专题07 离散型随机变量及其分布列、期望与方差-2019年高考数学母题题源系列(浙江专版)(解析版)

专题07 离散型随机变量及其分布列、期望与方差【母题来源一】【2019年高考浙江卷】设0＜a ＜1，则随机变量X 的分布列是则当a 在（0,1）内增大时， A ．()D X 增大 B ．()D X 减小 C ．()D X 先增大后减小 D ．()D X 先减小后增大 【答案】D【分析】研究方差随a 变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数a 表示，应用函数知识求解．本题根据方差与期望的关系，将方差表示为a 的二次函数，二次函数的图象和性质解题．题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查． 【解析】方法1：由分布列得1()3aE X +=， 则2222111111211()(0)()(1)()333333926a a a D X a a +++=-⨯+-⨯+-⨯=-+， 则当a 在(0,1)内增大时，()D X 先减小后增大． 故选D ．方法2：则222221(1)222213()()()0[()]3399924a a a a D X E X E X a +-+=-=++-==-+，则当a 在(0,1)内增大时，()D X 先减小后增大．故选D ．【名师点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式．【母题来源二】【2018年高考浙江卷】设01p <<，随机变量ξ的分布列是则当p 在（0，1）内增大时， A ．D （ξ）减小 B ．D （ξ）增大C ．D （ξ）先减小后增大D ．D （ξ）先增大后减小【答案】D【解析】，，， ，∴ 先增大后减小， 故选D ．【母题来源三】【2017年高考浙江卷】已知随机变量i ξ满足P （i ξ=1）=p i ，P （i ξ=0）=1–p i ，i =1，2．若0<p 1<p 2<12，则 A ．1()E ξ<2()E ξ，1()D ξ<2()D ξ B ．1()E ξ<2()E ξ，1()D ξ>2()D ξ C ．1()E ξ>2()E ξ，1()D ξ<2()D ξ D ．1()E ξ>2()E ξ，1()D ξ>2()D ξ 【答案】A【解析】∵1122(),()E p E p ξξ==，∴12()()E E ξξ<， ∵111222()(1),()(1)D p p D p p ξξ=-=-， ∴121212()()()(1)0D D p p p p ξξ-=---<， 故选A ．【名师点睛】求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X 的取值情况，然后利用排列，组合与概率知识求出X 取各个值时的概率．对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，其中超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．由已知本题随机变量i 服从两点分布，由两点分布数学期望与方差的公式可得A 正确．【命题意图】理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题，考查考生的运算求解能力、分析与解决问题的能力． 【命题规律】离散型随机变量的均值与方差是高考的热点题型，近三年浙江卷对此内容的考查略有淡化，难度有所降低，主要考查分布列的性质、数学期望、方差的计算及二者之间的关系． 【答题模板】求离散型随机变量X 的分布列的步骤（1）理解X 的意义，写出X 可能取的全部值； （2）求X 取每个值的概率； （3）写出X 的分布列．注意：①与排列、组合有关分布列的求法．可由排列、组合、概率知识求出概率，再求出分布列． ②与频率分布直方图有关分布列的求法．可由频率估计概率，再求出分布列．③与互斥事件有关分布列的求法．弄清互斥事件的关系，利用概率公式求出概率，再列出分布列． ④与独立事件有关分布列的求法．先弄清独立事件的关系，求出各个概率，再列出分布列．⑤求解离散型随机变量X 的均值与方差时，只要在求解分布列的前提下，根据均值、方差的定义求()E X ，()D X 即可．【方法总结】1．离散型随机变量分布列的概念及性质 （1）离散型随机变量的分布列的概念设离散型随机变量X 可能取的不同值为1x ，2x ，…，n x ，X 取每一个值i x (i ＝1，2，…，n )的概率()i i P X x p ==，则下表称为随机变量X 的概率分布，简称为X 的分布列．有时也用等式(),1,2,，i i P X x p i n ===表示X 的分布列． （2）离散型随机变量的分布列的性质 ①0i p ≥(i ＝1，2，…，n )； ②121n p p p ++⋅⋅⋅+=．【必记结论】（1）随机变量的线性关系：若X 是随机变量，Y aX b =+，a ，b 是常数，则Y 也是随机变量．（2）分布列性质的两个作用：①利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值；②随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率． 2．离散型随机变量的均值与方差一般地，若离散型随机变量X 的分布列为：（1）称1122()n n E X x p x p x p =++⋅⋅⋅+为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． （2）称21()(())nii i D X x E X p ==-∑为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏为随机变量X 的标准差． （3）均值与方差的性质若Y ＝aX ＋b ，其中a ，b 为常数，则Y 也是随机变量，且 ①E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ；②D (aX ＋b )＝a 2D (X )．3．利用均值、方差进行决策均值能够反映随机变量取值的“平均水平”，因此，当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分晓，由此可对实际问题作出决策判断；若两随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策．4．均值能够反映随机变量取值的“平均水平”，因此，当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分晓，由此可对实际问题作出决策判断；若两随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策．1．【浙江省温州九校2019届高三第一次联考】抽奖箱中有15个形状一样，颜色不一样的乒乓球（2个红色，3个黄色，其余为白色），抽到红球为一等奖，黄球为二等奖，白球不中奖。

有90人依次进行有放回抽奖，则这90人中中奖人数的期望值和方差分别是A．6，0.4 B．18，14.4C．30，10 D．30，20【答案】D【分析】根据题意可得中奖的概率，而中奖人数服从二项分布，由此即可得到答案．【解析】由题可得中奖概率为，而中奖人数服从二项分布，故这90人中中奖人数的期望值为，方差为．故选D．【名师点睛】本题考查二项分布的判别及其期望和方差的求法，属中档题．2．【陕西省2019届高三年级第三次联考】同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次，设2枚硬币均正面向上的次数为X，则X的数学期望是A．1B．2C．32D．52【答案】A【分析】先计算依次同时抛掷2枚质地均匀的硬币，恰好出现2枚正面向上的概率，进而利用二项分布求数学期望即可．【解析】∵一次同时抛掷2枚质地均匀的硬币，恰好出现2枚正面向上的概率为111224⨯=， ∴1~(4,)4X B ，∴1()414E X =⨯=．故选A ． 【名师点睛】求离散型随机变量期望的一般方法是先求分布列，再求期望．如果离散型随机变量服从二项分布~(,)B n p ，也可以直接利用公式()E np ξ=求数学期望．3．【浙江省台州中学2018届高三模拟考试】已知某 个数的期望为 ，方差为 ，现又加入一个新数据 ，此时这 个数的期望记为 ，方差记为 ，则 A ． ， B ． ， C ． ，D ． ，【答案】B【分析】首先利用离散型随机变量的期望和方程的计算公式，结合题中所给的条件，列出相应的式子，从而求得 ， 的值，进而得到正确的选项． 【解析】根据题意可知，，，故选B ．【名师点睛】该题考查的是离散型随机变量的期望和方程的有关问题，在解题的过程中，注意正确理解离散型随机变量的期望和方差的意义，正确使用其运算公式，从而得到确切的值，得到正确的答案． 4．【广东省东莞市2019届高三上学期期末调研测试】假设濮阳市市民使用移动支付的概率都为p ，且每位市民使用支付方式都是相互独立的，已知X 是其中10位市民使用移动支付的人数，且()6E X =，则p 的值为 A ．0.4 B ．0.5 C ．0.6D ．0.8【答案】C【分析】由已知得X 服从二项分布，直接由期望公式计算即可．【解析】由已知条件每位市民使用移动支付的概率都为p ，看做是独立重复事件，满足X ～B （10，p ），()106EXn p p ===，解得0.6p =，故选C ．【名师点睛】本题考查离散型随机变量期望的求法，属于基础题．5．【浙江省温州市2019届高三2月高考适应性测试】随机变量X 的分布列如下表所示，则D(X)＝ A ．1 B ．2 C ．3D ．4【答案】B【分析】由分布列的性质解出a ，再利用方差公式求方差即可．【解析】由题意可得11 144a ++=，解得12a =， 所以()E X =1110242424⨯+⨯+⨯=，所以222111(02)(22())(42)2424D X =-⨯+-⨯+-⨯=，故选B ．【名师点睛】本题考查分布列的性质、期望和方差的计算，考查基础知识和基本运算，属于基础题． 6．【浙江省金华市浦江县2018年高考适应性考试】袋中装有5个大小相同的球，其中有2个白球，2个黑球，1个红球，现从袋中每次取出1球，去除后不放回，直到渠道有两种不同颜色的球时即终止，用 表示终止取球时所需的取球次数，则随机变量 的数字期望 是A ．115 B ．125 C ．135D ．145【答案】A【分析】X 的可能取值为2，3，求出对应的概率，由此能求出随机变量X 的数字期望E （X ）． 【解析】X 的可能取值为2，3，，， 所以，故选A ．【名师点睛】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．7．【广东省广州市普通高中毕业班2019届高三综合测试二】从某班6名学生（其中男生4人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动．设所选3人中女生人数为ξ，则数学期望()E ξ=A ．45 B ．1 C ．75D ．2【答案】B【分析】先列随机变量，再分别求解对应概率，最后根据数学期望公式求结果． 【解析】由题可得ξ的所有可能取值为0,1,2，3211244242333666C C C C C 131(0),(1),(2),C 5C 5C 5P P P ξξξ=========所以131()0121555E ξ=⨯+⨯+⨯=， 故选B ．8．【浙江省湖州三校2019年普通高等学校招生全国统一考试】已知袋子中装有若干个大小形状相同且标有数字1，2，3的小球，每个小球上有一个数字，它们的个数依次成等差数列，从中随机抽取一个小球，若取出小球上的数字X 的数学期望是2，则X 的方差是A ．13 B ．23 C ．83D ．43【答案】B【分析】根据题意可假设标有数字1，2，3的小球各有1个，再根据方差定义求结果． 【解析】因为取出小球上的数字X 的数学期望是2，且个数依次成等差数列， 所以不妨设标有数字1，2，3的小球各有1个，从而随机抽取一个小球概率皆为13， 方差为2221112(12)(22)(32)3333⨯-+⨯-+⨯-=， 故选B ．9．【陕西省2019届高三年级第三次联考】同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次，设2枚硬币均正面向上的次数为 ，则 的数学期望是 A ．1 B ．C ．2D ．【答案】A【分析】先计算依次同时抛掷2枚质地均匀的硬币，恰好出现2枚正面向上的概率，进而利用二项分布求数学期望即可．【解析】因为一次同时抛掷2枚质地均匀的硬币，恰好出现2枚正面向上的概率为， 所以 ，，所以． 故选A ．10．【浙江省2018年高考全真模拟数学试题一】某班有14的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数X ～B 1(5,)4，则E (－X )的值为A ．14B ．－14C ．54D ．－54【答案】D【解析】因为1(5,)4B ξ~，所以15()()544E E ξξ-=-=-⨯=-， 故选D ．11．【浙江省金丽衢十二校2019届高三第二次联考】甲和乙两人独立的从五门选修课课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数为ξ，则()E ξ为 A ．1.2 B ．1.5 C ．1.8D ．2【答案】C【分析】由已知得ξ的所有可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出()E ξ． 【解析】由已知得ξ的所有可能取值为1，2，3，31533355C C 3(1)C C 10P ξ===，3215323355C C C 3(2)C C 5P ξ===，353355C 1(3)C C 10P ξ===，所以361()123 1.8101010E ξ=⨯+⨯+⨯=， 故选C ．12．【四川省南充市2018-2019学年上学期高2019届高三年级第一次高考适应性考试】设离散型随机变量 可能的取值为1，2，3，4， ，又 的数学期望为 ，则A．B．0C．D．【答案】A【分析】将，，，代入的表达式，利用概率之和为列方程，利用期望值列出第二个方程，联立方程组，可求解得的值．【解析】依题意可的的分布列为依题意得，解得，，故．故选A．【名师点睛】本题主要考查离散型随机变量分布列，考查概率之和为，考查离散型随机变量的数学期望，还考查了方程的思想．属于基础题．13．【浙江省杭州市2018届高三第二次高考科目教学质量检测】已知，随机变量的分布列如下：当a增大时，A．E()增大，D()增大B．E()减小，D()增大C．E()增大，D()减小D．E()减小，D()减小【答案】A【分析】由随机变量的分布列，推导出，从而当增大时，E()增大；，由，得到当增大时，增大．【解析】由随机变量的分布列，得，∴当增大时，增大；，∵，∴当增大时，增大，【名师点睛】本题考查命题真假的判断，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．14．【浙江省金华十校2019届第二学期高考模拟考试】设01p <<，随机变量ξ的分布列是则当p 在(0,1)内增大时 A ．()E ξ减小，()D ξ减小 B ．()E ξ减小，()D ξ增大 C ．()E ξ增大，()D ξ减小D ．()E ξ增大，()D ξ增大【答案】A【分析】根据随机变量的期望，方差公式计算出()E ξ，()D ξ后根据函数的单调性可得． 【解析】由题意得11()01212222p p p E ξ-=⨯+⨯+⨯=-， 所以当p 在(0,1)内增大时，()E ξ减少；221()[0(1)][1(1)]2222p p p D ξ=--⨯+--⨯22132[2(1)]222p p p p --++--⨯=231()242p --=， 所以当p 在(0,1)内增大时，()D ξ减少． 故选A ．15．【浙江省绍兴市2018届高三第二次（5月）教学质量调测】若随机变量 满足 ， ，则下列说法正确的是 A ． ， B ． ， C ． ，D ． ，【答案】D【分析】由题意结合随机变量的性质整理计算即可求得最终结果． 【解析】随机变量 满足 ， ， 则 ， ， 据此可得 ， ．【名师点睛】本题主要考查期望的数学性质，方差的数学性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．16．【浙江省宁波市2019届高三上学期期末考试】已知ξ是离散型随机变量，则下列结论错误的是A ．211(||)()33P P ξξ≤≤≤ B ．22(())()E E ξξ≤ C ．()(1)D D ξξ=-D ．22()((1))D D ξξ=-【答案】D【分析】利用概率、数学期望、方差的性质直接求解．【解析】在A 中，21111(||)()()(3333P P P P ξξξξ≤=-≤≤≤≤=-≤，故A 正确； 在B 中，由数学期望的性质得22(())()E E ξξ≤，故B 正确； 在C 中，由方差的性质得()(1)D D ξξ=-，故C 正确； 在D 中，222()((1))4()()D D D D ξξξξ≠-=+，故D 错误． 故选D ．【名师点睛】本题考查命题真假的判断，考查概率、数学期望、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17．【浙江省嘉兴市2019届高三第一学期期末检测】已知随机变量ξ的分布列如下，则()E ξ的最大值是A ．58- B ．64-C ．14-D ．1964-【答案】B【分析】根据分布列的性质得到b a =，再由均值的概念得到211()44E b b ξ=-+-，由二次函数的性质得到结果即可．【解析】根据分布列的性质：所有的概率和为1，得到0b a -=，根据公式得到2111111()1()()444444E a b b b b b ξ=-⨯+-=-+-=-+-， 根据二次函数的性质得到函数最大值在对称轴处取得， 当18b =时，15()64E ξ=-． 故选B ．【名师点睛】这个题目考查了分布列的性质以及应用，分布列的概率和为1，每个概率值介于0和1之间，或者可以等于0或1，基础题型．18．【浙江省浙南名校联盟2019届高三上学期期末联考】已知随机变量X 的分布列如下表：其中,,0a b c >．若X 的方差()3D X ≤对所有(0,1)a b ∈-都成立，则 A ．103b <≤ B ．203b <≤C ．113b ≤<D ．213b ≤<【答案】D【分析】先由分布列求出方差，再结合题意列不等式求解即可． 【解析】由题可得()E X a c =-+，1a b c ++=， 所以222()(1)()(1)D X a c a a c b a c c =-+-+-++-222()()2()()a c a b c a c a c a c a c =-++--++=--++221(21)14()12b a b b a b -=--++-=--+-， 因为(0,1)a b ∈-，所以当且仅当12ba -=时，()D X 取最大值1b -，又1()3D X ≤对所有()0,1a b ∈-都成立，所以113b -≤，解得23b ≥，所以213b ≤<．故选D ．19．【浙江省三校2019年5月第二次联考】已知甲口袋中有3个红球和2个白球，乙口袋中有2个红球和3个白球，现从甲、乙口袋中各随机取出一个球并相互交换，记交换后甲口袋中红球的个数为ξ，则()E ξ=A ．145B ．135 C ．73D ．83【答案】A【分析】先求出ξ的可能取值及取各个可能取值时的概率，再利用1122()i i E p p p ξξξξ=++++可求得数学期望．【解析】ξ的可能取值为2,3,4，2ξ=表示从甲口袋中取出一个红球，从乙口袋中取出一个白球，故339(2)5525P ξ==⨯=； 3ξ=表示从甲、乙口袋中各取出一个红球，或从甲、乙口袋中各取出一个白球，故322312(3)555525P ξ==⨯+⨯=； 4ξ=表示从甲口袋中取出一个白球，从乙口袋中取出一个红球，故224(4)5525P ξ==⨯=， 所以912414()2342525255E ξ=⨯+⨯+⨯=． 故选A ．20．【浙江省台州市2019届高三上学期期末质量评估】一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为1ξ；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为2ξ，则 A ．12()()E E ξξ<，12()()D D ξξ< B ．12()()E E ξξ=，12()()D D ξξ> C ．12()()E E ξξ=，12()()D D ξξ<D ．12()()E E ξξ>，12()()D D ξξ>【答案】B【分析】分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系． 【解析】1ξ可能的取值为0,1,2；2ξ可能的取值为0,1，14(0)9P ξ==，11(2)9P ξ==，1414(1)1999P ξ==--=， 故12()3E ξ=，222141444()02199999D ξ=⨯+⨯+⨯-=．2211(0)323P ξ⨯===⨯，22122(1)323P ξ⨯⨯===⨯，故22()3E ξ=，2221242()013399D ξ=⨯+⨯-=，故12()()E E ξξ=，12()()D D ξξ>． 故选B ．【名师点睛】离散型随机变量的分布列的计算，应先确定随机变量所有可能的取值，再利用排列组合知识求出随机变量每一种取值情况的概率，然后利用公式计算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区别．21．【浙江省杭州市第二中学2018届高三仿真考试】已知甲盒子中有 个红球， 个蓝球，乙盒子中有 个红球， 个蓝球 ， ，同时从甲乙两个盒子中取出 ， 个球进行交换，（a ）交换后，从甲盒子中取1个球是红球的概率记为 ， ．（b ）交换后，乙盒子中含有红球的个数记为 ， ．则A ． ，B ． ，C ． ，D ． ，【答案】A【分析】首先需要去分析交换后甲盒中的红球的个数，对应的事件有哪些结果，从而得到对应的概率的大小，再者就是对随机变量的值要分清，对应的概率要算对，利用公式求得其期望． 【解析】根据题意有，如果交换一个球，有交换的都是红球、交换的都是蓝球、甲盒的红球换的乙盒的蓝球、甲盒的蓝球交换的乙盒的红球， 红球的个数就会出现 ， ， 三种情况；如果交换的是两个球，有红球换红球、蓝球换蓝球、一蓝一红换一蓝一红、红换蓝、蓝换红、一蓝一红换两红、一蓝一红换亮蓝，对应的红球的个数就是 ， ， ， ， 五种情况， 所以分析可以求得 ， ， 故选A ．【名师点睛】该题考查的是有关随机事件的概率以及对应的期望的问题，在解题的过程中，需要对其对应的事件弄明白，对应的概率会算，以及变量的可取值会分析是多少，利用期望公式求得结果．22．【浙江省教育绿色评价联盟2018届高三5月适应性考试】已知随机变量 满足 ，，且， ， ．若 ，则 A ． ，且 B ． ，且 C ． ，且D ． ，且【答案】B【分析】求出 ， ， ， ，从而 ， ，由 ，得到， ， ，从而 ，进而得到 ．【解析】随机变量 满足 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得 ，，， ，， ，， 故选B ．【名师点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列、期望公式与方差公式的应用以及作差法比较大小，意在考查学生综合运用所学知识解决问题的能力，计算能力，属于中档题． 23．【浙江省杭州高级中学2019届高三上学期期中考试】已知随机变量ξ的的分布列为则ξ的数学期望()E ξ为______________，ξ的方差()D ξ为______________． 【答案】2 0.8【解析】由已知中的分布列可得()10.420.230.42E ξ=⨯+⨯+⨯=，222()0.4(12)0.2(22)0.4(32)0.8D ξ=⨯-+⨯-+⨯-=．【名师点睛】本题主要考查了离散型随机变量的期望公式与方差公式，同时考查了分布列等知识，属于基础题．24．【浙江省重点中学2019届高三12月期末热身联考】已知随机变量的分布列为：若()3E ξ=，则x y +=______________；()D ξ=______________． 【答案】23149【分析】由分布列的性质以及期望公式可得11023x y -⨯++=且113x y ++=，解得,x y ，再利用方差计算公式即可得结果．【解析】由分布列的性质以及期望公式可得11023x y -⨯++=且113x y ++=， 解得13x y ==，所以23x y +=， 所以22211111114()(1)(0)(2)3333339D ξ=--⨯+-⨯+-⨯=，【名师点睛】本题考查了随机变量的分布列与数学期望以及随机变量的方差公式，考查了推理能力与计算能力，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题．25．【浙江省余姚中学2018届高三选考科目模拟卷二】若随机变量ξ的分布列如表所示：则()E ξ=______________，(21)D ξ-=______________．【答案】4-4【分析】利用分布列的性质先求出a ，然后直接使用公式可求得期望、方差． 【解析】由题意可知2114a a ++=，解得32a =-（舍去）或12a =，所以1111()1012244E ξ=-⨯+⨯+⨯=-， 所以223111(21)4()4(()[()])4()4164D DE E ξξξξ-==-=⨯-=． 【名师点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布和数学期望，方差等基础知识，熟记期望，方差的公式是解题的关键．26．【浙江省台州市2018届高三上学期期末质量评估】已知随机变量 的分布列为：则m =______________，()D X =______________． 【答案】1569【解析】由题可得11123m ++=，解得16m =， 所以1115()1232363E X =⨯+⨯+⨯=，2221515155()(1)(2)(3)2333639D X =⨯-+⨯-+⨯-=．27．【腾远2018年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷】已知两个离散型随机变量 ， ，满足， 的分布列如下：当时， ______________， ______________． 【答案】【分析】由分布列的性质和数学期望的公式，求得，，进而求得 ，根据 ，可得 ．【解析】由题意可得，， 所以，，则， 又 ，所以．【名师点睛】本题主要考查了随机变量的分布列的性质，以及数学期望与方差的计算问题，其中熟记随机变量的分布列的性质和数学期望与方差的公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 28．【浙江省宁波市2018届高三5月模拟考试】已知随机变量X 的分布列如下表：若()2E X =，则a =______________；()D X =______________． 【答案】052【解析】由题可得1111364b +++=，解得14b =， 所以1111()23423464E X a =⨯+⨯+⨯+⨯=，解得0a =，所以222211115()(02)(22)(32)(42)34642D X =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=．29．【浙江省金华十校2019届高三上学期期末联考】一个口袋里装有大小相同的5个小球，其中红色两个，其余3个颜色各不相同.现从中任意取出3个小球，其中恰有2个小球颜色相同的概率是______________；若变量X 为取出的三个小球中红球的个数，则X 的数学期望()E X =______________． 【答案】36105【解析】一个口袋里装有大小相同的5个小球，其中红色两个，其余3个颜色各不相同．现从中任意取出3个小球，基本事件总数35C 10n ==， 其中恰有2个小球颜色相同包含的基本事件个数2123C C 3m ==，所以其中恰有2个小球颜色相同的概率是310m p n ==． 若变量X 为取出的三个小球中红球的个数，则X 的可能取值为0，1，2，3335C 1(0)C 10P X ===，122335C C 6(1)C 10P X ===，212335C C 3(2)C 10P X ===，所以1636()0121010105E X =⨯+⨯+⨯=．。