15实数数的开方及二次根式
2015届湘教版中考数学复习课件(第5课时_数的开方与二次根式)
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第5课时┃ 数的开方与二次根式
例 2 [2014· 黄冈] －8 的立方根是( A ) A. －2 B. ±2 C. 2 D. － 1 2
例 3 [2013· 东营] A. ±4 B. 4
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第5课时┃ 数的开方与二次根式
探究二 二次根式的有关概念
命题角度： 1.二次根式的概念； 2.最简二次根式的概念． 例4 A. －2 [2014· 株洲] x 取下列各数中的哪个数时，二次根 B. 0 C. 2 D. 4
式 x－3有意义( D )
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回归教材第ຫໍສະໝຸດ 课时┃ 数的开方与二次根式b ＝ a b >0 ≥0 a(a________，b________)
如： 要估算 7在哪两个相邻的整数之间， 先将 7
式的估算 平方．因为 4＜7＜9，所以 2＜ 7＜3
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第5课时┃ 数的开方与二次根式
归 类 探 究
探究一 求平方根、算术平方根与立方根
命题角度： 1. 平方根、算术平方根与立方根的概念； 2. 求一个数的平方根、算术平方根与立方根．
16的算术平方根是( D ) C. ±2 D. 2
解 析
16＝4，4 的算术平方根为 2，故选 D.
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第5课时┃ 数的开方与二次根式
【方法点析】 (1)一个正数的平方根有两个，它们互为相反数； (2)平 方根等于本身的数是 0， 算术平方根等于本身的数是 1 和 0， 立方根等于本身的数是 1，－1 和 0；(3)一个数的立方根与 它同号．
第四讲：数的开方及二次根式
数的开方与二次根式知识点：平方根、立方根、算术平方根、二次根式、二次根式性质、最简二次根式、 同类二次根式、二次根式运算、分母有理化教学目标：1.理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根；会求实数的平方根、算术平方根和立方根；2.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和同类二次根式；掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范围将二次根式化简；3.掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单的分母有理化。
教学重难点：1.平方根、算术平方根、立方根的概念（有关试题在试题中出现的频率很高，习题类型多为选择题或填空题）；2.最简二次根式、同类二次根式概念（有关习题经常出现在选择题中）；3.二次根式的计算或化简求值（有关问题在中考题中出现的频率非常高，在选择题和中档解答题中出现的较多）。
教学过程：1、知识要点：考点1 平方根、算术平方根与立方根：若)0(2≥=a a x ，则x 叫做a 的平方根，记作a ±；正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，0的算术平方根是0。
当0≥a 时，a 的算术平方根记作a 。
注意：1、非负数是指正数或0，常见的非负数有：(1）绝对值：0≥a ；(2)实数的平方：02≥a ；(3) 算术平方根：)0(0≥≥a a 。
2、如果a 、b 、 c 是实数，且满足02=++c b a ， 则有0=a，0=b ，0=c考点2 二次根式的有关概念：1、二次根式：式子)0(≥a a 叫做二次根式（注意被开方数只能是正数或0）； 二次根式a 定义中的“a ≥0”是定义的一个重要组成部分，不可以省略，因为负数没有平方根，所以当a<0时，没有意义．在具体问题中，一旦出现了二次根式a ，就意味着a ≥0，这通常作为一个重要的隐含条件来应用；被开方数a 既可以是具体的数，也可以是单项式或多项式，如：3、ab (ab ≥0)、3+x (x ≥－3)都是二次根式．2、最简二次根式：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式；最简二次根式，满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含开得尽方的因数或因式．3、同类二次根式：①化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式； ②二次根式的性质： )0()(2≥=a a a ⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||2a a a a a a )0;0(≥≥⋅=b a b a ab )0;0(>≥=b a ba b a 考点3 二次根式的运算：1、二次根式的加减：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并；2、二次根式的乘法： 二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即 ).0,0(≥≥=⋅b a ab b a（二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行；两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个二次根式互为有理化因式）；3、二次根式的除法：二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)；把分母的根号化去，叫做分母有理化。
中考数学PPT第一单元
代数比较 规则
几何比较 规则
第2讲┃ 考点聚焦
考点3 比较实数大小的常用方法
设a, b是任意两实数，则a－b>0⇔a>b；a－ b<0⇔a<b；a－b＝0⇔a＝b 设a, b是两正实数，则 a/b >1⇔a>b； a/b ＝1⇔a＝b； a/b <1⇔a<b 设a, b是两负实数，则|a|>|b|⇔a<b；|a|＝ |b|⇔a＝b；|a|<|b|⇔a>b 除此之外，还有平方法、倒数法等方法
第2讲┃ 考点聚焦 考点2 实数的大小比较 正数________零，负数______零，正 大于 小于 大于 数________一切负数；两个正数，绝 对值大的较大；两个负数，绝对值大 小 的反而________ 右边 在数轴上表示的两个实数，________ 左边 的数总是大于________的数
22 3 [注意](1)任何分数都是有理数，如 ，－ 等； 7 11 (2)0 既不是正数，也不是负数，但 0 是自然数．
第1讲┃ 考点聚焦 考点2 实数的有关概念 名称 数轴 定义 原点 规定了_______、 正方向 单位长度 _______、________的 直线 符号 只有______不同的两个 数互为相反数 乘积 ________为1的两个数 互为倒数 性质 数轴上的点与实数一 一对应 若a、b互为相反数， 则有a＋b＝0，|a|＝ |b|.0的相反数是0 0没有倒数，倒数等于 本身的数是1或－1
图1－1
第1讲┃ 回归教材
[点析] 许多无理数都可以用画图的方法找到数轴上的 一个点来表示．一般地，可以用无限不循环小数的近似值 来表示这个点的位置．
第1讲┃ 回归教材
中考变式
[2011²贵阳] 如图1－3，矩形OABC的边OA长为2，边 AB 长为1，OA 在数轴上，以原点 O 为圆心，对角线 OB的 长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是 ( D ) A ． 2.5 B ． 2√2 C.√3 D.√5
数的开方、二次根式复习
值范围常转化为不等式（组）.
二 二次根式的非负性的应用
1.已知： x 4 + 2x y =0,求 x-y 的值.
解：由题意，得 x-4=0 且 2x+y=0 解得 x=4,y=-8
x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12 2.已知x,y为实数,且 x 1 +3(y-2)2 =0,则x-y的值为( D )
方法：分母有理化
4．二次根式的运算 a b ＝___a_b__(a≥0，b≥0)；
a b
a ＝__b__(a≥0，b>0)．
二次根式加减时，可以先将二次根式化成_最__简__二__次__根__式__， 再将__被__开__方__数__相__同____的二次根式进行合并．
考点分类
一 确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围
∵16﹤17﹤25
∴4﹤ 17 ﹤5
则 - 5﹤ 17 ﹤- 4 所以b = - 4
∴a – b = 5 - ( - 4 ) = 9 a – b的平方根为±３
知识梳理
二 次 根 式
二次根式
三个概念 最简二次根式
两个公式
两个性质 四种运算
同类二次根式
1. ab a ba 0,b 0
4、实数与数轴：
知 识
无限不循环小数叫做无理数。
如：2，3，5，，3 2，3 3 ,2.030030003……等。
要 5.有理数与无理数统 有理数有限小数或无限循环小数
实数
负有理数
无理数负正无无理理数数无限不循环小数
A.3
B.-3
C.1
D.-1
二 二次根式的非负性的应用
4. 若实数 x，y，m 满足等式 3x 5y 3 m +（2x+3y﹣m）2=
专题03二次根式的运算(知识点总结+例题讲解)-2021届中考数学一轮复习
2021年中考数学 专题03 二次根式的运算（知识点总结+例题讲解）一、数的乘方与开方：1.数的乘方：（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（2）正数的任何次幂都是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；2.数的开方：（1）平方根：如果一个数x 的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方根）； 即：若x 2=a ，则x 叫做a 的平方根；①正数有两个平方根（互为相反数）；②负数没有平方根；③0的平方根是0；（2）算术平方根：正数的正的平方根叫做算术平方根；记作“a ”。
（3）若a b =3，则b 叫做a 的立方根；①一个正数有一个正的立方根；②一个负数有一个负的立方根；③0的立方根是0；【例题1】(2020•青海)(-3+8)的相反数是 ；的平方根是 ．【答案】-5；±2【解析】解：-3+8=5，5的相反数是-54，4的平方根是±2．【变式练习1】4的算术平方根是 ，9的平方根是 ， －27的立方根是 。
【答案】2；±3，﹣3【解析】解：4的算术平方根是2，9的平方根是±3，﹣27的立方根是﹣3．【例题2】（2020•黄冈）计算38-= 。
【答案】-2 【解析】解：38-=-2.【变式练习2】若a=，则a 的值为( )A. 1B. 0C. 0或1D. 0或1或–1【答案】C=，∴a 为0或1；故选C 。
二、二次根式：1.二次根式的定义：形如a （a ≥0）的式子，叫做二次根式；（或是说，表示非负数的算术平方根的式子，叫做二次根式）2.二次根式有意义的条件：被开方数≥0；（被开方数大于或等于 0 ）3.二次根式的性质：（1）a （a ≥0）是非负数；（2）（a ）2=a （a ≥0）；（3）⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==），（），（），（00002a a a a a a a （4）非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积； 即：b a ab •=（a ≥0，b ≥0）；反之：ab b a =⨯；（5）非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根；即：b a b a =（a ≥0，b>0）；反之：b a ba =；【例题3】(2020•广东)x 的取值范围是( )A ．x ≠2B ．x ≥2C ．x ≤2D ．x ≠-2【答案】B∴2x-4≥0，解得：x ≥2，∴x 的取值范围是：x ≥2；故选：B 。
数的开方与二次根式
数的开方及二次根式
哎，说起数的开方跟二次根式，这事儿咱们得扯扯清楚。
在数学里头，数的开方，就好比是把一个数儿，咔嚓一下，劈成好多相等的部分，看能劈成几份儿，每份儿是多少。
比如说，9的开方，那就是3嘛，因为3乘3等于9，简单得很。
二次根式呢，听起来有点儿玄乎，其实也不难。
就是把个平方根摆在那儿，再跟其他数儿一起搅和搅和，搞出些新花样来。
比如说，根号下面有个4，再加上个5，写成式子就是√4+5，结果就是2+5，等于7。
当然，这只是个简单的例子，实际运用起来，可能要复杂得多。
在计算二次根式的时候，咱们得注意点儿，根号下面的数儿得是非负的，要不然就没得解了。
还有啊，根号跟根号之间不能直接相加，得想办法把它们变成同类项，才能相加或者相减。
比如说，√2跟√8，看着不一样，其实√8可以变成2√2，这样一来，它们就能相加了。
总的来说，数的开方跟二次根式，都是数学里头挺重要的东西。
虽然刚开始接触的时候，可能会觉得有点儿难，但是只要多练练，多琢磨琢磨，慢慢地就能掌握其中的窍门了。
毕竟，数学这东西，还是得靠多练，才能熟能生巧嘛。
所以，大家伙儿，要是遇到了数的开方或者二次根式的问题，别怕，大胆地去做，相信你们一定能行的！。
第4节 数的开方与二次根式
1.（ a ）2＝a（a② ≥0
）
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运 算
二次根式 ab a 乘法： 除法： a ⑤
b
加减：先将二次根式化成最简二次根式，再合并同类
b
(a≥0,b≥0)
a b (a≥0,b＞0)
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2.找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数,如4<7<9 估 值 3.对以上两个整数开方，如 4 ＝2， 9 ＝3 4.确定这个根式的值在这两个整数之间，如2< 7 <3
2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们 的被开方数相同，则把这几个二次根式叫做同类二次根式. 如 8 2 2 ，所以 8 与 2 是同类二次根式 未完继续
a (a≥0) a | a | 2. -a a≤0) ③ _____( 性 3. ab a b （a≥0,b≥0） 质 a a（a≥0,b④ ＞0 ） 4. b b 5.双重非负性：
1.先对根式平方,如（ 7 ）2=7
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第一章
数与式
第4节 数的开方运算 二次根式 估值
定 义 及 其 性 质
定义：形如 a （a≥0）的式子，其中a叫被开方数
有意义的条件：被开方数大于或等于零 最简二次根式同时满足两个“不含”条件 ： 1.被开方数不含① 分母 ，分母中也不含二次根式
【鲁教版】中考数学一轮分类复习三《数的开方与二次根式》教学设计
【鲁教版】中考数学一轮分类复习三《数的开方与二次根式》教学设计一. 教材分析《数的开方与二次根式》是中考数学的重要内容，主要介绍了数的开方、平方根、立方根以及二次根式的概念、性质和运算。
通过这部分内容的学习，使学生掌握数的开方与二次根式的基本知识，提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在学习这部分内容时，已具备了一定的数学基础，如实数的运算、代数式的知识等。
但部分学生对数的开方与二次根式的概念、性质和运算规则理解不深，难以运用到实际问题中。
因此，在教学过程中，要关注学生的个体差异，针对不同学生的学习需求进行有针对性的教学。
三. 教学目标1.理解数的开方与二次根式的概念、性质和运算规则。
2.提高学生解决实际问题的能力。
3.培养学生的逻辑思维能力和团队合作精神。
四. 教学重难点1.数的开方与二次根式的概念、性质和运算规则。
2.如何将实际问题转化为数学问题，并运用数的开方与二次根式进行解决。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究数的开方与二次根式的知识。
2.运用实例分析法，让学生了解数的开方与二次根式在实际问题中的应用。
3.采用小组合作学习法，培养学生的团队合作精神和沟通能力。
4.利用多媒体辅助教学，提高学生的学习兴趣和效果。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT、实例问题和练习题。
2.准备多媒体教学设备，如投影仪、计算机等。
3.准备学习小组分组，确保学生能够顺利进行小组合作学习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的实际问题，如测量物体长度、计算物体体积等，引导学生思考如何利用数的开方与二次根式解决这些问题。
2.呈现（10分钟）讲解数的开方与二次根式的概念、性质和运算规则，让学生理解并掌握这些基础知识。
3.操练（10分钟）布置一些练习题，让学生独立完成，巩固所学的知识。
同时，教师可在此期间进行个别辅导，帮助学生解决学习中的问题。
4.巩固（10分钟）通过小组合作学习，让学生运用数的开方与二次根式解决实际问题。
2020中考复习第02课时数的开方与二次根式
,立方根等于本身的数为±1,0.
考点聚焦
考点二 二次根式的相关概念和性质
1.二次根式:形如 (a≥0)的式子叫做二次根式.
2.二次根式有意义的条件:被开方数大于或等于④
0
.
3.最简二次根式
必须同时满足以下两个条件:
(1)被开方数不含分母;
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
如: 5, 2 + 1是最简二次根式,而 8,
[解析]∵9<13<16,3.52=12.25,
∴3.5< 13<4,
A.4
B.5
C.6
D.7
∴与 13最接近的整数是 4,
∴与 10- 13最接近的整数是 6,故选 C.
考点聚焦
考向五 二次根式的性质
例 7 若在数轴上表示实数 a 的点如图 2-1 所示, [答案] 3
2
则化简 (-5) + -2 的结果为
考点聚焦
例 4 下列根式中,与 3是同类二次根式的是 ( B )
A. 24
C.
3
2
B. 12
D. 18
考点聚焦
| 考向精练 |
下列各式中,哪些是同类二次根式?
0.5,2
1
7
2 3 (a≥0,x≥0), 50 2 (x≥0,y≥0).
,
12,
75,1
,
2
3
25
1
解:∵ 0.5=
2
2,2
1 2
,
12,
75是同类二次根式,
2
3
考点聚焦
考向三 二次根式的化简与计算
例 5 (1) [2019·扬州]计算:
第4讲 数的开方与二次根式
考 点 梳 理
对 接 中 考
A．0
B．1
C．－1
解析 解得a＝－1，b＝1，
D．±1
课 时 跟 踪 检 测
根据题意得，a＋1＝0，b－1＝0，
所以，(ab)2 013＝(－1×1)2 013＝－1. 答案 C
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【预测 1】 如果 （2a－1）2＝1－2a，则 ( )
易 错 防 范
易 错 防 范
考 点 梳 理
对 接 中 考
求平方根有两个，互为相反准没错；
正的叫做算术根，零都得零别放过．
课 时 跟 踪 检 测
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简易通
二次根式及其性质 被开方数 ． 1． 二次根式： 式子 a(a≥0)叫二次根式， 其中 a 叫_________ 2．最简二次根式：满足下面两个条件的二次根式是最简 二次根式． 能开得尽方的因数或因式； (1)被开方数中不含___________
题． 2．与二次根式的性质有关的问题．
课 时 跟 踪 检 测
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简易通
x 【例题 1】 (2013· 广州)若代数式 有意义，则实数 x 的 x－1 取值范围是 ( )
课 前 必 读
易 错 防 范
考 点 梳 理
对 接 中 考
A．x≠1 C．x＞0
解析
B．x≥0 D．x≥0且x≠1
课 时 跟 踪 检 测
x≥ 0， 根据题意得： x－ 1≠ 0.
解得：x≥0 且 x≠1.
答案
D
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简易通
【例题2】 (2013· 上海)下列式子中，属于最简二次根式
初中数学专题复习数的开方(含答案)
第15课时 数的开方一、知识点1.数的开方: 平方根,立方根,实数。
2.二次根式: 二次根式的乘除法、性质、运算。
二、中考课标要求三、中考知识梳理1.掌握平方根、立方根的概念和性质学好本章的关键是深刻理解平方根和立方根的概念, 再就是懂得平方根和立方根的符号所表示的含义.注意区分平方根和算术平方根.2.掌握实数的分类,掌握实数可按性质和正负两种方法分类3.二次根式的化简与运算重点掌握二次根式的概念,以及二次根式的性质、化简与运算,,有一定的难度,要弄懂a ,, 再就是要从正反两方面掌握二次根式的加减乘除法则. 四、中考题型例析1． 有关概念识别题例1 (2001·德州)下列说法中正确的是( ) 3; B.1的立方根是±1±1 D. 5的平方根的相反数解析:的平方根是±3,∴A 正确.∵=1,1的立方根是1, 5的平方根,∴C 、B 、D 都不正确. 答案:A.例2 (2002·内江市)下列判断中,错误的是( ) A.-1的平方根是-1 B.-1的倒数是-1C.-1的绝对值是1D.-1的平方的相反数是-1解析:本题应结合平方根、倒数、绝对值、相反数的定义来分析,因为-1是负数,而负数没有平方根. 答案:A.点评:一定要注意负数没有平方根.例3 (2000·荆门市)2(6)-的算术平方根是______. 分析:应先求出2(6)-的值,再求其平方根和算术平方根. 解:∵2(6)-=36,∴36的算术平方根是6. 答案:6.点评:一个正数的平方根有两个,互为相反数.例4 (2001·镇江市)2(2)0n -=,则m=_______,n=________.解:0≥,2(2)n -≥0,得20(2)0n =-=⎪⎩, ∴1020m n -=⎧⎨-=⎩, 解得12m n =⎧⎨=⎩2.探索型题例5 (2003·泰安)用计算器探索:==___________;…由此猜想解:121(1+2+1)=22211222⨯=; 12 321(1+2+3+2+1)=2221113333⨯=;1 234 321(1+2+3+4+3+2+1)=222111144444⨯=;……由此猜想:1234 567 654 321(1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1)=27777777.基础达标验收卷一、选择题1.(2003·北京)( )2.(2003·北京)函数的自变量x 的取值范围是( ) A.x ≥3 B.x>3 C.x ≠3 D.x ≤33.(2002·东城)在实数-23,无理数有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4.若1<x<2,则│x-3│的值为( ).A.2x-4B.-2C.4-2xD.25.(2003·广西省)已知m ≠n,按下列A 、B 、C 、D 的推理步骤, 最后推出的结论是m=n,其中出错的推理步骤是( )A.∵22()()m n n m -=- B.=C.∴m-n=n-mD.∴m=n6.(2004·大连( )A.3-37.(2004·济宁( )8.(2004·深圳)16的平方根是( )A.4B.-4C.±4D.±29.(2004·哈尔滨)a=-,则实数a在数轴上的对应点一定在( )A.原点左侧B.原点右侧;C.原点或原点左侧D.原点或原点右侧10.(2004·无锡)下列各式中的最简二次根式是( )11.(2004·泰州)2,则a的取值范围是( )A.a≥4B.a≤2C.2≤a≤4D.a=2或a=4二、填空题:1.(2003·河北)函数y=2xx+-x的取值范围是_____.2.a________.3.(2004·徐州)当x>1时,=_______.4.(2004·荆州)5.(2004·乌鲁木齐)-27的立方根是______.6.(2004·山西)实数a在数轴上的位置如图所示,化简│a-1│三、解答题1.(2003·北京)计算0 1).2.(2003·江西)先化简再求值: 22-,其中a=3,b=4.a1能力提高练习一、学科内综合题1.(2003·河北)下列运算中,正确的是( )A.-│-3│=3B.527()a a =C.220.20.20a b a b -=4=-2.若2440y y ++=,则xy 的值等于( ). A.-6 B.-2 C.2 D.63.(2003·河南)(1)计算:112-⎛⎫⎪⎝⎭(2)函数x 的取值范围是__________. (3)若│x-3│+2(1)x y -+ =0,二、创新题阅读下面的解答过程,请你判断是否正确?若不正确,请你写出正确解答. 已知a 为实数,解(a a ==-.答案:基础达标验收卷一、1.A 2.A 3.A 4.D 5.C 6.B 7.B 8.C 9.C 10.A 11.C二、1.x ≥-12且x ≠2 2.2三、1. 能力提高练习一、二、不正确.==(a -=-+。
新人教初中数学中考复习数的开方与二次根式【精品】
知 识
1.判断正误:
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
巩
固
(1)36 的平方根是 6; ( )
(5)× (6)×
高 频
(2)±9 的平方根是±3; ( )
考
向 (3) 4=±2; ( )
探
究
(4)0.01 是 0.1 的平方根; ( )
[解析](1)36 的平方根是±6,故错误; (2)-9 没有平方根,故错误; (3) 4=2,故错误; (4)0.1 是 0.01 的算术平方根,故错误;
(1)
1 ������
=
������
������ ·
������
=
������ ������
;
(2)
1 ������ -
������ =(
������ -
������+ ������ ������)( ������+
������
=
)
������ + ������-������
������ .
基 础
固
A.x≥4
高
B.x>4
4-x>0,解得 x<4,故选 D.
频
C.x≤4
D.x<4
考
向
探
究
基 础
考向三 二次根式的化简与计算
知 识
9.[2019·常德]下列运算正确的是 ( D )
巩
固
A. 3 + 4= 7
B. 12=3 2
高 频
C. (-2)2=-2
考
向
探
究
D.
164 =
21 3
基 础
2015年人教版中考数学总复习课件(考点聚焦+归类探究+回归教材)：第4课时 数的开方及二次根式(共26张PPT)
考点聚焦
归类探究
回归教材
第4课时┃ 数的开方及二次根式
分子中被开方数是非负数，分母不等于零，∴ x≥0，且 x＋1≠0，∴x 的取值范围是 x≥0.
解 析
失分盲点 二次根式有意义的条件不容忽视 此类有意义的条件问题主要是根据二次根式的被开方数大于或 等于零，分式的分母不为零等列不等式 (组)，转化为求不等式 ( 组)的解集．
[点析]在进行二次根式的化简求值时，常常用到整体思想．把x ＋y，x－y，xy当做整体进行代入求值．
方法点析
(1)一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；(2)平方根等 于本身的数是0，算术平方根等于本身的数是1和0，立方根等 于本身的数是1，－1和0；(3)一个数的立方根与它本身同号； (4)对一个式子进行开方运算时，要先将式子化简，再进行开 方运算．
考点聚焦
归类探究
回归教材
第4课时┃ 数的开方及二次根式
解 析
∵ x－1＋|y＋3|＝0， ∴x－1＝0，y＋3＝0， ∴x＝1，y＝－3， ∴x＋y＝1＋(－3)＝－2.
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回归教材
第4课时┃ 数的开方及二次根式
方法点析 (1)常见的非负数有三种形式：|a|，(a≥0)，a2. (2)若几个非负数的和等于零，则这几个数都为零．
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回归教材
第4课时┃ 数的开方及二次根式
回 归 教 材
二次根式化简中的整体思想 教材母题——人教版八下 P15T6 已知 x＝ 3＋1，y＝ 3－1，求下列各式的值： (1)x2＋2xy＋y2；(2)x2－y2.
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回归教材
第4课时┃ 数的开方及二次根式
解：因为 x＝ 3＋1，y＝ 3－1， 所以 x＋y＝2 ＝(x＋y)2 ＝(2 ＝12. (2)x2－y2 ＝(x＋y)(x－y)＝4 3. 3，x－y＝2. 3)2 则(1)x2＋2xy＋y2
人教版中考数学专题课件：数的开方与二次根式
数的开方与二次根式
考点2 二次根式的有关概念
二次根式 形如 a(________) a≥0 的式子，叫做二次根式. a中的 的概念 a 是非负数，其结果也是非负数. 同时满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次 最简二次 根式： 根式 (1)被开方数的因数是整数，因式是整式； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
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数的开方与二次根式
(1)此类分式与二次根式综合计算与化简问题， 一般先化简再 代入求值； (2)最后的结果要化为分母中没有根号的数或者是最简二次 根式．
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数的开方与二次根式 探究四 二次根式的大小比较
命题角度： 1．二次根式的大小比较方法； 2．利用计算器进行二次根式的大小比较．
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数的开方与二次根式
考点3 二次根式的性质
2 1.( a ) ＝a(a________) ； ≥0 二 次 a （a≥0）， 2 根 2. a ＝|a|＝ －a （a<0）； 式 的 3. ab＝ a· b(a________ ，b________) ； ≥0 ≥0 性 b b 质 4. ＝ (a________ ，b________). ≥0 ＞ 0 a a
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数的开方与二次根式
x－2 3 例 4 [2013· 苏州] 先化简，再求值： ÷(x＋1－ )， x－1 x－1 其中 x＝ 3－2.
x－2 x2－1－3 3 x－2 x ＋ 1 － 原式＝ ÷ ＝x－1÷ x－1 x － 1 x－1
中考数学一轮复习 教学设计三(数的开方与二次根式) 鲁教版
中考数学一轮复习教学设计三（数的开方与二次根式）鲁教版一. 教材分析《数的开方与二次根式》是初中数学的重要内容，主要包含二次根式的性质、二次根式的乘除运算、二次根式的加减运算、以及数的开方等知识点。
本节课选自鲁教版八年级下册，是在学生已经掌握了实数、有理数、无理数等相关知识的基础上进行学习的，为后续学习勾股定理、圆的方程等知识打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、有理数、无理数等相关知识，对于数的开方和二次根式的概念有一定的了解。
但部分学生对于二次根式的运算规则理解不深，容易混淆。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过实际操作，加深对二次根式运算规则的理解。
三. 教学目标1.理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质。
2.学会二次根式的乘除运算和加减运算。
3.掌握数的开方的方法，能够熟练进行开方运算。
4.培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.二次根式的性质2.二次根式的乘除运算和加减运算3.数的开方的方法五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究二次根式的性质。
2.运用类比法，帮助学生理解二次根式的运算规则。
3.利用分组合作法，让学生在合作中巩固二次根式的运算方法。
4.运用实例讲解法，深入剖析数的开方的方法。
六. 教学准备1.教学PPT2.教学道具（如卡片、计算器等）七. 教学过程1.导入（5分钟）利用数学故事引入二次根式的概念，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）展示PPT，讲解二次根式的性质，让学生理解二次根式的概念。
3.操练（15分钟）让学生分组进行二次根式的乘除运算和加减运算，教师巡回指导。
4.巩固（10分钟）针对学生的操作结果，进行讲解和分析，帮助学生巩固二次根式的运算规则。
5.拓展（10分钟）讲解数的开方的方法，让学生进行实际操作，巩固开方运算。
6.小结（5分钟）对本节课的主要知识点进行总结，让学生明确学习目标。
7.家庭作业（5分钟）布置适量的作业，让学生课后巩固所学知识。
人教版初中数学八年级下册《数的开方与二次根式》
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考点聚焦
考向探究
第4课时┃数的开方与二次根式
考点聚焦 考点1 平方根、算术平方根与立方根 平方
平方
立方
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第4课时┃ 数的开方与二次根式
考点聚焦
考点1 平方根、算术平方根与立方根
名称
性质
算术平方根
只有_非___负__数__才有算术平方根，而 且算术平方根都是_非__负___数__.
二次根式 1. a • b＝ ab(a___≥__0___，b__≥__0____)；
的乘除
2.
b＝ a
ba(a___＞__0___，b___≥__0___).
二次根式 如：要估算 7在哪两个相邻的整数之间，先对 7进 的估算 行平方，因为 4＜7＜9，所以 2＜ 7＜3.
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第4课时┃数的开方与二次根式
乘以分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的，如：1＋1
＝ 2
（
12×＋（1）（2－12）－1）＝
2－1，
1 3＋
2＝（
1×（ 3－ 3＋ 2）（
3－
2）＝
3
－ 2.
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第4课时┃数的开方与二次根式
考 向 探 究4
二次根式的大小比较
命题角度
1.比较二次根式与有理数的大小、比较两个二次根式的大小；
A B CD
2.二次根式
（1）二次根式、最简二次根式的概念
√
（2）用有理数估计二次根式值的大致范围
√
（3）用二次根式（根号下仅限于数）的加、减、乘、除运
算法则进行简单四则运算
人教版初中数学中考复习 一轮复习-数的开方与二次根式
伦﹣秦九韶公式．若p＝5，c＝4，则此三角形面积的最大值为（ ）
A. 5
B.4
C.2 5
D.5
知识点四、二次根式-二次根式的运算
解：p a b c a b 4 5
2
2
所以a b 6, a 6 b
s pp ap bp c 55 a5 b5 4
55 (6 b)5 b1 5 b 15 b
3 的结果是______.
3 12
解： 3 1 1 1 3 12 1 4 1 2 3
5. 化简： 1 1 49
解： 1 1 9 4 13 13 4 9 36 36 36 6
知识点三、二次根式-二次根式的性质
D 1.[2019·济宁]下列计算正确的是 ( )
A. 3 2 3
解：原式 9 — 1 8 22
9 2 — 1 2 2 2 22 22
3 2 — 2 2 2 22
3 — 1 2 2 2 2
3 2
知识点四、二次根式-二次根式的运算
2、（2021. 铜仁）计算（ 27 — 18）（ 3 — 2）
解：原式 （3 3 - 3 2）（ 3 - 2） 9-3 6 -3 6 6 15- 6 6
一轮复习
数的开方与二次根式
课标要求
1. 了解平方根、算术平方根、立方根的概念,会用根号表示数的平方根、算术平方 根 、 .立方根。 2. 了解乘方与开方互为逆运算,会用平方运算求百以内整数的平方根,会用立方运算求
百以内整数(对应的负整数)的立方根,会用计算器求平方根和立方根. 3. 能用有理数估计一个无理数的大致范围. 4. 了解二次根式、最简二次根式的概念,了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、
5 4 b3 2
实数的概念及数的开方
龙文教育学科教师辅导讲义教师：学生：日期: 年月日星期：时段：课题实数的概念与数的开方教学目标（1）了解平方根、立方根、二次根式、实数及相关概念，会求数的平方根和立方根，能进行有关实数的简单的四则运算。
（2）掌握估算的方法，发展学生的数感和估算能力。
（3）能运用实数的运算解决简单的实际问题，提高学生数学应用的意识和解决问题的能力。
（4）让学生经历平方根、立方根、二次根式、实数概念和建立以及探求二次根式运算规律的过程，发展学生抽象概括能力，并在活动中进一步培养学生独立思考、合作交流的习惯。
重点、难点重点：平方根、立方根，实数及其相关概念；求数的平方根、立方根；掌握估算方法，发展学生的数感和估算能力；会进行有关实数的简单四则运算。
难点：平方根的概念；掌握估算的方法，发展学生的估算能力和数感；有理数与无理数的区别以及实数概念的建立；能利用实数的运算解决简单的实际问题，培养学生数学应用的意识和能力。
考点及考试要求教学内容一、上节课知识点的回顾与反思:二、新授课内容:一、实数的概念（一）：【知识梳理】1.实数的有关概念(1)有理数: 和统称为有理数。
(2)有理数分类①按定义分: ②按符号分:有理数()()0()()()()⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩；有理数()()()()()()⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩（3）相反数：只有 不同的两个数互为相反数。
若a 、b 互为相反数，则 。
（4）数轴：规定了 、 和 的直线叫做数轴。
（5）倒数：乘积 的两个数互为倒数。
若a （a≠0）的倒数为1a.则 。
（6）绝对值：（7）无理数： 小数叫做无理数。
（8）实数： 和 统称为实数。
（9）实数和 的点一一对应。
2.实数的分类:实数3.科学记数法、近似数和有效数字（1）科学记数法：把一个数记成±a×10n 的形式（其中1≤a<10，n 是整数）（2）近似数是指根据精确度取其接近准确数的值。
实数的概念及开平方
第一讲 实数的概念与数的开方知识梳理一 实数的概念1．无理数定义:无限不循环的小数叫做无理数。
分类:可分为正无理数和负无理数。
说明:无理数应同时满足三个条件:(1)是小数;(2)是无限小数;(3)不循环.常见三种表现形式：（1）带根号但开方开不尽的数，如35,2等，但9就不是无理数； （2）特定意义的数,如π类，2,3ππ，2π等都是无理数；（3）有规律但不循环的小数，如0.101001000100001…等数，数字排列有规律，但是，它们都是不循环的无限小数。
无理数和有理数的区别:任何一个有理数都可以写成ba的形式,其中a,b 都是整数，且b ≠0，而无理数不能写成这种形式。
有限小数和无限循环小数与ba的形式可以互化，因而它们都是有理数。
2.实数的定义有理数和无理数统称为实数 3.实数的分类根据实数的定义分类：实数⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数自然数零正整数整数有理数根据实数的符号分类：实数⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧负无理数负分数负整数负有理数负实数既不是正数也不是负数零正无理数正分数正整数正有理数正实数)( 4．实数与数轴上点的对应数轴：规定了原点，正方向，单位长度的直线。
对应关系：实数与数轴上的点一一对应。
说明：（1）直线是可以向两方无限延伸的，故不存在最大实数，也不存在最小实数；（2）线成点，在一条直线上不同的两个点之间还有无数个点，所以两个不同整数或无理数之间有无数个实数。
（3）数和点的对应可看作是最简单的数形结合。
5．绝对值，相反数，倒数绝对值：一个实数的绝对值就是指数轴上表示这个实数的点到原点的距离，距离是非负的，因而绝对值是非负数。
即0≥a 具体表示为：说明：（1）两个正数中，绝对值大的数则大，两个负数中绝对值大的数反而小； （2）绝对值是非负的，但它可能等于-a （当a<0时），带负号不一定是负数。
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实数
一、选择题
1.计算773.810 3.710⨯-⨯，结果用科学记数法表示为（ ）
A. 70.110⨯
B. 60.110⨯
C. 7110⨯
D. 6110⨯
2. 计算1a a -⋅的结果为（ ）
A.-1
B.0
C.0
D.-a
3. 某种计算机完成一次基本运算的时间约为0.000000001s ，把0.000000001s 用科学记数法可表示
为（ ）
A. 80.110-⨯s
B. 90.110-⨯s
C. 8110-⨯s
D. 9110-⨯s 4 .下列运算正确的是
A. B. b 3·b 2=b 6 C.4a -9a =-5 D.(ab 2)3=a 3b 6
5. ）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
6. A ．0.4与0.5之间 B ．0.5与0.6之间 C ．0.6与0.7之间 D ．0.7与0.8之间
7. (π﹣3.14)0的相反数是 （ ）
A.3.14﹣π
B.0
C.1
D.﹣1
8. 与1+最接近的整数是
A. 4
B.3
C.2
D.1
9. 下列实数中，是有理数的为
（A ） (B) (C) (D) 0.
10. 估计11的值在（ ）
A.1和2之间
B.2和3之间
C.3和4之间
D.4和5之间
11. 若k ＜＜k +1（k 是整数），则k =（ ）
A.6
B.7
C.8
D.9
12. 下列4个数中，9，7
22，π，0)3(，其中无理数是 A ．9 B ．7
22 C ．π D ．0)3(
8-3=590
13. 实数a ，b 在数轴上对应的点的位置如图所示，计算||a b -的结果为（ ）
A ．a b +
B ．a b -
C ． b a -
D ． a b --
二、填空题
1.计算：327232a a a a ⋅-÷=.
2.计算：02(
3.14(3)+- =___________.
3．计算：(-3)2013·(-
13)2011=_______. 4．计算 45sin 28-的结果是＿＿＿＿＿．
5．定义一种新运算：2x y x y x
+*=，如：2212122+⨯*==，则(42)(1)**-=；
三、解答题
1.计算：()0316sin 60 3.14π-︒+-+．
2. 计算：()
101220152sin 60+3π-⎛⎫--+︒- ⎪⎝⎭．
4.计算：20150(1)sin30+(2-+.
5.计算：201()
(3.14)|12sin 452π----+-︒
6.
7. 计算：2111()
2cos 45-+--+︒
；
8.计算：0(3.14)34sin 60π---+ ．
9.计算：1411sin 45()(1)22
-|-|+÷-⨯o
数的开方二次根式
一、选择题
1. 计算的值是
A ．2
B ．3 C
D ．
2. ）
3.
4. x 必须满足（ ）
A. x ≤2
B. x ≥2
C. x ＜2
D. x ＞2
5. 要使代数式x 32-有意义，则x 的 （ ）
A ．最大值是32
B ．最小值是32
C ．最大值是23
D ．最小值是2
3 6. 下列式子为最简二次根式的是 （）
A ．3
B ．4
C ．8
D ．2
1
7.
的结果是．
的平方根是 . 9. 计算：18−2
12等于．
10. 3x =-，则x 的取值范围是。