矩阵理论 复习资料

最小的.
|| Ax ||a || A ||a max || A || x || x ||a
2) 它的两种表达形式
|| Ax ||a ( max || Au ||a ) || A ||a max ||u||a 1 x || x ||a
3) 它是自相容矩阵范数 论1) (推 .
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定理 5 设 A C nn，则
(1) || A || 2
|| x|||| y||1
max
| y H Ax |
( 2) ||
2 A || 2 ||
A ||1|| A ||
定理3
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§6 范数的应用
(1) 矩阵A可逆,A与其扰动矩阵 A满足 什么条件时,A A可逆?
(2) 当A A可逆, A 与( A A) 的
1
299 999.5 300 000 （A A) . 100 000 100 000
1
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定义 1
设A是可逆矩阵，称
K p ( A) || A || p || A1 || p
是矩阵A的条件数.
设A C nn ,|| A ||a 是从属于向量范数 || x ||a 的算R 1 也是上三角矩阵,且对角
|| A || 是C n上的范数.
定义 2
设 在Vn ( P )上定义了|| x ||a , || x ||b 两种向 C1 || x ||a || x ||b C2 || x ||a x Vn ( P )
量范数，若存在常数 1 0, C2 0，使得 C
则称 || x ||a 与 || x ||b 等价.
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证明：
( E A1 A)1 A1b A1b
A A( E A A) A b
1 1 1 1
( E A1 A)1 E A1b
A1 A( E A1 A)1 x,
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第三章
矩阵的分解
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§1 矩阵的三角分解
第二章
向量与 矩 阵的范数
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1 向量的范数
定义 1 设 映射 || ||: C n R满足：
(1) 正定性 || x || 0,当且仅当 0时， x || 0; x ||
(2) 齐次性 || x || | | || x ||, R, x C n;
(3) 三角不等式 || x y || || x || || y ||, x, y C n .
如果
|| AB |||| A || || B ||
则称 || || 是自相容矩阵范数 .
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例2
|| A ||m max {| aij |} 1 i m 1 j n
i, j
是不相容的矩阵范数 .
1 1 例如 A B 1 1
2 AB 2
满足
(1) 正定性 || A || 0,当且仅当A 时， A || 0; ||
(2) 齐次性 || A ||| | || A ||, P, A P mn ;
(3) 三角不等式 || A B || || A || || B ||, A, B P mn .
则称映射|| || 为C n上向量x的范数.
向量范数的性质：
(1) || 0 || 0；
1 ( 2) x 0时， || x || 1; || x ||
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(3) 对任意x C ，有|| x || || x ||;
n
(4) 对任意x, y C n，有| || x || || y || ||| x y || .
有小扰动 A，则当 || A ||a || A ||a 1时，解方程组
-1
( A A) x b,
x x * x ，放缩x
得
|| A ||a K ( A) || x ||a || A ||a . || A ||a || x ||a 1 K ( A) || A ||a
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定理 2 设 || ||m 是相容的矩阵范数，则 存在向量
范数 || x || ，使
|| Ax |||| A || m || x ||
P63页，相容的矩阵范数一定存在与之相容 的向量范数。
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定理 3 如果|| || m : C nn R 是一相容的矩
阵范数，则对任一 C A
n 例 1 设x (x1 , x2 , , xn ) C ，则
(1) || x ||1 | xi |
i 1
n
n
1 范数 2 范数 无穷范数
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(2) || x ||2 ( | xi |2 )1 / 2
i 1
(3) || x || max | xi |
1 i n
上的矩阵范数，且
|| Ax ||a || A ||m || x ||a
则称 || ||m 为与向量范数|| ||a 相容的矩阵范数 .
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例 1 设 x P n , A P nn，则
|| A || m1 | aij |
j 1 i 1 n n
是与向量范数|| ||1 相容的矩阵范数 .
i 1 i 1 i 1
例2
设x ( x1 , x2 , , xn ) C n，则
|| x || p ( | xi | p )1/ p 1 p
i 1 n
是C n上的向量范数，称为H o lder范数.
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..
定理 2
设 || || 是C
m
mn 上的范数，A C n ，则
1 1 定理 1 (H o lder不等式) 若p, q 1，且 1， p q
..
则对C n任意向量x ( x1 , x2 , , xn )T , y ( y1 , y2 , , yn )T 都有
n n n
| xi | | yi | ( | xi | p )1/ p ( | yi |q )1/ q
1 1
近似程度如何估计 ?
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例 1 设
6 0 2 0 A A 2 6.00001 0 0.00002
求A 、（A A) .
1 1
解：
300 000.5 300 000 A , 100 000 100 000
i, j
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定义 2 设 || ||a : P ml R, || ||b : P ln R,
|| ||c : P mn R是矩阵范数，如果
|| AB ||c || A ||a || B ||b 则称矩阵范数|| ||a , || ||b 和 || ||c 相容.
k
lim x ( k ) a
lim || x ( k ) a || 0
定理 4 设 || || 是C n上的任一向量范数，则
k
lim x ( k ) a
k
lim || x ( k ) a || 0
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§2 矩阵的范数
定义 1 设A P mn，若映射|| || ：P mn R
例 2 设 x P n , A P nn，则|| A ||m2 是与|| x ||2
相容的矩阵范数 .
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定理 1 设 || x ||a 是P n上的向量范数 A P nn , 则 ,
|| Ax ||a || A ||a max ( max || Au ||a ) ||u||a 1 x || x ||a
范数，则当 || A ||a 1时，E - A可逆，且
|| E A)1 ||a (1 || A ||a )1 . （
返回
定理2设A是可逆， A为扰动矩阵，且 || A1 ||a || A ||a 1，
则
|| A ||a K ( A) 1 1 || A ( A A) ||a || A ||a (2) 1 || A ||a || A ||a 1 K ( A) || A ||a
(1) A A可逆;
返回
定理 3 在方程组Ax b中，A固定且可逆，令b 0且
有小扰动，解方程
A( x x ) b b,
得
|| x ||a || b ||a K ( A) . || x ||a || b ||a
返回
定理 4 在Ax b中，b固定且非零，令可逆矩阵A
定理 3 Vn ( P )上的任意两个向量范数 均等价.
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定义 3 设x
(k )
(k ) (k ) ( ( x1 , x2 ,, xnk ) )T
(k ) xi
C n，如果
k
lim
ai
( i 1,2,, n)
则称向量序列 x
定义 4
k
(k )
收敛于a (a1 , a2 ,, an ).
i j 1 n
被称为极大行和范数 .
返回
定义 2
设 A C ，i是A的特征值，则 r ( A) max | i | 称为A的谱半径.
i
nn
例 6 设 A P mn，则从属于|| x ||2 的算子
范数（又称为谱范数） 为
|| A ||2 r ( A H A)
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三、 谱范数的性质
2 2
|| AB ||m 2 || A ||m || B ||m 1
返回
. 例 3 || || m1 和 || || m2 是相容的矩阵范数
返回
定理 3 设A P nn ,
(1) 若A (a1 , a2 ,, an ), 则
||
2 A || F
返回
i 1
推论 1 设A P nn , 对任意的酉矩阵 、V P nn， U
有
|| A ||m2 || UA ||m2 || AV ||m2 || UAV ||m2
返回
3. 算子范数
一、 算子范数
定义 1
设 || ||a 是P 上的向量范数， ||m 是 ||
n
P
nn
| i ||| A ||m
nn
，有
其中，i 是A的特征值.
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二、算子范数 的计算 :例 4
从属于向量范数|| x ||1 的算子范数为
|| A ||1 max ( | a ij |)
j i 1 n
被称为极大列和范数 .
例5
从属于|| x || 的算子范数为
|| A || max ( | aij |)
||
2 A || m2
||
i 1
n
2 ai || 2
其中，ai || 2 aiH ai . || 2
( 2) || A || 2 2 tr ( A H A) i ( A H A) m
n
( 3)
对任意的酉矩阵 、V P nn，有 U
|| A ||2 2 || U H AV || 2 2 || UAV H || 2 2 m m m
则称映射|| || 为pmn上的矩阵范数 .
返回
例 1 设 A P mn，则
|| A || m1
| aij |
j 1 i 1
n
m
|| A || m2 ( | a ij
j 1 i 1
n
m
1 |2 ) 2
|| A ||m max {| aij |} 1 i m 1 j n
定理 4 设 A C
nn
，则
通过行列式 来证A和AT
(1) || A ||2 || A H ||2 || AT ||2 || A ||2
2 ( 2) || AH A ||2 || AAH ||2 || A ||2
(3) 对任何n 阶酉矩阵U及V都有
|| UA ||2 || AV ||2 || UAV ||2 || A ||2
是与向量范数|| x ||a 相容的矩阵范数 .
推论 1 设 || x ||a 是P n上的向量范数 A、B P nn , ,
|| A ||a 是从属于|| x ||a 的算子范数，则它是相 容的
矩阵范数，即
|| AB ||a || A ||a || B ||a
返回
算子范数的特性：
1) 它是所有与向量范数 x ||a 相容的矩阵范数中 ||