2.3解三角形的实际应用举例 教案(北师大版必修五)

A．c和α
B．c和b
C．c和β
D．b和α
【解析】由于不能过河测量，故c不能测出，排除A、B、C，在Rt△ACB中，a＝btanα，故较适宜的一组数据为b与α.
【答案】D
3．海上有A、B两个小岛相距10nmile，从A岛望C岛与B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，那么B岛与C岛之间的距离为________nmile.
隔河看两目标A、B，但不能到达，在岸边选取相距km的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(视A、B、C、D四点在同一平面内)．求两目标A、B之间的距离．
图2－3－1
【解】在△ACD中，∵∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，
∴∠CAD＝30°，∴AC＝CD＝，∴AD＝3.
2．测量角度问题，要准确理解方位角、方向角的概念，准确画出示意图．
图2－3－4
如图2－3－4所示，一缉私艇在A处发现在北偏东45°方向，距离12nmile的海面上有一走私船C正以10nmile/h的速度沿东偏南15°方向逃窜．缉私艇的速度为14nmile/h，若要在最短的时间内追上该走私船，缉私艇应沿北偏东45°＋α的方向去追，求追及所需的时间和α角的正弦值．
图2－3－2
【解】在△BCD中，∠CBD＝180°－75°－60°＝45°，
由正弦定理得＝，
所以BC＝＝＝s.
在Rt△ABC中，
AB＝BC·tan∠ACB＝s·tan 30°＝s.
因此塔高为s.
测量角度问题
图2－3－3
如图2－3－3所示，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？
∴BE＝DBsin 15°＝20·＝10(－1)．
在Rt△ABE中，∠AEB＝30°，
∴AB＝BEtan 30°＝(3－)(米)．
故所求的塔高为(3－)米．
1．本题与立体几何中的角有关，解决的关键是准确作出空间图形，在AB一定时，仰角要最大，需B到测试点的距离最小，所以测试点是过B向CD作垂线的垂足位置．
整理得2t2－t－1＝0解得t＝1或t＝－(舍去)．
所以救生艇需1小时靠近渔船，
此时AB＝10，BC＝10.7分
在△ABC中，由正弦定理得＝，9分
∴sin∠CAB＝＝＝.
∴∠CAB＝30°.
所以海上救生艇航行的方位角为75°.12分
解三角形的实际应用很关键的一步就是画出示意图，把实际应用问题通过示意图转化为三角形问题，这就是数形结合的思想．
2．准确理解应用题中的有关名称、术语，如仰角、俯角、方位角等，将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识，建立数学模型，然后正确求解，最后作答．
(2013·沈阳高二检测)如图2－3－2所示，测量河对岸的塔高AB时，可选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝75°，∠BDC＝60°，CD＝s，并在点C处测得塔顶A的仰角为30°，求塔高AB.
【思路探究】画出实际问题的示意图，结合正弦定理、余弦定理求解．
【自主解答】如图所示，∠CAD＝25°＋35°＝60°.
在△BCD中，由余弦定理的推论得
cosB＝
＝＝.
∴sinB＝＝.
在△ABC中，由正弦定理得
AC＝＝＝24.
由余弦定理得
BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA，
即312＝AB2＋242－2·AB·24cos 60°，
∴AB2－24AB－385＝0.
解得AB＝35或AB＝－11(舍)．
∴AD＝AB－BD＝15(km)．
即此人在D处距A还有15km.
1．理解题意，作出正确的示意图是解决本题的关键．
2．测量两个点之间的距离问题，一般是把求距离问题转化为求三角形的边长问题，首先是明确题意，根据条件和图形特点寻找可解的三角形，然后利用正弦定理或余弦定理求解．
【思路点拨】可先设出救生艇靠近渔船所需的时间t，然后在△ABC中利用余弦定理建立关于t的方程，即可求解．
【规范解答】
如图所示，设所需时间为t小时，且两船在B处相遇．
则AB＝10t，CB＝10t，2分
在△ABC中，根据余弦定理，则有
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 120°，
可得(10t)2＝102＋(10t)2－2×10×10tcos 120°.5分
【思路探究】在△ABD中先由正弦定理求BD，再在△BCD由余弦定理求CD即可．
【自主解答】由题意知AB＝5(3＋)，
∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝45°，
∴∠ADB＝105°.
∴sin 105°＝sin 45°·cos 60°＋sin 60°·cos 45°
＝×＋×
＝.
在△ABD中，由正弦定理得：
A．10Байду номын сангаасmB．10km
C．15kmD．15km
【解析】在△ABC中，BC＝40×＝20(km)，
∠ABC＝140°－110°＝30°，∠ACB＝(180°－140°)＋65°＝105°，
∴A＝180°－(30°＋105°)＝45°.
由正弦定理，得
∴AB＝＝＝≈65.7(m)
答：A、B两点间的距离为65.7米．
(对应学生用书第103页)
一、选择题
1．在第十一届全运会上，设立了很多安全检测点，已知检测点A和B与主会场O的距离相等．检测点A在主会场北偏东40°，检测点B在主会场南偏东60°，则检测点A在检测点B的()
A．北偏东10°B．北偏西10°
解三角形应用问题的一般步骤是：
(1)审题：弄清题意，分清已知与所求，准确理解应用题中的有关名称和术语，如仰角、俯角、方位角等．
(2)画图：将文字语言转化为图形语言和符号语言；
(3)建模：将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等数学知识建立相应的数学模型；
(4)求模：求解数学模型，得到数学结论．演算过程要简练，计算准确；
【解析】画出示意图，易得C＝45°，由正弦定理＝，∴BC＝5.
【答案】5
4．如图2－3－6，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC＝51°，∠ACB＝75°，求A、B两点的距离(精确到0.1m)．
图2－3－6
【解】根据正弦定理，得＝，
问题2：对于例2的实际情景作一分析，研究如测量两个不可能到达点之间的测量问题．
设计意图：如何通过可测量的距离解决不可到达点之间的测量问题．
师生活动：分析研究如何得到测量方法，关键是在于把未知条件转化成可以测量的距离，如何把实际问题转化为解三角形问题．
●教学流程
⇒⇒⇒⇒⇒
(对应学生用书第41页)
课标解读
【解】设经过x小时后在B处追上，则有
AB＝14x，BC＝10x，∠ACB＝120°，
∴(14x)2＝122＋(10x)2－2×12×10x·cos 120°，
∴x＝2，AB＝28，BC＝20，sinα＝＝，
所以，所需时间2小时，sinα＝.
(对应学生用书第43页)
数形结合思想在实际问题中的应用
(12分)某渔船在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海上救生艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距离为10海里的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10海里/小时的速度向某小岛靠拢，我海上救生艇立即以10海里/小时的速度前去营救，求海上救生艇的航向和靠近渔船所需的时间．
A．100m
B．100m
C．50(＋)m
D．200m
【解析】在△ABC中，B＝30°，∠BAC＝75°－30°＝45°，AC＝100，
由正弦定理得＝，
∴BC＝sin 45°＝100.
【答案】A
4．如图2－3－8，
图2－3－8
货轮在海上以40km/h的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为140°的方向航行，为了确定船的位置，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行h到达C点，观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是()
●重点难点
重点：运用正、余弦定理等知识方法解决一些测量和几何有关的实际问题．
难点：掌握解三角形的实际应用问题的一般步骤．
●教学建议
问题1：我们在初中已经学习了哪些测量距离的方法？
设计意图：引导学生回忆复习已经学习的一些测量距离方法：应用全等三角形、相似三角形和解直角三角形的知识进行距离测量的方法．
师生活动：可以画出测量方法的简明示意图，老师可以指这些方法的一些局限．
(5)还原：把用数学方法得到的结论，还原为实际问题的意义作答．
(对应学生用书第43页)
1．若P在Q的北偏东44°50′，则Q在P的()
A．西偏南44°50′B．西偏北45°10′
C．南偏西44°50′ D．南偏东45°10′
【解析】由方向角的定义知：选项C正确．
【答案】C
图2－3－5
2．如图2－3－5所示，在河岸AC测量河的宽度BC，图中所标的数据a，b，c，α，β是可供测量的数据．下面给出的四组数据中，对测量河宽较适宜的是()
在△BCD中，∠CBD＝180°－45°－75°＝60°，
由正弦定理，得＝，
∴BD＝＝＝.
在△ADB中，由余弦定理，得
AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB
＝9＋2－2×3××＝5，
∴AB＝，即目标A、B相距km.
测量高度问题
某人从塔AB的正东C处沿着南偏西60°的方向前进40米后到达D处，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高．