高三数学上学期第一次适应性训练试题 理 (含解析)北师大版
北京市师大附属中学2023届高三适应性练习数学试题及参考答案
北京市师大附属中学2023届高三适应性练习数学试题及参考答案一、单选题1．已知集合{}{}24,P x x M m =≤=，若P M M = ，则m 的取值范围是（）A ．(],2-∞-B ．[]22-,C ．[)2,+∞D ．][(),22,∞∞--⋃+2．抛物线28y x =的焦点到准线的距离是A ．1B ．2C ．4D ．83．如图，点P 为角α的终边与单位圆O 的交点，()tan πα+=（）A ．34-B ．34C ．43-D ．434．在32x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为（）A ．1B ．3C ．6D ．125．现从3名男同学和2名女同学中选取两人加入“数学兴趣小组”，用A 表示事件“抽到两名同学性别相同”，B 表示事件“抽到两名女同学”，则在已知A 事件发生的情况下B 事件发生的概率即()P B A =（）A ．14B ．13C ．25D ．126．已知圆22:1O x y +=，直线34100x y +-=上动点P ，过点P 作圆O 的一条切线，切点为A ，则PA 的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．27．将函数sin 2y x =的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度，得到的图象恰好关于直线6x π=对称，则ϕ的最小值是（）A ．12πB ．6πC ．4πD ．3π8．设,a b 均为非零向量，则“a b ⊥”是“对于任意的实数λ，都有a a b λ≤- ”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不允分也不必要条件“”3级科赫曲线，……个与它的上一级图形相似，且相似比为r 的部分组成，则二、填空题11．若()2i 5z +=，则z 的虚部是_________.12．双曲线221x y λ+=的顶点坐标为_________.13．已知等比数列{}n a ，记其前n 项乘积12n n T a a a =⋅⋅⋅.若232,8T T =-=-，则3a =_________；{}n a 的前4项和为_________.14．已知函数()sin f x x a x =-在R 上不是单调函数，且其图象完全位于直线30x y --=与5π.三、解答题它所涉及的数学知识并非都是遥不可EF CF=，长轴长为42.参考答案：1．B由图象可知，当1a ≤时，存在存在10．D【分析】根据题意得出Koch 件即可得出结果.【详解】由题意Koch 曲线是由把全体缩小则其相似的分形维数是D =11．1-【分析】根据复数的除法运算求解【详解】因为()2i 5z +=，所以12．(0,1)±【分析】化为双曲线标准方程，写出顶点坐标【详解】因为221x y λ+=为双曲线方程，所以所以双曲线的顶点坐标为(0,由图可知，当点P在矩形且在圆及圆内部分满足O C D时，||,,PA有最大值13，故③正确；故面积为120π+42=8+5π4⨯⨯，故④正确【点睛】关键点睛：本题作为一道创新型试题，关键在于理解所给新定义，对于①②可以利用具体点去直接判断结论正确与否，根据新定义求出点满足的轨迹方程（边界）求出点P 所在区域，利用数形结合思想判断③，与矩形，其中需要割补思想的应用.16．(1)5314；(2)203【分析】（1）直接利用正弦定理求解即可；（2）求出c ，再利用余弦定理求出b 【详解】（1）在ABC ∆中，因为A ∠所以由正弦定理得sin 5sin 7c A C a ==（2）因为5c =，所以7575a =⨯=.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得所以ABC ∆的面积11sin 22S bc A ==⨯17．(1)16；140;(2)分布列见解析；25【分析】（1）根据表中数据即可求得a 出现的概率；（2）确定1(2,)5XB ，根据二项分布的概率计算即可求得答案；EF，AD⊂平面ADFE矛盾，所以假设不成立，即AD不平行于平面CEF取CD 中点M ，连接AM因为菱形,60ABCD ABC ∠=︒，所以ACD 为正三角形，又M 为CD 中点，所以AM CD ⊥，由于//AB CD ，所以AM AB ⊥，又因为面EAB ⊥面ABCD ，面EAB ⋂面ABCD AB =，AM ⊂面ABCD 所以AM ⊥面EAB ，因为AE ⊂面EAB ，所以AM AE⊥又因为AE AD ⊥，,,AM AD A AM AD ⋂=⊂面ABCD ，所以⊥AE 面ABCD ，而,AB AM ⊂面ABCD ，所以AE AB ⊥，AE AM⊥所以如图，以A 为原点，,,AB AM AE 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()()()()()()0,0,0,2,0,0,1,3,0,1,3,0,0,0,2,1,3,1A B C D E F --（i ）因为⊥AE 面ABCD ，所以()0,0,2AE =为平面ABCD 的一个法向量设平面CEF 的法向量为(),,n x y z =，因为()()1,3,2,2,0,1CE CF =--=- 所以3203220n CE x y z y xz x n CF x z ⎧⎧⋅=--+==⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⋅=-+=⎪⎩⎩ ，令1x =，()1,3,2n = 设平面ABCD 与平面CEF 所成角为θ，所以42cos cos<,2222n AE n AE n AE >⋅====⨯⋅θ，则π4θ=即平面ABCD 与平面CEF 所成角大小为π4；（ii ）因为()1,3,0AC =，由（i ）知平面的一个法向量为()1,3,2n = 所以点A 到平面CEF 的距离为130222AC n n ⋅++==.选择条件②：连接BD ，取CD 中点M ，连接AM因为菱形,60ABCD ABC ∠=︒，所以ACD 为正三角形，又M 为CD 中点，所以AM CD ⊥，由于//AB CD ，所以AM AB ⊥，在菱形ABCD 中，有AC BD ⊥，又因为BD CE ⊥，,,AC CE E AC CE ⋂=⊂平面ACE ，所以BD ⊥平面ACE ，因为AE ⊂平面ACE ，所以BD AE⊥设平面CEF 的法向量为所以32n CE x y n CF x z ⎧⋅=--+⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 设平面ABCD 与平面CEF 所以cos cos<,n AE >= θ即平面ABCD 与平面CEF （ii ）因为(1,3,0AC =所以点A 到平面CEF 的距离为条件③：取CD 中点M ，连接AM因为菱形,ABCD ABC ∠由于//AB CD ，所以AM 因为AE AD ⊥，由（1）可得所以5EF CF DF ===因为//AE DF ，所以AE设平面CEF 的法向量为所以32n CE x n CF x z ⎧⋅=--⎪⎨⋅=-+⎪⎩ 设平面ABCD 与平面CEF 所以cos cos<,n AE = θ即平面ABCD 与平面CEF （ii ）因为(1,3,AC =所以点A 到平面CEF 19．(1)22182x y +=，焦距为【分析】（1）根据椭圆过点及（2）设1(M x ，1)y ，N 根据已知得到112(1)2y x -++【详解】（1）由题得⎧⎪⎨⎪⎩。
高三上期(理科)数学一诊适应性训练题(一)
高三上期 (理科)数学一诊适应性训练题（一）一、选择题（每小题5分，共60分）1．定义集合M 与N 的新运算，M+N={x|x ∈M 或x ∈N 且x M N ∉I }，则(M+N)+N 等于（ ）A ．M ∪NB ．M ∩NC ．MD ．N2．函数3222(),33cf x ax bx cx d y ax bx =+++=++图象如右图则函数的单调递增区间为（ ） A ．(,2]-∞- B ．[3,)+∞C ．[2,3]-D ．1,2⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦3．已知函数[][]()(1)cos (1)2,()f x a x a x f x =-+- 的最大值为则的最小正周期为（ ） A ．4πB ．2π C ．π D ．2π4．已知直线l ⊥平面α，直线,m β⊂ 平面有下列四个命题：①α∥β=>l ⊥m ；②α⊥β=>l ∥m ；③l ∥m =>α⊥β；④l ⊥m =>α∥β其中正确命题是（ ） A ．①② B ．③④ C ．②④ D ．①③5．湖南师大数学教育专业6名青年志愿者，为响应团中央发起的中国青年志愿者扶贫活动计划，志愿到湘西自治州的永顺、古丈、凤凰三地任教五年，则一县4名，另两县每县一名的概率为 ( )A ．2081B ．1081C ．5243D ．102436．过正三棱锥S —ABC 的侧棱SB 和底面ABC 的中心O 作截面SBO ，已知截面是等腰三角形，则侧面与底面所成角的余弦值为 ( )A ．13BC．13 D ．7．已知{a n }是首项为1,公比为q 的等比数列,如果数列12*1231...(,2),n n n n n n P a a C a C a C n N n +=++++∈>024*...(,2),n n n n n n Q C C C C n N n =++++∈>n n P Q ⎧⎫⎨⎬⎩⎭如果数列有极限,那么公比q 的取值范围是 ( )A ．-1<q ≤1，且q ≠0B ．-l<q<l ，且q ≠0C ．-3<q ≤l ，且q ≠0D ．-3<q<l ，且q ≠08．设33sin cos ,sincos 0,t αααα=++<且则t 的取值范围是（ ）A．)⎡⎣B．⎡⎣C．((1,0)-UD．())+∞U9．偶函数f(x)(x ∈R)满足：[)(4)(1)0,[0,3]3,f f -==+∞且在区间与上分别递减和递增，则不等式x 3f(x)<0的解集为（ ）A ．(-∞,-4)∪(4,+∞)B ．(-4,-1)∪(1,4)C ．(-∞,-4)∪(-1,0)D ．(-∞,-4)∪(-1,0)∪(1,4)10．从-3，-2，-1，0，1，2，3，4这8个数中任选3个不同的数组成二次函数y=ax 2+bx+c 的系数a ，b ，c 。
2024北京北师大实验中学高三(上)统练一数学试题及答案
2024北京北师大实验中学高三（上）统练一数 学试卷说明：1．本次考试时间120分钟，总分150分． 2．试卷共有三道大题，21道小题． 3．请将全部答案答在答题纸上．一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填在答题纸上1. 已知集合{}42A x x =−<<，{}29B x x =≤，则A B =（ ）A. (]4,3−B. [)3,2−C. ()4,2−D. []3,3−2. 若复数()()()1a i i a R ++∈为纯虚数，则a 的值为（ ） A. 1−B. 0C. 1D. 23. 在421x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数为（ ） A. 4−B. 4C. 6−D. 64. 下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是（ ） A. ()ln f x x =− B. 1()2xf x =C. 1()f x x=−D. |1|()3x f x −=5. 设,R,0a b ab ∈≠，且a b >，则（ ） A.b a a b< B.2b aa b+> C. ()sin a b a b −<−D. 32a b >6. 已知圆C 过点()1,2A −，()10B ,，则圆心C 到原点距离的最小值为（ ）A.12B.2C. 17. 已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+，则AP AB ⋅的值为（ ）A. 2B. 4−C. 4D.8. 已知函数()sin()f x x ϕ=+．则“(1)(1)f f −=”是“()f x 为偶函数”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9. 已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为44， ）C.10. 若函数()()223,02,0xx f x x x a⎧+≤⎪=⎨−<≤⎪⎩的定义域和值域的交集为空集，则正数a 的取值范围是（ ） A. (]0,1 B. ()0,1 C. ()1,4D. ()2,4二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题纸上．11. 抛物线y 2=2x 的焦点坐标为____．12. 若(cos ,sin )P θθ与(cos(),sin())66Q ππθθ++关于y 轴对称，写出一个符合题意的θ值______．13. 如图，在正三棱柱111ABC A B C −中，P 是棱1BB 上一点，12AB AA ==，则三棱锥1P ACC −的体积为___________.14. 设O 为原点，双曲线22:13y C x −=的右焦点为F ，点P 在C 的右支上.则C 的渐近线方程是___________；OP OF OP⋅的取值范围是___________.15. 对于数列{}n a ，令()112341n n n T a a a a a +=−+−+⋅⋅⋅+−，给出下列四个结论：①若n a n =，则20231012T =； ②若n T n =，则20221a =−；③存在各项均为整数的数列{}n a ，使得1n n T T +>对任意的*n ∈N 都成立； ④若对任意的*n ∈N ，都有n T M <，则有12n n a a M+−<.其中所有正确结论的序号是______.三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16. 如图，在三棱锥P ABC −中，PA ⊥平面ABC ，1PA AB BC PC ====，．（1）求证：⊥BC 平面P AB ； （2）求二面角A PC B −−的大小．17. 在ABC 中，sin 2sin b A B =．（1）求A ∠；（2）若ABC 的面积为ABC 存在且唯一确定，求a 的值．条件①：sinC 4b c =；条件③：cos C = 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18. H 地区农科所统计历年冬小麦每亩产量的数据，得到频率分布直方图（如图1），考虑到受市场影响，预测该地区明年冬小麦统一收购价格情况如表1（该预测价格与亩产量互不影响）.假设图1中同组的每个数据用该组区间的中点值估算，并以频率估计概率. （1）试估计H 地区明年每亩冬小麦统一收购总价为1500元的概率；（2）设H 地区明年每亩冬小麦统一收购总价为X 元，求X 的分布列和数学期望；（3）H 地区农科所研究发现，若每亩多投入125元的成本进行某项技术改良，则可使每亩冬小麦产量平均增加50kg .从广大种植户的平均收益角度分析，你是否建议农科所推广该项技术改良？并说明理由.19. 如图，已知椭圆2222:1(0)y x E a b a b+=>>的一个焦点为1(0,1)F ．（1）求椭圆E 的方程；（2）过点1F 作斜率为k 的直线交椭圆E 于两点A ，B ，AB 的中点为M ．设O 为原点，射线OM 交椭圆E 于点C ．当ABC 与ABO 的面积相等时，求k 的值．20. 已知函数()sin x f x x =（0πx <<），()(1)ln g x x x m =−+（m ∈R ） （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）求证：1是()g x 的唯一极小值点；（Ⅲ）若存在a ，(0,)b ∈π，满足()()f a g b =，求m 的取值范围.（只需写出结论） 21. 若数列A ：1a ，2a ，⋅⋅⋅，n a （3n ≥）中*i a N ∈（1i n ≤≤）且对任意的21k n ≤≤−，112k k k a a a +−+>恒成立，则称数列A 为“U −数列”.（1）若数列1，x ，y ，7为“U −数列”，写出所有可能的x 、y ；（2）若“U −数列” A ：1a ，2a ，⋅⋅⋅，n a 中，11a =，2017n a =，求n 的最大值； （3）设0n 为给定的偶数，对所有可能的“U −数列”A ：1a ，2a ，⋅⋅⋅，0n a ，记{}012max ,,,n M a a a =⋅⋅⋅，其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示1x ，2x ，⋅⋅⋅，s x 这s 个数中最大的数，求M 的最小值.参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填在答题纸上1. 【答案】A【分析】先求B ，再求并集即可【详解】易得{}3|3B x x =−≤≤，故(]4,3A B ⋃=− 故选：A 2. 【答案】C【分析】由复数乘法化为代数形式，然后由复数的分类求解．【详解】∵()(1)1(1)a i i a a i ++=−++为纯虚数，∴1010a a −=⎧⎨+≠⎩，∴1a =．故选：C ．【点睛】本题考查复数的乘法运算，考查复数的分类，掌握复数概念是解题关键． 3. 【答案】A【分析】写出421x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的二项展开式的通项公式，再进行整理化简，要求x 的系数，可令1r =，进而可得结果.【详解】421x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的第1r +项为：()443144211r r r r rr rT C x C x x −−+⎛⎫=−− ⎪⎝=⎭，由431r −=得1r =，∴421x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为()11414C −=−. 故选：A 4. 【答案】C【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC ，举反例排除D 即可. 【详解】对于A ，因为ln y x =在()0,∞+上单调递增，y x =−在()0,∞+上单调递减， 所以()ln f x x =−在()0,∞+上单调递减，故A 错误； 对于B ，因为2xy =在()0,∞+上单调递增，1y x=在()0,∞+上单调递减， 所以()12x f x =在()0,∞+上单调递减，故B 错误； 对于C ，因为1y x=在()0,∞+上单调递减，y x =−在()0,∞+上单调递减，所以()1f x x=−在()0,∞+上单调递增，故C 正确；对于D ，因为111221332f −⎛⎫=== ⎪⎝⎭()()112101331,233f f −−=====，显然()13x f x −=在()0,∞+上不单调，D 错误.故选：C. 5. 【答案】C【分析】举反例即可求解ABD,根据导数求证()sin ,0,x x x <∈+∞即可判断C. 【详解】对于A ，取2,1a b ==−，则122b aa b=−>=−，故A 错误， 对于B ，1,1a b ==−，则2b aa b+=，故B 错误， 对于C ，由于()sin 0,cos 10y x x x y x '=−>−≤=，故sin y x x =−在()0,∞+单调递减，故sin 0x x −<，因此()sin ,0,x x x <∈+∞，由于a b >，所以0a b−，故()sin a b a b −<−，C 正确，对于D, 3,4a b =−=−,则11322716ab =<=，故D 错误， 故选：C 6. 【答案】B【分析】由题意可知圆心在线段AB 的垂直平分线上，将所求的最值转化为原点到该直线的距离，即可得解.【详解】由圆C 过点()1,2A −，()10B ,，可知圆心在线段AB 的垂直平分线l 上 又1AB k =−，则1l k =又AB 的中点为()0,1，则直线l 的方程为1y x =+圆心C 到原点距离的最小值即为原点到直线l 的距离为2d == 故选：B7. 【答案】C【分析】利用数量积的定义和性质，即可计算结果. 【详解】由条件可知()2111222AP AB AB AC AB AB AB AC ⋅=+⋅=+⋅ 211cos 4522AB AB AC =⨯+⨯⨯122422=+⨯⨯=.故选：C 8. 【答案】C【分析】根据充分，必要条件的定义，结合三角函数变换，即可判断选项. 【详解】当()()11f f −=，即()()sin 1sin 1ϕϕ−+=+ 则sin cos1cos sin1sin cos1cos sin1ϕϕϕϕ−=+， 化简为cos sin10ϕ=，即ππ2k ϕ=+，Z k ∈， 当π2π,Z 2k k ϕ=+∈时，()cos f x x =，为偶函数， 当()π21π,Z 2k k ϕ=++∈时，()cos f x x =−，为偶函数， 所以()()11f f −=，能推出函数()f x 是偶函数 反过来，若函数()f x ()()11f f −=， 所以“(1)(1)f f −=”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件. 故选：C 9. 【答案】D【分析】根据题意分析可知平面PEF ⊥平面ABCD ，可知⊥PO 平面ABCD ，再结合等体积法，即可求解．【详解】底面ABCD 为正方形，边长为4，当相邻的棱长相等时，不妨设4PA PB AB ===，PC PD ==分别取AB ，CD 的中点E ，F ，连接PE ，PF ，EF ， 如图所示：则PE AB ⊥，EF AB ⊥，且PE EF E =，PE ，EF ⊂平面PEF ，故AB ⊥平面PEF ，且AB ⊂平面ABCD ， 所以平面PEF ⊥平面ABCD ，过P 作EF 的垂线，垂足为O ，即PO EF ⊥， 由平面PEF平面ABCD EF =，PO ⊂平面PEF ，所以⊥PO 平面ABCD ，由题意可得：PE =，2PF =，4EF =， 则222PE PF EF +=，即PE PF ⊥， 则1122PE PF PO EF ⋅=⋅，故PE PFPO EF⋅==，4PA PC ==，PB PD ==因为BD PB PD ==+，此时不能形成三角形PBD ，与题意不符，这样情况不存在． 故选：D ． 10. 【答案】B【分析】首先得到函数的定义域，再分析当0x ≤时()f x 的取值，即可得到3a ≤，再对0x a <≤时分2a ≥和02a <<两种情况讨论，求出此时()f x 的取值，即可得到()f x 的值域，从而得到不等式，解得即可；【详解】解：因为()()223,02,0xx f x x x a⎧+≤⎪=⎨−<≤⎪⎩，所以()f x 的定义域为(],a −∞，0a >， 当0x ≤时()23xf x =+，则()f x 在(],0−∞上单调递增，所以()(]3,4f x ∈；要使定义域和值域的交集为空集，显然03a <≤， 当0x a <≤时()()22f x x =−，若2a ≥则()20f =，此时显然不满足定义域和值域的交集为空集， 若02a <<时()f x 在(]0,a 上单调递减，此时()())22,4f x a ⎡∈−⎣，则()())(]22,43,4f x a ⎡∈−⎣，所以()2202a a a ⎧<−⎪⎨<<⎪⎩，解得01a <<，即()0,1a ∈ 故选：B二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题纸上．11. 【答案】（，0）．【详解】试题分析：焦点在x 轴的正半轴上，且p=1，利用焦点为（，0），写出焦点坐标．解：抛物线y 2=2x 的焦点在x 轴的正半轴上，且p=1，∴=，故焦点坐标为（，0）， 故答案为（，0）． 考点：抛物线的简单性质．12. 【答案】512π（答案不唯一） 【分析】先由关于y 轴对称得出关系式，再由诱导公式求解即可.【详解】由题意得，cos cos(),sin sin()66ππθθθθ=−+=+，由诱导公式cos cos(),sin sin()θπθθπθ=−−=−知，6πθθπ++=显然满足题意，解得512πθ=. 故答案为：512π（答案不唯一）.13. 【答案】3【分析】利用线面垂直的判定定理确定三棱锥的高，再用锥体体积公式求解即可.【详解】取AC 中点为O ,连接OB ， 因为ABC 为正三角形，所以OB AC ⊥，又因为1AA ⊥平面ABC ，OB ⊂平面ABC ， 所以1AA OB ⊥,且11,,AA AC A AA AC ⋂=⊂平面11ACC A ， 所以OB ⊥平面11ACC A ，OB ==即B 到平面11ACC A 的距离为OB =又因为11//BB AA ,1BB ⊄平面11ACC A ,1AA ⊂平面11ACC A , 所以1//BB 平面11ACC A ，又因为P 是棱1BB 上一点，所以P 到平面11ACC A 的距离为OB =所以11133P ACC ACC V S OB −=⨯⨯=,故答案为:3.14. 【答案】 ①. y = ②. (]1,2【分析】根据双曲线的标准方程与渐近线方程的关系可写出双曲线C 的渐近线方程；求出,OP OF <>的取值范围，可得出2cos ,OP OF OP OF OP⋅=<>，结合余弦函数的基本性质可求得OP OF OP⋅的取值范围.【详解】在双曲线C 中，1a =，b =2c ==，则()2,0F ，所以，双曲线C 的渐近线方程为by x a=±=，直线y =的倾斜角为π3，由题意可知π0,3OP OF ≤<><，则1cos ,12OP OF <<>≤，所以，(]cos ,2cos ,1,2OP OF OF OP OF OP OF OP⋅=<>=<>∈.故答案为：y =；(]1,2. 15. 【答案】①②④【分析】逐项代入分析求解即可. 【详解】对于①：因为()112341n n n T a a a a a +=−+−+⋅⋅⋅+−，且因为n a n =，所以()112341n n T n +=−+−+⋅⋅⋅+−，所以20231234202120222023101120231012T =−+−+⋅⋅⋅+−+=−+=， 故选项①正确； 对于②：若n T n =，则()112341n n n T a a a a a n +=−+−+⋅⋅⋅+−=所以()()12112341111n n n n n T a a a a a a n ++++=−+−+⋅⋅⋅+−+−=+，所以两式相减得()2111n n a ++−=，所以()20212202211a +−=，所以20221a −=， 所以20221a =−， 故选项②正确；对于③：11234 (1)n n n T a a a a a +=−+−++−，12112341...(1)(1)n n n n n T a a a a a a ++++=−+−++−+−，所以若1n n T T +>对任意的*n ∈N 都成立， 则有123456...n T T T T T T T >>>>>>>，所以112123123412345a a a a a a a a a a a a a a a >−>−+>−+−>−+−+>()()12123456124561234561......1...1n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +++−+−+−>>−++−++−>−+−+−++−，因为各项为整数，则不等式串中绝对值只能从1a 越来越小，之后甚至会出现0大于某数绝对值的情况，例如：10003001002053210...>>>>>>>>>，后续还会有绝对值，但是会有矛盾，故选项③错误； 对于④：若对任意的*n ∈N ，都有n T M <， 则有1n n a a +−.11122211...n n n n n a a a a a a a a a +−−−=−+−−+−+−+()112211221...(...)n n n n n n a a a a a a a a a a +−−−−=−+−++−+−+−−+112211221......n n n n n n a a a a a a a a a a +−−−−≤−+−++−+−+−−+112n n T T M M M +−=−+<+=.故选项④正确； 故答案为：①②④.三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16. 【答案】（1）证明见解析 （2）π3【分析】（1）先由线面垂直的性质证得PA BC ⊥，再利用勾股定理证得BC PB ⊥，从而利用线面垂直的判定定理即可得证；（2）结合（1）中结论，建立空间直角坐标系，分别求得平面PAC 与平面PBC 的法向量，再利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解. 【小问1详解】因为PA ⊥平面,ABC BC ⊂平面ABC ， 所以PA BC ⊥，同理PA AB ⊥， 所以PAB 为直角三角形，又因为PB ==1,BC PC ==，所以222PB BC PC +=，则PBC 为直角三角形，故BC PB ⊥， 又因为BC PA ⊥，PA PB P =， 所以⊥BC 平面PAB . 【小问2详解】由（1）⊥BC 平面PAB ，又AB ⊂平面PAB ，则BC AB ⊥，以A 为原点，AB 为x 轴，过A 且与BC 平行的直线为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则(0,0,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,0)A P C B ，所以(0,0,1),(1,1,0),(0,1,0),(1,1,1)AP AC BC PC ====−，设平面PAC 的法向量为()111,,m x y z =，则0m AP m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1110,0,z x y =⎧⎨+=⎩ 令11x =，则11y =−，所以(1,1,0)m =−，设平面PBC 的法向量为()222,,x n y z =，则00n BC n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222200y x y z =⎧⎨+−=⎩，令21x =，则21z =，所以(1,0,1)n =， 所以11cos ,222m n m n m n⋅===⨯，又因为二面角A PC B −−为锐二面角， 所以二面角A PC B −−的大小为π3. 17. 【答案】（1）π6（2【分析】（1）利用正弦定理：边转角，再利用正弦的二倍角公式，即可求出结果； （2）条件①，由sinC 7=，角C 可以是锐角或钝角，不满足题设中的条件，故不选①；条件②，利用条件建立，边b 与c 的方程组，求出b 与c ，再利用余弦定理，即可求出结果；条件③，利用正弦定理，先把角转边，再结合条件建立，边b 与c 的方程组，求出b 与c ，再利用余弦定理，即可求出结果； 【小问1详解】 因为sin 2sin b A B =，由正弦定理得，sin sin 2sin B AA B =，又()0,πB ∈，所以sin 0B ≠，得到sin 2A A =， 又sin 22sin cos A A A =，所以2sin cosA A A =，又()0,πA ∈，所以sin 0A ≠，得到cos2A =， 所以π6A =. 【小问2详解】 选条件①：sinC =由（1）知，π6A =，根据正弦定理知，sin 711sin 72c C a A ===>，即c a >，所以角C 有锐角或钝角两种情况，ABC 存在，但不唯一，故不选此条件.选条件②：b c =因为11π1sin sin2264ABCSbc A bc bc ====bc =又4b c =，得到4b =，代入bc =24c =，解得4c =，所以b =由余弦定理得，222222cos 4242716367a b c bc A =+−=+−⨯=+−=，所以a =选条件③：cos 7C =因为11π1sin sin 2264ABCSbc A bc bc ====bc =由cos 7C =，得到sin C ===又sin sin(π)sin()sin cos cos sin B A C A C A C A C =−−=+=+，由(1)知π6A =，所以1sin 277214B =⨯+=又由正弦定理得，sin sin 47b Bc C ===，得到4b c =，代入bc =24c =，解得4c =，所以b =由余弦定理得，222222cos 42427163672a b c bc A =+−=+−⨯⨯=+−=，所以a =18. 【答案】（1）0.15（2）分布列答案见解析，()1242E X = （3）建议农科所推广该项技术改良，理由见解析【分析】（1）计算出亩产量是500kg 的概率，结合表1以及独立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率；（2）分析可知随机变量X 的可能取值有960、1080、1200、1350、1500，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，可得出随机变量X 的分布列，进而可求得()E X 的值；（3）设增产前每亩冬小麦产量为kg ξ，增产后每亩冬小麦产量为kg η，则50ηξ=+，设增产后的每亩动漫小麦总价格为Y 元，计算出增产的50kg 会产生增加的收益，与125比较大小后可得出结论.【小问1详解】解：由图可知，亩产量是400kg 的概率约为0.005500.25⨯=，亩产量是450kg 的概率约为0015005..⨯=，亩产量是500kg 的概率约为0.005500.25⨯=， 估计H 地区明年每亩冬小麦统一收购总价为1500元的概率为02506015...⨯= 【小问2详解】解：由题意可知，随机变量X 的可能取值有：960、1080、1200、1350、1500，()9600250401P X ...==⨯=，()1080050402P X ...==⨯=， ()12000250402506025P X .....==⨯+⨯=，()1350050603P X ...==⨯=，()150002506015P X ...==⨯=，所以，随机变量X 的分布列如下表所示：96001108002120002513500315000151242E X .....=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.【小问3详解】解：建议农科所推广该项技术改良，设增产前每亩冬小麦产量为kg ξ，增产后每亩冬小麦产量为kg η，则50ηξ=+，设增产后的每亩动漫小麦总价格为Y 元，分析可知()()()502404306E Y E X ...=+⨯⨯+⨯， 所以，增产的50kg 会产生增加的收益为()502404306138125...⨯⨯+⨯=>， 故建议农科所推广该项技术改良.19. 【答案】（1）2212y x +=；（2）k =【分析】（1）由题意得到22212c ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解出即可.（2）AB 的方程为1y kx =+，联立椭圆方程得()222210k x kx ++−=，设()()1122,,,A x y B x y ,得到两根之和式，设()00,C x y ,根据OC OA OB =+，从而0120122224,22k x x x y y y k k −=+==+=++，结合其在椭圆上得到()()22222816222k kk+=++，解出即可.【小问1详解】由题设,22212c ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得1a b ==.所以椭圆E 的方程为2212y x +=.【小问2详解】直线AB 的方程为1y kx =+.由221,22y kx x y =+⎧⎨+=⎩得()222210k x kx ++−=. 设()()1122,,,A x y B x y , 则()1212122224,222k x x y y k x x k k −+=+=++=++. 因为ABC 与ABO 的面积相等,所以点C 和点O 到直线AB 的距离相等.所以M 为线段OC 的中点,即四边形OACB 为平行四边形.设()00,C x y , 则OC OA OB =+. 所以0120122224,22k x x x y y y k k −=+==+=++. 将上述两式代入220022x y +=， 得()()22222816222k kk+=++.解得k =【点睛】关键点睛：本题第二问得到两根之和式()1212122224,222k x x y y k x x k k −+=+=++=++，通过面积相等则得到M 为线段OC 的中点，则M 为线段OC 的中点，利用向量加法得到OC OA OB =+，从而用k 表示出C 点坐标，最后结合其在椭圆上，代入椭圆方程即可. 20. 【答案】(1) 单调递增区间为3(0,)4π，()f x 的单调递减区间为3(,)4ππ （2）见解析（3）34m π≤e【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （Ⅱ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的极小值即可； （Ⅲ）结合题意写出m 的范围即可．【详解】（Ⅰ）因为()sin cos )2sin()4x x xf x e x e x e x π'=+=+，令()0f x '=，得sin()04x π+= 因为0πx <<，所以34x π=当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下：故()f x 的单调递增区间为(0,)4，()f x 的单调递减区间为(,)4π；（Ⅱ）证明：1()(1)()1(0)g x x lnx m g x lnx x x'=−+∴=−+>， 设1()()1h x g x lnx x '==−+，则211()0h x x x'=+> 故()g x '在(0,)+∞是单调递增函数， 又g '（1）0=，故方程()0g x '=只有唯一实根1x =当x 变化时，()g x '，()g x 的变化情况如下：故在时取得极小值（），即是的唯一极小值点；（Ⅲ）34m eπ≤21. 【答案】（1）12x y =⎧⎨=⎩，13x y =⎧⎨=⎩或24x y =⎧⎨=⎩；（2）n 的最大值为65；(3)20288n n −+．【分析】（1）利用“U −数列”，能求出数列1，x ，y ，7为“U −数列”，所有可能的x ，y ． （2）由11112k k k k k k k a a a a a a a +−+−+>⇔−>−，推导出11k k b b −+对任意的21k n −恒成立，从而1(1)(2)201712n n −−−，进而6265n −；取1(164)i b i i =−，则对任意的264k ，1k k b b −>，故数列{}n a 为“U −数列”，得到65n =符合题意，由此能求出n 的最大值为65．（3）当*02(2,)n m m m N =∈时，11k k b b +−，1121()()()m k k m k m k m k m k k k b b b b b b b b m +++−+−+−+−=−+−+⋯+−．从而2212100(1)2822228mm m a a a a m m n n m m M++++−−+−+=；当11b m =−，22b m =−，⋯，11m b −=−，0m b =，11m b +=，⋯，211m b m −=−时，20012128(1)128mn n M a a m m −+===−+=，由此能求出M 的最小值为200288n n −+．【详解】解：（1）数列1:A a ，2a ，⋯，(3)n a n 中*(1)i a N i n ∈且对任意的11212k k kk n a a a +−−+>恒成立，则称数列A 为“U −数列”． 数列1，x ，y ，7为“U −数列”，∴所有可能的x ，y 为12x y =⎧⎨=⎩，13x y =⎧⎨=⎩或24x y =⎧⎨=⎩．（2）n 的最大值为65，理由如下一方面，注意到：11112k k k k k k k a a a a a a a +−+−+>⇔−>−对任意的11i n −，令1i i i b a a +=−，则i b Z ∈且1(21)k k b b k n −>−，故11k k b b −+对任意的21k n −恒成立．(★)当11a =，2017n a =时，注意到121110b a a =−−=，得112211()()()1(21)i i i i i b b b b b b b b i i n −−−=−+−+⋯+−+−−此时112110122(1)(2)2n n a a b b b n n n −−=++⋯++++⋯+−=−−即1(1)(2)201712n n −−−，解得：6265n −，故65n 另一方面，取1(164)i b i i =−，则对任意的264k ，1k k b b −>，故数列{}n a 为“U −数列”， 此时651012632017a =++++⋯+=，即65n =符合题意． 综上，n 的最大值为65．（3）M 的最小值为200288n n −+，证明如下： 当*02(2,)n m m m N =∈时，一方面：由(★)式，11k k b b +−，1121()()()m k k m k m k m k m k k k b b b b b b b b m +++−+−+−+−=−+−+⋯+−． 此时有：1211221121()()()()m m m m m m m a a a a b b b b b b +++−−+−+=++⋯+−++⋯+ 1122211()()()(1)m m m m b b b b b b m m ++−−=−+−+⋯+−−故2212100(1)2822228mm m a a a a m m n n m m M++++−−+−+=另一方面，当11b m =−，22b m =−，⋯，11m b −=−，0m b =，11m b +=，⋯，211m b m −=−时，111112()()10k k k k k k k k k a a a a a a a b b +−+−−+−=−−−=−=>取1m a =，则11m a +=，123m a a a a >>>⋯>，122m m m a a a ++<<⋯<，且112121122111()(1)1()(1)122m m m m m m m a a b b b m m a a b b b m m −+++−=−++⋯+=−+=+++⋯+=−+此时20012128(1)128mn n M a a m m −+===−+=． 综上，M 的最小值为200288n n −+．。
内蒙古包头市2013届高三数学第一次模拟考试理北师大版
3
C．
(
4
,
8 )
33
D. 2, 7
x2 12．若双曲线 a 2
y2 b2
1 与椭圆
x2 m2
y2 b2
1（ m>b>0 ）的离心率之积大于 1，则以 a,b , m
为边长的三角形一定是（
）
A 等腰三角形
B
直角三角形 C 锐角三角形 D 钝角三角形
二、填空题 （本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分）
斜率 k ≤ 1 恒成立，求实数 a 的取值范围； 2
( Ⅲ ) 当 a 0 ， b 1 ，方程 2mf (x) x2 有唯一实数解，求正数
m 的值．
22. （本题满分 10 分）已知极坐标的极点与平面直角坐标系的原点重合，
极轴与 x 轴的正半
轴重合， 且长度单位相同． 圆 C 的参数方程为
x 1 2cos
得 k 2 x2 (2k 2 4) x k2 0
显然 2 0 ， 该方程有两个不等的实数根．设 C (x3, y3) ， D ( x4 , y4) .
k 0,
4 x3 x4 2 k 2 ,
4 由抛物线的定义，得 |CD | x3 x4 2 4 k 2
4(1 k 2 ) k 2 . ……………１ 0 分
15
15 15
19. 解：（Ⅰ）在 Rt ABC 中， AB 1 ， BAC 60 ，∴ BC 3 ， AC 2 ……１ 分
在 Rt ACD 中， AC 2 ， CAD 60 ，∴ CD 2 3 ， AD 4 …………２ 分
∴ SABCD
则V 1 3
1
1
1
1
AB BC AC CD
陕西省师大附中高三数学上学期第一次模拟考试试题 理(含解析)北师大版
第Ⅰ卷 选择题（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若复数2(23)(1)z x x x i =+-+-为纯虚数，则实数x 的值为 A ．3 B ．1 C ．-3 D ．1或-3 【答案】C【解析】因为复数2(23)(1)z x x x i =+-+-为纯虚数，所以2230,310x x x x ⎧+-==-⎨-≠⎩解得，因此选C 。
2．已知{}n a 为等差数列,若1598a a a π++=,则28cos()a a +的值为 A ．21-B ．23-C ．21D ．23【答案】A【解析】因为1598a a a π++=，所以55838,3a a ππ==即，所以285161cos()cos 2coscos 332a a a ππ+===-=-，因此选A 。
3．若椭圆22221(0)x y ab a b +=>>的离心率为32，则双曲线12222=-bx a y 的离心率为A ．3B ．5C ．7 D ．2【答案】B【解析】因为若椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为3，所以22222222314c a b b e a a a -===-=，所以2214b a =，所以双曲线12222=-b x a y 的离心率为222551,42b e e a =+==所以。
4．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,||2A πϕ><）的图象如图所示，为了得到x x g 2sin )(=的图像，则只需将()f x 的图像 A ．向右平移6π个长度单位B ．向右平移12π个长度单位C ．向左平移6π个长度单位 D ．向左平移12π个长度单位【答案】A【解析】法一：由图像易知：721,4,2123A T T ππππω⎛⎫==-===⎪⎝⎭所以，所以()sin(2)f x x ϕ=+，把点7,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭代入， 得7sin(2)1,,1223πππϕϕϕ⨯+=-<=因为所以，所以()sin(2)3f x x π=+，把函数 ()sin(2)3f x x π=+向右平移6π个长度单位得到函数sin 2sin 263y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图像，因此选A 。
高三数学上学期第一次适应性考试一诊试题理试题
2021届高三第一次高考适应性考试〔一诊〕数学理试题第一卷〔一共60分〕一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的. 1. 集合()(){}(){},,,1A x y y f x B x y x ====，那么A B ⋂中元素的个数为〔 〕A ．必有1个B ．1个或者2个C ．至多1个D ．可能2个以上2. 复数z 满足111121z i i=++-，那么复数z 的虚部是〔 〕 A ．15 B ．15i C ．15- D ．15i -3. 向量,a b 是互相垂直的单位向量，且1c a c b ⋅=⋅=-，那么()35a b c b -+⋅=〔 〕 A ．1- B ．1 C ．6 D ．6-4. 变量x 与变量y 之间具有相关关系，并测得如下一组数据那么变量x 与y 之间的线性回归方程可能为〔 〕A ．0.7 2.3y x =-B ．0.710.3y x =-+C ．10.30.7y x =-+D ．10.30.7y x =-5.设()()()sin cos f x a x b x παπβ=+++，其中,,,a b αβ都是非零实数，假设()20171f =-，那么 ()2018f =〔 〕A ．1B ．2C ．0D ．1- 6. 假设01m <<，那么〔 〕A ．()()11m m log m log m +>-B ．(10)m log m +>C. ()211m m ->+D ．()()113211m m ->-7. 一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如下图,那么该截面的面积为〔 〕A ．92 B ．4 C. 3 D ．31028. 假设函数()324f x x x ax =+--在区间()1,1-内恰有一个极值点，那么实数a 的取值范围为〔 〕A ．()1,5B ．[)1,5 C. (]1,5 D ．()(),15,-∞⋃+∞9. 如图，将45︒直角三角板和30︒直角三角板拼在一起，其中45︒直角三角板的斜边与30︒直角三角板的30︒角所对的直角边重合.假设,0,0DB xDC yDA x y =+>>，那么x y +=〔 〕A ．13+B ．123+ C.23 D ．310. ,,,A B C D 是同一球面上的四个点，其中ABC ∆是正三角形，AD ⊥平面ABC ，26AD AB ==，那么该球的体积为〔 〕A ．B ．48π C. 24π D ．16π11. 抛物线2:4C x y =，直线:1l y =-，,PA PB 为抛物线C 的两条切线，切点分别为,A B ，那么“点P 在l 上〞是“PA PB ⊥〞的〔 〕A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件12. 函数()21ln 1f x x =-+〔, 2.71828x e e >=是自然对数的底数〕.假设()()f m f n =-，那么()f mn 的取值范围为〔 〕A ．5,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．9,110⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C. 5,17⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭第二卷〔一共90分〕二、填空题〔每一小题5分，满分是20分，将答案填在答题纸上〕13. (61+的展开式中有理项系数之和为 ．14. 函数1sin 0,22y x x x π⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的单调递增区间是 ． 15．假设圆221:5O x y +=与圆()()222:20O x m y m R ++=∈相交于,A B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，那么线段AB 的长度是 ．16．定义域为R 的偶函数()f x 满足对x R ∀∈，有()()()21f x f x f +=-，且当[]2,3x ∈时，()221218f x x x =-+- ，假设函数()()log 1a y f x x =-+在()0,+∞上至多有三个零点，那么a 的取值范围是．三、解答题 〔本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.〕17. 数列{}n a 的前n 项和22n n S a =-.〔1〕证明：{}n a 是等比数列，并求其通项公式； 〔2〕求数列1n n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .18.一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽一样的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量〔单位：克〕，重量分组区间为[](](](]5,15,15,25,25,3535,45,，由此得到样本的重量频率分布直方〔如 图〕.〔1〕求a 的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；〔2〕从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[]5,15内的小球个数为X ，求X 的分布列和数学期望.〔以频率分布直方图中的频率作为概率〕19. 如图，正方形ABCD 与等边三角形ABE 所在的平面互相垂直，,M N 分别是,DE AB 的中点.〔1〕证明：//MN 平面BCE ； 〔2〕求锐二面角M AB E --的余弦值.20. 椭圆22143x y +=的左焦点为F ，左顶点为A . 〔1〕假设P 是椭圆上的任意一点，求PF PA ⋅的取值范围；〔2〕直线:l y kx m =+与椭圆相交于不同的两点,M N (均不是长轴的端点〕，AH MN ⊥，垂足为H 且2AH MH HN =⋅，求证:直线l 恒过定点.21.a R ∈，函数()()2ln 12f x x x ax =+-++.〔1〕假设函数()f x 在[)1,+∞上为减函数，务实数a 的取值范围；〔2〕令1,a b R =-∈，函数()22g x b bx x =+-，假设对任意()11,x ∈-+∞，总存在[)21,x ∈-+∞ ，使得()()12f x g x =成立，务实数b 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题答题，假如多做，那么按所做的第一题记分.xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数〕，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.〔1〕求C 的普通方程和l 的倾斜角；〔2〕设点()0,2,P l 和C 交于,A B 两点，求PA PB +. 23.函数()1f x x =+.〔1〕求不等式()211f x x <+-的解集M ； 〔2〕设,a b M ∈，证明：()()()f ab f a f b >--.试卷答案一、选择题1-5: CCDBA 6-10: DABBA 11、12：CC 二、填空题13. 32 14. 0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦15. 4 16.()1,⎫⋃+∞⎪⎪⎝⎭三、解答题17.〔1〕证明：当1n =时，12a =，由1122,22n n n n S a S a ++=-=-得1122n n n a a a ++=-， 即12n n a a +=， 所以12n na a +=， 所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，于是2n n a =.〔2〕解：令112n n n n n b a ++==， 那么12323412222n nn T +=++++，① ①12⨯得234112*********n n n n n T ++=+++++，② ①﹣②，得23111111122222n n n n T ++=+++++13322n n ++=- 所以332n nn T +=-. 18.解：〔1〕由题意，得()0.020.320.018101a a ++++⨯= 解得0.03a =；由最高矩形中点横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数为20克； 50个样本小球重量的平均值为0.2100.32200.3300.184024.6⨯+⨯+⨯+⨯= (克〕故由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值为24. 6克 〔2〕该盒子中小球重量在[]5,15内的概率为，X 的可能取值为0，1，2，3.由题意知13,5XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以()03031464055125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()12131448155125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()21231412255125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3033141355125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以X 的分布列为所以()6448121301231251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 〔或者者()13355E X =⨯=〕19.〔1〕证明：取AE 中点P ,连结,MP NP . 由题意可得////MP AD BC ,因为MP ⊄平面BCE ,BC ⊂平面BCE , 所以//MP 平面BCE , 同理可证//NP 平面BCE . 因为MP NP P ⋂=, 所以平面//MNP 平面BCE , 又MN ⊂平面MNP , 所以//MN 平面BCE .〔2〕解：取CD 的中点F ,连接,NF NE .由题意可得,,NE NB NF 两两垂直,以N 为坐标原点，,,NE NB NF 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系.令2AB =，那么()()()()310,0,0,0,1,0,0,1,0,3,0,0,,12N B A E M ⎫--⎪⎪⎝⎭.所以()31,,1,0,2,022AM AB ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭.设平面MAB 的法向量(),,n x y z = 那么3102220n AM x y z n AB y ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅==⎩令2x =，那么(2,0,n =因为()0,0,2AD =是平面ABE 的一个法向量所以2cos ,7n AD n AD n AD⋅-===所以锐二面角M AB E --的余弦值为7. 20.解：〔1〕设()00,P x y ，又 ()()12,0,1,0A F -- 所以()()2100012PF PA x x y ⋅=----+，因为P 点在椭圆22143x y +=上， 所以2200143x y +=，即2200334y x =-，且022x -≤≤，所以21001354PF PA x x ⋅=++，函数()20001354f x x x =++在[]2,2-单调递增， 当02x =-时，()0f x 取最小值为0； 当02x =时，()0f x 取最大值为12. 所以1PF PA ⋅的取值范围是[]0,12. 〔2〕由题意：联立22,1.43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得，()22234+84120k x kmx m ++-=由()()()22284344120km k m ∆=-⨯+->得2243k m +>①设()()1122,,,M x y N x y ，那么21212228412,3434km m x x x x k k --+==++.()()20AM AN AH HM AH HM AH AH HM HM AH HM HN ⋅=+⋅+=+⋅+⋅+⋅=，所以()()1212220x x y y +++=即()()()2212121240k x x km x x m ++++++=2241670k km m -+=，所以12k m =或者72k m =均合适①. 当12k m =时，直线l 过点A ，舍去， 当72k m =时，直线2:7l y kx k =+过定点2,07⎛⎫- ⎪⎝⎭. 21.解：〔1〕因为()()()2ln 12,1,f x x x ax x =+-++∈-+∞，要使()f x 在[)1,+∞为减函数，那么需()0f x '≤在[)1,+∞上恒成立. 即121a x x ≤-+在[)1,+∞上恒成立， 因为121x x -+在[)1,+∞为增函数，所以121x x -+在[)1,+∞的最小值为32， 所以32a ≤. 〔2〕因为1a =-，所以()()()2ln 12,1,f x x x x x =+--+∈-+∞.()21232111x xf x x x x --'=--=++，当10x -<<时，()0f x '>，()f x 在()1,0-上为递增， 当0x >时，()0f x '<，()f x 在()0,+∞上为递减， 所以()f x 的最大值为()02f =， 所以()f x 的值域为(),2-∞.假设对任意()11,x ∈-+∞，总存在()21,x ∈-+∞.使得()()12f x g x =成立，那么， 函数()f x 在()1,-+∞的值域是()g x 在[)1,-+∞的值域的子集. 对于函数()()2222g x x bx b x b b b =-++=--++，①当1b ≤-时，()g x 的最大值为()11g b -=--，所以()g x 在[)1,-+∞上的值域为(],1b -∞--，由12b --≥得3b ≤-；②当1b >-时，()g x 的最大值为()2g b b b =+，所以()g x 在[)1,-+∞上的值域为(2,b b ⎤-∞+⎦， 由22b b +≥得1b ≥或者2b ≤- (舍〕.综上所述，b 的取值范围是(][),31,-∞-⋃+∞.22.解：〔1〕由3cos sin x y αα=⎧⎨=⎩消去参数α，得2219x y += 即C 的普通方程为2219x y +=由sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin cos 2ρθρθ-=① 将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入①得2y x =+ 所以直线l 的斜率角为4π. 〔2〕由〔1〕知，点()0,2P 在直线l 上，可设直线l 的参数方程为cos 42sin 4x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)即2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)， 代入2219x y +=并化简得25270t ++=(24527108∆=-⨯⨯=>0设,A B 两点对应的参数分别为12,t t .那么1212270,05t t t t +=<=>，所以120,0t t <<所以12PA PB t t +=+23. 〔1〕解：①当1x ≤-时，原不等式化为122x x --<--解得1x <-； ②当112x -<≤-时,原不等式化为1x x +<-2-2解得 1x <-，此时不等式无解； ③当12x >-时，原不等式化为12x x +<解 1x >.综上，{1M x x =<-或者 }1x > 〔2〕证明，因为()()()1111f a f b a b a b a b --=+--+≤+-+=+.所以要证()()()f ab f a f b >--，只需证1ab a b +>+， 即证221ab a b +>+，即证2222212a b ab a ab b ++>++，即证22221a b a b --+>0，即证()()22110a b -->， 因为,a b M ∈，所以221,1a b >>，所以2210,10a b ->->，所以()()22110a b -->成立. 所以原不等式成立.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
高三数学上学期适应性考试试题一理扫描 试题
师范大学附属中学2021届高三数学上学期适应性考试月考试题〔一〕理〔扫描版〕师大附中2021届高考适应性月考卷〔一〕理科数学参考答案第一卷〔选择题，一共60分〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分〕题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B D C A D D A C B A B 【解析】1．，，，应选A．2．，那么，模为，应选B．3．设与的夹角为，那么，，又，∴，应选D．4．圆的HY方程为(x+2)2+(y−1)2=5−a，r2=5−a，那么圆心(−2，1)到直线x+y+5=0的间隔为，由12+(2)2=5−a，得a=−4，应选C．5．该程序框图表示的是通项为的数列前2021项和，2+2021=3024，应选A.6．对于①，由l1∥l2得∴，①错；对于②，由得，∴的周期为，，∴，时，②错；对于③，当时，结论不成立，③错；对于④，，的定义域为(0，)，，由得，由得，∴的单调区间为(0，1)，(1，)，④错．应选D．7．∈，∴∈(0，π)．∵sin=，∴cos2α=1−2=−，∴sin2α==，而α，β∈，∴α+β∈(0，π)，∴sin(α+β)= =，∴=sin[2α−(α+β)]=sin2αcos(α+β)−cos2αsin(α+β)=×−×=，应选D．8．根据题意，AB=AD=2，BD=2，那么∠BAD=．在Rt△BCD中，BD=2，CD=2，那么BC=2，又因为平面ABD⊥平面BCD，所以球心就是BC的中点，半径为r=，所以球的体积为：，应选A．9．作出约束条件表示的平面区域如图1所示．由z=ax+y得y=−ax+z，∵z=ax+y仅在(3，3)处获得最大值，∴−＜−a＜，解得−＜a＜，应选C．10．由三视图可知该三棱锥底面是边长为4的正三角形，面积为，两个侧面是全等的三角形，三边分别为，，4，面积之和为，另一个侧面为等腰三角形，面积是×4×4=8，应选B．11．由题知AF⊥BF，根据椭圆的对称性，AF′⊥BF′〔其中F′是椭圆的左焦点〕，因此四边形AFBF′是矩形，于是，|AB|=|FF′|=2c，|AF|=2c sin，|AF′|=2c cos，根据椭圆的定义，|AF|+|AF′|=2a，∴2c sin+2c cos=2a，∴椭圆离心率e= ==，而∈，∴+，∴sin ，故e的最大值为，应选A．12．的导数为的导数为设与曲线相切的切点为与曲线相切的切点为(s，t)，那么有公一共切线斜率为又，即有，即为，即有那么有即为令那么，当时，递减，当时，递增，即有处获得极大值，也为最大值，且为由恰好存在两条公切线，即s有两解，可得a的取值范围是，应选B．第二卷〔非选择题，一共90分〕二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕题号13 14 15 16答案 6 (−4，−2][1，2) 【解析】13．∵，设第r项为常数项，那么，令，可得，∴．14．由f(x+2)=可得，f(x+4)==f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数，．15．将y=2−x代入，得设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，那么x1+x2=，x1x2=.=x1x2+y1y2=x1x2+(2−x1) (2−x2)=2x1x2−2(x1+x2)+4，所以+4=0，即2a−2b=ab，即a−b=ab，所以．16．时，，整理得，又，故．不等式可化为：，设，由于，由题意可得解得或者．三、解答题〔一共70分．解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤〕17．〔本小题满分是12分〕解：〔Ⅰ〕根据正弦定理，可得c sin A=a sin C，因为c sin A=a cos C，所以a sin C=a cos C，可得sin C=cos C，得tan C=，因为C(0，)，所以C=．……………………………………………………………〔6分〕〔Ⅱ〕因为sin C+sin(B−A)=5sin2A，C=，sin C=sin(A+B)，所以sin(A+B)+sin(B−A)=5sin2A，所以2sin B cos A=2×5sin A cos A．因为△ABC为斜三角形，所以cos A≠0，所以sin B=5sin A，由正弦定理可知b=5a，①由余弦定理c2=a2+b2−2ab cos C，所以21=a2+b2−2ab×，②由①②解得a=1，b=5，所以S△ABC=ab sin C=×1×5×……………………………………〔12分〕18．〔本小题满分是12分〕解：〔Ⅰ〕因为网购金额在2000元以上〔不含2000元〕的频率为，所以网购金额在(2500，3000−0.3=0.1，即q=0.1，且y=100×0.1=10，从而x=15，p=0.15，相应的频率分布直方图如图2所示．………………………………………………………………〔4分〕〔Ⅱ〕相应的2×2列联表为：由公式K2=，因为5.56>5.024，2000元与网龄在3年以上有关．……………………………………………〔8分〕〔Ⅲ〕在(2000，2500]和(2500，3000]两组所抽出的8人中再抽取2人各奖励1000元现金，那么(2000，2500]组获奖人数X为0，1，2，且，故(2000，2500]组获得现金奖的数学期望+1000+2000=1500．…………………………………………………〔12分〕19．〔本小题满分是12分〕〔Ⅰ〕证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形，因为E为BC的中点，所以AE⊥BC. ……………………………………………〔1分〕又BC∥AD，因此AE⊥AD．……………………………………………〔2分〕因为PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，所以PA⊥AE．………………………………………………………〔3分〕而PA平面PAD，AD平面PAD，PA AD=A，所以AE⊥平面PAD．…………………………………………〔5分〕〔Ⅱ〕解法一：为上任意一点，连接，．由〔Ⅰ〕知AE⊥平面PAD，那么∠EHA为EH与平面PAD所成的角．…………………………………………〔6分〕在中，，所以当AH最短时，即当时，EHA最大，此时，因此．……………………………………………〔7分〕又AD=2，所以∠ADH=45°，所以PA=2．…………………………………〔8分〕因为PA⊥平面ABCD， PA平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABCD．过E作EO⊥AC于O，那么EO⊥平面PAC．过O作OS⊥AF于S，连接ES，那么∠ESO为二面角E−AF−C的平面角．……………………………………………〔9分〕在Rt△AOE中，，．又F是PC的中点，在Rt△ASO中，．又，………………………………………………〔10分〕在Rt△ESO中，，…………………………………〔11分〕即所求二面角的余弦值为．…………………………………………〔12分〕解法二：由〔Ⅰ〕可知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，以AE，AD，AP分别为x，y，z轴，建立如图3所示的空间直角坐标系．设AP=a，………………〔6分〕那么A(0，0，0)，B(，−1，0)，C(，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，a)，E(，0，0)，F，，，H(0，2−2，a)(其中[0，1])，∴，，，平面PAD的法向量为=(1，0，0)，设为EH与平面PAD所成的角，．EH与平面PAD所成最大角的正切值为，∴的最大值为，即在[0，1]的最小值为5，函数对称轴(0，1)，所以，计算可得a=2，…………………〔8分〕所以，0，0)，，．设平面AEF的一个法向量为=(x1，y1，z1)，那么因此取，那么= (0，2，−1)，…………………………………………〔9分〕= (，3，0)为平面AFC的一个法向量，………………………〔10分〕所以cos，=，………………………〔11分〕所以，所求二面角的余弦值为．…………………………………………〔12分〕20．〔本小题满分是12分〕解：〔Ⅰ〕由抛物线在第一象限内的点P到焦点的间隔为，得，，抛物线C的方程为y2=2x，P(2，2)．………………………………〔2分〕C在第一象限的图象对应的函数解析式为，那么y′=，故C在点P处的切线斜率为，切线的方程为．令y=0得x=−2，所以点Q的坐标为(−2，0)．故线段OQ的长为2．……………………………………………〔5分〕〔Ⅱ〕l2恒过定点(2，0)，理由如下：由题意可知l1的方程为x=−2，因为l2与l1相交，故．由l2：，令x=−2，得，故．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去x得：，那么，．………………………………………………〔7分〕直线PA的斜率为，同理直线PB的斜率为，直线PE的斜率为．因为直线PA，PE，PB的斜率依次成等差数列，所以，即．………………………〔10分〕整理得：，因为l2不经过点Q，所以，所以2m−b+2=2m，即b=2．故l2的方程为，即l2恒过定点(2，0). ………………………〔12分〕21．〔本小题满分是12分〕解：〔Ⅰ〕由，得，. 又点(1，f(1))在直线上，∴，，∴. ………………………〔3分〕〔Ⅱ〕由，得．∵[1，e]，，且等号不能同时获得，∴，即.∴恒成立，即.令，[1，e]，那么，当[1，e]时，，，，从而.∴在区间[1，e]上为增函数，∴，∴. …………〔7分〕〔Ⅲ〕由条件假设曲线上存在两点P，Q满足题意，那么P，Q只能在y轴的两侧，不妨设()，那么()．∵是以O〔O为坐标原点〕为直角顶点的直角三角形，∴，∴，是否存在P，Q等价于该方程且是否有根．当时，方程可化为，化简得，此时方程无解；当时，方程可化为，即．设，那么()，显然，当时，，即在区间上是增函数，的值域是，即．∴当时方程总有解，即对于任意正实数a，曲线上总存在两点P，Q，使得是以O〔O为坐标原点〕为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上．…………………………………………………〔12分〕22．〔本小题满分是10分〕【选修4−1：几何证明选讲】〔Ⅰ〕证明：连接ON，∵PN为的切线，∴90°．在中，∵，∴，又∵，∴，根据弦切角定理，得，∴．………………………〔4分〕〔Ⅱ〕解法一：∵，∴为等边三角形，∴．设的半径为，那么在直角三角形中，，，，根据相交弦定理，，可得，即可得，，∴．…………………………………………………〔10分〕解法二：∵60°，∴△PMN为等边三角形，∴，设的半径为r，那么在直角三角形中，，OM=，，又为的外接圆，由正弦定理可知，，又，∴，∴．………………………………………………〔10分〕解法三：，设的半径为r，那么在直角三角形中，，，，在中，，∴．又∵，MN=PM=1，∴，∴，∴．……………………………………………〔10分〕23．〔本小题满分是10分〕【选修4−4：坐标系与参数方程】解：〔Ⅰ〕曲线C的直角坐标方程为：，即，∴曲线的直角坐标方程为，∴曲线表示焦点坐标为，长轴长为4的椭圆．……………〔4分〕〔Ⅱ〕直线：〔t是参数〕，将直线的方程代入曲线的方程中，得．设对应的参数分别为，那么，，结合t的几何意义可知，．……………………………〔10分〕24．〔本小题满分是10分〕【选修4−5：不等式选讲】〔Ⅰ〕解：，即．当时，原不等式可化为，解得，此时原不等式的解集为；当时，原不等式可化为，解得，此时原不等式无解；当时，原不等式可化为，解得，此时原不等式的解集为．综上，．…………………………………………………〔5分〕〔Ⅱ〕证明：因为，所以，要证，只需证，即证，即证，即证，即证．∵a，b M，∴a2>1，b2>1，∴(a2−1)(b2−1)>0成立，所以原不等式成立．………………………………………〔10分〕励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
陕西省西工大附中高三数学理上学期第一次适应性训练北
2013年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中适应性训练高三数学（理科）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。
考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{{},2013A y y B x x m ===-<，若A B A =I ，则m 的取值范围是（ ）A ．[]2012,2013-B ．()2012,2013-C ．[]2013,2011-D ．()2013,2011- 2．若1tan 3,tan θθ+=则sin 2θ=（ ） A ．15 B ． 13 C ． 23 D ． 123．已知,a b R ∈，命题“若1a b +=，则2212a b +≥”的否命题是（ ） A ．若1a b +≠，则2212a b +< B ． 若1a b +=，则2212a b +< C ．若2212a b +<，则1a b +≠ D ． 若2212a b +≥，则1a b += 4．由曲线x x y 22-=与直线0=+y x 所围成的封闭图形的面积为（ ）A ．32 B ．65 C ．31 D ．61 5. 函数()f x =）A ．[]1,2B ．[]0,2 C．(D．⎡⎣6. 设0.50.50.30.5,0.3,log 0.2a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ． a b c <<C ． c b a <<D ．b a c << 7．已知某人每天早晨乘坐的某一班次公共汽车的准时到站的概率为35,则他在3天乘车中,此班次公共汽车至少有2天准时到站的概率为( ) A ．36125 B ． 54125 C ． 81125 D ． 271258．已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且7453n n A n B n +=+，则使得n nab 为整数的正整数n 的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．59．已知函数()ln ,00,0x x f x x ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩，则方程()()20f x f x -=的不相等的实根个数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．810．已知21,F F 分别为双曲线12222=-by a x )0,0(>>b a 的左、右焦点，P 为双曲线左支上任意一点，若||||122PF PF 的最小值为a 8，则双曲线离心率e 的取值范围是（ ）A.),1(+∞B.]3,0(C.]3,1(D.]2,1( 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填写在题中的横线上． 11.如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是边长为m 的正方形, PD ⊥底面ABCD,且2m ,若在这个四棱锥内放一个球,则此球的最大半径是 . 12.已知直线()()1:3410l k x k y -+-+=与()2:23230l k x y --+=平行，则k 的值是 .13. 已知实数,x y 满足121y y x x y m ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，如果目标函数z x y=-的最小值为-1，则实数m = .14. 已知()13nx +的展开式中,末三项的二项式系数的和等于121,则展开式中系数最大的项为 .15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分） A ．（不等式选做题）不等式|21|1x x --<的解集是 ； B ．(几何证明选做题) 如图，过点P 作圆O 的割线PAB 与切线PE ，E 为切点，连接,AE BE ，APE ∠的平分线与,AE BE 分别交于点,C D ，若030AEB ∠=，则PCE ∠= ；C.(极坐标系与参数方程选做题) 若,M N 分别是曲线2cos ρθ=和2sin()42πρθ-=上的动点，则,M N 两点间的距离的最小值是 ；三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分12分)已知向量()2sin 3a x x =r ，()sin ,2sin b x x =r ，函数()f x a b =⋅r rDCAP（Ⅰ）求)(x f 的单调递增区间； （Ⅱ）若不等式]2,0[)(π∈≥x m x f 对都成立，求实数m 的最大值.17．(本小题满分12分)．一个口袋中装有大小相同的2个红球,3个黑球和4个白球,从口袋中一次摸出一个球,摸出的球不再放回.（Ⅰ）连续摸球2次,求第一次摸出黑球,第二次摸出白球的概率； （Ⅱ）如果摸出红球,则停止摸球,求摸球次数不超过3次的概率． 18．（本小题满分12分）.如图所示，等腰△ABC 的底边AB=66,高CD=3，点E 是线段BD 上异于点B 、D 的动点.点F 在BC 边上，且EF ⊥AB.现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置，使PE ⊥AE.记BE x =,用()V x 表示四棱锥P-ACFE 的体积. （Ⅰ）求 ()V x 的表达式；（Ⅱ）当x 为何值时,()V x 取得最大值？(Ⅲ）当V(x)取得最大值时，求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值 19．（本小题满分12分）设函数2()(0),f x ax bx c a =++≠曲线y =f (x )通过点（0，2a +3），且在点 （－1，f （－1））处的切线垂直于y 轴.（Ⅰ）用a 分别表示b 和c ；（Ⅱ）当bc 取得最小值时，求函数g (x )= ()xf x e --的单调区间.20．（本小题满分13分）已知直线1y x =-+与椭圆12222=+by a x ()0a b >>相交于A 、B 两点．（1）若椭圆的离心率为33，焦距为2，求线段AB 的长； （2）若向量OA u u u r 与向量OB uuu r 互相垂直（其中O 为坐标原点），当椭圆的离心率]22,21[∈e 时，求椭圆长轴长的最大值． 21．（本小题满分14分）数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，对于任意*N n ∈，总有22n n n S a a =+．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ） 设正数数列{}n c 满足())(,*11N n c a n n n ∈=++，求数列{}n c 中的最大项；（Ⅲ） 求证：444412*********n n T a a a a =++++<L ．2013年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中适应性训练 高三数学（理科）参考答案本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。
高三数学上学期第一次适应性考试试题 理含解析 试题
宁夏第三中学2021届高三数学上学期第一次适应性考试试题 理〔含解析〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日一、选择题〔本大题一一共12小题，一共分〕 1.设函数2()f x x x =+,那么0(1)(1)lim x f x f x∆→+∆-=∆( )A. -6B. -3C. 3D. 6【答案】C 【解析】 【分析】由导数的定义可知()()11x f x f limx→+-=f ′〔1〕，求导，即可求得答案． 【详解】根据导数的定义：那么()()11x f x f lim x→+-=f ′〔1〕， 由f ′〔x 〕＝2x +1， ∴f ′〔1〕＝3，∴()()113x f x f limx→+-=，应选C ．【点睛】此题考察导数的定义，导数的求导法那么，考察计算才能，属于根底题． 2.集合{}2|230A x x x =--<，集合{}1|21x B x +=>，那么C B A =〔 〕A. [3,)+∞B. (3,)+∞C. (,1][3,)-∞-⋃+∞D. (,1)(3,)-∞-+∞【答案】A【分析】首先解得集合A ，B ，再根据补集的定义求解即可.【详解】解：{}2|230{|13}A x x x x x =--<=-<<，{}1|21{|1}x B x x x +=>=>-，{}C |3[3,)B A x x ∴=≥=+∞，应选A ．【点睛】此题考察一元二次不等式的解法，指数不等式的解法以及补集的运算，属于根底题. 3.:|1|2p x +> ，:q x a >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，那么a 的取值范围是〔 〕 A. 1a ≤ B. 3a ≤-C. 1a ≥-D. 1a ≥【答案】D 【解析】 【分析】“p ⌝是q ⌝的充分不必要条件〞等价于“q 是p 的充分不必要条件〞，即q 中变量取值的集合是p 中变量取值集合的真子集.【详解】由题意知：:|1|2p x +>可化简为{|31}x x x <->或，:q x a >， 所以q 中变量取值的集合是p 中变量取值集合的真子集，所以1a ≥.【点睛】利用原命题与其逆否命题的等价性，对p ⌝是q ⌝的充分不必要条件进展命题转换，使问题易于求解.4.偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调递增，那么满足1(21)()3f x f -<的x 取值范围是〔 〕 A. 13,23⎛⎫⎪⎝⎭B. 12[,)33C. 12,23⎛⎫⎪⎝⎭D. 12[,)23【答案】A 【解析】根据题意得到112133x -<-<，再解不等式即可. 【详解】由题知：偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调递增， 因为1(21)()3f x f -<，所以112133x -<-<， 解得1233x <<. 应选：A【点睛】此题主要考察函数的奇偶性和单调性，属于简单题.5.定义在R 上的奇函数()f x 满足()1(2)f x f x +=-，且在()0,1上()3xf x =，那么()3log 54f =〔 〕A.32B. 23-C.23D. 32-【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合函数的性质整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意可得：()354f log =()3log 23f +， 那么()354f log =()31log 21f -+，且()()331log 21log 21f f +=--， 由于()3log 211,0-∈-，故()()31log 2333log 211log 232f f --=--=-=-，据此可得：()()3312log 21log 213f f +=-=-，()354f log =32-.此题选择D 选项.【点睛】此题主要考察函数的奇偶性，函数的周期性及其应用等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.6.函数y =2x sin2x 的图象可能是A. B.C. D.【答案】D 【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)2上的符号，即可判断选择.详解：令||()2sin 2x f x x =， 因为,()2sin 2()2sin 2()xxx R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以||()2sin 2x f x x =为奇函数，排除选项A,B;因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：〔1〕由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；〔2〕由函数的单调性，判断图象的变化趋势；〔3〕由函数的奇偶性，判断图象的对称性；〔4〕由函数的周期性，判断图象的循环往复．7.将函数2sin(2)6y x π=+的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为〔 〕 A. π2sin(2)4y x =+B. 2sin(2)3y x π=+C. 2sin(2)4y x π=-D.2sin(2)3y x π=-【答案】D 【解析】【详解】函数2sin(2)6y x π=+的周期为π，将函数2sin(2)6y x π=+的图象向右平移14个周期即4π个单位， 所得图象对应的函数为2sin[2())]2sin(2)463y x x πππ=-+=-， 应选D.8.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.5a =，2c =，2cos 3A =，那么b= A. 2 B. 3C. 2D. 3【答案】D 【解析】【详解】由余弦定理得，解得〔舍去〕，应选D.【考点】余弦定理【名师点睛】此题属于根底题,考察内容单一,根据余弦定理整理出关于b 的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是根底题失分的主要原因,请考生切记！9.假设3cos()45πα-=，那么sin 2α=〔 〕A.725B.15C. 15-D. 725-【答案】D 【解析】试题分析：2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，应选D.【考点】三角恒等变换【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用角表示： 〔1〕角为两个时，待求角一般表示为角的和或者差．〔2〕角为一个时，待求角一般与角成“倍的关系〞或者“互余、互补〞关系．10.假设函数2()xf x x e a =-恰有3个零点，那么实数a 的取值范围是〔 〕A. 24(,)e+∞ B. 24(0,)eC. 2(0,4)eD.(0,)+∞【答案】B 【解析】 【分析】求导函数，求出函数的极值，利用函数2()xf x x e a =-恰有三个零点，即可务实数a 的取值范围.【详解】函数2xy x e =的导数为2'2(2)x x xy xe x e xe x =+=+， 令'0y =，那么0x =或者2-，20x -<<上单调递减，(,2),(0,)-∞-+∞上单调递增，所以0或者2-是函数y 的极值点， 函数的极值为：224(0)0,(2)4f f ee-=-==， 函数2()xf x x e a =-恰有三个零点，那么实数的取值范围是：24(0,)e. 应选B【点睛】该题考察的是有关结合函数零点个数，来确定参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意应用导数研究函数图象的走向，利用数形结合思想，转化为函数图象间交点个数的问题，难度不大.11.在ABC ∆中.D 是BC E 为线段AD 2BC CD =.且34AE AB AC λ=+.那么λ=( )A. 14-B.14C. 13-D.13【答案】A 【解析】 【分析】通过利用向量的三角形法那么,以及向量一共线,由1,2AE AD AD BD BA ==-,AC BC BA =-,32BD BC =,求解AE ,结合条件,即可求得答案.【详解】1,2AE AD AD BD BA ==-,AC BC BA =-,32BD BC =, 可得:()1122AE AD BD BA ==-1122BD AB += 2341BC AB =+()1234BA AC AB =++123344AB AC AB =-++1344AB AC =-+由34AE AB AC λ=+∴14λ=-应选:A.【点睛】此题主要考察了向量的三角形法那么,解题关键是掌握向量的根底知识,考察了分析才能和计算才能,属于中档题.12.函数()f x 的定义域为()0,∞+，且满足()()0f x xf x '+>〔()f x '是()f x 的导函数〕，那么不等式()()()2111x f x f x --<+的解集为〔 〕A. (),2-∞B. ()1,+∞C. ()1,2-D. ()1,2【答案】D 【解析】 【分析】构造函数()()g x xf x =，利用导数分析函数()y g x =在()0,∞+上的单调性，在不等式()()()2111x f x f x --<+两边同时乘以1x +化为()()()()221111x f x x f x --<++，即()()211g x g x -<+，然后利用函数()y g x =在()0,∞+上的单调性进展求解即可.【详解】构造函数()()g x xf x =，其中0x >，那么()()()0g x f x xf x ''=+>， 所以，函数()y g x =在定义域()0,∞+上为增函数， 在不等式()()()2111x f x f x --<+两边同时乘以1x +得()()()()221111xf x x f x --<++，即()()211g x g x -<+，所以22111010x x x x ⎧-<+⎪->⎨⎪+>⎩，解得12x <<，因此，不等式()()()2111x f x f x --<+的解集为()1,2，应选D.【点睛】此题考察利用构造新函数求解函数不等式问题，其解法步骤如下： 〔1〕根据导数不等式的构造构造新函数()y g x =；〔2〕利用导数分析函数()y g x =的单调性，必要时分析该函数的奇偶性； 〔3〕将不等式变形为()()12g x g x <，利用函数()y g x =的单调性与奇偶性求解. 二、填空题〔本大题一一共4小题，一共分〕()()2ln 43f x x x =+-的单调递减区间是______． 【答案】3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】试题分析：令2430t x x =+->，求得14x -<<，故函数的定义域为()1,4-且ln y t =，故此题即求函数t 在()1,4-上的减区间，再利用二次函数t 的性质求得二次函数t 在()1,4-上的减区间为3,42⎛⎫⎪⎝⎭，故答案为3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 考点：对数函数的性质及复合函数的单调性.【方法点睛】此题主要考察对数函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合考察两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减〞的含义〔增增→增，减减→增，增减→减，减增→减〕.14.数列{}n a 的前n 项和为21nn S =-，那么此数列的通项公式为___________． 【答案】12n n a -=【解析】 【分析】由数列{}n a 的前n 项和为23n n S =-，得2n >时1123n n S --=-,，得出1n n n a S S -=-;验证1n =时11a S =是否满足n a 即可. 【详解】当1n =时,11211a S ==-=, 当2n ≥时,()11121212nn n n n n a S S ---=-=---=,又1121-=,所以12n n a .故答案为:12n na .【点睛】此题考察了由数列{}n a 的前n 项和公式n S 推导通项公式n a 的计算问题;解题时，需验证1n =时11a S =是否满足n a ，是根底题.15.在ABC ∆所在的平面内有一点P ，满足PA PB PC AB ++=，那么PBC ∆与ABC ∆的面积之比是_____． 【答案】2:3 【解析】 【分析】根据向量条件，确定点P 是CA 边上的三等分点，从而可求PBC ∆与ABC ∆的面积之比． 【详解】因为PA PB PC AB ++=，所以2PC AB PB PA AB BP AP AP =--=++=，所以点P 在边CA 上，且是靠近点A 一侧的三等分点，所以PBC ∆和ABC ∆的面积之比为2:3．故答案为：2:3．【点睛】此题主要考察平面向量在几何中的应用，纯熟应用平面向量知识是解题的关键，属于常考题.16.设命题p ：函数()f x ＝()215x a x +-+在(],1-∞上是减函数；命题:q x R ∀∈，()2lg 230x ax ++>．假设p ∨￢q 是真命题，p ∧￢q 是假命题，那么实数a 的取值范围是________．【答案】1a <≤-或者a ≥【解析】【分析】由二次函数的性质，求得1a ≤-；根据对数函数的性质，求得a <<，再由题意，得到p 与q 同真同假，列出不等式组，即可求解.【详解】由命题p ：函数()f x ＝()215x a x +-+在(],1-∞上是减函数, 所以112a --≥，解得1a ≤-； 命题:q x R ∀∈，2lg(23)0x ax ++>，那么2231x ax ++>，即2220x ax ++>，那么2480a ∆=-<，解得a <<，假设p ∨￢q 是真命题，p ∧￢q 是假命题，所以p 与q ⌝一真一假，即p 与q 同真同假，所以1a a ≤-⎧⎪⎨<<⎪⎩或者1a a a >-⎧⎪⎨≤≥⎪⎩1a <≤-或者a ≥那么实数a的取值范围是1a ≤-或者a ≥故答案为：1a <≤-或者a ≥【点睛】此题主要考察了二次函数的图象与性质，不等式的解法，以及简易逻辑的断定方法等知识点的综合应用，着重考察推理与运算才能，属于中档试题.三、解答题〔本大题一一共6小题，一共分〕17.向量12,(,22a b ==-且a 与b 夹角为23π， 〔1〕求2a b +； 〔2〕假设(2)a kb b a +⊥-）（，务实数k 的值． 【答案】〔1〕2 〔2〕2k =【解析】【分析】〔1〕由()222a b a b +=+结合向量的数量积的定义和性质，计算可得； 〔2〕由向量垂直的条件：数量积为0，计算可得k ．【详解】解：〔1〕因为1,22b ⎛=- ⎝⎭，所以1b =， 又因为，a 与b 的夹角为120︒ ，∴1a b =-， 所以()2222244442a b a b a a b b +=+=++=+=; 〔2〕由()()2a kb b a +⊥-，得()()20a kb b a +-=，即()24221cos1200k k -+-⨯⨯⨯︒=， 解得2k =.【点睛】此题考察向量的数量积的定义和性质，考察向量的平方即为模的平方，以及向量垂直的条件：数量积为0，考察运算才能，属于根底题．18.函数()x f x a =〔0a >，且1a ≠〕. 〔1〕假设函数()f x 在[]2,1-上的最大值为2，求a 的值；〔2〕假设01a <<，求使得()2log 11f x ->成立的x 的取值范围.【答案】(1)2a =或者2a =；(2)02x <<. 【解析】试题分析：(1)分类讨论1a >和01a <<两种情况，结合函数的单调性可得：2a =或者2a =；(2)结合函数的解析式，利用指数函数的单调性可得210log x -<，求解对数不等式可得x 的取值范围是02x <<.试题解析：〔1〕当1a >时，()x f x a =在[]2,1-上单调递增， 因此，()()12max f x f a ===，即2a =；当01a <<时，()x f x a =在[]2,1-上单调递减， 因此，()()222max f x f a -=-==，即a =. 综上，2a =或者a =〔2〕不等式()211f log x ->即210log x a a ->.又01a <<，那么210log x -<，即21log x <，所以02x <<.19.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a ＝21，10S ＝120．〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕设111n n n b a a +=+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】〔1〕n a ＝21n ；〔2〕69n n n ++. 【解析】【分析】 〔1〕根据等差数列通项公式及求和公式列方程求解即可；〔2〕根据裂项相消法，分组求和法即可求解.【详解】〔1〕设等差数列{}n a 的公差为d ，∵10a ＝21，10S ＝120∴19a d +＝21，1109102a d ⨯+＝120， 解得1a ＝3，d ＝2．∴n a ＝()321n +-＝21n ． ()()()1111112111212322123n n n b a a n n n n +⎛⎫=+=+=-+ ⎪++++⎝⎭， ∴数列{}n b 的前n 项和1111111235572123n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1112323n n ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭69n n n =++． 【点睛】此题主要考察了等差数列的通项公式、求和公式，求和的裂项相消法，分组法，属于中档题. 20.函数()222sin f x x x =+ 〔1〕求函数()f x 的单调增区间；〔2〕将函数()f x 的图象向左平移12π个单位，再向下平移1个单位后得到函数()g x 的图象，当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()g x 的值域． 【答案】〔1〕,63k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；〔2〕2⎡⎤⎣⎦ 【解析】【分析】利用倍角公式降幂后，再由两角差的正弦公式化简．〔1〕由相位在正弦函数的增区间内求得x 的取值范围，可得函数()f x 的单调增区间； 〔2〕由函数的伸缩和平移变换求得()g x 的解析式，结合x 的范围求得相位的范围，进一步求得函数()g x 的值域．【详解】解：()222sin f x x x =+21cos 2x x =+-122cos 212x x ⎫=-+⎪⎪⎝⎭2sin 216x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 〔1〕由222262k x k πππππ-+≤-≤+，k Z ∈， 解得63k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈．∴函数()f x 的单调增区间为,63k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈； 〔2〕将函数()f x 的图象向左平移12π个单位， 得2sin 212sin 21126y x x ππ⎡⎤⎛⎫=+-+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 再向下平移1个单位后得到函数2sin 2g x x ， 由,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得22,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴sin 2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，那么函数()g x 的值域为2⎡⎤⎣⎦【点睛】此题考察三角函数中的恒等变换应用，考察()sin y A ωx φ=+型函数的图象和性质，属中档题．ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，2cos b c a B +=．〔1〕证明：2A B =；〔2〕假设ABC ∆的面积24a S =，求角A 的大小．【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕2A π=或者4A π=.【解析】试题分析：〔1〕由正弦定理得sin sin 2sin cos B C A B +=，进而得()sin sin B A B =-，根据三角形内角和定理即可得结论；〔2〕由24a S =得21sin 24a ab C =，再根据正弦定理得及正弦的二倍角公式得sin cos C B =，进而得讨论得结果.试题解析：〔1〕由正弦定理得sin sin 2sin cos B C A B +=，故()2sin cos sin sin sin sin cos cos sin A B B A B B A B A B =++=++，于是()sin sin B A B =-．又(),0,A B π∈，故0A B π<-<，所以()B A B π=--或者B A B =-，因此A π=〔舍去〕或者2A B =，所以2A B =．〔2〕由24a S =得21sin 24a ab C =，故有1sin sin sin 2sin cos 2B C B B B ==，因sin 0B ≠，得sin cos C B =．又(),0,B C π∈，所以2C B π=±．当2B C π+=时，2A π=；当2C B π-=时，4A π=． 综上，2A π=或者4A π=．考点：1、正弦定理及正弦的二倍角公式；2、三角形内角和定理及三角形内角和定理.22.函数()f x 的导函数为()f x '，且'1()(1)ln 2f x f x x x =+. 〔1〕求函数()f x 的极值；〔2〕假设k Z ∈，且()()1f x k x >-对任意的()1,x ∈+∞都成立，求k 的最大值．【答案】〔1〕极小值为2e --，没有极大值；〔2〕3.【解析】【分析】〔1〕先对函数求导，然后令1x =，那么可求出()'1f ，从而可得()f x 的解析式，令()'0f x =，可求出极值点，从而可求出极值；〔2〕()()1f x k x >-对任意的()1,x ∈+∞都成立，等价于ln 1x x x k x +<-对任意的1x >恒成立，然后构造函数()ln (1)1x x x g x x x +=>-，通过利用导数求出函数()g x 的最小值即可. 【详解】解：()()()''111ln 12fx f x =++，(0x >) 那么()()()'''111ln11122f f f =++⇒=， 所以()ln f x x x x =+，()'ln 2fx x =+，()0x ∈+∞，， 令()'2ln 0f x x =+=，解得2x e -=，当20x e -<<时，()'2ln 0f x x =+<，当2x e ->时，()'2ln 0f x x =+>，所以()f x 在()20e -，上单调递减，在()2e-+∞，上单调递增， 所以函数()f x 在2x e -=处获得极小值， 且极小值为()22f e e --=-，没有极大值；()2由()1和题意得()1f x k x <-对任意的1x >都恒成立， 即ln 1x x x k x +<-对任意的1x >都恒成立， 令()ln (1)1x x x g x x x +=>-，那么()()'2ln 21x x g x x --=-， 令()ln 2(1)h x x x x =-->，那么()'1110x h x x x-=-=>， 所以函数()h x 在()1+∞，上单调递增， 因为()31ln30h =-<，()42ln40h =->，所以方程()0h x =存在唯一实根0x ，且满足()034x ∈，，即有()000ln 20h x x x =--=，00ln 2x x =-.当01x x <<时，()0h x <，即()'0g x <，当0x x >时，()0h x >，即()'0g x >，所以函数()g x 在()01x ，上单调递减，在()0x +∞，上单调递增， 所以()()00min 001ln ()1x x g x g x x +==-()0000121x x x x +-==-，所以min 0()k g x x <=，()034x ∈，， 故整数k 的最大值为3.【点睛】此题考察利用导数求函数的极值，利用导数解决不等式恒成立问题，考察数学转化思想和计算才能，属于较难题.制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。
高三数学上学期第一次适应性统考试题理含解析试题
卜人入州八九几市潮王学校高2021届第一次高考适应性统考数学试卷〔理工类〕第一卷一、选择题．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的．，，那么〔〕A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先化简集合M,再求.【详解】由题得x-3≥0，所以x≥3，所以M={x|x≥3}，所以=.故答案为：D【点睛】此题主要考察集合的运算和集合的交集运算，意在考察学生对这些知识的掌握程度和分析推理才能.2.是虚数单位，复数的一共轭复数为〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：因为，所以一共轭复数为，选A.考点：复数概念【名师点睛】此题重点考察复数的根本运算和复数的概念，属于基此题.首先对于复数的四那么运算，要实在掌握其运算技巧和常规思路，如.其次要熟悉复数相关根本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、一共轭为，向量，假设，那么实数的值是〔〕A. B.1C.2D.3【答案】C【解析】试题分析：，，，应选C.考点：向量的垂直的充要条件.4.“勾股定理〞在西方被称为“毕达哥拉斯定理〞，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图〞，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如下列图的“勾股圆方图〞中，四个一样的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，假设直角三角形中较小的锐角，如今向大正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是〔〕A. B.C. D.【答案】A【解析】观察这个图可知，大正方形的边长为，总面积为，而阴影区域的边长为面积为，故飞镖落在阴影区域的概率为故答案选5.以下说法中正确的选项是〔〕A.“〞是“函数是奇函数〞的充要条件B.假设：，，那么：，C.假设D.“假设，那么，那么〞【答案】D【解析】试题分析：对于A中，如函数是奇函数，但，那么，所以不正确；C中，假设，，那么，那么〞是正确的，应选D．，那么其导函数的图象大致是〔〕A. B.C. D.【答案】A【解析】试题分析：，，所以在时切线的斜率小于零，排除C，应选A.考点：函数导数与图象.7.在我举行“运动会〞期间，组委会将甲、乙、丙、丁四位志愿者全局部配到三个运动场馆执勤.假设每个场馆至少分配一人，那么不同分配方案的种数是〔〕A.24B.36C.72D.96【答案】B【解析】【分析】根据题意，分2步进展分析，先将4人分为2、1、1的三组，再将分好的3组对应3个场馆，由排列、组合公式可得每一步的情况数目，由分步计数原理，计算可得答案．【详解】根据题意，将甲，乙，丙，丁四位志愿者全局部配到A，B，C三个场馆执勤．假设每个场馆至少分配一人，那么其中1个场馆2人，其余2个场馆各1人，可以分2步进展分析：①将4人分成3组，其中1组2人，其余2组每组1人，有C42＝6种分组方法，②将分好的3组对应3个场馆，有A33＝6种对应方法，那么一一共有6×6＝36种同分配方案；故答案为：B【点睛】此题考察排列、组合的运用，关键是根据“每个场馆至少分配一名志愿者〞的要求，明确分组的根据与要求．8.阅读如下列图的程序框图，假设输出的数据为141，那么判断框中应填入的条件为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环构造计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】当S＝0，k＝1时，不满足输出条件，进展循环，执行完循环体后，S＝1，k＝2，当S＝1，k＝2时，不满足输出条件，进展循环，执行完循环体后，S＝6，k＝3，当S＝6，k＝9时，不满足输出条件，进展循环，执行完循环体后，S＝21，k＝4，当S＝21，k＝4时，不满足输出条件，进展循环，执行完循环体后，S＝58，k＝5，当S＝58，k＝5时，不满足输出条件，进展循环，执行完循环体后，S＝141，k＝6，此时，由题意，满足输出条件，输出的数据为141，故判断框中应填入的条件为k≤5，故答案为：C【点睛】此题考察的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或者有规律时，常采用模拟循环的方法解答．为函数的最小值，那么的展开式中的常数项为〔〕A. B.15C. D.14【答案】B【解析】【分析】先利用根本不等式求出a=1，再利用二项式展开式的通项求出常数项.【详解】〔当且仅当t=1时取等号〕所以，其展开式的通项为令所以展开式的常数项为.故答案为：B【点睛】此题主要考察根本不等式求最值，考察二项式定理求特定项，意在考察学生对这些知识的掌握程度和分析推理才能.的局部图象如下列图，且，，那么〔〕A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据函数的图像和性质求出，再根据，求出，再利用平方关系求出.【详解】由题得A=3,由题得.所以，因为，所以，因为，所以，所以.故答案为：C【点睛】此题主要考察三角函数的解析式的求法，考察同角的平方关系，考察三角函数求值，意在考察学生对这些知识的掌握程度和分析推理才能.11.某多面体的三视图如下列图，那么该几何体的体积与其外接球的外表积之比为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由三视图知该几何体是一个三棱锥，由三视图求出几何元素的长度，根据对应的长方体求出外接球的半径，由柱体、球体的体积公式求出该几何体的体积与其外接球的外表积之比．【详解】由三视图可知该几何体如图中的三棱锥，，三棱锥外接球的直径，从而，于是，外接球的外表积为，所以该几何体的体积与外接球的外表积之比为,应选【点睛】此题考察三视图求几何体的体积及外接球的外表积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考察空间想象才能．在上存在导数，对任意的，有，且时，.假设，那么实数的取值范围为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：设,,,所以既是增函数又是奇函数，,由,得,应选B.考点：1.导数的性质；2.函数的奇偶性；3.复合函数的性质.二、填空题〔将答案填在答题纸上〕满足，那么的最小值为_______．【答案】-2【解析】【分析】先作出不等式组对应的可行域，再利用数形结合分析得到z的最小值.【详解】由题得不等式组对应的可行域如下列图，由题得y=2x-z,直线的斜率为2，纵截距为-z,当直线经过点A(0,2)时，纵截距最大，z最小，所以z的最小值为2×0-2=-2.故答案为：-2【点睛】此题主要考察线性规划求函数的最值，意在考察学生对这些知识的掌握程度和数形结合分析推理才能.，假设，那么_____．【答案】【解析】试题分析：．考点：指数式与对数式的综合运算．的四个根组成一个首项为的等差数列，那么_____．【答案】【解析】【分析】把方程〔x2﹣2x+m〕〔x2﹣2x+n〕＝0化为x2﹣2x+m＝0，或者x2﹣2x+n＝0，设是第一个方程的根，代入方程即可求得m，那么方程的另一个根可求；设另一个方程的根为s，t，〔s≤t〕根据韦达定理可知∴s+t＝2根据等差中项的性质可知四个跟成的等差数列为，s，t，，进而根据数列的第一项和第四项求得公差，那么s和t可求，进而根据韦达定理求得n，最后代入|m﹣n|即可．【详解】方程〔x2﹣2x+m〕〔x2﹣2x+n〕＝0可化为x2﹣2x+m＝0①，或者x2﹣2x+n＝0②，设是方程①的根，那么将代入方程①，可解得m，∴方程①的另一个根为．设方程②的另一个根为s，t，〔s≤t〕那么由根与系数的关系知，s+t＝2，st＝n，又方程①的两根之和也是2，∴s+t由等差数列中的项的性质可知，此等差数列为，s，t，，公差为[]÷3，∴s，t，∴n＝st∴，|m﹣n|＝||．故答案为：【点睛】此题主要考察了等差数列的性质．考察了学生创造性思维和解决问题的才能．上的函数满足：①〔为正常数〕；②当时，，假设的图象上所有极大值对应的点均落在同一条直线上，那么___．【答案】1或者2【解析】【分析】f〔x〕的解析式，进而求出三个函数的极值点坐标，根据三点一共线，那么任取两点确定的直线斜率相等，可以构造关于c的方程，解方程可得答案．【详解】∵当2≤x≤4时，f〔x〕＝1﹣〔x﹣3〕2，当1≤x＜2时，2≤2x＜4，那么f〔x〕f〔2x〕[1﹣〔2x﹣3〕2]，此时当x时，函数取极大值；当2≤x≤4时，f〔x〕＝1﹣〔x﹣3〕2，此时当x＝3时，函数取极大值1，当4＜x≤8时，2x≤4那么f〔x〕＝cf〔x〕＝c[1﹣〔x﹣3〕2]，此时当x＝6时，函数取极大值c，∵函数的所有极大值点均落在同一条直线上，即点〔，〕，〔3，1〕，〔6，c〕一共线，∴解得c＝1或者2．故答案为：1或者2【点睛】此题考察的知识点是三点一共线，函数的极值，其中根据分析出分段函数f〔x〕的解析式，进而求出三个函数的极值点坐标，是解答此题的关键．三、解答题〔解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．〕为数列的前项和，，对任意，都有.〔1〕求数列的通项公式；〔2〕假设数列的前项和为，求证：.【答案】(1)；(2〕证明见解析.【解析】试题分析：〔1〕因为，然后再利用采用数列的递推式，即可求出结果；〔2〕因为，，，所以，然后再利用裂项相消即可求出，然后再根据的单调性即可证明结果．试题解析：证明：〔1〕因为，当时，，两式相减，得，即，所以当时，．所以．因为，所以．〔2〕因为，，，所以所以因为，所以．因为在上是单调递减函数，所以在上是单调递增函数．所以当时，取最小值．所以．考点：1．等差数列；2．裂项相消．【方法点睛】裂项相消在使用过程中有一个很重要得特征，就是能把一个数列的每一项裂为两项的差，其本质就是两大类型类型一:型，通过拼凑法裂解成；类型二：通过有理化、对数的运算法那么、阶乘和组合数公式直接裂项型；该类型的特点是需要熟悉无理型的特征，对数的运算法那么和阶乘和组合数公式。
高中高三数学第一次适应性考试试题 理含解析 试题
高中2021届高三数学第一次适应性考试试题 理〔含解析〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分。
在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.{}|10A x x =-≥，{}2|1B x x =≤，那么A B =〔 〕A. {}|1x x ≥B. {}1|x x ≥-C. {}|1x x ≤D.{}|1x x ≤-【答案】B 【解析】 【分析】化简集合B ，按照并集定义，即可得出答案. 【详解】{}{}2|1|11B x x x x =≤=-≤≤，A B ={}1|x x ≥-.应选:B【点睛】此题考察集合的运算，属于根底题. 2.12i=-〔 〕 A. 2155i -+ B. 2155i -- C.2551i + D.2155i - 【答案】C 【解析】 【分析】分母实数化，即可求得结果.【详解】12212(2)(2)55i i i i i +==+--+. 应选:C【点睛】此题考察复数的除法，属于根底题. 3.“60A =︒〞是“1cos 2A =〞的〔 〕 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分必要条件判断方法，即可得出结论. 【详解】假设060A =，那么1cos 2A =成立； 假设1cos 2A =，那么00006036060360()A k k k Z =+⋅-+⋅∈或， 故60A =︒不成立， 所以“60A =︒〞是“1cos 2A =〞的充分不必要条件. 应选:A【点睛】此题考察充分必要条件的判断，要注意三角函数值与角之间的关系，属于根底题. 4.一个与球心间隔 为1的平面截球所得的圆面积为π，那么球的外表积为〔 〕A. B. 8πC.D. 4π【答案】B 【解析】试题分析：设球的半径为R ，截面小圆半径为r 21r r ππ∴=∴=R ∴=248S R ππ==考点：圆的截面小圆性质及球的外表积点评：球的半径为R ，截面小圆半径为r ，球心到截面的间隔 为d,那么有222R r d =+，球的外表积24S R π=1()sin cos 2f x x x =的最小值是〔 〕A. 14B. 12C. 12-D. 14-【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角化简1()sin cos 2f x x x =，即可得答案. 【详解】111()sin cos sin 2244f x x x x ==≥-.应选:D【点睛】此题考察二倍角公式的应用以及三角函数的有界性，属于根底题.6.10112x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为〔 〕A. 5B. 10C. 15D. 20【答案】C 【解析】 【分析】根据二项展开式定理写出通项，即可求出结果.【详解】10112x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为1010101101011()(),0,1,2,,1022k k k k kk T C x C x k ---+===，3x 的系数是733101011()1528C C =⨯= 应选:C【点睛】此题考察展开式的系数，掌握通项公式是解题的关键，属于根底题.(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公一共点，那么直线l 的斜率的取值范围为〔 〕A. 3,3⎡⎤-⎣⎦B. ()3,3-C. 33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.33,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】设直线方程为(4)y k x =-，即40kx y k --=，直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公一共点，圆心到直线的间隔 小于等于半径22411k k d k -=≤+，得222141,3k k k ≤+≤，选择C 另外，数形结合画出图形也可以判断C 正确．()21,1,1x x f x x x -≤=>⎪⎩，假设方程()f x a =有且只有一个实数根，那么实数a 满足〔 〕 A. 1a = B. 1a > C. 01a ≤<D. 0a <【答案】A【解析】 【分析】作出函数()f x 图像，数形结合，即可求出答案. 【详解】做出函数()f x 图像，如下列图所示：()1f x =有且只有一个实数根.应选:A【点睛】此题考察函数零点的个数，考察数形结合思想，属于根底题.M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，假设2BC =，AB AC AB AC +=-，那么AM =〔 〕A.12B. 1C. 2D. 4【答案】B 【解析】 【分析】||||AB AC AB AC +=-两边平方，可得0AB AC ⋅=，即AB AC ⊥，利用直角三角形斜边中线与斜边长度的关系，即可求出||AM . 【详解】||||AB AC AB AC +=-，两边平方得，222222AB AB AC AC AB AB AC AC +⋅+=-⋅+，0,AB AC AB AC ∴⋅=∴⊥，M 是线段BC 的中点，1||||12AM BC ∴==. 应选:B【点睛】此题考察向量的模长以及向量的数量积运算，属于根底题. 10.ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .假设tan tan a ba b A B+=+，那么角C =〔 〕A.6π B.4π C.3π D.2π 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理边化角，化切为弦，整理求出A B +值，即可求出结果.【详解】tan tan a b a b A B+=+，sin sin sin sin cos cos sin sin cos cos A BA B A BA B A B+=+=+， sin cos sin cos A A B B -=-+，平方得2sin cos 2sin cos ,sin 22sin 2A A B B A B -=-∴=， 22(0,2),22A B A B π∈∴=、或者22A B π+=， ,A B ∴=或者2A B π+=，假设,A B =那么sin cos ,tan 1,(0,)A A A A π∴=∴=∈,42A B C ππ∴==∴=，假设2A B π+=，那么2C π=.应选:D【点睛】此题考察正弦定理边角互化，考察同角间的平方关系和三角函数值与角的关系，属于中档题.'()f x 是函数()f x 的导函数，且'()2()()f x f x x R >∈，12f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭〔e 为自然对数的底数〕，那么不等式2(ln )f x x <的解集为〔 〕 A. 0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B.C. 1,2e e ⎛⎫⎪⎝⎭D.2e ⎛ ⎝ 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数F 〔x 〕=()2xf x e ，求出导数，判断F 〔x 〕在R 上递增．原不等式等价为F 〔lnx 〕＜F 〔12〕，运用单调性，可得lnx ＜12，运用对数不等式的解法，即可得到所求解集． 【详解】可构造函数F 〔x 〕=()2xf x e ，F′〔x 〕=()()22222()x xx f x e f x e e -=()()2'2xf x f x e-，由f′〔x 〕＞2f 〔x 〕，可得F′〔x 〕＞0，即有F 〔x 〕在R 上递增．不等式f 〔lnx 〕＜x 2即为()2f lnx x ＜1，〔x ＞0〕，即()2lnxf lnx e ＜1，x ＞0．即有F 〔12〕=12f e⎛⎫⎪⎝⎭=1，即为F 〔lnx 〕＜F 〔12〕，由F 〔x 〕在R 上递增，可得lnx ＜12，解得0＜x故不等式的解集为〔0〕，应选B ．【点睛】利用导数解抽象函数不等式，本质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法那么进展：如()()f x f x '<构造()()xf xg x e =， ()()0f x f x '+<构造()()x g x e f x =， ()()xf x f x '<构造()()f xg x x=， ()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等12.14m <<，1F ，2F 为曲线22:144x y C m +=-的左、右焦点，点P 为曲线C 与曲线22:11E y x m -=-在第一象限的交点，直线l 为曲线C 在点P 处的切线，假设三角形12F PF 的内心为点M ，直线1F M 与直线l 交于N 点，那么点M ，N 横坐标之差为〔 〕 A. 1- B. 2-C. 3-D. 随m 的变化而变化 【答案】A 【解析】 【分析】先求出P 点坐标，得出切线方程，求出三角形12F PF 的内切圆的半径、直线1F M 的方程，联立求出N 的横坐标，即可得出结论.【详解】联立222214411x y m y x m ⎧+=⎪⎪-⎨⎪-=⎪-⎩消去y，得24,0,x x x m =>∴= 设00(,)P x y ，直线l 方程为00144x xy y m①设三角形12F PF 内切圆半径为r ，那么由等面积可得002(42),2M my my m r r y m=+∴==+ ②直线1F M 的方程为()1My y x m m=++ ③联立①②③，化简可得36,2N mx m x =∴=，在12F PF ∆中，内切圆圆心M ，各边的切点分别为,,A D E ， 由圆的切线性质可得1122||||,||||,||||F A F D EF AF PD PE ===，121212||||||||||||2F P F P F D F E F A F A ∴-=-=-=，. 121||||2,||1M F A F A m F A m x m +=∴=+=+， 1,1M M N x x x =∴-=-.应选:A【点睛】此题考察双曲线方程的性质以及焦点三角形的内切圆，考察直线与椭圆的位置关系，考察计算才能，属于综合题.二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分.13.()1,1A ，()2,4B -，(),9C x -，且//AB AC ，那么x =__________. 【答案】3【解析】 【分析】根据向量平行的坐标关系，即可求解, 【详解】()1,1A ，()2,4B -，(),9C x -(1,5),(1,10)AB AC x =-=--， //,5(1)100,3AB AC x x ∴--+==.故答案为:3【点睛】此题考察向量的坐标表示、平行向量的坐标形式的充要条件，属于根底题.()sin f x x x =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为_________.【答案】2 【解析】 【分析】化简函数()f x ，根据自变量的范围，即可求出结论.【详解】()sin 2sin()3f x x x x π=+=+，50,2336x x ππππ≤≤∴≤+≤， ()f x ∴的最大值为2.故答案为:2【点睛】此题考察三角函数的化简，以及三角函数最值，属于根底题.()2sin 1x x xe x f x x e ++=++，那么()()()()()()()()()()()54321012345f f f f f f f f f f f -+-+-+-+-++++++的值是________.【答案】11 【解析】 【分析】根据所求值的自变量的关系，先求()()f x f x +-的值，即可求出结果.【详解】()()f x f x +-=22sin sin()11x x x xxe x xe x x x e e --++-++++-+-+ 22211x x xx x xe x x xe e e e ++-+-+=+=+，(5)(5)(4)(4)(1)(1)2f f f f f f ∴-+=-+==-+=，(0)1f =，()()()()()()()()()()()54321012345f f f f f f f f f f f -+-+-+-+-++++++=11 故答案为:11【点睛】此题考察函数的对称性的应用，关键要转化为研究()()f x f x +-的值，属于中档题.()220x py p =>的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A ,B 两点，又过A ,B 两点作x轴的垂线，垂足分别为D ,C .假设梯形ABCD 的面积为p =__________.【解析】 【分析】设1122(,),(,),A x y B x y ,联立直线与抛物线方程求出121,2,,x x y y ，代入12121||()2ABCD S x x y y =-+梯形，即可求出p 的值. 【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，抛物线的焦点(0,)2p F ， 直线AB 方程为2p y x =+，联立222x py p y x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，消去y ，得2220x px p --=，解得12123223222,2,,,22x p p x p p y p y p -+=-=+==， 212121||()32622ABCD S x x y y p =-+==梯形， 2p ∴=.故答案为: 2【点睛】此题考察直线与圆锥曲线的位置关系，以及梯形的面积公式，考察计算才能，属于中档题.三、解答题：一共70分。
高三数学上学期第一次适应性考试理 试题
卜人入州八九几市潮王学校任岩松2021届高三上学期第一次适应考试〔数学理〕一、选择题〔每一小题5分，一共50分〕1．设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A B ，那么集合()U C AB 中的元素一共有()A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个2．复数3223ii+=-()A ．1B ．1-C ．iD ．i -3．“6πα=〞是“1cos 22α=〞的〔〕A ． 充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ． 充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，那么圆C 的方程为()A ．22(1)(1)2x y ++-=B ．22(1)(1)2x y -++=C ．22(1)(1)2x y -+-=D ．22(1)(1)2x y +++=5．一空间几何体的三视图如以下图,那么该几何体的体积为().A．2π+B．4π+C．2πD．4π+6．等比数列{}n a 的前n 项和为n s ，且41a ，22a ，3a 成等差数列。
假设11a =，那么4s =〔〕A ．7B ．8 C.15D.16侧(左)视图俯视图7．假设将函数()tan 04y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向右平移6π个单位长度后，与函数tan 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像重合，那么ω的最小值为() A ．16B.14C.13D.128．假设5(1,a a b =+为有理数〕，那么a b +=()A ．45B ．55 C ．70D ．809．设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，那么曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为()A ．4B ．14-C ．2D ．12-10．定义在R 上的函数f(x )满足f(x)=⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，那么f 〔2021〕的值是()A ．1-B ．0C ．1D ．2二、填空题〔每一小题4分，一共28分〕11．向量(3,1)a =，(1,3)b =，(,7)c k =，假设()a c -∥b ，那么k =．12．假设1()21x f x a =+-是奇函数，那么a =．13．.函数()sin()(0,)ωϕωπϕπf x x =+>-<<的图象如以下图，那么ϕ＝．14．某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示：以下图〔右〕是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，那么图中判断框应填，输出的s=． 15．函数21x y xe x =-+在区间[12,2]上的值域为． 16．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，那么不同的分配方案有_______种〔用数字答题〕．17．设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，假设目的函数z=ax+by 〔a>0，b>0〕的值是最大值为12，那么23a b+的最小值为__________． 三、解答题〔5小题，一共72分〕 18．〔此题14分〕在ABC ∆中，A C AC BC sin 2sin ,3,5===〔1〕求AB 的值。
2021-2022年高三数学第一次适应性测试(一模)试题 理
2021-2022年高三数学第一次适应性测试（一模）试题理本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至6页。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
参考公式：柱体的体积公式：其中表示柱体的底面积，表示柱体的高锥体的体积公式：其中表示锥体的底面积，表示锥体的高台体的体积公式：其中S1、S2分别表示台体的上、下底面积，表示台体的高球的表面积公式：球的体积公式：其中表示球的半径一、选择题：本大题共8小题，每小题5分。
共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。
1．已知集合{}{}032,lg2<--===xxxBxyxA，则( ▲ )A．B．C．D．2．已知为异面直线，下列结论不正确．．．的是( ▲ )A．必存在平面使得B．必存在平面使得与所成角相等C．必存在平面使得D．必存在平面使得与的距离相等3．已知实数满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤+≥-32302y x y x y x ，则的最大值为( ▲ )A ．B ．C ．D ．4．已知直线：，曲线：，则“”是“直线与曲线有公共点”的( ▲ ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5．设函数是定义在上的偶函数，对任意的都有，则满足上述条件的可以是( ▲ )A ．B ．C ．D ．6．如图，已知、为双曲线：的左、右焦点，为第一象限内一点，且满足,，线段与双曲线交于点，若，则双曲线的渐近线方程为( ▲ )A ．B ．C ．D ．7．已知集合，若实数满足：对任意的，都有，则称是集合的“和谐实数对”。
则以下集合中，存在“和谐实数对”的是( ▲ ) A ．B ．第6题图C ．D ．8．如图，在矩形中，，，点在线段上且，现分别沿将翻折，使得点落在线段上，则此时二面角的余弦值为 ( ▲ )A ．B ．C ．D ．非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
高三数学上学期一摸试题 理含解析 试题
东北师范大学附属中学2021届高三数学上学期一摸试题 理〔含解析〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日一、选择题i 是虚数单位,在复平面内复数21ii-+表示的点在〔 〕 A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】运用复数除法的运算法那么,化简复数21ii-+,最后选出正确答案. 【详解】因为2(2)(1)131(1)(1)22i i i i i i i --⋅-==-++⋅-,所以复平面内复数21ii-+表示的点的坐标为13(,)22-,该点在第四象限. 应选：D【点睛】此题考察了复数除法的运算法那么.考察了复数在复平面表示点的位置问题.{}*2560U x N x x =∈--≤,集合{}2,3A =,{}0,1,5B =,那么()U B A ⋂〔 〕A. {}0,1,5B. {}1,5C. ∅D.{}0,1,4,5,6【答案】B 【解析】【分析】解一元二次不等式,并求出正整数解集,化简全集的表示,根据补集、交集的定义,求出()U B A ⋂.【详解】{}{}{}*2*560161,2,3,4,5,6U x N x x x N x =∈--≤=∈-≤≤=.因为{}2,3A =,所以{}1,4,5,6UA =,因此(){}1,5UB A ⋂=.应选：B【点睛】此题考察了集合的补集运算、并集运算,考察理解一元二次不等式,考察了数学运算才能.3.以下函数中,既是偶函数,又在()0,∞+上单调递增的函数是〔 〕 A. 32y x =B. xy e-=C. 21lg y x =-D.6y x =+【答案】D 【解析】 【分析】对选项里面的四个函数,先求定义域,再判断是不是偶函数,当()0,x ∈+∞时,化简函数的解析式,再判断单调性即可选出正确答案.【详解】选项A ：函数32y x =的定义域为全体非负实数集,故该函数不具有奇偶性,不符合题意；选项B ：函数()xy f x e-==的定义域为全体实数集. ()()xxf x eef x ----===,所以该函数是偶函数, 当()0,x ∈+∞时, 1()()xx x f x e e e --===,因为101e<<,所以该函数此时是减函数,不符合题意；选项C ：函数2()1lg y f x x ==-的定义域为非零的全体实体集,22()1lg()1lg ()y f x x x f x =-=--=-=,所以该函数是偶函数,当()0,x ∈+∞时, 2()1lg 12lg f x x x =-=-,根据单调性的性质可知：该函数此时单调递减,不符合题意；选项D ：函数()6y f x x ==+的定义域为全体实数集, ()66()f x x x f x -=-+=+=,所以该函数是偶函数, 当()0,x ∈+∞时, ()6y f x x ==+,符合题意. 应选：D【点睛】此题考察了函数的奇偶性、单调性,属于根底题.50.3a =,0.35b =,0.3log 5c =,那么,,a b c 的大小关系是〔 〕A. a b c >>B. a c b >>C. c a b >>D.b ac >>【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数、指数函数的单调性,运用中间值比拟法,可以比拟出,,a b c 的大小关系. 【详解】因为函数0.3xy =是全体实数集上的减函数,所以有5000.30.31<<=； 因为函数5xy =是全体实数集上的增函数,所以有0.30551>=；因为函数0.3log y x =是正实数集上的减函数,所以有0.30.3log 5log 10<=,因此有b ac >>.应选：D【点睛】此题考察了对数式、指数式的比拟,运用对数函数、指数函数的单调性,运用中间值比拟法是解题的关键.5.素数也叫质数,局部素数可写成“21n -〞的形式〔n 是素数〕,法国数学家马丁•梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位,因此后人将“21n -〞形式〔n 51个梅森素数是8258993321P =-8个梅森素数为3121P =-,第9个梅森素数为6121Q =-,那么QP约等于〔参考数据：lg 20.3≈〕〔 〕 A. 710 B. 810C. 910D. 1010【答案】C 【解析】 【分析】根据,P Q 两数远远大于1, Q P 的值约等于613122,设613122k =,运用指数运算法那么,把指数式转化对数式,最后求出k 的值.【详解】因为,P Q 两数远远大于1,所以Q P 的值约等于613122,设6130303122lg 2lg 2k k k =⇒=⇒=, 因此有930lg 2lg lg 910k k k =⇒=⇒=. 应选：C【点睛】此题考察了数学估算才能,考察了指数运算性质、指数式转化为对数式,属于根底题.y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为〔 〕A. B. C. D.【答案】D 【解析】试题分析：函数f 〔x 〕=2x 2–e |x|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于y 轴对称，因为22(2)8,081f e e =-<-<，所以排除,A B 选项；当[]0,2x ∈时，4x y x e '=-有一零点，设为0x ，当0(0,)x x ∈时，()f x 为减函数，当0(,2)x x ∈时，()f x 为增函数．应选D7.“22a -≤≤〞是“关于x 的不等式210ax ax a-+≥的解集为R 〞的〔 〕 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】先判断不等式210ax ax a-+≥的解集为R 成立的条件,然后根据充分性、 必要性的定义选 出正确答案.【详解】因为关于x 的不等式210ax ax a-+≥的解集为R ,所以有：0a >且21()40a a a--⋅≤, 所以有02a <≤,显然由22a -≤≤不一定能推出02a <≤,但由02a <≤一定能推出22a -≤≤,故“22a -≤≤〞是“关于x 的不等式210ax ax a-+≥的解集为R 〞的必要不充分条件. 应选：B【点睛】此题考察了必要不充分条件的判断,解决不等式恒成立问题是解题的关键.()3211,0log ,0x x f x x x ⎧+-≤=⎨>⎩,假设()1f a ≤,那么实数a 的取值范围是〔 〕A. [)3,3,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦B. 3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. (]3,00,32⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D. []4,2-【答案】B 【解析】【分析】根据分段函数的解析式,分类讨论解不等式,最后求出实数a 的取值范围. 【详解】当0a ≤时, ()311211122f a a a ≤⇒+-≤⇒-≤≤,而0a ≤,所以 302a -≤≤； 当0a >时, ()31log 13f a a a ≤⇒≤⇒≤,而0a >,所以03a <≤,综上所述： 实数a 的取值范围是3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.应选：B【点睛】此题考察了分段函数不等式的解法,正确求解对数不等式、绝对值不等式是解题的关键.2y ax bx c =++和2y cx bx a =++(0ac ≠,a c ≠)的值域分别为M 和N ,命题:p MN ,命题:q M N ≠∅,那么以下命题中真命题的是〔 〕A. p q ∧B. ()p q ∨⌝C. ()()p q ⌝∧⌝D.()p q ⌝∧【答案】D 【解析】 【分析】根据两个二次函数最高次项系数的正负性可以通过举例说明命题p 的真假,根据两个二次函数最高次项系数的正负性进展分类讨论,可以判断出命题q 的真假,最后根据且命题、或者命题的真假判断方法选出正确答案.【详解】(1)当0a >,0c <时, 二次函数2y ax bx c =++的值域为：244ac b M y y a ⎧⎫-⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭,二次函数2y cx bx a =++的值域为：244ac b N y y c ⎧⎫-⎪⎪=≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭,此时显然:p MN是假命题,而244ac b a -是负的, 244ac b c -是正的,故命题:p MN 是假命题,命题:q MN ≠∅是真命题；(2)当0a >,0c >时, 二次函数2y ax bx c =++的值域为：244ac b M y y a ⎧⎫-⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭,二次函数2y cx bx a =++的值域为：244ac b N y y c ⎧⎫-⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭,此时244ac b a -、 244ac b c-是同号,故命题:q M N ≠∅是真命题；(3)当0a <,0c <时, 二次函数2y ax bx c =++的值域为：244ac b M y y a ⎧⎫-⎪⎪=≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭,二次函数2y cx bx a =++的值域为：244ac b N y y c ⎧⎫-⎪⎪=≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭,此时244ac b a -、 244ac b c-是同号,故命题:q M N ≠∅是真命题；(4)当0a <,0c >时, 二次函数2y ax bx c =++的值域为：244ac b M y y a ⎧⎫-⎪⎪=≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭,二次函数2y cx bx a =++的值域为：244ac b N y y c ⎧⎫-⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭,此时244ac b a -是正数、 244ac b c-是负数,故命题:q M N ≠∅是真命题；综上所述：p 是假命题, q 是真命题.选项A: 因为p 是假命题, q 是真命题,p q ∧是假命题；选项B: 因为p 是假命题, q 是真命题,所以q ⌝是假命题,因此()p q ∨⌝是假命题； 选项C: 因为p 是假命题, q 是真命题,所以p ⌝是真命题,q ⌝是假命题,因此()()p q ⌝∧⌝是假命题；选项D: 因为p 是假命题, q 是真命题,所以p ⌝是真命题, ()p q ⌝∧是真命题. 应选：D【点睛】此题考察了命题的真假判断,考察了二次函数的值域,考察了集合之间的关系、运算问题,分类讨论是解题的关键.(),0231,0x e x a x f x ax a x ⎧-+>=⎨+-≤⎩在(),-∞+∞上是单调函数，且()f x 存在负的零点，那么a 的取值范围是〔 〕A. 10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B. (]0,1C. 1,13⎛⎤⎥⎝⎦D.1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】利用导数,判断出函数在0x >时的单调性,进而可以判断整个函数的单调性,这样利用分段函数的单调性的性质和()f x 存在负的零点,这样可以选出正确答案. 【详解】当0x >时, ()()'10xx f x e x a fx e =-+-⇒>=,所以函数在0x >时单调递增,由题意可知整个函数在全体实数集上也是单调递增,因此有：2001311a a a a >⎧⇒<≤⎨-≤+⎩,又因为()f x 存在负的零点,因此有13103a a ->⇒>,综上所述：a 的取值范围是1,13⎛⎤⎥⎝⎦.应选：C【点睛】此题考察了分段函数的单调性和零点求参数问题,考察了数学运算才能. 11.()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数,且()26f =,假设对任意两个不相等的正数12,x x ,都有()()2112120x f x x f x x x -<-,那么()30f x x->的解集为〔 〕A. ()(),20,2-∞-B. ()()2,02,-+∞C. ()()2,00,2-D. ()(),22,-∞-+∞【答案】C 【解析】 【分析】根据所求不等式的形式构造新函数,根据()()2112120x f x x f x x x -<-,可以判断出函数()f x 的单调性,最后利用函数的单调性和偶函数数的性质,求出()30f x x->的解集. 【详解】由题意可知：120,0x x >>,因此有()()()()21121221121212121212()()000x f x x f x f x f x x f x x f x x x x x x x x x x x ---⋅<⇒<⇒<---, 设()()f x g x x=,因此函数()g x 在0x >时是单调递减函数, 因为()26f =, 所以(2)3g =,而()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数,所以有()()()()()f x f x f x g x g x x x x---====--,因此函数()g x 是()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数.由偶函数的性质可知：当0x <时, 函数()g x 是单调递增的.所以当0x >时,()30()(2)02f x g x g x x->⇒>⇒<<；当0x <时,()30()(2)0220f x g x g x x x->⇒>-⇒>>-⇒-<<,综上所述： ()30f x x->的解集是()()2,00,2-.应选：C【点睛】此题考察了通过构造函数求解不等式解集问题,对的不等式进展数学变形,利用函数的单调性和偶函数的性质是解题的关键.x 的方程10x x x x e m e x e+++=+有三个不等的实数解123,,x x x ,且1230x x x <<<,其中m R ∈, 2.71828e =为自然对数的底数,那么3122312x x x x x x m m m e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值是〔 〕 A. eB. 2eC. ()42m m +D.()41m m +【答案】B 【解析】 【分析】根据所给的方程的特征,令x x t e=进展换元,方程转化为2(1)0t m t m e ++++=,画出函数 ()xxg x e =的图象,利用函数的图象和所求的代数式特征,求出所求代数式的值. 【详解】令x x t e =,所以由10x x xx e m e x e+++=+可得2(1)0t m t m e ++++=, 设()x x g x e =,1()xx g x e'-=,当1x >时, '()0g x <,所以函数()x x g x e =单调递减, 当1x <时, '()0g x >,所以函数()x x g x e =单调递增,而1(0)0,(1)g e==,显然当0x >时,()0>g x ，当0x <时, ()0<g x 因此函数()x xg x e=的图象如以下图所示：要想关于x 的方程10x x xx em e x e+++=+有三个不等的实数解123,,x x x ,且1230x x x <<<, 结合函数图象可知,只需关于t 的方程2(1)0t m t m e ++++=有两个不相等的实数根12,t t ,且12312123,x x x x x x t t e e e ===, ()()3122231212x x x x x x m m m t m t m e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤∴+++=++ ⎪ ⎪⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭, ()()()22121212()(1)t m t m t t m t t m e m m m m e ++=+++=+-++=,31222312111x x x x x x e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 应选：B【点睛】此题考察了函数与方程思想,考察了数形结合思想,属于中档题.二、填空题()()1,0,0f x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩,那么74f ⎛⎫⎪⎝⎭的值是__________． 【答案】12- 【解析】 【分析】 求74f ⎛⎫⎪⎝⎭的值,根据分段函数的解析式,就要求34f ⎛⎫⎪⎝⎭的值, 要求34f ⎛⎫⎪⎝⎭的值,根据分段函数的解析式,就要求14f ⎛⎫-⎪⎝⎭的值,而14f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值直接代入即可求出.【详解】7733111(1)()(1)()()4444442f f f f f ⎛⎫=-==-=-=---=- ⎪⎝⎭. 故答案为：12-【点睛】此题考察了分段函数的解析式求函数值问题,考察了数学运算才能.()()212log 6f x x x =-+的单调递增区间为__________．【答案】()3,6 【解析】 【分析】先求出函数()f x 的定义域,再根据复合函数的单调性的性质,可以求出函数()f x 的单调递增区间. 【详解】函数()f x 的定义域为：{}06x x <<,()()221122log 6log [(3)9]f x x x x =-+=--+,所以函数()f x 的单调递增区间为()3,6. 故答案为：()3,6【点睛】此题考察了复合函数的单调区间,此题易忘记求函数的定义域.15.如图，将边长为1的正方形ABCD 沿x 轴正向滚动,先以A 为中心顺时针旋转,当B 落在x 轴时,又以B 为中心顺时针旋转,如此下去,设顶点C 滚动时的曲线为()y f x =,那么()5f =__________；当23x <≤时,()f x =__________．【答案】2243x x -+-【分析】根据题意分别求出0,1,2,3,4,x =时对应的函数值,结合正方形运动的轨迹图象求出当23x <≤时,函数的解析式即可.【详解】边长为1的正方形ABCD 的对角线长为2,当0x =时, C 点的坐标为：(0,1),即(0)1f =； 当1x =时, C 点的坐标为：2),即(1)2f =当2x =时, C 点的坐标为：(2,1),即(2)1f =； 当3x =时, C 点的坐标为：(3,0),即(3)0f =； 当4x =时, C 点的坐标为：(4,1),即(4)1f =； 当5x =时, C 点的坐标为：2),即(5)2f =当23x <≤时, 顶点C 的轨迹是以(2,0)为圆心,半径为1的14圆,其方程为： 222(2)143x y y x x -+=⇒=-+-所以2()43f x x x =-+-.2243x x -+-【点睛】此题考察了函数值的计算,考察了函数的解析式和性质,考察了数学阅读才能.()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点12,x x ,且不等式()()1212f x f x x x t +<++恒成立,那么t 的取值范围是__________． 【答案】[)5,-+∞ 【解析】根据函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点12,x x ,通过求导,可以求出a 的取值范围,求出 ()()1212f x f x x x +--的表达式,最后利用导数,通过构造函数,求出新构造函数的单调性,最后求出t 的取值范围.【详解】2221()(0)ax x f x x x'-+=>,因为函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点12,x x ,所以方程22210ax x -+=有两个不相等的正实数根,于是有：121248010102a x x a x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩,解得102a <<. ()()221112221212122ln 2ln f x f x x x x ax x x ax x x x +--+--++=--()()212121212()23ln a x x x x x x x x ⎡⎤=+--++⎣⎦21ln 2a a=---,设21()1ln 2,02h a a a a ⎛⎫=---<< ⎪⎝⎭, 22()0a h a a '-=>,故()h a 在102a <<上单调递增,故1()52h a h ⎛⎫<=- ⎪⎝⎭,所以5t ≥-.因此 t 的取值范围是[)5,-+∞故答案为：[)5,-+∞【点睛】此题考察了函数极值情况求参数取值范围问题,考察了不等式恒成立问题,构造新函数,利用导数是解题的关键. 三、解答题ABC △中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且222cos cos sin sin sin C B A A C -=-．(1)求角B 的值；(2)假设ABC △的面积为b =,求a c +的值．【答案】(1)3π；(2)9 【解析】 【分析】(1)利用同角的三角函数关系式中的平方和关系,把等式中的余弦变形为正弦形式,由正弦定理,变形为边之间的关系,再由余弦定理可以求出角B 的值；(2)根据面积公式、余弦定理可以得到,a c 之间的关系式,最后求出a c +的值． 【详解】(1)由222cos cos sin sin sin C B A A C -=-, 得222sin sin sin sin sin B C A A C -=-.由正弦定理,得222b c a ac -=-,即222a c b ac +-=,所以222cos 2a c b B ac+-==122ac ac =. 因为0B π<<，所以3B π=.(2)由(1)知3B π=,又b =,2222cos b a c ac B ∴=+-2221a c ac =+-=,①又1sin 2S ac B ==20ac ∴=,②由①②得，2241a c +=,所以()222a c a c +=++281ac =, 所以9a c.【点睛】此题考察了同角三角函数的平方和关系,考察了正弦定理、余弦定理、面积公式,考察了数学运算才能.()22ln f x x a x =-,()222ln 2g x x x =-+-．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)当1a =时,判断()()g x f x -的零点个数． 【答案】(1)见解析；(2)2 【解析】 【分析】(1)对函数()f x 进展求导,利用分类讨论法求出函数()f x 的单调性；(2)设()()()F x g x f x =-,求导,让导函数等于零,然后判断出函数的单调性,最后确定函数零点个数.【详解】(1)()22a f x x x '=-()22x ax-=, 故当0a ≤时,()0f x '≥,所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增,当0a >时,令()0f x '>,得x >所以函数()f x 在)+∞上单调递增,令()0f x '<,得x <所以函数()f x 在(上单调递减,综上,当0a ≤时,函数()f x 在()0,∞+上单调递增,当0a >时,函数()f x 在)+∞上单调递增,在(上单调递减.(2)设()()()F x g x f x =-=2ln 22ln 2x x -+-, 那么()21F x x'=-,令()0F x '=, 解得2x =,当()0,2x ∈时,()0F x '>； 当()2,x ∈+∞时,()0F x '<； 故()F x 最大值为()20F=，所以()()g x f x -有且只有一个零点2.【点睛】此题考察了利用导数研究函数的单调性、零点,考察了分类讨论思想,考察了数学运算才能.2的正方形ABCD 沿对角线BD 折叠,使得平面ABD ⊥平面CBD ,AE ⊥平面ABD ,F 是BD 的中点,且2AE =．(1)求证：DE AC ⊥；(2)求二面角B EC F --的大小． 【答案】(1)见解析；(2)45︒ 【解析】 【分析】(1) 以A 为坐标原点,,,AB AD AE 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,求出点,,E B D 三点的坐标,通过F 是BD 的中点,可得CF BD ⊥,利用面面垂直的性质定理可得CF ⊥平面BDA ,进而可以求出点C 的坐标,最后利用向量法可以证明出DE AC ⊥；(2)分别求出平面BCE 、平面FCE 的法向量,最后利用空间向量夹角公式求出二面角B EC F --的大小．【详解】(1)证明：以A 为坐标原点,,,AB AD AE 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,如下图,那么()0,0,2E ,()2,0,0B ,()0,2,0D取BD 的中点F 并连接,CF AF . 由题意得,CF BD ⊥ 又平面BDA ⊥平面BDC ,CF ∴⊥平面BDA ,(2C ∴,(0,2DE ∴=-,(2AC =, (0,2DE AC ⋅=-⋅(20=,DE AC ∴⊥.(2)解：设平面BCE 的法向量为()111,,n x y z =, 那么(2,0,2EB =-,(2BC =-,DE n CB n ⎧⋅=⇒⎨⋅=⎩1111122020x z x y z ⎧=⎪⎨--=⎪⎩ 令(1,1,2n =-.平面FCE 的法向量为()222,,m x y z =,()1,1,0F所以()1,1,0EC =，(FC =,由2220000x y EC m z FC m +=⎧⎧⋅=⇒⎨⎨=⋅=⎩⎩得()1,1,0m =-.设二面角B EC F --为θ,那么2cos cos ,2n m θ==, 所以二面角B EC F --的大小为45︒.【点睛】此题考察了用空间向量的知识解决线线垂直、二面角的问题,正确求出相关点的坐标是解题的关键.20.12,F F 是椭圆()222210x y a b a b +=>>的两个焦点,O 为坐标原点,离心率为3,点()在椭圆上．(1)求椭圆的HY 方程；(2),,D E F 为椭圆上三个动点,D 在第二象限,,E F 关于原点对称,且DE DF =,判断tan DE DF EDF ⋅∠是否存在最小值,假设存在,求出该最小值,并求出此时点D 的坐标,假设不存在,说明理由．【答案】(1)22162x y +=；(2)存在,最小值为6,D ⎛ ⎝⎭【解析】【分析】(1)把点的坐标代入椭圆方程中,再求出离心率的表达式,最后根据,,a b c 三者之间的关系,可以求出,a b 的值,最后写出椭圆的HY 方程；(2)利用平面向量数量积的定义,化简tan DE DF EDF ⋅∠的表达式,可以发现只需判断EDF 面积是否有最小值,设出直线EF 的方程,与椭圆的方程联立,利用一元二次方程的根与系数的关系,求出EF 的表达式,同理求出OD 的表达式,最后确定EDF 面积的表达式,利用根本不等式可以求出EDF 面积的最小值,最后求出点D 的坐标. 【详解】(1)点()在椭圆上,那么22311a b+=,又c a =222a b c =+, 解得26a =,22b =,∴椭圆的方程为22162x y +=；〔2〕tan DE DF EDF DE ⋅∠=sin 2DEF DF EDF S ∠=△, 只需判断EDF 面积是否有最小值. 设直线EF 的方程为()0y kx k =>, 设()11,E x y ,()22,F x y ,联立22162y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩,得22631x k =+,所以1EF x ==因为1ODk k=-，同理可知OD ==,1122EDF S EF OD ==⋅△261k +=()()()2226133132k k k +≥=++,此时22313k k +=+,因为0k >即1k =时,tan DE DF EDF ⋅∠最小值为6,易知直线OD 的方程为y x =-, 联立22162y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩,解得22x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即22D ⎛- ⎝⎭. 【点睛】此题考察了求椭圆的HY 方程,考察了直线与椭圆的位置关系,考察了求三角形面积最小值问题,考察了根本不等式的应用,考察了数学运算才能.()()ln 1f x x =+,()()202x g x a x a=>+,设()()()F x f x g x =-． (1)假如曲线()y f x =与曲线()y g x =在1x =处的切线平行,务实数a 的值；(2)假设对()0,x ∀∈+∞,都有()0F x >成立,务实数a 的取值范围；(3)()F x 存在极大值与极小值,请比拟()F x 的极大值与极小值的大小,并说明理由．【答案】(1)12；(2)1a ≥；(3) 当112a <<时,()F x 极大值大于极小值； 当102a <<时,()F x 极大值小于极小值. 【解析】【分析】(1)分别求出两个函数的导数,把1x =代入两个导函数中,根据线线平行斜率的关系,可以求出实数a 的值；(2)对函数()F x 求导,分类讨论函数的单调性,最后求出实数a 的取值范围；(3)令()F x 的导函数等于零,求题意确定实数a 的取值范围,分类讨论,根据函数的单调性确定极大值与极小值之间的大小关系即可.【详解】(1)因为()11f x x '=+,()()242ag x x a '=+, 所以()112f '=,()()24112ag a '=+,由()()11f g ''=,得12a = (2)()()()F x f x g x =-=()()2ln 102x x x x a +->+, 易知()00F =,()()21412a F x x x a '=-++()()()224112x a a x x a +-=++ ①当()4100a a a ⎧-≥⎨>⎩,即1a ≥时,有()0F x '>,所以()F x 在()0,∞+上是增函数,所以()()00F x F >=,满足题意.②当()4100a a a ⎧-<⎨>⎩，即01a <<时,()0F x '=,得1x =-,2x =因为()20,x x ∈,()0F x '<,所以()F x 在()20,x 上是减函数,()()00F x F <=,不符合题意.综上,1a ≥.(3)()()()()2241012x a a F x x x a +-'==++, 即()2410x a a +-=有两个不相等实数根1x =-,2x =因为()101a a ⎧->⎪⎨-≠-⎪⎩, 所以01a <<且12a ≠, ①当21a -<-时,即112a <<时, ()F x 在()11,x -上是增函数,在()12,x x 上是减函数,在()2,x +∞上是增函数, 故()F x 极大值为()1F x ,极小值为()2F x ，且()()12F x F x >.②当120a -<-<时,即102a <<时, ()F x 在()11,x -上是增函数,在()1,2x a -上是减函数,在()22,a x -上是减函数,在()2,x +∞上是增函数,故()F x 极大值为()1F x ,极小值为()2F x .()()()121ln 1F x F x x -=+-()1221222ln 122x x x x a x a-++++ ()()()21121241ln 122a x x x x x a x a -⎛⎫+=+ ⎪+++⎝⎭, 因为210x x ->,220x a +>,120x a +<,所以()()12F x F x <. 综上，当112a <<时,()F x 极大值大于极小值； 当102a <<时,()F x 极大值小于极小值. 【点睛】此题考察了导数的几何意义,考察了利用导数证明不等式恒成立问题,考察了函数的极大值与极小值之间的大小关系问题,考察了数学运算才能.xOy 中,直线l 的参数方程为32x t y t=--⎧⎨=+⎩〔t 为参数〕．以坐标原点O 为极点,x 轴的非负半轴建立极坐标系,点P的极坐标54π⎛⎫ ⎪⎝⎭，曲线C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)假设Q 为曲线C 上的动点,求PQ 中点M 到直线l 的间隔 最小值．【答案】(1)10x y ++=,()()22112x y -++=；(2)2【解析】【分析】(1)利用加减消元法消参可以求出直线l C 的直角坐标方程；(2)求出P 的直角坐标,利用曲线C 的参数方程设出点Q 的坐标,利用中点坐标公式,求出M 的坐标,利用点到直线间隔 公式求出M 到直线l 的间隔 ,利用辅助角公式,根据正弦型函数的单调性可以求出PQ 中点M 到直线l 的间隔 最小值．【详解】(1)直线l 的普通方程10x y ++=,由4πρθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭cos sin θθ-⎭2cos 2sin θθ=-, 22cos 2sin ρρθρθ∴=-,即2222x y x y +=-, ∴曲线C 的直角坐标方程为()()22112x y -++=；(2)易知P 的直角坐标()3,3--，设()1,1Q αα+-, 那么PQ的中点24,22M αα⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭, 设M 到直线l 的间隔 为d ,那么d==当sin 14πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭时,min 2d =. 【点睛】此题考察了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程,考察了中点坐标公式,考察了点到直线间隔 公式,考察了圆的参数方程的应用,考察了数学运算才能. ()12f x x x =+-．(1)求不等式()2f x ≥-的解集；(2)假设关于x 的不等式()235f x a a -≥-在2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有解,务实数a 的取值范围． 【答案】(1){}13x x -≤≤；(2)5522a +≤≤ 【解析】【分析】(1)利用零点法分类讨论求出不等式()2f x ≥-的解集；(2)根据题意本问题题可以转化为()2max 35f x a a -≥-⎡⎤⎣⎦成立,求出()f x 的最大值,最后求出实数a 的取值范围．【详解】(1)不等式化为0122x x x ≥⎧⎨+-≥-⎩或者10122x x x -≤<⎧⎨++≥-⎩或者1122x x x <-⎧⎨--+≥-⎩, 解得03x ≤≤或者10x -≤<或者∅故不等式()2f x ≥-的解集为{}13x x -≤≤；(2)由题意知，只需()2max 35f x a a -≥-⎡⎤⎣⎦成立, 因为()1,03231,03x x f x x x -+≤≤⎧⎪=⎨+-≤<⎪⎩, 在2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增,在[]0,3上单调递减, 所以()()max 01f x f ==,所以2520a a -+≤,解得5522a -≤≤. 【点睛】此题考察了利用零点法分类讨论求解绝对值问题,考察了不等式在闭区间上有解问题,考察理解一元二次不等式,考察了数学运算才能.制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。
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陕西省西安市西北工业大学附中高三（上）第一次适应性训练数学试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）设全集为实数集R，M={x|x2＞4}，N={x|1＜x≤3}，则图中阴影部分表示的集合是（）A． {x|1﹣2≤x＜1} B． {x|﹣2≤x≤2} C． {x|1＜x≤2} D． {x|x＜2}【考点】： Venn图表达集合的关系及运算．【专题】：集合．【分析】：根据阴影部分可知，元素是由属于N，但不属于M的元素构成．【解析】：解：由图象可知，阴影部分的元素由属于N，但不属于M的元素构成，结合集合的运算可知阴影部分的集合为（∁U M）∩N．∵M={x|x2＞4}={x|x＞2或x＜﹣2}，∴∁U M={x|﹣2≤x≤2}，∵N={x|1＜x≤3}，∴（∁U M）∩N={x|1＜x≤2}故选：C．【点评】：本题主要考查利用Venn图表示集合的方法，比较基础．2．（5分）设a∈R，i是虚数单位，则“a=1”是“为纯虚数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：简易逻辑．【分析】：根据纯虚数实数为0，虚部不为0，结合充要条件的定义，判断“a=1”与“为纯虚数”的充要关系，可得答案．【解析】：解：∵=，∴“为纯虚数”⇔“a=±1”，故“a=1”是“为纯虚数”的充分不必要条件，故选：A．【点评】：本题考查的知识点是充要条件，熟练掌握充要条件的定义是解答的关键．3．（5分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜π）图象的一部分（如图所示），则ω与φ的值分别为（）A．，﹣ B． 1，﹣ C．，﹣ D．，﹣【考点】：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：由f（0）=﹣1，﹣π＜φ＜π，可求得φ=﹣或φ=﹣；利用T=＞，且T＜，可求得ω∈（，）；分φ=﹣与φ=﹣讨论，即可求得答案．【解析】：解：∵f（0）=2sinφ=﹣1，∴sinφ=﹣，又﹣π＜φ＜π，∴φ=﹣或φ=﹣；由图知，T=＞，且T=×＜，∴＜ω＜；又ω+φ=π，∴当φ=﹣时，ω+φ=π，解得ω=∉（，），舍去；当φ=﹣时，由ω﹣=π，得ω=∈（，）．∴ω与φ的值分别为：，﹣．故选：A．【点评】：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查识图与运算求解、等价转化思想与分类讨论思想的综合应用，属于中档题．4．（5分）直线（a+1）x+（a﹣1）y+2a=0（a∈R）与圆x2+y2﹣2x+2y﹣7=0的位置关系是（） A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定【考点】：直线与圆的位置关系．【专题】：直线与圆．【分析】：把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径r，求出圆心到直线的距离d，再根据r2﹣d2＞0，可得d＜r，可得直线和圆相交．【解析】：解：圆x2+y2﹣2x+2y﹣7=0，即（x﹣1）2+（y+1）2=9，表示以（1，﹣1）为圆心、半径等于3的圆．圆心到直线的距离d==．再根据 9﹣d2=9﹣=，而7a2﹣4a+7的判别式△=16﹣196=﹣180＜0，故有 9＞d2，即d＜3，故直线和圆相交，故选：B．【点评】：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，体现了转化的数学思想，属于基础题．5．（5分）如果执行如图的算法语句输出结果是2，则输入的x值是（）A． 0 B． 0或2 C． 2 D．﹣1或2【考点】：伪代码；分段函数的解析式求法及其图象的作法．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：由题意，算法语句是求函数y=的值，由算法语句输出结果是2，可得结论．【解析】：解：由题意，算法语句是求函数y=的值，算法语句输出结果是2，则2x+1=2（x＜1）或x2﹣x=2（x≥1），解得x=0或x=2．故选B．【点评】：本题考查伪代码，考查学生的计算能力，确定算法语句是求函数y=的值是关键．6．（5分）若△ABC的内角A、B、C满足sinA：sinB：sinC=2：3：4，则cosB=（）A． B． C． D．【考点】：余弦定理；正弦定理．【专题】：计算题；不等式的解法及应用．【分析】：由题意利用正弦定理，推出a，b，c的关系，然后利用余弦定理求出cosB的值．【解析】：解：△ABC的内角A，B，C满足sinA：sinB：sinC=2：3：4，由正弦定理可得a：b：c=2：3：4，则令a=2x，则b=3x，c=4x，由余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB，可得cosB===，故选：D．【点评】：本题考查正弦定理，余弦定理的应用，考查计算能力，常考题型．7．（5分）已知向量，满足||=3，||=2，且⊥（+），则在方向上的投影为（）A． 3 B． C．﹣ D．﹣3【考点】：平面向量数量积的运算．【专题】：平面向量及应用．【分析】：由于⊥（+），可得•（+）=0，解得=﹣利用在方向上的投影==即可得出．【解析】：解：∵⊥（+），∴•（+）==0，∴=﹣=﹣9．∴在方向上的投影===﹣3．故选：D．【点评】：本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量的投影，属于基础题．8．（5分）（2014•南海区模拟）某几何体的主视图与俯视图如图所示，左视图与主视图相同，且图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A． B． C． 6 D． 4【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：计算题．【分析】：根据三视图，还原成几何体，再根据长度关系，即可求得几何体的体积【解析】：解：由三视图知，原几何体为一个正方体挖掉一个正四棱锥其中正方体的棱为2，正四棱柱的底面边长为正方体的上底面，高为1∴原几何体的体积为故选A【点评】：本题考查三视图，要求能把三视图还原成原几何体，有比较好的空间想象力，能根据三视图找到原几何体中的垂直平行关系和长度关系．属简单题9．（5分）（2012•海淀区二模）为了得到函数y=log 2的图象，可将函数y=log2x的图象上所有的点的（）A．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度B．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变，再向左平移1个单位长度C．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度D．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度【考点】：函数的图象与图象变化．【专题】：压轴题；函数的性质及应用．【分析】：把给出的函数y=log 2变形为y=，从而看到函数自变量和函数值的变化．【解析】：解：函数y=log 2=，所以要得到函数y=log2的图象，可将函数y=log2x的图象上所有的点的纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度．故选A．【点评】：本题考查了函数的图象与图象变化，解答此类问题的关键是看自变量x发生了什么变化，然后再根据“左加右减”的原则，是易错题．10．（5分）已知函数f（x）=，（a＞0，且a≠1），若数列{a n}满足a n=f（n），（n∈N+），且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（）A．（0，1） B． [，3） C．（1，3） D．（2，3）【考点】：数列的函数特性．【专题】：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】：已知函数f（x）=，（a＞0，且a≠1），若数列{a n}满足a n=f（n），（n∈N+），且{a n}是递增数列，可得函数f（x）=，（a＞0，且a≠1）为增函数，而且根据分段函数的性质，可得函数在各段上均为增函数，根据一次函数和指数函数单调性，我们易得a＞1，且3﹣a＞0，且f（2）＜f（3），由此构造一个关于参数a的不等式组，解不等式组即可得到结论．【解析】：解：因为函数f（x）=，（a＞0，且a≠1），数列{a n}满足a n=f（n），（n∈N+），且{a n}是递增数列，所以1＜a＜3且f（2）＜f（3），因此2（3﹣a）+2＜a2，解得a＜﹣4或a＞2，所以实数a的取值范围是（2，3）．故选：D．【点评】：本题主要考查了分段函数，属于中档题，解答此题的关键是分析出函数f（x）=，（a＞0，且a≠1）为增函数，而且结合分段函数的性质，可得函数在各段上均为增函数．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分．将答案填写在题中的横线上．11．（5分）某商场在销售过程中投入的销售成本x与销售额y的统计数据如表：销售成本x（万元） 3 4 6 7销售额y（万元） 25 34 49 56根据上表可得，该数据符合线性回归方程：y=bx﹣9．由此预测销售额为100万元时，投入的销售成本大约为10.9万元．【考点】：线性回归方程．【专题】：计算题；概率与统计．【分析】：由题意，==5；==41；代入y=bx﹣9可得b=5；再令y=100求x即可．【解析】：解：由题意，==5；==41；故41=5b﹣9；故b=10；故当y=100时，100=10x﹣9；解得x=10.9；故答案为：10.9万元．【点评】：本题考查了线性回归方程的求法与应用，属于基础题．12．（5分）若函数f（x）在R上可导，f（x）=x3+x2f′（1），则= ﹣4 ．【考点】：定积分．【专题】：导数的概念及应用．【分析】：先根据导数的运算法则求导，再求出f′（1）=﹣3，再根据定积分的计算法计算即可．【解析】：解：∵f（x）=x3+x2f′（1），∴f′（x）=3x2+2xf′（1），∴f′（1）=3+2f′（1），∴f′（1）=﹣3，∴f（x）=x3﹣3x2，∴=（）|=4﹣8=﹣4，故答案为：﹣4．【点评】：本题主要考查了导数的运算法则和定积分的计算，属于基础题．13．（5分）如果长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点都在半径为3的球的球面上，那么该长方体表面积的最大值等于72 ．【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】：计算题；空间位置关系与距离．【分析】：设出长方体的三度，求出长方体的对角线的长就是确定直径，推出长方体的表面积的表达式，然后求出最大值．【解析】：解：设长方体的三度为：a，b，c，球的直径就是长方体的对角线的长，由题意可知a2+b2+c2=62=36，长方体的表面积为：2ab+2ac+2bc≤2a2+2b2+2c2=72；当a=b=c时取得最大值，也就是长方体为正方体时表面积最大．故答案为：72．【点评】：本题考查长方体的外接球的知识，长方体的表面积的最大值的求法，基本不等式的应用，考查计算能力；注意利用基本不等式求最值时，正、定、等的条件的应用．14．（5分）观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，则a10+b10= 123 ．【考点】：类比推理；等差数列的通项公式．【专题】：规律型．【分析】：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，所求值为数列中的第十项．根据数列的递推规律求解．【解析】：解：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十项为123，即a10+b10=123，．故答案为：123．【点评】：本题考查归纳推理，实际上主要为数列的应用题．要充分寻找数值、数字的变化特征，构造出数列，从特殊到一般，进行归纳推理．三、【选修4-5不等式选讲】（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）15．（5分）若x，y为正整数，满足=1，则 x+y的最小值为36 ．【考点】：基本不等式．【专题】：计算题．【分析】：利用基本不等式即可求得答案．【解析】：解：∵x，y为正整数，满足=1，∴x+y=（x+y）•（+）=4+16++≥36（当且仅当x=12，y=24时取“=”）故答案为：36．【点评】：本题考查基本不等式，考查整体代换思想，属于中档题．四、【几何证明选做题】（共1小题，每小题0分，满分0分）16．（2014•郴州二模）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD⊥AB，垂足为D，且AD=5DB，设∠COD=θ，则tanθ的值为．【考点】：直角三角形的射影定理．【专题】：计算题．【分析】：求tanθ的值，可转化为解三角形OCD，根据相交弦定理，不难求出CD与半径的关系，根据已知也很容易出出OD与半径的关系．【解析】：解：令圆O的半径为R，即OA=OB=OC=R∵AD=5DB∴OD=R，AD=R，BD=R由相交弦定理可得：CD2=AD•BD=∴CD=∴tanθ==故答案为：【点评】：如果题目中出现有一条弦（特别是直径），被分成成比例的两条线段时，可考虑使用相交弦定理．如果该弦为直径，则还可以结合垂径定理进行解答．五、【坐标系与参数方程选做题】（共1小题，每小题0分，满分0分）17．圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=4cosθ，ρ=﹣4sinθ，则经过两圆圆心的直线的直角坐标方程为x﹣y+2=0 ．【考点】：简单曲线的极坐标方程．【专题】：坐标系和参数方程．【分析】：把极坐标方程化为直角坐标方程，求出它们的圆心坐标，再用截距式式求的经过两圆圆心的直线方程．【解析】：解：∵圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=4cosθ，ρ=﹣4sinθ，∴它们的直角坐标方程分别为（x﹣2）2+y2=4，x2+（y+2）2=4．故这两个圆的圆心分别为（2，0）、（0，﹣2），再用截距式式求的经过两圆圆心的直线的直角坐标方程为+=1，即 x﹣y+2=0，故答案为：x﹣y+2=0．【点评】：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，用截距式求直线的方程，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（12分）已知数列{a n}的各项都是正数，前n项和是S n，且点（a n，2S n）在函数y=x2+x的图象上．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，T n=b1+b2+…+b n，求T n．【考点】：数列的求和；数列递推式．【专题】：综合题；等差数列与等比数列．【分析】：（Ⅰ）由点（a n，2S n）在函数y=x2+x的图象上，可得2S n=a n2+a n，递推得2S n﹣1=a n﹣12+an﹣1（n≥2），两式相减整理可得（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）=0，由a n+a n﹣1≠0，可知a n﹣a n﹣1=1，符合等差数列的定义，即可求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求出b n==﹣，即可求T n．【解析】：解：（Ⅰ）∵点（a n，2S n）在函数y=x2+x的图象上，∴2S n=a n2+a n，∴2S n﹣1=a n﹣12+a n﹣1（n≥2）．两式相减得2a n=a n2﹣a n﹣12+a n﹣a n﹣1．整理得（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）=0，∵a n+a n﹣1≠0，∴a n﹣a n﹣1=1（常数）．∴{a n}是以1为公差的等差数列．又2S1=a12+a1，即a12﹣a1=0，解得a1=1，∴a n=1+（n﹣1）×1=n；（Ⅱ）2S n=n2+n，∴b n==﹣，∴T n=b1+b2+…+b n=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1﹣=【点评】：本题主要考查数列与函数，涉及了等差数列通项及前n项和，正确运用裂项法是关键．19．（12分）已知锐角△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，定义向量，且．（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）如果b=4，求△ABC的面积的最大值．【考点】：平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数．【专题】：三角函数的图像与性质；平面向量及应用．【分析】：（Ⅰ）由，得=0，即（2sinB，）•（cosB，cos2B）=0，利用正弦倍角公式、和差角公式可求得B值；（Ⅱ）利用余弦定理可得16=a2+c2﹣ac，利用基本不等式可得ac的最大值，从而可得△ABC 的面积的最大值；【解析】：解：（Ⅰ），因为，所以=0，即（2sinB，）•（cosB，cos2B）=0，所以2sinBcosB+cos2B=sin2B+cos2B=2sin（2B+60°）=0，又△ABC为锐角三角形，所以2B+60°=180°，解得B=60°；（Ⅱ）由余弦定理得，b2=a2+c2﹣2accos60°，即16=a2+c2﹣ac，则16=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=ac，当且仅当a=c时取等号，所以△ABC的面积，所以△ABC的面积的最大值是4．【点评】：本题考查平面向量数量积的运算、两角和与差的正弦函数，考查基本不等式求函数最值．20．（12分）（2012•辽宁）如图，直三棱柱ABC﹣A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC=λAA′，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．（Ⅰ）证明：MN∥平面A′ACC′；（Ⅱ）若二面角A′﹣MN﹣C为直二面角，求λ的值．【考点】：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题．【专题】：计算题；证明题；转化思想．【分析】：（I）法一，连接AB′、AC′，说明三棱柱ABC﹣A′B′C′为直三棱柱，推出MN ∥AC′，然后证明MN∥平面A′ACC′；法二，取A′B′的中点P，连接MP、NP，推出MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′，然后通过平面与平面平行证MN∥平面A′ACC′．（II）以A为坐标原点，分别以直线AB、AC、AA′为x，y，z轴，建立直角坐标系，设AA′=1，推出A，B，C，A′，B′，C′坐标求出M，N，设=（x1，y1，z1）是平面A′MN的法向量，通过，取，设=（x2，y2，z2）是平面MNC的法向量，由，取，利用二面角A'﹣MN﹣C为直二面角，所以，解λ．【解析】：（I）证明：连接AB′、AC′，由已知∠BAC=90°，AB=AC，三棱柱ABC﹣A′B′C′为直三棱柱，所以M为AB′中点，又因为N为B′C′的中点，所以MN∥AC′，又MN⊄平面A′ACC′，因此MN∥平面A′ACC′；法二：取A′B′的中点P，连接MP、NP，M、N分别为A′B、B′C′的中点，所以MP∥AA′，NP∥A′C′，所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′，又MP∩NP=P，因此平面MPN∥平面A′ACC′，而MN⊂平面MPN，因此MN∥平面A′ACC′．（II）以A为坐标原点，分别以直线AB、AC、AA′为x，y，z轴，建立直角坐标系，如图，设AA′=1，则AB=AC=λ，于是A（0，0，0），B（λ，0，0），C（0，λ，0），A′（0，0，1），B′（λ，0，1），C′（0，λ，1）．所以M（），N（），设=（x1，y1，z1）是平面A′MN的法向量，由，得，可取，设=（x2，y2，z2）是平面MNC的法向量，由，得，可取，因为二面角A'﹣MN﹣C为直二面角，所以，即﹣3+（﹣1）×（﹣1）+λ2=0，解得λ=．【点评】：本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定，借助空间直角坐标系求平面的法向量的方法，并利用法向量判定平面的垂直关系，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，难度适中．第一小题可以通过线线平行来证明线面平行，也可通过面面平行来证明．21．（12分）有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于或等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的2×2列联表：已知从全部210人中随机抽取1人为优秀的概率为．（Ⅰ）请完成下面的2×2列联表，并判断若按99%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关”；（Ⅱ）从全部210人中有放回抽取3次，每次抽取1人，记被抽取的3人中的优秀人数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列及数学期望Eξ．优秀非优秀总计甲班 20乙班 60合计 210附：x2=P=（x2≥k） 0.05 0.01k 3.841 6.635【考点】：独立性检验；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【专题】：概率与统计．【分析】：（I）假设H0：“成绩与班级无关”．由于从全部210人中随机抽取1人为优秀的概率为，可得优秀的人数=．即可得到乙班优秀的人数，甲班非优秀的人数，利用K2=计算出K2与6.635比较即可得出结论．（II）由题意可知：ξ～B（3，），即可得出其分布列和数学期望．【解析】：解：（I）假设H0：“成绩与班级无关”．∵从全部210人中随机抽取1人为优秀的概率为，∴优秀的人数==60．∴乙班优秀的人数=60﹣20=40，甲班非优秀的人数=210﹣60﹣60=90．∴K2==12.218＞6.635，∴P（K2≥6.635）≈0.01．因此假设不成立．故认为“成绩与班级有关”；（II）由题意可知：ξ～B（3，）．∴P（ξ=i）=（i=0，1，2，3）．∴Eξ==．【点评】：本题考查了独立性检验、二项分布列及其数学期望，属于中档题．22．（13分）已知函数f（x）=ax2+1（a＞0），g（x）=x3+bx．（1）若曲线y=g（x）与y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a，b，c的值；（2）当a2+b=0时，求函数f（x）+g（x）在区间（﹣∞，﹣1]上的最大值．【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（1）根据曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求a、b的值；（2）根据a2+b=0，构建函数，求导函数，利用导数的正负，可确定函数的单调区间，进而分类讨论，确定函数在区间（﹣∞，﹣1]上的最大值．【解析】：解：（1）f（x）=ax2+1（a＞0），则f′（x）=2ax，k1=2a，g（x）=x3+bx，则g′（x）=3x2+b，k2=3+b，由（1，c）为公共切点，可得：2a=3+b ①又f（1）=a+1=c，g（1）=1+b=c，∴a+1=1+b，即a=b，代入①式可得：a=3，b=3．c=4．（2）由a2+b=0得b=﹣a2，设h（x）=f（x）+g（x）=ax2+1+x3﹣a2x．则h′（x）=3x2+2ax﹣a2=（x+a）（3x﹣a），令h′（x）=0，解得：x=﹣a＜0或x=＞0，x （﹣∞，﹣a）﹣a （﹣a，0）h′（x） + ﹣h（x）单调递增极大值单调递减∴原函数在（﹣∞，﹣a））单调递增，在（﹣a，0）单调递减，①若﹣1≤﹣a，即0＜a≤1时，此时函数在区间（﹣∞，﹣1]单调递增，最大值为h（﹣1）=a2+a；②若﹣1＞﹣a，即a＞时，最大值为最大值为h（﹣a）=a3+1综上所述：当a∈（0，1]时，最大值为h（﹣1）=a2+a；当a∈（1，+∞）时，最大值为h（﹣a）=a3+1．【点评】：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，解题的关键是正确求出导函数．综合性较强．23．（14分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，其左、右焦点分别为F1，F2，短轴长为2．点P在椭圆C上，且满足△PF1F2的周长为6．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设过点（﹣1，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，试问在x轴上是否存在一个定点M，使得•恒为定值？若存在，求出该定值及点M的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】：直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】：（I）由题意知：，由此能求出椭圆C方程．（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（m，0）．设直线l的方程为：y=k（x+1）（k存在）联立，得：（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积结合已知条件推导出存在，使得．【解析】：解：（I）由题意知：，解得，∴椭圆C方程为：（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（m，0）．设直线l的方程为：y=k（x+1）（k存在）联立，得：（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12=0，则又==而===为定值．只需，解得：，从而=．当k不存在时，此时，当时，=故：存在，使得．【点评】：本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的点的判断与求法，解题时要认真审题，注意向量的数量积的合理运用．。