方程组确定的隐函数(北工大)

FF12((
x, x,
y, u, v ) y, u, v )

x y

x(u, v ) y(u, v )

0, 0.
显然,函数 F1,F2 的所有偏导数在点
M( x0 , y0,u0,v0 ) 的邻域连续,且

F1 ( F2 (
x0 x0
, ,
y0 , u0 ,v0 ) y0 , u0 ,v0 )
x2
xm M
则存在点 N ( xm0 1, xm0 2 , , xm0 n ) 的邻域V，在V存在
唯一一组有连续偏导数的n元m值隐函数组
x1 f1( xm1 ,L , xmn ),

x2

f2( xm1,L LL
, xmn ),
xm fm ( xm1 ,L , xmn ),
偏导数的反函数组 u u( x, y),v v( x, y).
证毕.
4.隐函数组偏导数的求法
设方程组

F1 F2
( (
x, x,
y, y,
u, u,
v v
) )

0, 0,
确定了隐函数组 u u( x, y),v v( x, y),
有
FF12[[
x, x,
y, y,
域D满足定理 的所有偏导数在D连续．
因为 F2 F2 v , F2 F2 v ,
x x v x y y v y
F2 F2 v . ( v f )
u u v u u u
F[ x1, x2 , , xn , f ( x1, x2 , , xn )] 0, y0 f ( x10 , x20 , xn0 ),
且
y xk


Fx'k
F
' y
(k
1,2,
, n).
注：由于隐函数的存在性的证明与区域D的
维数无关，则可直接推广到本定理．
3、方程组确定的隐函数 定理3 设 F1( x, y,u,v)与 F2( x, y,u,v)在点 P( x0, y0, u0,v0 )的邻域G满足下列条件： １）四元函数 F1( x, y,u,v) 与 F2(x, y,u,v) 的所有偏导数在G连续(从而 F1,F2 在G连续)； ２）F1( x0 , y0 ,u0 ,v0 ) 0,
F2( x0 , y0 , u0 ,v0 ) 0;
F1
３）行列式 J (F1 , F2 ) u
(u, v )
F2
u
F1 v 0. F2 v p
则存在点 Q(x0, y0 ) 的邻域 V ，在 V 存在唯一
一组有连续偏导数的(隐)函数组
u u( x, y) 与 v v( x, y)，
最后证明隐函数组 u u( x, y) 与 v v( x, y) 满足定理的要求．
已知函数 v f ( x, y, u) 在 D 连续，
u u( x, y) 在 V ( D) 连续，则
v f [ x, y, u( x, y)] v( x, y) 在V 连续，
即 u u( x, y), v v( x, y)在V 连续， 并代入函数 F1,F2 中,有
[ x, y, u( x, y)] 0
而且有 u( x0 , y0 ) u0 ,
v( x0 , y0 ) f [x0 , y0 ,u( x0 , y0 )] f ( x0 , y0 ,u0 ) v0 .
已知函数 u u( x, y) 的偏导数在邻域V
连续.
v f f u , x x u x
F1 ) u
v v
F1

1 F1
v F2
F1
u F1
1 F1 J .
v v u v

由已知条件，有
1
u
N


F1
J
0.
v P
函数 ( x, y, u) 满足定理２的条件，则在点
Q(x0, y0)的某邻域 V存在唯一一个连续隐函数
F1[x, y,u( x, y),v( x, y)]
F1x, y,u(x, y), f [x, y,u(x, y)]
F1[x, y,u, f (x, y,u)] 0
F2[x, y,u(x, y),v(x, y)]
F2x, y,u(x, y), f [x, y,u(x, y)]
F2( x0 , y0 , u0 ,v0 ) 0.
３） 0.
u N
F1
f u


u F1
.
已知


F2

F2
f
.
v
由（1）式，有
u u v u
F2 F2
u u v
F1
u F1

1 F1
( F1 v
F2 u

F2 v
x, x,
y y
) )

1

1 1 co
s
y
2
2.
2 cos y
考虑:用复合函数求导数的方法求 f '( x).
2.定理2 若函数 z F( x1, x2, , xn , y) 在以点
P0( x10 , x20 , , xn0 , y0 ) 为中心的矩形区域G满足 下列条件：
1)
Fx'1 , Fx'2 ,
3) Fy' ( x0 , y0 ) 0.
则存在点x0 的邻域 ，在 存在唯一一个有
连续导数的隐函数 y f ( x), 使
F[x, f ( x)] 0, f ( x0 ) y0, 且
f '(x) F'x (x, y) . F'y (x, y)
例1
设方程 F ( x, y) y x 1 sin y 0 ，证明

0
在点 ( x0, y0,u0,v0 ) (1,0,1,1) 的邻域满足定理３
的条件，则在点 (1,0) 的邻域存在唯一一
组有连续偏导数的（隐）函组 u u( x, y) ，
v v( x, y) ，并求 u , u , v , v .
x y x y
练 求下列方程组所确定的隐函数组的导数．

x0 y0

x(u0 ,v0 y(u0 ,v0
) )

0, 0.
又有
F1 F1
x x
x x
u F2
v F2


u y
v y

u y
v 0.
y
u v M u v P u v P
由定理3,在点 Q( x0, y0 ) 的某邻域存在连续
x0 x(u0 ,v0 ), y0 y(u0 ,v0 ) ，在点 P(u0 ,v0 )
行列式
x x
u y
v y
0
u v p
则在点 Q(x0, y0 ) 的某邻域存在有连续偏导数的
反函数组 u u( x, y),v v( x, y) 。
证明 函数组 x x(u,v), y y(u,v) 可改写为
x


F1
x F1
,
v
F1
f y


y F1
,
F1
f u


u F1
.
（1）
v
v
将函数 v f ( x, y, u) 代入四元函数
F2( x, y,u,v)中，设
(x, y,u) F2[x, y,u, f (x, y,u)].
验证函数 ( x, y, u) 在点 N(x0, y0,u0 ) 的邻
,
Fx'n
,
F
' y
在G连续，
2) F ( x10 , x20 , , xn0 , y0 ) 0,
3) Fy' ( x10 , x20 , xn0 , y0 ) 0.
则存在点 Q0( x10 , x20 , , xn0 ) 的邻域U,在U存在
唯一一个有连续偏导数的n元（隐）函数
y f ( x1, x2 , , xn ), 使
1)
x2 y2 z2 a2,

x2 y2 ax.
求
dy , dz . dx dx
x u2 yv 0,
2)

y

v
2

xv

0.
求
u , u . x y
将定理３推广到m+n个变量m个方程的一般情况 定理４ 若m个函数 F1, F2, , Fm 在点 M( x10 , , xm0 , xm0 1, , xm0 n ) 的某个邻域G满足 下列条件：
１)函数 F1, F2, , Fm 的所有偏导数在G连续； ２) F1(M ) F2(M ) Fm (M ) 0;
３)行列式在点M不为零，即
F1 x1 F2 x1
Fm x1
F1 Fm x2 xm
F2 F2
x2
xm
0.

Fm Fm
N( x0, y0,u0 )的某个邻域D存在唯一一个连续 隐函数 v f ( x, y, u) 使
F1[x, y,u, f (x, y,u)] 0,
v0 f ( x0 , y0 , u0 ).
函数 v f ( x, y, u) 的偏导数 f , f , f
x y u
在邻域D连续．f
使
FF12[[
x, x,
y, y,
u( u(
x, x,
y), y),
v( v(
x, x,
y)] y)]

0， 0
且 u0 u( x0 , y0 )，v0 v( x0 , y0 ).
证明 由条件３)，行列式 J 在点 P 不为零．
则
F1 u
,
F1 v
中至少有一个在点
P
不为零．不防
设
F1 v
P

0.
下面验证四元函数F1( x,
y, u, v )
在
点 P( x0, y0, u0,v0 ) 的邻域G满足定理2的条件，
１)函数 F1( x, y,u,v) 的所有偏导数在G连续, 2) F1( x0 , y0 , u0 ,v0 ) 0,
3) F1 0.
v P
这三个条件满足，由定理２，在点
u( u(
x, x,
y), y),
v( v(
x, x,
y)] y)]

0, 0.
两边关于x 求偏导数.
F1

x F2

F1
u F2
u
x u

F1
v F2
v
x v

0, 0,
x u x v x
由此可解出 u , v .
x x
第二节 方程组确定的隐函数
1.隐函数存在定理
定理1 若函数 z F ( x, y) 在以点( x0 , y0 ) 为 中心的矩形区域D（边界平行坐标轴）满足 下列条件： 1) Fx' ( x, y)与 Fy' ( x, y) 在D连续(从而F ( x, y)
在D连续);
2) F ( x0 , y0 ) 0;
v f f u , y y u y
f , f , f , u , u 在邻域 V 连续,则
x y u x y
v , v x y
在邻域 V 也连续.
证毕.
推论 若函数组 x x(u,v), y y(u,v) 的
所有偏导数在点P(u0,v0 )的邻域连续，且
2
其确定一个隐函数 y f ( x)，求其 f '( x) ．
解：F ,
Fx'

1, Fy'

1
1 cos 2
y
在平面内连续，且
F (0,0)
0.
Fy' ( x,
y) 1
1 cos y 2
0.
由定理可知，存在隐函数 y f ( x) ，且
f
'(
x)


Fx' Fy'
( (
F1 x
u
F2 x
x
F1
u
F2
u
F1
v F2
v , F1
v F2
v
F1
u
F2
v u
x
F1
u
F2
u
F1 x
F2 x .
F1
v F2
v
例2
验证方程组
x2 y2 uv 0,

xy

u2

v2
已知 F2 , F2 , F2 , F2 , v , v , v 在邻域D
x y u v x y u
连续．则

,,
在邻域D连续．
x y u
２） ( x0 , y0 ,u0 ) F2[x0 , y0 ,u0 , f ( x0 , y0 ,u0 )]
u u( x, y), 使
[ x, y, u( x, y)] 0, 且 u0 u( x0, y0 ).
函数
u
u( x, y)
的偏导数
u x
,
u y
在邻域 V
连续．
将 u u( x, y) 代入v f ( x, y, u)中，设
v f [ x, y, u( x, y)] v( x, y).