人教A版高中数学必修5《一章解三角形 1.2 应用举例》优质课教案_7

合集下载

人教A版高中数学必修5《一章解三角形 1.2 应用举例 1.2 应用举例(通用)》优质课教案_11

《正余弦定理的应用(一)——距离测量问题》教学设计摘要：文章以人教A版高中数学教科书必修五为出发点，结合课程标准，通过对三维目标的设置和学生学情及教学重难点的分析，采用了小组讨论法、引导探究法、讲练结合法，按照复习回顾、讲授新课、随堂练习、小结、作业、教后反思等六个环节，就正余弦定理在距离测量问题方面的应用做了比较全面的教学设计，最后总结出解应用题的基本思路.设计在复习回顾部分特别加入了回顾小测，在例题讲解过程进行了点评和引申，在练习部分链接了相关的高考试题，这是该设计的三处亮点，旨在激发学生的学习热情和探究精神，也为高中数学一线教师的备课方式提供了一种案例参考.关键词：数学模型；正余弦定理；距离测量教学目标：知识目标：能够运用正弦定理和余弦定理等解三角形知识，解决不可到达点的距离测量问题.能力目标：能够将实际问题，尤其是距离测量问题转化成解三角形的问题进行解决.情感目标：（1）通过本节课所学知识解决一些生活中的实际问题，让学生体会数学的实用性；（2）通过小组讨论活动，培养学生的团队协作意识.学情分析：正余弦定理是高中数学中很重要的内容之一，在学生已经具备一些数学基本功的基础上，以正余弦定理本身为出发点，以其在实际生活中的应用为主线系统学习和掌握正余弦定理在诸如距离测量等的实际问题中的应用. 数学建模的过程是一个长期学习的过程，学生对数学必修内容的学习即将结束的时候，数学建模意识已经建立起来并达到成熟，教科书在必修5安排正余弦定理的应用是恰到好处，对教师的教和学都是有积极意义的.教学重点：分析测量问题的实际背景，从而找到测量距离的方法. 教学难点：从实际问题中抽象出正确的数学模型，同时做到操作的可行性.教学方法：小组讨论法、引导探究法、讲练结合法教学过程：一、复习回顾1、正弦定理注：正弦定理可以解决以下的解三角形问题：（1）已知三角形的任意两边和其中一边的对角；（2）已知三角形的任意两角和一边.2、余弦定理注：余弦定理可以解决以下的解三角形问题：（1）已知三角形的三边；（2）已知三角形的任意两边和一角. R Cc B b A a 2sin sin sin ===　Cab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222-+=-+=-+=3、回顾小测（1）在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin +=，则ABC ∆的形状是______三角形.（2）在ABC ∆中，已知2a =，则cos cos b C c B +等于______.二、讲授新课一些实际问题：1、如何测量地球和月亮之间的距离；2、怎样在航行途中测出海上两个岛屿之间的距离；3、怎样测量不可到达的两点之间的距离.这将是我们今天要解决的问题.例1、设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离.测量者在A 的同测，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离是55m ， 51=∠BAC ， 75=∠ACB ，求A 、B 两点间的距离（精确到0.1m ）.分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形.解：根据正弦定理，得B AC C AB sin sin ＝)(7.6554sin 75sin 55)7551180sin(75sin 55sin sin 55sin sin 000000m ABCACB ABC ACB AC AB ≈=--=∠∠=∠∠=答：A 、B 两点间的距离为65.7m .点评：1、AC 是根据测量的需要适当确定的线段，称其为基线.2、这是测量不能直接度量的两点的一种方案，可引申如下：测量两点都不能到达的两点间距离，如下例.例2、A 、B 两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量两点间的距离的方法.分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一点C 到对岸两点的距离，再测出BCA ∠的大小，借助于余弦定理可以计算出A 、B 两点间的距离.解：测量者可以在河岸边选定两点C 、D ，测得CD a =，并且在C 、D 两点分别测得α=∠BCA ,β=∠ACD ,γ=∠CDB ，δ=∠BDA . 在BDC ADC ∆∆和中，应用正弦定理得：[])sin()sin()(180sin )sin(δγβδγδγβδγ+++=++-+=a a AC计算出AC 和BC 后，再在ABC ∆中，应用余弦定理计算出AB 两点间的距离请同学们想一想，还有没有别的测量方法？三、随堂练习练习1、为了测量河宽，在岸的一边选定两点B A 、，望对岸的标记物C ，测得 45=∠CAB ， 75=∠CBA ，120=AB 米，则河宽为米.练习2、（2009年宁夏高考）为了测量两山顶M 、N 间的距离，飞机沿水平方向在A 、B 两点进行测量，A 、B 、M 、N 在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A 、B 间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M 、N 间的距离的步骤.四、小结解应用题的基本思路：[])sin(sin )(180sin sin γβαγγβαγ++=++-=a a BC αcos 222BC AC BC AC AB ⨯-+=五、作业P习题1.2A组1、2.19六、教后反思本节课是继正弦定理和余弦定理之后的应用型的章节，是基于正余弦定理基础之上的知识应用层次，正余弦定理的应用是高中重要且实用的章节，是知识层次的最高要求.能将实际问题转化为解三角形的问题，通过解三角形来求解实际问题是本节课的重点，也是知识能力的最高要求，通过学情分析，结合教材难易程度设计了本课，通过教学过程可以发现，学生对知识的应用已经上了一个台阶，需要在练习的过程中再加要求.基于以上分析，以后备课授课的过程中教师应该注意以下几点：首先，将课前测试科学合理的重视起来，做到新课前的小测巩固.这比单独的知识点的复习回顾效果明显，而且学生也有挑战感，让他们觉得自己是“跳起来吃到了桃子”，学生有成就感，教师也觉得开场有了激情，有了新课开演的前奏.其次，例题的教学分层次展开是本节课的一大亮点，这样做既降低了例题本身的难度，使得学生一节课后有一种自我整理为精华的感觉，更重要的是让学生在探究的过程中学会了化归思想，学会了如何将同类问题划归为基本问题.再次，课前准备这一环节也是必不可少的，比如本节课中要用到的距离测量的钢卷尺或者皮尺，角度测量的测角仪等，有的学生平时很少接触，可能不是很熟悉，这样的图片给学生做一课前演示准备是很有必要的，这样做无疑会让学生对新解决的问题产生“熟悉感”，会对新课的讲授起到一定的辅助作用.最后，练习的设计符合递进式原则，从易到难，也符合学生的认知规律，学生从做练习的过程中既能体会到成就感，也能感受到挑战性.在练习中加入一定难度的高考题链接，是遵循了新课改的基本理念的，以能力为基本要求，以知识点为基本依托，做到知识和考题的前呼后应.参考文献：[1] 张奠宙，宋乃庆.数学教育概论[M].北京:高等教育出版社,2004.10.[2] 傅佳.实施数学课堂教学有效性之我见[J]. 教育观察,2012, (06):71-72.[3] 张春莉，王小明.数学学习与教学设计[M].上海：上海教育出版社，2004.[4] 课程教材研究所.数学必修5[M].北京:人民教育出版社,2012.5.[5] 任志鸿.志鸿优化十年高考分类解析与应试策略（数学）[M] .海南:南方出版社,2013.1.。

人教A版高中数学必修5精选优课教案 1.2应用举例

正余弦定理及其应用的教案教学目标（一）知识与能力目标1．通过对正余弦定理的应用，加深对正余弦定理的理解．会用正余弦定理解三角形．(1)已知两角和任一边，求其它两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角及其它的边和角．（3）已知三边，用余弦定理，必有唯一解；（4）已知两边及其中一边的对角，（不妨设为a,b,A）解法有两种：2．理解掌握已知两边和其中一边的对角解三角形时，有一解或两解或无解三种情况，并会判断哪些条件使解三角形时出现一解、两解、无解．（二）过程与方法目标通过对正余弦定理及其变形式的应用，达到边角互化的目的，在题型中的操练，达到熟练掌握的同时，并掌握一定的解题技巧和方法。

（三）情感态度与价值观感受正余弦定理与其他知识间的紧密联系，体会万事万物间也存在着千丝万缕的关系。

教学重点和难点重点：1、正余弦定理的应用，用正余弦定理解三角形，特别是在已知两边和其中一边的对角解三角形时，解的情况2、利用正余弦定理实现边角互化，体现正余弦定理搭建边角互化的桥梁，是解三角形有利的两大工具。

难点：在具体的题型中真正体现正余弦定理作为桥梁的作用，并能挖掘出题目中的隐含条件，达到求解的目的。

教学设计：由复习引入到本节主要三个环节，分环节进行，典例剖析，讲练结合，层层递进，环环相扣。

教学过程设计一、复习正余弦定理1、正弦定理：正弦定理精确地表达了三角形中各边和它所对角的正弦成正比．a ＝2RsinA ，b ＝2RsinB ，c ＝2RsinC ．2、余弦定理：二、教师指导学生完成，教师最后总结．正余弦定理精确地表达了三角形中的边与角之间的关系，我们就可利用它根据三角形中的已知元素去求出未知元素． )(2sin sin sin 外接圆的半径表示ABC R R C c B b A a ∆===，2bca cb cosA 222-+=，2cab ac cosB 222-+=。

2abc b a cosC 222-+=2R sinC c 2R，sinB b 2R，sinA a ===2Rc ，sinC 2R b ，sinB 2R a sinA ===（一）解三角形二、合理使用正、余弦定理，使角边互相转化例3：在 ABC 中，已知acosA=bcosB ，判断三角形的形状。

高中数学教案】人教A版必修5第一章1.2《解三角形应用举例》教案

《解三角形应用举例》教案一、教学目标1.知识与技能能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题.2.过程与方法（1）通过解决“底部不可到达的物体高度测量”的问题，初步掌握将实际问题转化为解斜三角形的问题的方法.（2）进一步提高利用正弦定理、余弦定理解斜三角形的能力，提高运用数学知识解决实际问题的能力.3.情感、态度与价值观进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力二、教学重点和难点教学重点：结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题.教学难点：能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件.教学关键：将实际问题中的高度问题转化为数学问题.教学突破方法：通过分析实践、自主探究、合作交流等一系列的寻求问题解决方法的活动，讨论解决方法，步步改进方法，探求最佳方法.三、教法与学法导航教学方法：本节课是解三角形应用举例的延伸.采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架.通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法.教学形式要坚持“引导——讨论——归纳”，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯.作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间.学习方法：学生通过数学建模，自主探究、合作交流，在实践中体验过程，在过程中感受应用，在交流中升华.四、教学过程1.创设情境，导入新课提问：现实生活中，人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题.2.主题探究，合作交流例1 如图1，AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法.图1分析：求AB 长的关键是先求AE ，在△ACE 中，如能求出点C 到建筑物顶部A 的距离CA ，再测出由点C 观察A 的仰角，就可以计算出AE 的长.解：选择一条水平基线HG ，使H 、G 、B 三点在同一条直线上.在H 、G 两点用测角仪器测得A 的仰角分别是α、β，CD =a ，测角仪器的高是h ，那么，在△ACD 中，根据正弦定理可得： )sin(sin βαβ-=a AC ， h a h AC h AE AB +-=+=+=)sin(sin sin sin βαβαα. 例 2 如图2，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角0454'︒=α，在塔底C 处测得A 处的俯角150'︒=β.已知铁塔BC 部分的高为27.3 m ，求出山高CD （精确到1m ）.图2教师：根据已知条件，大家能设计出解题方案吗（给时间给学生讨论思考）？若在△ABD 中求CD ，则关键需要求出哪条边呢？学生：需求出BD 边.教师：那如何求BD 边呢？学生：可首先求出AB 边，再根据∠BAD=α求得.解:在△ABC 中，∠BCA =90°+β，∠ABC =90°-α，∠BAC =αβ-，∠BAD =α.根据正弦定理， )sin(βα-BC =)90sin(β+︒AB.所以 AB =)sin()90sin(βαβ-+︒BC =)sin(cos βαβ-BC .在Rt △ABD 中，得：BD =AB sin ∠BAD =)sin(sin cos βααβ-BC .将测量数据代入上式，得：BD =)1500454sin(0454sin 150cos 3.27'-'''︒︒︒︒ =934sin 0454sin 150cos 3.27'''︒︒︒≈177.4（m ）.CD =BD -BC ≈177-27.3=150（m ）.学生：山的高度约为150 m.教师：有没有别的解法呢？学生：若在.△ACD 中求CD ，可先求出AC .教师：分析得很好，请大家接着思考如何求出AC ？学生：同理，在△ABC 中，根据正弦定理求得.（解题过程略）例3 如图3，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A 处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南15°的方向上，行驶5km 后到达B 处，测得此山顶在东偏南25°的方向上，仰角为8°，求此山的高度CD （精确到1m ）.图3教师：欲求出CD ，大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢？学生：在△BCD 中教师：在△BCD 中，已知BD 或BC 都可求出CD ，根据条件，易计算出哪条边的长？学生：BC 边解:在△ABC 中， ∠A =15°，∠C = 25°-15°=10°，根据正弦定理，A BC sin =CAB sin ， BC =C A AB sin sin =︒︒10sin 15sin 5≈7.452 4（km ）. tan tan81047(m)CD BC DBC BC =⨯∠≈⨯︒≈答：山的高度约为1047m.教材第15页练习第1、2、3题.3.小结利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化.4.课外作业（1）教材第19、20页习题1.2 A 组第6，7，8题（2）为测某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20m 的楼的楼顶处测得塔顶A 的仰角为30︒，测得塔基B 的俯角为45°，则塔AB 的高度为多少m ？答案：20+3320m。

高中数学第一章解三角形全套教案新人教A版必修5

高中数学：新人教A 版必修5全套教案第一章解三角形课题: 1．1．1正弦定理●教学目标知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。

情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

●教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。

●教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

●教学过程 Ⅰ.课题导入如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。

A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。

能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.讲授新课[探索研究] (图1．1-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。

如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1cC c==, A则sin sin sin abcc ABC=== b c 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin abcABC==C a B(图1．1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin abAB=， C同理可得sin sin cbC B =， b a从而sin sin a b A B=sin cC=A cB (图1．1-3)思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

新人教A版必修5高中数学学案教案：《1.2 应用举例(二)》

数学必修五《1.2 应用举例（二）》教案教学要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题.教学重点：结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题.教学难点：能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件.教学过程：一、复习准备：1. 讨论：测量建筑物的高度？怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？2. 讨论：怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？二、讲授新课：1. 教学高度的测量：① 出示例1：AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法.分析：测量方法→ 计算方法师生一起用符号表示计算过程与结论.AC =sin sin()a βαβ-，AB = AE +h =AC sin α+h =sin sin sin()a αβαβ-+h . ② 练习：如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角α=5440︒'，在塔底C 处测得A 处的俯角β=501︒'. 已知铁塔BC 部分的高为27.3 m ,求出山高CD (精确到1 m ) ③ 出示例2：如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A 处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南15︒的方向上,行驶5km 后到达B 处,测得此山顶在东偏南25︒的方向上,仰角为8︒,求此山的高度CD .分析：已知条件和问题分别在哪几个三角形中？分别选用什么定理来依次解各三角形？ → 师生共同解答.解答:在∆ABC 中, ∠A =15︒,∠C = 25︒-15︒=10︒,根据正弦定理,sin BC A = sin AB C , BC =sin sin AB A C=5sin15sin10︒︒≈7.4524(km )，CD =BC ⨯tan ∠DBC ≈BC ⨯tan8︒≈1047(m ). 2. 练习：某人在山顶观察到地面上有相距2500米的A 、B 两个目标，测得目标A 在南偏西57°，俯角是60°，测得目标B 在南偏东78°，俯角是45°，试求山高.解法：画图分析，标出各三角形的有关数据，再用定理求解. 关键：角度的概念3. 小结：审题；基本概念（方位角、俯角与仰角）；选择适合定理解三角形；三种高度测量模型（结合图示分析）.三、巩固练习：1. 为测某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20m 的楼的楼顶处测得塔顶A 的仰角为30︒，测得塔基B 的俯角为45︒，则塔AB 的高度为多少m ？答案：20+2033(m ) 2. 在平地上有A 、B 两点，A 在山的正东，B 在山的东南，且在A 的南25°西300米的地方，在A 侧山顶的仰角是30°，求山高. （答案：230米）3. 作业：P17 练习1、3题.。

人教A版高中数学必修5《一章解三角形 1.2 应用举例 1.2 应用举例(通用)》优质课教案_14

1.2 解三角形应用举例（高度测量问题）（人教A版高中课标教材数学必修5）教学设计一、教学内容解析：本节课的内容是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修5第一章《解三角形》1.2《应用举例》的第一课时，测量一点或两点不可到达的距离问题. 力于让学生学习应用正弦定理和余弦定理解决有关测量距离的问题，初步了解从实际背景中抽象数学模型，将“不可测”问题转化为“可以算”的问题，从而解决实际问题的研究方法.解三角形知识本身是从人类长期的生产和生活实践中产生和发展起来的，在实际问题中有着广泛的应用，如测量、航海等都要用到这方面的知识，本节内容具有显著的实践性，通过从实际背景中提出问题、分析问题、建构数学模型、应用数学知识计算，进而解决问题，使学生进一步巩固所学的知识，提高学生分析和解决实际问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达和交流的能力，增强学生应用数学的意识,培养学生的数学建模能力.本节课的教学重点：1.通过对实际问题的解决，体会解三角形在生活中的广泛应用；2.通过对设计方案的分析，理解建构三角形模型的一般方法；3.结合用测量工具收集的数据，巩固应用正弦定理和余弦定理解三角形问题.二、教学目标解析：（一）教学目标：1.体会从实际情境中发现问题——设计方案建构数学模型——运用正弦定理、余弦定理等知识进行计算求解——检验的数学建模过程，培养学生的数学建模素养；2.归纳建构三角形模型的一般方法，解决有关一点或两点不可到达的测量问题；3.在试验报告中测量角度、距离等，收集数据，进行解三角形运算，使学生掌握正弦定理和余弦定理的应用；4.通过小组交流汇报的形式展示数学建模过程，让学生体会数学建模思想，培养学生的数学表达能力；5.创设问题情境、组织讨论交流提高学生参与学习的热情，通过小组合作学习方式，培养学生的合作意识和合作学习的能力，发展学生的创新意识和实践能力. （二）目标解析：1.高中数学学科素养包含数学抽象、逻辑推理、几何直观、数学运算、数据分析和数学建模六个方面，本节课重点培养学生的数学建模素养．数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程.本节课从实际背景出发，让学生亲自经历提出问题、建构模型、应用数学知识运算得到数学结果，反复检验得到符合实际的结果这样一个数学建模过程，培养学生数学建模素养；2.本节的例题是有关有关一点或两点不可到达的距离问题．由于不可到达，常常需要建构多个三角形，转化为一个或两个可到达的点所构成的三角形．本节课主要是研究解斜三角形在测量中的应用，关于测量问题，一是要数学测量工具皮尺、经纬的使用与限制，二是要会选点构建三角形模型，在几个三角形中找出已知与未知之间的关系，逐步逐层转化，最终归结为解三角形的问题；3.用数学是学数学的出发点和归宿，通过设计操作实验，让学生体验数学在解决问题中的应用价值；4.将探究问题与解三角形运算相结合，引导学生既要关注实际背景，又要重视基础落实，同时创造更多的实践机会在“做数学”中落实基础；5.通过小组合作的方式完成测量任务，在课上以小组汇报的形式展示实验报告，以小组为单位进行讨论交流，培养学生合作学习的能力.三、学情分析：1.学生学习背景：我校属于区属市重点学校，学生知识基础较好，学校有丰富的社团活动，学生有小组活动经验，具有一定的动手能力和表达能力.2.学生知识储备：学生在初中已经学习过解直角三角形，能够通过建立直角三角形模型解决实际问题中的长度和角度的测量，在必修一中学生已经学习过数学建模的知识，了解建模的基本过程.在本章第一节学生学习了正弦定理和余弦定理，这些知识都将为本节课的学习奠定基础，在此基础上进一步向探究构建多个三角形的问题自然过渡.教学难点：从实际问题出发，在有限的工具下自行设计方案解决问题四、教学策略分析：本节课以数学实验为抓手，以问题探究为载体，为学生提供动手操做、动脑思考和主动交流的机会，引导学生积极思考、合作探究，体现“重过程、重情感、重生活”的理念.教学中在学生体验测量过程的基础上，通过学生动手实践、动手画图等方法探究数学知识获取直接经验，进而培养学生学会数学地思考问题的能力，增进应用意识和问题意识.利用学生感兴趣的数学文化知识和生活中的问题，实现情感、态度、价值观目标.通过小组交流，互相取长补短，提高合作意识.五、教学过程：引入：古有嫦娥奔月，那嫦娥“奔”了多远？古人没有去探究。

高中数学第一章解三角形 1.2 解三角形的实际应用举例—高度、角度问题教学设计新人教A版必修5

高中数学第一章解三角形1.2 解三角形的实际应用举例—高度、角度问题教学设计新人教A版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章解三角形1.2 解三角形的实际应用举例—高度、角度问题教学设计新人教A版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第一章解三角形1.2 解三角形的实际应用举例—高度、角度问题教学设计新人教A版必修5的全部内容。

《解三角形的实际应用举例—高度、角度问题》一、教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量高度、角度问题等实际问题，了解常用的测量相关术语过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。

其次结合学生的实际情况,采用“提出问题——引发思考——探索猜想—-总结规律-—反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题,设计变式，帮助学生掌握解法,能够类比解决实际问题。

情感态度与价值观:激发学生学习数学的兴趣，并体会数学的应用价值;同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力二、教学重点：实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形,得到实际问题的解教学难点：根据题意建立数学模型，画出示意图三、教学过程一、课题导入提问：现实生活中，人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题二、讲授新课［范例讲解］例1、AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法。

新课标人教A版必修5教案(全)

数学必修5 第一章解三角形章节总体设计（一）课标要求本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。

通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。

（二）编写意图与特色1．数学思想方法的重要性数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。

本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。

本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。

在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。

教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。

”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。

2．注意加强前后知识的联系加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。

本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。

高中数学第一章解三角形 1.2 解三角形应用举例教学

解三角形应用举例教学目标一、知识与技能1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语，如:坡度、俯角、方向角、方位角等2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题3、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题4、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题5、掌握三角形的面积公式的简单推导和应用二、教学重点1、分析测量问题的实际情景，从而找到测量距离的方法；2结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题；3、能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系；4、推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目.三、教学难点1、实际问题向数学问题转化思路的确定，即根据题意建立数学模型，画出示意图；2、能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件；3、灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题；4、利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题.四、教学过程解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确作出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解.［例题剖析］【例1】如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55 m，∠BAC=51°，∠ACB=75°．求A、B两点的距离.(精确到0.1 m)解：根据正弦定理，得ABCACACB AB ∠=∠sin sin ， ︒︒=︒-︒-︒︒=∠∠=∠∠=54sin 75sin 55)7551180sin(75sin 55sin sin 55sin sin ABC ACB ABC ACB AC AB ≈65.7(m).答:A 、B 两点间的距离为65.7米.【例2】如下图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄CB 绕C 点旋转时，通过连杆AB 的传递，活塞做直线往复运动，当曲柄在CB 0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A 在A 0处，设连杆AB 长为340 mm ，曲柄CB 长为85 mm ，曲柄自CB 0按顺时针方向旋转80°，求活塞移动的距离（即连杆的端点A 移动的距离A 0A ）.（精确到1 mm ）解：（如图）在△ABC 中，由正弦定理可得34080sin 85sin sin ︒⨯==AB C BC A ≈0.246 2. 因为BC ＜AB ，所以A 为锐角.∴A =14°15′，∴ B ＝180°-（A ＋C ）＝85°45′. 又由正弦定理，9848.05485sin 340sin sin '︒⨯==C B AB AC ≈344.3(m m ). ∴A 0A =A 0C –AC =(AB +BC )-AC =(340+85)-344.3=80.7≈81(mm). 答：活塞移动的距离为81 mm ．【例3】AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法．解：选择一条水平基线HG ，使H 、G 、B 三点在同一条直线上．由在H 、G 两点用测角仪器测得A 的仰角分别是α、β，CD = A ，测角仪器的高是h ，那么，在△ACD 中，根据正弦定理可得)sin(sin βαβ-=a AC ,AB =A E+h=ac sinα+h=)sin(sin sin βαβα-a +h.【例4】如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角α=54°40′，在塔底C 处测得A 处的俯角β=50°1′．已知铁塔BC 部分的高为27.3 m,求出山高CD (精确到1 m).解：在△ABC 中,∠BCA =90°+β,∠ABC =90°-α,∠BAC =α-β,∠BAD =α. 根据正弦定理,)90sin()sin(ββα+︒=-AB BC =，所以)sin(cos )sin()90sin(βαββαβ-=-+︒=BC BC AB .在Rt △ABD 中,得BD =AB sin ∠BAD =)sin(sin cos βααβ-BC .将测量数据代入上式,得934sin 0454sin 150cos 3.27)1500454sin(0454sin 150cos 3.27'︒'︒'︒='︒-'︒'︒'︒=BD ≈177(m),CD =BD -BC ≈177-27.3=150(m).【例5】如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A 处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南15°的方向上,行驶5 km 后到达B 处,测得此山顶在东偏南25°的方向上,仰角为8°,求此山的高度CD .解：在△ABC 中, ∠A =15°,∠C =25°-15°=10°,根据正弦定理,︒︒===10sin 15sin 5sin sin ,sin sin C A AB BC C AB A BC ,≈ 7.452 4(km), CD =BC ×t a n ∠DBC =BC ×t a n8°≈1 047(m).答:山的高度约为1 047米.课堂练习用同样高度的两个测角仪AB 和CD 同时望见气球E 在它们的正西方向的上空,分别测得气球的仰角α和β,已知BD 间的距离为A ,测角仪的高度为B ,求气球的高度.分析:在Rt △EG A 中求解EG,只有角α一个条件,需要再有一边长被确定,而△E AC 中有较多已知条件,故可在△E AC 中考虑E A 边长的求解,而在△E AC 中有角β,∠E AC =180°-α两角与AC =BD =A 一边,故可以利用正弦定理求解E A . 解：在△AC E 中,AC =BD =A ,∠AC E=β,∠A E C =α-β,根据正弦定理,得)sin(sin βαβ-=a AE .在Rt △A EG 中，EG=A Esinα=)sin(sin sin βαβα-a .∴EF=EG+b =b a +-)sin(sin sin βαβα.答:气球的高度是b a +-)sin(sin sin βαβα.【例6】（幻灯片放映）如图，一艘海轮从A 出发，沿北偏东75°的方向航行67.5 n mile 后到达海岛B ,然后从B 出发,沿北偏东32°的方向航行54.0 n mile 后到达海岛C .如果下次航行直接从A 出发到达C ,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1°,距离精确到0.01 n mile)解：在△ABC 中，∠ABC =180°- 75°+ 32°=137°，根据余弦定理，,137cos 0.545.6720.545.67cos 22222︒⨯⨯⨯-+=∠⨯⨯-+=ABC BC AB BC AB AC ≈113.15.根据正弦定理,,sin sin ABC ACCAB BC ∠=∠,15.113137sin 0.54sin sin ︒=∠=∠AC ABC BC CAB ≈0.325 5, 所以∠CAB ≈19.0°,75°-∠CAB =56.0°.答:此船应该沿北偏东56.0°的方向航行,需要航行113.15 n mile.[知识拓展]1.如图，海中小岛A 周围38海里内有暗礁，船正向南航行，在B 处测得小岛A 在船的南偏东30°，航行30海里到C 处，在C 处测得小岛A 在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？解：在△ABC 中，BC =30，B =30°， ∠ACB =180°-45°=135°, ∴A =15°.由正弦定理知B AC A BC sin sin =,∴︒=︒30sin 15sin 30AC. ∴21561515cos 6015sin 30sin 30+=︒=︒︒=AC .∴A 到BC 所在直线的距离为AC ·sin45°=（156+152）·22=15（3+1）≈40.98＞38（海里）， ∴不改变航向，继续向南航行，无触礁的危险．答：不改变航向，继续向南航行，无触礁的危险．2.如图，有两条相交成60°角的直线XX′、YY′，交点是O ，甲、乙分别在O X 、O Y 上，起初甲在离O 点3千米的A 点，乙在离O 点1千米的B 点，后来两人同时以每小时4千米的速度，甲沿XX′方向，乙沿Y′Y 方向步行，（1）起初，两人的距离是多少？（2）用包含t 的式子表示t 小时后两人的距离；（3）什么时候两人的距离最短？解：（1）因甲、乙两人起初的位置是A 、B ，则AB 2=OA 2+OB 2-2OA ·OBco s60°=32+12-2×3×1×21=7, ∴起初，两人的距离是7千米．（2）设甲、乙两人t 小时后的位置分别是P 、Q ，则A P=4t,B Q=4t, 当0≤t≤43时，PQ 2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(3-4t)(1+4t)co s60°=48t 2-24t+7; 当t ＞43时,PQ 2=(4t-3)2+(1+4t)2-2(4t-3)(1+4t)co s120°=48t 2-24t+7, 所以，PQ =48t 2-24t+7．（3）PQ 2=48t 2-24t+7=48(t-41)2+4, ∴当t =41时，即在第15分钟末，PQ 最短．答：在第15分钟末，两人的距离最短．【例7】在△ABC 中，根据下列条件，求三角形的面积S （精确到0.1 c m 2）. （1）已知A =14.8 c m,C =23.5 c m,B =148.5°; （2）已知B =62.7°,C =65.8°,B =3.16 c m;（3）已知三边的长分别为A =41.4 c m,B =27.3 c m,C =38.7 c m.解：（1）应用B ac S sin 21=，得 S=21×14.8×23.5×sin148.5°≈90.9(c m 2). (2)根据正弦定理，BCb c C c B b sin sin ,sin sin ==, BAC b A bc S sin sin sin 21sin 212==. A = 180°-(B + C )= 180°-(62.7°+ 65.8°)=51.5°,︒︒︒⨯⨯=7.62sin 5.51sin 8.65sin 16.3212S ≈4.0(c m 2). (3)根据余弦定理的推论，得4.417.3823.274.417.382cos 222222⨯⨯-+=-+=ca b a c B ≈0.769 7,227697.01B cos 1sinB -≈-=≈0.638 4,应用B ac S sin 21=得S=21×41.4×38.7×0.6384≈511.4(c m 2). 【例8】在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68 m,88 m,127 m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1 c m 2）？解：设A =68 m,B =88 m,C =127m,根据余弦定理的推论，68127288681272cos 222222⨯⨯-+=-+=ca b a c B ≈0.753 2,27532.01sin -=B ≈0.657 8,应用S=21ac sin B ,S=21×68×127×0.657 8≈2 840.38(m 2). 答：这个区域的面积是2 840.38 m 2．【例9】在△ABC 中，求证：（1）CBA c b a 222222sin sin sin +=+; （2）a 2+b 2+c 2=2（bcco s A +caco s B +abco s C ）. 证明：（1）根据正弦定理，可设k Cc B b A a ===sin sin sin , 显然 k≠0，所以左边=CBA C kB k A k c b a 222222222222sin sin sin sin sin sin +=+=+=右边. （2）根据余弦定理的推论，右边=)222(2222222222abc b a ab ca b a c ca bc a c b bc-++-++-+=(b 2+c 2- a 2)+(c 2+a 2-b 2)+(a 2+b 2-c 2)=a 2+b 2+c 2=左边. [知识拓展]如图，在四边形ABCD 中，∠ADB =∠BCD =75°，∠ACB =∠BDC =45°，DC =3，求：(1)AB 的长;(2)四边形ABCD 的面积.解：（1）因为∠BCD =75°,∠ACB =45°，所以∠ACD =30°. 又因为∠BDC =45°，所以∠DAC =180°-（75°+ 45°+ 30°）=30°.所以AD =DC =3. 在△BCD 中，∠CBD =180°-（75°+ 45°）=60°，所以22660sin 75sin 3,60sin 75sin +=︒︒=︒=︒BD DC BD .在△ABD 中，AB 2=AD 2+ BD 2-2×AD ×BD ×co s75°= 5,所以,得AB =5.(2)S △ABD =21×AD ×BD ×sin75°=4323+.同理，S △BCD =433+.所以四边形ABCD 的面积4336+=S .备课资料1.半角定理在△ABC 中,三个角的半角的正切和三边之间有如下的关系:p c p b p a p a p A ))()((12tan----=, p c p b p a p b p B ))()((12tan----=, pc p b p a p c p C ))()((12tan----=, 其中p =21（a +b +c ). 证明:2cos2sin 2tan A A A =, 因为sin 2A ＞0,co s 2A＞0,所以bcc b a c b a bc c b a bc a c b A A 4))((4)()21(212cos 12sin 22222+--+=--=-+-=-=. 因为p =21(a +b +c ), 所以a -b +c =2(p -b ),a +b -c =2(p -c ).所以bcc p b p A ))((2sin--=. 而bc a c b A A 2)1(212cos 12cos 222-++=+=bca p p bca cb ac b bc a c b )(4))((4)(22-=-+++=-+所以p c p b p a p a p a p p c p b p bca p p bc c pb p A A A ))()((1)())(()())((2cos2sin2tan----=---=----=. 所以pc p b p a p a p A ))()((12tan----=. 同理,可得pc p b p a p b p B ))()((12tan----=, pc p b p a p c p C ))()((12tan---=-=.从上面的证明过程中,我们可以得到用三角形的三条边表示半角的正弦和半角的余弦的公式:bca p p A bc c pb p A )(2cos ,))((2sin-=--=. 同理可得.)(2cos )(2cos ,))((2sin ,))((2sinabc p p Cac b p p B ab b p a p C ac c p a p B -=-=--=--= 2.用三角形的三边表示它的内角平分线设在△ABC 中(如右图),已知三边a 、b 、c ,如果三个角A 、B 和C 的平分线分别是t A 、t B 和t C ，那么，用已知边表示三条内角平分线的公式是：)(2a p bcp cb t a -+=;)(2b p acp c a t b -+=;)(2c p abp ba t c -+=.证明：设AD 是角A 的平分线，并且BD =x ，DC =y,那么，在△ADC 中，由余弦定理，得t A 2=b 2+y 2-2byco s C ,① 根据三角形内角平分线的性质，得yxb c =, 所以yyx b b c +=+. 因为x+y=a , 所以yab bc =+. 所以cb aby +=.② 将②代入①,得C cb abb c b ab b t a cos )(2)(222+-++= =]cos )(22[)(22222C c b a a bc c b c b b +-++++. 因为bcc b a C 2cos 222-+=,所以]2)(22[)(222222222ab c b a c b a bc c b a c b b t a-+•+-++++==))(()()2()(22222a c b c b a c b bc a bc c b c b bc -++++=-+++=),()(4)(22)(22a p bcp c b a p p c b bc -•+=-••+所以)(2a p bcp cb t a -+=. 同理,可得)(2,)(2c p abp ba tb p acpc a t c b -+=-+=.这就是已知三边求三角形内角平分线的公式. 3.用三角形的三边来表示它的外接圆的半径设在△ABC 中,已知三边a 、b 、c ,那么用已知边表示外接圆半径R 的公式是))()((c p b p a p p abcR ---=.证明: 因为A bc S A a R sin 21,sin 2==,11 所以bc S A 2sin =. 所以))()((4sin 2c p b p a p p abc S abc A a R ---===. 五、课堂小结在实际问题的解决过程中，解题的一般步骤和方法，及正弦、余弦定理相关知识点的熟练运用．应用解三角形知识解决实际问题时，要分析和研究问题中涉及的三角形，及其中哪些是已知量，哪些是未知量，应该选用正弦定理还是余弦定理进行求解．应用解三角形知识解决实际问题的解题步骤：①根据题意作出示意图；②所涉及的三角形，搞清已知和未知；③选用合适的定理进行求解；④给出答案．。

高中数学人教A版必修5 1.2.2三角形中的几何计算学案

高中数学人教A版必修5第一章解三角形1.2解三角形的实际应用举例1.2.2三角形中的几何计算学案【课前自主学习】预习课本P16～18，思考并完成以下问题(1)已知三角形的两边及内角怎样求其面积？(2)已知三角形的面积如何求其他量？【新知探究•夯实知识基础】三角形的面积公式(1)S＝12a·h a(h a表示a边上的高)．(2)S＝12ab sin C＝12bc sin A＝12ac sin B.[点睛]三角形的面积公式S＝12ab sin C与原来的面积公式S＝12a·h(h为a边上的高)的关系为：h＝b sin C，实质上b sin C就是△ABC中a边上的高．【学练结合】1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)公式S＝12ab sin C适合求任意三角形的面积()(2)三角形中已知三边无法求其面积()(3)在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积()解析：(1)正确，S＝12ab sin C适合求任意三角形的面积．(2)错误．已知三边可利用余弦定理求角的余弦值，再求得正弦值，进而求面积．(3)正确．已知两边和两边的夹角可直接求得面积，已知两边和一边的对角，可求得其他边和角，再求面积．答案：(1)√ (2)× (3)√2．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝3，C ＝120°，则S △ABC ＝( ) A.32 B.332 C. 3D ．3解析：选B S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×3×32＝332.3．已知△ABC 的面积为32，且b ＝2，c ＝3，则A 的大小为( ) A ．60°或120° B ．60° C ．120°D ．30°或150°解析：选A 由S △ABC ＝12bc sin A 得 32＝12×2×3×sin A ，所以sin A ＝32，故A ＝60°或120°，故选A.4．若△ABC 的三边a ，b ，c 及面积S 满足S ＝a 2－(b －c )2，则sin A ＝________. 解析：由余弦定理得S ＝a 2－(b －c )2＝2bc －2bc cos A ＝12bc sin A ，所以sin A ＋4cos A ＝4，由sin 2A ＋cos 2A ＝1，解得sin 2A ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin A 42＝1，sin A ＝817.答案：817【学以致用•探究解题方法】题型一三角形面积的计算[典例] 已知△ABC 中，B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，求△ABC 的面积． [解] 由正弦定理，得sin C ＝AB sin B AC ＝23sin 30°2＝32.∵AB >AC ，∴C＝60°或C＝120°.当C＝60°时，A＝90°，S△ABC ＝12AB·AC＝23；当C＝120°时，A＝30°，S△ABC ＝12AB·AC sin A＝ 3.故△ABC的面积为23或 3.[解题规律总结][活学活用]△ABC中，若a，b，c的对角分别为A，B，C，且2A＝B＋C，a＝3，△ABC的面积S△ABC＝32，求边b的长和B的大小．解：∵A＋B＋C＝180°，又2A＝B＋C，∴A＝60°.∵S△ABC ＝12bc sin A＝32，sin A＝32，∴bc＝2.①又由余弦定理得3＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－2×2×1 2，即b2＋c2＝5.②解①②可得b＝1或2.由正弦定理知asin A＝bsin B，∴sin B＝b sin Aa＝b2.当b＝1时，sin B＝12，B＝30°；当b＝2时，sin B＝1，B＝90°.题型二三角恒等式证明问题[典例]在△ABC中，求证：a－c cos Bb－c cos A＝sin Bsin A.证明：[法一化角为边]左边＝a－c(a2＋c2－b2)2acb－c(b2＋c2－a2)2bc＝a2－c2＋b22a·2bb2－c2＋a2＝ba＝2R sin B2R sin A＝sin Bsin A＝右边，其中R为△ABC外接圆的半径．∴a－c cos Bb－c cos A＝sin Bsin A.[法二化边为角]左边＝sin A－sin C cos Bsin B－sin C cos A＝sin(B＋C)－sin C cos Bsin(A＋C)－sin C cos A＝sin B cos Csin A cos C＝sin Bsin A＝右边(cos C≠0)，∴a－c cos Bb－c cos A＝sin Bsin A.[解题规律总结][活学活用]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .求证：cos B cos C ＝c －b cos Ab －c cos A .证明：法一：由正弦定理，得c －b cos Ab －c cos A＝2R sin C －2R sin B cos A 2R sin B －2R sin C cos A ＝sin (A ＋B )－sin B cos A sin (A ＋C )－sin C cos A ＝sin A cos B sin A cos C ＝cos Bcos C .法二：由余弦定理，得c －b cos Ab －c cos A ＝c －b 2＋c 2－a 22c b －b 2＋c 2－a 22b＝a 2＋c 2－b 22c b 2＋a 2－c 22b ＝a 2＋c 2－b 22ac b 2＋a 2－c 22ab＝cos B cos C.题型三与三角形有关的综合问题命题点一：与三角形面积有关的综合问题1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a cos B －c ＝b 2. (1)求角A 的大小；(2)若b －c ＝6，a ＝3＋3，求BC 边上的高．解：(1)由a cos B －c ＝b2及正弦定理可得， sin A cos B －sin C ＝sin B2，因为sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以sin B2＋cos A sin B ＝0. 因为sin B ≠0，所以cos A ＝－12，因为0<A <π，所以A ＝2π3. (2)由余弦定理可知，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 2π3＝b 2＋c 2＋bc ，所以(3＋3)2＝b 2＋c 2＋bc ＝(b －c )2＋3bc ＝6＋3bc ，解得bc ＝2＋2 3.设BC 边上的高为h ，由S △ABC ＝12bc sin A ＝12ah ，得12(2＋23)sin 2π3＝12(3＋3)h, 解得h ＝1. 命题点二：三角形中的范围问题2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2c －a )cos B －b cos A ＝0.(1)求角B 的大小；(2)求3sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C －π6的取值范围．解：(1)由正弦定理得：(2sin C －sin A )cos B －sin B cos A ＝0，即sin C (2cos B －1)＝0，∵sin C ≠0，∴cos B ＝12，∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3. (2)由(1)知B ＝π3，∴C ＝2π3－A ， ∴3sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C －π6＝3sin A ＋cos A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6.∵A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3，∴A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6∈(1,2]， ∴3sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C －π6的取值范围是(1,2]．命题点三：三角形中的最值问题3．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . 已知sin (A －B )sin (A ＋B )＝b ＋cc .(1)求角A 的大小；(2)当a ＝6时，求△ABC 面积的最大值，并指出面积最大时△ABC 的形状．解：(1)由sin (A －B )sin (A ＋B )＝b ＋cc ，得sin (A －B )sin (A ＋B )＝sin B ＋sin Csin C .又sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ， ∴sin(A －B )＝sin B ＋sin C ， ∴sin(A －B )＝sin B ＋sin(A ＋B )．∴sin A cos B －cos A sin B ＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ， ∴sin B ＋2 cos A sin B ＝0，又sin B ≠0，∴cos A ＝－12. ∵A ∈(0，π)，∴A ＝2π3.(2)S ＝12bc sin A ＝34bc ＝34×2R sin B ·2R sin C ＝3R 2sin B ·sin C ＝3R 2sin B ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－B＝32R 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6－34R 2，B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3. 由正弦定理2R ＝a sin A ＝6sin 2π3＝43，∴R ＝2 3.当2B ＋π6＝π2，即B ＝C ＝π6时，S max ＝33，∴△ABC 面积的最大值为33，此时△ABC 为等腰钝角三角形．题点四：多边形面积问题4．已知圆内接四边形ABCD 的边长AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求四边形ABCD 的面积S .解：如图，连接BD ，则S ＝S △ABD ＋S △CBD ＝12AB ·AD sin A ＋12BC ·CD sin C . ∵A ＋C ＝180°，∴sin A ＝sin C ，∴S＝12sin A(AB·AD＋BC·CD)＝16sin A.在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD cos A＝20－16cos A，在△CDB中，由余弦定理得BD2＝CD2＋BC2－2CD·BC cos C＝52－48cos C，∴20－16cos A＝52－48cos C.又cos C＝－cos A，∴cos A＝－12，∴A＝120°，∴S＝16sin A＝8 3.[解题规律总结]高中数学人教A版必修5第一章解三角形1.2应用举例1.2.2三角形中的几何计算同步检测基础达标题1．在△ABC中，A＝60°，AB＝1，AC＝2，则S△ABC的值为()A.12 B.32 C.3 D．2 32．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，则它的顶角的余弦值为()A．－78 B.78C．－87 D.873．在△ABC中，已知面积S＝14(a2＋b2－c2)，则角C的大小为()A．135°B．45°C．60°D．120°4．在△ABC中，若cos B＝14，sin Csin A＝2，且S△ABC＝154，则b＝()A．4 B．3 C．2 D．15．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为()A．40 3 B．20 3 C．40 2 D．20 26．在△ABC中，a＝32，b＝23，cos C＝13，则△ABC的面积为________．7.如图，在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC ＝3，则AB＝________.8．△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为________．9．在△ABC中，求证：b2cos 2A－a2cos 2B＝b2－a2.10.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°，求BD的长．能力达标题1．△ABC 的周长为20，面积为103，A ＝60°，则BC 的边长等于( )A ．5B ．6C ．7D ．82．在△ABC 中，已知b 2－bc －2c 2＝0，且a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积等于( )A.152 B.15 C ．2 D ．33．在△ABC 中，若b ＝2，A ＝120°，其面积S ＝3，则△ABC 外接圆的半径为( )A. 3 B ． C ．2 3 D ．4 4．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫152，＋∞ B ．(10，＋∞) C ．(0,10)D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，403 5．已知△ABC 的面积S ＝3，A ＝π3，则AB ·AC ＝________. 6．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b a ＋ab ＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan Ctan B＝________. 7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知sin A sin B ＝sin C tan C .(1)求a2＋b2c2的值；(2)若a＝22c，且△ABC的面积为4，求c的值．8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a＝2,2cos2B＋C2＋sinA＝4 5.(1)若满足条件的△ABC有且只有一个，求b的取值范围；(2)当△ABC的周长取最大值时，求b的值.高中数学人教A版必修5第一章解三角形1.2应用举例1.2.2三角形中的几何计算同步检测解析基础达标题1．在△ABC中，A＝60°，AB＝1，AC＝2，则S△ABC的值为()A.12 B.32 C.3 D．2 3解析：选B S△ABC ＝12AB·AC·sin A＝32.2．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，则它的顶角的余弦值为()A．－78 B.78C．－87 D.87解析：选B设等腰三角形的底边长为a，顶角为θ，则腰长为2a，由余弦定理得，cos θ＝4a2＋4a2－a28a2＝78.3．在△ABC中，已知面积S＝14(a2＋b2－c2)，则角C的大小为()A．135°B．45°C．60°D．120°解析：选B∵S＝14(a2＋b2－c2)＝12ab sin C，由余弦定理得：sin C＝cos C，∴tan C＝1.又0°<C<180°，∴C＝45°.4．在△ABC中，若cos B＝14，sin Csin A＝2，且S△ABC＝154，则b＝()A．4 B．3 C．2 D．1解析：选C依题意得，c＝2a，b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋(2a)2－2×a×2a×14＝4a2，所以b＝c＝2a.因为B∈(0，π)，所以sin B＝1－cos2B＝154，又S△ABC ＝12ac sin B＝12×b2×b×154＝154，所以b＝2，选C.5．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为()A．40 3 B．20 3 C．40 2 D．20 2解析：选A设另两边长为8x,5x，则cos 60°＝64x2＋25x2－14280x2，解得x＝2或x＝－2(舍去)．故两边长分别为16与10，所以三角形的面积是12×16×10×sin 60°＝40 3.6．在△ABC中，a＝32，b＝23，cos C＝13，则△ABC的面积为________．解析：∵cos C＝13，0<C<π，∴sin C＝223，∴S△ABC ＝12ab sin C＝12×32×23×223＝4 3.答案：4 37.如图，在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC ＝3，则AB＝________.解析：在△ADC中，cos C＝AC2＋DC2－AD22·AC·DC＝72＋32－522×7×3＝1114.又0°<C<180°，∴sin C＝53 14.在△ABC中，ACsin B＝ABsin C，∴AB＝sin Csin B·AC＝5314×2×7＝562.答案：56 28．△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为________．解析：不妨设b＝2，c＝3，cos A＝1 3，则a2＝b2＋c2－2bc·cos A＝9，∴a＝3.又∵sin A＝1－cos2A＝22 3，∴外接圆半径为R＝a2sin A＝32·223＝928.答案：92 89．在△ABC 中，求证：b 2cos 2A －a 2cos 2B ＝b 2－a 2.证明：左边＝b 2(1－2sin 2A )－a 2(1－2sin 2B )＝b 2－a 2－2(b 2sin 2A －a 2sin 2B )，由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得b sin A ＝a sin B ， ∴b 2sin 2A －a 2sin 2B ＝0，∴左边＝b 2－a 2＝右边， ∴b 2cos 2A －a 2cos 2B ＝b 2－a 2.10.如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝5，AC ＝9，∠BCA ＝30°，∠ADB ＝45°，求BD 的长．解：在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝9，∠BCA ＝30°，由正弦定理，得AB sin ∠BCA ＝ACsin ∠ABC，∴sin ∠ABC ＝AC ·sin ∠BCA AB ＝9×sin 30°5＝910.∵AD ∥BC ，∴∠BAD ＝180°－∠ABC ，于是sin ∠BAD ＝sin ∠ABC ＝910.在△ABD 中，AB ＝5，sin ∠BAD ＝910，∠ADB ＝45°，由正弦定理，得AB sin ∠ADB ＝BDsin ∠BAD，解得BD ＝922，故BD 的长为922.能力达标题1．△ABC 的周长为20，面积为103，A ＝60°，则BC 的边长等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8 解析：选C 如图，由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝20，12bc sin 60°＝103，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 60°，则bc ＝40，a 2＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ＝(20－a )2－3×40， ∴a ＝7.2．在△ABC 中，已知b 2－bc －2c 2＝0，且a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积等于( )A.152 B.15 C ．2 D ．3 解析：选A 因为b 2－bc －2c 2＝0，所以(b －2c )(b ＋c )＝0，所以b ＝2c .由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，解得c ＝2，b ＝4，因为cos A ＝78，所以sin A ＝158，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×2×158＝152.3．在△ABC 中，若b ＝2，A ＝120°，其面积S ＝3，则△ABC 外接圆的半径为( )A. 3 B ． C ．2 3 D ．4 解析：选B ∵S ＝12bc sin A ，∴3＝12×2c sin 120°， ∴c ＝2，∴a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋4－2×2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝23，设△ABC 外接圆的半径为R ，∴2R ＝a sin A ＝2332＝4，∴R ＝2.4．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫152，＋∞ B ．(10，＋∞) C ．(0,10)D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，403 解析：选D ∵c sin C ＝a sin A ＝403， ∴c ＝403sin C ．∴0<c ≤403.5．已知△ABC的面积S＝3，A＝π3，则AB·AC＝________.解析：S△ABC ＝12·|AB|·|AC|·sin A，即3＝12·|AB|·|AC|·32，所以|AB|·|AC|＝4，于是AB·AC＝|AB|·|AC|·cos A＝4×12＝2.答案：26．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若ba＋ab＝6cos C，则tan Ctan A＋tan Ctan B＝________.解析：∵ba＋ab＝6cos C，∴a2＋b2ab＝6×a2＋b2－c22ab，∴2a2＋2b2－2c2＝c2，又tan Ctan A＋tan Ctan B＝sin C cos Asin A cos C＋sin C cos Bsin B cos C ＝sin C(sin B cos A＋cos B sin A)sin A sin B cos C＝sin C sin(B＋A)sin A sin B cos C＝sin2Csin A sin B cos C＝c2ab cos C＝c2aba2＋b2－c22ab＝2c2a2＋b2－c2＝4.答案：47．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知sin A sin B＝sin C tan C.(1)求a2＋b2c2的值；(2)若a＝22c，且△ABC的面积为4，求c的值．解：(1)由已知sin A sin B ＝sin C tan C 得cos C ＝c 2ab . 又cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，故a 2＋b 2＝3c 2，故a 2＋b2c 2的值为3.(2)由a ＝22c, a 2＋b 2＝3c 2得b ＝102c . 由余弦定理得cos C ＝255，故sin C ＝55. 所以12×22c ×102c ×55＝4，解得c ＝4.8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a ＝2,2cos 2 B ＋C2＋sinA ＝45.(1)若满足条件的△ABC 有且只有一个，求b 的取值范围； (2)当△ABC 的周长取最大值时，求b 的值. 解：2cos 2B ＋C 2＋sin A ＝45⇒1＋cos(B ＋C )＋sin A ＝45⇒sin A －cos A ＝－15. 又0<A <π，且sin 2A ＋cos 2A ＝1，有⎩⎪⎨⎪⎧sin A ＝35，cos A ＝45.(1)若满足条件的△ABC 有且只有一个，则有a ＝b sin A 或a ≥b ，则b 的取值范围为(0,2]∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫103.(2)设△ABC 的周长为l ，由正弦定理得 l ＝a ＋b ＋c ＝a ＋asin A (sin B ＋sin C ) ＝2＋103[sin B ＋sin(A ＋B )]＝2＋103[sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ] ＝2＋2(3sin B ＋cos B ) ＝2＋210sin(B ＋θ)，其中θ为锐角，且⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝1010，cos θ＝31010 ，l max ＝2＋210，当cos B ＝1010，sin B ＝31010时取到．此时b ＝asin A sin B ＝10.。

人教A版高中数学必修5第一章解三角形1.2应用举例教案(1)

新编人教版精品教学资料1.2 应用举例教材分析三维目标知识与技能能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题•过程与方法通过将实际问题建立数学模型，使学生充分认识到建立数学模型的重要性，进行测量，掌握数学术语及数学作图方法，体会数学的严谨性情感态度与价值观数学来源于生活，又应用于生活，一方面，三角形知识广泛应用于实际问题中，另一方面，实际问题的解决又推动了三角形的进一步完善和发展，通过亲自动手测量，写出实习报告等体会到数学市有用的，我能用数学，也能用好数学教学重点分析测量问题的实际情景，从而找到测量距离的方法教学难点实际问题向数学问题转化思路的确定，即根据题意建立数学模型，画出示意图.教学建议解三角形知识在实际问题中有着广泛的应用，如测量、航海等都要用到这方面的知识. 对于解三角形的实际问题，我们要在理解一些术语（如坡角、仰角、俯角、方位角、方向角等）的基础上，正确地将实际问题中的长度、角度看成三角形相应的边和角，创造可解的条件，综合运用三角函数知识以及正弦定理和余弦定理来解决. 学习这部分知识有助于增强学生的数学应用意识和解决实际问题的能力.本节的例1、例2是两个有关测量距离的问题•例1是测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，例2是测量两个不可到达的点之间距离的问题•对于例1可以引导学生分析这个问题实际上就是已知三角形两个角和一边解三角形的问题，从而可以用正弦定理去解决•对于例2首先把求不可到达的两点A、B之间的距离转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题，然后把求未知的BC和AC的问题转化为例1中测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题.导入新课一湖北省十堰市郧县柳坡镇马蹄沟村，是一个世代被大山阻隔的小山村，在无法承载贫穷重负和生命重压之下，毅然决然以一己之力，用比较落后的方式，开始了一段长达五年的艰难的开山之旅。

他们经历了令人难以想象的风险，终于打通了一条长400米的隧洞，从而大大拉近了闭塞小山村与现代大都市的时代距离。

人教A版高中数学必修5《一章解三角形 1.2 应用举例阅读与思考海伦和秦九韶》示范课教案_29

《海伦——秦九韶公式》教案【教学内容】人教A版普通高中课程标准试验教科书必修5 第一章“阅读与思考”海伦与秦九韶.【教学对象】高一学生.【教材分析】本节内容选自高中数学必修五的第一章，是阅读与思考部分的内容，在《高中数学新课程标准》中并没有做要求，教材中只占用一篇幅叙述了海伦公式与秦九韶公式（“三斜求积”公式）的记载历史，并未给出证明和应用.本节内容之前学生已经学习了解三角形，从而这节课是三角形面积公式的延续与拓展.本节课的主要设计对象为数学学习程度较好的学生——在完成《高中数学新课程标准》中要求的学习之后仍有余力的学生，意在引领学生了解数学文化史，同时启发学生运用所学知识由“三斜求积”公推导海伦公式，并让学生从中体会数学之美.【学情分析】高一学生在进入本节课的学习之前，需要熟悉前面已学过的三角形面积公式，余弦定理的推论，同角三角函数的平方关系以及平方差公式和完全平方公式.【教学目标】∙知识与技能：（1）会推导秦九韶公式与海伦公式，并理解海伦公式的本质；（2）理解秦九韶公式与海伦公式的本质相同.（3）会用海伦公式解决简单的涉及到三角形三边与面积之间关系的问题.∙过程与方法：（1）经历推导秦九韶公式与海伦公式的全过程，培养学生严谨的的数学逻辑思维；（2）提高学生会应用海伦公式解决涉及到三角形三边与面积之间关系问题的能力.∙情感态度与价值观：（1）体会公式书写的简洁美；（2）体会数学以不变应万变的魅力.【教学重点】秦九韶公式与海伦公式的推导及其应用.【教学难点】秦九韶公式与海伦公式的本质.【教学方法】引导探究、实力应用.【教学过程】（一）旧知回顾1.三角形的面积公式：（1）ah S ABC 21=∆（h 为边a 上的高）；（2）==∆C ab S ABC sin 21 = . 2.余弦定理的推论：bca cb A 2cos 222-+=；=B cos ；=C cos . 3.同角三角函数的平方关系：+α2sin 1=.[师生活动]通过提问，让学生回答出本节课涉及到的已经学习过的公式.(二)新课引入【引例】问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里。

新人教A版必修5高中数学第1章《解三角形》函数的周期性问题教案

高中数学第1章《解三角形》函数的周期性问题教案新人教A 版必修5一、教学目标：理解周期函数的概念并能运用函数的周期性知识解题。

1．周期函数定义：设函数()f x 的定义域为D ，T 为非零常数，若对任意x D ∈，都有()()f x T f x +=成立，则()f x 是周期函数，T 是()f x 的一个周期。

若在所有的正周期中存在最小值，则称此值为最小正周期。

2．从定义表述中可发现，周期函数不一定存在最小正周期。

二、问题举例例1．设函数()f x 是定义在R 上的函数选题目的：引导学生理解并掌握周期函数的不同表现形式，感受抽象函数递推式与周期函数的联系；思路分析：以第（3）小题为例，因为()()12f x f x +=-中的x 是任意的，可2x +替代x ，就可得到()()()()11412f x f x f x f x +=-=-=+-，从而()f x 的一个周期为4；其它几个问题也同样可求得结果。

例2．设函数()f x 是定义在R 上的函数，求解下列问题（1）直线x a =和x b =是函数()y f x =图象的两条对称轴，问()f x 是否为周期函数，若是，其周期为多少？（2）直线x a =是函数()y f x =图象的对称轴，点(),0b 是函数()y f x =图象的对称中心，问问()f x 是否为周期函数，若是，其周期为多少？选题目的：两条对称轴就如人的前后各放置了一面镜子，会在镜子里出现无数多个像，正如周而复始的现象；指导学生研究函数图象对称性与周期性的内在联系，从而能更好地运用对称性和周期性解决相关数学问题。

思路分析：以第（1）题为例，因为x a =和x b =都是函数()y f x =图象的对称轴，所以必有：()()2,f a x f x -=()()2,f b x f x -=则有()()22,f a x f b x -=-用2b x -替代x 可得到()()22,f a b x f x -+=由周期函数的定义可知，()f x 的一个正周期为2a b -。

新人教A版必修5高中数学第一章解三角形学案

高中数学第一章解三角形学案新人教A 版必修5学习目标能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题．学法重难点测量距离的实际应用一：知识链接（本课时的主要知识展示）问题1：正弦定理和余弦定理（1）用正弦定理：①知两角及一边解三角形； ②知两边及其中一边所对的角解三角形（要讨论解的个数）．（2）用余弦定理：①知三边求三角； ②知道两边及这两边的夹角解三角形．问题2：应用举例① 距离问题，②高度问题，③ 角度问题，④计算问题．二：试一试（课前演练）练：有一长为2公里的斜坡，它的倾斜角为30°，现要将倾斜角改为45°，且高度不变.则斜坡长变为___ ．新课探究探究1 在ABC ∆中tan()1A B +=，且最长边为1，tan tan A B >，1tan 2B =，求角C 的大小及△ABC 最短边的长．探究2 如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 B 处救援（角度精确到1）？探究3 在∆ABC 中，设tan 2,tan A c b B b-= 求A 的值．※ 模仿练习练1. 练1. 如图，某海轮以60 n mile/h 的速度航行，在A 点测得海面上油井P 在南偏东60°，向北航行40 min 后到达B 点，测得油井P 在南偏东30°，北 20 10 A B • •C 30°60°B C 北海轮改为北偏东60°的航向再行驶80 min 到达C 点，求P 、C 间的距离．练2. 在△ABC 中，b ＝10，A ＝30°，问a 取何值时，此三角形有一个解？两个解？无解？三、总结提升※ 学习小结1. 应用正、余弦定理解三角形；2. 利用正、余弦定理解决实际问题（测量距离、高度、角度等）；3．在现实生活中灵活运用正、余弦定理解决问题. （边角转化）．※ 知识拓展设在ABC ∆中，已知三边a ，b ，c ，那么用已知边表示外接圆半径R 的公式是： =()()()abcR p p a p b p c --- ( 内切圆半径 ()()()S p a p b p c r p p---==) 当堂检测A 级：1. 已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120︒，则△ABC 的面积为（）. A ．9 B ．18 C ．93 D ．1832.在△ABC 中，若222c a b ab =++，则∠C =（）.A ． 60°B ． 90°C ．150°D ．120°3. 在∆ABC 中，80a =，100b =，A =30°，则B 的解的个数是（）.A ．0个B ．1个C ．2个D ．不确定的B 级：4. 在△ABC 中，32a =，23b =，1cos 3C =，求ABC S ∆；5. 在∆ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，若2222sin a b c bc A =+-，求A 。

人教A版高中数学必修5《一章解三角形 1.2 应用举例 1.2 应用举例(通用)》优质课教案_15

1.2解三角形应用举例（第一课时）一、学习目标1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题。

2.激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力。

二、学习重点、难点重点：由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解。

难点：根据题意建立数学模型，画出示意图。

三、学习过程1.复习回顾（1）什么是正弦定理？运用正弦定理能解怎样的三角形？（2）什么是余弦定理？运用余弦定理能解怎样的三角形？（3）请同学们观察观察，正、余弦定理能解的四类三角形的共同点是什么?2.新课引入：我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。

比如：我们在竹溪一中这个位置，怎样能测出竹溪一中与县图书馆的距离?又怎样测出县图书馆与高速(水坪）收费站得距离呢？今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。

新知探究（一）：请同学们根据对正余弦定理的理解、运用，设计一个测量竹溪一中与竹溪县图书馆的距离的方案？总结提升：解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形。

根据正余弦定理的特点和实际背景寻求或测出所需要的边、角，通过解三角形来求解。

新知探究（二）：根据探究一的学习，在请同学们设计一个测量县图书馆与与高速(水坪）收费站得距离的方案？总结提升：在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。

四、课堂小结：请同学们谈谈本节课有哪些收获?（1）解斜三角形应用题的一般步骤。

（2）数学思想方法，解题技巧。

五、当堂检测（1）在相距12海里的A，B两个小岛处测量目标C岛，测得∠CAB=75°，∠CBA=60°，则A，C间的距离为( )A.26B.66C.22D.42（2）为了测定河对岸两点A，B间的距离,在岸边选定1千米长的线段CD,并测得∠ACD=90o, ∠BCD=60o，∠BDC=75o，∠ADC=30o，求A，B两点的距离.六、课后反思。

人教A版高中数学必修5《一章解三角形 1.2 应用举例 1.2 应用举例(通用)》优质课教案_0

解三角形题型讲析教材分析这是高三二轮复习，内容是必修5解三角形。

目标要求本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后应落实在解三角形的应用上。

通过本节学习，学生应当达到以下学习目标：（1）掌握正弦定理、余弦定理解三角形.（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法判断三角形形状的问题。

本章内容与三角函数、向量联系密切。

作为复习课一方面将本章知识作一个梳理，另一方面通过整理归纳帮助学生进一步达到相应的学习目标。

教学目标：（1）掌握正弦、余弦定理的内容及其证明方法；会运用正、余弦定理与三角形内角和定理，面积公式解斜三角形的两类基本问题。

（2）学生学会分析问题，合理选用定理解决三角形综合问题。

重点难点 1、正、余弦定理的对于解解三角形的合理选择；2、正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。

教学策略 1、重视多种教学方法有效整合；2、重视提出问题、解决问题策略的指导。

3、重视加强前后知识的密切联系。

4、重视加强数学实践能力的培养。

5、注意避免过于繁琐的形式化训练6、教学过程体现“实践→认识→实践”。

1.正弦定理利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题.（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.（从而进一步求出其他的边和角）2．余弦定理利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.二知识拓展【例1】△abc的三个内角a、b、c的对边分别是a、b、c，如果a2=b（b+c），求证：a=2b. 剖析：研究三角形问题一般有两种思路.一是边化角，二是角化边.证明：用正弦定理，a=2rsina，b=2rsinb，c=2rsinc，代入a2=b（b+c）中，得sin2a=sinb （sinb+sinc） sin2a－sin2b=sinbsinc因为a、b、c为三角形的三内角，所以sin（a+b）≠0.所以sin（a－b）=sinb.所以只能有a－b=b，即a=2b.评述：利用正弦定理，将命题中边的关系转化为角间关系，从而全部利用三角公式变换求解.思考讨论：该题若用余弦定理如何解决?【例2】已知a、b、c分别是△abc的三个内角a、b、c所对的边，（1）若△abc的面积为，c=2,a=600,求边a,b的值；（2）若a=ccosb,且b=csina,试判断△abc的形状。

人教A版高中数学必修5《一章 解三角形 1.2 应用举例》优质课教案_7

人教A版高中数学必修5《一章 解三角形 1.2 应用举例 1.2 应用举例(通用)》优质课教案_11