数列不等式推理与证明

2012年数学一轮复习精品试题第六、七模块 数列、不等式、推
理与证明
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则a 29
a 11的值为( )
A ．9
B ．1
C ．2
D ．3
2．在等比数列{a n }中，a n >a n ＋1，且a 7·a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 6
a 16等于( )
A.23
B.32 C ．－16
D ．－56
3．在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝a n －1
1＋a n －1，则通项公式为a n ＝( )
A.1
n 2
B ．n C.1n
D ．n 2
4．已知0<a <b <c <1，且a 、b 、c 成等比数列，n 为大于1的整数，则log a n ，log b n ，log c n ( ) A ．成等差数列 B ．成等比数列 C ．各项倒数成等差数列 D ．各项倒数成等比数列
5．已知a 1＝1，a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式是( )
A ．a n ＝2n －1
B ．n-1
n 1a n n +⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．a n ＝n 2
D ．a n ＝n
6．已知正项数列{a n }的前n 项的乘积等于T n ＝2n -6n
14⎛⎫
⎪⎝⎭
(n ∈N *)，b n ＝log 2a n ，则数列{b n }
的前n 项和S n 中的最大值是( )
A ．S 6
B ．S 5
7．已知a ，b ∈R ，且a >b ，则下列不等式中恒成立的是( )
A ．a 2
>b 2
B.a b
11<22⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C ．lg(a －b )>0
D.a b
>1 8．设a >0，b >0，则以下不等式中不恒成立的是( ) A ．(a ＋b )⎝⎛⎭⎫
1a ＋1b ≥4
B ．a 3＋b 3≥2ab 2
C ．a 2＋b 2＋2≥2a ＋2b
D.|a －b |≥a －b
9．当点M (x ，y )在如图所示的三角形ABC 内(含边界)运动时，目标函数z ＝kx ＋y 取得最大值的一个最优解为(1,2)，则实数k 的取值范围是( )
A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
B ．[－1,1]
C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D ．(－1,1)
10．设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
lg|x |(x <0)2x －1(x ≥0)，若f (x 0)>0，则x 0的取值范围是( )
A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)
C ．(－1,0)∪(0,1)
D ．(－1,0)∪(0，＋∞)
11．已知a >b >0，ab ＝1，则a 2＋b 2
a －
b 的最小值是( )
A ．2 2 B. 2 C ．2
D ．1
12．下面四个结论中，正确的是( )
A ．式子1＋k ＋k 2＋…＋k n (n ＝1,2，…)当n ＝1时，恒为1
B ．式子1＋k ＋k 2＋…＋k n －
1(n ＝1,2…)当n ＝1时，恒为1＋k
C ．式子11＋12＋13＋…＋12n ＋1
(n ＝1,2，…)当n ＝1时，恒为11＋12＋1
3
D ．设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1(n ∈N *)，则f (k ＋1)＝f (k )＋13k ＋2＋13k ＋3＋1
3k ＋4
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上． 13．已知S n 是等差数列{a n }(n ∈N *)的前n 项和，且S 6>S 7>S 5，有下列四个命题： (1)d <0；(2)S 11>0；(3)S 12<0；(4)数列{S n }中的最大项为S 11，其中正确命题的序号是________．
14．在数列{a n }中，如果对任意n ∈N *都有a n ＋2－a n ＋1
a n ＋1－a n
＝k (k 为常数)，则称{a n }为等差比
数列，k 称为公差比．现给出下列命题：
(1)等差比数列的公差比一定不为0； (2)等差数列一定是等差比数列；
(3)若a n ＝－3n ＋2，则数列{a n }是等差比数列； (4)若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比． 其中正确的命题的序号为________． ＝q ，(4)正确． 15．不等式
ax
x －1
<1的解集为{x |x <1或x >2}，那么a 的值为________．
16．已知点P (x ，y )满足条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥0y ≤x
2x ＋y ＋k ≤0(k 为常数)，若z ＝x ＋3y 的最大值为8，则
k ＝________.
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)(2011·天津市质检)已知等差数列{a n }的前三项为a －1，4,2a ，记前n 项和为S n .
(1)设S k ＝2550，求a 和k 的值；
(2)设b n ＝S n
n
，求b 3＋b 7＋b 11＋…＋b 4n －1的值．
18．(12分)已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，首项为a 1，且2，a n ，S n 成等差数列．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若b n ＝log 2a n ，c n ＝b n
a n
，求数列{c n }的前n 项和T n .
19．(12分)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )＝2bx
ax －1，a ≠0，f (1)＝1，且使f (x )＝2x 成立的实
数x 只有一个．
(1)求函数f (x )的表达式；
(2)若数列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1＝f (a n )，b n ＝1
a n
－1，n ∈N *，证明数列{b n }是等比数列，
并求出{b n }的通项公式；
(3)在(2)的条件下，证明：a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n <1(n ∈N *)．
20．(12分)已知集合A ＝⎩
⎨⎧
x ⎪
⎪⎭
⎬⎫
2x x －2≤1，集合B ＝{x |x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m <0}
(1)求集合A ，B ；
(2)若B ⊆A ，求m 的取值范围．
21．(12分)解关于x的不等式：x|x－a|≤2a2
9(a>0)．
22．(12分)某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一吨产品所消耗的电能和煤、所需工人人数以及所得产值如表所示：
品种电能(千度)煤(吨)工人人数(人)产值(万元)
甲2357
乙852
10[来源:学
科网ZXXK]
160千度，消耗煤不得超过150吨，怎样安排甲、乙这两种产品的生产数量，才能使每天所得的产值最大，最大产值是多少．。