2.1.2 指数函数及其性质1
课件12：2.1.2. 第1课时 指数函数及其性质
新知初探
知识点一 指数函数的定义 函数__y_＝__a_x_ (a>0 且 a≠1)叫做指数函数，其中 x 是自变量． 指数函数解析式的 3 个特征 (1)底数 a 为大于 0 且不等于 1 的常数． (2)自变量 x 的位置在指数上，且 x 的系数是 1. (3)ax 的系数是 1.
A．y＝(－3)x B．y＝－3x C．y＝3x－1
D．y＝13x
解析：根据指数函数的定义 y＝ax(a>0 且 a≠1)可知只有 D 项正确．
答案：D
3．函数 f(x)＝ 2x1－1的定义域为(
)
A．R B．(0，＋∞) C．[0，＋∞)
D．(－∞，0)
解析：要使函数有意义，则 2x－1>0，∴2x>1，∴x>0. 答案：B 4．已知集合 A＝{x|x<3}，B＝{x|2x>4}，则 A∩B＝( )
跟踪训练 2 (1)已知 1>n>m>0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx 的 图象为( )
(2)若 a>1，－1<b<0，则函数 y＝ax＋b 的图象一定在( ) A．第一、二、பைடு நூலகம்象限 B．第一、三、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限
解析：(1)由于 0<m<n<1，所以 y＝mx 与 y＝nx 都是减函数，故排除 A、B，作直线 x＝1 与两个曲线相交，交点在下面的是函数 y＝mx 的图象，故选 C. (2)∵a>1，且－1<b<0，故其图象如右图所示．
跟踪训练 1 (1)若函数 y＝(3－2a)x 为指数函数，则实数 a 的 取值范围是________； (2)下列函数中是指数函数的是________．(填序号) ①y＝2·( 2)x ②y＝2x－1 ③y＝2πx ④y＝xx
§2.1.2指数函数及其性质(1)
本节课学习了那些知识?
• 指数函数的定义
一 地 函 y = a (a > 0, a ≠1 叫 指 般 ， 数 ) 做 数
x
函 ， 中是 变 ， 数 定 域 数 其 x 自 量 函 的 义 是 R。
指数函数的图象及性质！
归纳
指数函数在底数 0 < a < 1 及 情况下的图象和性质： 情况下的图象和性质：
1 f (− 3) = π = π
−1
应用
2、比较下列各题中两个值的大小： 、比较下列各题中两个值的大小：
(1 )1 . 7
, 2 . 3 1 .6
2 .5
,1 .7 3 ; (2
0 . 8 − 0 .1 , 0 . 8 − 0 .2 ; )
, 0 .9 ;
( 4 )1 . 8 0 . 3 ,, 2 ..3 3 . 1 ;( 4 )1 . 7 3 7 0 9
f(x) = 0.9x
1.4
1.4
1.2
1.2
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
-2
-1.5
-1
-0.5 -0.2
0.5
1
1.5
2
2.5
-0.5 -0.2
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
-0.4
-0.4
方法总结： 方法总结： 对同底数幂大小的比较用的是指数函数的 单调性， 单调性，必须要明确所给的两个值是哪个指数 函数的两个函数值； 函数的两个函数值；对不同底数幂的大小的比 较可以与中间值进行比较. 较可以与中间值进行比较.
2.1.2指数函数及其性质(1)
1.图像向左、向右是无限延伸的。 (0,1)
2.图像都在x轴的上方。 3.都过定点（0，1）。
0
x
y a x (a 0且a 1) 的图象和特征：
a>1
图
6
5
象 4
3
2
11
-4
-2
0
2
4
6
-1
1.图象在x轴上方
特 2.从左到右上升 征 3.过定点 (0，1)
4、a越大，向上越靠近y轴
0<a<1
2.1.2指数函数及其性质
第一课时
问题 引入
问题1、某种细胞分裂时，由1个分裂成 2个，2个分裂成4个，1个这样的细胞分 裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数 关系式是什么？
研究
分裂
次数 1次 2次 3次 4次
x次
……
y 2x
细胞 2个 4个 8个 16个
总数
21
22
23
24
2x
问题 引入
质
4.单调性：
在R上是增函数
单调性: 在R上是减函数
对称性: y=ax和y=a-x关于y轴对称
例3、 如图为指数函数：
(1) y ax (2) y bx (3) y cx (4) y d x的图象,
y
(2) (3)
(1)
(4)
比较 a, b, c, d 与1的大小关系.
O
x
c d 1 a b
例5、已知指数函数 f (x) ax (a 0且a 1） 的图像经过 点（3，π）求 f(0), f(1), f(-3)的值。
解：因为 f (x) a x 的图像过点(3, ),所以
2.1.2 指数函数及其性质导学案(1)
高一数学组 编写人： 审核人：- 1 -§2.1.2 指数函数及其性质（1）学习目标1. 了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；2. 理解指数函数的概念和意义；3. 能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的性质（单调性、特殊点）.P 54~ P 57，找出疑惑之处）（1）0a = ；（2）na -= ；（3）m na = ；m na -= .其中*0,,,1a m n N n >∈> 复习2：有理指数幂的运算性质.（1）m n a a = ；（2）()m n a = ；（3）()n ab = . 二、新课导学探究任务一：指数函数模型思想及指数函数概念 实例：A ．细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x 次分裂得到y 个细胞，那么细胞个数y 与次数x 的函数关系式是什么？B ．一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84％，那么以时间x 年为自变量，残留量y 的函数关系式是什么？讨论：上面的两个函数有什么共同特征？底数是什么？指数是什么？新知：一般地，函数(0,1)x y a a a =>≠且叫做指数函数（exponential func tion ），其中x 是自变量，函数的定义域为R .反思：为什么规定a ＞0且a ≠1呢？否则会出现什么情况呢？例1.判断下列函数是否为指数函数？(1)=y x4 (2)4x y = (3)xy 4-= (4) 14+=x y 探究任务二：指数函数的图象和性质引言：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？ 回顾：研究方法：画出函数图象，结合图象研究函数性质．研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性． 作图：在同一坐标系中画出下列函数图象：1()x y =， 2x y =讨论：（1）函数2x y =与1()2x y =的图象有什么关系？如何由2x y =的图象画出1()2x y =的图象？（2）根据两个函数的图象的特征，归纳出这两个指数函数的性质. 变底数为3或13后呢？新知：根据图象归纳指数函数的性质)例2.函数()x f x a =（0,1a a >≠且）的图象过点(2,)π，求(0)f ,(1)f -,(1)f的值.小结：①确定指数函数重要要素是 ；② 待定系数法. 三、总结提升※ 学习小结：①指数函数模型应用思想；②指数函数概念；③指数函数的图象与性质； ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 函数2(33)x y a a a =-+是指数函数，则a 的值为（ ）. A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 任意值2. 函数f (x )=21x a -+ (a >0,a ≠1)的图象恒过定点（ ）.A. (0,1)B. (0,2)C. (2,1)D. (2,2) 3. 指数函数①()x f x m =，②()x g x n =满足不等式 01m n <<<，则它们的图象是（ ）.。
2.1.2指数函数及其性质
图象如下:
y
4 y=2x+1
3 Y=2x
2
1
-2 -1 0 1 2 3
x
思考题: 怎样由y=2x的图象得到y=1+2x的图象。
思考与探究3
观察同一坐标系下不同指数函数的图象，
这些图象总体上看有何规律？幂底数与图象
有何关系？y
y 1 x 2
y 1 x 3
的图象,则a,b,c,d与1的大小关系是_ｂ__＜_ａ__＜__１_＜__ｄ__＜__ｃ_. 解：ｃ,ｄ大于１且ｃ＞ｄ A B y C D
ａ,ｂ大于０小于１且ｂ＜ａ
∴ｂ＜ａ＜１＜ｄ＜ｃ
O
x
题2.若函数y=2|1-x|+m的图象与x轴有公共点，则m的
取值范围是( A )
A.m≤-1 B.-1≤m＜0
C.m≥1 D.0＜m≤1
例题展示
例 3 求函数 f(x)＝(12)x2－6x＋17 的定义域、值域、单调区间． [解析] 函数 f(x)的定义域为 R.令 t＝x2－6x＋17，则 f(t)＝(12)t. ∵t＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8 在(－∞，3)上是减函数， 而 f(t)＝(12)t 在其定义域内是减函数， ∴函数 f(x)在(－∞，3)上为增函数．
1
O1
x
1
O
1
x
D
A
B
C
解析：函数有意义，需要使 ex ex 0
其定义域为x | x 0 ，排除C、D，
又因为 y = ex + e-x = e2x + 1 = 1 + 2
ex - e-x
e2x - 1
e2x - 1
所以当时x>0时函数为减函数
人教版高中数学必修一2.1.2《指数函数及其性质》word教材分析1
《指数函数及其性质》一、教材分析（一）教材的地位和作用人民教育出版社《普通高中课程标准实验教科书••数学（1）》（人教A版）$2.1.2“指数函数”是在学生系统地学习了函数概念及性质,掌握了指数与指数幂的运算性质的基础上展开研究的。
作为重要的基本初等函数之一,指数函数既是函数近代定义及性质的第一次应用, 又对高中阶段研究对数函数、三角函数等完整的函数知识，初步培养函数的应用意识打下了良好的学习基础，也为今后研究其他函数提供了方法和模式。
指数函数在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，所以指数函数应重点研究。
（二）课时划分指数函数的教学在中共分三个课时完成。
指数函数的图象及其性质，指数函数及其性质的应用（1），指数函数及其性质的应用（2）。
这是第一课时“指数函数的图象及其性质”。
“指数函数”第一课时是在学习了指数与指数幂的运算基础上学习指数函数的概念和性质，通过学习指数函数的定义，图象及性质，可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，并且为学习对数函数作好准备。
二、学情分析（一）有利因素通过初中学段的学习和高中对集合、函数等知识的系统学习，学生对函数和图象的关系已经构建了一定的认知结构，主要体现在三个层面：知识层面：对正比例函数、反比例函数、一次函数，二次函数等最简单的函数概念和性质已有了初步认识，能够从初中运动变化的角度认识函数初步转化到从集合与对应的观点来认识函数。
技能层面：学生对采用“描点法”描绘函数图象的方法已基本掌握，能够为研究《指数函数》的性质做好准备。
由观察到抽象的数学活动过程已有一定的体会，已初步了解了数形结合的思想。
情感层面：学生对数学新内容的学习有相当的兴趣和积极性。
（二）不利因素本节内容思维量较大，对思维的严谨性和分类讨论、归纳推理等能力有较高要求，学生学习起来有一定难度。
指数函数及其性(一)(二)
课堂小结
1、指数函数概念；
函数y = ax(a0，且a 1)叫做指数函数， 其中x是自变量 .函数的定义域是R .
2、指数比较大小的方法； ①、构造函数法：要点是利用函数的单调性，数的 特征是同底不同指（包括可以化为同底的），若底 数是参变量要注意分类讨论。 ②、搭桥比较法：用别的数如0或1做桥。数的特 征是不同底不同指。
提炼:
(1)y=1.073X(X∈N*,X≤20) (2)P=(1/2)t/5730(t ≥０)
设问1:以上两个函数有何共同特征？
(1)均为幂的形式; (2)底数是一个正的常数且不等于1; (3)自变量在指数位置.
定义： x 一般地，函数y a (a 0, a 1)叫做指数
函数，其中x是自变量，函数的定义域是 R。
;
, 2.3 , 0.9
; 4 1.7
1 1 3 3
, 0.9
3.1 3.1
;
2 0.7 2 0.7 , ,1.3 1.3 5 1.5 , 3 3 分析： （1）（2）利用指数函数的单调性.
0.7
1 30.2 0.2
（3） 找中间量是关键.
应用
（1）1.7 2.5 ＜
§2.1.2指数函数及其性质
秀山中学
曹凤婷
复习回顾
一、根式的概念
如果一个数的 n 次方等于 a(n>1 且 n∈N*), 那么这个数叫做 a 的 n 次方根. 即: 若 xn=a, 则 x 叫做 a 的 n 次方根, 其中 n>1且 n ∈N * . 式子n a 叫做根式, 这里 n 叫做根指数, a 叫做被开方 数.
8 8
7 7
6 6
5 5
4 4
2.1.2指数函数及其性质姜旭东
2.1.2指数函数及其性质兰州市第九中学姜旭东2015/6/212.1.2指数函数及其性质教学设计(第一课时)兰州市第九中学 姜旭东一、教学目标：知识与技能：理解指数函数的概念。
过程与方法：利用实际背景，通过自主探索，培养学生观察、分析、归纳等抽象思维能力，通过具体的函数归纳出指数函数的定义，体会从特殊到一般的抽象概括的过程 。
情感态度与价值观：通过学习，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，充分发挥学生的主观能动性，培养学生勇于提问、善于探索的数学思维品质。
认识到数学的应用广泛性。
二、教学重点和难点： 教学重点：指数函数的概念；教学难点：从具体到一般探索、概括指数函数的概念。
三、教学方法 ：启发诱导和合作探究相结合，引导学生主动观察与思考，合作交流、共同探索来完成本节课的教学。
四、教学过程设计： （一）创设情景问题1：某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂 x 次后,得到的细胞分裂的个数 y 与 x 之间,构成一个函数关系,能写出 x 与 y 之间的函数关系式吗？问题2：长度为1的线段第一次截去它的一半，第二次截去剩余部分的一半，第三次截去第二次剩余部分的一半，依次截下去，问截的次数x 与剩余的线段长度y 之间的关系.学生：交流后得出它们之间的对应关系的取值范围。
【设计意图】 用函数的观点来分析以上问题中变量之间的对应关系，为引出指数函数xa y （a>0)做准备，以上示例中底数为大于1与大于0小于1两种情形，为后面教学做好准备，具体实例有利于学生体会指数函数的概念来自于生活，并且服务于生活。
（二） 探究新知思考1：上述问题中的对应关系能否构成函数关系？ 思考2：上述两个函数有什么样的共同特征？ 引导学生观察：两个函数形式相同，底数是常数，指数是自变量。
如果用字母a 代替其中的底数，那么上述两式就可以表示成x a y =的形式，自变量在指数位置，我们把具有这种形式的函数叫做指数函数。
学案5：2.1.2指数函数及其性质
2.1.2 指数函数及其性质学习目标1．掌握指数函数的性质并会应用，能利用指数函数的单调性比较幂的大小及解不等式．(重点)2．通过本节内容的学习，进一步体会函数图象是研究函数的重要工具，并能运用指数函数研究一些实际问题．(难点)小组合作型类型一：比较大小与解不等式例1 (1)设a ＝133()4-，b ＝144()3，c ＝343()2-，则a ，b ，c 的大小顺序为( ) A ．c <b <aB ．c <a <bC ．b <c<aD ．b <a <c(2)设0＜a ＜1，使不等式ax 2－2x ＋1＞ax 2－3x ＋5成立的x 的集合是________．名师指导1．比较幂的大小的方法(1)对于底数相同但指数不同的幂的大小的比较，可以利用指数函数的单调性来判断．(2)对于底数不同，指数相同的幂的大小的比较，可利用指数函数的图象的变化规律来判断．(3)对于底数不同且指数不同的幂的大小的比较，则应通过中间值来判断．2．指数型不等式a f (x )＞a g(x )(a ＞0，且a ≠1)的解法(1)当a ＞1时，f (x )＞g(x )；(2)当0＜a ＜1时，f (x )＜g(x )．跟踪训练1．设a ＝90.9，b ＝270.48，c ＝⎝⎛⎭⎫13－1.5，则a ，b ，c 的大小顺序为( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．c ＞a ＞b类型二：与指数函数有关的最值或值域问题例2 已知函数f (x )＝a －2x1＋2x(a ∈R )，且x ∈R 时，总有f (－x )＝－f (x )成立． (1)求a 的值；(2)判断并证明函数f (x )的单调性；(3)求f (x )在[0,2]上的值域．名师指导1．指数函数本身不具有奇偶性，但是与指数函数有关的函数可以具有奇偶性，其解决方法一般是利用函数奇偶性的定义和性质．2．一般用函数单调性的定义证明指数函数与其它函数复合而成的函数的单调性．跟踪训练2．已知函数f (x )＝a ·4x －a ·2x ＋1＋2在区间[－2,2]上的最大值为3，求实数a 的值.探究共研型指数函数单调性的综合应用探究1 函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2x ＋1的单调区间是什么？探究2 函数y ＝a －x 2(a >0，且a ≠1)的单调性与y ＝－x 2的单调性存在怎样的关系？例3 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x <0(a －3)(x ＋4a)，x ≥0，满足对任意的x 1≠x 2都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0成立，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，14 B ．(0,1) C.⎣⎡⎭⎫14，1D ．(0,3)名师指导1．求函数y ＝a f (x )的单调区间首先要确定a >1还是0<a <1，即确定y ＝a t 的单调性，然后根据函数t ＝f (x )的单调性求复合函数的单调区间．2．根据函数的单调性求分段函数中参数的取值范围时，最易忽视的是两段函数的最值间的大小关系对参数的影响．跟踪训练3．已知函数y ＝2－x 2＋4x －1，求其单调区间及值域．课堂检测1．若2x ＋1<1，则x 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(0,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1) 2．下列判断正确的是( )A ．1.72.5＞1.73B ．0.82＜0.83C ．π2＜π 2D ．0.90.3＞0.90.5 3．设f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x |，x ∈R ，那么f (x )是( )A ．奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数4．已知函数f (x )＝13x ＋1＋a 为奇函数，则常数a ＝______. 5．设函数f (x )＝a －22x ＋1， (1)判断并说明函数的单调性；(2)确定a 的值，使f (x )为奇函数及此时f (x )的值域．参考答案小组合作型类型一：比较大小与解不等式例1【答案】 (1)A (2)(－∞，4)【解析】(1)113334()()43a -==，144()3b =， 334432()()123c -==<， ∵指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫43x 为增函数，13＞14，∴a ＞b ＞1，∴a ＞b ＞c ，故选A. (2)∵0＜a ＜1，∴y ＝a x 为减函数．∵a x 2－2x ＋1＞a x 2－3x ＋5，∴x 2－2x ＋1＜x 2－3x ＋5，解得x ＜4.跟踪训练1．【答案】 B【解析】 因为函数y ＝3x 在R 上单调递增，a ＝31.8，b ＝270.48＝31.44，c ＝31.5.∴a ＞c ＞b . 类型二：与指数函数有关的最值或值域问题例2 解：(1)∵f (－x )＝－f (x )，∴a －2－x 1＋2－x ＝－a －2x1＋2x， 即a ·2x －11＋2x ＝2x －a 1＋2x ，∴a ＝1，∴f (x )＝1－2x1＋2x. (2)函数f (x )为R 上的减函数，证明如下：∵f (x )的定义域为R ，∴任取x 1，x 2∈R ，且x 2＞x 1，∴f (x 2)－f (x 1)＝1－2x 21＋2x 2－1－2x 11＋2x 1＝2(2x 1－2x 2)(1＋2x 1)(1＋2x 2). ∵x 2＞x 1，∴2x 2＞2x 1>0.∴f (x 2)－f (x 1)＜0，即f (x 2)＜f (x 1)．∴函数f (x )为R 上的减函数．(3)由(2)知，函数f (x )在[0,2]上为减函数，∴f (2)≤f (x )≤f (0)，即－35≤f (x )≤0，即函数的值域为⎣⎡⎦⎤－35，0. 跟踪训练2．解：令t ＝2x .∵x ∈[－2,2]，∴t ∈⎣⎡⎦⎤14，4，则g (t )＝at 2－2at ＋2.当a ＝0时，g (t )＝2≠3，故舍去a ＝0；当a ≠0时，g (t )＝a (t －1)2＋2－a ；当a ＞0时，g (t )m ax ＝g (4)＝8a ＋2＝3，∴a ＝18. 当a ＜0时，g (t )m ax ＝2－a ＝3，∴a ＝－1.综上，a ＝18或a ＝－1. 探究共研型指数函数单调性的综合应用探究1 【答案】 因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12t 在(－∞，＋∞)上单调递减，函数t ＝x 2－2x ＋1在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以复合函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2x ＋1在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．探究2 【答案】分两类：(1)当a >1时，函数y ＝a －x 2的单调性与y ＝－x 2的单调性一致；(2)当0<a <1时，函数y ＝a －x 2的单调性与y ＝－x 2的单调性相反．例3 【答案】 A【解析】 ∵f (x )对任意的x 1≠x 2都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a x ，x <0(a －3)(x ＋4a)，x ≥0，为R 上的减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1a －3<04a ≤1，解得0＜a ≤14. 跟踪训练3．解：令t ＝－x 2＋4x －1，则y ＝2t .又t ＝－(x －2)2＋3在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减，∴函数y ＝2－x 2＋4x －1的单调递增区间为(－∞，2]，单调递减区间为[2，＋∞)． 又x ∈R 时，t ≤3，故0<y ≤23＝8，即值域为(0,8].课堂检测1．【答案】 D【解析】 ∵2x ＋1<1＝20，且y ＝2x 是增函数，∴x ＋1<0，∴x <－1.2．【答案】 D【解析】 ∵y ＝0.9x 在定义域上是减函数，0.3＜0.5，∴0.90.3＞0.90.5.3．【答案】 D【解析】 ∵f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x |，x ∈R ，∴f (－x )＝⎝⎛⎭⎫12|－x |＝⎝⎛⎭⎫12|x |＝f (x )，故f (x )为偶函数， 当x ＞0时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，是减函数，故选D. 4．【答案】 －12【解析】 ∵函数f (x )＝13x ＋1＋a 为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (0)＝0，130＋1＋a ＝0，a ＝－12. 5． 解：(1)任取x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2(2x 1－2x 2)(2x 1＋1)(2x 2＋1)， ∵x 1＜x 2，∴2x 1＜2x 2，即2x 1－2x 2＜0，又∵2x 1＋1＞0,2x 2＋1＞0， ∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)． ∴不论a 为何值，f (x )总为增函数．(2)∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，a －22－x ＋1＝－a ＋22x ＋1， 解得a ＝1，故f (x )＝1＋－22x ＋1在其定义域内是增函数， 又2x ＋1>1，所以0<12x ＋1<1，－1<1＋－22x ＋1<1. ∴f (x )的值域(－1,1)．。
精品教案 2.1.2 指数函数及其性质
2.1.2 指数函数及其性质第1课时本教学设计获福建省数学设计大赛一等奖.整体设计教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学(1)》(人教A版)第二章第一节第二课(2.1.2)《指数函数及其性质》．根据实际情况，将《指数函数及其性质》划分为三节课〔指数函数的图象及其性质，指数函数及其性质的应用(1)，指数函数及其性质的应用(2)〕，这是第一节课“指数函数的图象及其性质”．指数函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究．学生学习情况分析指数函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数性质的基础上进行研究的，是学生对函数概念及性质的第一次应用．教材在之前的学习中给出了两个实际例子(GDP的增长问题和碳14的衰减问题)，已经让学生感受到了指数函数的实际背景，但这两个例子的背景对于学生来说有些陌生．本节课先设计一个看似简单的问题，通过超出想象的结果来激发学生学习新知的兴趣和欲望．设计思想1．函数及其图象在高中数学中占有很重要的位置．如何突破这个既重要又抽象的内容，其实质就是将抽象的符号语言与直观的图象语言有机地结合起来，通过具有一定思考价值的问题，激发学生的求知欲望——持久的好奇心．我们知道，函数的表示法有三种：列表法、图象法、解析法，以往的函数的学习大多只关注到图象的作用，这其实只是借助了图象的直观性，只是从一个角度看函数，是片面的．本节课力图让学生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，并通过对比总结得到研究的方法，让学生去体会这种研究方法，以便能将其迁移到其他函数的研究中去．2．在本节课的教学中我努力实践以下两点：(1)在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式．(2)在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法．3．通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法．教学目标根据学生的实际情况，本节课的教学目标是：理解指数函数的概念，能画出具体指数函数的图象；在理解指数函数概念、性质的基础上，能应用所学知识解决简单的数学问题；在教学过程中通过类比，回顾归纳从图象和解析式这两种不同角度研究函数性质的数学方法，加深对指数函数的认识，让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要；同时通过本节课的学习，使学生获得研究函数的规律和方法；培养学生主动学习、合作交流的意识．重点难点教学重点：指数函数的概念、图象和性质．教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质.教学过程一、创设情境、提出问题(约3分钟)师：如果让1号同学准备2粒米，2号同学准备4粒米，3号同学准备6粒米，4号同学准备8粒米，5号同学准备10粒米，……，按这样的规律，51号同学该准备多少粒米？学生回答后教师公布事先估算的数据：51号同学该准备102粒米，大约5克重．师：如果改成让1号同学准备2粒米，2号同学准备4粒米，3号同学准备8粒米，4号同学准备16粒米，5号同学准备32粒米，……，按这样的规律，51号同学该准备多少粒米？学情预设学生可能说出很多或能算出具体数目．师：大家能否估计一下51号同学该准备的米有多重吗？教师公布事先估算的数据：51号同学所需准备的大米约重1.2亿吨． 师：1.2亿吨是一个什么概念？根据2007年9月13日美国农业部发布的最新数据显示，2007～2008年度我国大米产量预计为1.27亿吨．这就是说51号同学所需准备的大米相当于2007～2008年度我国全年的大米产量！设计意图用一个看似简单的实例，为引出指数函数的概念做准备；同时通过与一次函数的对比让学生感受指数函数的爆炸增长，激发学生学习新知的兴趣和欲望．在以上两个问题中，每位同学所需准备的米粒数用y 表示，每位同学的座号数用x 表示，y 与x 之间的关系分别是什么？学生很容易得出y ＝2x (x ∈N *)和y ＝2x (x ∈N *)． 学情预设学生可能会漏掉x 的取值范围，教师要引导学生思考具体问题中x 的取值范围． 二、师生互动、探究新知 1．指数函数的定义师：其实，在本章开头的问题中，也有一个与y ＝2x 类似的关系式y ＝1.073x (x ∈N *，x ≤20)．(1)让学生思考讨论以下问题(问题逐个给出，约3分钟)：①y ＝2x (x ∈N *)和y ＝1.073x (x ∈N *，x ≤20)这两个解析式有什么共同特征？ ②它们能否构成函数？③是我们学过的哪个函数？如果不是，你能否根据该函数的特征给它起个恰当的名字？ 设计意图引导学生从具体问题、实际问题中抽象出数学模型．学生对比已经学过的一次函数、反比例函数、二次函数，发现y ＝2x ，y ＝1.073x 是一个新的函数模型，再让学生给这个新的函数命名，由此激发学生的学习兴趣．引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量．师：如果可以用字母a 代替其中的底数，那么上述两式就可以表示成y ＝a x 的形式．自变量在指数位置，所以我们把它称作指数函数．(2)让学生讨论并给出指数函数的定义(约6分钟)． 对于底数的分类，可将问题分解为：①若a ＜0，会有什么问题？(如a ＝－2，x ＝12，则在实数范围内相应的函数值不存在)②若a ＝0，会有什么问题？(对于x ≤0，a x都无意义)③若a ＝1又会怎么样？(1x 无论x 取何值，它总是1，对它没有研究的必要) 师：为了避免上述各种情况的发生，所以规定a ＞0且a ≠1. 在这里要注意生生之间、师生之间的对话． ①若学生从教科书中已经看到指数函数的定义，教师可以问，为什么要求a ＞0，且a ≠1；a ＝1为什么不行？②若学生只给出y ＝a x ，教师可以引导学生通过类比一次函数(y ＝kx ＋b ，k ≠0)、反比例函数(y ＝kx，k ≠0)、二次函数(y ＝ax 2＋bx ＋c ，a ≠0)中的限制条件，思考指数函数中底数的限制条件．学情预设设计意图①对指数函数中底数限制条件的讨论可以引导学生研究一个函数应注意它的实际意义和研究价值；②讨论出a ＞0，且a ≠1，也为下面研究性质时对底数的分类做准备． 接下来教师可以问学生是否明确了指数函数的定义，能否写出一两个指数函数？教师也在黑板上写出一些解析式让学生判断，如y ＝2×3x，y ＝32x ，y ＝－2x .学情预设学生可能只是关注指数是否是变量，而不考虑其他的．设计意图加深学生对指数函数定义和呈现形式的理解． 2．指数函数的性质(1)提出两个问题(约3分钟)①目前研究函数一般可以包括哪些方面？ 设计意图让学生在研究指数函数时有明确的目标：函数三要素(对应法则、定义域、值域)和函数的基本性质(单调性、奇偶性)．②研究函数(比如今天的指数函数)可以怎么研究？用什么方法、从什么角度研究？ 可以从图象和解析式这两个不同的角度进行研究；可以从具体的函数入手(即底数取一些数值)；当然也可以用列表法研究函数，只是今天我们所学的函数用列表法不易得出此函数的性质，可见具体问题要选择适当的方法来研究才能事半功倍！还可以借助一些数学思想方法来思考．设计意图①让学生知道图象法不是研究函数的唯一方法，由此引导学生可以从图象和解析式(包括列表)两个不同的角度对函数进行研究；②对学生进行数学思想方法(从一般到特殊再到一般、数形结合、分类讨论)的有机渗透． (2)分组活动，合作学习(约8分钟)师：下面我们就从图象和解析式这两个不同的角度对指数函数进行研究．①让学生分为两大组，一组从解析式的角度入手(不画图)研究指数函数，一组借助电脑通过几何画板的操作从图象的角度入手研究指数函数；②每一大组再分为若干合作小组(建议4人一小组)； ③每组都将研究所得到的结论或成果写出来以便交流． 学情预设考虑到各组的水平可能有所不同，教师应巡视，对个别组可做适当的指导． 通过自主探索、合作学习，不仅让学生充当学习的主人更可加深对所得到结论的理解．设计意图(3)交流、总结(约10～12分钟) 师：下面我们开一个成果展示会！教师在巡视过程中应关注各组的研究情况，此时可选一些有代表性的小组上台展示研究成果，并对比从两个角度入手研究的结果．教师可根据上课的实际情况对学生发现、得出的结论进行适当的点评或要求学生分析．这里除了研究定义域、值域、单调性、奇偶性外，再引导学生注意是否还有其他性质？师：各组在研究过程中除了定义域、值域、单调性、奇偶性外是否还得到一些有价值的副产品呢？〔〕如过定点(0，1)，y ＝a x 与y ＝⎝⎛⎭⎫1a x的图象关于y 轴对称学情预设①首先选一个从解析式的角度研究的小组上台汇报；②对于从图象的角度研究的，可先选没对底数进行分类的小组上台汇报；③问其他小组有没有不同的看法，上台补充，让学生对底数进行分类，引导学生思考哪个量决定着指数函数的单调性，以什么为分界，教师可以马上通过电脑操作看函数图象的变化．设计意图①函数的表示法有三种：列表法、图象法、解析法，通过这个活动，让学生知道研究一个具体的函数可以从多个角度入手，从图象角度研究只是能直观的看出函数的一些性质，而具体的性质还是要通过对解析式的论证；特别是定义域、值域更是可以直接从解析式中得到的．②让学生上台汇报研究成果，使学生有种成就感，同时还可训练其对数学问题的分析和表达能力，培养其数学素养；③对指数函数的底数进行分类是本课的一个难点，让学生在讨论中自己解决分类问题，使该难点的突破显得自然．师：从图象入手我们很容易看出函数的单调性、奇偶性，以及过定点(0,1)，但定义域、值域却不可确定；从解析式(结合列表)可以很容易得出函数的定义域、值域，但对底数的分类却很难想到．教师通过几何画板中改变参数a 的值，追踪y ＝a x 的图象，在变化过程中，让全体学生进一步观察指数函数的变化规律．师生共同总结指数函数的 0＜a ＜1a ＞1(0，＋∞)过定点(0,1)非奇非偶在R 上是减函数 在R 上是增函数分钟)1．例：已知指数函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象经过点(3，π)，求f (0)，f (1)，f (－3)的值．解：因为f (x )＝a x 的图象经过点(3，π)，所以f (3)＝π，即a 3＝π.解得13πa=，于是f (x )＝3πx .所以f (0)＝1，f (1)＝3π，f (－3)＝1π.设计意图通过本题加深学生对指数函数的理解．师：根据本题，你能说出确定一个指数函数需要什么条件吗？师：从方程思想来看，求指数函数就是确定底数，因此只要一个条件，即布列一个方程就可以了．设计意图让学生明确底数是确定指数函数的要素，同时向学生渗透方程的思想．2．练习：(1)在同一平面直角坐标系中画出y ＝3x 和y ＝⎝⎛⎭⎫13x的大致图象，并说出这两个函数的性质；(2)求下列函数的定义域：①y=112xy⎛⎫= ⎪⎝⎭. 3．师：通过本节课的学习，你对指数函数有什么认识？你有什么收获？ 学情预设学生可能只是把指数函数的性质总结一下，教师要引导学生谈谈对函数研究的学习，即怎么研究一个函数．设计意图①让学生再一次复习对函数的研究方法(可以从多个角度进行)，让学生体会本节课的研究方法，以便能将其迁移到其他函数的研究中去．②总结本节课中所用到的数学思想方法．③强调各种研究数学的方法之间有区别又有联系，相互作用，才能融会贯通． 4．作业：课本习题2.1A 组 5.教学反思1．本节课改变了以往常见的函数研究方法，让学生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，不仅仅是通过对比总结得到指数函数的性质，更重要的是让学生体会到对函数的研究方法，以便能将其迁移到其他函数的研究中去，教师可以真正做到“授之以渔”而非“授之以鱼”．2．教学中借助信息技术可以弥补传统教学在直观感、立体感和动态感方面的不足，可以很容易的化解教学难点、突破教学重点、提高课堂效率，本节课使用几何画板可以动态地演示出指数函数的底数的变化过程，让学生直观地观察底数对指数函数单调性的影响．3．在教学过程中不断向学生渗透数学思想方法，让学生在活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要，部分学生还能自觉地运用这些数学思想方法去分析、思考问题．指数函数及其性质的应用整体设计三维目标1．知识与技能理解指数函数的图象和性质，会利用性质来解决问题．2．过程与方法能利用指数函数的图象和性质来比较两个值的大小，图象间的平移，去探索利用指数函数的单调性来求未知字母的取值范围．3．情感、态度与价值观在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型，激发学生学习数学的兴趣，努力培养学生的创新意识．重点难点教学重点：指数函数的图象和性质．教学难点：指数函数的性质应用．教学过程第2课时指数函数及其性质的应用(1)导入新课思路1．复习导入：我们前一节课学习了指数函数的概念和性质，下面我们一起回顾一下指数函数的概念、图象和性质．如何利用指数函数的图象和性质来解决一些问题，这就是本堂课要讲的主要内容．教师板书课题．思路2．我们在学习指数函数的性质时，利用了指数函数的图象的特点，并且是用类比和归纳的方法得出，在理论上，我们能否严格的证明(特别是指数函数的单调性)，以便于我们在解题时应用这些性质，本堂课我们要解决这个问题．教师板书课题：指数函数及其性质的应用(1)．应用示例例1 比较下列各题中的两个值的大小：(1)1.72.5与1.73；(2)0.8－0.1与0.8－0.2；(3)1.70.3与0.93.1.活动：学生自己思考或讨论，回忆比较数的大小的方法，结合题目实际，选择合理的方法，再写出答案(最好用实物投影仪展示写得正确的答案)．比较数的大小，一是作差，看两个数差的符号，若为正，则前面的数大；图1二是作商，但必须是同号数，看商与1的大小，再决定两个数的大小；三是计算出每个数的值，再比较大小；四是利用图象；五是利用函数的单调性．教师在学生中巡视其他学生的解答，发现问题及时纠正并评价．解法一：用数形结合的方法，如第(1)小题，用图形计算器或计算机画出y ＝1.7x 的图象，如图1.在图象上找出横坐标分别为2.5,3的点，显然，图象上横坐标为3的点在横坐标为2.5的点的上方，所以1.72.5＜1.73，同理0.8－0.1＜0.8－0.2,1.70.3＞0.93.1.解法二：用计算器直接计算：1.72.5≈3.77,1.73≈4.91，所以1.72.5＜1.73.同理0.8－0.1＜0.8－0.2,1.70.3＞0.93.1. 解法三：利用函数单调性，(1)1.72.5与1.73的底数是1.7，它们可以看成函数y ＝1.7x ，当x ＝2.5和3时的函数值；因为1.7＞1，所以函数y ＝1.7x 在R 上是增函数，而2.5＜3，所以1.72.5＜1.73；(2)0.8－0.1与0.8－0.2的底数是0.8，它们可以看成函数y ＝0.8x ，当x ＝－0.1和－0.2时的函数值；因为0＜0.8＜1，所以函数y ＝0.8x 在R 上是减函数，而－0.1＞－0.2，所以0.8－0.1＜0.8－0.2；(3)因为1.70.3＞1.70＝1,0.93.1＜0.90＝1，所以1.70.3＞0.93.1. 点评：在第(3)小题中，可以用解法一、解法二解决，但解法三不适合．由于1.70.3与0.93.1不能直接看成某个函数的两个值，因此，在这两个数值间找到1，把这两数值分别与1比较大小，进而比较1.70.3与0.93.1的大小，这里的1是中间值．思考在上面的解法中，你认为哪种方法更实用？活动：学生对上面的三种解法作比较，解题有法但无定法，我们要采取多种解法，在多例活动：教师点拨提示定义法判断函数单调性的步骤，单调性的定义证明函数的单调性，要按规定的格式书写．证法一：设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则y 2－y 1＝21121(1)x x xx aa a ax -=--．因为a ＞1，x 2－x 1＞0，所以21>1x x a -，即21x xa -－1＞0.又因为1xa ＞0，所以y 2－y 1＞0，即y 1＜y 2. 所以当a ＞1时，y ＝a x ，x ∈R 是增函数． 同理可证，当0＜a ＜1时，y ＝a x 是减函数．证法二：设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则y 2与y 1都大于0，则y 2y 1＝2211x x x xaaa-=.因为a ＞1，x 2－x 1＞0，所以21>1x x a -＞1，即y 2y 1＞1，y 1＜y 2.所以当a ＞1时，y ＝a x ，x ∈R 是增函数．x例3 1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少(精确到亿)?活动：师生共同讨论，将实际问题转化为数学表达式，建立目标函数，常采用特殊到一般的方式，教师引导学生注意题目中自变量的取值范围，可以先考虑一年一年增长的情况，再从中发现规律，最后解决问题：1999年底 人口约为13亿；经过1年 人口约为13(1＋1%)亿；经过2年 人口约为13(1＋1%)(1＋1%)＝13(1＋1%)2亿； 经过3年 人口约为13(1＋1%)2(1＋1%)＝13(1＋1%)3亿； ……经过x 年 人口约为13(1＋1%)x 亿； 经过20年 人口约为13(1＋1%)20亿．解：设今后人口年平均增长率为1%，经过x 年后，我国人口数为y 亿，则 y ＝13(1＋1%)x ，当x ＝20时，y ＝13(1＋1%)20≈16(亿)．答：经过20年后，我国人口数最多为16亿．点评：类似此题，设原值为N ，平均增长率为p ，则对于经过时间x 后总量y ＝N (1＋p )x (x ∈N )，像y ＝N (1＋p )x 等形如y ＝ka x (k ∈R ，且k ≠0；a ＞0，且a ≠1)的函数称为指数型函数．知能训练1．函数y ＝a |x |(a ＞1)的图象是( )图2解析：当x ≥0时，y ＝a |x |＝a x的图象过(0,1)点，在第一象限，图象下凸，是增函数． 答案：B2．下列关系中正确的是( )A ．221333111252⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．122333111225⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．212333111522⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．221333111522⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭答案：D3．已知函数f (x )的定义域是(0,1)，那么f (2x )的定义域是( )A ．(0,1)B ．⎝⎛⎭⎫12，1 C ．(－∞，0) D ．(0，＋∞)解析：由题意得0＜2x ＜1，即0＜2x ＜20，所以x ＜0，即x ∈(－∞，0)． 答案：C4．若集合A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，则( ) A ．A B B ．A B C ．A ＝B D ．A ∩B ＝∅ 解析：A ＝{y |y ＞0}，B ＝{y |y ≥0}，所以A B . 答案：A5．对于函数f (x )定义域中的任意的x 1、x 2(x 1≠x 2)，有如下的结论： ①f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)；②f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)； ③f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0；④f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＜f (x 1)＋f (x 2)2.当f (x )＝10x 时，上述结论中正确的是__________．解析：因为f (x )＝10x ，且x 1≠x 2，所以f (x 1＋x 2)＝1212101010xxx x +=⋅＝f (x 1)·f (x 2)，所以①正确；因为f (x 1·x 2)＝1212101010xxxx ⋅≠+＝f (x 1)＋f (x 2)，②不正确；因为f (x )＝10x 是增函数，所以f (x 1)－f (x 2)与x 1－x 2同号，所以f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，所以③正确．因为函数f (x )＝10x 图象如图3所示是上凹下凸的，可解得④正确．图3答案：①③④另解：④.∵10x 1＞0,10x 2＞0，x 1≠x 2，∴1210102xx +>∴1210102xx +>即121221010102x x x x ++>.∴f (x 1)＋f (x 2)2＞f⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22.拓展提升在同一坐标系中作出下列函数的图象，讨论它们之间的联系．(1)①y ＝3x ，②y ＝3x ＋1，③y ＝3x －1；(2)①y ＝⎝⎛⎭⎫12x，②y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1，③y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋1. 活动：学生动手画函数图象，教师点拨，学生没有思路，教师可以提示．学生回忆函数作图的方法与步骤，按规定作出图象，特别是关键点．解：如图4及图5.观察图4可以看出，y ＝3x ，y ＝3x ＋1，y ＝3x －1的图象间有如下关系：y ＝3x ＋1的图象由y ＝3x 的图象左移1个单位得到；y ＝3x －1的图象由y ＝3x 的图象右移1个单位得到；y ＝3x －1的图象由y ＝3x ＋1的图象向右移动2个单位得到．观察图5可以看出，y ＝⎝⎛⎭⎫12x，y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1，y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋1的图象间有如下关系： y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋1的图象由y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象左移1个单位得到； y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1的图象由y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象右移1个单位得到； y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1的图象由y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋1的图象向右移动2个单位得到． 你能推广到一般的情形吗？同学们留作思考． 课堂小结 思考本节课我们主要学习了哪些知识，你有什么收获？把你的收获写在笔记本上.活动：教师用多媒体显示以下内容，学生互相交流学习心得，看是否与多媒体显示的内容一致．本节课，在复习旧知识的基础上学习了数形结合的思想、函数与方程的思想，加深了对问题的分析能力，形成了一定的能力与方法．作业课本习题2.1 B 组 1,3,4.设计感想本节课主要是复习巩固指数函数及其性质，涉及的内容较多，要首先组织学生回顾指数函数的性质，为此，必须利用函数图象，数形结合，通过数与形的相互转化，借助形的直观性解决问题，本节课要训练学生能够恰当地构造函数，根据函数的单调性比较大小，有时要分a ＞1,0＜a ＜1，这是分类讨论的思想，因此加大了习题和练习的量，目的是让学生在较短的时间内，掌握学习的方法，提高分析问题和解决问题的能力，要加快速度，多运用现代化的教学手段．第3课时 指数函数及其性质的应用(2)导入新课思路1．我们在学习指数函数的性质时，利用了指数函数的图象的特点，并且是用类比和归纳的方法得出，在上节课的探究中我们知道，函数①y ＝3x ，②y ＝3x ＋1，③y ＝3x －1的图象之间的关系，由其中的一个可得到另外两个的图象，那么，对y ＝a x 与y ＝a x ＋m (a ＞0，m ∈R )有着怎样的关系呢？在理论上，含有指数函数的复合函数是否具有奇偶性呢？这是我们本堂课研究的内容．教师点出课题：指数函数及其性质的应用(2)．思路2．我们在第一章中，已学习了函数的性质，特别是单调性和奇偶性是某些函数的重要特点，我们刚刚学习的指数函数，严格地证明了指数函数的单调性，便于我们在解题时应用这些性质，在实际生活中，往往遇到的不单单是指数函数，还有其他形式的函数，有的是指数函数的复合函数，我们需要研究它的单调性和奇偶性，这是我们面临的问题，也是我们本节课要解决的问题——指数函数及其性质的应用(2)．推进新课新知探究提出问题(1)指数函数有哪些性质？(2)利用单调性的定义证明函数单调性的步骤有哪些？(3)对复合函数，如何证明函数的单调性？(4)如何判断函数的奇偶性，有哪些方法？活动：教师引导，学生回忆，教师提问，学生回答，积极交流，及时评价学生，学生有困惑时加以解释，可用多媒体显示辅助内容．讨论结果：(1)指数函数的图象和性质一般地，指数函数y＝a x在底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示：图象分布在一、二象限，与轴相交，落在x轴的上方都过点(0,1)第一象限的点的纵坐标都大于1第二象限的点的纵坐标都大于且小于1第一象限的点的纵坐标都大于0且小于1；第二象限的点的纵坐标都大于1从左向右图象逐渐上升从左向右图象逐渐下降①取值．即设x1，x2是该区间内的任意两个值且x1＜x2.②作差变形．即求f(x2)－f(x1)，通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．③定号．根据给定的区间和x2－x1的符号确定f(x2)－f(x1)的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论．④判断．根据单调性定义作出结论．(3)对于复合函数y＝f(g(x))可以总结为：当函数f(x)和g(x)的单调性相同时，复合函数y＝f(g(x))是增函数；当函数f(x)和g(x)的单调性相异即不同时，复合函数y＝f(g(x))是减函数；又简称为口诀“同增异减”．(4)判断函数的奇偶性：一是利用定义法，即首先是定义域关于原点对称，再次是考查式子f(x)与f(－x)的关系，最后确定函数的奇偶性；二是作出函数图象或从已知图象观察，若图象关于原点或y轴对称，则函数具有奇偶性．应用示例例1 在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出它们与指数函数y＝2x的图象的关系．(1)y＝2x＋1与y＝2x＋2；(2)y＝2x－1与y＝2x－2.活动：教师适当时候点拨，学生回想作图的方法和步骤，特别是指数函数图象的作法，学生回答并到黑板上作图，教师指点学生，列出对应值表，抓住关键点，特别是(0,1)点，或用计算机作图．图6比较可知函数y＝2x＋1、y＝2x＋2与y＝2x的图象的关系为：将指数函数y＝2x的图象向左平行移动1个单位长度，就得到函数y＝2x＋1的图象；将指数函数y＝2x的图象向左平行移动2个单位长度，就得到函数y＝2x＋2的图象．0.031 250.062 50.1250.250.5图7比较可知函数y＝2x－1、y＝2x－2与y＝2x的图象的关系为：将指数函数y＝2x的图象向右平行移动1个单位长度，就得到函数y＝2x－1的图象；将指数函数y＝2x的图象向右平行移动2个单位长度，就得到函数y＝2x－2的图象．点评：类似地，我们得到y＝a x与y＝a x＋m(a＞0，a≠1，m∈R)之间的关系：y＝a x＋m(a＞0，m∈R)的图象可以由y＝a x的图象变化而来．当m＞0时，y＝a x的图象向左移动m个单位得到y＝a x＋m的图象；当m＜0时，y＝a x的图象向右移动|m|个单位得到y＝a x＋m的图象．上述规律也简称为“左加右减”．。
高中数学《指数函数-指数函数及其性质》说课稿1 新人教A版必修1
2.1.2 指数函数及其性质〔1〕从容说课指数函数是在学生系统的学习了函数概念、基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，它是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它既是函数概念及性质的第一次应用，也是今后学习对数函数的基础，同时在生活及生产中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究.指数函数对学生来说是完全陌生的一类函数，对于这样的函数应该怎样进行较为系统的研究是学生面临的重要问题.所以，从指数函数的研究过程中得到相应的结论固然重要，但更为重要的是要了解系统研究一类函数的方法，所以在教学中要特别让学生去体会研究的方法，以便能将其迁移到对其他函数的研究中去.本课主要学习指数函数的概念、图象，并根据图象归纳出指数函数的性质.指数函数是在把指数范围扩充到实数的基础上引入的，因此在教学指数函数之前，可以先扼要地复习一下指数范围的扩充过程，以便让学生理解指数函数的定义域.在指数函数的概念讲解过程中，既要说清楚指数函数的定义域是什么，又要向学生交待为什么要规定底数a 是一个大于0且不等于1的常量.函数图象是研究函数性质的直观工具，利用图象便于学生记忆函数的性质和变化规律.在用描点法画指数函数的图象时，首先要通过计算列出对应值表.因此，教学中可以指导学生借助计算机在同一坐标系内画出y =2x ，y =〔21〕x这两个具有典型意义的指数函数的图象，并引导学生借助于具体函数图象来分析它们的特征，得出指数函数的性质.引导学生结合指数的有关概念来理解指数函数的概念，并向学生指出指数函数的形式特点，在研究指数函数的图象时，遵循由特殊到一般的研究规律，要求学生自己作出特殊的较为简单的指数函数的图象然后推广到一般情况，类比地得到指数函数的图象，并通过观察图象，总结出指数函数的性质，而且是分a ＞１与０＜a ＜１两种情形.本节课的整体设计是按照一般研究函数的规律设计的.由实例引入定义，再根据定义并利用描点法画出函数图象，通过图象得到函数的性质.学生在学习函数时，往往感到比较困难、抽象，不易理解和掌握，要让学生掌握学习函数的一般规律，再继续学习新的函数，学生就能顺理成章，而不会产生无所适从的感觉.本节的容量较大，为了提高效率，可采用现代化教学手段，利用投影仪或电脑.在引导学生观察分析了三种典型函数的图象性质之后，将得到的结论直接投影出来，课上的引例、例题、练习题、作业题也都可投影出来，但要注意一定要表达过程教学.比如画函数图象，不要一下就把图象投影出来，这样不利于学生掌握图象的画法，既使用了投影仪或电脑，也要将建立坐标系〔要强调三要素〕、描点、用光滑曲线将这些点连结起来的整个过程展现出来.又如函数性质的教学，一定先让学生观察图象，分析特点，从而提高学生观察归纳的能力和看图用图的意识，例题的解答也要让学生去分析，发现解法.这样有利于学生尽快掌握函数的性质，掌握比较两个数大小的方法，让学生在观察的过程中，发现的过程中，解决问题的过程中，建立起学好函数、学好数学的信心.三维目标一、知识与技能1.掌握指数函数的概念、图象和性质.2.能借助计算机或计算器画指数函数的图象.3.能由指数函数图象探索并理解指数函数的性质.二、过程与方法1.在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程，数形结合的方法等.2.通过探讨指数函数的底数a ＞0，且a ≠1的理由，明确数学概念的严谨性和科学性，做一个具备严谨科学态度的人.三、情感态度与价值观1.通过实例引入指数函数，激发学生学习指数函数的兴趣，体会指数函数是一类重要的函数模型，并且有广泛的用途，逐步培养学生的应用意识.2.在教学过程中，通过现代信息技术的合理应用，让学生体会到现代信息技术是认识世界的有效手段.教学重点指数函数的概念和性质. 教学难点用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质. 教具准备多媒体课件、投影仪、打印好的作业. 教学过程一、以生活实例，引入新课 〔多媒体显示如下材料〕材料1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……一个这样的细胞分裂x 次后，得到的细胞分裂的个数y 与x 的函数关系是什么？〔生思考，师组织学生交流各自的想法，捕捉学生交流中与以下结论有关的信息，并简单板书〕结论：材料1中y 和x 的关系为y =2x .材料2：当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期〞.根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P 与死亡年数t 之间的关系，这个关系式应该怎样表示呢?〔生思考〕生：P =〔21〕5730t.师：你能发现关系式y =2x ，P =〔21〕5730t有什么相同的地方吗？〔生讨论，师及时总结得到如下结论〕我们发现：在关系式y =2x和P =〔21〕5730t中，每给一个自变量都有唯一的一个函数值和它对应，因此关系式y =2x 和P =〔21〕5730t都是函数关系式，且函数y =2x 和函数P =〔21〕5730t在形式上是相同的，解析式的右边都是指数式，且自变量都在指数位置上.师：你能从以上两个解析式中抽象出一个更具有一般性的函数模型吗？ 〔生交流，师总结得出如下结论〕生：用字母a 来代替2与〔21〕57301.结论：函数y =2x 和函数P =〔21〕5730t都是函数y =a x 的具体形式.函数y =a x 是一类重要的函数模型，并且有广泛的用途，它可以解决好多生活中的实际问题，这就是我们下面所要研究的一类重要函数模型——指数函数.〔引入新课，书写课题〕 二、讲解新课〔一〕指数函数的概念〔师结合引入，给出指数函数的定义〕一般地，函数y =a x 〔a ＞0，a ≠1〕叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R .合作探究：〔1〕定义域为什么是实数集？ 〔生思考，师适时点拨，给出如下解释〕知识拓展：在a ＞0的前提下，x 可以取任意的实数，所以函数的定义域是R . 〔2〕在函数解析式y =a x 中为什么要规定a ＞0，a ≠1？〔生思考，师适时点拨，给出如下解释，并明确指数函数的定义域是实数R 〕 知识拓展：这是因为〔ⅰ〕a =0时，当x ＞0，a x 恒等于0；当x ≤0，a x 无意义.〔ⅱ〕a ＜0时，例如a =－41，x =－41，那么a x=〔－41〕41无意义.〔ⅲ〕a =1时，a x 恒等于1，无研究价值.所以规定a ＞0，且a ≠1.〔3〕判断以下函数是否是指数函数：①y =2·3x ；②y =3x －1；③y =x 3；④y =－3x ；⑤y =〔－4〕x ；⑥y =πx ；⑦y =42x ；⑧y =x x ；⑨y =〔2a －1〕x 〔a ＞21，且a ≠1〕. 生：只有⑥⑨为指数函数.方法引导：指数函数的形式就是y =a x ，a x 的系数是1，其他的位置不能有其他的系数，但要注意化简以后的形式.有些函数貌似指数函数，实际上却不是，例如y =a x +k 〔a ＞0，且a ≠1，k ∈Z 〕；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是指数函数，例如y =a －x 〔a ＞0，且a ≠1〕，这是因为它的解析式可以等价化归为y =a －x =〔a －1〕x ，其中a －1＞0，且a －1≠1.如y =23x 是指数函数，因为可以化简为y =8x .要注意幂底数的范围和自变量x 所在的部位，即指数函数的自变量在指数位置上.〔二〕指数函数的图象和性质师：指数函数y =a x ，其中底数a 是常数，指数x 是自变量，幂y 是函数.底数a 有无穷多个取值，不可能逐一研究，研究方法是什么呢？〔生思考〕师：要抓住典型的指数函数，分析典型，进而推广到一般的指数函数中去.那么选谁作典型呢？生：函数y =2x 的图象.师：作图的基本方法是什么？ 生：列表、描点、连线. 借助多媒体手段画出图象.师：研究函数要考虑哪些性质?生：定义域、值域、单调性、奇偶性等.师：通过图象和解析式分析函数y =2x 的性质应该如何呢?生：图象左右延伸，说明定义域为R ；图象都分布在x 轴的上方，说明值域为R +；图象上升，说明是增函数；不关于y 轴对称也不关于原点对称，说明它既不是奇函数也不是偶函数.师：图象在数值上有些什么特点?生：通过图象不难发现y 值分布的特点：当x ＜0时，0＜y ＜1；当x ＞0时，y ＞1；当x =0时，y =1.合作探究：是否所有的指数函数的图象均与y =2x 的图象类似？ 画出函数y =8x ，y =3.5x ，y =1.7x ，y =0.8x 的图象，你有什么发现呢?〔生思考，师适时点拨，给出如下结论〕结论：y =0.8x 的图象与其余三个图象差别很大，其余三个图象与y =2x 的图象有点类似，说明还有一类指数函数的图象与y =2x 有重大差异.师：类似地，从中选择一个具体函数进行研究，可选什么函数?生：我们选择函数y =〔21〕x的图象作典型. 作出函数y =〔21〕x的图象.合作探究：函数y =2x 的图象和函数y =〔21〕x的图象的异同点. 〔生思考，师适时点拨，给出如下结论〕 一般地，指数函数y =a x 在底数a ＞1及0＜a ＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示：a ＞10＜a ＜1图象性质 〔1〕定义域为〔－∞，+∞〕；值域为〔0，+∞〕 〔2〕过点〔0，1〕，即x =0时，y =a 0=1〔3〕假设x ＞0，那么a x ＞1； 假设x ＜0，那么0＜a x ＜1 〔3〕假设x ＞0，那么0＜a x ＜1； 假设x ＜0，那么a x ＞1〔4〕在R 上是增函数〔4〕在R 上是减函数合作探究：函数y =2x 的图象和函数y =〔21〕x的图象有什么关系？〔生观察并讨论，给出如下结论〕 结论：函数y =2x 的图象和函数y =〔21〕x的图象关于y 轴对称. 师：理由是什么呢？能否给予证明?证明：因为函数y =〔21〕x =2－x，点〔x ，y 〕与〔－x ，y 〕关于y 轴对称，所以y =2x 的图象上的任意一点P 〔x ，y 〕关于y 轴的对称点P 1〔－x ，y 〕都在y =〔21〕x 的图象上，反之亦然.根据这种对称性就可以利用函数y =2x 的图象得到函数y =〔21〕x 的图象.方法引导：要证明两个函数f 〔x 〕与g 〔x 〕的图象关于某一直线成轴对称图形，要分两点证明：〔1〕f 〔x 〕图象上任意一点关于直线的对称点都在g 〔x 〕的图象上；〔2〕g 〔x 〕图象上的任意一点关于直线的对称点都在f 〔x 〕的图象上.合作探究：思考底数a 的变化对图象的影响. 例如：比较函数y =2x 和y =10x 的图象以及y =〔21〕x 和y =〔101〕x 的图象.〔生观察并讨论，给出如下结论〕结论：在第一象限内，底数a 越小，函数的图象越接近x 轴. 合作探究：如何快速地画出指数函数简图？〔学生讨论，交流各自的想法，师适时地归纳，得出如下注意点〕〔1〕要注意图象的分布区域：指数函数的图象知分布在第一、二象限；〔2〕注意函数图象的特征点：无论底数取符合要求的任何值，函数图象均过定点〔0，1〕；〔3〕注意函数图象的变化趋势：函数图向下逐渐接近x 轴，但不能和x 轴相交. 〔三〕例题讲解[例1] 求以下函数的定义域：〔1〕y =8121-x ；〔2〕y =x )21(1-.〔多媒体显示，师组织学生讨论完成〕 师：我们已经有过求函数定义域的一些实战经验，你觉得求函数定义域时哪些方面应该引起你的高度注意？〔生交流自己的想法，师归纳，得出如下结论〕 〔1〕分式的分母不能为0；〔2〕偶次根号的被开方数大于或等于0； 〔3〕0的0次幂没有意义.师：这些注意点在我们所要解决的问题中又没有出现，是否还有其他新的要求或限制条件？〔生讨论交流，并板演解答过程，师组织学生进行评析，规范学生解题〕解：〔1〕∵2x －1≠0，∴x ≠21，原函数的定义域是{x |x ∈R ，x ≠21}； 〔2〕∵1－〔21〕x ≥0，∴〔21〕x ≤1=〔21〕0.∵函数y =〔21〕x 在定义域上单调递减，∴x ≥0.∴原函数的定义域是［0，+∞〕.[例2] 比较以下各题中两个值的大小：〔1〕1.72.5，1.73；〔2〕0.8－0.1，0.8－0.2；〔3〕1.70.3，0.93.1. 师：你能发现题中所给的各式有哪些共同点和不同点吗？这些特点能否给你解答该题有所启示呢？〔生讨论，师适时点拨，得出如下解析过程〕 解：〔1〕1.72.5，1.73可看作函数y =1.7x 的两个函数值.由于底数1.7＞1，所以指数函数y=1.7x在R上是增函数.因为2.5＜3，所以1.72.5＜1.73.〔2〕0.8－0.1，0.8－0.2可看作函数y=0.8x的两个函数值.由于底数0.8＜1，所以指数函数y=0.8x在R上是减函数.因为－0.1＞－0.2，所以0.8－0.1＜0.8－0.2.〔3〕因为1.70.3、0.93.1不能看作同一个指数函数的两个函数值，所以我们可以首先在这两个数值中间找一个数值，将这一个数值与原来两个数值分别比较大小，然后确定原来两个数值的大小关系.由指数函数的性质知1.70.3＞1.70=1，0.93.1＜0.90=1，所以1.70.3＞0.93.1.师：问题解决了，通过解决这些问题，你有什么心得体会吗？〔生交流解题体会，师适时归纳总结，得出如下结论〕方法引导：在解决比较两个数的大小问题时，一般情况下是将其看作是一个函数的两个函数值，利用函数的单调性比较之.当两个数不能直接比较时，我们可以将其与一个数进行比较大小，从而得出该两数的大小关系.三、巩固练习课本P68练习1、2〔生完成后，同桌之间互相交流解答过程〕1.略.2.〔1〕{x|x≥2}；〔2〕{x|x≠0}.四、课堂小结师：通过本节课的学习，你觉得你都学到了哪些知识?请同学们互相交流一下自己的收获，同时也让你们的同桌享受一下你所收获的喜悦.〔生交流，师简单板书，多媒体显示如下内容〕1.指数函数的定义以及指数函数的一般表达式的特征.2.指数函数简图的作法以及应注意的地方.3.指数函数的图象和性质.一般地，指数函数y=a x在底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示：a＞10＜a＜1图象性质〔1〕定义域为〔－∞，+∞〕；值域为〔0，+∞〕性质〔2〕过点〔0，1〕，即x=0时，y=a0=1〔3〕假设x＞0，那么a x＞1；假设x＜0，那么0＜a x＜1〔3〕假设x＞0，那么0＜a x＜1；假设x＜0，那么a x＞1 〔4〕在R上是增函数〔4〕在R上是减函数4.结合函数的图象说出函数的性质，这是一种重要的数学研究思想和研究方法——数形结合思想〔方法〕.5.a的取值范围是今后应用指数函数讨论问题的前提.五、布置作业课本P69习题2.1A组第5、6、7、8、10、11题.板书设计2.1.2 指数函数及其性质〔1〕一、1.指数函数的概念2.指数函数的图象和性质二、例题评析三、课堂小结四、布置作业。
2.1.2指数函数及其性质(第一课时)
莘县一中 袁 迪
学习目标:
1、了解指数函数模型的实际背景 2、理解指数函数的概念，掌握指数函数的性质
3、会利用指数函数的单调性比较大小
一、情景引入
情景1、把一张厚度为1毫米的纸对折1次，2次，3次的厚 度分别是多少？对折30次呢？
2
2
223ຫໍສະໝຸດ 230那么，假设厚度为1，对折x次后，厚度y如何表示？
q x = ( ) 3
1x
6
h x =
x 3
5
4
g x =
(2 )
-2
1x
3
fx = 2 x
2
1
-4
2
4
y
y
y
1 y 2
x
1 y 3
x
x
y 3
x
y 2
x
ya
( a 1)
ya
x
( 0 a 1)
1 1
1 1
0
x
0
16
0
1
14
1
3
2
9
3
27 1/27
…
… …
y3
…
x
1/27 1/9 27 9
1/3 3
12 10
1 y 3
…
1
1/3 1/9
g x =
(3 )
1x
8
6
fx =
x 3
4
2
-10
-5
5
10
q x = ( ) 3
1x
6
h x =
x 3
5
4
g x =
2.1.2指数函数及其性质(1)
一、指数函数的实际背景：
我国GDP（国内生产总值）未来20年平均增长率可望达到73 . %， 问题1： 那么x年后GDP可望为今年的y倍，则
x y （ 1+7.3%） =1.073x ( x N ，x 20)
问题2：生物体内碳14含量P与死亡年数t的函数关系为：
4、函数y＝a x－1＋4恒过定点( A．(1，5) B．(1，4) C．(0，4) D．(4，0)
A
)
5、若函数y=a2x+b+1(a>0且a≠1,b为 实数)的图象恒过定点(1，2)， -2 则b=_____.
一、通过本节课的教学，你有什么收获？
（1）指数函数的概念； （2）指数函数的图象和性质； （3）利用单调性比较两个指数值的大小。 二、你体会到的数学思想方法有哪些？ 数形结合的思想、分类与整合的思想以及 特殊与一般的思想等。
x
1 3
1 2
④、
1.7 , 0.9
0.3
3.1
Hale Waihona Puke x 解： ③、 a 当a 1时，y a 是R上的增函数，
1 3
1 3
a
3.1
1 2
1 2
当0 a 1时，y a 是R上的减函数， a a
④、
1.7
0.3
1而0.9 1,
3.1
1.7
0.3
0.9
小结：比较指数值大小的方法 ①、构造函数法：要点是利用函数的单调性，数 的特征是同底不同指（包括可以化为同底的）， 若底数是参变量要注意分类讨论。 ②、中间介值比较法：用别的数如0或1做桥。数 的特征是不同底不同指。
课堂练习：
必修1教案2.1.2指数函数及其性质(一)
2.1.2 指数函数及其性质（一）（一）教学目标1．知识与技能了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象．2．过程与方法能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索指数函数图象特征．3．情感、态度与价值观在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型，激发学生学习数学的兴趣，努力培养学生的创新意识．（二）教学重点、难点1．教学重点：指数函数的概念和图象．2．教学难点：指数函数的概念和图象．（三）教学方法采用观察、分析、归纳、抽象、概括，自主探究，合作交流的教学方法，通过各种教学媒体（如计算机或计算器），调动学生参与课堂教学的主动性和积极性．（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入1. 在本章的开头，问题（1）中时间x与GDP值中的 1.073(20)xy x x=∈≤与问题(2)中时间t和C-14含量P的对应关系]t51301P=[()2，请问这两个函数有什么共同特征.2. 这两个函数有什么共同特征157301][()]2tP=t57301把P=[()变成2，从而得出这学生思考回答函数的特征．由实际问题引入，不仅能激发学生的学习兴趣，而且可以培养学生解决实际问题的能力．两个关系式中的底数是一个正数，自变量为指数，即都可以用xy a =（a ＞0且a ≠1来表示）.形成概念理解概念指数函数的定义一般地，函数xy a =（a ＞0且a ≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R .回答：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？（1）22x y +=（2）(2)xy =- （3）2xy =-（4）xy π=（5）2y x = （6）24y x=（7）xy x =（8）(1)xy a =- （a ＞1，且2a ≠）小结：根据指数函数的定义来判断说明：因为a ＞0，x 是任意一个实数时，xa 是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R .000,0xx a a x a ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩x当时,等于若当时,无意义若a ＜0，如1(2),,8x y x x =-=1先时,对于=等等,6在实数范围内的函数值不存在.若a =1, 11,xy == 是一个常量，没有研究的意义，只有满足学生独立思考，交流讨论，教师巡视，并注意个别指导，学生探讨分析，教师点拨指导．由特殊到一般，培养学生的观察、归纳、概括的能力．使学生进一步理解指数函数的概念.(0,1)x y a a a =>≠且的形式才能称为指数函数，a 为常数,如：,,xy x =1xxy=2-3,y=253,31x x y y +==+等等,不符合(01)x y a a a =>≠且的形式,所以不是指数函数 .深化概念我们在学习函数的单调性的时候，主要是根据函数的图象，即用数形结合的方法来研究. 下面我们通过先来研究xy a =（a ＞1）的图象， 用计算机完成以下表格，并且用计算机画出函数2xy =的图象x3.00- 2.50- 2.00- 1.50-2x y =18-141.00- 0.00 0.50 1.00 1.502.00 121 2 4再研究先来研究xy a =（0＜a ＜1）的图象，用计算机完成以下表格并绘出函数1()2xy =的图象.x2.50- 2.00- 1.50- 1.00- 0.001()2x y =141211.00 1.502.00 2.50学生列表计算，描点、作图．教师动画演示．学生观察、归纳、总结，教师诱导、点评． 通过列表、计算使学生体会、感受指数函数图象的化趋势，通过描点，作图培养学生的动手实践能力．不同情况进行对照，使学生再次经历从特殊到一般，由具体到抽象的思维过程．培养学生的归纳概括能力．从图中我们看出12()2x x y y ==与的图象有什么关系?通过图象看出12()2x x y y y ==与的图象关于轴对称,实质是2xy =上的x,y 点(-)x y x,y y 1与=()上点(-)关于轴对称.2讨论：12()2xx y y ==与的图象关于y 轴对称，所以这两个函数是偶函数，对吗？②利用电脑软件画出115,3,(),()35x x x x y y y y ====的函数图象.2 4所以0(0)1f π==，133(0)f ππ==，11(3)f ππ--==.归纳 总结1、理解指数函数(0),xy a a =>101a a ><<注意与两种情况2、解题利用指数函数的图象，可有利于清晰地分析题目，培养数型结合与分类讨论的数学思想 .学生先自回顾反思，教师点评完善． 通过师生的合作总结，使学生对本节课所学知识的结构有一个明晰的认识，形成知识体系.课后 作业作业：2.1 第四课时 习案 学生独立完成 巩固新知 提升能力备选例题例1 指出下列函数哪些是指数函数： （1）x y 4=； （2）4x y =； （3）x y 4-=； （4）xy )4(-=； （5）xy π=； （6）24x y =；（7）x x y =； （8）,21()12(>-=a a y x且)1≠a . 【分析】 根据指数函数定义进行判断. 【解析】 （1）、（5）、（8）为指数函数； （2）是幂函数（后面2.3节中将会学习）； （3）是1-与指数函数x 4的乘积；（4）底数04<-，∴不是指数函数； （6）指数不是自变量x ，而底数是x 的函数； （7）底数x 不是常数. 它们都不符合指数函数的定义.【小结】准确理解指数函数的定义是解好本问题的关键.例 2 用计算机作出的图像，并在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出它们与指数函数y =x 2的图象的关系，⑴y =12+x 与y =22+x . ⑵y =12-x 与y =22-x .解：⑴作出图像，显示出函数数据表比较函数y =12+x 、y =22+x 与y =x2的关系：将指数函数y =x2的图象向左平行移动1个单位长度，就得到函数y =12+x 的图象，将指数函数y =x2的图象向左平行移动2个单位长度，就得到函数y =22+x 的图象⑵作出图像，显示出函数数据表比较函数y =12-x 、y =22-x 与y =x 2的关系：将指数函数y =x 2的图象向右平行移动1个单位长度，就得到函数y =12-x 的图象，将指数函数y =x 2的图象向右平行移动2个单位长度，就得到函数y =22-x 的图象小结：⑴当m >0时，将指数函数y =x 2的图象向右平行移动m 个单位长度，就得到函数y =m x -2的图象；当m >0时，将指数函数y =x 2的图象向左平行移动m 个单位长度，就得到函数y =2x m +的图象。
21§2.1.2 指数函数及其性质(第1课时)
班级：高一 班 姓名： 编号：21§2.1.2 指数函数及其性质第1课时 指数函数的定义与图象性质山东省淄博四中·高一数学组课时学习目标与重难点：☆学习目标：掌握指数函数的概念、图像和性质。
★重难点：指数函数的概念和性质是本节的重点，用数形结合的方法从具体到一般的探索、概括指数函数的性质是本节的难点。
课时学案：一、知识回顾与问题探究材料一：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……一个这样的细胞分裂x 次后，得到的细胞分裂的个数y 与x 的函数关系是什么？答：材料二：当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”。
根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P 与死亡年数t 之间的关系，这个关系式应该怎样表示呢？答：※问题探究：你发现这两个关系式有什么相同的地方吗？你能从以上两个解析式中抽象出一个更具有一般性的函数模型吗？二、新知探究与知能训练1．指数函数的概念：一般的，函数________(________________)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是________。
合作探究：在函数解析式x a y =中为什么要规定0>a ，1≠a ？课堂训练1：判断下列函数是否是指数函数？①x y 32⋅=， ； ②13-=x y ， ； ③3x y =， ； ④x y 3-=， ；⑤x y )4(-=， ； ⑥x y π=， ； ⑦24x y =， ； ⑧x x y =， ；⑨x a y )12(-=)1,21(≠>a a 且， 。
★2．指数函数的图象与性质：(1)在初中，我们曾学过画函数图象的三个步骤是： 、 、 。
请你完成x y 2=和x y )21(=的x 、y 对应值表，并在给定坐标系中画出它们的函数图象。
x y 2=的x 、y 对应值表x y )21(=的x 、y 对应值表※问题探究：通过图像分析函数x y 2=和x y )21(=的性质应该如何呢？猜想x a y =(0>a 且1≠a )的性质。
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y 1 a
系数为1
x
指数是自变量x 底数为正数且不为1
思考：为何规定a＞0且a≠1？
当a0时，ax可能没有意义;
如 : ( 2) , 0
1 2
1 2
当a=1时，函数值y恒等于1，没有研究价值.
2、指数函数的图象与性质
作图：在同一坐标系中分别作出下列函数的图象：
1 y 2 与y 2
1、指数函数的概念 形如y = ax(a0，且a 1)的函数叫做指数 函数,其中x是自变量 ,函数的定义域是R.
y 1 a
系数为1
x
指数是自变量x 底数为正数且不为1
练习 1、下列函数中，哪些是指数函数?
(1) y 2 √ (3) y 2 10
x
( 2) y 10 1
a 1
0
小结归纳
1、函数 y = ax(a0，且a 1)叫做指数函数,其 中x是自变量 ,函数的定义域是R.
2、研究函数的一般方法：解析式、图象
函数性质：定义域、值域、单调性、最值、 奇偶性、特殊值、分布区域
例6 已知指数函数f(x) 的图象过点(3, )，
求解析式及f(0)，f(1)，f(－3)的值.
分析：利用函数图象过点(3, )这个条件可求得a.
解：设指数函数f ( x ) a (a 0，且a 1) x 函数f ( x ) a 的图象过点(3, )
x
f (3) a =
x
x
( 4) y x
10
√ (7) y 3 √
(5) y x
-2x
(6) y x x
2、已知函数y (a 2 3a 3)a x 是指数函数， 则a的值为_______
2
y 1 a (a 0, 且a 1)，x R
x
1、指数函数的概念 函数y = ax(a0，且a 1)叫做指数函数, 其中x是自变量 ,函数的定义域是R.
日 取 其 半
壹 尺 之 棰
x次
…
1 x y( ) 2
木棰 剩余 长度
1 尺 2 1 尺 4 1 尺 8
1 尺 16
…
1 x ( ) 尺 2
y2
x
1 x y( ) 2
思考: 以上两个函数形式上有何共同特征?
(1)均为幂的形式;
(2)底数是一个正的常数; (3) 自变量x都在指数位置.
ya
x
3
解得 a =
1 3
Hale Waihona Puke 待定系数法1 3 3
3 3
f ( x)
0
x 3
f (0) =1，f (1) = ，f ( 3)
= =
1
1
练习
(0,1) (1)函数y a x 恒过定点____________ x2 (2,1) (2)函数y a 恒过定点___________ (2,4) (3)函数y a x2 +3恒过定点___________
x
x
2、指数函数的图象与性质 x ya a 1
y
0 a 1
y
图象
定义域 值域
1
O
1
x
O x
性 质
R (0,+ ) 0 即 x = 0 时，恒有 y a 1 恒过定点(0,1) 在R上是增函数 在R上是减函数 当x 0时， 0 y 1 当x 0时，y >1 当x >0时，y >1 当x >0时，0<y <1
2.1.2 指数函数及其性质（1）
情景引入1 某种细胞分裂时，按照一分为二的规律， 可由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个 分裂成8个，8个分裂成16个，……如此 下去，一个这样的细胞第x次分裂后， 细胞的个数y是多少？
y2
x
情景引入2 庄子云：
截取 次数 1次 2次 3次
！
4次
萬 世 不 竭