高等数学含参变量的广义积分

c
f ( x, y)dy, x [a, b]
称为定义在 [a, b] 上的含参量 x 的无穷限反常积分, 或 简称为含参量反常积分.
含参量反常积分一致收敛的定义
对于含参量反常积分 c f ( x, y)dy 和函数 I ( x)
源自文库
若 0, N 0, M N , x [a, b], 都有
含参量反常积分


0
e
ux 2
dx
在 [a,) 上一致收敛 (a 0).
定理2（狄利克雷判别法）
若 (i) N c, 含参量反常积分 f ( x, y)dy 对参数x在[a, b] c
N
上一致有界，
(ii ) x [a, b], 函数g ( x)关于y是单调递减且当y 时


C
f ( x , y )dy l ,

则称含参量反常积分 c f ( x, y)dy 在 [a, b] 上不一致收敛
3 、 含参量反常积分一致收敛的判别方法
一致收敛的柯西准则: 含参量反常积分
c
f ( x, y)dy 在 [a, b] 上一致收敛的充要
条件是 0, M c, A1 , A2 M , x [a, b], 都有
0 x
而积分
所以

x 0
0
e


0
e x sin x dx 在 [0 ,) (0 0) 内一致收敛
例2 : 证明反常积分


0
cos xy (,) 上一致收敛. 在 dx 2 1 x
证:
cos xy 1 由于y R有 , 2 2 1 x 1 x dx 而反常积分 收敛 2 0 1 x 故有魏尔斯特拉斯M判别法知
设f ( x, y)在[a, b] [c,)上连续， 含参量反常积分
I ( x)
c
f ( x, y)dy 在[a, b]上一致收敛, 则I ( x)在[a, b]上连续.
注:
连续性定理说明， 在一致收敛的条件下， 极限运算
与积分运算可以可以交换顺序.
即:
x x0 c
lim


含参量反常积分


0
cos xy dx 在 (,) 上一致收敛. 2 1 x
例3 : 证明含参量反常积分
在 [a,) 上一致收敛 (a 0).


0
e
ux 2
dx
证:
u [a,), 有 e
而无穷积分 e
0
ux2
e
ax2
.
ax2
dx收敛
故有魏尔斯特拉斯M判别法知
A A
f ( x, y ) dy | f ( x, y ) | dy g ( y ) dy
A A
A
A


c
g ( y) dy 收敛，所以由广义积分一致收敛的柯西
准则，有
0, A0 c, A, A A0 , | g ( y) dy |
A
A
从而 x [a, b]
f ( x, y)dy

c
f ( x0 , y)dy

c
x x0
lim f ( x, y)dy.
• 可微性
设f ( x, y)与f x ( x, y)在区域[a, b] [c,)上连续， 若
I ( x)
c
f ( x, y)dy 在[a, b]上收敛,
'
g( x, y )在[a, b]上一致有界， 则含参量反常积分


c
f ( x , y ) g( x , y )dy 在[a , b]上一致收敛.
xy sin x 例4 : 证明含参量反常积分 e dx 0 x 在 [0, d ] 上一致收敛. sin x 证 : 由于反常积分 dx 收敛 0 x (当然， 对于参量y, 它在[0, d ]上一致收敛)

A2
A1
f ( x, y )dy .
定理1（M判别法）:
设有函数
g ( y ) ,使得
f ( x, y) g ( y), a x b, c y .
若 g ( y)dy 收敛， 则 f ( x, y)dy 在[a, b]上一致收敛. c
c

证明 因为

1 、 含参量反常积分的定义
设 f ( x, y) 是定义在无界区域 R ( x, y) a x b, c y 上,

若对每一个固定的 x [a, b] , 反常积分




c
f ( x, y)dy
都收敛,则它的值是 x 在区间 [a, b] 上取值的函数,表为
I ( x)



M
f ( x, y )dy ,
则称含参量反常积分 c f ( x, y)dy 在 [a, b] 上一致收敛于 I ( x) .
命题： 含参量反常积分不一致收敛的定义
对于含参量反常积分 c f ( x, y)dy 和函数 I ( x)

若l 0, 不论N多大, 总存在C N , x [a, b], 都有
对参量x, g ( x, y)一致地收敛于0, 则含参量反常积分


c
f ( x, y) g ( x, y)dy
在[a, b]上一致收敛.
定理3（阿贝尔判别法:）
若 (i )


c
f ( x , y )dy 在[a , b]上一致收敛;
( ii ) x [a , b],函数g( x , y )为y的单调函数， 且对参量x ,

所以
A
A
f ( x, y ) dy g ( y ) dy
A
A


c
f ( x, y) dy 关于 x [a, b] 一致收敛。
例1 解


0
e x sin x dx 在 [0 ,) (0 0) 内一致收敛
因为
|e
x
sin x | e
dx 收敛，


函数g ( x, y) e xy 对每个x [0, d ]单调且对任何
0 y d , x 0都有 g ( x, y ) e xy 1.
由阿贝尔判别法知，含参量反常积分


0
e
xy
sin x dx 在 x
[0, d ] 上一致收敛.
含参量反常积分的性质
• 连续性


c
f x ( x, y)dy 在[a, b]上一
c
致收敛, 则I ( x)在[a, b]上可微， 且 I ( x)