高一数学第二章教案---反函数(1)

第十二教时

教材：反函数（1）

目的：要求学生掌握反函数的概念，会求一些简单函数的反函数。 过程：

一、复习：映射、一一映射及函数的近代定义。

二、反函数的引入及其定义：

1．映射的例子：①这个映射所决定的函数是： y = 3x - 1

②这个映射是有方向的：f :：A B ( f ：x y = 3x - 1)

③如果把方向“倒过来”呢？

（写成） f -1： A B ( f -1：y 31+=

y x ) ④观察一下函数 y = 3x - 1与函数 3

1+=y x 的联系 我们发现：它们之间自变量与函数对调了；定义域与值域也对调了，后者的解

析是前者解析中解出来的（x ）。

2．得出结论：函数 3

1+=

y x 称作函数 y = 3x - 1的反函数。 定义：P66 （略）

注意：（再反复强调）：①用 y 表示 x , x = ϕ (y )

②满足函数的（近代）定义

③自变量与函数对调

④定义域与值域对调

⑤写法：x = f -1(y )

考虑到“用 y 表示自变量 x 的函数”的习惯，将 x = f -1(y ) 写成 y = f -1(x ) 如上例 f -1：31+=x y 3．几个必须清楚的问题：

1︒ 如果 y = f (x ) 有反函数 y = f -1(x )，那么 y = f -1(x ) 的反函数是 y = f (x )，它们互为反函数。

2︒ 并不是所有的函数都有反函数。如 y = x 2（可作映射说明）

因此，只有决定函数的映射是一一映射，这个函数才有反函数。 3︒ 两个函数互为反函数，必须：原函数的定义域是它的反函数的值域

原函数的值域是它的反函数的定义域 如：)(2

Z y y x ∈=不是函数 y = 2 x ( x ∈ Z ) 的反函数。 4︒ 指导阅读课本，包括“举例”“定义”“说明”“表格”以加深印象。

三、求反函数：

1．例题：（见P66—67 例一）

注意：1︒ 强调：求反函数前先判断一下决定这个函数的映射是否是一一

映射。

2︒ 求出反函数后习惯上必须将 x 、y 对调，写成习惯形式。

3︒ 求出反函数后必须写出这个函数的定义域——原函数的值域。

2．小结：求函数反函数的步骤：

1︒判析 2︒反解 3︒互换 4︒写出定义域

3．补充例题：

1︒ 求函数 211x y --= （-1≤ x < 0）的反函数。

解：∵ -1≤ x < 0 ∴0 < x 2 ≤ 1 ∴0≤1 - x 2 < 1

∴ 0 ≤21x -< 1 ∴0 < y ≤ 1 由：211x y --= 解得：22y y x --= (∵ -1≤ x < 0 ) ∴211x y --=(-1≤ x < 0)的反函数是：22x x y --=( 0 < x ≤1 )

2︒ 求函数 ⎩⎨⎧<≤-≤≤-=)01()10(122x x

x x y 的反函数。 解：①当 0≤ x ≤1时， -1 ≤ x 2-1 ≤ 0 即 0 ≤ y ≤ 1

由 y = x 2-1 (0≤ x ≤1) 解得 1+-=y x (-1≤ y ≤ 0)

∴ f -1(x ) = 1+-x (-1≤ x ≤ 0)

②当 -1≤ x < 0时， 0 < x 2 ≤ 1 即 0 < y ≤ 1

由 y = x 2 (-1≤ x < 0) 解得 y x -= (0 < y ≤ 1) ∴ f -1(x ) = x - (0 < x ≤ 1) ∴所求反函数为：⎩⎨⎧≤<-≤≤-+=)10()01(1x x

x x y 四、小结：反函数的定义、求法、注意点。

五、作业：课本 P66练习 1 P66—69 习题2.4 1、2

《课课练》 P61“例题推荐”1、2 P62 7、8