哈九中高一数学重点题型快速强化训练十三
哈尔滨市第九中学2022-2023学年高一上数学期末学业质量监测试题含解析
C.152D.156
9．已知函数：①y＝2x；②y＝log2x；③y＝x－1；④y＝ ；则下列函数图像(第一象限部分)从左到右依次与函数序号的对应顺序是( )
A.②①③④B.②③①④
C.④①③②D.④③①②
10．已知 ，则 （）.
A. B.
C. D.
11．已知空间直角坐标系 中，点 关于 轴的对称点为 ，则 点的坐标为
【详解】∵ 为钝角，且 ，
∴ ，
∴
故选：C
【点睛】本题主要考查同角的平方关系，考查和角的余弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
6、C
【解析】求出扇形的弧长，然后求出圆锥的底面周长，转化为底面半径，求出圆锥的高，然后求出体积．
【详解】设底面半径为r，则 ，所以 .
所以圆锥 高 .
所以体积 .
A. B.1
C. D.2
5．已知 为钝角，且 ，则 （）
A. B.
C. D.
6．半径为 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是（）
A. B.
C. D.
7．已知 ，若 ，则
A.1B.2
C.3D.4
8．有位同学家开了个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计得到一天所卖的热饮杯数(y)与当天气温(x℃)之间的线性关系，其回归方程为 ＝－2.35x＋147.77．如果某天气温为2℃，则该小卖部大约能卖出热饮的杯数是
故选：A.
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13、 ##
【解析】由 可得 时，函数 取最小值，由此可求 .
【详解】 ，其中 ， ．因为 ，所以 ， ，解得 ， ，则
故答案为： .
14、
【解析】根据二次函数的性质，结合给定的区间求最大值即可.
2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市第九中学校高一上学期期末数学试题(解析版)
2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市第九中学校高一上学期期末数学试题一、单选题1．所有与角α的终边相同的角可以表示为()360k k α⋅︒+∈Z ，其中角α（ ） A ．一定是小于90°的角 B ．一定是第一象限的角 C ．一定是正角 D ．可以是任意角【答案】D【分析】由终边相同的角的表示的结论的适用范围可得正确选项.【详解】因为结论与角α的终边相同的角可以表示为()360k k α⋅︒+∈Z 适用于任意角，所以D 正确， 故选：D.2．函数()2tan(3)2f x x π=+的最小正周期为A ．2πB ．4πC ．2D ．4【答案】C【详解】分析：根据正切函数的周期求解即可． 详解：由题意得函数的最小正周期为22T ππ==．故选C ．点睛：本题考查函数tan()(0)y A x ωϕω=+>的最小正周期，解答此类问题时根据公式T πω=求解即可． 3．已知角A 是ABC 的内角，则“sin A =是“4A π=”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件【答案】C【分析】在ABC中，由sin A =A ，再利用充分条件、必要条件的定义直接判断作答.【详解】因角A 是ABC 的内角，则0πA <<，当sin A =4A π=或34A π=，即sin A =4A π=，若4A π=，则sin sin4A π==，所以“sin A =是“4A π=”的必要不充分条件.故选：C4．已知1sin cos 3αα-=-，则sin cos αα=（ ）A ．49B ．49-C ．23D ．23-【答案】A【分析】根据()21sin cos 12sin cos 9αααα-=-=求解即可. 【详解】()21sin cos 12sin cos 9αααα-=-=， 解得：4sin cos 9αα=.故选：A5= A ．sin2+cos2 B ．sin2-cos2C ．cos2-sin2D ．± (cos2-sin2)【答案】A【分析】利用诱导公式化简根式内的式子，再根据同角三角函数关系式及大小关系，即可化简．【详解】根据诱导公式，化简得又因为20,22sin sin cos >>且22sin cos =+所以选A【点睛】本题考查了三角函数式的化简，关键注意符号，属于中档题． 6tan15tan15的值为（）AB ．1CD ．2【答案】B【解析】根据正切的差角公式逆用可得答案． ()tan151tan15tan 45tan15333tan 4515tan151tan151tan 45t 1an15=--=⨯=⨯=-++⨯，故选：B ．7．如图是函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在一个周期内的图象，则其解析式是（ ）A ．()3sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()3sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】通过函数的图象可得到：A =3，T π=，22πωπ==，则()()3sin 2f x x ϕ=+，然后再利用点,312π⎛⎫⎪⎝⎭在图象上求解.，【详解】由函数的图象可知：A =3，T π=，22πωπ==，所以()()3sin 2f x x ϕ=+， 又点,312π⎛⎫⎪⎝⎭在图象上，所以3sin 2312πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，即πsin φ16， 所以262k ππϕπ+=+，即23k πϕπ=+，因为2πϕ<，所以3πϕ=所以()3sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选：B【点睛】本题主要考查利用三角函数的图象求解析式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8．已知函数()22sin 24f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.若关于x 的方程()2f x m -=在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，则实数m 的取值范围是（ ）A ．12⎡⎢⎣B ．⎣C ．[]0,1D ．2⎤⎥⎣⎦【答案】C【分析】先对函数化简变形，然后由()2f x m -=在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，可知min max ()2()f x m f x ≤+≤，所以只要求出()f x 在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上即可【详解】()22sin 24f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1cos 222π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭x xsin 221x x =+2sin 213x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得22,363x πππ⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以1sin 2123x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，所以22sin 2133x π⎛⎫≤-+≤ ⎪⎝⎭，即2()3f x ≤≤，由()2f x m -=在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，可知min max ()2()f x m f x ≤+≤，所以223m ≤+≤，得01m ≤≤， 氢实数m 的取值范围是[]0,1， 故选：C 二、多选题9．下列命题中正确的是（ ）A ．函数tan y x =的定义域是,2k x x k Z π⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭ B ．sin 420cos420︒>︒C ．若sin sin αβ=，则α与β的终边相同D ．sin y x =不是周期函数【答案】BD【分析】对选项A ，根据正切函数的定义域即可判断A 错误；对选项B ，根据三角函数值即可判断B 正确；对选项C ，利用特值法即可判断C 错误，对选项D ，利用反证法即可判断D 正确.【详解】对选项A ，函数tan y x =的定义域是,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，故A 错误，对选项B ，3sin 420sin 602︒==1cos 420cos602︒==，所以sin 420cos420︒>︒，故B 正确；对选项C ，sin 30sin150=，30与150终边不相同，故C 错误； 对选项D ，假设()sin f x x =是周期函数，T 是它的一个周期()0T >， 即对任意x ∈R 都有sin sin x T x +=，令0x =，得sin sin 00T ==，解得T n π=，*n N ∈.若2n k =，*k N ∈，2T k π=，则sin 2sin x k x π+=对任意x ∈R 都成立. 令2x π=-，2sin 2sin 21222f k k k ππππππ⎛⎫⎛⎫-+=-+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin sin 1222f πππ⎛⎫-=-== ⎪⎝⎭，222f k f πππ⎛⎫⎛⎫-+≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2T k π=，*k N ∈不是函数()sin f x x =的周期.若21n k =+，k ∈N ，()21T k π=+，则sin 2sin x k x ππ++=对任意x ∈R 都成立.令4x π=，()()21sin 2144f k k ππππ⎛⎫++=++= ⎪⎝⎭sin 44f ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭()2144f k f πππ⎛⎫⎛⎫++≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即()21T k π=+，k ∈N 不是函数()sin f x x =的周期. 综上sin y x =不是周期函数，故D 正确. 故选：BD10．定义：在平面直角坐标系xOy 中，若存在常数()0ϕϕ>，使得函数()y f x =的图象向右平移ϕ个单位长度后，恰与函数()y g x =的图象重合，则称函数()y f x =是函数()y g x =的“原形函数”.下列四个选项中，函数()y f x =是函数()y g x =的“原形函数”的是（ ）A ．()2f x x =，()221g x x x =-+B ．()sin f x x =，()cos g x x =C ．()ln f x x =，()ln 2x g x = D ．()3x f x =，()31xg x =-【答案】AB【分析】AB 选项可以通过向右平移()f x 得到()g x ，C 选项通过伸缩变换得到，D 选项通过上下平移得到.【详解】A 选项，()2f x x =向右平移1个单位长度后，得到()()22121h x x x x =-=-+，故与()221g x x x =-+重合，故A 正确；B 选项，()sin f x x =向右平移3π2个单位长度后，得到()3πsin cos 2h x x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故与()cos g x x =重合，故B 正确；C 选项，()ln f x x =纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到()ln 2x g x =，故C 错误；D 选项，()3x f x =向下平移1个单位长度后得到()31xg x =-，故D 错误.故选：AB11．设函数()cos2sin 2f x x x =+，则下列选项正确的有（ ） A ．()f x 的最小正周期是πB ．()f x 满足44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()f x 在[],a b 上单调递减，那么b a -的最大值是2πD ．()f x 【答案】ACD【分析】首先根据题意得到()24f x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再依次判断选项即可.【详解】()cos 2sin 224f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，对选项A ，22T ππ==，故A 正确；对选项B ，3144f ππ⎛⎫=⎪⎝= ≠⎭所以4x π=不是()cos2sin 2f x x x =+的对称轴，即()f x 不满足44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；对选项C ，因为()f x 在[],a b 上单调递减，所以22T b a π-≤=， 即b a -的最大值是2π，故C 正确；对选项D ，()cos 2sin 224f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以()f x D 正确. 故选：ACD12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(A ，若将点A 绕原点按顺时针旋转θ弧度，得到点()00,B x y ，记()00f x y θ=+，()002g x y θ=，则下列结论错误的有（ ）A ．()12f πθθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．不存在θ，使得()f θ与()g θ均为整数C ．()()282f g θθ-=D ．存在某个区间()(),a b a b <，使得()f θ与()g θ的单调性相同 【答案】BC【分析】利用三角函数的定义求出点B 的坐标，进而可得出()f θ与()g θ的表达式，结合三角函数恒等变换与三角函数的基本性质可判断各选项的正误. 【详解】对于A 选项，()1,3A ，即A 为角3π终边上一点，2cos ,2sin 33B ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，02cos 3x πθ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，02sin 3y πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()0072sin 2cos 333412f x y πππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+=-+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2cos 21212πππθθ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 对；对于B 选项，当3πθ=时，()2,0B ，()2f θ=，()0g θ=，都为整数，B 错；对于C 选项，()()()22220000000000816216f g x y x y x y x y x y θθ-=+-=++- 24142cos 2sin 428sin 22333πππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅-⨯-=--≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，C 错；对于D 选项，()222cos 2sin 4sin 2333g πππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅--=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 由22232πππθ-<-<，可得71212ππθ<<，()g θ∴在7,1212ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减由012ππθ-<-<，可得131212ππθ<<，所以，()f θ在13,1212ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，因为177,,11212123221,12ππππππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎭⎛⎫= ⎭⎝⎝⎪⎝⎭，所以，当12a π=，712b π=时，()f θ与()g θ都在(),a b 上单调递减，D 对.故选：BC. 三、填空题13=，则α的终边所在的象限为______．【答案】第一或第三象限 【分析】sin sin αα=cos cos αα=，二者相等，只需满足sin α与cos α同号即可，从而判断角所在的象限.【详解】sin sin αα=cos cos αα=，=，只需满足sin cos 0αα>，即sin α与cos α同号，因此α的终边在第一或第三象限. 故答案为：第一或第三象限. 14．已知()()()()()sin cos 2cos sin cos 2f παπααπαπαα-⋅-=⎛⎫+⋅+⋅- ⎪⎝⎭，则6f π⎛⎫⎪⎝⎭=___________. 【答案】2【分析】根据诱导公式化简，即可得到()1sin f αα=，由此即可求出6f π⎛⎫⎪⎝⎭. 【详解】因为()()()()()()sin cos 2sin cos 1sin sin cos sin cos sin cos 2f παπααααπαααααπαα-⋅-⋅===-⋅-⋅⎛⎫+⋅+⋅- ⎪⎝⎭，所以6612sin f ππ⎛⎫= ⎪⎭=⎝. 故答案为：2. 15．若1tan tan θθ+=sin 2θ=__________．【详解】因为1tan θtan θ+=221sin cos sin cos 2tan tan cos sin sin cos sin 2θθθθθθθθθθθ++=+=== ，所以sin2θ=16．据资料统计，通过环境整治.某湖泊污染区域的面积()2km S 与时间t （年）之间存在近似的指数函数关系，若近两年污染区域的面积由20.16km 降至20.04km ．则使污染区域的面积继续降至20.01km 还需要_______年． 【答案】2【分析】根据已知条件，利用近两年污染区域的面积由20.16km 降至20.04km ，求出指数函数关系的底数，再代入求得污染区域将至20.01km 还需要的年数.【详解】设相隔为t 年的两个年份湖泊污染区域的面积为1S 和2S ，则可设12tS S a =由题设知，10.16S =，20.04S =，2t =，即20.160.04a ⨯=，解得2a =，122tS S ⋅∴=假设需要x 年能将至0.04，即10.04S =，20.01S =，0.04012.0t =∴⨯，解得2t = 所以使污染区域的面积继续降至20.01km 还需要2年. 故答案为：2 四、解答题17．（1）已知tan 2α=，求sin 4cos 5sin 2cos αααα-+的值.（2）已知3sin 5α=-，α是第四象限角，cos β=，3,2βππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求()sin αβ+.【答案】（1）16-（2 【分析】（1）由正余弦的齐次式化为正切即可求值； （2）由同角的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求解. 【详解】（1）tan 2α=sin 4cos tan 4215sin 2cos 5tan 2126αααααα---∴===-++.（2）3sin 5α=-，α是第四象限角，4cos 5α∴==，cos =β，3,2βππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1sin 2β∴==-，()341sin sin cos cos sin (552⎛⎫∴+=+=-⨯+⨯-=⎪⎝⎭αβαβαβ18．已知函数()12sin 26x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R .(1)运用五点作图法在所给坐标系内作出()f x 在11,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦内的图像（画在答题卡上）；(2)求函数()f x 的对称轴，对称中心和单调递增区间. 【答案】(1)详见解析 (2)函数()f x 的对称轴为()223x k k Z ππ=+∈，； 对称中心为()23k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，0，；单调递增区间为：()42-2233k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭，， 【分析】(1)五点法作图；(2)整体代入求对称轴，对称中心，单调递增区间. (1) 列表：x3π-23π53π83π 113π12x6π-26π56π86π116π126x π+2ππ32π2π1sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 0 10 -112sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 0 2 0 -2 0描点画图：(2) 求对称轴：()1262x k k Z πππ+=+∈， ，()223x k k Z ππ=+∈， 故函数()f x 的对称轴为()223x k k Z ππ=+∈， 求对称中心：()126x k k Z ππ+=∈，，()23x k k Z ππ=-+∈，故函数()f x 的对称中心为()23k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，0， 求单调递增区间：()1-2622x k k k Z πππππ⎛⎫⎛⎫+∈++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，()42-2233x k k k Z ππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭，， 故函数()f x 的单调递增区间为：()42-2233k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭，，19．已知函数()sin f x x x =．(1)求不等式()1f x ≤的解集；(2)将()f x 图像上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再将所得图像向右平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图像．求()g x 在区间,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域． 【答案】(1)112,226k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.(2)⎡-⎣.【分析】（1）利用辅助角公式化简函数()f x 的解析式，根据正弦函数的性质可求得答案；（2）根据函数的图象变换得到函数()g x 的解析式，再由正弦函数的性质可求得()g x 的值域.(1)解：因为()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，∴()1f x ≤，即1sin 32x π⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭， 所以51322636k x k πππππ+≤+≤+，即112226k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈， ∴()1f x ≤的解集为112,226k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈． (2)解：由题可知()2sin 22sin 2333x x g x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当33x ππ-≤≤时，233x πππ-≤-≤，所以1sin 232x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭22sin 23x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭所以()g x 在区间,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为⎡-⎣．20．已知02πβα<<<，___________，()13cos 14βα-=.从①tan α=②tan 2α=③7sin 2αα=中任选一个条件，补充在上面问题中，并完成题目.(1)求sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值 (2)求β.【答案】(2)3π 【解析】(1)02πβα<<<，sin 0α∴>，cos 0α>，若选①tan α=222222sin tan 4848sin sin cos 1tan 48149αααααα====+++，则sin α=1cos 7α=． 若选②tan 2α=，则222tan 222tan 1tan 11244ααα=====---⎝⎭ 则222222sin tan 4848sin sin 1tan 48149cos αααααα====+++，则sin α=1cos 7α=． 若选③7sin 2αα=，则14sin cos ααα=，cos 0α≠，sin α∴=1cos 7α=．综上sin α=，1cos 7α=．1sin()sin cos cos sin )4447πππααα+=+=+(2)02πβα<<<，∴2πβ-<-<0，02αβπ∴<-<，13cos()14αβ-=，sin()αβ∴- sin sin[()]sin cos()cos sin()βααβααβααβ∴=--=---131147- 3πβ∴=．21．某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示）,该扇环是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点AD ,BC 的两条线段围成．设圆弧AB 和圆弧CD 所在圆的半径分别为12,r r 米,圆心角为θ（弧度）．(1)若3πθ=,123,6r r ==,求花坛的面积；(2)设计时需要考虑花坛边缘（实线部分）的装饰问题,已知直线部分的装饰费用为60元/米,弧线部分的装饰费用为90元/米,预算费用总计1200元,问线段AD 的长度为多少时,花坛的面积最大？【答案】（1）()292m π；（2）当线段AD 的长为5米时，花坛的面积最大.【分析】(1)根据扇形的面积公式,求出两个扇形面积之差就是所求花坛的面积即可；(2)利用弧长公式根据预算费用总计1200元可得到等式,再求出花坛的面积的表达式,结合得到的等式,通过配方法可以求出面积最大时, 线段AD 的长度.【详解】(1)设花坛的面积为S 平方米.22211122S r r θθ=- 113692323ππ=⨯⨯-⨯⨯()292m =π 答：花坛的面积为()292m π；(2) 圆弧AB 的长为1r θ米，圆弧CD 的长为2r θ米，线段AD 的长为21()r r -米由题意知()()2112602901200r r r r θθ⋅-++=，即()()21214340r r r r θθ-++= ，()()22212121111222S r r r r r r θθθθ=-=+-， 由式知，()212140433r r r r θθ+=--， 记21,r r x -=则010x << 所以1404233S x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭=()()225050,1033x x --+∈， 当5x =时，S 取得最大值，即215r r -=时，花坛的面积最大，答：当线段AD 的长为5米时，花坛的面积最大.【点睛】本题考查了弧长公式和扇形面积公式,考查了数学阅读能力,考查了数学运算能力.22．已知函数()4lg 4x f x x -=+，()1212xx g x -=+，设()()()1h x f x g x =+- (1)求()()22h h +-的值；(2)是否存在这样的负实数k ，使()()22cos cos 20h k h k θθ-+-+≥对一切R θ∈恒成立，若存在，试求出k 取值集合；若不存在，说明理由.【答案】(1)2-；(2)存在，{}21k k -<≤-.【分析】（1）由题可得()412lg 4112xxh x x x --+++=-，代入即得； （2）由题可得函数()4lg 4x f x x -=+，()1212xx g x -=+，为奇函数且在()4,4-上单调递减，构造函数()()()()1F x f x g x h x =+=+，则可得()()22cos cos F k F k θθ-≥-恒成立，进而可得2222cos cos cos 4cos 40k k k k k θθθθ⎧-≤-⎪>-⎪⎨<+⎪⎪<⎩，对R θ∀∈恒成立，即求. (1)∵函数()4lg 4x f x x -=+，()1212xxg x -=+， ∴()412lg 4112xxh x x x --+++=-， ∴()()222242124212lg lg 421242221112h h ----+-++++-+⎛⎫+-=-+- ⎪⎝⎭ 133lg l 112g3355-+=-+-=-. (2)∵()4lg4x f x x -=+， 由404x x ->+，得()4,4x ∈-， 又48144x x x-=-++在()4,4-上单调递减，lg y x =在其定义域上单调递增， ∴()4lg4x f x x -=+在()4,4-上单调递减， 又()()44lglg 44x x f x f x x x +--==-=--+， ∴()4lg 4x f x x-=+为奇函数且单调递减； ∵()1221,R 1212x x x g x x -==-∈++，又函数12x y =+在R 上单调递增，∴函数()1212xxg x -=+在R 上单调递减， 又()()12211212x x x xg x g x -----===-++， ∴函数()1212xxg x -=+为奇函数且单调递减； 令()()()()1F x f x g x h x =+=+，则函数()F x 在()4,4-上单调递减，且为奇函数，由()()22cos cos 20h k h k θθ-+-+≥，可得()()22cos 1cos 1h k h k θθ⎡⎤-+≥--+⎣⎦， 即()()()2222cos cos cos F k F k F k θθθ-≥--=-恒成立，∴2222cos cos cos 4cos 40k k k k k θθθθ⎧-≤-⎪->-⎪⎨-<⎪⎪<⎩，即2222cos cos cos 4cos 40k k k k k θθθθ⎧-≤-⎪>-⎪⎨<+⎪⎪<⎩，对R θ∀∈恒成立， 故222340k k k k k ⎧-≤-⎪>-⎪⎨<⎪⎪<⎩，即21k -<≤-， 故存在负实数k ，使()()22cos cos 20h k h k θθ-+-+≥对一切R θ∈恒成立，k 取值集合为{}21k k -<≤-.【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造奇函数()()()()1F x f x g x h x =+=+，从而问题转化为2222cos cos cos 4cos 40k k k k k θθθθ⎧-≤-⎪->-⎪⎨-<⎪⎪<⎩，对R θ∀∈恒成立，参变分离后即求.。
哈九中高一期末考前周测数学
考前模拟练习一一．选择题：1. 计算=+405sin 405cos 300tan （ ） A ．31+ B ．31- C ．31-- D ．31+-2．已知θ为第二象限角且sin sin 22θθ=-，则2θ是（ ）A. 第一或第二象限角B. 第二或第四象限角C. 第三象限角D. 第四象限角 3. 下列与sin()2πθ-的值相等的式子为A. sin()2πθ+ B.cos()2πθ+ C.3cos()2πθ- D.3sin()2πθ+ 4. 设02x π≤≤sin cos x x =+，则x 的范围是（ ）A. 37[0,][,2]44πππB. 35[,][,2]244ππππ C. 5[,]44ππ D. [0,]π5. 函数2sin cos y x x =+的值域是（ ）A ．41,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．[]1,1- C ．41,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．4(,]5-∞6．若(0,)απ∈，且1cos sin 3αα+=-，则cos2α=( )A ．917B.C. D. 3177．设()f x 是定义在(,)-∞+∞上的奇函数，且在区间(0,)+∞上单调递增，若102f ⎛⎫=⎪⎝⎭，ABC ∆的内角A 满足()cos 0f A <，则A 的取值范围是（ ） A ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．,3ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．20,,33πππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ D ．2,,323ππππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8．如果,(0,)2παβ∈且sin cos αβ<，那么必有（ ）A ．αβ<B ．αβ>C ．12αβπ+<D ．12αβπ+> 9．函数2sin(2)([0,])6y x x ππ=-∈为增函数的区间是（ ）A ．[0,]3πB. 7[,]1212ππC. 5[,]36ππD. 5[,]6ππ 10. 为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ）A ．向左平移5π12个长度单位B ．向右平移5π12个长度单位C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位11. 设0ω>，函数sin()23y x πω=++的图像向右平移34π个单位后与原图像重合，则ω的最小值是（ ） A ．32 B. 34 C. 23D. 3 12. 函数)sin()(ϕω+=x x f （x ∈R ，ω＞0，0≤ϕ＜2)π的部分图象如图，则( )A ．ω＝4π,ϕ＝45πB ．ω＝4π,ϕ＝4πC ．ω＝2π，ϕ＝4πD ．ω＝3π,ϕ＝6π二．填空题： 13. 已知βα,⎪⎭⎫⎝⎛∈ππ,43，)，，则 。
2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市第九中学高一上学期第一次阶段性验收测试数学试题(解析版)
2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市第九中学高一上学期第一次阶段性验收测试数学试题一、单选题1．下列表示正确的是（ ）A ．0*N ∈B ．12Z ∈C ．Q π∈D R【答案】D【分析】根据集合与元素的关系逐一判断即可求得答案.【详解】解：对于A ，0既不是正数也不是负数，*N 表示正整数集，故A 错误， 对于B ，Z 表示整数集，12不是整数，故B 错误， 对于C ，Q 表示有理数集，π属于无理数，故C 错误，对于D ，R D 正确. 故选：D.2．设x ∈R ，则“0<x <5”是“0<x <1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据必要不充分条件的定义可得答案.【详解】若01x <<，则05x <<；若05x <<，则推不出01x <<，如2x =. 所以“0<x <5”是“0<x <1”的必要不充分条件. 故选：B.【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断，属于基础题. 3．下列函数为奇函数的是（ ） A ．y x = B ．2y x =- C ．3y x x =+ D ．28y x =-+【答案】C【分析】由函数的奇偶性的定义，计算()f x -与()f x 比较，可得结论.【详解】由y x =，可得()()f x x x f x -=-==，x ∈R ，即()f x x =为偶函数； 由2y x =-，可得()2()f x x f x -=+≠，且()()f x f x -≠-，x ∈R ，所以()2f x x =-既不是奇函数也不是偶函数；由3y x x =+，可得()33()()()()f x x x x x f x -=-+-=-+=-，x ∈R ，所以3()f x x x=+是奇函数；由28y x =-+，可得22()()88()f x x x f x -=--+=-+=，x ∈R ，所以2()8=-+f x x 是偶函数. 故选：C.4．若函数()y f x =的定义域是[1,2]，则函数y f =的定义域是（ ）A ．[1,2]B ．[1,4]C ．D ．[2,4]【答案】B【分析】根据()f x 的定义域求出x 的取值范围，求出函数y f =的定义域即可. 【详解】若函数()y f x =的定义域是[1,2]，则12≤≤，解得：14x ≤≤，故函数y f =的定义域是[1,4]， 故选：B.5．已知命题2:,40p x x x a ∃∈++=R ，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．04a << B ．4a > C ．0a < D ．4a ≥【答案】B【解析】根据题意，得到方程240x x a ++=没有实数根，结合判别式，即可得出结果. 【详解】因为p 是假命题，所以方程240x x a ++=没有实数根，即1640a ∆=-<，即4a >．故选：B.【点睛】本题主要考查由特称命题的真假求参数，属于基础题.6．已知函数()f x 和()g x 的定义域为{}1,2,3,4，其对应关系如表，则()()f g x 的值域为A ．{}1,3B ．{}2,4C ．{}1,2,3,4D ．以上情况都有可能 【答案】B【分析】确定()()()()()()()()1,2,3,4f g f g f g f g 的值，由此确定()()f g x 的值域. 【详解】因为()()()114f g f ==，()()()214f g f ==，()()()332f g f ==，()()()432f g f ==，故所求函数的值域为{}2,4.故选B.【点睛】本小题主要考查抽象函数函数值的求法，考查图表分析能力，属于基础题. 7．若二次函数2()4f x ax x =-+对任意的12,(1,)x x ∈-+∞，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-，则实数的取值范围为（ ）A ．1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】由已知可知，()f x 在(1,)-+∞上单调递减，结合二次函数的开口方向及对称轴的位置即可求解.【详解】因为二次函数2()4f x ax x =-+对任意的12,(1,)x x ∈-+∞，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-，所以()f x 在(1,)-+∞上单调递减 因为对称轴12x a=所以0112a a<⎧⎪⎨≤-⎪⎩，解得102a -≤<故选：A【点睛】本题主要考查了二次函数的性质及函数单调性的定义的简单应用，解题中要注意已知不等式与单调性相互关系的转化.8．函数()21f x x =-，2()24g x x x =-+，若存在12,,,[1,5)n x x x ∈，其中*n N ∈且2n ，使得()()()()()()()()121121n n n n f x f x f x g x g x g x g x f x --++++=++++，则n 的最大值为（ ） A ．8 B ．9C ．10D ．11【答案】C【分析】构造函数2()()()45h x g x f x x x =-=-+，将问题转化为()()()12n h x h x h x =+++ ()1n h x -，有根，结合()h x 的值域，将问题进一步转化为根据集合之间的关系，求参数范围即可. 【详解】令2()()()45h x g x f x x x =-=-+， 则()()()()121n n f x f x f x g x -++++()()()()121n n g x g x g x f x -=++++()()n n g x f x ⇔- ()()()()()()112211n n g x f x g x f x g x f x --=-+-++-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()12n h x h x h x ⇔=+++ ()1n h x -，因为12,,,[1,5)n x x x ∈，容易知二次函数()245h x x x =-+对称轴为2x =，所以()[1,10)h x ∈， 即()110n h x <， 所以()()()121110(1)n n h x h x h x n --+++<-， 由()()()()121n n h x h x h x h x -=+++知，集合[1,10)[1,10(1))n n --≠∅． 因为*n N ∈且2n ， 所以11n -，10(1)10n -，所以1110n -<，即211n <，又*n N ∈． 所以n 的最大值为10． 故选：C ．【点睛】本题考查由集合之间的关系求参数范围，函数思想的应用，涉及二次函数值域的求解，属综合压轴题.二、多选题 9．已知集合21,2,4m M m ，且5M ∈，则m 的可能取值有（ ）A ．1B ．1-C ．3D ．2【答案】AC【解析】利用5M ∈，可得25m 或245m ，解出m 的值代入集合验证满足元素互异性即可.【详解】因为5M ∈，所以25m 或245m ，解得：3m =，或1m =，1m =-，当3m =时，1,5,13M ，符合题意， 当1m =时，1,3,5M ，符合题意，当1m =-时，1,1,5M，不满足元素互异性，不成立所以3m =或1m =， 故选：AC【点睛】本题主要考查了元素的确定性和互异性，属于基础题. 10．下列函数中，满足(2)2()f x f x =的是（ ） A ．()2f x x = B ．()33f x x x =- C ．()f x x =-D ．()2f x x =+【答案】ABC【分析】分别求解(2)f x 和2()f x ，依次判断四个选项即可. 【详解】(2)224f x x x ==，2()4f x x =，故选项A 正确；(2)66f x x x =-，2()66f x x x =-，故选项B 正确；(2)2f x x =-，2()2f x x =-，故选项C 正确；(2)22f x x =+，2()24f x x =+，故选项D 错误.故选：ABC..11．已知,,a b c ∈R ，则下列命题正确的是（ ） A ．若0ab ≠且a b <，则11a b> B ．若01a <<，则2a a <C ．若0a b >>，则11b ba a+>+ D ．若c b a <<且0ac <，则22bc ac <【答案】BCD【分析】举出反例可判断A ；由不等式的基本性质可判断B 、D ；通过作差法可得()()11a b b a +>+，再由不等式的基本性质即可判断C.【详解】对于A ，当1a =-，1b =时，满足0ab ≠且a b <，此时11a b<，故A 错误； 对于B ，若01a <<，则2a a <，故B 正确； 对于C ，若0a b >>，则()()110a b b a a b +-+=->， 所以()()11a b b a +>+，所以11b ba a+>+，故C 正确； 对于D ，若c b a <<且0ac <，则0c a <<，所以20c >，22bc ac <，故D 正确. 故选：BCD.【点睛】本题考查了不等式基本性质的应用及不等关系的判断，属于基础题.12．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，下列说法正确的是（ ） A ．()00f =B ．若()f x 在[0,)+∞上有最小值1-，则()f x 在(,0]-∞上有最大值1C ．若()f x 在[1,)+∞上为增函数，则()f x 在(,1]-∞-上为减函数D ．若0x >时，()22f x x x =-，则0x <时，()22f x x x =--【答案】ABD【分析】根据奇函数的定义并取特值0x =即可判定A ；利用奇函数的定义和最值得定义可以求得()f x 在(,0]-∞上有最大值，进而判定B ；利用奇函数的单调性性质判定C ；利用奇函数的定义根据0x >时的解析式求得0x <时的解析式，进而判定D ． 【详解】由(0)(0)f f =-得(0)0f =，故A 正确； 当0x ≥时，()1f x ≥-，且存在00x ≥使得()01f x =-，则0x ≤时，()1f x -≥-，()()1f x f x =--≤，且当0x x =-有()01f x -=, ∴()f x 在(,0]-∞上有最大值为1，故B 正确；若()f x 在[1,)+∞上为增函数，而奇函数在对称区间上具有相同的单调性，则()f x 在(,1]-∞-上为增函数，故C 错误；若0x >时，()22f x x x =-，则0x <时，0x ->，22()()()2()2f x f x x x x x ⎡⎤=--=---⨯-=--⎣⎦，故D 正确．故选：ABD ．【点睛】本题考查函数的奇偶性，掌握奇函数的定义是解题关键．三、填空题13．已知集合{}2|340A x x x =+-<，{|230}B x x =+≥，则A B =________.【答案】3|12x x ⎧⎫-≤<⎨⎬⎩⎭【分析】求出集合A ，B ，依据交集的定义求出A B .【详解】解：集合{}2|340{|41}A x x x x x =+-<=-<<，3{|230}|2B x x x x ⎧⎫=+≥=≥-⎨⎬⎩⎭，3|12AB x x ⎧⎫∴=-≤<⎨⎬⎩⎭.故答案为：3|12x x ⎧⎫-≤<⎨⎬⎩⎭.14．若正数x ，y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是__________． 【答案】5【分析】先由条件35x y xy +=得315x y+=，再利用1的代换以及基本不等式求最值. 【详解】由条件35x y xy +=，两边同时除以xy ，得到315x y+=，那么1311123134(34)()(13)(135555y x x y x y x y x y +=++=++≥+= 等号成立的条件是123y x x y =，即2x y =，即11,2x y ==. 所以34x y +的最小值是5， 故答案为： 5 ．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用勾型函数的单调性求最值.15．若函数()f x 是幂函数，且满足()()432f f =，则12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值等于______.【答案】13【分析】由幂函数定义可设()f x x α=，利用已知等式得到23α=，由1122f α⎛⎫= ⎪⎝⎭可求得结果.【详解】设()f x x α=，则432αα=⨯ 23α∴= 11112223f αα⎛⎫⎛⎫∴=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：13【点睛】本题考查幂函数函数值的求解问题，关键是能够利用待定系数的方式构造方程得到等量关系，属于基础题.16．用{}min ,,a b c 表示a 、b 、c 三个数中的最小值，则()()1241,4,0min f x x x x x ⎧⎫++>⎨⎬⎩⎭=的最大值为________. 【答案】6【解析】依题意写出分段函数解析式，由分段函数的最值求解最大值． 【详解】解：因为()()1241,4,0min f x x x x x ⎧⎫++>⎨⎬⎩⎭=所以()12,24,1241,01x x f x x x x x ⎧⎪⎪=+<<⎨⎪+<⎪⎩，函数图象如下所示：则可知当2x =时，函数()()1241,4,0min f x x x x x ⎧⎫++>⎨⎬⎩⎭=取得最大值，最大值为：6． 故答案为：6．【点睛】本题考查新定义函数，分段函数的性质的应用，考查数形结合思想，属于中档题.四、解答题17．从两个符号“∀”“∃”中任选一个填写到①的位置，并完成下面的问题.已知集合56{|}A x x =≤≤，{|121}B x m x m =+≤≤-，若命题：①x A ∈，则x B ∈是真命题，求m 的取值范围. 【答案】选∀，742m ≤≤；选∃，35m ≤≤. 【分析】若选∀，则是全称量词命题，如选∃，则是存在量词命题，分别列出关于m 的不等式组求解即可.【详解】解：由已知集合56{|}A x x =≤≤，{|121}B x m x m =+≤≤-， 若选∀，则“x A ∀∈，则x B ∈”是真命题，则A B ⊆，所以15216m m +≤⎧⎨-≥⎩，解得742m ≤≤；若选∃，则p ：“x A ∃∈，满足x B ∈”是真命题，若p ⌝即“x A ∀∈，则x B ∉”为真命题，则121m m +>-，或12116m m m +≤-⎧⎨+>⎩，或121215m m m +≤-⎧⎨-<⎩， 解得3m <，或5m >，故若p 为真，只需35m ≤≤.18．（1）已知关于x 的不等式220ax x c ++>的解集为11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭，求220cx x a -+->的解集；（2）若不等式2(1)(1)3(1)0m x m x m +--+->对于任何实数x 恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）(2,3)-；（2）(1,)+∞.【分析】（1）利用一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，结合根与系数的关系求出a ，c ，然后再利用一元二次不等式的解法求解不等式的解集即可；（2）分10m +=和10m +≠两种情况，结合二次函数的图象与性质，列出不等关系，求解即可.【详解】（1）因为不等式220ax x c ++>的解集为11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以13-，12为方程220ax x c ++=的两个根且0a <，则112321132a c a⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，解得12a =-，2c =，所以不等式220cx x a -+->即为222120x x -++>，解得23x -<<， 故不等式的解集为(2,3)-；（2）因为不等式2(1)(1)3(1)0m x m x m +--+->对于任何实数x 恒成立， 当10m +=，即1m =-时，不等式为260x ->，不符合题意；当10m +≠，即1m ≠-时，则210(1)12(1)(1)0m m m m +>⎧⎨∆=--+-<⎩，解得1m . 综上所述，实数m 的取值范围为(1,)+∞.19．已知函数()f x 的解析式()35,05,0128,1x x f x x x x x +≤⎧⎪=+<<⎨⎪-+>⎩.(1)求12f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； (2)若()2f a =，求a 的值；(3)画出()f x 的图象，并写出函数的单调区间和值域（直接写出结果即可）. 【答案】(1)3- (2)1a =-或3a =(3)图象见解析，单调递增区间(],1-∞，单调递减区间为(1,)+∞，函数的值域(],6-∞【分析】（1）根据分段函数解析式计算可得；（2）根据分段函数解析式，分类讨论，列出方程求解a 即可．（3）直接利用分段函数作图法，作出分段函数的图象，写出单调区间以及函数的值域即可；【详解】(1)解：函数()f x 的解析式()35,05,0128,1x x f x x x x x +≤⎧⎪=+<<⎨⎪-+>⎩．11115222f ⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭，11111283222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；(2)解：因为()35,05,0128,1x x f x x x x x +≤⎧⎪=+<<⎨⎪-+>⎩且()2f a =，所以3520a a +=⎧⎨≤⎩，解得1a =-，5201a a +=⎧⎨<<⎩，解得3a =-（舍去）， 2821a a -+=⎧⎨>⎩，解得3a =， 综上1a =-或3a =．(3)解：画出函数的图象如图：由图可知，函数的单调递增区间(],1-∞，单调递减区间为(1,)+∞，函数的值域(],6-∞．20．函数2()1ax b f x x +=+是定义在 (1,1)-上的奇函数，且18().25f = （1）求函数()f x 的解析式；（2）用定义证明：()f x 在(1,1)-上是增函数；（3）解不等式(31)()0f t f t -+<.【答案】（1）24().1x f x x =+；（2）证明见解析；（3）1(0,).4 【解析】（1）由题意可得(0)01182()12514f b a f ==⎧⎪⎪⎨==⎪+⎪⎩，从而可求出,a b 的值，进而可得函数的解析式；（2）任取12,(1,1)x x ∈-，且12x x <，然后对12(),()f x f x 作差变形，再判断符号，可证得结论；（3）由于函数为奇函数，所以不等式(31)()0f t f t -+<可化为(31)()f t f t -<-，再利用()f x 在(1,1)-上是增函数，可得1311t t -<-<-<，解不等式组可得答案【详解】解：（1）由题意得：(0)01182()12514f b a f ==⎧⎪⎪⎨==⎪+⎪⎩， 解得40a b =⎧⎨=⎩，24()1x f x x =+，此时24()()1x f x f x x --=+=-，满足题意， 所以24().1x f x x =+ （2）任取12,(1,1)x x ∈-，且12x x <1221121222221212444()(1)()()11(1)(1)x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++ 因为1211x x -<<<，所以222112120,10,(1)(1)0x x x x x x ->-<++>所以12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <，所以()f x 在(1,1)-上是增函数（3）因为(31)()0f t f t -+<，所以(31)()f t f t -<-，因为()f x 是(1,1)-上的奇函数，所以(31)()f t f t -<-，由（2）知()f x 是(1,1)-上的增函数，所以1311t t -<-<-<，104t <<， 所以，不等式的解集为：1(0,).4 【点睛】此题考查奇函数的性质的应用，考查单调性的证明方法，考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，求解析式时，利用奇函数重要的性质：若奇函数在0x =处有意义，则(0)0f =21．“绿水青山就是金山银山”，为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下进行技术改进，把二氧化碳化为某种化工产品，经测算，该处理成本y （单位：万元）与处理量x （单位：吨）之间的函数关系可近似表示为2401600y x x =-+，3050x ≤≤，已知每处理一吨二氧化碳可获得价值20万元的某种化工产品.(1)当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？(2)判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元该工厂才不会亏损？【答案】(1)40吨(2)不会获利，700万元【分析】（1）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解.（2）当3050x ≤≤时，该工厂获利S ，则()2220401600(30)700S x x x x =--+=---，再结合二次函数的性质，即可求解.【详解】(1)由题意可得，二氧化碳的平均处理成本1600()40y P x x x x ==+-，3050x ≤≤，当3050x ≤≤时，1600()404040P x x x =+-≥=， 当且仅当1600x x=，即40x =等号成立， 故()P x 取得最小值为(40)40P =，故当处理量为40吨时，每吨的平均处理成本最少.(2)当3050x ≤≤时，该工厂获利S ，则()2220401600(30)700S x x x x =--+=---，当3050x ≤≤时，max 7000S =-<，故该工厂不会获利，国家至少需要补贴700万元，该工厂不会亏损.22．已知二次函数f （x ）=ax 2+bx+c （a>0，b ，c ∈R ）．设集合A={x ∈R| f （x ）=x}，B={x ∈R| f （f （x ））= f （x ）} ，C={x ∈R| f （f （x ））=0} ．（Ⅰ）当a=2，A={2}时，求集合B ；（Ⅱ）若10f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，试判断集合C 中的元素个数，并说明理由． 【答案】（Ⅰ）B=322⎧⎫⎨⎬⎩⎭，； （Ⅱ）详见解析． 【详解】试题分析：（Ⅰ） 当a=2，A={2}时,先由此确定b 的值，再根据f （f （x ））= f （x ）等价于方程f （x ）=2,求出集合B ．（Ⅱ）思路一：由10f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭及a>0，得方程f （x ）=0有两个不等的实根，记为12,x x ，利用配方法说明min112()f x x x ≤<，从而方程1()f x x =与2()f x x =各有两个不相等的实根，集合C 中的元素有4个．思路之二：先考虑方程f （x ）=0，即ax 2+bx+c=0．证明方程()0f x =有两个不等的实根x 1，x 2，再由方程f （f （x ））=0等价于方程f （x ）= x 1或f （x ）= x 2．分别考虑方程f （x ）= x 1、方程2()f x x =的判别式，以说明它们各有两个不等的实根且互不相同，从而集合C 中的元素有4个．试题解析：解：（Ⅰ）由a=2，A={2}，得方程f （x ）=x 有且只有一根2，∴122b a--=， 即147b a =-=-．由韦达定理可得方程①的另一根为322b a --=，故集合B=322⎧⎫⎨⎬⎩⎭，． （Ⅱ）法一：由10f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭及a>0，得方程f （x ）=0有两个不等的实根，记为12,x x ， 且有121x x a<<．从而可设12()()()f x a x x x x =--， ∴212min 21()()24x x a f x f x x +⎛⎫==-- ⎪⎝⎭． 由121x x a <<，得21110x x x a->->，又a>0， ∴222min 21111111()()444a a a f x x x x x x x a a ⎛⎫⎛⎫=--<--=-++≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴方程1()f x x =也有两个不等的实根． 另一方面，min 21()0f x x a<<<，∴方程2()f x x =也有两个不等的实根． 由12,x x 是方程f （x ）=0的两个不等实根，知方程f （f （x ））=0等价于1()f x x =或2()f x x =． 另外，由于12x x ≠，可知方程1()f x x =与2()f x x =不会有相同的实根． 综上，集合C 中的元素有4个．法二：先考虑方程f （x ）=0，即ax 2+bx+c=0． 由10f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭及0a >，得10b ac ++<，得 222444(2)0b ac b b b =->++=+≥，所以，方程()0f x =有两个不等的实根，记为x 1，x 2，其中12x x == 由x 1，x 2是方程f （x ）=0的两个不等实根，知方程f （f （x ））=0等价于方程f （x ）= x 1或f （x ）= x 2．考虑方程f （x ）= x 1的判别式2221144421)21b ac x b ac b b =-+=---=--．当210b -->，即12b <-时，显然有10>△； 当210b --≤，即12b ≥-时，由10b ac ++<，得3212b >+≥> 所以，()22221121(21)210b b b b b =--->+---=≥； 总之，无论b 取何值，都有10>△，从而方程1()f x x =有2个不等的实根．考虑方程2()f x x =的判别式22224442b ac x b ac b =-+=--+由10b ac ++<20b =+≥，从而有222242442(1)0b ac b b b b b ≥-->++-=+>，所以，方程2()f x x =也有2个不等的实根．另外，由于12x x ≠，可知方程1()f x x =与2()f x x =不会有相同的实根． 综上，集合C 中的元素有4个．【解析】1、一元二次函数；2、集合的概念；3、函数的零点与方程的根．。
黑龙江省哈尔滨市第九中学校2022-2023学年高一下学期期末数学试题
黑龙江省哈尔滨市第九中学校2022-2023学年高一下学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．cos sin()sin()a αγαγβ--C ．cos sin()sin()a αγβγα--二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为个体m 被抽到的概率是0.1B ．已知一组数据1，2，3，3，4，5的众数大于中位数C ．数据27，12，14，30，15，17，19，23D ．甲乙丙三种个体按3:1:2的比例分层抽样，如果抽取的甲个体数为量为1810．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为A B ∠∠，，∠A ．若cos cos a bB A=，则△ABC 为等腰三角形B ．若A B >，则sin sin A B>C ．若·0AB BC <，则△ABC 为钝角三角形D ．若sin cos a b C c B =+，则π4C ∠=11．如图AD 与BC 分别为圆台上下底面直径，则（）A ．圆台的母线与底面所成的角的正切值为B ．圆台的全面积为14πC ．圆台的外接球（上下底面圆周都在球面上）的半径为D ．从点A 经过圆台的表面到点A ．若OA OB OC ++ B ．若2OA OB ++ C ．若O 为ABC tan tan BAC OA ∠⋅+D ．若OA OB == 三、填空题13．已知2i z =-，z +14．如图，在四棱锥P -且PA AB =，E 为AP 的中点，则异面直线四、双空题15．甲､乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班76分，方差为96分2；乙班的平均成绩为名学生的平均成绩是五、填空题六、解答题17．四棱锥A BCDE -的侧面ABC 是等边三角形，(1)证明：EF ∥平面ABC ；(2)求四棱锥A BCDE -的体积.18．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是(1)求c 的值；(2)求()sin B C -．19．如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出出的频率分布直方图如下：观察图形，回答下列问题：(1)80~90这一组的频数､频率分别是多少？(2)估计这次环保知识竞赛成绩的平均数､众数(3)从成绩是80分以上（包括80分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率20．如图，三棱柱111ABC A B C -中､四边形ABB 1CA CB =，1CA CB ⊥，(1)证明：平面1CAB ⊥平面11ABB A ；(2)求直线1BB 和平面ABC 所成角的正弦值；21．已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为②sin sin sin A b cB C a c+=-+，③23S BA BC =-⋅ 并加以解答．(1)选__________，求角B 的大小；(2)如图，作AB AD ⊥，设BAC ∠=求BC 的取值范围．22．在校运动会上，有甲､乙､丙三位同学参加羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场。
黑龙江省哈尔滨市第九中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题
黑龙江省哈尔滨市第九中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．sin 240︒=（）A ．12B ．12-C D ． 2．已知集合{}{}20,1,2,3,|30M N x x x ==-<，则MN =（ ）A ．0B ．{}x |0x <C ．{}x |03x <<D ．{}1,23．已知扇形的周长为6cm ,半径是2cm ,则扇形的圆心角的弧度数是（ ） A ．4 B ．1C ．1或4D ．24．()f x =22,0,,03x x x x +≤⎧⎨<≤⎩若()f x =3,x 则的值为AB ．9C ．11-或D ．5．设()338x f x x =+-用二分法求方程3380x x +-=在(1,2)x ∈内近似解的过程中得(1)0,(1.5)0,(1.25)0f f f <><,则方程的根落在区间( ) A ．(1,1.25)B ．(1.25,1.5)C ．()1.5,2D ．不能确定6．已知函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则()f x 的解析式是（）A ．2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()2sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭7．已知角A 是ABC ∆的一个内角，若7sin cos 13A A +=，则tan A 等于（ ） A ．1213B ．712C ．512-D ．125-8．函数2()sin ()f x x x =的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．9．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：万元）对年销售量y （单位：t ）的影响，对近6年的年宣传费i x 和年销售量()1,2,,6i y i =⋅⋅⋅进行整理，得数据如表所示：根据表中数据，下列函数中，适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的拟合函数的是（ ） A ．()0.51y x =+ B ．21x y =- C ．3log 1.5y x =+D ．22y x =-10．关于函数()()π4sin 23f x x x R ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭有下列命题，其中个正确命题的个数是（ ）（1）()y f x =是以2π为最小正周期的周期函数； （2）()y f x =的图像关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称； （3）()y f x =的图像关于直线π6x =对称； （4）()y f x =的表达式可改写为()π4cos 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；11．已知函数()()sin 1f x x =-，()g x 满足()()20g x g x -+=，若函数()f x 的图象与函数()g x 的图象恰好有2019个交点，则这2019个交点的横坐标之和为（ ） A ．4038B ．2019C ．2018D ．100912．已知函数()()sin 0x f x x ωωω=>，若集合()(){}0,π1x f x ∈=-含有4个元素，则实数ω的取值范围是（ ） A．322⎡⎢⎣⎭B．3,22⎛⎝⎦ C ．725,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．725,26⎛⎤⎥⎝⎦13．函数|sin |y x =的最小正周期是________ . 14．sin 20cos10cos160sin10︒︒︒︒-=_____．15．若函数()22f x x x a =-+在()0,2内有两个零点，则a 的取值范围是______．16．已知函数()y f x =和()y g x =的图象关于y 轴对称，当函数()y f x =和()y g x =在区间上[],a b 同时单调递增或者同时单调递减时，把区间[],a b 叫做函数()y f x =的“不动区间”，若区间[]1,2为函数()2x f x t =+的“不动区间”，则实数t 的取值范围是______．17．已知角α的终边经过点()3,4P ，求下列各式的值． （1）()()cos πtan αα-+-；（2）()2πsin cos π2πsin 2ααα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭．18．函数()y f x =是定义在[]1,1-上的奇函数，当(]0,1x ∈时()f x x =+． （1）求()y f x =的解析式；（2）判断()y f x =的单调性（只写结果，不用证明），若()()21f a f a -<-，求实数a 的取值范围． 19．已知π,π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭，且1sin cos 224αα⋅=．（1）求cos α的值；（2）若()3sin 5αβ-=-，π,π2β⎛⎫∈⎪⎝⎭，求cos β的值． 20．已知函数()1124xx f x a =--． （1）若1a =时，求满足()11f x =-的实数x 的值；（2）若存在[]0,1x ∈，使()0f x >成立，求实数a 的取值范围．21．已知函数()()sin f x x ωϕ=+，()0,0πωϕ><<的图象两相邻对称轴之间的距离是π2，若将()f x 的图象向右平移π6个单位长度，所得图象对应的函数()g x 为奇函数．（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 的对称轴及单调增区间；（3）若对任意ππ,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()()223204f x mf x m -+-≥恒成立，求实数m 的取值范围．22．对于定义在区间[],m n 上的两个函数()f x 和()g x ，如果对任意的[],x m n ∈，均有不等式()()1f x g x -≤成立，则称函数()f x 与()g x 在[],m n 上是“友好”的，否则称为“不友好”的．（1）若()f x x =，()2g x x x =-，则()f x 与()g x 在区间[]1,2上是否“友好”；（2）现在有两个函数()()log 3a f x x a =-与()()1log 0,1a g x a a x a=>≠-，给定区间[]2,3a a ++．①若()f x 与()g x 在区间[]2,3a a ++上都有意义，求a 的取值范围； ②讨论函数()f x 与()g x 与在区间[]2,3a a ++上是否“友好”．参考答案1．D 【解析】 【分析】利用诱导公式可直接求得结果. 【详解】()3sin 240sin 18060sin 602=+=-=-本题正确选项：D 【点睛】本题考查利用诱导公式化简求值，属于基础题. 2．D 【解析】由题意得，集合{|03}N x x =<<，所以{}1,2M N ⋂=，故选D ． 考点：集合的运算． 3．B 【解析】 【分析】由题意布列关于扇形的圆心角的方程，解之即可. 【详解】设扇形的圆心角为αrad ，半径为Rcm ，则26R 2R R α+=⎧⎨=⎩，解得α＝1． 故选B ． 【点睛】本题考查扇形的弧长公式，注意区分扇形的周长与扇形的弧长，属于基础题. 4．A 【解析】因为()f x =22,0,03x x x x +≤⎧⎨<≤⎩,所以方程()3f x =等价于023x x ≤⎧⎨+=⎩或2303x x ⎧=⎨<≤⎩,求解可得x =故选A.5．B 【解析】 【分析】因为()338xf x x =+-,(1.5)0,(1.25)0f f ><,根据零点存在定理,即可求得答案.【详解】()338x f x x =+-又(1.5)0,(1.25)0f f ><∴ (1.5)(1.25)0f f ⋅<由零点存在定理可得()f x 在区间(1.25,1.5)存在零点.∴ 3380x x +-=方程的根落在区间(1.25,1.5)故选:B ． 【点睛】本题考查了判断零点的范围和求解方程根的范围,解题关键是掌握零点存在定理和二分法求方程根的解法,考查了分析能力,属于基础题. 6．B 【解析】 【分析】根据图像的最大值和最小值得到A ，根据图像得到周期，从而求出ω，再代入点7,26π⎛⎫- ⎪⎝⎭得到ϕ的值. 【详解】由图像可得函数的最大值为2，最小值为-2，故2A = 根据图像可知724632T πππ=-=， 所以22,1T Tππω===，代入点7,26π⎛⎫- ⎪⎝⎭得722sin 6πϕ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭所以73262k ππϕπ+=+，23k πϕπ=+ 因为02πϕ<<，所以0,3k πϕ==所以()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故选B .【点睛】本题考查根据正弦型函数的图像求函数的解析式，属于简单题. 7．D 【解析】 【分析】先由22sin cos 1A A +=，结合题中条件，得到60sin cos 169A A =-，再联立60,1697,13sinAcosA sinA cosA ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩求解，即可得出结果. 【详解】利用22sin cos 1A A +=，可得60sin cos 169A A =-，可知A 为钝角.解方程组 60,1697,13sinAcosA sinA cosA ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得12,135,13sinA cosA ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以12tan .5A =- 故选D 【点睛】本题主要考查已知正弦与余弦的和求正切的问题，熟记同角三角函数基本关系即可，属于常考题型. 8．A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，和2f π⎛⎫⎪⎝⎭的正负，排除选项，得到正确答案. 【详解】y x =是奇函数，()2sin y x =是偶函数()()2sin f x x x ∴=是奇函数，故排除B,C224πππ<<∴2sin 0224f πππ⎛⎫=⋅> ⎪⎝⎭，故排除D.故选：A 【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数图象，属于基础题型，一般根据选项判断函数的奇偶性，零点，特殊值的正负，以及单调性，极值点等排除选项. 9．C 【解析】 【分析】观察表中数据，对所给函数进行逻辑推理即可. 【详解】由题表知，当自变量增加1个单位时，函数值依次增加0.55，0.40，0.16，0.14，0.20， 因此A 、B 不符合题意，当x 取1，4时，22y x =-的值分别为1,14-，与表中数据相 差较大. 故选：C 【点睛】本题考查函数模型的选取，考查学生逻辑推理与数据分析的能力，是一道容易题. 10．B 【解析】 【分析】由周期的计算公式可判断（1）；计算3f π⎛⎫⎪⎝⎭，6f π⎛⎫⎪⎝⎭结合正弦型函数的对称性可判断（2），（3）；由诱导公式可判断（4）. 【详解】 由已知，22T ππ==，所以()y f x =是以π为最小正周期的周期函数，故（1）错误； 将3x π=代入()π4sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭中，得2π4sin 4sin 0333f πππ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以 ()f x 得图象关于π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称，故（2）正确；将6x π=代入()π4sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭中，得π4sin 4633f ππ⎛⎫⎛⎫=+=≠± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以直线π6x =不是其对称轴，故（3）错误； 因为()π4sin 24cos (2)4cos(2)3236f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+=-+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π4cos 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以（4）正确. 故选：B 【点睛】本题考查正弦型函数的性质，涉及到周期性、对称性等知识，考查学生的基本计算能力，是一道容易题. 11．B 【解析】 【分析】由已知得到函数()f x 的图象与函数()g x 的图象均关于点(1,0)对称，注意到(1)(1)0f g ==，通过逻辑推理即可得到答案.【详解】因为sin y x =的图象关于(0,0)对称，所以()()sin 1f x x =-的图象关于点(1,0)对称， 由()()20g x g x -+=可知，()g x 的图象也关于点(1,0)对称，又函数()f x 的图象与函数()g x 的图象恰好有2019个交点，注意到(1)(1)0f g ==，所以()f x 的图象与函数()g x的图象在除(1,0)外还有2018个交点，且这些交点也都关于点(1,0)对称，其横坐标的和为 2018，所以这2019个交点的横坐标之和为2019. 故选：B 【点睛】本题主要考查函数的对称性、函数图象的对称性，考查学生分析问题、解决问题的能力，考查学生直观想象，逻辑推理的核心素养，是一道中档题. 12．D 【解析】 【分析】利用辅助角公式将()f x 化为()2sin()3f x x πω=-，3t x πω=-，问题转化为2sin y t =与1y =-在(,)33t ππωπ∈--有4个不同交点，数形结合即可得到答案.【详解】由已知，()sin 2sin()3f x x x x πωωω==-，因为(0,)x π∈，所以(,)333x πππωωπ-∈--，令3t x πω=-，则问题转化为2sin y t =与1y =-在(,)33t ππωπ∈--有4个不同交点，如图只需19362336ππωπππωπ⎧->⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩，解得72526ω<≤. 故选：D【点睛】本题主要考查已知方程根的个数求参数的取值范围，涉及到辅助角公式、正弦型函数的图象，考查学生等价转化思想、数形结合思想，是一道中档题. 13．π 【解析】 【分析】根据sin y x =与sin y x =函数图像的关系，求得sin y x =的最小正周期. 【详解】sin y x =的最小正周期为2π.sin y x =的图像是由sin y x =函数图像：x 轴上方的图像保留，x 轴下方的图像关于x 轴对称到x 轴上方所得.故sin y x =的周期为π，图像如下图所示. 故填：π.【点睛】本小题主要考查三角函数的周期性，考查三角函数图像变换，属于基础题. 14．12【解析】 【分析】利用诱导公式，将cos160转化为cos 20-，然后利用两角和的正弦公式化简求出结果. 【详解】解：sin 20cos10cos160sin10︒︒-︒︒sin 20cos10cos20sin10=︒︒+︒︒()1sin 20102︒︒=+=，故答案为12．【点睛】本小题主要考查三角函数诱导公式，考查两角和的正弦公式，属于基础题. 15．{|01}a a << 【解析】 【分析】对称轴为1(0,2)x =∈，要使()f x 在()0,2内有两个零点，只需(1)0(2)0(0)0f f f <⎧⎪>⎨⎪>⎩，解不等式组即可. 【详解】由已知，对称轴为1(0,2)x =∈，要使()f x 在()0,2内有两个零点，只需(1)0(2)0(0)0f f f <⎧⎪>⎨⎪>⎩，即104400a a a -+<⎧⎪-+>⎨⎪>⎩，解得01a <<.故答案为：{|01}a a << 【点睛】本题考查已知函数零点的个数求参数的取值范围，考查学生数形结合的思想及数学运算能力，是一道容易题. 16．12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】由定义知()2x f x t =+与()|2|x g x t -=+在[]1,2上有相同的单调性，注意到2xy t =+与2x y t -=+的单调性相反，将所求问题转化为不等式(2)(2)0x x t t -++≤在[]1,2上恒成立即可解决.【详解】由题意，()()|2|xg x f x t -=-=+，因为区间[]1,2为函数()2xf x t =+的“不动区间”，所以()2xf x t =+与()|2|xg x t -=+在[]1,2上有相同的单调性，又2x y t =+与2xy t -=+的单调性相反，所以(2)(2)0x xt t -++≤在[]1,2上恒成立，即21(22)0x x t t -+++≤在[]1,2上恒成立，即22x x t --≤≤-在[]1,2上恒成立，解得122t -≤≤-. 故答案为：12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查函数的新定义的问题，涉及到函数的单调性、不等式恒成立，考查学生转化与化归的思想，是一道有一定难度的题. 17．（1）2915-（2）1 【解析】 【分析】（1）由三角函数的定义可得4sin 5α，3cos 5α=，4tan 3α=，再利用诱导公式化简求值即可；（2）直接利用诱导公式化简即可. 【详解】（1）由角α终边经过点()3,4P 知：4sin 5α，3cos 5α=，4tan 3α=，所以()()29cos πtan cos tan 15αααα-+-=--=-. （2）()()22πsin cos πcos cos 21πcos sin 2αααααα⎛⎫-+ ⎪-⋅-⎝⎭==⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查三角函数诱导公式的化简、求值，涉及到三角函数的定义，考查学生的运算能力，是一道容易题.18．（1）()[][)0,11,0x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨-∈-⎪⎩（2）()y f x =在区间[]1,1-上单调递增．312a ≤< 【解析】 【分析】（1）设[)1,0x ∈-，则(0,1]x -∈()f x x -=-+，再利用()y f x =的奇偶性即可得到答案；（2）利用()y f x =的单调性即可，但要注意定义域. 【详解】（1）因为()y f x =是奇函数，所以()y f x =关于原点对称，∴()00f =．设[)1,0x ∈-，则(0,1]x -∈，()()f x x f x -=-+=-，∴()f x x =-．∴()[][)0,11,0x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨-∈-⎪⎩．（2）()y f x =在区间[]1,1-上单调递增．∴12111121a a a a-≤-≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪-<-⎩，解得312a ≤<.综上，实数a 的取值范围为312a ≤<． 【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用，考查学生的逻辑推理能力，数学运算能力，是一道容易题. 19．（1）cos 2α=-（2）310- 【解析】 【分析】（1）由二倍角公式可得1sin 2α=，又π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，再利用同角三角函数的平方关系计算即可得到答案；（2）()cos cos βααβ=--⎡⎤⎣⎦()()cos cos sin sin ααβααβ=⋅-+⋅-，只需求出()cos αβ-的值即可.【详解】 （1）∵1sincos224αα⋅=，∴1sin 2α=．∵π,π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭，∴cos α=． （2）∵π,π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭，ππ,2β⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭∴ππ,22αβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭．∴()4cos 5αβ-=． ∴()cos cos βααβ=--⎡⎤⎣⎦()()4133cos cos sin sin 252510ααβααβ+⎛⎫=⋅-+⋅-=-⨯+⨯-=-⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查两角差的余弦公式以及二倍角公式的应用，涉及到同角三角函数的平方关系、配角求三角函数值，考查学生的转化与化归的思想、数学运算能力，是一道容易题.20．（1）12log 3x =（2）34a > 【解析】 【分析】 （1）由已知，1111124x x --=-，令()102x t t =>，则2120t t +-=，解得3t =或4t =-（舍），再回代解方程即可;（2）将原问题转化为存在[]0,1x ∈，使得1124x xa >+，只需求出函数11()24x x h x =+的最小值即可，再利用换元法求()h x 的最小值. 【详解】（1）当1a =时，()1111124x x f x =--=-，令()102x t t =>，则2120t t +-=，解得3t =或4t =-（舍），由132x=，得12log 3x =， 所以12log 3x =．（2）由已知，存在[]0,1x ∈，使()0f x >成立可转化为存在[]0,1x ∈，使得1124xx a >+， 只需求出函数11()24x xh x =+的最小值即可， 令12x t =，∴1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．则2y t t =+，易知2y t t =+在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以 2min 113()224y =+=，∴min 3()4h x =，∴34a >．【点睛】本题考查解指数型方程以及函数能成立求参数的问题，考查学生转化与化归的思想、数学运算能力，是一道容易题.21．（1）()sin(2)3f x x π=+；（2）对称轴为,212k x k Z ππ=+∈，单调增区间为5[,],1212k k k Z ππππ-+∈；（3）(,-∞[1)+∞ 【解析】 【分析】（1）由已知可得到周期T ，进一步得到2ω=，()=sin(2)3g x x πϕ-+，由()g x 为奇函数所以,3k k Z πϕπ-+=∈，结合0ϕπ<<即可得到ϕ；（2）令2,32x k k Z πππ+=+∈可得对称轴方程，由222,232k x k k Zπππππ-≤+≤+∈可得单调增区间； （3）易得()sin(2)[0,1]3f x x π=+∈，令()[0,1]f x t =∈，()h t =22324t mt m -+-，问题可转化为()0h t ≥在[0,1]上恒成立，只需求出min ()h t 即可. 【详解】（1）由已知，周期2T ππω==，所以2ω=，()()sin(2)63g x f x x ππϕ=-=-+，因为()g x 为奇函数，所以,3k k Z πϕπ-+=∈，即,3k k Z πϕπ=+∈，又0ϕπ<<，所以3πϕ=，所以()sin(2)3f x x π=+.（2）由（1）令2,32x k k Z πππ+=+∈，得,212k x k Z ππ=+∈， 所以()f x 的对称轴为,212k x k Z ππ=+∈； 由222,232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 所以()f x 的单调增区间为5[,],1212k k k Z ππππ-+∈； （3）当ππ,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，22[0,]33x ππ+∈，所以()sin(2)[0,1]3f x x π=+∈，令()[0,1]f x t =∈，则原问题可转化为223204t mt m -+-≥在[0,1]t ∈上恒成立， 令()h t =22324t mt m -+-， 当0m ≤时，()h t 在[0,1]上单调递增，所以2min 3()(0)04h t h m ==-≥，解得2m ≤或2m ≥，所以2m ≤； 当01m <<时，()h t 在[0,]m 上单调递减，[,1]m 上单调递增，所以min 3()()04h t h m ==-≥，此时无解； 当m 1≥时，()h t 在[0,1]上单调递减，所以2min 1()(1)204h t h m m ==-+≥，解得12m ≥+或12m ≤-，所以12m ≥+.综上，实数m 的取值范围为(,2-∞-[1)2++∞. 【点睛】本题考查三角函数的综合应用，涉及到求函数解析式、函数的对称轴、单调区间、不等式恒成立，考查学生的逻辑推理能力、数学运算能力，是一道中档题. 22．（1）是；（2）①(0,1)；②见解析 【解析】 【分析】（1）按照定义，只需判断()()2(1)11f x g x x -=--≤在区间[]1,2上是否恒成立；（2）①由题意解不等式组23020a a a a +->⎧⎨+->⎩即可；②假设存在实数a ，使得()f x 与()g x 与在区间[]2,3a a ++上是“友好”的，即()()22log (43)1a f x g x x ax a -=-+≤，即221log (43)1a x ax a -≤-+≤，只需求出函数22log (43)a y x ax a =-+在区间[]2,3a a ++上的最值，解不等式组即可.【详解】（1）由已知，()()222(1)1f x g x x x x -=-=--，因为[]1,2x ∈时，2(1)1[1,0]y x =--∈-，所以()()2(1)11f x g x x -=--≤恒成立，故()f x 与()g x 在区间[]1,2上是“友好”的.（2）①()f x 与()g x 在区间[]2,3a a ++上都有意义，则必须满足23020a a a a +->⎧⎨+->⎩，解得1a <，又0a >且1a ≠，所以a 的取值范围为(0,1).②假设存在实数a ，使得()f x 与()g x 与在区间[]2,3a a ++上是“友好”的，则()()22log (43)1a f x g x x ax a -=-+≤，即221log (43)1a x ax a -≤-+≤，因为(0,1)a ∈，则2(0,2)a ∈，22a +>，所以[]2,3a a ++在2x a =的右侧， 又复合函数的单调性可得22log (43)a y x ax a =-+在区间[]2,3a a ++上为减函数，从而max 2,log (44)a x a y a =+=-，min 3,log (96)a x a y a =+=-，所以log (44)1log (96)101a a a a a -≤⎧⎪-≥-⎨⎪<<⎩，解得9012a -<≤，所以当9012a <≤时，()f x 与()g x 与在区间[]2,3a a ++上是“友好”的；1a <<时，()f x 与()g x 与在区间[]2,3a a ++上是“不友好”的. 【点睛】本题考查函数的新定义问题，主要涉及到不等式恒成立的问题，考查学生转化与化归的思想、数学运算求解能力，是一道有一定难度的题.。
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市第九中学高一上学期期末考试数学试题(解析版)
2018，所以这2019个交点的横坐标之和为2019.
故选：B
【点睛】
本题主要考查函数的对称性、函数图象的对称性，考查学生分析问题、解决问题的能力，考查学生直观想象，逻辑推理的核心素养，是一道中档题.
12．已知函数 ，若集合 含有4个元素，则实数 的取值范围是（）
【详解】
（1）由已知， ，因为 时，
，所以 恒成立，故
与 在区间 上是“友好”的.
（2）① 与 在区间 上都有意义，
则必须满足 ，解得 ，又 且 ，
所以 的取值范围为 .
②假设存在实数 ，使得 与 与在区间 上是“友好”的，
则 ，即 ，
因为 ，则 ， ，所以 在 的右侧，
又复合函数的单调性可得 在区间 上为减函数，
x
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
y
1.65
2.20
2.60
2.76
2.90
3.10
根据表中数据，下列函数中，适宜作为年销售量 关于年宣传费 的拟合函数的是（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】观察表中数据，对所给函数进行逻辑推理即可.
【详解】
由题表知，当自变量增加1个单位时，函数值依次增加0.55，0.40，0.16，0.14，0.20，
（1）求 的解析式；
（2）求 的对称轴及单调增区间；
（3）若对任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ；（2）对称轴为 ，单调增区间为 ；（3）
【解析】（1）由已知可得到周期 ，进一步得到 ， ，由 为奇函数所以 ，结合 即可得到 ；
黑龙江省哈尔滨市第九中学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题
黑龙江省哈尔滨市第九中学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知集合{M x y ==，{}2N y y x ==，则M N = （）A ．[]0,2B ．(]0,2C ．(],0-∞D ．[)2,+∞2．下列函数中，函数的图象关于y 轴对称是（）A ．3y x =B ．1y x x=+C ．211y x =+D ．21x y x =-3．若命题“12x ∃<<，2a x >”为假命题，则a 的范围是（）A ．2a <B ．2a ≤C ．4a <D ．4a ≤4．若 1.12a =， 1.32b =， 1.10.6c =则（）A ．c a b >>B ．a b c >>C ．c b a>>D ．b a c>>5．已知函数1xy x =-的对称中心为点A ，且点A 在函数(),0y mx n m n =+>图象上，则22m n +的最小值为（）A ．4B ．12C ．43D ．326．若函数224(1)()42(1)x a x f x x ax a x ⎧+≤=⎨-+>⎩在R 上单调递增，则a 取值范围是（）A ．(]14，B ．[]34，C ．(]13，D ．[)4∞+，7．在R 上定义的函数()f x 是奇函数，且()()2f x f x =-，若()f x 在区间[]1,2上是减函数，则关于()f x 下列说法正确的是（）A ．在区间[]0,1上是增函数，在区间[]3,4上是增函数B ．在区间[]0,1上是增函数，在区间[]3,4上是减函数C ．在区间[]0,1上是减函数，在区间[]3,4上是增函数D ．在区间[]0,1上是减函数，在区间[]3,4上是减函数8．“相约哈尔滨，逐梦亚冬会”．哈尔滨地铁3号线预计年底全线载客运营，届时，哈尔滨地铁1号线2号线3号线将形成“十字+环线”地铁线网，将为哈尔滨2025年第九届亚冬会的举办提供有力交通保障.通车后，列车的发车时间间隔t （单位：分钟）满足220t ≤≤，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔相关，当1020t ≤≤时列车为满载状态，载客量为500人，当210t ≤<时，载客量会减少，减少的人数与()10t -的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，则当发车时间间隔为5t =时，列车的载客量为（）A ．410B ．420C ．450D ．480二、多选题9．下列有关不等式的说法正确的有（）A ．若a b >，则22a b >B ．若a b >，则33a b >C ．若a b >，则11a b<D ．若a b >，则22a b >10．已知14a a -+=，则（）A ．1122a a -+=B ．2214a a -+=C ．3352a a -+=D ．1a a --=11．已知定义在R 上函数()f x 的图象连续不间断，且满足以下条件：①(1)f x +是偶函数；②1x ∀，()2,1x ∈-∞，且12x x ≠时，都有()()21210f x f x x x ->-；③()30f =，则下列成立的是（）A ．()()12f f <-B ．若()0f x x<，()()3,03,x ∞∈-⋃+C ．若()()12f m f -<，则()(),13,m ∈-∞+∞ D ．x ∀∈R ，M ∃∈R ，使得()f x M≤三、填空题12．已知集合{}1,3A =-，{}260B x ax bx =++=，且A B =，则a b +=．13．已知()f x 是定义在()(),00,-∞+∞ 上的奇函数，当0x >时，()224f x x x =-+，则当0x <时，()f x =．14．设函数()442xx f x =+，则()()()()1012f f f f -+++=，不等式()()221f x f x <-⎡⎤⎣⎦的解集为．四、解答题15．计算下列各式的值：)102123-⎛⎫+++⎪⎝⎭；(2)1230.527110.25826-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(3)25551log 16log 35log 14log 50+--16．已知幂函数()()()225222k kf x m m x k -=-+∈Z 是奇函数，且在()0,∞+上单调递增．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若()()212f x f x -<-，求x 的取值范围；(3)若实数(),,a b a b +∈R，满足2a b m +=，求1aa b+的最小值．17．已知函数()()220f x ax ax b a =-+≠(1)若1a =，2b =，求()f x 在[],1t t +上的最小值；(2)若函数在区间[]2,4上的最大值为9，最小值为1，求实数a 、b 的值．18．已知函数()22x f x x =-（∈，且2x ≠）(1)用定义证明：()f x 在区间0,2上单调递减；(2)若函数()f x 在[]0,1x ∈上的值域恰为函数()xg x a =定义域，求()g x 的值域；(3)函数()()2135h x b x b =-+，1b ≥，[]0,1x ∈，若对于任意[]10,1x ∈，总存在[]20,1x ∈，使得()()12f x h x =成立，求b 的取值范围．19．已知函数()22x x af x b+=+．(1)当4a =，2b =-时，求满足()2xf x =的x 的值；(2)若函数()f x 是定义在R 上的奇函数.①存在[]1,1t ∈-，使得不等式()()222f t t f t k -<-有解，求实数k 的取值范围；②令()()()11f x g x f x +=-，对于定义域内的1x ，2x ，3x ，若()()()()2323g x g x g x g x +=且()()()()()()123123g x g x g x g x g x g x ++=，求1x 的最大值．。
哈九中数学高一月考试题2014.6.8.12：04(修改稿)
哈尔滨市第九中学2013---2014学年度下学期 5月份月考高一学年数学学科试卷（考试时间：120分钟 满分：150分 共2页 命题人：刘颖波）第 I 卷(选择题 共72分)一．选择题：本题共12小题，每小题6分，共72分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在客观题答题卡上。
1．若,,,,b a R c b a >∈则下列不等式成立的是 （ ）A ．ba 11> B ．22b a > C ．1122+>+c b c a D ．||||c b c a > 2．已知异面直线a ,b 满足,,βα⊂⊂b a 且,l =⋂βα则直线l 与b a ,位置关系一定是（ ） A ．l 与b a ,都相交 B ．l 至少与b a ,中的一条相交 C ．l 至多与b a ,中的一条相交 D ．l 至少与b a ,中的一条平行3．下列结论正确的是 （ ）A ．当0>x ，且1≠x 时，2lg 1lg ≥+xx B ．当2≥x 时，x x 1+的最小值为2 C ．函数2322++=x x y 的最小值是223 D ．当⎥⎦⎤ ⎝⎛∈2,0πx 时，x x sin +无最大值 4．给出下列四个命题：①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；②两条直线可以确定一个平面；③若,,,l M M =⋂∈∈βαβα则l M ∈；④和两条异面直线都垂直的直线有无数条。
其中正确的命题是 （ ）A ．①②B ．①③C ．③④D ．②④5．不等式组⎩⎨⎧>-<-1)1(log 2|2|22x x 的解集是 （ ） A ．()3,0 B ．()2,3 C ．()4,3 D ．()4,26. 已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直。
一个体积为34π的球与棱柱的所有面均相切，那么这个棱柱的表面积是 （ ）A.36B. 312C. 318D. 3247．如图是一个几何体的三视图，(侧视图中的弧线是半圆)，则该几何体的表面积是 （ ） A ．π320+ B ．π324+ C ．π420+ D ．π424+8．若不等式()()na n n1121+-+<-对任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是 （）A.⎪⎭⎫⎢⎣⎡-23,2 B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,2 C. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡-23,3 D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,3 9．轴截面是等腰直角三角形，侧面积是π216的圆锥的体积是 （ ）A ．364π B ．3128π C ．π64 D ．π2128 10．如图，已知在正方体1111D C B A ABCD -中，棱长为a ,N M ,分别是11,AA CC 的中点，则四棱锥ND MB A 1-的体积是 （ ）A. 63aB. 33aC. 323aD. 433aB11111．一个空间几何体的三视图及其相关数据如下图所示，则这个空间几何体的表面积是（ ）A ．211πB ．6211+πC ．3311+πD ．33211+π12．先在棱长为32的正四面体内放一个内切球，然后再在正四面体四个顶点空隙处各放入一个小球，则后放入的这四个小球的最大半径为 （ ） A ．2 B ．22 C ．42 D ．62第 II 卷（非选择题 共78分）二．填空题：本题共4小题，每小题6分，共24分，请将答案写在答题纸指定的位置上。
黑龙江省哈尔滨市第九中学校2024-2025学年高一上学期10月月考 数学试卷(含答案)
哈九中2024级高一学年10月月考数学试卷（时间：120分钟 满分：150分）一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列表示正确的是（）A. B. C.2.若集合，则应满足（）A. B. C. D.3.对于集合，若不成立，则下列理解正确的是（）A.集合的任何一个元素都属于B.集合的任何一个元素都不属于C.集合中至少有一个元素属于D.集合中至少有一个元素不属于4.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.即不充分也不必要条件5.若命题是假命题，则实数的取值范围是（）A.B.C. D.6.若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）A. B. C. D.7.《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.下图是我国古代数学家赵爽创作的弦图，弦图由四个全等的直角三角形与一个小正方形（边长可以为0）拼成的一个大正方形.若直角三角形的直角边长分别为和，则该图形可以完成的无字证明为（ ）*0∈N 12∈Z π∈Q R{},A x x =-x 0x >0x <0x =0x ≤,A B B A ⊆B AB AB AB Ax ∈R 05x <<01x <<2:,40p x x x a ∃∈++=R a 04a <<4a >0a <4a ≥()y f x =[]1,2y f=[]1,2⎡⎣[]1,4[]2,4a bA.B.8.若函数的部分图象如图所示，则（ ）A. B. C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.9.下列各组函数表示不同函数的是（）A.B.C.D.)0,02a b a b +≥>>()2220,0a b ab a b +≥>>()20,011a b a b ≥>>+()0,02a b a b +≥>>()22f x ax bx c=++()1f =23-112-16-13-()()0,f x g x ==+()()01,f x g x x==()()f x g x x==()()211,1x f x x g x x -=+=-10.已知，则下列命题正确的是（ ）A.若且，则B.若，则C.若，则D.若且，则11.已知集合，则可能是（ ）A. B.C.或 D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合，则__________.13.若正数满足，则的最小值是__________.14.表示不大于的最大整数，例，则的的取值范围__________，方程的解集是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本题13分）已知集合（1）求；（2）若，求实数的取值范围.16.（本题15分）已知函数的解析式（1）求（2）画出的图像，并写出函数的单调区间和值域（直接写出结果即可）.,,a b c ∈R 0ab ≠a b <11a b >01a <<2a a<0a b >>11b b a a+>+c b a <<0ac <22bc ac <(){}{}2110,1,0A x ax a x a B x x =-++><=>∣∣A B ⋂10x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭{01}x x <<∣{01x x <<∣1x a ⎫>⎬⎭11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭{}{}2340,230A xx x B x x =+-<=+≥∣∣A B ⋂=,x y 35x y xy +=34x y +[]x x ][2.32, 5.66⎡⎤=-=-⎣⎦[]2x =x []22x x ={}20,21,2x A xB x a x a a x ⎧⎫-=≤=≤≤+∈⎨⎬+⎩⎭R ∣A B A ⊆a ()f x ()350501281x x f x x x x x +≤⎧⎪=+<<⎨⎪-+>⎩12f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x（3）若，求的值.17.（本题15分）（1）已知关于的不等式的解集为，求的解集；（2）若不等式对于任何实数恒成立，求实数的取值范围.18.（本题17分）已知函数，且（1）求的解析式；（2）已知：当时，不等式恒成立；：当时，是单调函数，若和只有一个是真命题，求实数的取值范围.19.（本题17分）若存在实数使得，则称是区间的一内点.（1）若是区间的一内点，求的值；（2）求证：的充要条件是存在，使得是区间的一内点；（3）给定实数，若对于任意区间是区间的一内点，是区间的一内点，且不等式和不等式对于任意都恒成立，求证：()2f a =a x 220ax x c ++>11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭220cx x a -+->()()()211310m x m x m +--+->x m ()2f x x bx c =++()()()11,02f x f x f +=-=-()f x ,a p ∈R 01x <<()32f x x a +<+q []2,2x ∈-()()g x f x ax =-p q a ()0,1λ∈()1x a b λλ=+-x (),()a b a b <λ2x =()1,3λλ(),x a b ∈()0,1λ∈x (),a b λ()0,1ω∈()1,(),a b a b x <1λ2x 2λ()22211x a b ωω≤+-()22221x a b ωω≤-+a b ∈R ､121λλ+=答案1-8DADB BCBD9.ABD 10.BCD11.BC 12. 13.5 14.；15.（1）由题意得，解得，则.（2）因为，当时，，解得，满足题意，当时，因为，所以，解得，综上所述，实数的取值范围为.16.【详解】（1）解：因为，所以，则.（2）解：如图所示，当时，函数最大值为6，无最小值，所以值域为单调递增区间，单调递减区间最大值无法取到（3）解：当时，，解得；当时，，解得，不符合题意；当时，，解得，综上所述，或3.17.（1）由题意得：是方程的两个根，3,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭[)2,3{}2()()22020x x x ⎧-+≤⎨+≠⎩22x -<≤{22}A xx =-<≤∣B A ⊆B =∅21a a >+1a <-B ≠∅B A ⊆212212a a a a ≤+⎧⎪>-⎨⎪+≤⎩112a -≤≤a 1,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦1012<<111122f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭11111283222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1x =(),6∞-(],1∞-[)1,∞+0a ≤()352f a a =+=1a =-01a <≤()52f a a =+=3a =-1a >282a -+=3a =1a =-11,32-220ax x c ++=所以，解得，所以不等式即为，即，解得，所以不等式的解集为.（2）因为不等式对任何实数恒成立，①当即时，不等式为，不满足题意，舍去，②当时，则解得，综上所述，实数的取值范围为.18.（1）因为，则的对称轴是，解得，又因为，所以.（2）若为真，，则对任意的恒成立，可知的图象开口向上，对称轴为，可知在内单调递减，且，则；若为真，，可知的图象开口向上，对称轴为，因为在内是单调函数，则或，解得或；120931104a c a c ⎧-+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩122a c =-⎧⎨=⎩220cx x a -+->222120x x -++>()()2230x x -+->23x -<<{23}xx -<<∣()()()211310m x m x m +--+->x 10m +=1m =-260x ->1m ≠-()()210Δ(1)12110m m m m +>⎧⎨=--+-<⎩1m >m ()1,∞+()()11f x f x +=-()f x 12b x =-=2b =-()02f c ==-()222f x x x =--p ()32f x x a +<+()22341a f x x x x >-+=-+()0,1x ∈()241h x x x =-+2x =()241h x x x =-+()0,1()01h =1a ≥q ()()()222g x f x ax x a x =-=-+-()g x 22a x +=()g x []2,2-222a +≤-222a +≥6a ≤-2a ≥若与真假性相反，则或，解得或，所以实数的取值范围为或.19.解：（1）（2）①若是区间的一内点，则存在实数使得，，则，②若，取，则，且，则是区间的一内点，故的充要条件是存在，使得是区间的一内点；（3）因为是区间的一内点，则，则恒成立，则恒成立，当时，上式不可能恒成立，因此，所以，即，即同理，故.p q 162a a ≥⎧⎨-<<⎩162a a a <⎧⎨≤-≥⎩或6a ≤-12a ≤<a 6a ≤-12a ≤<12λ=x (),()a b a b <λ()0,1λ∈()1x a b λλ=+-()()()1,x a b a b b a b λλλ=+-=-+∈(),x a b ∈b x b a λ-=-()1x a b λλ=+-01b x b a b a b a--<<=--x (),()a b a b <λ(),x a b ∈()0,1λ∈x (),a b λ1x 1λ()1111x a b λλ=+-()()2221111a b a b λλωω⎡⎤+-≤+-⎣⎦()()()2222211111220a ab b ωλλλλλω---+-+-≥210ωλ-≤210ωλ->()()()222211111Δ4420λλωλλλω=----+-≤()210λω-≤1,λω=21λω=-121λλ+=。
哈九中高一数学上学期函数综合测试
重点题型快速强化训练检测一1．函数=y )1ln(x -的定义域为A. (0,1)B. [0,1)C. (0,1]D. [0,1] 2. 函数xy 416-=的值域是A. ),0[+∞B. ]4,0[C. )4,0[D. )4,0( 3．函数12()f x x -=的大致图像是4．已知y x ,为正实数, 则A. y x y x lg lg lg lg 222+=+B. y x y x lg lg )lg(222∙=+C. y x y x lg lg lg lg 222+=∙D. y x xy lg lg )lg(222∙= 5. 化简)0,0()(3421413223>>⋅⋅b a abb a ab b a 的结果是A.b a B. ab C. a b D. 2ba 6. 如果1122log log 0,x y<<那么A. y<x<1B. x<y<1C. 1<x<yD. 1<y<x 7．若632==ba，则abba +的值为 A ．1 B. －1 C. 6 D. 61 8. 函数()2()ln 1f x x x=+-的零点所在的大致区间是 A. ()0,1 B. ()1,2 C. ()2,3 D. ()3,49．已知函数()f x 为奇函数, 且当0x >时, 21()f x x x=+, 则(1)f -= A. 2- B. 0 C. 1 D. 2 10．函数y =()63a -≤≤的最大值为A. 9B.92C. 3D. 211．函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为A. 1B. 2C. 3D. 412. 若点()b a ,在x y lg =图象上，1≠a ，则下列点也在此图象上的是A. ⎪⎭⎫⎝⎛b a ,1 B. ()b a -1,10 C. ⎪⎭⎫⎝⎛+1,10b a D. ()b a 2,2 13. 下列函数既是奇函数，又在区间]1,1[-上单调递减的是A ．xxx f +-=22ln )( B. 1)(+-=x x fC. 2)(-=x x fD. )(21)(xx a a x f -+=14. 已知函数()2,f x x x x =-则下列结论正确的是A. ()0+f x ∞是偶函数，递增区间为（，）B. (),1f x -∞是偶函数，递增区间为（）C. ()-0f x ∞是奇函数，递增区间为（，） D ．()-11f x 是奇函数，递减区间为（，） 15. 设()⎩⎨⎧≥-<=-,2,1log ,2,2)(231x x x e x f x 则不等式2)(<x f 的解集为 A. ),10(+∞ B. [)10,2)1,(⋃-∞ C. (]),10(2,1+∞⋃ D. )10,1(16. 设132log <a ，则实数a 的取值范围是A. )1,32(B. ),32(+∞C. ),32()32,0(+∞⋃D. ),1()32,0(+∞⋃17. 函数=)(x f 3log x在区间[a,b]上的值域为[0,1],则b-a 的最小值为A. 2B.1C.23 D. 1318. 设c b a ,,均为正数，且a a21log 2=，b b21log 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛，c c2log 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛，则A. c b a <<B. a b c <<C. b a c <<D. c a b <<19. 已知函数)(x f 是奇函数，当0>x 时，,3)4(log ),1,0()(21-=≠>=f a a a x f x且则a 的值为A.3B. 3C. 9D. 23 20. 若函数()221()log (0,1)02x x af x a a +=>≠在区间（，）内恒有()0,()f x f x >则的单调递增区间为A. 1(,)4-∞-B. 1(,)4-+∞C. (0,)+∞D. 1(,)2-∞-21. 已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，22()2,(2)(),f x x x f a f a a =+->若则实数的取值范围是A. (,1)(2,)-∞-⋃+∞B. (1,2)-C. (2,1)-D. (,2)(1,)-∞-⋃+∞22. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=2,1)21(2,)2()(x x x a x f x 满足对任意的实数21x x ≠，都有0)()(2121<--x x x f x f 成立，则实数a 的取值范围为 A. )2,(-∞ B. ]813,(-∞ C. ]2,(-∞ D. )2,813[23. 已知0>a ，且1≠a ，xa x x f -=2)(，当)1,1(-∈x 时，均有21)(<x f ，则实数a 的取值范围是A.),2[]21,0(+∞⋃B.]4,1()1,41[⋃C.]2,1()1,21[⋃D.),4[]41,0[+∞⋃24．若函数12)(22-=-+aax xx f 的定义域为R ，则a 的取值范围为__________。
哈九中考试题及答案高一
哈九中考试题及答案高一一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列关于细胞结构的描述，错误的是：A. 细胞膜具有选择透过性B. 细胞核是细胞遗传信息库C. 叶绿体是光合作用的场所D. 细胞壁存在于所有细胞中答案：D2. 以下哪项不是蛋白质的功能？A. 催化作用B. 运输作用C. 调节作用D. 储存能量答案：D3. 以下哪种物质不是细胞呼吸的产物？A. 二氧化碳B. 水C. 氧气D. 能量答案：C4. 细胞分裂过程中，染色体的变化顺序是：A. 复制、排列、分离、恢复B. 排列、复制、分离、恢复C. 排列、分离、复制、恢复D. 分离、复制、排列、恢复答案：A5. 下列关于DNA复制的描述，正确的是：A. 需要模板、能量、酶和原料B. 复制方式是半保留复制C. 复制过程中，DNA分子的两条链都作为模板D. 以上都是答案：D6. 细胞分化的实质是：A. 基因的选择性表达B. 细胞体积的增大C. 细胞数量的增多D. 细胞形态的改变答案：A7. 以下哪种细胞器不含有双层膜结构？A. 线粒体B. 叶绿体C. 内质网D. 高尔基体答案：D8. 以下哪种物质是细胞呼吸的底物？A. 葡萄糖B. 氨基酸C. 脂肪酸D. 以上都是答案：D9. 细胞凋亡与细胞坏死的区别在于：A. 细胞凋亡是程序性死亡，细胞坏死是非程序性死亡B. 细胞凋亡是被动的，细胞坏死是主动的C. 细胞凋亡是细胞坏死的前体D. 细胞凋亡和细胞坏死都是细胞死亡答案：A10. 细胞周期中，DNA复制发生在：A. G1期B. S期C. G2期D. M期答案：B二、填空题（每题2分，共20分）1. 细胞膜的主要组成成分是_______和_______。
答案：磷脂、蛋白质2. 细胞呼吸的第一阶段是_______。
答案：糖酵解3. 细胞分化的结果是形成_______。
答案：组织4. 细胞周期中，G1期的主要活动是_______。
答案：合成RNA和蛋白质5. DNA复制的酶是_______。
哈九中高一数学重点题型快速强化训练十五
重点题型快速强化训练十五1．已知扇形的周长是6cm ，面积是2cm 2，则扇形的中心角的弧度数是 A. 1 B. 1或4 C. 4 D. 2或4 2. 若3sin cos 0αα+=, 则21cos sin 2αα+= 。
3. 函数2sin cos y x x =+的值域是 。
4. 函数123log sin(2)2y x π⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦的单调增区间是A. ,,2k k k Z ππππ⎡⎫-+-+∈⎪⎢⎣⎭ B. ,,24k k k Z ππππ⎡⎫-+-+∈⎪⎢⎣⎭ C. ,,42k k k Z ππππ⎡⎫++∈⎪⎢⎣⎭ D. ,,2k k k Z πππ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭5. 已知1cos(75),180903αα+=-<<-其中，则sin(105)cos(375)αα-+- = 。
6．若54sin =A 且A 是三角形的一个内角，则7cos 158sin 5-+A A = 。
7．若α为锐角，1sin cos ,2αα-=则33sin cos αα-= 。
重点题型快速强化训练十五1．已知扇形的周长是6cm ，面积是2cm 2，则扇形的中心角的弧度数是 A. 1 B. 1或4 C. 4 D. 2或4 2. 若3sin cos 0αα+=, 则21cos sin 2αα+= 。
3. 函数2sin cos y x x =+的值域是 。
4. 函数123log sin(2)2y x π⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦的单调增区间是A. ,,2k k k Z ππππ⎡⎫-+-+∈⎪⎢⎣⎭B. ,,24k k k Z ππππ⎡⎫-+-+∈⎪⎢⎣⎭ C. ,,42k k k Z ππππ⎡⎫++∈⎪⎢⎣⎭ D. ,,2k k k Z πππ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭5. 已知1cos(75),180903αα+=-<<-其中，则sin(105)cos(375)αα-+- = 。
6．若54sin =A 且A 是三角形的一个内角，则7cos 158sin 5-+A A = 。
2023-2024学年黑龙江省哈尔滨九中高一(下)月考数学试卷(6月份)+答案解析
2023-2024学年黑龙江省哈尔滨九中高一（下）月考数学试卷（6月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则的虚部为()A. B.1 C.3 D.2.已知l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下面四个命题中，正确的是()A.若，，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，，，则3.某学校数学教研组举办了数学知识竞赛满分100分，其中高一、高二、高三年级参赛选手的人数分别为1000，800，现用分层抽样的方法从三个年级中抽取样本，经计算可得高二、高三年级参赛选手成绩的样本平均数分别为76，82，全校参赛选手成绩的样本平均数为75，则高一年级参赛选手成绩的样本平均数为()A.69B.70C.73D.794.如图，D是边AC的中点，E在BD上，且，则()A. B.C. D.5.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，在A处测得公路北侧一山顶D在西偏北即的方向上；行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北即的方向上，且仰角为，则此山的高度()A. B. C. D.6.设向量与的夹角为，定义，已知，，则()A. B. C. D.7.在中，，再从下列四个条件中选出两个条件，①；②；③；④面积为，使得存在且唯一，则这两个条件是()A.①②B.①③C.②③D.①④8.在四棱锥中，底面ABCD为等腰梯形，底面若，，则这个四棱锥的外接球表面积为()A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知向量，则下列说法正确的是()A.若，则B.若，则C.“”是“与的夹角为钝角”的充要条件D.若，则在上的投影向量的坐标为10.设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是()A.若，则B.若，则C.若，则为钝角三角形D.若，则为等腰三角形或者直角三角形11.如图，在棱长为2的正方体中，O为正方体的中心，M为的中点，F为侧面正方形内一动点，且满足平面，则()A.三棱锥的外接球表面积为B.动点F的轨迹是一条线段C.三棱锥的体积是随点F的运动而变化的D.若过A，M，三点作正方体的截面，Q为截面上一点，则线段长度的取值范围为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
2021-2022学年黑龙江哈尔滨市第九中学校高一年级下册学期期中数学试题【含答案】
2021-2022学年黑龙江哈尔滨市第九中学校高一下学期期中数学试题一、单选题1．已知i 为虚数单位，复数1i z =+，则下列命题不正确的是（ ） A ．z 的共轭复数为1i z =-B ．z 的虚部为iC ．z 在复平面内对应的点在第一象限D ．||z =【答案】B【分析】根据复数的定义和几何意义解决即可.【详解】由题知，复数1i=(1,1)z =+的共轭复数为1i z =-，虚部为1，在复平面内对应的点为(1,1)在第一象限，||z =B 错误 故选：B2．某圆锥的母线长为2，侧面积为2π，则其体积为（ ）A B C D【答案】C【分析】设圆锥底面半径为r ，高为h ，根据侧面积，可求得r 值，进而可求得圆锥高h ，代入公式，即可得答案.【详解】设圆锥底面半径为r ，高为h ，则底面圆周长为2r π， 所以侧面面积12222r ππ⨯⨯=，解得1r =，所以圆锥的高h ，所以圆锥的体积2211133V r h ππ=⨯=⨯⨯.故选：C3．下列结论中不正确的是A ．若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点B ．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线C ．若点A 既在平面α内，又在平面β内，则α与β相交于b ，且点A 在b 上D ．任意两条直线不能确定一个平面 【答案】D【分析】由平面基本性质若两个不重合的平面有一个公共点，则两平面相交于过这一点的一条直线，有无数个公共点，可判断A,C 正确，由直线与直线外一点确定一个平面可得选项B 正确；由两条直线平行或相交，则可以确定一个平面可得选项D 错误.【详解】解：由平面基本性质可知，若两个不重合的平面有一个公共点，则两平面相交于过这一点的一条直线，有无数个公共点，因此选项A ，C 正确；当平面四个点中，有三点共线，由直线与直线外一点确定一个平面可得此四个点共面， 故假设不成立，即其中任意三点不共线，因此选项B 正确； 若两条直线平行或相交，则可以确定一个平面，因此选项D 错误. 故选D.【点睛】本题考查了平面的基本性质、线面关系，重点考查了空间想象能力，属基础题.4．欧拉公式cos sin i e i θθθ=+把自然对数的底数e 、虚数单位i 、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”，若复数z 满足i π(2e i)i z +⋅=，则||z =（ ）A ．15B ．13C ．55D ．33【答案】C【分析】根据欧拉公式，结合复数除法的运算法则、复数模的公式进行求解即可.【详解】i πi(2e i)i [2(cos πisin π)i]i (2i)i 2iz z z z +⋅=⇒++⋅=⇒-+⋅=⇒=-+ 22i(2i)12i 125()()(2i)(2i)5555z z ---⇒==⇒=+-=-+--，故选：C5．如图所示，在ABC 中，点D 是线段AC 上靠近A 的三等分点，点E 是线段AB 的中点， 则DE =（ ）A ． 1136BA BC -- B ． 1163BA BC -- C ． 5163BA BC -- D ． 5163BA BC -+【答案】B【分析】由向量线性运算的几何意义即可计算【详解】()111111323263DE DA AE CA AB CB BA BA BA BC =+=+=+-=--.故选：B6．设a ，b 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面， ①a α⊂、b β⊂，a β∥，b α； ②αγ∥，βγ∥； ③αγ⊥，βγ⊥； ④a α⊥，b β⊥，a b ．则αβ∥的充分条件可以是（ ） A ．①② B ．①④ C ．②③ D ．②④【答案】D【分析】根据线线、线面、面面关系对各选项逐一分析判断即可. 【详解】因为a ，b 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面， ①a α⊂、b β⊂，a β∥，b α，则α与β平行或相交，故①错误； ②αγ∥，βγ∥，则αβ∥，故②正确；③αγ⊥，βγ⊥，则α与β平行或相交，故③错误； ④a α⊥，b β⊥，a b ，则αβ∥，故④正确；综上②④正确， 故选：D7．四氯化碳是一种有机化合物，分子式为4CCl ，是一种无色透明液体，易挥发，曾作为灭火剂使用．四氯化碳分子的结构为正四面体结构，四个氯原子（C l ）位于正四面体的四个顶点处，碳原子（C ）位于正四面体的中心．则四氯化碳分子的碳氯键（C-C l ）之间的夹角正弦值为（ ）．A 3B ．13C 6D ．223【答案】D【分析】将四面体放入正方体中进行计算，结合正方体和正四面体的几何特点，借助余弦定理即可容易求得结果.【详解】如图所示，正方体的棱长为a ，正四面体A BCD -2a ，又该正方体的体对角线长度为3a ，故32OA OB a ==， 根据题意可知，所求夹角为AOB ∠，在OAB 中，由余弦定理可得：2222222332144cos 32324a a a OA OB AB AOB OA OB a +-+-∠===-⨯⨯， 故22sin 3AOB ∠=，即四氯化碳分子的碳氯键（C-C l ）之间的夹角正弦值为223. 故选：D ．8．在如图所示的长方体1111ABCD A B C D -中12,3,4AB AD AA ===，点M 为棱1AA 的中点，若N 为底面1111D C B A 内一点，满足//MN 面1BDC ，设直线MN 与直线1CC 所成角为α，则tan α的取值范围是（ ）A ．3313413⎡⎢⎣B ．3313413⎡⎢⎣C ．3313,264⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．3113,262⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【答案】C【分析】先根据面面平行找出与平面1BDC 平行的平面MEF ，确定底面1111D C B A 内一点N 所在线段EF 上，然后将直线MN 与直线1CC 所成角转化为直线MN 与直线1AA 所成角1A MN ∠，再在直角三角形1A MN 中，通过线段1A N 的最值即可得到1tan A MN ∠的最值，从而得到tan α的取值范围.【详解】取11A D 中点E ，取11A B 中点F ，连接ME ，MF ，EF ，1AD ，1AB ，11B D . 在长方体1111ABCD A B C D -中，11AB C D =，11//AB C D ， 所以四边形11ABC D 为平行四边形，所以11//AD BC ，又因为M ，E 分别为1AA ，11A D 的中点，所以1//ME AD ，所以1//ME BC ， 又因为ME ⊄平面1BDC ，1BC ⊂平面1BDC ，所以//ME 平面1BDC . 因为11AD B C =，11//AD B C ，所以四边形11ADC B 为平行四边形，所以11//AB DC ，又因为M ，F 分别为1AA ，11A B 的中点，所以1//MF AB ，所以1//MF C D ， 又因为MF ⊄平面1BDC ，1C D ⊂平面1BDC ，所以//MF 平面1BDC . 因为MEMF M =，ME ⊂平面MEF ，MF ⊂平面MEF ，所以平面//MEF 平面1BDC .所以底面1111D C B A 内满足满足//MN 面1BDC 的点N 在线段EF 上， 又因为11//AA CC ，所以直线MN 与直线1CC 所成角即为直线MN 与直线1AA 所成角1A MN ∠. 在线段EF 上任取一点N ，连接1A N ，MN ，因为1AA ⊥底面1111D C B A ，1A N ⊂底面1111D C B A ，所以11AA A N ⊥， 所以1A MN ∆为直角三角形， 1111tan tan 2A N A NA MN AA α=∠==，在1A MN ∆中，11A F =，132A E =，EF ==， 因为点N 在线段EF 上，所以当1A N EF ⊥时，1A N 的长度最小，此时可利用等面积法11111122A EF S A N EF A F A E ∆=⋅=⋅，解得1A N =所以tan α的最小值为31331313226=， 当点N 和点E 重合时1A N 的长度最长为32，所以tan α的最大值为33224=，所以tan α的取值范围是3313,264⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：C.二、多选题9．已知向量(3,2)a =-，(2,1)b =，(,1)c λ=-，R λ∈，R μ∈，则（ ） A ．若//a c ，则32λ=B ．若(2)a b c +⊥，则4λ=C ．若a tb c =+，则4t λ+=-D ．a b μ+的最小值为75【答案】ABD【分析】对于A 选项，根据平面向量平行的判定条件求解参数λ； 对于B 选项，根据平面向量垂直的判定条件求解参数λ；对于C 选项，将向量a ，b 及c 代入等式，根据平面向量相等的判定条件求解参数λ与t 的关系； 对于D 选项，根据向量的模长计算公式表示出向量a b μ+的模长，然后根据二次函数求解最小值》 【详解】对于A 选项，已知//a c ，则()()312λ-⨯-=⨯，解得32λ=，故A 选择正确； 对于B 选项，()21,4a b +=，由于()2a b c +⊥，则()1410λ⨯+⨯-=，解得4λ=，故B 选择正确；对于C 选项，由于a tb c =+，则()()()()3,22,1,12,1t t t λλ-=+-=+-，得3221t t λ-=+⎧⎨=-⎩，解得93t λ=-⎧⎨=⎩，故6t λ+=-，故C 选择不正确；对于D 选项，()32,2a b μμμ+=-++，(3a b μ+=-+， 当45μ=时等号成立，即a b μ+的最小值为D选项正确. 故选：ABD10．在ABC 中，角,,A B C所对的边分别为,,a b c ，已知60,4B b =︒=，则下列判断中正确的是（ ） A ．若π4A =，则a =B ．若92a =，则该三角形有两解 C ．ABC 周长有最大值12 D ．ABC 面积有最小值【答案】ABC【分析】对于ABC ，根据正，余弦定理，基本不等式，即可解决；对于D ，由正弦定理得164sin sin sin 23ABCSac B A C ==，根据三角恒等变换解决即可. 【详解】对于A ，60,4B b =︒=，π4A =，由正弦定理得sin sin b aB A = 所以24sin 2sin 46b Aa B===A 正确； 对于B ，由正弦定理得sin sin b a B A=得，所以9sin 22sin 14a B A b ===<，因为,a b A B A >⇒>有两个解， 所以该三角形有两解，故B 正确； 对于C ，由2222cos ba c ac B =+-，得2222223116()3()()()44a c ac a c ac a c a c a c =+-=+-≥+-+=+，所以8a c +≤，当且仅当a c =时取等号，此时三角形周长最大为等边三角形，周长为12，故C 对； 对于Dsin sin sin b a cB AC ===得,a A c C =, 故164sin sin sin 23ABCS ac B A C == sin(120)A A ︒=- 1sin )2A A A =+16331sin 2(1cos 2)344A A ⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦16311cos(260)322A ︒⎡⎤=⋅-+⎢⎥⎣⎦831cos(2120)32A ︒⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦由于1(0,120),2120(120,120),cos(2120),12A A A ︒︒︒︒︒︒⎛⎤∈---∈- ⎝∈⎥⎦，无最小值，所以ABC 面积无最小值，有最大值为43，故D 错误. 故选：ABC11．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，线段11B D 上有两个动点,E F ，且1EF =，则当,E F 移动时，下列结论正确的是（ ）A ．//AE 平面1C BDB ．1AC ⊥平面AEFC ．三棱锥A BEF -的体积为定值D ．三棱锥A BEF -的体积不是定值【答案】ABC【分析】由面面平行证明线面平行判断A ；由线面垂直的判定定理判断B ；由AEF △的面积为定值，B 到平面AEF 的距离为定值，判断CD.【详解】连接1111,,,,D A AB C D BD C B ，正方体1111ABCD A B C D -中，1111////BD B D AB DC ，，从而易得：平面11//AB D 平面1BDC ，又 AE ⊂平面11AB D ，//AE ∴平面1C BD ，选项A 正确.连接11,D A AB ，11C A 与11B D 相交于点G ，1A C 与AG 交于点H ，12,426AG AG ==+=，18236,43C GH A ==+=，1233A H =，22211A H GH G A ∴+=，1AC AG ∴⊥，易知11B D ⊥平面11ACC A ，即1111B D A C ⊥，由线面垂直的判定可知，1A C ⊥平面11AB D ，即1A C ⊥平面AEF ，故B 正确；AEF △中，EF =1，点A 到B 1D 1距离不变，AEF ∴的面积为定值，且B 到平面11AB D 的距离为定值，即B 到平面AEF 的距离为定值，故三棱锥A BEF -的体积为定值，故C 正确，D 错误； 故选：ABC12．如图，我们常见的足球是由若干个正五边形和正六边形皮革缝合而成.如果我们把足球抽象成一个多面体，它有60个顶点，每个顶点发出的棱有3条，设其顶点数V ，面数F 与棱数E ，满足2V F E +-=（Euler's formula ），据此判断，关于这个多面体的说法正确的是（ ）A ．共有20个六边形B ．共有10个五边形C ．共有90条棱D ．共有32个面 【答案】ACD【分析】分别设出正五边形和正六边形的个数，利用关系式即可解出正五边形和正六边形的数量，以及棱数和面数. 【详解】解：由题意，设共有m 个正五边形，n 个正六边形，()5656232m n m nm n ++++-= 解得：12m =. B 错误. ∵顶点数：56603m nV +==， 解得：20n =， ∴A 正确.面数：32F m n =+=. ∴D 正确. 棱数：56902m nE +==. C 正确. 故选：ACD.三、填空题13．在正三棱锥S ABC -中，1SA SB SC ===，30ASB ASC BSC ∠=∠=∠=︒，一只蚂蚁从点A 出发沿三棱锥的表面爬行一周后又回到A 点，则蚂蚁爬过的最短路程为___________． 【答案】2【分析】沿棱SA 将正三棱锥展开，做出展开图，由题中条件，结合展开图，即可得出结果.【详解】将正三棱锥S ABC -沿棱SA 展开，得到如下图形， 由展开图可得，沿1AA 爬行时，路程最短； 因为1SA =，30ASB ASC BSC ∠=∠=∠=︒， 所以190ASA ∠=︒，因此221112AA =+=. 故答案为：2. 14．已知向量()2,a λ=，()1,2b =()R λ∈，若a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围为___________．【答案】1λ>-且4λ≠.【分析】根据已知可得0a b ⋅>，且,a b 不共线，求解即可.【详解】由a b ∥得，2210，4λ=. 由已知得，π0,2a b <<，所以cos ,0a b a b a b ⋅=>，即0a b ⋅>，且,a b 不共线. 则212220a b λλ⋅=⨯+=+>，1λ>-.又,a b 不共线，则4λ≠.所以，λ的取值范围为1λ>-且4λ≠.故答案为：1λ>-且4λ≠.15．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD = ________ m.【答案】1006【详解】试题分析:由题设可知在中,,由此可得,由正弦定理可得,解之得,又因为,所以,应填1006【解析】正弦定理及运用．16．表面积为32π的球面上有四点S A B C 、、、且ABC 是等边三角形，球心O 到平面ABC 的距离为3，若面SAB ⊥ 面ABC ，则棱锥S ABC -体积的最大值为__________．【答案】758【分析】作图，找出图中的几何关系，显然SAB △ 是等腰三角形时，体积S ABC V - 最大.【详解】'O 是ABC 的中心，显然当SBC △ 是等腰三角形时S ABC V -最大，G 是AB 的中点，由于平面SAB ⊥ 平面ABC ，SG AB ⊥ ，SG ⊂ 平面SAB ，平面SAB平面ABC =AB ，SG ∴⊥ 平面ABC ，即SG 是三棱锥S-ABC 的高； 过球心O 作平面SAB 的垂线，垂足为H ，则H 必定在AG 上，并且有'OO ⊥ 平面ABC ， 设球O 的半径为R ，依题意则有2432,23R R ππ==，'3OO = ，22BO SO R ===， 在'Rt OBO 中，'2'25BO BO OO -= ，351523AB ∴==， '5OH O G ==，22'33533,SH SO OH HG OO SG SH HG =-====+= ， 2111537515sin 603328S ABC ABC V S SH ︒-==⨯⨯= ； 故答案为：758.四、解答题17．已知向量||1a =，||2b =，a 与b 的夹角为3π. (1)求a b ⋅及||a b +；(2)求()()2a b a b +⋅-．【答案】(1)1a b ⋅=，||7a b +=(2)4-【分析】（1）由数量积公式计算a b ⋅，再由22||2a b a a b b +=+⋅+求解即可；（2）展开由数量积公式计算.【详解】（1）12cos 13a b π⋅=⨯⨯=，2222||212127a b a a b b +=+⋅+=+⨯+=（2）()22()2211224a b a b a a b b +⋅-=-⋅-=--⨯=- 18．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1AA 的中点，F 为AE 的中点．(1)求证：//CE 平面BDF ；(2)求三棱锥E BDF -的体积．【答案】(1)证明见解析(2)13【分析】(1)利用中位线的性质、线面平行的判定定理即可证明；(2)利用等体积法求解即可.【详解】（1）如图，连接AC 交BD 于点O ，再连接OF , 在ACE △中，O 为AC 中点，F 为AE 的中，所以//OF CE ,且CE ⊄平面BDF ，OF ⊂平面BDF ,所以//CE 平面BDF .（2）因为该几何体为正方体，所以点D 到平面11ABB A 的距离等于AD ，所以点D 到平面BEF 的距离等于AD ， 根据等体积法可知11113323E BDF D BEF BEF V V S AD EF AB AD --==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△. 19．在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知(),2m a c b =-,()cos ,cos n C A = ,且m n ⊥.(1)求角A 的大小;(2)若5b c +=,ABC ∆求ABC ∆的周长【答案】(1)3π；(2)5【解析】（1）由向量垂直关系得到数量积为零的等式，利用正弦定理边化角，结合两角和差公式、诱导公式可化简得到cos A ，进而求得A ；（2）根据三角形面积公式构造方程求得bc ，利用余弦定理可求得a ，进而得到所求周长.【详解】（1）m n ⊥ ()cos 2cos 0m n a C c b A ∴⋅=+-=由正弦定理得：()sin cos sin 2sin cos 0A C C B A +-=即：()sin cos cos sin 2sin cos sin 2sin cos 0A C A C B A A C B A +-=+-=A B C π++= ()sin sin A C B ∴+= sin 2sin cos 0B B A ∴-=()0,B π∈ sin 0B ∴≠ 1cos 2A ∴=()0,A π∈ 3A π∴=（2）11sin sin 223ABC S bc A bc π∆====4bc ∴= 由余弦定理得：()22222cos 22cos 2512133a b c bc A b c bc bc π=+-=+--=-=a ∴=ABC ∆∴的周长5L abc =++=【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理边化角的应用、利用两角和差公式和诱导公式化简、平面向量数量积、三角形面积公式和余弦定理的应用等知识，属于常考题型.20．如图，平面//α平面//β平面γ，异面直线 a b 、分别与平面αβγ、、 相交于点、、A B C 和点D E F 、、．已知15AC =，2DE =，:1:4AB BC =，求AB 、BC 、DF 的长．【答案】3AB =，12BC =，10DF =【分析】连接AF 交平面β于点G ，连接BG ，EG ，利用面面平行的性质定理得到//BG CF ，//EG AD ，再根据三角形相似得到对应边的比例，利用相似比例即可得到答案.【详解】连接AF 交平面β于点G ，连接BG ，EG ，因为平面//β平面γ，平面ACF ⋂平面β于BG ，平面ACF ⋂平面γ于CF ，所以//BG CF ，所以ABG ACF ∠=∠，AGB AFC ∠=∠，又因为BAG CAF ∠=∠，所以BAGCAF ∆∆， 所以AB AG AC AF =， 因为15AC =，:1:4AB BC =，所以3AB =，12BC =，所以15AB AG AC AF ==， 因为平面//β平面α，平面⋂ADF 平面β于EG ，平面⋂ADF 平面α于AD ，所以//EG AD ，所以FEG FDA ∠=∠，FGE FAD ∠=∠，又因为AFD GFE ∠=∠，所以AFD GFE ∆∆，所以FE FG FD FA =，因为15AG AF =，所以45FG AF AG AF AF -==， 所以45FE FG FD FA ==，所以15DE FD EF FD FD -==， 又因为2DE =，所以10DF =，所以3AB =，12BC =，10DF =.21．如图，矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，将ACD 沿AC 折起，使得点D 到达点P 的位置，3PB(1)证明：平面PAB ⊥平面ABC ；(2)求异面直线PC 与AB 所成角的余弦值.【答案】(1)见解析 (2)34【分析】（1）根据勾股定理，线面垂直的判定定理证明即可；（2）在长方体中还原三棱锥-P ABC ，找到异面直线所成角，余弦定理解决即可.【详解】（1）证明：因为1,2,3BC PC PB ===，所以222BC PB PC +=，所以BC PB ⊥，因为,,,BC AB PB AB B PB AB ⊥⋂=⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB因为BC ⊂平面ABC ，所以平面PAB ⊥平面ABC .（2）由（1）得BC ⊥平面PAB ，因为在PAB 中，=132PA PB AB ==，，,即222+PA PB AB =所以PA PB ⊥，根据题意可做长方体如图因为由图知//AB QC ，所以异面直线PC 与AB 所成角等于直线PC 与QC 所成角，连接QP ,因为2,2,1,3AB PC PA PB ====,所以2,2QC QP ==，设直线PC 与QC 所成角为θ，所以在PCQ △中，2224423cos 284PC QC QP PC QC θ+-+-=== 所以异面直线PC 与AB 所成角的余弦值为34. 22．如图，//AD BC 且2,,//AD BC AD CD EG AD =⊥ ，且,//EG AD CD FG =，且2,CD FG DG =⊥平面ABCD ，2DA DC DG ===．(1)若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：//MN 平面CDE ；(2)求多面体ABCD EFG -的体积.(3)若点P 在线段DG 上，且直线BP 与平面ADGE 所成的角为60︒，求线段DP 的长．【答案】(1)见解析(2)133 3【分析】（1）建立空间直角坐标系证明0MN n ⊥即可得证；（2）间接法11111ABCD EFG ABCD EB C G B B EF F BCC B V V V V ----=--求体积即可；（3）设线段DP 的长为h （[]0,2h ∈），空间向量法解决线面角即可求解.【详解】（1）根据题意，可以建立以D 为原点，分别以,,DA DC DG 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向的空间直角坐标系，因为//AD BC 且2,,//AD BC AD CD EG AD =⊥ ，且,//EG AD CD FG =， 且2,CD FG DG =⊥平面ABCD ，2DA DC DG ===，所以(0,0,0),(2,0,0),(1,2,0)D A B ，(0,2,0),(2,0,2),(0,1,2)C E F ， 3(0,0,2),(0,,1),(1,0,2)2G M N ， 证明：依题意得(0,2,0)DC =，(2,0,2)DE =，设0(,,)n x y z =为平面CDE 的法向量，所以00·0·0n DC n DE ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即20220y x z =⎧⎨+=⎩，令1z =-，可得0(1,0,1)n =-， 又因为3(1,,1)2MN =-， 所以00MN n ⋅=，所以0MN n ⊥，因为MN ⊄平面CDE ，所以//MN 平面CDE ；（2）因为//AD BC 且2,,//AD BC AD CD EG AD =⊥ ，且,//EG AD CD FG =，且2,CD FG DG =⊥平面ABCD ，2DA DC DG ===， 所以,,,DG AD DG CD DG EG DG FG ⊥⊥⊥⊥,将多面体ABCD EFG -补充得如图，所以11111ABCD EFG ABCD EB C G B B EF F BCC B V V V V ----=--111111111()()2332EB C G EFG B C F BC AD CD DG S S S DG BC DG FC ⎡⎤⎛⎫=+---+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ ()11111113(12)22(12)2211121212322233⎡⎤⎛⎫=+-+---= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭（3）设线段DP 的长为h （[]0,2h ∈）， 所以点P 的坐标为(0,0,)h ，所以(1,2,)BP h =--， 因为DC ⊥平面ADGE ,所以设(0,2,0)DC =为平面ADGE 的一个法向量， 所以|||cos ,|||||BP DC BP DC BP DC h ⋅==sin60︒==解得[]0,2h =，所以线段DP。
2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第九中学校高一上学期11月月考数学试题(解析版)
2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第九中学校高一上学期11月月考数学试题一、单选题1．下列各式中关系符号运用正确的是（ ） A ．{}10,1,2⊆ B ．{}0,1,2∅∈ C ．{}2,0,1∅⊆D ．{}{}10,1,2∈【答案】C【分析】由已知，分析四个个选项，利用元素与集合之间是属于关系，集合与集合之间是包含关系即可作出判断. 【详解】由已知，选项A ，1为元素，而{}0,1,2为集合，应为{}10,1,2∈，该选项错误； 选项B ，∅为集合，而{}0,1,2为集合，应为{}0,1,2∅⊆，该选项错误； 选项C ，∅为集合，{}2,0,1为集合，所以{}2,0,1∅⊆，该选项正确； 选项D ，{}1为集合，而{}0,1,2为集合，应为{}{}10,1,2⊆，该选项错误； 故选：C.2．设命题2:Z,21p x x x ∃∈≥+，则p 的否定为（ ） A ．2Z,21x x x ∀∉<+ B ．2Z,21x x x ∀∈<+ C ．2Z,21x x x ∃∉<+ D ．2Z,21x x x ∃∈<+【答案】B【分析】根据特称命题的否定即可求解. 【详解】因为2:Z,21p x x x ∃∈≥+， 所以:p ⌝2Z,21x x x ∀∈<+. 故选：B3．3y x =+ ） A ．5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．3,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭D ．7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】D【分析】先求得x 的范围，再由单调性求值域．【详解】解：因为3y x =+120x -≥，12x ∴≤，即函数的定义域为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，又3y x =+-1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦时单调递增，所以当12x =时，函数取得最大值为72，所以值域是7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故选：D.4．集合-3=0+1x A x x ≥⎧⎫⎨⎬⎩⎭，{}=+10B x ax ≤，若A B A ⋃=，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1-<13x x ≤⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．{<1x x -或}0x ≥C ．1-13x x ≤≤⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．{1-03x x ≤≤或01x <<}【答案】A【分析】解分式不等式求出集合A ，依题意可得B A ⊆，分=0a 、0a >、0a <三种情况讨论，分别求出参数的取值范围，即可得解.【详解】由301x x -≥+等价于()()3+10+10x x x -≥≠⎧⎨⎩，解得3x ≥或1x <-， 所以={<1A x x -或3}x ≥，又A B A ⋃=，所以B A ⊆， ①当B =∅时，即10ax +≤无解，此时=0a ，满足题意. ②当B ≠∅时，即10ax +≤有解，当0a >时，可得1x a ≤-，即1=B x x a ≤-⎧⎫⎨⎬⎩⎭，要使B A ⊆，则需要>01<1a a--⎧⎪⎨⎪⎩，解得01a <<.当0a <时，可得1x a ≥-，即1=B x x a ≥-⎧⎫⎨⎬⎩⎭，要使B A ⊆，则需要<013a a-≥⎧⎪⎨⎪⎩，解得103a -≤<.综上，实数a 的取值范围是1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.故选：A5．若关于x 的不等式210ax bx +->的解集是{}12x x <<，则不等式210bx ax +-<的解集是（ ）A ．213x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ B ．312x x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭或C ．213x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭D ．213x x x⎧⎫⎨⎬⎩⎭或 【答案】C【分析】首先利用解集的区间端点值，代入方程210+-=ax bx 中，解出a b 、，再将其代入210bx ax +-<中，直接解一元二次方程即可.【详解】由题意可知，1和2是关于x 的方程210+-=ax bx 的解，将其代入方程得104210a b a b +-=⎧⎨+-=⎩解得1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, 所以210bx ax +-<即2311022x x --<，化简得2320x x --<，解得213x -<<.即不等式210bx ax +-<的解集是213x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.故选：C6．已知函数(21)y f x =-的定义域是[]2,3-，则y =的定义域是（ ） A ．[]2,5- B ．(]2,3- C ．[]1,3- D ．(]2,5-【答案】D【分析】利用复合函数求函数的定义域的原则及分式有意义即可求解. 【详解】因为函数(21)y f x =-的定义域是[]2,3-， 所以23x -≤≤，所以5215,x -≤-≤ 所以函数()y f x =的定义域为[]5,5-，要使y =有意义，则需要5520x x -≤≤+>⎧⎨⎩，解得25x -<≤，所以y =的定义域是(]2,5-. 故选：D.7．122a =，133b =，166c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（ ） A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．a c b >>【答案】C【分析】由幂的运算法则把幂的幂指数化为相同，然后由幂函数的单调性比较大小． 【详解】116228a ==，113639b ==，16y x =是增函数，689<<， ∴c<a<b 故选：C ．8．若对任意正数x ，不等式22214xa x ≤++恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．}{|0a a ≥ B ．1|4a a ⎧⎫≥-⎨⎬⎭⎩C ．14a a ⎧⎫|≥⎨⎬⎩⎭D ．12a a ⎧⎫|≥⎨⎬⎩⎭【答案】B【分析】原不等式即2214a x x+≥+，再利用基本不等式求得24x x +的最大值，可得a 的范围. 【详解】依题意得，当0x >时，2214a x x+≥+恒成立，又因为44x x+≥，当且仅当=2x 时取等号， 所以，24x x+的最大值为12，所以1212a +≥，解得a 的取值范围为1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 故选：B.二、多选题9．已知函数()y f x =用列表法表示如表，若()()1f f x x =-，则x 可取（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】BCD【分析】根据()()1f f x x =-，结合列表中的数据求解判断.【详解】当1x =时，()12f =，则()()()12311f f f ==≠-； 当2x =时，()23f =，则()()()23421f f f ==≠-； 当3x =时，()34f =，则()()()34231f f f ===-； 当4x =时，()42f =，则()()()42341f f f ===-； 当5x =时，()53f =，则()()()53451f f f ===-， 故选：BCD10．下列说法正确的有（ ）A ．已知集合{}260A x x x =+-=，{}10B x mx =-=，全集U =R ，若()R U A B ⋂=，则实数m 的集合为11,23⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B ．命题p ：[]2,1x ∃∈-，20x x m +-≤成立的充要条件是2m ≥C ．设a ，R b ∈，则“1a =或1b =”的充要条件是“1ab a b +=+”D ．已知0a >，0b >，1a b +=，则1a b ab+的最小值为2 【答案】CD【分析】对于A ，先化简集合A ，再由题设得到B A ⊆，分类讨论B =∅与B ≠∅两种情况即可求得m 的集合为110,,23⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，故A 错误；对于B ，利用能成立问题可得()2min m x x ≥+，从而得到14m ≥-，反之亦成立，即命题p 的充要条件是14m ≥-，故B 错误；对于C ，由1ab a b +=+等价于()()110a b --=可知，“=1a 或1b =”的充要条件是“1ab a b +=+”，故C 正确；对于D ，利用基本不等式“1”的妙用可求得12a b ab+≥，故D 正确. 【详解】对于A ，由260x x +-=得()()320x x +-=，故3x =-或=2x ，故{}=3,2A -， 因为()R UAB =，所以B A ⊆，因为{}=1=0B x mx -， 所以当B =∅时，0m =； 当B ≠∅时，13m =-或12m =，则13m =-或1=2m ； 故实数m 的集合为110,,23⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，故A 错误；对于B ，（必要性）若2[2,1],0x x x m ∃∈-+-≤，则()2min m x x ≥+，因为22111244y x x x ⎛⎫==+-≥- ⎪⎝⎭+，所以14m ≥-，（充分性）若14m ≥-，则由22111244y x x x ⎛⎫==+-≥- ⎪⎝⎭+可知()2min m x x ≥+，故2[2,1],0x x x m ∃∈-+-≤，即命题p 成立， 所以命题p 成立的充要条件是14m ≥-，故B 错误；对于C ，因为1ab a b +=+等价于10ab a b --+=，等价于()()110a b --=，等价于=1a 或1b =，故“=1a 或1b =”的充要条件是“1ab a b +=+”，故C 正确； 对于D ，因为0,0,1a b a b >>+=，即1a b =-所以()11111221a b a b a b b ab b ab b a b a -+⎛⎫+=+=+-=++- ⎪⎝⎭2121a b b a =+++-22≥=，当且仅当2a bb a=且+=1a b ，即1,2a b ==所以12a b ab +≥，即1a b ab +的最小值为，故D 正确. 故选：CD.11．下列说法正确的是（ ）A ．若存在1x ，2x ∈R ，当12x x <时，有()()12f x f x <，则()f x 在R 上单调递增B ．函数()1f x x=在定义域内单调递减 C ．若函数()2=f x x mx -的单调递减区间是(],1-∞，则=2mD ．若()g x 在R 上单调递增，则()()11g g -< 【答案】CD【分析】根据函数单调性的定义可判断A ；由反比例函数的单调性可判断B ；由二次函数的单调性可求得m 的值，从而判断C ；由单调性的性质可判断D ．【详解】解：1x ∀，2x ∈R ，当12x x <时，有12()()f x f x <，则()f x 在R 上单调递增，所以A 错误； 函数1()f x x=在区间(0,)+∞内单调递减，在(),0-∞上单调递减，但是在定义域()(),00,-∞+∞上不具有单调性，所以B 错误； 函数2()f x x mx =-的对称轴为2m x =，开口向上，所以单调递减区间为,2m ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，又函数2()f x x mx =-的单调递减区间是(],1-∞，所以12m=，故=2m ，所以C 正确；若()g x 在R 上单调递增，所以()()11g g -<，所以D 正确． 故选：CD ．12．对x ∀∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数．十八世纪，[]y x =被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中的真命题是（ ） A ．,[]1x x x ∃∈+RB ．,,[][][]x y x y x y ∀∈++RC ．函数[]()y x x x =-∈R 的值域为[0,1)D ．若t ∃∈R ，使得3451,2,3,,2nt t t t n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦同时成立，则正整数n 的最大值是5【答案】BCD【分析】由取整函数的定义判断，由定义得[][]1x x x ≤<+，利用不等式性质可得结论． 【详解】[]x 是整数， 若[]1x x ≥+，[]1x +是整数，∴[][]1x x ≥+，矛盾，∴A 错误；,x y ∀∈R ，[],[]x x y y ≤≤，∴[][]x y x y +≤+，∴[][][]x y x y +≤+，B 正确； 由定义[]1x x x -<≤，∴0[]1x x ≤-<，∴函数()[]f x x x =-的值域是[0,1)，C 正确；若t ∃∈R ，使得3451,2,3,,2n t t t t n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦同时成立，则1t ≤<t ≤<t <t <t <=若6n ≥，则不存在t 同时满足1t ≤t <只有5n ≤时，存在t ∈满足题意， 故选：BCD ．【点睛】本题考查函数新定义，正确理解新定义是解题基础．由新定义把问题转化不等关系是解题关键，本题属于难题．三、填空题13．2221332182716227--⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭________．【答案】274【分析】直接利用指数的运算法则求解即可． 【详解】因为2221332182716227--⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2223443-⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭927944=-= 故答案为:274． 14．函数()()21+1,1=+2,>1x x f x x x ⎧-≤⎪⎨⎪⎩的值域为___________.【答案】[)1+∞，【分析】分类讨论，分别求1x ≤、1x >时()f x 的取值范围，再取两者的并集. 【详解】当1x ≤时，则()()2=1+11f x x -≥ 当1x >时，则()23f x x =+>综上所述：()1f x ≥，即()f x 的值域为[)1+∞， 故答案为：[)1+∞，.15．函数()f x =__________. 【答案】(,6]-∞-##(),6-∞-【分析】优先考虑定义域，在研究复合函数的单调性时，要弄清楚它由什么函数复合而成的，再根据“同增异减”可求解.【详解】函数()f x ()g u =()2412u x x x =+-组成的复合函数，24120x x +-≥，解得6x ≤-或2x ≥，∴函数()y f x =的定义域是{|6x x ≤-或2}x ≥，因为函数()2412u x x x =+-在(6]-∞-，单调递减，在[)2,+∞单调递增，而()g u [)0,∞+上单调递增，由复合函数单调性的“同增异减”，可得函数()f x 的单调减区间(,6]-∞-． 故答案为：(,6]-∞-.16．关于函数的性质，有如下说法：①若函数()f x 的定义域为R ，则()()()g x f x f x =+-一定是偶函数；②已知()f x 是定义域内的增函数，且()0f x ≠，则()1f x 是减函数； ③若()f x 是定义域为R 的奇函数，则函数()2f x -的图像关于点()2,0对称；④已知偶函数()f x 在区间[)0,∞+上单调递增，则满足()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 的取值范围是12,33⎛⎫⎪⎝⎭.其中正确说法的序号有___________. 【答案】①③④【分析】对于①，根据奇偶性的定义，可得答案； 对于②，根据单调性的定义，可得答案；对于③，根据奇偶性的性质和图象变换，可得答案；对于④，根据奇偶性的定义和单调性的性质，化简不等式，可得答案.【详解】对于①，由题意，()g x 的定义域为R ，()()()()g x f x f x g x -=-+=，所以()g x 为偶函数，故①正确；对于②，由题意，12,R x x ∀∈，12x x >，则()()12f x f x >，即()()()()()()21121211f x f x f x f x f x f x --=，由于()()12f x f x 与零的大小无法确定，故错误； 对于③，由题意，函数()f x 的图象关于原点对称，而()2f x -的图象是由函数()f x 的图象向右平移2个单位得到的，由原点向右平移2个单位得到()2,0，故正确； 对于④，()f x 为偶函数，()()f x f x ∴=，则()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，即()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，由()f x 在[)0,∞+上单调递增，则1213x -<，112133x -<-<，解得1233x <<，故正确； 故答案为：①③④.四、解答题17．己知()f x 为R 上的奇函数，当0x >时，2()2f x x x =-．(1)求(0)f 的值； (2)求()f x 的解析式；(3)作出()=y f x 的图象，并求当函数()=y f x 与函数=y m 图象恰有三个不同的交点时，实数m 的取值范围． 【答案】(1)0；(2)222,>0()=0,=02,<0x x x f x x x x x ---⎧⎪⎨⎪⎩；(3)图象见解析，(1,1)-.【详解】（1）()f x 是R 上的奇函数，(0)(0)f f ∴-=-， (0)0f ∴=；（2）当0x >时，2()2f x x x =-， 故当0x <时，0x ->，22()()[()2()]2f x f x x x x x ∴=--=----=--，222,>0()=0,=02,<0x x x f x x x x x -∴--⎧⎪⎨⎪⎩；（3）作出函数()=y f x 的图象如图示：在0x >时，()=y f x 在=1x 时取得最小值1，在0x <时，()=y f x 在1x =-时取得最大值1-，故当函数()=y f x 与函数=y m 图象恰有三个不同的交点时，实数m 的取值范围为(1,1)-.18．设p ：实数x 满足22230x ax a --<，q ：实数x 满足24x ≤<.(1)若=1a ，且p ，q 都为真命题，求x 的取值范围；(2)若q 是p 的充分而不必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】(1)[)2,3；(2)(]4,4,3⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）解一元二次不等式求出p ：13x ，从而求出p ，q 都为真命题时x 的取值范围；（2）分类讨论解含有参数的一元二次不等式，再根据q 是p 的充分而不必要条件，得到两集合的包含关系，从而比较端点值，列出不等式组，求出实数a 的取值范围.【详解】（1）=1a 时，2230x x --<，解得：13x ，所以p ：13x ，因为p ，q 都为真命题，所以13x 与24x ≤<求交集得：23x ≤<，故x 的取值范围是[)2,3（2）22230x ax a --<变形为()()30x a x a +-<，当=0a 时，解集为A =∅，不满足当0a >时，3a a -<，解集为{}=<<3A x a x a -，当0a <时，3a a ->解集为{}=3<<A x a x a -，令{}=2<4B x x ≤，因为q 是p 的充分而不必要条件，故{}=2<4B x x ≤是A 的真子集，A =∅显然不满足要求，故=0a 不合要求，当0a >时，要满足<234a a -≥⎧⎨⎩，解得：43a ≥，与0a >取交集得43a ≥， 当0a <时，要满足3<24a a -≥⎧⎨⎩，解得：4a ≤-，与0a <取交集得4a ≤-， 综上：实数a 的取值范围是(]4,4,3⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭. 19．已知函数()m f x x x=+，且()24f =. (1)求m ；(2)判断函数()f x 在[)2,+∞上的单调性，并证明你的结论；(3)求函数()f x 在[]3,4上的值域.【答案】(1)=4m (2)函数()f x 在[)2,+∞上单调递增，证明见解析(3)13,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据函数求值，建立方程，可得答案；（2）根据单调性的定义，利用作差法，可得答案；（3）由（2）的单调性，可得答案.【详解】（1）∵()m f x x x=+，且(2)=4f ，解得=4m .. （2）函数()f x 在[)2,+∞上单调递增，证明：设122<x x ≤，则2121212112444()-()=+-+=(-)1-f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∵122<x x ≤，∴210x x ->，1241->0x x ，故21()()f x f x -0>，即21()>()f x f x ， 所以函数()f x 在[)2,+∞上单调递增.（3）由（2）得函数()f x 在[)2,+∞上单调递增，故函数()f x 在[]3,4上单调递增，又13(3)=,(4)=53f f ， 所以函数()f x 在[]3,4上的值域为13,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦.20．已知函数()f x 是定义在R 上的增函数，并且满足()()()f x y f x f y +=+，113f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． (1)求()0f 的值；(2)若()()22f x f x ++<，求x 的取值范围．【答案】(1)()00=f ； (2)2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.【分析】（1）利用赋值法即得；（2）利用赋值法得223f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，然后结合条件转化已知不等式为()2223f x f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，最后根据单调性即得.【详解】（1）因为()()()f x y f x f y +=+，令0x y ==，得()()()000f f f =+，即()00=f ；（2）由题意知()()()222f x f x f x ++=+，1122333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴由()()22f x f x ++<，可得()2223f x f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭， 又()f x 在R 上单调递增， ∴2223x +<，即23x <-， ∴x 的取值范围是2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭． 21．已知函数21(),42a f x x ax =-+-+ (1)当=2a 时，解不等式()0f x ≤；(2)若[1,1]x ∈-时，函数的最大值为2，求a 的值.【答案】(1){2x x ≥或}0x ≤(2)2a =-或103【分析】（1）解一元二次不等式求出解集；（2）结合对称轴，分类讨论，根据函数单调性求出不同情况下的最大值，列出方程，求出a 的值.【详解】（1）当=2a 时，()0f x ≤即为220x x -+≤，解得：2x ≥或0x ≤， 故不等式解集为{2x x ≥或}0x ≤，（2）21()42a f x x ax =-+-+的对称轴为2a x =， 当12a ≤-即2a ≤-时，()f x 在[1,1]x ∈-上单调递减， 故()max 1()11242a f x f a =-=---+=，解得：2a =-，经检验满足要求； 当112a -<<，即22a -<<时，()f x 在1,2a x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭上单调递增，在,12a x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减， 故22max1()224242a a a a f x f ⎛⎫==-+-+= ⎪⎝⎭，解得：=3a 或2-，均不合题意，舍去； 当12a ≥，即2a ≥时，()f x 在[1,1]x ∈-上单调递增， 故()max 1()11242a f x f a ==-+-+=，解得：103a =，满足要求， 综上：2a =-或103. 22．已知2()(,)f x x bx c b c =++∈R ，(1)若对任意实数x ，()2f x x b ≥+恒成立，求证：c b ≥；(2)若()f x 在(0,1)上与x 轴有两个不同的交点，求2(1)c b c ++的取值范围．【答案】(1)证明见解析 (2)10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）不等式整理得2(2)0x b x c b +-+-≥对任意实数x 恒成立，即0∆≤，得244b c +≥，结合均值不等式放缩即可证明；（2）设()f x 的两个零点为s ，(01)<<<t s t ，则2()()()=++=--f x x bx c x s x t ，由()()2(1)01c b c f f ++=，结合解析式及基本不等式即可求()()01f f 的范围【详解】（1）∵2()2(2)0f x x b x b x c b --=+-+-≥对任意实数x 恒成立，∴2(2)4()0∆=---≤b c b ，∴22(2)44||44-++≥=≥=≥b b b c b b ，当且仅当24b =且b b =，即=2b 时等号成立； （2）设()f x 的两个零点为s ，(01)<<<t s t ，∴2()()()=++=--f x x bx c x s x t ，2(1)(1)(0)(1)(1)(1)0++=++==-->c b c c b c f f st s t ， 又222111(1)(1)(1)2216+-+-⎛⎫⎛⎫++=--≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭s s t t c b c st s t ， 当且仅当=1-=1-s s t t⎧⎨⎩，即12==s t 时取等，∴等号不能成立， ∴2(1)c b c ++的取值范围为10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭．。
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重点题型快速强化训练十三 1．已知函数1
212)(+-+⋅=x x a a x f . （1）求证：不论a 为何实数)(x f 总是为增函数； （2）确定a 的值, 使)(x f 为奇函数；
重点题型快速强化训练十三
1．已知函数1
212)(+-+⋅=x x a a x f . （1）求证：不论a 为何实数)(x f 总是为增函数； （2）确定a 的值, 使)(x f 为奇函数；
2．已知()()1,011log ≠>-+=a a x x x f a 且 （1）求()x f 的定义域；
（2）证明()x f 为奇函数；
2．已知()()1,011log ≠>-+=a a x x x f a 且 （1）求()x f 的定义域； （2）证明()x f 为奇函数； 重点题型快速强化训练十三 1．已知函数1
212)(+-+⋅=x x a a x f . （1）求证：不论a 为何实数)(x f 总是为增函数； （2）确定a 的值, 使)(x f 为奇函数；
重点题型快速强化训练十三
1．已知函数1
212)(+-+⋅=x x a a x f . （1）求证：不论a 为何实数)(x f 总是为增函数； （2）确定a 的值, 使)(x f 为奇函数；
2．已知()()1,011log ≠>-+=a a x x x f a 且 （1）求()x f 的定义域；
（2）证明()x f 为奇函数；
2．已知()()1,011log ≠>-+=a a x x x f a 且 （1）求()x f 的定义域； （2）证明()x f 为奇函数；。