【真题】17年内蒙古包头一中高三(上)数学期中试卷含答案(文科)

2016-2017学年内蒙古包头一中高三（上）期中数学试卷（文科）一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案涂在答题卡相应的位置.）. 1．（5分）已知集合A={x|x2﹣3x≥0}，B={x|1＜x≤3}，则如图所示阴影部分表示的集合为（）A．[0，1） B．（0，3]C．（1，3） D．[1，3]2．（5分）若变量x，y满足，则z=x﹣2y的最大值等于（）A．1 B．2 C．3 D．43．（5分）当x＞0，y＞0，+=1时，x+y的最小值为（）A．10 B．12 C．14 D．164．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=18﹣a5，则S8=（）A．72 B．68 C．54 D．905．（5分）《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何．”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布（）A．30尺B．90尺C．150尺D．180尺6．（5分）若函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图，则ω=（）A．5 B．4 C．3 D．27．（5分）已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）8．（5分）将函数y=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[﹣，]上单调递减B．在区间[﹣，]上单调递增C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增9．（5分）数列，，，，…的前n项和为（）A． B．C．D．10．（5分）已知数列{a n}的通项公式a n=log2（n∈N*），设其前n项和为S n，则使S n＜﹣4成立的自然数n有（）A．最大值15 B．最小值15 C．最大值16 D．最小值1611．（5分）数列{a n}是等差数列，若＜﹣1，且它的前n项和S n有最大值，那么当S n取的最小正值时，n=（）A．11 B．17 C．19 D．2112．（5分）在△OAB中，，若=（），则S△OABA．B．C．D．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在相应位置的答题卡上）.13．（5分）若i（x+yi）=3+4i，x，y∈R，则复数x+yi的模是．14．（5分）在数列{a n}中，a1=1，a2=5，a n+2=a n+1﹣a n，则a2015=．15．（5分）若等比数列{a n}的前n项和为S n，，则公比q=．16．（5分）已知数列{a n}的首项a1=2，其前n项和为S n．若S n+1=2S n+1，则a n=．三．简答题（本大题共5小题，共70分．解答应在答题卡相应位置写出文字说明，证明过程或演算步骤．）.17．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和S n满足S3=0，S5=﹣5．（1）求{a n}的通项公式；．（2）求a1+a4+a7+…+a3n+118．（12分）已知以角B为钝角的△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，，且．（1）求角B的大小；（2）求cosA+cosC的取值范围．19．（12分）已知数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，{b n}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，S4﹣b4=10．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）记T n=a1b1+a2b2+…+a n b n，n∈N*，求T n（n∈N*，n≥2）20．（12分）已知函数f（x）=lnx+（a∈R）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a=2时，求函数f（x）在区间[1，e]上的最值．21．（12分）设数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n和T n，已知a n＞0，（a n+1）2=4（S+1），b n S n﹣1=（n+1）2，其中n∈N*．n（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前项和T n．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．（共1小题，满分10分）[选修4-5：不等式选讲]22．（10分）设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C1的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=﹣1，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cos（θ﹣）．以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系．（1）求曲线C2的直角坐标方程；（2）求曲线C2上的动点M到曲线C1的距离的最大值．2016-2017学年内蒙古包头一中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案涂在答题卡相应的位置.）. 1．（5分）已知集合A={x|x2﹣3x≥0}，B={x|1＜x≤3}，则如图所示阴影部分表示的集合为（）A．[0，1） B．（0，3]C．（1，3） D．[1，3]【解答】解：A={x|x2﹣3x≥0}={x|x≥3或x≤0}，图中阴影部分所表示的集合为B∩（∁U A）．则∁U A={x|0＜x＜3}，则B∩（∁U A）={x|1＜x＜3}=（1，3），故选：C．2．（5分）若变量x，y满足，则z=x﹣2y的最大值等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：满足约束条件的可行域如下图所示：由图可知，当x=1，y=﹣1时，z=x﹣2y取最大值3故选：C．3．（5分）当x＞0，y＞0，+=1时，x+y的最小值为（）A．10 B．12 C．14 D．16【解答】解：∵x＞0，y＞0，+=1，∴x+y=（x+y）=10+=16，当且仅当y=3x=12时取等号．∴x+y的最小值为16．故选：D．4．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=18﹣a5，则S8=（）A．72 B．68 C．54 D．90【解答】解：在等差数列{a n}中，∵a4=18﹣a5，∴a4+a5=18，则S8=4（a1+a8）=4（a4+a5）=72故选：A．5．（5分）《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何．”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布（）A．30尺B．90尺C．150尺D．180尺【解答】解：由题意每天织布的数量组成等差数列，在等差数列{a n}中，a1=5，a30=1，∴S30==90（尺）．故选：B．6．（5分）若函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图，则ω=（）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：由函数的图象可知，（x0，y0）与，纵坐标相反，而且不是相邻的对称点，所以函数的周期T=2（）=，所以T==，所以ω==4．故选：B．7．（5分）已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）+a n=0【解答】解：∵3a n+1∴∴数列{a n}是以﹣为公比的等比数列∵∴a1=4由等比数列的求和公式可得，S10==3（1﹣3﹣10）故选：C．8．（5分）将函数y=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[﹣，]上单调递减B．在区间[﹣，]上单调递增C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增【解答】解：将函数y=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为y=sin[2（x+）﹣]=﹣sin（2x﹣），在区间[﹣，]上，2x﹣∈[﹣，]，函数y=﹣sin（2x﹣）没有单调性，故排除A、B．在区间[﹣，]上，2x﹣∈[﹣，]，函数y=﹣sin（2x﹣）单调递减，故排除D，故选：C．9．（5分）数列，，，，…的前n项和为（）A． B．C．D．【解答】解：++++…+n+=（1+2+3+…+n）+（++…+）=+=．故选：C．10．（5分）已知数列{a n}的通项公式a n=log2（n∈N*），设其前n项和为S n，则使S n＜﹣4成立的自然数n有（）A．最大值15 B．最小值15 C．最大值16 D．最小值16【解答】解：∵S n=a1+a2+a3+…+a n===了由S n＜﹣4可得，解不等式可得，n＞15故选：D．11．（5分）数列{a n}是等差数列，若＜﹣1，且它的前n项和S n有最大值，那么当S n取的最小正值时，n=（）A．11 B．17 C．19 D．21【解答】解：由题意知，S n有最大值，所以d＜0，因为＜﹣1，所以a10＞0＞a11，且a10+a11＜0，所以S20=10（a1+a20）=10（a10+a11）＜0，则S19=19a10＞0，又a1＞a2＞…＞a10＞0＞a11＞a12所以S10＞S9＞…＞S2＞S1＞0，S10＞S11＞…＞S19＞0＞S20＞S21又S19﹣S1=a2+a3+…+a19=9（a10+a11）＜0，所以S19为最小正值，故选：C．12．（5分）在△OAB中，，若=（），则S△OABA．B．C．D．【解答】解：由题意可得==2，==5设向量，的夹角为θ，则=cosθ=10cosθ=﹣5，解之可得cosθ=﹣，所以sinθ=，=sinθ==故S△OAB故选：D．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在相应位置的答题卡上）.13．（5分）若i（x+yi）=3+4i，x，y∈R，则复数x+yi的模是5．【解答】解：∵i（x+yi）=xi﹣y=3+4i，x，y∈R，∴x=4，﹣y=3，即x=4，y=﹣3．∴|x+yi|=|4﹣3i|==5．故答案为：5．14．（5分）在数列{a n}中，a1=1，a2=5，a n+2=a n+1﹣a n，则a2015=﹣5．【解答】解：∵a1=1，a2=5，a n+2=a n+1﹣a n（n∈N*），∴a3=a2﹣a1=4，同理可得：a4=﹣1，a5=﹣5，a6=﹣4，a7=1，a8=5，…．=a n．∴a n+6则a2015=a6×335+5=a5=﹣5．故答案为：﹣5．15．（5分）若等比数列{a n}的前n项和为S n，，则公比q=1或．【解答】解：∵∴a1+a2+a3=则a1+a2=3∴化简得2q2﹣q﹣1=0解得q=1或故答案为：1或16．（5分）已知数列{a n}的首项a1=2，其前n项和为S n．若S n+1=2S n+1，则a n=．=2S n+1，【解答】解：∵S n+1+1=2（S n+1），∴S n+1∵S1+1=a1+1=3≠0，∴．∴数列{S n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴S n+1=3•2n﹣1，∴S n=3•2n﹣1，∴a n=S n﹣S n﹣1=3•2n﹣1﹣1﹣3•2n﹣2+1=3•2n﹣2（n≥2），n=1时，a1=2不满足上式，∴．故答案为：．三．简答题（本大题共5小题，共70分．解答应在答题卡相应位置写出文字说明，证明过程或演算步骤．）.17．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和S n满足S3=0，S5=﹣5．（1）求{a n}的通项公式；．（2）求a1+a4+a7+…+a3n+1【解答】解：（1）由等差数列的性质可得，解得a1=1，d=﹣1，则{a n}的通项公式a n=1﹣（n﹣1）=2﹣n；（2）∵{a n}为等差数列，∴a1+a4+a7+…+a3n以1为首项，以﹣3为公差的等差数列，+1∵（3n+1﹣1）+1=n+1∴a1+a4+a7+…+a3n=n+1+=+118．（12分）已知以角B为钝角的△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，，且．（1）求角B的大小；（2）求cosA+cosC的取值范围．【解答】解：（1）∵．∴，得（2分）由正弦定理，得a=2RsinA，b=2RsinB，代入得：（3分）sinA﹣2sinBsinA=0，sinA≠0，∴，（5分）B为钝角，所以角．（7分）（2）（理科）∵cosA+cosC==（或：cosA+cosC==）（10分）由（1）知，∴（12分）故cosA+cosC的取值范围是19．（12分）已知数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，{b n}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，S4﹣b4=10．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）记T n=a1b1+a2b2+…+a n b n，n∈N*，求T n（n∈N*，n≥2）【解答】解：（Ⅰ）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由a1=b1=2，得a4=2+3d，b4=2q3，s4=8+6d，由a4+b4=27，S4﹣b4=10，得方程组，解得，所以：a n=3n﹣1，b n=2n；（Ⅱ）由（Ⅰ）知a n•b n=（3n﹣1）•2n，则T n=2×2+5×22+8×23+…+（3n﹣1）×2n，①2T n=2×22+5×23+…+（3n﹣4）×2n+（3n﹣1）×2n+1，②由①﹣②得，﹣T n=2×2+3（22+23+…+2n）﹣（3n﹣1）×2n+1=4+3×﹣（3n﹣1）×2n+1=﹣（3n﹣4）×2n+1﹣8．所以T n=（3n﹣4）×2n+1+8．20．（12分）已知函数f（x）=lnx+（a∈R）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a=2时，求函数f（x）在区间[1，e]上的最值．【解答】解：（1）f′（x）=﹣（x＞0）（2分）①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，②当a＞0时，在区间（0，a）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减；在区间（a，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增．（5分）综上可知：当a≤0时，f（x）在区间（0，+∞）上单调递增．当a＞0时，在区间（0，a）上，f（x）单调递减；在区间（a，+∞）上，f（x）单调递增．（7分）（2）当a=2时，f（x）=lnx +，f′（x）=﹣，令f′（x）=0，得x=2f（x）min=f（2）=ln2﹣1，f（x）max=f（1）=2．21．（12分）设数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n和T n，已知a n＞0，（a n+1）2=4（Sn+1），b n S n﹣1=（n+1）2，其中n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前项和T n．【解答】解：（1）∵a n＞0，（a n+1）2=4（S n+1），∴n=1时，=4（a1+1），解得a1=3．n≥2时，=4（S n﹣1+1），可得：（a n +1）2﹣=4a n，化为：（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，∴a n﹣a n﹣1=2，∴数列{a n}是等差数列，公差为2．∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1．（2）由（1）可得：S n==n2+2n．又b n S n﹣1=（n+1）2，其中n∈N*．∴b n==1+．∴数列{b n}的前项和T n=n++++…++=n+﹣．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．（共1小题，满分10分）[选修4-5：不等式选讲] 22．（10分）设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．【解答】证明：（1）由于（+）2=a+b+2，（+）2=c+d+2，由a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，则＞，即有（+）2＞（+）2，则+＞+；（2）①若+＞+，则（+）2＞（+）2，即为a+b+2＞c+d+2，由a+b=c+d，则ab＞cd，于是（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab，（c﹣d）2=（c+d）2﹣4cd，即有（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即为|a﹣b|＜|c﹣d|；②若|a﹣b|＜|c﹣d|，则（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即有（a+b）2﹣4ab＜（c+d）2﹣4cd，由a+b=c+d，则ab＞cd，则有（+）2＞（+）2．综上可得，+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C1的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=﹣1，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cos（θ﹣）．以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系．（1）求曲线C2的直角坐标方程；（2）求曲线C2上的动点M到曲线C1的距离的最大值．【解答】解：（1）曲线C 2的极坐标方程为ρ=2cos （θ﹣），即 ρ2=2ρ（cosθ+sinθ），化为直角坐标方程为 x 2+y 2=2x +2y ，即 （x ﹣1）2+（y ﹣1）2=2． （2）曲线C 1的极坐标方程为ρcos （θ﹣）=﹣1即x +y=﹣1，即 x +y +2=0．圆心C 2（1，1）到曲线C 1的距离为d==，故曲线C 2上的动点M 到曲线C 1的距离的最大值为d +r=+．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．yxo（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x分别在(,-∞、)+∞上为增函数，分别在[、上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。