导数概念与单调性专题复习
高三复习：导数与函数的单调性、极值最值(含解析答案)
3.2导数与函数的单调性、极值、最值知识梳理：1．函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x) _____0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x) _____0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．2．函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法：一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤：3．函数的最值试一试：1．函数f(x)＝x2－2ln x的单调减区间是________．2．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为________．考点一利用导数研究函数的单调性例1已知函数f(x)＝e x－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．考点二 利用导数求函数的极值例2 设f (x )＝e x 1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点； (2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．考点三 利用导数求函数的最值例3已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.71828…为自然对数的底数． 设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值．变式1 已知函数f (x )＝(x －k )e x . (1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值．考点4 含有参数的分类讨论例4：已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )．(1)求函数f (x )的单调区间； (2)当a >0时，求函数f (x )在[1,2]上的最小值．课堂练习：1．函数f (x )＝e x －x 的单调递增区间是________．2．(2014·扬州期末)已知函数f (x )＝ln x －mx (m ∈R )在区间[1，e]上取得最小值4，则m ＝________.3．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调增函数，则m 的取值范围是________． 4.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，且a ＝f ′⎝⎛⎭⎫23.(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间； (3)设函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x ，若函数g (x )在x ∈[－3，2]上单调递增，求实数c 的取值范围．导数与函数的单调性、极值、最值后作业1．函数y ＝(3－x 2)e x 的单调递增区间是________．2．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取得极值，则a ＝________.3．设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是________．4．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m 、n ∈[－1,1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是________．5．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为________．6．已知函数f (x )＝1x ＋ln x ，求函数f (x )的极值和单调区间．7．函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意的x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x ＋1的解集是________．8．设函数f (x )＝12x 2＋e x －x e x .(1)求f (x )的单调区间；(2)若x ∈[－2,2]时，不等式f (x )>m 恒成立，求实数m 的取值范围．9．已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值．10．设函数f (x )＝e x x 2－k (2x ＋ln x )(k 为常数，e ＝2.71828…是自然对数的底数)．(1)当k ≤0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值范围．导数与函数的单调性、极值、最值教师版知识梳理 1．函数的单调性在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增；如果f ′(x )<0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递减． 2．函数的极值(1)判断f (x 0)是极值的方法：一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时，①如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值； ②如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤： ①求f ′(x )；②求方程f ′(x )＝0的根；③检查f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值． 3．函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．(3)设函数f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，求f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求f (x )在(a ，b )内的极值；②将f (x )的各极值与f (a )，f (b )进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 试一试1．函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调减区间是________． 答案 (0,1)解析 ∵f ′(x )＝2x －2x ＝2(x ＋1)(x －1)x (x >0)．∴当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．答案(－1，＋∞)解析设m(x)＝f(x)－(2x＋4)，∵m′(x)＝f′(x)－2>0，∴m(x)在R上是增函数．∵m(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝0，∴m(x)>0的解集为{x|x>－1}，即f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞)．考点一利用导数研究函数的单调性例1已知函数f(x)＝e x－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．思维点拨函数的单调性和函数中的参数有关，要注意对参数的讨论．解f′(x)＝e x－a，(1)若a≤0，则f′(x)＝e x－a≥0，即f(x)在R上单调递增，若a>0，令e x－a≥0，则e x≥a，x≥ln a.因此当a≤0时，f(x)的单调增区间为R，当a>0时，f(x)的单调增区间为[ln a，＋∞)．(2)∵f′(x)＝e x－a≤0在(－2,3)上恒成立．∴a≥e x在x∈(－2,3)上恒成立．∴e－2<e x<e3，只需a≥e3.当a＝e3时，f′(x)＝e x－e3<0在x∈(－2,3)上恒成立，即f(x)在(－2,3)上为减函数，∴a≥e3.故存在实数a ≥e 3，使f (x )在(－2,3)上为减函数． 思维升华 (1)利用导数的符号来判断函数的单调性；(2)已知函数的单调性求参数范围可以转化为不等式恒成立问题；(3)f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上f ′(x )不恒为零．应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解． 考点二 利用导数求函数的极值 例2设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围． 解 对f (x )求导得f ′(x )＝e x ·1＋ax 2－2ax(1＋ax 2)2.①(1)当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12.结合①，可知所以x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点．(2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a >0，知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立，即Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，由此并结合a >0，知0<a ≤1.所以a 的取值范围为{a |0<a ≤1}．(2014·福建三 利用导数求函数的最值例3已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.71828…为自然对数的底数． 设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值．解 由f (x )＝e x －ax 2－bx －1， 有g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b . 所以g ′(x )＝e x －2a .因此，当x ∈[0,1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]． 当a ≤12时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0,1]上单调递增，因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当a ≥e2时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0,1]上单调递减，因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ； 当12<a <e2时，令g ′(x )＝0得x ＝ln(2a )∈(0,1)， 所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减， 在区间[ln(2a )，1]上单调递增． 于是，g (x )在[0,1]上的最小值是 g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b .综上所述，当a ≤12时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当12<a <e2时，g (x )在[0,1]上的最小值是 g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ； 当a ≥e2时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b .思维升华 (1)求解函数的最值时，要先求函数y ＝f (x )在(a ，b )内所有使f ′(x )＝0的点，再计算(2)可以利用列表法研究函数在一个区间上的变化情况．变式已知函数f(x)＝(x－k)e x.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．解(1)由题意知f′(x)＝(x－k＋1)e x.令f′(x)＝0，得x＝k－1.f(x)与f′(x)的情况如下：所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．(2)当k－1≤0，即k≤1时，f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；当0<k－1<1，即1<k<2时，f(x)在[0，k－1]上单调递减，在[k－1,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－e k－1；当k－1≥1，即k≥2时，f(x)在[0,1]上单调递减，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.综上，当k≤1时，f(x)在[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；当1<k<2时，f(x)在[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－e k－1；当k≥2时，f(x)在[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.例4：已知函数f(x)＝ln x－ax (a∈R)．(2)当a >0时，求函数f (x )在[1,2]上的最小值．思维点拨 (1)已知函数解析式求单调区间，实质上是求f ′(x )>0，f ′(x )<0的解区间，并注意定义域．(2)先研究f (x )在[1,2]上的单调性，再确定最值是端点值还是极值．(3)由于解析式中含有参数a ，要对参数a 进行分类讨论． 规范解答解 (1)f ′(x )＝1x－a (x >0)，[2分]①当a ≤0时，f ′(x )＝1x －a >0，即函数f (x )的单调增区间为(0，＋∞)．[4分]②当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，可得x ＝1a ，当0<x <1a 时，f ′(x )＝1－ax x >0；当x >1a 时，f ′(x )＝1－ax x <0，故函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎤0，1a ， 单调递减区间为⎣⎡⎭⎫1a ，＋∞.[6分] (2)①当1a ≤1，即a ≥1时，函数f (x )在区间[1,2]上是减函数，所以f (x )的最小值是f (2)＝ln2－2a .[8分]②当1a ≥2，即0<a ≤12时，函数f (x )在区间[1,2]上是增函数，所以f (x )的最小值是f (1)＝－a .[10分]③当1<1a <2，即12<a <1时，函数f (x )在⎣⎡⎦⎤1，1a 上是增函数，在⎣⎡⎦⎤1a ，2上是减函数．[12分] 又f (2)－f (1)＝ln2－a ，所以当12<a <ln2时，最小值是f (1)＝－a ；当ln2≤a <1时，最小值为f (2)＝ln2－2a .[14分] 综上可知，当0<a <ln2时，函数f (x )的最小值是－a ；当a ≥ln2时，函数f (x )的最小值是ln2－2a .[16分]1．函数f (x )＝e x －x 的单调递增区间是________． 解析：∵f (x )＝e x －x ，∴f ′(x )＝e x －1， 由f ′(x )>0，得e x －1>0，即x >0. 答案：(0，＋∞)2．(2014·扬州期末)已知函数f (x )＝ln x －mx (m ∈R )在区间[1，e]上取得最小值4，则m ＝________.解析：因为f (x )在区间[1，e]上取得最小值4，所以至少满足f (1)≥4，f (e)≥4，解得m ≤－3e.又f ′(x )＝x ＋mx 2，且x ∈[1，e]，所以f ′(x )<0, 即f (x )在[1，e]上单调递减，所以f (x )min ＝f (e)＝1－me＝4，即m ＝－3e. 答案：－3e3．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调增函数，则m 的取值范围是________． 解析：∵f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1， ∴f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m .又∵f (x )在R 上是单调增函数， ∴Δ＝4－12 m ≤0，即m ≥13.答案：⎣⎡⎭⎫13，＋∞ 4.(创新题)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，且a ＝f ′⎝⎛⎭⎫23. (1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)设函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x ，若函数g (x )在x ∈[－3，2]上单调递增，求实数c 的取值范围． 解：(1)由f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ， 得f ′(x )＝3x 2＋2ax －1.当x ＝23时，得a ＝f ′⎝⎛⎭⎫23＝3×⎝⎛⎭⎫232＋2a ×⎝⎛⎭⎫23－1，解之，得a ＝－1.(2)由(1)可知f (x )＝x 3－x 2－x ＋c . 则f ′(x )＝3x 2－2x －1＝3⎝⎛⎭⎫x ＋13(x －1)， 列表如下：所以f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫－∞，－13和(1，＋∞)； f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－13，1. (3)函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x ＝(－x 2－x ＋c )·e x有g ′(x )＝(－2x －1)e x ＋(－x 2－x ＋c )e x ＝(－x 2－3x ＋c －1)e x ，因为函数g (x )在x ∈[－3,2]上单调递增，所以h (x )＝－x 2－3x ＋c －1≥0在x ∈[－3,2]上恒成立． 只要h (2)≥0，解得c ≥11，所以c 的取值范围是[11，＋∞)． 作业1．函数y ＝(3－x 2)e x 的单调递增区间是________． 答案 (－3,1)解析 y ′＝－2x e x ＋(3－x 2)e x ＝e x (－x 2－2x ＋3)， 由y ′>0⇒x 2＋2x －3<0⇒－3<x <1，故函数y ＝(3－x 2)e x 的单调递增区间是(－3,1)．2．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取得极值，则a ＝________.答案 3解析 因为f ′(x )＝2x (x ＋1)－(x 2＋a )(x ＋1)2，因为函数f (x )在x ＝1处取得极大值，所以f ′(1)＝3－a4＝0，所以a ＝3.3．设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是________．答案 1<a ≤2解析 ∵f (x )＝12x 2－9ln x ，∴f ′(x )＝x －9x(x >0)，当x －9x ≤0时，有0<x ≤3，即在(0,3]上原函数是减函数，∴a －1>0且a ＋1≤3，解得1<a ≤2.4．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m 、n ∈[－1,1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是________． 答案 －13解析 对函数f (x )求导得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ， 由函数f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0， 即－3×4＋2a ×2＝0，∴a ＝3.由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4，f ′(x )＝－3x 2＋6x ， 易知f (x )在[－1,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增， ∴当m ∈[－1,1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4. 又∵f ′(x )＝－3x 2＋6x 的图象开口向下， 且对称轴为x ＝1，∴当n ∈[－1,1]时， f ′(n )min ＝f ′(－1)＝－9. 故f (m )＋f ′(n )的最小值为－13.5．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为________．答案 (0,1]解析 y ′＝x －1x ＝x 2－1x ＝(x －1)(x ＋1)x(x >0)．令y ′≤0，得0<x ≤1.∴函数的单调递减区间为(0,1]．6．已知函数f (x )＝1x ＋ln x ，求函数f (x )的极值和单调区间．解 因为f ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x2，令f ′(x )＝0，得x ＝1，又f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：所以x ＝1时，f (x )的极小值为1，无极大值． f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)， 单调递减区间为(0,1)．7．函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意的x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x ＋1的解集是________． 答案 {x |x >0}解析 构造函数g (x )＝e x ·f (x )－e x －1，求导得到g ′(x )＝e x ·f (x )＋e x ·f ′(x )－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )－1]． 由已知f (x )＋f ′(x )>1，可得到g ′(x )>0， 所以g (x )为R 上的增函数； 又g (0)＝e 0·f (0)－e 0－1＝0， 所以e x ·f (x )>e x ＋1， 即g (x )>0的解集为{x |x >0}．8．设函数f (x )＝12x 2＋e x －x e x .(1)求f (x )的单调区间；(2)若x ∈[－2,2]时，不等式f (x )>m 恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝x ＋e x －(e x ＋x e x )＝x (1－e x )． 若x <0，则1－e x >0，∴f ′(x )<0； 若x >0，则1－e x <0，∴f ′(x )<0； 若x ＝0，则f ′(x )＝0.∴f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数， 即f (x )的单调减区间为(－∞，＋∞)． (2)由(1)知f (x )在[－2,2]上单调递减， ∴[f (x )]min ＝f (2)＝2－e 2.∴当m <2－e 2时，不等式f (x )>m 恒成立． 即实数m 的取值范围为(－∞，2－e 2)．)9．(2013·福建)已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值．解 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－a x .(1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x (x >0)，因而f (1)＝1，f ′(1)＝－1，所以曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为 y －1＝－(x －1)， 即x ＋y －2＝0.(2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x >0知：①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值； ②当a >0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a . 又当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0， 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值． 综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值．10．(2014·山东)设函数f (x )＝e x x 2－k (2x ＋ln x )(k 为常数，e ＝2.71828…是自然对数的底数)．(1)当k ≤0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值范围． 解 (1)函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝x 2e x －2x e x x 4－k (－2x 2＋1x ) ＝x e x －2e x x 3－k (x －2)x 2＝(x －2)(e x －kx )x 3.由k ≤0可得e x －kx >0，所以当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增． 所以f (x )的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，＋∞)． (2)由(1)知，k ≤0时，函数f (x )在(0,2)内单调递减， 故f (x )在(0,2)内不存在极值点；当k >0时，设函数g (x )＝e x －kx ，x ∈(0，＋∞)． 所以g ′(x )＝e x －k ＝e x －e ln k ，当0<k ≤1时，当x ∈(0,2)时，g ′(x )＝e x －k >0，y ＝g (x )单调递增． 故f (x )在(0,2)内不存在两个极值点． 当k >1时，得x ∈(0，ln k )时，g ′(x )<0，函数y ＝g (x )单调递减； x ∈(ln k ，＋∞)时，g ′(x )>0，函数y ＝g (x )单调递增． 所以函数y ＝g (x )的最小值为g (ln k )＝k (1－ln k )． 函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧g (0)>0，g (ln k )<0，g (2)>0，0<ln k <2.解得e<k <e 22.。
(完整版)高三复习导数专题
导 数一、导数的基本知识 1、导数的定义：)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000. 2、导数的公式： 0'=C （C 为常数） 1')(-=n n nxx （R n ∈） xx e e =')(a a a x x ln )('= xx 1)(ln '= exx a a log 1)(log '=x x cos )(sin '= x x sin )(cos '-=3、导数的运算法则： [()()]f x g x '+ =()()f x g x ''+ [()()]()()f x g x f x g x '''-=-[()]()af x af x ''= [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+ 2()()()()()[]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''-'= 4、掌握两个特殊函数 （1）对勾函数()bf x ax x=+ （ 0a > ，0b >） 其图像关于原点对称（2）三次函数32()f x ax bx cx d =+++(0)a ≠导数导数的概念 导数的运算导数的应用导数的定义、几何意义、物理意义 函数的单调性 函数的极值函数的最值 常见函数的导数导数的运算法则 比较两个的代数式大小导数与不等式讨论零点的个数求切线的方程导数的基本题型和方法1、、导数的意义：（1）导数的几何意义：()k f x'=（2）导数的物理意义：()v s t'=2、、导数的单调性：（1）求函数的单调区间；()0()b]f x f x'≥⇔在[a,上递增()0()b]f x f x'≤⇔在[a,上递减（2）判断或证明函数的单调性；()f x c≠（3）已知函数的单调性，求参数的取值范围。
高考数学总复习考点知识与题型专题讲解18 导数与函数的单调性
高考数学总复习考点知识与题型专题讲解§3.2导数与函数的单调性考试要求1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用．知识梳理1．函数的单调性与导数的关系2.利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数的定义域；第2步，求出导数f′(x)的零点；第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．常用结论1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则当x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则当x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立．2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)<0有解．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．(√)(2)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内单调递减．(√)(3)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则f(x)在定义域上一定单调递增．(×)(4)函数f(x)＝x－sin x在R上是增函数．(√)教材改编题1．f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是()答案 C解析由f′(x)的图象知，当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0，∴f(x)单调递增；当x∈(0，x1)时，f′(x)<0，∴f(x)单调递减；当x∈(x1，＋∞)时，f′(x)>0，∴f(x)单调递增．2．函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调递减区间是( ) A ．(0,1) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1) D ．(－1,1) 答案 A解析 ∵f ′(x )＝2x －2x ＝2(x ＋1)(x －1)x(x >0)，令f ′(x )＝0，得x ＝1(负值舍去)， ∴当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．3．已知函数f (x )＝x sin x ，x ∈R ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5，f (1)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的大小关系为________________．(用“<”连接)答案 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3解析 因为f (x )＝x sin x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，f ′(x )＝sin x ＋x cos x >0，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，又因为0<π5<1<π3<π2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3.题型一 不含参函数的单调性例1(1)函数f (x )＝x ln x －3x ＋2的单调递减区间为________． 答案 (0，e 2)解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x－2，当x∈(0，e2)时，f′(x)<0，当x∈(e2，＋∞)时，f′(x)>0，∴f(x)的单调递减区间为(0，e2)．(2)若函数f(x)＝ln x＋1e x，则函数f(x)的单调递增区间为________．答案(0,1)解析f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－ln x－1e x，令φ(x)＝1x－ln x－1(x>0)，φ′(x)＝－1x2－1x<0，φ(x)在(0，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝0，∴当x∈(0,1)时，φ(x)>0，当x∈(1，＋∞)时，φ(x)<0，∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．∴函数f(x)的单调递增区间为(0,1)．思维升华确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．跟踪训练1已知函数f(x)＝x－ln x－e xx.判断函数f(x)的单调性．解 因为f (x )＝x －ln x －e xx ，所以f ′(x )＝1－1x －(x －1)e xx 2＝(x －1)(x －e x)x 2(x >0)．令g (x )＝x －e x ，则g ′(x )＝1－e x ， 可得g (x )在(0，＋∞)上单调递减， 所以g (x )<g (0)＝－1<0.所以当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0， 所以f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． 题型二 含参数的函数的单调性例2已知函数f (x )＝(2－a )x －ln x －1，a ∈R . (1)当a ＝1时，求函数y ＝f (x )的单调递增区间； (2)若a <0，设g (x )＝f (x )＋ax 2，求函数g (x )的单调区间．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝x －ln x －1，则f ′(x )＝1－1x ＝x －1x (x >0)， 当x >1时，f ′(x )>0，∴f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)． (2)g (x )＝ax 2＋(2－a )x －ln x －1(a <0)，其定义域为(0，＋∞)，∴g ′(x )＝2ax ＋2－a －1x ＝2ax 2＋(2－a )x －1x ＝(2x －1)(ax ＋1)x(a <0)，令g ′(x )＝0，可得x 1＝12，x 2＝－1a >0， ①若－1a >12，即－2<a <0，当0<x <12或x >－1a 时，g ′(x )<0；当12<x <－1a 时，g ′(x )>0，∴g (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞，单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1a ；②若－1a ＝12，即a ＝－2，则g ′(x )≤0，∴g (x )的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间；③若0<－1a <12，即a <－2， 当0<x <－1a 或x >12时，g ′(x )<0； 当－1a <x <12时，g ′(x )>0，∴g (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，12.综上，当－2<a <0时，g (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞，单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1a ； 当a ＝－2时，g (x )的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间；当a <－2时，g (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，12. 思维升华 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．跟踪训练2已知函数g (x )＝(x －a －1)e x －(x －a )2，讨论函数g (x )的单调性． 解 g (x )的定义域为R ，g ′(x )＝(x －a )e x －2(x －a )＝(x －a )(e x －2)， 令g ′(x )＝0，得x ＝a 或x ＝ln 2， ①若a >ln 2，则当x∈(－∞，ln 2)∪(a，＋∞)时，g′(x)>0，当x∈(ln 2，a)时，g′(x)<0，∴g(x)在(－∞，ln 2)，(a，＋∞)上单调递增，在(ln 2，a)上单调递减．②若a＝ln 2，则g′(x)≥0恒成立，∴g(x)在R上单调递增，③若a<ln 2，则当x∈(－∞，a)∪(ln 2，＋∞)时，g′(x)>0，当x∈(a，ln 2)时，g′(x)<0，∴g(x)在(－∞，a)，(ln 2，＋∞)上单调递增，在(a，ln 2)上单调递减．综上，当a>ln 2时，g(x)在(－∞，ln 2)，(a，＋∞)上单调递增，在(ln 2，a)上单调递减；当a＝ln 2时，g(x)在R上单调递增；当a<ln 2时，g(x)在(－∞，a)，(ln 2，＋∞)上单调递增，在(a，ln 2)上单调递减．题型三函数单调性的应用命题点1比较大小或解不等式例3(1)(多选)下列不等式成立的是()A．2ln 32<32ln 2 B.2ln 3<3ln 2C．5ln 4<4ln 5 D．π>eln π答案AD解析设f(x)＝ln xx(x>0)，则f′(x)＝1－ln xx2，所以当0<x<e时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当x >e 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减． 因为32<2<e ， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f (2)，即2ln 32<32ln 2，故选项A 正确； 因为2<3<e ， 所以f (2)<f (3)，即2ln 3>3ln 2，故选项B 不正确； 因为e<4<5，所以f (4)>f (5)，即5ln 4>4ln 5， 故选项C 不正确； 因为e<π，所以f (e)>f (π)，即π>eln π，故选项D 正确．(2)已知函数f (x )＝cos x ＋e x ＋e －x －12x 2，则关于x 的不等式f (2x －1)<f (3＋x )的解集为( ) A ．(－1,2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4 C ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23∪(4，＋∞) 答案 B解析 f ′(x )＝e x －e －x －sin x －x ，令g (x )＝e x －e －x －sin x －x ，则g ′(x )＝e x ＋e －x －cos x －1≥2e x ·e －x －cos x －1＝1－cosx ≥0，当且仅当x ＝0时等号成立， ∴函数g (x )在R 上单调递增， 又g (0)＝0，∴当x ∈[0，＋∞)时，g (x )≥g (0)＝0， ∴f ′(x )≥0，∴当x ∈(－∞，0)时，g (x )<g (0)＝0， ∴f ′(x )<0，∴f (x )在(－∞，0)上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增， 又f (－x )＝f (x )， ∴f (x )为偶函数，∴关于x 的不等式f (2x －1)<f (3＋x )可转化为|3＋x |>|2x －1|，解得－23<x <4. 即关于x 的不等式f (2x －1)<f (3＋x )的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4.命题点2 根据函数的单调性求参数 例4已知函数f (x )＝ln x －12ax 2－2x (a ≠0)．(1)若f (x )在[1,4]上单调递减，求实数a 的取值范围；(2)若f (x )在[1,4]上存在单调递减区间，求实数a 的取值范围．解 (1)因为f (x )在[1,4]上单调递减，所以当x ∈[1,4]时，f ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x 恒成立．设G (x )＝1x 2－2x ，x ∈[1,4]，所以a ≥G (x )max ，而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，因为x ∈[1,4]，所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716，又因为a ≠0，所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，0∪(0，＋∞)．(2)因为f (x )在[1,4]上存在单调递减区间，则f ′(x )<0在[1,4]上有解，所以当x ∈[1,4]时，a >1x 2－2x 有解， 又当x ∈[1,4]时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－2x min ＝－1(此时x ＝1)，所以a >－1，又因为a ≠0，所以实数a 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)． 思维升华 由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)函数在区间(a ，b )上单调，实际上就是在该区间上f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立． (2)函数在区间(a ，b )上存在单调区间，实际上就是f ′(x )>0 (或f ′(x )<0)在该区间上存在解集．跟踪训练3(1)已知函数f (x )＝1e x －e x ＋2x －13x 3，若f (3a 2)＋f (2a －1)≥0，则实数a 的取值范围是________． 答案 －1≤a ≤13解析 由题意得f ′(x )＝－1e x －e x ＋2－x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫e x ＋1e x ＋2－x 2，因为e x ＋1e x ≥2e x ·1e x ＝2，当且仅当x ＝0时等号成立，所以f ′(x )≤0，所以函数f (x )在R 上单调递减，又f (x )＝－f (－x )，所以f (x )为奇函数，所以f (3a 2)＋f (2a －1)≥0⇒f (3a 2)≥－f (2a －1)＝f (1－2a )， 即3a 2≤1－2a ，解得－1≤a ≤13.(2)已知函数f (x )＝－12x 2－3x ＋4ln x 在(t ，t ＋2)上不单调，则实数t 的取值范围是________．答案 [0,1)解析 由题意，f ′(x )＝－x －3＋4x ＝－x 2＋3x －4x ，x ∈(0，＋∞)，当f ′(x )＝0时，有x 2＋3x －4＝0，得x ＝－4或x ＝1，∵f (x )在(t ，t ＋2)上不单调，且(t ，t ＋2)⊆(0，＋∞)，∴⎩⎨⎧ t <1<t ＋2，t ≥0，解得t ∈[0,1)．课时精练1．函数f (x )＝x ln x ＋1的单调递减区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1e B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e D ．(e ，＋∞)答案 C解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋ln x ，令f ′(x )<0，得0<x <1e ，所以f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e .2．已知f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，且y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )函数的图象可能是( )答案 D解析 根据导函数的图象可得，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0，则f (x )单调递减； 当x ∈(0,2)时，f ′(x )>0，则f (x )单调递增；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )<0，则f (x )单调递减，所以只有D 选项符合．3．(2023·邯郸模拟)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ln x ，且a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，c ＝12(e )f -，则() A ．a >b >c B ．c >a >bC ．a >c >bD ．c >b >a答案 B解析 由f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ln x ，得f ′(x )＝ln x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 2，当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，因为c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ， 0<1e <23<45<1， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e >f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，故c >a >b . 4．已知a ∈R ，则“a ≤2”是“f (x )＝ln x ＋x 2－ax 在(0，＋∞)上单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 因为f (x )＝ln x ＋x 2－ax 在(0，＋∞)上单调递增，则f ′(x )＝1x ＋2x －a ≥0对任意的x >0恒成立，即a ≤2x ＋1x ，当x >0时，由基本不等式可得2x ＋1x ≥22x ·1x ＝22，当且仅当x ＝22时，等号成立，所以a ≤2 2.因为{a |a ≤2}{a |a ≤22}，因此，“a ≤2”是“f (x )＝ln x ＋x 2－ax 在(0，＋∞)上单调递增”的充分不必要条件．5．(多选)(2023·深圳模拟)若0<x 1<x 2<1，则( )A ．2e x －1e x >ln x 2＋1x 1＋1B ．2e x －1e x <ln x 2＋1x 1＋1C ．x 21e x >x 12e xD ．x 21e x <x 12e x答案 AC解析 令f (x )＝e x －ln(x ＋1)且x ∈(0,1)，则f ′(x )＝e x －1x ＋1>0， 故f (x )在区间(0,1)上单调递增，因为0<x 1<x 2<1，所以f (x 1)<f (x 2)，即1e x －ln(x 1＋1)<2e x －ln(x 2＋1)，故2e x －1e x >ln x 2＋1x 1＋1， 所以A 正确，B 错误；令f (x )＝e x x 且x ∈(0,1)，则f ′(x )＝e x (x －1)x 2<0，故f (x )在区间(0,1)上单调递减，因为0<x 1<x 2<1，所以f (x 1)>f (x 2)， 即11e x x >22e x x ， 故x 21e x >x 12e x ，所以C 正确，D 错误．6．(多选)如果函数f (x )对定义域内的任意两实数x 1，x 2(x 1≠x 2)都有x 1f (x 1)－x 2f (x 2)x 1－x 2>0，则称函数y ＝f (x )为“F 函数”．下列函数不是“F 函数”的是( )A ．f (x )＝e xB ．f (x )＝x 2C ．f (x )＝ln xD ．f (x )＝sin x答案 ACD解析 依题意，函数g (x )＝xf (x )为定义域上的增函数．对于A ，g (x )＝x e x ，g ′(x )＝(x ＋1)e x ，当x ∈(－∞，－1)时，g ′(x )<0，∴g (x )在(－∞，－1)上单调递减，故A 中函数不是“F 函数”；对于B ，g (x )＝x 3在R 上单调递增，故B 中函数为“F 函数”；对于C ，g (x )＝x ln x ，g ′(x )＝1＋ln x ，x >0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，g ′(x )<0， ∴g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减， 故C 中函数不是“F 函数”；对于D ，g (x )＝x sin x ，g ′(x )＝sin x ＋x cos x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0时，g ′(x )<0， ∴g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0上单调递减， 故D 中函数不是“F 函数”．7．函数f (x )＝e －x cos x (x ∈(0，π))的单调递增区间为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π 解析 f ′(x )＝－e －x cos x －e －x sin x ＝－e －x (cos x ＋sin x )＝－2e －x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3π4时，e －x >0，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4>0，则f ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π时，e －x >0，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4<0，则f ′(x )>0， ∴f (x )在(0，π)上的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π. 8．已知函数f (x )＝3x a －2x 2＋ln x (a >0)，若函数f (x )在[1,2]上不单调，则实数a 的取值范围是________．答案 25<a <1解析 f ′(x )＝3a －4x ＋1x ，若函数f (x )在[1,2]上为单调函数，即f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≥0或f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≤0在[1,2]上恒成立，即3a ≥4x －1x 或3a ≤4x －1x 在[1,2]上恒成立．令h (x )＝4x －1x ，则h (x )在[1,2]上单调递增，所以3a ≥h (2)或3a ≤h (1)，即3a ≥152或3a ≤3，又a >0，所以0<a ≤25或a ≥1.因为f (x )在[1,2]上不单调，故25<a <1.9．已知函数f (x )＝a e x －x ，a ∈R .(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)试讨论函数f (x )的单调性．解 (1)因为a ＝1，所以f(x)＝e x－x，则f′(x)＝e x－1，所以f′(1)＝e－1，f(1)＝e－1，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是y－(e－1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x.(2)因为f(x)＝a e x－x，a∈R，x∈R，所以f′(x)＝a e x－1，当a≤0时，f′(x)＝a e x－1<0，则f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；当a>0时，令f′(x)＝0，得x＝－ln a，当x<－ln a时，f′(x)<0，当x>－ln a时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增，综上，当a≤0时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；当a>0时，f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增．10．已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)e x，x∈R.(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求实数a的取值范围．解(1)当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)e x，f′(x)＝－(x2－2)e x，令f′(x)>0，即x2－2<0，解得－2<x<2，∴f(x)的单调递增区间是(－2，2)．(2)f′(x)＝[－x2＋(a－2)x＋a]e x，若f(x)在(－1,1)上单调递增，即当－1<x<1时，f′(x)≥0，即－x2＋(a－2)x＋a≥0对x∈(－1,1)恒成立，即a ≥x ＋1－1x ＋1对x ∈(－1,1)恒成立， 令y ＝x ＋1－1x ＋1，则y ′＝1＋1(x ＋1)2>0， ∴y ＝x ＋1－1x ＋1在(－1,1)上单调递增， ∴y <1＋1－11＋1＝32， ∴a ≥32， ∴a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.11．(多选)已知函数f (x )＝ln(e 2x ＋1)－x ，则下列说法正确的是( )A ．f (ln 2)＝ln 52B ．f (x )是奇函数C ．f (x )在(0，＋∞)上单调递增D ．f (x )的最小值为ln 2答案 ACD解析 f (ln 2)＝ln(e 2ln 2＋1)－ln 2＝ln 5－ln 2＝ln 52，A 正确；f (x )＝ln(e 2x ＋1)－x ＝ln(e x ＋e －x )定义域为R ，其中f (－x )＝ln(e －x ＋e x )＝f (x )，故f (x )是偶函数，B 错误；f ′(x )＝e x －e －x e x ＋e －x ，当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＝e x －e －xe x ＋e－x >0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增，C 正确；根据f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f (x )是偶函数，可得f (x )在(－∞，0)上单调递减，故f (x )的最小值为f (0)＝ln 2，D 正确．12．已知函数f (x )＝e x －e －x ＋12sin π2x ＋1，实数a ，b 满足不等式f (3a ＋b )＋f (a －1)<2，则下列不等式成立的是( )A ．2a ＋b <－1B ．2a ＋b >－1C ．4a ＋b <1D ．4a ＋b >1答案 C解析 设g (x )＝e x －e －x ＋12sin π2x ，则g (x )＝f (x )－1，f (3a ＋b )＋f (a －1)<2，即g (3a ＋b )＋g (a －1)<0，∵g (－x )＝e －x －e x －12sin π2x ＝－g (x )，∴函数g (x )是奇函数，∵g ′(x )＝e x ＋e －x ＋π4cos π2x ≥2e x ·e －x ＋π4cos π2x ＝2＋π4cos π2x >0，∴g (x )是增函数，∵g (3a ＋b )＋g (a －1)<0，∴g (3a ＋b )<－g (a －1)＝g (1－a )， 则3a ＋b <1－a ，即4a ＋b <1.13．(多选)(2023·杭州模拟)已知f (x )＝(a 2－1)e x －1－12x 2，若不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1ln x >f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1在(1，＋∞)上恒成立，则a 的值可以为( )A ．－ 2B ．－1C ．1 D. 2答案 AD解析 设y ＝x －1－ln x (x >1)，则y ′＝1－1x >0，∴y ＝x －1－ln x 在(1，＋∞)上单调递增，∴x －1－ln x >0，∴ln x <x －1，x ∈(1，＋∞)，∴0<ln x <x －1，∴1ln x >1x －1>0. 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1ln x >f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1在(1，＋∞)上恒成立， ∴f (x )在(1，＋∞)上单调递增，∴f ′(x )＝(a 2－1)e x －1－x ≥0对∀x ∈(1，＋∞)恒成立，即a 2－1≥x ex －1在x ∈(1，＋∞)上恒成立． 令g (x )＝xe x －1，x ∈(1，＋∞)，g ′(x )＝1－x ex －1， 当x >1时，g ′(x )<0，故g (x )<g (1)＝1，∴a 2－1≥1，解得a ≥2或a ≤－2，∴a 的值可以为－2， 2.14．(2023·蚌埠模拟)若x 1·12x ＝x 2·log 2x 2＝2 024，则x 1x 2的值为________． 答案 2 024解析 因为x 1·12x ＝x 2·log 2x 2＝2 024，所以12x log 212x ＝x 2·log 2x 2＝2 024，则12x >1，x 1>0，x 2>1，设f(x)＝x log2x(x>1)，则f′(x)＝log2x＋1ln 2>0，即f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以12x＝x2，所以x1x2＝x1·12x＝2 024.21 / 21。
高三复习导数与函数---含参数的单调性问题
重点：1、含参数单调性的讨论；2、函数在某个区间单调求参数取值范围难点：含参数单调性的讨论一、基本知识点A 、在参数范围内讨论单调性的解题的主体思路或步骤：1.先明确定义域（通常针对的是对数函数）2.求导，这时需要判断导数在定义域范围内是否存在恒正或恒负的情况（对于二次函数型的通过判别式来明确分类讨论的主体框架，对于含有对数函数的，可能需要通过二次求导来判定）。
即在定义域范围内恒单调递增或递减。
3.当在定义域范围内导数有正有负，即存在极值点，这时令导函数的值为零，求出极值点（一般会含有2个极值点，这时要比较这2个极值点的相对大小，还有在定义域的相对位置）4.根据参数的范围划分好单调区间。
B 、函数在给定某个区间内的单调，求参数的取值范围的解题思路或步骤： 主体思路跟上面类似，结合单调区间判定极值点相对位置。
C 、函数是给定的，单调区间是含有参数的解题思路和步骤：先把函数的单调区间明确，而条件中的单调区间是函数单调区间的某个子集。
二、基础模块例1. 设函数x kx x x f +-=23)( 当1=k 时,求函数)(x f 的单调区间;例2. 设函数3()3(0)f x x ax b a =-+≠。
求函数()f x 的单调区间与极值点。
例3. 已知函数321()1()3f x x x ax a R =+++∈求函数()f x 的单调区间例4. 已知函数f(x)=x 3-21x 2+bx+c.若f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，求b 的取值范围;例5. 已知函数f(x)=x(x-1)(x-a)在（2，+∞）上是增函数，试确定实数a 的取值范围.例6. 已知函数f （x ）=x 3+3x 2若函数()f x 在区间[,1]m m +上单调递增，求m 的取值范围.三、拓展模块例1. 已知函数2()(2ln ),(0)f x x a x a x =-+->，讨论()f x 的单调性.例2. 设函数()(0)kx f x xe k =≠（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在区间(1,1)-内单调递增，求k 的取值范围.例3. 已知函数f(x)=21x 2－ax+(a －1)ln x ，1a >。
考点17导数与函数的单调性(3种核心题型)(学生版) 2025年高考数学大一轮复习核心题型(新高考版
考点17导数与函数的单调性（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用【知识点】1．函数的单调性与导数的关系条件恒有结论f ′(x )>0f (x )在区间(a ，b )上________f ′(x )<0f (x )在区间(a ，b )上________函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上可导f ′(x )＝0f (x )在区间(a ，b )上是________2.利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数的 ；第2步，求出导数f ′(x )的；第3步，用f ′(x )的零点将f (x )的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x )在各区间上的正负，由此得出函数y ＝f (x )在定义域内的单调性．常用结论1．若函数f (x )在(a ，b )上单调递增，则当x ∈(a ，b )时，f ′(x )≥0恒成立；若函数f (x )在(a ，b )上单调递减，则当x ∈(a ，b )时，f ′(x )≤0恒成立．2．若函数f (x )在(a ，b )上存在单调递增区间，则当x ∈(a ，b )时，f ′(x )>0有解；若函数f (x )在(a ，b )上存在单调递减区间，则当x ∈(a ，b )时，f ′(x )<0有解【核心题型】题型一 不含参函数的单调性确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．【例题1】（2023·全国·模拟预测）已知函数()()()ln 2ln 4f x x x =-+-，则()f x 的单调递增区间为（ ）A ．()2,3B ．()3,4C ．(),3-¥D ．()3,+¥【变式1】（2024·四川成都·三模）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()()1ln f x x x =-，则当0x <时，()f x 的单调递增区间为（ ）A ．(),e -¥-B ．()e,0-C ．(),0¥-D ．()1,0-【变式2】（2024·四川巴中·一模）已知奇函数()f x 的导函数为()f x ¢，若当0x <时()2af x x x=-，且()10f ¢-=.则()f x 的单调增区间为 .【变式3】（2024·河南开封·三模）已知函数()33ln f x x x =-，()f x ¢为()f x 的导函数．(1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)求函数()()()9g x f x f x x¢=--的单调区间和极值．题型二 含参数的函数的单调性(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点【例题2】（多选）（23-24高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）函数()322f x x ax x=++（R a Î）的大致图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【变式1】（2024·天津·二模）已知()()ln R f x x ax x a =+×Î，(1)当2a =时，求()f x 在点()()e e f ，处的切线方程；(2)讨论()f x 的单调性；(3)若函数()f x 存在极大值，且极大值为1，求证：()2e xf x x -£+．【变式2】（2024·陕西商洛·三模）已知函数()()2212ln 2f x a x x ax a =--ÎR ．(1)求函数()f x 的单调区间；(2)当0a >时，若函数()2e e 2x x g x a =+和()22h x a x =的图象在()0,1上有交点，求实数a 的取值范围．【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知函数()(2)ln f x a x a x =+-．(1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：当0a >时，()9ln f x a >．（参考数据：ln 20.693»）题型三 函数单调性的应用由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)函数在区间(a ，b )上单调，实际上就是在该区间上f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立．(2)函数在区间(a ，b )上存在单调区间，实际上就是f ′(x )>0 (或f ′(x )<0)在该区间上存在解集命题点1 比较大小或解不等式【例题3】（2024·四川成都·模拟预测）若函数()f x 对任意的x ÎR 都有()()f x f x ¢<恒成立，则2(2)f 与2e (ln 2)f 的大小关系正确的是（ ）A ．2(2)f >2e (ln 2)fB ．2(2)f =2e (ln 2)fC ．2(2)f <2e (ln 2)f D ．无法比较大小【变式1】（2023·全国·模拟预测）比较11101011a =-，ln1.2b =，0.115ec =的大小关系为（ ）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．b a c>>D ．a b c>>【变式2】（23-24高三上·湖南衡阳·期末）已知函数()()21e ln 12xf x x a x =--+.(1)证明：当1a £时，()1f x ≥对[)0,x Î+¥恒成立.(2)若存在()1212,x x x x ¹，使得()()12f x f x =，比较()()1211x x ++与2e e a的大小，并说明理由.【变式3】（23-24高三上·河北保定·阶段练习）已知函数()()2ln 12x f x x =++.(1)当[)0,x Î+¥时，比较()f x 与x 的大小；(2)若函数()2cos 2x g x x =+，且()()2e 10,0a f g b a b æö=->>ç÷èø，证明：()()211f b g a +>+.命题点2 根据函数的单调性求参数【例题4】（2023·全国·模拟预测）若对任意的1x ，2(,)x m Î+¥，且12x x <，122121ln ln 2x x x x x x -<-，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1,e e æöç÷èøB ．1,e e éùêúëûC ．1,e ¥éö+÷êëøD ．1,e æö+¥ç÷èø【变式1】（23-24高三上·广东汕头·期中）设()0,1a Î，若函数()(1)x xf x a a =++在()0,¥+递增，则a 的取值范围是（ ）A．B．ö÷÷øC．ö÷÷øD．æççè【变式2】（多选）（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数()2ln f x x ax x =--，下列命题正确的是（ ）A ．若1x =是函数()f x 的极值点，则1a =B ．若()10f =，则()f x 在[]0,2x Î上的最小值为0C ．若()f x 在()1,2上单调递减，则1a ≥D ．若()()l ln x x f x -≥在[]1,2x Î上恒成立，则2a ≥【变式3】（23-24高三上·山东青岛·期末）若函数2()e 1x f x a x =+-在(0,)+¥上单调递增，则a 的取值范围是 ．【课后强化】基础保分练一、单选题1．（2023·全国·高考真题）已知函数()e ln x f x a x =-在区间()1,2上单调递增，则a 的最小值为（ ）．A ．2e B ．eC ．1e -D ．2e -2．（23-24高三上·山西大同·阶段练习）设()af x x a x=-+在()1,+¥上为增函数，则实数a 取值范围是（ ）A ．[)0,¥+B ．[)1,+¥C ．[)2,-+¥D ．[)1,-+¥3．（2024·云南楚雄·一模）若a b >，则函数()2()y a x a x b =--的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数()()ln 224(0)f x x a x a a =+--+>，若有且只有两个整数12,x x 使得1()0>f x ，且2()0f x >，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[ln 3,2)B ．(0,2ln 3]-C ．(0,2ln 3)-D ．[2ln 3,2)-5．（2024·全国·模拟预测）已知8sin 15a =，3ln 2b =，25c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b>>C ．b a c>>D ．c b a>>二、多选题6．（2023·全国·模拟预测）已知函数()33f x x x =-，则（ ）A ．函数()()()'g x f x f x =× 是偶函数B ．y x =-是曲线()y f x =的切线C ．存在正数(),a f x 在(),a a -不单调D ．对任意实数a ，()(f a f a £+7．（23-24高三上·江西宜春·期中）下列函数中，是奇函数且在区间()0,1上是减函数的是（ ）A ．()exf x =B ．()sin f x x =-C ．()1f x x=D ．3()2f x x x=-三、填空题8．（2024·云南大理·模拟预测）函数()12ln f x x x =--的最大值为.9．（2024·全国·模拟预测）已知函数()2e e e x x x g x x x =--，若方程()g x k =有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是 .四、解答题10．（2024·江西南昌·一模）已知函数()()2ln2ln f x x x x =+-.(1)求()f x 的单调递减区间；(2)求()f x 的最大值.11．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知函数()2ln f x ax x x =--．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.综合提升练一、单选题1．（2023·贵州毕节·一模）给出下列命题：①函数2()2x f x x =-恰有两个零点；②若函数()4a af x x x =-+在(1,)+¥上单调递增，则实数a 的取值范围是[1,)-+¥；③若函数()f x 满足()(1)4f x f x +-=，则12918101010f f f æöæöæö+++=ç÷ç÷ç÷èøèøèøL ；④若关于x 的方程20x m -=有解，则实数m 的取值范围是(0,1].其中正确的是（ ）A ．①③B ．②④C ．③④D ．②③2．（2023·江西·模拟预测）已知函数()32f x ax bx cx d =+++的大致图象如图所示，则（ ）A ．0,0,0a b c >><B ．0,0,0a b c ><<C ．0,0,0a b c ><>D ．a 0,b 0,c 0<>>3．（2024·云南昆明·模拟预测）已知函数()()()1e x f x x a =-+在区间()1,1-上单调递增，则a 的最小值为（ ）A ．1e -B ．2e -C ．eD ．2e 4．（2024·全国·模拟预测）已知函数2()4e e 2e x x xf x x =--，()f x ¢为()f x 的导函数，()()e xf xg x ¢=，则（ ）A ．()g x 的极大值为24e 2-，无极小值B ．()g x 的极小值为24e 2-，无极大值C ．()g x 的极大值为4ln22-，无极小值D ．()g x 的极小值为4ln22-，无极大值5．（2024·全国·模拟预测）已知13,,ln2e 14a b c ===-，则它们之间的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b<<D ．c b a<<6．（2023·贵州遵义·模拟预测）若函数()2e x axf x -=在区间()1,3上单调递增，则a 的可能取值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．57．（2024·全国·模拟预测）若22ln 2e a -=，12e b =，ln 24c =，则a ，b ，c 的大小顺序为（ ）A ．a c b<<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b a c<<8．（2023·吉林通化·模拟预测）已知函数()e ln xf x a x =-有两个大于1的零点，则a 的取值范围可以是（ ）A ．(]0,1B ．1e 1,e æùçúèûC ．1ee ,e æùçúèûD ．)e 12e e ,e +éë二、多选题9．（22-23高三上·云南昆明·阶段练习）已知函数21e 1xx y x -=×-，则（ ）A ．函数的极大值点为=0x B ．函数的极小值点为=0x C ．函数在(1,)+¥上单调递增D ．函数在31,2æöç÷èø上单调递减10．（2023·云南昆明·模拟预测）已知函数3()f x x mx n =--，其中,m n ÎR ，下列选项中，能使函数()y f x =有且仅有一个零点的是（ ）A ．1m =-，1n =B ．0m =，1n =C ．3m =，2n =D ．3m =，3n =-11．（2023·山东泰安·一模）已知函数()()()ln f x x x ax a =-ÎR 有两个极值点1x ，2x ()12x x <，则（ ）A ．102a <<B ．2112x a<<C ．21112x x a->-D ．()10<f x ，()212f x >-三、填空题12．（2024·四川成都·三模）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()()1ln f x x x =-，则当0x <时，()f x 的单调递增区间为 ．13．（2023·湖南·模拟预测）已知函数()sin esin a xf x a x =-，对于任意12,x x ÎR ，都有()()12e 2f x f x -£-，则实数a 的取值范围为 .14．（2023·广东广州·模拟预测）已知函数()()()222e 22e 0x xf x a x a x a =--->恰有两个零点，则=a .四、解答题15．（2024·全国·模拟预测）已知函数2()ln f x x ax bx =+-．(1)当1a =，3b =时，求()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 在2x =处取得极值ln 2，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程．16．（2024·全国·模拟预测）已知函数()2()e x f x a a x =+-．(1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：当0a >时，()4ln 2f x a ≥+．17．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()21ln 12f x x x a x =+++，a ÎR ．(1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：当1a <-时，()21a f x +>．18．（2024·青海·模拟预测）已知函数()()3211132f x x mx m x =+-+．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 有3个不同的零点，求m 的取值范围．19．（2023·全国·模拟预测）已知函数()e xf x ax b =+-，其中e 为自然对数的底数．(1)若()f x 在区间(]1,2上不是单调函数，求a 的取值范围．(2)当0x ≥时，()2112f x x b ≥+-恒成立，求a 的取值范围．拓展冲刺练一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）下列函数是奇函数且在()0,¥+上单调递减的是（ ）A ．()32xxf x -=+B ．()2222x xxxf x ---=+C ．()3f x x x=-D ．()(12log f x x =2．（2024·全国·模拟预测）已知函数()32()log 2(0a f x x ax x a a =-+->且1)a ¹在区间(1,)+¥上单调递减，则a 的取值范围是（ ）A ．20,3æùçúèûB ．2,13éö÷êëøC ．(1,2]D ．[2,)+¥3．（2024·甘肃兰州·三模）函数()21ln f x x ax x =-++-，若()f x 在0,12æöç÷èø是减函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,2]-¥B ．(,2)-¥C ．(,3]-¥D ．(3),-¥4．（2024·全国·模拟预测）已知 2.012.0111110312,ln ,1001011021001015a b c æöæö=++==+ç÷ç÷èøèø，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．<<b c aD ．<<c a b二、多选题5．（2024·云南昆明·模拟预测）已知函数()321f x x ax ax =+-+，则下列说法正确的是（ ）A ．若()f x 为R 上的单调函数，则3a <-B ．若2a =时，()f x 在()1,1-上有最小值，无最大值C ．若()1f x -为奇函数，则0a =D ．当0a =时，()f x 在1x =处的切线方程为310x y --=6．（2024·云南曲靖·一模）下列不等式正确的是（ ）A ．πe e π>B ．1ln 0.99-<C ．15sin 15<D ．11sin 3π<三、填空题7．（2024·全国·模拟预测）已知1a >，0b >，1c >，且e e ln a b a b --==a ，b ，c 的大小关系为 ．（用“<”连接）8．（2023·安徽·二模）若不等式2ln 23x ax a -£-对(0,)"Î+¥x 恒成立，则实数a 的取值范围为 ．四、解答题9．（2024·湖南衡阳·二模）已知函数()()321f x ax bx a =++ÎR ，当2x =时，()f x 取得极值3-．(1)求()f x 的解析式；(2)求()f x 在区间[]1,3-上的最值．10．（2024·陕西西安·三模）已知函数1()ln ()m f x mx x m x-=--ÎR ，函数1π()ln ,[0,cos 2g x x x q q =+Î在区间[1,)+¥上为增函数．(1)确定q 的值，求3m =时曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)设函数()()()h x f x g x =-在,()0x Î+¥上是单调函数，求实数m 的取值范围．11．（2024·辽宁丹东·一模）已知函数()ln 1f x x mx =++．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)当1m =时，数列{}n a 满足11a =，1()n n a f a +=①求证：12n n a -£；②求证：22223111(1)(1(1e na a a +++<L ．。
(完整版)高三复习导数专题
导 数一、导数的基本知识 1、导数的定义：)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000。
2、导数的公式： 0'=C （C 为常数) 1')(-=n n nx x （R n ∈) xx e e =')(a a a x x ln )('= xx 1)(ln '= exx a a log 1)(log '=x x cos )(sin '= x x sin )(cos '-=3、导数的运算法则： [()()]f x g x '+ =()()f x g x ''+ [()()]()()f x g x f x g x '''-=-[()]()af x af x ''= [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+ 2()()()()()[]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''-'= 4、掌握两个特殊函数 （1）对勾函数()bf x ax x=+( 0a > ,0b >) 其图像关于原点对称（2）三次函数32()f x ax bx cx d =+++(0)a ≠导 数导数的概念 导数的运算导数的应用导数的定义、几何意义、物理意义 函数的单调性 函数的极值函数的最值 常见函数的导数导数的运算法则 比较两个的代数式大小导数与不等式讨论零点的个数求切线的方程导数的基本题型和方法1、、导数的意义：（1）导数的几何意义：0()k f x '= （2）导数的物理意义:()v s t '=2、、导数的单调性：（1）求函数的单调区间;()0()b]f x f x '≥⇔在[a,上递增 ()0()b]f x f x '≤⇔在[a,上递减（2）判断或证明函数的单调性; ()f x c ≠ （3)已知函数的单调性，求参数的取值范围。
导数与函数的单调性-高考数学复习
（
√
）
（3）若函数 f （ x ）在定义域上都有f'（ x ）＞0，则 f （ x ）在定义
域上一定是增函数.
（
× ）
目录
高中总复习·数学
2. 如图是函数 y ＝ f （ x ）的导函数 y ＝f'（ x ）的图象，则下列判断正
确的是（
）
A. 在区间（－2，1）上 f （ x ）单调递增
数的单调性，得出函数的极值、最值等性质，利用数形结合的方法确
定不等式的解集.
目录
高中总复习·数学
考向3 已知函数单调性求参数
【例5】 （2023·新高考Ⅱ卷6题）已知函数 f （ x ）＝ a e x －ln x 在区
间（1，2）上单调递增，则实数 a 的最小值为（
A. e2
B. e
C. e－1
）
1
）在（－∞，ln
1
）上单调递减，在（ln
，＋∞）上单
调递增.
综上可知，当 a ≤0时， f （ x ）在（－∞，＋∞）上是减函数；当
a ＞0时， f （ x
1
）在（－∞，ln
1
）上单调递减，在（ln
，＋
∞）上单调递增.
目录
高中总复习·数学
解题技法
讨论函数 f （ x ）单调性的步骤
（1）确定函数 f （ x ）的定义域；
D. e－2
目录
高中总复习·数学
解析：
法一
1
1
x
x
由题意，得f'（ x ）＝ a e － ，∴f'（ x ）＝ a e －
1
专题3.2.1 重难点之导数与函数单调性(重难点突破)(解析版)
专题3.2.1 重难点之导数与函数单调性重难点突破一、考情分析1、结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；2、能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．二、经验分享三、考点梳理知识点1. 利用导数研究函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)≥0且在(a，b)的任意子区间上不恒为0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)≤0且在(a，b)的任意子区间上不恒为0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．知识点2. 判定函数单调性的一般步骤(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；(4)根据(3)的结果确定函数的单调区间．知识点3. 已知函数单调性求参数的值或参数的范围(1)函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，可转化为f′(x)≥0在(a，b)上恒成立，且在(a，b)的任意子区间上不恒为_0；也可转化为(a，b)⊆增区间．函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，可转化为f′(x)≤0在(a，b)上恒成立，且在(a，b)的任意子区间上不恒为_0；也可转化为(a，b)⊆减区间．(2)函数y＝f(x)的增区间是(a，b)，可转化为(a，b)＝增区间，也可转化为f′(x)＞0的解集是(a，b)；函数y＝f(x)的减区间是(a，b)，可转化为(a，b)＝减区间，也可转化为a，b是f′(x)＝0的两根．四、题型分析重难点题型突破1 求函数的单调区间 例1、求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x 3－12x 2－2x ＋3；(2)g(x)＝x 2－2ln x.(3)f (x )＝x 3－6x 2的单调递减区间．【解析】 (1)∵f′(x)＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)，定义域为R ， ∴当f ′(x )>0时，x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪(1，＋∞)；当f ′(x )＜0时，x ∈⎝⎛⎭⎫－23，1. ∴函数的单调增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－23和(1，＋∞)，单调减区间为⎝⎛⎭⎫－23，1. (2)g ′(x )＝2x －2x ＝2（x ＋1）（x －1）x，定义域为(0，＋∞)，令g ′(x )＝0，解得：x ＝1或x ＝－1(舍去)，列表：∴函数的单调增区间是(1，＋∞)，单调减区间是(0，1)． (3)f ′(x )＝3x 2－12x ＝3x (x －4)，由f ′(x )<0，得0<x <4， ∴函数f (x )的单调递减区间为(0,4)．【变式训练1】．（黑龙江省哈尔滨市第六中学2018-2019学年期中）已知函数23()4ln 2f x x x x =-+，则函数()f x 的单调递减区间是（ ）A ．1(0,)3，(1,)+∞ B ．(0,1)，(3,)+∞ C ．1(0,)3，(3,)+∞ D ．1(1)3， 【答案】D【解析】函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()()()()2311314ln 342x x f x x x x f x x x x--=-+⇒-'=+=， 当()0f x '<时，函数单调递减，即()()3110x x x--<而0x >，解不等式得：113x <<，故本题选D 。
导数与函数的单调性专题(基础)(学生版)
导数与函数的单调性专题（基础）一、高考地位在近几年的高考中，导数在研究函数的单调性中的应用是必考内容，它以不但避开了初等函数变形的难点，定义法证明的繁杂，而且使解法程序化，优化解题策略、简化运算，具有较强的工具性的作用. 导数在研究函数的单调性中的应用主要有两方面的应用：一是分析函数的单调性；二是已知函数在某区间上的单调性求参数的取值范围.在高考中的各种题型中均有出现，其试题难度考查相对较大.二、知识回顾1.利用导数判断函数单调性条件结论函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导f′(x) 0f(x)在(a，b)内单调递增f′(x) 0f(x)在(a，b)内单调递减f′(x)＝0f(x)在(a，b)内是函数2．在某区间内f′(x)＞0(f′(x)＜0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的条件．3．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有()且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．三、题型归纳题型一求无参函数的单调区间使用场景知函数()f x的解析式判断函数的单调性解题模板第一步计算函数()f x的定义域；第二步求出函数()f x的导函数'()f x；第三步若'()0f x>，则()f x为增函数；若'()0f x<，则()f x为减函数.例1：已知函数()ln xx af x e +=. （1）当1a =时，判断()f x 的单调性； 【解析】（1）当1a =时，()ln 1xx f x e +=， 第一步，计算函数()f x 的定义域：第二步，求出函数()f x 的导函数'()f x ： 第三步，第四步，结论.【变式演练1】（1）函数()ln f x x x =的单调递减区间是（ ）A ．10,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(]0,eD ．[),e +∞（2）设函数()()2xf x x e =−，则其单调增区间是（ ）A ．(),1−∞B ．(),2−∞C ．1,D ．()2+∞（3）函数()ln 1f x x x =+的单调递减区间是（ ）A ．1,e ⎛⎫−∞ ⎪⎝⎭B ．1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(),e +∞（4）以下使得函数()cos 22sin f x x x =+单调递增的区间是（ ）A ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭题型二 利用导数判断函数图像使用场景已知函数图像判断导函数图像或者已知导函数图像判断函数图像 解题模板 第一步 确定所给图像是函数图像还是导函数图像；第二步 导函数图像只看正负，函数图像只看增减； 第三步 根据导数与函数单调性极值之间的关系确定图像.例2：已知函数()y xf x '=的图象如图所示，则()y f x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【变式演练2】（1）已知函数f (x )的导函数()2b x axc f x '＝++的图象如图所示，则f (x )的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．（2）设函数()f x 的图象如图所示，则导函数()f x '的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．题型三 判定含参数的函数的单调性使用场景函数()f x 的解析式中含有参数解题模板 第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ；第二步 讨论参数的取值范围，何时使得导函数'()f x 按照给定的区间大于0或小于0； 第三步 根据导函数的符号变换判断其单调区间.例3 已知函数()()2ln 21f x x x ax a R =+−+∈.（1）讨论()f x 的单调性；【解析】（1）第一步，计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ：第二步，讨论参数的取值范围，何时使得导函数'()f x 按照给定的区间大于0或小于0：第三步，根据导函数的符号变换判断其单调区间：【变式演练3】（主导函数是一次型函数）已知函数()=1,f x nx ax a R −∈.（1）讨论函数f x （）的单调性；【变式演练4】（主导函数为类一次型）已知函数()xf x e ax −=+.（I ）讨论()f x 的单调性；【变式演练5】（主导函数为二次型）（1）（2009天津理20）已知函数()()()2223e x f x x ax a a x =+−+∈R ，其中a ∈R ．当23a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值．（2）已知函数()2ln af x x a x x=−−，0a ≥.讨论()f x 的单调性；（3）已知函数2()ln f x x x a x =−+，讨论f (x )在定义域上的单调性。
导数与函数的单调性高三数学一轮复习课件
上单调递减
答案：g'(x)=3x^2-6x+2，g'(x)在[1,2]上单调递减，所以g(x)在[1,2]上单调递减
题目：求函数 h(x)=x^33x^2+2x+1在区 间[-2,2]上的极值
答案： h'(x)=3x^26x+2，h'(x)^26x+2，g'(x)在 区间[1,2]上单调 递减，所以g(x) 在区间[1,2]上单 调递减
综合练习题三及答案
题目：求函数f(x)=x^33x^2+2x+1在区间[-1,1]上的单 调性
题目：求函数g(x)=x^33x^2+2x+1在区间[-1,1]上的极 值
添加标题
上单调递增
综合练习题二及答案
题目：求函数 f(x)=x^33x^2+2x+1在 区间[-1,1]上的 单调性
答案： f'(x)=3x^26x+2，f'(x)在 区间[-1,1]上单 调递增，所以f(x) 在区间[-1,1]上 单调递增
题目：求函数 g(x)=x^33x^2+2x+1在 区间[1,2]上的单 调性
等
导数的应用举例
判断函数的单调性：通过导 数判断函数的增减性
求函数的极值：通过导数求 解函数的最大值和最小值
求函数的切线：通过导数求 解函数的切线方程
求函数的凹凸性：通过导数 判断函数的凹凸性
03
函数的单调性
单调性的定义与判断方法
判断方法：利用导数判断，如果 导数大于0，则函数在该区间内 单调递增；如果导数小于0，则 函数在该区间内单调递减
导数与函数的单调性(高三一轮复习)
例1 (1)(多选)下列选项中，在(－∞，＋∞)上单调递增的函数有( BD )
A．f(x)＝x4
B．f(x)＝x－sin x
C．f(x)＝xex
D．f(x)＝ex－e－x
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究 (2)函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的大致图象是( A )
∞)，∴a≤2.又a＞0，∴0＜a≤2.
解法二：y′＝1－
a2 x2
，依题意知1－
a2 x2
≥0，即a2≤x2在x∈[2，＋∞)上恒成立，
∵x∈[2，＋∞)，∴x2≥4，∴a2≤4，又a＞0，∴0＜a≤2.
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
— 11 —
关键能力 互动探究
命题点1 不含参函数的单调性
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
— 6—
基|础|自|测
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)≥0，则f(x)在此区间内单调递增．( ×) (2)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内是减函 数．( √ ) (3)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内不具有单调 性．( √ )
— 16 —
思维点睛►
讨论函数f(x)单调性的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域． (2)求导数f′(x)，并求方程f′(x)＝0的根． (3)利用f′(x)＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论 f′(x)的正负，由符号确定f(x)在该区间上的单调性．
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
函数的单调性与导数
而我们可以从 单调性大概得 到函数的图象 的基本形状.
y
1
f (x)=x3-6x2+9x-3
3
0 1
3
x
利用导数讨论函数单调的步骤: (1)求导数 f ( x ).
(2)解不等式 f ( x )>0得f(x)的单调递增区间; 解不等式 f ( x )<0得f(x)的单调递减区间.
练:求函数y=2x3+3x2-12x+1的单调区间. 答案:递增区间是 ( ,2) 和 (1,) ; 递减区间是(-2,1).
注意到函数的定义域是(-1,+∞),故f(x) 的递增区间是(1,+∞); 由 f ( x ) 0 解得-1<x<1,故f(x)的递 减区间是(-1,1).Βιβλιοθήκη 说明:函数的单调区间必定是它的
定义域的子区间,故求函数的单调 区间一定首先要确定函数的定义域, 在求出使导数的值为正或负的x的 范围时,要与定义域求两者的交集.
类1:求函数 y
2 x 4 x 3 的值域.
解:函数的定义域是[-2,+∞),又易得:
2x 8 y . 2 2 x 4 x 3 (2 x 3 2 x 4 )
当x>-2时, y 0, 即已知函数在 (-2,+∞)上是增函数. 又f(-2)=-1,故所求函数的值域是[-1,+∞).
5.若函数f(x)在开区间(a,b)上具有单调性. 则当函数f(x)时在闭区间[a,b]上连续,那么 单调区间可以扩大到闭区间[a,b]上. 6.利用导数的符号来判断函数的单调区间, 是导数几何意义在研究曲线变化规律的一 个应用,它充分体现了数形结合的思想.
1.确定下列函数的增减区间:
高考数学一轮复习 导数与函数的单调性讲义
专题4.2 导数与函数的单调性1. 以研究函数的单调性、单调区间等问题为主，根据函数的单调性确定参数的值或范围，与不等式、函数与方程、函数的图象相结合凸显数学运算、逻辑推理等核心素养；2.与函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数范围等综合考查.应特别是注意将导数内容和传统内容中有关不等式、数列、函数图象及函数单调性有机结合，设计综合题，考查学生灵活应用数学知识分析问题、解决问题的能力1.函数的单调性与导数的关系(1)函数()y f x =在某个区间(),a b 内可导.①如果在区间(),a b 上()0f x '>恒成立，则()f x 在区间(),a b 内单调递增； ②如果在区间(),a b 上()0f x '<恒成立，则()f x 在区间(),a b 内单调递减； (2) 函数()y f x =在某个区间(),a b 内单调①在某个区间内，()0f x '>()()0f x '<是函数()f x 在此区间内单调递增（减）的充分条件．．．．，而不是必要条件.如函数()2f x x =在R 上单调递增，但()230f x x '=≥.②如果函数()f x 在(),a b 内单调递增(减)，则()()()00f x f x ''≥≤在区间(),a b 内恒成立，且在其任意的子区间内()0f x '=不能恒成立，即在个别点处导函数等于零，不影响函数的单调性.2. 判定函数单调性的一般步骤 (1)确定函数()f x 的定义域； (2)求导数()f x '；(3)在函数()f x 的定义域内解不等式()0f x '>或()0f x '<； (4)根据(3)的结果确定函数的单调区间．求函数的单调区间【方法储备】1.利用导数求函数的单调区间的一般步骤为： （1）确定函数()f x 的定义域； （2）求导函数()f x '；（3）在函数()f x 的定义域内解不等式()0f x '>和()0f x '<； （4）根据（3）的结果确定函数()f x 的单调区间．2.利用导数求函数单调性，在对函数求导以后要对导函数进行整理并因式分解．．．．．．．．．，方便后面求根和判断导函数的符号．【精研题型】1.已知函数()2ln f x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，则()f x 的单调递增区间为________． 2.函数()=1+sin f x x x -在()0,2π上的单调情况是 ．3.已知0a <，函数()322=2f x x ax a x +-+的单调递减区间是 ．【特别提醒】1. 先求定义域，一方面定义域对单调区间有限制作用（单调区间为定义域的子集）.另一方面通过定义域对x 取值的限制，对解不等式有时会起到简化．．的作用，方便单调区间的求解；2.在求单调区间时优先处理恒正恒负的因式，以简化不等式；3.一般可令()0f x '>，解集就是单调增区间（方便记忆），若()f x 不存在常值函数部分，那么减区间即为增区间在定义域上的补集；4.若()0f x '>的解集为定义域，那么说明()f x 是定义域上的增函数，若()0f x '>的解集为∅，那么()f x 是定义域上的减函数.给定区间求参数的取值范围【方法储备】已知函数单调性求参数的值或参数的范围： (1)已知函数()y f x =在区间(),a b 上单调 ①在区间(),a b 上单调递增：转化．．为()0f x '≥在(),a b 上恒成立，且在(),a b 的任意子区间上不恒为0； 也可转化．．．．为区间(),a b 是单调增区间的子区间； ②在区间(),a b 上单调递减：转化．．为()0f x '≤在(),a b 上恒成立，且在(),a b 的任意子区间上不恒为0； 也可转化．．．．区间(),a b 是单调减区间的子区间. (2)已知区间(),a b 是函数()y f x =的单调区间：①函数()y f x =的增区间是(),a b ，可转化．．．为(),a b ＝增区间， 也可转化．．．．为()0f x '>的解集是(),a b ； ②函数()y f x =的减区间是(),a b ，可转化．．．为(),a b ＝减区间，也可转化．．．．为()0f x '<的解集是(),a b ． (3)已知函数()y f x =在区间(),a b 上存在递增或递减区间：①利用正难则反思想，转化为函数()y f x =在区间(),a b 上不存在递增或递减区间，即()0f x '≤或()0f x '≥；②转化为()0f x '>或()0f x '<在区间(),a b 上有解. (4) 已知函数()y f x =在区间(),a b 上不单调：即函数()y f x =在区间(),a b 上有极值点，转化为()f x '在区间(),a b 上有零点.【精研题型】6.若函数()2ln 2f x x ax =+-在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是A. (],2-∞-B. 1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C. 12,8⎛⎫-- ⎪⎝⎭D. ()2,-+∞【思维升华】7. 若函数()219ln 2f x x x =-在区间[]1,a a -上单调递减，则实数a 的取值范围是 A. 13a <≤ B. 4a ≥ C. 3a ≤ D. 14a <≤ 8.设函数()ln 2ln xf x a x x=+. （1）若12a =-，求()f x 在x e =处的切线方程；（2）若()f x 在定义域上单调递增，求实数a 的取值范围.函数单调区间的讨论【方法储备】1.求函数的定义域；2.明确讨论点依据：（1）导函数有无零点的讨论（或零点有无意义）； （2）导函数的零点在不在定义域内的讨论； （3）二次项系数讨论；（4）导函数多个零点时大小的讨论.【精研题型】9.（导函数有一零点）已知函数()=ln f x ax x -，其中.（1）讨论函数()f x 的单调性；10.（导函数有两个零点且能因式分解）已知函数()()211ln 2f x x ax a x =-+-，1a >． （1）若'(2)0f = ，求a 的值；（2）讨论函数()f x 的单调性．12.（构造函数再求导）已知函数()=2ln 1f x x +． （1）若()2f x x c ≤+，求c 的取值范围；（2）设0a >，讨论函数()g x =【思维升华】（1）若，求()f x 的零点；【特别提醒】1.导函数有一个零点：①定义域为R 时，讨论零点有无意义；②定义域不是R 时，讨论零点在不在定义域内；2.导函数有两个零点：①定义域为R 时：讨论零点的大小关系；②定义域不是R 时，讨论两个零点在不在定义域内，若都在，讨论零点的大小关系；③不能因式分解时，利用判别式讨论根个数，或构造函数研究零点.构造函数研究单调性【方法储备】比较大小或解不等式的思路方法1.根据导数计算公式和已知的不等式．．．．．．．．．．．．．构造函数，利用不等关系得出函数的单调性，即可确定函数值的大小关系，关键是观察已知条件构造出恰当的函数. 构造函数常见形式： （1）加乘型①()()()xf x f x e f x '+⇒②()()()f x xf x xf x '+⇒ ③()()()nnf x xf x x f x '+⇒（2）减除型 ① ()()()xf x f x f x e '-⇒② ()()()f x xf x f x x '-⇒③()()()n f x xf x nf x x'-⇒ （3）带常数型① ()()()xxf x f x k e f x ke '+±⇒±②()()()xf x kf x f x k e'-±⇒2.含有两个变元的不等式，可以把两个变元看作两个不同的自变量，构造函数后利用单调性确定其不等关系.【精研题型】15.实数33,3,,e e πππ中的最大值和最小值分别为A. 33,e πB. 33e π，C. 3,e e πD. 3,e ππ16.已知定义在实数集R 上的函数()f x 满足()()11,f f x =的导数()()2f x x R '<∈ ，则不等式()21f x x <-的解集为A. (),1-∞B. ()1+∞，C. ()12，D. ()(),11,+-∞-∞17.已知()f x 的定义域是()0+∞，，()f x '是()f x 的导数，且满足()()f x f x '>，则不等式()()2222x x ef x x e f +⋅->⋅的解集是 ______ ．【思维升华】20.(多选)已知函数()f x 的定义域为()0+∞，，导函数为()f x '，()()ln xf x f x x x '-=，且11f e e⎛⎫= ⎪⎝⎭，则A.10f e ⎛⎫'= ⎪⎝⎭B. ()f x 在1x e =处取得极大值C.()011f <<D. ()f x 在()0+∞，单调递增 单调性的应用【方法储备】先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小，或者解不等式.【精研题型】21.函数()f x 在定义域R 内可导，若()()=2f x f x -，且当(),1x ∈-∞时，22.设函数()21cos 2f x x x =+，若()()0.2153log 2,log 2,a f b f c f e ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c的大小为A. b a c <<B. c a b <<C. b c a <<D. a b c << 23.函数()f x 是定义是在R 上的可导函数，其导函数()f x '满足()()20f x xf x '+<，则【思维升华】25.已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，对任意()0,x π∈，有()()sin cos f x x f x x '<，且()()+0f x f x -=．设26a f π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，4b π⎛⎫= ⎪⎝⎭，2c f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则A. a b c <<B. b c a <<C. a c b <<D. c b a <<26.定义在R 上的函数()f x ,满足()()24f x f x x +-=,且当0x >时, ()40f x x '-<,专题4.2导数与函数的单调性答案和解析考点一1.【答案】(]0,2 【解析】 【分析】本题考查利用函数的导数研究函数的单调性问题，属于基础题.首先求出函数的导函数，然后令导函数大于等于零，解集即为函数的单调增区间. 【解答】 解：()f x =-()1-x ⎛'=- ⎝()0x '≥，又可得(]0,2x ∈， 故答案为(]0,2.2.【答案】()f x 在()0,2π上单调递增 【解析】 【分析】本题考查利用导数研究函数的单调性问题，属于基础题.首先求出函数的导函数，导数在给定的区间上恒大于0，则函数在区间上单调递增. 【解答】解：由题意得()1cos f x x '=-当()0,2x π∈时，()1cos 0f x x '=->恒成立，()f x ∴在()0,2π上单调递增.3.【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用导数研究函数的单调性问题，属于基础题.首先求出函数的导函数()f x '，解不等式()0f x '<，即可得出函数的单调递减区间. 【解答】考点二4. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的单调性与导数的关系，属于中档题.因为()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，所以当0x >时，()0x f x ke x '=-恒成立，即x x k e 在(0,)+∞上恒成立.令()(0)x x g x x e=>，求得()g x 在(0,)+∞的最大值，即可得答案． 【解答】解：21()2x f x ke x =-， ().x f x ke x '∴=-函数()212x f x ke x =-在(0,)+∞上单调递增， ()0x f x ke x '∴=-在(0,)+∞上恒成立，即x x k e 在(0,)+∞上恒成立. 令()(0)x x g x x e =>，则()1(0)x x g x x e -'=>， ∴当01x <<时，()()0,g x g x '>单调递增，当1x >时，()0,()g x g x '<单调递减.max 1()(1)g x g e∴==， 1.k e∴ 故选.C5. 【答案】D【解析】【分析】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，属根据题意可知当2()30f x x a '=-或2()30f x x a '=-时，()f x 为单调函数，从而可得函数()f x 在(2,2)-上不单调时a 的取值范围，进而可得充分不必要条件．【解答】解：由已知，当(2,2)x ∈-时，2()3f x x a '=-，当2()30f x x a '=-或2()30f x x a '=-时，()f x 为单调函数，则0a 或12a ，故()f x 在(2,2)-上不单调时，a 的范围为(0,12)，故C 是充要条件，D 是充分不必要条件.故选.D6. 【答案】D【解析】【分析】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，属于中档题．求出函数的导数，问题转化为()0f x '>在1(,2)2x ∈有解，转化为存在1(,2)2x ∈，使得212a x >-，，而21()2g x x =-在1(,2)2单调递增，求出()g x 的范围，从而求出a 的范围即可．【解答】解：根据题意得，()12f x ax x'=+， ()f x 在区间1(,2)2内存在单调递增区间，()0f x '∴>在1(,2)2内有解， 即211202ax a x x +>⇔>-在1(,2)2内有解 故存在1(,2)2x ∈，使得212a x >-， 令21()2g x x =-，则()g x 在1(,2)2单调递增， 所以1()(2,)8g x ∈--，故选.D7. 【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了用导数研究函数的单调性，是基础题.利用导数求出函数的单调减区间，然后转化为集合之间的关系即可.【解答】 解：因为299()x f x x x x-'=-=， 所以在(0,3)x ∈上()0f x '<，()f x 单调递减；在(3,)x ∈+∞上()0f x '>，()f x 单调递增， 函数21()9ln 2f x x x =-在区间[1,]a a -上单调递减， 于是103a a ->⎧⎨⎩，解得1 3.a <故选.A8.【答案】解：(1)当12a =-时，ln ()ln x f x x x =-+，21ln ()x x f x x '-+-=， 所以1()f e e '=-，又因为1()1f e e =-+，所以切线方程为11.y x e e=-+ (2)因为()f x 在定义域上单调递增，所以当(0,)x ∈+∞时，221ln ln 1()02ax x x f x a x x+--'=⇒， 令2ln 12ln (),()x x g x g x x x--='=，2()0(0,),g x x e '>⇒∈2()0(,)g x x e '<⇒∈+∞，所以2max 21()()g x g e e ==， 所以21.2a e - 【解析】本题考查函数的导数，求函数中未知量的取值范围，首先分离参变量，再根据新构建的函数的性质求得未知量范围．(1)将a 的值代入()f x ，求出()f e 和()f e '，即可得切线方程；(2)函数单调递增则()0f x '，即21ln 0ax x +-，整理分离未知量a ，再根据x 取值范围求得实数a 的范围．考点三9. 【答案】解：(1)由题知()f x 的定义域为(0,)+∞，1()f x a x'=-， 由于a R ∈，0x >，所以当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；当0a <时，()f x 在(0,)+∞上单调递减【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．(1)函数()ln ()f x ax x a R =-∈的定义域为(0,).+∞求导后对a 分类讨论即可得出单调性．10. 【答案】解：（1）由题意得()1a f x x a x-'=-+ ()12202a f a -'∴=-+= 3a ∴=（2）由（1）得()()()21111=x x a a x ax a f x x a x x x---⎡⎤--+-⎣⎦'=-+=1a >，10a ∴->①当11a -=即2a =时，()()210x f x x -'=≥()f x ∴在区间()0+∞，上单调递增②当11a -<即02a <<时，令()0f x '>时，01x a <<-或1x >()f x ∴在区间()()01,1,a -+∞，上单调递增，在区间()11a -，上单调递减③当11a ->即2a >时，令()0f x '>时，01x <<或1x a >-()f x ∴在区间()()01,1,a -+∞，上单调递增，在区间()11a -，上单调递减综上可得：当2a =时，()f x 在区间()0+∞，上单调递增；当02a <<时，()f x 在区间()()01,1,a -+∞，上单调递增，在区间()11a -，上单调递减； 当2a >时，()f x 在区间()()01,1,a -+∞，上单调递增，在区间()11a -，上单调递减.【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性，体现了分类讨论思想的应用．（1）先求导，结合已知条件带入可求a ；（2）结合导数与单调性的关系，对a 进行分类讨论，即可求解函数的单调性.11. 【答案】解：2221(1)()1(0)a x x a f x x x x x '+-=-+=>， 若0a ，则()0f x '>，所以函数()f x 在(0,)+∞上递增；若0a >，方程20x x a +-=的判别式为140a +>，所以方程有两根分别为10x =<，20x =>， 所以当2(0,)x x ∈时，()0f x '<；当2(,)x x ∈+∞时，()0f x '>，所以函数()f x 在⎛ ⎝⎭上递减；在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上递增. 【解析】本题考查函数的单调性和导数的关系，以及恒成立问题，属于拔高题.(1)求导数可得2221()1(0)a x x a f x x x x x '+-=-+=>，对a 进行分类讨论可得函数单调性； 已知函数()2ln 1.f x x =+(1)若()2f x x c +，求c 的取值范围;(2)设0a >，讨论函数()()()f x f a g x x a-=-的单调性. 12.【答案】解：(1)()2f x x c +等价于2ln 21x x c --，设()2ln 2h x x x =-， 则22(1)()2x h x x x-'=-=， 所以()h x 在()0,1上递增，在(1,)+∞递减，max ()(1)2h x h ==-，所以12c --，即1c -，因此c 的取值范围是[1,).-+∞(2)因为2(ln ln )()(0,,0)x a g x x x a a x a-=>≠>-， 所以22()2ln 2ln ()()x a x a x g x x a --+'=- 222ln 2ln 2()a x a x x a --++=-， 令2()2ln 2ln 2(0),a x x a x x ϕ=--++> 则22222()()a a x x x x x ϕ-'=-=， 令()0x ϕ'>，得0x a <<；令()0x ϕ'<，.x a >所以，()x ϕ在(0,)a 上递增，在(,)a +∞上递减；因此，()()0x a ϕϕ=，即()0g x '，所以()g x 在(0,)a 和(,)a +∞都是单调递减的．【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题．(1)不等式等价于2ln 21x x c --，设()2ln 2h x x x =-，求导判断()h x 单调性及最值，即可求得c 的范围;(2)对()g x 求得，再令()g x '的分子为2()2ln 2ln 2(0),a x x a x xϕ=--++>对()x ϕ求导，判断单调性及最值，进而可得()g x 的单调性. 13.【答案】解：(1)若1a =，则2()(1)12xx f x x e =--+，()(1)x x f x xe x x e '=-=-， 当(,0)x ∈-∞时，10xe -<，()0f x '>；当(0,)x ∈+∞时，10x e ->，()0f x '>， 所以()f x 在(,)-∞+∞上单调递增．又因为(0)0f =，所以()f x 的零点为0.x =(2)()()x f x x e a '=-，①若0a ，由于0x e a ->，令()0f x '=，则0x =，当(,0)x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 在(,0)-∞上单调递减；当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增．②若01a <<，令()0f x '=，则0x =或ln x a =，且ln 0a <，当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '>，()f x 在(,ln )a -∞上单调递增；当(ln ,0)x a ∈时，()0f x '<，()f x 在(ln ,0)a 上单调递减；当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增．③若1a =，由(1)知，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增．④若1a >，令()0f x '=，则0x =或ln x a =，且ln 0a >，当(,0)x ∈-∞时，()0f x '>，()f x 在(,0)-∞上单调递增；当(0,ln )x a ∈时，()0f x '<，()f x 在(0,ln )a 上单调递减；当(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在(ln ,)a +∞上单调递增．综上，当0a 时，()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增；当01a <<时，()f x 在(,ln )a -∞，(0,)+∞上单调递增，在(ln ,0)a 上单调递减； 当1a =时，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；当1a >时，()f x 在(,0)-∞，(ln ,)a +∞上单调递增，在(0,ln )a 上单调递减．【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性、函数的零点和不等式恒成立问题，涉及的主要思想是分类讨论，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于拔高题．(1)当1a =时，()(1)x f x x e '=-，易证得()f x 在R 上单调递增，而(0)0f =，故()f x 有唯一零点0.x =(2)求导得()()x f x x e a '=-，然后分四类：0a ，01a <<，1a =和1a >，逐一讨论()f x '与0的关系，从而得函数()f x 的单调性．14.【答案】解：22221(1)((1))(1)(1)()(1)a a x x a a x a x f x a x x x x '-+--+-=-+-==，(0)x >①当1a =时，21()x f x x '-=，()f x 在()0,1单调递减，在(1,)+∞单调递增. ②当1a >时，101a x a=<-，210x =>，()f x 在()0,1单调递减，在(1,)+∞单调递增. ③当01a <<时，10a -<，101a x a =>-，210x =>， )11a i a<-，即102a <<时()f x 在(0,)1a a -单调递减，在(,1)1a a -单调递增，在(1,)+∞单调递减.)11a ii a =-，即12a =时，()f x 在(0,)+∞单调递减. )11a iii a >-，即112a <<时，()f x 在()0,1单调递减，在(1,)1a a -单调递增，在(,)1a a +∞-单调递减.综上：①当102a <<时，()f x 在(0,)1a a -单调递减，在(,1)1a a -单调递增，在(1,)+∞单调递减.②当12a =时，()f x 在(0,)+∞单调递减. ③当112a <<时，()f x 在()0,1单调递减，在(1,)1a a -单调递增，在(,)1a a +∞-单调递减. ④当1a 时，()f x 在()0,1单调递减，在(1,)+∞单调递增.(2)()ln a g x x ax x=+-，(1)0g =，22()ax x a g x x '-+-=， 令2()+h x ax x a =--，214a ∆=-，①当2140a -，即12a 时，()0()0()h x g x g x '⇒⇒在()0,1单调递减， (1)0g =，()g x 在()0,1上没有零点，舍；②当2140a ->，即102a <<时，(0)0h a =-<，对称轴102x a =>，(1)120h a =->，3401x x ∃<<<，使得()()340h x h x ==，∴当3(0,)x x ∈时，()0()0()h x g x g x <⇒<⇒在()30,x 单调递减，当3(,1)x x ∈时，()0()0()h x g x g x >⇒>⇒在()30,x 单调递增，0000ln lim ()lim(ln )lim()lim()x x x x a x x a a g x x ax x xx →→→→+=+-===+∞， ∴存在唯一的03(0,)x x ∈，使得()00.g x = 综上，1(0,).2a ∈【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，由函数的零点求参数. (1)先求导，并求出()0f x '=的根，然后分1a =，1a >，01a <<进行讨论求解()f x 的单调性；(2)求出()g x 并求导22()ax x a g x x-+-'=，令2()+h x ax x a =--，对214a ∆=-的值进行讨论求解a 的取值范围.考点四15.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查指数函数与幂函数的单调性，利用导数判断函数的单调性，运用指数函数与幂函数的性质求解即可.【解答】解：因为3e π<<，由x y e =在R 上单调递增，则 3e e π<，由3y x =在(0,)+∞上单调递增，则 33e π<，由y x π=在(0,)+∞上单调递增， 3e ππ<，令()()ln x f x x e x=>， 则()21ln 0x f x x -'=<， 所以()f x 在(),e +∞上单调递减， 所以3ln 3ln ln 33ln 33ππππππ>⇒>⇒>， 所以实数3e ，3π，3π，e π中的最大值和最小值分别为3π，3.e故选.A16 【答案】B【解析】【分析】本题利用导数研究函数的单调性，可构造函数，考查所构造的函数的单调性是关键，也是难点所在，属于中档题．构造函数()()21g x f x x =-+，()()20g x f x ''=-<，从而可得()g x g （x ）的单调性，结合()1=1f ，可求得()1=0g ，然后求出不等式的解集即可．【解答】解：令()()21g x f x x =-+，∵()()2f x x R '<∈，∴()()20g x f x ''=-<，∴()()21g x f x x =-+为减函数，又()1=1f ，∴()()1=f 1210g -+=，∴不等式()21f x x <-的解集⇔()()()2101g x f x x g =-+<=的解集，即()()1g x g <，又()()21g x f x x =-+为减函数，∴1x >，即()1+x ∈∞，．故选B ．17. 【答案】(1,0)(1,2)-【解析】【分析】 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，构造新函数()g x 是解题的关键，本题是一道中档题． 构造新函数()()x f x g x e=，通过求导得到()g x 的单调性，所解的不等式转化为求2()(2)g x x g ->，结合函数的单调性得到不等式，解出即可．【解答】解：设()()x f x g x e =，(0)x >，则()()()0x f x f x g x e'-'=<， ()g x ∴在(0,)+∞单调递减，由222()(2)x x e f x x e f +⋅->⋅得：222()(2)x x e e f x x e f ⋅⋅->⋅，得：222()(2)x xf x x f e e -->， 2()(2)g x x g ∴->，202x x ∴<-<，解得：10x -<<或12x <<，故答案为(1,0)(1,2).-18. 【答案】B【解析】【分析】本题考查不等式恒成立问题，方法是利用导数求函数的最值，构造函数()y xf x =是解题的关键.【解答】解：依题意，得12,(0,)x x ∀∈+∞，且12x x <，1211222121()()()()0f x f x x f x x f x x x x x --=<， 所以1122()()x f x x f x <，则()y xf x =在(0,)+∞上单调递增， 令2()()()xx ae g x xf x x x ae x x ==-=-，则()20x g x ae x '=-恒成立，即2x x a e， 令2()x x t x e =，则2(1)()xx t x e -'=， 当()0,1x ∈时，()0t x '>；当(1,)x ∈+∞时，()0t x '<，故max 2()(1)t x t e ==，所以2a e， 故选.B19. 【答案】C【解析】【分析】 本题考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题.构造函数()ln 1x f x x x=+，求出导数可知()f x 的单调性，由题可知()f x 在(0,)a 单调递增，即可求出a 的范围，得出答案. 【解答】解：令()ln 1x f x x x=+，0x >， 则()2ln x f x x -'=，令()0f x '=，解得1x =，则()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，对于任意的120x x a <<<，都有121221ln ln 11x x x x x x -<-，即121122ln ln 11x x x x x x +<+， 即()f x 在(0,)a 单调递增，所以01a <，即a 的最大值为1. 故选.C20. 【答案】ACD【解析】【分析】本题主要考查函数的概念和性质，以及利用导数判断函数的单调性和极值点，属于中档题. 根据题意可设21()ln 2f x x x bx =+，根据11()f e e =求b ，再求()f x '判断单调性求极值即可.【解答】 解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，导函数为()f x '，()()ln xf x f x x x '-=， 即满足2()()ln xf x f x x x x'-=， 2()()()()f x xf x f x x x ''-=， ()ln ()f x x x x'∴=，∴可设2()1ln (2f x x b b x =+为常数)， 21()ln 2f x x x bx ∴=+， 211111()ln 2b f e e e e e=⋅+=，解得12b =， 211()ln 22f x x x x ∴=+， 1(1)2f ∴=，满足0(1)1f <<， C ∴正确；22111()ln ln =(ln 1)0222f x x x x '=+++，且仅有1()0f e'=， B ∴错误，A 、D 正确，故选.ACD考点五21. 【答案】B【解析】【分析】本题考查学生利用函数单调性来解决数学问题的能力，属于中档题．根据()(2)f x f x =-求出()x 的图象关于1x =对称，又当(,1)x ∈-∞时，(1)()0x f x -⋅'<，10x -<，得到()0f x '>，此时()f x 为增函数，根据增函数性质得到即可．【解答】解：由()(2)f x f x =-可知，()f x 的图象关于1x =对称，根据题意又知(,1)x ∈-∞时，()0f x '>，此时()f x 为增函数，(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 为减函数， 所以1(3)(1)(0)()2f f f f =-<<，即c a b <<， 故选.B22 【答案】A【解析】23. 【答案】D【解析】【分析】本题考查导数的应用，不等式求解，关键是构造函数，利用导数判断函数的单调性及极值，属于中档题.设()2()g x x f x =，求导判断出()g x 的单调性及极值，利用单调性及极值，结合分类讨论即可求出不等式的解集.【解答】解：2()()0f x xf x +'<，当0x =时，()0f x <；设()2()g x x f x =，则()()()2()22()()g x xf x x f x x f x xf x '=+'=+'， 当0x <时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，当0x >时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，则0x =时，()g x 有极大值为(0)0g =，所以()0g x ，又当0x =时，()0f x <；所以()0f x <的解集为.R故选.D24. 【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，以及分离参数与函数值域的求法知识点，属中等题．根据题意原不等式即sin 1m m θ>-恒成立，根据分离变量法求解.【解答】解：由3(),f x x x R =∈可知()f x 的定义域为R ，且为奇函数，2()30f x x '=，则()f x 在R 上单调递增，(sin )(1)0f m f m θ∴+->即(sin )(1)(1)f m f m f m θ>--=-，根据函数单调性有：sin 1m m θ>-①，02πθ<，∴可设sin [0,1),t θ=∈则011t <-，∴①式即1(1)11m t m t-<⇒<-恒成立， min 11m t ⎛⎫∴< ⎪-⎝⎭，当0t =时，min111t ⎛⎫= ⎪-⎝⎭， 1m ∴<，则实数m 的取值范围是(,1).-∞故选.D 25. 【答案】D【解析】解：设()()sin f x g x x =，2()sin ()cos ()sin f x x f x x g x x'-∴'=， (0,)x π∈时，()sin ()cos f x x f x x '<，(0,)x π∴∈时，()0g x '<，()g x ∴在(0,)π上是减函数，又x R ∈时，()()0f x f x +-=，()f x ∴是R 上的奇函数，()g x ∴是R 上的偶函数，()(),(),()6642a g gb gc g ππππ∴=-===， ()g x 在(0,)π上是减函数， .c b a ∴<<故选：.D可设()()sin f x g x x=，根据条件即可得出(0,)x π∈时，()0g x '<，即得出()g x 在(0,)π上是减函数，并根据条件可判断出()g x 是偶函数，这样即可得出(),(),()642a gb gc g πππ===，这样即可得出a ，b ，c 的大小关系．本题考查了通过构造函数解决问题的方法，基本初等函数和商的导数的计算公式，奇函数和偶函数的定义及判断，根据导数判断函数单调性的方法，减函数的定义，考查了计算能力，属于中档题．26.【答案】C 【解析】()()24f x f x x +-=，()()()()22-220f x x f x x ⎡⎤∴+---=⎣⎦. ()g x ∴为R 上的奇函数，()()=4g x f x x ''-,当0x >时, ()()400f x x g x ''-<∴<,()g x ∴在()0+∞，上单调递减.又()g x 为R 上的奇函数, ()g x ∴在R 上单调递减.()()()()()()()()2211212142g m g m f m m f m m f m f m m ⎡⎤⎡⎤---=-------=⎣⎦⎣⎦---+-f(m-1)- ()()()2410f m m g m g m -<-∴---<即()1g m -<()g x ∴是。
高二导数单调性知识点
高二导数单调性知识点导数单调性是高二数学中重要的知识点之一。
它描述了函数在其定义域内的变化趋势。
在学习导数单调性时，我们需要了解导数的定义、单调递增和单调递减的概念，以及如何利用导数判断函数的单调性。
下面将详细介绍这些知识点。
一、导数的定义导数是函数在某一点处的变化率。
设函数y=f(x)在点x=a处可导，则函数在该点的导数表示为f'(a)，即f'(a) = lim(h→0) [f(a+h)-f(a)]／h。
其中，h为自变量x的增量。
二、单调递增和单调递减1. 单调递增若对于定义在区间I上的函数f(x)，当 x1 < x2时，有f(x1) ≤ f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是单调递增的。
换句话说，就是函数呈现出递增的趋势。
2. 单调递减若对于定义在区间I上的函数f(x)，当 x1 < x2时，有f(x1) ≥ f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是单调递减的。
也就是说，函数呈现出递减的趋势。
三、导数与函数单调性的关系1. 导数为正时的单调性若函数y=f(x)在区间上可导，并且对于该区间上的每个点，其导数大于零，则函数在该区间上是单调递增的。
2. 导数为负时的单调性若函数y=f(x)在区间上可导，并且对于该区间上的每个点，其导数小于零，则函数在该区间上是单调递减的。
3. 导数为零时的单调性若函数y=f(x)在区间上可导，并且对于该区间上的每个点，其导数等于零，则函数在该区间上可能是单调递增或单调递减的。
4. 导数存在极值的单调性若函数y=f(x)在区间上的某一点x0处导数存在，且在该点的导数由正变负，或由负变正，则函数在该点附近的某个区间上是单调递增或单调递减的。
综上所述，我们可以通过导数的正负来推断函数的单调性。
当导数大于零时，函数单调递增；当导数小于零时，函数单调递减；当导数等于零时，函数可能是单调递增或单调递减，需要再进一步分析。
导数单调性的应用不仅仅停留在纸面上的计算，它在实际问题中也有重要的应用。
导数专题一：单调性问题
导数专题一:导数法巧解单调性问题考纲要求:1、了解函数单调性与导数得关系;能利用导数研究函数得单调性,会求函数得单调区间(对多项式函数不超过三次).基础知识回顾:用导数研究函数得单调性 (1)用导数证明函数得单调性证明函数单调递增(减),只需证明在函数得定义域内'()f x ≥(≤)0 (2)用导数求函数得单调区间求函数得定义域D →求导'()f x →解不等式'()f x ＞()<0得解集P →求DP ,得函数得单调递增(减)区间。
一般地,函数()f x 在某个区间可导 ,'()f x ＞0 ⇒ ()f x 在这个区间就是增函数 一般地,函数()f x 在某个区间可导 ,'()f x ＜0 ⇒ ()f x 在这个区间就是减函数 (3)单调性得应用(已知函数单调性)一般地,函数()f x 在某个区间可导,()f x 在这个区间就是增(减)函数⇒'()f x ≥()≤0【注】①求函数得单调区间,必须优先考虑函数得定义域,然后解不等式'()f x ＞(＜)0(不要带等号),最后求二者得交集,把它写成区间。
②已知函数得增(减)区间,应得到'()f x ≥(≤)0,必须要带上等号。
③求函数得单调增(减)区间,要解不等式'()f x ＞()<0,此处可不带等号。
④单调区间一定要写成区间,不能写成集合或不等式;单调区间一般都写成开区间,不要写成闭区间;如果一种区间有多个,中间不能用“”连接。
应用举例:一、求函数得单调区间例1【2013广东文节选】函数x kx x x f +-=23)( ()R k ∈.(1) 当1=k 时,求函数)(x f 得单调区间; 【解析】()'2321fx x kx =-+(1)当1k =时()'2321,41280fx x x =-+∆=-=-<()'0f x ∴>,()f x 在R 上单调递增、例3(2013年全国卷课标Ⅰ文20)已知函数2()()4xf x e ax b x x =+--,曲线()y f x =在点(0,(0))f 处切线方程为44y x =+、讨论()f x 得单调性、【解析】2()()24f x e ax a b x '=++--,1(0)4,(0)4,4,8f f b a b ===+=由已知得故从而4a b ==,2)4(1)4,x f x e x x x =+--（1()4(2)244(2)().2x x f x e x x x e '=+--=+-令()0=-1n2x=-2.f x x '=得，或 从而当0;(2(,2)(12,,12))())x n f x x n f x '>∈--'∈-∞--+∞当时，（时，<0、 故()--2-12+-2-12f x n n ∞∞在（，），（，）单调递增，在（，）单调递减、 【应用点评】变式训练:【变式1】已知a ∈R,函数3()42f x x ax a =-+,求f(x)得单调区间方法、规律归纳:利用导数求函数f(x)得单调区间得一般步骤: (1)确定函数f(x)得定义域; (2)求导数f′(x);(3)在函数f(x)得定义域内解不等式f′(x)>0与f′(x)<0; (4)根据(3)得结果确定函数f(x)得单调区间. 二、已知单调区间求字母参数得取值范围 例【2013大纲理】若函数21()f x x ax x =++在1(,)2+∞就是增函数,则a 得取值范围就是( ) A.[1,0]- B.[1,)-+∞ C.[0,3] D.[3,)+∞例。
高三总复习数学课件 导数与函数的单调性
[一“点”就过] 确定函数单调区间的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f′(x)； (3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
层级二/ 重难点——逐一精研(补欠缺) 重难点(一) 判断含参函数的单调性
f(x)在(a，b)内是 单调递增 函数 f(x)在(a，b)内是 单调递减 函数
f(x)在(a，b)内是常数函数
2．充分、必要条件与导数及函数单调性 (1)f′(x)>0(或f′(x)<0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要 条件． (2)f′(x)≥0(或f′(x)≤0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的必要不充 分条件． (3)若f′(x)在区间(a，b)的任意子区间内都不恒等于0，则f′(x)≥0(≤0) 是f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的充要条件．
答案：D
5．(苏教版选择性必修第一册 P215·T12 改编)若函数 f(x)＝13x3－32x2＋ax＋4 的单 调递减区间为[－1,4]，则实数 a 的值为________．
解析：f′(x)＝x2－3x＋a，且f(x)的单调递减区间为[－1,4]，即f′(x)＝x2－3x ＋a≤0的解集为[－1,4]，∴－1,4是方程f′(x)＝0的两根，则a＝(－1)×4＝－ 4. 答案：－4
(1)讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要 坚持“定义域优先”原则．
(2)有相同单调性的单调区间不止一个时，用“，”隔开或用“和”连接， 不能用“∪”连接．
(3)函数f(x)在区间[a，b]内单调递增(或递减)，可得f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在 该区间恒成立，而不是f′(x)>0(或f′(x)<0)恒成立，“＝”不能少．必要时还需 对“＝”进行检验．
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导数概念与单调性专题复习
经典例题剖析
考点一：求导公式。
例1. ()f x '是31()213
f x x x =++的导函数，则(1)f '-的值是 。
考点二：导数的几何意义。
例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是122
y x =+，则(1)(1)f f '+= 。
例3.曲线32
242y x x x =--+在点(1
3)-，处的切线方程是 。
考点三：导数的几何意义的应用。
例 4.已知曲线C ：x x x y 2323+-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。
考点四：函数的单调性。
例5.已知()132
3+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围。
导数强化训练
（一） 选择题
1. 已知曲线2
4x y =的一条切线的斜率为1
2，则切点的横坐标为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2. 曲线1323+-=x x y 在点（1，－1）处的切线方程为 （ ）
A ．43-=x y
B ．23+-=x y
C ．34+-=x y
D ．54-=x y
3. 函数)1()1(2-+=x x y 在1=x 处的导数等于 （ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4. 已知函数)(,31)(x f x x f 则处的导数为在=的解析式可能为 （ ）
A ．)1(3)1()(2-+-=x x x f
B ．)1(2)(-=x x f
C ．2)1(2)(-=x x f
D ．1)(-=x x f
5. 函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为( )
（Ａ）(2,)+∞（Ｂ）(,2)-∞（Ｃ）(,0)-∞（Ｄ）(0,2)
6. 若函数()c bx x x f ++=2的图象的顶点在第四象限，则函数()x f '的图象是（ ）
7. 三次函数()x ax
x f +=3在()
+∞∞-∈,x 内是增函数，则 （
）
A ． 0>a
B ．0<a
C ．1=a
D ．31
=a
8．已知物体做自由落体运动的方程为21
(),2s s t gt ==若t ∆无限趋近于0时，
(1)(1)
s t s t +∆-∆无限趋近于9.8/m s ，那么正确的说法是（ ）
A ．9.8/m s 是在0～1s 这一段时间内的平均速度
A x D C x B
B ．9.8/m s 是在1～（1+t ∆）s 这段时间内的速度
C ．9.8/m s 是物体从1s 到（1+t ∆）s 这段时间内的平均速度
D ．9.8/m s 是物体在1t s =这一时刻的瞬时速度.
9．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，
那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）
A ．7米/秒
B ．6米/秒
C ．5米/秒
D ．8米
/秒
10．()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足''()()f x g x =,则
()f x 与()g x 满足（ ）
A ．()f x =()g x
B ．()f x -()g x 为常数函数
C ．()f x =()0g x =
D ．()f x +()g x 为常数函数
11. 若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于（ ）
A ．sin α
B ．cos α
C ．sin cos αα+
D ．2sin α
12 已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的
取值范围是（ ）
A ．),3[]3,(+∞--∞
B ．]3,3[-
C ．),3()3,(+∞--∞
D ．)3,3(-
13. 对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（ ）
A ． (0)(2)2(1)f f f +< B. (0)(2)2(1)f f f +≤
C. (0)(2)2(1)f f f +≥
D. (0)(2)2(1)f f f +>
（二） 填空题
1. 曲线3x y =在点()1,1处的切线与x 轴、直线2=x 所围成的三角形的面积为__________。
2. 已知曲线31433
y x =
+，则过点(2,4)P “改为在点(2,4)P ”的切线方程是______________ 3．若2012)1(/=f ，则x f x f x ∆-∆+→∆)1()1(lim
0= ，x
f x f x ∆--∆+→∆)1()1(lim 0= ，x x f f x ∆∆+-→∆4)1()1(lim 0= ， x
f x f x ∆-∆+→∆)1()21(lim 0= 。
4. 若函数()f x 满足，321()(1),3
f x x f x x '=-⋅-则(1)f '的值 5．若3'0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为________________； 6．曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________；
7．函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是__________________________。
8. 函数3()45
f x x x =++的图像在1x =处的切线在x 轴上的截距为________________。
9. 设函数())(0)f x ϕϕπ=+<<，若()()f x f x '+为奇函数，则ϕ=__________
（三） 解答题
1. 已知函数.93)(23a x x x x f +++-=
（1）求)(x f 的单调减区间；
2.. 设0≠t ，点P （t ，0）是函数c bx x g ax x x f +=+=23)()(与的图象的一个公共点，两函数的图象在点P 处有相同的切线。
（1）用t 表示c b a ,,；
（2）若函数)()(x g x f y -=在（－1，3）上单调递减，求t 的取值范围。
3.求垂直于直线2610x y -+=并且与曲线3235y x x =+-相切的直线方程。
4.求函数()()()y x a x b x c =---的导数。
5.平面向量13(3,1),(,)2a b =-=，若存在不同时为0的实数k 和t ，使2(3),,x a t b y ka t b =+-=-+且x y ⊥，试确定函数()k f t =的单调区间。