3.1.4 空间向量的坐标运算
课件2：3.1.4空间向量的直角坐标运算
研一研·问题探究、课堂更高效
小结 已知两个向量的坐标，证明这两个向量平行或垂 直，就是根据 a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0，c∥d⇔c ＝xd⇔c1＝xd1，c2＝xd2，c3＝xd3 (x∈R，x≠0)来证明．
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跟踪训练 2 将本例中“若向量 ka＋b 与 ka－2b 互相垂
练一练·当堂检测、目标达成落实处
3．若 ABCD 为平行四边形，且 A(4,1,3)，B(2，－5,1)，
C(－3,7，－5)，则顶点 D 的坐标为
(D )
A．72，4，－1
B．(2,3,1)
C．(－3,1,5)
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例 2 已知空间三点 A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设 a ＝A→B，b＝A→C.若向量 ka＋b 与 ka－2b 互相垂直，求 k 的值．
解 a＝(－1＋2,1－0,2－2)＝(1,1,0)， b＝(－3＋2,0－0,4－2)＝(－1,0,2)， ∴ka＋b＝(k，k,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)， ka－2b＝(k，k,0)－(－2,0,4)＝(k＋2，k，－4)， ∴(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8， 即 2k2＋k－10＝0，∴k＝－52或 k＝2.
＝(2,1,2)－λ(1,1,2)＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，
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则Q→A·Q→B＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ) ＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ) ＝6λ2－16λ＋10， ∴当 λ＝43时，Q→A·Q→B取得最小值． 又O→Q＝λO→P＝43(1,1,2)＝43，43，83. 所以，所求点 Q 的坐标为43，43，83.
3.1.4 空间向量的坐标表示
与x轴、y轴、z轴方向相同的单位向量 i， rj， k
作为基向量，对于空间任意一个向量 a ，
根据空间向量基本定理，存在惟一的有序实数组
rrr r
（x,y,z ），使 a＝ xi＋ yj＋ zk. r 有序实数组（x,y,z ）叫做向量 r a 在空间直角
坐标系O-xyz中的坐标，记 作 ： a ＝ (x ， y ， z) u u u r u u u r
对于空间任意一点A（x，y，z ），向 量 O A 坐 标 为 O A ＝ ( x ， y ， z ) ．
3．空间向量的坐标运算法则．
r
r
（1r ）若ra ＝ ( a 1 ， a 2 ， a 3 ) ， b ＝ ( b 1 ， b 2 ， b 3 ) ，
则 a ＋ b ＝ ( a 1 ＋ b 1 ， a 2 ＋ b 2 ， a 3 ＋ b 3 ) ，
rr 解： a＋b＝(4， 7， 4) ，
rr a－b＝(－2， －13， 12) ，
r 3a＝(3， －9， 24)
例2 已知空间四点A(－2，3，1)，B(2，－5，3)，C(10，0， 10)和D(8，4，9)，求证：四边形ABCD是梯形．
uuur uuur uuur
解： AB＝OB－ OA＝(4， －8， 2) ，
rr a － b ＝ ( a 1 － b 1 ， a 2 － b 2 ， a 3 － b 3 ) ，
r a ＝ (a 1 ， a 2 ， a 3 ) (∈ R ) ，
r r
a b a 1 ＝ b 1 ， a 2 ＝ b 2 ， a 3 ＝ b 3 ( ∈ R ) ，
数学应用
已知 a r ＝ ( 1 ， － 3 ， 8 ) ， b r ＝ ( 3 ， 1 0 ， － 4 ) ， 求 a r＋ b r， a r＋ b r， 3 a r．
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
练习 1.
如图，正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中，E ，F 分别是 BB1 ， D1 B1 中点，求证： EF DA1
证明：如图，不妨设正方体的棱长为 1， 分别以 DA 、 DC 、 DD1 为单位正交基底 建立空间直角坐标系 Oxyz ， 1 1 1 则 E (1 , 1 , ) ， F ( , , 1) 2 2 2 1 1 1 所以 EF ( , , ) ， 2 2 2 又 A1 (1 , 0 , 1) ， D(0 , 0 , 0) ， DA 所以 1 (1 , 0 , 1) 1 1 1 所以 EF DA1 ( , , ) (1 , 0 , 1) 0 ， 2 2 2 因此 EF DA1 ，即 EF DA1
我们称 xi, y j , zk
k j i O
x
p
P
y Q
i, j , k 上的分向量。
探究：在空间中，如果用任意三个不共面向量 a, b, c 代替两两垂直的向量 i, j , k ，你能得出类似的
结论吗？
如果三个向量 a, b, c不共面，那么对空间任一
1 1 1 1 D P(0,0,1) M (0, , 0), N ( , , ) 1 21 2 2 2 MN ( , 0, ) PD (1, 0, 1) 2 2 A DC (0,1, 0) M x 1 1 MN PD ( , 0, ) (1, 0, 1) 0 MN PD 2 1 2 1 MN DC ( , 0, ) (0,1, 0) 0 MN DC 2 2
【温故知新】
平面向量的正交分解及坐标表示
原创2：3.1.4 空间向量的直角坐标运算
(1)依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)．∴||＝ 3，
∴BN的长为 3.
(2)依题意得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，
变式训练
∴ BA1＝(1，－1,2)， CB1＝(0,1,2)，
∴ BA1 ·CB1＝3.
原点O重合，得到向量OP＝p，由空间向量基本定理可知，存在有
序实数组{x，y，z}，使得p＝
xԦi＋yԦj＋zkԦ
.把 x，y，z 称作向
量p在单位正交基底Ԧi，Ԧj，k 下的坐标，记作 p＝(x，y，z) .
走进教材
2．空间向量运算的坐标表示
若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
Ԧ ∙
cos<a，b>
Ԧ ||
走进教材
3.空间中向量的坐标及两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则
(1)＝ (a2－a1，b2－b1，c2－c1) ；
(2)d AB＝||＝
(a2−a1)2 +(b2−b1)2 +(c2−c1)2
.
(1)设|Ԧc|＝3，Ԧc∥BC，求Ԧc；(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.
【解析】
(1)∵BC＝(－2，－1,2)，且Ԧc∥BC，∴设Ԧc＝λBC＝(－2λ，－λ，2λ).
∴|Ԧc|＝ (－2λ)2 +(－λ)2 +(2λ)2 ＝3|λ|＝3.解得λ＝±1.
∴Ԧc＝(－2，－1,2)或Ԧc＝(2,1，－2).
＝1×(－1)＋1×0＋0×2＝－1
∴(－1,0,2)＝(x－2y，x－y,2y)
3.1.4-3.1.5空间向量的正交分解及其坐标表示
（2）由于可视 0 为与任意一个非零向量共线，与任 隐含着它们都不是 0 。
意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就
（3）一个基底是指一个向量组， 一个基向量是指基底中的某一个向量，
二者是相关连的不同概念。
新知探究：空间向量的正交分解
二、空间向量的正交分解 特殊的： i, j, k两两垂直时 OP OQ zk. OQ xi y j.
定理，存在唯一的有序实数组(x,y, z)使
给定一个空间坐标系和向量
p ,且设
A(x,y,z) e3 e1 O e2 y
有序数组( x, y, z)叫做 p 在空间直角坐标
系O-xyz中的坐标，记作.P=(x,y,z)
p xe1 ye2 ze3
x 其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.
| AB | ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z2 z1 )
2 2
2
新探究：空间向量运算的坐标表示
三、向量的夹角的坐标表示
已知 a ( x1 , y1 , z1 ) , b ( x2 , y2 , z2 ) x1 x2 y1 y2 z1 z2 ab 则 cos a , b ab x12 y12 z12 x2 2 y2 2 z2 2
F1 E1 B1
C1
立空间直角坐标系 O xyz ，则
1 D(0 , 0 , 0) , F1 0 , ，1 . 4 D y 3 C O 1 BE1 1 , , 1 (1 , 1 , 0) 0 , , 1 , 4 4 A B 15 x 1 1 1 1 DF1 0 , ，1 (0 , 0 , 0) 0 , ，1 . BE1 DF1 0 0 1 1 , 16 4 4 4 4 15 17 17 BE DF1 15 16 1 . | BE1 | , | DF1 | . cos BE1 , DF1 | BE1 | | DF1 | 17 17 17 4 4 4 4
3.1.4空间向量运算的坐标表示
13
练习 2: 0, ⑴已知 A( 2, 3),B( 2,1, 6), C (1, 1, 5) , 7 3 则 △ ABC 的面积 S=_____.
2
⑵ a = ( x , 2,1) , b = ( 3, x , 5) 且 a 与 b 的夹角为 5 钝角, 钝角,则 x 的取值范围为 ( 1, ) . 2
记为 a = ( a1 , a2 , a3 ) .
4
在空间直角坐标系O 对空间任一点A, 在空间直角坐标系 – x y z 中,对空间任一点 对应一个向量 O A ,于是存在唯一的有序实数组 x, y, z, 于是存在唯一的有序实数组 如图). 使 OA = xi + y j + zk (如图 如图 我们说,点 的坐标为 的坐标为(x,y,z),记作 记作A(x,y,z),其中 叫 我们说 点A的坐标为 记作 ,其中x叫 叫做点A的纵坐标,z叫做点 叫做点A的竖坐标. 做点A的横坐标,y叫做点 做点 的横坐标 叫做点 的纵坐标 叫做点 的竖坐标 显然, 的坐标,就是点A在此空间直角 显然 向量 OA 的坐标,就是点 在此空间直角 z 坐标系中的坐标(x,y,z). 坐标系中的坐标
λa
= (λ a1 , λ a2 , λ a3 )(λ ∈ R) a b = a1b1 + a2 b2 + a3 b3
a1 = λb1,a2 = λb2,a3 = λb3(λ∈R)
6
a // b
a ⊥ b a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0.(a, b都不是零向量)
练习1:已知 练习1:已知 a 1:
7
如果知道有向线段的起点和终点的坐标, 如果知道有向线段的起点和终点的坐标 那么有向线段表示的向量坐标怎样求? 那么有向线段表示的向量坐标怎样求 结论: 结论:若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则 AB = OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1) =(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1) =(
17-18版：3.1.3 空间向量基本定理-3.1.4 空间向量的坐标表示
引申探究 本例中，若以{D→A，D→C，—D— D′→}为基底，试写出A→E，A→G，E→F的坐标.
解答
A→E＝A→D＋D→E＝－D→A＋12D—D→′＝(－1,0，21)， A→G＝A→B＋B→G＝D→C－12D→A＝－12D→A＋D→C＝(－12，1,0)， E→F＝12D→C＋12—DD—′→＝(0，21，21).
命题角度2 空间向量基本定理的应用
例 2 在空间四边形 OABC 中，点 D 是边 BC 的中点，点 G，H 分别是
△ABC，△OBC
→
→
→
的重心，设OA＝a，OB＝b，OC＝c，试用向量
a，b，c
→→ 表示向量OG和GH.
解答
引申探究
若将本例中的“G是△ABC的重心”改为“G是AD的中点”，其他条件
3.1.3 空间向量基本定理 3.1.4 空间向量的坐标表示
学习目标
1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题. 2.理解正交基底、基向量及向量的线性组合的概念. 3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标.
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一 空间向量基本定理
→→→ (2)是否存在实数 x，y，使得AC＝xAB＋yBC成立，若存在，求 x，y 的值；
若不存在，请说明理由. 解答 假设存在x，y∈R满足条件，由已知可得 B→C＝(－2，－1,2). 由题意得(－1,0,2)＝x(1,1,0)＋y(－2，－1,2)， 所以(－1,0,2)＝(x－2y，x－y,2y)，
跟踪训练1 以下四个命题中正确的是_②__③__. 答案 解析 ①空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示； ②若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量； ③如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线； ④任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底.
第3章3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
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高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
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互动 2 用基底表示向量应注意哪些问题？ 【解析】 (1)明确目标．向量表示过程中可能出现新的向量， 要逐步拆分，都用基向量表示； (2)结合图形的几何性质，利用向量的线性运算； (3)只要基底选定，空间任一向量用基底表达的形式是唯一的．
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(2)由于 0 可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零 向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是 0.
(3)一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一 个向量，二者是相关连的不同概念．
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授人以渔
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∵O→G＝O→A＋A→G， 而A→G＝23A→D，A→D＝O→D－O→A. 又 D 为 BC 中点，∴O→D＝12(O→B＋O→C)．
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∴O→G＝O→A＋23A→D＝O→A＋23(O→D－O→A) ＝O→A＋23×12(O→B＋O→C)－23O→A ＝13(O→A＋O→B＋O→C)＝13(a＋b＋c)． 而G→H＝O→H－O→G， ∵O→H＝23O→D＝23·12(O→B＋O→C)＝13(b＋c)， ∴G→H＝13(b＋c)－13(a＋b＋c)＝－13a. ∴O→G＝13(a＋b＋c), G→H＝－13a.
学案1：3.1.4空间向量的直角坐标运算
3.1.4空间向量的直角坐标运算学习目标：1.掌握空间向量的模长公式、夹角公式、两点间的距离公式，会用这些公式解决有关问题；2.会根据向量的坐标判断两个向量共线或垂直. 学习过程： 一、复习引入： 1.空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k 表示；（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量,,i j k 都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面； 2．空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi yj zk =++，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标．若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.3．空间向量的直角坐标运算律： （1）若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =， 则112233(,,)a b a b a b a b +=+++，112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈，112233a b a b a b a b ⋅=++，112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈， 1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=．（2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---． 4. 空间向量平行和垂直的条件 若，，则①，②二、讲解新课： 1.模长公式： 若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则21||a a a a =⋅=+，21||b b b b =⋅=+．2．夹角公式：21cos ||||a ba b a b a ⋅⋅==⋅+．3．两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ， 则2||(AB AB ==，或,A B d =三、讲解范例：例1.已知(3,3,1)A ，(1,0,5)B ， 求：（1）线段AB 的中点坐标和长度；（2）到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 的坐标,,x y z 满足的条件.【解】（1）设M 是线段AB 的中点，则13()(2,,3)22OM OA OB =+=．∴AB 的中点坐标是3(2,,3)2，,A B d ==（2）∵点(,,)P x y z 到,A B 两点的距离相等，= 化简得：46870x y z +-+=,所以，到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 的坐标,,x y z 满足的条件是46870x y z +-+=．点评：到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 构成的集合就是线段AB 的中垂面，若将点P 的坐标,,x y z 满足的条件46870x y z +-+=的系数构成一个向量(4,68)a =-，发现与(2,3,4)AB =--共线.例2．如图正方体1111ABCD A B C D -中，11111114B E D F A B ==，求1BE 与1DF 所成角的余弦.【解】不妨设正方体棱长为1，建立空间直角坐标系O xyz -，则(1,1,0)B ，13(1,,1)4E ，(0,0,0)D ，11(0,,1)4F ，∴11(0,,1)4BE =-，11(0,,1)4DF =，∴11174BE DF ==， 11111500()114416BE DF ⋅=⨯+-⨯+⨯=．111515cos ,17BE DF ==．例3．已知三角形的顶点是(1,1,1)A -，(2,1,1)B -，(1,1,2)C ---，试求这个三角形的面积.分析：可用公式1||||sin 2S AB AC A =⋅⋅来求面积. 【解】∵(1,2,2)AB =-，(2,0,3)AC =--，∴2||13AB ==，||(AC =-=(1,2,2)(2,0,3)264AB AC ⋅=-⋅--=-+=，∴cos cos ,39||||3ABAC A AB AC AB AC ⋅=<>===⋅⨯， ∴213sin sin ,1cos ,39A AB AC AB AC =<>=-<>=，所以，1||||sin 22ABC S AB AC A ∆=⋅⋅=．点评：三角形的内角可看成由该角的顶点出发的两边所在向量的夹角. 四、课堂练习：一、基础过关1．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点A 的坐标为(－1，2,1)，点B 的坐标为(1,3,4)，则( )A.AB →＝(－1,2,1) B.AB →＝(1,3,4)C.AB →＝(2,1,3)D.AB →＝(－2，－1，－3)2．与向量m ＝(0,2，－4)共线的向量是( )A ．(2,0，－4)B ．(3,6，－12)C ．(1,1，－2)D.⎝⎛⎭⎫0，12，－1 3．设A (3,3,1)、B (1,0,5)、C (0,1,0)，则AB 的中点M 到C 的距离|CM |的值为( ) A.534 B .532 C.532D.1324．已知A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)，则向量AB →与AC →的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°5．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－4,2，x )，c ＝(1，－x,2)，若(a ＋b )⊥c ，则x 等于( ) A ．4 B ．－4 C.12D ．－66．已知a ＝(2，－1,2)，b ＝(2,2,1)，则以a 、b 为邻边的平行四边形的面积为( ) A.65 B.652C ．4D ．8 二、能力提升7．与a ＝(2，－1,2)共线且满足a·z ＝－18的向量z ＝__________.8．已知2a ＋b ＝(0，－5,10)，c ＝(1，－2，－2)，a·c ＝4，|b |＝12，则〈b ，c 〉＝________. 9．在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝1，DD 1＝3，则AC →与BD 1→夹角的余弦值是________．10．单位向量a ＝(x ，y,0)与向量c ＝(1,1,1)的夹角为π4，求：x ＋y 与xy 的值．11．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)． (1)求以向量AB →，AC →为一组邻边的平行四边形的面积S ；(2)若向量a 分别与向量AB →，AC →垂直，且|a |＝3，求向量a 的坐标．12．已知正四棱锥S —ABCD 的侧棱长为2，底面的边长为3，E 是SA 的中点，求BE→与SC →的夹角． 三、探究与拓展13．已知a ＝(5,3,1)，b ＝⎝⎛⎭⎫－2，t ，－25且a 与b 的夹角为钝角．求t 的取值范围．答案1．C 2．D 3．C 4．C 5．B 6．A 7．(－4,2，－4) 8．120° 9．－3707010．【解】 ∵a 与c 的夹角为π4.∴cos π4＝a·c |a||c |＝(x ，y ，0)·（1，1，1）x 2＋y 2·3＝22.化简得x ＋y ＝62·x 2＋y 2.① 又|a |2＝x 2＋y 2＝1，② 将②代入①，得x ＋y ＝62，从而(x ＋y )2＝32，∴xy ＝14. 11．【解】 (1)∵AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)， ∴cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝12，∴∠BAC ＝60°，∴S ＝|AB →||AC →|sin 60°＝7 3.(2)设a ＝(x ，y ，z )，则a ⊥AB →⇒－2x －y ＋3z ＝0， a ⊥AC →⇒x －3y ＋2z ＝0，|a |＝3⇒x 2＋y 2＋z 2＝3， 解得x ＝y ＝z ＝1或x ＝y ＝z ＝－1， ∴a ＝(1,1,1)或a ＝(－1，－1，－1)． 12．【解】 建立如图所示的空间直角坐标系．由于AB ＝3，SA ＝2， 可以求得SO ＝22.则 B ⎝⎛⎭⎫32，32，0，A ⎝⎛⎭⎫32，－32，0， C ⎝⎛⎭⎫－32，32，0，S ⎝⎛⎭⎫0，0，22.由于E 为SA 的中点，所以E ⎝⎛⎭⎫34，－34，24， 所以BE →＝⎝⎛⎭⎫－34，－334，24，SC →＝⎝⎛⎭⎫－32，32，－22， 因为BE →·SC →＝－1，|BE →|＝2，|SC →|＝2，所以cos 〈BE →，SC →〉＝－12×2＝－12，所以〈BE →，SC →〉＝120°.13．【解】 由已知得a·b ＝5×(－2)＋3t ＋1×⎝⎛⎭⎫－25 ＝3t －525.∵a 与b 的夹角为钝角，∴a·b <0且〈a ，b 〉≠180°. 由a·b <0，得3t －525<0，∴t <5215.若a 与b 的夹角为180°， 则存在λ<0，使a ＝λb (λ<0)， 即(5,3,1)＝λ⎝⎛⎭⎫－2，t ，－25， ∴⎩⎪⎨⎪⎧5＝λ·(－2)3＝λt 1＝λ·⎝⎛⎭⎫－25，解得t ＝－65.所以t 的范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－65∪⎝⎛⎭⎫－65，5215.。
高二数学 3.1 第4课时第4课时 空间向量运算的坐标表示
第三章 3.1 第4课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
5 ． (2015· 山 东 临 沂 市 高 二 期 末 测 试 ) 已 知 a ＝ (2 ， － 1 ， 3)、b＝(－1,4，－2)、c＝(7,7，λ)，若a、b、c共面，则实数λ ＝__________________.
1 课前自主预习
3 易错疑难辨析
2 课堂典例讲练
4 课时作业
第三章 3.1 第4课时
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课前自主预习
第三章 3.1 第4课时
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向量的坐标表示为我们展示了一幅美丽的画卷，那么将向 量坐标化之后，向量的线性运算、数量积运算及向量平行、垂 直、向量的模、夹角的坐标表示是不是更简化了？
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[点评] 向量平行与垂直的坐标表示是重要知识点，应熟 练掌握．含参数的向量平行，应用比例式求参数值时，要注意 其前提条件．
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第三章 3.1 第4课时
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向量的夹角与长度 在棱长为 1 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E、 F 分别是 D1D、BD 的中点，G 在棱 CD 上，且 CG＝14CD，H 为 C1G 的中点，应用空间向量方法求解下列问题． (1)求证：EF⊥B1C； (2)求 EF 与 C1G 所成的角的余弦值． [分析] 根据正方体的特殊性，可考虑建立空间直角坐标 系，写出相关点及向量的坐标，应用数量积、夹角公式即可．
高中数学 3.1.4 空间向量的直角坐标运算学案 新人教B版选修2-1(2021年整理)
2016-2017学年高中数学3.1.4 空间向量的直角坐标运算学案新人教B版选修2-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学3.1.4 空间向量的直角坐标运算学案新人教B版选修2-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3.1.4 空间向量的直角坐标运算1．了解空间向量坐标的定义．2．掌握空间向量运算的坐标表示．(重点）3．能够利用坐标运算来求空间向量的长度与夹角．（难点、重点）[基础·初探］教材整理1 空间向量的直角坐标运算阅读教材P89～P90“空间向量平行和垂直的条件”以上部分内容,完成下列问题．1．单位正交基底与坐标向量建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿x轴，y轴，z轴的正方向引单位向量i，j,k,这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底｛i，j，k},这个基底叫做单位正交基底．单位向量i,j，k都叫做坐标向量．2．空间向量的直角坐标运算(1）设a＝(a1,a2,a3)，b＝（b1,b2，b3)．向量坐标运算法则a＋b＝（a1＋b1，a2＋b2,a3＋b3)，a－b＝(a1－b1，a2－b2,a3－b3),λa＝（λa1，λa2，λa3），a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.(2）设A(x1,y1，z1)，B（x2，y2，z2),则错误!＝错误!－错误!＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．也就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．1．已知向量a＝（4，－2，－4）,b＝（6，－3,2)，则下列结论正确的是（）A．a＋b＝（10，－5，－6)B．a－b＝(2,－1，－6）C．a·b＝10D．2a＝(8，－4，－8)【解析】易验证A，B,C均不正确，D正确．【答案】D2．在空间直角坐标系中，若A(1,3，2)，B（0，2,4）,则向量错误!的坐标为______．【答案】（－1,－1,2）教材整理2 空间向量平行和垂直的条件阅读教材P90“空间向量平行和垂直的条件”以下部分内容，完成下列问题．a＝(a，a2，a3)，b＝(b1,b2,b3）1平行(a∥b)a∥b（b≠0)⇔a＝λb⇔错误!（λ∈R）垂直（a⊥b）a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)已知向量a＝(1，1，0)，b＝（－1,0，2),且k a＋b与2a－b互相垂直,则k＝（）A．1 B．错误!C。
2018-2019学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐
3．1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题．2.理解基底、基向量的概念．3．掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中正确写出向量的坐标．[学生用书P57]1．空间向量基本定理条件 三个不共面的向量a ，b ，c 和空间任一向量p 结论 存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c2.基底(1)条件：三个向量a ，b ，c 不共面． (2)结论：{a ，b ，c }叫做空间的一个基底． (3)基向量：基底中的向量a ，b ，c 都叫做基向量．(1)基底选定后，空间所有向量均可由基底惟一表示．(2)构成基底的三个向量a ，b ，c 中，没有零向量，其中的每个向量称为基向量． 3．空间向量的正交分解及其坐标表示单位正交基底有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量，记作e 1，e 2，e 3空间直角坐标系以e 1，e 2，e 3的公共起点O 为原点，分别以e 1，e 2，e 3的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz空间向量的坐标表示对于空间任意一个向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3，则把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底e 1，e 2，e 3下的坐标，记作p ＝(x ，y ，z )判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底．( )(2)若{a ，b ，c }为空间一个基底，则{－a ，b ，2c }也可构成空间一个基底．( ) (3)若向量AP →的坐标为(x ，y ，z )，则点P 的坐标也为(x ，y ，z )．( )(4)若三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ 下列各组向量能构成一个基底的是( ) A ．长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中的向量AB →，AC →，AD →B ．三棱锥A BCD 中的向量AB →，AC →，AD →C ．三棱柱ABC A 1B 1C 1中(E 是A 1C 1的中点)的向量AA 1→，AE →，AC 1→D ．四棱锥S ABCD 中的向量DA →，DB →，DC →答案：B已知正方体OABC O ′A ′B ′C ′的棱长为1，若以OA →，OC →，OO ′→为基底，则向量OB ′→的坐标是( )A ．(1，1，1)B ．(1，0，1)C ．(－1，－1，－1)D ．(－1，0，1) 答案：A探究点1 空间向量的基底[学生用书P58]已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA →＝e 1＋2e 2－e 3，OB →＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC →＝e 1＋e 2－e 3，试判断{OA →，OB →，OC →}能否作为空间的一个基底．【解】 假设OA →，OB →，OC →共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x ，y ，使得OA →＝xOB →＋y OC →成立，即e 1＋2e 2－e 3＝x (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋y (e 1＋e 2－e 3)＝(－3x ＋y )e 1＋(x ＋y )e 2＋(2x －y )e 3.因为{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，所以e 1，e 2，e 3不共面，所以⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋y ＝1x ＋y ＝22x －y ＝－1，此方程组无解．即不存在实数x ，y ，使得OA →＝xOB →＋yOC →成立，所以OA →，OB →，OC →不共面． 故{OA →，OB →，OC →}能作为空间的一个基底．基底的判断思路判断给出的三个向量能否构成基底，关键是要判断这三个向量是否共面．首先应考虑三个向量中是否有零向量，其次判断三个非零向量是否共面．如果从正面难以入手判断，可假设三个向量共面，利用向量共面的充要条件建立方程组，若方程组有解，则三个向量共面；若方程组无解，则三个向量不共面．设x ＝a ＋b ，y ＝b ＋c ，z ＝c ＋a ，且{a ，b ，c }是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a ，b ，x }，②{b ，c ，z }，③{x ，y ，a ＋b ＋c }，其中可以作为空间一个基底的向量组有( )A ．1个B ．2个C ．3个D.0个解析：选B.因为x ＝a ＋b ， 所以向量x ，a ，b 共面． 如图，令a ＝AB →，b ＝AA 1→，c ＝AD →， 则x ＝AB 1→，y ＝AD 1→，z ＝AC →，a ＋b ＋c ＝AC 1→.可知向量b ，c ，z 和x ，y ，a ＋b ＋c 不共面，故选B. 探究点2 空间向量基本定理[学生用书P58]如图，在三棱柱ABC A ′B ′C ′中，已知AA ′→＝a ，AB →＝b ，AC →＝c ，点M ，N 分别是BC ′，B ′C ′的中点，试用基底{a ，b ，c }表示向量AM →，AN →.【解】 连接A ′N (图略)． AM →＝AB →＋12BC ′→＝AB →＋12(BC →＋CC ′→)＝AB →＋12BC →＋12CC ′→＝AB →＋12(AC →－AB →)＋12AA ′→＝12AB →＋12AC →＋12AA ′→ ＝12(a ＋b ＋c )． AN →＝AA ′→＋A ′N →＝AA ′→＋12(A ′B ′→＋A ′C ′→)＝AA ′→＋12(AB →＋AC →)＝a ＋12b ＋12c .[变条件]若把本例中的“AA ′→＝a ”改为“AC ′→＝a ”，其他条件不变，则结果是什么？ 解：因为M 为BC ′的中点，N 为B ′C ′的中点， 所以AM →＝12(AB →＋AC ′→)＝12a ＋12b . AN →＝12(AB ′→＋AC ′→)＝12(AB →＋BB ′→＋AC ′→) ＝12AB →＋12CC ′→＋12AC ′→ ＝12AB →＋12(AC ′→－AC →)＋12AC ′→ ＝12AB →＋AC ′→－12AC → ＝12b ＋a －12c.用基底表示向量的步骤(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．(3)下结论：利用空间向量的一个基底{a ，b ，c }可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a ，b ，c ，不能含有其他形式的向量．已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，M ，N 分别为PC ，PD 上的点，且M 分PC 成定比2，N 为PD 的中点，求满足MN →＝xAB →＋yAD →＋zAP →的实数x ，y ，z 的值．解：法一：如图所示，取PC 的中点E ， 连接NE ，则MN →＝EN →－EM →. 因为EN →＝12CD →＝12BA →＝－12AB →.EM →＝PM →－PE →＝23PC →－12PC →＝16PC →.连接AC ，则PC →＝AC →－AP →＝AB →＋AD →－AP →，所以MN →＝－12AB →－16(AB →＋AD →－AP →)＝－23AB →－16AD →＋16AP →，因为AB →，AD →，AP →不共面． 所以x ＝－23，y ＝－16，z ＝16.法二：MN →＝PN →－PM →＝12PD →－23PC →＝12(PA →＋AD →)－23(PA →＋AC →) ＝－12AP →＋12AD →－23(－AP →＋AB →＋AD →)＝－23AB →－16AD →＋16AP →，因为AB →、AD →、AP →不共面， 所以x ＝－23，y ＝－16，z ＝16.探究点3 空间向量的坐标表示[学生用书P59]在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，已知△ABC 的边长为1，三棱柱的高为2，建立适当的空间直角坐标系，并写出AA 1→，AB 1→，AC 1→的坐标．【解】分别取BC ，B 1C 1的中点D ，D 1，以D 为坐标原点，分别以DC →，DA →，DD 1→的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则A (0，32，0)，A 1(0，32，2)，B 1(－12，0，2)，C 1(12，0，2)，所以AA 1→＝(0，0，2)， AB 1→＝(－12，－32，2)，AC 1→＝(12，－32，2)．用坐标表示空间向量的方法步骤如图，PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，并且PA ＝AB ＝1，试建立适当的空间直角坐标系，求向量MN →的坐标．解：因为PA ＝AB ＝AD ＝1，PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ， 所以AB →，AD →，AP →是两两垂直的单位向量．设AB →＝e 1，AD →＝e 2，AP →＝e 3，以{e 1，e 2，e 3}为基底建立空间直角坐标系Axyz . 因为MN →＝MA →＋AP →＋PN →＝－12AB →＋AP →＋12PC →＝－12AB →＋AP →＋12(PA →＋AC →)＝－12AB →＋AP →＋12(PA →＋AB →＋AD →)＝12AD →＋12AP →＝12e 2＋12e 3， 所以MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12.1．设p ：a ，b ，c 是三个非零向量；q ：{a ，b ，c }为空间的一个基底，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选B.当非零向量a ，b ，c 不共面时，{a ，b ，c }可以当基底，否则不能当基底．当{a ，b ，c }为基底时，一定有a ，b ，c 为非零向量．因此p ⇒q ，q ⇒p .2．三棱锥P ABC 中，∠ABC 为直角，PB ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝PB ＝1，M 为PC 的中点，N 为AC 的中点，以{BA →，BC →，BP →}为基底，则MN →的坐标为________．解析：MN →＝BN →－BM →＝12(BA →＋BC →)－12(BP →＋BC →) ＝12BA →－12BP →， 故MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－12 3．如图，平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，E 为A 1D 1的中点，F 为BC 1与B 1C 的交点．(1)用基底{a ，b ，c }表示向量DB 1→，BE →，AF →； (2)化简DD 1→＋DB →＋CD →，并在图中标出化简结果． 解：(1)DB 1→＝DC →＋CB 1→＝DC →＋BB 1→－BC →＝a －b ＋c . BE →＝BA →＋AA 1→＋A 1E →＝－a＋12b ＋c . AF →＝AB →＋BF →＝a ＋12(b ＋c )＝a ＋12b ＋12c .(2)DD 1→＋DB →＋CD →＝DD 1→＋(CD →＋DB →)＝DD 1→＋CB →＝DD 1→＋D 1A 1→＝DA 1→. 如图，连接DA 1，则DA 1→即为所求．[学生用书P60]知识结构深化拓展1.对空间向量基本定理的两点说明(1)任意性：用空间三个不共面的向量可以线性表示出空间中任意一个向量．(2)惟一性：基底确定后，空间向量基本定理中实数组{x ，y ，z }是惟一的． 2．空间向量坐标表示注意点(1)空间向量的坐标顺序必须与基底中的基向量对应，即若基底为{e 1，e 2，e 3}，b ＝λe 1＋μe 2＋k e 3，则b 的坐标为(λ，μ，k )．(2)点的坐标反映了点在空间直角坐标系中的位置，而向量的坐标实质上是该向量在标准正交基底下的分解式的一种简化表示，它也能间接反映向量的方向与大小.[学生用书P133(单独成册)])[A 基础达标]1．已知O 、A 、B 、C 为空间四点，且向量OA →，OB →，OC →不能构成空间的一个基底，则( ) A.OA →，OB →，OC →共线 B.OA →，OB →共线 C.OB →，OC →共线D ．O 、A 、B 、C 四点共面解析：选D.由OA →，OB →，OC →不能构成基底知OA →、OB →、OC →三向量共面，所以一定有O 、A 、B 、C 四点共面．2．已知{a ，b ，c }是空间一组基底，p ＝a ＋b ，q ＝a －b ，一定可以与向量p ，q 构成空间另一组基底的是( )A ．aB ．bC ．cD.13p －2q 解析：选C.因为a ，b ，c 不共面，所以p ，q ，c 不共面．若存在x ，y ∈R ，使c ＝x p ＋y q ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b 成立，则a ，b ，c 共面，这与已知{a ，b ，c }是空间一组基底矛盾，故p ，q ，c 不共面．3．已知A (1，2，－1)关于平面xOy 的对称点为B ，而B 关于x 轴的对称点为C ，则BC →＝( )A ．(0，4，2)B ．(0，4，0)C ．(0，－4，－2)D.(2，0，－2)解析：选C.易知B (1，2，1)，C (1，－2，－1)，所以BC →＝(0，－4，－2)． 4.如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，点O 为空间内任意一点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则向量OD →可用a ，b ，c 表示为( )A ．a －b ＋2cB ．a －b －2cC ．－12a ＋12b ＋cD.12a －12b ＋c 解析：选D.OD →＝OC →＋CD →＝OC →＋12BA →＝OC →＋12(OA →－OB →)＝12a －12b ＋c .5．设{i ，j ，k }是单位正交基底，已知向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(8，6，4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则向量p 在基底{i ，j ，k }下的坐标是( )A ．(12，14，10)B ．(10，12，14)C ．(14，12，10)D.(4，3，2)解析：选A.依题意，知p ＝8a ＋6b ＋4c ＝8(i ＋j )＋6(j ＋k )＋4(k ＋i )＝12i ＋14j ＋10k ，故向量p 在基底{i ，j ，k }下的坐标是(12，14，10)．6．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，若AB →＝3i ，AD →＝2j ，AA 1→＝5k ，则向量AC 1→在基底{i ，j ，k }下的坐标是________．解析：AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→＝3i ＋2j ＋5k ，所以向量AC 1→在基底{i ，j ，k }下的坐标是(3，2，5)．答案：(3，2，5)7．已知空间的一个基底{a ，b ，c }，m ＝a －b ＋c ，n ＝x a ＋y b ＋c ，若m 与n 共线，则x ＝________，y ＝________．解析：因为m 与n 共线，所以存在实数λ，使m ＝λn ，即a －b ＋c ＝λx a ＋λy b ＋λc ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧1＝λx ，－1＝λy ，1＝λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.答案：1 －18．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别是底面A 1C 1和侧面CD 1的中心，若EF →＋λA 1D →＝0(λ∈R )，则λ＝________．解析：如图，连接A 1C 1，C 1D ，则E 在A 1C 1上，F 在C 1D 上，易知EF 綊12A 1D ，所以EF →＝12A 1D →， 即EF →－12A 1D →＝0，所以λ＝－12.答案：－129.如图所示，在三棱锥O ABC 中，OA ，OB ，OC 两两垂直，OA ＝1，OB ＝2，OC ＝3，E ，F 分别为AC ，BC 的中点，建立以OA →，OB →，OC →方向上的单位向量为正交基底的空间坐标系Oxyz ，求EF 中点P 的坐标．解：令Ox ，Oy ，Oz 轴方向上的单位向量分别为i ，j ，k ，因为OP →＝OE →＋EP →＝12(OA →＋OC →)＋12EF → ＝12(OA →＋OC →)＋14(OB →－OA →) ＝14OA →＋14OB →＋12OC → ＝14i ＋14×2j ＋12×3k ＝14i ＋12j ＋32k ， 所以P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12，32. 10．已知平行六面体OABC O ′A ′B ′C ′，且OA →＝a ，OC →＝b ，OO ′→＝c .(1)用a ，b ，c 表示向量AC ′→；(2)设G ，H 分别是侧面BB ′C ′C 和O ′A ′B ′C ′的中心，用a ，b ，c 表示GH →.解：(1)AC ′→＝AC →＋CC ′→＝OC →－OA →＋OO ′→＝b ＋c －a .(2)GH →＝GO →＋OH →＝－OG →＋OH →＝－12(OB →＋OC ′→)＋12(OB ′→＋OO ′→) ＝－12(a ＋b ＋c ＋b )＋12(a ＋b ＋c ＋c )＝12(c －b )． [B 能力提升]11．如图所示，平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1.若EF →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，则x ＋y ＋z ＝( )A ．－1B ．0 C.13 D.1解析：选 C.因为EF →＝AF →－AE →＝AD →＋DF →－(AB →＋BE →)＝AD →＋23DD 1→－AB →－13BB 1→＝－AB →＋AD →＋13AA 1→，所以x ＝－1，y ＝1，z ＝13，所以x ＋y ＋z ＝13. 12．已知i ，j ，k 是空间直角坐标系Oxyz 中x 轴，y 轴，z 轴正方向上的单位向量，且向量p ＝i －3j ＋12k ，则p 的坐标为________． 答案：⎝⎛⎭⎪⎫1，－3，12 13．(选做题)(2018·黑龙江哈师大附中高二(上)期末考试)已知{e 1，e 2，e 3}为空间的一个基底，且OP →＝2e 1－e 2＋3e 3，OA →＝e 1＋2e 2－e 3，OB →＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC →＝e 1＋e 2－e 3.(1)判断P ，A ，B ，C 四点是否共面；(2)能否以{OA →，OB →，OC →}作为空间的一个基底？若能，试以这一基底表示OP →；若不能，请说明理由．解：(1)假设P ，A ，B ，C 四点共面，则存在实数x ，y ，z ，使OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，且x ＋y ＋z ＝1，即2e 1－e 2＋3e 3＝x (e 1＋2e 2－e 3)＋y (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋z (e 1＋e 2－e 3)．比较对应的系数，得到关于x ，y ，z 的方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋z ＝22x ＋y ＋z ＝－1，－x ＋2y －z ＝3解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝17y ＝－5z ＝－30，与x ＋y ＋z ＝1矛盾，故P ，A ，B ，C 四点不共面．(2)若OA →，OB →，OC →共面，则存在实数m ，n ，使OA →＝mOB →＋nOC →，同(1)可证，OA →，OB →，OC →不共面，因此{OA →，OB →，OC →}可以作为空间的一个基底，令OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，由e 1＋2e 2－e 3＝a ，－3e 1＋e 2＋2e 3＝b ，e 1＋e 2－e 3＝c ，得⎩⎪⎨⎪⎧e 1＝3a －b －5c e 2＝a －c e 3＝4a －b －7c，所以OP →＝2e 1－e 2＋3e 3＝2(3a －b －5c )－(a －c )＋3(4a －b －7c )＝17a －5b －30c ＝17OA →－5OB →－30OC →.。
3.1.4 空间向量的直角坐标运算
4. 1已知向量a 2, 4,5 , b 3, x, y , 若a / / b, 求x, y的值. a 2, 4, x , b 2, y, 2 , 若 a 2已知： 的值. 6, 且a b, 求x y
2 4 5 15 解： 1因为a / /b, 所以 , 得x 6, y . 3 x y 2 2 2 4 y 2 x 0 2 因为a b且 a 6, 所以 2 2 2 2 4 x 6, x 4, x 4, 或 所以x y 1或x y 3. y 3, y 1.
3.1.4
空间向量的直角坐标运算
z
O
k
a
y
i j
x
思考：如上图，在空间直角坐标系的x轴，y轴，z轴的 正方向上分别作出三个单位向量i, j , k , 对于空间中的任 一向量a，如何表示为这三个向量的线性组合？
1.了解空间直角坐标系的建立，理解空间向量的坐标
及点的坐标的概念，掌握空间向量运算法则，会用
C
2.已知点A 1, -2,11 , B 4, 2,3 , C 6, -1, 4 , 则ABC的形状是
直角三角形 . ____________
3.已知a 2,3,1 , b 2, 0,3 , c 0, 0, 2 则a b c
9 a 6b - 8c （ 14,3,3） ____, ________ .
坐标运算法则求向量的坐标.（重点）
2.掌握空间向量平行和垂直的条件，能够证明空间两
个向量的平行和垂直.（重点、难点）
3.掌握两个向量的夹角与向量长度的坐标计算公式. （重点）
空间向量的正交分解及坐标表示
2、问题探究过程的思路剖析：
[课下探究] 空间向量基本定理与课 本95页“思考“栏目中的第二问题 有什么联系？你有何体会？
五、作业：
P106 A组1. 2.
练习2
空间向量运算 的坐标表示
空间向量基本定理：
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任 一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得
Q
23
2
A
1 OA 2 1 (OB OC)
P
C
N
6 32
B
1 OA 1 OB 1 OC 633
OQ OM MQ 1 OA 1 MN 23
1 OA 1 (ON OM ) 23
1 OA 1 (ON 1 OA)
23
2
1 OA 1 1 (OB OC) 3 32
练习.空间四边形OABC
D(0
,
0
,
0)
，
所以 所以
uDuAur1 EF uuur
(1 , 0 uuuur DA1
uuuur
, 1) ( 1
2
,
1 2
,
1 2
)
(1
,
0
,
1)
0
，
因此 EF DA1 ，即 EF DA1
（2）A(1,0,2),C(0,1,2),D(0,0,0)
∴CA'=(1,-1,2)，DC'=(0,1,2)，
则 cos
rr a,b
ab rr
x1 x2 y1 y2 z1z2
ab
x12 y12 z12 x22 y22 z22
注意：
rr
rr
（1）当
cos
a
高中数学3章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.4空间向量的坐标表示1数学
3．1.4 空间向量的坐标表示[对应学生用书P56]空间向量的坐标表示在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，建立空间直角坐标系(如图)，在x轴，y轴，z 轴上分别取三个单位向量i，j，k.AD.问题1：用i，j，k表示AC，1AD＝j＋k.提示：AC＝i＋j，1AC＝x i＋y j＋z k，则x，y，z为多少？与点C1的坐标有什么关系？问题2：若1AC＝i＋j＋k，提示：∵1∴x＝1，y＝1，z＝1，(x，y，z)＝(1,1,1)与C1的坐标相同．在空间直角坐标系O－xyz中，分别取与x轴、y轴、z轴方向相同的单位向量i、j、k 作为基向量．对于空间任意一个向量a，根据空间向量基本定理，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使a＝x i＋y j＋z k，有序实数组(x，y，z)叫做向量a在空间直角坐标系O－xyz中的坐标，记作a＝(x，y，z).空间向量的坐标运算这三个力为F1，F2，F3，它们两两垂直，且|F1|＝3 000 N，|F2|＝2 000 N，|F3|＝2 000 3 N.问题1：若以F1，F2，F3的方向分别为x轴，y轴，z轴正半轴建立空间直角坐标系，巨石受合力的坐标是什么？提示：F＝(3 000,2 000,2 0003)．问题2：巨石受到的合力有多大？提示：|F|＝5 000 N.1．设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R.2．空间向量平行的坐标表示为a∥b(a≠0)⇔b1＝λa1，b2＝λa2，b3＝λa3(λ∈R)．3．一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标．1．确定空间向量的坐标的方法：(1)向量的坐标可由其两个端点的坐标确定，可先求其两端点的坐标．(2)通过向量间的坐标运算求得新向量的坐标．2．空间向量的坐标运算：(1)向量的加减等于对应坐标的加减，其结果仍是向量．(2)向量与实数相乘等于实数与其坐标分别相乘，其结果仍是向量．[对应学生用书P57] 空间向量的坐标表示[例1] AB 、PC 的中点，并且PA ＝AB ＝1.求向量MN 的坐标．[思路点拨] 以AB 、AD 、AP 为单位正交基底建立空间直角坐标系，用AB 、AD 、AP 表示MN ，得其坐标．[精解详析]∵PA ＝AB ＝AD ＝1，PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ， ∴AB 、AD 、AP 是两两垂直的单位向量．设AB ＝e 1，AD ＝e 2，AP ＝e 3，以{e 1，e 2，e 3}为基底建立空间直角坐标系A －xyz .法一：∵MN ＝MA ＋AP ＋PN ＝－12AB ＋AP ＋12PC ＝－12AB ＋AP ＋12(PA ＋AC ) ＝－12AB ＋AP ＋12(PA ＋AB ＋AD ) ＝12AP ＋12AD ＝12e 2＋12e 3， ∴MN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12. 法二： 如图所示，连结AC 、BD 交于点O .则O 为AC 、BD 的中点．∴MO ＝12BC ＝12AD ，ON ＝12AP ，∴MN ＝MO ＋ON ＝12AD ＋12AP ＝12e 2＋12e 3， ∴MN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12. [一点通] 用坐标表示空间向量的解题方法与步骤：1.已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为2的正方体，E ，F 分别为BB 1和DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出1DB ，DE ，DF 的坐标．解：设x 、y 、z 轴的单位向量分别为e 1，e 2，e 3，其方向与各轴上的正方向相同，则1DB ＝DA ＋AB ＋1BB＝2e 1＋2e 2＋2e 3，∴1DB ＝(2,2,2)．∵DE ＝DA ＋AB ＋BE ＝2e 1＋2e 2＋e 3，∴DE ＝(2,2,1)．又∵DF ＝e 2，∴DF ＝(0,1,0)．2.在直三棱柱ABO －A 1B 1O 1中，∠AOB ＝π2，AO ＝4，BO ＝2，AA 1＝4，D 为A 1B 1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求DO 、1A B 的坐标．解：(1)∵DO ＝－OD ＝－(1OO ＋1O D )＝－[1OO ＋12(＋)] ＝－1OO －12－12. 又|1OO |＝4，||＝4，||＝2，∴DO ＝(－2，－1，－4)．(2)∵1A B ＝－1OA ＝－(＋1AA )＝－－1AA .又||＝2，||＝4，|1AA |＝4，∴1A B ＝(－4,2，－4)．3．已知向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标是(2,3，－1)，求p 在基底{a ，a ＋b ，a ＋b ＋c }下的坐标．解：由已知p ＝2a ＋3b －c ，设p ＝x a ＋y (a ＋b )＋z (a ＋b ＋c )＝(x ＋y ＋z )a ＋(y ＋z )b ＋z c .由向量分解的惟一性，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＋z ＝2，y ＋z ＝3，z ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4，z ＝－1. ∴p 在基底{a ，a ＋b ，a ＋b ＋c }下的坐标为(－1,4，－1). 空间向量的坐标运算[例2] 已知a 求：a ＋b ，a －b,3a ＋2b .[思路点拨] 空间向量的加、减、数乘运算与平面向量的加、减、数乘运算方法类似．[精解详析] a ＋b ＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4)＝(2＋0，－1＋(－1)，－2＋4)＝(2，－2,2)．a －b ＝(2，－1，－2)－(0，－1,4)＝(2－0，－1－(－1)，－2－4)＝(2,0，－6)．3a ＋2b ＝3(2，－1，－2)＋2(0，－1,4)＝(6，－3，－6)＋(0，－2,8)＝(6，－5,2)．[一点通] 空间向量的加、减、数乘运算是今后利用向量知识解决立体几何知识的基础，必须熟练掌握，并且能够灵活应用．4．已知a ＝(1，－2,4)，b ＝(1,0,3)，c ＝(0,0,2)．求：(1)a －(b ＋c )；(2)4a －b ＋2c .解：(1)∵b ＋c ＝(1,0,5)，∴a －(b ＋c )＝(1，－2,4)－(1,0,5)＝(0，－2，－1)．(2)4a －b ＋2c ＝(4，－8,16)－(1,0,3)＋(0,0,4)＝(3，－8,17)．5．已知O 为原点，A ，B ，C ，D 四点的坐标分别为：A (2，－4,1)，B (3，2,0)，C (－2,1,4)，D (6,3,2)，求满足下列条件的点P 的坐标．(1)＝2(AB －AC )；(2)AP ＝AB －DC .解：(1)AB －AC ＝＝(3,2,0)－(－2,1,4)＝(5,1，－4)，∴＝2(5,1，－4)＝(10,2，－8)，∴点P 的坐标为(10,2，－8)．(2)设P (x ，y ，z )，则AP ＝(x －2，y ＋4，z －1)，又AB ＝(1,6，－1)，DC ＝(－8，－2,2)，∴AB －DC ＝(9,8，－3)，∴(x －2，y ＋4，z －1)＝(9,8，－3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝9，y ＋4＝8，z －1＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝11，y ＝4，z ＝－2.所以点P 的坐标为(11,4，－2). 空间向量的平行[例3] ，－1)，C (－1,1，－3)，D (3，－5,3)，求证：四边形ABCD 是一个梯形．[思路点拨] 证明AB ∥且AD 不平行BC ，或证AB ∥且|AB |≠||即可．[精解详析] ∵AB ＝(1,2，－1)－(3，－1,2)＝(－2,3，－3)，＝(3，－5,3)－(－1,1，－3)＝(4，－6,6)， ∴－24＝3－6＝－36， ∴AB 与共线，即AB ∥CD ，又∵AD ＝(3，－5,3)－(3，－1,2)＝(0，－4,1)，BC ＝(－1,1，－3)－(1,2，－1)＝(－2，－1，－2)，∴0－2≠－4－1≠1－2，∴AD 与BC 不平行．∴四边形ABCD 为梯形．[一点通]利用空间向量的坐标运算证明线线平行时，应该遵循的步骤是：(1)建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标；(2)写出相应向量的坐标；(3)证明两个向量平行；(4)证明其中一个向量所在直线上一点不在另一向量所在的直线上，从而证得线线平行．6．设a ＝(1,2，－1)，b ＝(－2,3,2)．若(k a ＋b )∥(a －3b )，求k 的值．解：∵k a ＋b ＝(k,2k ，－k )＋(－2,3,2)＝(k －2,2k ＋3,2－k )，a －3b ＝(1,2，－1)－(－6,9,6)＝(7，－7，－7)．∵(k a ＋b )∥(a －3b )，∴k －27＝2k ＋3－7＝2－k－7，∴k ＝－13. 7.如图，在长方体OAEB －O 1A 1E 1B 1中，OA ＝3，OB ＝4，OO 1＝2，点P 在棱AA 1上，且AP ＝2PA 1，点S 在棱BB 1上，且SB 1＝2BS ，点Q 、R分别是棱O 1B 1、AE 的中点．求证：PQ ∥RS .证明：如图，建立空间直角坐标系，则A (3,0,0)，B (0,4,0)，O 1(0,0,2)，A 1(3,0,2)，B 1(0,4,2)．∵PA ＝2PA 1，SB 1＝2BS ，Q 、R 分别是棱O 1B 1、AE 的中点，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，0，43，Q (0,2,2)，R (3,2,0)，S ⎝⎛⎭⎪⎫0，4，23. 于是PQ ＝⎝⎛⎭⎪⎫－3，2，23＝.∴PQ ∥. ∵R ∉PQ ，∴PQ ∥RS .1．运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤：(1)建立恰当的空间直角坐标系；(2)求出相关点的坐标；(3)写出向量的坐标；(4)结合公式进行论证、计算；(5)转化为几何结论．2．用空间向量的坐标运算解决问题的前提是建立恰当的空间直角坐标系，为便于坐标的求解及运算，在建立空间直角坐标系时，要充分分析空间几何体的结构特点，应使尽可能多的点在坐标轴上或坐标平面内．[对应课时跟踪训练(二十一)]1．已知a ＝(1，－2,1)，a －b ＝(－1,2，－1)，则b ＝________.解析：b ＝a －(a －b )＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)．答案：(2，－4,2)2．已知点A 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(2,1,3)，其中a ＝4i ＋2j ，b ＝2j ＋3k ，c ＝3k －j ，则点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为________．解析：由题意知点A 对应向量为2a ＋b ＋3c ＝2(4i ＋2j )＋(2j ＋3k )＋3(3k －j )＝8i ＋3j ＋12k ，故点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为(8,3,12)．答案：(8,3,12)3．已知向量a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,0，λ)，若a 、b 、c 三个向量共面，则实数λ＝________.解析：由a 、b 、c 共面可得c ＝x a ＋y b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7＝2x －y ，0＝－x ＋4y ，λ＝3x －2y ，解得λ＝10.答案：104．已知a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，若a ∥b ，则x ＝_______________， y ＝________.解析：∵a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，又∵a ∥b ，显然y ≠0，∴2x 1＝1－2y ＝39， ∴x ＝16，y ＝－32. 答案：16 －325．已知点A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C 为线段AB 上一点，且AC ＝13AB ，则C 点坐标为________．解析：设C 点坐标(x ，y ，z )，则AC ＝(x －4，y －1，z －3)．∵AB ＝(－2，－6，－2)，∴13AB ＝13(－2，－6，－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－2，－23， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －4＝－23，y －1＝－2，z －3＝－23.解得：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝103，y ＝－1，z ＝73.答案：(103，－1，73) 6．已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，并且PA ＝AD ＝1，试建立适当的坐标系并写出向量MN ，DC 的坐标．解：如图，因为PA ＝AD ＝AB ＝1，且PA ⊥平面ABCD ，AD ⊥AB ，所以可设AD ＝e 1，AB ＝e 2，AP ＝e 3，以{e 1，e 2，e 3}为基底建立空间直角坐标系A xyz .因为DC ＝AB ＝e 2， MN ＝MA ＋AP ＋PN ＝MA ＋AP ＋12PC＝－12AB ＋AP ＋12(PA ＋AD ＋DC ) ＝－12e 2＋e 3＋12(－e 3＋e 1＋e 2)＝12e 1＋12e 3. 所以MN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，12，DC ＝(0,1,0)． 7．已知A 、B 、C 三点的坐标分别是(2，－1,2)，(4,5，－1)、(－2,2,3)．求点P 的坐标，使：(1)＝12(AB －AC )； (2)AP ＝12(AB －AC )．解：AB ＝(2,6，－3)，AC ＝(－4,3,1)．(1)＝12(6,3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32，－2， 则点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32，－2. (2)设P 为(x ，y ，z )，则AP ＝(x －2，y ＋1，z －2) ＝12(AB －AC )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32，－2， ∴x ＝5，y ＝12，z ＝0，则点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫5，12，0. 8. 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，DA ＝DC ＝4，DD 1＝3，点P 是线段BD 1上一动点，E 是BC 的中点，当点P 在什么位置时，PE ∥A 1B?解：以D 为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则A 1(4,0,3)，B (4,4,0)，C (0,4,0)，D 1(0，0,3)．∵E 为BC 的中点，∴E (2,4,0)．∴1A B ＝(4,4,0)－(4,0,3)＝(0,4，－3)，1BD ＝(0,0,3)－(4,4,0)＝(－4，－4,3)， EB ＝(4,4,0)－(2,4,0)＝(2,0,0)．设BP ＝λ1BD ，则EP ＝EB ＋BP ＝EB ＋λ1BD . ∵EB ＝(2,0,0)，λ1BD ＝(－4λ，－4λ，3λ)， ∴EP ＝(2－4λ，－4λ，3λ)．由PE ∥A 1B ，得EP ∥1A B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2－4λ＝0，－4λ4＝3λ－3. ∴λ＝12. 此时点P 为BD 1的中点．故当点P 为BD 1的中点时，PE ∥A 1B .。
3.1.4空间向量的直角坐标系学案
§3.1.4 空间向量的直角坐标运算学习目标1. 掌握向量的加法、减法、数乘和数量积的坐标运算。
2. 会利用向量的坐标关系判定向量的平行与垂直；3.会计算向量的长度及向量之间的夹角。
学习过程一、温故夯基复习 1：已知平面向量()()1122,,,,a x y b x y ==则 (1)a b ±= （2）=a λ(3)a b ⋅= (4) a =(5)()⇔≠0//b b a (6)a b ⊥⇔(7)cos ,a b ==复习 2:设()()1122,,,A x y B x y ，则AB =AB =复习3：平面内，把一个向量分解成两个互相垂直的向量叫做 把向量 分解。
复习4:空间向量分解定理：,,a b c不共面，则p =二、新课导学※ 学习探究探究1：类比平面向量的坐标表示，空间向量的坐标应如何表示？该如何选取基底？( 1 )单位正交基底 三者关系：（2）a= =探究2 类比平面向量的直角坐标运算，空间向量的直角坐标运算：设()()123123,,,,,a a a a b b b b ==，则（1）a b ±= （2）=a λ(3) a b ⋅=(4) a =(5) ()⇔≠0//b b a ⇔(6)a b ⊥⇔⇔(7)cos ,a b ==探究4.空间向量的坐标运算与平面向量坐标运算的关系？※ 典型例题例1：已知()()()1,1,0,0,1,1,1,0,1a b c ===,2p a b q a b c =-=+- 求p q ⋅解：例2：已知()()2,3,3,1,0,0a b =-=求a b ⋅ ,,,cos ,a b a b解：例3：已知()()3,,1,5,2,-=-=y b x a 平行，求 ,x y 解： 例4：已知()()2,,5,8,,0a x b y =-=-垂直，求. ,x y 满足的条件。
解： 例5:已知()()2,2,0,2,0,2a b =-=-求向量n 使n a n b ⊥⊥ 且。
学案3：3.1.4空间向量的直角坐标运算
3.1.4空间向量的直角坐标运算学习目标1．理解基底、基向量及向量的线性组合的概念．2．掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．学习重点：空间向量基本定理．学习难点：1. 用基底表示已知向量．2. 在不同坐标系中向量坐标的相对性．学习过程自学导引1.空间向量的直角坐标运算(1)单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz ，分别沿x 轴，y 轴，z 轴的正方向引________向量i ，j ，k ，这三个互相________的单位向量构成空间向量的一个基底{i ，j ，k }，这个基底叫做单位正交基底．单位向量i ，j ，k 都叫做_______________．(2)空间向量的坐标表示在空间直角坐标系中，已知任一向量a ，根据空间向量分解定理，存在________实数组 (a 1，a 2，a 3)，使a ＝a 1i ＋a 2 j ＋a 3k ，a 1i ，a 2 j ，a 3k 分别为向量a 在i ，j ，k 方向上的分向量，有序实数组_____________叫做向量a 在此直角坐标系中的坐标．上式可简记作a ＝___________.名师点拨：向量的坐标与点的坐标表示方法不同，如向量a ＝(x ，y ，z )，点A (x ，y ，z )．(3)设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则容易得到a ＋b ＝______________________；a －b ＝______________________；λa ＝____________________；a ·b ＝_______________________.(4)向量在空间直角坐标系中的坐标的求法：设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB →＝OB →－OA →＝(x 2，y 2，z 2)－(x 1，y 1，z 1)＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)．这就说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的 的坐标减去 ___________的坐标.2．空间向量平行和垂直的条件设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则(1)a ∥b (b ≠0)⇔__________⇔________________________，当b 1，b 2，b 3都不为0时，a ∥b ⇔_____________.(2)a ⊥b ⇔________⇔_______________________.3．两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)则|a |＝________________________________，|b |＝_____________________________，cos<a ，b >＝a ·b |a ||b |＝_________________________. 设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则|AB →|＝________________________________.名师点拨：(1)空间向量的坐标是空间向量的一种形式．在坐标形式下的模长公式，夹角公式，向量平行和垂直的条件与在普通基底下相同，仅仅是形式不同；(2)空间向量在坐标形式下同样可以用来求距离(长度)，夹角，证明垂直和平行关系等． 例题解析例1 已知a ＝(1,1,0)，b ＝(0,1,1)，c ＝(1,0,1)，p ＝a －b ，q ＝a ＋2b －c ，求：p ，q ，p·q .例2 已知向量a ＝(－2,2,0)，b ＝(－2,0,2)，求向量n 使n ⊥a ，且n ⊥b .例3 已知A ＝(1,1,0)，B ＝(0,3,0)， C ＝(2,2,3)（如图），求：（1）< AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >（精确到0.1°）；（2） AC⃗⃗⃗⃗⃗ 在AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 上正投影的数量（精确到0.01）.拓展训练1、以下四个命题中正确的是( )A ．空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示B ．若{a ，b ，c }为空间向量的一组基底，则a ，b ，c 全不是零向量C ．△ABC 为直角三角形的充要条件是AB ·AC →＝0D ．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底2、已知向量{a ，b ，c }是空间的一个基底，那么向量a ＋b ，a －b ，c 能构成空间的一个基底吗？为什么？3、已知三棱锥A —BCD .(1)化简12(AB ＋AC →－AD →)并标出化简结果的向量； (2)设G 为△BCD 的重心，试用AB ，AC →，AD →表示向量AG →.4、在直三棱柱ABOA 1B 1O 1中，∠AOB ＝π2，AO ＝4，BO ＝2，AA 1＝4，D 为A 1B 1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求DO →、A 1B →的坐标．5、已知P A 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，并且P A ＝AD ＝1，求MN →的坐标．参考答案学习过程自学导引1.空间向量的直角坐标运算(1) 单位 垂直 坐标向量(2)唯一 (a 1，a 2，a 3) (a 1，a 2，a 3)(3)(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)(λa 1，λa 2，λa 3)a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3(4)终点 起点2． (1) a ＝λba 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3 (2) a ·b ＝0a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝03．a ·a ＝a 21＋a 22＋a 23b ·b ＝b 21＋b 22＋b 23a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23b 21＋b 22＋b 23x 2－x 12＋y 2－y 12＋z 2－z 12例题解析 例1 解 p ＝a －b＝(1,1,0)－(0,1,1)＝(1,0，－1)；q ＝a ＋2b －c＝(1,1,0)＋2(0,1,1)－(1,0,1)＝(0,3,1)；p·q ＝(1,0，－1)·(0,3,1)＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1.例2 解 设n ＝(x ，y ，z ).则n·a ＝(x ，y ，z )·(－2,2,0)＝－2x ＋2y ＝0，n·b ＝(x ，y ，z )·(－2,0,2)＝－2x ＋2z ＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0－x ＋z ＝0 这个方程组有三个未知数，但只有两个方程.不妨把未知数x 当作已知，求y ，z . 可得y ＝x ，z ＝x ，于是n ＝(x ，x ，x )＝x (1,1,1).显然，当x 取任意实数时，可以得到无穷多个向量都与a ，b 垂直，但这无穷多个向量都与向量(1,1,1)共线.例3 解：（1）由点A ，B ，C 的坐标可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1,2,0），AC⃗⃗⃗⃗⃗ =（1,1,3） |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=， |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |= ， |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |= -1×1+2×1+0×3=1， 因此cos< AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >= 查表或使用计算工具，得< AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC⃗⃗⃗⃗⃗ >≈82.3°； （2）如图所示， AC⃗⃗⃗⃗⃗ 在AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 上正投影的数量 AD =| AC⃗⃗⃗⃗⃗ |cos < AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >拓展训练1、B【解析】使用排除法．因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故A 不正确；△ABC 为直角三角形并不一定是AB ·AC →＝0，可能是BC →·BA →＝0，也可能是CA →·CB→＝0，故C 不正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故D 不正确，故选B.2、解 ∵a ＋b ，a －b ，c 不共面，能构成空间一个基底．假设a ＋b ，a －b ，c 共面，则存在x ，y ，使c ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，∴c ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b .从而由共面向量定理知，c 与a ，b 共面．这与a 、b 、c 不共面矛盾．∴a ＋b ，a －b ，c 不共面．3、解 (1)设AB ，AC ，AD 中点为E ，F ，H ，BC 中点为P .1(2AB ＋AC →－AD →)＝AE → ＋AF = AP －AH →＝HP →. （2）AG ＝AP →＋PG → = AP →＋13PD → = AP → ＋13(AD →－AP →)＝23AP →＋13AD → ＝23·12(AB ＋AC →)＋13AD → ＝13( AB ＋AC →＋AD →)． ·155AB ACAB AC =0.45.=≈4、解：(1)∵DO →＝－OD →＝－(OO →1＋O 1D →)＝－[OO 1→＋12(OA →＋OB →)] ＝－OO 1→－12OA →－12OB →. 又|OO 1→|＝4，|OA →|＝4，|OB →|＝2， ∴DO →＝(－2，－1，－4). (2)∵A 1B →＝OB →－OA 1→＝OB →－(OA →＋AA 1→)＝OB →－OA →－AA 1→. 又|OB →|＝2，|OA →|＝4，|AA 1→|＝4， ∴A 1B ＝(－4,2，－4).5、解 作以AD ，AB ，AP 为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示，则M (0，12，0)，N (12，12，12)． ∴MN →＝(12，0，12)．。
原创1：3.1.4 空间向量的直角坐标运算
跟踪训练
设a＝(1，－2,4)，求同时满足下列条件的向量x：
①Ԧx⊥a；②|Ԧx|＝10；③Ԧx在yOz平面上．
解：由③知，可设Ԧx=(0,y,z)
由①知，-2y+4z=0
由②知，y2+z2=100
解得：y=4 5，z=2 5
或y=−4 5，z=−2 5
∴Ԧx=(0，4 5， 2 5)或Ԧx=(0，−4 5， −2 5).
(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
则a＋b＝_______________________，
(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
a－b＝_______________________，
λa＝(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)，
a1b1＋a2b2＋a3b3
a·b＝___________________，
空间直角坐标系Oxyz.
对于空间任一向量a，由空间向量分解定理可知，
存在有序实数组{x，y，z}，使得a= xԦi + Ԧj +zkԦ
x，y，z称为向量p在单位正交基底下的坐标，
记作a=(x，y，z).
Ԧi
x
kԦ
a
O
Ԧj
y
知识点二：空间向量的坐标运算
若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b2)，
解：由已知， a ∙ < 0
即6m-6<0
解得：m＜1
又显然a与b不共线
∴m的取值范围是(-∞，1)
归纳小结
1．注意正确写出各点的坐标，利用坐标运算可解决许多
以前的复杂问题．
2．数量积及夹角公式也是计算立体角相关题的有力工具，但要记
住角的范围，避免错误．
3．有关平行与垂直及共面、共线的结论应用广泛一定要掌握好！
高中数学人教A版选修2-1课件3.1.4空间向量的正交分解及其坐标运算(系列三)
∴O→E＝12(O→A＋O→B)， C→G＝2C→E＝2(O→E－O→C)
33 ∴O→G＝O→C＋C→G＝ O→C＋2(O→E－O→C)＝
3 13(O→A＋O→B＋O→C) ∴λ＝3.
答案：3
5．如图 2，四棱锥 P—OABC 的底面为一矩形， 设O→A＝a，O→C＝b，O→P＝c，E、F 分别是 PC 和 PB 的中点，用 a，b，c 表示B→F、B→E、A→E、E→F.
D．既不充分也不必要条件
解析：当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以当基底， 否则不能当基底，当{a，b，c}为基底时，一定有a，b，c为 非零向量．
答案：B
2．已知{a，b，c}是空间的一个基底，则可以和向量p＝a＋b， q＝a－b构成基底的向量是( )
A．a
B．b
C．a＋2b
有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.
2．基底的概念
如果三个向量a、b、c不共面，那么空间所有向量组成的集合 就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x、y、z∈R}这个集合可以看作是由 向 量 a 、 b 、 c 生 成 的 ， 我 们 把 {a ， b ， c} 叫 做 空 间 的 一 个 基 底．a、b、c叫做基向量．空间任何三个不共面的向量都可构 成空间的一个基底．
人教版 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
3.1空间向量及其运算
空间向量的正交分解及其坐标 表示
学习目标
1.了解空间向量的正交分解的含义． 2．掌握空间向量的基本定理，并能用空间向量基本定理
解决一些简单问题． 3．掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出
向量的坐标.
新知导入
1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在
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3.1.4空间向量的坐标运算
（一）教学目标
1.知识与技能: 掌握空间直角坐标系的概念，会确定点的坐标，掌握空间向量坐标运算的规
律。
2.过程与方法:通过分析、推导让学生掌握空间直角坐标系的概念，会确定点的坐标，掌握
空间向量坐标运算的规律。
3.情态与价值：通过学生对问题的探究思考，广泛参与，提高学习质量。
（二）教学重、难点
重点：空间向量坐标运算的规律。
难点：空间向量坐标运算的规律。
（三）教学设想
一、复习：
1．空间向量的夹角及其表示
2．向量的数量积
3. 空间向量数量积的性质
二、引入新课 1 空间直角坐标系：
（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k 表示；
（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量 ,,i j k 都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面；
（3）作空间直角坐标系O xyz -时，一般使135xOy ∠=（或45），90yOz ∠=；
（4）在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系规定立几中建立的坐标系为右手直角坐标系
2．空间直角坐标系中的坐标：
给定空间直角坐标系和向量a ，设,,i j k 为坐标向量，则存在唯一的有序实数组123(,,)a a a ，使123a a i a j a k =++，有序实数组123(,,)a a a 叫作向量a 在空间直角坐标系
O xyz -中的坐标，记作123(,,)a a a a =．在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi yj zk =++，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标．
3．空间向量的直角坐标运算律：
（1）若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，
则112233(,,)a b a b a b a b +=+++，
112233(,,)a b a b a b a b -=---，
123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈，
112233a b a b a b a b ⋅=++，
112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈，
1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=．
（2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，
则212121(,,)AB x x y y z z =---．
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标
4．空间向量平行和垂直的条件. 5 模长公式：
若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =， 则2||a a a a =⋅=+，2||b b b b =⋅=+ 6．夹角公式：2cos ||||a b a b a b a ⋅⋅=
=⋅+ 7．两点间的距离公式： 若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，
则
2
||(
AB AB
==，
或
,A B
d=
小结：空间向量坐标运算的规律
课堂练习：第95页练习A、B
课后作业：第96页A：6，7，9，10。