含参变量反常积分[优质课类]
含参变量反常积分
|∫
d
d −η
f ( x, y )dy |< ε ，
则称含参量反常积分
∫
d
c
f ( x, y )dy 在 [a, b] 上一致收敛．
例6 证明 ∫
+∞
0
cos x 2 dx关于在上内闭一致收敛 p ( −1,1) p x
即证 ∀[ p0 , p1 ] ⊂ ( −1,1),
∫
+∞
0
∫
+∞
0
2 2 +∞ cos x 1 cos x cos x 2 dx = dx + ∫ dx = I1 + I 2 p p p ∫ 0 1 x x x
sin xy dy y
在，）上一致收敛（其中但在 [δ + ∞ δ > 0),
（，）内不一致收敛。 0 +∞
分析
A > A0 要证：∀ε > 0, ∃A0 > 0, 使得当时，
对一切，都有 x ∈ [δ , +∞ )
|∫
+∞ A
sin xy dy |< ε y
证
+∞
令 u=xy, 得
+∞ sin u sin xy ∫ A y dy = ∫ Ax u du 其中 A > 0. +∞ sin u 由于 ∫ du 收敛，故 0 u 就有 ∀ε > 0, ∃A0 > c，使得当时， A > A0 +∞ sin u |∫ du |< ε A u A0 取N = 时 则当A > N 时有 Aδ > A0， δ 对一切 x ∈ [δ，+ ∞ )， 有 Ax ≥ Aδ > A0， +∞ sin xy +∞ sin u 从而 | = ∫ A y dy | | ∫ Ax u du |< ε +∞ sin xy 所以 ∫ [δ + ∞ 一致收敛. dy 在，） 0 y
含参变量的反常积分
充分性 若 0, N c, M A1 , A2 N ,
则令 A2 , 得
A2 A1
f ( x , y )dy .
c
M
f ( x , y )dy .
这就证明了 I ( x )
f ( x , y )dy 在 J 上一致收敛.
*例2 证明含参量的反常积分
( y)
1
g( A1 , y ) A g( A1 , y ) A
魏尔斯特拉斯(Weierstrass) M 判别法
设有函数 F(x), 使得
f ( x , y ) F ( x ) , a x , y .
若 F ( x )dx 收敛, 则
对A, A a ,
A
A
f ( x , y )dx
a
A
f ( x , y )dx
a
A
f ( x , y )dx 2 M .
于是, A1 , A2 A, y , 由积分第二中值定理，
A
A2
1
f ( x , y ) g ( x , y )dx
或简单地说含参量积分(1)在 上一致收敛.
注1 由定义, I ( y ) 充要条件是
a
f ( x , y )dx 在 上一致收敛的
( A) sup
y
a
A
f ( x , y )dx 0 ( A ).
注2 由定义, I ( y )
f ( x , y )dx 在 上不一致收敛
若I ( y)
a
f ( x , y )dx 在 上一致收敛, 则
§2 含参量反常积分 一、含参量反常积分及其一致收敛的定义
f ( x, y )dy
在[a, b) 上不一致收敛.
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证明: 用反证法.
假设原积分在[a, b) 上一致收敛, 则对 0, M c, 当 A, A M 时对一切 x [a, b) 恒有
A
A
f ( x, y )dy .
A A
由假设 f 在[a, b] [ A, A] 上连续，所以 f ( x, y )dy 是 x 的连续函数 . 在上面不等式中令 x b , 得到当 A A M 时,
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二、一致收敛性的判别法 定理19.7 （一致收敛的柯西准则）
设二元函数 z f ( x, y ) 定义在无界区域 R {( x, y ) a x b ，c y } 上. 反常积分
c
f ( x, y )dy 在[a, b] 上一致收敛
的充要条件是 : 对任给正数 , 总存在某一实数 M M ( ) c, 使得当
c d
都收敛 , 则 I I ( x) 是 [a, b] 上的函数. 含参量无 界函数反常积分在[a, b] 上一致收敛的定义为: 若对 0, 总存在某正数 ( ) d c, 使得当 0 时 , 对一切 x [a, b], 都有
d
d
f ( x, y )dy
A
A
f (b, y )dy .
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而 是任给的，因此
c
f ( x, y )dy 在x b 处收
c
敛, 这与假设矛盾. 所以积分 [a, b) 上不一致收敛.
f ( x, y)dy 在
含参变量的反常积分dini定理
含参变量的反常积分dini定理一、反常积分的基本概念反常积分也称为广义积分，是一种积分范围超越常规定积分的积分。
在定义上，反常积分可以看作是对定积分的推广，其积分区间可以是无穷区间，也可以是其他非正常区间。
反常积分具有广泛的应用，包括物理学、工程学、概率论等领域。
二、含参变量的反常积分含参变量的反常积分是指在积分过程中包含参数的积分。
这种积分在处理一些复杂问题时非常有用，例如物理中的热传导问题、弹性力学中的应变问题等。
含参变量的反常积分在处理这些问题的过程中，通过引入参数来简化问题，使问题得到更有效的解决。
三、Dini定理的背景和意义Dini定理是数学分析中的一个重要定理，它涉及到含参变量的反常积分。
Dini定理的背景可以追溯到19世纪末，当时数学家开始关注含参变量的反常积分。
Dini定理的意义在于，它提供了一种判断含参变量的反常积分收敛性的方法，从而为解决一系列相关问题提供了理论支持。
四、Dini定理的证明过程Dini定理的证明过程相对复杂，需要使用到实数性质、微积分基本定理等知识点。
在证明过程中，首先需要引入一个与被积函数有关的辅助函数，然后通过分析这个辅助函数的性质，逐步推导出Dini定理的结论。
具体证明过程可以参考数学分析教材或相关论文。
五、Dini定理的应用举例Dini定理的应用非常广泛，下面举几个具体的例子来说明其应用。
1. 在物理学中的应用：在研究波动方程时，Dini定理可以用来判断波动方程解的存在性和唯一性。
例如，在研究弦振动时，通过引入参数和利用Dini定理，可以证明弦振动方程解的存在性和唯一性。
2. 在工程学中的应用：在电气工程中，Dini定理可以用来判断电路中的电流和电压是否收敛。
例如，在分析交流电路时，通过引入角频率作为参数，并利用Dini定理判断电流和电压的收敛性，从而为电路的分析和设计提供依据。
3. 在概率论中的应用：在随机过程和概率论中，Dini定理可以用来判断随机过程的样本函数的收敛性。
含参变量反常积分
|e
x
sin x | e
0 x
而积分
所以
0
e0 x dx 收敛，
0
e x sin x dx 在 [0 ,) (0 0) 内一致收敛
狄利克雷判别法;
若 (i) N c, 含参量反常积分 f ( x, y)dy 对参数x在[a, b] c
sin ydy 关于 x [0,) 不一致收敛.
在上式两端对 y 求导，得
d ( y ) f ( x, y ) dx dy a
定理证毕。
含参量反常积分的性质
• 连续性
设f ( x, y)在[a, b] [c,)上连续， 含参量反常积分
I ( x)
c
f ( x, y)dy 在[a, b]上一致收敛, 则I ( x)在[a, b]上连续.
A2
A1
f ( x, y )dy .
一致收敛的充要条件; 含参量反常积分
c
f ( x, y)dy 在 [a, b] 上一致收敛的充要
条件是:对任一趋于 的递增数列 An (其中 A1 c ),函数
项级数
n 1
An1
An
f ( x, y )dy un ( x) 在 [a, b] 一致收敛.
M
f ( x, y )dy ,
则称含参量反常积分 c f ( x, y)dy 在 [a, b] 上一致收敛于 I ( x) .
3 、 含参量反常积分一致收敛的判别方法
一致收敛的柯西准则: 含参量反常积分
c
f ( x, y)dy 在 [a, b] 上一致收敛的充要
§19.2含参变量的反常积分
一般地, 取M n max n, A2 n1 , (n 2), 则有
A2 n A2 n1 M n及xn [a, b], 使得 :
A2 n
A2 n 1
f ( xn , y)dy 0
()
由上述所得到的数列 An 是递增的,且 lim An n
n
f ( x, y)dy A
n 1
An 1
An 1 逐项求导 I ( x) f ( x, y )dy n1 An n 1
An 1 An
An
注: 其中 un ( x)
f ( x, y )dy
Ak 1 Ak
n 1
An 1 An
f ( x, y )dy lim
n
n
f ( x, y )dy
c
lim
k 1 An 1
n c
f ( x, y )dy
f ( x, y)dy
cos xy dx 在 (, ) 上一致收敛. 例 2 证明 0 1 x 2
证 : y (, ), 有 :
1 而 dx收敛, 2 0 1 x
由M 判别法,
cos xy 1 , 2 2 1 x 1 x
cos xy dx在(, )内一致收敛. 0 1 x 2
sin u du u
取A0 N 1 N , 取x0
2( N 1)
(0, ), 使 :
sin u p A0 x0 u du 2 0 . A0 (此时,0 A0 x0 ) 2 所论积分在(0, )非一致收敛.
含参变量反常积分
M
| c f ( x, y)dy I( x) |
则称含参量反常积分
f ( x, y)dy
c
在[a, b]一致收敛于I( x),
或含参量积分在[a, b]一致收敛.
由于
I( x) c f ( x, y)dy
所以上述定义中的不等式
M
| c f ( x, y)dy I( x) |
0x
从而对于参量 y 它在 [ 0, d ] 上一致收敛，
函数 g( x, y) e xy 对每个 x ∈[ 0, d ]，关于变量 y
单调减少，且在[ 0, d ] 上一致有界：
| g( x, y) || e xy | 1, 0 y d , x 0
故由阿贝尔判别法，知 e xy sin xdx
M
| c f ( x, y)dy I( x) |
其中 N 与 x 有关.如果存在一个与 x [a, b]
无关的 N ( ) 使得该不等式成立，就称
反常积分在区间 [ a, b ]上一致收敛
定义1. 若 0, N c, 使得当 M N 时，
对一切 x [a, b]，都有
sin xy
sinu
A
dy
du
y
Ax u
其中 A > 0.
由于 sinu du 收敛，故
0 u
0, M c，使得当 A M时，就有|
sinu du |
A u
取 N M ， 则当 A N 时 ， A M，
对一切 x [， )，有 Ax A M，
0
x
在[ 0, d ] 上一致收敛
二、含参量反常积分的性质
数学分析ch15-2含参变量的反常积分
A
g(A, y) A f (x, y)dx g(A, y) f (x, y)dx 2L,
存在。如果对于任意 0，存在与 y 无关的 0 ，使得当 0 时， 对所有 y [c, d] 成立
b f (x, y)dx I ( ， b
则称
b
a
f
(x,
y)dx
关于
y
在[c, d ] 上一致收敛（于
I ( y)
）。在参变量明确时，
也常简称
dx
在[0,)
上一
致收敛。
定理 15.2.3 设函数 f (x, y) 和 g(x, y) 满足以下两组条件之一，则含
参变量的反常积分
a f (x, y)g(x, y)dx
关于 y 在[c, d ] 上一致收敛。
1．（Abel 判别法）
（1）
a
f
(x,
y)dx
关于
y
在[c,
d
]
上一致收敛；
（2） g(x, y) 关于 x 单调，即对每个固定的 y [c, d] ， g 关于 x 是单
y)dx
在[c,
d ] 上一致收敛。
证
因为
a
F ( x)dx
收敛，由反常积分的
Cauchy
收敛原理，对于任
意给定的 0，存在正数 A0 ，使得对于任意的 A, A A0 ，成立
A F(x)dx 。 A
因此当 A, A A0 时，对于任意 y [c, d] ，不等式
A
A
A f (x, y)dx A F(x)dx
y 无关的正数 A0 ，使得对于任意的 A, A A0 ，成立
A f (x, y)dx ， y [c, d] 。 A
含参变量的反常积分(1)
类似可定义含参变量积分���+��� ∞ ������ ������, ������ ������������ , −+∞∞ ������ ������, ������ ������������ 的一 致收敛性.
定理15.2.2（Weierstrass判别法） 如果存在函数 ������(������) 使得
(������) ������ ������, ������ ≤ ������ ������ ，������ ≤ ������ ≤ +∞， ������ ≤ ������ ≤ ������，
(������) 反常积分���+��� ∞ ������(������)������������ 收敛， 则含参变量积分���+��� ∞ ������ ������, ������ ������������ 在 [������, ������] 上一致收敛.
������
收敛，则称含参变量反常积分���+��� ∞ ������ ������, ������ ������������ 在 ������ = ������������ 处 收敛，并称 ������������ 是它的收敛点。记 ������ 是含参变量反常积分 ���+��� ∞ ������ ������, ������ ������������ 的所有收敛点构成的集合，则 ������ 是函数
(������) 对每个固定的 ������ ∈ [������, ������], ������(������, ������) 关于 ������ 是单调函数; (������) ������(������, ������) 一致有界: ∃ ������，使得对任意 ������ ∈ ������, +∞ , ������ ∈ [������, ������]， 有 ������ ������, ������ ≤ ������.
含参变量的反常积分
条件是: 对任一趋于 的递增数列{ An } (其中A1
c), 函数项级数
n1
An1 An
f ( x , y)dy
un ( x)
n1
(7)
在 J 上一致收敛,
其中 un( x)
An1 An
f ( x, y)dy.
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证 必要性 由(1)在 J 上一致收敛, 故 0, M c,
或称含参量反常积分.
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定义1 若含参量反常积分(1)与函数 I(x)对 0 ,
N c, 使得当 M N 时, 对一切 x J, 都有
M
c f ( x, y)dy I( x) ,
即
M f ( x, y)dy ,
则称含参量反常积分(1)在 J上一致收敛于I(x), 或简 单地说含参量积分(1)在 J 上一致收敛.
因此, 含参量积分在 (0, ) 上非一致收敛.
而对于任何正数 , 有
( A) sup xexydy e A 0 ( A ), x[ ,) A
因此, 该含参量积分在 [ , ) 上一致收敛.
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二．含参量反常积分一致收敛性的判别
定理19.7 (一致收敛的柯西准则) 含参量反常积分(1)
在[a, b]上一致收敛的充要条件是: 0,N c,
使得当 A1, A2 N 时, 对一切的 x [a, b], 都有
A2 f ( x, y)dy . A1
(3)
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证 必要性
若I( x) f ( x, y)dy 在 J 上一致收敛, 则 c 0, N c, A N 及 x J , 有
使得当 A A M时，对一切 x J, 总有
含参变量反常积分
(ii) x [a,b],函数g( x, y)为y的单调函数， 且对参量x,
g( x, y)在[a,b]上一致有界， 则含参量反常积分
c f ( x, y)g( x, y)dy
在[a, b]上一致收敛.
二、一致收敛积分的性质
1. 连续性定理
设 f (x, y) 在 {(x, y) | a x , c y d} 上连续，
解 因为 | e x sin x | e0x
而积分 e0 x dx 收敛， 0
所以 e x sin x dx 在 [0,) (0 0) 内一致收敛 0
狄利克雷判别法;
若 (i) N c,含参量反常积分 N f (x, y)dy c
d
f (x, y) dx
f (x, y) dx
dy a
a y
证明 因为 f y (x, y) 在 [a, ; c, d] 连续，由连续性定理
( y) a
f y (x, y) dx 在
[c, d ]连续，
沿区间 [c, y] (c y d) 积分 ( y) ，由积分顺序交
证 （1）用分段处理的方法.
A 1， y 0 ， 令 yx t 得
| eyx2 sin ydx |
| sin y
et2 dt |
A
y yA
|
sin
y
|
et2 dt
| sin y |
y0
2
y
因为 lim sin y 0 y y0
则 0， 0 ，当 0 y 时，有
y)dy
在[a, b]上一
含参变量反常积分
知 难
设 f (x, y)定义在无界区域 R(x, y) a x b,c y
而
若对每一个固定的
x [a,b], 反常积分
c f (x, y)dy
进
,
都收敛,则它的值是 x 在区间 [a,b] 上取值的函数,
记作: I(x)
f (x, y)dy,
x [a,b]
第十八章 含参变量的反常积分
知
本节研究形如
难
a f (x, y) dx
而 进
,
b
f (x, y) dx,
( b为瑕点 )
a
无
的含参变量广义积分(无穷限积分，无界
坚
函数的积分)的连续性、可微性与可积性。
不
摧
2020年2月12日星期三
1
第1页/共36页
第十八章 含参变量的反常积分
一.含参量反常积分及一致收敛定义
的柯西c 准则，有
进
,
A
0,
A0 c,
A, A A0,
| F( y) dy | A
从而 x [a, b]
无 坚
A
A
A f (x, y)dy A F( y)dy
不 摧
所以 f (x, y) dy 关于 x [a, b] 一致收敛。 c
A f (x, y)dy 或
f (x, y)dy ,
A
A
无 坚
则称含参量反常积分 f (x, y)dy在 [a,b] c
不 摧
上一致收敛于I (x).
2020年2月12日星期三
3
第3页/共36页
第十八章 含参变量的反常积分
课件：含参变量的反常积分
一切 x [a,b] ,都有
A
f (x, y)dy I (x)
即
f (x, y)dy
c
A
则称含参量广义积分(1)在[a,b] 上一致收敛于I (x).
Weierstrass 判别法(M-判别法)
设设有级函数数g(uyn )(,x使)定得义在区间D 上, Mn 是收敛
的正项f (级x,数y).若g当( yn),充a分大x 时b,,对c yxD,有. ：
（ a>0 , b>0 )
4.4 反常重积分
对于重积分，也可以作两方面的拓广：无界区域上的 积分和无界函数的积分。
定义 设D 是平面上艺无界区域。函数 f N在 D 上各
点N 有定义，用任意光滑曲线 在D 中划出有限区域
设二重及积分 f Nd 存在，当曲线 连续变动，使所
划出的区域 无 限扩展而趋于区域 D时，如果不论 的
0
2
得 : (r)
e
r 4
2
.
2
4.3 欧拉积分
• 1.Γ函数：
（一）定义 ： 含参变量广义积分 ( ) x1exdx 0 1.它为无穷限广义积分 2.当 1 时又是瑕积分
它的定义域就是积分的收敛域：易知 0
（二）性质
函数 ( )在其定义域 0内连续且
有任意阶连续导数：
(n) ( ) x1(lnx)nexdx 0
xy x2
dx在(,
)内一致收敛.
定理 (可积性)
设 f (x, y)在[a,b][c, )上连续.
若I (x) f (x, y)dy在[a,b]上一致收敛, c
则I (x)在[a,b]上连续,且
b
b
a dxc f (x, y)dy c dya f (x, y)dx
反常积分与含参变量的积分共8页文档
第十二章 反常积分与含参变量的积分§12.1 .无穷积分一、无穷积分收敛和发散概念实例：设地球的质量为M ，地球的半径为R.若火箭距离地心为()b b R >，则将质量为m 的火箭，从地面发射到距离地心为b 处，§8.5例21给出了火箭克服地球引力22mgR F r=所作的功2222211.bb R R mgR dr W dr mgR mgR r r R b ⎛⎫===- ⎪⎝⎭⎰⎰ 为了使火箭脱离地球的引力范围，即b →+∞，火箭克服地球引力F 所作的功22211lim lim .bR b b mgR W dr mgR mgR r R b →+∞→+∞⎛⎫'==-= ⎪⎝⎭⎰ 定义 设函数()f x 在区间[,]a +∞（或(,],(,))b -∞-∞+∞有定义，符号()af x dx +∞⎰（或(),()bf x dx f x dx +∞-∞-∞⎰⎰）称为函数()f x 的无穷积分.设,,p R p a ∀∈>函数()f x 在［a,p ］可积，若极限lim()Pap f x dx →+∞⎰存在（不存在），则称无穷积分()af x dx +∞⎰收敛（发散），其极限称为无穷积分()af x dx +∞⎰（的值），即()lim()paap f x dx f x dx +∞→+∞=⎰⎰.设,,q R q b ∀∈<函数()f x 在［q,b ］可积，若极限lim ()bqq f x dx →-∞⎰存在（不存在），则称无穷积分()bf x dx -∞⎰收敛（发散），其极限称为无穷积分()b f x dx -∞⎰（的值），即()lim ()bbqq f x dx f x dx -∞→-∞=⎰⎰.若c R ∃∈，两个无穷积分()cf x dx -∞⎰与 ()cf x dx +∞⎰都收敛（至少由一个发散），则称无穷积分()f x dx +∞-∞⎰收敛（发散），且()()()ccf x dx f x dx f x dx +∞+∞-∞-∞=+⎰⎰⎰.显然，火箭脱离地球引力所作的功W '是函数22()mgR F r r=的无穷积分，即2222lim .bR R b mgR mgR W dr dr mgR r r+∞→+∞'===⎰⎰ 例1 . 求下列无穷积分2,x x e dx xe dx +∞+∞--⎰⎰.解 ：0limlim ()lim (1)1ppxxxp p p p e dx e dx e e +∞----→+∞→+∞→+∞==-=-=⎰⎰222201111limlim ()lim ()2222ppx xx p p p p xe dx xe dx e e +∞----→+∞→+∞→+∞==-=-=⎰⎰例2.求下列无穷积分201dx dx x +∞+⎰；021dxdx x -∞+⎰；21dx dx x +∞-∞+⎰. 解： 22000lim lim arctan lim arctan 112p p p p p dx dx dx dx x p x x π+∞→+∞→+∞→+∞====++⎰⎰.00022lim lim arctan lim arctan 112q q q q q dx dx dx dx x p x x π-∞→-∞→-∞→-∞===-=++⎰⎰. 02220111dx dx dx dx dx dx x x x +∞+∞-∞-∞=++++⎰⎰⎰＝22πππ+=. 若函数()f x 在区间[,]a +∞存在原函数()F x ，则()lim()lim ()lim ()()()()()ppaaap p ap f x dx f x dx F x F p F a F F a F x +∞→+∞→+∞+∞→+∞===-=+∞-=⎰⎰其中符号()lim ().p F F p →+∞+∞=例3 .判别无穷积分adxdx xλ+∞⎰的敛散性(0)a > 解： 当1,λ≠有11,1111,1aaa dx dx x x λλλλλλλ-+∞+∞-⎧>⎪==-⎨-⎪+∞<⎩⎰当1,λ=有ln a adx dx x x+∞+∞==+∞⎰于是，当1λ>时，无穷积分adxdx x λ+∞⎰收敛，无穷积分的值是11a λλ--；当1λ≤时，无穷积分a dx dxx λ+∞⎰发散例4.判别无穷积分2(ln )dxx x λ+∞⎰的敛散性. 解：当1λ≠，有 22ln (ln )(ln )dx d x x x x λλ+∞+∞=⎰⎰121(1)(ln )x λλ+∞-=-11,1,(1)(ln 2), 1.λλλλ-⎧>⎪-=⎨⎪+∞<⎩当1λ=，有22ln ln ln dx d x x x x+∞+∞=⎰⎰2ln(ln ).x +∞==+∞二、无穷积分与级数上述三种形式的无穷积分：(),(),(),baf x dx f x dx f x dx +∞+∞-∞-∞⎰⎰⎰其中 ()()()c cf x dx f x dx f x dx +∞+∞-∞-∞=+⎰⎰⎰，()lim ()bbq q f x dx f x dx-∞→-∞=⎰⎰lim()()x ybqq f y d y =---→-∞=--⎰令lim()().qbbq f y dy f y dy -+∞--→-∞=-=-⎰⎰于是，讨论三种形式的无穷积分的敛散性只须讨论无穷积分()af x dx +∞⎰的敛散性即可.无穷积分adx x λ+∞⎰与广义调和级数11n n λ∞=∑，对1λ>都收敛，对1λ≤都发散.这说明无穷积分与级数之间存在着内在的联系.定理 1 .无穷积分()af x dx +∞⎰收敛⇔对任意数列{},,n A n N +∀∈有[.),n A a ∈+∞而1,lim n n A a A →∞==+∞，级数11()k kA A k f x dx +∞=∑⎰收敛于同一个数，且11()()k kA aA k f x dx f x dx +∞+∞==∑⎰⎰.证明：必要性 已知无穷积分收敛，即11111()lim ()lim ()()n k k kknA A A aaA A n n k k f x dx f x dx f x dx f x dx +++∞+∞→∞→∞=====∑∑⎰⎰⎰⎰.充分性 已知对任意数列{}n A ，而1,lim n n A a A →∞==+∞时，级数11()k kA A k f x dx +∞=∑⎰收敛于同一个数，根据海涅极限定理，无穷积分()af x dx +∞⎰收敛，且.111()lim ()()n k kA A aaA n k f x dx f x dx f x dx ++∞+∞→∞===∑⎰⎰⎰三、无穷积分的性质假设函数()f x 在区间[,)a +∞有定义，且,p R p a ∀∈>，函数()f x 在),[p a 可积.由无穷积分定义，无穷积分()af x dx +∞⎰收敛⇔当p →+∞时，函数()()()paF p f x dxa p =<⎰存在极限.定理2（柯西收敛准则） 无穷积分()af x dx +∞⎰收敛⇔120,,,,A a p A p A ε∀>∃>∀>∀>有21()p p f x dx ε<⎰.推论1.若无穷积分()af x dx +∞⎰收敛，则lim ()0pp f x dx +∞→∞=⎰.证明：根据定理2，0,,,,A a p A q A ε∀>∃>∀>∀>有()q pf x dx ε<⎰令q →+∞，即lim()q pq f x dx ε→∞≤⎰或()pf x dx ε+∞≤⎰推论2 若无穷积分()af x dx +∞⎰收敛，则无穷积分 ()af x dx +∞⎰也收敛.证明 ：根据定理2 120,,,,A a p A p A ε∀>∃>∀>∀>有 21(),p p f x dx ε<⎰从而，有2211()()p p p p f x dx f x dx ε≤<⎰⎰，即无穷积分()af x dx +∞⎰收敛.推论3.无穷积分()a f x dx +∞⎰收敛⇔b a ∀>，无穷积分()bf x dx +∞⎰也收敛定理3.无穷积分()af x dx +∞⎰收敛，则无穷积分()acf x dx +∞⎰也收敛，其中c 是常数，且()()aacf x dx c f x dx +∞+∞=⎰⎰.定理4.若无穷积分()af x dx +∞⎰与()ag x dx +∞⎰都收敛，则无穷积分[()()]af xg x dx +∞±⎰也收敛，且[()()]()()aaaf xg x dx f x dx g x dx +∞+∞+∞±=±⎰⎰⎰.定理5 .若函数()f x 与()g x 在区间[,)a +∞存在连续导数，极限lim ()()x f x g x →∞存在，且无穷积分()()a f x g x dx +∞⎰收敛，则无穷积分()'()af xg x dx +∞⎰也收敛，有()'()lim ()()()()()()aax f x g x dx f x g x f a g a f x g x dx +∞+∞→∞'=--⎰⎰.或()()()()()().a aaf x dg x f x g x g x df x +∞+∞+∞=-⎰⎰这是无穷积分的分部积分公式.定理 6 .若函数()f x 在在区间[,)a +∞连续，无穷积分()af x dx +∞⎰收敛，且函数()x t ϕ=在[,)αβ严格增加，存在连续导数，而(),(0)a ϕαϕβ=-=+∞，则()af x dx +∞⎰＝[()]'()f t t dt βαϕϕ⎰.这是无穷积分的换元公式.例5 .求无穷积分0sin x K e xdx +∞-=⎰.解：根据定理5，有sin (cos )xx K e xdx e d x +∞+∞--==-⎰⎰00cos cos 1sin x x x e x e xdx e d x +∞+∞+∞---=--=-⎰⎰＝001(sin sin )1x x e x e xdx K +∞+∞---+=-⎰有21K =，或12K =，即 01sin 2x K e xdx +∞-==⎰. 例6. 求无穷积分2211sin dx x xπ+∞⎰.解： 设211,t dt dx x x==-，根据定理6，有 02222011sin sin sin dx tdt tdt x x πππ+∞=-=⎰⎰⎰ ＝20cos 1t π-=.另解：2221111sin sin dx d x x x x ππ+∞+∞⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰⎰21cos x π+∞=1=.（凑微分法）四、无穷积分的敛散性判别法定理7 . 设[,),x a ∀∈+∞有 ()(),f x c x c ϕ≤是正常数. 1）若无穷积分()a x dx ϕ+∞⎰收敛，则无穷积分()af x dx +∞⎰也收敛；2）若无穷积分()af x dx +∞⎰发散，则无穷积分()ax dx ϕ+∞⎰也发散.推论 设[,),()0,0x a f x a ∀∈+∞≥>，且极限lim ()(0).x x f x dd λ→+∞=≤≤+∞. （3）1）若1,0,d λ>≤<+∞则无穷积分()a f x dx +∞⎰收敛. 2）若1,0,d λ≤<≤+∞则无穷积分()af x dx +∞⎰发散.★说明：应用此推论判别某些无穷积分()af x dx +∞⎰的敛散性比较简便，但要注意观察被积函数()f x ，从中找出合适的λ（利用无穷小阶的比较），使（3）式的极限存在，然后再由数λ确定无穷积分()af x dx +∞⎰的敛散性.例7.判别无穷积分2x e dx +∞-⎰的敛散性解：已知1,x ∀≥有20x x e e --<≤.由例1知，无穷积分1x e dx +∞-⎰收敛，根据定理7 ，无穷积分21x e dx +∞-⎰收敛，再根据定理2的推论3，无穷积分2x e dx +∞-⎰也收敛.例8.判别无穷积分1+∞⎰.解：已知极限23lim lim1x x x→+∞==，其中21,3λ=<则无穷积分1+∞⎰. 例9.判别无穷积分1+∞⎰的敛散性 解：已知[1,),x ∀∈+∞有≤，又 32lim lim 1x x x→+∞==，其中312λ=>，则无穷积分1⎰收敛，根据定理2的推论2 ，无穷积分1+∞⎰也收敛. 例10 .判别无穷积分11x x e dx α+∞--⎰的敛散性（α是参数）。
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课堂内容
9
魏尔斯特拉斯（Weierstrass）判别法
若 | f (x, y) | F(x), a x , c y d
且
F(x) dx
收敛，则
f (x, y) dx
关于
y [c, d]
a
a
一致收敛。
证明
A
A
A
A f (x, y) dx A | f (x, y) |dx A F(x) dx
f (x, y) dx 关于 y 在 [c, d ] 上一致收敛，则一元函数 a
I ( y)
f (x, y) dx
在 [c, d ]
上连续。
a
证明
因为
f (x, y) dx
在 [c, d ] 内一致收敛，所以
a
0,
A0 a,
A A0,
y [c, d ],
| A
f (x, y) dx |
在 [c, d ] 上一致收敛，则 I ( y) f (x, y) dx 在 [c, d ] a
收敛， 则
f (x, y)dy
在[a, b]上一致收敛.
c
c
课堂内容
7
魏尔斯特拉斯（Weierstrass）判别法
若
| f (x, y) | g( y), a x b, c y
且
g( y) dy
收敛，则
f (x, y) dy
关于
x [a, b]
c
c
一致收敛。
证明
A
A
A
f (x, y) dy | f (x, y) |dy g( y) dy
11
例 1 e x sin x dx 在 [0,) (0 0) 内一致收敛 0
解 因为 | e x sin x | e0x
而积分 e0 x dx 收敛， 0
所以 e x sin x dx 在 [0,) (0 0) 内一致收敛 0
课堂内容
12
狄利克雷判别法;
若 (i) N c,含参量反常积分 N f (x, y)dy c
称为定义在 [a,b] 上的含参量 x的无穷限反常积分, 或
简称为含参量反常积分.
课堂内容
3
2、 含参量反常积分一致收敛的定义
对于含参量反常积分c f (x, y)dy 和函数 I(x)
若 0, N 0,M N,x [a,b],都有 M f (x, y)dy ,
则称含参量反常积分 c
f (x, y)dy 在 [a,b]上一致收敛于 I(x) .
课堂内容
2
1、 含参量反常积分的定义
设 f (x, y) 是定义在无界区域 R (x, y) a x b,c y 上,
若对每一个固定的 x [a,b] , 反常积分 f (x, y)dy c
都收敛,则它的值是 x 在区间 [a,b] 上取值的函数,表为
I (x) c f (x, y)dy, x [a,b]
从而，当 | y | 时，有
A
A
| I ( y y) I ( y) | a f (x, y y) dx a f (x, y) dx
A f (x, y y) dx A f (x, y) dx 3
定理证毕。
课堂内容
16
2. 积分顺序交换定理
设 f (x, y) 在 [a, ; c, d] 上连续， f (x, y) dx 关于 y a
对参数x在[a, b]
上一致有界，
(ii) x [a,b],函数g(x)关于y是单调递减且当y 时 对参量x, g(x, y)一致地收敛于0,则含参量反常积分
c f (x, y)g(x, y)dy 在[a,b]上一致收敛.
课堂内容
13
阿贝耳判别法:
若 b]上一致收敛;
A
A
A
因为
g( y) dy
收敛，所以由广义积分一致收敛的柯西
c
准则，有
课堂内容
8
A
0,
A0 c,
A, A A0,
| g( y) dy | A
从而 x [a, b]
A
A
A f (x, y) dy A g( y) dy
所以 f (x, y) dy 关于 x [a, b] 一致收敛。 c
§2 含参量反常积分
1、 含参量反常积分的定义
2、 含参量反常积分一致收敛的定义
3、 含参量反常积分一致收敛的判别方法
课堂内容
1
本节研究形如
a f (x, y) dx
b
f (x, y) dx,
( b为瑕点 )
a
的含参变量广义积分的连续性、可微性与可积
性。下面只对无穷限积分讨论，无界函数的情
况可类似处理。
(ii ) x [a,b],函数g( x, y)为y的单调函数， 且对参量x,
g( x, y)在[a,b]上一致有界， 则含参量反常积分
c f ( x, y)g( x, y)dy
在[a , b]上一致收敛.
课堂内容
14
二、一致收敛积分的性质
1. 连续性定理
设 f (x, y) 在 {(x, y) | a x , c y d} 上连续，
因此，当
y [c, d]
时，
f (x, y y) dx
A
课堂内容
15
又 f (x, y) 在 [a, A; c, d] 上连续，所以
A
f (x, y) dx
a
作为 y 的函数在 [c, d ] 连续，于是
0, 0, 当| y | 时,
A
A
a f (x, y y) dx a f (x, y) dx
条件是:对任一趋于 的递增数列 An (其中 A1 c ),函数
项级数
n1
An1 An
f
(x,
y)dy
un (x)
n1
在 [a,b] 一致收敛.
课堂内容
6
魏尔斯特拉斯M判别法:
设有函数 g(y) ,使得
f (x, y) g( y), a x b, c y .
若
g( y)dy
因为
F(x) dx
收敛，所以由广义积分一致收敛的柯西
a
准则，有
课堂内容
10
A
0,
A0 a,
A, A A0,
| F (x) dx | A
从而 y [c, d]
A
A
A f (x, y) dx A F(x) dx
所以 f (x, y) dx 关于 y [c, d] 一致收敛。 a
课堂内容
课堂内容
4
3、 含参量反常积分一致收敛的判别方法
一致收敛的柯西准则:
含参量反常积分 f (x, y)dy 在 [a,b]上一致收敛的充要 c
条件是 0, M c,A1, A2 M ,x [a,b],都有
A2 f (x, y)dy . A1
课堂内容
5
一致收敛的充要条件;
含参量反常积分 f (x, y)dy 在 [a,b]上一致收敛的充要 c