含参量反常积分的性质研究

又 f ( x, y ) 在 [a, A; c, d ] 上连续，所以 作为 y 的函数在 [c, d ] 连续，于是
∫
A
a
f ( x, y ) dx
∀ε > 0, ∃δ > 0, 当| ∆y |< δ 时,
∫
A
从而，当 | ∆y | < δ 时，有
a
f ( x, y + ∆y ) dx − ∫ f ( x, y ) dx < ε
若∫ g ( y)dy 收敛， 则∫
c +∞ +∞ c
f ( x, y)dy 在[a, b]上一致收敛.
魏尔斯特拉斯（ 魏尔斯特拉斯（Weierstrass）判别法 ）
若
| f ( x, y) |≤ g ( y), a ≤ x ≤ b, c ≤ y < +∞
且
∫
+∞
c
g ( y ) dy 收敛，则 ∫
+∞
若∀ε > 0, ∃N > 0, ∀M > N, ∀x ∈[a, b], 都有
+∞
∫
+∞
M
f ( x, y)dy < ε ,
则称含参量反常积分 ∫c f ( x, y)dy 在 [a, b] 上一致收敛于 I (x) .
3 含参量反常积分一致收敛的判别方法 、
一致收敛的柯西准则: 含参量反常积分 ∫
§2 含参量反常积分
1 含参量反常积分的定义 、
2 含参量反常积分一致收敛的定义 、
3 含参量反常积分一致收敛的判别方法 、
本节研究形如
∫
+∞
a
f ( x, y ) dx
∫
b
a
f ( x, y ) dx, ( b 为瑕点)
的含参变量广义积分的连续性、可微性与可积 的含参变量广义积分的连续性、 性。下面只对无穷限积分讨论，无界函数的情 下面只对无穷限积分讨论， 况可类似处理。 况可类似处理。
1 含参量反常积分的定义 、
设 f ( x, y) 是定义在无界区域 R ( x, y) a ≤ x ≤ b, c ≤ y < +∞ 上, 若对每一个固定的 x∈[a, b] , 反常积分
+∞
{
∫
+∞
}
c
f ( x, y)dy
都收敛,则它的值是 x 在区间 [a, b] 上取值的函数 表为 上取值的函数,表为 都收敛 则它的值是
+∞ +∞
I ( y) = ∫
+∞
a
f ( x, y ) dx
在 [c, d ] 可导，且
+∞ ∂ d +∞ ∫a f ( x, y) dx = ∫a ∂y f ( x, y) dx dy
证明
因为 f y ( x, y ) 在 [a, + ∞; c, d ] 连续，由连续性定理
+∞ a
ϕ ( y) = ∫
准则，有
∀ε > 0, ∃A0 > a, ∀A, A′ > A0 , | ∫ F ( x) dx |< ε
A
A′
从而 ∀y ∈ [c, d ]
∫
所以
A′
A
f ( x, y ) dx ≤ ∫ F ( x) dx < ε
A
A′
∫
+∞
a
f ( x, y ) dx 关于 y ∈ [c, d ] 一致收敛。
=∫
+∞
a
f ( x, y ) dx − ∫
f ( x, c) dx
在上式两端对 y 求导，得
d +∞ ϕ ( y ) = ∫ f ( x, y ) dx dy a
定理证毕。
含参量反常积分的性质
• 连续性
设f ( x, y)在[a, b]×[c,+∞)上连续， 含参量反常积分
I ( x) = ∫
+∞ c
I ( x) = ∫
c
f ( x, y)dy, x ∈[a, b]
的无穷限反常积分, 称为定义在 [a, b] 上的含参量 x 的无穷限反常积分 或 简称为含参量反常积分. 简称为含参量反常积分
2 含参量反常积分一致收敛的定义 、
对于含参量反常积分 ∫c f ( x, y)dy 和函数 I (x)
+∞
∫
+∞
a
f ( x, y ) dx 关于 y
在 [c, d ] 上一致收敛，则 I ( y ) = ∫a f ( x, y ) dx 在 [c, d ] 可积，并且
∫
d
c
dy ∫
+∞
a
f ( x, y ) dx = ∫ dx ∫ f ( x, y ) dy
a c
+∞
d
3. 积分号下求导的定理 设 f ( x, y ), f y ( x, y ) 在 [a, + ∞; c, d ] 上连续，∫a f ( x, y ) dx 收敛， ∫a f y ( x, y ) dx 关于 y 在 [c, d ] 上一致收敛，则
a
A
| I ( y + ∆y ) − I ( y ) |≤ +
定理证毕。
∫
A
a
f ( x, y + ∆y ) dx − ∫ f ( x, y ) dx
a
A
∫
+∞
A
f ( x, y + ∆y ) dx +
∫
+∞
A
f ( x, y ) dx < 3ε
2. 积分顺序交换定理 设 f ( x, y ) 在 [a, + ∞; c, d ] 上连续，
例1 解
∫
+∞
0
e −α x sin x dx 在 α ∈ [α 0 ,+∞) (α 0 > 0) 内一致收敛
因为
| e −α x sin x |≤ e −α 0 x
而积分
∫
+∞
0
e −α 0 x dx 收敛，
所以
∫
+∞
0
e −α x sin x dx 在 α ∈ [α 0 ,+∞) (α 0 > 0) 内一致收敛
f y ( x, y ) dx 在 [ c , d ] 连续，
积分 ϕ ( y ) ，由积分顺序交
+∞ y
沿区间 [c, y ] (c ≤ y ≤ d ) 换定理，得到
∫ ϕ (u) du = ∫
c
y
y
c
du ∫
+∞
a
f y ( x, u ) dx = ∫ dx ∫ f y ( x, u ) du
a c +∞ a
证明 因为
∫
+∞
a
f ( x, y ) dx 在 [c, d ] 内一致收敛，所以
+∞ A
∀ε > 0, ∃A0 > a, ∀A > A0 , ∀y ∈ [c, d ], | ∫
因此，当 y ∈ [c, d ] 时，
f ( x, y ) dx |< ε
∫
+∞
A
f ( x, y + ∆y ) dx < ε
• 可微性
设f ( x, y)与f x ( x, y)在区域[a, b]×[c,+∞)上连续， 若
I ( x) = ∫
+∞ c
f ( x, y)dy 在[a, b]上收敛,
'
∫
+∞
c
f x ( x, y)dy 在[a, b]上一
+∞ c
致收敛, 则I ( x)在[a, b]上可微， 且 I ( x) = ∫
+∞ c
f ( x, y)dy 在 [a, b] 上一致收敛的充要
条件是∀ε > 0, ∃M > c, ∀A1, A2 > M , ∀x ∈[a, b], 都有
∫
A2
A1
f ( x, y)dy < ε .
一致收敛的充要条件;
含参量反常积分 ∫
∞
+∞
c
f ( x, y)dy 在 [a, b] 上一致收敛的充要
f ( x, y)dy 在[a, b]上一致收敛, 则I ( x)在[a, b]上连续.
注:
连续性定理说明， 在一致收敛的条件下， 极限运算
与积分运算可以可以交换顺序.
即:
x→x0 c
lim ∫
+∞
f ( x, y)dy = ∫
+∞
c
f ( x0 , y)dy = ∫
+∞
c
x→x0
lim f ( x, y)dy.
A
A′
从而 ∀x ∈ [a, b]
∫
所以
A′
A
f ( x, y ) dy ≤ ∫ g ( y ) dy < ε
A
A′
∫
+∞
c
f ( x, y ) dy 关于 x ∈ [a, b] 一致收敛。
魏尔斯特拉斯（ 魏尔斯特拉斯（Weierstrass）判别法 ）
若 且
| f ( x, y) |≤ F ( x), a ≤ x < +∞, c ≤ y ≤ d
+∞ +∞ a c
c +∞
(ii ) 积分∫ dx∫
f ( x, y) dy与∫ dy∫
c
+∞
+∞
a
f ( x, y) dx中有一个收敛.
则另一个也收敛, 且
∫
+∞
a
dx∫
+∞
c
f ( x, y)dy = ∫
+∞
c
dy∫
+∞
a
f ( x, y)dx.
例 : 证明反常积分 1
∫
+∞
0
cos xy 上一致收敛. dx 在 (−∞,+∞)上一致收敛 2 1+ x
∫
+∞
a
F ( x) dx 收敛，则 ∫
+∞
a
f ( x, y ) dx 关于 y ∈ [c, d ]
一致收敛。 证明 因为
∫
∫
+∞ a
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A′
A
f ( x, y ) dx ≤ ∫ | f ( x, y ) | dx ≤ ∫ F ( x) dx
A A
A′
A′
F ( x) dx 收敛，所以由广义积分一致收敛的柯西
在[a, b]上一致收敛.
阿贝耳判别法:
若 (i )
∫
+∞
c
f ( x, y)dy 在[a, b]上一致收敛;
(ii ) ∀x ∈[a, b],函数g( x, y)为y的单调函数， 且对参量x,
g( x, y)在[a, b]上一致有界， 则含参量反常积分
∫
+∞
c
f ( x, y) g( x, y)dy 在[a, b]上一致收敛.
+∞
c
f ( x, y ) dy 关于 x ∈ [a, b]
一致收敛。 证明 因为
∫
∫
+∞ c
A′
A
f ( x, y ) dy ≤ ∫ | f ( x, y ) | dy ≤ ∫ g ( y ) dy
A A
A′
A′
g ( y ) dy 收敛，所以由广义积分一致收敛的柯西
准则，有
∀ε > 0, ∃A0 > c, ∀A, A′ > A0 , | ∫ g ( y ) dy |< ε
狄利克雷判别法;
若 (i) ∀N > c, 含参量反常积分∫ f ( x, y)dy 对参数x在[a, b] c
N
上一致有界，
(ii ) ∀x ∈[a, b],函数g ( x)关于y是单调递减且当y → +∞时
对参量x, g( x, y)一致地收敛于0, 则含参量反常积分
∫
+∞
c
f ( x, y) g( x, y)dy
证:
cos xy 1 由于∀y ∈ R有 ≤ , 2 2 1+ x 1+ x +∞ dx 而反常积分 ∫ 收敛 0 1+ x2 故有魏尔斯特拉斯M判别法知
含参量反常积分
∫
+∞
0
cos xy dx 在 (−∞,+∞) 上一致收敛 上一致收敛. 2 1+ x
− xy sin x 例2 : 证明含参量反常积分 e dx 0 x 上一致收敛. 在 [0, d ] 上一致收敛 +∞ sin x 证 : 由于反常积分 ∫0 x dx 收敛 (当然， 对于参量y, 它在[0, d ]上一致收敛)
+∞
c
f ( x, y)dy
∫ dx∫
a
b
+∞
c
f ( x, y)dy = ∫
+∞
c
dy ∫
b
a
f ( x, y)dx.
注:
(i)
∫ ∫
c
+∞
设f ( x, y)在[a,+∞]×[c,+∞)上连续， 若
f ( x, y)dx 关于y在任何闭区间 c, d ]上一致收敛, [ f ( x, y)dy 关于x在任何闭区间 a, b]上一致收敛; [
f x ( x, y)dy.
注 : 可微性定理表明在定理条件下,求导运算和积分运算
可以交换.即
+∞ ∂ d +∞ ∫c f (x, y)dy = ∫c ∂x f (x, y)dy. dx
• 可积性
设f ( x, y)在区域[a, b]×[c,+∞)上连续， 若 I ( x) = ∫
在[a, b]上一致收敛, 则I ( x)在[a, b]上可积， 且
条件是:对任一趋于 条件是 对任一趋于 + ∞ 的递增数列 {An } (其中 A1 = c ),函数 其中 函数 项级数
∑∫
n=1
An+1
An
f ( x, y)dy = ∑un ( x) 在 [a, b] 一致收敛 一致收敛.
n=1
∞
魏尔斯特拉斯M判别法:
设有函数
g (y) ,使得 使得
f ( x, y) ≤ g( y), a ≤ x ≤ b, c ≤ y < +∞.
∫
+∞
函数g ( x, y) = e− xy 对每个x ∈[0, d ]单调且对任何
0 ≤ y ≤ d , x ≥ 0都有 g ( x, y) = e−xy ≤ 1.
由阿贝耳判别法知， 含参量反常积分
∫
+∞
0
e
− xy
sin x dx 在 x
[0, d ] 上一致收敛 上一致收敛.
例3 : 证明含参量反常积分 在 [a,+∞) 上一致收敛 (a > 0).
∫
− ax2
+∞
0
e
−ux2
dx
证:
∀u ∈[a,+∞), 有 e
而无穷积分∫ e
0 +∞
二、一致收敛积分的性质
1. 连续性定理 设 f ( x, y ) 在 {( x, y ) | a ≤ x < +∞, c ≤ y ≤ d } 上连续，
∫
+∞
a
f ( x, y ) dx 关于 y 在 [c, d ] 上一致收敛，则一元函数
+∞ a
I ( y) = ∫
f ( x, y ) dx 在 [c, d ] 上连续。