(同济大学)高等数学课件D12_7高阶线性
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线性代数同济大学第五版课件
二元线性方程组
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 b2
求解公式为
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
x2
a11b2 a11a22
b1a21 a12a21
请观察，此公式有何特点？ ➢分母相同，由方程组的四个系数确定. ➢分子、分母都是四个数分成两对相乘再
线性代数_同济大学(第五版)课件
在以往的学习中，我们接触过二 元、三元等简单的线性方程组.
但是，从许多实践或理论问题里 导出的线性方程组常常含有相当 多的未知量，并且未知量的个数 与方程的个数也不一定相等.
我们先讨论未知量的个数与方程 的个数相等的特殊情形.
在讨论这一类线性方程组时，我 们引入行列式这个计算工具.
32 x 1 1 1 2x 1
对应于
(1)t(1234) a11a22a33a44 (1)t1243 a11a22a34a43
(1)t(1234) a11a22a33a44 x3 ,
(1)t1243 a11a22a34a43 2x3
故 x3的系数为－1.
§4 对换
一、对换的定义
定义 例如
在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素 不动，这种作出新排列的手续叫做对换．
简记作 det(a，ij )
1. n 阶行列式共有 n! 项．
其中a为ij 行列式D的(i, j)元
2. 每一项都是位于不同行不同列的 n 个元素的乘积．
3. 每一项可以写成 a1p1a2 p2（正an负pn号除外），其中
是1, 2, …, n 的某个排列.
p1 p2 pn
4. 当 p1 p2 是p偶n 排列时，对应的项取正号； 当 p1 p2 是奇pn排列时，对应的项取负号.
同济大学版本高数精品课件全册
1+ x
理解为：
f
(
∆
)
=
1− 1+
∆ ∆
（五）函数与图像
2、图像：平面点= 集 C {(x= , y) y f (x), x∈D}。
了解函数的直
例：画函数 y = x 的图像.
观手段！
y
一元函数的图像通常是二
维平面上的一条一维曲线.
注： 由曲线求取对应的函
数往往不易，由函数画图
o
x 像相对容易.
例如， 1 + 2 =3 1 − 2 =−1
负数的引入有实 际意义！如：记 帐有赢利亏欠， 温度有零上零 下…
2. Z(整数环)
对加法、减法都封闭; 对除法不能封闭。
例如， 1 ÷ 2 =0.5
3. Q(有理数域)
对加法、减法、乘法、除法都封闭；有理数域尽管稠密但不 连续，还有客观事物不能用有理数表示。
课后自测
1、 写出所有三角函数和反三角函数的定义域，并画出函数图像。
2、
已知函数
y
=
f
(x)
=
12+
x, x,
0≤ x ≤1 x >1
求
f
(
1 2
)
及
f
(
1 t
)
,
并写出定义域及值域 。
第十节 闭区间上连续函数的性质
一、有界性与最大值最小值定理 二、零点定理与介值定理
一、有界性与最大值最小值定理
二、预备知识
1、基本初等函数 (4) 三角函数
余弦函数 y = cos x 正切函数 y = tan x
余切函数 y = cot x
正割函数 y = sec x 余割函数 y = csc x
理解为：
f
(
∆
)
=
1− 1+
∆ ∆
（五）函数与图像
2、图像：平面点= 集 C {(x= , y) y f (x), x∈D}。
了解函数的直
例：画函数 y = x 的图像.
观手段！
y
一元函数的图像通常是二
维平面上的一条一维曲线.
注： 由曲线求取对应的函
数往往不易，由函数画图
o
x 像相对容易.
例如， 1 + 2 =3 1 − 2 =−1
负数的引入有实 际意义！如：记 帐有赢利亏欠， 温度有零上零 下…
2. Z(整数环)
对加法、减法都封闭; 对除法不能封闭。
例如， 1 ÷ 2 =0.5
3. Q(有理数域)
对加法、减法、乘法、除法都封闭；有理数域尽管稠密但不 连续，还有客观事物不能用有理数表示。
课后自测
1、 写出所有三角函数和反三角函数的定义域，并画出函数图像。
2、
已知函数
y
=
f
(x)
=
12+
x, x,
0≤ x ≤1 x >1
求
f
(
1 2
)
及
f
(
1 t
)
,
并写出定义域及值域 。
第十节 闭区间上连续函数的性质
一、有界性与最大值最小值定理 二、零点定理与介值定理
一、有界性与最大值最小值定理
二、预备知识
1、基本初等函数 (4) 三角函数
余弦函数 y = cos x 正切函数 y = tan x
余切函数 y = cot x
正割函数 y = sec x 余割函数 y = csc x
同济大学线性代数第四章PPT课件
讨论它们的线性相关性.
解: Ee1,e2, ,en
结论: 线性无关
问题: n=3时, e1,e2,e3 分别是什么？
上述向量组又称基本向量组或单位坐标向量组.
一些结论：
(1) 一个零向量线性相关, 一个非零向量线性无关；
(2) 两个向量线性相关当且仅当 它们的对应分量成比例;
(3) 一个向量组线性无关，则增加其中每个向 量的分量所得新向量组仍线性无关。
例如： 2 1 1 0 a11 1,a212,a312,b33
则 b 能由 a1, a2, a3线性表示.
解方程组 x 1 a 1 x 2 a 2 x 3 a 3 b
既解方程组
2x1x12xx22
x3 x3
0 3
x1 x2 2x3 3
得
x1 1 1
x2 x3
c
1 1
线性表示
AXB有解，其中 A (1 ,2, ,m )
B (1,2, ,l)
R (A )R (A ,B )
定理3: 向量组 B :1,2, ,l能由 A :1,2, ,m
线性表示，则 R(B) ≤ R(A) 。
其中 A ( 1 ,2 ,,m ) , B ( 1 ,2 ,,l )
证：根据定理 2 有 R(A) = R(A, B) 而 R(B) ≤ R(A, B)，因此 R(B) ≤ R(A)。
定义4：设向量组 A : 1 , 2 , , m , 若存在不全为零实数 1 , 2 , , m , 使得 11 2 2 m m 0
则称向量组 A线性相关. 否则称向量组A线性无关.
定理4: n 维向Ax 量 组0 1有 ,非 2, 零 ,解 m,线其 性相A 关 中 1 ,2 , ,m R(A)m
解: Ee1,e2, ,en
结论: 线性无关
问题: n=3时, e1,e2,e3 分别是什么？
上述向量组又称基本向量组或单位坐标向量组.
一些结论：
(1) 一个零向量线性相关, 一个非零向量线性无关；
(2) 两个向量线性相关当且仅当 它们的对应分量成比例;
(3) 一个向量组线性无关，则增加其中每个向 量的分量所得新向量组仍线性无关。
例如： 2 1 1 0 a11 1,a212,a312,b33
则 b 能由 a1, a2, a3线性表示.
解方程组 x 1 a 1 x 2 a 2 x 3 a 3 b
既解方程组
2x1x12xx22
x3 x3
0 3
x1 x2 2x3 3
得
x1 1 1
x2 x3
c
1 1
线性表示
AXB有解，其中 A (1 ,2, ,m )
B (1,2, ,l)
R (A )R (A ,B )
定理3: 向量组 B :1,2, ,l能由 A :1,2, ,m
线性表示，则 R(B) ≤ R(A) 。
其中 A ( 1 ,2 ,,m ) , B ( 1 ,2 ,,l )
证：根据定理 2 有 R(A) = R(A, B) 而 R(B) ≤ R(A, B)，因此 R(B) ≤ R(A)。
定义4：设向量组 A : 1 , 2 , , m , 若存在不全为零实数 1 , 2 , , m , 使得 11 2 2 m m 0
则称向量组 A线性相关. 否则称向量组A线性无关.
定理4: n 维向Ax 量 组0 1有 ,非 2, 零 ,解 m,线其 性相A 关 中 1 ,2 , ,m R(A)m
同济版高数课件PPT课件
1
e . 试证 limn f 1 f 2 f n n n n n
ln f ( x )dx
0
证明 利用对数的性质得
lim n f 1 f 2 f n n n n n
eln lim n n
f
1 n
f
2 n
f
n n
19
极限运算与对数运算换序得
三、利用定积分的定义计算积分 b xdx ，( a b ) . a
25
四、利用定积分的几何意义，说明下列等式：
1
1、
1 x2dx ;
0
4
2、
2
cos
xdx
2
2 cos xdx
0
;
2
五、水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力，已知 闸门上水的压强 P 是水深 h 的 函数，且有
p 9.8h(千米 米2 )，若闸门高H 3米 ，宽 L 2米 ，求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水
b
f ( x)dx 0.
a
48
例 1 比较积分值 2 e xdx 和 2 xdx 的大小.
0
0
解 令 f ( x) e x x, x [2, 0]
f ( x) 0,
0 (e x x)dx 0, 2
0 e xdx
0
xdx,
2
2
于是
2 e xdx
2
xdx.
0
0
49
性质5的推论：
51
性质6 设M 及m 分别是函数
补充：不论 a,b,c的相对位置如何, 上式总成立.
例 若 a b c,
c
a
f ( x)dx
b
a f ( x)dx
大学高数同济大学版PPT
( n 1, 0! 1)
( n) 设 y sin x , 求 y . 例5 解：y cos x sin( x ) 2 y cos( x ) sin( x ) sin( x 2 ) 2 2 2 2 y cos( x 2 ) sin( x 3 ) 2 2
u
( n)
v
( n)
(2) (Cu )
( n 1)
( n)
Cu
( n)
(3) (u v)
(n)
u v nu
(n)
n(n 1) ( n 2 ) v u v 2!
n(n 1) (n k 1) ( n k ) ( k ) (n) u v uv k!
x0
2.
x ( n) 设 y a ( a 0 , a 1 ), 求 y . 例2
解： y a ln a,
x
y a ln a,
x 2
y a ln a,
x 3
（a ） a ln a
x ( n) x n
特殊地： （e ） e
x ( n)
x
例3
设 y x ( R), 求y ( n) .
f ( x) f (0) f (0) lim x 0 x0 lim ( x 1)( x 2) ( x 99) 99!
x 0
方法2 利用求导公式.
f ( x) ( x)
x
f (0) 99!
x, 3.设 f ( x ) ln( 1 x ),
1 y d dx d dy dy dy
d2x 2 dy
《同济版高数》课件
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
多元函数的极限与连续性
总结词
理解多元函数的极限与连续性的 概念和性质，掌握判断多元函数 极限与连续性的方法。
多元函数的极限
理解极限的定义，掌握计算多元 函数极限的方法，如分别求极限 、累次极限等。
多元函数的连续性
理解连续性的概念，掌握判断多 元函数在某点或某区域的连续性 的方法。
极限的概念与性质
总结词
极限是高数的核心概念，理解极限的概念和性质是学习高数的关键。
详细描述
极限是指当自变量趋近某一值时，因变量的变化趋势。极限的性质包括唯一性 、局部有界性、局部保序性等。这些性质在高数的各个章节中都有重要的应用 。
极限的运算规则
总结词
掌握极限的运算规则是解决极限问题的关键。
详细描述
一阶常微分方程的解法
总结词
掌握一阶常微分方程的解法是解决这类问题的关键。
详细描述
一阶常微分方程的一般形式是dy/dx = f(x, y)，可以 通过分离变量法、积分因子法、公式法等求解。
高阶常微分方程的解法
总结词
理解高阶常微分方程的解法一般形式是y''(x) + p1(x)y'(x) + p2(x)y(x) = f(x)，可以通过降 阶法、变量代换法、积分因式分解法等求解
则更加注重应用和与其他学科的交叉融合，不断涌现出新的分支和领域。
高数与其他学科的联系
要点一
总结词
高数与其他学科有着密切的联系，如物理、工程、计算机 科学等。这些学科在高数的理论和方法的基础上不断发展 。
要点二
详细描述
高数与物理学的联系尤为紧密，许多物理问题的解决需要 高数的理论和方法。例如，在力学、电磁学、光学等领域 中，高数的微积分和向量分析被广泛应用。在工程领域中 ，高数的理论和方法也是解决实际问题的关键工具。计算 机科学在高数的基础上发展出了算法设计和数据结构等重 要领域。此外，经济学、统计学等领域也与高数有着密切 的联系。
(同济大学)高等数学课件D12数列的极限
*3. 柯西极限存在准则(柯西审敛原理) (P55)
数列 极限存在的充要条件是:
0,存在正整数 N , 使当 mN,nN时,
有
xnxm
证: “必要性”.设nl im xna,则
使当
时, 有
xna2, xma2
因此
xnxm
xnaxma
“充分性” 证明从略 .
柯西 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
限 , 则原数列一定发散 .
例如，
发散 !
kl i mx2k 1
三、极限存在准则
夹逼准则; 单调有界准则; 柯西审敛准则 .
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1. 夹逼准则 (准则1) (P50)
(( 2 1 ) )n y l n i y m x n n n lz n i ( z m n n 1 a , 2 , ) nl im xn a
xn1121!(1 1n) 31!(11n) (1 n2)
n1!(11n)(1 n2) (1nn1)
xn11121!(1n11) 3 1!(1n1 1)1(n2 1)
大
大
( n 1 1 ) ! ( 1 n 1 1 )1 (n 2 1 ) ( 1 n n 1 )
正
比较可知 x n x n 1 ( n 1 ,2 , )
又 xn(11 n)n11
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又 xn(11 n)n11 11
3
1 2n1
3
根据准则 2 可知数列 xn 有极限 .
记此极限为 e , 即
nl i m(11n)n e
e 为无理数 , 其值为
e2 .7182 58 9 1 08 42 584
同济大学高数PPT课件
恩格斯
CHENLI
数学中的转折点是笛卡儿的变数. 有了变数 , 运动进入了数学, 有了变数，辩证法进入了数学 ,
有了变数 , 微分和积分也就立刻成 为必要的了,而它们也就立刻产生.
1
笛卡儿 目录 上页 下页 返回 结束
主要内容
1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续 2. 微积分学: 一元微积分 (上册)
多元微积分 (下册) 3. 向量代数与空间解析几何 4. 无穷级数 5. 常微分方程
CHENLI
2
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二、如何学习高等数学 ?
1. 认识高等数学的重要性, 培养浓厚的学习兴趣.
一门科学, 只有当它成功地运用数学时, 才能达到真正完善的地步 .
马克思
要辨证而又唯物地了解自然 ,
就必须熟悉数学.
恩格斯
2. 学数学最好的方式是做数学.
聪明在于学习 , 天才在于积累 .
学而优则用 , 学而优则创 .
华罗庚 CHENLI 由薄到厚 , 由厚到薄 .
3
第一节 目录 上页 下页 返回 结束
他在解析数论自守函数论高维数值积分等广泛的数学领域中都作出了卓几何学典型群他对青年学生的成长非常关心他提出治学之道是即基础要宽专业要专要使自己的专业知识漫到其它领域
引言
一、什么是高等数学 ?
初等数学 — 研究对象为常量, 以静止观点研究问题. 高等数学 — 研究对象为变量, 运动和辩证法进入了数学.
高等数学课件微分方程D128常系数齐次线性微分方程
(r2p rq)erx0 r2prq0 ②
称②为微分方程①的特征方程, 其根称为特征根.
1. 当 p24q0时, ②有两个相异实根 r1, r2,则微分
方程有两个线性无关的特解: y1 er1x, y2 er2x,
因此方程的通解为 yC 1er1xC 2er2x
2020/7/20
高等数学课件
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高等数学课件
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解的特征:
xA siktn ()简谐振动
A: 振幅, : 初相, 周期: T 2
k
c m
:
固有频率
k (仅由系统特性确定)
下图中 xt0 假 x00 设 ,ddxt t0 v0 0
x
A
xo0
T
t
A
2020/7/20
高等数学课件
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利用初始条件得
C14, C2 2
于是所求初值问题的解为 s(42t)et
2020/7/20
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例3. 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,
在无外力作用下做自由运动, 取其平衡位置为原点建
立坐标系如图, 设 t = 0 时物体的位置为 xx0,初始 速度为 v0, 求物体的运动规律 xx(t).
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推广:
y (n ) a 1 y (n 1 ) a n 1 y a n y 0(a k均为 ) 特征方程: r n a 1 r n 1 a n 1 r a n 0
若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项
( C 1 C 2 x C k x k 1 ) e r x
称②为微分方程①的特征方程, 其根称为特征根.
1. 当 p24q0时, ②有两个相异实根 r1, r2,则微分
方程有两个线性无关的特解: y1 er1x, y2 er2x,
因此方程的通解为 yC 1er1xC 2er2x
2020/7/20
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解的特征:
xA siktn ()简谐振动
A: 振幅, : 初相, 周期: T 2
k
c m
:
固有频率
k (仅由系统特性确定)
下图中 xt0 假 x00 设 ,ddxt t0 v0 0
x
A
xo0
T
t
A
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利用初始条件得
C14, C2 2
于是所求初值问题的解为 s(42t)et
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例3. 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,
在无外力作用下做自由运动, 取其平衡位置为原点建
立坐标系如图, 设 t = 0 时物体的位置为 xx0,初始 速度为 v0, 求物体的运动规律 xx(t).
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推广:
y (n ) a 1 y (n 1 ) a n 1 y a n y 0(a k均为 ) 特征方程: r n a 1 r n 1 a n 1 r a n 0
若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项
( C 1 C 2 x C k x k 1 ) e r x
《阶线性方程》课件
应用领域
探讨阶线性方程在各个领域 的广泛应用，展示其实用性。
参考文献
• 张正友. 《线性代数及其应用》 • Gilbert Strang. 《线性代数及其应用》 • Jim Hefferon. 《线性代数》
用，帮助解决力学问题。
3
经济运筹学
说明如何使用阶线性方程来帮助优化资
生物学建模
4
源分配和决策问题。
描述如何利用阶线性方程进行生物学建 模和数据分析。
总结
阶线性方程组的定义和 意义
总结阶线性方程组是具有最 高次数为n的线性方法的比较
比较并总结不同求解方法的 优缺点，帮助选择合适的方 法。
求解阶线性方程的方法
利用矩阵的方法求解
通过矩阵的基本概念、运算法则和初等矩阵来求解 阶线性方程组。
利用消元法求解
使用列主元消元法、行主元消元法和矩阵的LU分解 法来求解阶线性方程组。
应用举例
1
电路分析
解释电路中的方程组如何使用阶线性方
机械结构分析
2
程方法进行分析和计算。
介绍阶线性方程在机械结构分析中的应
《阶线性方程》PPT课件
欢迎来到《阶线性方程》PPT课件。本课程将介绍阶线性方程的定义、求解方 法以及应用领域。让我们一起深入了解这个有趣而实用的主题。
什么是阶线性方程
阶数的定义
介绍阶数是指线性方程中最 高次项的次数。
线性方程的概念
解释线性方程是指未知数的 最高次数为1的方程。
阶线性方程的定义
阐明阶线性方程是指未知数 的最高次数为n的线性方程。
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P10 目录 上页 下页 返回 结束
于是得 积分得:
1 ′ v1 = y2 f , W
1 ′ v2 = y1 f W
v1 = C1 + g1(x), v2 = C2 + g2 (x)
代入③ 即得非齐次方程的通解:
y = C1y1 + C2 y2 + y1g1(x) + y2g2 (x)
说明: 说明 将③的解设为
y(0) =1, y′(0) = 3 的特解 .
解: y2 y1 与y3 y1 是对应齐次方程的解, 且 y2 y1 ex x = 2x ≠ 常数 y3 y1 e x 因而线性无关, 故原方程通解为
y = C1(ex x) + C2 (e2x x) +
代入初始条件 y(0) =1, y′(0) = 3, 得C1 = 1, C2 = 2, 故所求特解为 y = 2e2x ex .
i E~
d uC duC Em 2 + 2β +ω0 uC = sinω t 2 dt LC dt 如果电容器充电后撤去电源 ( E = 0 ) , 则得
d2uC duC + 2β +ω02uC = 0 2 dt dt
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2
+q q K ‖
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例1
例2 方程的共性 — 可归结为同一形式:
y = C1y1 +L+ Cn yn (Ck为 意 数) 任 常
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三,线性非齐次方程解的结构
定理 3. 设 y *(x) 是二阶非齐次方程 ① 的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解, 则 y = Y(x) + y *(x) ② 是非齐次方程的通解 . 证: 将 y = Y(x) + y *(x) 代入方程①左端, 得
设其通解为 积分得
(一阶线性方程)
z = C2Z(x) + z(x) u = C1 + C2U(x) + u(x)
由此得原方程③的通解:
y = C1y1(x) + C2U(x) y1(x) + u(x) y1(x)
代入③ 目录 上页 下页 返回 结束
例5. 已知齐次方程 (x 1) y′′ x y′ + y = 0 的通解为
则称这 n个函数在 I 上线性相关 否则称为线性无关 线性相关, 线性无关. 线性相关 线性无关 例如, 在(∞ , +∞ )上都有
故它们在任何区间 I 上都线性相关 线性相关; 线性相关 又如, 必需全为 0 , 若在某区间 I 上 在任何区间 I 上都 线性无关 线性无关.
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2
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例2. 设有一个电阻 R , 自感L ,电容 C 和电源 E 串 联组成的电路, 其中R , L , C 为常数 , 求电容器两两极板间电压 uc 所满足的微分方程 . R 提示: 提示 设电路中电流为 i(t), 极板 上的电量为 q(t) , 自感电动势为 EL , 由电学知
y′′ + P(x) y′ + Q(x) y = 0
的两个解, 则y = C y1(x) + C2 y2 (x) 1 也是该方程的解. (叠加原理) 证: 将 y = C1y1(x) + C2 y2 (x) 代入方程左边, 得
′′ ′′ ′ ′ [C1y1 +C2 y2 ] + P(x)[C1y1 +C2 y2 ]
复习: 复习 一阶线性方程 y′ + P(x) y = Q(x) ∫ P( x) d x ∫ P( x) d x ∫ P(x) d x dx +e 通解: y = C e ∫ Q(x) e 齐次方程通解Y 非齐次方程特解 y
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二,线性齐次方程解的结构
定理1. 函 定理 若 数 y1(x), y2 (x) 是二阶线性齐次方程
(Y′′ + y *′′ ) + P(x) (Y′ + y *′ )+ Q(x) (Y + y *) + (Y′′ + P(x)Y′ + Q(x)Y)
= f (x) + 0 = f (x)
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故 y = Y(x) + y *(x) 是非齐次方程的解, 又Y 中含有
两个独立任意常数, 因而 ② 也是通解 . 例如, 例如 方程 对应齐次方程 有特解 有通解
y = y1(x) v1(x) + y2 (x) v2 (x)
只有一个必须满足的条件即方程③, 因此必需再附加一 个条件, 方程⑤的引入是为了简化计算.
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情形2. 情形 仅知③的齐次方程的一个非零特解 y1(x).
令 y = u(x) y1(x) , 代入 ③ 化简得
′ ′′ ′ y1 u′′ + (2y1 + P y1)u′ +( y1 + Py1 + Qy1)u = f 令 z = u′ ′ y1 z′ + (2y1 + P y1) z = f
第七节 高阶线性微分方程解的结构
一,二阶线性微分方程举例
第十二章
二,线性齐次方程解的结构 三,线性非齐次方程解的结构 *四,常数变易法 四
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上页下页Biblioteka 返回结束一,二阶线性微分方程举例
例1. 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上, 当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态, 若用手向 下拉物体使它离开平衡位置后放开, 物体在弹性力与阻 力作用下作往复运动, 阻力的大小与运动速度 成正比, 方向相反. 建立位移满足的微分方程. 解: 取平衡时物体的位置为坐标原点, 建立坐标系如图. 设时刻 t 物位移为 x(t). (1) 自由振动情况. 物体所受的力有: 弹性恢复力
Y = C1x + C2ex , 求 (x 1) y′′ x y′ + y = (x 1)2 的通解. x 1 y′ + y = x 1 解: 将所给方程化为: y′′ x 1 x 1 x 令 y = xv1(x) + e v2 (x), 利用⑤,⑥建立方程组: ′ + exv2 = 0 ′ xv1 ′ ′ v1 +exv2 = x 1 ′ = 1, v2 = x ex , 积分得 ′ 解 v1 得 v1 = C1 x, v2 = C2 (x +1) ex
故所求通解为 y = C1x + C2 ex (x2 + x +1) ′ ′
= C1x + C2ex (x2 +1)
证毕
Y = C1 cos x + C2 sin x
因此该方程的通解为
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定理 4.
分别是方程
y′′ + P(x) y′ + Q(x) y = fk (x) (k =1, 2,L, n)
的特解, 是方程
y′′ + P(x) y′ + Q(x) y = ∑ fk (x)
k =1
n
的特解. (非齐次方程之解的叠加原理) 定理3, 定理4 均可推广到 n 阶线性非齐次方程.
例如, 是某二阶齐次方程的解, 则 也是齐次方程的解 但是 并不是通解 为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念.
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定义: 定义 设 y1(x), y2 (x),L, yn (x) 是定义在区间 I 上的 n 个函数, 若存在不全为 0 的常数 不全为 使得
则根据二次多项式至多只有两个零点 , 可见
两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件 充要条件: 充要条件 使 存在不全为 0 的 线性相关
线性无关 线性无关
y1(x) k2 ( 无妨设 ≡ y2 (x) k1 k1 ≠ 0 ) y1(x) 常数 y2 (x)
(证明略)
思考: 思考 必线性 相关
中有一个恒为 0, 则
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定理 2.
是二阶线性齐次方程的两个线
性无关特解, 则 y = C1y1(x) + C2 y2 (x) 数) 是该方程的通解. (自证) 有特解 例如, 例如 方程 y2 = tan x 常数, 故方程的通解为 y
1
且
推论. 推论
是 n 阶齐次方程
的 n 个线性无关解, 则方程的通解为
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定理 5. 给定 n 阶非齐次线性方程 是对应齐次方程的 n 个线性 无关特解, 的通解为 是非齐次方程的特解, 则非齐次方程
= Y(x) + y(x)
齐次方程通解 非齐次方程特解
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例3. 设线性无关函数 都是二阶非齐次线 性方程 y′′ + P(x) y′ + Q(x) y = f (x)的解, C ,C2 是任意 1 常数, 则该方程的通解是 ( D ).
将以上结果代入方程 ①:
y1, y2 是对应
齐次方程的解
′ ′ ′ ′ ′′ ′ y1v1 + y2v2 + ( y1 + P y1 + Qy1)v1
得
′′ ′ + ( y2 + P y2 + Qy2 )v2 = f (x)
′ ′ ′ ′ y1v1 + y2v2 = f (x)
于是得 积分得:
1 ′ v1 = y2 f , W
1 ′ v2 = y1 f W
v1 = C1 + g1(x), v2 = C2 + g2 (x)
代入③ 即得非齐次方程的通解:
y = C1y1 + C2 y2 + y1g1(x) + y2g2 (x)
说明: 说明 将③的解设为
y(0) =1, y′(0) = 3 的特解 .
解: y2 y1 与y3 y1 是对应齐次方程的解, 且 y2 y1 ex x = 2x ≠ 常数 y3 y1 e x 因而线性无关, 故原方程通解为
y = C1(ex x) + C2 (e2x x) +
代入初始条件 y(0) =1, y′(0) = 3, 得C1 = 1, C2 = 2, 故所求特解为 y = 2e2x ex .
i E~
d uC duC Em 2 + 2β +ω0 uC = sinω t 2 dt LC dt 如果电容器充电后撤去电源 ( E = 0 ) , 则得
d2uC duC + 2β +ω02uC = 0 2 dt dt
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2
+q q K ‖
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例1
例2 方程的共性 — 可归结为同一形式:
y = C1y1 +L+ Cn yn (Ck为 意 数) 任 常
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三,线性非齐次方程解的结构
定理 3. 设 y *(x) 是二阶非齐次方程 ① 的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解, 则 y = Y(x) + y *(x) ② 是非齐次方程的通解 . 证: 将 y = Y(x) + y *(x) 代入方程①左端, 得
设其通解为 积分得
(一阶线性方程)
z = C2Z(x) + z(x) u = C1 + C2U(x) + u(x)
由此得原方程③的通解:
y = C1y1(x) + C2U(x) y1(x) + u(x) y1(x)
代入③ 目录 上页 下页 返回 结束
例5. 已知齐次方程 (x 1) y′′ x y′ + y = 0 的通解为
则称这 n个函数在 I 上线性相关 否则称为线性无关 线性相关, 线性无关. 线性相关 线性无关 例如, 在(∞ , +∞ )上都有
故它们在任何区间 I 上都线性相关 线性相关; 线性相关 又如, 必需全为 0 , 若在某区间 I 上 在任何区间 I 上都 线性无关 线性无关.
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2
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例2. 设有一个电阻 R , 自感L ,电容 C 和电源 E 串 联组成的电路, 其中R , L , C 为常数 , 求电容器两两极板间电压 uc 所满足的微分方程 . R 提示: 提示 设电路中电流为 i(t), 极板 上的电量为 q(t) , 自感电动势为 EL , 由电学知
y′′ + P(x) y′ + Q(x) y = 0
的两个解, 则y = C y1(x) + C2 y2 (x) 1 也是该方程的解. (叠加原理) 证: 将 y = C1y1(x) + C2 y2 (x) 代入方程左边, 得
′′ ′′ ′ ′ [C1y1 +C2 y2 ] + P(x)[C1y1 +C2 y2 ]
复习: 复习 一阶线性方程 y′ + P(x) y = Q(x) ∫ P( x) d x ∫ P( x) d x ∫ P(x) d x dx +e 通解: y = C e ∫ Q(x) e 齐次方程通解Y 非齐次方程特解 y
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二,线性齐次方程解的结构
定理1. 函 定理 若 数 y1(x), y2 (x) 是二阶线性齐次方程
(Y′′ + y *′′ ) + P(x) (Y′ + y *′ )+ Q(x) (Y + y *) + (Y′′ + P(x)Y′ + Q(x)Y)
= f (x) + 0 = f (x)
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故 y = Y(x) + y *(x) 是非齐次方程的解, 又Y 中含有
两个独立任意常数, 因而 ② 也是通解 . 例如, 例如 方程 对应齐次方程 有特解 有通解
y = y1(x) v1(x) + y2 (x) v2 (x)
只有一个必须满足的条件即方程③, 因此必需再附加一 个条件, 方程⑤的引入是为了简化计算.
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情形2. 情形 仅知③的齐次方程的一个非零特解 y1(x).
令 y = u(x) y1(x) , 代入 ③ 化简得
′ ′′ ′ y1 u′′ + (2y1 + P y1)u′ +( y1 + Py1 + Qy1)u = f 令 z = u′ ′ y1 z′ + (2y1 + P y1) z = f
第七节 高阶线性微分方程解的结构
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二,线性齐次方程解的结构 三,线性非齐次方程解的结构 *四,常数变易法 四
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例1. 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上, 当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态, 若用手向 下拉物体使它离开平衡位置后放开, 物体在弹性力与阻 力作用下作往复运动, 阻力的大小与运动速度 成正比, 方向相反. 建立位移满足的微分方程. 解: 取平衡时物体的位置为坐标原点, 建立坐标系如图. 设时刻 t 物位移为 x(t). (1) 自由振动情况. 物体所受的力有: 弹性恢复力
Y = C1x + C2ex , 求 (x 1) y′′ x y′ + y = (x 1)2 的通解. x 1 y′ + y = x 1 解: 将所给方程化为: y′′ x 1 x 1 x 令 y = xv1(x) + e v2 (x), 利用⑤,⑥建立方程组: ′ + exv2 = 0 ′ xv1 ′ ′ v1 +exv2 = x 1 ′ = 1, v2 = x ex , 积分得 ′ 解 v1 得 v1 = C1 x, v2 = C2 (x +1) ex
故所求通解为 y = C1x + C2 ex (x2 + x +1) ′ ′
= C1x + C2ex (x2 +1)
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Y = C1 cos x + C2 sin x
因此该方程的通解为
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定理 4.
分别是方程
y′′ + P(x) y′ + Q(x) y = fk (x) (k =1, 2,L, n)
的特解, 是方程
y′′ + P(x) y′ + Q(x) y = ∑ fk (x)
k =1
n
的特解. (非齐次方程之解的叠加原理) 定理3, 定理4 均可推广到 n 阶线性非齐次方程.
例如, 是某二阶齐次方程的解, 则 也是齐次方程的解 但是 并不是通解 为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念.
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定义: 定义 设 y1(x), y2 (x),L, yn (x) 是定义在区间 I 上的 n 个函数, 若存在不全为 0 的常数 不全为 使得
则根据二次多项式至多只有两个零点 , 可见
两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件 充要条件: 充要条件 使 存在不全为 0 的 线性相关
线性无关 线性无关
y1(x) k2 ( 无妨设 ≡ y2 (x) k1 k1 ≠ 0 ) y1(x) 常数 y2 (x)
(证明略)
思考: 思考 必线性 相关
中有一个恒为 0, 则
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定理 2.
是二阶线性齐次方程的两个线
性无关特解, 则 y = C1y1(x) + C2 y2 (x) 数) 是该方程的通解. (自证) 有特解 例如, 例如 方程 y2 = tan x 常数, 故方程的通解为 y
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且
推论. 推论
是 n 阶齐次方程
的 n 个线性无关解, 则方程的通解为
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定理 5. 给定 n 阶非齐次线性方程 是对应齐次方程的 n 个线性 无关特解, 的通解为 是非齐次方程的特解, 则非齐次方程
= Y(x) + y(x)
齐次方程通解 非齐次方程特解
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例3. 设线性无关函数 都是二阶非齐次线 性方程 y′′ + P(x) y′ + Q(x) y = f (x)的解, C ,C2 是任意 1 常数, 则该方程的通解是 ( D ).
将以上结果代入方程 ①:
y1, y2 是对应
齐次方程的解
′ ′ ′ ′ ′′ ′ y1v1 + y2v2 + ( y1 + P y1 + Qy1)v1
得
′′ ′ + ( y2 + P y2 + Qy2 )v2 = f (x)
′ ′ ′ ′ y1v1 + y2v2 = f (x)