2015年高二数学综合测试卷(一)

《金太阳作业网》编制12015年高二数学综合测试卷（一）2-1，2-2.2-3.3一、单项选择1. 已知i 是虚数单位，则2(1i)+=( ) A ．2i B ．2i - C ．2i + D ．2i -2. 计算：=+⎰-22)2(sin dx x （ ）A ．－1B ．1C ．8D ．－83. 函数f(x)＝x 2在区间上 ( )．A ．f(x)的值变化很小B ．f(x)的值变化很大C ．f(x)的值不变化D ．当n 很大时，f(x)的值变化很小 4. 函数y=x 2cosx 的导数为（ ） A ．y ′=2xcosx －x 2sinx B ．y ′=2xcosx+x 2sinx C ．y ′=x 2cosx －2xsinx D ．y ′=xcosx －x 2sinx5. 设函数()f x 及其导函数()f x '都是定义在R 上的函数，则“1212,,x x x x ∀∈≠R 且，1212()()f x f x x x -<-”是“,()1x R f x '∀∈<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6. 已知函数有两个极值点，若，则关于x 的方程的不同实根个数为（ ）A ．4B ．4C ．5D ．6 7. 已知抛物线22y px =(0)p >，过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于,A B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为（ ）A ．1x =B ．2x =C ．1x =-D ．2x =- 8. 条件:P “1x <”，条件:q “()()210x x +-<”，则P 是q 的（ ） A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件 (C) 充要条件 D ．既不充分也不必要条件 9. 设曲线()1*n y x n N +=∈在点()1,1 处的切线与x 轴的交点横坐标为n x ，则201412014220143l o g l o g l o g l o g x x x x +++的值为( ) A ．2014log 2013- B ．1- C ．20141log 2013-+ D ．110. =-+2005)11(ii （ ） A ．i B ．－i C ．20052 D ．－20052 11. 由曲线和曲线所围成的封闭图形的面积为（ ）A.14 B.512 C. 23D.11212. 设复数Z 满足i Z i 2)3(=⋅-，则|Z |=（ ） ABC ．1D ．2二、填空题13. 已知函数()f x 的图像在点(2,(2))M f 处的切线方程是240x y -+=，则'(2)(2)f f +=_____．14. 如图，在平面直角坐标系xoy 中，点A 为椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点，B 、C 在椭圆上，若四边形OABC 为平行四边形，且∠OAB＝30°，则椭圆E 的离心率等于 ．15. 我们把形如y ＝f(x)φ(x)的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边求对数得ln y ＝φ(x)lnf(x)，两边求导得y y '＝φ′(x)²ln f(x)＋φ(x)²()()f x f x '，于是y′＝f(x)φ(x)[φ′(x)²ln f(x)＋φ(x)²()()f x f x ']．运用此方法可以探求得y ＝x 1x 的单调递增区间是________．16. 抛物线y 2＝2px 与直线ax ＋y －4＝0的一个交点为(1，2)，则抛物线的焦点到该直线的距离是________． 三、解答题17. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－且S n ＋＋2＝a n (n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式．18. 在曲线y ＝x 3＋x －1上求一点P ，使过P 点的切线与直线y ＝4x －7平行．19. 已知双曲线与椭圆+=1有相同的焦点，且与椭圆的一个交点的纵坐标为4，求双曲线的方程.20. 设命题p ：函数f(x)＝lg(ax 2－4x ＋a)的定义域为R ；命题q ：不等式2x 2＋x>2＋ax ，在x ∈(－∞，－1)上恒成立，如果命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a 的取值范围．281. 已知函数(1)()ln ,()k x f x x x g x x-==． (I)当k e =时，求函数()()()h x f x g x =-的单调区间和极值；； (Ⅱ) 若()()f x g x ≥恒成立，求实数k 的值.22. 已知椭圆＋＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1和F 2，由四个点M(－a ，b)、N(a ，b)、F 2和F 1组成了一个高为，面积为3的等腰梯形． (1)求椭圆的方程；(2)过点F 1的直线和椭圆交于两点A ，B ，求△F 2AB 面积的最大值．参考答案一、单项选择 1.【答案】A 2.【答案】C【解析】根据积分公式=+⎰-22)2(sin dx x 8)42cos ()42cos ()2cos (22=+---++-=++--C C C x x考点：定积分运算；3.【答案】D 【解析】当n 很大时，区间的长度越来越小，f(x)的值变化很小，故选D.4.【答案】A 【解析】()22co 2cos sin y x sx x x x x ''==-5.【答案】C 【解析】由前边的命题成立能推出后边的命题成立，由后边的命题成立也能推出前边的命题成立，由此可得结论． 解答：解：由于lim lim0)(012)('→-→∆=∆∆=x x x x yx f 1212()()f x f x x x --，故|f′（x ）|=lim 0)(12→-x x 1212|()()|||f x f x x x --． 由“1212,,x x x x ∀∈≠R 且，1212()()f x f x x x -<-”，利用函数的导数的定义，可推出|f′（x ）|＜1， 故成分性成立．再由“∀∀x∈R，|f′（x ）|＜1”，可得“1212,,x x x x ∀∈≠R 且，1212()()f x f x x x -<-”成立， 故必要性成立．综上可得，“1212,,x x x x ∀∈≠R 且，1212()()f x f x x x -<-”是“∀∀x∈R，|f′（x ）|＜1”的充要条件， 故选C ． 6.【答案】A7.【答案】C 【解析】设直线方程⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=-210p x y ，得2p x y +-=代入抛物线方程得px x p 222=⎪⎭⎫⎝⎛-化简的04322=+-p px x ，32321⋅==+p x x ，2=∴p ，准线方程2p x -=1-= 8.【答案】A9.【答案】B10.【答案】A 【解析】21(1)2,1(1)(1)2i i ii i i i ++===--+2005200421002().i i i i i i =⨯=⨯=故选A11.【答案】B 12.【答案】C 二、填空题13.【答案】72【解析】因为切点(2,(2))M f 在切线240x y -+=上，则22(2)40f -+=，(2)3f =，由导数的几何意义，得'1(2)2f =，故'(2)(2)f f +=72．14.【答案】322 【解析】∵AO 是与X 轴重合的，且四边形OABC 为平行四边形，∴BC∥OA，B 、C 两点的纵坐标相等，B 、C 的横坐标互为相反数，∴B、C 两点是关于Y 轴对称的．由题知：OA=a ，四边形OABC为平行四边形，所以BC=OA=a可设a a B y C y 22-（，）（，）代入椭圆方程解得：y b 2=， 设D 为椭圆的右顶点，因为∠OAB=30°，四边形OABC 为平行四边形，所以∠COD=30°对C点：2tan30a 32?=，解得：a=3b ，根据：222a c b =+得：222a a c 9=+，28e ,e 93==，故答案为：3． 【思路点拨】首先利用椭圆的对称性和OABC 为平行四边形，可以得出B 、C 两点是关于Y 轴对称，进而得到BC=OA=a ；设a aB yC y 22-（，）（，），从而求出|y|，然后由∠OAB=∠COD=30°，利用2tan30a 2?a=3b ，最后根据222a c b =+得出离心率． 15.【答案】(0，e)【解析】由题意知y ′＝x 1x (－21x ln x ＋1x ²1x )＝x 1x ²21x (1－ln x)，x>0，21x>0，x 1x >0，令y′>0，则1－ln x>0，所以0<x<e.16.【答案】【解析】由交点坐标为(1，2)，求得a 、p 的值，利用点到直线距离求得焦点到该直线的距离为. 三、解答题17.【答案】n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，∴S n＋＋2＝S n －S n －1，∴＋S n －1＋2＝0.当n ＝1时，S 1＝a 1＝－；当n ＝2时，＝－2－S 1＝－，∴S 2＝－； 当n ＝3时，＝－2－S 2＝－，∴S 3＝－； 当n ＝4时，＝－2－S 3＝－，∴S 4＝－. 猜想：S n ＝－ (n ∈N ＋)． 18.【答案】∵y ′＝3x 2＋1. ∴3x ＋1＝4，∴x 0＝±1.《金太阳作业网》编制2当x 0＝1时，y 0＝1，此时切线为y －1＝4(x －1) 即y ＝4x －3与y ＝4x －7平行． ∴点为P(1,1)，当x 0＝－1时，y 0＝－3，此时切线y ＝4x ＋1也满足条件． ∴点也可为P(－1，－3)，综上可知点P 坐标为(1,1)或(－1，－3)．19.【答案】方法一：椭圆的焦点为F 1(0，-3)，F 2(0，3)，故可设双曲线方程为-=1(a>0，b>0)，且c=3，a 2+b 2=9.由条件知，双曲线与椭圆的一个交点的纵坐标为4，可得两交点的坐标为A(，4)，B(-，4)，由点A 在双曲线上，即-=1.解方程组得∴所求双曲线的方程为-=1.方法二：由已知得双曲线的两焦点分别为F 1(0，-3)，F 2(0，3). 设双曲线的方程为-=1(a>0，b>0)，∵双曲线与椭圆有一交点纵坐标为4， ∴它们的一个交点为A(，4).∵=2a ，∴将A ，F 1，F 2的坐标代入得a=2. 又∵c=3，∴b 2=c 2-a 2=5. 20.【答案】[1,2]解：p ：Δ<0且a>0，故a>2；q ：a>2x －2x＋1对∀x ∈(－∞，－1)恒成立， 设g(x)＝2x －2x＋1，则g(x)在(－∞，－1)上单调递增，g(x)<1，故a≥1.“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，等价于p ，q 一真一假． 故1≤a≤2，则实数a 的取值范围为[1,2]．21.【答案】⑴函数()h x 的减区间为(0,)e ,增区间为(,)e +∞,极小值为2e -,无极大值. ⑵当且仅当1k =时,()0h x ≥成立,即1k =为所求. 【解析】⑴注意到函数()f x 的定义域为(0,)+∞,(1)()ln (0)k x h x x x x-=->, 当k e =时, 221()e x eh x x x x-'=-=,若0x e <<,则()0h x '<;若x e >,则()0h x '>.所以()h x 是(0,)e 上的减函数,是(,)e +∞上的增函数, 故min ()()2h x h e e ==-,故函数()h x 的减区间为(0,)e ,增区间为(,)e +∞,极小值为2e -,无极大值.⑵由⑴知221()k x k h x x x x-'=-=, 当0k ≤时,()0h x '>对0x >恒成立,所以()h x 是(0,)+∞上的增函数, 注意到(1)0h =,所以01x <<时,()0h x <不合题意. 当0k >时,若0x k <<,()0h x '<;若x k >,()0h x '>. 所以()h x 是(0,)k 上的减函数,是(,)k +∞上的增函数, 故只需min ()()ln 10h x h k k k ==-+≥. 令()ln 1(0)u x x x x =-+>,11()1xu x x x-'=-=,当01x <<时,()0u x '>; 当1x >时,()0u x '<. 所以()u x 是(0,1)上的增函数,是(1,)+∞上的减函数. 故()(1)0u x u ≤=当且仅当1x =时等号成立.所以当且仅当1k =时,()0h x ≥成立,即1k =为所求.22.【答案】(1)由条件，得b ＝，且³＝3，所以a ＋c ＝3.又a 2－c 2＝3，解得a ＝2，c ＝1.所以椭圆的方程＋＝1.(2)显然，直线的斜率不能为0，设直线方程为x ＝my －1，直线与椭圆交于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．联立方程消去x ，得(3m 2＋4)y 2－6my －9＝0，因为直线过椭圆内的点，无论m 为何值，直线和椭圆总相交．y ＝.∴y 1＋y 2＝，y 1y 2＝－.S △F 2AB ＝|F 1F 2||y 1－y 2|＝|y 1－y 2| ＝＝12＝4＝4，令t ＝m 2＋1≥1，设y ＝t ＋，易知t ∈时，函数单调递减，t ∈函数单调递增，所以当t ＝m 2＋1＝1，即m ＝0时，y min＝.S △F 2AB 取最大值3.。