________.【答案】2【解析】因为函数f(x)＝是定义域为R的奇函数，所以f(－1)＝－f(1)，即＝－，解得a＝2.13.函数是上的奇函数，是上的周期为4的周期函数，已知,且,则的值为___________．【答案】2【解析】本题就是要待计算式中的每个式子计算化简，由已知，，因此，，，，，从而已知式为，∴.【考点】奇函数与周期函数的定义.14.函数，若，则（）A．2018B．－2009C．2013D．－2013【答案】C【解析】因为函数为偶函数，．【考点】函数的奇偶性．15.若函数，则函数（）A．是偶函数，在是增函数B．是偶函数，在是减函数C．是奇函数，在是增函数D．是奇函数，在是减函数【答案】A【解析】由定义易得，函数为奇函数.求导得：.（这里之所以在分子提出来，目的是便于将分子求导）再令，则.当时，，所以在时单调递减，，从而.所以在上是减函数，由偶函数的对称性知，在上是增函数.巧解：由定义易得，函数为奇函数.结合选项来看，函数在上必单调，故取特殊值来判断其单调性. ，，所以在上是减函数，由偶函数的对称性知，在上是增函数.选A【考点】函数的性质.16.已知函数为奇函数，且当时，，则( )A．2B．0C．1D．﹣2【答案】D【解析】.【考点】奇函数的性质及应用17.已定义在上的偶函数满足时，成立，若，，，则的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】Ｃ【解析】构造函数，由函数是R上的偶函数，函数是R上的奇函数可得是R上的奇函数，又当时，所以函数在时的单调性为单调递减函数；所以在时的单调性为单调递减函数，因为，，，故，即：，故选Ｃ．【考点】函数奇偶性的性质，简单复合函数的导数，函数的单调性与导数的关系．18.设是周期为2的奇函数，当时，，则 .【答案】【解析】因为是周期为2的奇函数，所以.【考点】函数的基本性质.19.已知一个奇函数的定义域为则=___________.【答案】【解析】奇函数的定义域要关于原点对称，于是对应于，所以.【考点】奇函数的概念.20.定义在上的偶函数满足且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，故函数是以为一个周期的周期函数，，故选B.【考点】1.函数的周期性；2.函数的奇偶性21.已知可以表示为一个奇函数与一个偶函数之和，若不等式对于恒成立，则实数的取值范围是____________.【答案】【解析】依题意，g(x)+h(x)= .....（1），∵g(x)是奇函数，∴g(-x)=-g(x)；∵h(x)是偶函数，∴h(-x)=h(x)；∴g(-x)+h(-x)="h(x)-g(x)=" (2)解(1)和(2)组成的方程组得h(x)=，g(x)=∴ag(x)+h(2x)=a +，∴a· +≥0在x∈[1,2]恒成立令t=，∴=，当x∈[1,2]时，t∈[2,4]，∴原不等式化为a(t－)+(t2+)≥0在t∈[2,4]上恒成立，由不等式a(t－)+(t2+)≥0，可得a(t－)≥－(t2+)，∵当t∈[2,4]时，t－t>0恒成立，∴a≥ == ，即a≥在t∈[2,4]上恒成立，令u=t－,求导得=1+>0恒成立，∴u=t-在t∈[2,4]上单调递增∴u∈[ ]，令f(u)=u+，u∈[]，求导得(u)=1->0在u∈[]上恒成立，∴f(u)在u∈[]上单调递增即当u=，f(u)取最小值f()= ，当u=时，可解得t=2（另一根不在t∈[2,4]内故舍去）∴当t=2时，取最小值为，即取最大值为－，∴a≥－，当t=2，x=1时取等号，∴a的最小值为－．【考点】１.函数的奇偶性；２.不等式的性质；3.导数的性质.22.已知函数（为常数）是奇函数，则实数为（）A．1B．C．3D．【答案】D【解析】函数在处有意义，所以，得.【考点】函数的奇偶性.23.若函数f(x) (x∈R)是奇函数，函数g(x) (x∈R)是偶函数，则 ( )A．函数f(x)g(x)是偶函数B．函数f(x)g(x)是奇函数C．函数f(x)＋g(x)是偶函数D．函数f(x)＋g(x)是奇函数【答案】B【解析】令，由于函数为奇函数，，由于函数为偶函数，则，，故函数为奇函数，故选；对于函数，取，，则，此时函数为非奇非偶函数，故、选项均错误.【考点】函数的奇偶性24.已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为A．B．C．1D．2【答案】C【解析】根据题意，由于函数是上的偶函数，若对于，都有，可知函数的周期为2，且当时，，那么则有，故可知答案为C。
新教材高中数学4函数的奇偶性与简单的幂函数4-2简单幂函数的图象和性质课后习题北师大版必修第一册
4.2 简单幂函数的图象和性质A级必备知识基础练1.函数y=3xα-2的图象过定点()A.(1,1)B.(-1,1)C.(1,-1)D.(-1,-1)2.在下列幂函数中,既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是()A.f(x)=x-1B.f(x)=x-2C.f(x)=x3D.f(x)=x 1 23.(多选题)下列说法错误的是()A.幂函数的图象不经过第四象限B.y=x0的图象是一条直线C.若函数y=1x 的定义域为{x|x>2},则它的值域为y y<12D.若函数y=x2的值域是{y|0≤y≤4},则它的定义域一定是{x|-2≤x≤2}4.当x∈(1,+∞)时,函数y=xα的图象恒在直线y=x的下方,则α的取值范围是()A.(0,1)B.(-∞,0)C.(-∞,1)D.(1,+∞)5.幂函数y=x m与y=x n在第一象限内的图象如图所示,则()A.-1<n<0<m<1B.n<-1,0<m<1C.-1<n<0,m>1D.n<-1,m>16.若(a+1)13<(3-2a)13,则a的取值范围是.7.已知幂函数f(x)=x m2-2m-3(m∈Z)的图象关于y轴对称,并且f(x)在第一象限内是单调递减函数,则m= .8.已知函数y=(a2-3a+2)x a2-5a+5(a为常数).(1)当a为何值时,此函数为幂函数?(2)当a为何值时,此函数为正比例函数?(3)当a为何值时,此函数为反比例函数?B 级关键能力提升练9.(多选题)已知函数f (x )=x α的图象经过点(4,2),则下列结论正确的有( ) A.函数f (x )为增函数 B.函数f (x )为偶函数 C.若x>1,则f (x )>1 D.若0<x 1<x 2,则f(x 1)+f(x 2)2<fx 1+x 2210.已知函数f (x )=(m 2-m-1)x m2+m -3是幂函数,对任意x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1≠x 2,满足f(x 1)-f(x 2)x 1-x 2>0,若a ,b ∈R ,且a+b>0,ab<0,则f (a )+f (b )的值( )A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断11.已知幂函数f (x )=mx n的图象过点(√2,2√2),设a=f (m ),b=f (n ),c=f (-2),则( ) A.c<b<a B.c<a<b C.b<c<aD.a<b<c12.(多选题)已知实数a ,b 满足等式a 12=b 13,则下列关系式可能成立的是( ) A.0<b<a<1 B.-1<a<b<0 C.1<a<bD.a=b13.已知幂函数f (x )=(m-1)2x m 2-4m+2在区间(0,+∞)上单调递增,函数g (x )=2x-k.(1)求实数m 的值;(2)当x ∈(1,2]时,记ƒ(x ),g (x )的值域分别为集合A ,B ,若A ∪B=A ,求实数k 的取值范围.14.已知幂函数f(x)=(2m2-6m+5)x m+1为偶函数.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若函数y=f(x)-2(a-1)x+1在区间(2,3)上为单调函数,求实数a的取值范围.C级学科素养创新练15.已知幂函数f(x)=x(2-k)(1+k),k∈Z,且f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.(1)求实数k的值,并写出相应的函数f(x)的解析式.(2)若函数F(x)=2f(x)-4x+3在区间[2a,a+1]上不单调,求实数a的取值范围.],若存在, (3)试判断是否存在正数q,使函数g(x)=1-qf(x)+(2q-1)x在区间[-1,2]上的值域为[-4,178求出q的值;若不存在,请说明理由.4.2 简单幂函数的图象和性质1.A2.C3.BCD 对于A,由幂函数的图象知,它不经过第四象限,所以A 对;对于B,因为当x=0时,x 0无意义,即在x=0无定义,所以B 错;对于C,函数y=1x 的定义域为{x|x>2},则它的值域为y 0<y<12,不是y y<12,所以C 错;对于D,定义域不一定是{x|-2≤x ≤2},如{x|0≤x ≤2},所以D 错.故选BCD .4.C 由幂函数的图象特征知α<1.5.B 由于y=x m在区间(0,+∞)上单调递增,且为上凸函数,故0<m<1.由于y=x n在区间(0,+∞)上单调递减,且在直线x=1的右侧时,y=x n的图象在y=x -1的图象的下方,故n<-1.故选B . 6.(-∞,23) 因为函数f (x )=x 13的定义域为R ,且为增函数,所以a+1<3-2a ,解得a<23. 7.1 因为幂函数f (x )=x m2-2m -3(m ∈Z )的图象关于y 轴对称,所以函数f (x )是偶函数,所以m 2-2m-3为偶数.又因为f (x )在第一象限内单调递减,所以m 2-2m-3<0,即-1<m<3,又m ∈Z ,所以m=1. 8.解(1)由题意知a 2-3a+2=1,即a 2-3a+1=0, 解得a=3±√52. (2)由题意知{a 2-5a +5=1,a 2-3a +2≠0,解得a=4.(3)由题意知{a 2-5a +5=-1,a 2-3a +2≠0,解得a=3.9.ACD 因为函数f (x )=x α的图象经过点(4,2), 所以α=12.所以f (x )=x 12.显然f (x )在定义域[0,+∞)上为增函数,所以A 正确;f (x )的定义域为[0,+∞),所以f (x )不具有奇偶性,所以B 不正确;当x>1时,√x >1,即f (x )>1,所以C 正确; 当0<x 1<x 2时,f(x 1)+f(x 2)22-[f(x 1+x 22)]2=√x 1+√x 222-(√x 1+x 22)2=x 1+x 2+2√x 1x 24−x 1+x 22=2√x 1x 2-x 1-x 24=-(√x 1-√x 2)24<0. 即f(x 1)+f(x 2)2<fx 1+x 22成立,所以D 正确.10.A 由已知函数f (x )=(m 2-m-1)x m2+m -3是幂函数,可得m 2-m-1=1,解得m=2或m=-1,当m=2时,f (x )=x 3,当m=-1时,f (x )=x -3,对任意的x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1≠x 2,满足f(x 1)-f(x 2)x 1-x 2>0,函数f (x )单调递增,所以m=2,此时f (x )=x 3.又a+b>0,ab<0,可知a ,b 异号,且正数的绝对值大于负数的绝对值,则f (a )+f (b )恒大于0,故选A .11.B 幂函数f (x )=mx n的图象过点(√2,2√2),则{m =1,(√2)n =2√2⇒{m =1,n =3,所以幂函数的解析式为f (x )=x 3,且函数f (x )单调递增.又-2<1<3,所以f (-2)<f (1)<f (3),即c<a<b ,故选B .12.ACD 画出函数y=x 12与y=x 13的图象如图所示,设a 12=b 13=m ,作直线y=m. 从图象知,若m=0或m=1,则a=b ; 若0<m<1,则0<b<a<1; 若m>1,则1<a<b. 故其中可能成立的是ACD .13.解(1)依题意得(m-1)2=1.∴m=0或m=2.当m=2时,f (x )=x -2在区间(0,+∞)上单调递减,与题设矛盾,舍去.当m=0时,f (x )=x 2,符合题设,故m=0.(2)由(1)可知f (x )=x 2,当x ∈(1,2]时,函数f (x )和g (x )均单调递增.∴集合A=(1,4],B=(2-k ,4-k ]. ∵A ∪B=A ,∴B ⊆A.∴{2-k ≥1,4-k ≤4.∴0≤k ≤1.∴实数k 的取值范围是[0,1].14.解(1)由f (x )为幂函数知2m 2-6m+5=1,即m 2-3m+2=0,得m=1或m=2,当m=1时,f (x )=x 2是偶函数,符合题意;当m=2时,f (x )=x 3为奇函数,不符合题意,舍去. 故f (x )=x 2.(2)由(1)可知y=x 2-2(a-1)x+1, 函数y 的对称轴为直线x=a-1,由题意知函数y 在区间(2,3)上为单调函数, ∴a-1≤2或a-1≥3,解得a ≤3或a ≥4. ∴a 的取值范围为(-∞,3]∪[4,+∞). 15.解(1)由题意知(2-k )(1+k )>0,解得-1<k<2. 又k ∈Z ,∴k=0或k=1,分别代入原函数,得f (x )=x 2.(2)由已知得F (x )=2x 2-4x+3,对称轴为直线x=1.要使函数F (x )在区间[2a ,a+1]上不单调,则2a<1<a+1,则0<a<12.即实数a 的取值范围是(0,12).(3)由已知,g (x )=-qx 2+(2q-1)x+1. 假设存在这样的正数q 符合题意,则函数g (x )的图象是开口向下的抛物线,其对称轴为直线x=2q -12q=1-12q <1,因而,函数g (x )在区间[-1,2]上的最小值只能在x=-1或x=2处取得, 又g (2)=-1≠-4,从而g (-1)=2-3q=-4,解得q=2.此时,g (x )=-2x 2+3x+1,其图象的对称轴为直线x=34∈[-1,2],∴g (x )在区间[-1,2]上的最大值为g (34)=-2×(34)2+3×34+1=178,符合题意. ∴存在q=2,使函数g (x )=1-qf (x )+(2q-1)x 在区间[-1,2]上的值域为[-4,178].。
新教材高中数学4函数的奇偶性与简单的幂函数4-1函数的奇偶性课后习题北师大版必修第一册
§4 函数的奇偶性与简单的幂函数4.1 函数的奇偶性A 级必备知识基础练1.(多选题)下列函数是奇函数的有( )A.y=x(x -1)x -1B.y=-3xC.y=x-2xD.y=πx 3-35x 2.(2022安徽合肥高一期末)若奇函数f (x )在区间[-2,-1]上单调递减,则函数f (x )在区间[1,2]上( )A.单调递增,且有最小值f (1)B.单调递增,且有最大值f (1)C.单调递减,且有最小值f (2)D.单调递减,且有最大值f (2)3.若函数f (x )=(k-2)x 2+(k-1)x+3是偶函数,则f (x )的单调递减区间是. 4.定义在R 上的偶函数f (x ),对任意的x 1,x 2∈[0,+∞)(x 1≠x 2),有f(x 1)-f(x 2)x 1-x 2<0,则f (3),f (-2),f (1)的大小关系为 .5.若函数f (x )={2x 2+7x -4,x >0,g(x),x <0为奇函数,则f (g (-1))= . 6.已知函数f (x )=x 5+ax 3+bx-8,且f (-2)=10,则f (2)= .7.已知奇函数f (x )的定义域为[-5,5],且在区间[0,5]上的图象如图所示.(1)画出在区间[-5,0]上的图象;(2)写出使f (x )<0的x 的取值集合.8.已知f(x)为奇函数,且当x<0时,f(x)=x2+3x+2.若当x∈[1,3]时,f(x)的最大值为m,最小值为n,求m-n的值.9.已知函数f(x)的定义域为(-1,1),且满足下列条件:①f(x)为奇函数;②f(x)在定义域上是减函数;③f(1-a)+f(1-a2)<0.求实数a的取值范围.B级关键能力提升练10.(2021陕西西安长安一中高一月考)设函数f(x),g(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数11.若函数f(x)和g(x)都是奇函数,且F(x)=af(x)+bg(x)+2在区间(0,+∞)上有最大值5,则F(x)在区间(-∞,0)上()A.有最小值-5B.有最大值-5C.有最小值-1D.有最大值-312.已知定义在R上的函数f(x)在区间(-∞,-2)上单调递减,若g(x)=f(x-2)是奇函数,且g(2)=0,则不等式xf(x)≤0的解集是()A.(-∞,-4]∪[-2,+∞)B.[-4,-2]∪[0,+∞)C.(-∞,-2]∪[2,+∞)D.(-∞,-4]∪[0,+∞)13.定义在区间(-8,a)上的奇函数f(x)在区间[2,7]上单调递增,在区间[3,6]上的最大值为a,最小值为-1,则2f(-6)+f(-3)= .14.如果f(x)是定义域为R的偶函数,且当x≥0时,f(x)=x2-4x,那么不等式f(x+2)<5的解集是.15.已知y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,它们的定义域均为[-3,3],且它们在x∈[0,3]上的图象<0的解集是.如图所示,则不等式f(x)g(x)16.已知f(x)为定义在R上的偶函数,当x≤-1时,f(x)=x+b,且f(x)的图象经过点(-2,0),在y=f(x)的图象中有一部分是顶点为(0,2),过点(-1,1)的一段抛物线.(1)求出函数f(x)的解析式;(2)求出函数f(x)的值域.C级学科素养创新练17.(2021吉林高一月考)已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-2x.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)求出函数f(x)在R上的解析式;(3)若函数g(x)=f(x)-2ax+2,x∈[1,2],求函数g(x)的最小值.4.1函数的奇偶性1.BCD先判断函数的定义域是否关于原点对称,再确定f(-x)与f(x)的关系.选项A中函数的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),不关于原点对称,所以排除A;选项B,D中函数定义域均为R,且f(-x)=-f(x),故为奇函数;选项C中函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且f(-x)=-f(x),也是奇函数.2.C因为奇函数的图象关于原点对称,所以函数f(x)在y轴两侧单调性相同.因为f(x)在区间[-2,-1]上单调递减,所以f(x)在区间[1,2]上单调递减,所以f(x)在区间[1,2]上有最大值f(1),最小值f(2),故选C.3.[0,+∞)因为函数f(x)是偶函数,所以k-1=0,即k=1,所以f(x)=-x2+3,其单调递减区间为[0,+∞).4.f(3)<f(-2)<f(1)由已知条件可知f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,所以f(3)<f(2)<f(1).再由偶函数的性质得f(3)<f(-2)<f(1).5.-81当x<0时,-x>0.因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x)=2(-x)2-7x-4=2x2-7x-4,所以f(x)=-2x2+7x+4.即g(x)=-2x2+7x+4,因此,f(g(-1))=f(-5)=-50-35+4=-81.6.-26令h(x)=x5+ax3+bx,易知h(x)为奇函数.因为f(x)=h(x)-8,h(x)=f(x)+8,所以h(-2)=f(-2)+8=18,所以h(2)=-h(-2)=-18,所以f(2)=h(2)-8=-18-8=-26.7.解(1)因为函数f(x)是奇函数,所以y=f(x)在[-5,5]上的图象关于原点对称.由y=f(x)在[0,5]上的图象,可知它在[-5,0]上的图象,如图所示.(2)由图象知,使函数值f(x)<0的x的取值集合为(-2,0)∪(2,5).8.解∵当x<0时,f(x)=x2+3x+2,且f(x)是奇函数,∴当x>0时,-x<0,则f (-x )=x 2-3x+2,故f (x )=-f (-x )=3x-x 2-2.∴当x ∈[1,32]时,f (x )单调递增;当x ∈(32,3]时,f (x )单调递减.因此当x ∈[1,3]时,f (x )max =f (32)=14,f (x )min =f (3)=-2.∴m=14,n=-2,从而m-n=94.9.解∵f (x )为奇函数,∴f (1-a 2)=-f (a 2-1),∴f (1-a )+f (1-a 2)<0⇒f (1-a )<-f (1-a 2)⇒f (1-a )<f (a 2-1).∵f (x )在定义域(-1,1)上是减函数,∴{1-a >a 2-1,-1<1-a <1,-1<a 2-1<1,解得0<a<1,故实数a 的取值范围为(0,1).10.C ∵f (x )是奇函数,g (x )是偶函数,∴f (-x )=-f (x ),g (-x )=g (x ).对于A,f (-x )g (-x )=-f (x )g (x ),故f (x )g (x )是奇函数,故A 错误;对于B,|f (-x )|g (-x )=|-f (x )|g (x )=|f (x )|g (x ),故|f (x )|g (x )是偶函数,故B 错误;对于C,f (-x )|g (-x )|=-f (x )|g (x )|,故f (x )|g (x )|是奇函数,故C 正确;对于D,|f (-x )g (-x )|=|f (x )g (x )|,故|f (x )g (x )|是偶函数,故D 错误.故选C .11.C ∵函数f (x )和g (x )都是奇函数,∴F (x )-2=af (x )+bg (x )为奇函数.又F (x )在区间(0,+∞)上有最大值5,∴F (x )-2在区间(0,+∞)上有最大值3,F (x )-2在区间(-∞,0)上有最小值-3,∴F (x )在区间(-∞,0)上有最小值-1.12.A g (x )=f (x-2)的图象是将函数f (x )的图象向右平移2个单位长度得到的,又g (x )=f (x-2)的图象关于原点对称,所以函数f (x )的图象关于点(-2,0)对称,大致图象如图所示,且f (0)=g (2)=0,f (-4)=g (-2)=-g (2)=0,f (-2)=g (0)=0,结合函数的图象,由xf (x )≤0可知{x ≥0,f(x)≤0或{x <0,f(x)≥0.结合图象可知x ≥0或-2≤x<0或x ≤-4.故不等式xf (x )≤0的解集是(-∞,-4]∪[-2,+∞),故选A .13.-15 根据题意,f (x )是定义在区间(-8,a )上的奇函数,则a=8.又由f (x )在区间[2,7]上单调递增,且在区间[3,6]上的最大值为a=8,最小值为-1,则f (6)=a=8,f (3)=-1.函数f (x )是奇函数,则f (-6)=-8,f (-3)=1.则2f (-6)+f (-3)=2×(-8)+1=-15.14.(-7,3) 因为f (x )为偶函数,所以f (|x+2|)=f (x+2),则f (x+2)<5可化为f (|x+2|)<5,则|x+2|2-4|x+2|<5,即(|x+2|+1)(|x+2|-5)<0,所以|x+2|<5,解得-7<x<3,所以不等式f (x+2)的解集是(-7,3).15.{x|-2<x<-1,或0<x<1,或2<x<3} 不等式f(x)g(x)<0可化为f (x )g (x )<0,由题图可知,当x>0时,其解集为(0,1)∪(2,3).∵y=f (x )是偶函数,y=g (x )是奇函数,∴f (x )g (x )是奇函数,∴当x<0时,f (x )g (x )<0的解集为(-2,-1).综上,不等式f(x)g(x)<0的解集是{x|-2<x<-1,或0<x<1,或2<x<3}.16.解(1)∵f (x )的图象经过点(-2,0),∴0=-2+b ,即b=2.∴当x ≤-1时,f (x )=x+2.∵f (x )为偶函数,∴当x ≥1时,f (x )=f (-x )=-x+2.当-1≤x ≤1时,依题意设f (x )=ax 2+2(a ≠0),则1=a ·(-1)2+2,∴a=-1.∴当-1≤x ≤1时,f (x )=-x 2+2.综上,f (x )={x +2,x ≤-1,-x 2+2,-1<x <1,-x +2,x ≥1.(2)当x ≤-1时,f (x )=x+2∈(-∞,1];当-1<x<1时,f (x )=-x 2+2∈(1,2];当x ≥1时,f (x )=-x+2∈(-∞,1].综上所述,f (x )的值域为(-∞,2].17.解(1)由题意知当x ≥0时,f (x )=x 2-2x=(x-1)2-1,此时函数f (x )的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1).又函数f (x )为偶函数,所以当x<0时,其单调递增区间为(-1,0), 所以函数f (x )的单调递增区间为(-1,0),(1,+∞).(2)设x<0,则-x>0,所以f (-x )=(-x )2-2(-x )=x 2+2x ,由已知f (x )=f (-x ),所以当x<0时,f (x )=x 2+2x ,所以f (x )={x 2-2x(x ≥0),x 2+2x(x <0).(3)由(2)可得g (x )=x 2-(2a+2)x+2,x ∈[1,2],对称轴为直线x=a+1.当a+1<1,即a<0时,函数g (x )在区间[1,2]上单调递增, 故函数g (x )的最小值为g (1)=1-2a ;当1≤a+1≤2,即0≤a ≤1时,函数g (x )在对称轴处取得最小值, 故函数g (x )的最小值为g (1+a )=-a 2-2a+1;当a+1>2,即a>1时,函数g (x )在区间[1,2]上单调递减, 故函数g (x )的最小值为g (2)=2-4a.综上,函数g (x )的最小值为g (x )min ={1-2a,a <0,-a 2-2a +1,0≤a ≤1,2-4a,a >1.。
幂函数的增减性与奇偶性
幂函数的增减性与奇偶性幂数学函数是数学中的重要概念之一，而其中的一种常见函数类型为幂函数。
幂函数是指形如y = ax^n的函数，其中a为常数，n为幂数。
本文将探讨幂函数的增减性与奇偶性两个重要属性。
一、幂函数的增减性幂函数的增减性描述了幂函数在定义域内的函数值随自变量增加或减小而变化的趋势。
当幂函数的幂数为正时，函数呈现单调递增或单调递减的特点，具体取决于幂数的奇偶性。
1. 幂数为正偶数当幂数n为正偶数时，幂函数呈现出单调递增的趋势。
这是因为当x为正数时，不论a是正还是负，x的n次方都为正，所以当x增加时，函数值y也会随之增加；同理，当x为负数时，由于负数的偶次幂依然为正数，所以x减小时，函数值y也会减小。
2. 幂数为正奇数当幂数n为正奇数时，幂函数同样也呈现出单调递增的趋势。
但与幂数为正偶数的情况不同，当n为奇数时，若a为正数，则x取任意正负值时，y都为正数，所以函数整体呈现单调递增的特点；若a为负数，则x取正数时，y为负数；而当x取负数时，y则为正数。
所以，当幂数n为正奇数时，函数的增减性也取决于常数a的正负性。
3. 幂数为负数当幂数n为负数时，幂函数则呈现出单调递减的趋势。
这是因为当x是正数时，不论a是正还是负，x的n次方都为小于1的正数，所以当x增加时，函数值y则会减小；同理，当x是负数时，由于负数的负次幂依然是小于1的正数，所以x减小时，函数值y也会增加。
二、幂函数的奇偶性幂函数的奇偶性描述了幂函数图像关于y轴或者原点对称的特点，取决于幂数的奇偶性。
1. 幂数为偶数当幂数n为偶数时，函数的图像关于y轴对称。
这是因为当x取正值时，幂函数的函数值与x取相反数时的函数值相等，即满足关于y轴对称的特点。
2. 幂数为奇数当幂数n为奇数时，函数的图像关于原点对称。
这是因为当x取正值时，幂函数的函数值与x取相反数时的函数值互为相反数，即满足关于原点对称的特点。
结论：幂函数的增减性与奇偶性是幂函数在数轴上的两个重要特征。
高三数学幂函数试题答案及解析
高三数学幂函数试题答案及解析1.若，则满足的取值范围是 .【答案】【解析】根据幂函数的性质，由于，所以当时，当时，，因此的解集为.【考点】幂函数的性质.2.已知f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为[a－1,2a]，则y＝f(x)的值域为______．【答案】[1，]【解析】∵f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，∴其定义域[a－1,2a]关于原点对称，∴即a－1＝－2a，∴a＝，∵f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，即f(－x)＝f(x)，∴b＝0，∴f(x)＝x2＋1，x∈[－，]，其值域为{y|1≤y≤}．3.已知函数f(x)＝x2－2ax＋5在(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，则实数a的取值范围为______．【答案】[2,3]【解析】函数f(x)＝(x－a)2＋5－a2在(－∞，2]上是减函数，∴a≥2，函数f(x)在[1，a]上是减函数，在[a，a＋1]上是增函数，要使x1，x2∈[1，a＋1]时，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，只要又f(1)≥f(a＋1)，∴只要f(1)－f(a)≤4，即(6－2a)－(5－a2)≤4，解得－1≤a≤3.又a≥2，故2≤a≤3.4.（5分）（2011•陕西）函数的图象是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】先找出函数图象上的特殊点（1，1），（8，2），（，），再判断函数的走向，结合图形，选出正确的答案．解：函数图象上的特殊点（1，1），故排除A，D；由特殊点（8，2），（，），可排除C．故选B．点评：幂函数是重要的基本初等函数模型之一．学习幂函数重点是掌握幂函数的图形特征，即图象语言，熟记幂函数的图象、性质，把握幂函数的关键点（1，1）和利用直线y=x来刻画其它幂函数在第一象限的凸向．5.若a＋a－1＝3，则－a－＝______．【答案】±4【解析】－a－＝(－a－)(a＋a－1＋1)．∵(－a－)2＝a＋a－1－2＝1，∴(－a－)＝±1，∴原式＝(±1)×(3＋1)＝±4.6.幂函数的图像经过点，则的值为 .【答案】2【解析】本题要求出幂函数的表达式，才能求出函数值，形如的函数叫幂函数，故，，因此．【考点】幂函数的定义．7.幂函数的图像经过点，则的值为 .【答案】2【解析】本题要求出幂函数的表达式，才能求出函数值，形如的函数叫幂函数，故，，因此．【考点】幂函数的定义．8.幂函数y＝f(x)的图像经过点(4，)，则f()的值为()A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】设幂函数，由，得.【考点】幂函数9. .当α∈{－1，，1,3}时，幂函数y＝xα的图像不可能经过__________象限．【答案】第二、第四【解析】因为幂函数y＝x-1，y=x，y=x3，y=的图象在第一或第三象限，所以，满足条件的幂函数y＝xα的图像不可能经过第二、第四象限．【考点】幂函数的图象.10.已知函数,其中是取自集合的两个不同值，则该函数为偶函数的概率为_____．【答案】【解析】所取的值有6种等可能的结果：，，，，，，使函数为偶函数的所取的值有，，所以所求的概率为.【考点】幂函数、函数的奇偶性.11.下图给出4个幂函数的图像，则图像与函数的大致对应是A．B．C．D．【答案】B【解析】通过②的图象的对称性判断出②对应的函数是偶函数；①对应的幂指数大于1，通过排除法得到选项．解：②的图象关于y轴对称，②应为偶函数，故排除选项C，D,①由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除A,故选B【考点】幂函数的性质点评：本题考查幂函数的性质、考查幂函数的图象取决于幂指数．12.已知幂函数的部分对应值如图表：则不等式的解集是【答案】【解析】将（）代入得，，所以，，其定义域为，为增函数，所以可化为，解得，故答案为。
高一数学函数的奇偶性试题答案及解析
高一数学函数的奇偶性试题答案及解析1.若函数是偶函数，则的递减区间是【答案】【解析】偶函数的图像关于轴对称，故，则，则的递减区间是。
【考点】（1）偶函数图像的性质；（2）二次函数单调区间的求法。
2.设函数和分别是上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是A．是偶函数B．是奇函数C．是偶函数D．是奇函数【答案】A【解析】由设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，我们易得到|f（x）|、|g（x）|也为偶函数，进而根据奇+奇=奇，偶+偶=偶，逐一对四个结论进行判断，即可得到答案．∵函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则|g（x）|也为偶函数，则f（x）+|g（x）|是偶函数，故A满足条件；f（x）-|g（x）|是偶函数，故B不满足条件；|f（x）|也为偶函数，则|f（x）|+g（x）与|f（x）|-g（x）的奇偶性均不能确定故选A【考点】函数奇偶性的判断3.设函数为奇函数，,，则=（）A．0B．C．D．-【答案】C．【解析】由题意知，，又因为函数为奇函数，所以，且，再令中得，，即，所以，故选C．【考点】函数的奇偶性；抽象函数．4.已知为偶函数，当时，，则满足的实数的个数为（）．A．2B．4C．6D．8【答案】D【解析】令，则，解得；又因为为偶函数，所以当时，，则或；当时，，方程无解；，方程有两解；，方程有一解；，方程有一解；即当时，有四解，由偶函数的性质，得当时，也有四解；综上，有8解.【考点】函数的性质、方程的解.5.偶函数满足，且在时，，若直线与函数的图像有且仅有三个交点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以函数的图像关于直线对称，又是偶函数，所以，即有，所以是周期为2的函数，由，得，即，画出函数和直线的示意图因为直线与函数的图像有且仅有三个交点，所以根据示意图易知：由直线与半圆相切，可计算得到，由直线与半圆相切可计算得到，所以，选B.【考点】1.函数的对称性、奇偶性、周期性；2.函数图像；3.直线与圆的位置关系；4.点到直线的距离公式.6.若函数在其定义域上为奇函数，则实数 .【答案】【解析】小题可采用带特殊值法求得，检验此时在处有定义.【考点】奇函数定义及特殊值法.7.已知函数是偶函数（1）求k的值；（2）若函数的图象与直线没有交点，求b的取值范围；（3）设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）；(3)【解析】（1）因为函数是偶函数，所以根据偶函数的定义，得到一个关于x,k的等式.由于对于任意的x都成立，相当于恒过定点的问题，所以求得k的值.（2）因为函数的图象与直线没有交点，所以对应的方程没有解，利用分离变量的思维可得到一个等式，该方程无解.所以等价两个函数与没有交点，所以求出函数的最值.即可得到b的取值范围.(3)因为，若函数与的图象有且只有一个公共点，所以等价于方程有且只有一个实数根.通过换元将原方程化为含参的二次方程的形式，即等价于该二次方程仅有一个大于零的实根，通过讨论即可得到结论.试题解析：（1）因为为偶函数，所以，即对于任意恒成立.于是恒成立,而不恒为零，所以. 4分（2）由题意知方程即方程无解.令，则函数的图象与直线无交点.因为，由，则，所以的取值范围是 . 8分（3）由题意知方程有且只有一个实数根．令，则关于的方程 (记为(*))有且只有一个正根.若，则，不合题意, 舍去；若，则方程(*)的两根异号或有两相等正根.由或；但，不合题意，舍去；而；若方程(*)的两根异号综上所述，实数的取值范围是． 12分【考点】1.函数的奇偶性.2.函数的与方程的思想的转化.3.换元法的应用.4.含参数的方程的根的讨论.8.设函数是定义在上的偶函数，当时，.若，则实数的值为 .【答案】【解析】若，则由，得，，解得成立．若，则由，得，即，，得，即，所以．【考点】函数的奇偶性．9.定义在上的函数,对任意都有,当时,,则________.【答案】【解析】由可知函数是周期函数且周期为；所以，而当时，，故.【考点】1.函数的周期性；2.抽象函数；3.函数的解析式.10.已知是定义在上的奇函数，当时，,那么的值是( ) A．B．C．D．【答案】A【解析】因为是定义在上的奇函数，所以.【考点】奇函数的定义.11.已知函数的定义域为,且为偶函数,则实数的值可以是( ) A．B．C．D．【答案】A【解析】因为函数的定义域为，所以在函数中，，则函数的定义域为，又因为为偶函数，所以，故选A．【考点】本题主要考查了抽象函数的定义域，以及偶函数的性质．12.已知定义在R上的单调递增函数满足,且。
高一数学函数的奇偶性试题答案及解析
高一数学函数的奇偶性试题答案及解析1.设函数和分别是上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是A．是偶函数B．是奇函数C．是偶函数D．是奇函数【答案】A【解析】由设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，我们易得到|f（x）|、|g（x）|也为偶函数，进而根据奇+奇=奇，偶+偶=偶，逐一对四个结论进行判断，即可得到答案．∵函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则|g（x）|也为偶函数，则f（x）+|g（x）|是偶函数，故A满足条件；f（x）-|g（x）|是偶函数，故B不满足条件；|f（x）|也为偶函数，则|f（x）|+g（x）与|f（x）|-g（x）的奇偶性均不能确定故选A【考点】函数奇偶性的判断2.若定义在上的奇函数和偶函数满足，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】为奇函数和为偶函数，由可得，即，，可解得.故选A.【考点】函数的奇偶性.3.已知f(x)是定义在(-3,3)上的奇函数，当0＜x＜3时，如图所示，那么不等式f(x)cosx＜0的解集是( ).A．B．C．D．【解析】图1图2如图1为f(x)在（-3，3）的图象，图2为y=cosx图象，要求得的解集，只需转化为在寻找满足如下两个关系的区间即可：，结合图象易知当时，，当时，，当时，，故选B.【考点】奇函数的性质，余弦函数的图象，数形结合思想.4.已知函数为偶函数，且若函数，则= ．【答案】2014【解析】由函数为偶函数，且得从而，故应填入2014．【考点】函数的奇偶性．5.若函数在其定义域上为奇函数，则实数 .【答案】【解析】小题可采用带特殊值法求得，检验此时在处有定义.【考点】奇函数定义及特殊值法.6.函数的图像大致是（）【答案】A【解析】因为的定义域为且，所以为上的偶函数，该函数的图像关于轴对称，只能是图像A、C选项之一，而，故选A.【考点】1.函数的图像；2.函数的奇偶性.7.已知，，则_ ____．【答案】5【解析】函数，，又为奇函数，所以.【考点】函数奇偶性.8.已知是奇函数，且，则．【解析】令，因为此函数是奇函数，所以。
幂函数的典型例题
∴a
的取值范围是
，，，
1U
1
2 3
U
4
.
解法 2：画出 y x2 的图象，认真观察图象，可得:越接近 y 轴，y 值越大，即
小，y 值越大，
a 1 0
∴ 要使 a 1 2 3 2a2 ，
即 3 2a 0
，
解得:
总以结上升两华种：方法都是运用函数的单调性，但显然第| a二种1方||法3 更 2好a.|而这种方法的应
f (x) 是 R 上的奇函数．
（3）Q
1
0 ，且 m2 m 1 是正奇数，
m2 m 1
函数 f (x) 在 (∞，∞ ) 上单调递增．
3
4
5
，
2
又∵函数图象过(0，0)和(1，1)点，∴m2-2m-3>0，得 m>3 或 m<-1，
|x|越
，，，
1
U
用， 要途
2
5 5
5 5
∴ m=
(舍去) 即:m=
.
2
2
类型四、讨论函数性质
1
(x 2) 2
例 5.求函数 y=
的定义域.
2
(3 x) 3
x2
解:原函数可化为 y=
3 (3 x)2
x 3
2 x
0 0
∴x
[-2，3)∪(3，+∞).
总结升华：正确判断函数的定义域是完成函数的图象，讨论函数的性质的前提，必须加以重视.
例
6.讨论函数
y
(x2
2x
3)
高一数学幂函数试题答案及解析
高一数学幂函数试题答案及解析1.若函数是幂函数，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，得，解得．【考点】幂函数的解析式．2.计算等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】。
故选B。
【考点】指数幂的运算点评：本题运用指数幂的运算公式：，。
3.已知幂函数的图象过点 .【答案】3【解析】幂函数形式为，其过点，则，求得，。
【考点】幂函数点评：幂函数的形式是。
本题需先确定幂函数的解析式。
4.当时，幂函数为减函数，则实数( )A．m＝2B．m＝－1C．m＝2或m＝－1D．【答案】A【解析】因为，当时，幂函数为减函数，所以或，解得，m＝2，故选B。
【考点】本题主要考查幂函数的概念及其性质。
点评：简单题，注意形如为常数）的函数是幂函数。
5.（本小题12分）已知函数是幂函数且在上为减函数，函数在区间上的最大值为2，试求实数的值。
【答案】【解析】解：因为函数是幂函数且在上为减函数，所以有，解得，——————————5’①当是的单调递减区间，————————7’②当，解得——————————9’③，解得————————11’综合①②③可知————————12’【考点】幂函数与二次函数点评：解决的关键是对于常见的基本初等函数性质的熟练运用，属于基础题。
6.已知幂函数在增函数，则的取值范围 .【答案】(0,10)【解析】根据已知表达式可知，幂函数在增函数，首先分析对数式y=lga中真数大于零，即a>0，同时要满足在增函数，说明了幂指数为正数，即1-lga>0，得到lga<1=lg10,a<10,这样结合a>0，可知实数a的取值范围是(0,10)。
【考点】本试题主要是考查了幂函数的单调性与幂指数的正负之间的关系的应用，属于基础题。
点评：解决该试题关键是理解幂函数在y轴右侧的单调性是增，说明了幂指数为正，如果在y轴右侧为减，说明幂指数为负数。
同时对数真数大于零是易忽略点。
7.幂函数的图象过点(2, ), 则它的单调递增区间是（）A．(－∞, 0)B．[0, ＋∞）C．(0, ＋∞)D．(－∞, ＋∞)【答案】A【解析】因为幂函数过点(2, ),所以=，即。
幂函数的增减性和奇偶性
幂函数的增减性和奇偶性幂函数是高中数学中常见的函数类型，它具有一定的性质和规律。
其中，增减性和奇偶性是幂函数的两个重要特征。
本文将详细介绍幂函数的增减性和奇偶性，并分析其应用和意义。
一、幂函数的增减性幂函数的一般形式为：f(x) = ax^k，其中a≠0，k是实数。
根据系数a和指数k的不同取值，幂函数可以具有不同的增减性。
1. 当a>0且k>0时，幂函数f(x) = ax^k在定义域上单调递增。
即随着自变量x的增大，函数值f(x)也随之增大。
例如，当a=2，k=2时，f(x) = 2x^2就是一个典型的上升的二次函数。
2. 当a<0且k>0时，幂函数f(x) = ax^k在定义域上单调递减。
即随着自变量x的增大，函数值f(x)反而减小。
例如，当a=-3，k=3时，f(x) = -3x^3就是一个典型的下降的三次函数。
3. 当k<0时，幂函数f(x) = ax^k在定义域上并不具有单调性。
而是随着自变量x的取值增大或减小而出现正负交替的变化。
例如，当a=4，k=-2时，f(x) = 4/x^2就是一个典型的具有正负交替的双曲线函数。
总结起来，幂函数的增减性取决于系数a和指数k的正负以及奇偶性。
当a>0且k为偶数时，函数单调递增；当a>0且k为奇数时，函数单调递减；当a<0且k为奇数时，函数单调递增；当a<0且k为偶数时，函数单调递减。
二、幂函数的奇偶性幂函数的奇偶性可以通过考察指数k的奇偶性来判断。
1. 当k为偶数时，幂函数f(x) = ax^k是一个偶函数。
即对于任意实数x，都有f(-x) = f(x)。
例如，f(x) = x^4是一个关于y轴对称的四次函数，无论x取正值还是负值，函数值都相同。
2. 当k为奇数时，幂函数f(x) = ax^k是一个奇函数。
即对于任意实数x，都有f(-x) = -f(x)。
例如，f(x) = x^3是一个关于原点对称的三次函数，当x取正值和负值时，函数值的相反数。
高一数学函数的奇偶性试题答案及解析
高一数学函数的奇偶性试题答案及解析1.已知是定义在上的奇函数，当时，则当时___________.【答案】【解析】设，则，又是定义在上的奇函数，则，故填.【考点】函数的奇偶性.2.设是定义在R上的奇函数，且的图象关于直线对称，则=________【解析】因为是定义在R上的奇函数，所以f(-x)=-f(x).又因为的图象关于直线对称.所以f(x)=f(1-x).所以由上两式可得f(1-x)=-f(-x)即f(-x)="-" f(1-x)=f(2-x).所以函数是一个周期为2的函数.所以.又因为函数是R上的奇函数所以，.所以填0.【考点】1.函数的周期性.2.函数的对称性.3.函数的奇偶性.3.已知偶函数满足，且当时，，则．【答案】2【解析】由知此函数周期 4，因为为偶函数，所以【考点】函数奇偶性周期性4.已知函数，下列叙述（1）是奇函数；（2）是奇函数；（3）的解为（4）的解为；其中正确的是________（填序号）．【答案】（1）（3）【解析】这类问题，必须对每个命题都判断其真假，根据的解析式，显然对任意的都有，即是奇函数，（1）正确；当然此时函数是偶函数，（2）错误；对（3）按照分类讨论，可解得不等式的解是，（3）正确；而对不等式来讲，时，不等式就不成立，故（4）错误．填（1）（3）．【考点】分段函数，函数的奇偶性，分类讨论.5.已知是定义在上的偶函数，那么=【答案】【解析】是定义在上的偶函数，因为偶函数定义域关于原点对称，，又由偶函数关于轴对称得：，所以【考点】偶函数的性质应用6.已知函数是定义在上的偶函数.当时，，则当时，.【答案】【解析】把转化为，利用偶函数的定义即可得所求.试题解析：时，.所以，.因为是是定义在上的偶函数，所以.【考点】偶函数，转化与化归思想7.定义在上的奇函数,当时,,则方程的所有解之和为．【答案】【解析】利用奇函数的图象关于原点对称的性质，通过观察图象可知方程的解是及的解的相反数.试题解析：作出时的图象，如下所示：方程的解等价于的图象与直线的交点的横坐标，因为奇函数的图象关于原点对称，所以等价于（）的图象与直线的交点的横坐标和（）的图象与直线的交点的横坐标的相反数，.由得.所以方程的所有解之和为.【考点】奇函数，方程与函数思想8.函数f(x)＝x5＋x3的图象关于()对称()．A．y轴B．直线y＝x C．坐标原点D．直线y＝－x【答案】C【解析】∵,∴函数是奇函数，它的图象关于原点对称.图象关于y轴对称的函数是偶函数。
6、幂函数与函数的奇偶性
简单的幂函数与函数的奇偶性一、简单的幂函数1．幂函数的定义如果一个函数，是自变量x，是常量α，即y＝xα，这样的函数称为幂函数．2．简单的幂函数的图像和性质函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x－1在同一平面直角坐标系中的图像如图所示：从图中可以观察得到：例1.下列函数中是幂函数的是()①y＝1x3；②y＝axm(a，m为非零常数，且a≠1)；③y＝＋x4；④y＝x n；⑤y＝(x－6)3；⑥y＝8x2；⑦y＝x2＋x；⑧y＝1.A．①②③⑧B．①④C．③④⑤⑥D．②④⑦例2.函数f(x)＝(m2－m－1)是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增加的，求f(x)的解析式．【名师指津】1．形如y ＝x a 的函数叫幂函数，它有两个特点：(1)系数为1；(2)指数为常数，底数为自变量x .2．求幂函数的解析式常利用幂函数的图像特征或性质确定指数的特征值．例3.点(2，2)与点⎝⎛⎭⎫－2，－12分别在幂函数f (x )，g (x )的图像上，当x 为何值时，有①f (x )＞g (x )；②f (x )＝g (x )；③f (x )＜g (x )?变式练习1．已知幂函数f (x )＝x α的图像经过点A ⎝⎛⎭⎫12，2.(1)求实数α的值；(2)用定义证明f (x )在区间(0，＋∞)内的单调性．二、函数的奇偶性1、一般地，函数图像关于原点对称函数叫做 ，有 ；反之，若满足 的函数y=f(x)一定是奇函数。
2、函数图像关于y 轴对称函数叫做 ，有 ；反之，若满足 的函数y=f(x)一定是偶函数。
3、奇偶性当一个函数是奇函数或偶函数时，称该函数具有 ．例4.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)奇函数的图像一定过原点．( )(2)定义在R 上的函数f (x )，若存在x 0，使f (－x 0)＝f (x 0)，则函数f (x )为偶函数．( )(3)函数y ＝x 2，x ∈(－1,1]是偶函数．( )例5. 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝13x 5； (2)f (x )＝3x 2；(3)f (x )＝x 2－4＋4－x 2；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x －3，x ＞0，x 2＋2x ＋3，x ＜0.例6．已知f （x ）是定义域为R 的奇函数，当x ＞0时，f （x ）=x （x ﹣2），求f （x ）的解析式．【名师指津】判断函数奇偶性的方法变式练习1．函数f (x )＝x 2(x ＜0)的奇偶性为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数2.函数f (x )＝x 2＋x ( )A ．是奇函数B ．是偶函数C ．是非奇非偶函数D ．即是奇函数又是偶函数三、函数单调性与奇偶性的综合应用（一）比较大小例1、已知函数f （x ）是偶函数，且在区间[0，1]上是增函数，则)0(),1(),5.0(f f f --的大小关系是__________.（二）解不等式例2、定义在（－2，2）上的函数f （x ）是奇函数，并且在（－2，2）上是增函数，求满足条件0)21()2(>-++m f m f 的实数m 的取值范围。
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一、幂函数的定义
例1、已知函数是幂函数，求m的值。
分析：由幂函数的定义可知，只有形如的函数才是幂函数，故本题前的系数且，由此可解。
解：令及，可解得：m=2。
例2、当时，幂函数是减函数，则实数m的值为。
解答：依题意，。
又因为函数在时为减函数，故，故m=-1应舍去，从而m=2。
二、判断函数的奇偶性
一般地，判断函数的奇偶性首先应确认函数的定义域关于原点对称，然后再根据f（x）和f（-x）的关系进行判断，若相等，则为偶函数；若相反，则为奇函数。
也可以根据图像的对称性来判断：若图像关于原点对称，则为奇函数；若图像关于y轴对称，则为偶函数。
例3、判断函数的奇偶性。
解答：因为函数的定义域是{x|x≠1}，关于原点不对称，所以该函数为非奇非偶函数。
若将此函数先化简得到f（x）= - x，则极易得到该函数是奇函数这样一个错误的结论；另外，本题最后的结论是该函数是非奇非偶函数，不可以说成“不具有奇偶性”。
例4、判断函数的奇偶性。
解答：
分段函数的奇偶性的判断是一个难点，要注意分段进行判断，并要注意是将f（-x）和哪个区间上的f（x）进行比较。
三、复合函数的奇偶性
复合函数y=f[g（x）]的奇偶性可以这样判断：当内外函数均为奇函数时，复合函数是奇函数；当内外函数中有一个是偶函数，而另一个函数无论是奇函数或偶函数，复合函数均为偶函数。
例5、判断函数的奇偶性。
解答：设，则g（x）是偶函数；又因为可视为
的复合函数，故为偶函数。
四、利用函数的奇偶性解题
例6、已知函数是奇函数，当x>0时，；求当x<0时
的解析式。
解答：
例7、试探究是否存在实数，使得函数是奇函数？若存在，求出实数，并证明函数是奇函数；若不存在，请说明理由。
解答：函数的定义域是（-1，1），若函数是奇函数，必有f（0）=0，解
得，易证这是一个奇函数。
若奇函数在x=0时有意义，则必有f（0）=0。
五、幂函数的图像
例8、函数的图像是（）
解答：由是偶函数，排除B、C；又当0<x<1时，>x，故选D。
六、比较大小
例9、比较下列两式的大小
•；‚；ƒ
解答：•画出的图像，由于函数当x>0时是一个增函数，故；
‚在同一坐标系中画出的图像，
故有；
ƒ由于，故有：。
比较这类式子的大小时，往往要充分利用幂函数的单调性以及在同一坐标系中不同指数的幂函数的图像的相互位置关系进行判断。
七、解不等式
例10、解不等式。
解答：由于是一个增函数，故由知：
，故：
不等式的解集为。
例11. 解不等式。
解答：由于是一个减函数，故有，从而该不等式的解集为。