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广东省广州市高二上学期学业水平测模拟C卷数学试题(解析版)

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2023-2024学年广东省广州高二上册期末数学模拟试题1(含解析)

2023-2024学年广东省广州高二上册期末数学模拟试题1(含解析)

2023-2024学年广东省广州高二上册期末数学模拟试题一、单选题1．经过点(1,0)，倾斜角为150︒的直线方程是（）A ．1y =+B ．13y x =-+C ．33y =-+D ．33y =--【正确答案】C【分析】根据直线倾斜角和斜率关系可求得斜率，再利用直线的点斜式方程即可求得结果.【详解】由倾斜角为150︒可得，直线斜率为tan1503== k由直线的点斜式方程得直线方程为01)y x -=-；即y =+.故选：C.2．等比数列{}n a 中，42a =，64a =，则2a 等于（）A ．12B ．32C ．1D 【正确答案】C【分析】利用等比中项直接计算即可.【详解】因为数列{}n a 是等比数列，所以2426a a a =即244a =，解得21a =，故选：C3．三棱柱ABC DEF -中，G 为棱AD 的中点，若,,BA a BC b BD c === ，则CG =（）A ．a b c-+- B ．12a b c-++C ．1122-++ a b cD ．1122a b c-+【正确答案】D【分析】利用空间向量的线性运算法则与空间向量基本定理，求解即可．【详解】11()()22CG CA AG CA AD BA BC BD BA =+=+=-+- 111()()222a b c a b c =-+-=-+．故选：D ．4．若直线2610x y +-=与直线270-+=mx y 垂直，则m =（）A ．6-B ．6C ．23-D ．2-【正确答案】B【分析】由两条直线垂直的条件即可得解.【详解】因为直线2610x y +-=与直线270-+=mx y 垂直，所以()2620m +⨯-=，得6m =，所以6m =.故选：B.5．已知F 为抛物线24y x =的焦点，P 为抛物线上任意一点，O 为坐标原点，若||3PF =，则||OP =（）A ．B ．3C ．D 【正确答案】C【分析】根据抛物线定义结合||3PF =，求得点P 的坐标，即可求得答案.【详解】由题意F 为抛物线24y x =的焦点，则(1,0)F ,且准线方程为=1x -，设(,)P P P x y ,由||3PF =可得13,2P P x x +=∴=,代入24y x =得28P y =，即(2,P ±,故||OP =故选：C6．已知()1,2,1A -，()1,5,4B -，()2,3,4C ，则AC 在AB上的投影向量为（）A ．()0,1,1-B ．()0,1,1-C ．(D ．(0,【正确答案】B【分析】直接根据空间向量的投影计算公式求出AC 在AB 上的投影，进行计算AC 在AB上的投影向量.【详解】因为()1,5,3AC = ，()0,3,3AB =-，所以()053336AC AB ⋅=+⨯-+⨯=- .因为AB =A AC AB B⋅==故AC 在AB()10,1,13AB AB =-=-故选：B7．已知直线l 经过点()211A ，，，且()101n =，，是l 的方向向量，则点()432P ，，到l 的距离为（）A ．12B．2C．2D【正确答案】C【分析】由空间向量夹角的坐标表示求cos<,>AP n，再根据点到直线距离为||sin<,>AP AP n 即可求结果.【详解】由题设=(2,2,1)AP，则cos<,>==2||||AP nAP n AP n ⋅，所以sin<,2AP n ，而||=3AP ，故P 到l的距离为||sin<,>=2AP AP n .故选：C8．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2FP 是双曲线C 上一点，且1260F PF ∠= ．若12F PF △的面积为12F PF △的周长为（）A．B+C2+D．【正确答案】A【分析】由三角形面积公式可求1216PF PF ⋅=，结合余弦定理得22221212121212122cos (||||)2F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF =+-⋅∠=-+⋅12122cos PF PF F PF -⋅∠，由离心率可求出,,a b c ，同理结合()2221212122PF PF PF PF PF PF +=+-⋅代入余弦定理可求12PF PF +，进而得解.【详解】由题可知1212121sin 2F PF S PF PF F PF =⋅⋅∠=△1260F PF ∠= ，求得1216PF PF ⋅=，对12F PF △由余弦定理可得22221212121212122cos (||||)2F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF =+-⋅∠=-+⋅12122cos PF PF F PF -⋅∠，即()()221212122222cos c a PF PF PF PF F PF =+⋅-⋅∠，即2416,2b b ==，因为2222243c a e a a+===，解得222,6a c ==，又22221212121212122cos (||||)2F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF =+-⋅∠=+-⋅12122cos PF PF F PF -⋅∠，即()2212121212422cos c PF PF PF PF PF PF F PF =+-⋅-⋅∠，解得12PF PF +=122F F c ==所以12F PF △的周长为1212PF PF F F ++=故选：A二、多选题9．数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知27n S n n =-+，则下列说法正确的是（）A ．{}n a 是递增数列B ．1014a =-C ．当4n >时，0n a <D ．当3n =或4时，n S 取得最大值【正确答案】CD【分析】根据n S 表达式及2n ≥时，1n n n a S S -=-的关系，算出数列{}n a 通项公式，即可判断A 、B 、C 选项的正误.27n S n n =-+的最值可视为定义域为正整数的二次函数来求得.【详解】当2n ≥时，128n n n a S S n -=-=-+，又116218===-⨯+a S ，所以28n a n =-+，则{}n a 是递减数列，故A 错误；1012=-a ，故B 错误；当4n >时，820n a n =-<，故C 正确；因为27n S n n =-+的对称轴为72n =，开口向下，而n 是正整数，且3n =或4距离对称轴一样远，所以当3n =或4时，n S 取得最大值，故D 正确.故选：CD.10．已知直线l ：20kx y k -+=和圆O ：229x y +=，则（）A ．直线l 恒过定点()2,0B ．存在k 使得直线l 与直线0l ：220x y -+=垂直C ．直线l 与圆O 相离D ．若1k =-，直线l 被圆O 截得的弦长为【正确答案】BD【分析】A 选项，化为点斜式可以看出直线恒过的点，B 选项两直线斜率存在且垂直，斜率乘积为1-，从而存在2k =-满足题意，C 选项直线过的定点在圆的内部，故可以判断C 选项；当1k =-时，先求圆心到直线的距离，再根据垂径定理求弦长【详解】直线:20l kx y k -+=，即()2y k x =+，则直线恒过定点()2,0-，故A 错误；当2k =-时，直线:20l kx y k -+=与直线0:220l x y -+=垂直，故B 正确；∵定点()2,0-在圆O ：x 2+y 2=9内部，∴直线l 与圆O 相交，故C 不正确：当1k =-时，直线l 化为20x y ---=，即x +y +2=0，圆心O 到直线的距离d =直线l 被圆O 截得的弦长为=D 正确，故选：BD.11．设a ，b ，c是空间一个基底，下列选项中正确的是（）A ．若a b ⊥ ，b c ⊥ ，则a c ⊥；B ．则a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c不可能共面；C ．对空间任一向量p ，总存在有序实数组(),,x y z ，使p xa yb zc =++；D ．则a b + ，b c + ，a c -一定能构成空间的一个基底【正确答案】BC【分析】,a c 所成角不一定为π2，A 错误，a ，b ，c 共面不能构成空间的一个基底，B 正确，根据空间向量基本定理得到C 正确，a b + ，b c + ，a c -向量共面，D 错误【详解】a b ⊥ ，b c ⊥ ，则,a c 所成角不一定为π2，A 错误；若a ，b ，c共面，则不能构成空间的一个基底，B 正确；根据空间向量基本定理得到总存在有序实数组(),,x y z ，使p xa yb zc =++，C 正确；()()a b b c a c +=++- ，故a b + ，b c + ，a c -向量共面，不能构成空间的基底向量，D 错误.故选：BC12．如图，P 是椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线22222:1(0,0)x y C m n m n-=>>在第一象限的交点，且12,C C 共焦点121212,,,,F F F PF C C ∠θ=的离心率分别为12,e e ，则下列结论不正确的是（）A ．12,PF m a PF m a=+=-B ．若60θ=︒，则2221314e e +=C ．若90θ=︒，则2212e e +的最小值为2D ．tan2b nθ=【正确答案】ACD【分析】根据给定条件，利用椭圆、双曲线定义计算判断A ；由余弦定理计算判断B ，C ；由余弦定理、二倍角的余弦计算判断D 作答.【详解】依题意，121222PF PF aPF PF m ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得12,PF a m PF a m =+=-，A 不正确；令12||2F F c =，由余弦定理得：22222222212122212||||||()()42cos 2||||2()()PF PF F F a m a m c a m c PF PF a m a m a m θ+-++--+-==+--，当60θ=︒时，22234a m c +=，即22()3()4a m c c+=，因此2221314e e +=，B 正确；当90θ=︒时，2222a m c +=，即22()()2a m c c+=，有2212112e e +=，而221201e e <<<，则有22222222121122()22e e e e e e +<+=，解得22122e e >+，C 不正确；22222222222222222221()2()()cos ()()1()n a m c a c c m b n b n a m a c c m b n bθ-+-----====--+-++，22222222cos sin 1tan 222cos cos sin 22cos sin 1tan 222θθθθθθθθθ--=-==++，于是得22221()1tan 21tan 1()2n b n bθθ--=++，解得22tan()2n b θ=，而tan 0,02n b θ>>，因此tan 2nbθ=，D 不正确.故选：ACD三、填空题13．已知数列{}n a 满足12a =，111n na a +=-，则2022a =___________．【正确答案】1-【分析】首先根据数列的递推公式，确定数列的前几项，由此确定数列的周期，再求2022a .【详解】因为12a =，所以211112a a =-=，32111a a =-=-，43112a a =-=，所以数列{}n a 是周期为3的数列，2022367431a a a ⨯===-.故1-14．已知点B 是点()2,1,3A -关于坐标平面yoz 内的对称点，则OB =__________.【分析】按照点关于平面对称的规律求出B 的坐标，再利用空间两点的距离公式进行求解即可.【详解】因为点B 是点()2,1,3A -关于坐标平面yoz 内的对称点，所以()2,1,3B ，所以OB ==故答案为15．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是1AB ，1BC 的中点，则下列结论不成立的是______．①EF 与1BB 垂直；②EF 与BD 垂直；③EF 与CD 异面；④EF 与11A C 异面．【正确答案】④【分析】连1B C ，AC ，根据三角形中位线可得//EF AC ，再结合正四棱柱的结构特征逐一判断各个命题作答.【详解】在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，连1B C ，AC ，如图，因F 为矩形11BCC B 对角线1BC 的中点，则F 是1B C 的中点，而E 是1AB 的中点，因此//EF AC ，因1B B ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，则1BB AC ⊥，即有1BB EF ⊥，①正确；正方形ABCD 中，AC BD ⊥，又//EF AC ，则EF BD ⊥，②正确；假若,EF CD 在一个平面上，不妨设为平面α，由于//EF AC ，EF ⊂平面α,AC ⊄平面α，所以//AC 平面α，又因为AC ⊂平面ABCD ,平面ABCD ⋂平面CD α=，因此//CD AC ,这显然不符合，故,EF CD 不在一个平面上，则EF 与CD 是异面直线，③正确；因正四棱柱1111ABCD A B C D -的对角面11ACC A 是矩形，即11//AC AC ，因此11//EF AC ，④不正确，所以不成立的结论是④.故④16．如图，已知斜率为2-的直线与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右支交于A ，B 两点，点A 关于坐标原点O 对称的点为C ，且=45ABC ∠︒，则该双曲线的离心率为______.【分析】取AB 的中点M ，连接OM ，求得直线OM 的斜率，再利用点差法求得2223b a =，进而求得该双曲线的离心率【详解】如图，设直线AB 与x 轴交于点D ，取AB 的中点M ，连接AC ，OM ，由双曲线的对称性可知O 为线段AC 的中点，则OM BC ∥，所以45OMD ∠=︒.由直线AB 的斜率2AB k =-，得tan 2ODM ∠=-，则直线OM 的斜率()()tan tan45211tan 1tan tan451213OM ODM k ODM OMD ODM ∠∠∠∠+︒-+=+===--︒--⨯.设()11,A x y ，()22,B x y ，则2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩两式相减，得22221212220x x y y a b ---=，化简得122122121222y y y y b x x x x a +-⋅=+-，即()2212233OM ABb k k a ⋅==-⨯-=，所以该双曲线的离心率3e =.四、解答题17．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 上的动点P 到点(1,0)的距离是到点(1,0)-倍．(1)求曲线C 的轨迹方程；(2)若(2,2)A -，求过点A 且与曲线C 相切的直线l 的方程．【正确答案】(1)22(2)3x y ++=360y -+=360y ++=.【分析】（1）设(,)P x y ，根据已知条件列方程，化简求得曲线C 的轨迹方程；（2）设出直线l 的方程，根据圆心到直线的距离等于半径列方程，求得直线l 的斜率，进而求得直线l 的方程.【详解】（1）设(,)P x y，两边平方并整理得22(2)3x y ++=，故曲线C 的轨迹方程为22(2)3x y ++=；（2）曲线C ：22(2)3x y ++=是以()2,0-.显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为2(2)y k x -=+，即220kx y k -++==k =所以直线l20y -+=或20y -+=，360y -+=360y ++=.18．在①11a =，525S =；②35a =，917a =；③416S =，864S =这三个条件中任选一个补充在下面的横线上并解答.已知等差数列{}n a 满足________.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列{3}n n a ⋅的前n 项和.n T (如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)【正确答案】(1)21n a n =-，*n ∈N (2)1(1)33n n T n +=-⋅+，*N .n ∈【分析】（1）设等差数列{}n a 公差为d ，根据所选条件，利用等差数列通项公式和前n 项和公式，列方程求解，可得数列的通项公式；（2）利用错位相减法求数列前n 项和【详解】（1）若选条件①，设公差为d ，则由题知5115+542S a d =⨯⨯，所以25510d =+，解得2d =，所以1(1)21n a a n d n =+-=-，*N .n ∈若选条件②，设公差为d ，由题知1125817a d a d +=⎧⎨+=⎩，所以112a d =⎧⎨=⎩，所以1(1)21n a a n d n =+-=-，*N .n ∈若选条件③，设公差为d ，由题知4181144316,2188764,2S a d S a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎪⎨⎪=+⨯⨯=⎪⎩，所以112a d =⎧⎨=⎩，所以1(1)21n a a n d n =+-=-，*N .n ∈（2）由题知2333353(21)3n n T n =+⋅+⋅++-⋅，所以2341333353(23)3(21)3n n n T n n +=+⋅+⋅++-⋅+-⋅，两式相减得23123232323(21)3n n n T n +-=+⋅+⋅++⋅--⋅23132(333)(21)3n n n +=++++--⋅2-1+13(1-3)32-(2-1)31-3n n n =+⋅⋅13(22)6n n +=⋅--，所以1(1)33n n T n +=-⋅+，*N .n ∈19．如图，正三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点，12AB BB ==．(1)证明：1A B 平面1AC D ；(2)求平面1CAC 与平面1AC D 夹角的余弦值．【正确答案】(1)证明过程见解析；.【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可；（2）根据正三棱柱的性质建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】（1）连接1AC 交1AC 于E ，连接ED ，因为正三棱柱111ABC A B C -的侧面是平行四边形，所以E 是1AC 的中点，而D 是BC 的中点，所以1ED BA ∥，而ED ⊂平面1AC D ，1⊄A B 平面1AC D ．所以1A B 平面1AC D ；（2）因为D 是BC 的中点，三角形ABC 是正三角形，所以AD BC ⊥，设F 是11B C 的中点，显然DF ⊥平面111A B C ，建立如图所示的空间直角坐标系，1(0,0,0),(0,1,0),(3,0,0),(0,1,2)D C A C --，设平面1CAC 与平面1AC D 的法向量分别为()()111222,,,,,m x y z n x y z == ，()13,1,2AC =- ，()3,1,0AC =- ，)3,0,0DA = ，则有()11111132001,3,0030y z m AC m m AC y ⎧⎧--+=⋅=⎪⎪⇒⇒=-⎨⎨⋅=--=⎪⎪⎩⎩ ，()2221232000,2,1030y z n AC n n AD ⎧⎧--+=⋅=⎪⎪⇒⇒=-⎨⎨⋅=-=⎪⎪⎩⎩，平面1CAC 与平面1AC D 夹角的余弦值为2315525m n m n ⋅⨯⋅ 20．我国某沙漠，曾被称为“死亡之海”，截至2018年年底该地区面积的70%仍为沙漠，只有30%为绿洲.计划从2019年开始使用无人机飞播造林，实现快速播种，这样每年原来沙漠面积的15将被改为绿洲，但同时原有绿洲面积的120还会被沙漠化.记该地区的面积为1个单位，经过一年绿洲面积为1,a ，经过n 年绿洲面积为n a .(1)写出1a ，并证明：数列45n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；(2)截止到哪一年年底，才能使该地区绿洲面积超过35?【正确答案】(1)11740a =，证明见解析；(2)2022年【分析】（1）根据题意求出11740a =，并列出13145n n a a -=+，构造法求出1434545n n a a -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，从而得到45n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为公比为34，首项为14358a -=-的等比数列；（2）在第一问的基础上得到134245n n a ⎛⎫=-⨯+ ⎪⎝⎭，列出不等式，求出3245n ⎛⎫< ⎪⎝⎭，结合()34n f n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()235f >，()245f <，从而201842022+=，得到答案.【详解】（1）000011117301170120540a ⎛⎫=⨯⨯-+⨯⨯= ⎪⎝⎭，()11111311120545n n n n a a a a ---⎛⎫=-+-=+ ⎪⎝⎭，设()134n n a a λλ-+=+，则13144n n a a λλ-+=-，从而1145λ-=，解得：45λ=-，故1434545n n a a -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，故45n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为公比为34，首项为14358a -=-的等比数列；（2）由（1）得：14331358424n nn a -⎛⎫⎛⎫-=-⨯=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故134245n n a ⎛⎫=-⨯+ ⎪⎝⎭，令13432455n ⎛⎫-⨯+> ⎪⎝⎭，解得：3245n⎛⎫< ⎪⎝⎭，显然()34n f n ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减，当1n =时，()3327234645f ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，()43812442565f ⎛⎫==< ⎪⎝⎭，故201842022+=，即截止到2022年年底，才能使该地区绿洲面积超过35.21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，平面PCD ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，PD AC ⊥．且1,2,2AB CD AD ===(1)证明：PD BC ⊥；(2)若直线PB 与平面PCD C 到平面PBD 的距离．【正确答案】(1)证明过程见解析；【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，结合线面垂直的性质进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间夹角公式和点到面距离公式进行求解即可.【详解】（1）因为平面PCD ⊥平面ABCD ，交线为CD ，且平面ABCD 中，AB CD ⊥，所以AB ⊥平面PCD ，又PD ⊂平面PCD ，所以PD BA ⊥,因为PD AC ⊥，,,AB AC A AB AC =⊂平面ABC ，所以PD ⊥平面ABC ，而BC ⊂平面ABC ，所以PD BC ⊥；（2）由（1）知，PD ⊥平面ABCD 且AD CD ⊥，所以DA 、DC 、DP 两两垂直因此以D 原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为1AB =，2CD =，AD ，设PD a=所以()0,0,0D ，)A ，)B ，()0,2,0C ，()0,0,P a ，因为平面PCD ⊥平面ABCD ，交线为CD ，且平面ABCD 中，AD CD ⊥，所以AD ⊥平面PCD ，所以AD 为平面PCD 的法向量且()AD = ，)PB a =- ，因为直线PB 与平面PCDPB AD PB AD ⋅=⋅，解得：a所以(P，又)B ，()0,2,0C ，()0,0,0D 平面BDP 的法向量分别为：()1111,,n x y z = ，所以1111100n DB y n DP ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，令11x =-，则()1n =-，(0,2,PC = ，设点C 到平面PBD 的距离为d ，所以11111cos ,PC n PC n d PC PC n PC PC n n ⋅⋅=⋅〈〉=⋅==⋅ 22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴的两个端点分别为()()0,1,0,1A B -，离心率为.(1)求椭圆C 的方程；(2)设点()0,3N -，点M 为椭圆C 上异于,A B 的任意一点，过原点且与直线MA 平行的直线与直线3y =交于点P ，直线MB 与直线3y =交于点Q ，求证：PNQ Ð为定值.【正确答案】(1)2213x y +=(2)证明见解析【分析】（1）依题意可得1b =、3c e a ==，再根据a 、b 、c 的关系，求出2a ，即可得解；（2）设直线MA 的方程为：1y kx =+，(0)k ≠，即可求出P 点坐标，再联立直线与椭圆方程，求出M 的坐标，同理求出Q 的坐标，再求出NQ ，NP 的坐标，最后根据数量积的坐标运算得到0NQ NP ⋅=，即可得证；【详解】（1）解：由题意可得1b =，c e a ==222c a b =-，解得23a =，所以椭圆的方程为：2213x y +=；（2）解：设直线MA 的方程为：1y kx =+，(0)k ≠则过原点的直线且与直线MA 平行的直线为y kx =，因为P 是直线y kx =与3y =的交点，所以3,3P k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为直线AM 的方程与椭圆方程2213x y +=联立：22113y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理可得：22(13)60k x kx ++=，可得2613M k x k =-+，222261311313M k k y k k --=+=++，即222613,1313k k M k k ⎛⎫-- ++⎝⎭，因为(0,1)B -，直线MB 的方程为：13x y k=--，联立133x y k y ⎧=--⎪⎨⎪=⎩，解得：312y x k =⎧⎨=-⎩，由题意可得(12,3)Q k -，所以()12,6NQ k =- ，3,6NP k ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以312660NQ NP k k ⋅=-⨯+⨯= ，即NQ NP ⊥ ，所以90PNQ ∠=︒，即PNQ Ð为定值；。

2022年广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟测试卷(一)(解析版)

2022年广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟测试卷(一)(解析版)

（解析版）2022年广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟测试卷(一）(时间：90分钟 满分：150分)一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题6分，共90分) 1.已知集合U ＝{1，2，3，4，6，8}，A ＝{1，3，6}，B ＝{1，4，6，8}，则(∁U A)∪B 等于( C ) A.{1，2，8} B.{1，4，8} C.{1，2，4，6，8} D.{1，4，5，6，8}解析：因为∁U A ＝{2，4，8}，所以(∁U A)∪B ＝{1，2，4，6，8}．2.若sin αcos α<0，则α在( D )A.第一或第二象限B.第一或第三象限C.第二或第三象限D.第二或第四象限解析：因为sin αcos α<0，所以⎩⎨⎧sin α>0，cos α<0，或⎩⎨⎧sin α<0，cos α>0.所以α为第二或第四象限角．故选D.3.下列函数中，在其定义域内是减函数的是( C )A.f(x)＝－x 2＋x ＋1 B.f(x)＝1x C.f(x)＝log 0.3 x D.f(x)＝ln x4.在区间[0，4]上任取一个实数x ，则x>3的概率是( A )A.0.25B.0.5C.0.6D.0.75 解析：几何概率x>3的概率是4－34＝14，故选A. 5.已知直线3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是( C ) A.21313 B.4 C.71326 D.51326解析：∵两直线平行，∴－32＝－6m ，∴m ＝4，∴两直线分别为3x ＋2y －3＝0，6x ＋4y ＋1＝0，∴d ＝||12－（－3）32＋22＝7213＝71326 6.如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，A 1C 与DB 的位置关系为( D )A.平行B.相交C.异面但不垂直D.异面且垂直解析：因为BD ⊥面AA 1C ，A 1C ⊂面AA 1C ，所以BD ⊥A 1C ，所以BD 与A 1C 异面且垂直．故选D.7.已知函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)＝sin ωx 的图象，只要将y ＝f(x)的图象( B )A.向左平移π8个单位长度B.向右平移π8个单位长度C.向左平移π4个单位长度D.向右平移π4个单位长度解析：∵周期为π，∴2πω＝π，∴ω＝2. ∵f()x －π8＝sin[2()x －π8＋π4]＝sin 2x ，∴y ＝f(x)的图象向右平移π8个单位得到g(x)的图象．故选B.8.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知a ＝3，b ＝2，C ＝120°，则c ＝( D ) A.7 B.19 C.7 D.19解析：由余弦定理得因为c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ，所以c 2＝32＋22－2×3×2×()－12＝13＋6＝19.所以c ＝19.故选D.9.要完成下列两项调查：(1)某社区有100户高收入家庭，210户中等收入家庭，90户低收入家庭，从中抽取100户调查消费购买力的某项指标；(2)从某中学高二年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习负担情况，应采取的抽样方法是( C )A.(1)用系统抽样法，(2)用简单随机抽样法B.(1)用分层抽样法，(2)用系统抽样法C.(1)用分层抽样法，(2)用简单随机抽样法D.(1)(2)都用分层抽样法解析：根据简单随机抽样及分层抽样的特点，可知(1)应用分层抽样法，(2)应用简单随机抽样法．故选C.10.若a ＝log 22，b ＝log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系为( A ) A.c<a<b B.c<b<a C.a<c<b D.a<b<c解析：因为a ＝log 22＝1，b ＝log 23>log 22＝1，c ＝log 32<log 33＝1，所以c<a<b.故选A.11.等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么{a n }的前7项和S 7＝( D ) A.22 B.24 C.26 D.28解析：因为等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12, 所以3a 4＝a 3＋a 4＋a 5＝12，解得a 4＝4，所以S 7＝7（a 1＋a 7）2＝7×2a 42＝7a 4＝28. 12.已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－3，－6)，若b ＝λa ，则实数λ的值为( D )A.13B.3C.－13 D.－3 解析：因为b ＝λa ，所以(－3，－6)＝λ(1，2)，所以λ＝－3，故选D. 13.已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，若a 1，a 2，a 4构成公比为q 的等比数列，则q 的值为( B ) A.1 B.2 C.3 D.4解析：因为(a 1＋d)2＝a 1(a 1＋3d)，所以a 1d －d 2＝0，所以a 1＝d ，所以a 2＝a 1＋d ＝2a 1，所以q ＝a 2a 1＝2，故选B.14.若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为( B ) A.－1 B.1 C.3 D.－3 解析：由题得圆心为(－1，2)，代入直线方程得a ＝1.15.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝－10，a n ＋1＝a n ＋3(n ∈N *)，则S n 取最小值时，n 的值是( B ) A.3 B.4 C.5 D.6解析：在数列{a n }中，由a n ＋1＝a n ＋3，得a n ＋1－a n ＝3(n ∈N *), 所以数列{a n }是公差为3的等差数列．又a 1＝－10，所以数列{a n }是公差为3的递增等差数列．由a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－10＋3(n －1)＝3n －13≥0，解得n ≥133. 因为n ∈N *，所以数列{a n }中从第五项开始为正值．所以当n ＝4时，S n 取最小值．故选B.二、填空题(把答案填在题中的横线上．每小题6分，共24分．) 16.已知ta n α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α的值为________ 答案：3 解析：sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3.17.若f(x)＝x 2＋(m ＋1)x ＋(m ＋1)图象与x 轴没有公共点，则m 的取值范围是___(－1，3)___(用区间表示)．解析：依题意Δ＝(m ＋1)2－4(m ＋1)＝(m ＋1)(m －3)<0⇒－1<m<3, 故m 的取值范围用区间表示为(－1，3)．18.设f(x)＝⎩⎨⎧lg x ，x>0，10x ，x ≤0，则f(f(－2))＝________ 答案：－2解析：因为x ＝－2<0，所以f(－2)＝10－2＝1100>0, 所以f(10－2)＝lg10－2＝－2，即f(f(－2))＝－2.19.如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AB ＝1，则侧棱PC ＝__3___解析：连AC ，在Rt △PAC 中，PA ＝1，AC ＝2，所以PC ＝PA 2＋AC 2＝ 3三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤．每小题12分，共36分．) 20.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c ·cos B －b ＝2a.(1)求角C 的大小；(2)设角A 的平分线交BC 于D ，且AD ＝3，若b ＝2，求△ABC 的面积．解：(1)由已知及余弦定理得2c ×a 2＋c 2－b 22ac ＝2a ＋b, 整理得a 2＋b 2－c 2＝－ab, 所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－ab 2ab ＝－12，又0<C<π， 所以C ＝2π3，即角C 的大小为2π3. (2)由(1)知C ＝2π3，依题意画出图形．在△ADC 中，AC ＝b ＝2，AD ＝3，由正弦定理得sin ∠CDA ＝AC ×sin C AD ＝23×32＝22， 又△ADC 中，C ＝2π3， 所以∠CDA ＝π4， 故∠CAD ＝π－2π3－π4＝π12. 因为AD 是角∠CAB 的平分线， 所以∠CAB ＝π6， 所以△ABC 为等腰三角形，且BC ＝AC ＝ 2. 所以△ABC 的面积S ＝12BC ·AC ·sin 2π3＝12×2×2×32＝32.21.已知圆C 经过A(3，2)、B(1，6)两点，且圆心在直线y ＝2x 上．(1)求圆C 的方程；(2)若直线l 经过点P(－1，3)且与圆C 相切，求直线l 的方程．解：(1)解法一：设圆C 的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2(r>0), 依题意得，⎩⎨⎧（3－a ）2＋（2－b ）2＝r 2，（1－a ）2＋（6－b ）2＝r 2，b ＝2a ，解得a ＝2，b ＝4，r 2＝5.所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －4)2＝5. 解法二：因为A(3，2)、B(1，6)，所以线段AB 中点D 的坐标为(2，4), 直线AB 的斜率k AB ＝6－21－3＝－2， 因此直线AB 的垂直平分线l '的方程是y －4＝12(x －2)，即x －2y ＋6＝0.圆心C 的坐标是方程组⎩⎨⎧x －2y ＋6＝0，y ＝2x ，的解．解此方程组，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝4，即圆心C 的坐标为(2，4)．圆C 的半径长r ＝|AC|＝（3－2）2＋（2－4）2＝ 5.所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －4)2＝5. (2) 由于直线l 经过点P(－1，3),当直线l 的斜率不存在时，x ＝－1与圆C ：(x －2)2＋(y －4)2＝5相离，不合题意． 当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y －3＝k(x ＋1)，即kx －y ＋k ＋3＝0. 因为直线l 与圆C 相切，且圆C 的圆心为(2，4)，半径为5，所以有|2k －4＋k ＋3|k 2＋1＝ 5.解得k ＝2或k ＝－12. 所以直线l 的方程为y －3＝2(x ＋1)或y －3＝－12(x ＋1), 即2x －y ＋5＝0或x ＋2y －5＝0.22.已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝2a n －3n(n ∈N *)． (1)求证：数列{a n ＋3}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)求数列的前n 项和．(1)证明：因为S n ＝2a n －3n ，① 所以n ≥2时，S n －1＝2a n －1－3(n －1)，② ①－②得S n －S n －1＝2a n －2a n －1－3， 即a n ＝2a n －2a n －1－3， 所以a n ＝2a n －1＋3， 所以a n ＋3＝2(a n －1＋3) 所以a n ＋3a n －1＋3＝2，所以{a n ＋3}为以2为公比的等比数列，因为2a n －3n ＝S n ，所以2a 1－3＝S 1＝a 1，所以a 1＝3. 所以a n ＋3＝6·2n －1，所以a n ＝3·2n－3.(2)解：S n ＝(3·21－3)＋(3·22－3)＋…＋(3·2n－3)＝3(21＋ (2))－3n ＝3·2－2n ＋11－2－3n ＝6·2n－6－3n.。

广东省广州市高二数学上学期学业水平测试试卷(含解析)

广东省广州市高二数学上学期学业水平测试试卷(含解析)

广东省广州市2014-2015学年高二上学期学业水平测试数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．（5分）已知集合M={1，2，4，8}，N={2，4，6，8}，则M∩N=（）A．{2，4} B．{2，4，8} C．{1，6} D．{1，2，4，6，8} 2．（5分）下列函数中，与函数y=定义域相同的函数为（）A．y=B．y=C．y=x﹣2D．y=lnx3．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a5=9，S2=4，则a2=（）A．1 B．2 C．3 D．54．（5分）某几何体的三视图及其尺寸如图所示，则这个几何体的体积是（）A．6 B．9 C．18 D．365．（5分）将函数y=cosx的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）的图象，则下列说法正确的是（）A．y=f（x）的最小正周期为πB．y=f（x）是偶函数C．y=f（x）的图象关于点（，0）对称D．y=f（x）在区间[0，]上是减函数6．（5分）已知2a＞2b＞1，则下列不等关系式中正确的是（）A．sina＞sinb B．log2a＜log2b C．（）a＞（）b D．（）a＜（）b7．（5分）在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，则•=（）A．18 B．36 C．﹣18 D．﹣368．（5分）设x，y满足约束条件则z=x﹣2y的最小值为（）A．﹣10 B．﹣6 C．﹣1 D．09．（5分）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=a x+1﹣3（a为常数），则f （﹣1）的值为（）A．﹣6 B．﹣3 C．﹣2 D．610．（5分）小李从甲地到乙地的平均速度为a，从乙地到甲地的平均速度为b（a＞b＞0），他往返甲乙两地的平均速度为v，则（）A．v=B．v=C．＜v＜D．b＜v＜二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.11．（5分）过点（﹣3，0）且与直线x+4y﹣2=0平行的直线方程是．12．（5分）如图，在半径为1的圆内随机撒100粒豆子，有14粒落在阴影部分，据此估计阴影部分的面积为．13．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的z的值是．14．（5分）在△ABC中，已知AB=，cosC=，A=2C，则BC的长为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程. 15．（12分）实验室某一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）=4sin（t﹣），t∈[0，24]．（1）求实验室这一天上午10点的温度；（2）当t为何值时，这一天中实验室的温度最低．16．（12分）近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“有害垃圾”和“其他垃圾”等四类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾的正确分类投放情况，现随机抽取了该市四类垃圾箱总计100吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：“厨余垃圾”箱“可回收垃圾”箱“有害垃圾”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾24 4 1 2可回收垃圾 4 19 2 3有害垃圾 2 2 14 1其他垃圾 1 5 3 13（1）试估计“可回收垃圾”投放正确的概率；（2）试估计生活垃圾投放错误的概率．17．（14分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，点E为PB的中点．（1）求证：PD∥平面ACE；（2）求证：平面ACE⊥平面PBC．18．（14分）已知直线ax﹣y+5=0与圆C：x2+y2=9相较于不同两点A，B（1）求实数a的取值范围；（2）是否存在是实数a，使得过点P（﹣2，1）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由．19．（14分）已知等差数列{a n}的公差为2，且a1，a1+a2，2（a1+a4）成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为S n，求证：S n＜6．20．（14分）已知a∈R，函数f（x）=x|x﹣a|．（1）当a=2时，求函数y=f（x）的单调递增区间；（2）求函数g（x）=f（x）﹣1的零点个数．广东省广州市2014-2015学年高二上学期学业水平测试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．（5分）已知集合M={1，2，4，8}，N={2，4，6，8}，则M∩N=（）A．{2，4} B．{2，4，8} C．{1，6} D．{1，2，4，6，8}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：直接由交集运算得答案．解答：解：由M={1，2，4，8}，N={2，4，6，8}，得M∩N={1，2，4，8}∩{2，4，6，8}={2，4，8}．故选：B．点评：本题考查了交集及其运算，是基础的计算题．2．（5分）下列函数中，与函数y=定义域相同的函数为（）A．y=B．y=C．y=x﹣2D．y=lnx考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：分别求出各个函数的定义域，从而得到答案．解答：解：函数y=的定义域是（0，+∞），A中的定义域是{x|x≠0}，B中的定义域是{x|x≥0}，C中的定义域是R，D中的定义域是（0，+∞），故选：D．点评：本题考查了函数的定义域问题，考查了常见函数的性质，是一道基础题．3．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a5=9，S2=4，则a2=（）A．1 B．2 C．3 D．5考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的通项公式和求和公式可得a1和d的方程组，解方程由通项公式可得．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，则a5=a1+4d=9，S2=2a1+d=4，解得a1=1，d=2，∴a2=a1+d=3故选：C点评：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．4．（5分）某几何体的三视图及其尺寸如图所示，则这个几何体的体积是（）A．6 B．9 C．18 D．36考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意可知，几何体是三棱柱，依据所给数据直接计算即可．解答：解：由题意可知：几何体是以正视图为底面的三棱柱，其底面面积S=×4×=6，高是3，所以它的体积：Sh=18，故选：C点评：本题考查三视图、三棱柱的体积，本试题考查了简单几何体的三视图的运用．培养同学们的空间想象能力和基本的运算能力．基础题．5．（5分）将函数y=cosx的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）的图象，则下列说法正确的是（）A．y=f（x）的最小正周期为πB．y=f（x）是偶函数C．y=f（x）的图象关于点（，0）对称D．y=f（x）在区间[0，]上是减函数考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象特征，可得结论．解答：解：将函数y=cosx的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）=cos（x+）=﹣sinx 的图象，再结合正弦函数的图象特征，故选：D．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象特征，属于基础题．6．（5分）已知2a＞2b＞1，则下列不等关系式中正确的是（）A．sina＞sinb B．log2a＜log2b C．（）a＞（）b D．（）a＜（）b考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：根据条件，得到a＞b＞0，分别进行判断即可．解答：解：∵2a＞2b＞1，∴a＞b＞0，只有（）a＜（）b成立，故选：D点评：本题主要考查函数值的大小比较，根据不等式的性质是解决本题的关键．7．（5分）在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，则•=（）A．18 B．36 C．﹣18 D．﹣36考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；解三角形；平面向量及应用．分析：运用余弦定理，求得cosB，再由向量的数量积的定义，计算即可得到．解答：解：由于AB=AC=5，BC=6，则cosB==，则•=||•||•cos（π﹣B）=5×6×（﹣）=﹣18．故选C．点评：本题考查平面向量的数量积的定义，考查余弦定理的运用，考查运算能力，属于基础题和易错题．8．（5分）设x，y满足约束条件则z=x﹣2y的最小值为（）A．﹣10 B．﹣6 C．﹣1 D．0考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求即可．解答：解：由z=x﹣2y得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：平移直线y=，由图象可知当直线y=，过点B时，直线y=的截距最大，此时z最小，由，解得，即B（2，4）．代入目标函数z=x﹣2y，得z=2﹣8=﹣6∴目标函数z=x﹣2y的最小值是﹣6．故选：B．点评：本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．9．（5分）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=a x+1﹣3（a为常数），则f （﹣1）的值为（）A．﹣6 B．﹣3 C．﹣2 D．6考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：f（x）为定义在R上的奇函数，则有f（﹣x）=﹣f（x），f（0）=0，由已知解析式，求得a=3，进而得到f（1），再由f（﹣1）=﹣f（1），即可得到．解答：解：f（x）为定义在R上的奇函数，则有f（﹣x）=﹣f（x），f（0）=0，当x≥0时，f（x）=a x+1﹣3（a为常数），则f（0）=a﹣3=0，解得，a=3，即有f（x）=3x+1﹣3，即f（1）=9﹣3=6，则f（﹣1）=﹣f（1）=﹣6．故选A．点评：本题考查函数的奇偶性的运用：求函数值，注意运用定义和性质，考查运算能力，属于基础题．10．（5分）小李从甲地到乙地的平均速度为a，从乙地到甲地的平均速度为b（a＞b＞0），他往返甲乙两地的平均速度为v，则（）A．v=B．v=C．＜v＜D．b＜v＜考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：设甲地到乙地的距离为s．可得他往返甲乙两地的平均速度为v==，由于a＞b＞0，利用不等式的基本性质可得.=．即可得出．解答：解：设甲地到乙地的距离为s．则他往返甲乙两地的平均速度为v==，∵a＞b＞0，∴，∴．=．∴．故选：D．点评：本题考查了路程与速度时间之间的关系、不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.11．（5分）过点（﹣3，0）且与直线x+4y﹣2=0平行的直线方程是x+4y+3=0．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：设与直线x+4y﹣2=0平行的直线方程为x+4y+c=0，把点（﹣3，0）代入，能求出直线的方程．解答：解：设与直线x+4y﹣2=0平行的直线方程为x+4y+c=0，把点（﹣3，0）代入，得：﹣3+0+c=0，解得c=3，∴所求直线的方程为x+4y+3=0．故答案为：x+4y+3=0．点评：本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线与直线的位置关系的合理运用．12．（5分）如图，在半径为1的圆内随机撒100粒豆子，有14粒落在阴影部分，据此估计阴影部分的面积为0.14π．考点：几何概型．专题：计算题；概率与统计．分析：由题意，符合几何概型，从而可得=；从而求得．解答：解：由题意，符合几何概型，故设阴影部分的面积为S，则=；故S=0.14π；故答案为：0.14π．点评：本题考查了几何概型的应用及频率估计概率的思想应用，属于基础题．13．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的z的值是21．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x，y，z 的值，模拟程序的运行过程，可得答案．解答：解：执行程序框图，有x=1，y=2z=3，满足条件z＜20，x=2，y=3，z=5满足条件z＜20，x=3，y=5，z=8满足条件z＜20，x=5，y=8，z=13满足条件z＜20，x=8，y=13，z=21不满足条件z＜20，输出z的值为21．故答案为：21．点评：本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基本知识的考查．14．（5分）在△ABC中，已知AB=，cosC=，A=2C，则BC的长为2．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：由cosC的值求出sinC的值，根据A=2C，得到sinA=sin2C=2sinCcosC，求出sinA 的值，再由c，sinC的值，利用正弦定理求出a的值，即为BC的长．解答：解：∵△ABC中，AB=c=，cosC=，A=2C，∴sinC==，sinA=sin2C=2sinCcosC=2××==，由正弦定理=得：a==2，则BC=a=2，故答案为：2点评：此题考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程. 15．（12分）实验室某一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）=4sin（t﹣），t∈[0，24]．（1）求实验室这一天上午10点的温度；（2）当t为何值时，这一天中实验室的温度最低．考点：在实际问题中建立三角函数模型．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（1）依题意t=10时，f（10）=4sin（×10﹣）=4，从而解得；（2）因为t∈[0，24]，所以﹣≤t﹣≤，从而令t﹣=求得最小值及最小值点．解答：解：（1）依题意f（t）=4sin（t﹣），t∈[0，24]；实验室这一天上午10点，即t=10时，f（10）=4sin（×10﹣）=4，所以上午10点时，温度为4℃．（2）因为t∈[0，24]，所以﹣≤t﹣≤，故当t﹣=时，即t=22时，y取得最小值，y min=﹣4；故当t=22时，这一天中实验室的温度最低．点评：本题考查了三角函数的应用及最值问题，属于基础题．16．（12分）近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“有害垃圾”和“其他垃圾”等四类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾的正确分类投放情况，现随机抽取了该市四类垃圾箱总计100吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：“厨余垃圾”箱“可回收垃圾”箱“有害垃圾”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾24 4 1 2可回收垃圾 4 19 2 3有害垃圾 2 2 14 1其他垃圾 1 5 3 13（1）试估计“可回收垃圾”投放正确的概率；（2）试估计生活垃圾投放错误的概率．考点：频率分布表；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（1）根据频率分布表，求出“可回收垃圾”的总量与“可回收垃圾投放正确”的数量，计算概率即可；（2）根据数据统计，求出生活垃圾的总量以及生活垃圾投放错误的总量，计算概率即可．解答：解：（1）依题意得，“可回收垃圾”共有4+19+2+3=28（吨），其中投放正确的，即投入了“可回收垃圾”箱的有19吨，设事件A为“可回收垃圾投放正确”，所以，可估计“可回收垃圾”投放正确的概率为P（A）=；（2）据数据统计，总共抽取了100吨生活垃圾其中“厨余垃圾”，“可回收垃圾”，“有害垃圾”，“其他垃圾”投放正确的数量分别为24吨，19吨，14吨，13吨，故生活垃圾投放正确的数量为24+19+14+13=70吨；所以，生活垃圾投放错误的总量为100﹣70=30吨，设事件B“生活垃圾投放错误”，故可估计生活垃圾投放错误的概率为P（B）==．点评：本题考查了数据统计与概率计算的问题，解题时应分析数据，根据数据统计计算概率，是基础题．17．（14分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，点E为PB的中点．（1）求证：PD∥平面ACE；（2）求证：平面ACE⊥平面PBC．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）连BD交AC于O，连EO，利用三角形的中位线的性质证得EO∥PD，再利用直线和平面平行的判定定理证得PD∥平面ACE．（2）由条件利用直线和平面垂直的判定定理证得BC⊥平面PAB，可得BC⊥AE．再利用等腰直角三角形的性质证得AE⊥PB．再利用平面和平面垂直的判定定理证得平面ACE⊥平面PBC．解答：证明：（1）连BD交AC于O，连EO，∵ABCD为矩形，∴O为BD中点．E为PB的中点，∴EO∥PD又EO⊂平面ACE，PD⊄平面ACE，∴PD∥平面ACE（2）∵PA⊥平面ABCD，BC⊂底面ABCD，∴PA⊥BC．∵底面ABCD为矩形，∴BC⊥AB．∵PA∩AB=A，BC⊥平面PAB，AE⊂PAB，∴BC⊥AE．∵PA=AB，E为PB中点，∴AE⊥PB．∵BC∩PB=B，∴AE⊥平面PBC，而AE⊂平面ACE，∴平面ACE⊥平面PBC．点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理、直线和平面垂直的判定定理、平面和平面垂直的判定定理的应用，属于基础题．18．（14分）已知直线ax﹣y+5=0与圆C：x2+y2=9相较于不同两点A，B（1）求实数a的取值范围；（2）是否存在是实数a，使得过点P（﹣2，1）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：（1）由已知得圆心C（0，0）到直线ax﹣y+5=0的距离d==＜r=3，由此能求出a＞或a＜﹣．（2）AB的垂直平分线过圆心，直线PC与直线ax﹣y+5=0垂直，由此能求出存在a=2，使得过P（﹣2，1）的直线l垂直平分弦AB．解答：解：（1）圆C：x2+y2=9的圆心C（0，0），半径r=3，圆心C（0，0）到直线ax﹣y+5=0的距离d==，∵线ax﹣y+5=0与圆C：x2+y2=9相较于不同两点A，B，∴d＜r，∴，解得a＞或a＜﹣．（2）∵A，B为圆上的点，∴AB的垂直平分线过圆心，∴直线PC与直线ax﹣y+5=0垂直，∵k PC=﹣，∴﹣，解得a=2，∵a=2符合a＞或a＜﹣，∴存在a=2，使得过P（﹣2，1）的直线l垂直平分弦AB．点评：本题考查实数的取值范围的求法，考查满足条件的实数值是否存在的判断与求法，解题时要注意直线与圆的位置关系的合理运用．19．（14分）已知等差数列{a n}的公差为2，且a1，a1+a2，2（a1+a4）成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为S n，求证：S n＜6．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用已知条件建立关系式，进一步求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，使用乘公比错位相减法求出数列的和，进一步利用放缩法求得结果解答：解：（1）数列{a n}为等差数列，所以：a2=a1+d=a1+2，a4=a1+3d=a1+6a1，a1+a2，2（a1+a4）成等比数列．所以：解得：a1=1所以：a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1证明：（2）已知①②①﹣②得：==所以：由于n≥1所以：＜6点评：本题考查的知识要点：数列通项公式的应用，错位相减法的应用，放缩法的应用，属于中等题型．20．（14分）已知a∈R，函数f（x）=x|x﹣a|．（1）当a=2时，求函数y=f（x）的单调递增区间（2）求函数g（x）=f（x）﹣1的零点个数．考点：函数的单调性及单调区间；二次函数的性质；函数零点的判定定理．专题：计算题；数形结合；分类讨论；函数的性质及应用．分析：（1）求出a=2的函数解析式，讨论x≥2时，x＜2时，二次函数的对称轴与区间的关系，即可得到增区间；（2）函数g（x）=f（x）﹣1的零点个数即为y=f（x）与y=1的交点个数．画出图象，讨论a=0，a＞0，①a=2，②0＜a＜2③a＞2，及a＜0，通过图象和对称轴，即可得到交点个数．解答：解：（1）当a=2时，f（x）=x|x﹣2|，当x≥2时，f（x）=x2﹣2x，对称轴为x=1，所以，f（x）的单调递增区间为（2，+∞）；当x＜2时，f（x）=﹣x2+2x，对称轴为x=1，所以，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，1）．（2）令g（x）=f（x）﹣1=0，即f（x）=1，f（x）=，求函数g（x）的零点个数，即求y=f（x）与y=1的交点个数；当x≥a时，f（x）=x2﹣ax，对称轴为x=，当x＜a时，f（x）=﹣x2+ax，对称轴为x=，①当a=0时，f（x）=x|x|，故由图象可得，y=f（x）与y=1只存在一个交点．②当a＞0时，＜a，且f（）=，故由图象可得，1°当a=2时，f（）==1，y=f（x）与y=1只存在两个交点；2°当0＜a＜2时，f（）=＜1，y=f（x）与y=1只存在一个交点；3°当a＞2时，f（）=＞1，y=f（x）与y=1只存在三个交点．③当a＜0时，＞a，故由图象可得，y=f（x）与y=1只存在一个交点．综上所述：当a＞2时，g（x）存在三个零点；当a=2时，g（x）存在两个零点；当a＜2时，g（x）存在一个零点．点评：本题考查函数的单调性的运用：求单调区间，考查函数和方程的思想，函数零点的判断，考查数形结合和分类讨论的思想方法，属于中档题和易错题．。

广东省广州市高二数学学业水平测试试卷(含解析)

广东省广州市高二数学学业水平测试试卷(含解析)

2015-2016学年度广州市高中二年级学生学业水平测试2015年12月24日一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分.1.已知集合M =-1,0,1{},{}x x x N ==2|,则M ÇN =（）A.1{}B.0,1{}C.-1,0{}D.-1,0,1{}2.已知等比数列a n {}的公比为2，则a 4a 2值为（） A.14 B.12C. 2D.4 3.直线l 过点1,-2()，且与直线2x +3y -1=0垂直，则l 的方程是（）A. 2x +3y +4=0B.2x +3y -8=0C.3x -2y -7=0D.3x -2y -1=04.函数f x ()=12æèçöø÷x-x +2的零点所在的一个区间是（） A.-1,0() B.0,1() C.1,2() D.2,3()5.已知非零向量与的方向相同，下列等式成立的是（）6.要完成下列两项调查：（1）某社区有100户高收入家庭，210户中等收入家庭，90户低收入家庭，从中抽取100户调查消费购买力的某项指标；（2）从某中学高二年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习负担情况，应采取的抽样方法是（）A.（1）用系统抽样法，（2）用简单随机抽样法B.（1）用分层抽样法，（2）用系统抽样法C.（1）用分层抽样法，（2）用简单随机抽样法D.（1）（2）都用分层抽样法7.设x ,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-≥+,03,02,01y x x y x ,则z =x -y 的最大值为（）A. 3B.1C.1-D.5-8.某几何体的三视图及其尺寸图，则该几何体的体积为（）A. 6B. 9C. 12D. 189.函数f x ()=12-cos 2p 4-x æèçöø÷的单调增区间是（） A. 2k p -p 2,2k p +p 2éëêùûú,k ÎZ B. 2k p +p 2,2k p +3p 2éëêùûú,k ÎZ C. k p +p 4,k p +3p 4éëêùûú,k ÎZ D. k p -p 4,k p +p 4éëêùûú,k ÎZ 10.设a >1,b >2且ab =2a +b 则a +b 的最小值为（）A.22B.22+1C.22+2D.22+3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。

2022-2023学年广东省广州市高二上学期期末数学质量检测试卷(含解析)

2022-2023学年广东省广州市高二上学期期末数学质量检测试卷(含解析)

2022-2023学年广东省广州市高二上册期末数学质量检测试题一、单选题1．已知集合{}{}3,2,1,0,1,13,Z A B x x n n =---==-∈，则A B = （）A ．{}3,1--B ．{}2,1-C ．{}3,1,1--D ．{}2,0-【正确答案】B【分析】先利用整数集Z 的概念与列举法得到集合B ，再利用集合的交集运算即可得解.【详解】因为{}{}{}3,2,1,0,1,13,Z ,5,2,1,4,A B x x n n =---==-∈=-- ，所以{}2,1A B ⋂=-.故选：B.2．下列各代数式中，最小值为2的是（）A ．1x x+B ．221x x +C 2D ．142x x+-【正确答案】B【分析】对选项逐个用基本不等式处理，但是要满足基本不等式成立的条件“一正二定三相等”.【详解】对于A 不能保证0x >，故A 错误；对于B 由基本不等式得2212x x +≥=（当且仅当221x x =即1x =±时取""=），故B 正确；对于C 22=≥=≠，所以无法取得最小值，故C 错误；对于D 不能保证0x >，故D 错误.故选：B3．奇函数()f x 满足()()4f x f x +=，当()0,2x ∈时，()132xf x =+，则()2023f =（）A ．72-B ．32C ．72D ．552【正确答案】A【分析】由()(4)f x f x =+，可得到函数()f x 的周期是4，利用函数的周期性和奇偶性，将()2023f转化为()1f -，代入函数解析式求解即可.【详解】解：已知奇函数()f x 满足()()4f x f x +=，()f x ∴是以4为周期的奇函数，又当()0,2x ∈时，()132xf x =+，()()()()1172023311322f f f f ⎛⎫∴==-=-=-+=- ⎪⎝⎭，故选：A.4．设0.311531log 3,log 5,()5a b c ===，则（）A ．a b c <<B ．a c b<<C ．b c a<<D ．b a c<<【正确答案】D【分析】分别求出,,a b c 的范围，再比较大小.【详解】根据对数换底公式可知，1555log 3log 3log 51a ==->-=-，所以10a -<<，1333log 5log 5log 31b ==-<-=-，所以1b <-，0.3105c ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以b a c <<.故选：D5．若()0,πa ∈，22sin cos 5a a +=，则tan a =（）A ．35-B ．45-C ．34-D ．14-【正确答案】C【分析】根据同角三角函数的平方关系先求出4cos 5α=-，3sin 5α=，然后再利用商的关系即可求解.【详解】因为22sin cos 5a a +=，所以22sin cos 5a a =-，又因为22sin cos 1αα+=，所以221cos (cos 152αα-+=，解得：4cos 5α=-或24cos 25α=，则3sin 5α=或7sin 25α=-，因为()0,πa ∈，所以4cos 5α=-，3sin 5α=，则3tan 4α=-，故选.C6．若样本数据122018,,,x x x 的标准差为3，则数据12201841,41,,41x x x --- 的方差为（）A ．11B ．12C ．143D ．144【正确答案】D【分析】根据数据方差公式()()2D aX b a D X +=求解即可.【详解】因为样本数据122018,,, x x x 的标准差为3，所以方差为9，所以数据12201841,41,,41--- x x x 的方差为249144⨯=.故选：D.7．若随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且()23P A a =-，()122P B a =-，则实数a 的取值范围是（）A ．12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．12,43⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭【正确答案】D【分析】根据互斥事件的知识列不等式，由此求得a 的取值范围.【详解】由于,A B 互斥，且,A B 发生的概率均不为0，所以0231102121023212a a a a ⎧⎪<-<⎪⎪<-<⎨⎪⎪<-+-≤⎪⎩，解得1223a ≤<，所以a 的取值范围是12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：D8．等差数列{}n a ，{}n b 前n 项和分别为n S 与n T ，且(32)(21)n n n T n S +=+，则537b b a +=（）A ．3041B ．3043C ．1823D ．1846【正确答案】A【分析】根据等差数列前n 项和的特点，由已知设出,n n S T ，分别求出其通项公式,n n a b ，代入537b b a +计算可得答案.【详解】设等差数列{}n a ，{}n b 的首项和公差分别为1112,,,a d b d ，则120,0d d ≠≠，因为(32)(21)n n n T n S +=+，由等差数列前n 项和的特点，故可设(32),(21)n n S An n T An n =+=+，其中A 为非零常数，由2(32)32n S An n An An =+=+，当1n =时，115a S A ==，当2n ≥时，()()()2213231216n n n a S S An An A n A n An A -⎡⎤=-=+--+-=-⎣⎦，当1n =时上式仍旧适合，故6n a An A =-，同理可得，当(21)n T An n =+时，4n b An A =-，所以53720123030424141b b A A A A A a A A A +-+-===-.故选：A.二、多选题9．如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为正方形，且,,,,22ED AD ED CD FB AB FB BC AB ED FB ⊥⊥⊥⊥===，则（）A ．三棱锥F ABC -的体积为23B ．EM ⊥平面AFC C ．三棱锥F ACE -的体积为2D ．EF ⊥平面AFC【正确答案】ABC【分析】根据题意建立如图空间直角坐标系，利用三棱锥的体积公式直接计算即可判断A ；利用空间向量证明空间中的位置关系即可判断BD ；利用空间向量法求出平面ACE 的法向量，进而求出点F 到平面ACE 的距离，结合三棱锥的体积公式计算即可判断C.【详解】由,,,BF AB BF BC AB BC B AB BC ⊥⊥=⊂ 、平面ABC ，得BF ⊥平面ABC ，由题意知，,,DA DC DA DE DC DE ⊥⊥⊥，建立如图空间直角坐标系D xyz -，则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,2,1),(1,1,0)D A C E F M ，得(2,2,0),(2,0,2),(0,2,1),(1,1,2)AC AE AF EM =-=-==- ，(2,2,1),(2,0,1)EF FC =-=-- ，对A ：11122213323F ABC ABC V S BF -=⋅=⨯⨯⨯⨯= ，故A 正确；对B ：由0,0EM AF EM FC ⋅=⋅=，得,EM AF EM FC ⊥⊥，又,AF FC F AF FC =⊂ 、平面AFC ，所以EM ⊥平面AFC ，故B 正确；对C：由AC AE CE ===1602ACE S ︒=⨯= .设平面ACE 的一个法向量为(,,)n x y z =，则220220n AC x y n AE x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1x =，得1,1y z ==，所以(1,1,1)n = ，故点F 到平面ACE的距离为AF nd n⋅=所以11233F ACE ACE V S d -=⋅=⨯= ，故C 正确；对D ：由3,0,3EF AF EF AC EF FC ⋅=⋅=⋅=-，得EF ⊥平面AFC 不成立，故D 错误.故选：ABC.10．如图，P 是椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线22222:1(0,0)x y C m n m n-=>>在第一象限的交点，且12,C C 共焦点121212,,,,F F F PF C C ∠θ=的离心率分别为12,e e ，则下列结论不正确的是（）A ．12,PF m a PF m a=+=-B ．若60θ=︒，则2221314e e +=C ．若90θ=︒，则2212e e +的最小值为2D ．tan2b nθ=【正确答案】ACD【分析】根据给定条件，利用椭圆、双曲线定义计算判断A ；由余弦定理计算判断B ，C ；由余弦定理、二倍角的余弦计算判断D 作答.【详解】依题意，121222PF PF aPF PF m ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得12,PF a m PF a m =+=-，A 不正确；令12||2F F c =，由余弦定理得：22222222212122212||||||()()42cos 2||||2()()PF PF F F a m a m c a m c PF PF a m a m a m θ+-++--+-==+--，当60θ=︒时，22234a m c +=，即22()3()4a m c c+=，因此2221314e e +=，B 正确；当90θ=︒时，2222a m c +=，即22()()2a m c c+=，有2212112e e +=，而221201e e <<<，则有22222222121122()22e e e e e e +<+=，解得22122e e >+，C 不正确；22222222222222222221()2()()cos ()()1()n a m c a c c m b n b n a m a c c m b n bθ-+-----====--+-++，22222222cos sin 1tan 222cos cos sin 22cos sin 1tan 222θθθθθθθθθ--=-==++，于是得22221()1tan 21tan 1()2n b n bθθ--=++，解得22tan()2n b θ=，而tan 0,02n b θ>>，因此tan 2nbθ=，D 不正确.故选：ACD 三、填空题11．若复数z 满足i i z z +=⋅（i 为虚数单位），则z =__________．【正确答案】2【分析】根据复数的除法运算求出z ，再求模即可得解.【详解】∵i i z z +=⋅，∴()1i i z -=-，即()()()i 1i i 11i 1i 1i 1i 22z -+-===---+，∴z =故2．12．若直线120kx y k -+-=与圆229x y +=分别交于M 、N 两点.则弦MN 长的最小值为___________.【正确答案】4【分析】分析直线过定点，再由勾股定理即可求解.【详解】由圆229x y +=可得圆心()0,0O ，半径为3，直线120kx y k -+-=，即()210k x y --+=，直线过定点P (2,1)，又因为22219+<，所以点在圆的内部，当圆心到直线MN 距离最大时，弦长MN 最小，此时OP MN ⊥，此时4MN ===，故4.13．把函数()y f x =的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数()πsin 4g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，则π6f ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________.【正确答案】12##0.5【分析】利用反推法与三角函数图像变换得到()f x 的解析式，再计算π6f ⎛⎫⎪⎝⎭即可.【详解】由题可知，要得到()f x ，需将()πsin 4g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，向左平移π3个单位长度，得到πππsin sin 3412y x x ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再将图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍，得到()1πsin 212f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以1πs 2i 1n πππsin 212666f ⎛⎫⨯+⎛⎫== ⎪⎝⎭= ⎪⎝⎭.故答案为.1214．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右顶点分别为12,A A ，点M 在直线x c =上运动，若12A MA ∠的最大值为60 ，则双曲线C 的离心率为__________.【正确答案】233##233【分析】根据题意结合两角差的正切公式整理可得12222tan ac a m A mMA ∠=-+，利用基本不等式求其最大值，即可得223a c a=-，运算求解即可.【详解】设双曲线的右焦点为F ，MF m =，则12212,tan tan MA A MA MF MF m mF A F c a A F c a∠∠====+-，由题意可得：()21212212212tan tan tan tan 1tan tan MA MA A A MA MA MA A MA M F A F A F ∠∠∠∠∠∠∠-==+-22222221m mam ac a c a m m c a m c a m c a c a m--+===-+-+⨯+-+，∵22222222c a c a m m c a m m--+≥⨯=-，当且仅当22c a m m -=，即22m c a b =-=时等号成立，∴1222n 3ta A MA a c a∠≤=-，整理可得：2243a c =，故22243c e a ==，即233e =.故答案为.233四、解答题15．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足3cos sin C cB b=.(1)求角C 的大小；(2)点D 为边AC 的中点，2BD =，设,BC x CD y ==，求BCD △面积的最大值.【正确答案】(1)π3C =3【分析】（1）利用正弦定理的边角变换得到tan 3C =，从而求得角C ；（2）利用余弦定理与基本不等式求得4xy ≤，从而利用三角形面积公式即可求得BCD △面积的最大值.【详解】（13cos sin C cB b=，所以由正弦定理得3cos sin sin sin C CB B =3cos sin C C =，故tan 3C =，又0πC <<，所以π3C =.（2）在BCD △中，,,2BC x CD y BD ===，所以由余弦定理得2222cos BD BC CD BC CD C =+-⋅⋅，即224x y xy =+-，又2242x y xy xy xy xy =+-≥-=，当且仅当2x y ==时，等号成立，则4xy ≤，所以13sin 324BCD S xy C xy =⋅ 2x y ==，故BCD △316．已知数列{}n a 满足{}131152，，n n a a a a +==-是公差为1的等差数列.(1)证明：{}n a n +是等比数列；(2)求{}n a 的前n 项和n S .【正确答案】(1)答案见解析(2)21422n n n n S +++=-，N n *∈.【分析】对于（1），证明11n n a n a n+++=+常数即可；对于（2），由（1）可知2nn a n =-，后可求得n S .【详解】（1）根据题意有2132212a a a a -+=-，即2222152,2a a a -+=-=，所以()1212211n n a a a a n n +-=-+-=-，故()112n n a n a n +++=+，所以{}n a n +是首项为2，公比为2的等比数列.（2）由（1）可知，()11122n n n a n a -+=+⨯=，所以2nn a n =-，所以()()222212n n n S =+++-+++ ()1212212n n n +-=⋅--.()2111422222n n n n n n +++++=--=-，其中N n *∈.17．四棱锥P ABCD -，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，PA AB =，平面PAB ⊥平面PBC .(1)证明：AB ⊥BC ；(2)设M 为PC 上的点，求PC 与平面ABM 所成角的正弦值的最大值.【正确答案】(1)证明过程见解析【分析】（1）作出辅助线，由面面垂直证明出线面垂直，得到AE ⊥BC ，结合PA ⊥BC ，得到线面垂直，证明出BC ⊥平面PAB ，AB ⊥BC ；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角的正弦值的最大值.【详解】（1）如图，过点A 作AE ⊥PB 于点E ，因为平面PAB ⊥平面PBC ，交线为PB ，且AE ⊂平面PAB ，所以AE ⊥平面PBC ，因为BC ⊂平面PBC ，所以AE ⊥BC ，因为PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥BC ，因为PA AE A = ，,PA AE ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ，因为AB ⊂平面PAB ，所以BC ⊥AB；（2）因为底面ABCD 是菱形，且BC ⊥AB ，所以四边形ABCD 为正方形，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z轴，建立空间直角坐标系，设AB =1，则()()()()0,0,0,1,0,0,1,1,0,0,0,1A B C P ，()()1,0,0,1,1,1AB CP ==-- ，设CM CP λ= ，01λ≤≤，则()()()1,1,01,1,11,1,AM AC CM AC CP λλλλλ=+=+=+--=-- ，设平面ABM 的法向量为(),,n x y z = ，则()()()()()(),,1,0,00,,1,1,110n AB x y z x n AM x y z x y z λλλλλλ⎧⋅=⋅==⎪⎨⋅=⋅--=-+-+=⎪⎩，解得：0x =，不妨令y λ=，则1z λ=-，故()0,,1n λλ=- ，设PC 与平面ABM 所成角大小为θ，则sin cos ,CP n n CP n θ⋅===⋅，=当12λ=时，sinθ=sin 3θ=，所以PC 与平面ABM 所成角的正弦值的最大值为3.18．已知动圆P 的圆心P 在y 轴的右侧，圆P 与y 轴相切且与圆C ：222x y x +=外切.(1)求动圆圆心P 的轨迹E 方程；(2)过圆心C 作直线l 与轨迹E 和圆C 交于四个点，自上而下依次为,,,A M N B ，若AM MN NB ，，成等差数列，求直线l 的方程；【正确答案】(1)24(0)y x x =>(2)y =或y =+【分析】（1）根据相切和外切得到圆心P 到直线=1x -的距离等于圆心到()1,0C 的距离，轨迹为抛物线，计算得到答案.（2）确定2MN =得到6AB =，设出直线，联立方程，得到根与系数的关系，根据弦长公式计算即可.【详解】（1）设动圆P 的半径为r ，圆C ：()2211x y -+=，圆心为()1,0C ，半径为1，则1PC r =+，又圆心P 到y 轴的距离为r ，则圆心P 到直线=1x -的距离为1r +，由抛物线的定义得圆心P 的轨迹E 方程为抛物线，且12p =，2p =，故轨迹方程为：24(0)y x x =>（2）由圆C 的半径为1可得2MN =，AM MN NB ，，成等差数列，故24AM NB MN +==，又AM NB AB MN +=-，6AB =，设直线:1l x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立214x my y x =+⎧⎨=⎩，2440y my --=，121244y y m y y +=⎧⎨=-⎩，6AB ===，解得212m =，2m =±，此时0∆>成立，所以直线l的方程为1x y =+，即y =y =。

2021年广东省普通高中学业水平考试数学试题(解析版)

2021年广东省普通高中学业水平考试数学试题(解析版)

广东省2021年普通高中学业水平考试数学试题一、单选题1．设全集U ={}12345，，，，，A ={}12，，则UA =（ ）A ．{} 12345，，，， B ．{} 2345，，， C ．{} 345，， D ．{} 34，【答案】C【分析】根据补集的定义计算可得；【详解】解：因为{}12345U =，，，，，{}12A =， 所以{}U3,4,5A =故选：C2．已知π1cos α 22⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ，则sin α= （ ）A ．12 B ．-12C ．32D ．-32【答案】A【分析】直接利用诱导公式计算可得； 【详解】解：因为π1cos α 22⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以1sin α 2=故选：A3．下列函数为偶函数的是（ ） A ．()1f x x =+ B ．()221x f x x+=C ．()3f x x = D ．()sin f x x =【答案】B【分析】根据偶函数的定义判断即可；【详解】解：对于A ：()1f x x =+为非奇非偶函数，故A 错误；对于B ：()221x f x x +=定义域为{}|0x x ≠，且()()()()221x f x f x x +--==-，所以()221x f x x+=为偶函数，故B 正确；对于C ：()3f x x =定义域为R ，且()()()3f x x f x -=-=-，所以()3f x x =为奇函数，故C 错误；对于D ：()sin f x x =为奇函数，故D 错误； 故选：B4．已知a =0.23，b =0.32，c =0.33，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＜c ＜b B ．b ＜a ＜cC ．c ＜a ＜bD ．a ＜b ＜c【答案】A【分析】根据指数函数、幂函数的性质判断可得；【详解】解：因为0.3x y =在定义域上单调递减，所以230.30.3>，又3y x =在定义域上单调递增，所以330.30.2>，所以2330.30.30.2>>，即b c a >> 故选：A5．经过点(1,6),(0,2)A B -的直线的方程是（ ） A ．420x y --= B ．420x y --=C ．420x y +-=D ．420x y +-=【答案】D【分析】根据直线经过两点，利用直线的两点式方程求解即可. 【详解】因为直线经过点(1,6),(0,2)A B -， 利用两点式得直线的方程为206210y x --=---， 整理得：420x y +-=. 故选：D.6．连续抛掷两枚骰子，向上点数之和为6的概率为（ ） A ．112B ．111C ．536 D ．16【答案】C【分析】基本事件总数6636n =⨯=，利用列举法求出向上的点数之和为6包含的基本事件有5个，由此能求出向上的点数之和为6的概率． 【详解】解：连续抛掷两枚骰子， 基本事件总数6636n =⨯=，向上的点数之和为6包含的基本事件有： (1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，共5个，∴向上的点数之和为6的概率是536P =． 故选：C ．7．下列函数在其定义域内为减函数的是（ ）A ．()3f x x =B ．()112f x x =+C ．()3log f x x =D ．()13xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】D【分析】根据幂指对函数和一次函数的性质进行判定.【详解】由幂函数的性质，可知A 中函数为单调增函数，由一次函数性质可知B 中函数为增函数，由对数函数性质可知C 中函数为增函数，由指数函数性质，可知D 中函数为单调减函数， 故选：D.8．已知直线a ，b 与平面α，若a 平行α，b 在α内，则下列结论正确的是（ ） A ．//a b B ．a 与b 是异面直线 C ．a b ⊥D ．以上情况都有可能 【答案】D【分析】根据线面平行的性质判断可得；【详解】解：因为//a α，b α⊂，则//a b ，或a 与b 是异面直线或a b ⊥， 故选：D9．不等式4-x 2≤0的解集为（ ） A ．{}|22x x -≤≤ B ．{2x x ≤-或}2x ≥ C ．{}|44x x -≤≤ D ．{4x x ≤-或}4x ≥【答案】B【分析】根据一元二次不等式的求解方法直接求解即可.【详解】不等式240x -≤即()()220x x -+≥，解得2x -≤或2x ≥， 故不等式的解集为{2x x ≤-或}2x ≥. 故选：B.10．下列计算正确的是（ ） A ．52×5-2=0B ．5225⎛⎫ ⎪⎝⎭= 1C ．lg 2+lg 5=lg 7D ．32log 81=【答案】D【分析】根据指数幂及对数的运算法则计算可得；【详解】解：225551-⨯==，故A 错误；0125⎛ ⎪⎝⎭=⎫，故B 错误；()lg2lg5lg 25lg101+=⨯==，故C 错误；322log 8log 21==，故D 正确；故选：D11．圆心在C （4，-3），且与直线4x -3y =0相切的圆的方程为（ ） A ．x 2+y 2+8x +6y =0 B ．x 2+y 2+8x -6y =0 C ．x 2+y 2-8x +6y =0 D ．x 2+y 2-8x -6y =0【答案】C【分析】求出圆心到直线的距离，即圆的半径，即可求出方程. 【详解】由题可得圆的半径为圆心到直线的距离，即()()224433543r ⨯-⨯-==+-，所以圆的方程为()()224325x y -++=，即22860x y x y +-+=. 故选：C.12．如图是表示某班6名学生期末数学考试成绩的茎叶图，则这6名学生的平均成绩为（ ）A ．87B ．86C ．85.5D ．85【答案】A【分析】利用平均数公式求得平均成绩. 【详解】解：这6名学生的平均成绩为()1768585869397876x =+++++=， 故选：A.13．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏【答案】B【详解】设塔顶的a 1盏灯，由题意{a n }是公比为2的等比数列， ∴S 7=()711212a --=381，解得a 1=3． 故选B ．14．为了得到sin()3y x π=-的图象，只需把函数sin y x =的图象上的所有点（ ）A ．向右平行移动3π个单位长度 B ．向左平行移动3π个单位长度 C ．向右平行移动6π个单位长度D ．向左平行移动6π个单位长度【答案】A【分析】根据函数图象平移“左加右减”的原则，结合平移前后函数的解析式，可得答案． 【详解】解：由已知中平移前函数解析式为sin y x =，平移后函数解析式为：sin()3y x π=-，可得平移量为向右平行移动3π个单位长度， 故选：A ．15．已知a ＞0，b ＞0，a +b =1，1 a+2b 的最小值是（ ）A ．10 3B ．6C ． 3+D ．【答案】C【分析】利用1的代换，整理后利用基本不等式求最小值.【详解】1a +2b =()12233a b a b a b b a ⎛⎫++=++≥+ ⎪⎝⎭当且仅当1b a b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩,即12a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故选：C.二、填空题16．已知向量(2,),(1,2)a m b →→==-，若a →与b →共线，则m = ______. 【答案】4-【分析】利用向量共线的坐标表示列出方程求解即可. 【详解】因为向量(2,),(1,2)a m b →→==-，且a →与b →共线，所以2(2)10m ⨯--⨯=， 解得：4m =-， 故答案为：4-.17．设tan 2θ=，则tan 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭________.【答案】3-【分析】直接利用两角和的正切公式求出tan 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【详解】tan 121tan 341tan 12πθθθ++⎛⎫+===- ⎪--⎝⎭. 故答案为：3-.【点睛】本题考查两角和的正切公式，属于基础题.18．在等差数列{}n a 中，已知a 3=6，a 5=a 2+9，则a 6 = ________. 【答案】15【分析】设出公差，根据已知建立首项公差方程即可求出. 【详解】设等差数列的公差为d ， 3526,9a a a ==+，1112649a d a d a d ∴+=⎧⎨+=++⎩，解得10,3a d ==， 605315a ∴=+⨯=.故答案为：15.19．已知函数()220log 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，；设()2f a -=，则()f a = _______.【答案】2-【分析】利用指数幂运算求得a 的值，进而利用对数运算求得结果.【详解】()21224a f -=-==, ()211log 244f a f ⎛⎫===- ⎪⎝⎭,故答案为：2-三、解答题20．食品安全问题越来越引起人们的重视，为了给消费者提供放心的蔬菜，某农村合作社搭建了两个无公害蔬菜大棚，分别种植西红柿和黄瓜，根据以往的种植经验，发现种植西红柿的年利润P （单位：万元），种植黄瓜的年利润Q （单位：万元）与投入的资金x （4≤x ≤16，单位：万元）满足P =42x + 8，Q =1124x +.现合作社共筹集了20万元，将其中8万元投入种植西红柿，剩余资金投入种植黄瓜.求这两个大棚的年利润总和. 【答案】39（万元）【分析】分别代入数据计算P 、Q ，然后求和即得 【详解】P =428824⨯+=,Q =()120812154⨯-+=,P +Q =24+15=39（万元）.这两个大棚的年利润总和为39（万元）.21．如图，在△ABC 中，∠A =30°，D 是边AB 上的点，CD =5，CB =7，DB =3（1）求△CBD 的面积； （2）求边AC 的长. 【答案】（1153；（2）53【分析】（1）由余弦定理求得cos B ，即可得出sin B ，再由面积公式即可求解； （2）由正弦定理即可求解.【详解】（1）在CBD 中，由余弦定理可得22237511cos 23714B +-==⨯⨯， 则253sin 1cos B B =-=， 153153372CBDS=⨯⨯=； （2）在ABC 中，由正弦定理得sin sin BC ACA B=， 即715323AC =22．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底边ABCD 是边长为2的菱形，PA =AC =2，PA ⊥平面ABC ，E ，F 分别为PD ，BC 的中点.（1）求三棱锥P-ABD的体积；（2）证明：EF∥平面PAB（参考公式：锥体的体积公式为V= 13Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高）【答案】（123（2）证明见详解；【分析】（1）首先计算三棱锥的底面面积，根据三棱锥的体积公式求解即可；（2）根据线面平行的判定定理证明即可；【详解】（1）因为在四棱锥P-ABCD中，底边ABCD是边长为2的菱形，且AC=2，所以23BD=则1112233 244ABD ABCDS S AC BD==⨯⨯=⨯⨯，又P A⊥平面ABC，所以11232333P ABD ABDV PA S-=⨯⨯=⨯（2）取线段P A中点H，连接HE,BH, 因为E，F分别为PD，BC的中点，所以1//2HE AD,1//2BF AD,则//HE BF,所以四边形HEFB为平行四边形，所以//EF BH,又EF⊄面PAB,BH⊂面PAB,所以//EF面PAB.。

广东省广州市2022-2023学年高二上学期期末数学试题(解析版)

广东省广州市2022-2023学年高二上学期期末数学试题(解析版)

白云中学2022学年度上学期期末测试2023.1.9高二数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟. 2．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目等按要求填涂在选择题答题卡上；3．第Ⅰ卷的答案必须答在选择题答题卡上；第Ⅱ卷用黑色字迹的钢笔或签字笔按各题要求答在答卷相应位置上.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知直线l 的倾斜角为，则直线l 的斜率为（ ） 120︒A. B.C. 0D. 11-【答案】A 【解析】【分析】根据直线倾斜角和斜率的定义即可求得结果. 【详解】由斜率的定义可知，直线l 的斜率,tan120tan(18060)tan 60k ==-=-=即直线l 的斜率为. 故选：A.2. 已知圆，则圆心坐标、圆的半径分别是（ ） 224240x y x y +-+-=A. ，3 B. ，3 C. ，3D. ，9()2,1-()2,1-()2,1--()2,1-【答案】A 【解析】【分析】将圆的一般式化为标准式，写出圆心和半径.【详解】变形为，224240x y x y +-+-=()()22219x y -++=故圆心为，半径为3. ()2,1-故选：A3. 已知为等差数列，，则（ ） {}n a 54a =46a a +=A. 4 B. 6C. 8D. 10【答案】C 【解析】【分析】由等差数列性质，，求出式子的值. 4652a a a +=【详解】因为是等差数列，所以. {}n a 4652248a a a +==⨯=故选：C.4. 已知直线，若，则实数的值为（ ） 12:320,:310l x y l x ay -+=--=12l l ⊥a A. 1 B.C. D.1212-1-【答案】D 【解析】【分析】对进行分类讨论，代入求解即可. a 121k k =-g【详解】当时，直线的斜率， 0a =1:320l x y -+=113k =直线的斜率不存在，此时两条直线不垂直； 2:310l x ay --=当时，直线的斜率， 0a ≠1:320l x y -+=113k =直线的斜率， 2:310l x ay --=23k a=因为，所以， 12l l ⊥121k k =-g所以，解得：. 13113a a⨯==-1a =-故选：D.5. 已知圆与圆的位置关系是（ ）221:4470C x y x y ++-+=()()222:2516C x y -+-=A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切【答案】B 【解析】【分析】先将圆转化成标准形式，分析两圆的圆心和半径，求出圆心距，然后利用圆与圆的位置关系1C 进行判断即可【详解】根据题意，圆 ， 即 ，其圆心为 221:4470C x y x y ++-+=22(2)(2)1x y ++-=()2,2- ， 半径 ，1R =圆 ，其圆心为 ，半径，222:(2)(5)16C x y -+-=(2,5)4r =两圆的圆心距 ，有 ，则两圆外切， 125C C ==12C C R r =+故选：B.6. 四棱锥中，设，，，.则（ ）P ABCD -BA a = BC b =BP c =13PE PD = BE =A.B.112333a b c ++ 211323a b c +-C.D.112333a cb +- 212323a b c ++ 【答案】A 【解析】【分析】根据空间向量基本定理，先表示出，可得，进而根据PD a b c =+-111333PE a b c =+- ，即可得出结果.BE BP PE =+【详解】，PD PB BA AD BA BC BP a b c =++=+-=+-所以.11113333PE PD a b c ==+- 所以.111112333333B a c E BP P b c a b c E ++-=+=+=+ 故选：A.7. 已知，是异面直线，，，，，且，，则与a b ,A B a ∈,C D b ∈AC b ⊥BD b ⊥2AB =1CD =a b 所成的角是（ ） A. B.C.D.30 45 60 90 【答案】C 【解析】【分析】先计算出 ,再根据计算夹角的余弦值，即可写出答案 AB CD ⋅cos =AB CD AB CDθ⋅【详解】设 ，,AB CD θ=由，可得：，， AC b ⊥BD b ⊥AC CD ⊥BD CD ⊥故可得：，，0AC CD ⋅= 0BD CD ⋅=，22()1AB CD AC CD DB CD AC CD CD DB CD CD ⋅=++⋅=⋅++⋅== 又 ， ，1cos =2AB CD AB CD θ⋅∴= [0,180]θ︒︒∈=60θ︒∴故与所成的角是. a b 60 故选：C.8. 设，是双曲线：的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则1F 2F C 2213y x -=O P C 2OP =的面积为（ ）12PF F △A.B. 3C.D. 21252【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线方程可得焦点坐标，，由得出点在以()120F -，()220F ，12122OP F F ==P 12F F 为直径的圆上，根据勾股定理和双曲线的定义可得，结合三角形面积公式计算即可.126PF PF =【详解】由已知，不妨设，，因为， ()120F -，()220F ，12122OP F F ==所以点在以为直径的圆上，即是以为直角顶点的直角三角形， P 12F F 12F F P P 故，即，又，2221212PF PF F F +=221216PF PF +=1222PF PF a -==所以，2221212121242162PF PF PF PF PF PF PF PF =-=+-=-解得，所以， 126PF PF =1212132F F P S PF PF ==△故选：B ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 下列命题中，正确的命题有（ ）A. 是，共线的充要条件a b a b +=- a bB. 若，则存在唯一的实数，使得//a b λa b λ= C. 对空间中任意一点和不共线的三点 ，，，若，则，，，O A B C 243OP OA OB OC =-+P A B C 四点共面D. 若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底{},,a b c {},2,3a b b c c a +++【答案】CD 【解析】【分析】对A ，向量、同向时不成立；a ba b a b +=- 对B ， 为零向量时不成立；b对C ，根据空间向量共面的条件判定； 对D ，根据能成为基底的条件判定.【详解】对A ，向量、同向时，，只满足充分性，不满足必要性，A 错误； a ba b a b +≠- ∴∴对B ，应该为非零向量，故B 错误；b对C ，由于得，，243OP OA OB OC =-+1324PB PA PC =+ 若共线，则三向量共线，故，，三点共线，与已知矛盾，,PA PC ,,PA PC PBA B C 故不共线，由向量共面的充要条件知共面，而过同一点 ，所以，,PA PC,PB PA PC ,,PB PA PC ,P P ，，四点共面，故C 正确；A B C 对D ，若为空间的一个基底，则，，不共面，{},,a b c a b c假设，，共面，设，a b + 2b c + 3c a + ()()23a b x b c y c a +=+++ 所以 ，无解，故，，不共面， 13102yx x y =⎧⎪=⎨⎪=+⎩a b + 2b c + 3c a + 则构成空间的另一个基底，故D 正确．{},2,3a b b c c a +++ 故选： CD ．10. 关于等差数列和等比数列，下列四个选项中不正确的有（ ）A. 若数列的前项和（为常数）则数列为等差数列 {}n a n 2n S an bn c =++,,a b c {}n a B. 若数列的前项和，则数列为等差数列{}n a n 122n n S +=-{}n a C. 数列是等差数列，为前项和，则仍为等差数列 {}n a n S n 232,,,n n n n n S S S S S --⋯D. 数列是等比数列，为前项和，则仍为等比数列． {}n a n S n 232,,,n n n n n S S S S S --⋯【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意，结合等差数列、等比数列通项公式和前项和的性质，逐项判定，即可求解. n 【详解】根据题意，结合等差数列、等比数列的性质依次分析：对于A 中，若数列的前项和，{}n a n 2n S an bn c =++当时，由等差数列的性质，可得数列为等差数列； 0c ={}n a 当时，则数列从第二项其为等差数列，所以A 不正确；0c ≠{}n a 对于B 中，若数列的前项和，{}n a n 122n n S +=-可得，则成等比数列，112213322,4,8a S a S S a S S ===-==-=123,,a a a则数列不是等差数列，所以B 不正确；{}n a 对于C 中，数列是等差数列，为前项和，则 {}n a n S n 232,,,n n n n n S S S S S --⋯即为 ，1212221223,,,n n n n n n n a a a a a a a a a +++++++++++++ 可得（常数），仍为等差数列，所以C 正确；22322n n n n n n S S S S S S n d --=--== 对于D 中，数列是等比数列，为前项和，{}n a n S n 当时，若为偶数时，均为，不是等比数列， 1q =-n 232,,,n n n n n S S S S S --⋯0所以是等比数列，为前项和，则不一定为等比数列． {}n a n S n 232,,,n n n n n S S S S S --⋯故选：ABD.11. 下列选项正确的有（ ）A.表示过点，且斜率为2的直线 02-=-x x y y ()00,P x y B. 是直线的一个方向向量()2,1a =240x y --=C. 以，为直径的圆的方程为 ()4,1A ()1,2B -()()()()41120--+-+=x x y y D. 直线恒过点 ()()()121140R m x m y m m ++---=∈()2,1【答案】BCD 【解析】【分析】根据直线和圆的性质，逐个判断每个选项. 【详解】A 选项：方程，，点不在直线上，A 选项错误； 02-=-x x y y 0y y ≠()00,P x y B 选项：因为直线的斜率为， 所以是直线的一个方向向量，B 240x y --=12(2,1)a =240x y --=选项正确；C 选项：设是所求圆上任意一点，则 ， ()M x y ，AM BM ⊥因为，，()41AM x y =-- ，()12BM x y =-+，所以 ，()(4)(1)(1)20AM BM x x y y ⋅=--+-+=即所求圆的方程为，C 选项正确； ()(4)(1)(1)20x x y y --+-+=D 选项：直线方程化为， ())R (2410m x y x y m +-+--=∈由 ， 解得 ，所以直线恒过定点，D 选项正确. 24010x y x y +-=⎧⎨--=⎩21x y =⎧⎨=⎩()2,1故选：BCD12. 已知曲线C 的方程为，则（ ）()221R 13x y m m m+=∈+-A. 当时，曲线C 为圆1m =B. 当时，曲线C 为双曲线，其渐近线方程为 5m=y x =C. 当时，曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆 1m >D. 不存在实数m 使得曲线C【答案】ABD 【解析】【分析】根据给定的方程，利用选项中的条件计算判断A ，B ，C ；否定结论，导出矛盾判断D 作答.【详解】在曲线C 的方程中，且，()221R 13x y m m m+=∈+-1m ≠-3m ≠对于A ，当时，曲线C 的方程为，曲线C为半径的圆，A 正确；1m =222x y +=对于B ，当时，曲线C 的方程为，曲线C 是双曲线，其渐近线方程为，B5m =22162x y -=y =正确；对于C ，由选项B 知，当时，曲线C ：是双曲线，C 不正确；51m =>22162x y -=对于D ，假定存在实数m 使得曲线C ， 则有，且，显然无解，(1)(3)0m m +-<|1||3|m m +=-所以不存在实数m 使得曲线C ，D 正确. 故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知点是点在坐标平面内的射影，则____________．M ()3,4,5A Oyz OM =【解析】【分析】根据射影坐标的特征可得点坐标，由向量模长坐标运算可求得结果.M 【详解】由题意知：，，. ()0,4,5M ()0,4,5OM ∴=OM ∴== .14. 已知在数列中，，，则等于____________． {}n a 11a =11112n n a a +=+10a 【答案】211【解析】【分析】根据题意可得数列是以1为首项，为公差的等差数列，再利用等差数列的通项公式即可1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭12得解．【详解】解：因为，所以，则数列是以为首项，为公差的等11112n n a a +=+11112n n a a +-=1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭111a =12差数列， 则，故，所以．()1111111222n n n a a =+-⨯=+101111110222a =⨯+=10211a =故答案为：． 21115. 已知是抛物线的焦点，点在抛物线上，则__________． F 2:4C y x =()03,P y C PF =【答案】 4【解析】【分析】由抛物线的定义求解即可. 【详解】因为抛物线，所以, 2:4C y x =12p=因为是抛物线的焦点，点在抛物线上， F 2:4C y x =()03,P y C 由抛物线的定义可得：. 33142pPF =+=+=故答案为：.416. 直线与双曲线：（，）的一条渐近线平行，过抛物线：的焦lE 22221x y a b-=0a >0b >l C 24y x=点，交于，两点，若，则的离心率为______. C A B 5AB =E 【解析】【分析】首先根据抛物线的焦点弦长求出直线的斜率，从而得出双曲线渐近线的斜率，再利用l ba即可求出双曲线的离心率. c e a ====【详解】∵抛物线的方程为：，∴的焦点为，C 24y x =C ()1,0F ∵直线与双曲线的一条渐近线平行，∴直线的斜率存在， l E l 设直线的斜率为，则直线的方程为：，l k l ()1y k x =-由，消去，化简得（），()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩y ()2222240k x k x k -++=Δ0>设，，，到抛物线准线的距离分别为，，()11,A x y ()22,B x y A B A d B d 则，，，， 212224k x x k++=121=x x 1112A p d x x =+=+2212B p d x x =+=+由抛物线的定义，，解得， 212224225A B k AB AF BF d d x x k+=+=+=++=+=2k =±又∵双曲线：（，）渐近线方程为，E 22221x y a b-=0a >0b >b y x a =±∵直线与双曲线的一条渐近线平行，∴， l E 2ba=∴双曲线的离心率为. c e a ======.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知直线l ：与x 轴的交点为A ，圆O ：经过点A ．240x y -+=()2220x y r r +=>（1）求r 的值；（2）若点B 为圆O 上一点，且直线垂直于直线l ，求弦长． AB ||AB【答案】（1）2； （2. 【解析】【分析】（1）求出，代入圆的方程即可求解；()2,0A -O （2）根据直线垂直于直线l ，可求直线的斜率，根据点斜式可求直线的方程，再利用垂径定AB AB AB 理即可求解. 【小问1详解】在中，令，得，故. 240x y -+=0y =2x =-()2,0A -因为圆O ：经过点A ，所以，解得.()2220x y r r +=>()()222200r r -+=>2r =【小问2详解】直线l 的斜率为2，因为直线垂直于直线l ，所以直线的斜率为. AB AB 12-所以直线的方程为，即. AB ()1022y x -=-+220x y ++=圆心到直线， O AB =所以. AB ==18. 在等比数列{}中，． n a 122554a a a +==（1）求{}的通项公式； n a （2）求数列{}的前n 项和S n ． 3214n a n +-【答案】（1）； 114n n a -=（2）. 2114n n -+【解析】【分析】（1）由已知得，，再求出公比，进而写出通项公式； 11a =214a =（2）由（1）得，应用分组求和，结合等差等比前n 项和公式求S n ． 33212144n n a n n +-=+-【小问1详解】由题设，，则的公比， 11a =214a ={}n a 2114a q a ==所以. 114n n a -=【小问2详解】 由（1）知：， 33212144n n a n n +-=+-所以.211(1)111(1)443(...)2(12...)321444214n n n n n S n n n -+=⨯++++⨯+++-=⨯+⨯--2114n n =-+19. 如图，在正三棱柱中，点为的中点，．111ABC A BC -D 1AB 1AA ==（1）证明：平面；BC ∥1AC D （2）求直线到平面的距离．BC 1AC D 【答案】（1）证明见解析（2 【解析】【分析】(1)根据线面平行判定定理证明即可.(2)把到平面的距离转化为到平面的距离,应用空间向量法求解即可.BC 1AC D C 1AC D 【小问1详解】连接交于点，点为的中点,点为的中点1AC 1AC E E 1AC D 1A B∵是的中位线，DE 1A BC ∴，平面,平面.BC DE ∥BC ⊄1AC D DE ⊂1AC D ∴平面．BC ∥1AC D 【小问2详解】如图建立空间直角坐标系由（1）得，直线到平面的距离即为点C 到平面的距离d ，BC 1AC D 1AC D因为，，，， ()0,1,0A -()0,1,0C 12D -(10,1,C 所以， ()0,2,0AC = 且，，(10,2,AC =12AD = 设平面的法向量为， 1AC D (),,n x y z =r 由于可得，100AC n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩00y y ⎧+=⎪++=故取，()1n =-得，AC n d n ⋅== 因此直线到平面． BC 1AC D 20. 已知数列中，，且满足.{}n a 18a =1523n n n a a +=-⋅（1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； {}3n n a -{}n a （2）若，求数列的前项和.()3n n n b n a =-{}n b n n S 【答案】（1）证明见解析；35n n n a =+（2） ()1541516n n n S ++-⨯=【解析】【分析】（1）等号两边同时减去，用定义即可证明；13n +（2）用错位相减法即可求解.【小问1详解】，1523n n n a a +=-⋅∴()11355353n n n n n n a a a ++-=-⋅=-数列是以为首项，以5为公比的等比数列.∴{}3n n a -1135a -=，∴13555n n n n a --=⨯= ∴35n n n a =+【小问2详解】35n n n a =+，∴()35n n n n b n a n =-=⨯ ∴123n n S b b b b =++++ 即①，1231525355nn S n =⨯+⨯+⨯++⨯ ②， ∴234151525355n n S n +=⨯+⨯+⨯++⨯ 由①②得：-，12314151515155n n n S n +-=⨯+⨯+⨯++⨯-⨯ ， ()15154515n n n S n +--=-⨯-化简得：. ()1541516n n n S ++-⨯=21. 平面上两个等腰直角和，既是的斜边又是的直角边，沿边折PAC △ABC AC PAC △ABC AC 叠使得平面平面，为斜边的中点.PAC ⊥ABC M AB（1）求证：.AC PM ⊥（2）求与平面所成角的正弦值.PC PAB （3）在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，PB N CNM ⊥PAB PN PB 说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2； （3）存在，. 13PN PB =【解析】 【分析】（1）取中点，连接，可由线面垂直证明线线垂直得证；AC D ,MD PD （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角；（3）求出平面CNM 的一个法向量，根据平面垂直可得法向量数量积为0求解即可.【小问1详解】取中点，连接，如图，AC D ,MD PD又为的中点，M AB ，由，则，//MD BC ∴AC BC ⊥MD AC ⊥又为等腰直角三角形，，,PAC △PA PC ⊥PA PC =，又，平面，PD AC ∴⊥MD PD D ⋂=,MD PD ⊂PMD 平面，又平面，AC ∴⊥PMD PM ⊂PMD.M AC P ∴⊥【小问2详解】由（1）知，，又平面平面，是交线，平面， PD AC ⊥PAC ⊥ABC AC PD ⊂PAC 所以平面，即两两互相垂直，故以为原点，为x 、y 、z 轴正PD ⊥ABC ,,PD AC DM D ,,DA DM DP 方向建立空间直角坐标系，如图，设，则， 2AC =(1,0,0),(1,2,0),(1,0,0),(0,0,1)P A B C --，，，(1,0,1)CP ∴= (1,0,1)AP =- (1,2,1)BP =- 设为平面的一个法向量，(,,)n x y z = PAB 则，令，即， 020AP n x z BP n x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 1z =(1,1,1)n = 设与平面所成角为， PC PAB θ，sin cos ,CP n CP n CP nθ⋅∴==== 即与平面. PC PAB 【小问3详解】若存在N 使得平面平面，且，， CNM ⊥PAB PN PBλ=01λ≤≤则，解得 ，又， (1,2,1)PN PB λλ→→==--(,2,1)N λλλ--(0,1,0)M 则，，(1,2,1)CN λλλ=-- (1,1,0)CM = 设是平面CNM 的一个法向量，(,,)m a b c = 则，令b =l ，则， (1)2(1)00CN m a b c CM m a b λλλ⎧⋅=-++-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 13(1,1,)1m λλ-=-- ，解得， 131101m n λλ-∴⋅=-++=- 13λ=故存在N 使得平面平面，此时. CNM ⊥PAB 13PN PB =22. 已知圆：，圆：，一动圆与圆和圆同时内切. 1F 2240x y x ++=2F 224120x y x +--=1F 2F （1）求动圆圆心的轨迹方程；M （2）设点的轨迹为曲线，两互相垂直的直线，相交于点，交曲线于，两点，交M C 1l 2l 2F 1l C M N 2l 圆于，两点，求与的面积之和的取值范围.1F P Q PQM PQN V 【答案】（1） 2213y x -=（2）[12,)+∞【解析】【分析】（1）根据动圆圆心到两定点距离的关系可以判断其为双曲线；（2）分两种情况讨论，每一种情况中计算、，从而求得面积的表达式，再求范围即可.||MN ||PQ 【小问1详解】由：，得，可知，其半径为， 1F 2240x y x ++=22(2)4x y ++=1(2,0)F -2由：，得，可知，其半径为. 2F 224120x y x +--=22(2)16x y -+=2(2,0)F 4设动圆半径为，动圆圆心到的距离为，到的距离为，则有r 1F n 2F m 或，即，得， 224n r n m m r +=⎧⇒-=⎨+=⎩224n r m n m r +=⎧⇒-=⎨+=⎩||22n m a -==1a =又，21||422a F F c ==>所以动圆圆心的轨迹是以，为焦点的双曲线，由，可得，M 1F 2F 222c a b =+23b =所以动圆圆心的轨迹方程为； M 2213y x -=【小问2详解】①当直线的斜率存在时，由题意，，设：，与双曲线联立1l 0k ≠1l 2y kx k =-， 2222222(3)443013y kx k k x k x k y x =-⎧⎪⇒-+--=⎨-=⎪⎩由于其于双曲线有两个不同的交点，所以，得且， 2422230Δ164(3)(4+3)=36+360k k k k k ⎧-≠⎨=+->⎩23k ≠20k ≠且，226(1)||3k MN k +==-设：，即， 2l 12y x k k=-+20x ky +-=设圆到直线的距离为，则，1F 2ld d ==因为交圆于，两点，故，得.2l 1F P Q 2d <23k >且，||PQ ==由题意可知，MN PQ ⊥所以12PQM PQN S S PQ MN +=⨯⨯== 因为，可得.23k >12PQM PQN S S +>V V ②当直线的斜率不存在时，，，1l ||4PQ =||6MN =所以， 146122PQM PQN S S +=⨯⨯=V V 综上. 12PQM PQN S S +≥V V。

广东省广州市2020-2021学年高二上学期学业水平测模拟C卷数学试题

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【全国市级联考】广东省广州市2020-2021学年高二上学期学业水平测模拟C 卷数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}230A x R x =∈-≥，集合{}2320B x R x x =∈-+<，则A B =( )A ．32x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭B ．322x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}12x x <<D ．322x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭2．已知2log 3a =，12log 3b =，123c -=，则A ．c b a >>B ．c a b >>C ．a b c >>D ．a c b >> 3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B C D 4．已知过()8(),1,,a A B a -两点的直线与直线210x y -+=平行，则a 的值为( ).A ．－10B ．17C ．5D ．25．执行如图所示的程序框图，那么输出S 的值为（ ）A ．9B ．10C ．45D ．556．某中学高中一年级有400人，高中二年级有320人，高中三年级有280人，现从中抽取一个容量为200人的样本，则高中二年级被抽取的人数为( )A ．28B ．32C ．40D ．647．如图是函数y ＝Asin(ωx ＋φ)( 00A ω>>，， 2πϕ≤)图像的一部分.为了得到这个函数的图像，只要将y ＝sin x(x ∈R)的图像上所有的点( )A ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变. B ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变. C ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变. D ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变. 8．已知三点A(1，1)、B(-1，0)、C(3,-1)，则AB AC ⋅等于（）A ．-2B ．-6C ．2D ．39．在△ABC 中,内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若2a =,b+c=7,cosB=14-,则c =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．610．等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ，若231n n S n T n =+，则n n a b =（ ） A ．23 B ．2131n n ++ C ．2131n n -- D ．2134n n -+二、填空题11．若函数2()ln(1)f x x x=+-的零点在区间(,1)()k k k Z +∈上,则k 的值为 . 12．若圆221:1O x y +=与圆2222:(3)(0)O x y r r -+=>外切，则r 的值为__________．13．已知向量(1,2)OA =-，(3,)OB m =，若OA OB ⊥，则m = .14．若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a ＋3b 的最小值是________三、解答题15．已知3cos()(,)41024x x πππ-=∈. （1）求sin x 的值；（2）求sin(2)3x π+的值.16．某校为了解高三年级学生的数学学习情况，在一次数学考试后随机抽取n 名学生的数学成绩，制成如下所示的频率分布表.(1)求a ，b ，n 的值；(2)若从第三、四、五组中用分层抽样的方法抽取6名学生，并在这6名学生中随机抽取2名与老师面谈，求第三组中至少有1名学生被抽到与老师面谈的概率．17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，侧棱PD ⊥底面ABCD ， PD DC =， 4,3,AB BC E ==是PC 的中点， F 为PB 的中点.（1）证明： //PA 平面;EDB（2）若Q 为直线AP 上任意一点，求几何体Q BDE -的体积；18．已知⊙C 经过点(2,4)A 、(3,5)B 两点，且圆心C 在直线220x y --=上.（1）求⊙C 的方程；（2）若直线3y kx =+与⊙C 总有公共点，求实数k 的取值范围.19．设数列{a n }是等差数列，数列{b n }的前n 项和S n 满足0.008kg/m k =且a 2＝b 1，a 5＝b 2（Ⅰ）求数列{a n }和{b n }的通项公式：（Ⅱ）设T n 为数列{S n }的前n 项和，求T n ．20．已知函数2()23f x x x =--.（1）作出函数()f x 的图像，并根据图像写出函数()f x 的单调区间；以及在各单调区间上的增减性.（2）求函数()f x 当[2,4]x ∈-时的最大值与最小值.参考答案1．B【解析】由题意可得：{}3|,|122A x x B x x ⎧⎫=≥=<<⎨⎬⎩⎭， 结合交集的定义可得：3|22A B x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭. 本题选择B 选项.2．D【解析】由题意可得：()12212log 31,log 30,30,1a b c -=>=<=∈，则：a c b >>.本题选择D 选项.3．A【解析】由三视图可得，该几何体是一个三棱柱截去一个三棱锥所得的几何体， 其中三棱柱底面是边长为2的正三角形，高为2，三棱锥底面是边长为2的正三角形，高为1，该几何体的体积：1112221232⎛⨯-⨯⨯⨯= ⎝. 本题选择A 选项. 点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．4．D【详解】由题意结合直线平行的充要条件可得：2AB k =，结合斜率公式有：()821a a -=--， 解得：2a =.故选：D.5．D【解析】阅读流程图可得该流程图的功能是计算：12310S =++++的值， 结合等差数列前n 项和公式可得：输出的值为11010552+⨯=. 本题选择D 选项. 点睛：使用循环结构寻数时，要明确数字的结构特征，决定循环的终止条件与数的结构特征的关系及循环次数．尤其是统计数时，注意要统计的数的出现次数与循环次数的区别．6．D【解析】试题分析：根据分层抽样的定义，即可得到结论．解：∵高中一年级有400人，高中二年级有320人，高中三年级有280人，∴取一个容量为200人的样本，则高中二年级被抽取的人数为，故选D ．点评：本题主要考查分层抽样的定义和应用，比较基础．7．A【解析】很明显()1112A --==，结合函数的图象可得： 566T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则22T πω==， 当6x π=-时， ()2,233x k k k Z ππωϕϕπϕπ+=-+=∴=+∈，令0k =可得： 3πϕ=，故三角函数的解析式为： sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 据此可知，要得到此函数的图象， 只需将y ＝sin x(x ∈R)的图像上所有的点向左平移3π个单位长度， 再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变. 本题选择A 选项. 点睛对于三角函数图象的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换其中的自变量x ，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位和方向．另外，当两个函数的名称不同时，首先要将函数名称统一，其次要把ωx ＋φ变换成x ϕωω⎛⎫+ ⎪⎝⎭，最后确定平移的单位并根据ϕω的符号确定平移的方向．8．A【解析】由题意可得：()()2,1,2,2AB AC =--=-，利用平面向量数量积的坐标运算法则有：422AB AC ⋅=-+=-.本题选择A 选项.9．A【解析】 由题意结合余弦定理222cos 2a c b B ac+-=可得：224144c b c +-=-，① 由7b c +=可知：7b c =-，②代入①式可得：()2247144c c c +--=-，求解关于边长的方程可得：3c =.本题选择A 选项.10．C【解析】由题意结合等差数列的性质有：()()()()121121211211212121221212321131212n n n n n n n n a a n n a a a S n b b b b b T n n n ------+⨯--+-=====++-+-⨯-. 本题选择C 选项.11．1【解析】由函数的解析式可得函数的定义域为：{}|1x x >-导函数：()212'01f x x x=+>+，则函数()f x 在定义域内单调递增， 且：()()1ln 220,2ln310f f =-=-，结合函数零点存在定理可得1k =.点睛：零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． 12．2【解析】1(0,0)O ，G gR， 1231O O r ==+，∴2r． 13．32【解析】由题意可得：()()()1,23,4,2BA OA OB m m =-=--=--由向量垂直的充要条件结合向量的坐标运算法则可得：()4220OA BA m ⋅=+-=，求解关于实数m 的方程可得：4m =.14．6【解析】试题分析: 3a +3b ≥=，当且仅当a+b=2且a=b 时，等号成立，3a +3b 的最小值是6.考点 :本题主要考查基本不等式的应用，指数运算．点评：注意到a+b=2，出现了“定值”，所以易于想到利用基本不等式求函数最值，要注意的是“一正，二定，三相等”． 15．(1)45；(2). 【详解】试题分析：（1）先判断4x π-的取值范围，然后应用同角三角函数的基本关系式求出sin()4x π-，将所求进行变形sin sin[()]44x x ππ=-+，最后由两角和的正弦公式进行计算即可；（2）结合（1）的结果与x 的取值范围，确定cos x 的取值，再由正、余弦的二倍角公式计算出sin 2x 、cos2x ，最后应用两角和的正弦公式进行展开计算即可. 试题解析：（1）因为3(,)24x ππ∈，所以(,)442x πππ-∈，于是sin()4x π-==sin sin[()]sin()cos cos()sin444444x x x x ππππππ=-+=-+-41021025=⨯+=（2）因为3(,)24x ππ∈，故3cos 5x ===- 2247sin 22sin cos ,cos 22cos 12525x x x x x ==-=-=-所以中sin(2)sin 2coscos 2sin333x x x πππ+=+=考点：1.同角三角函数的基本关系式；2.两角和与差公式；3.倍角公式；4.三角函数的恒等变换.16．（1）100n =，35a =，0.2b =；（2）0.8.【解析】试题分析：（1）依题意，得50.05n =，0.35a n =，20b n=，即可求解a 、b 、n 的值；（2）由第三、四、五组共有60名学生，用分层抽样的方法抽取6名学生，则第三、四、五组的人数，设出第三组的3名学生记为1a 、2a 、3a ，第四组的2名学生记为1b 、2b ，第五组的1名学生记为1c ，即可利用古典概型求解其概率.试题解析：（1）依题意，得50.05n =，0.35a n =，20b n=， 解得100n =，35a =，0.2b =；（2）因为第三、四、五组共有60名学生，用分层抽样的方法抽取6名学生， 则第三、四、五组分别抽取306360⨯=名，206260⨯=名，106160⨯=名. 第三组的3名学生记为1a 、2a 、3a ，第四组的2名学生记为1b 、2b ，第五组的1名学生记为1c ，则从6名学生中随机抽取2名，共有15种不同取法，具体如下：{}12,a a ，{}13,a a ，{}11,a b ，{}12,a b ，{}11,a c ，{}23,a a ，{}21,a b ，{}22,a b ，{}21,a c ，{}31,a b ，{}32,a b ，{}31,a c ，{}12,b b ，{}11,b c ，{}21,b c ，其中第三组的3名学生1a 、2a 、3a 没有一名学生被抽取的情况有3种，具体如下：{}12,b b 、{}11,b c 、{}21,b c ， 故第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率为310.815-=. 考点：分层抽样；古典概型及其概率的计算. 17．（1）证明见解析；（2）4 【解析】试题分析：(1)由题意结合几何关系可得PA EO ，利用线面平行的判断定理可得//PA 平面;EDB(2)由题意结合(1)的结论有： 4Q BDE A BDE V V --==. 试题解析：（1）连结交与，连结. ∵底面是正方形，∴点是的中点.又∵是的中点∴在△中，为中位线 ∴∥. 而平面，平面，∴∥平面. （2）∥平面，18．（1）2268240x y x y +--+=（2）304k ≤≤【解析】试题分析：(1)解法1：由题意利用待定系数法可得⊙C 方程为2268240x y x y +--+=. 解法2：由题意结合几何关系确定圆心坐标和半径的长度可得⊙C 的方程为()()22341x y -+-=.(2)解法1：利用圆心到直线的距离与圆的半径的关系得到关系k 的不等式，求解不等式可得304k ≤≤. 解法2：联立直线与圆的方程，结合()()22623610k k ∆=+-+≥可得304k ≤≤. 试题解析：（1）解法1：设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则22222424063535082422022D E F D D E F E F D E ⎧⎪++++==-⎧⎪⎪⎪++++=⇒=-⎨⎨⎪⎪=⎛⎫⎛⎫⎩⎪----= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩， 所以⊙C 方程为2268240x y x y +--+=. 解法2：由于AB 的中点为59,22D ⎛⎫⎪⎝⎭，1AB k =， 则线段AB 的垂直平分线方程为7y x =-+而圆心C 必为直线7y x =-+与直线220x y --=的交点，由7220y x x y =-+⎧⎨--=⎩解得34x y =⎧⎨=⎩，即圆心()3,4C ，又半径为1CA ==，故⊙C 的方程为()()22341x y -+-=.（2）解法1：因为直线3y kx =+与⊙C 总有公共点， 则圆心()3,4C 到直线3y kx =+1≤，将其变形得2430k k -≤， 解得304k ≤≤. 解法2：由()()()()2222341162903x y k x k x y kx ⎧-+-=⎪⇒+-++=⎨=+⎪⎩， 因为直线3y kx =+与⊙C 总有公共点，则()()22623610k k ∆=+-+≥，解得304k ≤≤. 点睛：判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．19．（Ⅰ）a n ＝2n ﹣1，3nn b = ； （Ⅱ）()213694n n +--. 【分析】（Ⅰ）先用数列中,n n a S 之间的关系求得n b ，然后求得25,a a ，利用等差数列求出通项即可； （Ⅱ）先由题求得n S ，再将n S 看成通项，利用分组求和求得n T . 【详解】 （Ⅰ）由S n ＝()312n b -得，S n ﹣1＝32（b n ﹣1﹣1）（n≥2）， ∴b n ＝s n ﹣s n ﹣1＝32（b n ﹣b n ﹣1），即b n ＝3b n ﹣1，又b 1＝3，故b n ＝3n （n∈N *）． ∴a 2＝b 1＝3，a 5＝b 2＝9， ∴d＝9352--＝2， ∴a n ＝2n ﹣1．（Ⅱ）S n ＝()()3313122n n b -=-， 所以()()1223133336924n n n T n n +=+++-=--.【点睛】本题考查了数列的通项公式以及求和，掌握,n n a S 之间的关系是解题的关键，以及求和中的分组求和，属于较为基础题.20．(Ⅰ)单调区间(],1-∞-，(]1,0-，(]0,1，()1,+∞，在区间(],1-∞-，(]0,1上单调递减，在区间(]1,0-，()1,+∞上单调递增．(Ⅱ) 最小值4-最大值5 【分析】(1)由题意结合函数的解析式绘制函数图象，然后结合图象可得函数的单调区间和函数的单调性；(2)结合函数图象可得函数的最小值为4-，最大值为5. 【详解】(1)当0x ≥时()223f x x x =--，增区间为()1,+∞，减区间为(]0,1，当0x <时()223f x x x =+-，增区间为(]1,0-，减区间为(],1-∞-（2）结合图像可知最小值()()114f f =-=-，最大值()45f =。

广州市高二学业水平测试数学试题+答案

广州市高二学业水平测试数学试题+答案

数学学业水平测试答案 第 1 页 共 10页秘密★启用前上学期广州市高中二年级学生学业水平测试数 学（必修）本试卷共4页. 满分150分. 考试用时120分钟.注意事项:1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡指定的位置上. 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.4．本次考试不允许使用计算器.5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,3A =，则U A =ð( ).A.∅B.{}1,3C.{}2,4,5D.{}1,2,3,4,52. 已知点P ()3,4-是角α终边上的一点，则tan α=( ).A.43-B.34-C.34D.433. 若直线3y ax =+与直线2y x a =-+垂直，则实数a 的值为( ).A.2-B.2C.12- D.124. 要用一根铁丝焊接围成一个面积为9的矩形框，不考虑焊接损耗，则需要铁丝 的长度至少为( ).A.24B. 12C. 6D. 3数学学业水平测试答案 第 2 页 共 10页5. 如图1，在边长为2的正方形ABCD 内随机取一点P ，分别以A B 、、C D 、为圆心、1为半径作圆，在正方形 ABCD 内的四段圆弧所围成的封闭区域记为M （阴影部分），则点P 取自区域M 的概率是( ).A.2π B. 4πC. 14π-D.12π-6. 某几何体的三视图（均为直角三角形）及其尺寸如图2所示，则该几何体的体积为( ).A. 16B. 13C. 12 D. 17. 函数()2f x x x=-的零点所在的区间为( ).A.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C.31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D.3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭8. 已知等差数列{}n a 的首项为4，公差为4，其前n 项和为n S ，则数列 的前 n 项和为( ). A.2(1)n n + B.12(1)n n + C.2(1)n n + D.21n n +9. 在长方形ABCD 中，2AB =，1AD =，则AC CD ⋅=( ).A. 4B. 2C.2-D.4-10. 设函数()f x 的定义域为R ，若存在与x 无关的正常数M ，使()f x M x ≤对 一切实数x 恒成立，则称()f x 为有界泛函.有下面四个函数：①()1f x =； ②()2f x x =； ③()2sin f x x x =； ④()22xf x x x =++．其中属于有界泛函的是( ).A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭图2DCBAM图1数学学业水平测试答案 第 3 页 共 10页二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.11. 已知幂函数()f x x α=的图象过点()2,2，则 函数()f x 的定义域是 .12. 如图3给出的是计算111123S n=+++⋅⋅⋅+值的一个程序框图，当程序结束时，n 的值为 .13. 已知△ABC 的三个顶点的坐标分别是()2,4,0A ，()2,0,3B ，()2,2,C z ，若90C ∠=，则z 的值 为 ．14. 设实数,x y 满足32040x x y x y ⎧⎪-+⎨+-⎪⎩，，，≤≥≥ 则22x y +的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程. 15.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知()3,1A ，()1,0C . （1）求以点C 为圆心，且经过点A 的圆C 的标准方程；（2）若直线l 的方程为290x y -+=，判断直线l 与（1）中圆C 的位置关系，并说明理由.16.（本小题满分12分）已知函数()sin 3cos ,f x x x x =+∈R .（1）求函数)(x f 的最小正周期；开 始i=1, S=0S =S +i 1i=i +1输出S 结 束否是2013i <图3？数学学业水平测试答案 第 4 页 共 10页（2）若635f πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求23f πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.17．(本小题满分14分)对某校高二年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取N 名学生作为样本，得到这N 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：（1）求出表中,N p 及图中a 的值；（2）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于9次的学生中任选2人，求至少有一人参加社区服务次数在区间[]12,15内的概率.分组频数 频率[)3,6 10m[)6,9 n p [)9,12 4 q[]12,1520.05 合计 N 1频率/组距6 12 9 3 15 次数a数学学业水平测试答案 第 5 页 共 10页如图4所示，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 圆周上不同于A 、B 的任意一点，P A ⊥平面ABC ，点E 是线段PB 的中点，点M 在AB 上，且MO ∥AC ．（1）求证：BC ⊥平面P AC ；（2）求证：平面EOM ∥平面P AC .19.（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足11a =，12n n n a a λ+=+⋅(*n ∈N ，λ为常数)，且1a ，22a +，3a 成等差数列． （1）求λ的值；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）设数列{}n b 满足 ，证明： ．23n n n b a =+916nb ≤PCB O E A M 图4设a为常数，a∈R，函数()21=+-+，x∈R.f x x x a（1）若函数()f x是偶函数，求实数a的值；（2）求函数()f x的最小值.数学学业水平测试答案第 6 页共10页数学学业水平测试答案 第 7 页 共 10页广州市高中二年级学生学业水平测试 数学试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选项 C A D B C B D A D B二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共4小题，每小题5分，满分20分．其中第13题填对1个给3分，填对2个给5分． 11． [0,)+∞ 12． 2012 13． 1-或4 14． []8,34三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程． 15．本小题主要考查圆的标准方程、直线与圆的位置关系等基础知识．本小题满分12分． 解：（1）因为圆C 的圆心为(1,0)C ， 可设圆C 的标准方程为()2221x y r -+=． 因为点()3,1A 在圆C 上， 所以()222311r -+=，即25r =． 所以圆C 的标准方程为22(1)5x y -+=． （2）圆心C 到直线l 的距离为2212092521d -⨯+==+．因为255>，即d r >，所以直线l 与圆C 相离．16．本小题主要考查周期的概念，考查三角恒等变换的运算以及化归与转化的数学思想．本小题满分12分．解：（1）()sin 3cos f x x x =+ 132sin cos 22x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭2sin 3x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 所以函数)(x f 的最小正周期是2π．（2）由（1）得，()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．因为635f πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以62sin 2sin 3335f πππααα⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．即3sin 5α=． 因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以24cos 1sin 5αα=-=． 所以22sin 22sin 2333f πππααα⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4sin cos αα=34455=⨯⨯4825=．数学学业水平测试答案 第 8 页 共 10页17．本小题主要考查频数、频率等基本概念，考查古典概型等基础知识．本小题满分14分． 解：（1）由分组[12,15)内的频数是2，频率是0.05，得20.05N=，所以40N =． 因为频数之和为40，所以104240n +++=，解得24n =．所以240.640n p N ===． 因为a 是对应分组[6,9)的频率与组距的商，所以0.60.233p a ===． （2）记“至少有一人参加社区服务次数在区间[12,15)内”为事件A ．这个样本中参加社区服务次数不少于9次的学生共有426+=人． 记在区间[9,12)内的4人为1234,,,a a a a ，在区间[12,15)内的2人为12,b b ． 从这6人中任选2人的所有可能结果有：1213141112{,},{,},{,},{,},{,},a a a a a a a b a b23242122343132414212{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,}a a a a a b a b a a a b a b a b a b b b ，共15种．事件A 包含的结果有：11122122313241{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},a b a b a b a b a b a b a b4212{,},{,}a b b b ，共9种．所以所求概率为93()0.6155P A ===． 18．本小题主要考查直线与平面的位置关系，考查空间想象能力．本小题满分14分． 证明：（1）因为点C 是以AB 为直径的⊙O 圆周上不同于A 、B 的任意一点，所以90ACB ∠=，即BC ⊥AC ． 因为P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以P A ⊥BC ．因为AC ⊂平面P AC ，P A ⊂平面P AC ，ACP A ＝A ，所以BC ⊥平面P AC ．（2）因为点E 是线段PB 的中点，点O 是线段AB的中点， 所以EO ∥P A ．因为P A ⊂平面P AC ，EO ⊄平面P AC ， 所以EO ∥平面P AC ．因为MO ∥AC ，AC ⊂平面P AC ，MO ⊄平面P AC ， 所以MO ∥平面P AC ．因为EO ⊂平面EOM ，MO ⊂平面EOM ，EO MO ＝O ，所以平面EOM ∥平面P AC ．CBOPE AM数学学业水平测试答案 第 9 页 共 10页19．本小题主要考查等差数列的概念，考查数列求和、单调性等基础知识以及运算求解能力、推理论证能力等．本小题满分14分．（1）解：因为11a =，12n n n a a λ+=+⋅(*n ∈N )， 所以121212a a λλ=+⋅=+，232216a a λλ=+⋅=+． 因为1a ，22a +，3a 成等差数列，所以1322(2)a a a +=+，即262(32)λλ+=+， 解得2λ=．（2）解：由（1）得，2λ=，所以112n n n a a ++=+(*n ∈N )，所以12n n n a a --=（2n ≥）． 当2n ≥时，121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-+⋅⋅⋅+-231222n=+++⋅⋅⋅+212(12)112n --=+-123n +=-． 又11a =也适合上式，所以数列{}n a 的通项公式为123n n a +=-(*n ∈N )． （3）证明：由（2）得，123n n a +=-，所以212n n n b +=．因为222212122(1)21(1)22222n n n n n n n n n n n b b ++++++-++--+-=-==， 当3n ≥时，()2120n --+<，所以当3n ≥时，10n n b b +-<，即1n n b b +<． 又114b =<212b =<3916b =， 所以3916n b b =≤(*n ∈N )．20．本小题主要考查偶函数的概念，考查二次函数的单调性、最值等基础知识以及运算求解能力、分类讨论思想等．本小题满分14分． 解：（1）因为函数()f x 为偶函数， 所以对任意的x ∈R 都有()()f x f x -=，即对任意的x ∈R 都有()2211x x a x x a -+--+=+-+，即对任意的x ∈R 都有x a x a +=-，即对任意的x ∈R 都有()()22x a x a +=-，数学学业水平测试答案 第 10 页 共 10页即对任意的x ∈R 都有40ax =，所以0a =．（2）①当x a ≤时，()()2213124f x x x a x a ⎛⎫⎛⎫=-++=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．若12a ≤，则函数()f x 在(],a -∞上单调递减．所以函数()f x 在(],a -∞上的最小值为()21f a a =+． 若12a >，则函数()f x 在1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减，在1,2a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增． 所以函数()f x 在(],a -∞上的最小值为1324f a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．②当x a >时，()()2213124f x x x a x a ⎛⎫⎛⎫=++-=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．若12a -≤，则函数()f x 在1,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递增．所以函数()f x 在[),a +∞上的最小值为1324f a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．若12a >-，则函数()f x 在[),a +∞单调递增．所以函数()f x 在[),a +∞上的最小值为()21f a a =+．综上所述，当12a -≤时，函数()f x 的最小值是34a -；当1122a -<≤时，函数()f x 的最小值是21a +；当12a >时，函数()f x 的最小值是34a +．。

2022-2023学年广东省广州市高二上册期末数学质量检测试题(含解析)

2022-2023学年广东省广州市高二上册期末数学质量检测试题(含解析)

2022-2023学年广东省广州市高二上册期末数学质量检测试题一、单选题1．已知()A 3,5，()1,7B ，则直线AB 的倾斜角大小是（）A ．45︒B ．60︒C ．120︒D ．135︒【正确答案】D【分析】设出直线的倾斜角，利用倾斜角与斜率的关系求出tan 1α=-，进而求出倾斜角.【详解】设直线AB 的倾斜角为α，则75tan 113α-==--，因为[)0,πα∈，所以135α=︒.故选：D2．在空间直角坐标系Oxyz 中，点(234)P ,,在平面xOy 内射影的坐标为（）A ．(230),,B ．(230)-,,C ．(2,0,4)D ．(034),,【正确答案】A【分析】根据射影的概念，由点(234)P ,,在平面xOy 内射影的z 轴方向坐标变为0，其它方向坐标不变即可得解.【详解】点(234)P ,,在平面xOy 内的射影，即向平面xOy 作垂线，垂足为射影，故x 轴和y 轴方向的坐标不变，z 轴方向坐标变为0，故射影的坐标(230),,.故选：A3．圆221:140C x y x +-=与圆()()222:3425C x y -+-=的位置关系为（）A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离【正确答案】B【分析】根据给定条件，求出两圆的圆心距，再判断两圆位置关系作答.【详解】依题意，圆221:(7)49C x y -+=的圆心1(7,0)C ，半径17r =，圆()()222:3425C x y -+-=的圆心2(3,4)C ，半径25r =，则有12||C C ==121212||r r C C r r -<<+，所以圆1C 与圆2C 相交.故选：B4．椭圆22143x y +=与椭圆()221343x y m m m+=<--的（）A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等【正确答案】D【分析】分别求出两个椭圆的长轴长、短轴长、离心率和焦距即可判断.【详解】解：椭圆22143x y +=的长轴长为4，短轴长为122=，焦距为2；椭圆()221343x y m m m+=<--的长轴长为，离心率为=，焦距为2=；故两个椭圆的焦距相等.故选：D.5．意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……，这就是著名的斐波那契数列，该数列的前2022项中有（）个奇数A ．1012B ．1346C ．1348D ．1350【正确答案】C【分析】由斐波那契数列的前几项分析该数列的项的奇偶规律，由此确定该数列的前2022项中的奇数的个数.【详解】由已知可得1a 为奇数，2a 为奇数，3a 为偶数，因为21n n n a a a ++=+，所以4a 为奇数，5a 为奇数，6a 为偶数，…………所以31n a +为奇数，32n a +为奇数，33n a +为偶数，又2022=3674⨯故该数列的前2022项中共有1348个奇数，故选：C.6．已知F 是抛物线24x y =的焦点，,M N 是该抛物线上两点，6MF NF +=，则MN 的中点到x 轴的距离为（）A ．12B ．1C ．2D ．3【正确答案】C【分析】根据抛物线的几何性质求出MN 中点的纵坐标即可.【详解】抛物线24x y =的焦点()0,1F ，准线方程为1y =-，设点()11,M x y ，()22,N x y ，由抛物线的定义可得12121126MF NF y y y y +=+++=++=，即124y y +=，则MN 中点的纵坐标为1222y y +=，即MN 的中点到x 轴的距离为2，故选.C7．已知直线l ：()()2110m x m y m ++++=经过定点P ，直线l '经过点P ，且l '的方向向量()3,2a =，则直线l '的方程为（）A ．2350x y -+=B ．2350x y --=C ．3250x y -+=D ．3250x y --=【正确答案】A【分析】直线l 方程变为()210x y m x y ++++=，可得定点P ()1,1-.根据l '的方向向量()3,2a =，可得斜率为23，代入点斜式方程，化简为一般式即可.【详解】()()2110m x m y m ++++=可变形为()210x y m x y ++++=，解0210x y x y +=⎧⎨++=⎩得11x y =-⎧⎨=⎩，即P 点坐标为()1,1-.因为()23,231,3a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以直线l '的斜率为23，又l '过点P ()1,1-，代入点斜式方程可得()2113y x -=+，整理可得2350x y -+=.故选：A.8．某牧场2022年年初牛的存栏数为500，预计以后每年存栏数的增长率为20%，且在每年年底卖出60头牛.设牧场从2022年起每年年初的计划存栏数依次为1c ，2c ，3c ，…，n c ，…，其中*n ∈N ，则下列结论不正确的是（）（附：51.2 2.4883≈，61.2 2.9860≈，71.2 3.5822≈，101.2 6.1917≈.）A ．2540c =B ．1n c +与n c 的递推公式为1 1.260n n c c +=-C ．按照计划2028年年初存栏数首次突破1000D ．令1012310S c c c c =++++ ，则108192S ≈（精确到1）【正确答案】C【分析】可以利用“每年存栏数的增长率为20%”和“每年年底卖出60头”建立1n c ＋与n c 的关系，用待定系数法构造等比数列，求出n c 通项公式即可求解.【详解】由题意得1500c =，并且1 1.260n n c c +=-，故B 正确；则211.260 1.250060540c c =-=⨯-=，故A 正确；设()1 1.2n n c x c x +-=-，则1 1.20.2n n c c x +=-，则0.2x ＝60，则x ＝300，∴()1300 1.2300n n c c +-=-，即数列{300n c -}是首项为1300200c -=，公比为1.2的等比数列，则1300200 1.2n n c --=⨯，则1300200 1.2n n c -=+⨯，令13002001.21000n n c -=+⨯>，则11.2 3.5n ->，∵61.2 2.9860≈，71.2 3.5832≈，∴n －1≥7，则n ≥8，故2029年年初存栏数首次突破1000，故C 错误；()101010123101 1.23001020030001000 1.211 1.2S c c c c -=++++=⨯+⨯=+⨯-- ≈3000＋1000×(6.1917－1)≈8192，故D 正确.故选：C.二、多选题9．已知圆()()22:121M x y -+-=，则（）A ．圆M 关于直线10x y -+=对称B ．圆M 关于直线10x y ++=对称的圆为()()22321x y +++=C ．直线l 过点()2,0且与圆M 相切，则直线l 的方程为3460x y +-=D ．若点(),P a b 在圆M 的最小值为3【正确答案】ABD【分析】利用圆心在直线上判断A ；利用圆心关于直线对称判断B ；利用直线2x =也符合题意判断C ；利用圆心到定点的距离减去半径判断D.【详解】圆()()22:121M x y -+-=的半径为1，圆心为(1,2)M ，(1,2)M 在直线10x y -+=上，所以圆M 关于直线10x y -+=对称，A 正确；因为()()22321x y +++=的半径为1，圆心为(3,2)N --，所以MN 的中点坐标为(1,0)E -，(1,0)E -在直线10x y ++=上，又因为22113MN k +==+，直线:10l x y ++=的斜率为1-，所以MN l ⊥，所以M N ，关于直线l 对称，即两圆半径相等圆心关于直线:10l x y ++=对称，所以两圆关于直线:10l x y ++=对称，B 正确；因为直线2x =经过()2,0，且其到圆心(1,2)M 的距离等于半径1，所以直线2x =也与圆M 相切，故C 错误；(),P a b 到()3,2F -的距离，因4MF ==，的最小值为1413MF -=-=，D 正确.故选：ABD.10．已知拋物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于()()1122,,,P x y Q x y 两点，点P 在l 上的射影为1P ，则下列说法正确的是（）A ．若125x x +=，则7PQ =B ．以PQ 为直径的圆与准线l 相切C ．设()0,1M ，则1PM PP +≥D ．过点()0,1M 与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线至多有2条【正确答案】ABC【分析】根据焦点弦公式即可判断A ；求出线段PQ 的中点坐标及圆的半径，从而可判断B ；根据抛物线的定义可得1PM PP PM PF MF +=+≥，即可判断C ；分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，结合根的判别式即可判断D.【详解】解：由题意127PQ x x p =++=，故A 正确；拋物线2:4C y x =的准线:1l x =-，122P x Q x =++，则以PQ 为直径的圆的半径1212x x r +=+，线段PQ 的中点坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，则线段PQ 的中点到准线的距离为1212x xr ++=，所以以PQ 为直径的圆与准线l 相切，故B 正确；拋物线2:4C y x =的焦点为()1,0F ，1PM PP PM PF MF +=+≥当且仅当,,M P F 三点共线时，取等号，所以1PM PP +≥C 正确；对于D ，当直线斜率不存在时，直线方程为0x =，与抛物线只有一个交点，当直线斜率存在时，设直线方程为1y kx =+，联立214y kx y x=+⎧⎨=⎩，消x 得2440ky y -+=，当0k =时，方程得解为1y =，此时直线与抛物线只有一个交点，当0k ≠时，则16160k ∆=-=，解得1k =，综上所述，过点()0,1M 与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线有3条，故D 错误.故选：ABC.11．如图，已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，F 为线段1BC 的中点，E 为线段11A C 上的动点，则下列四个结论正确的是（）A ．点F 到直线1AAB ．点E 到直线BD 距离的最小值为1C ．三棱锥1B ACE -的体积是定值13D ．当E 为11A C 的中点时，EF 与1AD 所成的角等于60︒【正确答案】ABD【分析】对于A ，利用中位线定理证得四边形FGAH 是平行四边形，结合线面垂直的性质推得1HF AA ⊥，再利用勾股定理求得HF 即可判断；对于B ，当E 为11A C 的中点时，利用线面垂直的判定定理证得EO 是异面直线11A C 与BD 的公垂线，从而得以判断；对于C ，利用线面平行的判定定理证得11//AC 面1AB C ，从而利用等体积法求得三棱锥1B ACE -的体积，由此判断即可；对于D ，利用线线平行将EF 与1AD 所成的角转化为1A B 与1BC 所成的角，从而在等边11A BC V 求得其角为60︒，从而得以判断.【详解】对于A ，记1,BC AA 的中点为,G H ，连结,,FG AG HF ，如图1，又因为F 为线段1BC 的中点，所以1//FG CC ，112FG CC =，因为在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC ，11AA CC =，所以1//FG AA ，112FG AA AH ==，故四边形FGAH 是平行四边形，所以//HF GA ，HF GA =，在正方体1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥面ABCD ，又GA ⊂面ABCD ，所以1AA AG ⊥，故1HF AA ⊥，所以点F 到直线1AA 的距离为HF ，因为在Rt ABG △中，GA =2HF GA ==，所以点F 到直线1AA A 正确；.对于B ，当E 为11A C 的中点时，连结AC 交BD 于O ，连结11B D ，易得1111B D A C E = ，如图2，在正方体1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥面ABCD ，又BD ⊂面ABCD ，所以1AA BD ⊥，在正方形ABCD 中，易得AC BD ⊥，因为1AA AC A = ，1,AA AC ⊂面11AA CC ，所以BD ⊥面11AA CC ，因为EO ⊂面11AA CC ，所以BD EO ⊥，同理：11AC EO ⊥，故EO 是异面直线11A C 与BD 的公垂线，所以当E 为11A C 的中点时，动点E 到直线BD 距离最小，且为EO ，此时，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC ，11AA CC =，所以四边形11AAC C 是平行四边形，故11//A C AC ，11A C AC =，又,E O 是11,AC AC 的中点，所以1//A E AO ，1A E AO =，所以四边形1AA EO 是平行四边形，所以11EO AA ==，所以动点E 到直线BD 距离的最小值为1，故B 正确；.对于C ，连结11,,AC AB B C ，如图3，由选项B 可知11//A C AC ，因为11A C ⊄面1AB C ，AC ⊂面1AB C ，所以11//AC 面1AB C ，因为E 为线段11A C 上的动点，所以E 到面1AB C 的距离与1C 到面1AB C 的距离相等，所以111111B ACE E AB C C AB C A B CC V V V V ----===，易得AB ⊥面11BB C C ，1111111111222B CC S B C CC =⋅=⨯⨯=，所以1111111113326A B CC B CC V SAB -=⋅=⨯⨯=，即三棱锥1B ACE -的体积是定值16，故C 错误；.对于D ，当E 为11A C 的中点时，连结1A B ，1AD ，如图4，因为,E F 为111,AC BC 的中点，所以1//EF A B ，又与选项B 同理得11//AD BC ，所以1A B 与1BC 所成的角为EF 与1AD 所成的角，即11A BC ∠，易得1111A B BC AC ==，所以11A BC V 是正三角形，故1160A BC ∠=︒，所以EF 与1AD 所成的角为60︒，故D 正确..故选：ABD.12．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列{}n a ，正方形数构成数列{}n b ，则下列说法正确的是（）A ．12311111n n a a a a n ++++=+ B ．1225既是三角形数，又是正方形数C ．12311112nb b b b ++++< D ．N*m ∀∈，2m ≥，总存在p ，N *q ∈，使得m p q b a a =+成立【正确答案】BCD【分析】根据给定信息，求出数列{}n a 、{}n b 的通项，再逐一分析各个选项即可判断作答.【详解】依题意，数列{}n a 中，11a =，21324312,3,4,,n n a a a a a a a a n --=-=-=-= ，2n ≥，于是得121321(1)()()()1232n n n n n a a a a a a a a n -+=+-+-++-=++++=，11a =满足上式，数列{}n b 中，11b =，21324313,5,7,,21n n b b b b b b b b n --=-=-=-=- ，2n ≥，于是得2121321()()()135(21)n n n b b b b b b b b n n -=+-+-++-=++++-= ，11b =满足上式，因此2(1),2n n n n a b n +==，对于A ，12112()(1)1n a n n n n ==-++，则1231111122(1)11n n a a a a n n ++++=-=++ ，A 不正确；对于B ，因为245049(491)122522+==，则491225a =，又2122535=，则351225b =，B 正确；对于C ，221144112()(2)(21)(21)2121n b n n n n n n ==<=-+--+，则12311111111112[(1)()()]2(1)2335212121n b b b b n n n ++++<-+-++-=-<-++ ，C 正确；对于D ，N*m ∀∈，2m ≥，取,1p m q m ==-，则21(1)(1)22p q m m m m m m m a a a a m b -+-+=+=+==，所以N*m ∀∈，2m ≥，总存在p ，N *q ∈，使得m p q b a a =+成立，D 正确.故选：BCD易错点睛：裂项法求和问题，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．三、填空题13．已知直线1:2210l x y --=，2:10l x ay ++=.若12//l l ，则实数=a ______.【正确答案】1-【分析】根据平行直线的性质进行求解即可.【详解】因为12//l l ，所以有122121a a ⎧=⎪⎪-⎨⎪≠⎪--⎩，解得1a =-，故1-14．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，G 为11B C 的中点，若该六面体的棱长都为2，1160BAD A AB A AD ∠=∠=∠=︒，则AG =______.17【分析】根据给定条件，取空间向量的一个基底，再利用空间向量数量积及运算律求出向量的模作答.【详解】在平行六面体1111ABCD A B C D -中，令1,,AB a AD b AA c === ，显然,,a b c 不共面，两两夹角为60 ，因为G 为11B C 的中点，则1111122AG AB BB B G AB AA AD a b c =++=++=++ ，而||||||2a b c === ，1||||cos 602222a b b c a c a c ⋅=⋅=⋅==⨯⨯= ，所以2222222111||()2222224244AG a b c a b c a b b c a c ++=+++⋅+⋅+⋅=+⨯++++ 17=1715．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，M 是双曲线右支上一点，连接1MF 交双曲线C 左支于点N ，若2MNF 是等边三角形，则双曲线的离心率为______.7【分析】记等边2MNF 的边长为m ，利用双曲线的定义得到4m a =，进而在12NF F △中利用余弦定理求得7c a =，从而求得双曲线的离心率.【详解】因为2MNF 是等边三角形，不妨记2MF m =，所以2MN NF m ==，由双曲线的定义得122MF MF a -=，故12MF a m =+，所以()1122NF MF MN a m m a =-=+-=，又由双曲线的定义得212NF NF a -=，所以22m a a -=，故4m a =，所以12NF a =，24NF m a ==，在12NF F △中，12120FNF ∠=︒，则2221212122cos120F F NF NF NF NF =+-︒，所以222144162242c a a a a ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭，整理得227c a =，故7c a =，所以双曲线的离心率为7c e a==.故答案为.7.16．已知椭圆C ：2214x y +=的左､右焦点分别是1F ，2F ，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，则2ABF △的内切圆面积的最大值为___________.【正确答案】4π【分析】设直线AB 的方程为3x ty =，()11,A x y ，()22,B x y ，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得1212,y y y y +，由2121212ABF S F F y y =-△示面积，并变形后应用基本不等式得最大值，从而可得内切圆半径最大值，即得面积最大值．【详解】解：直线AB 的斜率不能为0，但可不存在.设直线AB 的方程为3x ty =，()11,A x y ，()22,B x y ，由22314x ty x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，得()2242310t y +--=，122234t y y t +=+，12214y y t =-+，则2121212ABF SF F y y =⋅-()212121342y y y y =⋅+-=====≤2=（当且仅当t =时等号成立）.设2ABF △的内切圆半径为r ，2248AF BF AB a ++==，则()22122AF BF AB r ++⋅≤，12r ≤，则2ABF △的内切圆面积的最大值为2124ππ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭.故4π．四、解答题17．已知圆C 的圆心在直线10x y +-=，且与直线20x y -=相切于点()0,0.(1)求圆C 的方程；(2)直线l 过点()3,3P -且与圆C 相交，所得弦长为4，求直线l 的方程.【正确答案】(1)()()22215x y -++=(2)3x =或3430x y ++=【分析】（1）分析可知圆心在直线20x y +=上，联立两直线方程，可得出圆心的坐标，计算出圆的半径，即可得出圆C 的方程；（2）利用勾股定理求出圆心到直线l 的距离，然后对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出参数，即可得出直线l 的方程.【详解】（1）解：过点()0,0且与直线20x y -=垂直的直线的方程为20x y +=，由题意可知，圆心C 即为直线20x y +=与直线10x y +-=的交点，联立2010x y x y +=⎧⎨+-=⎩，解得21x y =⎧⎨=-⎩，故圆C 的半径为r ==因此，圆C 的方程为()()22215x y -++=.（2）解：由勾股定理可知，圆心C 到直线l 的距离为1d ==.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为3x =，圆心C 到直线l 的距离为1，满足条件；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()33y k x +=-，即330kx y k ---=，由题意可得1d ===，解得34k =-，此时，直线l 的方程为()3334y x +=--，即3430x y ++=.综上所述，直线l 的方程为3x =或3430x y ++=.18．已知数列{}n a 为公差不为0的等差数列,满足15a =,且2930,,a a a 成等比数列.(Ⅰ)求{}n a 的通项公式；(Ⅱ)若数列{}n b 满足()*1n n n b b a n N +-=∈,且13b =求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【正确答案】(Ⅰ)23n a n =+；(Ⅱ)n =T 13112212n n ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭.【分析】(Ⅰ)利用等比中项性质和等差数列的通项公式列方程，可解得公差d 的值，进而求得等差数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)根据题意，由累加法求出数列{}n b 的通项公式，再通过裂项相消法求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【详解】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠,依题意得()()()2111298a d a d a d ++=+又15a =,解得2d =,所以23n a n =+.(Ⅱ)依题意得123n n b b n +-=+,即121n n b b n --=+(2n ≥且*n N ∈)所以()()()112211...n n n n n b b b b b b b b ---=-+-+-+,()()()22132121...5322n n n n n n ++=++-+++==+.对13b =上式也成立,所以()2n b n n =+,即()11111222n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭,所以1111111113111...23243522212n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.本题考查了等差数列与等比数列的综合应用，考查了累加法求数列的通项公式，考查了裂项相消法求数列的和，考查了推理能力与计算能力.形如()1n n a a f n +-=的数列{}n a 均可利用累加法求通项公式.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥底面ABCD ，AB BC ⊥，//AD BC ，2BC =，1BA =，3AD =，PB E 为棱PA 上一点，且AE AP λ= .(1)若BE //平面PCD ，求实数λ的值；(2)若BE ⊥平面PAD ，求直线BE 和平面PCD 所成角的正弦值.【正确答案】(1)1320【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，建立空间直角坐标系，表达出()1E λ-，求出平面PCD 的法向量，从而BE m ⊥ ，列出方程，求出13λ=；（2）求出平面PAD 的法向量，结合第一问得到的()1E λ-，列出方程组，求出14λ=，从而利用线面角的正弦值求解公式得到答案.【详解】（1）因为PB ⊥底面ABCD ，,BC AB ⊂平面ABCD ，所以PB ⊥BC ，PB ⊥AB ，又因为AB BC ⊥，所以,,AB BC PB 两两垂直，以B 为坐标原点，BA 所在直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，BP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，因为2BC =，1BA =，3AD =，PB AE AP λ= ，所以()()(()()0,0,0,1,0,0,,0,2,0,1,3,0B A P C D ，设(),,E a b c ，故()(1,,1,0,a b c λ-=-，解得：1,0,a b c λ=-==，故()1E λ-，()1BE λ=- ，设平面PCD 的法向量为(),,m x y z = ，则()(()(,,0,2,20,,1,3,30m PC x y z y m PD x y z x y ⎧⋅=⋅==⎪⎨⋅=⋅=+=⎪⎩ ，令1z =，解得：22y x ==-，故22m ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，由题意得：BE m ⊥，即()102222BE m λ⎛⎫⋅=-⋅-=-++= ⎪ ⎪⎝⎭，解得：13λ=；（2）设平面PAD 的法向量为()111,,x n y z = ，则()(()(11111111111,,1,0,0,,1,3,30n PA x y z x z n PD x y z x y z ⎧⋅=⋅==⎪⎨⋅=⋅=+=⎪⎩ ，令11z =，则1x =10y =，故)0,1n = ，由于BE ⊥平面PAD ，所以//BE n ，设BE tn = ，即100t tλ⎧-=⎪=⎨=，解得：14λ=，故34BE ⎛= ⎝⎭，由（1）得：平面PCD的法向量为m ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，设直线BE 和平面PCD 所成角的正弦值为θ，故sin cos ,20m BE m BE m BE θ⋅===⋅ ，直线BE 和平面PCD20．已知正项数列{}n a ，其前n 项和为(),12n n n S a S n N *=-∈．（1）求数列{}n a 的通项公式：（2）设()112n n n b n a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【正确答案】（1）13n n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）1173,4433,4n n n n n T n n ++⎧---⎪⎪=⎨+-⎪⎪⎩为奇数为偶数．【分析】（1）S n 前后两项作差消去，求得a n 的前后两项关系，从而求得an 的通项公式；（2）由（1）求得bn ，对n 分奇数，偶数两种情况讨论，分组求和求得数列前n 项和.【详解】解：（1）由已知12n n a S =-，①所以有1112n n a S ++=-，②②-①，得112n n n a a a ++-=-，即13n n a a +=，∴113n n a a +=，所以数列{}n a 是公比为13的等比数列．又1111212a S a =-=-，∴113a =．所以1111333n nn a -⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）由（1）得()()()()1121312n n n n n n b n n a ⎛⎫=-+=-⋅+-⋅ ⎪⎝⎭，当n 为奇数时，()()2343333321234n n T n =-+-+-⋯-+-+-+-⋯-()()()3131121122132222n n n n n -----++--⎛⎫⎛⎫=+⋅+⋅ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭113373144n n n n ++----=--=-当n 为偶数时，()()2343333321234n n T n =-+-+-⋯++-+-+-⋯+()()()()31311222132222n n n n n ---⎛⎫-+-++⎛⎫=+⋅+⋅ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭113343344n n n n ++-++-=+=综上所述，1173,4433,4n n n n n T n n ++⎧---⎪⎪=⎨+-⎪⎪⎩为奇数为偶数方法点睛：（1）通过an +1=Sn +1-Sn 得到an 前后两项的关系，从而求得通项公式；（2）对于含有(-1)n 的问题可以讨论n 的奇偶性，即可去掉该项，然后按照分组求和的方法求得数列前n 项和.21．如图，三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都是2，1AA ⊥平面ABC ，D ，E 分别是AC ，1CC 的中点.(1)求证：平面BAE ⊥平面1A BD ；(2)求平面1DBA 和平面1BAA 夹角的余弦值；(3)在线段1B B （含端点）上是否存在点M ，使点M 到平面1A BD 的距离为5？若存在，请指出点M 的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.【正确答案】(1)见解析；；(3)存在，M 与点1B 重合时，满足题意.【分析】(1)由题意可证明BD AE ⊥和1A D AE ⊥，即可证明平面BAE ⊥平面1A BD ；(2)先找出二面角，再转化到三角形中解三角形即可；(3)存在点M ，运用等体积法验证即可说明.【详解】（1）证明：因为1AA ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以1AA ⊥BD ，又ABD △为边长为2的正三角形，D 为AC 中点，所以BD AC ⊥，1AA AC A= 所以BD ⊥平面11AAC C ，AE ⊂平面11AAC C ，所以BD AE ⊥①,又1()AA D CAE SAS ≅V V ，所以1AA D CAE ∠=∠，所以1A AE AEC ∠=∠，所以1190A AE AA D ∠+∠=︒，所以190A OA ∠=︒(O 为AE 与1A D 的交点)，所以1AE A D ⊥②，又因为1BD A D D = ③,由①②③可得⊥AE 平面1A BD ，又因为AE ⊂平面BAE ，所以平面BAE ⊥平面1A BD ；（2）解：设1AE A D O ⋂=,过A 作1AF A B ⊥于F ，连接OF ,因为⊥AE 平面1A BD ，1A B ⊂平面1A BD ，所以⊥AE 1A B ，又因为1AF A B ⊥，AF AE A ⋂=，则1A B ⊥平面AEF ,OF ⊂平面AEF ,所以1A B ⊥OF ，所以OFA ∠为平面1DBA 和平面1BAA 夹角，在1Rt AA B △中，112AF A B ===在1AA D △中，11,AA AD A D AO ⋅=⋅，所以AO =，所以Rt AOF 中，OF =所以cos 5OF OFA AF ∠==；（3）当点M 与点1B 重合时，点M 到平面1A BD ，取11A C 中点1D ，连接111,B D DD ,则1B B ∥1DD ，所以11,,B B D D ,四点共面，又1DD ⊥平面111A B C ，11AC ⊂平面111AB C ，所以1DD ⊥11A C ，又11B D ⊥11A C ，1111B D DD D = ,所以11A C ⊥平面11BDD B ，设点1B 到平面1A BD 的距离为h ，又1111B A BD A B BD V V --=,即11111133A BDB BD h S A D S ⋅=⋅V V ,即111111()1()3232h A D BD BD BB ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅,2=解得5h =.故在线段1B B 存在点M （端点1B 处），使点M 到平面1A BD .22．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为()1F ，)2F ，动点M 满足212MF MF -=．(1)求动点M 的轨迹方程；(2)若动点M 在双曲线C 上，设双曲线C 的左支上有两个不同的点P ，Q ，点()4,0N ，且ONP ONQ ∠=∠，直线NQ 与双曲线C 交于另一点B ．证明：动直线PB 经过定点．【正确答案】(1)()22119y x x -=≤-(2)证明见解析【分析】（1）根据双曲线的定义求得,a b 的值得双曲线方程；（2）确定PQ 垂直于x 轴，设直线BP 的方程为x my n =+，设()11,P x y ，()22,B x y ，则()11,Q x y -，直线方程代入双曲线方程，由相交求得m 范围，由韦达定理1212,y y y y +，利用N 、B 、Q 三点共线，且NQ 斜率存在，由斜率相等得出12,y y 的关系，代入韦达定理的结论可求得n 的值，从而得直线BP 所过定点．【详解】（1）因为21122MF MF F F -=<=所以，动点M 的轨迹是以点1F 、2F 为左、右焦点的双曲线的左支，则22a =，可得1a =，3b ==，所以，点M 的轨迹方程为()22119y x x -=≤-；（2）证明：∵ONP ONQ ∠=∠，∴直线PQ 垂直于x 轴，易知，直线BP 的斜率存在且不为0，设直线BP 的方程为x my n =+，设()11,P x y ，()22,B x y ，则()11,Q x y -，联立22990x my n x y =+⎧⎨--=⎩，化简得：()2229118990m y mny n -++-=，直线与双曲线左支、右支各有一个交点，需满足13m >或13m <-，∴1221891mn y y m -+=-，21229991n y y m -=-，又()()22222221836911910m n m n m n =---=+->△，又N 、B 、Q 三点共线，且NQ 斜率存在，∴NQ NB k k =，即121244y y x x -=--，∴()()122144y my n y my n -+-=+-，∴()()1212240my y n y y +-+=，∴()22299182409191n mn m n m m --⋅+-⋅=--，化简得：()()()21814180m n n mn -+--=，∴()2140n n n ---=，∴410n -=，即14n =，满足判别式大于0，即直线BP 方程为14x my =+，所以直线BP 过定点1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭．。

广东省广州市高二数学学业水平测试试卷(含解析)

广东省广州市高二数学学业水平测试试卷(含解析)

2015-2016学年度广州市高中二年级学生学业水平测试2015年12月24日一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分.1.已知集合M =-1,0,1{},{}x x x N ==2|,则M ÇN =（）A.1{}B.0,1{}C.-1,0{}D.-1,0,1{}2.已知等比数列a n {}的公比为2，则a 4a 2值为（） A. 14 B.12C. 2D.43.直线l 过点1,-2()，且与直线2x +3y -1=0垂直，则l 的方程是（）A. 2x +3y +4=0B.2x +3y -8=0C.3x -2y -7=0D.3x -2y -1=04.函数f x ()=12æèçöø÷x-x +2的零点所在的一个区间是（）A.-1,0()B.0,1()C.1,2()D.2,3()5.已知非零向量与的方向相同，下列等式成立的是（）6.要完成下列两项调查：（1）某社区有100户高收入家庭，210户中等收入家庭，90户低收入家庭，从中抽取100户调查消费购买力的某项指标；（2）从某中学高二年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习负担情况，应采取的抽样方法是（）A.（1）用系统抽样法，（2）用简单随机抽样法B.（1）用分层抽样法，（2）用系统抽样法C.（1）用分层抽样法，（2）用简单随机抽样法D.（1）（2）都用分层抽样法7.设x ,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-≥+,03,02,01y x x y x ,则z =x -y 的最大值为（）A. 3B.1C.1-D.5- 8.某几何体的三视图及其尺寸图，则该几何体的体积为（）A. 6B. 9C. 12D. 18 9.函数f x ()=12-cos 2p 4-x æèçöø÷的单调增区间是（）A. 2k p -p2,2k p +p 2éëêùûú,k ÎZ B. 2k p +p 2,2k p +3p 2éëêùûú,k ÎZC. k p +p4,k p +3p 4éëêùûú,k ÎZ D. k p -p 4,k p +p 4éëêùûú,k ÎZ 10.设a >1,b >2且ab =2a +b 则a +b 的最小值为（）A.22 B.22+1 C.22+2 D.22+3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。

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广东省广州市高二上学期学业水平测模拟C 卷数学试题一、单选题1．已知集合{}|230 A x R x =∈-≥，集合{}2|320 B x R x x =∈-+<，则A B ⋂= ( ) A. 3| 2x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭B. 3|2 2x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C. {}|1 2 x x <<D. 3|2 2x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【答案】B【解析】由题意可得： {}3|,|122A x x B x x ⎧⎫=≥=<<⎨⎬⎩⎭， 结合交集的定义可得： 3|22A B x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭. 本题选择B 选项.2．已知2log 3a =， 12log 3b =， 123c -=，则A. c b a >>B. c a b >>C. a b c >>D. a c b >> 【答案】D【解析】由题意可得： ()12212log 31,log 30,30,1a b c -=>=<=∈，则： a c b >>. 本题选择D 选项.3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.53 B. 43 C. 53D. 3【答案】A【解析】由三视图可得，该几何体是一个三棱柱截去一个三棱锥所得的几何体， 其中三棱柱底面是边长为2的正三角形，高为2， 三棱锥底面是边长为2的正三角形，高为1， 该几何体的体积： 111523223132323⎛⎫⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭. 本题选择A 选项.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．4．已知过A (－1，a )，B (a,8)两点的直线与直线2x －y ＋1＝0平行，则a 的值为( ). A. －10 B. 17 C. 5 D. 2 【答案】D【解析】由题意结合直线平行的充要条件可得： 2AB k =， 结合斜率公式有： ()821aa -=--，解得： 2a =. 本题选择D 选项.5．执行如图所示的程序框图，那么输出S 的值为（ ）A. 9B. 10C. 45D. 55 【答案】D【解析】阅读流程图可得该流程图的功能是计算： 12310S =++++L 的值， 结合等差数列前n 项和公式可得：输出的值为11010552+⨯=. 本题选择D 选项.点睛：使用循环结构寻数时，要明确数字的结构特征，决定循环的终止条件与数的结构特征的关系及循环次数．尤其是统计数时，注意要统计的数的出现次数与循环次数的区别．6．某中学高中一年级有人，高中二年级有人，高中三年级有人，现从中抽取一个容量为人的样本，则高中二年级被抽取的人数为( ) A.B.C.D.【答案】D【解析】试题分析：根据分层抽样的定义，即可得到结论．解：∵高中一年级有400人，高中二年级有320人，高中三年级有280人，∴取一个容量为200人的样本，则高中二年级被抽取的人数为，故选：D ．点评：本题主要考查分层抽样的定义和应用，比较基础． 7．如图是函数y ＝Asin(ωx ＋φ)( 00A ω>>，， 2πϕ≤)图像的一部分.为了得到这个函数的图像，只要将y ＝sin x(x ∈R)的图像上所有的点( )A. 向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变.B. 向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.C. 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变.D. 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.【答案】A【解析】很明显()1112A --==，结合函数的图象可得： 566T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则22Tπω==， 当6x π=-时， ()2,233x k k k Z ππωϕϕπϕπ+=-+=∴=+∈，令0k =可得： 3πϕ=，故三角函数的解析式为： sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 据此可知，要得到此函数的图象，只需将y ＝sin x(x ∈R)的图像上所有的点向左平移3π个单位长度， 再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变. 本题选择A 选项.点睛对于三角函数图象的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换其中的自变量x ，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位和方向．另外，当两个函数的名称不同时，首先要将函数名称统一，其次要把ωx ＋φ变换成x ϕωω⎛⎫+ ⎪⎝⎭，最后确定平移的单位并根据ϕω的符号确定平移的方向． 8．已知三点A(1，1)、B(-1，0)、C(3,-1)，则AB AC ⋅u u u v u u u v等于（） A. -2 B. -6 C. 2 D. 3【答案】A【解析】由题意可得： ()()2,1,2,2AB AC =--=-u u u v u u u v，利用平面向量数量积的坐标运算法则有：422AB AC ⋅=-+=-u u u v u u u v . 本题选择A 选项.9．在△ABC 中,内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若2a =,b+c=7,cosB=14-,则c =（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6 【答案】A【解析】由题意结合余弦定理222cos 2a c b B ac +-=可得：224144c b c +-=-，① 由7b c +=可知： 7b c =-，② 代入①式可得：()2247144c c c+--=-，求解关于边长的方程可得： 3c =. 本题选择A 选项.10．等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ，若231n n S n T n =+，则n na b =（ ） A.23 B. 2131n n ++ C. 2131n n -- D. 2134n n -+ 【答案】C【解析】由题意结合等差数列的性质有：()()()()121121211211212121221212321131212n n n n n n n n a a n n a a a S n b b b b b T n n n ------+⨯--+-=====++-+-⨯-. 本题选择C 选项.二、填空题11．若函数()()2ln 1f x x x=+-的零点在区间()(),1k k k Z +∈上,则k 的值为________. 【答案】1【解析】由函数的解析式可得函数的定义域为： {}1x x - 导函数： ()212'01f x x x=+>+，则函数()f x 在定义域内单调递增， 且： ()()1ln220,2ln310f f =-=-， 结合函数零点存在定理可得1k =.点睛：零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．12．若圆221:1O x y +=与圆()2222:3(0)O x y r r -+=>外切，则r 的值为_______.【答案】2【解析】两圆外切，则圆心距等于半径之后，即：13,2r r +==∴=.13．已知向量OA u u u v =（-1，2），OB uuu v =（3， m ），若OA u u u v ⊥AB u u u v，则m =___________.【答案】4【解析】由题意可得： ()()()1,23,4,2AB OA OB m m =-=--=--u u u v u u u v u u u v由向量垂直的充要条件结合向量的坐标运算法则可得：()4220OA AB m ⋅=+-=u u u v u u u v，求解关于实数m 的方程可得： 4m =.14．若实数a 、b 满足2a b +=，则33a b +的最小值是 _______ 【答案】6【解析】由指数函数的性质可知： 30,30a b>>，结合均值不等式的结论有： 336a b +≥==，当且仅当1a b ==时等号成立，综上可得， 33a b+的最小值是6.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．三、解答题15．已知3cos ,,41024x x πππ⎛⎫⎛⎫-=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求sin x 的值； （2）求sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭的值.【答案】（1）45；（2）2450+-.【解析】试题分析：(1)由题意结合两角和差正余弦公式和同角三角函数基本关系可得4sin sin 445x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；(2)利用二倍角公式可得247sin2,cos22525x x =-=-，则24sin 2350x π+⎛⎫+=-⎪⎝⎭ 试题解析：（1）因为3,24x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以,442x πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，于是sin 4x π⎛⎫-== ⎪⎝⎭sin sin sin cos cos sin444444x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦41021025=+⨯=（2）因为3,24x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故3cos 5x ===- 2247sin22sin cos ,cos22cos 12525x x x x ==-=⨯-=-所以中sin 2sin2cos cos2sin 333x x x πππ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭ 16．某校高三年级一次数学考试后，为了解学生的数学学习情况，随机抽取n 名学生的（1）求、、的值；（2）若从第三、四、五组中用分层抽样方法抽取6名学生，并在这6名学生中随机抽取2名学生与张老师面谈，求第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率 【答案】（1）100n =，35a =，0.2b =；（2）0.8. 【解析】试题分析：（1）先根据相应组的频数除以样本总容量等于相应组的频率列式求出a 、b 、n 的值；（2）先利用分成抽样的方法确定从第三、四、五组抽取的人数，并将从每组抽取的人进行编号，利用列举法将所有的基本事件列举出，并确定基本事件总数，然后确定问题中设计事件的基本事件及其数目，利用古典概型的概率计算公式求出相应事件的概率.试题解析：（1）依题意，得50.05n =，0.35a n =，20b n=， 解得100n =，35a =，0.2b =；（2）因为第三、四、五组共有60名学生，用分层抽样的方法抽取6名学生，则第三、四、五组分别抽取306360⨯=名，206260⨯=名，106160⨯=名. 第三组的3名学生记为1a 、2a 、3a ，第四组的2名学生记为1b 、2b ，第五组的1名学生记为1c ，则从6名学生中随机抽取2名，共有15种不同取法，具体如下：{}12,a a ，{}13,a a ，{}11,a b ，{}12,a b ，{}11,a c ，{}23,a a ，{}21,a b ，{}22,a b ，{}21,a c ，{}31,a b ，{}32,a b ，{}31,a c ，{}12,b b ，{}11,b c ，{}21,b c ，其中第三组的3名学生1a 、2a 、3a 没有一名学生被抽取的情况有3种，具体如下：{}12,b b 、{}11,b c 、{}21,b c ，故第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率为310.815-=. 【考点】1.分层抽样；2.古典概型17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =， 4,3,AB BC E ==是PC 的中点， F 为PB 的中点.（1）证明： //PA 平面;EDB（2）若Q 为直线AP 上任意一点，求几何体Q BDE -的体积； 【答案】（1）证明见解析；（2）4 【解析】试题分析：(1)由题意结合几何关系可得PA EO P ，利用线面平行的判断定理可得//PA 平面;EDB(2)由题意结合(1)的结论有： 4Q BDE A BDE V V --==. 试题解析：（1）连结交与，连结.∵底面是正方形，∴点是的中点. 又∵是的中点∴在△中，为中位线 ∴∥.而平面，平面，∴∥平面.（2）∥平面，18．已知⊙C 经过点()2,4A 、()3,5B 两点，且圆心C 在直线220x y --=上. （1）求⊙C 的方程；（2）若直线3y kx =+与⊙C 总有公共点，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）2268240x y x y +--+=（2）304k ≤≤ 【解析】试题分析：(1)解法1：由题意利用待定系数法可得⊙C 方程为2268240x y x y +--+=. 解法2：由题意结合几何关系确定圆心坐标和半径的长度可得⊙C 的方程为()()22341x y -+-=.(2)解法1：利用圆心到直线的距离与圆的半径的关系得到关系k 的不等式，求解不等式可得304k ≤≤.解法2：联立直线与圆的方程，结合()()22623610k k ∆=+-+≥可得304k ≤≤. 试题解析： （1）解法1：设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则2222242406{35350 {8 2422022D E F D D E F E F D E ++++==-++++=⇒=-=⎛⎫⎛⎫----= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以⊙C 方程为2268240x y x y +--+=. 解法2：由于AB 的中点为59,22D ⎛⎫⎪⎝⎭， 1AB k =， 则线段AB 的垂直平分线方程为7y x =-+而圆心C 必为直线7y x =-+与直线220x y --=的交点，由7{220y x x y =-+--=解得3{ 4x y ==，即圆心()3,4C ，又半径为1CA ==，故⊙C 的方程为()()22341x y -+-=.（2）解法1：因为直线3y kx =+与⊙C 总有公共点， 则圆心()3,4C 到直线3y kx =+1≤，将其变形得2430k k -≤，解得304k ≤≤. 解法2：由()()()()2222341{162903x y k x k x y kx -+-=⇒+-++==+，因为直线3y kx =+与⊙C 总有公共点，则()()22623610k k ∆=+-+≥，解得304k ≤≤. 点睛：判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．19．设数列{a n }是等差数列，数列{b n }的前n 项和S n 满足()213n n S b =-且2152,.a b a b ==（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式： （2）设T n 为数列{S n }的前n 项和，求T n .【答案】（Ⅰ）()*21n a n n N =-∈， ()*3n n b n N =∈；（Ⅱ） ()213694n n +--. 【解析】试题分析：(1)由题意结合通项公式与前n 项和公式之间的关系可得()*3n n b n N =∈，结合数列{}n b 的通项公式可得数列{}n a 的通项公式为()*21n a n n N =-∈.(2)由题意可得()3312n n S =-，分组求和可得 ()213694n n T n +=--. 试题解析：（1）由()312n n S b =-， ()()113122n n S b n --=-≥， ∴ ()()11322n n n n n b S S b b n --=-=-≥，即13n n b b -=，又13b =，故()*3n n b n N =∈.∴ 213a b ==， 529a b ==，公差52932523a a d --===-， ∴ ()*21n a n n N =-∈.（2）Q 3nn b =，所以数列{}n b 其前n 项和()()3313122n n n S b =-=-， ∴ ()()1223133336924n n n T n n +=++⋅⋅⋅+-=--. 20．已知函数()223f x x x =--.（1）作出函数()f x 的图像，并根据图像写出函数()f x 的单调区间；以及在各单调区间上的增减性.（2）求函数()f x 当[]2,4x ∈-时的最大值与最小值.【答案】(Ⅰ)单调区间(],1-∞-， (]1,0-， (]0,1， ()1,+∞，在区间(],1-∞-， (]0,1上单调递减，在区间(]1,0-， ()1,+∞上单调递增。

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