高等数学含参变量的广义积分
参变量积分
由复合函数的连续性
f (a( y ) t (b( y ) a( y )), y )(b( y ) a( y ))
在[0,1][c,d]上连续,由定理1,
F ( y)
在[c,d]上连续.
b( y )
a( y )
f ( x, y)dx
数学分析选讲
多媒体教学课件
定理4设f(x,y), fy(x,y)在矩形[a,b,c,d]上连续, a(y), b (y) 存在,且当y[c,d]时,
0
sin t dt 收敛,故对任意>0,存在M>0,使对任意 t
数学分析选讲
A >M>0,有
多媒体教学课件
sin t | dt | . A t 因此当Aa>M时,对任意x[a,+),有
Ax aA M ,
从而
|
Ax sin xy sin t dt || dy | . A t y
b( y )
a( y )
f ( x, y)dx
数学分析选讲
多媒体教学课件
证明：作积分变换 x a( y ) t (b( y ) a( y )), 则
F ( y)
b( y )
a( y )
1
f ( x, y)dx
f (a( y ) t (b( y ) a( y )), y )(b( y ) a( y ))dt ,
多媒体教学课件
定理5设函数f(x,y)在矩形[a,b,c,d]上连续,,是
d
c
dy f ( x, y )dx dx f ( x, y )dy
b b d a a c
第十二章广义积分与含参变量积分
f ( x )dx a f ( x )dx f ( x )dx
dx 例 2. 讨论 1 x2
a
例 3. 证明: e x dx 发散.
例 4. 讨论
b
a
f ( x ) g( x )dx f (b) g( x )dx .
b
定理1.4. (积分第二中值定理) 设 f ( x ) , g( x ) 在 [a , b] 可积. 若 f ( x ) 在 [a , b] 单调, 则存在 [a , b] , 使得
b
a
f ( x ) g( x )dx f (a ) g( x )dx f (b) g( x )dx .
A
使得
a
A
g ( x )dx M , A a ,
则 a f ( x ) g( x )dx 收敛.
例 12. 证明:
1
sin x dx 收敛, 但不绝对收敛. x
§2
瑕积分
1.瑕点与瑕积分
定义. 若 f ( x ) 在 a 的任何一个空心邻域无界, 则称 a 是 f ( x ) 的一个瑕点或奇点.
第十二章 广义积分 与 含参变量积分
§1 §2 无穷积分 瑕积分
1.概念 定义. 设 f ( x ) 在[a , ) 有定义, 且在任意闭 区间[a , A]上可积. 若当 A 时,
I ( A) a f ( x )dx 有极限, 即
lim I ( A) lim a f ( x )dx A A
0 f ( x ) g ( x ) , x X 0 .
一类含参变量的广义积分的计算
一类含参变量的广义积分的计算
一类含参变量的广义积分是指在定义域D上，函数
f(x,y)有n个参数θ1, θ2, …, θn，需要计算其积分表达式：
∫f(x,y)dxdy
这里，x, y是定义域D上的变量，而θ1, θ2, … , θn是参数。
一般来说，在计算积分的时候，我们都是仅仅考虑定义域D上的变量，而不考虑参数θ1, θ2, …,
θn。
但是，对于一类含参变量的广义积分，就必须考虑这些参数，因为它们也是影响函数f(x,y)的值的因素之一。
一类含参变量的广义积分的计算可以通过Monte Carlo方法进行计算。
Monte Carlo方法是一种基于概率统计学原理的方法，用于估计一类难以直接求解的复杂问
题。
该方法通过在定义域D上进行随机抽样，对函数f(x，y)进行拟合，从而估计函数f(x，y)的积分结果。
该方法的基本步骤如下：
1. 首先设定定义域D，即将要进行积分的范围，并根据函数f(x，y)的参数θ1, θ2, …, θn的取值范围，选取符合要求的参数值。
2. 根据定义域D的范围，抽取N个样本点（xi，yi），N为一个足够大的数字，以确保结果的精确度。
3. 计算函数f(x，y)在每个样本点（xi，yi）上的值fi，并计算所有样本点上函数f(x，y)的平均值。
4. 将函数f(x，y)的平均值乘以定义域D的面积，即可得出函数f(x，y)在定义域D上的积分结果。
以上就是一类含参变量的广义积分的计算的基本步骤。
Monte Carlo方法能够有效的解决一类含参变量的广义积分问题，而且该方法的计算效率很高，因此被广泛使用。
含参变量广义积分
n 1 k 1 n
则称函数项级数 un ( x) 在 X 上一致收敛。
n 1
即函数项级数在给定区间的一致收敛，是用级 数前n项部分和序列在相同区间的一致收敛来定义。
若函数项级数 un ( x) 在 X 上一致收敛，
n 1
则它也在 X 收敛,但反之不成立。
设二元函数 f ( x, y ) 在 (x,y) a x , c y d 上有定义，
固定y c , d , 若无穷积分 f ( x, y)dx收敛，
则在 c , d 上定义了一个函数
a
g ( y) a来自f ( x, y)dx ,
c yd ,
如果函数项级数 un ( x )在区间 I 上满足条件:
(1) (2)
un ( x ) a n
n 1
n 1
( n 1,2,3 ) ;
正项级数 a n 收敛,
n 1
则函数项级数 un ( x )在区间 I 上一致收敛.
注 : 如上判别法得出的级数收敛还是绝对收敛。 又级数 an 也称为函数级数 un ( x) 的强级数。
一切 y 都收敛, 若 0, N a, 使当 A N 时, 对一切 y Y , 都有
A
f x, y dx ,
则称含参变量的无穷积分 a f x, y dx 在 Y 上一致收敛.
命题: 设含参变量的无穷积分
f x, y dx
n 1 n 1
例1
0
e
x
sin x dx
含参量广义积分
含参量广义积分
广义积分是微积分中的一个重要概念，它是对函数在某一区间无限分割后的极限求和。
在实际应用中，有时需要对含有参数的函数进行积分，这就是含参量广义积分。
含参量广义积分的形式为：
$int_{a}^{+infty}f(x,t)dx$
其中，$t$为参数，$f(x,t)$为含有参数$t$的函数。
含参量广义积分的求解需要满足收敛性条件，即当$x$趋于无穷时，积分值能够收敛于一个有限的实数。
如果不满足收敛性条件，那么含参量广义积分的积分值就不存在。
对于一些特殊的函数，含参量广义积分可以通过换元、分部积分等方法进行求解。
例如，当$f(x,t)$为$e^{-tx^2}$时，积分的结果可以表示为$t$的函数形式。
含参量广义积分在物理学、工程学、经济学等领域有着广泛的应用。
例如，在统计物理中，可以通过对含参量广义积分的求解，得到粒子的分布函数。
在经济学中，含参量广义积分可以用来表示收益函数和成本函数。
总之，含参量广义积分是微积分中的一个重要概念，它在实际应用中具有广泛的应用价值。
- 1 -。
第十讲含参变量的积分
第十讲含参变量的积分10 . 1 含参变量积分的基本概念含参量积分共分两类：一类是含参量的正常积分；一类是含参量的广义积分． 一、含参量的正常积分 1 ．定义设()y x f ,定义在平面区域[][]d c b a D ,,⨯=上的二元函数，对任意取定的[]b a x ,∈．()y x f ,关于 y 在[]d c ,上都可积，则称函数()()[]b a x dy y x f x I dc,,,∈=⎰为含参量二的正常积分．一般地，若 ()()(){}b x a x d y x c y x D ≤≤≤≤=,|, ，也称()()()()[]b a x dy y x f x I x d x c ,,,∈=⎰为含参量x 的正常积分．同样可定义含参量 y 的积分为()()[]d c y dx y x f y J ba,,,∈=⎰或()()()()[]d c y dx y x f y J y b y a ,,,∈=⎰2 ．性质（以 I ( x ）为例叙述）( l ）连续性：若 ()y x f ,必在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,连续，则 ()x I 在[]b a ,连续，即对[]b a x ,0∈∀，()()()()⎰=→000,lim 0x d x c x x dy y x f x I( 2 ）可积性：若()y x f ,在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,连续，则 ()x I 在[]b a ,可积．且有()()()⎰⎰⎰⎰⎰==bab ad cbadcdx y x f dy dy y x f dx dx x I ,,（若 D 为矩形区域， ·( 3 ）可微性：若 ()y x f ,的偏导数()y x f x ,在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,可导，则()x I 在 []b a ,可导，且()()()()()()()()()()x c x c x f x d x d x f dy y x f x I x d xc x''',,,-+=⎰·以上性质的证明见参考文献［ 1 ] ，这里从略，例10. l 求积分⎰>>-⎪⎭⎫ ⎝⎛10,ln 1ln sin a b dx xxx x ab 解法 1 （用对参量的微分法）：设()⎰>>-⎪⎭⎫ ⎝⎛=100,ln 1ln sin a b dx x xx x b I ab ，()()()()()()()b I b b dx x x x x b x d x b dx x x b x b x b x d x dxx x b I b b b b b b b '221010121102101010111'11111ln sin |1ln cos 111ln cos 111ln cos 11|1ln sin 111ln sin 1ln sin +-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=⎰⎰⎰⎰⎰++++所以()()()()()⎰++=++=⇒++=C b db b b I b b I 1arctan11111122'，令a b =，则 ()()()1arctan 1arctan0+-=⇒++==a C C a a I 所以原积分()()()1arctan 1arctan+-+==a b b I I 解法 2 : （交换积分顺序方法）因为xx x dy x ab bayln -=⎰，所以⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=10101ln sin 1ln sin b a y b a y dx x x dy dy x x dx I同解法()⎰++=⎪⎭⎫ ⎝⎛1021111ln sin y dx x x y，所以有 ()()()⎰+-+=++=baa b dy y I 1arctan 1arctan1112注：在以上解题过程中，需要验证对参量积分求导和交换积分顺序的条件，为简洁省略了，但按要求是不能省的． 例10.2 设()()()dz z f yz x y x F xyyx ⎰-=,，其中f 为可微函数，求()y x F xy,·解：()()()()()()()()()()()()()()()()()()()xy f y y x y x f y x xy f xy x xy f y y x xy f y x x y f y x xy xf F xy f y yx dz z f xy f xy x y dz z f y x f x x y xy f xy x y dz z f F xy xyyx xyyx xyy x x '2222'222222213213111-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+-+⎪⎭⎫⎝⎛+=-+=-+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+=⎰⎰⎰二、含参量的广义积分含参量的广义积分包括两类：含参量的无穷积分和含参量的瑕积分 （一）含参量的无穷积分1 ．定义：设 ()y x f ,定义在[][)+∞⨯=,,c b a D 上，对每个取定的[]b a x ,∈，积分 ,()()[]⎰+∞∈=cb a x dy y x f x I ,,,都收敛（也叫逐点收敛），它是一个定义在[]b a ,上的函数，称该积分为含参量x 的无穷积分 同样可以定义 ()()[]⎰+∞∈=ad c y dx y x f y J ,,,2 ．一致收敛若对c M >∃>∀,0ε，当 A > M 时，对一切[]b a x ,∈，恒有()()()εε<<-⎰⎰+∞AA cdy y x f dy y x f x I ,,或则称含参量积分在[]b a ,上一致收敛．注：非一致收敛定义：若00>∃ε，使得c M >∀，总存在M A >0，及存在[]b a x ,0∈，，使得()()()000000,,εε<<-⎰⎰+∞A A cdy y x f dy y x f x I 或3 ．一致收敛的柯西准则含参量积分（ l ）在[]b a ,上一致收敛⇔对 c M >∃>∀,0ε，当 M A A >>12时，对一切[]b a x ,∈，都有()ε<⎰21,A A dy y x f注：非一致收敛的柯西准则：含参量积分（ 1 ）在[]b a ,上非一致收敛c M >∀>∃⇔,00ε存在M A A >>12，及存在[]b a x ,0∈，使得()0021,ε<⎰A A dy y x f4.一致收敛判别法( I ) M 判别法：若()()()D y x y g y x f ∈∀≤,,,而()⎰+∞cdy y g 收敛，则()⎰+∞cdy y x f ,在[]b a ,上一致收敛（同时也绝对收敛） .( 2 ）阿贝尔判别法： ①()⎰+∞cdy y x f ,在[]b a ,上一致收敛； ② 对每一个[]b a x ,∈，()y x g ,关于y 单调，月关于x 一致有界，则积分()()⎰+∞cdy y x g y x f ,,在[]b a ,上一致收敛．( 3 ）狄利克雷判别法： ①()[]()c A b a x M dyy x f Ac>∀∈∀≤⎰,,,（即一致有一界）;② 对每一个[]()y x g b a x ,,,∈必关于 y 单调，且当 +∞→y 时()y x g ,对x 一致趋于零，则积分()()⎰+∞cdy y x g y x f ,,在[]b a ,上一致收敛 ·例 10 . 3 讨沦下列积分的一致收敛性： （1）()⎰∞++-122222dx y xx y 在()+∞∞-,；（2）[)⎰+∞-+∞∈0,0,sin y dx xxe xy 解： ( 1 ）因为()()()()+∞∞-∈∀≤+=++≤+-,112222222222222y xy x y xy x y xx y ，而积分 ⎰+∞121dx x 收敛，由M 发，()⎰∞++-122222dx yx x y 在()+∞∞-,一致收敛 ·( 2 )因为⎰+∞sin dx xx收敛，且与y 无关，故关于y 一致收敛，而xy e -对固定的y 关于x 在[)+∞,1上单调减，且1≤-xye ，对()()()+∞⨯+∞∈∀,0,0,y x ．由阿贝尔判别法知，积分⎰+∞-0sin dx xxe xy在()+∞∈,0y 上一致收敛． 5 ．分析性质( l ）连续性：若满足：① ()y x f ,在[][)+∞⨯=,,c b a D 上连续； ② ()()[]⎰+∞∈=cb a x dy y x f x I ,,,一致收敛；则()x I 在[]b a ,上连续，即()()()dy y x f x I x I cx x ⎰+∞→==,lim 000·( 2 ）可积性：参量 []b a x ,∈若满足： ①()y x f ,在[][)+∞⨯=,,c b a D 上连续； ② ()()[]⎰+∞∈=cb a x dy y x f x I ,,,一致收敛；则()x I 在[]b a ,上可积，即()()()⎰⎰⎰⎰⎰+∞+∞==babaccb adx y x f dy dy y x f dx dx x I ,,参量[)+∞∈,a x ，若满足：① ()y x f ,在 [)[)+∞⨯+∞=,,c a D 上连续； ②()[]()c d d c y dy y x f a>∀∈⎰+∞,,,和()[]()a b b a x dy y x f c>∀∈⎰+∞,,,都一致收敛；③ 积分()⎰⎰+∞+∞acdy y x f dx ,与()⎰⎰+∞+∞cadx y x f dx ,收敛；则()x I 在[]b a ,上收敛，且()()dx y x f dy dy y x f dx acca⎰⎰⎰⎰+∞+∞+∞+∞=,,( 3 ）可微性：若满足：①()y x f ,和()y x f x ,在 [][)+∞⨯=,,c b a D 上连续； ② ()()[]b a x dy y x f x I c,,,∈=⎰+∞收敛；③()[]b a x dy y x f cx ,,,∈⎰+∞一致收敛；则()x I 在[]b a ,上可微，且()()[]b a x dy y x f x I cx ,,,'∈=⎰+∞注： ( 1 ）在定理的条件下，必可导出 ② 也是一致收敛的． ( 2 ）定理的条件都是充分而非必要的． 6 ．狄尼（ Dini ）定理若()y x f ,在 [][)+∞⨯=,,c b a D 连续且非负，则()()dy y x f x I c⎰+∞=,在[]b a ,上连续()x I 在[]b a ,上一致收敛．证明：充分性是显然的，下证必要性． （反证法）假设()()[]b a x dy y x f x I c,,,∈=⎰+∞不一致收敛，由定义，00>∃ε，对cM >∀总存在[]b a x M A ,,00∈∃>，使得()()0000,ε≥-⎰A cdy y x f x I ．特别地，取 M 大于c 的自然数n ·则分别存在 []b a x n A n n ,,∈> ，使得()()0,ε≥-⎰nA cn n dy y x f x I · 注意到f 非负，可写作()()0,ε≥-⎰nA cn n dy y x f x I ．由于{}[]b a x n ,⊂有界，记为{}(),...2,1=k x n ，则[]b a x x nk k ,lim 0∈=∞→，不妨设......21<<<<nk n n A A A ，再注意到 f 非负，因此有()()()()⎰⎰≥-≥-10,,n nkA cA cnk nk nk nk dy y x f x I dy y x f x I ε （*）由已知条件，对固定的1n A ，函数()()()⎰-=1,n A cdy y x f x I x F 在[]b a ,上连续，对（*）令∞→k 取极限得()()()00001,ε≥-=⎰dy y x f x I x F n A c．此与()x I 的定义（即逐点收敛）矛盾，即()()[]⎰+∞∈=cb a x dy y x f x I ,,,一致收敛 ·（二）含参量的瑕积分 1 ．定义设()y x f ,在区域[](]d c b a D ,,⨯=上有定义，对取定的[]c y b a x =∈,,为函数 f 的瑕点, 若积分()()[]⎰∈=dcb a x dy y x f x I ,,,收敛，它是一个定义在[]b a ,上的函数，称其为含参量x 的瑕积分．2 一致收敛对c d -<<∃>∀δδε0:,0，当δη<<0时，恒有()εη<⎰+c cdy y x f ,，对一切[]b a x ,∈成立，称()()dy y x f x I dc⎰=,在[]b a ,上一致收敛．3.M 判别法设 g ( y ）为定义在（ c , d ］上以 c y =瑕点的非负函数．且()()[]()b a x y g y x f ,,∈∀≤ ，而()dy y g d c⎰收敛，则()()[]b a x dy y x f x I dc,,,∈=⎰必一致收敛其余的可仿照含参量无穷积分的相关内容平行推得，当然也可以将它转化为无穷积分进 行讨论，这里不再赘述．。
第十八章 含参变量的广义积分
第十八章 含参变量的广义积分1． 证明下列积分在指定的区间内一致收敛： (1) 220cos() (0)xy dy x a x y +∞≥>+⎰； (2) 20cos() ()1xy dy x y +∞-∞<<+∞+⎰； (3)1 ()x y y e dy a x b +∞-≤≤⎰； (4) 1cos (0,0)xy p y e dy p x y +∞->≥⎰； (5) 20sin (0)1p x dx p x+∞≥+⎰. 2． 讨论下列积分在指定区间上的一致收敛性：(1)20 (0)x dx αα-<<+∞⎰； (2) 0xy xe dy +∞-⎰，（i ）[,] (0)x a b a ∈>，（ii ）[0,]x b ∈； (3) 2()x e dx α+∞---∞⎰，（i ）a b α<<，（ii ）α-∞<<+∞； (4) 22(1)0sin (0)x y e xdy x +∞-+<<+∞⎰.3． 设()f t 在0t >连续，0()t f t dt λ+∞⎰当,a b λλ==皆收敛，且a b <。
求证：0()t f t dt λ+∞⎰关于λ在[,]a b 一致收敛.4． 讨论下列函数在指定区间上的连续性： (1) 220()x F x dy x y +∞=+⎰，(,)x ∈-∞+∞； (2) 20()1x y F x dy y+∞=+⎰，3x >； (3) 20sin ()()x xy F x dy y y ππ-=-⎰，(0,2)x ∈.5． 若(,)f x y 在[,][,)a b c ⨯+∞上连续，含参变量广义积分()(,)c I x f x y dy +∞=⎰在[,)a b 收敛，在x b =时发散，证明()I x 在[,)a b 不一致收敛.6． 含参变量的广义积分()(,)c I x f x y dy +∞=⎰在[,]a b 一致收敛的充要条件是：对任一趋于+∞的递增数列{}n A （其中1A c =），函数项级数 111(,)()n n A n A n n f x y dy u x +∞∞===∑∑⎰ 在[,]a b 上一致收敛.7． 用上题的结论证明含参变量广义积分()(,)c I x f x y dy +∞=⎰在[,]a b 的积分交换次序定理（定理19.12）和积分号下求导数定理（定理19.13）.8． 利用微分交换次序计算下列积分： (1) 210()()n n dx I a x a +∞+=+⎰ （n 为正整数，0a >）； (2) 0sin ax bx e e mxdx x--+∞-⎰（0,0a b >>）； (3) 20sin x xe bxdx α+∞-⎰(0α>). 9． 用对参数的积分法计算下列积分： (1) 220ax bx e e dx x --+∞-⎰（0,0a b >>）； (2) 0sin ax bxe e mxdx x --+∞-⎰（0,0a b >>）. 10． 利用2(1)2011y x e dy x+∞-+=+⎰计算拉普拉斯积分 20cos 1x L dx xα+∞=+⎰ 和120sin 1x x L dx x α+∞=+⎰. 11． 20(0)xy e dy x +∞-=>计算傅伦涅尔积分2001sin 2F x dx +∞+∞==⎰⎰ 和21001cos 2F x dx +∞+∞==⎰⎰. 12． 利用已知积分 0sin 2x dx x π+∞=⎰，202x e dx +∞-=⎰计算下列积分： (1) 420sin x dx x+∞⎰； (2) 02sin cos y yx dy yπ+∞⎰； (3)220x x e dx α+∞-⎰ (0)a >； (4) 2()0ax bx c e dx +∞-++⎰(0)a >； (5) 222()a x x e dx -++∞-∞⎰(0)a >. 13． 求下列积分： (1) 01cos t e tdt t+∞-⎰； (2) 220ln(1)1x dx x +∞++⎰. 14． 证明：(1) 10ln()xy dy ⎰在1[,]b b(1)b >上一致收敛； (2) 10y dx x ⎰在(,]b -∞ (1)b <上一致收敛. 15． 利用欧拉积分计算下列积分：(1) 10⎰；(2) ⎰；(3)⎰;(4)0a x ⎰ (0)a >； (5)6420sin cos x xdx π⎰； (6)401dx x +∞+⎰； (7)220n x x e dx +∞-⎰ （n 为正整数）；(8) 0π⎰； (9) 220sin n xdx π⎰ （n 为正整数）； (10) 1101ln n m x dx x -⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰ (n 为正整数).16． 将下列积分用欧拉积分表示，并求出积分的存在域： (1) 102m n x dx x-+∞+⎰；(2) 1⎰(3) 20tan n xdx π⎰； (4) 101ln p dx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰； (5) 0ln p x x e xdx α+∞-⎰(0)α>. 17． 证明： (1) 11()nx e dx n n +∞--∞=Γ⎰ (0)n >； (2) lim 1nx n e dx +∞--∞→+∞=⎰. 18． 证明：1110(,)(1)b a bx x B a b dx x α--++=+⎰； 10()sx s x e dx ααα+∞--Γ=⎰ (0)s >.。
含参量广义积分
类似于无穷积分的比较判别法，我们有如下的 Weierstrass 判别法： 若 ∀x ∈ X ，y ≥ a 时， 有 f ( x, y ) ≤ M ( y ) ， 并且 对于 x ∈ X 一致收敛。
∫
+∞
a
M ( y ) dy 收敛， 则∫
+∞
a
f ( x, y ) dy
3
命题 1：
Abel 判别法
A′
ξ
A′′
ξ
≤M
∫
ξ
A′
f ( x, y ) dy + M +M ⋅
∫ξ f ( x, y ) dy
A′′
<M⋅
所以，
ε
2M
ε
2M
=ε
∫
+∞
a
f ( x, y ) g ( x, y ) dy 对于 x ∈ X 一致收敛。
证毕
4
Dirichlet 判别法
命题 2：若 1) ∃M > 0 ， ∀x ∈ X ， A ≥ a 时，有 2) 则： ∫
∫
+∞
a
f ( x, y ) dy 对 x ∈ X 一致收敛的充分必要条件为：∀ε > 0 ，∃A > a ， 当 A′, A′′ > A
时， ∀x ∈ X ，
∫
A′′
A′
f ( x, y ) dy < ε 。
一致收敛原理的证明可由上一节得定理 1 直接得到。
18.1
含参量的广义积分
2
Weierstrass 判别法（M 判别法）
证明仿照定理 4 的证明即可。
定理 5：（积分号下求导定理）假设： 1) f ( x, y ) , f x ( x, y ) 在 x ∈ [ a, b ] ， y ≥ α 上连续；
11-3 含参变量广义积分
s 1
(s )
根据比较判别法极限形式, I 2 也收敛。
由 (1), (2) 知 积分
0
e x dx
x
s 1
对 s 0 均收敛。
o s
综上 , s 0 时积分 0
x s 1e x dx 收
敛。 称该积分为第二型 Euler 积分。第二 型 Euler 积分定义了 s ( 0 , ) 内的一个 函数, 称该函数为 Gamma 函数, 记为 (s ) , 即
定理3（ 阿贝耳判别法）
若函数 f ( x, y) , g ( x, y) 满足：
（） y Y , 函数 g ( x, y) 关于 x 单调且对 y 一致有界， 1
即存在常数 M 0, 满足 g ( x, y ) M , y Y , x 充分大;
（2） 含参变量无穷积分
a
对 积 分
1
,
x e
s 1 x
x e
b 1 x
, 而 积 分
0
1
x b1e x dx 收敛.
由 M—判 法, 它们 都一 致收敛 ,
积分
x s 1e x dx 在区间
[a, b] 上一致收敛 。
作类似地讨论,可得积分 0
(x s 1e x ) dx 也在区 s
11－3 含参变量的广义积分 本节研究形如
a
b
f ( x, y) dx
a
f ( x, y) dx, ( b 为瑕点)
的含参变量广义积分的连续性、可微性与可积性， 以及与之相关的特殊函数。下面主要对无穷限积分 讨论，无界函数的情况可类似处理。 含参量广义积分与函数项级数在所研究问题与 论证方法上极为相似，学习时应注意比较。
高等数学：第十一章 广义积分与含参变量的积分
因此积分 dx发散. y
1x
y 1 x
b dx
1x
01
bx
例3. 使两个带电粒子从初始距离a分开到距离b 所需能量由
E
b kq1q2 a r2
dr
给出, 其中q1, q2是电荷的数量, k为常数. 若q1, q2 的单位为库仑(C), a, b是米(m), E的单位为焦耳(J).
k = 9109.
a
X
即当A X时有
A
g(x)dx
g(x)dx
X
X
由已知条件：当x X a时,0 f (x) g(x).
所以 A f (x)dx
A
g(x)dx
g(x)dx
X
X
X
而 g(x)dx收敛,所以当A X时，A f (x)dx有界,因此 f (x)dx收敛。
X
X
X
由于 f (x)dx
一个氢原子由一个质子和一个电子组成, 它们 带有数值为1.610–19 C的相反电荷. 求使氢原子激 发(即使电子从其轨道移动到离质子无穷远处)的 能量. 假设电子和质子之间的初始距离为玻尔半径
RB = 5.310–11m.
解: 因为由初始距离RB移动到最终距离的能 量由广义积分表示为
E
a
例.
判断
２
１ x ln
x
dx(
0,
R) 的敛散性.
解:
当
1时， ２
１ x ln
x
dx
２
１ x ln x
dx
ln
ln
xA 2
.
１
当
1时，x
ln 1
x
1 ln x
《含参变量广义积分》课件
含参变量广义积分的计算方法
针对不同类型的含参变量广义积分，提出了多种计算方法，如换元法、部分分式法、留数法等，并给出了相应的计算 步骤和实例。
含参变量广义积分的应用
探讨了含参变量广义积分在数学、物理、工程等领域的应用，包括求解定积分、求解微分方程、求解积 分方程等，并给出了具体的应用实例。
信号处理
在信号处理中，含参变量广义积分被广泛应用于信号的滤 波、调制和解调等处理过程。通过广义积分，可以有效地 提取信号中的有用信息，并抑制噪声干扰。
优化设计
在工程优化设计中，含参变量广义积分可以用来描述系统 的性能指标和约束条件，从而进行更有效的优化设计。
在金融领域的应用
风险评估与管理
在金融领域中，含参变量广义积分被广泛应用于风险评估与管理。 通过引入广义积分，可以对金融市场的风险进行更准确的度量和控 制。
03
求解物理问题
含参变量广义积分在解决某些物理问题中具有重要应用，如求解电磁场
问题、流体动力学问题等。通过引入适当的广义积分，可以简化问题的
求解过程。
在工程领域的应用
控制系统设计
在工程领域中，控制系统设计是含参变量广义积分的一个 重要应用方向。通过引入广义积分，可以对系统的动态性 能进行更准确的描述和控制。
应用领域
物理学、工程学、经济学等众多领域中都有广泛的应 用。
含参变量广义积分的背景和重要性
背景
随着科学技术的发展，越来越多的实际 问题需要用到含参变量的广义积分。例 如，在控制工程中，需要用到含参变量 的广义积分来描述系统的动态行为。
VS
19含参变量的积分
最后讨论 I ( x) =
∫
d
c
f ( x, y )dy 的可积性（积分问题） 的可积性（积分问题）
通常记
记号： 若 I ( x ) 在[a, b] 可积 .
∫
b
a
I ( x)dx = ∫ dx ∫ f ( x, y )dy
a c
b
d
称为先对y后对x的累次积分
定理19.6
（积分交换次序）
设 f (x, y) 在 [a, b]×[c, d] 连续 ，则
ln(1 + α x) I (α ) = ∫ dx, α ∈ [0,1] 2 0 1+ x
1
f ( x, α ) =
1 + x2
x 1 α+x α 则 fα ( x,α ) = = ( − ), 2 2 2 (1+ x )(1+ α x) 1+ α 1+ x 1+ α x
它们都在 [0,1]×[0,1] 上连续，根据定理19.2，有
I ( x ) 在[a, b] 可积，且
∫
即
b
a
I ( x)dx = ∫ dy ∫ f ( x, y )dx
a c
b
d
∫
b
a
dx ∫ f ( x, y )dy = ∫ dy ∫ f ( x, y )dx
c c a
d
d
b
证明： 令 I1 (u ) = ∫ dx ∫ f ( x, y )dy
a c u d
定义19.1
设f (x, y) 定义在[a, b] × [c, +∞ ]，且对任意x ∈ [a, b], 无穷积分 I (x)=
∫
利用拉普拉斯变换求解含参变量的广义积分
P P P s in ( + t) = cost 2 2 2 vX d X 取拉普拉斯变换, 得 Q 1cos - X
0 2 +]
第 5期
+]
钱学明 : 利用拉普拉斯变换求解含参变量的广义积分
# 21#
F v ( s) = L [ f ( v) ] = =
+] 0 0
cosv X - sv 2 d X e dv = 1- X
2007 年 5 月 第 26 卷 第 5 期
绵阳师范学院学报 Journa l o fM iany ang N or m al U niversity
M ay . , 2007 Vo. l 26 N o . 5
利用拉普拉斯变换求解含参变量的广义积分
钱学明
( 无锡科技职业学院基础部 , 江苏无锡 摘 214028)
因此, 当 | t | >
Q
0
+]
cos
XP cosX t 2 d X = 0。 2 1- X
由于函数 f ( t) 在 t = ? P 处为第一类间断点 , 所以 2 P f( ? ) = 2 综上所述, f ( ? P - 0) + f ( ? P + 0) 2 2 = 0 。 2
Q
0 +] 0 +]
0 0
x - b sin tx - st dx e d t 2 2# x + b x
+] 2 2 - st 0
2
2 2
+]
2 2
0 2
2
x 2 dx + x
+]
2
2
2
2
2
第十八章含参变量的广义积分
第十八章 含参变量的广义积分一 一致收敛的定义定义1 设函数),(y x f 定义在[ ,; , ]a c d +∞上，称()(,)aI y f x y dx +∞=⎰含参变量的无穷积分。
定义2设函数),(y x f 定义在[ ,; , ]a c d +∞上，若()000 , A A a εε∀>∃=>, 当0',A A A >时,对一切[],y c d ∈，成立'(,)A Af x y dx ε<⎰或(,)Af x y d x ε+∞<⎰。
就称含参无穷积分(,)af x y dx +∞⎰关于[],y c d ∈一致收敛。
定义3设(,)baf x y dx ⎰对于[],c d 上的每一y 值，以x b =为奇点的积分存在。
若()000 , 0εδδε∀>∃=>,当00,'ηηδ<<时，对一切[],y c d ∈，成立'(,)b b f x y dx ηηε--<⎰或(,)bb f x y dx ηε-<⎰，就称含参无穷积分(,)baf x y dx ⎰关于[],y c d ∈一致收敛。
二 一致收敛积分的判别法 以下假定积分(,)af x y dx +∞⎰收敛。
定理1（魏尔斯特拉斯判别法）设有函数()F x ，使得()(),,,f x y F x a x c y d ≤≤<+∞≤≤如果积分()aF x dx +∞⎰收敛，那么(,)af x y dx +∞⎰关于[],y c d ∈一致收敛。
例：证明含参无穷积分⎰∞++021cos dx x xy在+∞<<∞-y 内一致收敛。
三 一致收敛积分的性质 1. 连续性定理定理 2 设函数),(y x f 在[ ,; , ]a c d +∞上连续，(,)af x y dx +∞⎰关于[],y c d ∈一致收敛，那么()(,)aI y f x y dx +∞=⎰是[],c d 上的连续函数。
广义含参变量积分
第二章 含参变量积分第六节 含参变量的积分4-6-2 广义含参积分第十六讲 广义含参变量积分课后作业：阅读：第四章 第六节: 含参变量积分 pp.135---141 预习：第五章 第一节: 曲线积分 pp. 142---151 作业: 1. 证明下列积分在参变量的指定区间上一致收敛.(1)+∞-⎰x e dx s x ()a s b ≤≤;(2)dx x e n tx 202-+∞⎰()00<≤<+∞t t .2. 利用积分号下求导的定理及22+∞⎰+=dx y x yπ()y >0.证明21122212+∞+-+⎛⎝ ⎫⎭⎪⎰+=-dx y x n n y n n ()()!!()!!π()y >0 3. 利用积分号下求导的定理及tdx etx π212=-∞+⎰ ()t >0 计算积分.dx x entx 202-+∞⎰.4. 计算积分22+∞--⎰-e e xdx ax bx()a b >>00,.4-6-2 广义含参积分含参积分⎰∞adx y x f ),(或⎰badx y x f ),(中被积函数在[]b a ,上是无界函数时, 就称为广义含参变量积分。
由广义含参积分定义的函数在实际使用得以一般含参积分更广泛，但在研究其性质时复杂一点。
1) 广义含参变量积分的收敛性与一致收敛性逐点收敛概念 设函数f x y (,)在带域[)[]D a c d =+∞⨯,, 上有定义, 如果点在[]y c d 0∈,处, 广义积分cA aAf x y dx f x y dx +∞→+∞⎰⎰=(,)lim(,)00收敛, 就称无穷限含参量积分af x y dx +∞⎰(,)在点y 0处收敛, 否则就称它在y 0点发散； 如果在区间[]c d ,上每一点都收敛, 则称无穷限含参 变量积分在[]c d ,上收敛，这样就在[]c d ,定义了一个上的函数I y f x y dx a()(,)=+∞⎰.● 一致收敛概念 若∀>∃>εε000,() A , 当0A A >时, 恒有()ε<-⎰y I dx y x f Aa),(, []∀∈y c d ,,则称无穷限含变量积分af x y dx +∞⎰(,)在[]d c ,上一致收敛于()y I ;或简单地说: af x y dx +∞⎰(,) ( 关于[]y c d ∈, ) 一致收敛。
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g( x, y )在[a, b]上一致有界， 则含参量反常积分
c
f ( x , y ) g( x , y )dy 在[a , b]上一致收敛.
xy sin x 例4 : 证明含参量反常积分 e dx 0 x 在 [0, d ] 上一致收敛. sin x 证 : 由于反常积分 dx 收敛 0 x (当然， 对于参量y, 它在[0, d ]上一致收敛)
对参量x, g ( x, y)一致地收敛于0, 则含参量反常积分
c
f ( x, y) g ( x, y)dy
在[a, b]上一致收敛.
定理3（阿贝尔判别法:）
若 (i )
c
f ( x , y )dy 在[a , b]上一致收敛;
( ii ) x [a , b],函数g( x , y )为y的单调函数， 且对参量x ,
设f ( x, y)在[a, b] [c,)上连续， 含参量反常积分
I ( x)
c
f ( x, y)dy 在[a, b]上一致收敛, 则I ( x)在[a, b]上连续.
注:
连续性定理说明， 在一致收敛的条件下， 极限运算
与积分运算可以可以交换顺序.
即:
x x0 c
lim
含参量反常积分
0
cos xy dx 在 (,) 上一致收敛. 2 1 x
例3 : 证明含参量反常积分
在 [a,) 上一致收敛 (a 0).
0
e
ux 2
dx
证:
u [a,), 有 e
而无穷积分 e
0
ux2
e
ax2
.
ax2
dx收敛
故有魏尔斯特拉斯M判别法知
含参量反常积分
0
e
ux 2
dx
在 [a,) 上一致收敛 (a 0).
定理2（狄利克雷判别法）
若 (i) N c, 含参量反常积分 f ( x, y)dy 对参数x在[a, b] c
N
上一致有界，
(ii ) x [a, b], 函数g ( x)关于y是单调递减且当y 时
1 、 含参量反常积分的定义
设 f ( x, y) 是定义在无界区域 R ( x, y) a x b, c y 上,
若对每一个固定的 x [a, b] , 反常积分
c
f ( x, y)dy
都收敛,则它的值是 x 在区间 [a, b] 上取值的函数,表为
I ( x)
c
f ( x, y)dy, x [a, b]
称为定义在 [a, b] 上的含参量 x 的无穷限反常积分, 或 简称为含参量反常积分.
含参量反常积分一致收敛的定义
对于含参量反常积分 c f ( x, y)dy 和函数 I ( x)
若 0, N 0, M N , x [a, b], 都有
函数g ( x, y) e xy 对每个x [0, d ]单调且对任何
0 y d , x 0都有 g ( x, y ) e xy 1.
由阿贝尔判别法知，含参量反常积分
0
e
xy
sin x dx 在 x
[0, d ] 上一致收敛.
含参量反常积分的性质
• 连续性
C
f ( x , y )dy l ,
则称含参量反常积分 c f ( x, y)dy 在 [a, b] 上不一致收敛
3 、 含参量反常积分一致收敛的判别方法
一致收敛的柯西准则: 含参量反常积分
c
f ( x, y)dy 在 [a, b] 上一致收敛的充要
条件是 0, M c, A1 , A2 M , x [a, b], 都有
A A
f ( x, y ) dy | f ( x, y ) | dy g ( y ) dy
A A
A
A
c
g ( y) dy 收敛，所A, A A0 , | g ( y) dy |
A
A
从而 x [a, b]
0 x
而积分
所以
x 0
0
e
0
e x sin x dx 在 [0 ,) (0 0) 内一致收敛
例2 : 证明反常积分
0
cos xy (,) 上一致收敛. 在 dx 2 1 x
证:
cos xy 1 由于y R有 , 2 2 1 x 1 x dx 而反常积分 收敛 2 0 1 x 故有魏尔斯特拉斯M判别法知
所以
A
A
f ( x, y ) dy g ( y ) dy
A
A
c
f ( x, y) dy 关于 x [a, b] 一致收敛。
例1 解
0
e x sin x dx 在 [0 ,) (0 0) 内一致收敛
因为
|e
x
sin x | e
dx 收敛，
A2
A1
f ( x, y )dy .
定理1（M判别法）:
设有函数
g ( y ) ,使得
f ( x, y) g ( y), a x b, c y .
若 g ( y)dy 收敛， 则 f ( x, y)dy 在[a, b]上一致收敛. c
c
证明 因为
c
f x ( x, y)dy 在[a, b]上一
c
致收敛, 则I ( x)在[a, b]上可微， 且 I ( x)
f ( x, y)dy
c
f ( x0 , y)dy
c
x x0
lim f ( x, y)dy.
• 可微性
设f ( x, y)与f x ( x, y)在区域[a, b] [c,)上连续， 若
I ( x)
c
f ( x, y)dy 在[a, b]上收敛,
'
M
f ( x, y )dy ,
则称含参量反常积分 c f ( x, y)dy 在 [a, b] 上一致收敛于 I ( x) .
命题： 含参量反常积分不一致收敛的定义
对于含参量反常积分 c f ( x, y)dy 和函数 I ( x)
若l 0, 不论N多大, 总存在C N , x [a, b], 都有