上海中考数学第18题专题练习
上海中考数学第18题分析(旋转类)
上海中考数学第18题分析（二）——旋转类前言：初三数学第18题对平移、翻折、旋转三大图形变换考查非常频繁，而旋转以其“变幻莫测”成为学生学习的较难知识点只要，作为一线的数学教师常常困惑于如何找到探究此类问题的一般解法，进而引导学生从旋转的“变化”中理出一条“不变”的分析规律，成为学生解题的重要经验；今天我们就来探究有关旋转类的解题策略及总结归纳。
一、对称思想和旋转思想数学思想是解数学题的精髓和重要的指导方法，在平移和旋转中的应用也相当的广泛，一般可以归结为两种思想——对称的思想和旋转的思想，具体的分析如下：1. 对称的思想：在平移、旋转、对称这些概念中，对称这一概念非常重要.它包括轴对称、旋转对称、中心对称.对称是一种种要的思想方法，在解题的应用非常广泛.2. 旋转的思想：旋转也是图形的一种基本变换，通过图形旋转变换，从而将一些简单的平面图形按要求旋转到适当的位置，使问题获得简单的解决，它是一种要的解题方法。
二、旋转的概念1. 旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度成为与原来相等的图形，这样的图形运动叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心，图形转动的角叫做旋转角．2. 旋转特征：图形旋转时，图形中的每一点旋转的角都相等，都等于图形的旋转角。
三、图形旋转常见题型级解题策略（1）图形旋转之“旋转边长”题型解题方法与策略：1.寻找点，即旋转中心；2.寻找旋转的方向，“逆时针”和“顺时针”，如果没有说明则分类讨论。
；3.寻找旋转相等的线段或角度；4.利用旋转并结合题目中的特殊条件解题；5.部分题目注意分类讨论；6.准确画出旋转后的图形是解题的关键。
（2）图形旋转之“旋转角度”题型解题方法与策略：1.寻找点，即旋转中心；2.寻找旋转的方向，“逆时针”和“顺时针”，如果没有说明则分类讨论。
；3.寻找旋转旋转角、相等的线段、相等的角度；4.利用旋转并结合题目中的特殊条件解题；5.部分题目注意分类讨论；6.准确画出旋转后的图形是解题的关键。
上海中考数学第18题专项训练
上海中考数学第18题专项训练（含答案）1.在Rt ABC △中，903BAC AB M ∠==°，，为边BC 上的点，联结AM （如图3所示）．如果将ABM △沿直线AM 翻折后，点B 恰好落在边AC 的中点处，那么点M 到AC 的距离是 2 ．2.已知正方形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE = 2，EC = 1（如图所示）把线段AE 绕点A 旋转，使点E 落在直线BC 上的点F 处，则F 、C 两 点的距离为_ __1,5_____.△ABC 中，已知∠C ＝90°，∠B ＝50°，点D 在边BC 上，BD ＝2CD ．把△ABC 绕着点D 逆时针旋转m （0＜m ＜180）度后，如果点B 恰好落在初始Rt △ABC 的边上，那么m ＝___80,120______．4.如图所示，Rt ABC V 中，90C ∠=︒，1BC =，30A ∠=︒， 点D 为边AC 上的一动点，将ABD V 沿直线BD 翻折，点A 落 在点E 处，如果DE AD ⊥时，那么DE图C B D5．如图4，⊙A 、⊙B 的圆心A 、B 都在直线L 上，⊙A 的半径为1cm ，⊙B 的半径为2cm ，圆心距AB=6cm. 现⊙A 沿直线L 以每秒1cm 的速度 向右移动，设运动时间为t秒，写出两圆相交时，t 的取值范围： 3<t<5或7<t<9 ．6．在Rt △ABC 中，∠C=90º ，BC =4 ，AC=3，将△ABC 绕着点B 旋转后点A 落在直线BC 上的点A '，点C 落在点C '处，那么A A '7. 已知平行四边形ABCD 中，点E 是BC 的中点，在直线BA 上截取2BF AF =，EF 交BD 于点G ，则GBGD= 2/5或2、3 ．8.如图，在ABC ∆中，∠ACB=︒90,AC=4,BC=3,将ABC ∆绕点C 顺时针旋转至C B A 11∆的位置，其中B 1C ⊥AB,B 1C 、A 1B 1交AB 于M 、N 两点，则线段MN 的长为 4、5 .B9．如图2，在△ABC 中，AD 是BC 上的中线，BC=4，∠ADC=30°，把△ADC 沿AD 所在直线翻折后点C 落在点C ′ 的位置，那么点D 到直线BC ′ 的距离是 1 ．10．如图，半径为1且相外切的两个等圆都内切于半径为3的圆，那么图中阴影部分的周长为 7π/3 ．11.如图，在△ABC 中，AB = AC ，BD 、CE 分别是边AC 、AB 上的中线，且BD ⊥CE ，那么tan ∠ABC =_____3______．12．已知在△AOB 中，∠B =90°，AB=OB ，点O 的坐标为（0，0），点A 的坐标为（0，4），点B 在第一象限内，将这个三角形绕原点O 逆时针旋转75°后，那么旋转后点B 的坐标为 ()6,2- ．13．在△ABC 中，AB=AC ，∠A=80°，将△ABC 绕着点B 旋转，使点A 落在直线BC 上，点C 落在点'C ，则∠'BCC = 65,25 .C /BDCA图2ABCDEABC14．如图，已知在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，将ABC∆绕着点B顺时针旋转，使点C落在边AB上的点C′处，点A落在点A′处，则AA′的长为15．如图，将矩形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好重合落在AD边上点P处，已知︒MPN，PM=3，PN=4，，那么矩形纸片ABCD的面积为 144/5 ．∠90=16.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，将这个三角形绕点C旋转60°后，AB的中点D落在点D′处，那么DD′的长为 1 ．17.在△ABC中，AB＝AC＝5，若将△ABC沿直线BD翻折，使点C落在直线AC上的点C′处，AC′＝3，则BC18. 在Rt △ABC 中，∠A<∠B,CM 是斜边AB 上的中线，将△ACM 沿直线CM 翻折，点A 落在D 处，若CD 恰好与AB 垂直，则∠A = 30 度。
2019-2021年上海各区数学中考一模压轴题分类汇编18题-定义新图形及其他题型含详解
专题定义新图形及其他题型【知识梳理】根据题目中给的知识点，结合所学函数及图形知识解答【历年真题】1．（2021秋•浦东新区期末）如图，a ∥b ∥c ，直线a 与直线b c与直线b 之间的距离为，等边△ABC 的三个顶点分别在直线a 、直线b 、直线c 上，则等边三角形的边长是．2．（2021秋•宝山区期末）如果一条抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“特征三角形”．已知y ＝x 2+bx （b ＞0）的“特征三角形”是等腰直角三角形，那么b 的值为．3．（2021秋•青浦区期末）如图，一次函数y ＝ax +b （a ＜0，b ＞0）的图象与x 轴，y 轴分别相交于点A ，点B ，将它绕点O 逆时针旋转90°后，与x 轴相交于点C ，我们将图象过点A ，B ，C 的二次函数叫做与这个一次函数关联的二次函数．如果一次函数y ＝﹣kx +k （k ＞0）的关联二次函数是y ＝mx 2+2mx +c （m ≠0），那么这个一次函数的解析式为．4.（2021秋•青浦区期末）若抛物线y 1=ax 2+b 1x+c 1的顶点为A ，抛物线y 2=ax 2+b 1x+c 1的顶点为B ，且满足顶点A 在抛物线y 2上，顶点B 在抛物线y 1上，则称抛物线y 1与抛物线y 2互为“关联抛物线”已知顶点为M 的抛物线y=(x-2)2+3与顶点为N 的抛物线互为“关联抛物线”，直线MN 与x 轴正半轴交于点D ，如果3tan MDO=4∠，那么顶点为N 的抛物线的表达式为5．（2020秋•长宁区期末）如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这个凸四边形的相似对角线，在凸四边形ABCD中，AB＝AC AD＝CD＝32，点E、点F分别是边AD，边BC上的中点．如果AC是凸四边形ABCD的相似对角线，那么EF的长等于．6．（2020秋•青浦区期末）如果四边形边上的点，它与对边两个端点的连线将这个四边形分成的三个三角形都相似，我们就把这个点叫做该四边形的“强相似点”．如图①，在四边形ABCD中，点Q在边AD上，如果△QAB、△QBC和△QDC都相似，那么点Q就是四边形ABCD的“强相似点”；如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝2，BC＝8，∠B＝60°，如果点Q是边AD上的“强相似点”，那么AQ＝．7．（2020秋•浦东新区期末）如图，△ABC中，AB＝10，BC＝12，AC＝8，点D是边BC上一点，且BD：CD＝2：1，联结AD，过AD中点M的直线将△ABC分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC、AC相交于点E、F，那么线段BE的长为．8．（2020秋•徐汇区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝12，点D在边AC上，点E在边BC上，sin∠ADE＝45，ED＝5，如果△ECD的面积是6，那么BC的长是．9．（2020秋•金山区期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，以点C为直角顶点的Rt△DCE的顶点D在BA的延长线上，DE交CA的延长线于点G，若tan∠CED＝12，CE＝GE，那么BD的长等于．10．(2020秋•黄浦区期末)已知一个矩形的两邻边长之比为1:2.5，一条平行于边的直线将该矩形分为两个小矩形，如果所得两小矩形相似，那么这两个小矩形的相似比为．11．（2019秋•黄浦区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E在边BC上，∠DAE＝∠B＝30°，且AD3=AE2，那么DEBC的值是．12．（2019秋•宝山区期末）如图，点A在直线34y x上，如果把抛物线y=x²沿OA方向平移5个单位,那么平移后的抛物线的表达式为__．专题定义新图形及其他题型【历年真题】1．（2021秋•浦东新区期末）如图，a ∥b ∥c ，直线a 与直线b c与直线b 之间的距离为，等边△ABC 的三个顶点分别在直线a 、直线b 、直线c 上，则等边三角形的边长是【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【专题】图形的相似；模型思想．【分析】过点A 作AD ⊥直线b 于D ，将△ABD 绕点A 逆时针旋转60°得到△ACE ，作EG ⊥直线c 于G 交直线a 于F ．想办法求出AE ，EC 即可解决问题．【解答】解：如图，过点A 作AD ⊥直线b 于D ，将△ABD 绕点A 逆时针旋转60°得到△ACE ，作EG ⊥直线c 于G 交直线a 于F ．则有∠AEC ＝∠ADB ＝∠AFE ＝∠EGC ＝90°，AE ＝AD ，∠EAF ＝∠CEG ＝30°，∴EF ＝12AE ＝2，∴EG ＝2，CG ＝3EG ＝52，CE ＝2CG ＝5，∴AC =．∴等边△ABC 的边长为．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理的运用，直角三角形的性质的运用，相似三角形的性质的运用，解答时构造相似三角形是关键．2．（2021秋•宝山区期末）如果一条抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“特征三角形”．已知y ＝x 2+bx （b ＞0）的“特征三角形”是等腰直角三角形，那么b 的值为2．【考点】抛物线与x 轴的交点；等腰直角三角形；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．【分析】根据抛物线的“特征三角形”是等腰直角三角形建立方程求解即可．【解答】解：设抛物线y ＝x 2+bx 与x 轴的交点坐标为A ，B ，顶点为D ，∴A （0，0），B （﹣b ，0），D （﹣2b ，﹣24b ），∵抛物线y ＝x 2+bx 对应的“特征三角形”是等腰直角三角形，∴AB 2＝AD 2+BD 2＝2AD 2，∴b 2＝2（24b +416b ），解得：b ＝±2，∵b ＞0，∴b ＝2，故答案为：2．【点评】本题考查抛物线与x 轴的交点和抛物线的“特征三角形”的特点，关键是利用“特征三角形”是等腰直角三角形建立等量关系．3．（2021秋•青浦区期末）如图，一次函数y ＝ax +b （a ＜0，b ＞0）的图象与x 轴，y 轴分别相交于点A ，点B ，将它绕点O 逆时针旋转90°后，与x 轴相交于点C ，我们将图象过点A ，B ，C 的二次函数叫做与这个一次函数关联的二次函数．如果一次函数y ＝﹣kx +k （k ＞0）的关联二次函数是y ＝mx 2+2mx +c （m ≠0），那么这个一次函数的解析式为y ＝﹣3x +3．【考点】抛物线与x 轴的交点；坐标与图形变化﹣旋转；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式．【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；平移、旋转与对称；推理能力．【分析】先由直线y ＝﹣kx +k 求得点A 和点B 的坐标，然后求得点C 的坐标，最后将点A 、B 、C 的坐标分别代入函数y ＝mx 2+2mx +c 中求得m 、k 、c 的值，即可得到一次函数的解析式．【解答】解：对y ＝﹣kx +k ，当x ＝0时，y ＝k ，当y ＝0时，x ＝1，∴A （1，0），B （0，k ），∴C （﹣k ，0），将A 、B 、C 的坐标代入y ＝mx 2+2mx +c 得，22020m m c c k mk mk c ⎧++=⎪=⎨⎪++=⎩，解得：000m k c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或133m k c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩或1311m k c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩，∵m ≠0，k ＞0，∴m ＝﹣1，k ＝3，c ＝3，∴一次函数的解析式为y ＝﹣3x +3，故答案为：y ＝﹣3x +3．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的解析式、旋转的特征，解题的关键是会求点B 经过逆时针旋转90°后的点的坐标．4.（2021秋•青浦区期末）若抛物线y 1=ax 2+b 1x+c 1的顶点为A ，抛物线y 2=ax 2+b 2x+c 2的顶点为B ，且满足顶点A 在抛物线y 2上，顶点B 在抛物线y 1上，则称抛物线y 1与抛物线y 2互为“关联抛物线”已知顶点为M 的抛物线y=(x-2)2+3与顶点为N 的抛物线互为“关联抛物线”，直线MN 与x 轴正半轴交于点D ，如果3tan MDO=4∠，那么顶点为N 的抛物线的表达式为2557(416y x =--+．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【专题】二次函数图象及其性质；；推理能力．【分析】设顶点为N 的抛物线顶点坐标N 为（a ，b ），由题意可知34M M N y x x =-，即可求得D 点坐标为（6，0），则有直线MD 解析式为3(6)4y x =--，因为N 点过直线MD ，N 点也过抛物线y=(x-2)2+3，故有()23(6)423b a b a ⎧=--⎪⎨⎪=-+⎩，解得545716a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故N 点坐标为（54，5716），可设顶点为N 的抛物线的表达式为2557(416y a x =-+，又因为M 点过2557()416y a x =-+，即可解得a=-1，故顶点为N 的抛物线的表达式为2557()416y x =--+．【解答】设顶点为N 的抛物线顶点坐标N 为（a ，b ）已知抛物线y=(x-2)2+3的顶点坐标M 为（2，3）∵3tan 4MDO ∠=∴34M M N y x x =-即3324D x =-解得24D x =±∵直线MN 与x 轴正半轴交于点D ∴D 点坐标为（6，0）则直线MD 解析式为3(6)4y x =--N 点在直线MD 3(6)4y x =--上，N 点也在抛物线y=(x-2)2+3故有()23(6)423b a b a ⎧=--⎪⎨⎪=-+⎩化简得2394247b a b a a ⎧=-+⎪⎨⎪=-+⎩联立得2394742a a a --=-+化简得2135042a a -+=解得a=54或a=2（舍）将a=54代入3942b a =-有359157257442161616b =-⨯+=-+=解得545716a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故N 点坐标为（54，5716）则顶点为N 的抛物线的表达式为2557()416y a x =-+将（2，3）代入2557(416y a x =-+有25573(2)416a =-+化简得95731616a =+解得a=-1故顶点为N 的抛物线的表达式为2557(416y x =--+故答案为：2557(416y x =--+．【点评】本题考察了二次函数的图象及其性质，三角函数的应用．理解题意所述“关联抛物线”的特点，即若抛物线y 1=ax 2+b 1x+c 1的顶点为A ，抛物线y 2=ax 2+b 2x+c 2的顶点为B ，且满足顶点A 在抛物线y 2上，顶点B 在抛物线y 1上是解题的关键．5．（2020秋•长宁区期末）如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这个凸四边形的相似对角线，在凸四边形ABCD 中，AB ＝ACAD＝CD ＝32，点E 、点F 分别是边AD ，边BC 上的中点．如果AC 是凸四边形ABCD 的相似对角线，那么EF 的长等于414．【考点】相似图形；三角形中位线定理．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】利用相似三角形的性质求出BC 长，再利用等腰三角形的性质和勾股定理计算出EF 的长即可．【解答】解：如图所示：∵AB＝AC，AD＝CD，△ABC∽△DAC，∴AC2＝BC•AD，∵AC AD＝32，∴CB＝2，∵△ABC∽△DAC，∴∠ACB＝∠CAD，∴CB∥AD，∵AB＝AC，F为BC中点，∴AF⊥CB，BF＝CF＝1，∴∠AFC＝90°，∵CB∥AD，∴∠FAE＝∠AFC＝90°，∵AC Rt△AFC中AF＝=，∵AD＝32，E为AD中点，∴AE＝34，∴EF414 =．故答案为：41 4．【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，以及等腰三角形的性质和勾股定理，关键是掌握相似三角形对应边成比例、对应角相等．6．（2020秋•青浦区期末）如果四边形边上的点，它与对边两个端点的连线将这个四边形分成的三个三角形都相似，我们就把这个点叫做该四边形的“强相似点”．如图①，在四边形ABCD中，点Q在边AD上，如果△QAB、△QBC和△QDC都相似，那么点Q就是四边形ABCD的“强相似点”；如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝2，BC＝8，∠B＝60°，如果点Q是边AD上的“强相似点”，那么AQ＝或．【考点】相似图形．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】如图，当∠1＝∠2＝∠3时，△BAQ∽△QDC∽△CQB，设AQ＝x．利用相似三角形的性质，构建方程求解即可．【解答】解：如图，当∠1＝∠2＝∠3时，△BAQ∽△QDC∽△CQB，设AQ＝x．过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，则四边形AEFD是矩形，∴AD＝EF，∵AB＝CD＝2，AD∥BC，∴四边形ABCD是等腰梯形，∴∠ABE＝∠DCF＝60°，BE＝AB•cos60°＝1，CF＝CD•cos60°＝1，∴EF＝BC﹣BE﹣CF＝6，∴AD＝EF＝6，DQ＝6﹣x，∵△BAQ∽△QDC，∴AB AQ=QD CD，∴x（6﹣x）＝4，解得x＝3±5，∴AQ＝3±5故答案为：5或3-5【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰梯形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．7．（2020秋•浦东新区期末）如图，△ABC中，AB＝10，BC＝12，AC＝8，点D是边BC上一点，且BD：CD＝2：1，联结AD，过AD中点M的直线将△ABC分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC、AC相交于点E、F，那么线段BE的长为2．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】先求出BD＝8，CD＝4，再求出MH＝4，DH＝2，设BE＝x，得出CE＝12﹣x，CF＝3+x，EH＝10﹣x，再判断出△EHM∽△ECF，得出比例式，建立方程求解，即可得出结论．【解答】解：如图，∵点D是BC上一点，BC＝12，∴BD：CD＝2：1，∴BD＝8，CD＝4，过点M作MH∥AC交CD于H，∴△DHM∽△DCA，∴MH DH=ACDMCD AD=，∴点M是AD的中点，∴AD＝2DM，∵AC＝8，∴MH DH1=842=，∴MH＝4，DH＝2，过点M 作MG ∥AB 交BD 于G ，同理得，BG ＝DG ＝4，∵AB ＝10，BC ＝12，AC ＝8，∴△ABC 的周长为10+12+8＝30，∵过AD 中点M 的直线将△ABC 分成周长相等的两部分，∴CE +CF ＝15，设BE ＝x ，则CE ＝12﹣x ，∴CF ＝15﹣（12﹣x ）＝3+x ，EH ＝CE ﹣CH ＝CE ﹣（CD ﹣DH ）＝12﹣x ﹣2＝10﹣x ，∵MH ∥AC ，∴△EHM ∽△ECF ，∴MH EH =CF CE ，∴410-=3+12x x x，∴x ＝2或x ＝9，当x ＝9时，CF ＝12＞AC ，点F 不在边AC 上，此种情况不符合题意，即BE ＝x ＝2，故答案为：2．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，构造出相似三角形是解本题的关键．8．（2020秋•徐汇区期末）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝120°，AB ＝12，点D 在边AC 上，点E 在边BC 上，sin ∠ADE ＝45，ED ＝5，如果△ECD 的面积是6，那么BC 的长是﹣6．【考点】解直角三角形；三角形的面积．【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】如图，过点E 作EF ⊥BC 于F ，过点A 作AH ⊥CB 交CB 的延长线于H ．解直角三角形求出BH ，CH 即可解决问题．【解答】解：如图，过点E 作EF ⊥BC 于F ，过点A 作AH ⊥CB 交CB 的延长线于H ．∵∠ABC ＝120°，∴∠ABH ＝180°﹣∠ABC ＝60°，∵AB ＝12，∠H ＝90°，∴BH ＝AB •cos60°＝6，AH ＝AB •sin60°＝，∵EF ⊥DF ，DE ＝5，∴sin ∠ADE ＝EF DE ＝45，∴EF ＝4，∴DF 3==，∵S △CDE ＝6，∴12•CD •EF ＝6，∴CD ＝3，∴CF ＝CD +DF ＝6，∵tan C ＝EF AH CF CH =，∴4636CH=，∴CH ＝，∴BC ＝CH ﹣BH ＝6．故答案为：﹣6．【点评】本题考查解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．9．（2020秋•金山区期末）已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝1，AC ＝2，以点C 为直角顶点的Rt △DCE 的顶点D 在BA 的延长线上，DE 交CA 的延长线于点G ，若tan ∠CED＝12，CE ＝GE ，那么BD 的长等于2+【考点】解直角三角形；勾股定理．【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】如图，过点A 作AH ⊥CE 于H ．想办法证明AK ＝AC ，推出HK ＝CH ，推出AK ＝AD ＝2，即可解决问题．【解答】解：如图，过点A 作AH ⊥CE 于H .∵tan ∠CED ＝12＝tan ∠BAC ，∴∠E ＝∠BAC ，∵CE ＝EG ，∴∠CGE ＝∠ECG ，∵∠BAC +∠GAK ＝180°，∴∠E +∠GAK ＝180°，∴∠AGE +∠AKE ＝180°，∵∠AKE +∠AKC ＝180°，∴∠AKC ＝∠CGE ，∴∠AKC ＝∠ACK ，∴AC ＝AK ＝2，∵AH ⊥CK ，∴KH ＝CH ，∵∠AHE ＝∠DCK ＝90°，∴AH ∥CD ，∴KA ＝AD ，∴DK ＝2AK ＝4，AD ＝AK ＝2，∵∠ACB ＝90°，BC ＝1，AC ＝2，∴AB =∴BD ＝AB +AD ＝，故答案为：【点评】本题考查解直角三角形，勾股定理，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题．10．(2020秋·黄浦区期末)已知一个矩形的两邻边长之比为1:2.5.一条平行于边的直线将该矩形分为两个小矩形，如果所得两小矩形相似，那么这两个小矩形的相似比为2:1或1:2或1:1．【考点】相似多边形的性质;矩形的性质，四手拉手模型【专题】图形的相似;推理能力.【分析】如图，设AB=a，AD=2.5a，AE=x，则DE=2.5a-x，利用相似多边形的性质，构建方程求解，另外两个矩形全等也符合题意．【解答】解:如图，设AB=a，AD=2.5a，,AE=x，则DE=2.5a-x.∵矩形ABFE∽矩形EDCF∴AE EF=EF DE∴=2.5x aa a x整理得，x2-2.5xa+a2=0，解得x=2a或0.5a，∴矩形ABFE与矩形EDCF相似，相似比为2：1或1：2.当E，F分别是AD，BC的中点时，两个矩形全等，也符合题意，相似比为：1：1故答案为：2：1或1：2或1：1.【点评】本题考查相似多边形的性质，解题的关键是学会利用参数构建方程求解，属干电考常考题型11．（2019秋•黄浦区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E在边BC上，∠DAE＝∠B＝30°，且AD3=AE2，那么DEBC的值是13318﹣1．【考点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；推理能力．【分析】证明△ADE∽△BAE，得出AE2＝DE×BE，同理△ADE∽△CDA，得出AD2＝DE×CD，得出2294AD CD AE BE ==，设CD ＝9x ，则BE ＝4x ，求出AB ＝AD AE×BE ＝6x ，作AM ⊥BC 于M ，由等腰三角形的性质得出BM ＝CM ＝12BC ，由直角三角形的性质得出AM ＝12AB ＝3x ，BM AM ＝x ，得出BC ＝2BM ＝，求出DE ＝BE +CD ﹣BC ＝13x ﹣x ，即可得出答案．【解答】解：∵AB ＝AC ，∴∠C ＝∠B ＝30°，∵∠DAE ＝∠B ＝30°，∴∠DAE ＝∠B ＝∠C ，∵∠AED ＝∠BEA ，∴△ADE ∽△BAE ，∴AD AE DE ==AB BE AE，∴AE 2＝DE ×BE ，同理：△ADE ∽△CDA ，∴AD DE =CD AD ，∴AD 2＝DE ×CD ，∴22239()24AD CD AE BE ===，设CD ＝9x ，则BE ＝4x ，∵AD AE AB BE =，∴AB ＝AD AE ×BE ＝32×4x ＝6x ，作AM ⊥BC 于M ，如图所示：∵AB ＝AC ，∴BM ＝CM ＝12BC ，∵∠B ＝30°，∴AM ＝12AB ＝3x ，BM AM ＝，∴BC ＝2BM ＝，∴DE ＝BE +CD ﹣BC ＝13x ﹣x ，∴13318DE EC ==﹣1；故答案为：13318﹣1．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；证明三角形相似是解题的关键．12．（2019秋•宝山区期末）如图，点A 在直线34y x =上，如果把抛物线y=x ²沿OA 方向平移5个单位,那么平移后的抛物线的表达式为_y=(x-4)2+3_．【考点】二次函数图象与几何变换；一次函数图象上点的坐标特征，四二次函数的平移【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力.【分析】过点A作AB丄x轴于B，求出OB、AB，然后写出点A的坐标，再利用顶点式解析式写出即可.【解答】解：如图，过点A作AB丄x轴于B，∵点A在直线34y x上，OA=5，∴OB=4，AB=3，∵点A的坐标为(4，3)，∴平移后的抛物线解析式是y=(x-4)2+3故答案为y=(x-4)2+3.【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便.。
上海市2019年中考数学真题与模拟题分类 专题18 图形的变化之解答题(2)(39道题)(解析版)(1)
专题18 图形的变化之解答题（2）参考答案与试题解析一．解答题（共39小题）1．（2019•宝山区一模）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点E、F在边BC上，∠EAF＝∠B．求证：BF•CE＝AB2．【答案】证明：∵∠AEC＝∠B+∠BAE＝∠EAF+∠BAE＝∠BAF，又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△ABF∽△ECA，∴AB：CE＝BF：AC，∴BF•EC＝AB•AC＝AB2．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质．注意证得△ABF∽△ECA是解此题的关键．2．（2019•青浦区二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交边BC、AB于点D、E，联结AD．（1）如果∠CAD：∠DAB＝1：2，求∠CAD的度数；（2）如果AC＝1，tan∠B，求∠CAD的正弦值．【答案】解：（1）∵∠CAD：∠DAB＝1：2∴∠DAB＝2∠CAD在Rt△ABC中，∠CAD+∠DAB+∠DBA＝90°∵DE垂直平分AB交边BC、AB于点D、E∴∠DAB＝∠DBA∴∠CAD+∠DAB+∠DBA＝∠CAD+2∠CAD+2∠CAD＝90°解得，∠CAD＝18°（2）在Rt△ABC中，AC＝1，tan∠B，∴BC＝2由勾股定理得，AB∵DE垂直平分AB交边BC、AB于点D、E∴BE＝AE∵∠DAE＝∠DBE∴在Rt△ADE中tan∠B＝tan∠DAE∴DE∴由勾股定理得AD∴cos∠CAD∴sin∠CAD则∠CAD的正弦值为【点睛】本题主要是应用三角函数定义来解直角三角形，关键要运用锐角三角函数的概念及比正弦和余弦的基本关系进行解题．3．（2019•青浦区二模）如图，一座古塔AH的高为33米，AH⊥直线l，某校九年级数学兴趣小组为了测得该古塔塔刹AB的高，在直线l上选取了点D，在D处测得点A的仰角为26.6°，测得点B的仰角为22.8°，求该古塔塔刹AB的高．（精确到0.1米）【参考数据：sin26.6°＝0.45，cos26.6°＝0.89，tan26.6°＝0.5，sin22.8°＝0.39，cos22.8°＝092，tan22.8°＝0.42】【答案】解：∵AH⊥直线l，∴∠AHD＝90°，在Rt△ADH中，tan∠ADH，∴DH，在Rt△BDH中，tan∠BDH，∴DH，∴，解得：AB≈5.3m，答：该古塔塔刹AB的高为5.3m．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确的解直角三角形是解题的关键．4．（2019•浦东新区二模）如图1，一辆吊车工作时的吊臂AB最长为20米，吊臂与水平线的夹角∠ABC最大为70°，旋转中心点B离地面的距离BD为2米．（1）如图2，求这辆吊车工作时点A离地面的最大距离AH（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）；（2）一天，王师傅接到紧急通知，要求将这辆吊车立即开到40千米远的某工地，因此王师傅以每小时比平时快20千米的速度匀速行驶，结果提前20分钟到达，求这次王师傅所开的吊车速度．【答案】解：（1）根据题意，得AB＝20，∠ABC＝70°，CH＝BD＝2，在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，∴AC＝AB•sin70°＝20×0.94＝18.8，∴AH＝20.8．答：这辆吊车工作时点A离地面的最大距离AH为20.8米；（2）设这次王师傅所开的吊车的速度为每小时x千米，由题意，得，解得，x1＝60，x2＝﹣40，经检验：x1＝60，x2＝﹣40都是原方程的解，但x2＝﹣40符合题意，舍去，答：这次王师傅所开的吊车的速度为每小时60千米．【点睛】本题是解直角三角形与分式方程应用的综合题，主要考查了解直角三角形，列分式方程解应用题，（1）题的关键是解直角三角形求出AC，（2）小题的关键是找出等量关系列出分式方程．5．（2019•长宁区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是边AC的中点，CF ⊥BD，垂足为点F，延长CF与边AB交于点E．求：（1）∠ACE的正切值；（2）线段AE的长．【答案】解：（1）∵∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠BCE＝90°，又∵CF⊥BD，∴∠CFB＝90°，∴∠BCE+∠CBD＝90°，∴∠ACE＝∠CBD，∵AC＝4且D是AC的中点，∴CD＝2，又∵BC＝3，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°．∴tan∠BCD，∴tan∠ACE＝tan∠CBD；（2）过点E作EH⊥AC，垂足为点H，在Rt△EHA中，∠EHA＝90°，∴tan A，∵BC＝3，AC＝4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴tan A，∴，设EH＝3k，AH＝4k，∵AE2＝EH2+AH2，∴AE＝5k，在Rt△CEH中，∠CHE＝90°，∴tan∠ECA，∴CH k，∴AC＝AH+CH k＝4，解得：k，∴AE．【点睛】此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：勾股定理，锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．6．（2019•闵行区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，cos∠，点D是边BC的中点，点E在边AC上，且，AD与BE相交于点F．求：（1）边AB的长；（2）的值．【答案】解：（1）∵AB＝AC，点D是边BC的中点，∴AD⊥BC，BD＝DC BC＝5，在Rt△ABD中，cos∠ABC，∴AB＝13；（2）过点E作EH∥BC，交AD与点H，∵EH∥BC，，∴，∵BD＝CD，∴，∵EH∥BC，∴．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质、解直角三角形、平行线分线段成比例定理，掌握等腰三角形的三线合一、余弦的定义是解题的关键．7．（2019•金山区二模）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，CE＝CB，CD＝5，sin∠．求：（1）BC的长．（2）tan E的值．【答案】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90，D是边AB的中点；∴CD AB，∵CD＝5，∴AB＝10，∵sin∠ABC，∴AC＝6∴；（2）作EH⊥BC，垂足为H，∴∠EHC＝∠EHB＝90°∵D是边AB的中点，∴BD＝CD AB，∠DCB＝∠ABC，∵∠ACB＝90°，∴∠EHC＝∠ACB，∴△EHC∽△ACB，∴由BC＝8，CE＝CB得CE＝8，∠CBE＝∠CEB，∴解得EH，CH，BH＝8∴tan∠CBE3，即tan E＝3．【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练运用直角三角函以及三角形相似是解题的关键．8．（2019•徐汇区二模）如图，已知⊙O的弦AB长为8，延长AB至C，且BC AB，tan C．求：（1）⊙O的半径；（2）点C到直线AO的距离．【答案】解：（1）过O作OD⊥AB于D，则∠ODC＝90°，∵OD过O，∴AD＝BD，∵AB＝8，∴AD＝BD＝4，∵BC AB，∴BC＝4，∴DC＝4+4＝8，∵tan C，∴OD＝4，在Rt△ODA中，由勾股定理得：OA4，即⊙O的半径是4；（2）过C作CE⊥AO于E，则S△AOC，即，解得：CE＝6，即点C到直线AO的距离是6．【点睛】本题考查了垂径定理，三角形的面积公式，勾股定理，解直角三角形等知识点，能求出AD、OD的长度是解此题的关键．9．（2019•包头模拟）如图，已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E为AB上一点，AC＝AE＝3，BC＝4，过点A作AB的垂线交射线EC于点D，延长BC交AD于点F．（1）求CF的长；（2）求∠D的正切值．【答案】解：（1）∵∠ACB＝90°，∴∠ACF＝∠ACB＝90°，∠B+∠BAC＝90°，∵AD⊥AB，∴∠BAC+∠CAF＝90°，∴∠B＝∠CAF，∴△ABC∽△F AC，∴，即，解得CF；（2）如图，过点C作CH⊥AB于点H，∵AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，则CH，∴AH，EH＝AE﹣AH，∴tan D＝tan∠ECH．【点睛】本题主要考查解直角三角形与相似三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线构造与∠D 相等的角，并熟练掌握相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．10．（2019•黄浦区一模）如图，P点是某海域内的一座灯塔的位置，船A停泊在灯塔P的南偏东53°方向（本题参考数据sin53°≈0.80，cos53°的50海里处，船B位于船A的正西方向且与灯塔P相距海里．≈0.60，tan53°≈1.33．）（1）试问船B在灯塔P的什么方向？（2）求两船相距多少海里？（结果保留根号）【答案】解：（1）过P作PC⊥AB交AB于C，在Rt△APC中，∠C＝90°，∠APC＝53°，AP＝50海里，∴PC＝AP•cos53°＝50×0.60＝30海里，在Rt△PBC中，∵PB＝20，PC＝30，∴cos∠BPC，∴∠BPC＝30°，∴船B在灯塔P的南偏东30°的方向上；（2）∵AC＝AP•sin53°＝50×0.8＝40海里，BC PB＝10，∴AB＝AC﹣BC＝（40﹣10）海里，答：两船相距（40﹣10）海里．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解方位角的定义，能利用三角函数值计算有关线段，难度一般．11．（2019•东阳市模拟）安装在屋顶的太阳能热水器的横截面示意图如图所示．已知集热管AE与支架BF 所在直线相交于水箱横截面⊙O的圆心O，⊙O的半径为0.2米，AO与屋面AB的夹角为32°，与铅垂线OD的夹角为40°，BF⊥AB，垂足为B，OD⊥AD，垂足为D，AB＝2米．（1）求支架BF的长；（2）求屋面AB的坡度．（参考数据：tan18°，tan32°，tan40°）【答案】解：：（1）∵∠OAC＝32°，OB⊥AD，∴tan∠OAB tan32°，∵AB＝2m，∴，∴OB＝1.24m，∵⊙O的半径为0.2m，∴BF＝1.04m；（2）∵∠AOD＝40°，OD⊥AD，∴∠OAD＝50°，∵∠OAC＝32°∴∠CAD＝18°，∴AB的坡度为tan18°，【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是求出角的度数，利用三角函数的知识即可求解，难度一般．12．（2019•松江区一模）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，P是边AC上一动点，BP与CD相交于点E．（1）如果BC＝6，AC＝8，且P为AC的中点，求线段BE的长；（2）联结PD，如果PD⊥AB，且CE＝2，ED＝3，求cos A的值；（3）联结PD，如果BP2＝2CD2，且CE＝2，ED＝3，求线段PD的长．【答案】解：（1）∵P为AC的中点，AC＝8，∴CP＝4，∵∠ACB＝90°，BC＝6，∴BP＝2，∵D是边AB的中点，P为AC的中点，∴点E是△ABC的重心，∴BE BP；（2）如图1，过点B作BF∥CA交CD的延长线于点F，∴，∵BD＝DA，∴FD＝DC，BF＝AC，∵CE＝2，ED＝3，则CD＝5，∴EF＝8，∴，∴，∴，设CP＝k，则P A＝3k，∵PD⊥AB，D是边AB的中点，∴P A＝PB＝3k∴BC＝2k，∴AB＝2k，∵AC＝4k，∴cos A；（3）∵∠ACB＝90°，D是边AB的中点，∴CD＝BD AB，∵PB2＝2CD2，∴BP2＝2CD•CD＝BD•AB，∵∠PBD＝∠ABP，∴△PBD∽△ABP，∴∠BPD＝∠A，∵∠A＝∠DCA，∴∠DPE＝∠DCP，∵∠PDE＝∠CDP，∴△DPE∽△DCP，∴PD2＝DE•DC，∵DE＝3，DC＝5，∴PD．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．13．（2019•松江区一模）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝5，cos A．求底边BC的长．【答案】解：过点B作BD⊥AC，垂足为点D，在Rt△ABD中，cos A，∵cos A，AB＝5，∴AD＝AB•cos A＝53，∴BD4，∵AC＝AB＝5，∴DC＝2，∴BC2．【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．14．（2019•靖江市一模）2018年首届“进博会”期间，上海对周边道路进行限速行驶．道路AB段为监测区，C、D为监测点（如图）．已知C、D、B在同一条直线上，且AC⊥BC，CD＝400米，tan∠ADC＝2，∠ABC＝35°．（1）求道路AB段的长；（精确到1米）（2）如果AB段限速为60千米/时，一辆车通过AB段的时间为90秒，请判断该车是否超速，并说明理由．（参考数据：sin35°≈0.57358，cos35°≈0.8195，tan35°≈0.7）【答案】解：（1）∵AC⊥BC，∴∠C＝90°，∵tan∠ADC2，∵CD＝400，∴AC＝800，在Rt△ABC中，∵∠ABC＝35°，AC＝800，∴AB1395 米；（2）∵AB＝1395，∴该车的速度55.8km/h＜60千米/时，故没有超速．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是掌握三角函数定义．15．（2019•松江区一模）某数学社团成员想利用所学的知识测量某广告牌的宽度（图中线段MN的长），直线MN垂直于地面，垂足为点P．在地面A处测得点M的仰角为58°、点N的仰角为45°，在B处测得点M的仰角为31°，AB＝5米，且A、B、P三点在一直线上．请根据以上数据求广告牌的宽MN的长．（参考数据：sin58°＝0.85，cos58°＝0.53，tan58°＝1.60，sin31°＝0.52，cos31°＝0.86，tan31°＝0.60．）【答案】解：在Rt△APN中，∠NAP＝45°，∴P A＝PN，在Rt△APM中，tan∠MAP，设P A＝PN＝x，∵∠MAP＝58°，∴MP＝AP•tan∠MAP＝1.6x，在Rt△BPM中，tan∠MBP，∵∠MBP＝31°，AB＝5，∴0.6，∴x＝3，∴MN＝MP﹣NP＝0.6x＝1.8（米），答：广告牌的宽MN的长为1.8米．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据已知直角三角形得出AP的长是解题关键．16．（2019•濉溪县二模）如图1是小区常见的漫步机，当人踩在踏板上，握住扶手，像走路一样抬腿，就会带动踏板连杆绕轴旋转，如图2，从侧面看，立柱DE高1.8米，踏板静止时踏板连杆与DE上的线段AB重合，BE长为0.2米，当踏板连杆绕着点A旋转到AC处时，测得∠CAB＝37°，此时点C距离地面的高度CF为0.45米，求AB和AD的长（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【答案】解：过点C作CG⊥AB于G，则四边形CFEG是矩形，∴EG＝CF＝0.45，设AD＝x，∴AE＝1.8﹣x，∴AC＝AB＝AE﹣BE＝1.6﹣x，AG＝AE﹣CF＝1.35﹣x，在Rt△ACG中，∠AGC＝90°，∠CAG＝37°，cos∠CAG0.8，解得：x＝0.35，∴AD＝0.35米，AB＝1.25米，答：AB和AD的长分别为1.25米，0.35米．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．17．（2019•随县模拟）如图是某品牌自行车的最新车型实物图和简化图，它在轻量化设计、刹车、车篮和座位上都做了升级．A为后胎中心，经测量车轮半径AD为30cm，中轴轴心C到地面的距离CF为30cm，座位高度最低刻度为155cm，此时车架中立管BC长为54cm，且∠BCA＝71°．（参考数据：sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.88）（1）求车座B到地面的高度（结果精确到1cm）；（2）根据经验，当车座B'到地面的距离B'E'为90cm时，身高175cm的人骑车比较舒适，此时车架中立管BC拉长的长度BB'应是多少？（结果精确到1cm）【答案】解：（1）设AC于BE交于H，∵AD⊥l，CF⊥l，HE⊥l，∴AD∥CF∥HE，∵AD＝30cm，CF＝30cm，∴AD＝CF，∴四边形ADFC是平行四边形，∵∠ADF＝90°，∴四边形ADFC是矩形，∴HE＝AD＝30cm，∵BC长为54cm，且∠BCA＝71°，∴BH＝BC•sin71°＝51.3cm，∴BE＝BH+EH＝BH+AD＝51.3+30≈81cm；答：车座B到地面的高度是81cm；（2）如图所示，B'E'＝96.8cm，设B'E'与AC交于点H'，则有B'H'∥BH，∴△B'H'C∽△BHC，得．即，∴B'C＝63cm．故BB'＝B'C﹣BC＝63﹣54＝9（cm）．∴车架中立管BC拉长的长度BB'应是9cm．【点睛】本题考查了相似三角形的应用、切线的性质解解直角三角形的应用，解题的难点在于从实际问题中抽象出数学问题，难度较大．18．（2019•徐汇区校级一模）如图，某小区A栋楼在B栋楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为MN．春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，A栋楼在B栋楼墙面上的影高为DM；冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为30°，A栋楼在B栋楼墙面上的影高为CM．已知CD＝44.5m．（1）求楼间距MN；（2）若B号楼共30层，每层高均为3m，则点C位于第几层？（参考数据：tan30°≈0.58，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）【答案】解：（1）过点P作PE∥MN，交B栋楼与点E，则四边形PEMN为矩形．∴EP＝MN由题意知：∠EPD＝55.7°∠EPC＝30°．在Rt△ECP中，EC＝tan∠EPC×EP＝tan30°×EP EP≈0.58EP，在Rt△EDP中，ED＝tan∠EPD×EP＝tan55.7°×EP≈1.47EP，∵CD＝ED﹣EC，∴1.47EP﹣0.58EP＝44.5∴EP＝MN＝50（m）答：楼间距MN为50m．（2）∵EC＝0.58EP＝0.58×50＝29（m）∴CM＝90﹣29＝61（m）∵61÷3≈20.3≈21（层）答：点C位于第21层．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．19．（2019•浦东新区一模）“雪龙”号考察船在某海域进行科考活动，在点A处测得小岛C在它的东北方向上，它沿南偏东37°方向航行2海里到达点B处，又测得小岛C在它的北偏东23°方向上（如图所示），求“雪龙”号考察船在点B处与小岛C之间的距离．（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40， 1.4， 1.7）【答案】解：过点A作AM⊥BC，垂足为M．由题意知：AB＝2海里，∠NAC＝∠CAE＝45°，∠SAB＝37°，∠DBC＝23°，∵∠SAB＝37°，DB∥AS，∴∠DBA＝37°，∠EAB＝90°﹣∠SAB＝53°．∴∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝37°+23°＝60°，∠CAB＝∠EAB+∠CAE＝53°+45°＝98°．∴∠C＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝180°﹣98°﹣60°＝22°．在Rt△AMB中，∵AB＝2海里，∠ABC＝60°，∴BM＝1海里，AM海里．在Rt△AMC中，tan C，∴CM 4.25（海里）∴CB＝CM+BM＝4.25+1＝5.25（海里）答：“雪龙”号考察船在点B处与小岛C之间的距离为5.25海里．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题．解决本题的关键是作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角间关系求解．20．（2019•宝山区一模）地铁10号线某站点出口横截面平面图如图所示，电梯AB的两端分别距顶部9.9米和2.4米，在距电梯起点A端6米的P处，用1.5米的测角仪测得电梯终端B处的仰角为14°，求电梯AB的坡度与长度．参考数据：sin14°≈0.24，tan14°≈0.25，cos14°≈0.97．【答案】解：作BC⊥P A交P A的延长线于点C，作QD∥PC交BC于点D，由题意可得，BC＝9.9﹣2.4＝7.5米，QP＝DC＝1.5米，∠BQD＝14°，则BD＝BC﹣DC＝7.5﹣1.5＝6米，∵tan∠BQD，∴tan14°，即0.25，解得，ED＝18，∴AC＝ED＝18，∵BC＝7.5，∴tan∠BAC，即电梯AB的坡度是5：12，∵BC＝7.5，AC＝18，∠BCA＝90°，∴AB．19.5，即电梯AB的坡度是5：12，长度是19.5米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．21．（2019•青浦区一模）如图，在港口A的南偏东37°方向的海面上，有一巡逻艇B，A、B相距20海里，这时在巡逻艇的正北方向及港口A的北偏东67°方向上，有一渔船C发生故障．得知这一情况后，巡逻艇以25海里/小时的速度前往救援，问巡逻艇能否在1小时内到达渔船C处？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin67°，cos67°，tan67°）【答案】解：过点A作AH⊥BC，垂足为点H．由题意，得∠ACH＝67°，∠B＝37°，AB＝20．在Rt△ABH中，∵sin B，∴AH＝AB•sin∠B＝20×sin37°≈12，∵cos B，∴BH＝AB•cos∠B＝20×cos37°≈16，在Rt△ACH中，∵tan∠ACH∠，∴CH5，∵BC＝BH+CH，∴BC≈16+5＝21．∵21÷25＜1，所以，巡逻艇能在1小时内到达渔船C处．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是将一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．22．（2019•寿光市模拟）某学生为测量一棵大树AH及其树叶部分AB的高度，将测角仪放在F处测得大树顶端A的仰角为30°，放在G处测得大树顶端A的仰角为60°，树叶部分下端B的仰角为45°，已知点F、G与大树底部H共线，点F、G相距15米，测角仪高度为1.5米．求该树的高度AH和树叶部分的高度AB．【答案】解：由题意可得，∠AEC＝30°，∠ADC＝60°，∠BDC＝45°，CH＝DG＝EF＝1.5米，FG＝ED＝15米，∵∠ADC＝∠AED+∠EAD，∴∠EAD＝30°，∴∠EAD＝∠AED，∴ED＝AD，∴AD＝15米，∵∠ADC＝60°，∠ACD＝90°，∴∠DAC＝30°，∴DC米，AC米，∴AH＝AC+CH米，∵∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∴∠DBC＝45°，∴∠BDC＝∠DBC，∴BC＝CD米，∴AB＝AC﹣BC米，即AH米，AB米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用特殊角的三角函数和数形结合的思想解答．23．（2019•静安区一模）计算：【答案】解：原式＝3﹣2．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．24．（2019•射阳县一模）“滑块铰链”是一种用于连接窗扇和窗框，使窗户能够开启和关闭的连杆式活动链接装置（如图1）．图2是“滑块铰链”的平面示意图，滑轨MN安装在窗框上，悬臂DE安装在窗扇上，支点B、C、D始终在一条直线上，已知托臂AC＝20厘米，托臂BD＝40厘米，支点C，D之间的距离是10厘米，张角∠CAB＝60°．（1）求支点D到滑轨MN的距离（精确到1厘米）；（2）将滑块A向左侧移动到A′，（在移动过程中，托臂长度不变，即AC＝A′C′，BC＝BC′）当张角∠C′A'B＝45°时，求滑块A向左侧移动的距离（精确到1厘米）．（备用数据： 1.41， 1.73，2.45， 2.65）【答案】解：（1）过C作CG⊥AB于G，过D作DH⊥AB于H，∵AC＝20，∠CAB＝60°，∴AG AC＝10，CG AG＝10，∵BC＝BD﹣CD＝30，∵CG⊥AB，DH⊥AB，∴CG∥DH，∴△BCG∽△BDH，∴，∴，∴DH23（厘米）；∴支点D到滑轨MN的距离为23厘米；（2）过C′作C′S⊥MN于S，∵A′C′＝AC＝20，∠C′A′S＝45°，∴A′S＝C′S＝10，∴BS10，∴A′B＝1010，∵BG10，∴AB＝10+10，∴AA′＝A′B﹣AB≈6（厘米），∴滑块A向左侧移动的距离是6厘米．【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理、相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．25．（2019•闵行区一模）如图，某公园内有一座古塔AB，在塔的北面有一栋建筑物，某日上午9时太阳光线与水平面的夹角为32°，此时塔在建筑物的墙上留下了高3米的影子CD．中午12时太阳光线与地面的夹角为45°，此时塔尖A在地面上的影子E与墙角C的距离为15米（B、E、C在一条直线上），求塔AB的高度．（结果精确到0.01米）参考数据：sin32°≈0.5299，cos32°≈0.8480，tan32°≈0.6249， 1.4142．【答案】解：过点D作DH⊥AB，垂足为点H，由题意，得HB＝CD＝3，EC＝15，HD＝BC，∠ABC＝∠AHD＝90°，∠ADH＝32°，设AB＝x，则AH＝x﹣3，在Rt△ABE中，由∠AEB＝45°，得tan∠AEB＝tan45°．∴EB＝AB＝x．∴HD＝BC＝BE+EC＝x+15，在Rt△AHD中，由∠AHD＝90°，得tan∠ADH，即得tan32°，解得：x32.99∴塔高AB约为32.99米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．26．（2019•嘉定区一模）计算：2|1﹣sin60°|．【答案】解：2|1﹣sin60°|＝2（1）＝2＝2＝2．【点睛】本题考查了特殊角三角函数值、实数的混合运算；熟记特殊角三角函数值是解题关键．27．（2019•无锡一模）某小区开展了“行车安全，方便居民”的活动，对地下车库作了改进．如图，这小区原地下车库的入口处有斜坡AC长为13米，它的坡度为i＝1：2.4，AB⊥BC，为了居民行车安全，现将斜坡的坡角改为13°，即∠ADC＝13°（此时点B、C、D在同一直线上）．（1）求这个车库的高度AB；（2）求斜坡改进后的起点D与原起点C的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin13°≈0.225，cos13°≈0.974，tan13°≈0.231，cot13°≈4.331）【答案】解：（1）由题意，得：∠ABC＝90°，i＝1：2.4，在Rt△ABC中，i，设AB＝5x，则BC＝12x，∴AB2+BC2＝AC2，∴AC＝13x，∵AC＝13，∴x＝1，∴AB＝5，答：这个车库的高度AB为5米；（2）由（1）得：BC＝12，在Rt△ABD中，cot∠ADC，∵∠ADC＝13°，AB＝5，∴DB＝5cot13°≈21.655（m），∴DC＝DB﹣BC＝21.655﹣12＝9.655≈9.7（米），答：斜坡改进后的起点D与原起点C的距离为9.7米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．28．（2019•虹口区一模）计算：【答案】解：原式＝3+2．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．29．（2019•金山区一模）计算：cos245°tan260°﹣cot45°•sin30°．【答案】解：原式＝（）2（）2﹣11+3＝2．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．30．（2019•长宁区一模）计算：60°．【答案】解：原式（）2（）．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．31．（2019•崇明区一模）计算：cos245°cot30°•sin60°．【答案】解：原式＝（）2．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．32．（2019•普陀区一模）如图，小山的一个横断面是梯形BCDE，EB∥DC，其中斜坡DE的坡长为13米，坡度i＝1：2.4，小山上有一座铁塔AB，在山坡的坡顶E处测得铁塔顶端A的仰角为45°，在与山坡的坡底D相距5米的F处测得铁塔顶端A的仰角为31°（点F、D、C在一直线上），求铁塔AB的高度．（参考数值：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.6）【答案】解：延长AB交DC于G，过E作EH⊥CD于H，则四边形EHGB是矩形，∵斜坡DE的坡长为13米，坡度i＝1：2.4，∴设EH＝5x，DH＝12x，∵EH2+DH2＝DE2，∴（5x）2+（12x）2＝132，∴x＝1，∴EH＝5，DH＝12，∵EB∥DC，∴∠ABE＝∠AGH＝90°，∵∠AEB＝45°，∴AB＝BE，∴HG＝AB，∴FG＝5+12+AB，AG＝AB+5，∵∠F＝31°，∴tan F＝tan31°0.6，∴AB＝13米，答：铁塔AB的高度是13米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，矩形的性质，掌握的作出辅助线是解题的关键．33．（2019•长宁区一模）如图，小明站在江边某瞭望台DE的顶端D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°．若瞭望台DE垂直于江面，它的高度为3米，CE＝2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i＝1：0.75，坡长BC＝10米．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，cot40°≈1.19）（1）求瞭望台DE的顶端D到江面AB的距离；（2）求渔船A到迎水坡BC的底端B的距离．（结果保留一位小数）【答案】解：（1）延长DE交AB于点F，过点C作CG⊥AB，垂足为点G，由题意可知CE＝GF＝2，CG＝EF在Rt△BCG中，∠BGC＝90°，∴i，设CG＝4k，BG＝3k，则BC5k＝10，∴k＝2，∴BG＝6，∴CG＝EF＝8，∵DE＝3，∴DF＝DE+EF＝3+8＝11（米），答：瞭望台DE的顶端D到江面AB的距离为11米；（2）由题意得∠A＝40°，在Rt△ADF中，∠DF A＝90°，∴cot A，∴ 1.19，∴AF≈11×1.19＝13.09（m），∴AB＝AF﹣BG﹣GF＝5.09≈5.1（米），答：渔船A到迎水坡BC的底端B的距离为5.1米．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．34．（2019•黄浦区一模）计算：2cos245°tan45°．【答案】解：原式＝2×（）21＝21＝11＝46．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．35．（2019•宝山区一模）计算：sin30°tan30°+cos60°cot30°．【答案】解：原式．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．36．（2019•金山区一模）如图，已知某水库大坝的横断面是梯形ABCD，坝顶宽AD是6米，坝高24米，背水坡AB的坡度为1：3，迎水坡CD的坡度为1：2．求（1）背水坡AB的长度．（2）坝底BC的长度．【答案】解：（1）分别过点A、D作AM⊥BC，DN⊥BC，垂足分别为点M、N，根据题意，可知AM＝DN＝24（米），MN＝AD＝6（米），在Rt△ABM中，∵，∴BM＝72（米），∵AB2＝AM2+BM2，∴AB24（米），答：背水坡AB的长度为24米；（2）在Rt△DNC中，，∴CN＝48（米），∴BC＝72+6+48＝126（米），答：坝底BC的长度为126米．【点睛】此题考查了坡度坡角问题．此题难度适中，注意构造直角三角形，并借助于解直角三角形的知识求解是关键．37．（2019•普陀区一模）计算：4sin45°+cos230°．【答案】解：原式＝4（）2＝22（）．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．38．（2019•杨浦区一模）如图，AD是△ABC的中线，tan B，cos C，AC．求：（1）BC的长；（2）∠ADC的正弦值．【答案】解：（1）如图，作AH⊥BC于H．在Rt△ACH中，∵cos C，AC，∴CH＝1，AH1，在Rt△ABH中，∵tan B，∴BH＝5，∴BC＝BH+CH＝6．（2）∵BD＝CD，∴CD＝3，DH＝2，AD在Rt△ADH中，sin∠ADH．∴∠ADC的正弦值为．【点睛】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考中考常考题型．39．（2019•杨浦区三模）如图，已知某船向正东方向航行，在点A处测得某岛C在其北偏东60°方向上，前进8海里处到达点B处，测得岛C在其北偏东30°方向上．已知岛C周围6海里内有一暗礁，问：如果该船继续向东航行，有无触礁危险？请说明你的理由．【答案】解：作CD⊥AB于点D，由题意可知，∠CAB＝30°，∠CBD＝60°，∴∠ACB＝30°，在Rt△BCD中，∵∠BDC＝90°，∠CBD＝60°，∴∠BCD＝30°，∴∠ACB＝∠BCD．∴△CDB∽△ADC．∴∵AB＝CB＝8∴BD＝4，AD＝12．。
上海中考数学一模各区18、24、25整理试题及答案
18.已知梯形ABCD 中,AD ∥BC ，AB ＝1５，CD=13,AD =8,∠B 是锐角，∠B 的正弦值为45，那么BC 的长为__＿_＿_＿____2４.如图,抛物线22y ax ax b =-+经过点C （0，32-), 且与x 轴交于点Ａ、点B ,若t ａn ∠ＡCO =23. （1)求此抛物线的解析式;(２）若抛物线的顶点为M ,点Ｐ是线段OB 上一动点 （不与点B 重合),∠MPQ=45°，射线PQ 与线段BM 交于点Q ,当△MPQ 为等腰三角形时,求点P 的坐标．２５．（本题满分14分,其中第(1）小题5分,第(２)小题7分，第(3)小题2分) 如图，在正方形A ＢCD 中，ＡB =2，点P 是边B Ｃ上的任 意一点，Ｅ是ＢC 延长线上一点,联结AP 作ＰF ⊥AP 交∠DC Ｅ的平分线ＣF 上一点F ，联结AF 交直线C Ｄ于点Ｇ． (1) 求证：AP=PF ;(2) 设点P 到点Ｂ的距离为ｘ,线段D Ｇ的长为y ， 试求y 与x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围； (3) 当点Ｐ是线段BC 延长线上一动点,那么（２)式中y 与x 的函数关系式保持不变吗？如改变,试直接写出函数关系式．（第24题）ABCDFGP(第25题)E１8.在Rｔ△ABC中,∠Ｃ=９0°，3cos5B=,把这个直角三角形绕顶点C旋转后得到Rt△A'B'C，其中点B'正好落在AB上，A'B'与AC相交于点D,那么B DCD'=.24．（本题满分12分，每小题各4分）已知，二次函数2y=ax+bx的图像经过点(5,0)A-和点B，其中点B在第一象限,且OA=ＯB，cot∠ＢAO=2．（１）求点B的坐标；（2）求二次函数的解析式;(3）过点B作直线BC平行于ｘ轴,直线ＢC与二次函数图像的另一个交点为Ｃ,联结AＣ，如果点P在x轴上，且△ABC和△ＰAB相似，求点P的坐标．第18题图２５.(本题满分14分,其中第（1)小题８分，第(2）小题6分)如图,Rt△ＡＢC中,∠ACB=90°,ＡC＝4,BＣ=3,P是斜边AB上的一个动点(点P与点Ａ、B不重合)，以点P为圆心,P A为半径的⊙P与射线AＣ的另一个交点为D，射线PD交射线BC于点Ｅ.（１)如图１，若点Ｅ在线段BC的延长线上,设AP=x，CE=y,①求y关于ｘ的函数关系式，并写出ｘ的取值范围;②当以BE为直径的圆和⊙P外切时，求AP的长;（2)设线段BE的中点为Q，射线ＰＱ与⊙P相交于点I,若CI=AＰ,求ＡP的长．C B20１4闵行等六区联考18.如果将一个三角形绕着它一个角的顶点旋转后使这个角的一边与另一边重叠，再将旋转后的三角形进行相似缩放，使重叠的两条边互相重合,我们称这样的图形变换为三角形转似，这个角的顶点称为转似中心,所得的三角形称为原三角形的转似三角形．如图，在△A ＢC 中,AB =6，B Ｃ=7,A Ｃ=5，△A １Ｂ1Ｃ是△ABC 以点C 为转似中心的其中一个转似三角形,那么以点Ｃ为转似中心的另一个转似三角形△A 2Ｂ2Ｃ(点A 2、B 2分别与A 、B 对应）的边Ａ2B 2的长为 ▲ ．２4．(本题满分１2分,其中第（1)小题3分,第(２）小题5分，第（３)小题4分）已知在平面直角坐标系xOy 中,二次函数c bx x y ++-=22的图像经过点A (-３,0）和点Ｂ（０,６)．(１)求此二次函数的解析式；(２)将这个二次函数图像向右平移5个单位后的顶点设为C ,直线BC 与ｘ轴相交于点D ，求∠AB Ｄ的正弦值;(３）在第（2)小题的条件下,联结OC ，试探究直线ＡＢ与OC 的位置关系,并说明理由.２5．（本题满分1４分，其中第（１）小题４分,第(2）小题6分,第（3)小题4分)如图,已知在Rt △ＡＢC 中，∠A ＣB =９0°,ＡＢ=１0，34tan =A ,点D 是斜边AB 上的动点，联结CD ，作DE ⊥CD ，交射线C Ｂ于点Ｅ，设ＡD =ｘ.(1）当点D 是边AB 的中点时,求线段DE 的长; （２）当△BED 是等腰三角形时，求x 的值; (3)如果y =DBDE ,求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域.A (B 1)B C A 1（第18题图） ACBDE （第25题图）201４长宁18.如图，△AB Ｃ是面积为3的等边三角形，△ADE ∽△ABC ，AB =２AD ，∠B ＡD ＝45°，AC 与DE 相交于点F ，则△AE Ｆ的面积是 .２4.（本题满分12分）如图，在直角坐标平面上，点A 、B 在ｘ轴上(A 点在B 点左侧)，点C 在y 轴正半轴上,若A （-1,０）,ＯB =３O Ａ，且tan ∠CAO =2． （1)求点B 、C 的坐标；(2）求经过点A 、B 、C 三点的抛物线解析式;（3)P 是（2）中所求抛物线的顶点,设Ｑ是此抛物线上一点，若△ABQ 与△ABP 的面积相等，求Ｑ点的坐标.第18题图FEDCBA２５.（本题满分1４分)在△ＡB Ｃ中,∠B ＡC =9０°，AB<AC ，M 是ＢC 边的中点，M Ｎ⊥BC 交AC 于点N .动点P 从点B 出发，沿射线BA 以每秒3个长度单位运动，联结MP ，同时Ｑ从点N 出发，沿射线NC 以一定的速度运动，且始终保持MQ ⊥ＭP ,设运动时间为ｘ秒(x ＞0）． (1）求证：△ＢMP ∽△NMQ ；（２）若∠B =60°,A Ｂ=34,设△A ＰQ 的面积为y ,求ｙ与ｘ的函数关系式； （3）判断B Ｐ、ＰQ 、ＣＱ之间的数量关系，并说明理由.第25题 图①NQP MCBA第25题 图②NMCB A２014虹口18.如图,Ｒt △ABC 中,∠C =9０°，ＡB =5， AC=3,在边A Ｂ上取一点D ,作DE ⊥AB 交B Ｃ于点Ｅ．现将△ＢDE 沿D Ｅ折叠，使点Ｂ落在线段DA 上（不与点A 重合），对应点记为B 1;BD 的中点F 的对应点记为F 1.若△EFB ∽△Ａ Ｆ1E ，则Ｂ1D ＝ ▲ ．24.（本题满分12分,第(１）小题满分6分,第（２）小题满分6分）如图,已知抛物线214y x bx c =++经过点B (－４,0)与点C (8,0)，且交y 轴于点A . (1)求该抛物线的表达式，并写出其顶点坐标；（２)将该抛物线向上平移4个单位，再向右平移ｍ个单位，得到新抛物线.若新抛物线的顶点为P ,联结BP ，直线B Ｐ将△AB Ｃ分割成面积相等的两个三角形，求m 的值.ABF 1第18题图CD EFB 1第24题图２5.（本题满分14分,第（1)小题5分，第（2）小题5分，第(3）小题4分)已知：正方形ABC Ｄ的边长为4,点E 为BC 边的中点，点Ｐ为AB 边上一动点,沿PE 翻折△BPE 得到△ＦPE ,直线PF 交ＣＤ边于点Q ,交直线AD 于点G ，联结EQ .(1）如图,当BP ＝1．5时，求C Ｑ的长;(２)如图,当点G 在射线A Ｄ上时，设ＢP=x ,DG ＝ｙ,求y 关于x 的函数关系式，并写出ｘ的取值范围;（3)延长EF 交直线ＡD 于点H ,若△CQ Ｅ∽△FHG ,求BP 的长.A BCD G 第25题图P E FQ备用图２01４徐汇 １8. 如图，矩形A ＢCD 中,A Ｂ=８,BC =９,点P 在BC 边上,CP =３,点Q 为线段A Ｐ上的动点，射线ＢQ 与矩形A ＢCD 的一边交于点R ，且ＡP=BR ，则QRBQ= .24． （本题满分1２分,每小题各６分）如图，直线y =x +3与x 轴、y 轴分别交于点A 、C ,经过Ａ、C 两点的抛物线y ＝ax2＋b ｘ＋ｃ与x 轴的负半轴上另一交点为B ,且t ａｎ∠CBO=3．（1)求该抛物线的解析式及抛物线的顶点D 的坐标；（2）若点P 是射线BD 上一点，且以点Ｐ、A 、B 为顶点的三角形与△AB Ｃ相似，求P 点坐标．第18题P２５. (本题满分14分,其中第(1)小题3分，第（2)小题6分,第(3)小题５分）如图，△AB Ｃ中,AB ＝5，ＢC =11，ｃo ｓB =35，点P 是BC 边上的一个动点,联结A Ｐ， 取AP 的中点M ,将线段MP 绕点P 顺时针旋转90°得线段ＰN ，联结ＡN 、ＮC .设ＢP=x (1)当点N 恰好落在BC 边上时,求N Ｃ的长；（2）若点N 在△ＡBC 内部(不含边界)，设ＢP=x , C Ｎ=y ，求y 关于x 的函数关系式,并求出函数的定义域;（3）若△PNC 是等腰三角形,求ＢP 的长.2014闸北18．如图6,已知等腰△ＡBC ，ＡD 是底边BC 上的高, AD ：DC ＝１:3，将△A ＤＣ绕着点Ｄ旋转，得△D ＥF ， 点A 、C 分别与点Ｅ、F 对应,且E Ｆ与直线ＡB 重合， 设AC 与DF 相交于点O ,则:AOF DOC S S ∆∆＝ .B C图6DCBA24.（本题满分１2分，第（１）小题满分6分,6分)已知：如图１2,抛物线2445y x mx =-++与y 轴交于点Ｃ， 与x 轴交于点A 、B ，（点A 在点B 的左侧）且满足O Ｃ=4OA . 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ： （1）求抛物线的解析式及点M 的坐标； （２）联接CM ,点Q 是射线CM 上的一个动点,当 △ＱMB 与△COM 相似时,求直线ＡQ 的解析式.２5．(本题满分1４分,第(1)小题满分6分,第（2)小题满分４分,第（3)小题满分4分) 已知:如图13，在等腰直角△ＡＢC 中， AC = BC ,斜边AB 的长为4,过点Ｃ作射线CP /／AB ,D 为射线CP 上一点，E 在边BC 上（不与B 、C 重合)，且∠DAE =45°,ＡC 与ＤＥ交于点O ．(1)求证:△A ＤＥ∽△ACB ;（2)设CD =x ，tan ∠ＢＡE = y ,求ｙ关于x 的函数 解析式,并写出它的定义域;（3)如果△C ＯＤ与△ＢEA 相似，求ＣD 的值．2014宝山BAC图12Oxy图13PD OEC BABAC E DF １8、如图，在平面直角坐标系中，R ｔ△OAB 的顶点A 的坐标为(9,0）．t ａn ∠BOA=33,点C 的坐标为（2，0），点P 为斜边ＯB 上的一个动 点，则PA+PC 的最小值为_＿____＿__..25、如图,已知抛物线y=﹣x 2＋ｂx+４与x 轴相交于A 、B 两点，与ｙ轴相交于点C ，若已知B 点的坐标为B(8,０)．（１）求抛物线的解析式及其对称轴方程;（2）连接ＡC 、BC,试判断△AOC 与△COB 是否相似?并说明理由;(3)M 为抛物线上ＢＣ之间的一点,N 为 线段B Ｃ上的一点，若MN ∥ｙ轴,求M Ｎ的最大值；(4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△ACQ 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q 点坐标;若不存在,请说明理由．(本题满分4+3+2＋3＝12分)２6、如图△A ＢＣ中，∠C=90°,∠A=3０°，BC=5ｃm ；△ＤEF 中,∠Ｄ=9０°，∠E=45°,DE ＝3c ｍ.现将△DEF 的直角边DF 与△ABC 的斜边AB 重合在一起，并将△D ＥＦ沿AB 方向移动(如图）．在移动过程中,D 、F 两点始终在AB 边上（移动开始时点D 与点A 重合, 一直移动至点F 与点B 重合为止)．(1）在△DE Ｆ沿ＡＢ方向移动的过程中,有人发现：E 、B 两点间的距离随AD 的变化而变化, 现设A Ｄ=x ，ＢE=ｙ，请你写出y 与x 之间的函数关系式及其定义域． (2) 请你进一步研究如下问题：问题①:当△DE Ｆ移动至什么位置，即AD 的长为多少时,E 、B 的连线与A Ｃ平行?问题②：在△DEF 的移动过程中,是否存在某个位置，使得∠E ＢD=22.5°?如果存在，求出ＡD 的长度；如果不存在，请说明理由.问题③：当△DEF 移动至什么位置，即ＡD 的长为多少时,以线段ＡＤ、EB 、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形?（本题满分6+８=１4分)2０14崇明18．如图,在AOB ∆中，已知90AOB ∠=︒，3AO =，6BO =,将AOB ∆绕顶点O 逆时针旋转到A OB ''∆处，此时线段A B ''与B Ｏ的交点E 为ＢO 的中点,那么线段B E '的长度为 ．24、（本题满分1２分，其中每小题各4分）在平面直角坐标系xOy 中,抛物线2y x bx c =++与x 轴交于,A B 两点(点Ａ在点B 的左侧），点B 的坐标为(3,0),与y 轴交于点(0,3)C ,顶点为D ．(1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； (2）联结ＡC ，BC ,求ACB ∠的正切值;(3）点Ｐ是抛物线的对称轴上一点,当PBD ∆与CAB ∆相似时，求点P 的坐标．ﻬ25、（本题满分１4分，其中第（1)、(2)小题各５分，第(３)小题4分）如图,在ABC ∆中,8AB =,10BC =,3cos 4C =,D ,点E 是BC 边上的一个动点（不与B 、C E与B Ｄ相交于点Ｇ． （１)求证：AB BGCE CF=； （２）设BE x =,CF y =,求y 与x (3)当AEF ∆是以ＡE 为腰的等腰三角形时,求BE ﻬ20１４黄浦1８.如图7,在Ｒt △ABC 中,∠C =9０°，AC =的点，且∠E ＤC=∠A ,将△AB Ｃ沿ＤE 对折,若点24．(本题满分12分，第(1）、（2)、（3）小题满分各4分)如图1１，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线是由抛物线23y x =-向右平移一个单位后得到的，它与ｙ轴负半轴交于点A ，点B 在该抛物线上,且横坐标为3． （1)求点M 、Ａ、B 坐标；(2)联结AB 、AM 、BM ，求ABM ∠的正切值;（第18题图）AA ′B O B ′ED A图7(3)点P 是顶点为M 的抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，当ABM α=∠时，求Ｐ点坐标．25．(本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2)、（3)小题满分各５分) 如图１2，在△AB Ｃ中,∠A ＣB =90°,ＡC ＝８，sin 45B =，D 为边AC 中点,P 为边A Ｂ上一点 (点P 不与点A 、B 重合) ,直线PD 交B Ｃ延长线于点E ,设线段BP 长为x ,线段CE 长为y ． （１)求y 关于x 的函数解析式并写出定义域；(2）过点Ｄ作ＢC 平行线交AB 于点Ｆ，在D Ｆ延长线上取一点ﻩＱ，使得ＱＦ=D Ｆ, 联结PQ 、Q Ｅ,ＱE 交边A Ｃ于点G , ①当△E ＤQ 与△ＥGD 相似时，求x 的值；②求证:PD DEPQQE=.图11 B图122０14嘉定18. 如图4，在矩形ABCD 中，已知12AB =,8AD =，如果将矩形 沿直线l 翻折后,点A 落在边CD 的中点E 处,直线l 与分别边AB 、AD 交于点M 、N ,那么MN 的长为 ▲ .24．(本题满分１2分，每小题满分4分）在平面直角坐标系xOy (如图９)中，已知Ａ（1-，3)、Ｂ(2，n ）两点在二次函数4312++-=bx x y 的图像上. (1)求b 与n 的值；(2）联结OA 、OB 、AB ,求△AOB 的面积;（3)若点P （不与点A 重合）在题目中已经求出的二次函数的图像上,且︒=∠45POB ，求点P 的坐标. ﻩ25．（本题满分1４分，其中第(1）小题4分,第(2）小题５分,第（3)小题5分）已知:⊙O 的半径长为5,点A 、B 、C 在⊙O 上,6==BC AB ，点E 在射线BO 上． (1)如图１0,联结AE 、CE ,求证:CE AE =；（2)如图11,以点C 为圆心,CO 为半径画弧交半径OB 于D ，求BD 的长； （3）当511=OE 时，求线段AE 的长.图4图10图11备用图图92０14奉贤18.我们把三角形三边上的高产生的三个垂足组成的三角形称为该三角形的垂三角形。
2025中考数学二次函数压轴题专题练习18 二次函数与几何交点问题(学生版+解析版)
专题18二次函数与几何交点间题1.(2023·黑龙江大庆中考真题）如图，二次函数y = a:x.2+bx+c的图象与X轴交千A,B两点，且自变量X 的部分取值与对应函数值Y如下表：XL -]。
I2 34L yL。
-3-4-3。
5Ly y备用图备用图(I)求二次函数y=ax 2+bx+c的表达式；(3)若将线段A B 先向上平移3个单位长度，再向右平移l 个单位长度，得到的线段与二次函数y ＝一（釭2+bx+c)的图象只有一个交点，其中（为常数，请直接写出t的取值范围2.(2023四川德阳中考真题）已知：在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A(-4，0)'B (2,0)，与y 轴交千点C (O,-4)．1付l(I)求抛物线的解析式；E -阳2(2)如图1，如果把抛物线x 轴下方的部分沿x 轴翻折180°,抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．当平面内的直线y＝妇＋6与新图象有三个公共点时，求k的值；3.(2023山东济南中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，正方形ABCD 的顶点A,B 在X轴上，C(2,3),D(-1,3) 抛物线y ＝成－2少＋c(a«))与X 轴交于点E(-2,0)和点Fy y(1)如图l ，若抛物线过点C,求抛物线的表达式和点F 的坐标；(2)如图2,在（I)的条件下，连接CF,作直线CE,平移线段CF,使点C 的对应点P落在直线CE 上，点F 的对应点Q落在抛物线上，求点Q的坐标；(3)若抛物线y=ax 2-2ax+c(a<0)与正方形ABCD 恰有两个交点，求(1的取值范围，4.(2023山东日照中考真题）在平面百角坐标系xOy 内，抛物线y ＝动X江女仄＋2(a>0)交y轴于点C ，过点C作x轴的平行线交该抛物线千点D.l ｀一-x(1)求点C,D的坐标；(3)坐标平面内有两点£(�.a +1} F (5,a + I )，以线段EF 为边向上作正方形EFGH.＠若a=l,求正方形EFGH 的边与抛物线的所有交点坐标；＠当正方形EFGH 的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x 轴的距离之差为－5时，求a的值5.(2022吉林长春中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线y = x 1-bx (b是常数）经过点(2,0)点A在抛物线上，且点A的横坐标为m(m;1:0)以点A为中心，构造正方形PQMN, P Q=2|『111，且PQ.lx轴．(l)求该抛物线对应的函数表达式：(2若点B是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧．过点B作x轴的平行线交抛物线千另一点C,连按BC.当BC=4时，求点B的坐标：(3若m>O,当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，或者y随x的增大而减小时，求m的取值范围：3(4)当抛物线与正方形PQMN的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为一时，且接写出m4的值6.(2022湖南永州中考真题）已知关于X的函数y= ax2 +bx+c(1)若a.=l,函数的图象经过点(1,-4)和点(2,I)，求该函数的表达式和最小值；(2)若a=l,b=-2, c=m十l时，函数的图象与X轴有交点，求m的取值范围．(3)阅读下面材料：设a>0,函数图象与X轴有两个不同的交点A,B,若A,8两点均在原点左侧，探究系数a, b, c应满足的条件，根据函数图像，思考以下三个方面：＠因为函数的图象与X轴有两个不同的交点，所以6.=b2 -4ac> 0:＠因为A,8两点在原点左侧，所以x=O对应图象上的点在X轴上方，即c>O:＠上述两个条件还不能确保A,8两点均在原点左侧，我们可以通过抛物线的对称轴位置来b进一步限制抛物线的位置：即需－一又0.2a综上所述，系数a,b, c应满足的条件可归纳为：请根据上面阅谅材料，类比解决下而问题：a>O tJ.=li-4ac>0c>Ob -—<02a若函数y= ax2 -2x+3的图象在直线x=1的右侧与人轴有且只有一个交点，求U的取值范围．7.(2022湖南衡阳中考真题）如图，已知抛物线y=x'-x-2交X轴千A、B两点，将该抛物线位千X轴下方的部分沿X轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W"，图象W交Y轴千点c.｀ ｀ ＼ ｀x， I I、一，，(］)写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式：(2)若直线y=-x+b与图象W有三个交点，请结合图象，直按写出b的值：(3)p为X轴正半轴上一动点，过点P作PM ff y轴交直线BC千点M,交图象W于点N,是否存在这样的点P,使..CMN与60BC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．专题18二次函数与几何交点间题1.(2023·黑龙江大庆中考真题）如图，二次函数y = a:x .2+bx+c的图象与X轴交千A,B两点，且自变量X 的部分取值与对应函数值Y如下表：X L -]。
中考数学三轮复习 第18题填空题(难题-涉及作图)专项强化练习(含答案详解)
中考数学三轮复习第18题填空题(难题-涉及作图)专项强化练习1.如图，网格中每个小正方形的边长为1，点A，B均在格点上.(1)线段AB的长为；(2)请借助网格，仅用无刻度的直尺在AB上作出点P，使AP=354，并简要说明作图方法（不要求证明）：.2.如图，在每个小正方形边长为1的网格中，△ABC的顶点A、B、C均在格点上.(1)∠ACB的大小为；（度）(2)在如图所示的网格中，以A为中心，取旋转角等于∠BAC，把△ABC逆时针旋转，得到△AB/C/（点B/为点B的对应点，点C/为点C的对应点）.请用无刻度的直尺，画出△AB/C/，并简要说明点B/，点C/的位置是如何找到的（不要求证明）.3.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C，D均在格点上，AB与CD相交于点E.(1)CD的长等于；(2)F是线段DE上一点，且3EF=5FD，在线段BF上有一点P，满足4PF=5BP，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）：.4.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，B，C均在格点上.(1)△ABC的面积为；(2)若有一个边长为6的正方形，且满足点A为该正方形的一个顶点，且点B，C 分别在该正方形的两边上，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出这个正方形，并简要说明其他顶点的位置是如何找到的（不要求证明）：.(1)△ABC的面积为；(2)点P是△ABC内切圆与AB的切点，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）：.6.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均为格点，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，D为BC中点，P为AC上的一个动点.(1)当点P为线段AC中点时，DP的长度等于；(2)将P绕点D逆时针旋转90°得到点P/，连接BP/，当线段BP/+DP/取得最小值时，请借助无刻度直尺在给定的网格中画出点P，点P/，并简要说明你是怎么画出点P，点P/的：.(1)AC的长等于；(2)点P落在格点上，M是边BC上任意一点，点B关于直线AM的对称点为B/，当PB/最短时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点B/，并简要说明点B/是如何找到的（不要求证明）：.8.如图，将四边形ABCD放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C、D均落在格点上.(1)计算AD2+DC2+CB2的值等于；(2)请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以AB为一边的矩形，使该矩形的面积等于AD2+DC2+CB2，并简要说明画图方法（不要求证明）：.(1)BC的长等于；(2)在如图所示的网格中，将△ABC绕点A旋转，使得点B的对应点B/落在边BC上，得到△AB/C/，请用无刻度的直尺，画出△AB/C/，并简要说明这个三角形的各个顶点是如何找到的（不要求证明）：.10.如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均在格点上.(1)边AC的长等于；(2)以点C为旋转中心，把△ABC顺时针旋转，得到△A/B/C/，使点B的对应点B/恰好落在边AC 上，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，作出旋转后的图形，并简要说明画图的方法（不要求证明）：.中点.(1)AD 的长为；(2)请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个点P，使其满足S △PAD =S 四边形ABCD ，并简要说明点P 的位置是如何找到的（不要求证明）：.12.如图，将△ABC 放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C 均在格点上.(1)△ABC 的面积等于；(2)请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中画出△ABC 的角平分线BD，并在AB 边上画出点P，使得PB=PD，并简要说明△ABC 的角平分线BD 及点P 的位置是如何找到的（不要求证明）：.中点.(1)AC的长等于；(2)点P、Q分别为线段BC，AC上的动点，当PD+PQ取得最小值时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段PD，PQ，并简要说明点P和点Q的位置是如何找到的（不要求证明）：.14.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，M，N均在格点上.在线段MN上有一动点B，以AB为直角边在AB的右侧作等腰直角△ABC，使AB=BC，∠ABC=90°，G是一个正方形边的中点.(1)当点B的位置满足AB⊥MN时，求此时CG的长为；(2)请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点C，使其满足线段GC最短，并简要说明点C的位置是如何找到的（不要求证明）：.15.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，B，D，E为格点，C为AD，BE的延长线的交点.(1)sin∠CAB的结果为；(2)若点R在线段AB上，点S在线段BC上，点T在线段AC上，且满足四边形ARST为菱形，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出菱形ARST，并简要说明点R，S，T的位置是如何找到的（不要求证明）：.16.如图1，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C、D均在格点上，点E为直线CD 上的动点，连接BE，作AF⊥BE于点F.点P为BC边上的动点，连接DP.(1)当点E为CD边的中点时，△ABF的面积为；(2)当DP+PF最短时，请在图2所示的网格中，用无刻度的直尺画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）：.17.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B均落在格点上，AB为⊙O的直径.(1)AB的长等于；(2)请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以AB为斜边，面积为5的Rt△PAB，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）：.18.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，P分别为小正方形的中点，B为格点.(1)线段AB的长等于；(2)在线段AB上存在一个点Q，使得点Q满足∠PQA=45°，请你借助给定的网格，并利用无刻度的直尺作出∠PQA，并简要说明你是怎么找到点Q的（不要求证明）：.19.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C在格点上，以点A为圆心，AC为半径的半圆交AB于点E.(1)BE的长为；(2)试用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，找一点P（点P，C在AB两侧），使PA=5，PE与半圆相切.简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）：.20.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点B，M均为格点，点A为小正方形边的中点.(1)线段AB的长为；(2)在线段AB上存在一点N，使得点N满足∠MNB=45°，请你借助给定的网格，用无刻度的直尺作出∠MNB，并简要说明你是怎么得到点N的（不要求证明）：.21.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC 的顶点A，B，C 均在格点上.(1)AB 的长等于；(2)请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点E，F，点E 在BC 上，且BE：CE=1:3，点F 在AB 上，使其满足∠CEA=∠BEF，并简要说明E，F 的位置是如何找到的（不要求证明）：.22.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C，D 均在格点上，AC，BD 交于点P.(1)tan∠ABD 的值为；(2)若点M 在线段AB 上，当PM+22BM 取得最小值时，请在如图所示的网格中用无刻度的直尺，画出点M，并简要说明点M 的位置是如何找到的（不要求证明）：.答案解析1.答案为：2；（1）5（2）如图，取格点M，N，连接MN交AB于点P，则点P即为所求.2.答案为：（1）90；（2）如图，取格点B/，连接B/C；取格点D，F，E，G，连接DE，GF交于点H；取格点I，J，K，L，连接IK，JL交于点M，AH的延长线与B/M的延长线交于点C/，则AB/C/即为所求.3.答案为：（1）73；（2）如图，取格点G，H，连接GH，与CD相交于点F，连接BF.取格点I，J，K，连接BI，JK 相交于点L，取格点M，连接ML，与BF相交于点P，点P即为所求.（1）15；（2）如图，取格点O，L，M，N，连接OL，MN，交于点D；同样地，取格点K，P，Q，连接OK，PQ，交于点F；作射线DB和FC，交于点E，连接AD，AF，四边形ADEF即为所求.5.答案为：（1）12；（2）方法一：如图，取格点E、F、G、H，分别连接EF、GH交于点D，取格点O，连接OD交AB 于P，点P即为所求.方法二：如图，取格点M，N，连接MN交AB于点P，点P即为所求.6.答案为：（1）2.5；（2）取格点E，F，G，H，连接EF，GH，它们分别与网格线相交于I，J，取格点K，连接IJ，KD，它们相交于点P/，则点P/即为所求，取格点M，N，连接MN，与网格线相交于点L，连接DL，与网格线相交于点P，则点P即为所求.（1）29；（2）如图，连接PA；取格点I，J，连接IJ交PA于点B/，则点B/即为所求.8.答案为：（1）22；（2）如图，以AB为边作正方形ABGH，再作平行四边形HMNG，直线MN交AH于点Q，交GB于点P，矩形ABPQ即为所求.9.答案为：2；（1）5（2）如图，取格点D，E，F，G，连接AD交边BC于点B/，连接AF和EG相交于点C/，则△AB/C/即为所求.（1）5；（2）如图，取格点E，F，M，N，作直线EF，直线MN，MN 与EF 交于点A /，EF 与AC 交于点B /，连接C /A，A /B /C 即为所求.11.答案为：（1）2109；（2）如图，取格点E，连接BE 与DC 延长线交于点P，点P 即为所求.12.参考答案（1）6；（2）如图，取格点M，N，连接MN，MN 与网格线交于点D，连接BD 即为所求；BD 与网格线交于点E，取格点G，H，GH 与网格线交于点F，过点E，F 画直线，直线EF 交AB 于点P 即为所求.（1）5；（2）如图，BC 与网格线相交，得点P；取格点E，F，连接EF，与网格线相交，得点G，取格点M，N，连接MN，与网格线相交，得点H，连接GH，与AC 相交，得点Q，连接PD，PQ，线段PD，PQ 即为所求.14.答案为：（1）253；（2）如图，取格点H，D，E，F，连接DH，连接EF 与格线交于T 点，连接GT 并延长GT 与HD 交于点C，点C 即为所有.15.答案为：（1）0.8；（2）如图，取格点F，G，H，连接GH，连接AF 分别交GH，BC 于点O，S；取AC 与网格线的交点为T，连接TO 并延长交AB 于点R.连接RS，ST 得到四边形ARST 即为所求.（1）4；（2）如图，取格点G，M，N，分别连接DG，MN 交于点D /，取格点H，连接HD /交BC 于P 点，点P 即为所求.17.答案为：（1）26；（2）如图，取格点C，连接AC，取格点D，E，连接DE 与AC 交于点M.取格点F，G，连接FG 并延长，交网格线与点H，连接BH；取格点I，连接GI 与BH 交于点N.连接MN 与⊙O 相交，得点P，连接AP，BP，则△PAB 即为所求.18.答案为：（1）285；（2）如图，取格点E，F，连接EF，交格线于点D.连接DP，交线段AB 于点Q，则∠PQA 即为所求.（1）2；（2）如图，取格点M，N 和F，连接MN，FE 并延长，相交于点P，连接PA，点P 即为所求.20.答案为：（1）297；（2）如图，取格点E，F，G，H，连接EF，GH 交于点C，连接MC，交线段AB 于点N，则∠MNB 即为所求.21.答案为：（1）13；（2）取格点M，N，连接MN 与BC 的交点即为点E，取格点A /，连接A /E 并延长与AB 的交点即为F 点，连接AE，则点E，F 满足∠CEA=∠BEF.（1）1/3；（2）取格点A/，B/，C/，D/，连接A/C/，B/D/，A/C/与B/D/相交于点P/，连接PP/，与AB相交于点M，点M即为所求.。
中考数学专题18 概率-三年(2019-2021)中考真题数学分项汇编(全国通用)(原卷版)
专题18 概率一、单选题1．（2021·广西玉林市·中考真题）一个不透明的盒子中装有2个黑球和4个白球，这些球除颜色外其他均相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（ ）A ．至少有1个白球B ．至少有2个白球C ．至少有1个黑球D ．至少有2个黑球2．（2021·湖北宜昌市·中考真题）在六张卡片上分别写有6，227-，3.1415，π，0机抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是（ ）A ．23B ．12C ．13D ．163．（2021·浙江衢州市·中考真题）一个布袋里放有3个红球和2个白球，它们除颜色外其余都相同．从布袋中任意摸出1个球，摸到白球的概率是（ ）A ．13B ．23C ．15D ．254．（2021·北京中考真题）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上､一枚硬币反面向上的概率是（ ）A ．14B ．13C ．12D ．235．（2021·湖北随州市·中考真题）如图，从一个大正方形中截去面积为23cm 和212cm 的两个小正方形，若随机向大正方形内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（ ）A ．49B ．59C ．25D ．356．（2021·湖南中考真题）下列说法正确的是（ ）A ．“明天下雨的概率为80%”，意味着明天有80%的时间下雨B ．经过有信号灯的十字路口时，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯C ．“某彩票中奖概率是1%”，表示买100张这种彩票一定会有1张中奖D ．小明前几次的数学测试成绩都在90分以上，这次数学测试成绩也一定在90分以上7．（2021·江苏扬州市·中考真题）下列生活中的事件，属于不可能事件的是（）A．3天内将下雨B．打开电视，正在播新闻C．买一张电影票，座位号是偶数号D．没有水分，种子发芽8．（2021·湖南长沙市·中考真题）在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：16；丁：7；戊：17．根据以上信息，下列判断正确的是（）A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是8和9 B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7C．丁同学手里拿的两张卡片上的数字是3和4 D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和9．9．（2021·湖南长沙市·中考真题）有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻有1到6的点数．将它投掷两次，则两次掷得骰子朝上一面的点数之和为5的概率是（）A．19B．16C．14D．1310．（2021·安徽中考真题）如图在三条横线和三条竖线组成的图形中，任选两条横线和两条竖线都可以图成一个矩形，从这些矩形中任选一个，则所选矩形含点A的概率是（）A．14B．13C．38D．4911．（2020·辽宁铁岭市·中考真题）一个不透明的口袋中有4个红球、2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球，则摸到红球的概率是（）A．16B．13C．12D．2312．（2020·辽宁盘锦市·中考真题）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区1000名九年级男生的身高数据，统计结果如下．根据以上统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于170cm的概率是（）A．0.32B．0.55C．0.68D．0.8713．（2020·四川绵阳市·中考真题）将一个篮球和一个足球随机放入三个不同的篮子中，则恰有一个篮子为空的概率为（）A．23B．12C．13D．1614．（2020·广西中考真题）一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都随机选择一条路径，则它获得食物的概率是（）A．16B．14C．13D．1215．（2020·辽宁营口市·中考真题）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（）A．0.90B．0.82C．0.85D．0.8416．（2020·云南中考真题）下列说法正确的是（）A．为了解三名学生的视力情况，采用抽样调查B．任意画一个三角形，其内角和是360︒是必然事件C．甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数分别为x甲、x乙，方差分别为2S甲、2乙S．若= x x 甲乙，2=0.4S甲，2=2S乙，则甲的成绩比乙的稳定D．一个抽奖活动中，中奖概率为120，表示抽奖20次就有1次中奖17．（2020·山西中考真题）如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到菱形，再顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形．将一个飞镖随机投掷到大矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是（）A．13B．14C．16D．1818．（2020·湖南邵阳市·中考真题）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为5m，宽为4m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果），他将若干次有效实验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（）A．26m B．27m C．28m D．29m19．（2020·湖北武汉市·中考真题）两个不透明的口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1，2，3．从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是（）A．两个小球的标号之和等于1B．两个小球的标号之和等于6C．两个小球的标号之和大于1D．两个小球的标号之和大于620．（2020·湖南长沙市·中考真题）一个不透明的袋子中装有1个红球，2个绿球，除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，然后放回摇匀，再随机摸出一个，下列说法中，错误的是（）A．第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球一定是绿球B．第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是绿球C．第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是红球D．第一次摸出的球是红球的概率是13；两次摸出的球都是红球的概率是1921．（2019·贵州贵阳市·中考真题）如图，在3×3的正方形网格中，有三个小正方形己经涂成灰色，若再任意涂灰1个白色的小正方形（每个白色的小正方形被涂成灰色的可能性相同），使新构成灰色部分的图形是轴对称图形的概率是（）A．19B．16C．29D．1322．（2019·江苏泰州市·中考真题）小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如表：若抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近（）A．20B．300C．500D．80023．（2019·辽宁阜新市·中考真题）一个不透明的袋子中有红球、白球共20个这些球除颜色外都相同将袋子中的球搅匀后，从中随意摸出1个球，记下颜色后放回，不断重复这个过程，共摸了100次，其中有30次摸到红球，由此可以估计袋子中红球的个数约为( )A．12B．10C．8D．624．（2019·台湾中考真题）箱子内装有53颗白球及2颗红球，小芬打算从箱子内抽球，以每次抽出一球后将球再放回的方式抽53次球．若箱子内每颗球被抽到的机会相等，且前52次中抽到白球51次及红球1次，则第53次抽球时，小芬抽到红球的机率为何？（）A．12B．13C．253D．255二、填空题目25．（2021·湖北宜昌市·中考真题）社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里装有几十个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象如图所示，经分析可以推断盒子里个数比较多的是___________（填“黑球”或“白球”）．26．（2021·湖南岳阳市·中考真题）一个不透明的袋子中装有5个小球，其中3个白球，2个黑球，这些小球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是白球的概率为_______．27．（2021·上海中考真题）有数据1,2,3,5,8,13,21,34，从这些数据中取一个数据，得到偶数的概率为______．28．（2021·江苏苏州市·中考真题）一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上．每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是______．29．（2021·浙江台州市·中考真题）一个不透明布袋中有2个红球，1个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机模出一个小球，该小球是红色的概率为_____．30．（2021·浙江宁波市·中考真题）一个不透明的袋子里装有3个红球和5个黑球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为________．31．（2021·浙江金华市·中考真题）某单位组织抽奖活动，共准备了150张奖券，设一等奖5个，二等奖20个，三等奖80个．已知每张奖券获奖的可能性相同，则1张奖券中一等奖的概率是____________．32．（2021·浙江温州市·中考真题）一个不透明的袋中装有21个只有颜色不同的球，其中5个红球，7个白球，9个黄球．从中任意摸出1个球是红球的概率为______．33．（2021·四川南充市·中考真题）在2-，1-，1，2这四个数中随机取出一个数，其倒数等于本身的概率是________．34．（2021·四川资阳市·中考真题）将2本艺术类、4本文学类、6本科技类的书籍混在一起．若小陈从中随机抽取一本，则抽中文学类的概率为__________．35．（2021·重庆中考真题）在桌面上放有四张背面完全一样的卡片．卡片的正面分别标有数字﹣1，0，1，3．把四张卡片背面朝上，随机抽取一张，记下数字且放回洗匀，再从中随机抽取一张．则两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率是_______．36．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）看了《田忌赛马》故事后，小杨用数学模型来分析齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马记分如表，每匹马只赛一场，大数为胜，三场两胜则赢．已知齐王的三匹马出场顺序为10，8，6则田忌能赢得比赛的概率为__________________．37．（2021·四川泸州市·中考真题）不透明袋子重病装有3个红球，5个黑球，4个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个球，则摸出红球的概率是_________．38．（2021·重庆中考真题）不透明袋子中装有黑球1个、白球2个，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，将袋子中的球摇匀，再随机摸出一个球，记下颜色，前后两次摸出的球都是白球的概率是__________．39．（2021·浙江中考真题）某商场举办有奖销售活动，每张奖券被抽中的可能性相同．若以每1000张奖券为一个开奖单位，设5个一等奖，15个二等奖，不设其他奖项，则只抽1张奖券恰好中奖的概率是_____．40．（2021·天津中考真题）不透明袋子中装有7个球，其中有3个红球，4个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是_____．41．（2020·辽宁锦州市·中考真题）在一个不透明的袋子中装有4个白球，a个红球．这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为23，则a ______．42．（2020·湖南益阳市·中考真题）时光飞逝，十五六岁的我们，童年里都少不了“弹珠”。
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中考数学第18题专项练习1.在Rt ABC △中，903BAC AB M ∠==°，，为边BC 上的点，联结AM （如图3所示）．如果将ABM △沿直线AM 翻折后，点B 恰好落在边AC 的中点处，那么点M到AC 的距离是 ．（2009年中考）2.已知正方形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE = 2，EC = 1（如图所示） 把线段AE 绕点A 旋转，使点E 落在直线BC 上的点F 处，则F 、C 两 点的距离为_ _______.（2010年上海中考）3.Rt △ABC 中，已知∠C ＝90°，∠B ＝50°，点D 在边BC 上，BD ＝2CD ．把△ABC 绕着点D 逆时针旋转m （0＜m ＜180）度后，如果点B 恰好落在初始Rt △ABC 的边上，那么m ＝_________．（2011年上海中考）4.如图所示，Rt ABC 中，90C ∠=︒，1BC =，30A ∠=︒， 点D 为边AC 上的一动点，将ABD 沿直线BD 翻折，点A 落在点E 处，如果DE AD ⊥时，那么DE = .（2012年上海中考）5．如图4，⊙A 、⊙B 的圆心A 、B 都在直线l 上，⊙A 的半径为1cm ， ⊙B 的半径为2cm ，圆心距AB =6cm. 现⊙A 沿直线l 以每秒1cm 的速度 向右移动，设运动时间为t 秒，写出两圆相交时，t 的取值范围： ．(2010,宝山二模)l(图4) B A CDA BE 图 C BDA6．在Rt △ABC 中，∠C =90º ，BC =4 ，AC =3，将△ABC 绕着点B 旋转后点A 落在直线BC 上的点A '，点C 落在点C '处，那么A A '的值为 ； （2010，奉贤二模）7. 已知平行四边形ABCD 中，点E 是BC 的中点，在直线BA 上截取2BF AF =，EF 交BD 于点G ，则GBGD= ．（2010，虹口区二模）8.如图，在ABC ∆中，∠ACB =︒90,AC =4,BC =3,将ABC ∆绕点C 顺时针旋转至C B A 11∆的位置，其中B 1C ⊥AB ,B 1C 、A 1B 1交AB 于M 、N 两点，则线段MN 的长为 .（2010年，黄浦区二模）9．如图2，在△ABC 中，AD 是BC 上的中线，BC =4，∠ADC =30°，把△ADC 沿AD 所在直线翻折后点C 落在点C ′ 的位置，那么点D 到直线BC ′ 的 距离是 ．（2010年，金山区）10．如图，半径为1且相外切的两个等圆都内切于半径为3的圆，那么图中阴影部分的周长为 ．（2010年，静安区二模）11.如图，在△ABC 中，AB = AC ，BD 、CE 分别是边AC 、AB 上的中线，且BD ⊥CE ，那么tan ∠ABC =___________．（2010年，闵行区二模）A 1N M CBA B 1 C /B DC A 图2 ABCD E12．已知在△AOB 中，∠B =90°，AB =OB ，点O 的坐标为（0，0），点A 的坐标为（0，4），点B 在第一象限内，将这个三角形绕原点O 逆时针旋转75°后，那么旋转后点B 的坐标为 ．（2010年，浦东新区二模）13．在△ABC 中，AB=AC ，∠A=80°，将△ABC 绕着点B 旋转，使点A 落在直线BC 上，点C 落在点'C ，则∠'BCC = ．（2010年，青浦区二模）13．如图，已知在直角三角形ABC 中，∠C =90°，AB =5，BC =3，将ABC ∆绕着点B 顺时针旋转，使点C 落在边AB 上的点C ′处，点A 落在点A ′处，则AA ′的长为 ．（2010年，松江区二模）14．如图，将矩形纸片ABCD 折叠，B 、C 两点恰好重合落在AD 边上 点P 处，已知︒=∠90MPN ，PM=3，PN=4，，那么矩形纸片ABCD 的面积为 __ ___．（2010年，徐汇区二模）15.在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =2，将这个三角形绕点C 旋转60°后，AB 的中点D 落在点D ′处，那么DD ′的长为 ．（2010年，杨浦区二模）A BC16.在△ABC中，AB＝AC＝5，若将△ABC沿直线BD翻折，使点C落在直线AC上的点C′处，AC′＝3，则BC＝．（2010年，闸北区二模）17. 在Rt△ABC中，∠A<∠B,CM是斜边AB上的中线，将△ACM沿直线CM翻折，点A落在D处，若CD恰好与AB垂直，则∠A = 度。
（2010年，长宁区二模）18．矩形ABCD中，4AD=，2CD=，边AD绕A旋转使得点D落在射线CB上P处，那么DPC∠的度数为．（2012年，奉贤区二模）19. 在Rt△ABC中，∠C=90º ，BC =4 ，AC=3，将△ABC绕着点B旋转后点A落在直线BC上的点A'，点C落在点C'处，那么'tan AAC的值是 .（2012年，金山区二模）20．如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为12的矩形，接着把其中一个面积为12的矩形等分成两个面积为14的矩形，再把其中一个面积为14的矩形等分成两个面积为18的矩形，如此进行下去，试利用图形所揭示的规律计算：111111111248163264128256++++++++=．（2012年，闵行区二模）121418116132（第18题图）21．如图，在直角坐标系中，⊙P 的圆心是P （a ，2）（a >0），半径为2；直线y=x 被⊙P 截得的弦长为23，则a 的值是 . （2012年，浦东新区二模）22．如果线段CD 是由线段AB 平移得到的，且点A （－1，3）的对应点为 C （2，5），那么点 B （－3，－1）的对应点 D 的坐标是 （2012年，青浦区二模）23．如图3，在菱形ABCD 中，3=AB ，︒=∠60A ,点E 在射线CB 上，1=BE ，如果AE 与射线DB 相交于点O ，那么=DO ．（2012年，徐汇二模）24. 如图，在△ACB 中，∠CAB=90°,AC=AB ＝3,将△ABC 沿直线BC 平移，顶点A 、C 、B 平移后分别记为A 1、C 1、B 1，若△A CB 与△A 1C 1B 1重合部分的面积2，则CB 1= .25．已知正方形ABCD 的边长为3，点E 在边DC 上，且︒=∠30DAE ，若将ADE∆绕着点A 顺时针旋转︒60，点D 至'D 处，点E 至'E 处，那么''E AD ∆与四边形ABCE 重叠部分的面积等于_____________．(13 金山区二模)26．如图，在ABC ∆中，90C ∠= ，10AB =，3tan 4B =，点M 是AB 边的中点，将ABC∆绕着点M 旋转，使点C 与点A 重合，点A 与点D 重合，点B 与点E 重合，得到DEA ∆，且AE 交CB 于点P ，那么线段CP 的长是 ；(13 奉贤区二模)C BAM CBA•AB C D O 27．如图，在直角梯形纸片ABCD 中，AD∥BC，∠A=90°，∠C=30°，点F 是CD 边上一点，将纸片沿BF 折叠，点C 落在E 点，使直线BE 经过点D ，若BF=CF=8，则AD 的长为 . (13 虹口二模)28. 如图，圆心O 恰好为正方形ABCD 的中心，已知4AB =，⊙O 的直径为1.现将⊙O 沿某一方向平移，当它与正方形ABCD 的某条边相切时停止平移，记此时平移的距离为d ，则d 的取值范围是 . (13 黄埔区二模)29．如图，在△ABC 中, 70=∠CAB . 在同一平面内, 将△ABC 绕点A 旋转到△//C AB 的位置, 使得AB CC ///, 则=∠/BAB ___________度．(13 杨埔区二模)30.如图3，在梯形A B C D 中，已知AB ∥CD ，︒=∠90A ，cm AB 5=，cm BC 13=.以点B 为旋转中心，将BC 逆时针旋转︒90至BE ，BE 交CD 于F 点.如果点E 恰好落在射线AD 上，那么DF 的长为 cm .(13 嘉定区二模)A B CD ACB D E图3F2(09中考)1或5(10中考) 80或120(11中考 根号3-1(12中考)18、9753<<<<t t 或2010,宝山2 18．10或310；2010奉贤218．25或23．虹口区18、0.8. 黄浦区18.1。
2010年金山区18．37π．静安区18.设AB ＝2a,BC ＝b 则CO ＝b/√2。
DO ＝b/√8 ⊿COD 是直径三角形 a²＝b²/2+b²/8＝（5/8）b² a/b＝√10/4 cos∠ABC＝b/4a ＝1/√10. tan∠ABC ＝3闵行区18．（2-，6）．2010年浦东新区 18． 65或 252010年青浦区 18、522010年松江区18.5144。
徐汇区18． 1杨浦区18．10或210．闸北 18. 302010年长宁区18．75°或15°．奉贤区201218．3或13 金山区201218．511256．闵行区2011 18．22-或22+．浦东新区2011 18．6． 普陀区201118、（0,1）2012 年 青 浦 区18．49或29．2011学年第二学期徐汇区。