3[1].3卷积及其应用
常见的卷积运算
常见的卷积运算
卷积运算是信号处理和图像处理领域中常用的一种运算方法，用于滤波、特征提取和图像处理等任务。
以下是一些常见的卷积运算：
1.一维离散卷积：一维离散卷积用于处理一维序列，如时间序列或音频信号。
它将输入序列与卷积核进行卷积操作，计算出输出序列。
2.二维离散卷积：二维离散卷积常用于图像处理任务，例如边缘检测、模糊滤波等。
它使用二维滤波器（卷积核）与输入图像进行卷积操作，生成输出图像。
3.一维连续卷积：一维连续卷积适用于处理连续信号。
它使用输入信号与连续卷积核进行卷积操作，计算出输出信号。
4.二维连续卷积：二维连续卷积常用于图像处理领域。
它使用二维连续滤波器与输入图像进行卷积操作，生成输出图像。
这些都是卷积运算的常见形式，具体使用哪种形式取决于输入信号的维度和问题的需求。
卷积运算在信号处理和图像处理中有广泛应用，可以进行信号滤波、特征提取、图像增强等任务。
第5章卷积的原理及应用
一个周期取16个采样点，求该系统的响应。
解 编写MATLAB程序如下：
N＝16； n＝0：N－1； x＝［ones(1，N/4)，zeros(1，3*N/4)］； %产生输入 信号序列
15 subplot(3，1，1)；stem(n，x，filled)；
34
五、实验预习
(1)认真阅读实验原理部分，了解用MATLAB进行离散
时间系统卷积的基本原理、方法和步骤。 (2)读懂实验原理部分的有关例题，根据实验任务编写
实验程序。
(3)预习思考题：MATLAB中提供的conv卷积子函数， 使用中需满足什么条件？如果条件不满足，应如何处理？
35
六、实验报告
(1)列写已调试通过的实验任务程序，打印或描绘实验
果
程序执行的结果如图5-3所示。
22
图5-3 例5-3f1(n)、f2(n)、y(n)的波形
23
例5-4 已知一个IIR数字低通滤波器的系统函数公式为
0.13 21 0.39 63 1 0.39 63 2 0.13 21 3 z z z H(z) 1 0.34 31 9 1 0.60 43 9 2 0.20 40 7 3 z z z
%若f1与f2同长，不补0
%取长者为补0长度基础
%先将f2补得与f1同长，再将两边补最大长度的0
u＝［zeros(1，lt)，f2，zeros(1，nf2)，zeros(1，lt)］； t1＝(－lt＋1：2*lt)；
30 %先将f1补得与f2同长，再将左边补2倍最大长度的0
f1＝［zeros(1，2*lt)，f1，zeros(1，nf1)］；
卷积的数学原理及其应用
卷积的数学原理及其应用一、卷积的数学原理卷积是一种重要的数学运算，在信号处理、图像处理和机器学习等领域有着广泛的应用。
卷积的数学原理基于线性时不变系统的理论，它可以将输入信号和系统的脉冲响应进行数学运算，得到输出信号。
卷积的数学定义如下：\[ (f*g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)g(t-\tau) d\tau \]其中，\(f(t)\)和\(g(t)\)是两个输入信号，\(\)表示卷积运算符，\((f g)(t)\)表示卷积结果。
卷积运算可以理解为将一个函数在时间或空间上翻转，与另一个函数进行叠加求积分。
卷积的性质包括交换律、结合律和分配律。
其中，交换律表示卷积运算的输入函数可以交换位置，即\(f g = g f\)；结合律表示多个函数进行卷积运算的顺序可以改变，即\((f g)h = f(g h)\)；分配律表示卷积运算对加法和乘法具有分配性质，即\((f+g)h = f h + g h\)和\(a(f+g) = a f + a g\)。
二、卷积的应用卷积在信号处理、图像处理和机器学习等领域有着广泛的应用。
以下是卷积的几个常见应用：1. 信号滤波卷积在信号处理中常用于滤波操作。
通过选择合适的滤波器函数进行卷积运算，可以实现不同频率的信号分离和降噪。
常见的滤波器包括低通滤波器、高通滤波器和带通滤波器等。
2. 图像处理卷积在图像处理中可以用于图像增强、边缘检测和图像分割等任务。
通过选择不同的卷积核函数进行卷积运算，可以实现对图像的特征提取和图像处理操作。
3. 特征提取卷积神经网络（Convolutional Neural Network，CNN）是一种深度学习模型，广泛应用于计算机视觉领域。
CNN通过卷积操作提取输入图像的特征，并通过后续的池化、激活函数和全连接层等操作实现对输入数据的分类或回归预测。
4. 语音识别卷积神经网络在语音识别领域也有着重要的应用。
卷积公式在求连续型随机变量和分布中的应用
ｐ ｚ （ 加击 ｍ （ ｐ （ （ ） ｄ ｘ
或
（ ７ ）
加古仁
公式 （ ７ ） 与公式 （ ８ ） 称 为 与 ｙ的卷 积公式 。
） ・ Ｐ ｒ （ ｙ ） ｄ ｙ
（ ８ ）
证明
据 Ｙ前 系数 ｂ的正 负 ， 积分 区域 Ｄ位于直线 ＋ｂ ｙ＝ ｚ 的下方
ｐ ｚ （ 加
或
，
） ａ ｘ
（ ５ ）
加古仁 ｐ （ ， ｙ ） ａ ｙ
收稿 日期 ： ２ ０ １ ５ － ０ １ — ３ １ ； 修 改稿收到 日期 ： ２ ０ １ ５ － ０ ６ ０１ －
（ ６ ）
５ ８
河北科技 师范学 院学报
２ ９卷
当 与 ｙ相 互 独 立 时 ， 则
１ 卷积公式的推广
本次研究中提到的随机变量均指连续型的随机变量。 定理 １ … 设二维 随机变量 （ ， ｙ ） 的概率密度 函数为 ｐ （ ｘ ， Ｙ ） ， Ｘ， Ｙ的边沿概率密度 函数分别为
（ ） ， ｐ （ ， ， ） ， ｚ＝ ＋Ｙ ， 则 Ｚ的概率密 度 函数为
， 一 ∞ 一 ∞
量 代 换 ） ， ＝ 旦 ， ￣ ］ ｔ ｄ ｙ ＝ 古 ｄ ， 于 是 上 式
两边对 ： 求导 ， 得到：
图 １
（ ） ＝ Ｊ ． ： ： 厂 － ｐ （ ， 旦 ） 寺 ｄ ｕ ＝ 厂 ＿ 。 （ ： ： ｐ （ ， 旦 ） 出 ） ｄ （ ） ＝ 古 Ｊ ． ： ： ｐ （ ， ） ＝ 击Ｊ ． ： ： ｐ （ ， 三 ）
Ｄ０ Ｉ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ Ｊ ． Ｉ Ｓ Ｓ Ｎ． １ ６ ７ ２ － ７ ９ ８ ３ ． ２ ０ １ ５ ． ０ ２ ． ０ １ ２
1-3卷积(16)
§1. 如果进行相关运算的是同一个函数g(x,y)，则称为自 2 相关运算。 自相关函数的定义为
g(x,y)＝g(x,y)☆g(x,y)
g * ( x, y ) g ( , )dd
∞
相关运算应注意两个函数的顺序，以及哪个函数取复共轭。 *有书定义如 下，符号顺 序不同
卷积的两个效应
展宽: 卷积的宽度等于被卷积函数的宽度 之和. 平滑:被卷积函数本身的起伏变的平滑. 扫描:可以看成一个函数 h( x ) 对另一 个函数的扫描 f ( )
第三节
一、相关的定义
相
关
§1. 2
函数g(x,y)和h(x,y)的相关运算用符号g(x,y)☆h(x,y)表 示，记为γ gh(x,y),并定义为
§1. 2
分配律Distributive Property
c1 f ( x) c2 g( x) h( x) c1 f ( x) h( x) c2 g( x) h( x)
This property is also called the linearity property of convolution
for any a and b such that
a x0 b
Extend the limits of integration and use that fact that the delta function is an even function to write:
f ( )δ( x )d f ( x)
f ( x) δ( x) f ( x)
Properties of Convolution
Definition Commutative Distributive Associative Shift Invariance Scaling Identity Area
信号第二章3卷积
若将此信号作用到冲激信号为h(t)的线性时不 变系统，则系统的响应为
r (t ) H [e(t )] H [ e( ) (t )d ]
e( ) H [ (t )]d
e( )h(t )d
零状态响应：rzs (t ) e( )h(t )d h(t ) e(t )
def
2.算子符号基本规则
(1)算子多项式可以进行因式分解 ( p 2)( p 3) p 2 5 p 6 例如： (2)等式两端的算子符合因式不能相消 ( p 2) r (t ) ( p 1) e(t ) ( p 2)( p 3) r (t ) ( p 2 4 p 3) e(t ) 不能简化为： (3)算子的乘除顺序不能随意颠倒
（3）结合律： f1(t) f2 (t) f3 (t) f1(t) f2 (t) f3 (t)
e(t)
h1(t)
h2(t)
r(t)
串联系统 r (t ) e(t ) h1 (t ) h2 (t )
2.卷积的微分与积分
d f1 (t ) f 2 (t ) df 2 (t ) （4）微分性： f1 (t ) dt dt df1 (t ) (适于高阶微分） f 2 (t ) dt
r (t ) e( )h(t )d
1 (a) t 2
e(t ) * h(t ) 0
h(t )
e( )
1
1 2
t 2
(b)
0
1 t 1 2
相乘
t
1
1 t 1 2 t 1 e(t ) * h(t ) 1 1 (t )d 2 2 t2 t 1 4 4 16 (b)
三次卷积内插法计算例题
三次卷积内插法计算例题三次卷积内插法是一种用于数据插值的方法，它可以通过已知的数据点来估计在两个数据点之间的未知数据点的值。
下面我将以一个简单的例题来说明三次卷积内插法的计算过程。
假设我们有以下已知数据点：点1，(x1, y1) = (2, 4)。
点2，(x2, y2) = (4, 8)。
点3，(x3, y3) = (6, 6)。
现在我们要计算在点1和点2之间的一个新数据点的值，假设这个新数据点的横坐标为x。
首先，我们需要计算出x相对于已知数据点的位置。
这可以通过计算x与x1之间的距离来实现。
假设这个距离为h，则有：h = x x1。
接下来，我们需要计算三个权重系数：a0、a1、a2。
这些系数与已知数据点的纵坐标相关。
具体计算公式如下：a0 = (-y1 + 3y2 3y3 + y4) / 6。
a1 = (3y1 6y2 + 3y3) / 6。
a2 = (-3y1 + 3y3) / 6。
其中，y4为点4的纵坐标，我们需要根据已知数据点来确定它的值。
然后，我们可以计算出在点1和点2之间的新数据点的纵坐标y的估计值。
具体计算公式如下：y = a0 + a1 h + a2 h^2。
最后，我们可以得到在点1和点2之间的新数据点的坐标为(x, y)。
需要注意的是，三次卷积内插法要求已知数据点的横坐标必须是等间距的，即x2 x1 = x3 x2。
如果不满足这个条件，可以通过对数据进行插值或者进行其他的数据处理方法来满足这个条件。
这就是使用三次卷积内插法计算例题的详细过程。
希望这个回答能够满足你的需求。
如果你还有其他问题，欢迎继续提问。
函数的卷积及其公式的应用
函数卷积及其应用摘要 卷积是一个很重要的数学概念．它描述了对两个（或多个）函数之积进行变换的运算法则，是频率分析的最有效的工具之一。
本文通过对卷积的概念，性质，具体应用以及对卷积公式，卷积定理等方面进行较为全面和系统的论述和总结，使得对卷积的内涵有更全面更深刻的理解和认识。
关键词 卷积 卷积公式 性质 应用1引言卷积是在信号与线性系统的基础上或背景中出现的。
狄拉克为了解决一些瞬间作用的物理现象而提出了“冲击函数”这一符号，而卷积的诞生正是为了研究“冲击函数”服务的；卷积是一种数学积分变换的方法，也是分析数学中一种重要的运算。
卷积在物理学，统计学，地震预测，油田勘察等许多方面有十分重要的应用。
本文通过对卷积的概念，性质，应用等方面进行较为全面和系统的论述和总结，使得对卷积的内涵有更全面更深刻的理解和认识。
2卷积的定义和性质2.1卷积的定义（基本内涵）设:)(),(x g x f 是1R 上的两个可积函数，作积分:()()τττd x g f -⎰+∞∞- 随着x 的不同取值，这个积分就定义了一个新函数)(x h ，称为函数()x f 与)(x g 的卷积，记为)(x h =)()(x g x f * (或者()()x g f *) .注(1)如果卷积的变量是序列()()n h n x 和，则卷积的结果：∑+∞-∞=*=-=i n h n x i n h i x n y )()()()()(，其中星号*表示卷积。
当时序n=0时，序列h(-i)是)(i h 的时序i 取反的结果;时序取反使得)(i h 以纵轴为中心翻转180度，所以这种相乘后求和的计算法称为卷积和，简称卷积.另外，n 是使)(i h -位移的量，不同的n 对应不同的卷积结果.（2）如果卷积的变量是函数)(t x 和)(t h ，则卷积的计算变为：)()()()()(t h t x dp p t h p x t y *=-=⎰+∞∞-，其中p 是积分变量，积分也是求和，t 是使函数)(p h -位移的量，星号*表示卷积.（3）由卷积得到的函数g f *一般要比g f 和都光滑.特别当g 为具有紧致集的光滑函数，f 为局部可积时，它们的卷积g f *也是光滑函数.2.2卷积的性质性质2.2.1（交换律）设)(x f ,)(x g 是1R 上的两个可积函数，则)()()()(x f x g x g x f *=*. 证 =*)()(x g x f ()()τττd x g f -⎰+∞∞-令τ-=x u ，则u x -=τ，τd du -= 所以=*)()(x g x f ()()τττd x g f -⎰+∞∞-=()()du u g u x f ⎰-∞∞+--=()()du u x f u g ⎰+∞∞--=)()(x f x g *性质2.2.2（分配律）设)(),(x g x f )(x h 是1R 上的三个可积函数，则()()[]x h x g x f +*)()()()()(x h x f x g x f *+*=.证 根据卷积定义()()[]x h x g x f +*)(=()()()[]ττττd x h x g f -+-⎰+∞∞-=()()τττd x g f -⎰+∞∞-+()()τττd x h f -⎰+∞∞-)()()()(x h x f x g x f *+*= 性质2.2.3（结合律）设)(),(x g x f )(x h 是1R 上的三个可积函数，则()()[]()x h x g x f **()()()[]x h x g x f **=.证 令()()=*=x g x f x m )(()()τττd x g f -⎰+∞∞-，()()()()()dv x h v x g x h x g x s ⎰+∞∞--=*=，则()()[]()x h x g x f **=()()x h x m *=()()du u x h u m -⎰+∞∞-=()()()du u t h d u g f -⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎰⎰+∞∞-+∞∞-τττ=()()τττd du u t h u g f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎰⎰+∞∞-+∞∞-)(令v x u u x v -=-=则,，上式=()()τττd dv v h v x g f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎰⎰+∞∞-+∞∞-)(=()()du u x s f -⎰+∞∞-τ=()()x s x f *()()()[]x h x g x f **=性质2.2.4 ()()x g x f x g x f *≤*)()(. 证明 =*)()(x g x f ()()τττd x g f -⎰+∞∞-≤()()τττd x g f -⋅⎰+∞∞-=()()x g x f *.性质2.2.5（微分性）设)(),(x g x f 是1R 上的两个可积函数，则())()()()()()(x g x f x g x f x g x f dxd'*=*'=*. 证明 ()()()()()τττττd h dxx df d dx x dg x f x g x f dx d⎰⎰∞+∞-∞+∞-=-=*-)()( 即())()()()()()(x g x f x g x f x g x f dxd'*=*'=* 意义 卷积后求导和先对其任一求导再卷积的结果相同.性质2.2.6（积分性） 设()()()x h x g x f *=，则()()()()()()()x h x g x h x g x f11)1(---*=*=.意义 卷积后积分和先对其任一积分再卷积的结果相同. 推广 ()()()()()()()()x h x g x h x g x fn n n *=*=.性质2.2.7（微积分等效性）设)(x f ,)(x g 是1R 上的两个可积函数，则()()ττd g x f x g x f x⎰∞-*'=*)()(.例2.1 设()0010≥<⎩⎨⎧=x x x f ，()000≥<⎩⎨⎧=-x x e x g x ，求()x g x f *)(.解 由卷积定义知()x g x f *)(=()()τττd x g f -⎰+∞∞-=()()t t t tx e e e d e-----=-=⋅⎰1110ττ例2.2 设函数()()()()()t e t f t t t f t μμμ-=--=21,3试计算其卷积()()()t f t f t y 21*=. 解 由卷积定义知()()()其他300131<<⎩⎨⎧=--=ττμτμτf()()()tte t ef t t ><⎩⎨⎧=-=----τττμτττ0)(2 所以()()()t f t f t y 21*==()()τττd t f f -⎰+∞∞2-1显然这个积分值与函数()ttt ><⎩⎨⎧=-τττμ01，所取非零值有关，即与参数t 的取值有关.()1当t 0<时，因30<<<τt ，所以()0=-τμt ，此时()()()t f t f t y 21*==003)(=⋅⎰--ττd e t()2当30<<t 时，只有t <<τ0时，有()1=-τμt ，此时()()()t f t f t y 21*==t tt e d e ----=⎰10)(ττ()3当3>t 时，因为t <<<30τ，所以()1=-τμt ，此时()()()t f t f t y 21*==()t t e e d e ----=⎰133)(ττ综上所述，有()()()t f t f t y 21*==()33001-103><<<⎪⎩⎪⎨⎧⋅---t t t e e ett3.卷积定理3.1 时域卷积定理设两函数)(),(21t f t f ，的傅里叶变换分别为：[],)()(1~1t f s F =ω [],)()(1~1t f s F =ω则两函数卷积的傅里叶变换为：[]),()()()(2121~ωωF F t f t f s ⋅=*上式称为时域卷积定理，它表明两信号在时域的卷积积分对应于在频域中该两信号的傅立叶变换的乘积.证明 []=*)()(21~t f t f s ()()dt e d t f f t j ωτττ-+∞∞-+∞∞-⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21=()()τττωd dt e t f f t j ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎰⎰+∞∞--+∞∞-21=()()τωτωd e F f t j -+∞∞-⎰21=()()ττωωd e f F t j -+∞∞-⎰12=()()=⋅ωω12F F ),()(21ωωF F ⋅ 3.2频域卷积定理设两函数)(),(21t f t f ，的傅里叶变换分别为：[],)()(1~1t f s F =ω [],)()(1~1t f s F =ω则两函数卷积的傅里叶变换为：[]),()(21)()(2121~ωωπF F t f t f s *=上式称为频域卷积定理，它表明两信号在时域的乘积对应于这两个函数傅氏变换的卷积除以π2.证明 ()()()()ωππωωπωd e du u w F u F F F s tj ⎰⎰∞+∞-∞+∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡*21211-~212121 ()du d e u F u F tj ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰⎰∞+∞-∞+∞-ωωππω2121)(21()()()t f t f du e t f u F jut 1221)(21⋅==⎰+∞∞-π于是[])()(21)()(2121~ωωπF F t f t f s *= 例3.1 求积分方程()()()()τττd t g f t h t g -+=⎰+∞∞-的解，其中()()t f t h ,为已知函数，且()()()t h t f t g 和,的Fourier 变换都存在. 解 假设()[](),ωG t g F =()[](),ωH t h F =()[](),ωF t f F =由卷积定义知()()()()t g t f d t g f *=-⎰+∞∞-τττ现对积分方程两端取Fourier 变换可得 ()()()()ωωωωG F H G ⋅+=解得()()()ωωωF H G -=1所以原方程的解为()()()ωωωπωd e F H t g ti ⎰∞+∞--=121例3.2 求常系数非齐次线性微分方程()()()t f t y t y dtd -=-22的解，其中()t f 为已知函数. 解 设()[]()[]()ωωF t f F Y t y F ==),(现对原方程两端取Fourier 变换，并根据Fourier 变换的性质可得 ()()()()ωωωωF Y Y i -=-2解得()()21ωωω+=F Y 所以原方程的解 ()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=-∞+∞-⎰ωωωωωπωF F d e F t y t i 212111121 由卷积定理得()()[]ωωF F F t y 12111--*⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==()()τττd e f t f et t--∞+∞--⎰=*212.例3.3 求微分积分方程()()()()t h dt t x c t bx t x a t=++'⎰∞-的解.其中c b a t ,,,+∞<<∞-均为常数.解 设()[]()()[]()ωωH t h F X t x F ==,现对原方程两端取Fourier 变换，并根据Fourier 变换的性质可得 ()()()()ωωωωωωH X i c bX X ai =++解得()()()⎪⎭⎫⎝⎛-+=++=ωωωωωωωc a i b H i c b ai H X ，所以原方程的解 ()()dt e c a i b H t x ti ωωωωπ⎰∞+∞-⎪⎭⎫⎝⎛-+=214.卷积公式及其应用与推广4.1卷积公式设X 和Y 的联合密度函数为）y x f ,(，则Y X Z +=得概率密度为⎰+∞∞--='=dx x z f x fZ F Z f Y Xz z )()()()(⎰+∞∞--='=dy y f y z fZ F Z f Y Xz z )()()()(证明 Y X Z +=的分布函数是：⎰⎰=≤+=≤=Dz xy f p z Z p Z F )()z Y X ()()(其中D ={}z y x y x ≤+:),(于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-∞-+=+∞∞--∞-≤+-===zy x u yz zy x Z dudy y y u f dxdyy x f dxdy y x f Z F ),(),(),()(=⎰⎰∞-+∞∞--z dydu y y u f ),(从而⎰+∞∞--='=dy y y z f Z F Z f z z ),()()(由X 和Y 的对称性知⎰+∞∞--='=dx x x z f Z F Z f z z ),()()(。
各种卷积方式解析
卷积（Convolution）是信号处理和图像处理中常用的一种操作，用于处理信号、图像和数据。
下面是一些常见的卷积方式的解析：
1.线性卷积（Linear Convolution）：线性卷积是最基本的一种卷积方式。
它通过将两个函数（或信号）的每个值相乘，并将结果进行累加得到卷积结果。
线性卷积在时域上执行，通常使用离散时间卷积（Discrete Time Convolution）或连续时间卷积（Continuous Time Convolution）来计算。
2.离散卷积（Discrete Convolution）：离散卷积是一种用于离散信号处理的卷积方式。
与线性卷积类似，离散卷积是将两个离散信号序列的每个值相乘，并将结果进行累加得到卷积结果。
常见的应用包括数字滤波、信号降噪、图像处理和语音识别等。
3.快速卷积（Fast Convolution）：快速卷积是通过使用快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）算法来加速卷积计算的一种方法。
通过将卷积操作转换为频域上的乘法操作，使用FFT可以显著减少计算复杂度，尤其适用于长序列的卷积计算。
4.卷积神经网络（Convolutional Neural Network, CNN）：卷积神经网络是一类特殊的神经网络结构，广泛应用于图像和语音识别、计算机视觉和自然语言处理等领域。
CNN利用局部连接和权重共享的卷积操作来提取输入数据中的特征，通过卷积层、池化层和全连接层等组件搭建深层网络模型。
以上是一些常见的卷积方式的解析。
每种卷积方式都有其特定的应用场景和计算方法，具体使用哪种方式取决于所处理的数据类型和具体任务的要求。
常见的卷积公式
常见的卷积公式一、卷积公式的基本概念与原理在数字信号处理中，卷积公式是一种常见且重要的数学工具，用于描述信号之间的运算关系。
它可以用于图像处理、音频处理、信号滤波等多个领域。
本文将介绍常见的卷积公式及其应用。
卷积的定义是一种数学运算符，表示两个函数之间的运算。
在离散领域中，常用的卷积公式可以表示为：\[y[n]=\sum_{m=-\infty}^{\infty} x[m]h[n-m]\]其中，\(x[n]\)是输入信号，\(h[n]\)是卷积核或滤波器，\(y[n]\)是输出信号。
该公式实质上是对输入信号和卷积核进行长度为无穷的求和运算，得到输出信号的每个采样值。
二、一维离散卷积常见的一维离散卷积公式可以简化为：\[y[n]=\sum_{m=-\infty}^{\infty} x[m]h[n-m]\]其中，\(x[n]\)和\(h[n]\)都是长度为N的一维离散信号。
对于每个输出采样点，需要将输入信号和卷积核进行相应位置的乘积运算，然后再将乘积结果相加得到输出值。
三、二维离散卷积对于二维离散信号，卷积公式可以表示为：\[y[m,n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\sum_{l=-\infty}^{\infty} x[k,l]h[m-k,n-l]\]其中，\(x[k,l]\)和\(h[k,l]\)分别表示输入信号和卷积核的二维离散采样值。
在计算输出信号的每个采样点时，需要将输入信号和卷积核进行逐点乘积运算，再将所有乘积结果相加得到输出值。
四、卷积核的选择与应用在实际应用中，卷积核的选择对于信号处理结果具有重要影响。
不同的卷积核可以实现不同的信号处理效果，如平滑、锐化、边缘检测等。
常见的卷积核包括高斯核、均值核、边缘检测核等。
高斯核常用于图像平滑操作，能够减小图像中的噪声。
均值核可以实现简单的平均滤波，用于去除图像中的噪声。
边缘检测核常用于图像边缘提取，可以突出图像中的边缘部分。
信号与系统第二章(3)卷积积分ppt课件
f2t
2
f
t
t2
2
3 4
d
3 4
3 2
4
t
t-2 0 t
当 t 4 时， ft0
f2t
3
4
0 t-2 t .
f (t) f1(t) f2(t)
0,
3
(t
2 ),
2
3
,
3
(4
t ),
2
0 ,
t 2 -2 t 0 0 t 2 2 t 4 t4
.
例 2.3例32： 设 f1(t)3e2t(t)， f2(t)2(t)，
f3(t)2(t2).
求 求卷积卷 积1） 积 f1(t) 分 f2(t（ )；2） （ f1(t)f3(t)。
解法一：图示法（1）
当 t 0 时 f 1 t f ， 2 t 0
f1
3
当t 0时，f1t f2t
t 3e2 2d
0
6 t e2d 3e2 t
0
0
31e2t
f 1 t f 2 t 3 1 e 2 t t .
显然上式适用于 t 2 的区间。
f 1 t * f 3 t 3 1 e 2 t 2 t 2
.
练习：画出下列图形的卷积积分
f1t
f2t
2
1
2 -1 0 t
01 2
t
. 16
f1t
2
练习题答案：f1tf2t 2 -1 0 t
2
f2t
1
-1 0 1 t
01 2 t
思考：两个时限信号的卷积积分结果有何特点？ 从非零区间长度及形状考虑。
本节小结1卷积积分的解析法2卷积积分的图解法23卷积积分卷积方法在本书中占有重要地位这里要讨论的卷积积分是将输入信号分解为众多冲激函数之和积分利用冲激响应求解lti系统对任意激励的零状态响应
3-4卷积定理和相关定理
1 2π
哈尔滨工业大学自动化测试与控制系
信号与系统— 信号与系统—signals and systems
3．利用频域卷积定理求傅立叶变换 ． [例1]： f (t ) = G2 (t ) cos( t ) 的傅立叶变换 例 ： 2 1 π 解：ℱ[ f (t )] = ℱ[cos t ] ∗ ℱ[G2 (t )] 2π 2 1 π π = π [δ (ω − ) + δ (ω + )] ∗ 2Sa(ω ) 2π 2 2
t < −2 0 −2 ≤ t < 0 t + 2 −2 ≤ t < 0 = 0 ≤ t < 2 2 − t 0 ≤ t < 2 0 t>2 t>2
2
f1 (t ) ∗ f 2 (t )
t < −2
F (ω ) = Sa(ω )Sa(ω ) = Sa 2 (ω )
-2 0 2
t
R12 (τ ) = ∫ f 1 (t ) f 2 (t − τ )dt = ∫ f 1 (t + τ ) f 2 (t )dt
−∞ −∞ +∞ +∞ +∞ +∞
R21 (τ ) = ∫ f 1 (t − τ ) f 2 (t )dt = ∫ f 1 (t ) f 2 (t + τ )dt
−∞ −∞
④复能量信号的相关函数： 复能量信号的相关函数：
R12 (τ ) = ∫
+∞ −∞
f1 (t ) f 2* (t − τ ) dt
⑤复功率信号的相关函数： 复功率信号的相关函数：
1 T R12 (τ ) = lim ∫ 2T f1 (t ) f 2* (t − τ )dt T →∞ T − 2
3-3卷积的性质、由卷积求全响应
k0 0k N kN
§3.3
a (k )
k
卷积和
x (k ) ( k ) ( k N )
a
0k N
1 a 1
k 1
a a 1 kN a
k 1
k N 1
此例当N小时可将有限序列用单位序列表示。 当N较大时，可用线性性质。
§3.3
解2：用线性性质 y (k ) x(k ) * h(k )
y zs (0) g (0) 12.5 0.5 5 7 y zs (1) g (1) 12.5 0.1 2.5 9.9
y zi ( 0) y ( 0) y zs ( 0) 3 y zi (1) y (1) y zs (1) 4.9
§3.3
五、卷积和的性质
卷积和
1、卷积和满足交换律、分配律和结合律。 f1 k f 2 k f 2 k f1 k
f1 k f 2 k f 3 k f1 k f 2 k f1 k f 3 k
f1 k f 2 k f 3 k f1 k f 2 k f 3 k
k
§3.3
卷积和
E (7 E 2) Ex. 例8： 已知传输算子： H ( E ) ( E 0.2)( E 0.5) 输入为 k 。 y (0) 10; y (1) 5。 求： y zi ( k ); y zs ( k )
2E E 0.2
k
解：1、零状态响应： H ( E )
k k k
1
2
§3.3
y zs (k ) h k f ( k )
k
三次立方卷积插值法
三次立方卷积插值法（Cubic Convolution Interpolation）是一种常用的数字图像插值方法。
这种方法使用周围的16个像素点来计算新的像素值，从而得到更高分辨率的图像。
以下是三次立方卷积插值法的基本步骤：
确定需要插值的点(x, y)以及周围的16个像素点。
对这16个点应用三次立方卷积核。
这个卷积核是一个分段函数，形式如下：
W(x) = { (a+2)|x|^3 - (a+3)|x|^2 + 1, |x| <= 1
{ a|x|^3 - 5a|x|^2 + 8a|x| - 4a, 1 < |x| < 2
{ 0, |x| >= 2
其中a通常取-0.5或-1。
这个函数对于|x|<1的部分是一个三次方程，对于1<|x|<2的部分是另一个三次方程，对于|x|>=2的部分是0。
3. 将卷积核应用于每个点，并将结果相加，得到新的像素值。
注意：在实际应用中，我们通常会先将图像进行预处理（如去噪、平滑等），然后再进行插值。
此外，插值后的图像可能需要进行后处理（如锐化、对比度增强等），以进一步提高图像质量。
以上步骤可以通过编程语言（如Python）和图像处理库（如OpenCV）来实现。
具体实现时，需要注意边界处理（如镜像、填充等）以及计算效率等问题。
快速计算多个卷积的新方法及其应用
快速计算多个卷积的新方法及其应用快速计算多个卷积是一个重要的问题，它在计算机视觉和自然语言处理等领域的深度学习中扮演着关键的角色。
在传统的方法中，计算多个卷积时需要遍历每个输入图像和卷积核的组合，这会导致计算量的急剧增加。
因此，为了提高计算效率，人们提出了一些新的方法和技术。
一种常见的方法是利用并行计算的特性，将多个卷积操作并行地计算。
这可以通过并行处理器（如GPU）或者分布式计算系统来实现。
通过并行计算，可以同时进行多个卷积操作，从而加快计算速度。
这种方法在图像识别、目标检测和语义分割等任务中取得了显著的性能提升。
另一种方法是利用卷积的可分离性质。
可分离卷积是指将一个卷积操作分解为两个较小的卷积操作。
具体来说，可以将一个m×n的卷积核分解为一个m×1的卷积核和一个1×n的卷积核。
通过这种分解，可以大大降低计算量。
例如，在目标检测任务中，YOLO算法就使用了可分离卷积来加速计算。
此外，还有一些基于矩阵乘法的方法，如快速卷积算法（FastFourier Transformation），可以实现快速计算多个卷积。
这些方法通过将图像和卷积核转换为频域表示，然后利用矩阵乘法来计算卷积。
这种方法在卷积神经网络中得到了广泛的应用，并取得了显著的加速效果。
快速计算多个卷积的方法在许多应用中具有广泛的应用。
例如，在图像识别任务中，卷积神经网络通常需要对许多图像进行卷积操作。
通过使用快速计算方法，可以大大减少计算时间，从而实现实时的图像识别。
此外，在自然语言处理任务中，如机器翻译和文本分类，也需要对大量的文本数据进行卷积操作。
通过使用快速计算方法，可以提高文本处理的效率，加快模型训练和推断的速度。
总之，快速计算多个卷积是一个重要的问题，涉及到计算机视觉和自然语言处理等领域的深度学习。
通过利用并行计算、可分离卷积和基于矩阵乘法的方法，可以实现快速计算多个卷积，进而提高计算效率。
这些方法在图像识别、目标检测和自然语言处理等任务中都得到了广泛的应用，并取得了显著的性能提升。
3维数据的卷积运算的例子
3维数据的卷积运算的例子摘要：一、引言二、3 维数据的卷积运算定义三、3 维数据的卷积运算例子1.例子一2.例子二3.例子三四、总结正文：一、引言在计算机视觉和深度学习领域，处理3 维数据（如立体图像、视频等）是非常常见的任务。
卷积运算作为深度学习的基本操作之一，在处理3 维数据时具有重要作用。
本文将通过几个例子介绍3 维数据的卷积运算。
二、3 维数据的卷积运算定义卷积运算是一种在信号处理和图像处理中广泛使用的数学运算，用于合成或提取信号的特征。
对于3 维数据的卷积运算，我们通常考虑一个3 维卷积核与一个3 维输入数据进行卷积操作，得到一个输出数据。
具体公式表示如下：Y = ∑x*K(x-y)其中，Y 为输出数据，x 为输入数据的某个位置，K 为卷积核，y 为卷积核的位置。
求和是对所有可能的卷积核位置进行的。
三、3 维数据的卷积运算例子1.例子一：简单3 维卷积运算假设有一个3 维输入数据：X = [[[1, 2], [3, 4]], [[5, 6], [7, 8]]]卷积核为：K = [[[1, 1], [1, 1]], [[1, 1], [1, 1]]]按照卷积运算的定义，我们可以得到输出数据Y：Y = [[[1+1, 2+2], [3+3, 4+4]], [[5+5, 6+6], [7+7, 8+8]]]= [[[2, 4], [6, 8]], [[10, 12], [14, 16]]]2.例子二：3 维卷积运算应用——立体图像分类假设我们有一个立体图像数据集，每个样本是一个立体图像对（左视图和右视图），我们需要通过卷积神经网络对这些立体图像进行分类。
这里的输入数据是一个三维的张量，表示左右视图的像素值。
卷积核也是三维的，通过卷积操作，我们可以提取左右视图之间的特征，用于分类任务。
3.例子三：3 维卷积运算应用——视频分类与立体图像分类类似，视频分类任务也需要处理3 维数据。
给定一个视频数据集，每个样本是一个视频片段，我们需要通过卷积神经网络对这些视频片段进行分类。
三通道卷积过程
三通道卷积过程
三通道卷积是指在图像卷积过程中，同时对图像的RGB三个通道进行卷积操作。
具体的过程如下：
1. 输入的图像通常是一个三维矩阵，其中第一维表示图像的高度，第二维表示图像的宽度，第三维表示图像的通道数。
对于RGB图像来说，通道数为3。
2. 卷积核是一个小的二维矩阵，通常是一个正方形。
每个卷积核是通过训练得到的，用于检测特定的图像特征。
3. 对于三通道卷积，需要使用三个卷积核分别对图像的三个通道进行卷积操作。
每个卷积核与对应的通道进行卷积运算，得到三个输出结果。
4. 三个输出结果分别对应RGB三个通道的特征图。
这三个特征图可以用于进一步的图像处理任务，如图像分类、目标检测等。
5. 卷积过程中，卷积核在图像上滑动，并在每个位置上与图像的对应区域进行按元素乘法和求和操作，得到卷积结果。
6. 通常还会对卷积结果进行激活函数的处理，如ReLU函数，以增加非线性特性。
总而言之，三通道卷积就是将RGB图像的每个通道与对应的卷积核进行卷积运算，得到三个通道的特征图。
这样可以更好地提取图像的特征信息，提高图像处理的效果。
卷积的原理及其应用
卷积的原理及其应用1. 引言卷积是一种数学运算方法，广泛应用于信号处理、图像处理和深度学习等领域。
本文将介绍卷积的原理以及其在不同领域的应用。
2. 卷积的原理卷积运算是通过将一个函数与另一个函数进行叠加积分的过程，它可以用来描述两个函数之间的相互作用。
在离散的情况下，可以通过卷积求解两个离散函数之间的叠加积分。
卷积运算的数学定义如下：$$(f * g)(t) = \\int_{-\\infty}^{\\infty} f(\\tau)g(t-\\tau)d\\tau$$其中，$f(\\tau)$和$g(t-\\tau)$分别表示两个函数，∗表示卷积运算，(f∗g)(t)表示卷积的结果。
卷积运算可以看作是一个滑动窗口的过程，通过将窗口中的函数与另一个函数进行点乘求和，得到卷积的结果。
具体来说，卷积的计算步骤如下：1.将两个函数对齐，窗口的中心与第二个函数的中心对齐。
2.将窗口中的函数与第二个函数进行点乘。
3.将点乘的结果求和，得到卷积的结果。
3. 卷积的应用3.1 信号处理卷积在信号处理中有广泛的应用。
一般来说，信号处理是将输入信号经过一系列的处理步骤后得到输出信号。
卷积运算在信号处理中用于滤波、平滑以及特征提取等任务。
以音频信号处理为例，可以使用卷积运算将输入音频信号与特定的滤波器进行卷积，从而实现降噪、音效增强等功能。
另外，在图像处理中，卷积运算也被广泛用于图像的边缘检测、图像增强等应用。
3.2 图像处理在图像处理中，卷积运算是一种常用的操作。
卷积可以通过滑动窗口的方式对图像进行处理，从而实现图像的平滑、边缘检测、特征提取等功能。
图像卷积可以通过不同的卷积核（也称为过滤器）来实现不同的效果。
例如，使用边缘检测卷积核可以检测图像中的边缘信息，使用模糊卷积核可以对图像进行模糊处理。
3.3 深度学习深度学习是一种基于神经网络的机器学习方法，卷积神经网络（Convolutional Neural Network，CNN）是深度学习中最常见的模型之一。
线性正则正弦与余弦变换的卷积定理及其应用
线性正则正弦与余弦变换的卷积定理及其应用王荣波;冯强【摘要】For the denoising problem of odd and even signals, a multiplicative filter design method based on the convolution theorem of the linear canonical sine and cosine transform is proposed. Two kinds of convolution theo-rems associated with the linear canonical sine and cosine transform based on the existing linear canonical transform domain convolution theory are derived. Using this two convolution theorems, two kinds of the multiplicative filtering models of the band-limited signal are designed by choosing an appropriate filter function in linear canonical sine and cosine transform domain. And the complexity of these schemes is analyzed. The results indicate that these filtering models are particularly suitable for handling odd and even signals, and can effectively improve computational effi-ciency by reducing computational complexity.%针对奇、偶信号的去噪问题,提出了一种基于线性正则正(余)弦变换卷积定理的乘性滤波器设计方法.在现有线性正则变换域卷积理论的基础上,研究了两类线性正则正(余)弦变换卷积定理,利用所得卷积定理,通过合理选择滤波函数,设计了一类基于卷积定理的线性正则正(余)弦变换域带限信号的乘性滤波模型,并对算法的复杂度进行分析.研究表明,这种滤波模型特别适合处理奇、偶信号,并能有效降低乘积滤波的计算复杂度,提高运算效率.【期刊名称】《光电工程》【年(卷),期】2018(045)006【总页数】10页(P69-78)【关键词】线性正则变换;线性正则正(余)弦变换;卷积定理;滤波【作者】王荣波;冯强【作者单位】延安大学数学与计算机科学学院,陕西延安 716000;延安大学数学与计算机科学学院,陕西延安 716000【正文语种】中文【中图分类】TN911.71 引言卷积是一个积分运算，在应用数学、信号处理、光学、模式识别、探测应用中有着重要的作用[1-3]，特别在信息光学系统中，卷积主要用于计算一个光学系统对于输入光学信号的响应输出。
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[ f 1 ( t ) ∗ f 2 ( t )] ∗ f 3 ( t ) = f 1 ( t ) ∗ [ f 2 ( t ) ∗ f 3 ( t )]
信号与系统 陈伟东
(2) 卷积的微分和积分
两函数卷积后的导数 d [ f 1 ( t ) ∗ f 2 ( t )] dt
d d = f1 (t ) ∗ [ f 2 (t )] = [ f1 (t )] ∗ f 2 (t ) dt dt
f1*f2
3
(t < 3) (3 < t < 6) (6 < t < 9) (9 < t < 12) (t > 12)
0
3
6
9
12
t
信号与系统 陈伟东
信号与系统 陈伟东
信号与系统 陈伟东
作业
P.82 3-6 3-13 3-15 3-19
信号与系统 陈伟东
卷积运算的意义
信号与系统 陈伟东
卷积运算的意义
与阶跃函数的卷积
f (t ) ∗ ε (t ) = ∫
t
−∞
f (τ ) dτ
与阶跃信号卷积， 即信号f( t )与阶跃信号卷积，就等于信 的积分。 号f( t )的积分。
信号与系统 陈伟东
例
信号与冲激函数的卷积
信号与系统 陈伟东
例
利用微、积分特性计算卷积
信号与系统 陈伟东
f (t) ∗δ (t) = f (t)的 义 意
信号与系统 陈伟东
f1 (t ) ∗ f 2 (t ) = ∫ =∫
∞
−∞ ∞
f1 (τ )i f 2 (t − τ )dτ e −3τ u(τ ) ⋅ e −5( t −τ )u(t − τ )dτ
−∞
∞ ｔ −3τ −5( t −τ ) dτ = ∫ e ie −∞ 0
1 −3 t = ( e − e −5t ) 2 1 −3 t = ( e − e −5t )iu(t ) 2
信号与系统 陈伟东
f (t) = f (t) ∗δ (t) = ∫−∞ f (x)δ (t − x)dx
任意信号f( t )的冲激分解 任意信号 的冲激分解
∞
信号与系统 陈伟东
任意信号f( 的冲激分解 任意信号 t )的冲激分解
pτ (t )
1
τ
t
pτ .0 (t ) pτ .nt ) (
f ( 0) pτ .0 (t ) = pτ (t ) 1
∞
（时不变性） （齐次性）
f (t) = ∫ f (τ )δ (t −τ )dτ → y(t) = ∫ f (τ )h(t −τ )dτ（可加性） −∞ −∞
即：f( t ) * δ( t )
f( t ) → → f( t ) * h( t ) y( t )
信号与系统 陈伟东
零状态响应 = 输入信号 * 冲激响应 y( t ) = f( t ) * h( t )
t
-0.5
0
1
τ
信号与系统 陈伟东
h(t −τ )
f (τ )
t-2
t
-0.5
0
1
τ
信号与系统 陈伟东
h(t −τ )
f (τ )
t-2
t
-0.5
0
1
τ
信号与系统 陈伟东
h(t −τ )
f (τ )
-0.5 t-2
0 t
1
τ
信号与系统 陈伟东
h(t −τ )
f (τ )
-0.5 t-2
0
1 t
例
信号与系统 陈伟东
1.解析计算 1.解析计算 参与卷积的两个信号f (t)与 (t)都可 参与卷积的两个信号f1(t 与f2(t)都可 以用解析函数式表达， 以用解析函数式表达，可以直接按照卷 积的积分定义进行计算。 积的积分定义进行计算。 例： 已知f (t)=e u(t)， (t)=e u(t)， 已知 1(t) -3t u(t)，f2(t)= -5t u(t)，试 计算两信号的卷积f (t)*f2(t)。 计算两信号的卷积f1(t)*f2(t)。
卷积定义为： 对于两个信号 f1 (t ) 和 f2 (t) ，卷积定义为：
y(t) = f1(t)∗ f2(t) = ∫ f1(τ ) f2(t −τ )dτ
−∞
∞
或
y(t ) = f 2 (t ) ∗ f1 (t ) = ∫ f 2 (τ ) f1 (t −τ )dτ
而且
−∞
∞
f1(t)∗ f2(t) = f2(t)∗ f1(t)
−∞
∞
f1 (t ) → f (t )
信号与系统 陈伟东
5-4
3.3.2系统的卷积分析法 系统的卷积分析法
思路：
f (t) = ∫ f (τ )δ (t −τ )dτ
−∞ ∞
δ( t )
LTI LTI
→ →
h( t )
过程：
δ( t ) δ( t − τ ) f(τ )δ( t − τ )
∞
h( t ) h( t − τ ) f(τ )h( t − τ )
f1(t −t1) ∗ f2 (t −t2 ) =
y(t −t1 −t2 )
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(4) 与冲击函数或阶跃函数的卷积
与冲击函数的卷积
f ( t ) ∗ δ ( t ) = f ( t ); f (t ) ∗ δ (t − t 0 ) = f (t − t 0 ) f( t ) * δ′ ( t ) = f′ ( t )
y(−1) (t) = f1(t) * f2(−1) (t) = f1(−1) (t) * f2 (t)
f( t ) ∗ ε( t ) = f( t ) ∗ δ(−1) ( t )
例：
= ∫ f (τ )dτ
−∞
t
信号与系统 陈伟东
(3) 卷积的延时特性：
若： (t)∗ f2(t) = y(t) f1
信号与系统 陈伟东
3.3.3图解计算原理 图解计算原理
信号与系统 陈伟东
3.3.3图解计算原理 图解计算原理
动画
信号与系统 陈伟东
计算卷积的两点注意
①反褶时要考虑到波形的起始位置； 反褶时要考虑到波形的起始位置； ②根据反褶波形的平移和另一波形的重叠关系 确定卷积积分限； 来确定卷积积分限；
再看一个卷积的动画
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2. 卷积的性质 (1) 卷积的运算律
交换律
f1 (t ) ∗ f 2 (t ) = f 2 (t ) ∗ f1 (t )
f1 (t ) ∗ [ f 2 (t ) + f 3 (t )] =
f1 (t ) ∗ f 2 (t ) + f1 (t ) ∗ f 3 (t )
分配律
结合律
第3章 连续系统的时域分析
3.3卷积及其应用
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3.3 卷积及其应用
3.3.1卷积的概念与性质 卷积的概念与性质 3.3.2系统的卷积分析法 系统的卷积分析法 3.3.3卷积的计算－图形扫描法 卷积的计算－ 卷积的计算
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3.3.1卷积的概念 卷积的概念
1. 卷积的定义
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(2) 卷积的微分和积分
两函数卷积后的积分
∫
t
−∞
[ f 1 ( λ ) ∗ f 2 ( λ )] d λ
= f1 (t ) ∗ ∫ f 2 (λ )dλ = f 2 (λ ) ∗ ∫ f1 (λ )dλ
−∞ −∞
t
t
若 y( t ) = f 1 ( t ) * f 2 ( t ) 则
1/2 0
2 f1(τ)
5
τ
2
0 1 1
77
τ
信号与系统 陈伟东
f 2 ( τ)
1/2 0 f1(-τ)
2
5
τ
-7
-1
τ
信号与系统 陈伟东
f 2 ( τ)
1/2 0 f1(-τ)
2
5
τ
t-7 t=0时的位置 时的位置 t-1 t=0时的位置 时的位置
信号与系统 陈伟东
f 2 ( τ)
1/2 0 t-7 t-1 f1(-τ)
若 y( t ) = f 1 ( t ) * f 2 ( t ) 则 y′ ( t ) = f 1 ( t ) * f ′ 2 ( t ) = f ′ 1 ( t ) * f 2 ( t )
例：
f (t ) = f (t ) ∗ δ (t ) f ′(t ) = f (t ) ∗ δ ′(t )
f( t ) ∗ δ′ ( t ) = f′ ( t )
τ
信号与系统 陈伟东
h(t −τ )
f (τ )
-0.5 t-2
0
1 t
τ
信号与系统 陈伟东
f t −τ h((τ ) )
-0.5
0
1
t-2
τ
t
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例2
计算
f1(t)
和
f 2 (t )
的卷积
F1(t)
F2(t)
2 1/2 0 1 1 77 0 2 5
信号与系统 陈伟东
f2(τ)
信号与系统 陈伟东
例一
设激励为 f (t ) ，
y (t ) = f (t ) ∗ h (t ) =
f ( t ), f (τ )
∫
∞
−∞
f (τ ) h ( t − τ ) d τ
h(t ), h(τ )
-1/2
0
h (t − τ )
1
t,τ
τ
0