含参变量反常积分[优质课类]

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例 1 e x sin x dx 在 [0,) (0 0) 内一致收敛 0
解 因为 | e x sin x | e0x
而积分 e0 x dx 收敛， 0
所以 e x sin x dx 在 [0,) (0 0) 内一致收敛 0
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狄利克雷判别法;
若 (i) N c,含参量反常积分 N f (x, y)dy c
f (x, y) dx 关于 y 在 [c, d ] 上一致收敛，则一元函数 a
I ( y)
f (x, y) dx
在 [c, d ]
上连续。
a
证明
因为
f (x, y) dx
在 [c, d ] 内一致收敛，所以
a
0,
A0 a,
A A0,
y [c, d ],
| A
f (x, y) dx |
因此，当
y [c, d]
时，
f (x, y y) dx
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又 f (x, y) 在 [a, A; c, d] 上连续，所以
A
f (x, y) dx
a
作为 y 的函数在 [c, d ] 连续，于是
0, 0, 当| y | 时,
A
A
a f (x, y y) dx a f (x, y) dx
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1、 含参量反常积分的定义
设 f (x, y) 是定义在无界区域 R (x, y) a x b,c y 上,
若对每一个固定的 x [a,b] , 反常积分 f (x, y)dy c
都收敛,则它的值是 x 在区间 [a,b] 上取值的函数,表为
I (x) c f (x, y)dy, x [a,b]
称为定义在 [a,b] 上的含参量 x的无穷限反常积分, 或
简称为含参量反常积分.
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2、 含参量反常积分一致收敛的定义
对于含参量反常积分c f (x, y)dy 和函数 I(x)
若 0, N 0,M N,x [a,b],都有 M f (x, y)dy ,
则称含参量反常积分 c
f (x, y)dy 在 [a,b]上一致收敛于 I(x) .
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3、 含参量反常积分一致收敛的判别方法
一致收敛的柯西准则:
含参量反常积分 f (x, y)dy 在 [a,b]上一致收敛的充要 c
条件是 0, M c,A1, A2 M ,x [a,b],都有
A2 f (x, y)dy . A1
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一致收敛的充要条件;
含参量反常积分 f (x, y)dy 在 [a,b]上一致收敛的充要 c
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魏尔斯特拉斯（Weierstrass）判别法
若 | f (x, y) | F(x), a x , c y d
且
F(x) dx
收敛，则
f (x, y) dx
关于
y [c, d]
a
a
一致收敛。
证明
A
A
A
A f (x, y) dx A | f (x, y) |dx A F(x) dx
§2 含参量反常积分
1、 含参量反常积分的定义
2、 含参量反常积分一致收敛的定义
3、 含参量反常积分一致收敛的判别方法
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本节研究形如
a f (x, y) dx
b
f (x, y) dx,
( b为瑕点 )
a
的含参变量广义积分的连续性、可微性与可积
性。下面只对无穷限积分讨论，无界函数的情
况可类似处理。
收敛， 则
f (x, y)dy
在[a, b]上一致收敛.
c
c
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魏尔斯特拉斯（Weierstrass）判别法
若
| f (x, y) | g( y), a x b, c y
且
g( y) dy
收敛，则
f (x, y) dy
关于
x [a, b]
c
c
一致收敛。
证明
A
A
A
f (x, y) dy | f (x, y) |dy g( y) dy
A
A
A
因为
g( y) dy
收敛，所以由广义积分一致收敛的柯西
c
准则，有
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A
0,
A0 c,
A, A A0,
| g( y) dy | A
从而 x [a, b]
A
A
A f (x, y) dy A g( y) dy
所以 f (x, y) dy 关于 x [a, b] 一致收敛。 c
因为
F(x) dx
收敛，所以由广义积分一致收敛的柯西
a
准则，有
课堂内容
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A
0,
A0 a,
A, A A0,
| F (x) dx | A
从而 y [c, d]
A
A
A f (x, y) dx A F(x) dx
所以 f (x, y) dx 关于 y [c, d] 一致收敛。 a
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(ii ) x [a,b],函数g( x, y)为y的单调函数， 且对参量x,
g( x, y)在[a,b]上一致有界， 则含参量反常积分
c f ( x, y)g( x, y)dy
在[a , b]上一致收敛.
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二、一致收敛积分的性质
1. 连续性定理
设 f (x, y) 在 {(x, y) | a x , c y d} 上连续，
对参数x在[a, b]
上一致有界，
(ii) x [a,b],函数g(x)关于y是单调递减且当y 时 对参量x, g(x, y)一致地收敛于0,则含参量反常积分
c f (x, y)g(x, y)dy 在[a,b]上一致收敛.
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阿贝耳判别法:
若 (i) c
f ( x, y)dy 在[a,b]上一致收敛;
在 [c, d ] 上一致收敛，则 I ( y) f (x, y) dx 在 [c, d ] a
条件是:对任一趋于 的递增数列 An (其中 A1 c ),函数
项级数
n1
An1 An
f
(x,
y)dy
un (x)
n1
在 [a,b] 一致收敛.
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魏尔斯特拉斯M判别法:
设有函数 g(y) ,使得
f (x, y) g( y), a x b, c y .
若
g( y)dy
从而，当 | y | 时，有
A
A
| I ( y y) I ( y) | a f (x, y y) dx a f (x, y) dx
A f (x, y y) dx A f (x, y) dx 3
定理证毕。
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2. 积分顺序交换定理
设 f (x, y) 在 [a, ; c, d] 上连续， f (x, y) dx 关于 y a