11-3含参变量广义积分
《广义积分的性质》课件
应用：区间可加性在解决实际问题中具有广泛的 应用，例如在计算定积分、广义积分等问题时， 都可以利用区间可加性进行简化计算。
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性质：区间可加性是广义积分的一个重要性质，它 使得我们可以将复杂的积分问题分解为简单的积分 问题，从而简化计算。
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注意事项：在使用区间可加性时，需要注意函数的 连续性和可积性，以确保计算结果的正确性。
• 幂级数法：一种求解积分的方法，通过将积分转化为幂级数形式求解 • 典型例题：求解∫(x^2+1)^(-1/2)dx • 解题步骤： a. 将积分转化为幂级数形式：(x^2+1)^(-1/2)=∑(n=0,∞)(-1)^n(2n+1)x^2n b. 求解幂级数：
∑(n=0,∞)(-1)^n(2n+1)x^2n=x^2-3x^4+5x^6-7x^8+... c. 积分结果：∫(x^2+1)^(-1/2)dx=x^3-3x^5+5x^77x^9+... • a. 将积分转化为幂级数形式：(x^2+1)^(-1/2)=∑(n=0,∞)(-1)^n(2n+1)x^2n • b. 求解幂级数：∑(n=0,∞)(-1)^n(2n+1)x^2n=x^2-3x^4+5x^6-7x^8+... • c. 积分结果：∫(x^2+1)^(-1/2)dx=x^3-3x^5+5x^7-7x^9+... • 结论：幂级数法是一种有效的求解积分的方法，适用于求解某些特定类型的积分问题。
下节课预告
下节课我们将继续学习广义积分 的性质
学习目标：掌握广义积分的基本 概念和计算方法
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参变量积分
由复合函数的连续性
f (a( y ) t (b( y ) a( y )), y )(b( y ) a( y ))
在[0,1][c,d]上连续,由定理1,
F ( y)
在[c,d]上连续.
b( y )
a( y )
f ( x, y)dx
数学分析选讲
多媒体教学课件
定理4设f(x,y), fy(x,y)在矩形[a,b,c,d]上连续, a(y), b (y) 存在,且当y[c,d]时,
0
sin t dt 收敛,故对任意>0,存在M>0,使对任意 t
数学分析选讲
A >M>0,有
多媒体教学课件
sin t | dt | . A t 因此当Aa>M时,对任意x[a,+),有
Ax aA M ,
从而
|
Ax sin xy sin t dt || dy | . A t y
b( y )
a( y )
f ( x, y)dx
数学分析选讲
多媒体教学课件
证明：作积分变换 x a( y ) t (b( y ) a( y )), 则
F ( y)
b( y )
a( y )
1
f ( x, y)dx
f (a( y ) t (b( y ) a( y )), y )(b( y ) a( y ))dt ,
多媒体教学课件
定理5设函数f(x,y)在矩形[a,b,c,d]上连续,,是
d
c
dy f ( x, y )dx dx f ( x, y )dy
b b d a a c
数学分析第十二章广义积分与含参变量积分
数学分析第十二章广义积分与含参变量积分第一，广义积分的概念和性质。
在数学分析中，我们通常通过定积分来求解曲线下面的面积。
然而，如果被积函数在有限区间上发散或无定义，就无法使用定积分。
这时，我们就需要用到广义积分。
广义积分可以看作是一些特殊函数的面积，其被积函数在有限区间上可能发散或无定义，但在无穷区间上是收敛的。
广义积分的概念可以统一定积分与不定积分的特点，并在此基础上建立一些重要的性质。
第二，广义积分的判定和应用。
对于广义积分的求解，我们需要先进行判定，即判断广义积分是否存在。
常用的判定方法有比较判定法、绝对收敛判定法、积分判别法等。
这些方法可以帮助我们准确地判断广义积分的存在性，并进一步应用于实际问题的求解。
广义积分在实际问题中的应用非常广泛，比如物理学、工程学等领域都需要用到广义积分的计算。
第三，含参变量积分的概念和性质。
含参变量积分是将被积函数中的参数视为独立变量进行积分。
含参变量积分可以看作是广义积分的一种特殊情况，其被积函数中的参数在一定范围内变化。
含参变量积分的性质与普通的定积分类似，可以满足线性性质、积分换序等性质。
同时，由于含参变量积分中的参数是变化的，所以可以应用于优化问题的求解，帮助我们找到最优解。
第四，含参变量积分的应用。
含参变量积分在实际中的应用非常广泛。
比如，在经济学中，我们可以用含参变量积分来求解收益函数或成本函数的最优解，从而确定最优生产方案。
在物理学中，我们可以用含参变量积分来求解一个变量随时间变化的过程，如物体的运动方程。
在金融学中，我们可以用含参变量积分来计算一些金融衍生品的价格，如期权的定价。
这些都是含参变量积分在实际问题中的应用。
综上所述，数学分析第十二章的广义积分与含参变量积分的概念、性质以及应用都非常重要。
通过对广义积分与含参变量积分的学习与理解，我们能够更好地理解数学中的积分概念，并应用于实际问题的求解。
数学分析第十二章提供了一种更加灵活且广泛的积分方法，对我们的数学思维与解决问题的能力都有很大的提升作用。
数学分析 含参变量的积分
积分上下限中的参数
因为 f 连续, 故存在 M > 0, 使得 |f (x, y)| ≤ M. 由上式和已知条件得 |F (y ) − F (y0)| ≤ M|a(y ) − a(y0)| + M|b(y ) − b(y0)| + sup |f (x, y ) − f (x, y0)||b − a|,
b a
fy
(x
,
y
)
dx
.
关于参数的可导性质
(可导性质)
设 f (x, y ) 的偏导数 fy (x, y ) 在 [a, b] × [c, d] 中连续, 则 I(y ) 关于 y 可导, 且
I (y) =
b a
fy
(x
,
y
)
dx
.
证明. fy (x, y ) 关于 x 在 [a, b] 中的积分记为 ψ(y ). 根据上述引理, ψ(y ) 关于 y 连续. 当 y1, y2 ∈ [c, d] 时, 交换积分次序可得
的函数, 考虑积分 F (y) =
b(y ) a(y )
f
(x
,
y
)
dx
.
若 f (x, y ) 在 [a, b] × [c, d] 中连续, 函数 a(y), b(y) 关于 y 连续, 且 a ≤ a(y ), b(y) ≤ b, 则 F (y ) 关于 y ∈ [c, d] 连续.
积分上下限中的参数
x ∈[a,b]
积分上下限中的参数
因为 f 连续, 故存在 M > 0, 使得 |f (x, y)| ≤ M. 由上式和已知条件得 |F (y ) − F (y0)| ≤ M|a(y ) − a(y0)| + M|b(y ) − b(y0)| + sup |f (x, y ) − f (x, y0)||b − a|,
含参变量有限积分的计算
课程论文题目学生姓名毛文龙所在院系理学院指导教师职称完成日期 2011年6月20日含参变量有限积分的计算一、引言含参变量的有限积分的计算，是数学分析学习中的难点，也是工科考研复习中的难点，其主要题型包括：含参变量有限积分的计算、含参变量积分函数的相关计算（极限、求导）等等。
二、定义及性质 1.积分限固定的情形定义 设二元函数()u x f ,在矩形域()βα≤≤≤≤x b x a R ,有定义，[]βα,∈∀u ，一元函数()u x f ,在[]b a ,可积，即积分()⎰ba dx u x f ,存在。
[]βα,∈∀u 都对应唯一一个确定的积分（值）()⎰b adx u x f ,。
于是，积分()⎰badx u x f ,是定义在区间[]βα,的函数，表为()()⎰=badx u x f u ,ϕ，称为含参变量的有限积分，u 称为参变量。
性质1(连续性) 设函数()u x f ,在矩形域()βα≤≤≤≤x b x a R ,连续，则函数()()⎰=ba dx u x f u ,ϕ在区间[]βα,也连续。
这表明，定义在矩形区域上的连续函数，其极限运算与积分运算的顺序是可交换的。
即对任意[]βα,0∈u ，()()⎰⎰→→=ba u ub au u dx u x f dx u x f ,lim ,lim0。
同理可证，若()u x f ,在矩形域()βα≤≤≤≤x b x a R ,上连续，则含参变量的积分()()⎰=dc dy y u f u ,ψ也在区间[]βα,上连续。
性质2(可微性) 若函数()u x f ,及其偏导数uf∂∂在矩形区域()βα≤≤≤≤u a R ，b x 上连续，则函数()()⎰=badx u x f u ,ϕ在区间[]βα,可导，且[]βα,∈∀u ，有()()()dx uu x f u du du b a ⎰∂∂==',ϕϕ。
说明被积函数及其偏导数在闭矩形域上连续时，导数与积分运算是可以交换顺序的。
含参变量积分
目录摘要 (1)前言 (2)一、预备知识 (2)（一）、含参变量积分的定义 (2)（二）、含参变量反常积分的定义 (2)（三）、定理 (3)1、含参变量积分的相关定理 (3)2、含参变量反常积分的相关定理 (4)二、含参变量积分的应用 (5)（一）、用含参变量积分解决积分计算的解题模式 (5)1、利用含参变量积分解决定积分、广义积分的解题模式 (5)2、用含参变量积分解决二重、三重积分的模式 (6)（二）、证明等式 (7)（三）、证明不等式 (9)（四）、求极限 (10)（五）、求隐函数的导数 (12)三、含参量反常积分的性质 (13)（一）、含参量反常积分的局部一致收敛与连续性 (13)1、局部一致收敛概念 (13)2、连续的等价条件 (13)3、几种收敛性的关系 (15)（二）、含参量反常积分局部一致收敛的判别法 (17)1、主要结果 (17)2、主要引理 (18)（三）、计算含参量反常积分的一些特殊方法 (21)1、利用反常积分的定义和变量替换求解 (21)2、通过建立微分方程求积分值 (21)3、引入收敛因子法求解 (22)4、级数解法 (23)5、利用其他的积分 (24)总结 (25)参考文献 (25)含参变量积分赵洁（渤海大学数学系辽宁锦州121000中国）摘要：本文主要研究含参变量积分的两种类型：含参变量（正常）积分和含参变量反常积分。
首先，给出了它们的定义和相关定理;然后，介绍了含参变量（正常）积分在证明等式、不等式和求极限等方面的应用；最后，给出了含参变量反常积分的性质和计算的一些特殊方法。
关键词：含参变量积分；二重积分；定积分；广义积分；局部一致收敛；一致收敛；含参量反常积分Parameter IntegralZhao Jie(Department of Mathematics Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China) Abstract：In this paper, two kinds of parameter integral are studied:parameter (normal) integral and parameter improper integral.Firstly their definitions and related theorems are given;Secondly the applications of parameter (normal) integral in proving equality,proving inequality and solving limit are introduced;Finally the qualities and some special solving methods of parameter improper integral are given.Keywords：parameter integral;double integral;definite integral;improper integral;locally uniformly convergence;uniform covergence;parameter improper integral前言含参变量积分是一类比较特殊的积分, 由于含参变量积分是函数且以积分的形式给出，所以含参变量（正常）积分在积分的计算，等式的证明，不等式的证明及极限的求解等方面都有着广泛的应用。
含参变量广义积分
n 1 k 1 n
则称函数项级数 un ( x) 在 X 上一致收敛。
n 1
即函数项级数在给定区间的一致收敛，是用级 数前n项部分和序列在相同区间的一致收敛来定义。
若函数项级数 un ( x) 在 X 上一致收敛，
n 1
则它也在 X 收敛,但反之不成立。
设二元函数 f ( x, y ) 在 (x,y) a x , c y d 上有定义，
固定y c , d , 若无穷积分 f ( x, y)dx收敛，
则在 c , d 上定义了一个函数
a
g ( y) a来自f ( x, y)dx ,
c yd ,
如果函数项级数 un ( x )在区间 I 上满足条件:
(1) (2)
un ( x ) a n
n 1
n 1
( n 1,2,3 ) ;
正项级数 a n 收敛,
n 1
则函数项级数 un ( x )在区间 I 上一致收敛.
注 : 如上判别法得出的级数收敛还是绝对收敛。 又级数 an 也称为函数级数 un ( x) 的强级数。
一切 y 都收敛, 若 0, N a, 使当 A N 时, 对一切 y Y , 都有
A
f x, y dx ,
则称含参变量的无穷积分 a f x, y dx 在 Y 上一致收敛.
命题: 设含参变量的无穷积分
f x, y dx
n 1 n 1
例1
0
e
x
sin x dx
含参变量广义积分一致收敛的Heine定理
6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 778 7778
’ 1& ’ ຫໍສະໝຸດ & 2?<2
<
2 ’
’
’
#
’ 1& ’ )& 2
证
必要性 > 直接使用定理 G即可 >
<
’ 1& ’ )& 2
充 分 性> 设N
O 2
则对任意 O$ 2 函数 . ! 3 , M .关 于 34 5一 致 收 敛 到 7 ( 3 , ! ! L 6(
2 ’
7 ( O ! 3 ,)
定理易证 7 ( O ! 3 ,一致收敛于 7 ( 3 , ( O;? <, ( 34 5 , >
( ). H L ’ ( ) " H K’
& 21 & 21
G 时 使用 ? 有 当 1= J ! = ! 3 4 5J F J ? G K ’ ( )2 &
C
1
G ?
J .& G J = ( ?D #. ’ J .& G ) 3 4 5 J
含参量广义积分
含参量广义积分
广义积分是微积分中的一个重要概念，它是对函数在某一区间无限分割后的极限求和。
在实际应用中，有时需要对含有参数的函数进行积分，这就是含参量广义积分。
含参量广义积分的形式为：
$int_{a}^{+infty}f(x,t)dx$
其中，$t$为参数，$f(x,t)$为含有参数$t$的函数。
含参量广义积分的求解需要满足收敛性条件，即当$x$趋于无穷时，积分值能够收敛于一个有限的实数。
如果不满足收敛性条件，那么含参量广义积分的积分值就不存在。
对于一些特殊的函数，含参量广义积分可以通过换元、分部积分等方法进行求解。
例如，当$f(x,t)$为$e^{-tx^2}$时，积分的结果可以表示为$t$的函数形式。
含参量广义积分在物理学、工程学、经济学等领域有着广泛的应用。
例如，在统计物理中，可以通过对含参量广义积分的求解，得到粒子的分布函数。
在经济学中，含参量广义积分可以用来表示收益函数和成本函数。
总之，含参量广义积分是微积分中的一个重要概念，它在实际应用中具有广泛的应用价值。
- 1 -。
数学分析课件第12章
根据α(y)β(y)的连续性可知，当y→y0时， 右端→0，从而 lim I 2 ( y ) = 0, lim I 3 ( y ) = 0 ,即证。 y→ y y→ y
0 0
定理5 定理5
设 f ( x, y ) 与 f y′( x, y ) 都在闭矩形：a≤x≤b， c≤y≤d上连续,又设α(y),β(y)在c≤y≤d 上有连续的导函数，且满足 a≤α(y)≤b,a≤β(y)≤b (c≤y≤d),则 函数I(y)在[c,d]上有连续的导函数，且
∀ε > 0 ,由f(x,y)在闭矩形上连续可得一致 连续，因此，必有δ>0存在，使当 ∆y < δ 时，对一切 x(a ≤ x ≤ b) 都有 ε f ( x, y0 + ∆y ) − f ( x, y0 ) < ∆y < δ b − a ,从而当
b
I ( y0 + ∆y ) − I ( y0 ) = ∫ [ f ( x, y0 + ∆y ) − f ( x, y0 )]dx
证明： 证明：
∀y0 ∈ [ c, d ] ,需证 lim I ( y ) = I ( y0 )
α ( y0 )
y → y0
I ( y) = ∫ =∫
β ( y0 ) α ( y0 )
α ( y)
f ( x, y )dx + ∫
β ( y) β ( y0 )
β ( y0 )
α ( y0 )
f ( x, y )dx + ∫
I ( y ) = I1 ( y ) + I 2 ( y ) − I 3 ( y ) ,则
′ ′ I ′( y ) = I1′( y ) + I 2 ( y ) − I 3 ( y )
11-3含参变量广义积分
tx
A
A
eu2 du t 0
eu2 du
.
tA
0
2
这样 J (t)在区间[0, d]上不一致收敛 .
定理2（ 狄利克雷判别法）
若函数 f (x, y) , g(x, y) 满足： （1） y Y, 函数 g(x, y) 关于 x 单调且
g(x, y) 0 , y Y, x ,
中都需要如下一致收敛概念。
定义： 设无穷积分
g( y) f (x, y)dx ,
a
对区间Y（Y 为任意区间）中的一切 y 都收敛，如果
0, N N( ) a, A N, y Y,
A f (x, y) dx
则称含参变量的无穷积分在区间 Y 上一致收敛。
（2）
A a,
积分 A a
f (x, y)dx
存在且对 y Y 一致有界,
即存在常数 M 0, 满足
A
f (x, y)dx M ,
A a, y Y;
a
则含参变量无穷积分 f (x, y)g(x, y)dx 在 Y 一致收敛。 a
定理3（ 阿贝耳判别法）
( 含有两个参数的 )含参数积分
1 x p1(1 x)q1 dx 0
(p0, q0 )
当p 1且q 1时，为正常积分 . 当p 1时x 0为瑕点；
当q 1时x 1为瑕点. 将它写为两项之和：
1 x p1(1 x)q1dx 1 2 x p1(1 x)q1dx 1 x p1(1 x)q1dx,
(分部积分)
x ex x e1 x d x
含参量广义积分
类似于无穷积分的比较判别法，我们有如下的 Weierstrass 判别法： 若 ∀x ∈ X ，y ≥ a 时， 有 f ( x, y ) ≤ M ( y ) ， 并且 对于 x ∈ X 一致收敛。
∫
+∞
a
M ( y ) dy 收敛， 则∫
+∞
a
f ( x, y ) dy
3
命题 1：
Abel 判别法
A′
ξ
A′′
ξ
≤M
∫
ξ
A′
f ( x, y ) dy + M +M ⋅
∫ξ f ( x, y ) dy
A′′
<M⋅
所以，
ε
2M
ε
2M
=ε
∫
+∞
a
f ( x, y ) g ( x, y ) dy 对于 x ∈ X 一致收敛。
证毕
4
Dirichlet 判别法
命题 2：若 1) ∃M > 0 ， ∀x ∈ X ， A ≥ a 时，有 2) 则： ∫
∫
+∞
a
f ( x, y ) dy 对 x ∈ X 一致收敛的充分必要条件为：∀ε > 0 ，∃A > a ， 当 A′, A′′ > A
时， ∀x ∈ X ，
∫
A′′
A′
f ( x, y ) dy < ε 。
一致收敛原理的证明可由上一节得定理 1 直接得到。
18.1
含参量的广义积分
2
Weierstrass 判别法（M 判别法）
证明仿照定理 4 的证明即可。
定理 5：（积分号下求导定理）假设： 1) f ( x, y ) , f x ( x, y ) 在 x ∈ [ a, b ] ， y ≥ α 上连续；
广义积分和含参数的积分 习题选解
广义积分和含参数的积分习题选解广义积分（GeneralizedIntegral）是一种常见的数学方法，在各类领域中都有着广泛的应用，特别是在解决含参数的积分问题上。
在学习这种方法之前，我们首先需要了解什么是含参数的积分问题，以及它们之间的联系。
其实，含参数的积分问题是指在求解积分过程中，在自变量中引入参数的积分问题。
这种积分问题一般比普通积分问题更难处理，因为在求解过程中，会出现许多不同的参数，需要找出适当的方法来解决。
而广义积分就可以有效地解决这种含参数的积分问题。
它的本质是将参数的问题转化为单变量的积分问题，从而可以较容易地求解出解析解。
下面，我们就以一些实例来深入剖析广义积分是如何解决参数问题的。
例1：求解 $∮_c(x^2+1)dx$解：首先，我们先将参数转化为单变量$t=x^2+1$，从而可以将上式转化为$∮_c(t)dt$，接着，将$dt$积分后，得$∮_c tdt=t|_a^b$，将起止点代入即可得出结果：$t|_a^b=x_b^2 + 1 - x_a^2 -1=∮_c(x^2 + 1)dx$例2：求解 $int_a^b e^{-x^2}dx$解：和上题一样，先将参数转化为单变量：$t=e^{-x^2}$，将上式转化为$∮_c(t)dt$，积分后，得$∮_c tdt=t|_a^b$，将起止点代入即可得出结果：$t|_a^b=e^{-x_b^2} - e^{-x_a^2}=∮_ce^{-x^2}dx$以上就是广义积分解决参数积分问题的两个实例，希望能帮助大家更好地理解这种方法。
即使是复杂的含参数的积分问题，也可以应用广义积分来完成。
下面，我们以一道含参数的积分习题来进一步剖析这种方法。
例：求解 $int_1^{sqrt{e}}e^{x^2}dx$解：首先，将参数转化为单变量$t=e^{x^2}$，从而可以将上式转化为$∮_c(t)dt$，接着，将$dt$积分后，得$∮_c tdt=t|_a^b$，将起止点代入即可得出结果：$t|_1^{sqrt{e}}=e^{sqrt{e}^2} -e^1=∮_1^{sqrt{e}} e^{x^2}dx$以上就是使用广义积分求解含参数积分问题的举例，可以看出，运用广义积分特别实用，可以将含参数的积分问题转化成更为容易解决的单变量的积分问题。
数学分析 第十九章 课件 含参变量的积分
d c
| x | ，就有 | f ( x x, y ) f ( x. y ) | 因此只要
y [c, d ] 都成立，因而
| I ( x x) I ( x) | | f ( x + x) f ( x, y ) | dy
c d
d c
d
，对
d c
即
I ( x, u ) 在 ( x0 , u0 ) 点连续，由 I ( x0 , u0 ) [a, b] [c, d ]
的任意性，便证得 I ( x, u ) 在[a, b] [c, d ]连续。 （2）由微积分基本定理，I 对u有连续的偏导数
I f ( x, u ) u
又由定理19.2，I对x也有连续的偏导数
注意到 I(0)=0，故
I (1) I (1) I (0) I ( ) d
0
1
1 1 [ ln 2 ln(1 )]d 2 0 1 4 2 1 ln(1 ) 1 1 2 [ ln(1 ) ln 2 arctan ]| d 0 0 1 2 8 2
0
dx 1 cos x 0
1 arctan t 1 0 1 2 1 2 2
因此
I ( ) 1 2 1 2 (1 1 2 )
积分得
I ( )
d 1 2 (1 1 2 )
则 F ( x)
d ( x)
c( x)
f ( x, y)dy 在[a, b]连续。
证明: 令u=d (x) ,v=c (x), I ( x, u ) f ( x, y)dy
《含参变量广义积分》课件
含参变量广义积分的计算方法
针对不同类型的含参变量广义积分，提出了多种计算方法，如换元法、部分分式法、留数法等，并给出了相应的计算 步骤和实例。
含参变量广义积分的应用
探讨了含参变量广义积分在数学、物理、工程等领域的应用，包括求解定积分、求解微分方程、求解积 分方程等，并给出了具体的应用实例。
信号处理
在信号处理中，含参变量广义积分被广泛应用于信号的滤 波、调制和解调等处理过程。通过广义积分，可以有效地 提取信号中的有用信息，并抑制噪声干扰。
优化设计
在工程优化设计中，含参变量广义积分可以用来描述系统 的性能指标和约束条件，从而进行更有效的优化设计。
在金融领域的应用
风险评估与管理
在金融领域中，含参变量广义积分被广泛应用于风险评估与管理。 通过引入广义积分，可以对金融市场的风险进行更准确的度量和控 制。
03
求解物理问题
含参变量广义积分在解决某些物理问题中具有重要应用，如求解电磁场
问题、流体动力学问题等。通过引入适当的广义积分，可以简化问题的
求解过程。
在工程领域的应用
控制系统设计
在工程领域中，控制系统设计是含参变量广义积分的一个 重要应用方向。通过引入广义积分，可以对系统的动态性 能进行更准确的描述和控制。
应用领域
物理学、工程学、经济学等众多领域中都有广泛的应 用。
含参变量广义积分的背景和重要性
背景
随着科学技术的发展，越来越多的实际 问题需要用到含参变量的广义积分。例 如，在控制工程中，需要用到含参变量 的广义积分来描述系统的动态行为。
VS
含参变量的广义积分非一致收敛的一个判定定理
理。 1 相关定义 111 一致收敛的定义 若对 Πε: 0, ϖ A0 (ε) : a (此 A (ε) 仅与 ε有关 ) , 当 A ’ , A Ε A0 时 , 对一切 y ∈ [ c, d ] ,
A’ +∞ 成立 ∫ ∫ f ( x, y) dx ; ε, 就称 A f ( x, y) dx ; ε或 A +∞ ∫ f ( x, y) dx关于 y∈ [ c, d ]为一致收敛 。 a 112 非一致收敛的定义 若对 Πε: 0, 找不到仅与 ε有关的 A0 (ε) : a, A ’ , A Ε A0 时 , 对一切 y ∈ [ c, d ] , 成立 A’ +∞ +∞ ∫ ∫ f ( x, y) dx ; ε, 就称 ∫ f A f ( x, y) dx ; ε或 A a ( x, y) dx关于 y∈ [ c, d ] 为非一致收敛 。
+∞ - y x 2 2 则∫ e { b + R - [ x - ( a + 2 iR ) ] } dx 关 0 于 y在 ( 0, + ∞)内非一致收敛 。 证明略 。 参考文献 : [ 1 ] 欧阳光中 , 朱学炎 , 金福临 , 等 1 数学分析 (下 ) [M ] 1 北京 : 高等教育出版社 , 2007: 251 - 252 [ 2 ] 胡汉涛 1 有关周期函数定积分问题的几点探 讨 [ J ] 1 塔里木农垦大学学报 , 2003, 15 ( 3 ) : 65 - 68
3收稿日期 : 2008 - 12 - 02
作者简介 : 郭小春 ( 1986 - ) , 男 , 江西南康人 , 杭州师范大学数学系 , 本科 , 现从事大学数学研究 。
・156・ © 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
数学分析-第十二章-广义积分与含参变量积分-PPT
f
(x)dx也相应成
立.
9
2.Cauchy收敛原理
定理 1.1. 设 f ( x)在[a, )有定义, 且在任意
闭区间[a, A]上可积.
则
a
f ( x)dx收敛的充要
条件是: 0,X a, 当 A/ , A// X 时,
A//
A/
f ( x)dx
.
推论 1.1.
若
a
f ( x) dx收敛,
则
a
f ( x)dx收敛.
10
定义.
若
a
f(x) dx
收敛,
则称
a
f
(x)dx
绝对收敛.
若
a
f
(x)dx
收敛,
而
a
f(x) dx发散,
则
称
a
f
(x)dx
条件收敛.
11
3. 比较判别法
定理 1.2. 设 f ( x)在[a, )有定义, 且在任意
闭区间[a, A]上可积. 又设存在 X0 a, 使得
31
2.Cauchy收敛原理
定理2.1. 设 f ( x ) 在( a , b ] 有定义, 且在任意闭
区间[a,b](0)可积, a 是瑕点. 则
b
a
f
( x)dx
收敛的充要条件是:
0, 0,
当 0,/ 时,
a/
f (x)dx . a
32
推论2.1. 设 a
是
f
(x)
的瑕点.
若
b
a
f (x) dx
x g( x)
那么得到下列结论
(1)当 0l时,
若
利用拉普拉斯变换求解含参变量的广义积分
P P P s in ( + t) = cost 2 2 2 vX d X 取拉普拉斯变换, 得 Q 1cos - X
0 2 +]
第 5期
+]
钱学明 : 利用拉普拉斯变换求解含参变量的广义积分
# 21#
F v ( s) = L [ f ( v) ] = =
+] 0 0
cosv X - sv 2 d X e dv = 1- X
2007 年 5 月 第 26 卷 第 5 期
绵阳师范学院学报 Journa l o fM iany ang N or m al U niversity
M ay . , 2007 Vo. l 26 N o . 5
利用拉普拉斯变换求解含参变量的广义积分
钱学明
( 无锡科技职业学院基础部 , 江苏无锡 摘 214028)
因此, 当 | t | >
Q
0
+]
cos
XP cosX t 2 d X = 0。 2 1- X
由于函数 f ( t) 在 t = ? P 处为第一类间断点 , 所以 2 P f( ? ) = 2 综上所述, f ( ? P - 0) + f ( ? P + 0) 2 2 = 0 。 2
Q
0 +] 0 +]
0 0
x - b sin tx - st dx e d t 2 2# x + b x
+] 2 2 - st 0
2
2 2
+]
2 2
0 2
2
x 2 dx + x
+]
2
2
2
2
2
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命题 设含参变量的无穷积分 f(x,y)dx在 Y上点 a
点收敛，若存在常数 l 0，不论 N多大，总存在 AN
及 yA Y，使
| a
f(x,yA)d|xl,
则无穷积分 在 Y上不一致收敛. 命题的极限形式：
若对于A 任 ，y意 当 Y 趋 取 向 定 于 y0的 ,时 某 有 一
lim f(x,y)dx k0,
设 二 元 函 数 f ( x , y ) 在 ( x , y ) a x , c y d 上 有 定 义 ，
固 定 y c ,d , 若 无 穷 积 分 f(x ,y )d x收 敛 ， a
则 在 c ,d 上 定 义 了 一 个 函 数
g(y)f(x,y)dx, cyd, a
定义： 设无穷积分
g(y) f(x,y)dx,
a
对 区 间 Y （ Y 为 任 意 区 间 ） 中 的 一 切 y 都 收 敛 ， 如 果
0, NN ()a, AN , y Y,
f(x,y)dx A
则 称 含 参 变 量 的 无 穷 积 分 在 区 间 Y 上 一 致 收 敛 。
关于不一定收敛的充分条件：
c
ca
ac
定理5： 设 函 数 f( x ,y ),fy ( x ,y )在 区 域
{ ( x , y ) |a x , c y d } 上 连 续 且 积 分
定理3（ 阿贝耳判别法）
若 函 数 f(x ,y ),g (x ,y )满 足 ：
（ 1 ） y Y , 函 数 g ( x , y ) 关 于 x 单 调 且 对 y 一 致 有 界 ，
即 存 在 常 数 M 0 , 满 足 g ( x , y ) M , y Y ,x 充 分 大 ;
a
f(x,y)dx 在 Y上 一 致 收 敛 。
a
例 1
积分
e x
0
sinxdx
在 [0,)(00)内一致
收敛 .
解 因为
|e x s in x | e 0 x x 0 , 0 ,
而积分 e 0 x dx 收敛，所以 e xsinxdx 在
0
0
[0,) (00) 内一致收敛.
定理2（ 狄利克雷判别法）
若 函 数 f(x ,y ),g (x ,y )满 足 ：
（ 1 ） y Y ,函 数 g ( x ,y ) 关 于 x 单 调 且
g ( x ,y ) 0 , y Y ,x ,
（ 2） Aa, 积 分A f(x ,y )d x存 在 且 对 y Y 一 致 有 界 , a 即 存 在 常 数 M 0 ,满 足 A f( x ,y ) d x M , A a ,y Y ; a 则 含 参 变 量 无 穷 积 分 f ( x ,y ) g ( x ,y ) d x 在 Y 一 致 收 敛 。 a
充 要 条 件 是 ： 0 , 存 在 与 y 无 关 的 常 数 N , 使 得
A N ,A N , y Y ,都 有
A f (x, y)dx 。 A
利用柯西收敛准则证明下列M判别法:
定理1： 若 |f( x ,y ) | ( x ) , x a , y Y ,
且 无 穷 积 分 ( x ) d x 收 敛 ， 则 含 参 变 量 的 无 穷 积 分
（ 2 ） 含 参 变 量 无 穷 积 分 f( x ,y ) d x 在 Y 上 一 致 收 敛 ; a 则 含 参 变 量 无 穷 积 分 f( x ,y ) g ( x ,y ) d x a 在Y上 一 致 收 敛。
一致收敛积分具有如下性质：
定理4： 设 函 数 f ( x , y ) 在 区 域 { ( x , y ) | a x , c y d } 连 续 ，
例2 考虑积分 J(t)tetx 2d,x0t. 0
证明 (1)J(t)在区[c,间 d]上一致收敛 0c， d其 ; (2) J(t)在区[间 0,d]上不一致.收敛
证 (1)当 ctd时，由 tetx2于 关x于 连续，
它在任意 [0,A 区 ]上间 关x是 于可积即 的定 ，积 A t分 etx2dx 0
称 其 为 含 参 变 量 的 无 穷 积 分 。
若 y 0 c , d , 则 g ( y 0 ) 收 敛 ， 即 0 , N N ( , y 0 )
只 要AN,则 有
A
f(x,y0)dx f(x,y0)dxg(y0)。
A
a
上 面 收 敛 定 义 中 的 常 数 N 通 常 与 y 0 有 关 。 许 多 应 用 中 都 需 要 如 下 一 致 收 敛 概 念 。
存在. 又这时
| tetx2 | decx2,
而无穷积 de分 cx2d是 x 收.敛 因的 此 J(t)在[c,d]上一 0
致收敛 .
(2)当0td时，对于任意A取 0定 有 , 的
|
tetx2dx|
tetx2
u dx
Байду номын сангаас
tx
A
A
eu2du t 0 eu2 du .
tA
0
2
这样J(t)在区[间 0,d]上不一致.收敛
y y0 A
其中k是一个与 A无关的常数，则积分
在 Y 不一致收敛.
a f (x, y)dx
含 参 变 量 无 穷 积 分 一 致 收 敛 的 判 别 方 法 ：
一致收敛的柯西收敛准则:
含 参 变 量 的 无 穷 积 分 f ( x ,y ) d x 在 区 间 Y 上 一 致 收 敛 的 a
11－3 含参变量的广义积分
本节研究形如
a f (x, y)dx
b
f(x,y)dx,
(b为瑕)点
a
的含参变量广义积分的连续性、可微性与可积性， 以及与之相关的特殊函数。下面主要对无穷限积分 讨论，无界函数的情况可类似处理。
含参量广义积分与函数项级数在所研究问题与 论证方法上极为相似，学习时应注意比较。
且 积 分 g ( y ) f( x ,y ) d x , y c ,d , a
在 c ,d 上 一 致 收 敛 ， 则
（ 1 ） g(y)在 c , d上 连 续 ； （ 2 ） g (y )在 c , d 上 可 积 ， 且 有
d
d
d
g (y)d yd yf(x,y)d xd xf(x,y)d y。