含参变量反常积分
含参变量反常积分
|∫
d
d −η
f ( x, y )dy |< ε ，
则称含参量反常积分
∫
d
c
f ( x, y )dy 在 [a, b] 上一致收敛．
例6 证明 ∫
+∞
0
cos x 2 dx关于在上内闭一致收敛 p ( −1,1) p x
即证 ∀[ p0 , p1 ] ⊂ ( −1,1),
∫
+∞
0
∫
+∞
0
2 2 +∞ cos x 1 cos x cos x 2 dx = dx + ∫ dx = I1 + I 2 p p p ∫ 0 1 x x x
sin xy dy y
在，）上一致收敛（其中但在 [δ + ∞ δ > 0),
（，）内不一致收敛。 0 +∞
分析
A > A0 要证：∀ε > 0, ∃A0 > 0, 使得当时，
对一切，都有 x ∈ [δ , +∞ )
|∫
+∞ A
sin xy dy |< ε y
证
+∞
令 u=xy, 得
+∞ sin u sin xy ∫ A y dy = ∫ Ax u du 其中 A > 0. +∞ sin u 由于 ∫ du 收敛，故 0 u 就有 ∀ε > 0, ∃A0 > c，使得当时， A > A0 +∞ sin u |∫ du |< ε A u A0 取N = 时 则当A > N 时有 Aδ > A0， δ 对一切 x ∈ [δ，+ ∞ )， 有 Ax ≥ Aδ > A0， +∞ sin xy +∞ sin u 从而 | = ∫ A y dy | | ∫ Ax u du |< ε +∞ sin xy 所以 ∫ [δ + ∞ 一致收敛. dy 在，） 0 y
含参量反常积分
01
工程问题建模
含参量反常积分在工程问题建模中具有 重要应用，如流体动力学、电磁学等领 域。
02
03
金融数据分析
含参量反常积分在金融数据分析中具 有广泛应用，如风险评估、投资组合 优化等领域。
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收敛性
当参数在某个范围内变化时，含参量 反常积分的值是有限的，则称该含参 量反常积分在该范围内收敛。
收敛性的判定方法
柯西准则
如果存在一个正数$alpha$，使得在积分区间上，被积函数的绝对值小于$alpha$，则 该含参量反常积分收敛。
狄利克雷判别法
如果被积函数在积分区间上单调有界，且参数的变化范围有限，则该含参量反常积分收 敛。
02
CATALOGUE
含参量反常积分
含参量反常积分的定义
含参量反常积分
在数学中，含参量反常积分（或含参量不定积分）是一种特殊的反常积分，其中积分上 限或下限是参数。
定义
设函数f(x, a)在区间[a, b]上连续，且对于每一个固定的a值，f(x, a)在[a, b]上可积。那 么含参量反常积分∫f(x, a)dx在[a, b]上的值是函数F(x, a)在[a, b]上的增量，其中F(x, a)
含参量反常积分
目 录
• 反常积分简介 • 含参量反常积分 • 含参量反常积分的收敛性 • 含参量反常积分的应用 • 含参量反常积分的展望
01
CATALOGUE
反常积分简介
反常积分的定义
反常积分是指定积分在某个区间上发 散或无界的积分，通常表示为∫f(x)dx ，其中f(x)是定义在某个区间上的函数 ，而这个区间可能是无穷区间或者不 连续的区间。
解决数学问题
反常积分与含参变量的积分
（ii）若函数g在[a,b]上增且，g( x) 0, 则 [a,b],使
b
b
a f ( x)g( x)dx g(b) f ( x)dx.
推论 设函数f在[a,b]上可积，若g为单调函数，
则 [a,b],使
b
b
a f ( x)g( x)dx g(a)a f ( x)dx g(b) f ( x)dx.
收敛，则
f ( x)dx 必收敛，并有
a
a
a f ( x)dx a | f ( x) | dx.
证
|
f
( x) | dx
收敛，则由Cauchy准则，
a
0,G a,u1 u2 G,有
u2 | f ( x) | dx u2 | f ( x) | dx .
u1
u1
又 u2 f ( x)dx u2 | f ( x) | dx .
这说明无穷积分与级数之间存在着内在的联系.
定理 .无穷积分
f (x)dx 收敛 a
对任意数列
An,n N,
An [a. ),
A1
a, lim n
An
级数 Ak1 f (x)dx 收敛于同一个数，且 k 1 Ak
f (x)dx
Ak1 f (x)dx
a
k 1 Ak
证明提示:
f (x)dx lim
g(u1)
f ( x)dx
a
u1 f ( x)dx
a
| g(u2 ) |
u2 f ( x)dx
a
a
f ( x)dx
2M 2M .
4M
4M
根据柯西准则，证得 a f ( x)g( x)d收x 敛。
定理（阿贝尔（Abel）判别法）
含参变量的反常积分
充分性 若 0, N c, M A1 , A2 N ,
则令 A2 , 得
A2 A1
f ( x , y )dy .
c
M
f ( x , y )dy .
这就证明了 I ( x )
f ( x , y )dy 在 J 上一致收敛.
*例2 证明含参量的反常积分
( y)
1
g( A1 , y ) A g( A1 , y ) A
魏尔斯特拉斯(Weierstrass) M 判别法
设有函数 F(x), 使得
f ( x , y ) F ( x ) , a x , y .
若 F ( x )dx 收敛, 则
对A, A a ,
A
A
f ( x , y )dx
a
A
f ( x , y )dx
a
A
f ( x , y )dx 2 M .
于是, A1 , A2 A, y , 由积分第二中值定理，
A
A2
1
f ( x , y ) g ( x , y )dx
或简单地说含参量积分(1)在 上一致收敛.
注1 由定义, I ( y ) 充要条件是
a
f ( x , y )dx 在 上一致收敛的
( A) sup
y
a
A
f ( x , y )dx 0 ( A ).
注2 由定义, I ( y )
f ( x , y )dx 在 上不一致收敛
若I ( y)
a
f ( x , y )dx 在 上一致收敛, 则
数学分析3课件：19-2 含参量反常积分
sin
bx
x
sin
ax
abcosxydy，故
I 0 e px(abcosxydy)dx 0 dxabe pxcosxydy.
由于e pxcosxy e px及0 e pxdx收敛,根据魏尔斯特拉斯M判别法,
0 e pxcosxydx在区间[a,b]上一致收敛.
又e pxcosxy在[0,) [a,b]上连续,故由定理19.11,积分换序值不变,
(x,
y)dx
c
dyab
f
(x,
y)dx.
证毕
定理 19.12 设f (x, y)在区域[a,) [c,)上连续, 若
(i) a f (x, y)dx对于y在任何闭区间[c, d ]上一致收敛, c f (x, y)dy 对于x在任何闭区间[a, b]上一致收敛.
(ii) 下列积分有一个收敛 :
0
e
px
sin ax x
dx
arctan
a p
（p 0）.
e px
sin ax 在0 x
p
连续, 0 e px
sin ax x
dx一致收敛(0
sin ax x
dx
在0 p 上一致收敛, e px关于x单减且 | e px | 1,阿贝尔判别法)
0 e px
sin ax dx在0 x
p
上连续, 从而
0
sin ax dx x
lim
p0
0
e
px
sin ax x
dx
lim
p0
arctan
a p
2
sgn
a.
练习4
计算
I
0
ex
含参变量的反常积分dini定理
含参变量的反常积分dini定理一、反常积分的基本概念反常积分也称为广义积分，是一种积分范围超越常规定积分的积分。
在定义上，反常积分可以看作是对定积分的推广，其积分区间可以是无穷区间，也可以是其他非正常区间。
反常积分具有广泛的应用，包括物理学、工程学、概率论等领域。
二、含参变量的反常积分含参变量的反常积分是指在积分过程中包含参数的积分。
这种积分在处理一些复杂问题时非常有用，例如物理中的热传导问题、弹性力学中的应变问题等。
含参变量的反常积分在处理这些问题的过程中，通过引入参数来简化问题，使问题得到更有效的解决。
三、Dini定理的背景和意义Dini定理是数学分析中的一个重要定理，它涉及到含参变量的反常积分。
Dini定理的背景可以追溯到19世纪末，当时数学家开始关注含参变量的反常积分。
Dini定理的意义在于，它提供了一种判断含参变量的反常积分收敛性的方法，从而为解决一系列相关问题提供了理论支持。
四、Dini定理的证明过程Dini定理的证明过程相对复杂，需要使用到实数性质、微积分基本定理等知识点。
在证明过程中，首先需要引入一个与被积函数有关的辅助函数，然后通过分析这个辅助函数的性质，逐步推导出Dini定理的结论。
具体证明过程可以参考数学分析教材或相关论文。
五、Dini定理的应用举例Dini定理的应用非常广泛，下面举几个具体的例子来说明其应用。
1. 在物理学中的应用：在研究波动方程时，Dini定理可以用来判断波动方程解的存在性和唯一性。
例如，在研究弦振动时，通过引入参数和利用Dini定理，可以证明弦振动方程解的存在性和唯一性。
2. 在工程学中的应用：在电气工程中，Dini定理可以用来判断电路中的电流和电压是否收敛。
例如，在分析交流电路时，通过引入角频率作为参数，并利用Dini定理判断电流和电压的收敛性，从而为电路的分析和设计提供依据。
3. 在概率论中的应用：在随机过程和概率论中，Dini定理可以用来判断随机过程的样本函数的收敛性。
§19.2含参变量的反常积分
一般地, 取M n max n, A2 n1 , (n 2), 则有
A2 n A2 n1 M n及xn [a, b], 使得 :
A2 n
A2 n 1
f ( xn , y)dy 0
()
由上述所得到的数列 An 是递增的,且 lim An n
n
f ( x, y)dy A
n 1
An 1
An 1 逐项求导 I ( x) f ( x, y )dy n1 An n 1
An 1 An
An
注: 其中 un ( x)
f ( x, y )dy
Ak 1 Ak
n 1
An 1 An
f ( x, y )dy lim
n
n
f ( x, y )dy
c
lim
k 1 An 1
n c
f ( x, y )dy
f ( x, y)dy
cos xy dx 在 (, ) 上一致收敛. 例 2 证明 0 1 x 2
证 : y (, ), 有 :
1 而 dx收敛, 2 0 1 x
由M 判别法,
cos xy 1 , 2 2 1 x 1 x
cos xy dx在(, )内一致收敛. 0 1 x 2
sin u du u
取A0 N 1 N , 取x0
2( N 1)
(0, ), 使 :
sin u p A0 x0 u du 2 0 . A0 (此时,0 A0 x0 ) 2 所论积分在(0, )非一致收敛.
含参变量反常积分的几种计算方法
含参变量反常积分的几种计算方法摘 要：含参变量反常积分是一类比较特殊的积分，由于它是函数又是以积分形式给出，所以它在积分计算中起着桥梁作用，并且计算难度较大，本文主要总结含参变量反常积分的几种方法，利用这几种方法，可以进行一系列的积分运算，这样可使含参变量反常积分运算更易理解和掌握。
关键词：含参变量反常积分 积分号下积分法 积分号下微分法 收敛因子 留数定理在进行含参变量反常积分的运算时，首先要验证条件（包括确定含参变量及其变化范围，把问题归结为能利用含参变量反常积分运算性质的某一种，还要验证所用性质应满足的条件）,在验证条件时,判别一致收敛至关重要,判别法通常采用魏尔斯特拉斯判别法、狄利克雷判别法、阿贝尔判别法、柯西判别准则或用定义判别，然而在验证一致收敛时并不简单，这使得含参变量反常积分的计算有一定的难度，经过验证后，就可以利用含参变量反常积分的性质具体进行运算。
本人在学习过程中，通过大量的、不断的练习，进行探索和归纳，总结出几种含参变量反常积分的计算方法，这几种方法运算技巧强，便于理解和掌握，下面分述于后。
一 积分号下积分法要对含参变量反常积分()(),y ag f x y dx +∞=⎰实现积分号下求积分，须验证以下条件：(1) (),f x y 在,x a y c ≥≥上连续； (2) (),a f x y dx +∞⎰在[),y c ∈+∞上内闭一致收敛，(),cf x y dx +∞⎰在[),x a ∈+∞上内闭一致收敛；(3) (,)c ady f x y dx +∞+∞⎰⎰及(),a cdx f x y dy +∞+∞⎰⎰至少有一个收敛，则 ()(),,accadx f x y dy dy f x y dx +∞+∞+∞+∞=⎰⎰⎰⎰例1 利用20u e du +∞-⎰u=x α令2()0(0)x e dx ααα+∞-∀>⎰，求2e d αα+∞-⎰的值。
分析：2x e dx +∞-⎰这个积分在概率论中非常有用，它的值可以用多种方法求出，但在这里利用积分号下积分法求解，是很值得借鉴的，而且须验证的条件又显然成立。
数学分析19.2含参量积分之含参量反常积分(含习题及参考答案)
第十九章 含参量积分 2含参量反常积分一、一致收敛性及其判别法概念1：设函数f(x,y)定义在无界区域R={(x,y)|x ∈I, c ≤y<+∞}上，I 为一区间，若对每一个固定的x ∈I, 反常积分⎰+∞c dy y x f ),(都收敛，则它的值是x 在I 上取值的函数, 记φ(x)=⎰+∞c dy y x f ),(, x ∈I, 称⎰+∞c dy y x f ),(为定义在I 上的含参量x 的无穷限反常积分，简称含参量反常积分.定义1： 若含参量反常积分⎰+∞c dy y x f ),(与函数φ(x)对任给ε>0, 总存在某实数N>c, 使当M>N 时, 对一切x ∈I, 都有)(),(x dy y x f Mc Φ-⎰<ε, 即⎰+∞M dy y x f ),(<ε, 则称含参量反常积分在I 上一致收敛于φ(x), 简单地说含参量积分⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛.定理19.7：(一致收敛的柯西准则)含参量反常积分⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛的充要条件是：对任给正数ε, 总存在某一实数M>c, 使得当A 1, A 2>M 时，对一切x ∈I, 都有⎰21),(A A dy y x f <ε.定理19.8：含参量反常积分⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛的充要条件是：+∞→A lim F(A)=0, 其中F(A)=⎰+∞∈AIx dy y x f ),(sup .例1：证明含参量反常积分⎰+∞0sin dy yxy在[δ,+∞)上一致收敛(δ>0)，但在(0,+∞)上不一致收敛.解：令u=xy, 则⎰+∞A dy y xysin =⎰+∞Ax du uu sin (A>0). ∵⎰+∞Axdu uusin 收敛，∴∀ε>0, ∃M>0, 使当A ’>M 时，就有⎰∞+'A du u u sin <ε. 取A δ>M, 则当A>δM时，对一切x ≥δ>0，有xA>M, ∴⎰∞+Axdu uusin <ε, 即⎰∞+Ady y xysin <ε, ∴+∞→A lim F(A)=⎰∞++∞∈+∞→A x A dy y xy sin sup lim ),(δ=0, 由定理19.8知 ⎰+∞sin dy yxy在[δ,+∞)上一致收敛. 又 F(A)=⎰∞++∞∈Ax dy yxysin sup ),0(=⎰∞++∞∈Ax x du u u sin sup ),0(≥⎰∞+0sin du u u =2π. ∴⎰+∞0sin dy yxy在(0,+∞)上不一致收敛.注：若对任意[a,b]⊂I, 含参量反常积分在[a,b]上一致收敛，则称在I 上内闭一致收敛.定理19.9：含参量反常积分⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛的充要条件是：对任一趋于+∞的递增数列{A n }(其中A 1=c), 函数项级数∑⎰∞=+11),(n A A n ndy y x f =∑∞=1)(n n x u 在I 上一致收敛.证：[必要性]若⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛, 则∀ε>0, ∃M>c, 使 当A ”>A ’>M 时，对一切x ∈I, 总有⎰'''A A dy y x f ),(<ε.又A n →+∞(n →∞), ∴对正数M, ∃正整数N, 只要当m>n>N 时，就有 A m >A n >M. ∴对一切x ∈I, 就有|u n (x)+…+u m (x)|=⎰⎰+++⋯+11),(),(n nm mA A A Ady y x f dy y x f =⎰+1),(m nA Ady y x f <ε.∴∑∞=1)(n n x u 在I 上一致收敛.[充分性]若∑∞=1)(n n x u 在I 上一致收敛, 而⎰+∞c dy y x f ),(在I 上不一致收敛,则存在某正数ε0, 使对任何实数M>c, 存在相应的A ”>A ’>M 和x ’∈I, 使得⎰''''A A dy y x f ),(≥ε0; 现取M 1=max{1,c}, 则存在A 2>A 1>M 1, 及x 1∈I, 使得⎰21),(1A A dy y x f ≥ε0; 一般地, 取M n =max{n,A 2(n-1)} (n ≥2), 则有A 2n >A 2n-1>M n , 及x n ∈I, 使得⎰-nn A An dy y x f 212),(≥ε0.由上述所得数列{A n }为递增数列, 且∞→n lim A n =+∞, 而对级数∑∞=1)(n nx u=∑⎰∞=+11),(n A A n ndy y x f , 存在正数ε0, 对任何正整数N,只要n>N, 就有某个x n ∈I, 使得|u 2n (x n )|=⎰-nn A An dy y x f 212),(≥ε0,与级数∑∞=1)(n n x u 在I 上一致收敛矛盾. ∴⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛.魏尔斯特拉斯M 判别法：设函数g(y), 使得 |f(x,y)|≤g(y), (x,y)∈I ×[c,+∞). 若⎰+∞c dy y g )(收敛, 则⎰+∞cdy y x f ),(在I 上一致收敛.狄利克雷判别法：设(1)对一切实数N>c, 含参量正常积分⎰Nc dy y x f ),(对参量x 在I 上一致有界, 即存在正数M, 对一切N>c 及一切x ∈I, 都有⎰Nc dy y x f ),(≤M. (2)对每一个x ∈I, 函数g(x,y)关于y 是单调递减且当y →+∞时, 对参量x, g(x,y)一致收敛于0.则含参量反常积分⎰+∞c dy y x g y x f ),(),(在I 上一致收敛.阿贝尔判别法：设(1)⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛.(2)对每一个x ∈I, 函数g(x,y)为y 的单调函数, 且对参量x, g(x,y)在I 上一致有界.则含参量反常积分⎰+∞c dy y x g y x f ),(),(在I 上一致收敛.例2：证明含参量反常积分⎰+∞+021cos dx xxy在(-∞,+∞)上一致收敛. 证：∵对任何实数y, 有21cos x xy +≤211x +, 又反常积分⎰+∞+021xdx收敛. 由魏尔斯特拉斯M 判别法知, 含参量反常积分⎰+∞+021cos dx x xy在(-∞,+∞)上一致收敛.例3：证明含参量反常积分⎰+∞-0sin dx xxe xy 在[0,+∞)上一致收敛. 证：∵反常积分⎰+∞sin dx xx收敛, ∴对于参量y, 在[0,+∞)上一致收敛. 又函数g(x,y)=e -xy 对每个y ∈[0,+∞)单调, 且对任何0≤y<+∞, x ≥0, 都有|g(x,y)|=|e -xy |≤1. 由阿贝尔判别法知, 含参量反常积分⎰+∞-0sin dx xxe xy 在[0,+∞)上一致收敛.例4：证明含参量积分⎰+∞+121sin dy y xyy 在(0,+∞)上内闭一致收敛.证：若[a,b]⊂(0,+∞), 则对任意x ∈[a,b],⎰Naxydy sin =Nax xycos -≤a 2. 又'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+21y y =()22211yy +-≤0, 即21y y +关于y 单调减, 且当y →+∞时, 21yy+→0(对x 一致), 由狄利克雷判别法知, 含参量积分⎰+∞+121sin dy y xyy 在[a,b]上一致收敛. 由[a,b]的任意性知, ⎰+∞+121sin dy yxyy 在(0,+∞)上内闭一致收敛.二、含参量反常积分的性质定理19.10：(连续性)设f(x,y)在I ×[c,+∞)上连续，若含参量反常积分φ(x)=⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛，则φ(x)在I 上连续. 证：由定理19.9，对任一递增且趋于+∞的数列{A n } (A 1=c)， 函数项级数φ(x)=∑⎰∞=+11),(n A An ndy y x f =∑∞=1)(n n x u 在I 上一致收敛.又由f(x,y)在I ×[c,+∞)上连续，∴每个u n (x)都在I 上连续. 由函数项级数的连续性定理知，函数φ(x)在I 上连续.推论：设f(x,y)在I ×[c,+∞)上连续，若φ(x)=⎰+∞c dy y x f ),(在I 上内闭一致收敛，则φ(x)在I 上连续.注：在一致收敛的条件下，极限运算与积分运算可以交换，即：⎰+∞→cx x dy y x f ),(lim0=⎰+∞c dy y x f ),(0=⎰+∞→cx x dy y x f ),(lim 0.定理19.11：(可微性)设f(x,y)与f x (x,y)在区域I ×[c,+∞)上连续，若φ(x)=⎰+∞c dy y x f ),(在I 上收敛，⎰+∞c x dy y x f ),(在I 上一致收敛，则φ(x)在I 上可微，且φ’(x) =⎰+∞c x dy y x f ),(.证：对任一递增且趋于+∞的数列{A n } (A 1=c)，令u n (x)=⎰+1),(n nA A dy y x f .由定理19.3推得u n ’(x)=⎰+1),(n nA A x dy y x f .由⎰+∞c x dy y x f ),(在I 上一致收敛及定理19.9，可得函数项级数∑∞='1)(n n x u =∑⎰∞=+11),(n A A x n ndy y x f 在I 上一致收敛.根据函数项级数的逐项求导定理，即得：φ’(x) =∑∞='1)(n nx u =∑⎰∞=+11),(n A Ax n ndy y x f =⎰+∞cx dy y x f ),(.或写作⎰+∞c dy y x f dxd ),(=⎰+∞c x dy y x f ),(.推论：设f(x,y)与f x (x,y)在区域I ×[c,+∞)上连续，若φ(x)=⎰+∞c dy y x f ),(在I 上收敛，⎰+∞c x dy y x f ),(在I 上内闭一致收敛，则φ(x)在I 上可微，且φ’(x) =⎰+∞c x dy y x f ),(.定理19.12：(可积性)设f(x,y)在[a,b]×[c,+∞)上连续，若φ(x)=⎰+∞c dy y x f ),(在[a,b]上一致收敛，则φ(x)在[a,b]上可积，且⎰⎰+∞cbady y x f dx ),( =⎰⎰+∞bacdx y x f dy ),(.证：由定理19.10知φ(x)在[a,b]上连续，从而在[a,b]上可积. 又函数项级数φ(x)=∑⎰∞=+11),(n A An ndy y x f =∑∞=1)(n n x u 在I 上一致收敛，且各项u n (x)在[a,b]上连续，根据函数项级数逐项求积定理，有⎰Φbadx x )(=∑⎰∞=1)(n ban dx x u =∑⎰⎰∞=+11),(n baA A n ndy y x f dx =∑⎰⎰∞=+1),(1n baA A dx y x f dy n n，即⎰⎰+∞cbady y x f dx ),( =⎰⎰+∞bacdx y x f dy ),(.定理19.13：设f(x,y)在[a,+∞)×[c,+∞)上连续，若(1)⎰+∞a dx y x f ),(关于y 在[c,+∞)上内闭一致收敛，⎰+∞c dy y x f ),(关于x 在[a,+∞)上内闭一致收敛；(2)积分⎰⎰+∞+∞c a dy y x f dx |),(|与⎰⎰+∞+∞a c dx y x f dy |),(|中有一个收敛. 则⎰⎰+∞+∞cady y x f dx ),(=⎰⎰+∞+∞acdx y x f dy ),(.证：不妨设⎰⎰+∞+∞c a dy y x f dx |),(|收敛，则⎰⎰+∞+∞c a dy y x f dx ),(收敛. 当d>c 时，记Jd =|⎰⎰+∞a dc dx y x f dy ),(-⎰⎰+∞+∞c a dy y x f dx ),(| =|⎰⎰+∞a dc dx y x f dy ),(-⎰⎰+∞dc a dy y x f dx ),(-⎰⎰+∞+∞d a dy y x f dx ),(|. 由条件(1)及定理19.12可推得：J d =|⎰⎰+∞+∞d a dy y x f dx ),(|≤|⎰⎰+∞d Aa dy y x f dx ),(|+⎰⎰+∞+∞d A dy y x f dx |),(|. 由条件(2)，∀ε>0, ∃G>a ，使当A>G 时，有⎰⎰+∞+∞d A dy y x f dx |),(|<2ε. 选定A 后，由⎰+∞c dy y x f ),(的一致收敛性知，∃M>a ，使得当d>M 时， 有|⎰+∞d dy y x f ),(|<)(2a A -ε. ∴J d <2ε+2ε=ε，即有+∞→d lim J d =0，∴⎰⎰+∞+∞c a dy y x f dx ),(=⎰⎰+∞+∞a c dx y x f dy ),(.例5：计算：J=⎰+∞--0sin sin dx xaxbx e px (p>0,b>a). 解：∵xax bx sin sin -=⎰ba xydy cos ，∴J=⎰⎰+∞-0cos b a pxxydy dx e =⎰⎰+∞-0cos ba px xydy e dx .由|e -px cosxy|≤e -px 及反常积分⎰+∞-0dx e px 收敛， 根据魏尔斯特拉斯M 判别法知，含参量反常积分⎰+∞-0cos xydx e px 在[a,b]上一致收敛.又e -px cosxy[0,+∞)×[a,b]上连续，根据定理19.12交换积分顺序得： J=⎰⎰+∞-0cos xydx e dy px ba =⎰+bady y p p22=arctan p b - arctan p a .例6：计算：⎰+∞sin dx xax. 解：利用例5的结果，令b=0，则有F(p)=⎰+∞-0sin dx xaxe px=arctan p a (p>0).由阿贝尔判别法可知含参量反常积分F(p)在p ≥0上一致收敛， 又由定理19.10知，F(p)在p ≥0上连续，且F(0)=⎰+∞sin dx xax . 又F(0)=)(lim 0p F p +→=+→0lim p arctan p a =2πagn a. ∴⎰+∞0sin dx xax =2πagn a.例7：计算：φ(r)=⎰+∞-0.cos 2rxdx e x .解：∵|2x e -cosrx|≤2x e -对任一实数r 成立且反常积分⎰+∞-02dx e x 收敛， ∴含参量反常积分φ(r)=⎰+∞-0cos 2rxdx e x 在(-∞,+∞)上收敛. 考察含参量反常积分⎰+∞-'0)cos (2dx rx er x =⎰+∞--0sin 2rxdx xe x ，∵|-x 2x e -sinrx|≤x 2x e -对一切x ≥0, r ∈(-∞,+∞)成立且⎰+∞-02dx e x 收敛， 根据魏尔斯特拉斯M 判别法知， 含参量反常积分⎰+∞-'0)cos (2dx rx er x 在(-∞,+∞)上一致收敛.由定理19.11得φ’(r)=⎰+∞--0sin 2rxdx xex =⎰-+∞→-Ax A rxdxxesin lim2=⎪⎭⎫⎝⎛-⎰--+∞→A x Ax A rxdx e r rx e 00cos 2sin 21lim 22=⎰--A x rxdx e r 0cos 22=2r -φ(r). ∴φ(r)=c 42r e -. 又φ(0)=⎰+∞-02dx e x =2π=c. ∴φ(r)=422πr e-.概念2：设f(x,y)在区域R=[a,b]×[c,d)上有定义，若对x 的某些值，y=d 为函数f(x,y)的瑕点，则称⎰dc dy y x f ),(为含参量x 的无界函数反常积分，或简称为含参量反常积分. 若对每一个x ∈[a,b]，⎰dc dy y x f ),(都收敛，则其积分值是x 在[a,b]上取值的函数.定义2：对任给正数ε, 总存在某正数δ<d-c, 使得当0<η<δ时, 对一切x ∈[a,b], 都有⎰-dd dy y x f η),(<ε, 则称含参量反常积分⎰dc dy y x f ),(在[a,b]上一致收敛.习题1、证明下列各题 (1)⎰∞++-122222)(dx y x x y 在(-∞,+∞)上一致收敛；(2)⎰+∞-02dy eyx 在[a,b] (a>0)上一致收敛；(3)⎰+∞-0sin dt tate t在0<a<+∞上一致收敛； (4)⎰+∞-0dy xe xy (i)在[a,b] (a>0)上一致收敛，(ii)在[0,b]上不一致收敛； (5)⎰10)ln(dy xy 在[b1,b](b>1)上一致收敛；(6)⎰1px dx(i)在(-∞,b] (b<1)上一致收敛，(ii)在(-∞,1]内不一致收敛； (7)⎰---1011)1(dx x x q p 在0<p 0≤p<+∞, 0<q 0≤q<+∞上一致收敛.证：(1)∵22222)(y x x y +-≤22222)(y x x y ++≤21x ，且⎰+∞12x dx 收敛，∴⎰∞++-122222)(dx y x x y 在(-∞,+∞)上一致收敛. (2)∵当0<a ≤x ≤b 时，yx e2-=yx e21≤ya e21，且⎰+∞12ya edy 收敛，∴⎰+∞-02dy e y x 在[a,b] (a>0)上一致收敛.(3)对任何N>0，∵⎰-Nt atdt e 0sin ≤⎰-Nt dt e 0≤1，即⎰-Nt atdt e 0sin 一致有界. 又t1关于在(0,+∞)单调，且t1→0 (t →∞)，由狄利克雷判别法知，⎰+∞-0sin dt tate t在0<a<+∞上一致收敛. (4)(i)∵当0<a ≤x ≤b 时，|xe -xy|≤be -ay，且⎰+∞0ay -be 收敛， ∴⎰+∞-0dy xe xy 在[a,b] (a>0)上一致收敛. (ii)方法一：取ε0=21e<0, 则对任何M>0, 令A 1=M, A 2=2M, x 0=M 1, 有 ⎰-2100A A y x dy e x =MM yx e 20-=21e e ->21e=ε0，∴⎰+∞-0dy xe xy 在 [0,b]上不一致收敛. 方法二：∵⎰+∞-0dy xe xy =⎩⎨⎧≤<=bx x 0,10,0，且xe -xy 在[0,b]×(0,+∞)内连续，由连续性定理知⎰+∞-0dy xe xy 在 [0,b]上不一致收敛.(5)∵在[b1,b]×(0,1] (b>1)内, |ln(xy)|=|lnx+lny|≤|lnx|+|lny|≤lnb-lny, 且⎰-10)ln (ln dy y b 收敛, ∴⎰10)ln(dy xy 在[b1,b](b>1)上一致收敛.(6)(i)∵当p ≤b<1, x ∈(0,1]时，p x 1≤b x 1，又⎰10b xdx 收敛，∴⎰1px dx在(-∞,b] (b<1)上一致收敛.(ii)当p=1时，⎰1xdx发散，∴对任何A<1，在[A,1]内不一致收敛，即 ⎰1p xdx在(-∞,1]内不一致收敛. (7)记⎰---1011)1(dx x xq p =⎰---21011)1(dx x xq p +⎰---12111)1(dx x x q p =I 1+I 2.对I 1在0≤x ≤21, 0<p 0≤p<+∞, 0<q 0≤q<+∞上， ∵|x p-1(1-x)q-1|≤1100)1(---q p x x且⎰---210110)1(dx x x q p 收敛，∴I 1在0<p 0≤p<+∞, 0<q 0≤q<+∞上一致收敛； 同理可证I 2在0<p 0≤p<+∞, 0<q 0≤q<+∞上一致收敛. ∴⎰---1011)1(dx x x q p 在0<p 0≤p<+∞, 0<q 0≤q<+∞上一致收敛.2、从等式⎰-ba xydy e =x e e by ay ---出发，计算积分⎰∞+---0dx xe e byay (b>a>0). 解：∵⎰-ba xy dy e=x e e by ay ---，∴⎰∞+---0dx xe e byay=⎰⎰-+∞b a xy dy e dx 0. 又 e -xy 在[0,+∞)×[a,b]内连续，由M 判别法知, ⎰+∞-0dx e xy 在[a,b]内一致收敛.∴⎰∞+---0dx x e e by ay =⎰⎰+∞-0dx e dy xyb a =⎰b a dy y 1=ln ab .3、证明函数F(y)=⎰+∞--0)(2dx e y x 在(-∞,+∞)上连续. (提示：利用⎰+∞-02dx e x =2π) 证：令x-y=u, 则F(y)=⎰+∞-yu du e2=⎰-02yu du e+⎰+∞-02du eu =⎰-02yu du e +2π. ∵关于y 的积分下限函数⎰-02y u du e 在(-∞,+∞)上连续， ∴F(y)=⎰+∞--0)(2dx e y x 在(-∞,+∞)上连续.4、求下列积分： (1)⎰∞+---022222dx x e e xb xa(提示：利用⎰+∞-02dx ex =2π)； (2)⎰+∞-0sin dt t xt e t；(3)⎰+∞--02cos 1dx x xye x . 解：(1)∵22222x e e xbxa---=⎰-ba x y dy ye 222，∴⎰∞+---022222dx x e e xb xa=⎰⎰+∞-0222bax y dy ye dx ，由M 判别法知⎰+∞-0222dx ye x y 在[a,b]内一致收敛，∴⎰∞+---022222dx x e e xb xa=⎰⎰+∞-0222dx yedy x y ba=⎰⎰+∞-0)(222xy d edy x y ba =⎰bady π=(b-a)π.(2)利用例5结果：⎰+∞--0sin sin dt tatbt e pt=arctan p b - arctan p a . (p>0,b>a).当p=1, a=0, b=x 时，有⎰+∞-0sin dt txte t=arctanx. (3)∵2cos 1x xy e x --=⎰-y x dt x xt e 0sin ，∴⎰⎰-+∞yx dt x xt e dx 00sin . 由x xt e x x sin lim 0-→=t 知, x=0不是xxte x sin -的瑕点，又 含参量非正常积分⎰+∞-0sin dx xxte x 在t ∈[0,M]上一致收敛, ∴由(2)有2cos 1x xy e x--=⎰⎰+∞-00sin dx xxt e dt x y =⎰y tdt 0arctan =yarctany-21ln(1+y 2).5、回答下列问题： (1)对极限⎰+∞-→+0022limdy xyexy x 能否运用极限与积分运算顺序的交换求解？(2)对⎰⎰+∞--132)22(dx e xy y dy xy 能否运用积分顺序交换来求解？(3)对F(x)=⎰+∞-032dy e x y x 能否运用积分与求导运算顺序交换来求解？ 解：(1)∵F(x)=⎰+∞-022dy xye xy =⎩⎨⎧=>0,00,1x x , ∴F(x)lim 0+→x =1，但⎰+∞-→+022lim dy xye xy x =0，即交换运算后不相等，∴对极限⎰+∞-→+0022limdy xyexy x 不能运用极限与积分运算顺序的交换求解.注：⎰+∞-022dy xye xy =⎰+∞-0du xe xu 在[0,b]上不一致收敛，并不符合连续性定理的条件.(2)∵⎰⎰+∞--10032)22(dx exy y dy xy =⎰∞+-122dy xyexy =⎰10dy =0；⎰⎰-+∞-1032)22(dy exy y dx xy =⎰+∞-0122dx ey xy =⎰-1dx e x =1；∴对⎰⎰+∞--10032)22(dx e xy y dy xy 不能运用积分顺序交换来求解.注：⎰+∞--032)22(dx e xy y xy =0且⎰+∞--M xy dx e xy y 2)22(3=-2My 2My e -. 对ε0=1，不论M 多大，总有y 0=M1∈[0,1]，使得⎰+∞--M xy dx e xy y 2)22(3=2M e 1->1,∴⎰+∞--032)22(dx e xy y xy 在[0,1]不一致收敛，不符合可积性定理的条件. (3)∵F(x)=⎰+∞-032dy e x y x =x, x ∈(-∞,+∞)，∴F ’(x)≡1. 但y x e x x23-∂∂=(3x 2-2x 4y)y x e 2-, 而当x=0时，⎰+∞--0422)23(dy e y x x y x =0. ∴对F(x)=⎰+∞-032dy e x y x 不能运用积分与求导运算顺序交换来求解. 注：∵⎰+∞--0422)23(dy ey x x yx =⎩⎨⎧=≠0,00,1x x ，∴⎰+∞--0422)23(dy ey x x yx 在[0,1]上不一致收敛,不符合可微性定理的条件.6、应用：⎰+∞-02dx e ax =212π-a (a>0)，证明： (1)⎰+∞-022dt e t at=234π-a ；(2)⎰+∞-022dt e t at n =⎪⎭⎫⎝⎛+--212!)!12(2πn n a n .证：(1)方法一：∵⎰+∞-022dt e t at 在任何[c,d]上(c>0)一致收敛， ∴⎰+∞-02dt e da d at =⎰+∞-02dt e dad at =-⎰+∞-022dte t at . 又⎰+∞-02dt e da d at =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-212πa da d =-234π-a . ∴⎰+∞-02dx e ax =234π-a . 方法二：⎰+∞-022dt et at =-⎰+∞-0221at tdea =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰+∞-∞+-02221dt ete a at at=⎰+∞-0221dt e aat =234π-a .(2)方法一：∵⎰+∞-022dt e t at n 在任何[c,d]上(c>0)一致收敛，∴⎰∞+-02dt eda d at nn=⎰∞+-02dt e da d at nn =(-1)n ⎰+∞-022dt e t at n . 又⎰∞+-02dt e dad atnn =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-212πa dad nn=(-1)n ⎪⎭⎫⎝⎛+--212!)!12(2πn n a n . ∴⎰+∞-022dt e t atn =⎪⎭⎫⎝⎛+--212!)!12(2πn nan . 方法二：记I n =⎰+∞-022dt e t at n , n=0,1,2,…，(1)中已证I 1=⎪⎭⎫⎝⎛+--⨯2112)112(2πa=a 2)112(-⨯I 0. 可设I k =a k 2)12(-⨯I k-1，则 I k+1=⎰+∞-+0)1(22dt e t at k =-⎰+∞-+012221at k de t a =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰+∞+-∞+-+0120122221k at at k dt e e t a=⎰+∞-+022212dt e t a k at k =ak 21)1(2-+I k=2)2()12](1)1(2[a k k --+I k-1=…= 1)2(!]!1)1(2[+-+k a k I 0=211)2(!]!1)1(2[2π-+-+a a k k .当n=k+1时，有I n =⎰+∞-022dt e t at n =21)2(!)!12(2π--a a k n =⎪⎭⎫⎝⎛+--212!)!12(2πn na n . 7、应用⎰+∞+022a x dx =a2π，求()⎰+∞++0122n a x dx.解：记A=a 2, ∵()⎰+∞++012n Axdx在任何[c,d]上(c>0)一致收敛，∴⎰∞++02A x dx dA d nn =⎰∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛+021dx A x dA d n n=(-1)nn!()⎰+∞++012n A x dx . 又⎰∞++02A x dx dAd nn =⎪⎭⎫ ⎝⎛A dA d n n 2π=(-1)n 212!)!12(2π---n n A n . ∴()⎰+∞++012n Axdx=212!!)!12(2π---n n A n n =12!)!2(!)!12(2π---n a n n .8、设f(x,y)为[a,b]×[c,+∞)上连续非负函数，I(x)=dy y x f ⎰+∞0),(在[a,b]上连续，证明：I(x)在[a,b]上一致收敛.证：任取一个趋于的∞递增数列{A n } (其中A 1=c)，考察级数∑⎰∞=+11),(n A A n ndy y x f =∑∞=1)(n n x u .∵f(x,y)在[a,b]×[c,+∞)上非负连续, ∴u n (x)在[a,b]上非负连续. 由狄尼定理知，∑∞=1)(n n x u 在[a,b]上一致收敛，从而∑⎰∞=+11),(n A A n ndy y x f 在[a,b]上一致收敛. 又I(x)=dy y x f ⎰+∞),(在[a,b]上连续.∴I(x)=dy y x f ⎰+∞0),(=∑⎰∞=∞→+11),(lim n A An n ndy y x f [a,b]上一致收敛.9、设在[a,+∞)×[c,d]内成立不等式|f(x,y)|≤F(x,y). 若dx y x F ⎰+∞0),(在y ∈[c,d] 上一致收敛，证明：dx y x f ⎰+∞),(在y ∈[c,d] 上一致收敛且绝对收敛.证：∵dx y x F ⎰+∞0),(在y ∈[c,d] 上一致收敛，∴∀ε>0, ∃M>0，对任何A2>A1>M和一切y∈[c,d]，都有⎰21) , (A AdxyxF<ε.∵|f(x,y)|≤F(x,y)，∴⎰21) , (A Adxyxf≤⎰21),(AAdxyxf≤⎰21),(AAdxyxF<ε，∴dxyxf⎰+∞0),(在y∈[c,d] 上一致收敛且绝对收敛.。
数学分析ch15-2含参变量的反常积分
A
g(A, y) A f (x, y)dx g(A, y) f (x, y)dx 2L,
存在。如果对于任意 0，存在与 y 无关的 0 ，使得当 0 时， 对所有 y [c, d] 成立
b f (x, y)dx I ( ， b
则称
b
a
f
(x,
y)dx
关于
y
在[c, d ] 上一致收敛（于
I ( y)
）。在参变量明确时，
也常简称
dx
在[0,)
上一
致收敛。
定理 15.2.3 设函数 f (x, y) 和 g(x, y) 满足以下两组条件之一，则含
参变量的反常积分
a f (x, y)g(x, y)dx
关于 y 在[c, d ] 上一致收敛。
1．（Abel 判别法）
（1）
a
f
(x,
y)dx
关于
y
在[c,
d
]
上一致收敛；
（2） g(x, y) 关于 x 单调，即对每个固定的 y [c, d] ， g 关于 x 是单
y)dx
在[c,
d ] 上一致收敛。
证
因为
a
F ( x)dx
收敛，由反常积分的
Cauchy
收敛原理，对于任
意给定的 0，存在正数 A0 ，使得对于任意的 A, A A0 ，成立
A F(x)dx 。 A
因此当 A, A A0 时，对于任意 y [c, d] ，不等式
A
A
A f (x, y)dx A F(x)dx
y 无关的正数 A0 ，使得对于任意的 A, A A0 ，成立
A f (x, y)dx ， y [c, d] 。 A
含参变量的反常积分(1)
类似可定义含参变量积分���+��� ∞ ������ ������, ������ ������������ , −+∞∞ ������ ������, ������ ������������ 的一 致收敛性.
定理15.2.2（Weierstrass判别法） 如果存在函数 ������(������) 使得
(������) ������ ������, ������ ≤ ������ ������ ，������ ≤ ������ ≤ +∞， ������ ≤ ������ ≤ ������，
(������) 反常积分���+��� ∞ ������(������)������������ 收敛， 则含参变量积分���+��� ∞ ������ ������, ������ ������������ 在 [������, ������] 上一致收敛.
������
收敛，则称含参变量反常积分���+��� ∞ ������ ������, ������ ������������ 在 ������ = ������������ 处 收敛，并称 ������������ 是它的收敛点。记 ������ 是含参变量反常积分 ���+��� ∞ ������ ������, ������ ������������ 的所有收敛点构成的集合，则 ������ 是函数
(������) 对每个固定的 ������ ∈ [������, ������], ������(������, ������) 关于 ������ 是单调函数; (������) ������(������, ������) 一致有界: ∃ ������，使得对任意 ������ ∈ ������, +∞ , ������ ∈ [������, ������]， 有 ������ ������, ������ ≤ ������.
反常积分与含参变量的积分
116第十二章 反常积分与含参变量的积分一、 反常积分：内容提要：1、 反常积分收敛的定义：● 无穷积分： ():lim ()AaaA f x dx f x dx +∞→+∞=⎰⎰● 瑕积分： 0():lim ()b b a af x dx f x dx δδ+-→=⎰⎰b 为瑕点若极限存在，则称反常积分收敛，否则称其发散. ● 绝对收敛与条件收敛： 若|()|a f x dx +∞⎰收敛，则称()af x dx +∞⎰绝对收敛.若()af x dx +∞⎰收敛，但不绝对收敛则称其为条件收敛.2、 反常积分的敛散性判别：● 比较判别法：若0()()[,)f x c x x a ϕ≤≤∀∈+∞()a x dx ϕ+∞⎰收敛⇒()a f x dx +∞⎰收敛()af x dx +∞⎰发散⇒()ax dx ϕ+∞⎰发散若0()()[,]f x c x x a b ϕ≤≤∀∈()bax dx ϕ⎰收敛⇒()ba f x dx ⎰收敛()baf x dx ⎰发散⇒()bax dx ϕ⎰发散若()()()ax f x g x f x dx +∞→+∞⎰收敛()ag x dx +∞⇔⎰收敛● Dirichlet 判别发： ·若()f x 满足()().[,),0Aaaf x f x dx M A a dx x λλ+∞≤∀∈+∞⇒>⎰⎰收敛. ·若()f x 满足().[,)()(),0xbaaf x dx M x a b x b f x dx λλ≤∀∈⇒->⎰⎰收敛.● ·()f x 满足：().[,)Aaf x dx M A a x ≤∀∈+∞→+∞⎰时()g x 单调趋于0 ()()af xg x dx +∞⇒⎰收敛.117·()f x 满足：().[,)xaf x dx M x a b x b -≤∀∈→⎰时()g x 单调趋于0()()baf xg x dx ⇒⎰收敛.3、学习提示：注意在方法、思路、结果方面比较无穷级数、无穷积分、瑕积分的敛散性判别法.4、 重要结果： 11:1p ap dx x p ∞>⎧⎨<⎩⎰收敛发散b a 11:(x-a)1dx λλλ≥⎧⎨<⎩⎰发散收敛典型例题：例1：讨论下列反常积分的敛散性： 1）1+∞⎰2）2π⎰ 3）21x m ()dx x m x 1∞-++⎰4）10⎰ 解：1）521()f x x=512p =>. 故1∞⎰收敛 2）此积分瑕点为0.0x +→时121x, 故2π⎰收敛. 3) 2222(1)()1()(1)x m m x x m f x x m x x m x -+-=-=+++-. 1m = 时 21()f x x , 所以积分收敛. 1m ≠ 时 1()f x x, 所以积分发散.4) 此积分瑕点为0. 0x +→ 时141()o x = ∴原积分收敛. 例 2. 讨论积分2sin x dx x∞⎰的敛散性:若收敛,它是条件收敛还是绝对收敛？118解:作变量代换 2x t =则x =20sin sin 2x t dx dt x t∞∞=⎰⎰此积分有两个瑕点：0,∞.0x →时sin 1tt10sin tdt t∴⎰绝对收敛. 又:1sin 2[1,)A tdt A ≤∀∈+∞⎰ 1t单调1lim 0t t →∞=由Dirichlet 判别法,10sin tdt t⎰收敛.2sin sin cos 212t t t t t t+≥= 再由Drichilet 判别法1cos 22tdt t∞⎰收敛.但112dt t ∞⎰发散，20sin t dt t ∞∴⎰发散. 从而原级数条件收敛.例3 讨论如下反常积分的收敛性:0ln(1)p x dx x ∞+⎰ 解:此积分有两个瑕点:0,+∞0x →时1ln(1)1p p x x x -+112p p ∴-<<即时 10ln(1)p x dx x +⎰收敛,2p ≥发散. 1p ≤ 时 1ln(1)ln(1)lim .p p px x x x dx x x ∞→∞++=∞∴⎰发散. 1p > 时121ln(1)1ln(1)p p px x o dx x x x +∞⎛⎫++=∴ ⎪⎝⎭⎰ 收敛. 综上所述:仅当 12p << 时原级数收敛.练习题:研究下列积分的敛散性1) 10ln dx x ⎰ 2) 2201x dx x x +∞++⎰ 3) 10ln p x xdx ⎰ 4) 0+∞⎰ 5) 2sin cos p q dx x xπ⎰ 6) 0p q dx x x ∞+⎰ 7) 1ln p q dxx x ∞⎰ 8) 0()()m n p x dx P x +∞⎰. ()()m n P x P x 分别为m 及 n 次互质的多项式.1199) 0sin 1p q x x dx x +∞+⎰10) 10n⎰二、 含参变量的积分:内容提要:1、 含参变量的有限积分：● 定义： ():(,)ba u f x u dx ϕ=⎰(,)f x u 在[,][,]R a b αβ=⨯上定义 .0[,]u αβ∀∈，0(,)f x u 在[,]a b 上可积．● 性质：1) 连续性: (,)f x u 在R 上连续()u ϕ⇒在[,]αβ上连续 . 2) 可微性: (,)f x u 与fu∂∂在R 上连续⇒()u ϕ在[,]αβ上可导且: ()(,)(,)bb a a d d u f x u dx f x u dx du du uϕ∂==∂⎰⎰ 3) 可积性: (,)f x u 在R 连续⇒()u ϕ在[,]αβ上可积且:()(,)(,)bb aau du du f x u dx dx f x u du βββαααϕ==⎰⎰⎰⎰⎰2 . 含参变量的无穷积分● 收敛与一致收敛 称0():(,)u f x u dx ϕ+∞=⎰收敛若(,)f x u 在[,)[,]D a αβ=+∞⨯上定义,0[,]u αβ∀∈0(,)af x u dx +∞⎰收敛.称():(,)au f x u dx ϕ+∞=⎰在[,]αβ上一致收敛.如果:000,0,[,]A A A u εαβ∀>∃>∀>∀∈有:(,).Af x u dx ε+∞<⎰● 一致收敛的无穷积分的性质:1) 连续性: (,)f x u 在[,)[,]D a αβ=+∞⨯上连续 ()(,)au f x u dx ϕ+∞=⎰在[,]αβ上一致收敛，则()u ϕ在[,]αβ上连续 .即：00lim (,)lim (,)aau u u u f x u dx f x u dx +∞+∞→→=⎰⎰.2）可微性：(,)f x u 与(,)u f x u '在D 上连续且(,)af x u dx +∞⎰在[,]αβ120收敛, (,)u af x u dx +∞'⎰在[,]αβ一致连续，则()(,)au f x u dx ϕ+∞=⎰在[,]αβ可导,且()(,)u a d u f x u dx duϕ+∞'=⎰. 3） 可积性在：(,)f x u 在D 上连续 0()(,)u f x u dx ϕ+∞=⎰在[,]αβ一致收敛 .则()u ϕ在[,]αβ可积且0()(,)u du dx f x u du ββααϕ+∞=⎰⎰⎰.● 一致收敛的判别法：1) Cauchy 准则： (,)af x u dx +∞⎰在区间I 一致收敛⇔01200,A A A A u ε∀>∃∀>∀有21(,)A A f x u dx ε<⎰2）Weierstrass 判别法： (,)(,)().x y f x y g x ∀<且()ag x dx +∞⎰收敛(,)af x u dx +∞⇒⎰一致收敛 .3）Dirichlet 判别法: ,(,)AaA a u If x u dx M ∀>∀∈≤⎰.,(,)u I g x u ∀∈关于u 单调，且0(,)g x u x u I →∞∈且则(,)(,)af x ug x u dx +∞⎰在I 上一致收敛 .典型例题： 例1、研究122()()yf x F y dx x y =+⎰的连续性. 其中()f x 在[0,1] 上是正的连续函数： 解：0y ∀∈.00y ≠时，取0y δ<，则000[,]y y δδ∉-+.显然函数22()yf x x y+在00[0,1][,]y y δδ⨯-+上连续 .根据含参变量积分的连续性，()F y 在00[,]y y δδ-+上连续 .00y =时 0()0F y =.因()f x 在[0,1]是正的连续函数 .[0,1]:min ()0x m f x ∈=>(0,1)y ∈时 12201()4ym F y dx marctg m x y y π≥=>+⎰121(1,0)y ∈-时 1221()4ym F y dx marctg m x y y π≤=<-+⎰lim ()0y F y ±→∴≠ ()F y ∴在(,0)(0,)-∞∞上连续 .例2、求()F y '1） sin ()b y a yxy F y dx x++=⎰2） 22()y x yy F y e dx -=⎰解：1） sin ()sin ()()cos b y a y y b y y a y F y xydx b y a y++++'=-+++⎰ 1111sin ()sin ()y b y a a y y b y y a y ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭2） 222222()()y x yxy x yyx y x yF y y ey ee dx y---==∂'''=--∂⎰253222y y y x y yyeex e dx ---=--⎰例3、设2sin()()sin xy xy F x dy y yπ=-⎰ 求 10()F x dx ⎰解：因函数sin()sin y xy y y-在[0,1][,2]ππ⨯上连续，由含参变量积分的积分性质：11200sin()()sin y xy F x dx dx dy y yππ=-⎰⎰⎰21sin()sin y xy dy dx y yππ=-⎰⎰21cos sin ydy y yππ-=-⎰2l n sin ln 2y yππ=-=例4、应用对参数的微分法计算积分：222220ln(sin cos )a x b x dx π+⎰解： 视b 为常数 . a 为参变量 .若00a b >>222220()ln(sin cos )I a a x b x dx π=+⎰1222222202sin ()sin cos a xI a dx a x b xπ'=+⎰若a b = 2202()sin 2I b xdx b b ππ'==⎰若a b ≠作变量代换 t tgx =2222202()(1)()b a t dtI a a t t +∞'=++⎰ 2222222a b a at arctg t arctg a a b a b b b +∞⎛⎫=- ⎪--⎝⎭ a bπ=+()(0,)I a a a bπ'∴=∀∈+∞+积分得：()ln()(0,)I a a b c a π=++∈+∞ 令a b =，()ln(2)I b b c π=+而 22120()ln ln ln I b b dx b c πππ==∴=⎰ ()ln2a bI a π+∴= 若0a <或0b < 同理可得：||||()ln 2a b I a π+=例5、证明下列积分在指定区域一致收敛： 1） 00sin 0x e xdx ααα+∞-<≤<∞⎰2） 1cos xp xe dx xα+∞-⎰ 00p α≤<+∞> 解： 1） 0sin x x e x e αα--≤ 且 00x e dx α+∞-⎰收敛 故积分0sin x e xdx α+∞-⎰ 收敛 .2）由于1cos 2Axdx ≤⎰0α≥时 xp e xα-在1x ≥关于x 递减且10x p p e x x α-<<，故x →+∞ 时 x p e x α-一致趋于0 .由Dirichlet 判别法：1cos x p xe dx xα+∞-⎰在1230α≤<+∞一致收敛 . 练习题：1、求下列极限：1） 1220lim 1y yy dxx y+→++⎰2）10lim y -→⎰ 2、 求()F y ' 1） 0ln(1)()y xy F y dx x+=⎰2） 12()(,)(,)()yF y f x y x y dx f u v c =+-∈⎰3、 设()f x 是以2π为周期的连续函数，令1()()2x hx h F x f t dt h+-=⎰. 试求()F x 的Fourier 系数 . 4、 应用对参数的微分法求积分：20ln(12cos )a x a dx π-+⎰5、设()f x 连续、10()()()xn F x f t x t dt -=-⎰，求()()n F x .6、设2cos 0()cos(sin )xx F x e x d θθθ=⎰，求证：()2F x π≡.7、求下列积分的收敛域：1）201ax e dx x -+∞+⎰2） 20ln p dxx⎰ 8、研究下列积分在指定区间内的一致收敛性：1） 1x x e dx a b αα∞-≤≤⎰2） 0sin 0xx e dx xαα+∞-≤<∞⎰ 3）200x dx αα-≤<∞⎰4） 22(1)sin x e dx ααα+∞-+-∞<<+∞⎰9、 求函数20sin(1)()xF dx xαα+∞-=⎰的不连续点. 10、 设()f x 连续且()A f x A dx x +∞∀>⎰收敛 .试证：0()()(0)ln 00f ax f bx bdx f a b x a+∞-=>>⎰ 11、 利用第10题结果计算：0cos cos00 ax bxdx a bx+∞->>⎰12、利用对参量的微分法计算：2200 ax bxe edx a bx--+∞->>⎰124。
含参变量的反常积分
条件是: 对任一趋于 的递增数列{ An } (其中A1
c), 函数项级数
n1
An1 An
f ( x , y)dy
un ( x)
n1
(7)
在 J 上一致收敛,
其中 un( x)
An1 An
f ( x, y)dy.
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证 必要性 由(1)在 J 上一致收敛, 故 0, M c,
或称含参量反常积分.
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定义1 若含参量反常积分(1)与函数 I(x)对 0 ,
N c, 使得当 M N 时, 对一切 x J, 都有
M
c f ( x, y)dy I( x) ,
即
M f ( x, y)dy ,
则称含参量反常积分(1)在 J上一致收敛于I(x), 或简 单地说含参量积分(1)在 J 上一致收敛.
因此, 含参量积分在 (0, ) 上非一致收敛.
而对于任何正数 , 有
( A) sup xexydy e A 0 ( A ), x[ ,) A
因此, 该含参量积分在 [ , ) 上一致收敛.
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二．含参量反常积分一致收敛性的判别
定理19.7 (一致收敛的柯西准则) 含参量反常积分(1)
在[a, b]上一致收敛的充要条件是: 0,N c,
使得当 A1, A2 N 时, 对一切的 x [a, b], 都有
A2 f ( x, y)dy . A1
(3)
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证 必要性
若I( x) f ( x, y)dy 在 J 上一致收敛, 则 c 0, N c, A N 及 x J , 有
使得当 A A M时，对一切 x J, 总有
数学分析19.2含参量积分之含参量反常积分(含习题及参考答案)
第十九章 含参量积分 2含参量反常积分一、一致收敛性及其判别法概念1：设函数f(x,y)定义在无界区域R={(x,y)|x ∈I, c ≤y<+∞}上，I 为一区间，若对每一个固定的x ∈I, 反常积分⎰+∞c dy y x f ),(都收敛，则它的值是x 在I 上取值的函数, 记φ(x)=⎰+∞c dy y x f ),(, x ∈I, 称⎰+∞c dy y x f ),(为定义在I 上的含参量x 的无穷限反常积分，简称含参量反常积分.定义1： 若含参量反常积分⎰+∞c dy y x f ),(与函数φ(x)对任给ε>0, 总存在某实数N>c, 使当M>N 时, 对一切x ∈I, 都有)(),(x dy y x f Mc Φ-⎰<ε, 即⎰+∞M dy y x f ),(<ε, 则称含参量反常积分在I 上一致收敛于φ(x), 简单地说含参量积分⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛.定理19.7：(一致收敛的柯西准则)含参量反常积分⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛的充要条件是：对任给正数ε, 总存在某一实数M>c, 使得当A 1, A 2>M 时，对一切x ∈I, 都有⎰21),(A A dy y x f <ε.定理19.8：含参量反常积分⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛的充要条件是：+∞→A lim F(A)=0, 其中F(A)=⎰+∞∈AIx dy y x f ),(sup .例1：证明含参量反常积分⎰+∞0sin dy yxy在[δ,+∞)上一致收敛(δ>0)，但在(0,+∞)上不一致收敛.解：令u=xy, 则⎰+∞A dy y xysin =⎰+∞Ax du uu sin (A>0). ∵⎰+∞Axdu uusin 收敛，∴∀ε>0, ∃M>0, 使当A ’>M 时，就有⎰∞+'A du u u sin <ε. 取A δ>M, 则当A>δM时，对一切x ≥δ>0，有xA>M, ∴⎰∞+Axdu uusin <ε, 即⎰∞+Ady y xysin <ε, ∴+∞→A lim F(A)=⎰∞++∞∈+∞→A x A dy y xy sin sup lim ),(δ=0, 由定理19.8知 ⎰+∞sin dy yxy在[δ,+∞)上一致收敛. 又 F(A)=⎰∞++∞∈Ax dy yxysin sup ),0(=⎰∞++∞∈Ax x du u u sin sup ),0(≥⎰∞+0sin du u u =2π. ∴⎰+∞0sin dy yxy在(0,+∞)上不一致收敛.注：若对任意[a,b]⊂I, 含参量反常积分在[a,b]上一致收敛，则称在I 上内闭一致收敛.定理19.9：含参量反常积分⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛的充要条件是：对任一趋于+∞的递增数列{A n }(其中A 1=c), 函数项级数∑⎰∞=+11),(n A A n ndy y x f =∑∞=1)(n n x u 在I 上一致收敛.证：[必要性]若⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛, 则∀ε>0, ∃M>c, 使 当A ”>A ’>M 时，对一切x ∈I, 总有⎰'''A A dy y x f ),(<ε.又A n →+∞(n →∞), ∴对正数M, ∃正整数N, 只要当m>n>N 时，就有 A m >A n >M. ∴对一切x ∈I, 就有|u n (x)+…+u m (x)|=⎰⎰+++⋯+11),(),(n nm mA A A Ady y x f dy y x f =⎰+1),(m nA Ady y x f <ε.∴∑∞=1)(n n x u 在I 上一致收敛.[充分性]若∑∞=1)(n n x u 在I 上一致收敛, 而⎰+∞c dy y x f ),(在I 上不一致收敛,则存在某正数ε0, 使对任何实数M>c, 存在相应的A ”>A ’>M 和x ’∈I, 使得⎰''''A A dy y x f ),(≥ε0; 现取M 1=max{1,c}, 则存在A 2>A 1>M 1, 及x 1∈I, 使得⎰21),(1A A dy y x f ≥ε0; 一般地, 取M n =max{n,A 2(n-1)} (n ≥2), 则有A 2n >A 2n-1>M n , 及x n ∈I, 使得⎰-nn A An dy y x f 212),(≥ε0.由上述所得数列{A n }为递增数列, 且∞→n lim A n =+∞, 而对级数∑∞=1)(n nx u=∑⎰∞=+11),(n A A n ndy y x f , 存在正数ε0, 对任何正整数N,只要n>N, 就有某个x n ∈I, 使得|u 2n (x n )|=⎰-nn A An dy y x f 212),(≥ε0,与级数∑∞=1)(n n x u 在I 上一致收敛矛盾. ∴⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛.魏尔斯特拉斯M 判别法：设函数g(y), 使得 |f(x,y)|≤g(y), (x,y)∈I ×[c,+∞). 若⎰+∞c dy y g )(收敛, 则⎰+∞cdy y x f ),(在I 上一致收敛.狄利克雷判别法：设(1)对一切实数N>c, 含参量正常积分⎰Nc dy y x f ),(对参量x 在I 上一致有界, 即存在正数M, 对一切N>c 及一切x ∈I, 都有⎰Nc dy y x f ),(≤M. (2)对每一个x ∈I, 函数g(x,y)关于y 是单调递减且当y →+∞时, 对参量x, g(x,y)一致收敛于0.则含参量反常积分⎰+∞c dy y x g y x f ),(),(在I 上一致收敛.阿贝尔判别法：设(1)⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛.(2)对每一个x ∈I, 函数g(x,y)为y 的单调函数, 且对参量x, g(x,y)在I 上一致有界.则含参量反常积分⎰+∞c dy y x g y x f ),(),(在I 上一致收敛.例2：证明含参量反常积分⎰+∞+021cos dx xxy在(-∞,+∞)上一致收敛. 证：∵对任何实数y, 有21cos x xy +≤211x +, 又反常积分⎰+∞+021xdx收敛. 由魏尔斯特拉斯M 判别法知, 含参量反常积分⎰+∞+021cos dx x xy在(-∞,+∞)上一致收敛.例3：证明含参量反常积分⎰+∞-0sin dx xxe xy 在[0,+∞)上一致收敛. 证：∵反常积分⎰+∞sin dx xx收敛, ∴对于参量y, 在[0,+∞)上一致收敛. 又函数g(x,y)=e -xy 对每个y ∈[0,+∞)单调, 且对任何0≤y<+∞, x ≥0, 都有|g(x,y)|=|e -xy |≤1. 由阿贝尔判别法知, 含参量反常积分⎰+∞-0sin dx xxe xy 在[0,+∞)上一致收敛.例4：证明含参量积分⎰+∞+121sin dy y xyy 在(0,+∞)上内闭一致收敛.证：若[a,b]⊂(0,+∞), 则对任意x ∈[a,b],⎰Naxydy sin =Nax xycos -≤a 2. 又'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+21y y =()22211yy +-≤0, 即21y y +关于y 单调减, 且当y →+∞时, 21yy+→0(对x 一致), 由狄利克雷判别法知, 含参量积分⎰+∞+121sin dy y xyy 在[a,b]上一致收敛. 由[a,b]的任意性知, ⎰+∞+121sin dy yxyy 在(0,+∞)上内闭一致收敛.二、含参量反常积分的性质定理19.10：(连续性)设f(x,y)在I ×[c,+∞)上连续，若含参量反常积分φ(x)=⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛，则φ(x)在I 上连续. 证：由定理19.9，对任一递增且趋于+∞的数列{A n } (A 1=c)， 函数项级数φ(x)=∑⎰∞=+11),(n A An ndy y x f =∑∞=1)(n n x u 在I 上一致收敛.又由f(x,y)在I ×[c,+∞)上连续，∴每个u n (x)都在I 上连续. 由函数项级数的连续性定理知，函数φ(x)在I 上连续.推论：设f(x,y)在I ×[c,+∞)上连续，若φ(x)=⎰+∞c dy y x f ),(在I 上内闭一致收敛，则φ(x)在I 上连续.注：在一致收敛的条件下，极限运算与积分运算可以交换，即：⎰+∞→cx x dy y x f ),(lim0=⎰+∞c dy y x f ),(0=⎰+∞→cx x dy y x f ),(lim 0.定理19.11：(可微性)设f(x,y)与f x (x,y)在区域I ×[c,+∞)上连续，若φ(x)=⎰+∞c dy y x f ),(在I 上收敛，⎰+∞c x dy y x f ),(在I 上一致收敛，则φ(x)在I 上可微，且φ’(x) =⎰+∞c x dy y x f ),(.证：对任一递增且趋于+∞的数列{A n } (A 1=c)，令u n (x)=⎰+1),(n nA A dy y x f .由定理19.3推得u n ’(x)=⎰+1),(n nA A x dy y x f .由⎰+∞c x dy y x f ),(在I 上一致收敛及定理19.9，可得函数项级数∑∞='1)(n n x u =∑⎰∞=+11),(n A A x n ndy y x f 在I 上一致收敛.根据函数项级数的逐项求导定理，即得：φ’(x) =∑∞='1)(n nx u =∑⎰∞=+11),(n A Ax n ndy y x f =⎰+∞cx dy y x f ),(.或写作⎰+∞c dy y x f dxd ),(=⎰+∞c x dy y x f ),(.推论：设f(x,y)与f x (x,y)在区域I ×[c,+∞)上连续，若φ(x)=⎰+∞c dy y x f ),(在I 上收敛，⎰+∞c x dy y x f ),(在I 上内闭一致收敛，则φ(x)在I 上可微，且φ’(x) =⎰+∞c x dy y x f ),(.定理19.12：(可积性)设f(x,y)在[a,b]×[c,+∞)上连续，若φ(x)=⎰+∞c dy y x f ),(在[a,b]上一致收敛，则φ(x)在[a,b]上可积，且⎰⎰+∞cbady y x f dx ),( =⎰⎰+∞bacdx y x f dy ),(.证：由定理19.10知φ(x)在[a,b]上连续，从而在[a,b]上可积. 又函数项级数φ(x)=∑⎰∞=+11),(n A An ndy y x f =∑∞=1)(n n x u 在I 上一致收敛，且各项u n (x)在[a,b]上连续，根据函数项级数逐项求积定理，有⎰Φbadx x )(=∑⎰∞=1)(n ban dx x u =∑⎰⎰∞=+11),(n baA A n ndy y x f dx =∑⎰⎰∞=+1),(1n baA A dx y x f dy n n，即⎰⎰+∞cbady y x f dx ),( =⎰⎰+∞bacdx y x f dy ),(.定理19.13：设f(x,y)在[a,+∞)×[c,+∞)上连续，若(1)⎰+∞a dx y x f ),(关于y 在[c,+∞)上内闭一致收敛，⎰+∞c dy y x f ),(关于x 在[a,+∞)上内闭一致收敛；(2)积分⎰⎰+∞+∞c a dy y x f dx |),(|与⎰⎰+∞+∞a c dx y x f dy |),(|中有一个收敛. 则⎰⎰+∞+∞cady y x f dx ),(=⎰⎰+∞+∞acdx y x f dy ),(.证：不妨设⎰⎰+∞+∞c a dy y x f dx |),(|收敛，则⎰⎰+∞+∞c a dy y x f dx ),(收敛. 当d>c 时，记Jd =|⎰⎰+∞a dc dx y x f dy ),(-⎰⎰+∞+∞c a dy y x f dx ),(| =|⎰⎰+∞a dc dx y x f dy ),(-⎰⎰+∞dc a dy y x f dx ),(-⎰⎰+∞+∞d a dy y x f dx ),(|. 由条件(1)及定理19.12可推得：J d =|⎰⎰+∞+∞d a dy y x f dx ),(|≤|⎰⎰+∞d Aa dy y x f dx ),(|+⎰⎰+∞+∞d A dy y x f dx |),(|. 由条件(2)，∀ε>0, ∃G>a ，使当A>G 时，有⎰⎰+∞+∞d A dy y x f dx |),(|<2ε. 选定A 后，由⎰+∞c dy y x f ),(的一致收敛性知，∃M>a ，使得当d>M 时， 有|⎰+∞d dy y x f ),(|<)(2a A -ε. ∴J d <2ε+2ε=ε，即有+∞→d lim J d =0，∴⎰⎰+∞+∞c a dy y x f dx ),(=⎰⎰+∞+∞a c dx y x f dy ),(.例5：计算：J=⎰+∞--0sin sin dx xaxbx e px (p>0,b>a). 解：∵xax bx sin sin -=⎰ba xydy cos ，∴J=⎰⎰+∞-0cos b a pxxydy dx e =⎰⎰+∞-0cos ba px xydy e dx .由|e -px cosxy|≤e -px 及反常积分⎰+∞-0dx e px 收敛， 根据魏尔斯特拉斯M 判别法知，含参量反常积分⎰+∞-0cos xydx e px 在[a,b]上一致收敛.又e -px cosxy[0,+∞)×[a,b]上连续，根据定理19.12交换积分顺序得： J=⎰⎰+∞-0cos xydx e dy px ba =⎰+bady y p p22=arctan p b - arctan p a .例6：计算：⎰+∞sin dx xax. 解：利用例5的结果，令b=0，则有F(p)=⎰+∞-0sin dx xaxe px=arctan p a (p>0).由阿贝尔判别法可知含参量反常积分F(p)在p ≥0上一致收敛， 又由定理19.10知，F(p)在p ≥0上连续，且F(0)=⎰+∞sin dx xax . 又F(0)=)(lim 0p F p +→=+→0lim p arctan p a =2πagn a. ∴⎰+∞0sin dx xax =2πagn a.例7：计算：φ(r)=⎰+∞-0.cos 2rxdx e x .解：∵|2x e -cosrx|≤2x e -对任一实数r 成立且反常积分⎰+∞-02dx e x 收敛， ∴含参量反常积分φ(r)=⎰+∞-0cos 2rxdx e x 在(-∞,+∞)上收敛. 考察含参量反常积分⎰+∞-'0)cos (2dx rx er x =⎰+∞--0sin 2rxdx xe x ，∵|-x 2x e -sinrx|≤x 2x e -对一切x ≥0, r ∈(-∞,+∞)成立且⎰+∞-02dx e x 收敛， 根据魏尔斯特拉斯M 判别法知， 含参量反常积分⎰+∞-'0)cos (2dx rx er x 在(-∞,+∞)上一致收敛.由定理19.11得φ’(r)=⎰+∞--0sin 2rxdx xex =⎰-+∞→-Ax A rxdxxesin lim2=⎪⎭⎫⎝⎛-⎰--+∞→A x Ax A rxdx e r rx e 00cos 2sin 21lim 22=⎰--A x rxdx e r 0cos 22=2r -φ(r). ∴φ(r)=c 42r e -. 又φ(0)=⎰+∞-02dx e x =2π=c. ∴φ(r)=422πr e-.概念2：设f(x,y)在区域R=[a,b]×[c,d)上有定义，若对x 的某些值，y=d 为函数f(x,y)的瑕点，则称⎰dc dy y x f ),(为含参量x 的无界函数反常积分，或简称为含参量反常积分. 若对每一个x ∈[a,b]，⎰dc dy y x f ),(都收敛，则其积分值是x 在[a,b]上取值的函数.定义2：对任给正数ε, 总存在某正数δ<d-c, 使得当0<η<δ时, 对一切x ∈[a,b], 都有⎰-dd dy y x f η),(<ε, 则称含参量反常积分⎰dc dy y x f ),(在[a,b]上一致收敛.习题1、证明下列各题 (1)⎰∞++-122222)(dx y x x y 在(-∞,+∞)上一致收敛；(2)⎰+∞-02dy eyx 在[a,b] (a>0)上一致收敛；(3)⎰+∞-0sin dt tate t在0<a<+∞上一致收敛； (4)⎰+∞-0dy xe xy (i)在[a,b] (a>0)上一致收敛，(ii)在[0,b]上不一致收敛； (5)⎰10)ln(dy xy 在[b1,b](b>1)上一致收敛；(6)⎰1px dx(i)在(-∞,b] (b<1)上一致收敛，(ii)在(-∞,1]内不一致收敛； (7)⎰---1011)1(dx x x q p 在0<p 0≤p<+∞, 0<q 0≤q<+∞上一致收敛.证：(1)∵22222)(y x x y +-≤22222)(y x x y ++≤21x ，且⎰+∞12x dx 收敛，∴⎰∞++-122222)(dx y x x y 在(-∞,+∞)上一致收敛. (2)∵当0<a ≤x ≤b 时，yx e2-=yx e21≤ya e21，且⎰+∞12ya edy 收敛，∴⎰+∞-02dy e y x 在[a,b] (a>0)上一致收敛.(3)对任何N>0，∵⎰-Nt atdt e 0sin ≤⎰-Nt dt e 0≤1，即⎰-Nt atdt e 0sin 一致有界. 又t1关于在(0,+∞)单调，且t1→0 (t →∞)，由狄利克雷判别法知，⎰+∞-0sin dt tate t在0<a<+∞上一致收敛. (4)(i)∵当0<a ≤x ≤b 时，|xe -xy|≤be -ay，且⎰+∞0ay -be 收敛， ∴⎰+∞-0dy xe xy 在[a,b] (a>0)上一致收敛. (ii)方法一：取ε0=21e<0, 则对任何M>0, 令A 1=M, A 2=2M, x 0=M 1, 有 ⎰-2100A A y x dy e x =MM yx e 20-=21e e ->21e=ε0，∴⎰+∞-0dy xe xy 在 [0,b]上不一致收敛. 方法二：∵⎰+∞-0dy xe xy =⎩⎨⎧≤<=bx x 0,10,0，且xe -xy 在[0,b]×(0,+∞)内连续，由连续性定理知⎰+∞-0dy xe xy 在 [0,b]上不一致收敛.(5)∵在[b1,b]×(0,1] (b>1)内, |ln(xy)|=|lnx+lny|≤|lnx|+|lny|≤lnb-lny, 且⎰-10)ln (ln dy y b 收敛, ∴⎰10)ln(dy xy 在[b1,b](b>1)上一致收敛.(6)(i)∵当p ≤b<1, x ∈(0,1]时，p x 1≤b x 1，又⎰10b xdx 收敛，∴⎰1px dx在(-∞,b] (b<1)上一致收敛.(ii)当p=1时，⎰1xdx发散，∴对任何A<1，在[A,1]内不一致收敛，即 ⎰1p xdx在(-∞,1]内不一致收敛. (7)记⎰---1011)1(dx x xq p =⎰---21011)1(dx x xq p +⎰---12111)1(dx x x q p =I 1+I 2.对I 1在0≤x ≤21, 0<p 0≤p<+∞, 0<q 0≤q<+∞上， ∵|x p-1(1-x)q-1|≤1100)1(---q p x x且⎰---210110)1(dx x x q p 收敛，∴I 1在0<p 0≤p<+∞, 0<q 0≤q<+∞上一致收敛； 同理可证I 2在0<p 0≤p<+∞, 0<q 0≤q<+∞上一致收敛. ∴⎰---1011)1(dx x x q p 在0<p 0≤p<+∞, 0<q 0≤q<+∞上一致收敛.2、从等式⎰-ba xydy e =x e e by ay ---出发，计算积分⎰∞+---0dx xe e byay (b>a>0). 解：∵⎰-ba xy dy e=x e e by ay ---，∴⎰∞+---0dx xe e byay=⎰⎰-+∞b a xy dy e dx 0. 又 e -xy 在[0,+∞)×[a,b]内连续，由M 判别法知, ⎰+∞-0dx e xy 在[a,b]内一致收敛.∴⎰∞+---0dx x e e by ay =⎰⎰+∞-0dx e dy xyb a =⎰b a dy y 1=ln ab .3、证明函数F(y)=⎰+∞--0)(2dx e y x 在(-∞,+∞)上连续. (提示：利用⎰+∞-02dx e x =2π) 证：令x-y=u, 则F(y)=⎰+∞-yu du e2=⎰-02yu du e+⎰+∞-02du eu =⎰-02yu du e +2π. ∵关于y 的积分下限函数⎰-02y u du e 在(-∞,+∞)上连续， ∴F(y)=⎰+∞--0)(2dx e y x 在(-∞,+∞)上连续.4、求下列积分： (1)⎰∞+---022222dx x e e xb xa(提示：利用⎰+∞-02dx ex =2π)； (2)⎰+∞-0sin dt t xt e t；(3)⎰+∞--02cos 1dx x xye x . 解：(1)∵22222x e e xbxa---=⎰-ba x y dy ye 222，∴⎰∞+---022222dx x e e xb xa=⎰⎰+∞-0222bax y dy ye dx ，由M 判别法知⎰+∞-0222dx ye x y 在[a,b]内一致收敛，∴⎰∞+---022222dx x e e xb xa=⎰⎰+∞-0222dx yedy x y ba=⎰⎰+∞-0)(222xy d edy x y ba =⎰bady π=(b-a)π.(2)利用例5结果：⎰+∞--0sin sin dt tatbt e pt=arctan p b - arctan p a . (p>0,b>a).当p=1, a=0, b=x 时，有⎰+∞-0sin dt txte t=arctanx. (3)∵2cos 1x xy e x --=⎰-y x dt x xt e 0sin ，∴⎰⎰-+∞yx dt x xt e dx 00sin . 由x xt e x x sin lim 0-→=t 知, x=0不是xxte x sin -的瑕点，又 含参量非正常积分⎰+∞-0sin dx xxte x 在t ∈[0,M]上一致收敛, ∴由(2)有2cos 1x xy e x--=⎰⎰+∞-00sin dx xxt e dt x y =⎰y tdt 0arctan =yarctany-21ln(1+y 2).5、回答下列问题： (1)对极限⎰+∞-→+0022limdy xyexy x 能否运用极限与积分运算顺序的交换求解？(2)对⎰⎰+∞--132)22(dx e xy y dy xy 能否运用积分顺序交换来求解？(3)对F(x)=⎰+∞-032dy e x y x 能否运用积分与求导运算顺序交换来求解？ 解：(1)∵F(x)=⎰+∞-022dy xye xy =⎩⎨⎧=>0,00,1x x , ∴F(x)lim 0+→x =1，但⎰+∞-→+022lim dy xye xy x =0，即交换运算后不相等，∴对极限⎰+∞-→+0022limdy xyexy x 不能运用极限与积分运算顺序的交换求解.注：⎰+∞-022dy xye xy =⎰+∞-0du xe xu 在[0,b]上不一致收敛，并不符合连续性定理的条件.(2)∵⎰⎰+∞--10032)22(dx exy y dy xy =⎰∞+-122dy xyexy =⎰10dy =0；⎰⎰-+∞-1032)22(dy exy y dx xy =⎰+∞-0122dx ey xy =⎰-1dx e x =1；∴对⎰⎰+∞--10032)22(dx e xy y dy xy 不能运用积分顺序交换来求解.注：⎰+∞--032)22(dx e xy y xy =0且⎰+∞--M xy dx e xy y 2)22(3=-2My 2My e -. 对ε0=1，不论M 多大，总有y 0=M1∈[0,1]，使得⎰+∞--M xy dx e xy y 2)22(3=2M e 1->1,∴⎰+∞--032)22(dx e xy y xy 在[0,1]不一致收敛，不符合可积性定理的条件. (3)∵F(x)=⎰+∞-032dy e x y x =x, x ∈(-∞,+∞)，∴F ’(x)≡1. 但y x e x x23-∂∂=(3x 2-2x 4y)y x e 2-, 而当x=0时，⎰+∞--0422)23(dy e y x x y x =0. ∴对F(x)=⎰+∞-032dy e x y x 不能运用积分与求导运算顺序交换来求解. 注：∵⎰+∞--0422)23(dy ey x x yx =⎩⎨⎧=≠0,00,1x x ，∴⎰+∞--0422)23(dy ey x x yx 在[0,1]上不一致收敛,不符合可微性定理的条件.6、应用：⎰+∞-02dx e ax =212π-a (a>0)，证明： (1)⎰+∞-022dt e t at=234π-a ；(2)⎰+∞-022dt e t at n =⎪⎭⎫⎝⎛+--212!)!12(2πn n a n .证：(1)方法一：∵⎰+∞-022dt e t at 在任何[c,d]上(c>0)一致收敛， ∴⎰+∞-02dt e da d at =⎰+∞-02dt e dad at =-⎰+∞-022dte t at . 又⎰+∞-02dt e da d at =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-212πa da d =-234π-a . ∴⎰+∞-02dx e ax =234π-a . 方法二：⎰+∞-022dt et at =-⎰+∞-0221at tdea =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰+∞-∞+-02221dt ete a at at=⎰+∞-0221dt e aat =234π-a .(2)方法一：∵⎰+∞-022dt e t at n 在任何[c,d]上(c>0)一致收敛，∴⎰∞+-02dt eda d at nn=⎰∞+-02dt e da d at nn =(-1)n ⎰+∞-022dt e t at n . 又⎰∞+-02dt e dad atnn =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-212πa dad nn=(-1)n ⎪⎭⎫⎝⎛+--212!)!12(2πn n a n . ∴⎰+∞-022dt e t atn =⎪⎭⎫⎝⎛+--212!)!12(2πn nan . 方法二：记I n =⎰+∞-022dt e t at n , n=0,1,2,…，(1)中已证I 1=⎪⎭⎫⎝⎛+--⨯2112)112(2πa=a 2)112(-⨯I 0. 可设I k =a k 2)12(-⨯I k-1，则 I k+1=⎰+∞-+0)1(22dt e t at k =-⎰+∞-+012221at k de t a =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰+∞+-∞+-+0120122221k at at k dt e e t a=⎰+∞-+022212dt e t a k at k =ak 21)1(2-+I k=2)2()12](1)1(2[a k k --+I k-1=…= 1)2(!]!1)1(2[+-+k a k I 0=211)2(!]!1)1(2[2π-+-+a a k k .当n=k+1时，有I n =⎰+∞-022dt e t at n =21)2(!)!12(2π--a a k n =⎪⎭⎫⎝⎛+--212!)!12(2πn na n . 7、应用⎰+∞+022a x dx =a2π，求()⎰+∞++0122n a x dx.解：记A=a 2, ∵()⎰+∞++012n Axdx在任何[c,d]上(c>0)一致收敛，∴⎰∞++02A x dx dA d nn =⎰∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛+021dx A x dA d n n=(-1)nn!()⎰+∞++012n A x dx . 又⎰∞++02A x dx dAd nn =⎪⎭⎫ ⎝⎛A dA d n n 2π=(-1)n 212!)!12(2π---n n A n . ∴()⎰+∞++012n Axdx=212!!)!12(2π---n n A n n =12!)!2(!)!12(2π---n a n n .8、设f(x,y)为[a,b]×[c,+∞)上连续非负函数，I(x)=dy y x f ⎰+∞0),(在[a,b]上连续，证明：I(x)在[a,b]上一致收敛.证：任取一个趋于的∞递增数列{A n } (其中A 1=c)，考察级数∑⎰∞=+11),(n A A n ndy y x f =∑∞=1)(n n x u .∵f(x,y)在[a,b]×[c,+∞)上非负连续, ∴u n (x)在[a,b]上非负连续. 由狄尼定理知，∑∞=1)(n n x u 在[a,b]上一致收敛，从而∑⎰∞=+11),(n A A n ndy y x f 在[a,b]上一致收敛. 又I(x)=dy y x f ⎰+∞),(在[a,b]上连续.∴I(x)=dy y x f ⎰+∞0),(=∑⎰∞=∞→+11),(lim n A An n ndy y x f [a,b]上一致收敛.9、设在[a,+∞)×[c,d]内成立不等式|f(x,y)|≤F(x,y). 若dx y x F ⎰+∞0),(在y ∈[c,d] 上一致收敛，证明：dx y x f ⎰+∞),(在y ∈[c,d] 上一致收敛且绝对收敛.证：∵dx y x F ⎰+∞0),(在y ∈[c,d] 上一致收敛，∴∀ε>0, ∃M>0，对任何A2>A1>M和一切y∈[c,d]，都有⎰21) , (A AdxyxF<ε.∵|f(x,y)|≤F(x,y)，∴⎰21) , (A Adxyxf≤⎰21),(AAdxyxf≤⎰21),(AAdxyxF<ε，∴dxyxf⎰+∞0),(在y∈[c,d] 上一致收敛且绝对收敛.。
含参变量反常积分
(ii) x [a,b],函数g( x, y)为y的单调函数， 且对参量x,
g( x, y)在[a,b]上一致有界， 则含参量反常积分
c f ( x, y)g( x, y)dy
在[a, b]上一致收敛.
二、一致收敛积分的性质
1. 连续性定理
设 f (x, y) 在 {(x, y) | a x , c y d} 上连续，
解 因为 | e x sin x | e0x
而积分 e0 x dx 收敛， 0
所以 e x sin x dx 在 [0,) (0 0) 内一致收敛 0
狄利克雷判别法;
若 (i) N c,含参量反常积分 N f (x, y)dy c
d
f (x, y) dx
f (x, y) dx
dy a
a y
证明 因为 f y (x, y) 在 [a, ; c, d] 连续，由连续性定理
( y) a
f y (x, y) dx 在
[c, d ]连续，
沿区间 [c, y] (c y d) 积分 ( y) ，由积分顺序交
证 （1）用分段处理的方法.
A 1， y 0 ， 令 yx t 得
| eyx2 sin ydx |
| sin y
et2 dt |
A
y yA
|
sin
y
|
et2 dt
| sin y |
y0
2
y
因为 lim sin y 0 y y0
则 0， 0 ，当 0 y 时，有
y)dy
在[a, b]上一
含参变量反常积分
知 难
设 f (x, y)定义在无界区域 R(x, y) a x b,c y
而
若对每一个固定的
x [a,b], 反常积分
c f (x, y)dy
进
,
都收敛,则它的值是 x 在区间 [a,b] 上取值的函数,
记作: I(x)
f (x, y)dy,
x [a,b]
第十八章 含参变量的反常积分
知
本节研究形如
难
a f (x, y) dx
而 进
,
b
f (x, y) dx,
( b为瑕点 )
a
无
的含参变量广义积分(无穷限积分，无界
坚
函数的积分)的连续性、可微性与可积性。
不
摧
2020年2月12日星期三
1
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第十八章 含参变量的反常积分
一.含参量反常积分及一致收敛定义
的柯西c 准则，有
进
,
A
0,
A0 c,
A, A A0,
| F( y) dy | A
从而 x [a, b]
无 坚
A
A
A f (x, y)dy A F( y)dy
不 摧
所以 f (x, y) dy 关于 x [a, b] 一致收敛。 c
A f (x, y)dy 或
f (x, y)dy ,
A
A
无 坚
则称含参量反常积分 f (x, y)dy在 [a,b] c
不 摧
上一致收敛于I (x).
2020年2月12日星期三
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第十八章 含参变量的反常积分
含参变量反常积分
在 [a,) 上一致收敛 (a 0).
例4 证明
（1） eyx2 sin ydx 关于 y [0,) 一致收敛； 1
（2） e yx2 sin ydy 关于 x [0,) 不一致收敛. 1
证 （1）用分段处理的方法.
A 1， y 0 ， 令 yx t 得
简称为含参量反常积分.
2、 含参量反常积分一致敛收的定义
对于含参量反常积分c f (x, y)dy 和函数 I (x)
若 0 , N 0 , M N , x [a ,b ]都 , M 有 f(x,y)dy,
则称含参量反常积分 c
f (x, y)dy在 [a,b] 上一致收敛于 I ( x) .
而积分 e 0 x dx 收敛， 0
所以 e xsinxdx 在 [0,) (00)内一致收敛 0
狄利克雷判别法;
若 (i)
N c,含参量反常积分 N f (x, y)dy c
对参x在 数[a,b]
上一致有界 ，
(i)ix[a,b]函 , g数 (x)关y于 是单调递 y 减 时 且 对参x,量 g(x,y)一致地收 0,则 敛含 于参量反常积分
y
而 ex2 dx 收敛，由 M 判别法， 1
eyx2 sin ydx 在 y [ ,) 一致收敛，
1
即 0 ， A0 1， A A0 ，有
| eyx2sinydx|， y （ 2）
A
上式对 y 0 显然成立，结合（1）（2）式，有
| eyx2 sinydx|
y[0,)
A
即 e yx2 sin ydx 关于 y [0,) 一致收敛.
二、一致收敛积分的性质
1. 连续性定理
课件：含参变量的反常积分
一切 x [a,b] ,都有
A
f (x, y)dy I (x)
即
f (x, y)dy
c
A
则称含参量广义积分(1)在[a,b] 上一致收敛于I (x).
Weierstrass 判别法(M-判别法)
设设有级函数数g(uyn )(,x使)定得义在区间D 上, Mn 是收敛
的正项f (级x,数y).若g当( yn),充a分大x 时b,,对c yxD,有. ：
（ a>0 , b>0 )
4.4 反常重积分
对于重积分，也可以作两方面的拓广：无界区域上的 积分和无界函数的积分。
定义 设D 是平面上艺无界区域。函数 f N在 D 上各
点N 有定义，用任意光滑曲线 在D 中划出有限区域
设二重及积分 f Nd 存在，当曲线 连续变动，使所
划出的区域 无 限扩展而趋于区域 D时，如果不论 的
0
2
得 : (r)
e
r 4
2
.
2
4.3 欧拉积分
• 1.Γ函数：
（一）定义 ： 含参变量广义积分 ( ) x1exdx 0 1.它为无穷限广义积分 2.当 1 时又是瑕积分
它的定义域就是积分的收敛域：易知 0
（二）性质
函数 ( )在其定义域 0内连续且
有任意阶连续导数：
(n) ( ) x1(lnx)nexdx 0
xy x2
dx在(,
)内一致收敛.
定理 (可积性)
设 f (x, y)在[a,b][c, )上连续.
若I (x) f (x, y)dy在[a,b]上一致收敛, c
则I (x)在[a,b]上连续,且
b
b
a dxc f (x, y)dy c dya f (x, y)dx
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|e
x
sin x | e
0 x
而积分
所以
0
e0 x dx 收敛，
0
e x sin x dx 在 [0 ,) (0 0) 内一致收敛
狄利克雷判别法;
若 (i) N c, 含参量反常积分 f ( x, y)dy 对参数x在[a, b] c
sin ydy 关于 x [0,) 不一致收敛.
在上式两端对 y 求导，得
d ( y ) f ( x, y ) dx dy a
定理证毕。
含参量反常积分的性质
• 连续性
设f ( x, y)在[a, b] [c,)上连续， 含参量反常积分
I ( x)
c
f ( x, y)dy 在[a, b]上一致收敛, 则I ( x)在[a, b]上连续.
A2
A1
f ( x, y )dy .
一致收敛的充要条件; 含参量反常积分
c
f ( x, y)dy 在 [a, b] 上一致收敛的充要
条件是:对任一趋于 的递增数列 An (其中 A1 c ),函数
项级数
n 1
An1
An
f ( x, y )dy un ( x) 在 [a, b] 一致收敛.
M
f ( x, y )dy ,
则称含参量反常积分 c f ( x, y)dy 在 [a, b] 上一致收敛于 I ( x) .
3 、 含参量反常积分一致收敛的判别方法
一致收敛的柯西准则: 含参量反常积分
c
f ( x, y)dy 在 [a, b] 上一致收敛的充要
条件是 0, M c, A1 , A2 M , x [a, b], 都有
A
f ( x, y y ) dx
又 f ( x, y) 在 [a, A; c, d ] 上连续，所以
A
a
f ( x, y ) dx
作为 y 的函数在 [c, d ] 连续，于是
0, 0, 当| y | 时,
从而，当 | y | 时，有
A
n 1
魏尔斯特拉斯M判别法:
设有函数
g ( y ) ,使得
f ( x, y) g ( y), a x b, c y .
若 g ( y)dy 收敛， 则
c c
f ( x, y)dy 在[a, b]上一致收敛.
魏尔斯特拉斯（Weierstrass）判别法
若 且
函数g ( x, y) e xy 对每个x [0, d ]单调且对任何
0 y d , x 0都有 g ( x, y ) e xy 1.
由阿贝耳判别法知， 含参量反常积分
0
e
xy
sin x dx 在 x
[0, d ] 上一致收敛.
例3 : 证明含参量反常积分 在 [a,) 上一致收敛 (a 0).
I ( x)
c
f ( x, y)dy, x [a, b]
称为定义在 [a, b] 上的含参量 x 的无穷限反常积分, 或 简称为含参量反常积分.
2、 含参量反常积分一致收敛的定义
对于含参量反常积分 c f ( x, y)dy 和函数 I ( x)
若 0, N 0, M N , x [a, b], 都有
A
A
从而 y [c, d ]
所以
A
A
f ( x, y ) dx F ( x ) dx
A
A
a
f ( x, y) dx 关于 y [c, d ] 一致收敛。
例1 解
0
e x sin x dx 在 [0 ,) (0 0) 内一致收敛
因为
证:
cos xy 1 由于y R有 , 2 2 1 x 1 x dx 而反常积分 收敛 2 0 1 x 故有魏尔斯特拉斯M判别法知
含参量反常积分
0
cos xy dx 在 (,) 上一致收敛. 2 1 x
xy sin x 例2 : 证明含参量反常积分 e dx 0 x 在 [0, d ] 上一致收敛. sin x 证 : 由于反常积分 dx 收敛 0 x (当然， 对于参量y, 它在[0, d ]上一致收敛)
N
上一致有界，
(ii ) x [a, b], 函数g ( x)关于y是单调递减且当y 时
对参量x, g ( x, y)一致地收敛于0, 则含参量反常积分
c
f ( x, y) g ( x, y)dy
在[a, b]上一致收敛.
阿贝耳判别法:
若 (i )
c
f ( x , y )dy 在[a , b]上一致收敛;
a
f ( x, y y ) dx f ( x, y ) dx
a
A
| I ( y y ) I ( y ) |
定理证毕。
A
a
f ( x, y y ) dx f ( x, y ) dx
a
A
A
f ( x, y y ) dx
A
f ( x, y ) dx 3
在 [c, d ] 可导，且
d f ( x, y) dx f ( x, y) dx a y dy a
证明
因为 f y ( x, y) 在 [a, ; c, d ] 连续，由连续性定理
a
( y)
f y ( x, y) dx 在 [c, d ]连续，
况可类似处理。
1 、 含参量反常积分的定义设 f ( x, y) 是定义在无界区域 R ( x, y) a x b, c y 上,
若对每一个固定的 x [a, b] , 反常积分
c
f ( x, y)dy
都收敛,则它的值是 x 在区间 [a, b] 上取值的函数,表为
a
b
c
f ( x, y)dy
c
dy
b
a
f ( x, y)dx.
注:
(i)
设f ( x, y)在[a,] [c,)上连续， 若
f ( x, y)dx 关于y在任何闭区间[c, d ]上一致收敛, f ( x, y)dy 关于x在任何闭区间[a, b]上一致收敛;
a c
A A
A
A
c
g ( y) dy 收敛，所以由广义积分一致收敛的柯西
准则，有
0, A0 c, A, A A0 , | g ( y) dy |
A
A
从而 x [a, b]
所以
A
A
f ( x, y ) dy g ( y ) dy
A
A
注:
连续性定理说明， 在一致收敛的条件下， 极限运算
与积分运算可以可以交换顺序.
即:
x x0 c
lim
f ( x, y)dy
c
f ( x0 , y)dy
c
x x0
lim f ( x, y)dy.
• 可微性
设f ( x, y)与f x ( x, y)在区域[a, b] [c,)上连续， 若
一致收敛。
证明 因为
A
f ( x, y ) dx | f ( x, y ) | dx F ( x) dx
A A
A
a
F ( x) dx 收敛，所以由广义积分一致收敛的柯西
准则，有
0, A0 a, A, A A0 , | F ( x) dx |
2. 积分顺序交换定理
设 f ( x, y) 在 [a, ; c, d ] 上连续，
a
f ( x, y) dx 关于 y
在 [c, d ] 上一致收敛，则 I ( y) a f ( x, y) dx 在 [c, d ]
可积，并且
d
c
dy
a
f ( x, y) dx dx f ( x, y) dy
I ( x)
c
f ( x, y)dy 在[a, b]上收敛,
'
c
f x ( x, y)dy 在[a, b]上一
c
致收敛, 则I ( x)在[a, b]上可微， 且 I ( x)
f x ( x, y)dy.
注 : 可微性定理表明在定理条件下,求导运算和积分运算
可以交换.即
a c
d
3. 积分号下求导的定理 设 f ( x, y), f y ( x, y) 在 [a, ; c, d ] 上连续，a f ( x, y) dx f y ( x, y ) dx 关于 y 在 [c, d ] 上一致收敛，则 收敛，
a
I ( y)
a
f ( x, y) dx
0
e
ux 2
dx
证:
u [a,), 有 e
而无穷积分 e
0
ux2
e
ax2
.
ax2
dx收敛
故有魏尔斯特拉斯M判别法知
含参量反常积分