高一数学第二章教案---反函数(1)
高中数学必修一高一数学第二章(第课时)反函数公开课教案课件课时训练练习教案课件
课 题：2.4.1 反函数（一）教学目的：掌握反函数的概念和表示法，会求一个函数的反函数教学重点：反函数的定义和求法教学难点：反函数的定义和求法授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教材分析：反函数是数学中的一个很重要的概念，它是我们以后进一步研究具体函数类即五大类基本初等函数的一个不可缺少的重要组成部分 反函数是函数中的一个特殊现象，对反函数概念的讨论研究是对函数概念和函数性质在认识上的进一步深化和提高反函数概念的建立，关键在于让学生能从两个函数关系的角度去认识它，从而深化对函数概念的认识 本节是反函数的第一节课围绕如何理解反函数概念这个重难点展开由于函数是一种对应关系，这个概念本身不好理解，而反函数又是函数中的一种特殊现象，它是两个函数之间的关系所以弄清函数与其反函数的关系，是正确理解反函数概念必不可少的重要环节教学设计中，通过对具体例子的求解，不但使学生掌握求反函数的方法步骤，并有意识地阐明函数与反函数的关系深化了对概念的理解和掌握教学过程： 一、复习引入：我们知道，物体作匀速直线运动的位移s 是时间t 的函数，即s=vt,其中速度v 是常量,定义域t ≥0,值域s ≥0；反过来，也可以由位移s 和速度v （常量）确定物体作匀速直线运动的时间，即vs t =，这时，位移s 是自变量，时间t 是位移s 的函数,定义域s ≥0,值域t ≥0.又如，在函数62+=x y 中，x 是自变量，y 是x 的函数，定义域x ∈R ，值域y ∈R. 我们从函数62+=x y 中解出x ，就可以得到式子32-=y x . 这样，对于y 在R 中任何一个值，通过式子32-=y x ，x 在R 中都有唯一的值和它对应. 因此，它也确定了一个函数：y 为自变量，x 为y 的函数，定义域是y ∈R ，值域是x ∈R.综合上述，我们由函数s=vt 得出了函数vs t =；由函数62+=x y 得出了函数32-=y x ，不难看出，这两对函数中，每一对中两函数之间都存在着必然的联系：①它们的对应法则是互逆的；②它们的定义域和值域相反：即前者的值域是后者的定义域，而前者的定义域是后者的值域. 我们称这样的每一对函数是互为反函数.二、讲解新课：反函数的定义一般地，设函数))((A x x f y ∈=的值域是C ，根据这个函数中x,y 的关系，用y 把x 表示出，得到x=ϕ(y). 若对于y 在C 中的任何一个值，通过x=ϕ(y)，x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x=ϕ(y)就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数，这样的函数x=ϕ(y) (y ∈C)叫做函数))((A x x f y ∈=的反函数，记作)(1y f x -=,习惯上改写成)(1x f y -=开始的两个例子：s=vt 记为vt t f =)(，则它的反函数就可以写为vt t f =-)(1，同样62+=x y 记为62)(+=x x f ，则它的反函数为：32)(1-=-x x f . 探讨1：所有函数都有反函数吗？为什么？反函数也是函数，因为它符合函数的定义，从反函数的定义可知，对于任意一个函数)(x f y =来说，不一定有反函数，如2x y =,只有“一一映射”确定的函数才有反函数，2x y =,),0[+∞∈x 有反函数是x y =探讨2：互为反函数定义域、值域的关系从映射的定义可知，函数)(x f y =是定义域A 到值域C 的映射，而它的反函数)(1x f y -=是集合C 到集合A 的映射，因此，函数)(x f y =的定义域正好是它的反函数)(1x fy -=的值域；函数)(x f y =的值域正好是它的反函数)(1x fy -=的定义域x x f f x x f f ==--)]([,)]([11（如下表）：探讨3：)(1x f y -=的反函数是？若函数)(x f y =有反函数)(1x f y -=，那么函数)(1x f y -=的反函数就是)(x f y =，这就是说，函数)(x f y =与)(1x fy -=互为反函数三、讲解例题：例1．求下列函数的反函数： ①)(13R x x y ∈-=； ②)(13R x x y ∈+=； ③)0(1≥+=x x y ； ④)1,(132≠∈-+=x R x x x y 且. 解：①由13-=x y 解得31+=y x ∴函数)(13R x x y ∈-=的反函数是)(31R x x y ∈+=， ②由)(13R x x y ∈+=解得x=31-y , ∴函数)(13R x x y ∈+=的反函数是)(13R x x y ∈-=③由y=x +1解得x=2)1(-y , ∵x ≥0，∴y ≥1. ∴函数)0(1≥+=x x y 的反函数是x=2)1(-y (x ≥1); ④由132-+=x x y 解得23-+=y y x ∵x χ{x ∈R|x ≠1}，∴y ∈{y ∈R|y ≠2} ∴函数)1,(132≠∈-+=x R x x x y 且的反函数是)2,(23≠∈-+=x R x x x y 小结：⑴求反函数的一般步骤分三步，一解、二换、三注明 ⑵反函数的定义域由原来函数的值域得到，而不能由反函数的解析式得到 ⑶求反函数前先判断一下决定这个函数是否有反函数，即判断映射是否是一一映射例2．求函数23-=x y （R x ∈）的反函数，并画出原来的函数和它的反函数的图像解：由23-=x y 解得32+=y x∴函数)(23R x x y ∈-=的反函数是)(32R x x y ∈+=， 它们的图像为：例3求函数 211x y --=（-1<x<0）的反函数 解：∵ -1<x<0 ∴0<2x <1 ∴0<1 -2x < 1∴ 0 <21x -< 1 ∴0 < y <1 由：211x y --= 解得：22y y x --= (∵ -1< x < 0 ) ∴211x y --=(-1<x < 0)的反函数是：22x x y --=(0<x<1 )例4 已知)(x f = 2x -2x(x ≥2),求)(1x f -.解法1：⑴令y=2x -2x ，解此关于x 的方程得2442y x +±=， ∵x ≥2，∴2442y x ++=，即x=1+y +1--①, ⑵∵x ≥2，由①式知y +1≥1，∴y ≥0--②,⑶由①②得)(1x f -=1+x +1（x ≥0，x ∈R ）；解法2：⑴令y=2x -2x=2)1(-x -1，∴2)1(-x =1+y ，∵x ≥2，∴x-1≥1，∴x-1=y +1--①,即x=1+y +1,⑵∵x ≥2，由①式知y +1≥1，∴y ≥0,⑶∴函数)(x f = 2x -2x(x ≥2)的反函数是)(1x f -=1+x +1（x ≥0）；说明：二次函数在指定区间上的反函数可以用求根公式反求x ，也可以用配方法求x ，但开方时必须注意原来函数的定义域.四、课堂练习：课本P63练习：已知函数)(x f y =，求它的反函数)(1x fy -= （1） 32+-=x y （x ∈R ） （2）x y 2-= (x ∈R ，且x ≠0) （3） 4x y = （x ≥0） （4）53+=x x y (x ∈R ，且x ≠35-) 五、小结 本节课学习了以下内容：反函数的定义及其注意点、求法步骤六、课后作业：课本第64习题2.4：1七、板书设计（略）八、课后记：活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。
数学教案-反函数
数学教案－反函数教案：反函数目标：学生能够理解反函数的概念、性质和应用，能够求解简单的反函数。
一、引入1. 引导学生回顾什么是函数，回顾函数的定义和性质。
2. 引出反函数的概念，提问学生是否知道什么是反函数，对于一个函数，如何求它的反函数。
二、概念和性质的讲解1. 定义：对于函数f，如果对于任意的y，都有x=f(y)，则称g为f的反函数。
记作g=f^(-1)。
2. 性质：a. 函数f有反函数的充要条件是f是一一对应的函数。
b. f的反函数的定义域是f的值域，值域是f的定义域。
c. 如果f(x)=y，则f^(-1)(y)=x，即函数f和它的反函数是互逆的。
d. 垂线检测法：函数f和它的反函数在y=x上对应的点。
三、求反函数的方法1. 把函数方程y=f(x)看作x=g(y)，解该方程即可得到反函数。
2. 求反函数的步骤：a. 交换x和y，即将函数方程改写为x=f(y)。
b. 解出y，得到y=f^(-1)(x)。
c. 判断反函数的定义域和值域。
d. 将交换后的方程改写为y=f(x)，将x和y互换，验证函数和反函数的互逆性。
四、示例演练1. 案例1：已知函数f(x)=2x+3，求它的反函数。
步骤：a. 交换x和y，得到x=2y+3。
b. 解出y，得到y=(x-3)/2。
c. 判断反函数的定义域和值域：由于原函数f(x)的定义域是R，值域也是R，所以反函数的定义域是R，值域也是R。
d. 将交换后的方程改写为y=f(x)，即y=f^(-1)(x)=(x-3)/2，验证函数和反函数的互逆性。
2. 案例2：已知函数f(x)=3x^2，求它的反函数。
步骤：a. 交换x和y，得到x=3y^2。
b. 解出y，得到y=sqrt(x/3)或y=-sqrt(x/3)。
c. 判断反函数的定义域和值域：由于原函数f(x)的定义域是R，值域是[0, +∞)，所以反函数的定义域是[0, +∞)，值域是R。
d. 将交换后的方程改写为y=f(x)，即y=f^(-1)(x)=sqrt(x/3)或y=f^(-1)(x)=-sqrt(x/3)，验证函数和反函数的互逆性。
高考数学复习 第13课时 第二章 函数-反函数名师精品教案
第13课时：第二章 函数——反函数一．课题：反函数二．教学目标：理解反函数的意义，会求一些函数的反函数；掌握互为反函数的函数图象间的关系，会利用)(x f y =与)(1x f y -=的性质解决一些问题． 三．教学重点：反函数的求法，反函数与原函数的关系．四．教学过程：（一）主要知识：1．反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数；2．反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、定义域，若()y f x =与1()y f x -=互为反函数，函数()y f x =的定义域为A 、值域为B ，则1[()]()f f x xx B -=∈，1[()]()f f x x x A -=∈；3．互为反函数的两个函数具有相同的单调性，它们的图象关于y x =对称．（二）主要方法：1．求反函数的一般方法：（1）由()y f x =解出1()x f y -=，（2）将1()x f y -=中的,x y 互换位置，得1()y f x -=，（3）求()y f x =的值域得1()y f x -=的定义域．（三）例题分析：例1．求下列函数的反函数：（1）()1)f x x =≤-；（2）221(01)(){(10)x x f x x x -≤≤=-≤<； （3）32331y x x x =-++．解：（1）由1)y x ≤-得2211()(1)24y x x =+-≤-，∴10)2x y +=≥，∴所求函数的反函数为10)2y x =--≥．（2）当01x ≤≤时，得10)x y =-≤≤，当10x -≤<时，得1)x y =<≤，∴所求函数的反函数为10)1)x y x -≤≤=<≤⎪⎩．（3）由32331y x x x =-++得3(1)2y x =-+，∴1)x y R =∈，∴所求反函数为1()1)f x x R -=∈．例2．函数11(,)1ax y x x R ax a -=≠-∈+的图象关于y x =对称，求a 的值． 解：由11(,)1ax y x x R ax a -=≠-∈+得1(1)(1)y x y a y -=≠-+， ∴11()(1)(1)x f x x a x --=≠-+， 由题知：1()()f x f x -=，11(1)1x ax a x ax --=++，∴1a =． 例3．若(2,1)既在()f x =,m n 的值． 解：∵(2,1)既在()f x∴(1)2(2)1f f =⎧⎨=⎩，∴21==，∴37m n =-⎧⎨=⎩．例4．（《高考A 计划》考点12“智能训练第5题”）设函数x x x f +-=121)(，又函数)(x g 与1(1)y f x -=+的图象关于y x =对称，求)2(g 的值． 解法一：由121x y x -=+得12y x y -=+，∴11()2x f x x --=+，1(1)3x f x x --+=+， ∴)(x g 与3x y x -=+互为反函数，由23x x -=+，得(2)2g =-． 解法二：由1(1)y f x -=+得()1x f y =-，∴()()1g x f x =-，∴(2)(2)12g f =-=-．例5．已知函数()y f x =（定义域为A 、值域为B ）有反函数1()y f x -=，则方程()0f x =有解x a =，且()(f x x x A >∈的充要条件是1()y f x -=满足11()()(0)f x x x B f a --<∈=且．例6．（《高考A 计划》考点12“智能训练第15题”）已知21()()21x x a f x a R -=∈+，是R 上的奇函数．（1）求a 的值，（2）求()f x 的反函数，（3）对任意的(0,)k ∈+∞解不等式121()log x f x k-+>． 解：（1）由题知(0)0f =，得1a =，此时21212112()()021212112x x x xx x x xf x f x ------+-=+=+=++++， 即()f x 为奇函数．（2）∵21212121x x x y -==-++，得12(11)1x y y y +=-<<-， ∴121()log (11)1x f x x x-+=-<<-． （3）∵121()log x f x k -+>，∴11111x x x k x ++⎧>⎪-⎨⎪-<<⎩，∴111x k x >-⎧⎨-<<⎩， ①当02k <<时，原不等式的解集{|11}x k x -<<，②当2k ≥时，原不等式的解集{|11}x x -<<．（四）巩固练习：1．设21(01)(){2(10)x x x f x x +≤≤=-≤<，则15()4f -= ． 2．设0,1a a >≠，函数log a y x =的反函数和1log ay x =的反函数的图象关于( )()A x 轴对称 ()B y 轴对称 ()C y x =轴对称 ()D 原点对称3．已知函数1()()12xf x =+，则1()f x --的图象只可能是 （ ）()A ()B ()C ()D4．若6y ax =-与13y x b =+的图象关于直线y x =对称，且点(,)b a 在指数函数()f x 的图象上，则()f x = ．。
高一数学教案 第二章(上)
第二章函数教案（共30课时）第2章函数教材分析高一数学第二章（第1课时）函数的概念高一数学第二章（第2课时）函数的定义域与区间高一数学第二章（第3课时）映射高一数学第二章（第4课时）函数的表示（1）高一数学第二章（第5课时）函数的表示（2）高一数学第二章（第6课时）函数单调性（1）高一数学第二章（第7课时）函数单调性（2）高一数学第二章（第8课时）反函数（1）高一数学第二章（第9课时）反函数（2）高一数学第二章（第10课时）反函数（3）高一数学第二章（第11课时）函数－指数(根式）高一数学第二章（第12课时）函数－分指数（1）高一数学第二章（第13课时）函数－分指数（2）高一数学第二章（第14课时）指数函数（1）高一数学第二章（第15课时）指数函数（2）课题：2.1.1 函数－函数的概念教学目的：1．理解函数的定义；明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素；2．理解静与动的辩证关系，激发学生学习数学的兴趣和积极性教学重点：理解函数的概念；教学难点：函数的概念授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：函数是数学的重要的基础概念之一进一步学习的数学分析，包括极限理论、微分学、积分学、微分方程乃至泛函分析等高等学校开设的数学基础课程，无一不是以函数作为基本概念和研究对象的其他学科如物理学等学科也是以函数的基础知识作为研究问题和解决问题的工具函数的教学内容蕴涵着极其丰富的辩证思想，是对学生进行辩证唯物主义观点教育的好素材函数的思想方法也广泛地诊透到中学数学的全过程和其他学科中函数是中学数学的主体内容它与中学数学很多内容都密切相关，初中代数中的“函数及其图象”就属于函数的内容，高中数学中的指数函数、对数函数、三角函数是函数内容的主体，通过这些函数的研究，能够认识函数的性质、图象及其初步的应用微积分初步知识等都是函数的内容数列可以看作整标函数，等差数列的通项反映的点对(n ，a n )都分布在直线y ＝kx+b 的图象上，等差数列的前n 项和公式也可以看作关于n(n ∈N)的二次函数关系式，等比数列的内容也都属于指数函数类型的整标函数也都与函数内容有关本节的函数是用初中代数中“对应”来描述的函数概念，高一学生的数学知识较少，接受能力有限，用原始概念“对应”一词来描述函数定义是合适的 教学过程：一、复习引入：初中（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？ 设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数.并将自变量x 取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x 的值对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义.初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等问题1：1=y （R x ∈）是函数吗？问题2：x y =与xx y 2=是同一函数吗？观察对应：求平方B二、讲解新课：（一）函数的有关概念设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的函数，记作)(x f y =， x ∈A其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(（⊆B ）叫做函数y=f(x)的值域.函数符号)(x f y =表示“y 是x 的函数”，有时简记作函数)(x f . (1)函数实际上就是集合A 到集合B 的一个特殊对应 B A f →:这里 A, B 为非空的数集.（2）A ：定义域，原象的集合；{}A x x f ∈|)(：值域，象的集合,其中{}A x x f ∈|)( ⊆ B ；f ：对应法则 ， x ∈A ， y ∈B（3）函数符号：)(x f y = ↔y 是 x 的函数，简记 )(x f （二）已学函数的定义域和值域1．一次函数b ax x f +=)()0(≠a :定义域R, 值域R; 2．反比例函xkx f =)()0(≠k :定义域{}0|≠x x , 值域{}0|≠x x ;3．二次函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a :定义域R值域：当0>a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥a b ac y y 44|2；当0<a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤a b ac y y 44|2（三）函数的值：关于函数值 )(a f例：)(x f =2x +3x+1 则 f(2)=22+3×2+1=11注意：1︒在)(x f y =中f 表示对应法则，不同的函数其含义不一样2︒)(x f 不一定是解析式，有时可能是“列表”“图象”3︒)(x f 与)(a f 是不同的，前者为变数，后者为常数（四）函数的三要素： 对应法则f 、定义域A 、值域{}A x x f ∈|)( 只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数三、例题讲解例1 求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)(. 分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定如果只给出解析式)(x f y =，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数x 的集合解：①∵x-2=0，即x=2时，分式21-x 无意义， 而2≠x 时，分式21-x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0，即x<-32时，根式23+x 无意义，而023≥+x ，即32-≥x 时，根式23+x 才有意义，∴这个函数的定义域是{x |32-≥x }.③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x-21同时有意义，∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x }另解：要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≥+0201x x ⇒ ⎩⎨⎧≠-≥21x x∴这个函数的定义域是： {x |1-≥x 且2≠x }强调：解题时要注意书写过程，注意紧扣函数定义域的含义.由本例可知，求函数的定义域就是根据使函数式有意义的条件，布列自变量应满足的不等式或不等式组，解不等式或不等式组就得到所求的函数的定义域.例2 已知函数)(x f =32x -5x+2，求f(3), f(-2), f(a+1).解：f(3)=3×23-5×3+2=14；f(-2)=3×(-2)2-5×(-2)+2=8+52； f(a+1)=3(a+1) 2-5(a+1)+2=3a 2+a.例3下列函数中哪个与函数x y =是同一个函数？⑴()2x y =；⑵33x y =；⑶2x y =解：⑴()2x y =＝x （0≥x ）,0≥y ，定义域不同且值域不同，不是；⑵33x y =＝x （R x ∈）,R y ∈，定义域值域都相同，是同一个函数； ⑶2x y =＝|x |=⎩⎨⎧-x x ,00<≥x x ,0≥y ；值域不同，不是同一个函数 例4 下列各组中的两个函数是否为相同的函数？①3)5)(3(1+-+=x x x y 52-=x y （定义域不同）②111-+=x x y )1)(1(2-+=x x y （定义域不同）③21)52()(-=x x f 52)(2-=x x f （定义域、值域都不同）四、课堂练习：课本第51页练习1，2，3，4 五、小结 本节课学习了以下内容：函数是一种特殊的对应f ：A →B ，其中集合A ，B 必须是非空的数集；)(x f y =表示y 是x 的函数；函数的三要素是定义域、值域和对应法则，定义域和对应法则一经确定，值域随之确定；判断两个函数是否是同一函数，必须三要素完全一样，才是同一函数；)(a f 表示)(x f 在x=a 时的函数值，是常量；而)(x f 是x 的函数，通常是变量六、课后作业：课本第51－52习题2.1：1，2，3，4，5 七、板书设计（略） 八、课后记：课 题：2.1.2函数－区间的概念及求定义域的方法教学目的：1．能够正确理解和使用“区间”、“无穷大”等记号；掌握分式函数、根式函数定义域的求法，掌握求函数解析式的思想方法；2．培养抽象概括能力和分析解决问题的能力；教学重点：“区间”、“无穷大”的概念，定义域的求法教学难点：正确求分式函数、根式函数定义域授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：函数的三要素是：定义域、值域和定义域到值域的对应法则；对应法则是函数的核心(它规定了x和y之间的某种关系)，定义域是函数的重要组成部分（对应法则相同而定义域不同的映射就是两个不同的函数）；定义域和对应法则一经确定，值域就随之确定前面我们已经学习了函数的概念，，今天我们来学习区间的概念和记号二、讲解新课：1．区间的概念和记号在研究函数时,常常用到区间的概念，它是数学中常用的述语和符号.设a,b∈R ,且a<b.我们规定：①满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；②满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为（a,b）；③满足不等式a≤x<b 或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a，b) ,(a，b].这里的实数a和b叫做相应区间的端点.在数轴上，这些区间都可以用一条以a和b为端点的线段来表示，在图中，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点：定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤闭区间[a，b]b}{x|a<x<b} 开区间(a，b)左闭右开区间[a，b]{x|a≤x<b}左开右闭区间(a，b){x|a<x≤b}穷大”，“+∞”读作“正无穷大”.还可把满足x≥a，x>a，x≤b，x<b的实数x的集合分别表示为[a，+∞)，（a，+∞）,(- ∞,b],(- ∞,b).注意：书写区间记号时：①有完整的区间外围记号（上述四者之一）；②有两个区间端点，且左端点小于右端点；③两个端点之间用“，”隔开.2．求函数定义域的基本方法我们知道，根据函数的定义，所谓“给定一个函数”，就应该指明这个函数的定义域和对应法则（此时值域也往往随着确定），不指明这两点是不能算给定了一个函数的，那么为什么又在给定函数之后来求它的定义域呢？这是由于用解析式表示函数时，我们约定：如果不单独指出函数的定义域是什么集合，那么函数的定义域就是能使这个式子有意义的所有实数x 的集合.有这个约定，我们在用解析式给出函数的对应法则的同时也就给定了定义域，而求函数的定义域就是在这个意义之下写出使式子有意义的所有实数组成的集合.3．分段函数：有些函数在它的定义域中，对于自变量x 的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通常称为分段函数.分段函数是一个函数，而不是几个函数.4．复合函数：设 f (x )=2x -3，g (x )=x 2+2，则称 f [g (x )] =2(x 2+2)-3=2x 2+1（或g [f (x )] =(2x -3)2+2=4x 2-12x +11）为复合函数 三、讲解范例：下面举例说明函数定义域的求法.例1已知⎪⎩⎪⎨⎧+=10)(x x f π )0()0()0(>=<x x x ⇒1)]}1([{)0(;0)1(;2)1(+=-==-=ππf f f f f f例2已知f (x )=x 2-1 g (x )=1+x 求f [g (x )]解：f [g (x )]=（1+x ）2-1=x +2x例3 求下列函数的定义域： ①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x x x x f③=)(x f x11111++④xx x x f -+=0)1()(⑤373132+++-=x x y解：①要使函数有意义，必须：142≥-x 即： 33≤≤-x∴函数14)(2--=x x f 的定义域为： [3,3-]②要使函数有意义，必须：⎩⎨⎧≠-≠-≤-≥⇒⎩⎨⎧≠-+≥--13140210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<-->⇒x x x 或或∴定义域为：{ x|4133≥-≤<-->x x x 或或}③要使函数有意义，必须： 011110110≠++≠+≠⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧xx x ⇒2110-≠-≠≠⎪⎩⎪⎨⎧x x x ∴函数的定义域为：}21,1,0|{--≠∈x R x x 且④要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≠+001x x x ⎩⎨⎧<-≠⇒01x x∴定义域为：{}011|<<--<x x x 或⑤要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠+≥+-073032x x ⎪⎩⎪⎨⎧-≠∈⇒37x R x 即 x<37- 或 x>37- ∴定义域为：}37|{-≠x x例4 若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围 解：∵定义域是R,∴恒成立，012≥+-aax ax ∴⎪⎩⎪⎨⎧≤<⇒≤⋅-=∆>2001402a a a a a 等价于 例5 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域解：要使函数有意义，必须：43434543434514111411≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≤+≤-x x x x x ∴函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-4343|x x 求用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况： ①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R ；②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合； ④若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；⑤若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题.例6 已知f(x)满足x x f x f 3)1()(2=+，求)(x f ；∵已知x x f x f 3)1()(2=+ ①，将①中x 换成x 1得xx f x f 3)()1(2=+ ②， ①×2-②得x x x f 36)(3-= ∴xx x f 12)(-=.例7 设二次函数)(x f 满足)2()2(x f x f -=+且)(x f =0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求)(x f 的解析式.解：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ,∵图象过点(0,3),∴有f(0)=c=3,故c=3；又∵f(x)满足)2()2(x f x f -=+且)(x f =0的两实根平方和为10，∴得对称轴x=2且2122122212)(x x x x x x -+=+=10，即22=-ab且10622=-a a b ，∴a=1，b=-4，∴34)(2+-=x x x f四、练习：1．设)(x f 的定义域是[-3，2]，求函数)2(-x f 的定义域解：要使函数有意义，必须：223≤-≤-x 得： 221+≤≤-x∵x ≥0 ∴ 220+≤≤x 2460+≤≤x∴ 函数)2(-x f 的定域义为：{}2460|+≤≤x x2．已知f(x)是一次函数, 且f[f(x)]=4x -1, 求f(x)的解析式解：设f(x)=kx+b 则 k(kx+b)+b=4x -1则⎪⎩⎪⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧-=+=3121)1(42b k b k k 或 ⎩⎨⎧=-=12b k ∴312)(-=x x f 或12)(+-=x x f 3．若x x x f 21(+=+）,求f(x) 解法一（换元法）：令t=1+x 则x=t 2-1, t ≥1代入原式有1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f∴1)(2-=x x f （x ≥1）解法二（定义法）：1)1(22-+=+x x x∴1)1()1(2-+=+x x f 1+x ≥1∴1)(2-=x x f (x ≥1)五、小结 本节课学习了以下内容：区间的概念和记号，求函数定义域的基本方法，求解析式的方法，分段函数；复合函数六、课后作业：课本第52页习题2.1：6补充：1 已知：)(x f =x 2-x+3 求： f(x+1), f(x1) 解：f(x 1)=(x 1)2-x1+3； f(x+1)=(x+1)2-(x+1)+3=x 2+x+32 已知函数)(x f =4x+3，g(x)=x 2,求f[f(x)]，f[g(x)]，g[f(x)]，g[g(x)]. 解：f[f(x)]=4f(x)+3=4(4x+3)+3=16x+15；f[g(x)]=4g(x)+3=4x 2+3；g[f(x)]=[f(x)]2=(4x+3)2=16x 2+24x+9； g[g(x)]=[g(x)]2=(x 2)2=x 4. 3 若xxx f -=1)1( 求f(x) 解： 令x t 1= 则tx 1= (t ≠0) 则11111)(-=-=t tt t f∴f(x)=11-x (x ≠0且x ≠1)七、板书设计（略） 八、课后记： 课 题：2.1.3函数－映射教学目的：（1）了解映射的概念及表示方法（2）了解象与原象的概念，会判断一些简单的对应是否是映射，会求象或原象. （3）会结合简单的图示，了解一一映射的概念 教学重点：映射的概念 教学难点：映射的概念 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节是在集合与简易逻辑和函数的概念之后学习的，映射概念本身就属于集合的知识因此，要联系前一章的内容和函数的概念来学习本节，映射是是两个集合的元素与元素的对应关系的一个基本概念映射中涉及的“原象的集合A ”“象的集合B ”以及 “从集合A 到集合B 的对应法则f ”可以更广泛的理解集合A 、B 不仅仅是数集，还可以是点集、向量的集合等，本章主要是指数的集合随着内容的增多和深入，可以逐渐加深对映射概念的理解，例如实数对与平面点集的对应，曲线与方程的对应等都是映射的例子映射是现代数学的一个基本概念 教学过程：一、复习引入：在初中我们已学过一些对应的例子：（学生思考、讨论、回答） ①看电影时，电影票与座位之间存在者一一对应的关系②对任意实数a ，数轴上都有唯一的一点A 与此相对应③坐标平面内任意一点A 都有唯一的有序数对(x, y)和它对应④任意一个三角形，都有唯一的确定的面积与此相对应⑤高一（2）班的每一个学生与学号一一对应函数的概念本节我们将学习一种特殊的对应—映射.二、讲解新课：看下面的例子：设A ，B 分别是两个集合，为简明起见，设A ，B 分别是两个有限集求平方B B说明：（2）（3）（4）这三个对应的共同特点是：对于左边集合A 中的任何一个元素，在右边集合B 中都有唯一的元素和它对应 映射：设A ，B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应， 这样的对应（包括集合A 、B 以及A 到B 的对应法则f ）叫 做集合A 到集合B 的映射 记作：B A f :象、原象：给定一个集合A到集合B的映射，且Ba∈∈,，如Ab果元素a和元素b对应，则元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象关键字词：（学生思考、讨论、回答，教师整理、强调）①“A到B”：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射,A到B是求平方，B到A则是开平方，因此映射是有序的；②“任一”：就是说对集合A中任何一个元素，集合B中都有元素和它对应，这是映射的存在性；③“唯一”：对于集合A中的任何一个元素，集合B中都是唯一的元素和它对应，这是映射的唯一性；④“在集合B中”：也就是说A中元素的象必在集合B中，这是映射的封闭性.指出：根据定义，（2）（3）（4）这三个对应都是集合A到集合B的映射；注意到其中（2）（4）是一对一，（3）是多对一思考：（1）为什么不是集合A到集合B的映射？回答：对于（1），在集合A中的每一个元素，在集合B中都有两个元素与之相对应，因此，（1）不是集合A到集合B的映射思考：如果从对应来说，什么样的对应才是一个映射?一对一，多对一是映射但一对多显然不是映射辨析：①任意性：映射中的两个集合A,B可以是数集、点集或由图形组成的集合等；②有序性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；③存在性：映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象；④唯一性：映射中集合A的任一元素在集合B中的象是唯一的；⑤封闭性：映射中集合A的任一元素的象都必须是B中的元素，不要求B中的每一个元素都有原象，即A中元素的象集是B的子集.映射三要素：集合A、B以及对应法则f，缺一不可；三、例题讲解例1 判断下列对应是否映射？有没有对应法则？(是) （不是）（是）是映射的有对应法则，对应法则是用图形表示出来的例2下列各组映射是否同一映射？例3判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射？（1）设A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则12:+→x x f （2）设}1,0{,*==B N A ，对应法则得的余数除以2:x x f →（3）N A =，}2,1,0{=B ，除所得的余数被3:x x f →（4）设}41,31,21,1{},4,3,2,1{==Y X 取倒数x x f →:（5）N B N x x x A =∈>=},,2|{，的最大质数小于x x f →: 四、练习：1．设A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6,7,8,9}，集合A 中的元素x 按照对应法则“乘2加1”和集合B 中的元素2x+1对应．这个对应是不是映射？（是）2．设A=N*，B={0，1}，集合A 中的元素x 按照对应法则“x 除以2得的余数”和集合B 中的元素对应．这个对应是不是映射？（不是（A 中没有象））3．A=Z ，B=N*，集合A 中的元素x 按照对应法则“求绝对值”和集合B 中的元素对应．这个对应是不是映射？ （是）4．A={0,1,2,4}，B={0,1,4,9,64}，集合A 中的元素x 按照对应法则“f ：a τ b=(a -1)2”和集合B 中的元素对应．这个对应是不是映射？ （是）5．在从集合A 到集合B 的映射中，下列说法哪一个是正确的？（A ）B 中的某一个元素b 的原象可能不止一个 （B ）A 中的某一个元素a 的象可能不止一个 （C ）A 中的两个不同元素所对应的象必不相同 （D ）B 中的两个不同元素的原象可能相同 6．下面哪一个说法正确？（A ）对于任意两个集合A 与B ，都可以建立一个从集合A 到集合B 的映射 （B ）对于两个无限集合A 与B ，一定不能建立一个从集合A 到集合B 的映射（C ）如果集合A 中只有一个元素，B 为任一非空集合，那么从集合A 到集合B 只能建立一个映射（D ）如果集合B 只有一个元素，A 为任一非空集合，则从集合A 到集合B 只能建立一个映射7．集合A=N ，B={m|m=1212+-n n ,n ∈N},f:x →y=1212+-x x ，x ∈A ，y ∈B.请计算在f 作用下，象119，1311的原象分别是多少.( 5，6.) 分析：求象119的原象只需解方程1212+-x x =119求出x 即可.同理可求1311的原象.五、小结 本节课学习了以下内容：对应、映射概念，特征、要素六、课后作业：课本第52页习题2.1：7，8 七、板书设计（略） 八、课后记：课 题：2.2.1函数的表示法1教学目的：1．掌握函数的解析法、列表法、图象法三种主要表示方法．2．培养数形结合、分类讨论的数学思想方法，掌握分段函数的概念 教学重点：解析法、图象法． 教学难点：作函数图象 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教材分析：函数的解析法、列表法、图象法中，以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法．运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线．要把表列在关键处，要把线连在恰当处．这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究．而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点．用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换．这也是个难点． 教学过程：一、复习引入：1．函数的定义是什么？函数的图象的定义是什么？ 2．在中学数学中，画函数图象的基本方法是什么？3．用描点法画函数图象，怎样避免描点前盲目列表计算？怎样做到描最少的点却能显示出图象的主要特征？二、讲解新课：函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种.⑴解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.例如，s=602t ，A=π2r ，S=2rl π,y=a 2x +bx+c(a ≠0),y=2-x (x ≥2)等等都是用解析式表示函数关系的.优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数.⑵列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.用列表法来表示函数关系的.公共汽车上的票价表优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值. ⑶图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系. 例如，气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，课本中我国人口出生率变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的. 优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质.xy三、例题讲解例1某种笔记本每个5元，买 x ∈{1,2,3,4}个笔记本的钱数记为y （元），试写出以x 为自变量的函数y 的解析式，并画出这个函数的图像解：这个函数的定义域集合是{1,2,3,4}，函数的解析式为 y=5x ，x ∈{1,2,3,4}.它的图象由4个孤立点A (1， 5) B (2， 10) C (3， 15) D (4， 20)组成，如图所示例2 国内投寄信函（外埠），每封信函不超过20g 付邮资80分，超过20g 而不超过40g 付邮资160分，依次类推，每封x g(0<x ≤100)的信函应付邮资为（单位：分），试写出以x 为自变量的函数y 的解析式，并画出这个函数的图像解：这个函数的定义域集合是1000≤<x ，函数的解析式为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈∈∈∈∈=].100,80(,400],80,60(,320],60,40(,240],40,20(,160],20,0(,80x x x x x y这个函数的图象是5条线段（不包括左端点），都平行于x 轴，如图所示.这一种函数我们把它称为分段函数例3 画出函数y=|x|=⎩⎨⎧<-≥.0,0x xx x的图象.解：这个函数的图象是两条射线，分别是第一象限和第二象限的角平分线，如图所示. 说明：①再次说明函数图象的多样性；②从例4和例5看到，有些函数在它的定义域中，对于自变量x 的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通常称为分段函数.注意分段函数是一个函数，而不是几个函数.③注意：并不是每一个函数都能作出它的图象，如狄利克雷（Dirichlet ）函数D(x)=⎩⎨⎧.x 0x 1是无理数，是有理数，，,我们就作不出它的图象.例4作出分段函数21++-=x x y 的图像 解：根据“零点分段法”去掉绝对值符号，即：21++-=x x y =⎪⎩⎪⎨⎧++-123)12(x x 1122>≤<--≤x x x 作出图像如下 例5作出函数xx y 1+=的图象列表描点：四、课堂练习：课本第56页练习1，2，3五、小结 本节课学习了以下内容：函数的表示方法及图像的作法 六、课后作业：课本第56习题2.2：1，2，3，4 补充：1．作函数y=|x-2|(x ＋1)的图像分析 显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形．解：(1)当x ≥2时，即x-2≥0时，49)21(2)1)(2(22--=--=+-=x x x x x y当x ＜2时，即x-2＜0时，49)21(2)1)(2(22+--=++-=+--=x x x x x y .∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4921492122x x y 22<≥x x 这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出 2． 作出函数|32|2--=x x y 的函数图像解：⎩⎨⎧<-----≥----=032)32(032322222x x x x x x x x y 步骤：（1）作出函数y=2x -2x -3的图象（2）将上述图象x 轴下方部分以x 轴为对称轴向上翻折（上方部分不变），即得y=|2x -2x -3|的图象七、板书设计（略） 八、课后记：课 题：2.2函数的表示方法2—函数的值域教学目的：1．掌握求函数值域的基本方法（直接法、换元法、判别式法）；掌握二次函数值域（最值）或二次函数在某一给定区间上的值域（最值）的求法. 2．培养观察分析、抽象概括能力和归纳总结能力； 教学重点：值域的求法教学难点：二次函数在某一给定区间上的值域（最值）的求法授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入：函数的三要素是：定义域、值域和定义域到值域的对应法则；对应法则是函数的核心(它规定了x 和y 之间的某种关系)，定义域是函数的重要组成部分（对应法则相同而定义域不同的映射就是两个不同的函数）；定义域和对应法则一经确定，值域就随之确定函数的表示方法⑴解析法优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数.⑵列表法优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.⑶图象法：优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质.前面我们已经学习了函数定义域的求法和函数的表示法，今天我们来学习求函数值域的几种常见方法二、讲解新课：1．直接法：利用常见函数的值域来求 一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ； 反比例函数)0(≠=k xky 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}；二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ，当a>0时，值域为{a b ac y y 4)4(|2-≥}；当a<0时，值域为{ab ac y y 4)4(|2-≤}.例1．求下列函数的值域① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②x x f -+=42)( ③1+=x x y ④xx y += 解：①∵-1≤x ≤1，∴-3≤3x ≤3，∴-1≤3x+2≤5，即-1≤y ≤5，∴值域是[-1，5] ②∵),0[4+∞∈-x ∴,2[)(+∞∈x f即函数x x f -+=42)(的值域是 { y| y ≥2}③1111111+-=+-+=+=x x x x x y ∵011≠+x ∴1≠y 即函数的值域是 { y| y ∈R 且y ≠1}（此法亦称分离常数法） ④当x>0，∴x x y 1+==2)1(2+-xx 2≥， 当x<0时，)1(x x y -+--==－2)1(2----xx -≤ ∴值域是 ]2,(--∞[2，+∞).（此法也称为配方法） 函数xx y 1+=的图像为： 2．二次函数比区间上的值域(最值)： 例2 求下列函数的最大值、最小值与值域：①142+-=x x y ； ②]4,3[,142∈+-=x x x y ；③]1,0[,142∈+-=x x x y ； ④]5,0[,142∈+-=x x x y ；。
反函数的教案
反函数的教案教案标题：探索反函数教案目标：1. 理解反函数的概念及其在数学中的重要性；2. 能够识别和分析函数及其反函数的关系；3. 掌握求解简单反函数的方法；4. 运用反函数解决实际问题。
教学资源：1. 教学投影仪或白板；2. 学生练习册或工作纸；3. 计算器；4. 实例演示材料。
教学步骤：引入活动：1. 使用教学投影仪或白板展示一个简单的函数图像，并询问学生对函数的了解程度。
2. 引导学生思考：如果给定一个函数的输出，我们是否能够找到相应的输入值？这样的操作是否可行？概念讲解：1. 介绍反函数的概念：反函数是指对于一个给定的函数 f(x)，如果存在另一个函数 g(x)，使得 g(f(x)) = x 成立，则 g(x) 是 f(x) 的反函数。
2. 强调反函数与原函数之间的关系：反函数与原函数是一对互逆的函数，它们的输入和输出互相对应。
3. 解释反函数的符号表示：通常，我们用 f^(-1)(x) 来表示函数 f(x) 的反函数。
示例演示：1. 选择一个简单的函数，如 f(x) = 2x + 3，并求解其反函数。
2. 通过代入法或等式变换的方法，解出反函数 g(x)。
3. 将 f(x) 和 g(x) 的图像展示给学生，让他们观察两者之间的关系。
练习活动：1. 分发学生练习册或工作纸，并要求学生通过求解反函数来验证给定函数的互逆性。
2. 提供一些简单的函数，如 f(x) = 3x - 5，让学生尝试求解其反函数。
3. 鼓励学生在计算过程中使用计算器，但也强调手工计算的重要性。
拓展应用：1. 引导学生思考反函数在实际问题中的应用，如时间与距离之间的关系等。
2. 提供一些实际问题，并要求学生运用反函数解决问题。
3. 鼓励学生在解决问题时使用图像、表格或符号等多种表示方法。
总结：1. 总结反函数的概念及其重要性；2. 强调反函数与原函数的互逆性；3. 鼓励学生继续探索反函数的应用领域。
评估方法：1. 监控学生在练习活动中的表现，并提供即时反馈；2. 收集学生完成的练习册或工作纸，评估他们对于反函数的理解程度；3. 针对学生的问题和困惑，提供个别指导和辅导。
必修1 第二章 反函数教案
过程
教学内容
自主学习
不看不讲
1．复习
（1）函数的概念
（2）用列表描点法在同一个直角坐标点中画出 的函数图象.`
2．讲授新知
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
…
1
2
4
8
…
…
1
2
4
8
…
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
图象如下：
探究：在指数函数 中， 为自变量， 为因变量，如果把 当成自变量， 当成因变量，那么 是 的函数吗？如果是，那么对应关系是什么？如果不是，请说明理由.
引导学生通过观察、类比、思考与交流，得出结论.
反函数的概念：
当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数．
由反函数的概念可知，同底数的指数函数和对数函数互为反函数．
合作探究
不议不讲
高效训练
不练不讲
教学内容
第2课
（单元）
主题
第3课反函数概念
1课时
教学目标
知识
与技能
了解反函数的概念，加深对函数思想的理解.
过程
与方法
学生通过观察和类比函数图象，体会两种函数的单调性差异.
情感态度与价值观
（1）体会指数函数与指数;
（2）进一步领悟数形结合的思想.
教
材
分
析
重点
指数函数与对数函数内在联系
难点
反函数概念的理解
教案设计高中数学《反函数》
教案设计高中数学《反函数》一、教材分析1.教学内容本节教材内容涉及反函数的概念，反函数的求法。
函数从本质上讲是函数，原函数与反函数互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称。
2.本节教材地位与重要性“反函数”一节课是《高中数学》第一册的重要内容。
这一节课与函数的基本概念有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，既可以让学生接受、理解反函数的概念并学会反函数的求法，又可使学生加深对函数基本概念的理解，还为日后反三角函数的教学做好准备,起到承上启下的重要作用。
3.重点与难点重点：反函数的概念及反函数的求法。
理解反函数概念并求出函数的反函数是高一数学教学的重要内容，这建立在对函数概念的真正理解的基础上，必须使学生对于函数的基本概念有清醒的认识。
难点：反函数概念的接受与理解。
学生对于反函数的来历、反函数与原函数间的关系都容易产生错误的认识，必须使学生认清反函数的实质就是函数这一本质问题，才能使学生接受概念并对反函数的存在有正确的认识。
教学中复习函数概念，进而引出反函数概念，就是为突破难点做准备。
4.课时安排本节内容将安排1课时时间完成教学。
二、教学目标知识目标：○1理解反函数的概念，并能判定一个函数是否存在反函数；○2掌握反函数的求法，并能理解原函数和反函数之间的内在联系；能力目标：通过观察、分析、抽象、推理得出数学规律，培养学生的数学意识。
通过作图，加强学生对数形结合的数学思想的理解，训练学生自主地获取知识的能力，和在所学知识的基础上进行再创新的能力。
情感目标：使学生树立对立统一的辩证思维的观点。
三、教法与学法分析1.教法分析根据本节课的内容及学生的实际水平，将采取引导发现式教学方法并充分发挥电脑多媒体的辅助教学作用。
引导发现法作为一种启发式教学方法，体现了认知心理学的基本理论。
教学过程中，教师采用点拨的方法，启发学生通过主动思考、动手操作来达到对知识的“发现”和接受，进而完成知识的内化，使书本的知识成为自己的知识。
高中数学反函数教案
高中数学反函数教案一、教学目标1. 理解函数与反函数的概念，能够求解反函数；2. 掌握反函数的性质和求解方法；3. 能够应用反函数解决相关问题。
二、教学重点1. 函数与反函数的概念；2. 反函数的求解方法；3. 反函数的性质。
三、教学内容1. 函数与反函数的概念- 函数的定义和表示：定义域、值域、映射关系；- 反函数的定义：对任意的y，存在唯一的x，使得f(x)=y，则称y关于x的函数为f的反函数，记为$f^{-1}$(y)。
2. 反函数的求解方法- 交换x和y的位置，并解出y，得到反函数表达式；- 注意判断反函数的存在性和唯一性。
3. 反函数的性质- 函数与反函数互为反函数；- 函数与反函数的图像关于y=x对称；- 反函数的定义域与原函数的值域相同，反函数的值域与原函数的定义域相同。
四、教学过程1. 导入：通过实例引入函数与反函数的概念，让学生理解反函数的概念。
2. 讲解：介绍函数与反函数的定义、求解方法和性质，引导学生掌握。
3. 练习：设计反函数的求解问题，让学生灵活运用反函数的概念来解决问题。
4. 总结：归纳反函数的概念和性质，让学生总结学习内容。
五、教学案例已知函数$f(x)=2x+1$，求其反函数。
解：设反函数为$y=f^{-1}(x)$，则有$y=2x+1$，交换x和y的位置可得$x=2y+1$，解出y 得$y=\frac{x-1}{2}$，因此，函数的反函数为$f^{-1}(x)=\frac{x-1}{2}$。
六、课堂练习1. 已知函数$f(x)=3x-2$，求其反函数；2. 若函数$g(x)$的反函数为$h(x)$，求$f(x)=\frac{1}{g(x)}$的反函数。
七、作业布置1. 完成课堂练习；2. 预习下节课内容，复习反函数的概念和性质。
八、教学反思本节课重点介绍了函数与反函数的概念、求解方法和性质，通过实例讲解和课堂练习，学生基本掌握了反函数的相关知识。
下节课将继续深入探讨反函数的应用和拓展，激发学生对数学的兴趣和探索欲望。
高中图像数学反函数教案
高中图像数学反函数教案
主题：高中图像数学-反函数
目标：学生能够理解反函数的概念，并能够通过图像表示反函数的特点和性质。
教学步骤：
1. 引入：通过一个简单的例子来引入反函数的概念，例如：f(x)=2x，问学生如何求出f的反函数。
2. 概念解释：解释反函数是指如果一个函数f对应一个数x得到y，那么它的反函数就是将y作为自变量，求出x。
表示为f^-1(y)=x。
3. 图像表示：让学生通过绘制图像来理解反函数的特点，例如：对于函数f(x)=x^2，它的反函数是f^-1(y)=√y，让学生画出这两个函数的图像，并比较它们之间的关系。
4. 性质分析：让学生探讨反函数的性质，例如：反函数的图像关于y=x对称，反函数的定义域和值域互换等。
5. 练习：让学生进行一些练习，例如：求出函数的反函数、画出反函数的图像等。
6. 总结：总结本节课的内容，强调学生对反函数的理解和运用。
延伸活动：让学生自己选择一个函数，求出它的反函数并画出图像，讨论它们之间的关系和特点。
评估方法：通过学生的表现和练习情况来评估他们对反函数的理解和掌握程度。
教学资源：白板、彩色笔、课本等。
反函数可能是一些学生比较难以理解的概念，需要通过图像来帮助他们理解，同时通过练习来巩固他们的知识。
希望这份教案能够帮助学生更好地理解反函数的概念和性质。
高一数学 2.4反函数(第一课时) 大纲人教版必修
高一数学 2.4反函数（第一课时）大纲人教版必修课时安排2课时从容说课反函数是研究两个函数相互关系的重要内容，反函数的掌握有助于学生进一步了解函数的概念，得到比较系统的函数知识，并为以后的深入学习奠定基础。
由于反函数的定义，本身比较抽象，难度较大，故在本节教学中，从具体实例出发，引导学生从函数的三要素的变化角度认识反函数的特征，揭示反函数的本质，逐步抽象概括出反函数的定义，反函数定义的描述，便得求反函数问题有了明确的步骤，而学生在具体求指定函数的反函数时，可能会遇到反解x时，正负的选取问题及求原来函数的值域问题，教学中要予以足够的重视。
本节通过学习互为反函数的两个函数图象之间的关系，不仅使学生进一步从形的角度认识了互为反函数的两个函数之间的关系，也为后面将要学习的指数函数与对数函数的图象打下基础。
第一课时●课题§2.4.1 反函数●教学目标(一)教学知识点1.反函数的概念.2.反函数的求法.(二)能力训练要求1.使学生了解反函数的概念.2.使学生会求一些简单函数的反函数.(三)德育渗透目标培养学生用辩证的观点，观察问题、分析问题、解决问题的能力.●教学重点1.反函数的概念.2.反函数的求法.●教学难点反函数的概念.●教学方法师生共同讨论法通过师生的共同讨论，使学生清除自学中遇到的疑点、困感点，弄清楚反函数的概念，掌握求反函数的方法.●教具准备幻灯片两张：第一张：反函数的定义，记法、习惯记法(记作§2.4.1 A)第二张：本课时教案后面的预习内容及预习提纲(记作§2.4.1 B)●教学过程Ⅰ.新课引入［师］我们知道，物体做匀速直线运动的位移s是时间t的函数，即s＝vt其中速度ｖ是常量.反过来，也可以由位移s 和速度ｖ(常量)确定物体做匀速直线运动的时间，即t ＝vs 。
问题1：函数s=vt 的定义域、值域分别是什么？ 问题2：函数t=vs 中，谁是谁的函数？ 问题3：函数s=vt 与函数t=v s 之间有什么关系？ （以上问题1、2，学生不会感到困难，对于问题3，教师应帮助学生从函数的三要素变化，分析两个函数的关系，即两函数的对应法则恰恰相反好相反，定义域与值域也恰好对调）。
高一数学苏教版教案第二章---反函数(1)
第十二教时教材：反函数（1）目的：要求学生掌握反函数的概念，会求一些简单函数的反函数。
过程：一、复习：映射、一一映射及函数的近代定义。
二、反函数的引入及其定义：1．映射的例子：①这个映射所决定的函数是： y = 3x - 1②这个映射是有方向的：f :：A B ( f ：x y = 3x - 1)③如果把方向“倒过来”呢？（写成） f -1： A B ( f -1：y 31+=y x ) ④观察一下函数 y = 3x - 1与函数 31+=y x 的联系我们发现：它们之间自变量与函数对调了；定义域与值域也对调了，后者的解析是前者解析中解出来的（x ）。
2．得出结论：函数 31+=y x 称作函数 y = 3x - 1的反函数。
定义：P66 （略）注意：（再反复强调）：①用 y 表示 x , x = ϕ (y )②满足函数的（近代）定义 ③自变量与函数对调 ④定义域与值域对调 ⑤写法：x = f -1(y )考虑到“用 y 表示自变量 x 的函数”的习惯，将 x = f -1(y ) 写成 y = f -1(x )如上例 f -1：31+=x y3．几个必须清楚的问题：1︒ 如果 y = f (x ) 有反函数 y = f -1(x )，那么 y = f -1(x ) 的反函数是 y = f (x )，它们互为反函数。
2︒ 并不是所有的函数都有反函数。
如 y = x 2（可作映射说明） 因此，只有决定函数的映射是一一映射，这个函数才有反函数。
3︒ 两个函数互为反函数，必须：原函数的定义域是它的反函数的值域原函数的值域是它的反函数的定义域 如：)(2Z y yx ∈=不是函数 y = 2 x ( x ∈ Z ) 的反函数。
4︒ 指导阅读课本，包括“举例”“定义”“说明”“表格”以加深印象。
三、求反函数：1．例题：（见P66—67 例一）注意：1︒ 强调：求反函数前先判断一下决定这个函数的映射是否是一一映射。
【高中数学教案】人教版全日制普通高级中学教科书(必修)数学第一册(上)《反函数》 教案
《反函数》教案
【教学目标】
1．了解反函数的概念，弄清原函数与反函数的定义域和值域的关系．
2．会求一些简单函数的反函数．
3．在尝试、探索求反函数的过程中，深化对概念的认识，总结出求反函数的一般步骤，加深对函数与方程、数形结合以及由特殊到一般等数学思想方法的认识．
4．进一步完善学生思维的深刻性，培养学生的逆向思维能力，用辩证的观点分析问题，培养抽象、概括的能力．
【教学重点】求反函数的方法．
【教学难点】反函数的概念．
【教学过程】
教学设计说明
“问题是数学的心脏”．一个概念的形成是螺旋式上升的，一般要经过具体到抽象，感性到理性的过程．本节教案通过一个物理学中的具体实例引入反函数，进而又通过若干函数的图象进一步加以诱导剖析，最终形成概念．
反函数的概念是教学中的难点，原因是其本身较为抽象，经过两次代换，又采用了抽象的符号．由于没有一一映射，逆映射等概念的支撑，使学生难以从本质上去把握反函数的概念．为此，我们大胆地使用教材，把互为反函数的两个函数的图象关系预先揭示，进而探究原因，寻找规律，程序是从问题出发，研究性质，进而得出概念，这正是数学研究的顺序，符合学生认知规律，有助于概念的建立与形成．另外，对概念的剖析以及习题的配备也很精当，通过不同层次的问题，满足学生多层次需要，起到评价反馈的作用．通过对函数与方程的分析，互逆探索，动画演示，表格对照、学生讨论等多种形式的教学环节，充分调动了学生的探求欲，在探究与剖析的过程中，完善学生思维的深刻性，培养学生的逆向思维．使学生自然成为学习的主人．。
高一数学教案-第一册反函数
第一册反函数教学目标1.使学生了解反函数的概念；2.使学生会求一些简单函数的反函数；3.培养学生用辩证的观点观察、分析解决问题的能力。
教学重点1.反函数的概念；2.反函数的求法。
教学难点反函数的概念。
教学方法师生共同讨论教具装备幻灯片2张第一张：反函数的定义、记法、习惯记法。
（记作A）；第二张：本课时作业中的预习内容及提纲。
教学过程（I）讲授新课（检查预习情况）师：这节课我们来学习反函数（板书课题）§2.4.1 反函数的概念。
同学们已经进行了预习，对反函数的概念有了初步的了解，谁来复述一下反函数的定义、记法、习惯记法？生：（略）（学生回答之后，打出幻灯片A）。
师：反函数的定义着重强调两点：（1）根据y= f(x)中x与y的关系，用y把x表示出来，得到x=φ（y）；（2）对于y在c中的任一个值，通过x=φ（y），x在A中都有惟一的值和它对应。
师：应该注意习惯记法是由记法改写过来的。
师：由反函数的定义，同学们考虑一下，怎样的映射确定的函数才有反函数呢？生：一一映射确定的函数才有反函数。
（学生作答后，教师板书，若学生答不来，教师再予以必要的启示）。
师：在y= f(x)中与y= f -1(y)中的x、y，所表示的量相同。
（前者中的x 与后者中的x都属于同一个集合，y也是如此），但地位不同（前者x是自变量，y是函数值；后者y是自变量，x是函数值。
）在y= f(x)中与y= f –1(x)中的x都是自变量，y都是函数值，即x、y在两式中所处的地位相同，但表示的量不同（前者中的x是后者中的y,前者中的y 是后者中的x。
）由此，请同学们谈一下，函数y= f(x)与它的反函数y= f –1(x)两者之间，定义域、值域存在什么关系呢？生：（学生作答，教师板书）函数的定义域，值域分别是它的反函数的值域、定义域。
师：从反函数的概念可知：函数y= f (x)与y= f –1(x)互为反函数。
从反函数的概念我们还可以知道，求函数的反函数的方法步骤为：（1）由y= f (x)解出x= f –1(y)，即把x用y表示出；（2）将x= f –1(y)改写成y= f –1(x)，即对调x= f –1(y)中的x、y。
高一数学教案-上学期2.4反函数
上学期 2.4 反函数教学目标1.使学生了解反函数的概念,初步掌握求反函数的方法.2.通过反函数概念的学习,培养学生分析问题,解决问题的能力及抽象概括的能力.3.通过反函数的学习,帮助学生树立辨证唯物主义的世界观.教学重点,难点重点是反函数概念的形成与认识.难点是掌握求反函数的方法.教学用具投影仪教学方法自主学习与启发结合法教学过程一. 揭示课题今天我们将学习函数中一个重要的概念----反函数.1.4. 反函数(板书)(一)反函数的概念(板书)二.讲解新课教师首先提出这样一个问题:在函数中,如果把当作因变量,把当作自变量,能否构成一个函数呢?(让学生思考后回答,要讲明理由)可以根据函数的定义在的允许取值范围内的任一值,按照法则都有唯一的与之相对应.(还可以让学生画出函数的图象,从形的角度解释“任一对唯一”)学生解释后教师指出不管从哪个角度,它都是一个函数,即有反函数,而且把这个函数称为的反函数.那么这个反函数的解析式是什么呢?由学生回答出应为 .教师再提出它作为函数是没有问题的,但不太符合我们的表示习惯,按习惯用表示自变量,用表示因变量,故它又可以改写成 ,改动之后带来一个新问题: 和是同一函数吗?由学生讨论,并说明理由,要求学生能从函数三要素的角度去认识,并给出解释,让学生真正承认它们是同一函数.并把叫做的反函数.继而再提出: 有反函数吗？是哪个函数?学生很快会意识到是的反函数,教师可再引申为与是互为反函数的.然后利用问题再引申:是不是所有的函数都有反函数呢?如果有,请举出例子.在教师启发下学生可以举出象这样的函数,若将当自变量, 当作因变量,在允许取值范围内一个可能对两个 (可画图辅助说明,当时,对应 ),不能构成函数,说明此函数没有反函数.通过刚才的例子,了解了什么是反函数,把对的反函数的研究过程一般化,概括起来就可以得到反函数的定义,但这个数学的抽象概括,要求比较高,因此我们一起阅读书上相关的内容.1. 反函数的定义:(板书)(用投影仪打出反函数的定义)为了帮助学生理解,还可以把定义中的换成某个具体简单的函数如解释每一步骤,如得 ,再判断它是个函数,最后改写为 .给出定义后,再对概念作点深入研究.2.对概念得理解(板书)教师先提出问题:反函数的“反”字应当是相对原来给出的函数而言,指的是两者的关系你能否从函数三要素的角度解释“反”的含义呢?(仍可以与为例来说)学生很容易先想到对应法则是“反”过来的,把与的位置换位了,教师再追问它们的互换还会带来什么变化?启发学生找出另两个要素之间的关系.最后得出结论: 的定义域和值域分别由的值域和定义域决定的.再把结论从特殊发展到一般,概括为:反函数的三要素是由原来函数的三要素决定的.给出的函数确定了,反函数的三要素就已经确定了.简记为“三定”.(1)“三定”(板书)然后要求学生把刚才的三定具体化,也就是“反”字的具体体现.由学生一一说出反函数的定义域是原来函数的值域,反函数的值域是原来函数的定义域,反函数的对应法则就是把原来函数对应法则中与的位置互换.(用投影仪打出互换过程)如图最后教师进一步明确“反”实际体现为“三反”, “三反”中起决定作用的是与的位置的反置,正是由于它的反置,才把它的范围也带走了,引起了另外两“反”.(2)“三反”(板书)此时教师可把问题再次引向深入,提出:如果一个函数存在反函数,应怎样求这个反函数呢?下面我给出两个函数,请同学们根据自己对概念的理解来求一下它们的反函数.例1. 求的反函数.(板书)(由学生说求解过程,有错或不规范之处,暂时不追究,待例2解完之后再一起讲评)解:由得 , 所求反函数为 .(板书)例2. 求 , 的反函数.(板书)解:由得 ,又得 ,故所求反函数为 .(板书)求完后教师请同学们作评价,学生之间可以讨论,充分暴露表述中得问题,让学生自行发现,自行解决.最后找代表发表意见,指出例2中问题,结果应为 , .教师可先明知故问 ,与 , 有什么不同?让学生明确指出两个函数定义域分别是和 ,所以它们是不同的函数.再追问从何而来呢?让学生能从三定和三反中找出理由,是从原来函数的值域而来.在此基础上,教师最后明确要求,由于反函数的定义域必是原来函数的值域,而不是从自身解析式出发寻求满足的条件,所以求反函数,就必须先求出原来函数的值域.之后由学生调整刚才的求解过程.解: 由得 ,又得 ,又的值域是 ,故所求反函数为 , .(可能有的学生会提出例1中为什么不求原来函数的值域的问题,此时不妨让学生去具体算一算,会发现原来函数的值域域求出的函数解析式中所求定义域时一致的,所以使得最后结果没有出错.但教师必须指出结论得一致性只是偶然,而不是必然,因此为规范求解过程要求大家一定先求原来函数的值域,并且在最后所求结果上注明反函数的定义域,同时让学生调整例的表述,将过程补充完整) 最后让学生一起概括求反函数的步骤.3.求反函数的步骤(板书)(1) 反解:(2) 互换(3) 改写:对以上环节教师可稍作解释,然后提出再通过下面的练习来检验是否真正理解了.三.巩固练习练习:求下列函数的反函数.(1) (2) .(由两名学生上黑板写)解答过程略.教师可针对学生解答中出现的问题,进行讲评.(如正负的选取,值域的计算,符号的使用)四.小结1. 对反函数概念的认识:2. 求反函数的基本步骤:五.作业课本第68页习题2.4第1题中4,6,8,第2题.六.板书设计2.4反函数例1. 练习.一. 反函数的概念 (1) (2)1. 定义2. 对概念的理解例2.(1) 三定(2)三反3. 求反函数的步骤(1)反解(2)互换(3)改写。
【高中数学】反函数性质总结教案
反函数性质总结教案一、反函数的定义在高中数学中，小学时我们就学习了函数。
函数是一种数学关系，可以对应一个自变量和一个因变量，把自变量的某个值代入函数中，就可以得到相对应的因变量的值。
反函数就是将函数的自变量和因变量两个变量的角色调换，得到一个新的函数。
例如，对于一个函数y = 3x + 2，我们可以把自变量x看作输入，因变量y看作输出，如果我们把输入x代入函数中得到的输出y是一个确定的唯一值。
如果我们反过来，把因变量y作为输入，自变量x作为输出，我们得到的就是一个新的反函数x = (y-2) / 3。
二、反函数的性质1.反函数是一个对称轴在函数和反函数之间，自变量和因变量的角色是相反的，相当于一条直线将自变量和因变量分隔开来。
这条直线称为“y = x”线，因为当自变量的值与因变量的值相等时，这条直线是它们的交点。
由于函数和反函数是通过将这条直线翻转得到的，所以这条直线是反函数的对称轴。
2.反函数和原函数在对称轴处的交点处对称反函数和原函数通过对称轴进行反射得到，因此当一条直线与对称轴相交时，它们在对称轴处的交点是关于对称轴对称的。
这就是说，对于原函数和反函数，它们在对称轴处的交点是关于对称轴对称的。
3.互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称因为原函数和反函数的图象是通过对称轴进行反射得到的，所以互为反函数的两个函数的图象关于直线y = x对称。
三、反函数的求法在我们学习反函数的时候，需要掌握如何求反函数。
我们可以通过如下的四步来求一个函数的反函数：1.将函数中的自变量和因变量调换；2.把调换后的式子用y来表示；3.把y与x进行换位，然后解出y；4.把y和x交换位置，得到反函数的表达式。
例如：如果有一个函数 y = 2x - 3，我们要求它的反函数，可以按照以下步骤：1.将自变量x和因变量y调换，得到 x = 2y - 3；2.将式子用y表示，得到 y = (x + 3) / 2；3.将y与x换位，得到 x = (y + 3) / 2，然后解出y，得到 y = 2x - 6；4.将y和x交换位置，得到反函数为 x = 2y - 6。
高一数学反函数教案
一.教课内容：反函数二.本周重难点：1.要点：反函数的观点，互为反函数的函数图象间的关系。
2.难点：求反函数的方法，解决相关反函数的问题。
【典型例题】[例 1] 求以下函数的反函数。
y2x5x 2 （x 2 ）（ 1）（ 2）yx2x （ x 1 ）（ 3）y 136 x2（6x 0 ）（4） y x24x 1（ 5 x 2 ）解：y 2x 5x2 y5（ 1）由x2得 ( y 2) x 2 y 5∴y 2y 2x52( x2)992又x 2时，x2x22x2即原函数的值域{ y | y2}（ 2）yx2x（ x 1 ）由yx2x 得 x 2x y 20∴ (x1)2y2124x11y21xy211x∵x 1∴2∴24∴42y x2x( x1)21在 1 , 2 ,又24上是增函数∴ 值域为y x 2112 ）∴ 所求反函数4 2 （ x（ 3）由y 136x2得 ( y 1) 2x236∴ x236 ( y 1)2∵ 6 x 0∴ x36 ( y 1) 2又x[ 6 , 0] 时，y136x2为减函数∴ 值域为y [ 5 ,1]∴ 所求反函数为y36( x1)2（5x1）（4）由 y x 24x 1 ( x 2) 23，有 (x 2)2y 3∵ 5 x2∴ 3 x 2 0∴ x 2y 3∴ x2y3又x[5, 2]时，y(x2)23为减函数∴ 值域为[3, 6]y 1x m y nx1[例 2] 已知2和3互为反函数，求 m， n的值。
解：y 1 x m得x2 y2m由2y 1mx2x2m（ x R ）∴2的反函数是y2ny 12m1∵ y2x2mnx3与 3 表示同一函数∴1m6n 2∴[例 3] 已知： f ( x)3x 2 ，求 f1[ f ( x)] 的表达式。
解：f 1[ f ( x)]x（ xR ）f (x)xf 1( 1)[例 4]x 2 ，求3 的值。
解：f (x)x f 1( x)2 x f 1(1) 1方法一： 由x 2 得1 x∴3x 1方法二： x 23∴x1[例 5] 若点（ 1， 2）既在yaxb的图象上，又在其反函数的图象上，求a 、b 的值。
高一数学反函数一 新课标 人教版 教案
高一数学反函数一教学目标1.使学生了解反函数的概念；2.使学生会求一些简单函数的反函数；3.培养学生用辩证的观点观察、分析解决问题的能力。
教学重点1.反函数的概念；2.反函数的求法。
教学难点反函数的概念。
教学方法师生共同讨论教具装备幻灯片2X第一X：反函数的定义、记法、习惯记法。
（记作A）；第二X：本课时作业中的预习内容及提纲。
教学过程（I）讲授新课（检查预习情况）师：这节课我们来学习反函数（板书课题）§2.4.1 反函数的概念。
同学们已经进行了预习，对反函数的概念有了初步的了解，谁来复述一下反函数的定义、记法、习惯记法？生：（略）（学生回答之后，打出幻灯片A）。
师：反函数的定义着重强调两点：（1）根据y= f(x)中x与y的关系，用y把x表示出来，得到x= φ（y）；（2）对于y在c中的任一个值，通过x= φ（y），x在A中都有惟一的值和它对应。
师：应该注意习惯记法是由记法改写过来的。
师：由反函数的定义，同学们考虑一下，怎样的映射确定的函数才有反函数呢？生：一一映射确定的函数才有反函数。
（学生作答后，教师板书，若学生答不来，教师再予以必要的启示）。
师：在y= f(x)中与y= f -1(y)中的x、y，所表示的量相同。
（前者中的x与后者中的x都属于同一个集合，y也是如此），但地位不同（前者x是自变量，y是函数值；后者y是自变量，x是函数值。
）在y= f(x)中与y= f –1(x)中的x都是自变量，y都是函数值，即x、y在两式中所处的地位相同，但表示的量不同（前者中的x是后者中的y,前者中的y是后者中的x。
）由此，请同学们谈一下，函数y= f(x)与它的反函数y= f –1(x)两者之间，定义域、值域存在什么关系呢？生：（学生作答，教师板书）函数的定义域，值域分别是它的反函数的值域、定义域。
师：从反函数的概念可知：函数y= f (x)与y= f –1(x)互为反函数。
从反函数的概念我们还可以知道，求函数的反函数的方法步骤为：（1）由y= f (x)解出x= f –1(y)，即把x用y表示出；（2）将x= f –1(y)改写成y= f –1(x)，即对调x= f –1(y)中的x、y。
高一数学反函数 教案
高一数学反函数一．课题：反函数（1） 二．教学目标：1．使学生理解反函数的；2．弄清原函数与反函数之间的三要素的关系，特别是它们的定义域与值域的关系； 3．会求一些函数的反函数，培养学生思维的严密性和灵活性。
三．教学重点、难点：1．使学生在了解反函数的概念的基础上，理解互为反函数的对应法则的互逆性； 2．弄清原函数与反函数的定义域与值域的关系；3．通过求一些函数的反函数，培养学生思维的严密性和灵活性。
四．教学过程： （一）复习引入1．特殊的对应构成映射，特殊的映射得到函数，映射与函数的联系与区别，函数的三要素。
2．特殊的映射：一一映射()2x f x x →=2()B x g x x →→=对于,f g 这两个对应，它们是不是映射？是不是一一映射？是不是函数？那么这两个映射能不能构成B 到A 的映射吗？如果能（显然，只有一一映射才能），那么B 到A 的映射所确定的函数与原函数又有何关系呢？3．引例：在物理上，学过匀速运动的位移和时间的函数关系，即s vt =与st v=（其中速度v 是常量）在s vt =中，位移s 是时间t 的函数。
在st v=中，时间t 是位移s 的函数。
在这种情况下，我们说函数st v=是函数s vt =的反函数。
在函数2y x =（)R x ∈中，x 是自变量，y 是x 的函数。
从函数2y x =中解出x ，就可以得到式子=x 21y )(R y ∈。
这样，对于y 在R 中任何一个值，通过式子=x 21y ，x 都有唯一的值和它对应。
这就说明了，可以把y 作为自变量，x 作为y 的函数。
这时，我们就说=x 21y )(R y ∈是函数2y x =（)R x ∈的反函数。
由此，我们可给出反函数的定义。
（二）新课讲解1．反函数定义：一般的，函数()()y f x x A =∈中，设它的值域为C 。
我们根据这个函数中,x y 的关系，用y 把x 表示出来，得到()x y ϕ=。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第十二教时
教材：反函数（1）
目的：要求学生掌握反函数的概念，会求一些简单函数的反函数。
过程：
一、复习：映射、一一映射及函数的近代定义。
二、反函数的引入及其定义：
1．映射的例子：①这个映射所决定的函数是： y = 3x - 1
②这个映射是有方向的：f :：A B ( f ：x y = 3x - 1)
③如果把方向“倒过来”呢？
（写成） f -1： A B ( f -1：y 31+=
y x ) ④观察一下函数 y = 3x - 1与函数 3
1+=y x 的联系 我们发现：它们之间自变量与函数对调了；定义域与值域也对调了，后者的解
析是前者解析中解出来的（x ）。
2．得出结论：函数 3
1+=
y x 称作函数 y = 3x - 1的反函数。
定义：P66 （略）
注意：（再反复强调）：①用 y 表示 x , x = ϕ (y )
②满足函数的（近代）定义
③自变量与函数对调
④定义域与值域对调
⑤写法：x = f -1(y )
考虑到“用 y 表示自变量 x 的函数”的习惯，将 x = f -1(y ) 写成 y = f -1(x ) 如上例 f -1：31+=x y 3．几个必须清楚的问题：
1︒ 如果 y = f (x ) 有反函数 y = f -1(x )，那么 y = f -1(x ) 的反函数是 y = f (x )，它们互为反函数。
2︒ 并不是所有的函数都有反函数。
如 y = x 2（可作映射说明）
因此，只有决定函数的映射是一一映射，这个函数才有反函数。
3︒ 两个函数互为反函数，必须：原函数的定义域是它的反函数的值域
原函数的值域是它的反函数的定义域 如：)(2
Z y y x ∈=不是函数 y = 2 x ( x ∈ Z ) 的反函数。
4︒ 指导阅读课本，包括“举例”“定义”“说明”“表格”以加深印象。
三、求反函数：
1．例题：（见P66—67 例一）
注意：1︒ 强调：求反函数前先判断一下决定这个函数的映射是否是一一
映射。
2︒ 求出反函数后习惯上必须将 x 、y 对调，写成习惯形式。
3︒ 求出反函数后必须写出这个函数的定义域——原函数的值域。
2．小结：求函数反函数的步骤：
1︒判析 2︒反解 3︒互换 4︒写出定义域
3．补充例题：
1︒ 求函数 211x y --= （-1≤ x < 0）的反函数。
解：∵ -1≤ x < 0 ∴0 < x 2 ≤ 1 ∴0≤1 - x 2 < 1
∴ 0 ≤21x -< 1 ∴0 < y ≤ 1 由：211x y --= 解得：22y y x --= (∵ -1≤ x < 0 ) ∴211x y --=(-1≤ x < 0)的反函数是：22x x y --=( 0 < x ≤1 )
2︒ 求函数 ⎩⎨⎧<≤-≤≤-=)01()10(122x x
x x y 的反函数。
解：①当 0≤ x ≤1时， -1 ≤ x 2-1 ≤ 0 即 0 ≤ y ≤ 1
由 y = x 2-1 (0≤ x ≤1) 解得 1+-=y x (-1≤ y ≤ 0)
∴ f -1(x ) = 1+-x (-1≤ x ≤ 0)
②当 -1≤ x < 0时， 0 < x 2 ≤ 1 即 0 < y ≤ 1
由 y = x 2 (-1≤ x < 0) 解得 y x -= (0 < y ≤ 1) ∴ f -1(x ) = x - (0 < x ≤ 1) ∴所求反函数为：⎩⎨⎧≤<-≤≤-+=)10()01(1x x
x x y 四、小结：反函数的定义、求法、注意点。
五、作业：课本 P66练习 1 P66—69 习题2.4 1、2
《课课练》 P61“例题推荐”1、2 P62 7、8。