高中数学必修四[苏教版]3.2《二倍角的三角函数》ppt课件2
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(教师参考)高中数学 3.2 二倍角的三角函数课件1 苏教版必修4
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2
引入课题
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3
想一想
我们已经学习了两角和的正弦、余弦公式，若α ＝β时，你能得出sin 2α，cos 2α，tan 2α的公式 吗？
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4
想一想
1．二倍角的正弦、余弦、
正切公式
记 法
公式
2sinαcosα
S2α sin2α＝cos_2α_－__si_n_2α_1_－_2_s_in_2α cos22coαs＝2α－_1___________
D.±0.96 .
∵sinα=0.6.∴cosα=0.8.由cos（α+β）=－0.8＜0得sin
（α+β）=±0.6.
∴sinβ=sin［（α+β）－α］=sin（α+β）·cosα－cos
（α+β）·sinα
＝±0.6·0.8－（－0.8）·0.6精=选p0pt或0.96.
13
课堂小结
1.二倍角公式．(重点) 2.二倍角公式与两角的和与差的正弦、余弦、 正切公式的记忆．(易混点) 3.二倍角公式及变形公式的应用．(难点)
cos A cos（ - 2B） -cos2B=-(cos 2 B sin 2 B) 7 25
sin A 24 25
C tan A sin A 24 cos A 7
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11
典型例题
已x为 知第三 co象 s-3x， 限ta则 角 2xn_， _.___ 5
解析： x为第三象限角， cosx - 3 5
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14
co2s2co 2s1
co2s12si2n
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7
注意
①二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二 倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数 之间的互化问题。 ②二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角 相等时推导出来，记忆时可联想相应角公式。
高中数学 3.2二倍角的三角函数课件 苏教版必修4
这些都可以应用二倍角公式．
栏
目
链
α αα α α α 例如：sin 2 ＝2sin 4 cos 4 ，cos 3 ＝cos2 6 －sin2 6 等．
接
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13
知识点2 二倍角公式的逆用、变形应用
1．特别是对二倍角的余弦公式，其变形公式在求值、化简、证
明中有广泛的应用．
栏
2．注意右边化为左边的应用，如 sin
栏 目 链
sin 2α＝2sin αcos α＝2×45×－35＝－2245，
接
cos 2α＝1－2sin2α＝－275，
tan 2α＝csions 22αα＝274.
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18
例 2 已知 sin θ＋cos θ＝ 22，0<θ<34π，求 sin 2θ，cos 2θ的
值．
分析：要解决 sin 2θ，cos 2θ的值，利用同角三角函数的关
解析： 1＋sin 10°＋ 1－sin 10°
＝ cos25°＋2sin 5°cos 5°＋sin25°＋
栏 目
链
cos25°－2sin 5°cos 5°＋sin25°
接
＝(cos 5°＋sin 5°)＋(cos 5°－sin 5°)＝2cos 5°.
答案：2cos 5°
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9
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第3章 三角恒等变换
3．2 二倍角的三角函数
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1
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栏 目 链 接
2
1．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导及应用
条件．
栏
2．熟练运用倍角公式进行化简，求值和证明．
目 链
接
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苏教版高中数学(必修4)3.2《二倍角的三角函数》ppt课件3
2
α 1 cos α tan 2 1 cos α
2
π α kπ ，k Z 2 2
α 1 cos α tan 2 sin α
α sin α tan 2 1 cos α
课堂讲练互动 中小学课件
例1.化简
(2)当M (a) 2时, 解得a
10 3
或a 6
课堂讲练互动 中小学课件
小结:
对公式我们不仅要会直接的运用，还 要会逆用、还要会变形用，还要会与 其它的公式一起灵活的运用。
a 2 2
a 4
2
1 2
a 4
0 x 2 0 x 1
课堂讲练互动 中小学课件
当0 1即0 a 2时
a 2
f ( x) 大
a 2
a2 4
1 2
a 4
当 1即a 2时 当sin x 1时 f ( x) 大 a
1 2
(2)增区间为 :
[2k 34 , 2k 54 )k z
课堂讲练互动 中小学课件
（3）f(x)定义域不关于原点对称。 即不是奇函数，也不是偶函数。
(4) f ( x 2 ) log1 [sin(x 2 ) cos(x 2 )]
课堂讲练互动 中小学课件
解法4：
1 原式 (sin α sin β cos α cos β ) 2sin α sin β cos α cos β cos 2α cos 2 β 2
2
1 1 cos ( ) sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 2 2
1 cos sin cos 2 cos 2 cos 2 2
α 1 cos α tan 2 1 cos α
2
π α kπ ，k Z 2 2
α 1 cos α tan 2 sin α
α sin α tan 2 1 cos α
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例1.化简
(2)当M (a) 2时, 解得a
10 3
或a 6
课堂讲练互动 中小学课件
小结:
对公式我们不仅要会直接的运用，还 要会逆用、还要会变形用，还要会与 其它的公式一起灵活的运用。
a 2 2
a 4
2
1 2
a 4
0 x 2 0 x 1
课堂讲练互动 中小学课件
当0 1即0 a 2时
a 2
f ( x) 大
a 2
a2 4
1 2
a 4
当 1即a 2时 当sin x 1时 f ( x) 大 a
1 2
(2)增区间为 :
[2k 34 , 2k 54 )k z
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（3）f(x)定义域不关于原点对称。 即不是奇函数，也不是偶函数。
(4) f ( x 2 ) log1 [sin(x 2 ) cos(x 2 )]
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解法4：
1 原式 (sin α sin β cos α cos β ) 2sin α sin β cos α cos β cos 2α cos 2 β 2
2
1 1 cos ( ) sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 2 2
1 cos sin cos 2 cos 2 cos 2 2
苏教版必修4高中数学3.2《二倍角的三角函数》ppt课件1
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/27
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谢谢欣赏！
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k ，Z
：
知识点2：
对于 C2能否有其它表示形式？
cos 2 2cos2 1 cos 2 1 2sin2
注意
①二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二 倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数 之间的互化问题。 ②二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角 相等时推导出来，记忆时可联想相应角公式。
C2α ＝___________ ＝____2_ta_nα____
1－tan2α
T2α
知识点1：
二 sin 2 2sin cos
α R
倍
角 cos 2 cos2 sin2
α R
公 式
tan
2
2 1
tan tan2
k 24
,且
k 2
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知 识逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等 等，这些用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
2tanx 1- tan知0＜α＜＜β＜π，又sinα=0.6，cos（α+β）=－0.8
，则sinβ等于（ ）
解A.析0 ：∵0＜Bα2 .＜0或 0＜.9β6＜2 π，∴C32π.＜0.9α6+β＜
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k ，Z
：
知识点2：
对于 C2能否有其它表示形式？
cos 2 2cos2 1 cos 2 1 2sin2
注意
①二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二 倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数 之间的互化问题。 ②二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角 相等时推导出来，记忆时可联想相应角公式。
C2α ＝___________ ＝____2_ta_nα____
1－tan2α
T2α
知识点1：
二 sin 2 2sin cos
α R
倍
角 cos 2 cos2 sin2
α R
公 式
tan
2
2 1
tan tan2
k 24
,且
k 2
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知 识逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等 等，这些用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
2tanx 1- tan知0＜α＜＜β＜π，又sinα=0.6，cos（α+β）=－0.8
，则sinβ等于（ ）
解A.析0 ：∵0＜Bα2 .＜0或 0＜.9β6＜2 π，∴C32π.＜0.9α6+β＜
苏教版必修4 3.2 二倍角的三角函数
2 2
2
解法1:由倍角公式 cos 2a 1 - 2sin a ，得
1 - cos 2a sin a . 2
2
于是原式
1 - cos(2a - ) 1 - cos(2a + ) 1 - cos 2a 3 3 + 2 2 2 1 1 - cos(2a - ) + cos(2a + ) - cos 2a 2 2 3 3 1 1 1 - (2cos 2a cos - cos 2a ) . 2 2 3 2
sin
2
a
2
1 - cos 2a sin a ; 2 1 + cos 2a 2 cos a ; 2 1 - cos 2a 2 tan a . 1 + cos 2a
半角公式： a 1 - cosa
2 2
;
1 + cosa cos ; 2 2 1 - cosa tan . 2 1 + cosa
必修4 第三章 三角恒等变换
3.2 二倍角的三角函数
一、复习回顾，引入课题
两角和与差的正弦和余弦公式:
cos(a - b ) = cos a cos b + sin a sin b ; cos(a + b ) = cos a cos b - sin a sin b ;
sin(a - b ) = sin a cos b - cos a sin b ;
2 4
a
是 的二倍 …… 3 6
a
2
等都是适用的，要熟悉这些多种形式的两个角的倍数关 系，才能熟练地应用好二倍角公式.
(3)公式 T 2α 成立的条件是
k a k + , 且 a + , k Z. 2 4 2
2
解法1:由倍角公式 cos 2a 1 - 2sin a ，得
1 - cos 2a sin a . 2
2
于是原式
1 - cos(2a - ) 1 - cos(2a + ) 1 - cos 2a 3 3 + 2 2 2 1 1 - cos(2a - ) + cos(2a + ) - cos 2a 2 2 3 3 1 1 1 - (2cos 2a cos - cos 2a ) . 2 2 3 2
sin
2
a
2
1 - cos 2a sin a ; 2 1 + cos 2a 2 cos a ; 2 1 - cos 2a 2 tan a . 1 + cos 2a
半角公式： a 1 - cosa
2 2
;
1 + cosa cos ; 2 2 1 - cosa tan . 2 1 + cosa
必修4 第三章 三角恒等变换
3.2 二倍角的三角函数
一、复习回顾，引入课题
两角和与差的正弦和余弦公式:
cos(a - b ) = cos a cos b + sin a sin b ; cos(a + b ) = cos a cos b - sin a sin b ;
sin(a - b ) = sin a cos b - cos a sin b ;
2 4
a
是 的二倍 …… 3 6
a
2
等都是适用的，要熟悉这些多种形式的两个角的倍数关 系，才能熟练地应用好二倍角公式.
(3)公式 T 2α 成立的条件是
k a k + , 且 a + , k Z. 2 4 2
苏教版高中数学必修43.2二倍角的三角函数之一
作业 释疑
练习一
P108 练习 3题
例3
例4
已知 tan 1 , tan 1 ,且, 都是锐角，求 2 的值
7
3
练习二
例5 练习三 小结 作业
小结
1 cos 2 cos2 ;
2
1 sin 2sin2 ;
2
1 sin (cos sin )2;
22
1 sin (cos sin )2;
总结 运算 性质
例2
小结
课堂 练习
作业
小结
1
2
3
4
5
6
复习 引入
动手
概括 数乘 概念
探究 性质
总结 运算 性质
例2
小结
课堂 练习
作业
课堂练习
1
2
3
4
5
6
复习 引入
动手
概括 数乘 概念
探究 性质
总结 运算 性质
例2
小结
课堂 练习
作业
作业
1
2
3
4
5
6
复习 引入
动手
概括 数乘 概念
探究 性质
总结 运算 性质
S S
C2
S2
T T
T2
二角和与差 的三角函数
二倍角公式
1
2
3
4
5
6
引入
降幂公式
问题
2 cos2 1 cos 2; 公式
2sin2 1 cos 2;
例1
2 cos2 1 cos;
2
课堂
练习
2 sin2 1 cos;
2
精讲 精练
例2
2018高中数学必修4课件：第3章3.2二倍角的三角函数 精品
3xsin x)＋12cos 2x·(sin 3xcos x－cos 3xsin x)＝12sin 4x＋12
cos 2xsin 2x＝34sin 4x，
所以
f1π6＝34sinπ4＝3
8
2 .
13
规律方法 1．给值求值问题求解的要点是利用公式建立已知式 子和所求式子之间的联系．注意从角、函数名称、幂、形 式等几个方面着手寻求解题思路．
2．当遇到π4±x 这样的角时可利用角的互余关系和诱 导 公 式 ， 将 条 件 与 结 论 沟 通 ． cos 2x ＝ sin π2－2x ＝ 2sin π4－x · cos π4－x · cos2x ＝ sin π2＋2x ＝ 2sin π4＋x cosπ4＋x.
sin 2x x2－2sin2x22sin
x2cos
x2＋2sin2x2＝
4sin2x2csoins22x2x－sin2x2＝4sisni2nx2c2oxs
＝ x
xx
4sin 2cos 2cos 4sin2x2cos x
x ＝
1
tan
x. 2
规律方法 1．化简三角函数式的要求：(1)能求出值的尽量求出； (2)使三角函数的种类与项数尽量少；(3)次数尽量低． 2．证明三角恒等式的方法：(1)从复杂的一边入手， 证明一边等于另一边；
[变式训练] 已知 f(x)＝sin 3xcos3x＋cos 3xsin3x，求
f1π6的值． 解 ： f(x) ＝ sin 3xcos3x ＋ cos 3xsin3x ＝ sin 3x · cos
1＋cos 2x x· 2 ＋cos
3x·sin
1－cos x· 2
2x＝12(sin
3xcos
高中数学第三章三角恒等变换3.2二倍角的三角函数第1课时二倍角的三角函数课件苏教版必修
解析答案
π 5π (2)sin12sin 12 ；
π π 2sin12cos12 π 5π π π 解 sin 12sin 12＝sin 12cos 12＝ 2 π sin 6 1 ＝ 2 ＝4.
解析答案
1 3 (3)sin 50° ＋cos 50° .
解
1 3 ＋ 2 sin 50° cos 50° ＋ 3sin 50° 22cos 50° 原式＝ sin 50° ＝ cos 50° 1 × 2sin 50° cos 50° 2
π 2π (1)cos 5cos 5 ；
解 π π 2π 2sin 5cos5cos 5 π 2π cos5cos 5 ＝ π 2sin 5
2π 2π 2π 2π 4π sin 5 cos 5 2sin 5 cos 5 sin 5 1 ＝ ＝ π ＝ π π ＝4. 2sin 5 4sin 5 4sin5
解析答案
类型三 化简问题
例3 1＋sin 4α－cos 4α 化简： . 1＋sin 4α＋cos 4α
1－cos 4α＋sin 4α 解 原式＝ 1＋cos 4α＋sin 4α
2sin22α＋2sin 2αcos 2α ＝ 2cos22α＋2sin 2αcos 2α 2sin 2αcos 2α＋sin 2α ＝ ＝tan 2α. 2cos 2αcos 2α＋sin 2α
解析 f(x)＝cos 2x＋4sin x＝1－2sin2x＋4sin x
＝－2sin2x＋4sin x＋1＝－2(sin x－1)2＋3.
当sin x＝1时，f(x)max＝3；
当sin x＝－1时，f(x)min＝－5.
解析答案
1
2
3
4
5
解
高一数学必修四课件第章二倍角的三角函数
简化计算
利用二倍角公式可以将一些复杂的三 角函数表达式化简为更简单的形式， 从而方便计算。
求解方程
证明恒等式
二倍角公式在证明一些三角函数恒等 式时非常有用，可以通过将等式两边 转化为相同的二倍角形式来证明等式 成立。
在解三角函数方程时，有时可以利用 二倍角公式将方程转化为更容易求解 的形式。
02 二倍角的正弦、 余弦、正切函数
方法一
利用正切的定义tanα=sinα/cosα，将tan2α表示为 sin2α/cos2α，再利用正弦、余弦的二倍角公式化简得到 tan2α=(2tanα)/(1-tan²α)。
方法二
利用正切的加法公式，将tan2α表示为(tanα+tanα)/(1tanαtanα)，化简得到tan2α=(2tanα)/(1-tan²α)。
04 二倍角公式的应 用举例
在三角函数求值中的应用
利用二倍角公式将非特殊角的三角函 数转化为特殊角的三角函数进行求值 。
结合其他三角函数公式，如和差化积 、积化和差等，进行复杂表达式的求 值。
通过二倍角公式将高次三角函数降次 ，简化计算过程。
在解三角形中的应用
利用二倍角公式求解 三角形中的角度和边 长问题。
余弦函数的二倍角公式
公式表述
$cos 2alpha = cos^2 alpha sin^2 alpha$
推导过程
利用三角函数的和差化积公式， 将$cos 2alpha$表示为$cos
alpha$和$sin alpha$的平方差 形式。
应用举例
求$cos 2x$的值，可以通过已知 的$cos x$和$sin x$值代入公式
余弦二倍角公式的推导
方法一
利用三角函数的和差化积公式，将 cos2α表示为两个cosα的和差，通 过化简得到cos2α=cos²α-sin²α。
最新 苏教版 数学必修四 公开课课件：3.2《二倍角的三角函数》ppt课件
π 3π 3π ∴ <θ< ，2θ∈π， . 2 4 2
将 sin θ＋cos θ＝
2 1 ，两边平方得 sin 2θ＝－ ， 2 2 3 . 2
∴cos 2θ＝－ 1－sin22θ＝－
π 3π 方法指导： 本题还可以通过判断 <θ< ， 利用已知条件及 sin2 2 4
θ＋cos2θ＝1，分别解出 sin θ，cos θ，然后求出 sin 2θ，cos 2 θ.
3．2 二倍角的三角函数
栏 目 链 接
1．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导及应用条件． 2．熟练运用倍角公式进行化简，求值和证明．
典 例 剖 析
栏 目 链 接
求值
4 已知 sin α ＝ ，求 sin 2α ，cos 2α ，tan 2α 的值． 5 4 分析：由 sin α＝ ，而 α 所在象限没有给出，因此要分类讨论． 5 4 解析：∵sin α＝ ，∴α为第一或第二象限角． 5 3 4 (1)当 α 为第一象限角时，cos α＝ 1－sin2α＝ ，tan α＝ ， 5 3 4 3 24 sin 2α＝2sin αcos α＝2× × ＝ ， 5 5 25
x x 4sin cos cos x 2 2 1 ＝ ＝ . x x 4sin2 cos x tan 2 2 2tan α 证明：(1)sin 2α ＝ ； 1＋tan2α 1－tan2α (2)cos 2α ＝ . 1＋tan2α
分析：弦切转化是利用同角三角函数的商数关系．整式与分式的 转化是运用 1 作分母． 证 明 ： (1) 左 边 ＝ sin 2 α ＝ 2sin α cos α ＝ 2sin αcos α 2tan α ＝ ＝右边． cos2α＋sin2α 1＋tan2α cos2α－sin2α (2) 左 边 ＝ cos 2 α ＝ cos α － sin α ＝ ＝ 1
将 sin θ＋cos θ＝
2 1 ，两边平方得 sin 2θ＝－ ， 2 2 3 . 2
∴cos 2θ＝－ 1－sin22θ＝－
π 3π 方法指导： 本题还可以通过判断 <θ< ， 利用已知条件及 sin2 2 4
θ＋cos2θ＝1，分别解出 sin θ，cos θ，然后求出 sin 2θ，cos 2 θ.
3．2 二倍角的三角函数
栏 目 链 接
1．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导及应用条件． 2．熟练运用倍角公式进行化简，求值和证明．
典 例 剖 析
栏 目 链 接
求值
4 已知 sin α ＝ ，求 sin 2α ，cos 2α ，tan 2α 的值． 5 4 分析：由 sin α＝ ，而 α 所在象限没有给出，因此要分类讨论． 5 4 解析：∵sin α＝ ，∴α为第一或第二象限角． 5 3 4 (1)当 α 为第一象限角时，cos α＝ 1－sin2α＝ ，tan α＝ ， 5 3 4 3 24 sin 2α＝2sin αcos α＝2× × ＝ ， 5 5 25
x x 4sin cos cos x 2 2 1 ＝ ＝ . x x 4sin2 cos x tan 2 2 2tan α 证明：(1)sin 2α ＝ ； 1＋tan2α 1－tan2α (2)cos 2α ＝ . 1＋tan2α
分析：弦切转化是利用同角三角函数的商数关系．整式与分式的 转化是运用 1 作分母． 证 明 ： (1) 左 边 ＝ sin 2 α ＝ 2sin α cos α ＝ 2sin αcos α 2tan α ＝ ＝右边． cos2α＋sin2α 1＋tan2α cos2α－sin2α (2) 左 边 ＝ cos 2 α ＝ cos α － sin α ＝ ＝ 1
数学苏教版必修4 第3章3.2二倍角的三角函数 课件(34张)
2sin 36° · cos 36° · cos 72° 解：(1)原式＝ 2sin 36° 2sin 72° · cos 72° sin 144° ＝ ＝ 4sin 36° 4sin 36° sin（ 180° －36° ） ＝ 4sin 36° sin 36° 1 ＝ ＝ . 4sin 36° 4
栏目 导引
第3章
三角恒等变换
4（ sin 30° cos 10° － cos 30° sin 10° ） 4sin 20° ＝ ＝ ＝4. 2sin 10° cos 10° sin 20° 2sin 20° · cos 20° · cos 40° · cos 80° (4)原式＝ 2sin 20° 2sin 40° · cos 40° · cos 80° ＝ 4sin 20° 2sin 80° · cos 80° ＝ 8sin 20° sin 160° 1 ＝ ＝ . 8sin 20° 8
栏目 导引
第3章
三角恒等变换
(2)原式＝ sin 6° · cos 48° · cos 24° · cos 12° 2sin 6° · cos 6° · cos 12° · cos 24° · cos 48° ＝ 2cos 6° 2sin 12° · cos 12° · cos 24° · cos 48° ＝ 4cos 6° 2sin 24° · cos 24° · cos 48° ＝ 8cos 6° 2sin 48° · cos 48° ＝ 16cos 6° sin 96° cos 6° ＝ ＝ 16cos 6° 16cos 6° 1 ＝ . 16
栏目 导引
第3章
三角恒等变换
二倍角公式的正用与逆用
求下列各式的值： π π (1)sin cos ； 12 12 (2)1－2sin2750° ； 1 3 (3) － ； sin 10° cos 10° (4)cos 20° cos 40° cos 80° . (链接教材 P119 例 1， P120T1)
栏目 导引
第3章
三角恒等变换
4（ sin 30° cos 10° － cos 30° sin 10° ） 4sin 20° ＝ ＝ ＝4. 2sin 10° cos 10° sin 20° 2sin 20° · cos 20° · cos 40° · cos 80° (4)原式＝ 2sin 20° 2sin 40° · cos 40° · cos 80° ＝ 4sin 20° 2sin 80° · cos 80° ＝ 8sin 20° sin 160° 1 ＝ ＝ . 8sin 20° 8
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第3章
三角恒等变换
(2)原式＝ sin 6° · cos 48° · cos 24° · cos 12° 2sin 6° · cos 6° · cos 12° · cos 24° · cos 48° ＝ 2cos 6° 2sin 12° · cos 12° · cos 24° · cos 48° ＝ 4cos 6° 2sin 24° · cos 24° · cos 48° ＝ 8cos 6° 2sin 48° · cos 48° ＝ 16cos 6° sin 96° cos 6° ＝ ＝ 16cos 6° 16cos 6° 1 ＝ . 16
栏目 导引
第3章
三角恒等变换
二倍角公式的正用与逆用
求下列各式的值： π π (1)sin cos ； 12 12 (2)1－2sin2750° ； 1 3 (3) － ； sin 10° cos 10° (4)cos 20° cos 40° cos 80° . (链接教材 P119 例 1， P120T1)
高一数学苏教版必修4(江苏专用)课件3.2 二倍角的三角函数
(1)cos · cos π=
π 12
=1-2×
3 2 5
=
7 . 25
又∵ cos 2
7 25
π +α 4
=cos
7 25
π + 2α 2
=-sin 2α,
∴ -sinБайду номын сангаас2α= ,∴ sin 2α=- .
问题导学
当堂检测
(1)当遇到求一些如
π π , ,75° 等的角的三角函数值时,可想到这些角 12 8
1 3
从而 cos 2α=cos2α-sin2α=(cos α+sin α)(cos α-sin α)= × 1 3 17 3
=-
17 .tan 9
2α=
sin2������ cos2������
=
8 17 . 17
问题导学
当堂检测
迁移与应用 已知 sin α-cos α= 2,α∈(0,π),则 sin 2α= 答案:-1 解析:∵ sin α-cos α= 2,∴ (sin α-cos α)2=2, ∴ sin2α-2sin αcos α+cos2α=2,∴ 2sin αcos α=sin 2α=-1. .
(1)2sin cos ;(2)1-2sin2 ;(3)
π 12
求出,若逆用倍角公式,就可求出这些式子的值. 解:(1)2sin cos =sin 2 ×
π π π π 1 =sin = . 12 12 12 6 2 π π π 2 (2)1-2sin2 =cos 2 × =cos = . 8 8 4 2 2tan75° 3 (3) = tan(2 × 75° ) = tan 150° =tan 30° =. 3 1-tan2 75°
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 二倍角的三角函数 第1课时 二倍角的三角函数 苏教版必修4PPT课件
7
2 .
解析答案
类型三 化简问题 1＋sin 4α－cos 4α
例 3 化简：1＋sin 4α＋cos 4α. 1－cos 4α＋sin 4α
解 原式＝1＋cos 4α＋sin 4α 2sin22α＋2sin 2αcos 2α
＝2cos22α＋2sin 2αcos 2α
2sin 2αcos 2α＋sin 2α ＝2cos 2αcos 2α＋sin 2α＝tan 2α.
4sin 5
4sin5
解析答案
π (2)sin12sin
152π；
ππ
解
sin
π 12sin
51π2＝sin
π 12cos
1π2＝2sin122cos12
sin ＝2
π 6＝14.
解析答案
(3)sin150°＋cos 350°.
解
原式＝cossi5n05°＋0°co3ss5in0°50°＝21212c×os2s5i0n°＋50°2c3ossin505°0°
重点难点 个个击破
解析答案
(2)13－23cos215°； 解 13－23cos215°＝－13(2cos215°－1)＝－13cos 30° ＝－ 63.
1－tan275° (3) tan 75° ；
1－tan275° 1－tan275° 解 tan 75° ＝2 2tan 75°
＝2tan 1150°＝－2 3.
1234 5
解析答案
2－ 3 (3)1－tatnan72.57°.5°＝ 2 .
解析 1－tatnan72.57°.5°＝12·1－2tatnan72.75.°5°
＝12tan
2－ 15°＝ 2
3 .
1234 5
苏教版数学高一-必修4课件 3.2 二倍角的三角函数
＝2sinπ4c＋osx4πc＋osxπ4＋x＝2sinπ4＋x.
∵sinπ4－x＝cosπ4＋x＝153，且 0<x<4π， ∴π4＋x∈π4，π2，
∴sinπ4＋x＝
1－cos2π4＋x＝1123.
∴原式＝2×1123＝2143.
规律方法 在解题过程中要注意抓住角的特点解题，同 时要注意挖掘题目中的隐含条件：π4＋x 与π4－x 存在互余 关系.特别要注意利用这些条件来确定某些三角函数值的 符号.
跟踪演练 2 已知 cosα＋π4＝35，π2≤α<32π，求 cos2α＋4π的
值.
解 ∵π2≤α<32π，∴34π≤α＋π4<74π，
于是可由 cosα＋π4＝53得到 sinα＋4π＝－54.
即
2 2 cos
α－
2 2 sin
α＝53，
2 2 sin
α＋
2 2 cos
α＝－54.
两式相加得 cos α＝－102，
解 ∵tan α＝71<1，且 α 为锐角，∴0<α<4π，
又∵sin
β＝
10 10 <
22，且
β
为锐角，
∴0<β<4π，
∴0<α＋2β<34π. 由 sin β＝ 1100，β 为锐角，得 cos β＝31010， ∴tan β＝13，∴tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ＝12， ∴tan(α＋2β)＝1t－antaαn＋αβ＋＋βttaannββ＝1－12＋12×13 13＝1， 故 α＋2β＝π4.
跟踪演练 1 求下列各式的值.
(1)sin π8sin38π； 解 ∵sin38π＝sin(2π－8π)＝cos8π， ∴sinπ8sin38π＝sinπ8cos8π＝21·2sinπ8cosπ8
苏教数学必修四课件：第3章 3.2 二倍角的三角函数
[解] 由π4＜α＜π2，得π2＜2α＜π. 又因为 sin 2α＝153， 所以 cos 2α＝－ 1－sin22α ＝－ 1－1532＝－1123. 于是 sin 4α＝2sin 2αcos 2α ＝2×153×－1123＝－112609；
cos 4α＝1－2sin22α
＝1－2×1532＝111699； tan 4α＝csoins 44αα＝－111192609＝－111290.
第3章 三角恒等变换
3.2 二倍角的三角函数
学习目标
核 心 素 养(教师独具)
1.会从两角和的正弦、余弦、正切公
式导出二倍角的正弦、余弦、正切公
式．(重点)
通过学习本节内容，提升学生的数
2.能熟练运用二倍角的公式进行简 学运算、逻辑推理核心素养.
单的恒等变换，并能灵活地将公式变
形运用．(难点)
自主预习 探新知
169
对二倍角公式的理解及二倍角公式的应用形式 对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α 是 4α 的二倍角；6α 是 3α 的二倍角；4α 是 2α 的二倍角；3α 是23α 的二倍角；α2是α4的二倍角；α3是 α6的二倍角；…，又如 α＝2·α2，α2＝2·α4，….
1．求下列各式的值． (1)sinπ8sin38π；(2)cos215°－cos275°； (3)2cos2152π－1；(4)1－tatnan3203°0°.
1．若 sin α＝15，则 cos 2α＝ ________.
23 25
[∵cos 2α＝1－2sin2α，sin α
＝15，
∴cos 2α＝1－2×215＝2235.]
2．若 tan α＝3，则 tan 2α＝ ________.