3.1__直线的倾斜角与斜率PPT课件(用)
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3.1__直线的倾斜角与斜率PPT课件(用)
设 P1(x1，y1) 和 P2(x2，y2)，
（1）当 x1＝x2 时，直线 P1P2 与 x 轴什么关系？
直线的倾斜角是多少？斜率存在吗？
（2）当 y1＝y2 时，直线 P1P2 与 y 轴什么关系？
直线的倾斜角是多少？
斜率存在吗？是多少？
（3）当 x1≠x2，y1≠y2 时，直线的倾斜角存在吗？
43 40 k 0 1 5 2( 32)
判断直线 P1P2 的斜率是否存在．若存在，求出它的值． （1）P1(1，－1)，P2(－3，2)； （2）P1(3，4)，P2(3，2)．
例2.若x轴上一点A与点B（ 3,2）的连线的倾斜角为 300，求点A的坐标
例3.已知经过点P（ 1， 0）的直线l，与连接A（4,3）， B(0， 1)两点的线段总有公共点 ，试求出直线 l的倾 斜角的取值范围
1 x
O
最小正角
直线的倾斜角定义 一般地，平面直角坐标系内，直线向上
的方向与 x 轴正向所成的最小正角 叫做这
条直线的倾斜角．
y A
特别地，
当直线与 y 轴垂直时，
规定这条直线的倾斜角为
1 x
B
O
1
0 ． 倾斜角的范围：0≤<180
直线的斜率定义
倾斜角不是 90 的直线，它的倾斜角的正 切值叫做这条直线的斜率，通常用 k 表示，即
定义
1．直线的倾斜角
范围
2．直线的斜率：
k＝tan （≠90）
y 2 y1 k x2 x1 （其中x1≠x2）
作业 3 1.直线的倾斜角是 ，若 sin , 求直线的斜率。 5
2.若直线l的斜率是连接 P(3， 5)，Q（0， - 9）两点的直线 的倾斜角的 2倍，求l的倾斜角
直线的倾斜角与斜率课件PPT
解析： ①k＝－53－－－0 2＝－1，即 tan α＝－1， 所以 α＝135°. ②斜率不存在，α＝90°. ③k＝－52－－－－22 ＝0，α＝0°.
直线倾斜角与斜率的综合应用 多维探究型 已知直线 l 过 P(－2，－1)，且与以 A(－4,2)，B(1,3)为端点的线段 相交，求直线 l 的斜率的取值范围．
答案： B
2．直线 l 的倾斜角是斜率为 33的直线的倾斜角的 2 倍，则 l 的斜率为( )
A．1
B. 3
C.2 3 3
D．－ 3
解析： ∵tan α＝ 33，0°≤α<180°， ∴α＝30°，∴2α＝60°， ∴k＝tan 2α＝ 3.故选 B. 答案： B
3．已知点 M(5,3)和点 N(－3,2)，若直线 PM 和 PN 的斜率分别为 2 和－74，
自主探究 探究 1：若两条直线平行，斜率一定相等吗？
【答案】不一定，垂直于 x 轴的两条直线，虽然平行，但斜率 不存在．
探究 2：若两条直线垂直，它们的斜率之积一定为－1 吗？
【答案】不一定，如果两条直线 l1，l2 中的一条与 x 轴平行(或 重合)，另一条与 x 轴垂直(也即与 y 轴平行或重合)，即两条直线中 一条的倾斜角为 0°，另一条的倾斜角为 90°，从而一条直线的斜率 为 0，另一条直线的斜率不存在，但这两条直线互相垂直．
A.－52，3
B.－∞，－52∪[3，＋∞)
C.－32，1
D.－∞，－32∪[1，＋∞)
解析： kPA＝3，kPB＝－52，如图， 当 l 与线段 AB 有公共点时， k≥3 或 k≤－52. 故选 B. 答案： B
谢谢观看！
自学导引
1．两直线平行的判定
(1)对于两条不重合的直线 l1，l2，其斜率分别为 k1，k2，有 __k_1＝__k_2__⇔l1∥l2.
直线倾斜角和斜率(优质课比赛)PPT教学课件
y2
斜率不存在，因为分母为0。
y1
P2 ( x2 , y2 )
P 1 ( x1 , y1 )
o
x
14
典型例题
例1 如图 ，已知 A( 3,2), B( 4,1), C (0,1) ，求 直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角 是锐角还是钝角． 解：直线AB的斜率 1 2 1 k AB ; 43 7 直线BC的斜率 11 2 1 k BC ; 0 ( 4 ) 4 2 1 2 3 1; 直线CA的斜率 kCA 03 3 由 k AB 0 及 kCA 0 知，直线AB 与CA的倾斜角均 为锐角；由 kBC 0 知，直线BC的倾斜角为钝角．
x1 x2 , y1 y 2
| P2 Q | y 2 y1 t an |P x2 x1 1Q |
11
两点的斜率公式
y1 y2 . tan tan(180 ) tan
在直角 P1 P2Q 中
| QP2 | y2 y1 y2 y1 tan | P1Q | x1 x2 x2 x1
A4
l2
课堂小结:
１．直线倾斜角的定义：
X轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． ２．直线倾斜角的取值范围：
0 180
３．直线斜率的定义：
0 0 90 90 90 180
k tan
k 0 k 0 没有斜率 k 0
设 x1 1 ，则 y1 1 ，于是 A1 的坐标是(1,1),过原 点及 A1 (1,1) 的直线即为 l1 ． l2是过原点及 A2 ( x2 , y2 ) 的直线，l3 是过原点及 A3 ( x3 , y3 )的直线， l4 是过原点及 A4 ( x4 , y4 ) 的直线． 16
斜率不存在，因为分母为0。
y1
P2 ( x2 , y2 )
P 1 ( x1 , y1 )
o
x
14
典型例题
例1 如图 ，已知 A( 3,2), B( 4,1), C (0,1) ，求 直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角 是锐角还是钝角． 解：直线AB的斜率 1 2 1 k AB ; 43 7 直线BC的斜率 11 2 1 k BC ; 0 ( 4 ) 4 2 1 2 3 1; 直线CA的斜率 kCA 03 3 由 k AB 0 及 kCA 0 知，直线AB 与CA的倾斜角均 为锐角；由 kBC 0 知，直线BC的倾斜角为钝角．
x1 x2 , y1 y 2
| P2 Q | y 2 y1 t an |P x2 x1 1Q |
11
两点的斜率公式
y1 y2 . tan tan(180 ) tan
在直角 P1 P2Q 中
| QP2 | y2 y1 y2 y1 tan | P1Q | x1 x2 x2 x1
A4
l2
课堂小结:
１．直线倾斜角的定义：
X轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． ２．直线倾斜角的取值范围：
0 180
３．直线斜率的定义：
0 0 90 90 90 180
k tan
k 0 k 0 没有斜率 k 0
设 x1 1 ，则 y1 1 ，于是 A1 的坐标是(1,1),过原 点及 A1 (1,1) 的直线即为 l1 ． l2是过原点及 A2 ( x2 , y2 ) 的直线，l3 是过原点及 A3 ( x3 , y3 )的直线， l4 是过原点及 A4 ( x4 , y4 ) 的直线． 16
3.1.1-2直线的倾斜角与斜率PPT课件
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
11
率是l2的2倍.( X )
2020年10月2日
10
演讲完毕，谢谢观看！
Thank you for reading! In order to facilitate learning and use, the content of this document can be modified, adjusted and printed at will after downloading. Welcome to down为零度角。
∵ kBC 0 ∴直线BC的倾斜角为钝角。
∵ kCA 0 ∴直线CA的倾斜角为锐角
2020年10月2日
5
例题分析
例2、在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜
率分别为1，-1，2和-3的直线 l1,l2,l3及l4。
y
l3
l1
A3 A1
O
x
A2
Al 44 l 2
2020年10月2日
4
例1、如图，已知A(4,2)、B(-8,2)、C(0,-2)，求
直线AB、BC、CA的斜率，并判断这 些直线
的倾斜角是什么角？
y.
解：
B
.A
直线AB的斜率 kAB28240 .
.
. . o.
.
.
.
x
直线BC的斜率 kBC02( 82)841 2
C
直线CA的斜率 kCA24(02)441
(3)当x1=x2时,公式不适用,此时直线与x轴垂
20直20年,1α0月=2日900
3
1.哪些条件可以确定一条直线？ 两点；一点与直线的倾斜角
2.给定直线的倾斜角为，如何求斜率？ 90º时，k=tan ； =90º时，k不存在.
11
率是l2的2倍.( X )
2020年10月2日
10
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∵ kBC 0 ∴直线BC的倾斜角为钝角。
∵ kCA 0 ∴直线CA的倾斜角为锐角
2020年10月2日
5
例题分析
例2、在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜
率分别为1，-1，2和-3的直线 l1,l2,l3及l4。
y
l3
l1
A3 A1
O
x
A2
Al 44 l 2
2020年10月2日
4
例1、如图，已知A(4,2)、B(-8,2)、C(0,-2)，求
直线AB、BC、CA的斜率，并判断这 些直线
的倾斜角是什么角？
y.
解：
B
.A
直线AB的斜率 kAB28240 .
.
. . o.
.
.
.
x
直线BC的斜率 kBC02( 82)841 2
C
直线CA的斜率 kCA24(02)441
(3)当x1=x2时,公式不适用,此时直线与x轴垂
20直20年,1α0月=2日900
3
1.哪些条件可以确定一条直线？ 两点；一点与直线的倾斜角
2.给定直线的倾斜角为，如何求斜率？ 90º时，k=tan ； =90º时，k不存在.
第三章 3.1.1 倾斜角与斜率(共44张PPT)
2.理解斜率公式应注意的事项 (1)当x1=x2时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角 α=90°,直线与x轴垂直. (2)斜率k与P1,P2的顺序无关,即y1,y2和x1,x2在公式中的前后 次序可以同时交换,但分子与分母不能交换. (3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得 . (4)当y1=y2,x1≠x2时,斜率k=0,直线的倾斜角α=0°,直线与x 轴平行或重合.
【拓展提升】 1.用斜率公式解决三点共线问题
2.直线斜率在平面几何中的运用
解决几何图形中直线的倾斜角与斜率的综合问题时 ,要善于利
用几何图形的几何性质,注意倾斜角是几何图形中的夹角还是
其邻补角,也可以利用经过两点的直线的斜率公式 ,先求斜率, 再求倾斜角.
【变式训练】如图,菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合,一边在 x轴的正半轴上,已知∠BOD=60°,求菱形各边和两条对角线所 在直线的倾斜角及斜率.
α =0° k=0 ____
0°<α <90° k>0 ____
90° 90°<α <180° α =___ k<0 ____
斜率(范围)
不存在
3.经过两点的斜率公式
y 2 y1 x 2 x1 直线经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2),其斜率k=______.
判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)倾斜角是描述直线的倾斜程度的惟一方法.( (2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应.( (3)一个倾斜角α 不能确定一条直线.( (4)斜率公式与两点的顺序无关.( ) ) ) )
30 1 ，即tan α=-1，所以α=135°. 5 2
(2)斜率不存在，α=90°. (3)k=
直线的倾斜角与斜率ppt课件
开 关
同的直线其倾斜角有可能相同，如平行的直线其倾斜角是相同
的；因此，只有倾斜角不能确定直线的位置；确定一条直线位
置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，两者缺
一不可．
研一研·问题探究、课堂更高效
问题 5 日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？
答 日常生活中，我们经常用“升高量与前进量的比”表示
研一研·问题探究、课堂更高效
问题 2 设直线 P1P2 的倾斜角为 α(α≠90°)，那么 Rt△P1P2Q 中，哪一个角等于 α？
答 如图 1，当 α 为锐角时，α＝∠QP1P2，如图 2，当 α 为钝
本
角时，α＝180°－∠QP1P2.
课 时
问题 3 根据斜率的定义，通过构造直角三角形推算出斜率公式
条直线的斜率．斜率常用小写字母 k 表示,即 k＝tan α .
填一填·知识要点、记下疑难点
3．倾斜角与斜率的对应关系
图示
本
课
时 栏 目
倾斜角 (范围)
α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<
180°
开
关
斜率
斜率不
(范围)
0
大于 0 存在 小于 0
研一研·问题探究、课堂更高效
本 [问题情境]
是 90°的直线没有斜率．
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点二 直线的斜率公式
导引 有了斜率的概念，这还不能体现是直线上的点所满足的等量关
系，任给直线上两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，(其中 x1≠x2)，那么这 条直线唯一确定，进而它的倾斜角与斜率也就确定了，这说明直线
的斜率与这两点的坐标有内在联系．那么这种联系是什么呢？
直线的倾斜角与斜率ppt课件
什么叫倾斜角？倾斜角的范围是什么？
倾斜角：直线l与x轴正方向所成的角， 叫做直线的倾斜角.常用α表示.
（1）倾斜角的取值范围： 0≤α＜1800
（2）倾斜角的作用——刻画直线相对x 轴的倾斜程度.
3.1.2
结论：坡度越大，楼梯越陡．
3.1.2 由于直线的倾斜角不利于用坐标法刻画直线，引入直线的斜率斜率.
P2 (x2 ,y2 )
三、直线的斜率公式
2 P1( x1 ,y1)
△x
△y
1
你注意到了吗？
3.1.2
1.当x1=x2时，公式右边没有意义，直线的斜率不存 在；
2. K与点P1、P2的顺序无关； 3.斜率k可以不通过倾斜角而由直线上两点的坐标求 得；
4.当y1=y2时，斜率k=0，直线的倾斜角a=0º，直线与 x轴平行或重合;
(2) - 4 . 5
学
3.1.2
以
致
用
例3、若三点(1,－1), (3，3), (5，a)在一 条直线上，求实数a的值．
例4 、直线l过点M（－1，1），且与以P
（2，2），Q（3，3）为两端点的线段 PQ有公共点，求直线l的斜率的取值范 围．
五 1.直线l过点 P(2,2 3)、Q（1，33）.1.2
二、直线的斜率
a为什么不能等 于900呢？
一条直线的倾斜角a（ a‡90º）的正切值叫作这 条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，也就是 k=tan a.
从00 900 , k从0 ＋ () ＝900 时，k不存在 从900 1800，k从－ 0 ()
3.1.2
问题：已知直线上的两个点，如何求直线的斜率呢？
开 关
那么它们都与 x 轴 垂直，故 l1 ∥ l2.
倾斜角：直线l与x轴正方向所成的角， 叫做直线的倾斜角.常用α表示.
（1）倾斜角的取值范围： 0≤α＜1800
（2）倾斜角的作用——刻画直线相对x 轴的倾斜程度.
3.1.2
结论：坡度越大，楼梯越陡．
3.1.2 由于直线的倾斜角不利于用坐标法刻画直线，引入直线的斜率斜率.
P2 (x2 ,y2 )
三、直线的斜率公式
2 P1( x1 ,y1)
△x
△y
1
你注意到了吗？
3.1.2
1.当x1=x2时，公式右边没有意义，直线的斜率不存 在；
2. K与点P1、P2的顺序无关； 3.斜率k可以不通过倾斜角而由直线上两点的坐标求 得；
4.当y1=y2时，斜率k=0，直线的倾斜角a=0º，直线与 x轴平行或重合;
(2) - 4 . 5
学
3.1.2
以
致
用
例3、若三点(1,－1), (3，3), (5，a)在一 条直线上，求实数a的值．
例4 、直线l过点M（－1，1），且与以P
（2，2），Q（3，3）为两端点的线段 PQ有公共点，求直线l的斜率的取值范 围．
五 1.直线l过点 P(2,2 3)、Q（1，33）.1.2
二、直线的斜率
a为什么不能等 于900呢？
一条直线的倾斜角a（ a‡90º）的正切值叫作这 条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，也就是 k=tan a.
从00 900 , k从0 ＋ () ＝900 时，k不存在 从900 1800，k从－ 0 ()
3.1.2
问题：已知直线上的两个点，如何求直线的斜率呢？
开 关
那么它们都与 x 轴 垂直，故 l1 ∥ l2.
必修1直线的倾斜角与斜率ppt课件
精品课件
问题引入
在平面直角坐标系中，点用坐标表示，直线如何表 示呢？
为了用代数方法研究直线的有关问题，首先探索确 定直线位置的几何要素，然后在坐标系中用代数方法 把这些几何要素表示出来．
y
P（x，y）
l
O
x
精品课件
问题引入
对于平面直角坐标系内的一条直线 l ，它的位
置由哪些条件确定？
y
l
O
x
精品课件
精品课件
直线的斜率
如：倾斜角 45 时，直线的斜率 kta 4 n 51 .
当为锐角时，ta1n8 ( 0 )ta .n
如：倾斜角为 135时，由
k t1 a 3 n t4 5 a 5 n 1 即这条直线的斜率为 1.
倾斜角α不是90°的直线都有斜率，并且倾 斜角不同，直线的斜率也不同．因此，可以用斜 率表示直线的倾斜程度．
y
l
OP
x
精品课件
直线的倾斜角
当直线 l 与x轴相交时，我们取x轴作为基准， x轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α 叫做直 线 l 的倾斜角（angle of inclination） ．
当直线l与x轴平行或重合时， 规定它的倾斜角为 . 0
yl
直线的倾斜角 的取值范围为： O
x
0
180.
问题引入
我们知道，两点确定一条直线．一点能确定一
条直线的位置吗？已知直线 l 经过点P，直线 l 的
位置能够确定吗？
y
l
OP
x
精品课件
问题引入
过一点P可以作无数条直线l 1， l 2 ， l 3 ，…它 们都经过点P （组成一个直线束），这些直线区
别在哪里呢？
问题引入
在平面直角坐标系中，点用坐标表示，直线如何表 示呢？
为了用代数方法研究直线的有关问题，首先探索确 定直线位置的几何要素，然后在坐标系中用代数方法 把这些几何要素表示出来．
y
P（x，y）
l
O
x
精品课件
问题引入
对于平面直角坐标系内的一条直线 l ，它的位
置由哪些条件确定？
y
l
O
x
精品课件
精品课件
直线的斜率
如：倾斜角 45 时，直线的斜率 kta 4 n 51 .
当为锐角时，ta1n8 ( 0 )ta .n
如：倾斜角为 135时，由
k t1 a 3 n t4 5 a 5 n 1 即这条直线的斜率为 1.
倾斜角α不是90°的直线都有斜率，并且倾 斜角不同，直线的斜率也不同．因此，可以用斜 率表示直线的倾斜程度．
y
l
OP
x
精品课件
直线的倾斜角
当直线 l 与x轴相交时，我们取x轴作为基准， x轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α 叫做直 线 l 的倾斜角（angle of inclination） ．
当直线l与x轴平行或重合时， 规定它的倾斜角为 . 0
yl
直线的倾斜角 的取值范围为： O
x
0
180.
问题引入
我们知道，两点确定一条直线．一点能确定一
条直线的位置吗？已知直线 l 经过点P，直线 l 的
位置能够确定吗？
y
l
OP
x
精品课件
问题引入
过一点P可以作无数条直线l 1， l 2 ， l 3 ，…它 们都经过点P （组成一个直线束），这些直线区
别在哪里呢？
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例2.若x轴上一点 A与点 B（ 3 ,2）的连线的倾斜角为 30 0，求点 A的坐标
定义
1．直线的倾斜角
范围
2．直线的斜率：
k＝tan （≠90）
y 2 y1 k x2 x1 （其中x1≠x2）
作业
P : 89习题3.1A2,3,4
k
43 40 0 1 5 2( 32)
判断直线 P1P2 的斜率是否存在．若存在，求出它的值． （1）P1(1，－1)，P2(－3，2)； （2）P1(3，4)，P2(3，2)．
2.若直线l的斜率是连接 P(3， 6)，Q（0， - 9）两点的直线 的倾斜角的 2倍，求l的倾斜角
x
（A）
（B）பைடு நூலகம்
（C）
问题引入
日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？
升高量 坡度（比） 前进量
升 高 量 前进量
直线的斜率定义
倾斜角不是 90 的直线，它的倾斜角的正 切值叫做这条直线的斜率，通常用 k 表示，即
k＝tan ．
练习一
已知直线的倾斜角，求对应的斜率 k ：
（1）＝0； （3）＝135； （2）＝30； （4）＝120．
的方向与 x 轴正向所成的最小正角 叫做这
条直线的倾斜角．
y A
特别地，
当直线与 y 轴垂直时，
规定这条直线的倾斜角为
1 x
B
O
1
0 ． 倾斜角的范围：0≤<180
练习：
下列图中标出的直线的倾斜角对不对？如果不对，违 背了定义中的哪一条？
y y y y
o
x
o
x
o
x
o
（D ）
两点或一点和方向
o x
问题2：如何表示直线方向（或者倾斜 程度呢）？ 用角
直线的倾斜角定义
一般地，平面直角坐标系内，直线向上
的方向与 x 轴正方向所成的最小正角 叫做
这条直线的倾斜角． y
A
1 B
直线向上的方向 与 x 轴正方向
1 x
O
最小正角
直线的倾斜角定义 一般地，平面直角坐标系内，直线向上
斜率的坐标公式
一般地，若 x1≠x2，过点 P(x1，y1) 和 P2(x2，y2) 的直线斜率为
y 2 y1 k x 2 x1
例
判断直线 P1P2 的斜率是否存在，若存在，求出它的值．
（1）P1(3，4)，P2(－2，4)；
（2）P1(－2，0)，P2 (－5，3)；
（3）P1(3，8)，P2 (3，5)． 解：（3 2 1）因为P1 的横坐标不同，所以直线P1P2的 1，P2 2的横坐标相同，所以直线 P1 1P2 2的斜率存在，而且斜率为 斜率不存在．
圆
直线
直线 圆
一.直线的确定 导入：大家知道，在平面直角坐系上有很不同的直线， 例如：① 过原点O的直线有无数多条，如图（1）所示 ② 与x轴的正方向所成的角为30度的直线也有无 数多条 y y
30° 30° 30° 30°
o
(1)
x
o (2)
x
问题1：如何确定一条直线在直角坐标
系的位置呢？
从刚才的例子我们看到：只知道一点 或者知道直线的方向，直线是不确定 y 的。