2020-2021厦门市高二数学上期末试题(附答案)
福建省厦门市2020-2021学年高二上学期期末质量检测数学(理)试题
【市级联考】福建省厦门市2020-2021学年高二上学期期末质量检测数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知命题“p q ∨”为真，“p ⌝”为真，则下列说法正确的是（ ）A ．p 真q 真B ．p 假q 真C ．p 真q 假D ．p 假q 假 2．双曲线2241x y -=的渐近线方程是（ ）A ．14y x =±B ．12y x =±C ．2y x =±D ．4y x =± 3．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若525S =，3718a a +=，则{}n a 的公差d 等于（ ）A ．-2B ．0C ．1D ．24．若实数x ，y 满足约束条件20,0,10,x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩则2z x y =+的最大值是（ ）A ．-7B ．-1C ．1D ．35．若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是（ ）A ．22a b a <+<B ．22a b a +<<C ．22a b a +<<D ．22a a b <<+ 6．如图在平行六面体1111ABCD A B C D -中，E 为11A D 的中点，设AB a =，AD b =，1AA c =，则CE =（ ）A ．12a b c --+B ．12a b c -+C ．12a b c --D ．12a b c +- 7．在ABC ∆中，30B ∠=，AB =2AC =，则ABC ∆的面积是（ ） AB．CD．8．已知:12p x -≤<，2:21q a x a ≤≤+，若p 是q 的必要条件，则实数a的取值范围是（ ）A ．1a ≤-B ．112a -<≤-C ．112a -<≤D ．112a -≤< 9．已知01a <<，则141a a +-的最小值是（ ） A ．4 B ．8 C ．9 D ．1010．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若1111a =，112n n n a S S ++=⋅，则n S 的最大值为（ ） A ．-1 B ．13C ．1D ．2 11．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AB AD ⊥，2AD AP ==，1AB BC ==，点E 是棱PD 的中点，PC 与平面ABE 交D 于点F ，设PF PC λ=,则λ=（ ）A ．512B ．12C ．23D ．3412．光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出.如图，一个光学装置由有公共焦点1F ，2F 的椭圆Γ与双曲线'Γ构成，现一光线从左焦点1F 发出，依次经'Γ与Γ反射，又回到了点1F ，历时1t 秒；若将装置中的'Γ去掉，此光线从点1F 发出，经Γ两次反射后又回到了点1F ，历时2t 秒；若214t t =，则Γ与'Γ的离心率之比为（ ）A ．B ．1:2C ．2:3D ．3:4二、填空题13．对任意x ∈R ，都有20x x m ++>，则实数m 的取值范围是______.14．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为60︒和30︒，如果这时气球的高是30米，则河流的宽度BC 为______米.15．已知点1,0A ，M ，N 分别是x 轴、y 轴上的动点，且满足0AN MN ⋅=.若点P 满足2MP NP =，则点P 的轨迹方程是______.16．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若13a =，122n n n a a -=+，212n n n a a +=-，则12S 等于______.三、解答题17．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c cos sin B b A =.（1）求角B 的大小；（2）AD 是BC 边上的中线，若AD AB ⊥，2AB =，求AC 的长.18．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，a 1+a 3=10，S 4=30.（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若a n =2a n b n ，求数列{b n }的前n 项和T n .19．如图，四边形ABEF 是矩形，//AD BC ，AB BC ⊥，且2AB BC ==，1AD AF ==，3CF =（1）证明：AF ⊥平面ABCD ；（2）求二面角A DF C --的余弦值.20．设O 为坐标原点，抛物线C:y 2=2px (p >0)的焦点为F ，点M (a,4)在C 上，|MF |=4.（1）求C 的方程；（2）过点F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，若l 与圆H:(x −1)2+y 2=14相切，求ΔAOB 的面积21．某公司计划在办公大厅建一面长为a 米的玻璃幕墙.先等距安装x 根立柱，然后在相邻的立柱之间安装一块与立柱等高的同种规格的玻璃.一根立柱的造价为6400元，一块长为m 米的玻璃造价为()250100m m +元.假设所有立柱的粗细都忽略不计，且不考虑其他因素，记总造价为y 元（总造价=立柱造价+玻璃造价）.（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）当56a =时，怎样设计能使总造价最低？22．已知椭圆22221(0)x y a b a bΓ+=>>：的左焦点为1F ，右顶点为()2,0B，1BF .（1）求Γ的方程；（2）过点1F 且与x 轴不重合的直线l 与Γ交于M ，N 两点，直线BM ，BN 分别与直线:(0)l x m m <'=交于P ，Q 两点，且以PQ 为直径的圆过点1F .（ⅰ）求l '的方程；（ⅱ）记BMN ∆，1F PQ ∆的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的取值范围.参考答案1．B【解析】【分析】根据逻辑或真假判断的真值表， p 是假命题，又“p q ∨”为真命题，进而可得q 是真命题．【详解】 解：命题“p ∨q ”和命题“非p ”均为真命题，p ∴为假命题，q 为真命题，故选B ．【点睛】本题考查的知识点是复合命题的真假判断，熟练掌握复合命题真假判断的真值表是解答的关键．2．B【解析】【分析】利用双曲线的方程直接求解渐近线方程即可．【详解】解：双曲线2244x y -=即2214x y -=，其中a=2，b=1， 故其渐近线方程是：12b y x x a =±=±． 故选B ．【点睛】 本题考查双曲线的简单性质，渐近线方程的求法，是基础题．3．D【解析】【分析】根据题意，由等差数列的前n 项和公式可得123453525a a a a a a ++++==，解可得35a =，又由3718a a +=，可得713a =，由等差数列的通项公式分析可得答案．【详解】解：根据题意，等差数列{}n a 中，若525S =，即123453525a a a a a a ++++==， 则35a =，又由3718a a +=，则713a =，则等差数列{}n a 的公差7324a a d -==； 故选D【点睛】本题考查等差数列的性质以及前n 项和的性质，注意等差数列通项公式的应用，属于基础题． 4．C【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求最大值．【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分），由2z x y =+得2y x z =-+，平移直线2y x z =-+，由图象可知当直线2y x z =-+经过点A 时，直线2y x z =-+的截距最大，此时z 最大．由201x y y -+=⎧⎨=-⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩，解得(1,1)A -， 代入目标函数2z x y =+得2411z =⨯-=．即目标函数2z x y =+的最大值为1．故选C ．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．5．A【解析】【详解】根据基本不等式，2a b +≥=,又a ≠b,2a b ∴+>;由a>b ，易知a+b<a+a=2a,故22a b a <+<.故选A.【点睛】本题考查了基本不等式的应用，属于简单题．6．A【分析】由空间向量的线性运算法则可得1111CE CC C D D E =++，再根据平行六面体的性质即可得解.【详解】由题意结合平行六面体的性质可得1111CE CC C D D E =++111111111222CC C D D A AA AB AD a b c =++=--=--+. 故选：A.【点睛】本题考查了空间向量的线性运算，属于基础题.7．C【分析】先根据正弦定理求出角C ，从而求出角A ，再根据三角形的面积公式1sin 2S bc A =进行求解即可．【详解】解：由c AB ==，2b AC ==，30B ∠=︒， 根据正弦定理sin sin b c B C =得：1sin 2sin 2c B C b ===， C ∠为三角形的内角，60C ∴∠=︒或120︒，90A ∴∠=︒或30在ABC ∆中，由c =，2b =，90A ∠=︒或30则ABC ∆面积1sin 2S bc A ==故选C.【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．8．D【分析】根据p 是q 的必要条件，列不等式方程确定实数a 的取值范围．【详解】解：设满足p 的实数集合为M,满足q 的实数集合为N ， p 是q 的必要条件⇒N M ，即21221a a -≤⎧⎨>+⎩解得112a -≤<. 故选D.【点睛】本题考查必要条件的定义，属于基础题.9．C进行等式变换后，根据基本不等式求解.【详解】由01a <<，根据基本不等式，()()4114141559111a a a a a a a a a a -⎛⎫⎡⎤+=-++=++≥+= ⎪⎣⎦---⎝⎭. 当且仅当()411a a a a-=-，即23a =时有最小值9. 故选C.【点睛】本题主要考查基本不等式的运用．属于基础题.10．C【分析】 由11n n n a S S ++=-，将已知项变形得1n n S S +-=12n n S S +⋅，同除以1n n S S +-⋅，可得出1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，从而得出n S ，再利用单调性即可得解.【详解】 解：112n n n a S S ++=⋅∴1n n S S +-=12n n S S +⋅，等号两侧同除以1n n S S +-⋅，得到1112n nS S +-=-, 又11111a S ==, 1n S ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是以11为首项，以-2为公差的等差数列.故 ()11121132nn n S =--=-， 1132n S n∴=-，由单调性可知，当n=6时，n S 的最大值为1. 故选C.本题考查了数列n S 与n a 的关系和运算能力，考查了函数单调性，属于中档题. 11．C【解析】【分析】将平面ABE 延展,再利用三角形相似得出点F 位置，从而得解.【详解】解：过点D 作垂直于平面ABCD 的直线交AE 延长线于点M ，连接MP 、MB ， 由题意知PA ⊥平面ABCD ，PA=AD,且E 为DP 中点，所以四边形MPAD 为正方形，////BC AD MP ∴,∴M,P,B,C 四点共面，MB 与PC 交与点F.MPF BCF ∴∆∆∽12CF BC BC FP MP AD ∴===,∴F 为PC 三等分点(靠近点C) 又PF PC λ=， 23PF PC ∴=λ=. 故选C.【点睛】本题考查平面延展和三角形相似，属于中档题.12．B【分析】根据椭圆和双曲线的定义，分别列出关系式再做差，得出椭圆双曲线“复合”光学装置中光线路程；然后计算单椭圆光学装置中光线路程，两者相比可得出椭圆长半轴和双曲线实半轴的关系，即可得两离心率的关系. 【详解】解：如图，由双曲线定义得：212BF BF m -= ①，由椭圆定义得：212AF AF a += ②， ②-①得：1122BA AF BF a m ++=-；所以椭圆双曲线“复合”光学装置中，光线从出发到回到左焦点走过的路程为22a m - 对于单椭圆光学装置，光线经过2次反射后回到左焦点，路程为()()1112124AF AB BF AF AF BF BF a ++=+++=；由于两次光速相同，路程比等于时间比，所以()4422a a m =-，所以2a m =. 所以12:::1:2c ce e m a a m===. 故选B. 【点睛】本题考查对圆锥曲线的定义的掌握与应用能力、识图能力、阅读及文字理解能力，属于基础题. 13．14m >【分析】根据不等式转化为方程，根据判别式求解.根据题意，m 需满足方程2x x m ++=0无解，即∆<0，140m -<14m ⇒>故答案为14m >. 【点睛】本题考查了一元二次不等式及其方程与判别式的关系，属于基础题.14．【分析】由题意画出图形，利用特殊角的三角函数，可得答案． 【详解】解：由题意可知30C ∠=︒，30BAC ∠=︒，30DAB ∠=︒，30AD m =， 30cos30BC AB ∴===︒．故答案为【点睛】本题给出实际应用问题，着重考查了三角函数的定义，属于简单题． 15．24y x = 【解析】 【分析】设点M,N,P 三点坐标，根据平面向量垂直特性，列出方程可得结果. 【详解】解：设点M 坐标（a,0），N 坐标（0，b ），点P 坐标（x,y ）,则AN =（-1，b ），MN =（-a,b ），∴AN MN ⋅=20a b +=⇒2a b =-， 而MP =(),x a y -,NP =(),x y b -,2MP NP =⇒()22()x x a y b y⎧=-⎨-=⎩⇒2x ay b =-⎧⎨=⎩,代入2a b =-可得24y x =. 故答案为24y x =.本题考查了平面向量垂直的乘积和点的轨迹方程的求法，属于简单题. 16．131 【解析】 【分析】根据122132n n n a a -++=⋅计算得出11S ，再依次计算出3612,,a a a 的值，遂得出12S 的值.【详解】解：根据122132n n n a a -++=⋅，()()()()24511123451011331222 3.296S a a a a a a a =+++++++=+++++==，12632a a =+，634a a =+，3121a a =-=-，从而1235a =，12131S =.故答案为131. 【点睛】本题考查了数列递推式的运用和运算能力，属于中档题.17．（1）3π（2）【解析】 【分析】（1cos sin sin A B B A =，由于sin 0A ≠，可得：tan B =()0,B π∈，可求B 的值．（2）由三角形面积公式可求2b ac =，进而利用余弦定理可得222ac a c =+，即可解得ac的值． 【详解】解：（1）在ABC ∆cos sin B b A =cos sin sin A B B A =， ∵()0,A π∈，∴sin 0A ≠，sin B B =，即tan B =∵()0,B π∈，∴3B π=.（2）在ABD ∆中，AB AD ⊥，2AB =，3B π=，∴2cos60AB BD BD︒==， ∴4BD =，∵AD 是ABC ∆的中线，∴8BC =，在ABC ∆中，由余弦定理得AC=【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 18．（1）a n =2n （2）T n =2−n+22n【解析】 【分析】（1）由已知得到a 2+a 4的值，再利用q =a 2+a4a 1+a 3得出q 的值，进而得到a 1的值，即得到数列的通项；（2）由（1）可得到b n ，再利用错位相减，可得解. 【详解】解：（1）∵a 1+a 3=10，S 4=30，∴a 2+a 4=20，∴q =a 2+a4a 1+a 3=2，∴a 1+a 3=a 1+a 1q 2=5a 1=10，即a 1=2， ∴数列{a n }的通项公式为a n =2n .（2）由a n =2a n b n 得2n =2a n b n ，即a n b n =n ，∴b n =n2n ，∴T n =b 1+b 2+b 3+⋯+b n−1+b n =12+222+323+⋯+n−12n−1+n2n ，①12T n =122+233+324+⋯+n−12n +n 2n+1，②由①-②得12T n =12+122+123+⋯+12n −n2n+1， ∴T n =1+12+122+123+⋯+12n−1−n 2n=1−(12)n 1−12−n 2n =2−n+22n.【点睛】本题考查等比数列的通项、错位相减数列求和等知识，属于基础题. 19．（1）详见解析（2）13- 【分析】（1）根据勾股定理，求得AC 长度，结合FA,FC 长度，从而证明FA ⊥AC ，又由FA ⊥BA,故FA ⊥平面ABCD;（2）建立空间直角坐标系，根据条件求出平面ADF 和平面FCD 的法向量，利用法向量夹角余弦值可得二面角余弦值. 【详解】解：（1）∴AC ==∴(2222219AC AF CF +=+==，即222AC AF CF +=，∴90FAC ∠=︒，即FA AC ⊥. ∵四边形ABEF 为矩形，∴AF AB ⊥. ∵AB AC A ⋂=，AB ，AC ABCD ⊂平面， ∴AF ABCD ⊥平面.（2）∵//AD BC ，AB BC ⊥，∴AB AD ⊥， ∵AF AB ⊥，AF AD A ⋂=，∴AB ADF 平面⊥， ∴AB ，AD ，AF 两两互相垂直，建立如图空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()2,0,0B -，()2,2,0C -，()0,1,0D ，()0,0,1F ，∴()2,2,1FC =--，()0,1,1FD =- ∵AB ADF 平面⊥，∴平面ADF 的一个法向量()2,0,0AB =-设平面FCD 的一个法向量为(),,n x y z =，则00n FC n FD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2200x y z y z -+-=⎧⎨-=⎩， 取2y =，则1x =，2z =，()1,2,2n =， ∴221cos ,321AB n AB n AB n⋅-+===⋅+，∴二面角A DF C --的余弦值为13-. 【点睛】本题主要考査直线与平面位罝关系，利用空间向量法求二面角，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考査数形结合思想、转化与化归思想. 20．（1）y 2=8x （2）16 【解析】 【分析】（1）结合已知条件，根据抛物线定义列出方程可得解；（2）设出直线方程，与抛物线联立，结合面积公式和韦达定理即可得解. 【详解】解：（1）由抛物线定义，点M 到准线的距离a +P2=4① ∵点M 在抛物线上，∴16=2p ⋅a ② 由①②解得p =4， ∴抛物线方程为y 2=8x .（2）设直线l 方程为x =my +2，A(x 1,y1)，B(x 2,y 2)， ∵直线l 与圆(x −1)2+y 2=14相切，∴2=12，即m 2=3由{y 2=8x x =my +2 ，得y 2−8my −16=0， ∴S ΔAOB =12|OF |⋅|y 1−y 2| =√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=16.【点睛】本题主要考查抛物线的定义与标准方程，直线与抛物线、圆的位置关系，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合、函数与方程思想，属于基础题.21．（1）2100640050(,1a y x a x N x =++∈-且2)x ≥；（2）安装8根立柱时，总造价最小. 【分析】（1）分析题意，建立函数关系模型，即可得出函数关系式； （2）由（1）将函数解析式变形，根据基本不等式，即可求出最值. 【详解】解：（1）依题意可知1a x m =-，所以1am x =-， ()2506400100111a a y x x x x ⎡⎤⎛⎫=++-⎢⎥ ⎪--⎝⎭⎢⎥⎣⎦()2100640050,21a x a x N x x =++∈≥-且（2）()2210064005010064150640011a a y x a x a x x ⎡⎤=++=-+++⎢⎥--⎣⎦ ∵x N ∈，且2x ≥，∴10x ->.∴50640016506400y a a ≥+=+，当且仅当()26411a x x -=-，即18a x =+时，等号成立，又∵56a =，∴当8x =时，min 98800y =. 所以，安装8根立柱时，总造价最小. 【点睛】本题主要考查函数、基本不等式等知识：考查运算求解能力、数学应用意识；考查函数与方程、化归转化等数学思想，属于中档题.22．（1）22143x y +=；（2）（ⅰ）4x =-；（ⅱ）1(0,]2. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义，根据条件列出方程求解即可；（2）（ⅰ）设M,N 坐标分边为()11,x y ，()22,x y ，直线l 的方程为1x ty =-，结合椭圆方程可得BM 、BN 方程，并得出点P 、Q 坐标的表达式，根据圆过点1F ，故向量110F P FQ ⋅=，列方程可得m 的值；（ⅱ）由（ⅰ），将BMN ∆，1F PQ ∆的面积1S ，2S 转换为1y 、2y 的表达式，相比可得出12S S 的取值范围.【详解】解：（1）依题意得2222a a c abc =⎧⎪+=⎨⎪=+⎩，即2224c c b ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，∴)2224b -=-，解得b =∴椭圆Γ的方程为22143x y +=.（2）（ⅰ）设()11,M x y ，()22,N x y ，直线l 的方程为1x ty =-.由221143x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2243690t y ty +--=，显然0∆>，且122643t y y t +=+，122943y y t -=+， 直线BM 方程为()1122y y x x =--，直线BN 方程为()2222yy x x =--， 令x m =，得()112,2y m P m x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，()222,2y m Q m x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，∵以PQ 为直径的圆过点1F ，∴11F P F Q ⊥，∴()()()()()()()()22121211121222112233y y m y y m F P FQ m m x x ty ty --⋅=++=++----()()()()222222222229292434311369189434343m m t t m m t tt t t----++=++=++--+++++ ()()222104m m -=+-=，∴23120m m +=，解得4m =-或0m =（舍去）， ∴l '的方程为4x =-.（ⅱ）由（ⅰ），112121322BMN S BF y y y y ∆=⋅⋅-=- ()()()()112211212122266339222222F PQ P Q y x y x y y S y y x x x x ∆-----=-=-=---- ()()()212121212232727433633443y y y y t y y ty ty t --===+---+，∴122210,432BMN FPQ S S S S t ∆∆⎛⎤==∈ ⎥+⎝⎦. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位罝关系、三角形面积公式等知识，考查运算求解能力、推理论证能力：考查数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想.。
2020-2021学年厦门市高二上学期期末数学试卷(含解析)
2020-2021学年厦门市高二上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1.以下四个关于圆锥曲线的命题中：①A 、B 为两个定点，k 为非零常数，|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |−|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=k ，则动点P 的轨迹为双曲线； ②过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ，P 是AB 中点，则动点P 的轨迹为椭圆； ③方程2x 2−5x +2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； ④双曲线x 225−y 29=1与椭圆x 235+y 2=1有相同的焦点．其中正确命题的个数( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2.已知a 、b ∈R ，则“a >b >0”是“|a +2|>|b +2|”的什么条件( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.下列个抽样中，能运用简单随机抽样的是( )A. 从无数个个体中抽取50个个体作为样本B. 仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查C. 某年级从300名学生中，挑选出20名最优秀的学生参加数学竞赛D. 从全班50名学生中，任意选取5名进行家访4.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个焦点为F ，点P 是椭圆C 上的一个动点，|PF|的最小值为√3−1，且存在点P ，使得△OPF(点O 为坐标原点)为正三角形，则椭圆C 的焦距为( )A. 2B. 2√2C. 2√3D. 45.点是棱长为1的正方体内一点，且满足，则点到棱的距离为( )A.B.C.D.6.“关注夕阳，爱老敬老”，某企业从2012年开始每年向敬老院捐赠物资和现金，如表记录了该企业第x 年(2012年是第一年)捐赠的现金数y(万元)：x 3 4 5 6 y2.5344.5若由表中数据得到y关于x的线性回归方程是ŷ=mx+0.35，则可预测2019年捐赠的现金大约是()A. 5.95万元B. 5.25万元C. 5.2万元D. 5万元7. 直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(−3,3)，则其斜率的取值范围是()A. B. 或C. 或D. 或8. 过双曲线=1(a>0,b>0)的左焦点F(−c,0)作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P，O为原点，若，则双曲线的离心率为()．A. B. C. D.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 下列说法正确的有()A. 对任意的事件A，都有P(A)>0B. 随机事件A发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值C. 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0D. 若事件A⊆事件B，则P(A)≤P(B)10. 若圆C1：(x−1)2+y2=1与圆C2：x2+y2−8x+8y+m=0相切，则m的值可以是()A. 16B. 7C. −4D. −711. 给出如下数据：第一组：3，11，5，13，7，2，6，8，9．第二组：12，20，14，22，16，11，15，17，18．则这两组数据的()A. 平均数相等B. 中位数相等C. 极差相等D. 方差相等12. 已知抛物线y2=2px的准线为l，焦点为F，原点为O，过F的直线交抛物线于点M、N，M在第=3，分别过M、N作准线的垂线于P、Q，直线MN的倾斜角为α.则下列说法正确一象限．|MF||NF|的是()A. k MN=√3B. S△MON=psin2αC. M、O、Q三点共线D. 以MF为直径的圆与y轴相切三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 直线l 1：x +y =0，l 2：ax +y +1=0，若l 1//l 2，则实数a 的值为______． 14. 如图，一不规则区域内，有一边长为米的正方形，向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为375颗，以此实验数1000据为依据可以估计出该不规则图形的面积为 平方米.(用分数作答)15. 已知样本9，10，11，x ，y 的平均数是10，方差是4，x −y =______．16. 若直线x +√3y +1=0与圆x 2+y 2−2ax =0(a >0)相切，则a 的值为______． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知p ：(x +1)(x −4)≤0，q ：2−m ≤x ≤2+m(m >0)． (1)若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围；(2)若m =4，“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数x 的取值范围．18. 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品．以X(单位：t ，100≤X ≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润． (I)将T 表示为X 的函数；(II)根据直方图求利润T 不少于57 000元的频率；(Ⅲ)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值 (例如：若需求量X ∈[100,110)，则取X =105)，估计T 的平均值．19. 在平面直角坐标系中，点P 是直线l ：x =−1上的动点，定点F(1,0)，点Q 为PF 的中点，动点M 满足MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOF ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)．(1)求点M的轨迹C的方程；(2)过点F的直线交轨迹C于A，B两点，T为C上任意一点，直线TA，TB交l于C，D两点，以CD为直径的圆是否过x轴上的定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，说明理由．20. 已知抛物线E：y2=4x的焦点为F，准线为l，过焦点F的直线交抛物线E于A、B．(1)若AA1垂直I于点A1，且∠AFA1=π，求AF的长；6(2)O为坐标原点，求△OAB的外心C的轨迹方程．21. 小明为了了解气温对用电量的影响，对去年自己家的每月用电量和当地气温进行了统计.当地去年每月的平均气温如图1，小明家去年月用电量如图2．根据统计图，回答下面的问题：(1)当地去年月平均气温的最高值、最低值各为多少？相应月份的用电量各是多少？(2)请简单描述月用电量与气温之间的关系；(3)假设去年小明家用电量是所在社区家庭年用电量的中位数，据此他能否预测今年该社区的年用电量？请简要说明理由．22. 22.(本小题满分14分)已知椭圆：，若椭圆上的一动点到右焦点的最短距离为，且右焦点到直线的距离等于短半轴的长．已知点，过点的直线与椭圆交于，两点，点与点关于轴对称．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)求的取值范围；(Ⅲ)证明：直线恒过某定点．参考答案及解析1.答案：C解析：解：①A 、B 为两个定点，k 为非零常数，|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |−|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=k ，只有当k <|AB|时，则动点P 的轨迹为双曲线，因此不正确；②过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ，P 是AB 中点，则动点P 的轨迹为圆，不正确； ③方程2x 2−5x +2=0的两根分别为12，2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，正确； ④由双曲线x 225−y 29=1可得c =√34，其焦点为(±√34,0)，椭圆x 235+y 2=1的焦点为(±√34,0)，因此有相同的焦点，正确． 其中正确命题的个数是2． 故选：C ．①由双曲线的定义即可判断出；②利用垂经定理与圆的性质可得动点P 的轨迹为圆；③方程2x 2−5x +2=0的两根分别为12，2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率； ④由双曲线x 225−y 29=1可得c =√34，其焦点为(±√34,0)，椭圆x 235+y 2=1的焦点为(±√34,0)，即可判断出．本题考查了圆锥曲线的定义及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2.答案：A解析：解：满足a >b >0，|a +2|=a +2，|b +2|=b +2，一定有“|a +2|>|b +2|”成立，即充分性成立，若当a =1，b =−1，满足“|a +2|>|b +2|”但a >b >0不成立，即必要性不成立， 则“a >b >0”是“|a +2|>|b +2|”的充分不必要条件， 故选：A ．根据不等式的性质，绝对值的定义，及利用特殊值法结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用特殊值法是解决本题的关键．属于基础题．3.答案：D解析：据此简单随机抽样的概念逐项判断即可．本题主要考查简单随机抽样的概念与应用问题，是基础题．解：对于A，从无限多个个体中抽取50个个体作为样本，被抽取的样本的总体的个体数是无限的，不是有限的，所以不是简单随机抽样；对于B，从1万个个体中一次性抽取100个个体作为样本，它不是“逐个”抽取，所以不是简单随机抽样；对于C，从300名学生中，挑选出20名最优秀的学生，不是简单随机抽样法．对于D，从全班50名学生中，任意选取5名，总体数量较少，抽取个体数量少，能运用简单随机抽样．故选：D．4.答案：D解析：解：由椭圆的定义可得a−c=√3−1①，要使△OPF(点O为坐标原点)为正三角形，则存在y P=√32c，x P=c2，即P(c2,√32c)，将P代入椭圆的方程c24a2+3c24b2=1，②b2=a2−c2③，由①②③可得：c2=4，即c=2，可得焦距2c=4，故选：D．由椭圆的性质可得a−c的值，再由△OPF(点O为坐标原点)为正三角形可得P点的坐标，将P的坐标代入可得a，b，c之间的关系，再由椭圆中a，b，c之间的关系求出c的值，进而求出焦距的值．本题考查椭圆的性质及正三角形的性质，属于中档题．5.答案：A解析：试题分析：以A为原点，AB、AD、AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系。
【压轴题】高二数学上期末试题附答案
【压轴题】高二数学上期末试题附答案一、选择题1．在区间[]0,1上随机取两个数x ，y ，记P 为事件“23x y +≤”的概率，则(P = ) A ．23B ．12C ．49 D ．292．口袋里装有大小相同的5个小球，其中2个白球，3个红球，现一次性从中任意取出3个，则其中至少有1个白球的概率为（ ） A ．910B ．710C ．310D ．1103．将A ，B ，C ，D ，E ，F 这6个字母随机排成一排组成一个信息码，则所得信息码恰好满足A ，B ，C 三个字母连在一起，且B 在A 与C 之间的概率为（ ） A ．112B ．15C ．115D ．2154．下面的程序框图表示求式子32×35×311×323×347×395的值, 则判断框内可以填的条件为（ ）A ．90?i ≤B ．100?i ≤C ．200?i ≤D ．300?i ≤5．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.小华同学利用刘徽的“割圆术”思想在半径为1的圆内作正n 边形求其面积，如图是其设计的一个程序框图，则框图中应填入、输出n 的值分别为（ ）（参考数据：020sin 200.3420,sin()0.11613≈≈）A ．01180sin ,242S n n =⨯⨯B ．01180sin ,182S n n =⨯⨯C ．01360sin ,542S n n=⨯⨯D ．01360sin ,182S n n=⨯⨯6．袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中随机摸出2个球，则与事件“至少有1个白球”互斥但不对立的事件是（ ） A ．没有白球 B ．2个白球 C ．红、黑球各1个D ．至少有1个红球7．在半径为2圆形纸板中间，有一个边长为2的正方形孔，现向纸板中随机投飞针，则飞针能从正方形孔中穿过的概率为（ ） A ．4πB ．3πC ．2πD ．1π8．已知具有线性相关的两个变量,x y 之间的一组数据如下表所示：x0 1 2 3 4 y 2.24.34.54.86.7若,x y 满足回归方程 1.5ˆˆyx a =+，则以下为真命题的是（ ） A ．x 每增加1个单位长度，则y 一定增加1.5个单位长度 B ．x 每增加1个单位长度，y 就减少1.5个单位长度 C ．所有样本点的中心为(1,4.5) D ．当8x =时，y 的预测值为13.59．运行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为480，则判断框中可以填( )A ．60i >B ．70i >C ．80i >D ．90i > 10．设数据123,,,,n x x x x 是郑州市普通职工*(3,)n n n N ≥∈个人的年收入，若这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上世界首富的年收入1n x +，则这1n +个数据中，下列说法正确的是（ ）A ．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变B ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D ．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变11．从1,2,3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是 ( )． A ．① B ．②④C ．③D ．①③12．在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到12之间的概率为（ ）A ．13 B ．2πC ．12D ．23二、填空题13．将函数sin 23cos 2y x x =-的图象向左平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则5()6g π__________.14．执行如图所示的程序框图若输人x 的值为3，则输出y 的值为______．15．执行如图所示的程序框图，若输入的1,7s k ==则输出的k 的值为_______．16．在[1,1]-上随机地取一个数k ，则事件“直线y kx =与圆22(5)9x y -+=相离”发生的概率为_______。
福建省厦门市2019-2020学年高二数学上学期期末考试质量检测试题(含解析)
C. x0 R ， x02 1 2x0
D. x R ， x2 1 2x
【答案】B
【解析】
【分析】
根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．
【详解】解：命题 p 是全称命题， 根据全称命题的否定是特称命题可知，命题的否定是：
x0 R ， x02 1 2x0 ，
故选： B ．
【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，全称命题的否定是特称命题，特称命题的
试卷上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知命题 p : x R ， x2 1 2x ，则 p 是（ ）
A. x R ， x2 1 2x
B. x0 R ， x02 1 2x0
二、多选题：本题共 2 小题，每小期 5 分，共 10 分.在每小题给出的四个选项中，有多个选
项符合题目要求，全部选对的得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分.
9.已知双曲线
E
:
x2 4
y2 12
1的左、右焦点分别为 F1 ，
F2 ，P
是
E
的右支上一点，则下列结
论正确的是（ ）
A. PF1 PF2 4
否定是全称命题．
2.已知
f
x
sin
x
6
，
f
x为
f
x 的导函数，则
f
6
（
）
3
3
1
A. 3
B. 2
C. 2
D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】
求导
厦门市2020—2021学年度第一学期高二年级质量检测数学试卷(答案)
厦门市2020-2021学年度第一学期高二年级质量检测数学试题参考答案及评分标准一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．A2．B3．C4．C5．B6．B7．D8．D二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分． 9．AC10．ABD11．BD 12．ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．1 14． 1.22 15． 9 16．2223,2⎡⎡−−+−⎣⎣四、解答题：本题共6小题，共70分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．本题考查全称命题和特称命题，逻辑联结词和命题的否定等知识；考查运算求解能力，推理论证能力．考查转化与化归等数学思想．满分10分． 解：选择条件①若p 为真命题，令2()21f x x x m =−+−，[1,2]x ∈−，则min ()0f x >．又min ()(1)2f x f m ==−，所以20m −>，即2m >． ------------------------------------------ 3分若q 为真命题，则221(1)42(1)402m m ∆=−−⨯⨯=−−≥，解得3m ≥或1m ≤−． --- 6分 若p q ⌝∧为真命题，则p 为假命题，q 为真命题． ----------------------------------------------- 7分所以231m m m ≤⎧⎨≥≤−⎩或，即1m ≤−．所以实数m 的取值范围为(,1]−∞−． ------------------------------------------------------------------- 10分 选择条件②若p 为真命题，令2()21f x x x m =−+−，[1,2]x ∈−，则min ()0f x >．又min ()(1)2f x f m ==−，所以20m −>，即2m >． ------------------------------------------ 3分若q 为真命题，则221(1)42(1)402m m ∆=−−⨯⨯=−−≥，解得3m ≥或1m ≤−． --- 6分 若p q ∧⌝为真命题，则p 为真命题，q 为假命题． ---------------------------------------------- 7分所以213m m >⎧⎨−<<⎩，即23m <<．所以实数m 的取值范围为(2,3)． ------------------------------------------------------------------------ 10分选择条件③若p 为真命题，令2()21f x x x m =−+−，[1,2]x ∈−，则min ()0f x >又min ()(1)2f x f m ==−，所以20m −>，即2m >． ------------------------------------------ 3分若q 为真命题，则221(1)42(1)402m m ∆=−−⨯⨯=−−≥，解得3m ≥或1m ≤−． --- 6分 若p q ⌝∨⌝为真命题，则p 为假命题或q 为假命题， -------------------------------------------- 7分所以2m ≤或13m −<<，即3m <．所以实数m 的取值范围为(,3)−∞． --------------------------------------------------------------------- 10分18．本题考查基本事件的概念及古典概型等知识；考查运算求解能力；考查概率统计等数学思想．满分12分． 解：（1）所有的摸球结果为：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,2)，(1,3,4)，(1,4,2)，(1,4,3)， (2,1,3)，(2,1,4)，(2,3,1)，(2,3,4)，(2,4,1)，(2,4,3)， (3,1,2)，(3,1,4)，(3,2,1)，(3,2,4)，(3,4,1)，(3,4,2)， (4,1,2)，(4,1,3)，(4,2,1)，(4,2,3)，(4,3,1)，(4,3,2)，共24种结果． -------------------------------------------------------------------------------------------------- 6分（2）设事件A ：甲参加表彰大会，事件B ：乙参加表彰大会，事件C ：丙参加表彰大会， 则事件A 包含的结果为(3,1,2)，(3,2,1)，(4,1,2)，(4,1,3)，(4,2,1)，(4,2,3)，(4,3,1)，(4,3,2)共8个， ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 8分所以81()243P A ==， ---------------------------------------------------------------------------------------- 9分 同理可得1()3P B =，1()3P C =． ------------------------------------------------------------------------ 11分所以()()()P A P B P C ==，所以该同学提议的方法是公平的．-------------------------------- 12分（注：其它合理解释也酌情给分．）19．本题考查抛物线定义、方程和直线与抛物线的位置关系等知识；考查推理论证能力和运算求解能力；考查函数与方程，化归与转化，数形结合等数学思想．满分12分．解：（1）Γ的准线为2px =−， --------------------------------------------------------------------------- 1分 根据抛物线的定义有||232pMF =+=， --------------------------------------------------------------- 3分解得2p =，所以Γ的方程为24y x =． --------------------------------------------------------------- 5分（2）由（1）得(1,0)F ，(1,0)Q −， -------------------------------------------------------------------- 6分 直线AB 的斜率不为零，其方程可设为1x my =−，联立21,4,x my y x =−⎧⎨=⎩消去x 得2440y my −+=， -------------------------------------------------------- 7分由216160m ∆=−>，解得1m <−或1m >； -------------------------------------------------------- 8分 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则124y y m +=， ----------------------------------------------------------- 9分21212()242x x m y y m +=+−=−，所以2(21,2)P m m −， --------------------------------------- 10分直线PF 的斜率为222223m m =−，解得2m =或12m =−（舍）， ------------------------------- 11分所以直线AB 的方程为210x y −+=． ----------------------------------------------------------------- 12分20．本题考查曲线的方程、圆的方程与性质等知识；考查推理论证能力和运算求解能力；考查函数与方程，化归与转化，数形结合等数学思想．满分12分．解：（1）设(,)P x y ，由2PO PA == -------------------- 2分 两边平方化简得228120x y x +−+=， ---------------------------------------------------------------- 5分 所以点P 的轨迹方程为228120x y x +−+=，即22(4)4x y −+=． ------------------------- 6分 （2）由题意，圆B 的圆心为(0,4)B ，半径1r =， ----------------------------------------------- 7分 则5AB =，结合条件2PO PA =知()22PO PQ PA PQ +=+， --------------------------------------------------------------------------- 9分()2PA PB r ≥+− -------------------------------------------------------------------------- 10分 ()()22518AB r ≥−=⨯−= ------------------------------------------------------------- 11分当且仅当A ，B ，P ，Q 四点共线，且Q 在线段AB 上时取等号．所以2PO PQ +的最小值为8． ------------------------------------------------------------------------ 12分 21．本题考查用样本估计总体等知识；考查运算求解和数据分析的能力；考查统计等数学思想．满分12分．解法一：（1）由表格数据可知0.040.060.120.160.320.060.030.011a ++++++++=， 解得0.2a =．-------------------------------------------------------------------------------------------------- 2分 补全频率分布直方图如下：---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4分 （2）由频率分布直方图得样本的马克隆值的众数为3.9， ------------------------------------- 5分 由频率分布直方图得[3,3.8)的频率为(0.20.30.60.8)0.20.38+++⨯=，[3.8,4)的频率为1.60.20.32⨯=，设样本的马克隆值的中位数为x ，则0.38( 3.8) 1.60.5x +−⨯=，解得 3.875x =， 所以样本的马克隆值的中位数约为3.875． ---------------------------------------------------------- 8分 （3）由样本的马克隆值统计可知，A 级棉花约有：(0.10.80.2 1.60.2 1.0)20001200⨯+⨯+⨯⨯=（吨）， B 级棉花约有：(0.20.60.10.80.20.30.20.150.20.1)2000600⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=（吨）， C 级棉花约有：(0.20.20.20.3)2000200⨯+⨯⨯=（吨）， 估计该棉花种植基地今年的总产值为1200 1.6600 1.52200 1.443120⨯+⨯+⨯=（万元)． ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 12分 解法二：（1）（2）同解法一；（3）由样本的马克隆值统计可知，A ，B ，C 三种等级棉花的频率分别为0.6,0.3,0.1， 所以1吨棉花售价约为1.60.6 1.520.3 1.440.1 1.56⨯+⨯+⨯=（万元），估计该棉花种植基地今年的总产值为1.5620003120⨯=（万元) ． ---------------------- 12分22．本题考查椭圆方程、直线与椭圆位置关系等知识；考查推理论证能力和运算求解能力；考查函数与方程，化归与转化，数形结合等数学思想．满分12分．解：（1）依题可知，Γ经过点(0,1)P ，则1b =．------------------------------------------------- 1分 因为12211114PA PA k k a a a −⋅=⋅=−=−，所以24a =． -------------------------------------------- 3分 所以Γ的方程为2214x y +=． ---------------------------------------------------------------------------- 4分（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则221114x y +=，222214x y +=．联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 可得，222(14)8440k x kmx m +++−=， ------------------- 5分 所以222(8)4(14)(44)0km k m ∆=−+−>，即2214k m +>，122814km x x k −+=+，21224414m x x k−=+． ----------------------------------------------------------------- 6分 所以222222222212112212()()1144x x OA OB x y x y x x ⎛⎫⎛⎫+=+++=+−++− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 222121212332()2[()2]44x x x x x x =++=++− ------------------------------ 7分()222222222382(44)(41)412264141414km m k m k k k k ⎡⎤−−−++⎛⎫=+−=+⋅⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎢⎥+⎣⎦， 所以当2410k −=，即12k =±时，对任意22m <都有225OA OB +=为定值． --- 9分此时12AB x x =−== O 到l的距离d ==，所以221(2)122OAB m m S AB d m ∆+−=⋅==≤=，当且仅当222m m =−，即1m =±等号成立．所以OAB △面积的最大值为1． ------------------------------------------------------------------------ 12分。
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷(含解析)
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若3324A 10A n n =，则n =（ ）A ．1B ．8C ．9D ．102．期末考试结束后，某班要安排6节课进行试卷讲评，要求课程表中要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物共六节课，如果第一节课只能排语文或数学，最后一节不能排语文，则不同的排法共有（ ） A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种3．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（ ） A ．0.1536B ．0.1808C ．0.5632D ．0.97284．某市气象部门根据2021年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位：℃）数据，绘制如下折线图：那么，下列叙述错误的是（ ）A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个D ．从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值都呈下降趋势5．若()2N 1,X σ~，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，已知()21,3X N ~，则(47)P X <≤=（ ）A ．0.4077B ．0.2718C ．0.1359D ．0.04536．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算()200.01P K k ≥=，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ）A ．有1%的人认为该栏目优秀；B ．有1%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系；C ．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系；D ．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系.7．若1021001210)x a a x a x a x =++++，则012310a a a a a -+-++的值为．A 1B 1C ．101)D ．101)8．关于()72x +的二项展开式，下列说法正确的是（ ） A ．()72x +的二项展开式的各项系数和为73B ．()72x +的二项展开式的第五项与()72x +的二项展开式的第五项相同C ．()72x +的二项展开式的第三项系数为4372CD ．()72x +的二项展开式第二项的二项式系数为712C9．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个3×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A 处沿脚手架攀登至B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（ ）A ．528B ．514C ．29D ．1210．三棱锥P ABC -中P A ､PB ､PC 两两互相垂直，4PA PB +=，3PC =，则其体积（ ） A ．有最大值4B ．有最大值2C ．有最小值2D ．有最小值4二、填空题11．最小二乘法得到一组数据(),(1,2,3,4,5)i i x y i =的线性回归方程为ˆ23yx =+，若5125ii x==∑，则51i i y ==∑___________.12．某班举行的联欢会由5个节目组成,节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个,并且节目甲必须和节目乙相邻.则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有____种. 13．若随机变量X 的概率分布如表，则表中a 的值为______.14．设随机变量ξ~B (2，p )，若P (ξ≥1)=59，则D (ξ)的值为_________.15．已知等差数列{}n a 中，33a =，则1a 和5a 乘积的最大值是______.16．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为___________.17．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是_____．18．点A ，B ，C 在球O 表面上，2AB =，BC =90ABC ∠=︒，若球心O 到截面ABC的距离为___________.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =.（℃）求证：1AA ⊥平面；（℃）若点E 是线段的中点，请问在线段是否存在点E ，使得面11AAC C ？若存在，请说明点E 的位置，若不存在，请说明理由； （℃）求二面角的大小.20．四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是________.三、解答题21．已知集合(){}()12,,,|,1,2,,1nn i R x x x x R i n n =∈=≥，定义n R 上两点()12,,,n A a a a ，()12,,,n B b b b 的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑.（1）当2n =时，以下命题正确的有__________（不需证明）： ℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),7d A B =；℃在ABC 中，若90C =∠，则()()()222,,,d A C d C B d A B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，则B C ∠=∠;（2）当2n =时，证明2R 中任意三点A B C ，，满足关系()()(),,,d A B d A C d C B ≤+；（3）当3n =时，设()0,0,0A ，()4,4,4B ，(),,P x y z ，其中x y z Z ∈，，，()()(),,,d A P d P B d A B +=.求满足P 点的个数n ，并证明从这n 个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.22．今年4月，教育部办公厅印发了《关于加强义务教育学校作业管理的通知》，规定初中学生书面作业平均完成时长不超过90分钟．某市为了更好地贯彻落实“双减”工作要求，作教育决策，该市教育科学研究院就当前全市初三学生每天完成书面作业时长抽样调查，结果是学生书面作业时长（单位：分钟）都在区间[]50,100内，书面作业时长的频率分布直方图如下：(1)若决策要求：在国家政策范围内，若当前初三学生书面作业时长的中位数估计值大于或等于平均数（计算平均数时，同一组中的数据用该区间的中点值代表）估计值，则减少作业时长；若中位数估计值小于平均数，则维持现状．请问：根据这次调查，该市应该如何决策？(2)调查统计时约定：书面作业时长在区间[]90,100内的为A 层次学生，在区间[)80,90内的为B 层次学生，在区间[70,80)内的为C 层次学生，在其它区间内的为D 层次学生．现对书面作业时长在70分钟以上（含70分钟）的初三学生，按作业时长出现的频率用分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人作进一步调查，设这3人来自X 个不同层次，求随机变量X 的分布列及数学期望．23．国家文明城市评审委员会对甲､乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查.派出10人的调查组.先后到甲､乙两个城市的街道､社区进行问卷调查，然后打分（满分100分）.他们给出甲､乙两个城市分数的茎叶图如图所示：(1)请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，请说明理由；(2)从甲､乙两个城市的打分中各抽取2个，在已知有大于80分的条件下，求抽到乙城市的分数都小于80分的概率；(3)从对乙城市的打分中任取2个，设这2个分数中不小于80分的个数为X，求X的分布列和期望.参考答案：1．B【分析】根据排列数的运算求解即可.【详解】由332A 10A n n =得，2(21)(22)10(1)(2)n n n n n n --=--，又3,n n *≥∈N ，所以2(21)5(2)n n -=-，解得8n =， 所以正整数n 为8． 故选：B. 2．B【分析】对第一节课的安排进行分类讨论，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：℃若第一节课安排语文，则后面五节课的安排无限制，此时共有55A 种；℃若第一节课安排数学，则语文可安排在中间四节课中的任何一节，此时共有444A 种.综上所述，不同的排法共有54544216A A +=种.故选：B. 3．D【详解】设在一个小时内有ξ台机床需要工人照看，则ξ～B (4,0.2)，所以P (ξ≤2)＝04C (0.8)4＋14C (0.8)3×0.2＋24C (0.8)2×(0.2)2＝0.972 8. 故选D 4．D【分析】利用折线图可以判断选项ABC 正确，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，所以选项D 错误.【详解】解：由2021年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值（单位：C)︒数据，绘制出的折线图，知：在A 中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A 正确；在B 中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B 正确； 在C 中，全年中各月最低气温平均值不高于10C ︒的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C 正确；在D 中，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D 错误. 故选：D ． 5．C【分析】由题意，得(47)(2)P X P X μσμσ<≤=+<≤+，再利用3σ原则代入计算即可.【详解】℃()21,3X N ~，由()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，℃1(47)(2)(0.95450.6827)0.13592P X P X μσμσ<≤=+<≤+=-=.故选：C 6．C【分析】利用独立性检验的基本原理即可求出答案．【详解】解：℃()200.01P K k ≥=表示“电视栏目是否优秀与改革没有关系”的概率，℃有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系， 故选：C ．【点睛】本题主要考查独立性检验的基本应用，准确的理解判断方法是解决本题的关键，属于基础题． 7．D【详解】分析：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，再求f(-1)的值得解.详解：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，1001210(1)1)f a a a a -==-+++．故答案为D ．点睛：（1）本题主要考查二项式定理中的系数求法问题，意在考查学生对这些基础知识 的掌握水平.(2) 二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ⋅⋅⋅的性质：对于2012()?··n n f x a a x a x a x =++++，0123(1)n a a a a a f ++++⋅⋅⋅+=， 0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+⋅⋅⋅+-=-.8．A【分析】利用赋值法求出展开式各项系数和，即可判断A ，根据二项式展开式的通项，即可判断B 、C 、D ；【详解】解：()72x +展开式的通项为7172rrr r T C x -+=⋅⋅，故第二项的二项式系数为177C =，故D 错误； 第三项的系数为2572C ⋅，故C 错误；()72x +的展开式的第五项为43472C x ⋅⋅，()72x +的展开式的第五项为44372C x ⋅⋅，故B 错误； 令1x =则()7723x +=，即()72x +的二项展开式的各项系数和为73，故A 正确； 故选：A 9．B【解析】将问题抽象成“向左三次，向前两次，向上三次”，计算出总的方法数，然后利用插空法计算出最近的行走路线中不连续向上攀登的事件数，最后根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从A 的方向看，行走方向有三个：左、前、上. 从A 到B 的最近的行走线路，需要向左三次，向前两次，向上三次，共8次.所以从A 到B 的最近的行走线路，总的方法数有88332332560A A A A =⋅⋅种. 不连续向上攀登的安排方法是：先将向左、向前的安排好，再对向上的方法进行插空.故方法数有：53563232200A C A A ⨯=⋅.所以最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为200556014=. 故选：B【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查有重复的排列组合问题，考查插空法，属于中档题. 10．B【分析】依题意可得1113332P ABC PABV PC SPA PB -=⋅=⨯⨯⋅再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：依题意21111132332222P ABCPABPA PB V PC S PA PB PA PB -+⎛⎫=⋅=⨯⨯⋅=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2PA PB ==时取等号，所以()max 2P ABC V -=， 故选：B11．65【分析】由最小二乘法得到的线性回归方程过点(),x y ，代入即可解决 【详解】由5125i i x ==∑可知，数据的平均数2555x ==， 又线性回归方程ˆ23yx =+过点(),x y ， 所以25313y =⨯+=，故51551365i i y y ===⨯=∑故答案为：65 12．42【分析】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，再根据甲、乙相邻，分别计算. 【详解】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，当甲排在第二、三、四个时，甲乙相邻，有22A 种排法，将甲乙当做一个整体，剩下三个节目全排列，共3×22A ×33A =36种当甲排在第五个时，甲乙相邻，只有一种排法，剩下三个节目全排列，共33A =6种 综上，编排方案共36+6=42种【点睛】本题考查了分类计数原理，分类时要注意不重不漏；解决排列问题时，相邻问题常用捆绑法，特殊位置要优先考虑. 13．0.2【解析】利用概率和为1可求出答案. 【详解】由随机变量X 的概率分布表得： 0.20.30.31a +++=，解得0.2a =. 故答案为：0.2【点睛】本题考查的是分布列的性质，较简单. 14．49【分析】由二项分布的特征，先求出13p =，套公式即可求出D (ξ). 【详解】因为随机变量ξ~B (2，p )，且P (ξ≥1)=59，所以P (ξ≥1)=()11P ξ-<= ()10P ξ-==()25119p --=. 解得：13p =. 所以D (ξ)()12412339np p =-=⨯⨯=.故答案为：4915．9【分析】设出公差，根据等差数列的性质，表示出15,a a ，再列式即可求得结果. 【详解】因为{}n a 是等差数列，设公差为d ，可得13532,2a a d a a d =-=+，于是得()()2153322949a a a d a d d =-+=-≤，当且仅当d =0，即153a a ==时，取得最大值. 故答案为：9.【点睛】本题考查等差数列的下标和性质，属基础题. 16．1443125##0.04608 【分析】认真分析该选手所有可能的答题情况，是本题的关键【详解】由该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮，说明他第4、第5两个问题是连续答对的，第3个问题没有答对，第1和第2两个问题也没有全部答对，即他答题结果可能有三种情况：⨯⨯⨯√√或⨯√⨯√√或√⨯⨯√√，根据独立事件同时发生的概率公式，可得该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为0.20.20.20.80.8+0.20.80.20.80.8+0.80.20.20.80.8=0.04608⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯故答案为：0.04608 17．0.74【详解】试题分析：x 表示人数，(2)(2)(3)(4)(5)P x P x P x P x P x ≥==+=+=+≥0.30.30.10.040.74=+++=.考点：互斥事件的概率.18．【分析】根据截面圆性质，先求出截面圆半径，然后由求得球半径，从而求得体积．【详解】因为2AB =，BC =90ABC ∠=︒，所以4AC ==，所以三角形外接圆半径22ACr ==，又球心O 到截面ABC 的距离为R =球体积为(334433V R ππ==⨯=．故答案为：．19．（℃）（℃）（℃）见解析【详解】试题分析：（℃）由正方形的性质得1AC AA ⊥，然后由面面垂直的性质定理可证得结果；（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，利用中位线定理可得1DE AC ，进而得出DE 面11AAC C ；（℃）利用二面角的定义先确定11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角，易求得11tan C A C ∠，从而求得二面角的平面角为的度数．试题解析：（℃）因为四边形11AAC C 为正方形，所以1AC AA ⊥． 因为平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC ⋂平面11AAC C AC =， 所以1AA ⊥平面ABC ．（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，有DE 面11AAC C ， 连结1AB 交1AB 于点E ，连结BC ，因为点E 是1AB 中点，点⊄是线段DE 的中点，所以1DE AC ． 又因为BC ⊂面11AAC C ，11A C 面11AAC C ，所以DE 面11AAC C .（℃）因为1AA ⊥平面ABC ，所以.又因为，所以面11AAC C ，所以11A B ⊥面11AAC C ，所以11A B ⊥1A C ，11A B ⊥11A C ，所以11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角， 易得，所以二面角111C A B C --的平面角为45°.考点：1、线面垂直的判定；2、线面平行的判定；2、二面角．【方法点睛】立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究．解决这类问题时一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在假设下进行推理，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设． 20．12600【详解】问题等价于编号为1,2,3,10的10个小球排列，其中2,3号，4,5,6号，7,8,9,10号的排列顺序是固定的，据此可得：将这些气球都打破的不同打法数是101023423412600A A A A =⨯⨯. 21．（1）℃；（2）证明见解析；（3）125n =，证明见解析．【解析】（1）℃根据新定义直接计算．℃根据新定义，写出等式两边的表达式，观察它们是否相同，即可判断；℃由新定义写出等式()(),,d A B d A C =的表达式，观察有无AB AC =； （2）由新定义，写出不等式两边的表达式，根据绝对值的性质证明；（3）根据新定义，及绝对值的性质得P 点是以AB 为对角线的正方体的表面和内部的整数点，共125个，把它们分布在五个平面(0,1,2,3,4)z =上，这五个面一个面取3个点，相邻面上取一个点，以它们为顶点构成三棱锥（能构成时），棱锥的体积不超过83，然后任取11点中如果没有4点共面，但至少有一个平面内有3个点．根据这3点所在平面分类讨论可得． 【详解】（1）当2n =时，℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),41627d A B =-+-=，℃正确；℃在ABC 中，若90C =∠，则222AC BC AB +=，设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，所以222222131323231212()()()()()()x x y y x x y y x x y y -+-+-+-=-+-而()2221212121221212()()()2)),((x x y y x x y y d A x B x y y =⎡⎤⎣-+-+⎦=--+--， ()()22,,d A C d C B ⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦22221313232313132323()()()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y x x y y -+-+-+-+--+--，但1313232312122()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y --+--=--不一定成立，℃错误； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，在℃中的点坐标，有12121313x x y y x x y y -+-=-+-，但1212131322x x y y x x y y -⋅-=-⋅-不一定成立，因此AB AC =不一定成立，从而B C ∠=∠不一定成立，℃错误．空格处填℃（2）证明：设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，根据绝对值的性质有132312x x x x x x -+-≥-，132312y y y y y y -+-≥-，所以(,)(,)(,)d A C d B C d A B +≥．,（3）(,)12d A B =，44,44,44x x y y z z +-≥+-≥+-≥，所以(,)(,)12d A P d B P +≥，当且仅当以上三个等号同时成立，(,)(,)12d A P d B P +=又由已知()()(),,,d A P d P B d A B +=，℃04,04,04x y z ≤≤≤≤≤≤， 又,,x y z Z ∈，℃,,0,1,2,3,4x y z =，555125⨯⨯=，点P 是以AB 为对角线的正方体内部（含面上）的整数点，共125个，125n =． 这125个点在0,1,2,3,4z z z z z =====这五面内．这三个平面内，一个面上取不共线的3点，相邻面上再取一点构成一个三棱锥．则这个三棱锥的体积最大为118441323V =⨯⨯⨯⨯=，现在任取11个点，若有四点共面，则命题已成立，若其中无4点共面，但11个点分在5个平面上至少有一个平面内有3个点（显然不共线），若这三点在1,2,3z z z ===这三个平面中的一个上，与这个面相邻的两个面上如果有一点，那么这一点与平面上的三点这四点可构成三棱锥的四个顶点，其体积不超过83，否则还有8个点在平面0z =和4z =上，不合题意，若这三个点在平面0z =或5z =上，不妨设在平面0z =，若在平面1z =在一个点，则同样四点构成的三棱锥体积不超过83，否则剩下的8个点在2,3,4z z z ===三个平面上，只能是3，3，2分布，不管哪一种分布都有四点构成的三棱锥体积不超过83，综上，任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.【点睛】关键点点睛：本题新定义距离(,)d A B ，解题关键是利用新定义转化为绝对值，利用绝对值的性质解决一些问题．本题还考查了抽屉原理，11个放在5个平面上，至少有一个平面内至少有3点，由此分类讨论可证明结论成立． 22．(1)该市应该作出减少作业时长的决策； (2)分布列见解析；期望为167.【分析】（1）根据题意，结合频率分布直方图，分别求出中位数和平均数，即可求解； （2）根据题意，结合分层抽样以及离散型随机变量的分布列与期望求法，即可求解. (1)作业时长中位数的估计值为直方图中等分面积的线对立的值，设为x ．0.01100.01100.02100.5⨯+⨯+⨯<． 0.01100.01100.02100.03100.5⨯+⨯+⨯+⨯>，()0.01100.01100.02100.03800.5x ∴⨯+⨯+⨯+⨯-=．解得2503x =，即中位数的故计值2503分钟．又作业时长平均数估计值为0.0110550.0110650.021075⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2500.0310850.031095813+⨯⨯+⨯⨯=<． 因为中位数的估计值2503分钟大于平均数估计值81分钟， 所以，根据这次调查，该市应该作出减少作业时长的决策. (2)由题，作业时长在70分钟以上（含70分钟）为[90.100]，[80,90)，[70,80)三个区间，其频率比为3：3：2，分别对应A ，B ，C 三个层次．根据分层抽样的方法，易知各层次抽取的人数分别为3，3，2， 因此X 的所有可能值为1，2，3．因为333821(1)28C P X C ⨯===，111233389(3)28C C C P X C ⋅⋅===， 121221333232382229(2)14C C C C C C P X C ⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅===， 所以X 的分在列为：故数学期望19916()1232814287E X =⨯+⨯+⨯=. 23．(1)乙城市更应该入围“国家文明城市”．理由见解析． (2)425； (3)分布列见解析，期望为1．【分析】（1）根据得分的平均值与方差说明，极差最值也可用来说明；（2）记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，由()()(|)()()P AC P C P C A P A P A ==计算； （2）X 的可能值是0,1,2，分别求得概率得概率分布列，由期望公式计算出期望． (1)乙城市更应该入围“国家文明城市”． 理由如下：由茎叶图，计算两个城市的得分的均值为 甲：6365987910x +++==，乙：6568927910y +++==，均值相等，方差为甲：222211[(16)(14)19]13610s =-+-++=， 乙：222221[(14)(11)13]59.810s =-+-++=，甲的方差远大于乙的方差，说明乙的得分较稳定，甲极其不稳定，因此乙城市更应该入围“国家文明城市”． (2)记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，262102()13C P B C =-=，252107()19C P C C =-=，2725()1(1)(1)3927P A =--⨯-=，7()()9P AC P C ==， 所以()()()()749(|)1(|)111252527P AC P C P C A P C A P A P A =-=-=-=-=；(3)乙城市10个人中5个大于80分，5个小于80，X 的可能是0,1,2，252102(0)9C P X C ===，11552105(1)9C C P X C ===，252102(2)9C P X C ===，所以X 的分布列为：52()12199E X =⨯+⨯=．。
厦门市2020—2021学年度第二学期高二年级质量检测数学试卷答案
又因为 OD PO = O ，所以 BC ⊥ 平面 POD ，·····························································3 分
因为 PD 平面 POD ，所以 BC ⊥ PD ．·································································z·····4 分
X 的所有可能值为 0,1, 2,3, 4 ，
P( X
=
0)
=
C40
(2)4 5
=
16 625
，
P( X
= 1)
=
C41
3 (2)3 55
=
96 625
，
P(X
= 2)
= C42
(3)2 5
(2)2 5
=
则 cos m, n = m n = 2 = 7 ， m n 72 7
所以二面角 D − PA − C 的余弦值为 7 ． ····································································12 分 7
20．本题考查回归分析及其应用等知识；考查数据处理能力、运算求解能力；考查数学建模和应用意识
设平面
PAC
的法向量为
n
=
(x2 ,
y2 ,
z2 )
，则
n n
AC PC
= =
0 0
−2x2 = − y2 −
0 3z2
=
0
取 z2 = 1，则 x2 = 0 ， y2 = − 3 ，所以平面 PAC 的一个法向量为 n = (0, − 3,1) ． ················11 分
福建省厦门市2021-2022学年高二上学期期末质量检测数学试题答案
厦门市2021-2022学年度第一学期高二年级质量检测数学试题参考答案及评分标准一、单选题： 1．D 2．B3．A （选择性必修一P12，练习2） 4．C （选择性必修一P140，阅读材料） 5．B （选择性必修一P95，练习1） 6．C （选择性必修一P34，例6） 7．B （选择性必修一P36，例7） 8．A二、多选题：9．BD （选择性必修一P96，例5） 10．ACD （选择性必修一P103，18） 11．AD （选择性必修一P44，16） 12．AD三、填空题： 13．()1,2−（答案不唯一）（选择性必修一P102，1）14．y =15．819n⎛⎫− ⎪⎝⎭（选择性必修二P6，例4）16．()()22211x y −+−=1−（选择性必修一P103，12）８．解析：延长1AF 交椭圆E 于点C ，连接2CF ，由椭圆定义，12||||2AF AF a +=，有12||3AF a =， 由椭圆对称性，得12CF F B =，所以112AF FC =，所以1||3a CF =， 再由椭圆定义：12||||2CF CF a +=，有25||3aCF =，因为22222||||||CF AC AF =+，所以290CAF ∠=，在12AF F △中，2221212||||||F F AF AF =+即222049c a =，有离心率3e =． 12．解析：①(,0]n a ∈−∞时，1()10n n n a f a a +==−，②(0,1)n a ∈时，()21()1(1)10,1n n n n n n a f a a a a a +==−+=−+∈，③(1,)n a ∈+∞时，21()1(1)11n n n n n n a f a a a a a +==−+=−+>， ④1n a =时，21()11n n n n a f a a a +==−+=， 因此，11211,0,1,0.n n n n a a a a a a +−⎧⎪=⎨−+>⎪⎩ 有10a 时，11n n a a +−=−，10a >时，1n n a a +−=2(1)n a −，对于选项Ａ，11(0,1)2a =∈，1n a <． 对于选项Ｂ，{}n a 为递增数列时，10a >且11a ≠．对于选项Ｃ，{}n a 为等差数列时，10a 或11a =（其中，11a =时，{}n a 为常数列）．对于选项Ｄ，12a =，211n n n a a a +−=−，有111111(1)1n n n n na a a a a +==−−−−，所以111111n n n a a a +=−−−， 12122311111111111111()()()11111111n n n n a a a a a a a a a a a +++++=−+−++−=−−−−−−−−− 因为121a =>，所以11n a +>，即1101n a +>−， 所以121111111n a a a a +++<=−，故选AD ． 16．依题意得(2,0)A ，(2,2)C ，因为M 为AB 中点，所以CM AM ⊥，所以点M 的轨迹是以AC 为直径的圆，又AC 中点为(2,1)，2AC =，所以点M 的轨迹方程为()()22211x y −+−=,圆心(2,1)D ， 因为点(2,0)A 关于直线0x y +=的对称点为(0,2)A '−， 所以由对称性可知MN AN +的最小值为111A D '−==．四、解答题： 17．（选择性必修二P8，练习4）本题主要考查数列前n 项和公式、通项公式、数列求和等知识，考查函数与方程思想、运算求解、推理论证能力．满分10分法一：（1）2n 时，221(1)n n n a S S n n −=−=−− ................................................. 2分 21n =− ............................................................................... 3分 1n =时，111a S ==， ............................................................................................... 4分 综上所述，21n a n =−．............................................................................................. 5分（2）因为111111()(21)(21)22121n n n b a a n n n n +===−⋅−+−+， ...................... 7分所以1211111111(1)()()2323522121n n T b b b n n =+++=−+−++−−+ 111111(1)23352121n n =−+−++−−+ ...................................................... 9分 11(1)22121nn n =−=++． ........................................................................... 10分法二：（1）等差数列前n 项和为21()22d dn a n +−（其中d 为公差），因为2n S n =，所以{}n a 为等差数列， .................................................................... １分并且12d=，111a S ==，解得：11a =，2d =， ................................................. 3分1(1)21n a a n d n =+−=−． .................................................................................... ５分（2）同法一． 18．（选择性必修一P86，例题4；P91，例题1）本题主要考查直线的方程、圆的方程、直线与圆的位置关系等知识，考查数形结合思想、函数与方程思想、运算求解、推理论证能力．满分12分法一：(1)延长CB 交x 轴于点N ，因为120OAB ∠=，=2AB OA =，所以60NAB ∠=，所以3B （， ......................................................................... 2分又120ABC ∠=，所以60ANB ∠=， 所以直线BC 的倾斜角为120，即BC k =4分所以直线BC 的方程为3)y x −=−，0y +−=．5分 （2）依题意设圆M 的方程为22x y Dx Ey F ++++=所以0,420,9330,F D F D F ⎧=⎪++=⎨⎪+++=⎩解得2,0.D E F =−⎧⎪=−⎨⎪=⎩................................................ 7分所以圆M 的方程为2220x y x +−−=，即()(2214x y −+=， ...................................................................................... 8分所以M ，半径2r =， 因为直线OC 被圆M 所截的弦长为4，所以直线OC 过圆心M ， ............................................................................... 9分 所以直线OC 的方程为y =， ........................................................................... 10分所以由0,,y y +−==⎪⎩得2,x y =⎧⎪⎨=⎪⎩所以C ． .............................. 12分法二：（1）(1)延长CB 交x 轴于点N ，因为120OAB ABC ∠=∠=，=2AB OA =， 所以60BAN ANB ABN ∠=∠=∠=，所以ABN △为等边三角形，即=2AN ， ............................................................... 2分 所以(4,0)N ， .............................................................................................................. 3分 又因为直线BC 的倾斜角为120，即BC k = ................................................ 4分 所以直线BC 的方程为40)y x −=−0y +−=．..................... 5分 （2）线段OA 的中垂线方程为1x =，因为线段OB 的中点坐标为3,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，直线OB 的斜率为3， 所以线段AB 的中垂线方程为32y x ⎫=−⎪⎭即y =+，所以由1,x y =⎧⎪⎨=+⎪⎩得1,x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ ..................................................................... 8分所以M ，半径2r OC ===，因为直线OC 被圆M 所截的弦长为4，所以OC 为圆M 的直径即M 为线段OC 中点， ................................................... 10分 所以C ． ....................................................................................................... 12分 法三：（1）同法一．（2）设圆M 的半径为r ，因为在ABC △中，120OAB ∠=，=2AB OA =， 所以30BOA ∠=， 所以由正弦定理知24sin ABr BOA==∠，即2r =， .............................................. 7分因为直线OC 被圆M 所截的弦长为4， 所以O ，A ，B ，C 四点共圆，因为120ABC ∠=，所以60AOC ∠=，所以直线OC的方程为y =， ........................................................................... 10分所以由0,,y y +−==⎪⎩得2,x y =⎧⎪⎨=⎪⎩所以C ． ....................................................................................................... 12分19．（选择性必修一P49，11）本题考查线面垂直的判定与性质、利用空间向量解决立体几何问题等知识；考查数形结合思想、转化与化归思想、空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力；满分12分．法一：(1)如图，以A 为原点建立空间直角坐标系Axyz 设正方体的棱长为2，则(0,0,0)A ,(1,1,0)O ,(2,2,0)C ,1(0,2,2)D ， .......................................................... 1分由112BP PB =得：P 点的坐标为2(2,0,)3， 1(1,1,2)D O =−−，2(2,0,)3AP =， ........................................................................ 2分因为1203D O AP ⋅=≠，所以1D O 与AP 不垂直， ............................................................................................ 3分 所以1D O 与平面PAC 不垂直． ................................................................................. 4分（2）设(2,0,)P a ,则(2,0,)AP a = 因为1D O ⊥面PAC ，所以1D O AP ⊥，所以1220D O AP a ⋅=−=，得：1a =， ............................................................... 6分 所以(0,2,1)CP =−，1(2,0,2)CD =−． 设平面1PCD 的法向量为(,,)x y z =m ，122020CD x z CP y z ⎧⋅=−+=⎪⎨⋅=−+=⎪⎩m m ，令1,y =则2x z ==，(2,1,2)=m ， ...................... 8分 因为1D O ⊥平面PAC ，所以平面PAC 的法向量为1(1,1,2)D O =−−， ....................................................... 9分所以111cos ,6D O D O D O⋅〈〉==−⋅m m m ， ............................................................... 11分 所以平面1PCD 与平面PAC 所成角的余弦值为6． ......................................... 12分法二：(1)如图，以A 为原点建立空间直角坐标系Axyz设正方体的棱长为2，则(0,0,0)A ,(1,1,0)O ,1(0,2,2)D ,(2,0,0)A ,(2,2,0)C ，1分由112BP PB =得2(2,0,)3P ，2(2,0,)3AP =,(2,2,0)AC =， ........................... 2分 设平面PAC 的法向量为(,,)x y z =n ，2202203AC x y AP x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩n n ，令3,z =则1,1x y =−=，(1,1,3)=−n ， 因为1(1,1,2)D O =−−与(1,1,3)=−n 不平行， ....................................................... 3分所以1D O 与平面PAC 不垂直． ................................................................................. 4分 (2)同法一．法三：(1)连接PO ,设正方体的棱长为2，则在1POD △中，1133D O PO D P ===， ........................................ 2分 22211D O PO D P +≠，所以1D O 与PO 不垂直， ................................................... 3分 所以1D O 与平面PAC 不垂直． ................................................................................. 4分(2)同法一． 20．（选择性必修二P138，练习5）本题考查曲线的方程，直线与抛物线位置关系等知识，考查数形结合思想以及化归与转化的数学思想、推理能力以及运算能力．满分12分（1）设(),P x y 为圆N 与l 的交点，则(),0H x ，因为()4,0M ，HN NM =，所以4,02x N +⎛⎫⎪⎝⎭， ................................................ 1分 因为O ，P 在圆N 上，所以NO NP =， ............................................................. 2分所以42x +=得24y x =． ............................................................. 4分 （2）设直线AB 的方程为4x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，由244x my y x=+⎧⎨=⎩得24160y my −−=． ...................................................................... 6分216640m ∆=+>，所以124y y m +=，1216y y =−． ........................................................................... 7分因为2MA MB =，所以122y y =−． ................................................................... ８分法一:由1212216y y y y =−⎧⎨=−⎩得12y y ⎧=⎪⎨=−⎪⎩12y y ⎧=−⎪⎨=⎪⎩， ........................................ 10分所以1242y y m +==． 所以12AB y ==−==． ...................................................................................................................................... 12分法二：()2121212212y y y y y y y y +=++即21222m −=−−+，得2m =±． ........... 10分所以AB ====． .......................................................... 12分21．（选择性必修二P39，例题12）本题考查数列的通项公式，递推公式，数列求和等基础知识；考查转化与化归思想、运算能力、数学抽象与数学建模素养．满分12分． （1）①依题意得1 1.02n n a a m +=+， ....................................................................... 2分②因为1 1.02n n a a m +=+，所以150 1.0251n n a m a m ++=+，所以()150 1.0250n n a m a m ++=+， ............. 4分 因为150130500a m m +=+≠，所以数列{}50n a m +是等比数列，首项是13050m +，公比是1.02， ................ 5分 所以()15013050 1.02n n a m m −+=+⨯，所以()113050 1.0250n n a m m −=+⨯−． ................................................................. 6分（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，151215S a a a =+++()()()14130505013050 1.025013050 1.0250m m m m m m ⎡⎤=+−++⨯−+++⨯−⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦........................................................................................................................................ 7分()()()141305013050 1.0213050 1.02750m m m m =+++⨯+++⨯− ........... 8分()()15130501 1.027501 1.02m m +−=−− ........................................................................... 9分()()130501 1.357501 1.02m m +−=−−2275+125m =，.............................................. 10分依题2275+1253095m ，所以 6.56m ，所以m 最少为6.56吨． ............................................................................................ 12分22．本题考查椭圆的定义及其标准方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查数形结合思想、运算能力．满分12分． 法一：（1）设椭圆Γ的左焦点为F '，则由对称性，BF AF '=，所以ABF △的周长为22AF BF AB AF AF AB a AO '++=++=+， ........................................................................................................................................ 1分设(,)A x y ，则AO b ===≥， 当A ，B 是椭圆Γ的上下顶点时，ABF △的周长取到最小值22a b +，所以224a b +=+2a b +=， ......................................................... 2分又椭圆焦点(1,0)F ，所以221a b −=， .................................................................... 3分所以()()1a b a b −+=，所以2a b −=−，解得2a =，b =，所以椭圆Γ的方程为22143x y +=． ................................... 4分 （2）当A ，B 为椭圆左右顶点时，直线MN 与x 轴重合；当A ，B 为椭圆上下顶点时，可得直线MN 的方程为85x =； ............................. 5分 设直线MN 的方程x my n =+，0m ≠，11(,)M x y ，22(,)N x y ， 由22,1,43x my n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(34)63120m y mny n +++−=，0∆>，122634mn y y m +=−+，212231234n y y m −=+， ................................................. 6分 设直线FA 的方程11x m y =+，其中1111x m y −=，11(,)M x y ，33(,)A x y ，由1221,1,43x m y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2211(34)690m y m y ++−=，0∆>，1321934y y m −=+，32119(34)y m y −=+， ...................................................... 7分 设直线FB 的方程21x m y =+，其中2221x m y −=，22(,)N x y ，33(,)B x y −−，由2221,1,43x m y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)690m y m y ++−=，0∆>，2322934y y m −−=+，32229(34)y m y −=−+， ................................................ 8分 所以22112299(34)(34)m y m y −−=+−+，所以221122(34)(34)0m y m y +++=， 22112212334()0m y m y y y +++=， ............................................................................ 9分2222121122121211x x m y m y y y y y ⎛⎫⎛⎫−−+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22221212121212(1)(1)()4(1)(1)my n my n y y m y y m n n y y y y +−+−+=+=++−+−则22121212123()12(1)3(1)4()0y y m y y m n n y y y y +++−+−++=，即 22121212(34)()12(1)3(1)0y y m y y m n n y y ++++−+−=， ................................... 10分代入122634mn y y m +=−+，212231234n y y m −=+， 得222266(34)12(1)3(1)034312mn mn m m n n m n −−++−+−=+−， .............................. 11分 整理得()580m n −=，又0m ≠所以85n =，直线MN 的方程为85x my =+．综上直线MN 过定点8,05⎛⎫ ⎪⎝⎭． ................................................................................. 12分 法二：（1）同法一．（2）当A ，B 为椭圆左右顶点时，直线MN 与x 轴重合；当A ，B 为椭圆上下顶点时，可得直线MN 的方程为85x =； ............................. 5分 设00(,)A x y ，则00(,)B x y −−，00y ≠，设(),M M M x y ，(),N N N x y则直线AF 的方程为011x x y y −=+，直线BF 的方程为0011x x y y +=+ ........... 6分 由002211,34120,x x y y x y −⎧=+⎪⎨⎪+−=⎩得22002003(1)6(1)[4]90x x y y y y −−++−=， 所以2200022200000209393(1)4363254M y y y y x y x x x y −−⋅===−+−+−+， 所以00325M y y x =−，000000135812525M x y x x y x x −−=⋅+=−−， 即0000583,2525x y M x x ⎛⎫−⎪−−⎝⎭． ......................................................................................... 9分由002211,34120,x x y y x y +⎧=+⎪⎨⎪+−=⎩得22002003(1)6(1)[4]90x x y y y y ++++−=， 所以220002220000020939()3(1)4363254N y y y y x y x x x y −−−−⋅===++++++， 所以00325N y y x =+，000000135812525N x y x x y x x ++=⋅+=++， 即0000583,2525x y N x x ⎛⎫+⎪++⎝⎭． ........................................................................................ 10分所以00000000003325255585832525MN y y x x y k x x x x x −+−==+−−+−，所以直线MN 的方程为0000003558()25325y y x y x x x x +−=−++， .................................. 11分 令0y =得，85x =，所以直线MN 恒过定点8(,0)5． .............................................................................. 12分。
2020-2021学年福建省厦门市高二下期末模拟数学试卷(文科)(有答案)-精品试题
最新福建省厦门市高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（每题5分）1．已知a，b∈R，i是虚数单位，若3+bi与a﹣i互为共轭复数，则|a+bi|等于（）A．B．5 C．D．102．用反证法证明命题：“若a，b，c为不全相等的实数，且a+b+c=0，则a，b，c至少有一个负数”，假设原命题不成立的内容是（）A．a，b，c都大于0 B．a，b，c都是非负数C．a，b，c至多两个负数D．a，b，c至多一个负数3．已知命题p：∀x∈R，x2+x+1≤0，则（）A．p是真命题，￢p：∃x0∈R，使得x02+x0+1＞0B．p是真命题，￢p：∀x∈R，使得x2+x+1＞0C．p是假命题，￢p：∃x0∈R，使得x02+x0+1＞0D．p是假命题，￢p：∀x∈R，使得x2+x+1＞04．函数f（x）的导函数为f′（x），若f（x）=sinx，则下列等式正确的是（）A．f（）=f′（）B．f（）=f′（）C．f（）=f′（）D．f（）=f′（）5．2016法国欧洲杯比赛于6月中旬揭开战幕，随机询问100人是否喜欢足球，得到如下的2×2列联表：喜欢足球不喜欢足球总计男35 15 50女25 25 50总计60 40 100参考公式k2=，（其中n=a+b+c+d）临界值表：P（K2≥k0）0.05 0.025 0.010k0 3.841 5.024 6.635参照临界值表，下列结论正确的是（）A．有95%的把握认为“喜欢足球与性别相关”B．有95%的把握认为“喜欢足球与性别无关”C．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为“喜欢足球与性别无关”D．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为“喜欢足球与性别有关”6．下列选项中，与其他三个选项所蕴含的数学推理不同的是（）A．独脚难行，孤掌难鸣B．前人栽树，后人乘凉C．物以类聚，人以群分D．飘风不终朝，骤雨不终日7．已知过双曲线Г：=1（a＞0，b＞0）的右焦点F2作圆x2+y2=a2的切线，交双曲线Г的左支交于点A，且AF1⊥AF2，则双曲线的渐近线方程是（）A．y=±2x B．y=±x C．y=±x D．y=±x8．定义在R上的函数f（x），其导函数是f′（x），若x•f′（x）+f（x）＜0，则下列结论一定正确的是（）A．3f（2）＜2f（3）B．3f（2）＞2f（3）C．2f（2）＜3f（3）D．2f（2）＞3f（3）9．“a=4或a=﹣3“是”函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10“的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．记半径为1的圆为C1，C1的外切正三角形的外接圆为C2，C2的外切正三角形的外接圆C3，…C n﹣1的外切正三角形的外接圆为C n，则C16的面积是（）A．215•πB．216•πC．230•πD．232•π11．函数f（x）图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）A．f（x）=lnx﹣sinx B．f（x）=lnx+cosx C．f（x）=lnx+sinx D．f（x）=lnx﹣cosx12．点M在抛物线C：x2=2py（p＞0）上，以M为圆心的圆与x轴相切于点N，过点N作直线与C相切于点P（异于点O），OP的中点为Q，则（）A．点Q在圆M内B．点Q在圆M上C．点Q在圆M外D．以上结论都有可能二、填空题（每题5分）13．若i为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z表示复数z，则复数= ．14．已知命题p：a≥2；命题q：对任意实数x∈[﹣1，1]，关于x的不等式x2﹣a≤0恒成立，若p且q是真命题，则实数a的取值范围是．15．已知点P是椭圆Г：=1（a＞b＞0）上的一点，F1、F2为椭圆的左、右焦点，若∠F1PF2=60°，且△PF1F2的面积为a2，则椭圆的离心率是．16．已知函数f（x）=（m≠0），则下列结论正确的是①函数f（x）是奇函数，且过点（0，0）；②函数f（x）的极值点是x=±；③当m＜0时，函数f（x）是单调递减函数，值域是R；④当m＞0时，函数y=f（x）﹣a的零点个数可以是0个，1个，2个．三、解答题17．已知函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x﹣3（1）若函数f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为y=﹣9x+b，求b的值；（2）求函数f（x）的极值．18．网购已成为当今消费者喜欢的购物方式，某机构对A、B、C、D四家同类运动服装网店的关注人数x（千人）与其商品销售件数y（百件）进行统计对比，得到表格：网店A B C D名称x 3 4 6 7y 11 12 20 17由散点图得知，可以用回归直线方程y=bx+a来近似刻画它们之间的关系（1）求y与x的回归直线方程；（2）在（1）的回归模型中，请用R2说明，销售件数的差异有多大程度是由关注人数引起的？（精确到0.01）参考公式：：；；R2═1﹣参考数据：x i y i=320；x2=110．19．椭圆Г：=1（a＞b＞0）过点（1，），且直线l过椭圆Г的上顶点和左焦点，椭圆中心到直线l的距离等于焦距长的．（1）求椭圆Г的方程；（2）若一条与坐标轴不平行且不过原点的直线交椭圆Г于不同的两点M、N，点P为线段MN的中点，求证：直线MN与直线OP不垂直．20．厦门日报讯，2016年5月1日上午，厦门海洋综合行政执法支队在公务码头启动了2016年休渔监管执法的首日行动，这标志着厦门海域正式步入为期4个半月的休渔期．某小微企业决定囤积一些冰鲜产品，销售所囤积鱼品的净利润y万元与投入x万元之间近似满足函数关系：f（x）=若投入2万元，可得到净利润为5.2万元．（1）试求该小微企业投入多少万元时，获得的净利润最大；（2）请判断该小微企业是否会亏本，若亏本，求出投入资金的范围；若不亏本，请说明理由（参考数据：ln2=0.7，ln15=2.7）21．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与抛物线和y轴分别交于点P、Q，且|PF|=2|PQ|（1）求抛物线的方程；（2）过点F作互相垂直的两直线分别交抛物线于点A、B、C、D，求四边形ACBD面积的最小值．22．函数f（x）=（﹣x2+ax+a）e x（a＞0，e是自然常数）（1）当x∈[0，1]时，函数f（x）的最大值是，求a的值；（2）当x∈（0，1]时，证明：2x3﹣x2﹣x＞．参考答案与试题解析一、选择题（每题5分）1．已知a，b∈R，i是虚数单位，若3+bi与a﹣i互为共轭复数，则|a+bi|等于（）A．B．5 C．D．10【考点】复数求模．【分析】由已知求得a，b的值，然后代入复数模的计算公式得答案．【解答】解：∵3+bi与a﹣i互为共轭复数，∴a=3，b=1，则|a+bi|=|3+i|=．故选：C．2．用反证法证明命题：“若a，b，c为不全相等的实数，且a+b+c=0，则a，b，c至少有一个负数”，假设原命题不成立的内容是（）A．a，b，c都大于0 B．a，b，c都是非负数C．a，b，c至多两个负数D．a，b，c至多一个负数【考点】反证法与放缩法．【分析】用反证法证明数学命题时，应先假设结论的否定成立．【解答】解：“a，b，c中至少有一个负数”的否定为“a，b，c都是非负数”，由用反证法证明数学命题的方法可得，应假设“a，b，c都是非负数”，故选：B．3．已知命题p：∀x∈R，x2+x+1≤0，则（）A．p是真命题，￢p：∃x0∈R，使得x02+x0+1＞0B．p是真命题，￢p：∀x∈R，使得x2+x+1＞0C．p是假命题，￢p：∃x0∈R，使得x02+x0+1＞0D．p是假命题，￢p：∀x∈R，使得x2+x+1＞0【考点】全称命题．【分析】根据一元二次函数和不等式的关系判断命题的真假，根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．【解答】解：命题是全称命题，∵判别式△=1﹣4=﹣3＜0，∴∀x∈R，x2+x+1＞0，故命题p是假命题，∵命题是全称命题则命题的否定是￢p：∃x0∈R，使得x02+x0+1＞0，故选：C．4．函数f（x）的导函数为f′（x），若f（x）=sinx，则下列等式正确的是（）A．f（）=f′（）B．f（）=f′（）C．f（）=f′（）D．f（）=f′（）【考点】导数的运算．【分析】根据基本导数公式求导，再根据各选项可知若f（x）=f′（x），则sinx=cosx，判断即可．【解答】解：∵f（x）=sinx，∴f′（x）=cosx，若f（x）=f′（x），∴sinx=cosx，∴sin=cos，∴f（）=f′（），故选：D．5．2016法国欧洲杯比赛于6月中旬揭开战幕，随机询问100人是否喜欢足球，得到如下的2×2列联表：喜欢足球不喜欢足球总计男35 15 50女25 25 50总计60 40 100参考公式k2=，（其中n=a+b+c+d）临界值表：P（K2≥k0）0.05 0.025 0.010k0 3.841 5.024 6.635参照临界值表，下列结论正确的是（）A．有95%的把握认为“喜欢足球与性别相关”B．有95%的把握认为“喜欢足球与性别无关”C．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为“喜欢足球与性别无关”D．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为“喜欢足球与性别有关”【考点】独立性检验的应用．【分析】根据条件求出观测值，同所给的临界值进行比较，根据4.17＞3.841，即可得到结论．【解答】解：由题意K2=≈4.17，由于P（x2≥3.841）≈0.05，∴有95%把握认为“喜欢足球与性别相关”．故选：A．6．下列选项中，与其他三个选项所蕴含的数学推理不同的是（）A．独脚难行，孤掌难鸣B．前人栽树，后人乘凉C．物以类聚，人以群分D．飘风不终朝，骤雨不终日【考点】合情推理的含义与作用．【分析】利用归纳推理、演绎推理的定义，即可得出结论．【解答】解：由题意，根据归纳推理是由特殊到一般的推理过程，可得A，C，D是归纳推理，B是演绎推理，故选：B．7．已知过双曲线Г：=1（a＞0，b＞0）的右焦点F2作圆x2+y2=a2的切线，交双曲线Г的左支交于点A，且AF1⊥AF2，则双曲线的渐近线方程是（）A．y=±2x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】设切点为M，连接OM，运用切线的性质，以及中位线定理，可得AF1=2a，由双曲线的定义，可得AF2=2a+AF1=4a，再由勾股定理，可得c2=5a2，结合a，b，c的关系，可得b=2a，进而得到双曲线的渐近线方程．【解答】解：设切点为M，连接OM，可得OM⊥AF2，AF1⊥AF2，可得AF1∥OM，且OM=a，AF1=2a，由双曲线的定义，可得AF2=2a+AF1=4a，在直角三角形AF1F2中，AF12+AF22=F1F22，即为4a2+16a2=4c2，即有c2=5a2，由c2=a2+b2，可得b=2a，可得双曲线的渐近线方程为y=±x，即为y=±2x．故选：A．8．定义在R上的函数f（x），其导函数是f′（x），若x•f′（x）+f（x）＜0，则下列结论一定正确的是（）A．3f（2）＜2f（3）B．3f（2）＞2f（3）C．2f（2）＜3f（3）D．2f（2）＞3f（3）【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】构造函数g（x）=xf（x）求函数的导数，利用函数的单调性即可求不等式．【解答】解：设g（x）=xf（x），则g′（x）=[xf（x）]′=xf′（x）+f（x）＜0，即函数g（x）=xf（x）单调递减，显然g（2）＞g（3），则2f（2）＞3f（3），故选：D．9．“a=4或a=﹣3“是”函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10“的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用导数与极值的关系、简易逻辑的判定方法即可判断出结论．【解答】解：f（x）=x3+ax2+bx+a2，f′（x）=3x2+2ax+b．∵f（x）在x=1处有极值10，∴f′（1）=3+2a+b=0，1+a+b+a2=10，化为a2﹣a﹣12=0，解得a=4或a=﹣3．反之不成立，f（x）在x=1处不一定有极值10．故“a=4或a=﹣3“是”函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10”的必要不充分条件．故选：A．10．记半径为1的圆为C1，C1的外切正三角形的外接圆为C2，C2的外切正三角形的外接圆C3，…C n﹣1的外切正三角形的外接圆为C n，则C16的面积是（）A．215•πB．216•πC．230•πD．232•π【考点】归纳推理．【分析】由题意，C1的半径为1，C2的半径为2，…C16的半径为215，即可求出C16的面积．【解答】解：由题意，C1的半径为1，C2的半径为2，…C16的半径为215，∴C16的面积是230•π，故选：C．11．函数f（x）图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）A．f（x）=lnx﹣sinx B．f（x）=lnx+cosx C．f（x）=lnx+sinx D．f（x）=lnx﹣cosx【考点】函数的图象．【分析】由图象可知，f（1）＞f（）＞0，分别对A，B，C，D计算f（1），f（），再比较即可．【解答】解：由图象可知，f（1）＞f（）＞0，当x=1时，对于A：f（1）=ln1﹣sin1＜0，不符合，对于D，f（1）=ln1﹣cos1＜0，不符合，对于B：∵f（）=ln+cos=ln，f（1）=ln1+cos1=cos1，对于C：∵f（）=ln+sin=ln+1，f（1）=ln1+sin1=sin1，∴f（）＞f（1），不符合故选：B12．点M在抛物线C：x2=2py（p＞0）上，以M为圆心的圆与x轴相切于点N，过点N作直线与C相切于点P（异于点O），OP的中点为Q，则（）A．点Q在圆M内B．点Q在圆M上C．点Q在圆M外D．以上结论都有可能【考点】抛物线的简单性质．【分析】设切点的坐标，可得切线方程，进而可得N，M的坐标，即可得出结论．【解答】解：设P（a，b），则∵x2=2py，∴y=x2，∴y′=，∴过P的切线的方程为y﹣b=（x﹣a），即y=x﹣b，令y=0，可得x==，代入抛物线C：x2=2py，可得y==，∴M（，）OP的中点为Q（，），∴|MQ|=，∴点Q在圆M上，故选：B．二、填空题（每题5分）13．若i为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z表示复数z，则复数= ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由图得到点Z对应的复数z，代入复数，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，则答案可求．【解答】解：由图可知：z=﹣1+2i．则复数==，故答案为：．14．已知命题p：a≥2；命题q：对任意实数x∈[﹣1，1]，关于x的不等式x2﹣a≤0恒成立，若p且q是真命题，则实数a的取值范围是[2，+∞）．【考点】复合命题的真假．【分析】根据不等式恒成立求出命题q的等价条件，结合p且q是真命题，建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：命题q：对任意实数x∈[﹣1，1]，关于x的不等式x2﹣a≤0恒成立，即a≥x2，恒成立，∵0≤x2≤1，∴a≥1，若p且q是真命题，则p，q同时为真命题，则，即a≥2，故答案为：[2，+∞）15．已知点P是椭圆Г：=1（a＞b＞0）上的一点，F1、F2为椭圆的左、右焦点，若∠F1PF2=60°，且△PF1F2的面积为a2，则椭圆的离心率是．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由∠F1PF2=60°，△PF1F2的面积为a2，可得|PF1|•|PF2|．再根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，利用余弦定理得到a，c的关系，即可求出椭圆的离心率．【解答】解：由∠F1PF2=60°，△PF1F2的面积为a2，可得|PF1|•|PF2|•sin∠F1PF2=|PF1|•|PF2|=a2，∴|PF1|•|PF2|=a2．再根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a．再利用余弦定理可得4c2=|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|•cos60°=（|PF1|+|PF2|）2﹣3PF1•PF2=4a2﹣3a2，求得a=2c，∴e==．故答案为：．16．已知函数f（x）=（m≠0），则下列结论正确的是①④①函数f（x）是奇函数，且过点（0，0）；②函数f（x）的极值点是x=±；③当m＜0时，函数f（x）是单调递减函数，值域是R；④当m＞0时，函数y=f（x）﹣a的零点个数可以是0个，1个，2个．【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【分析】利用函数的解析式对4个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：①∵f（﹣x）=﹣=﹣f（x），∴函数f（x）是奇函数，∵f（0）=0，∴函数f（x）过点（0，0），故正确；②m＞0，函数f（x）的极值点是x=±；，故不正确③当m＜0时，x=0，f（0）=0，x≠0，f（x）=，函数f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）单调递减函数，故不正确；④当m＞0时，x=0，f（0）=0，x≠0，f（x）=，大致图象如图所示所以函数y=f（x）﹣a的零点个数可以是0个，1个，2个．正确．故答案为：①④．三、解答题17．已知函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x﹣3（1）若函数f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为y=﹣9x+b，求b的值；（2）求函数f（x）的极值．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求导数，f′（x）=3x2﹣6x﹣9，根据函数在图象上某点导数值和过该点切线斜率的关系即可求出x0的值，从而求出切点的坐标，进而求出b的值；（2）根据二次函数的图象容易判断导数的符号，根据极值的定义便可求出函数f（x）的极大值和极小值．【解答】解：（1）f′（x）=3x2﹣6x﹣9，根据题意，；∴x0=0，或2；∴①当x0=0时，f（x0）=﹣3；∴切线方程为y=﹣9x﹣3；∴b=﹣3；=2时，f（x0）=﹣25；②当x切线方程为y=﹣9x﹣7；∴b=﹣7；（2）f′（x）=3（x﹣3）（x+1）；∴x＜﹣1时，f′（x）＞0，﹣1＜x＜3时，f′（x）＜0，x＞3时，f′（x）＞0；∴f（x）的极大值为f（﹣1）=2，f（x）的极小值为f（3）=﹣30．18．网购已成为当今消费者喜欢的购物方式，某机构对A、B、C、D四家同类运动服装网店的关注人数x（千人）与其商品销售件数y（百件）进行统计对比，得到表格：网店A B C D名称x 3 4 6 7y 11 12 20 17由散点图得知，可以用回归直线方程y=bx+a来近似刻画它们之间的关系（1）求y与x的回归直线方程；（2）在（1）的回归模型中，请用R2说明，销售件数的差异有多大程度是由关注人数引起的？（精确到0.01）参考公式：：；；R2═1﹣参考数据：x i y i=320；x2=110．【考点】线性回归方程．【分析】（1）根据所给的数据，做出x，y的平均数，即得到这组数据的样本中心点，根据最小二乘法做出线性回归方程的系数，写出线性回归方程．（2）相关指数R2的计算公式，求得R2的值，即可求得销售件数的差异有多大程度是由关注人数引起的．【解答】解：（1）由==5，==15，x i y i=320，=110，===2，∴=15﹣2×5=5，∴线性回归方程为=2x+5；（2）（y i﹣）2=54，（y i﹣）2=14，R2═1﹣=1﹣=0.74，说明销售件数的差异有74%程度是由关注人数引起的．19．椭圆Г：=1（a＞b＞0）过点（1，），且直线l过椭圆Г的上顶点和左焦点，椭圆中心到直线l的距离等于焦距长的．（1）求椭圆Г的方程；（2）若一条与坐标轴不平行且不过原点的直线交椭圆Г于不同的两点M、N，点P为线段MN的中点，求证：直线MN与直线OP不垂直．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）利用点到直线的距离公式整理可知a=2b，将点（1，）代入椭圆方程计算可知a=2、b=1，进而可得结论；（2）通过设点M（x1，y1）、N（x2，y2）、P（x0，y0），结合中点坐标公式，将点M、N代入椭圆方程并做差，计算即得结论．【解答】（1）解：椭圆中心到l的距离为==×2c，即a=2b，点（1，）代入椭圆方程，得：a=2、b=1，∴椭圆Г的方程为：+y2=1；（2）证明：法一：设点M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，y0），则，，∵•=﹣，即•=﹣，∴k MN•k OP=﹣≠﹣1，即直线MN与直线OP不垂直．法二：设直线方程为y=kx+b，M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，y0），联立，整理得：（1+4k2）x2+8kbx+4b2﹣4=0，∴x1+x2=﹣，y1+y2=k（x1+x2）+2b=，∴k OP===﹣，∵k MN•k OP=﹣≠﹣1，∴直线MN与直线OP不垂直．20．厦门日报讯，2016年5月1日上午，厦门海洋综合行政执法支队在公务码头启动了2016年休渔监管执法的首日行动，这标志着厦门海域正式步入为期4个半月的休渔期．某小微企业决定囤积一些冰鲜产品，销售所囤积鱼品的净利润y万元与投入x万元之间近似满足函数关系：f（x）=若投入2万元，可得到净利润为5.2万元．（1）试求该小微企业投入多少万元时，获得的净利润最大；（2）请判断该小微企业是否会亏本，若亏本，求出投入资金的范围；若不亏本，请说明理由（参考数据：ln2=0.7，ln15=2.7）【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）由题意可得f（2）=5.2，解得a=﹣4，讨论2≤x≤15时，求得导数和单调区间、极值和最值；由0＜x＜2时，f（x）的单调性可得f（x）的最大值；（2）讨论0＜x＜2时，f（x）＜0的x的范围，由f（x）在[2，15]的端点的函数值，可得f（x）＞0，即可判断企业亏本的x的范围．【解答】解：（1）由题意可知，当x=2时，f（2）=5.2，即有aln2﹣×22+×2=5.2，解得a=﹣4．则f（x）=．当2≤x≤15时，f（x）=﹣4lnx﹣x2+x，f′（x）=﹣﹣x+=﹣，当2＜x＜8时，f′（x）＞0，f（x）递增；当8＜x＜15时，f′（x）＜0，f（x）递减．当2≤x≤15时，f（x）max=f（8）=﹣4ln8﹣16+36=11.6．当0＜x＜2时，f（x）＜2×4﹣（2ln2）×2=5.2．故该小微企业投入8万元时，获得的净利润最大；（2）当0＜x＜2时，2x2﹣（2ln2）x＜0，解得0＜x＜ln2，该企业亏本；当2≤x≤15时，f（2）=5.2，f（15）=﹣4ln15﹣×152+×15=0.45＞0，则f（x）min=f（15）=0.45＞0，综上可得，0＜x＜ln2，即0＜x＜0.7时，该企业亏本．21．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与抛物线和y轴分别交于点P、Q，且|PF|=2|PQ|（1）求抛物线的方程；（2）过点F作互相垂直的两直线分别交抛物线于点A、B、C、D，求四边形ACBD面积的最小值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）求得抛物线的焦点和准线方程，以及P，Q的坐标，运用抛物线的定义和两点的距离公式，解方程可得p=4，进而得到抛物线的方程；（2）设AB：x=my+2，CD：x=﹣y+2（m≠0），联立抛物线方程，消去x，得到y的方程，运用韦达定理和弦长公式可得|AB|，|CD|，由四边形的面积公式可得S=|AB||CD|，运用基本不等式即可得到所求最小值．【解答】解：（1）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F（，0），准线方程为x=﹣，由题意可得P（，4），Q（0，4），由|PF|=2|PQ|，结合抛物线的定义可得|PF|=+，即有+=2•（p＞0），解得p=4，则抛物线的方程为y2=8x；（2）由（1）知：F（2，0），设AB：x=my+2，CD：x=﹣y+2（m≠0），联立AB方程与抛物线的方程得：y2﹣8my﹣16=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=8m，y1y2=﹣16，∴|AB|=•=•=8（1+m2），同理：|CD|=8（1+）．∴四边形ACBD的面积：S=|AB||CD|=32（1+m2）（1+）=32（2+m2+）≥128．当且仅当m2=即：m=±1时等号成立．∴四边形ACBD的面积的最小值为128．22．函数f（x）=（﹣x2+ax+a）e x（a＞0，e是自然常数）（1）当x∈[0，1]时，函数f（x）的最大值是，求a的值；（2）当x∈（0，1]时，证明：2x3﹣x2﹣x＞．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间，得到函数的最大值，从而求出a的值即可；（2）问题转化为（﹣x2+x+）e x＜（1﹣），设g（x）=﹣x2+x+）e x，设h（x）=（1﹣），根据函数的单调性分别求出其最大值和最小值，从而证出结论．【解答】解：（1）由题意得：f′（x）=﹣（x+2）（x﹣a）e x，a＞0时，由f′（x）≥0，解得：﹣2≤x≤a，∴f（x）在[﹣2，a]递增，在（﹣∞，﹣2]，[a，+∞）递减，a≥1时，f（x）在[0，1]递增，∴f（x）max=f（1）=（2a﹣1）e=，解得：a=+＜1，不合题意，舍，0≤a＜1时，f（x）在[0，a]递增，在[a，1]递减，∴f（x）max=f（a）=ae a=，解得：a=，符合题意，综上，存在a=，使得x∈[0，1]时，f（x）的最大值是；（2）当x∈（0，1]时，要证：2x3﹣x2﹣x＞，即证（﹣x2+x+）e x＜（1﹣），设g（x）=﹣x2+x+）e x，由（1）可得g（x）max=g（）=，设h（x）=（1﹣），h′（x）=，h（x）在（0，1]递减，h（x）min=h（1）=，∴（﹣x2+x+）e x＜（1﹣），即2x3﹣x2﹣x＞．2016年9月4日。
福建省厦门市同安第一中学2020-2021学年度高二上学期数学期中试卷及答案解析
福建省厦门市同安第一中学2020-2021学年度高二上学期数学期中试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.经过点，且倾斜角为30︒的直线方程是（ ）．A.21)3y x +=+ B.21)y x -=-360y -+-= 20y -+=2.若直线0x y a ++=平分圆222410x y x y +-++=，则a 的值为（ ） A.1B.－1C.2D.－23.椭圆2214x y m +=的焦距为2，则m 的值等于（ ）A.5B.3C.5或3D.84.方程22(2)(2)0x y x x y +++-=表示的曲线是( ) A.一个圆和一条射线 B.一个圆和一条直线 C.一个圆D.一条直线5.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开关两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为(2,0)B -，若将军从山脚下的点(3,0)A 处出发，河岸线所在直线方程为4x y +=，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）A.3C.3D.1636.设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为（ ）A.22144x y -= B.2214y x -=C.2214x y -= D.221x y -=7.在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,2A -，()1,0N ，若动点M 满足MA MO= ，则·OM ON 的取值范围是（ ）A.[]0,2B.0,⎡⎣C.[]22-,D.-⎡⎣8.在平而直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点为A ，以A 为圆心的圆与直线0ax by -=交于M N 、两点，且60MAN ∠=︒，5ON OM =，则C 的离心率为（ ）A.2B.3C.12D.3第II 卷（非选择题）二、填空题(1－4a)y ＋8＝0与(5a －2)x ＋(a ＋4)y －7＝0垂直，则实数a ＝_____．10.已知相交两圆221:4C x y +=，圆222,(2)4C x y -+=，公共弦所在直线方程为___________，公共弦的长度为___________.11.已知抛物线2y =的焦点为F ，P 为抛物线上位于x 轴上方的一点，点P 到抛物线准线的距离为d ，O 为坐标原点，若POF 的面积为dPO=______. 12.已知双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)，过x 轴上点P 的直线与双曲线的右支交于M ，N 两点（M 在第一象限），直线MO 交双曲线左支于点Q （O 为坐标原点），连接QN .若∠MPO =120°，∠MNQ =150°，则该双曲线的渐近线方程为____ .三、解答题13.已知ABC 的周长为8且点A ,B 的坐标分别是()-, (),动点C 的轨迹为曲线Q . （1）求曲线Q 的方程;（2）直线l 过点()1,1P ,交曲线Q 于M ,N 两点,且P 为MN 的中点,求直线l 的方程.14.在ABC 中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，已知()cos 2cos a C b c A =-. （1）求角A 的大小； （2）若a =2b =，求ABC 的面积.15.在①355a a +=，47S =；②243n S n n =+；③42514S S =，5a 是3a 与92的等比中项，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目. 已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若________. （1）求n a ； （2）记2221n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和T n .16.已知抛物线24y x =，与圆22:(1)1F x y -+=，直线:4MN x my =+与抛物线相交于M ，N 两点.（1）求证：OM ON ⊥.（2）若直线MN 与圆F 相切，求OMN ∆的面积S .17.如图，在三棱锥P ABC -中，底面是边长为2的正三角形，PA ⊥底面ABC ，点,,E F G 分别为,,AC PC PB 的中点，且异面直线AG 和PC 所成的角的大小为3π．（1）求证：平面BEF ⊥平面PAC ； （2）求三棱锥C ABF -的体积．18.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率是2，短轴长为2，A ，B 分别是E 的左顶点和下顶点，O 为坐标原点. （1）求E 的标准方程；（2）设点M 在E 上且位于第一象限，ABM 的两边BM 和AM 分别与x 轴、y 轴交于点C 和点D ，求CDM 的面积的最大值.四、新添加的题型）A.点斜式()11y y k x x -=-适用于不垂直于x 轴的任何直线B.斜截式y kx b =+适用于不垂直于x 轴的任何直线C.两点式112121y y x x y y x x --=--适用于不垂直于x 轴和y 轴的任何直线 D.截距式1x ya b+=适用于不过原点的任何直线 20.已知直线l 与圆22: 240C x y x y a ++-+=相交于A ，B 两点，弦1AB k =的中点为()0,1M ．下列结论，正确的是（ ）A.实数a 的取值范围为3a <B.实数a 的取值范围为5a <C.直线l 的方程为10x y +-=D.直线l 的方程为10x y -+=21.已知1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 作倾斜角为30的直线分别交y 轴与双曲线右支于点,M P ，1PM MF =，下列判断正确的是（ ）A.21π3PF FB.2112MF PF =C.ED.E的渐近线方程为y =22.已知抛物线2:2C y px =()0p >的焦点为F F ，直线l 与抛物线C 交于点A 、B 两点（点A 在第一象限），与抛物线的准线交于点D ，若8AF =，则以下结论正确的是（ ）A.4p =B.DF FA =C.2BD BF =D.4BF =参考答案1.C【解析】1.根据倾斜角求得斜率，再求点斜式方程即可.因为直线倾斜角为30︒，故直线斜率为30tan ︒=.故直线方程为：)21y x -=-，360y -+=. 故选：C . 2.A【解析】2.将圆的圆心代入直线方程即可.解：因为直线0x y a ++=平分圆222410x y x y +-++=， 又圆的标准方程为22(1)(2)4x y -++=， 所以直线经过圆心(1,2)-，120a -+=所以1a =， 故选：A ． 3.C【解析】3.根据椭圆方程的标准形式，求出a ，b ，c 的值，即可列出方程，从而求得m 的值． 由题意知椭圆焦距为2，即c ＝1， 当焦点在x 轴上时，则22,4a m b ==，41m ，即5m =，当焦点在y 轴上时，则224,ab m ，41m ∴-=，即3m =，∴m 的值为5或3.故选：C. 4.B【解析】4.化简方程可得出对应的曲线.22(2)(2)0x y x x y +++-=, 2220x y x ∴++=或20x y +-=，即表示圆22(1)1x y ++=或直线20x y +-=， 故选：B 5.B【解析】5.先求点(2,0)B -关于直线4x y +=对称的点(,)C a b ，再根据两点之间线段最短，即可得解.如图，设(2,0)B -关于直线4x y +=对称的点为(,)C a b ，则有242212a bb a -⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩ ，可得46a b =⎧⎨=⎩，可得(4,6)C ，依题意可得“将军饮马”的最短总路程为AC ，此时AC == 故选：B. 6.D【解析】6.由抛物线的焦点()1,0可求得直线l 的方程为1yx b+=，即得直线的斜率为b -，再根据双曲线的渐近线的方程为b y x a =±，可得b b a -=-，1bb a-⨯=-即可求出,a b ，得到双曲线的方程．由题可知，抛物线的焦点为()1,0，所以直线l 的方程为1yx b+=，即直线的斜率为b -， 又双曲线的渐近线的方程为b y x a =±，所以b b a -=-，1bb a-⨯=-，因为0,0a b >>，解得1,1a b ==． 故选：D ． 7.D【解析】7.设出M 的坐标为(,)x y ，依据题目条件，求出点M 的轨迹方程22(2)8x y +-=，写出点M 的参数方程，则·22os OM ON θ=，根据余弦函数自身的范围，可求得·OM ON 结果.设(,)M x y ，则∵MA MO=，()0,2A -=∴2222(2)2()x y x y ++=+∴22(2)8x y +-=为点M 的轨迹方程∴点M的参数方程为2x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数）则由向量的坐标表达式有：·22os OM ON θ=又∵cos [1,1]θ∈-∴2·2[OM ON θ=∈- 故选：D 8.C【解析】8.根据题意可设出MN 的中点为G ，由5ON OM =可得出2MG OM =即2MG OM =，在Rt OAG 可求出tan AOG ∠即为直线直线0ax by -=的斜率ab，从而可得到C 的离心率.设MN 的中点为G ，则MG GN =， 由5ON OM =，得25OM MN OM MG OM -=-=， 即2MG OM =， 设OM t =，2MG t =，在等边MAN ∆中，AG =，在Rt OAG 中有tan AOG ∠2AG AG OG OM MG t t ====++， 而直线0ax by -=的斜率是a b， 所以a b =2222344()a b a c ==-， 解得12c e a == 故选：C9.0或1【解析】9.试题分析：两直线互相垂直，满足()()()()04412523=+-+-+a a a a ，整理为02=-a a ，解得0=a 或1=a .10.1x =【解析】10.直接由两圆方程作差可得1x =，将1x =代入224x y +=可解得y = 结合12l y y =-即可求解联立2222(24)4x y x y ⎧+=⎨⎩-+=作差可得1x =，将1x =代入224x y +=可解得y =12l y y =-=故答案为：1x =；11.21【解析】11.由抛物线2y =，求得焦点坐标和准线方程，然后再利用12POF P S OF y ==△求得点p 的坐标求解.因为抛物线2y =，所以)F，准线方程为x =12POF P S OF y ==△所以P y =代入抛物线方程中可得P x =则d =OP ，所以21d OP =.12.y =±x【解析】12.由题意可知：M ，Q 关于原点对称，得到k MN ⋅k QN =b2a 2，分别求出相应的斜率，再根据离心率公式，即可求解.由题意可知：M ，Q 关于原点对称，∴k MN ⋅k QN =b2a 2， 又由∠MPO=120°，∠MNQ =150°，则k MN =√3，k QN =√33，∴b 2a2=1，渐近线方程为y=±x .13.（1）()2210164x y y +=≠；（2）450x y +-=【解析】13.（1）依题意知AB =8BC AC +=.结合8>得出点C 到两个定点的距离之和等于定值,则点C 的轨迹是椭圆,设椭圆方程方,再结合椭圆的性质得4a =,c =,24b =,所以的椭圆的方程是()2210164x y y +=≠. （2）设()11,M x y ,()22,N x y ,根据两点在椭圆上,联立方程组,2211222211641164x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,两式相减整理可得122x x +=,122y y +=,可得斜率14-,由点斜式可得直线l 的方程. 解:（1）∵ABC的周长为8,点()A -,()B ,∴AB =8BC AC +=.∵8>C 到两个定点的距离之和等于定值,∴点C 的轨迹是椭圆,设它的方程为()222210x y a b a b+=>>.∴4a =,c =,24b =,∴椭圆的方程是()2210164x y y +=≠.（2）设()11,M x y ,()22,N x y ,两点在椭圆上,所以2211222211641164x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩, 两式相减可得()()()()121212120164x x x x y y y y +-+-+=,∵122x x +=,122y y +=,代入可得121214y y x x -=--,∴直线l 的方程是()1114y x -=--,即450x y +-=. 14.（1）3A π=;（2【解析】14.（1）由正弦定理化简()cos 2cos a C b c A =-可得1cos 2A =，即可得到结论； （2）由余弦定理可得2230c c --=，解得3c =，再利用三角形面积公式即可. （1）在ABC 中，由正弦定理得：()sin cos 2sin sin cos A CBC A =-，即sin cos 2sin cos sin cos A C B A C A =-，即()sin cos sin cos sin 2sin cos A C C A A C B A +=+=，又()sin sin A C B +=， 所以sin 2sin cos ,0π,0B B A B sinB =<<≠， 则1cos ,0π2A A =<<，得3A π=. （2）由题意，a =2b =，3A π=，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，即2230c c --=，解得1c =-（舍）或3c =，所以11sin 23sin 223ABC S bc A π==⨯⨯⨯=. 15.（1）12n n a +=；（2）469n n T n =+.【解析】15. （1）若选择条件①，由355a a +=得出1265a d +=，根据47S =得出143472a d ⨯+=，最后两式联立，即可得出结果；若选择条件②，可根据1n n n a S S -=-得出结果；若选择条件③，由42514S S =得出()()11546142a d a d ⨯+=+，根据5a 是3a 与92的等比中项得出()()2119422a d a d +=+，然后两式联立，通过计算即可得出结果； （2）本题首先可根据12n n a +=得出1122123nb n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，然后通过裂项相消法求和即可得出结果.（1）选择条件①：设等差数列{}n a 的公差为d ， 则1126543472a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得1112a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，故12n n a += ；选择条件②：243n S n n =+，当2n ≥时，2214443(1)3(1)22n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=+⎣⎦， 即12(2)n n a n +=≥， 当1n =时，21113114a S +⨯===，也适合上式， 故12n n a +=； 选择条件③：设等差数列{}n a 的公差为d ，则()()()()112115461429422a d a d a d a d ⎧⨯+=+⎪⎨+=+⎪⎩， 解得11a =、12d =或10a =、0d =（不合题意），故12n n a +=. （2）因为12n n a +=， 所以22214112(21)(23)2123n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅++++⎝⎭， 故12n n T b b b 111111235572123n n …⎛⎫=-+-++- ⎪++⎝⎭ 114232369n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 16.（1）证明见解析；（2）【解析】16.（1）直线与抛物线联立，可得1216y y =-，2212121644y y x x =⋅=，可证得12120OM ON x x y y ⋅=+=，故得证；（2）由直线MN 与圆F 相切，可求得m ,利用弦长公式，点到直线距离公式，可求得,O MN MN d -，即得解.（1）设()11,M x y ，()22,N x y 联立22441604x my y my y x=+⎧⇒--=⎨=⎩，1216y y ∴=-2212121644y y x x =⋅=， 12120OM ON x x y y ∴⋅=+=，即OM ON ⊥.（2）直线MN 与圆相切，218d m ==∴=， ∴原点到直线MN 的距离43==，12MN y =-==，114223O MN S MN d -=⋅=⋅⋅=17.（1）证明见解析；（2【解析】17.（1）由线面垂直的判定可证得BE ⊥平面PAC ，由面面垂直的判定可证得结论； （2）取BC 中点Q ，由异面直线所成角定义可确定3AGQ π∠=，结合垂直和长度关系可确定AGQ △为等边三角形，由此求得PA 的长，由体积桥可计算求得C ABF V -，即为所求体积.（1）ABC 为正三角形，E 为AC 中点，BE AC ∴⊥，PA ⊥平面ABC ，BE ⊂平面ABC ，BE PA ∴⊥， ,PA AC ⊂平面PAC ，PAAC A =，BE ∴⊥平面PAC ， 又BE ⊂平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面PAC .（2）取BC 中点Q ，连接,GQ AQ ，,G Q 分别为,PB BC 中点，1//2GQ PC ∴， 异面直线AG 与PC 所成角大小为3π，3AGQ π∴∠=， PA ⊥平面ABC ，,AB AC ⊂平面ABC ，PA AB ∴⊥，PA AC ⊥，又AB AC =，PB PC ∴=， G 为PB 中点且PA AB ⊥，1122AG PB PC GQ ∴===，AGQ ∴为等边三角形，AG GQ AQ ∴===∴=PCPA ∴=1124ACF ACP SS PA AC ∴==⋅=， 由（1）知：BE ⊥平面PAC ，1333C ABF B ACF ACF V V S BE --∴==⋅==.18.（1）2214x y +=；（21. 【解析】18.（1）先由短轴长得b ，再根据条件列,a c 关系，计算即得结果；（2）先数形结合可知CDM 的面积是ABM 面积减去四边形ABCD 的面积S ，分别计算S 为定值和ABM 面积最大值即求得CDM 的面积最大值.解：（1）因为椭圆E 的离心率c e a ==，短轴长为2，所以1b =.又因为222a b c =+，解得2,a c ==.故椭圆E 的方程为2214x y +=； （2）如图所示，设点()()0000,02,01,(,0),(0,)M x y x y C m D n <<<<.(2,0)A -，且A ，D ，M 三点共线，0022y n x ∴=+，得00202y n x =>+，又()0,1B - 所以00000222||1122y x y BD n x x ++==+=+=++， 同理得00022||1x y AC y ++=+，又AC BD ⊥， 因此四边形ABCD 的面积1||||2S AC BD =⋅00000012222221x y x y x y ++++=⋅⋅++()()()2000022221x y x y ++=++()22000000000044484222x y x y x y x y x y +++++=+++. 又因为点()00,M x y 在椭圆上，所以220014x y +=，即220044x y +=， 代入上式得()0000000044882222x y x y S x y x y +++==+++. 设过点M 且与直线AB 平行的直线l 的方程为1(0)2y x t t =-+>， 当l 与椭圆相切时，M 到AB 的距离d 最大，为两平行线之间的距离，得ABM 面积最大. 联立221,21,4y x t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得222220x tx t -+-=，所以()22(2)4220t t ∆=--=，解得t =.所以直线l的方程为20x y +-=，即min d =所以()max 112ABM S ==. 所以CDM的面积的最大值为(121+-=. 19.ABC【解析】19.利用直线方程不同形式的限制条件进行判断正误；对A ，B ，如果直线垂直于x 轴，其斜率不存在，故A ，B 正确；对C ，分母不为0，所以适用于不垂直于x 轴和y 轴的任何直线，故C 正确； 对D ，与坐标轴平行的直线也不能用截距式表示，故D 错误；故选：ABC.20.AD【解析】20.方程表示圆以及点()0,1M 在圆内可解得a 的取值范围，又由CM AB ⊥解得AB k ，然后利用点斜式写出直线l 的方程.若弦AB 的中点为()0,1M ，则点()0,1M 一定在圆内，且方程表示圆，501410a a ->⎧⎨-⨯+<⎩，得3a <，故A 正确； 由圆的方程得，圆心坐标为()1,2C -，又()0,1M ，则1CM k =-，则1AB k =，由点斜式得，直线l 的方程为1y x -=，即10x y -+=，故D 正确.故选：AD.21.BCD【解析】21.根据2//OM PF 和直角三角形的性质可知A 错误，B 正确；利用半通径长和焦距之间的比例关系可构造齐次方程求得离心率，知C 正确；由离心率可得渐近线斜率，由此知D 正确.1PM MF =，即M 为1PF 中点，O 为12F F 中点，2//OM PF ∴，12OM F F ⊥，212PF F F ∴⊥，212PF F π∴∠=，2112MF PF =，A 错误，B 正确； 由212PF F F ⊥知：22b PF a=，又122F F c =，1230PF F ∠=，22c a =)222c a ac -=，220e -=，解得：e =，C 正确；c e a ==223c a ∴=，22222b c a a ∴=-=，b a∴=，E ∴的渐近线方程为y =，D 正确.故选：BCD.22.ABC【解析】22.作出图形，利用抛物线的定义、相似三角形等知识来判断各选项命题的正误. 如下图所示：分别过点A 、B 作抛物线C 的准线m 的垂线，垂足分别为点E 、M .抛物线C 的准线m 交x 轴于点P ，则PF p =，由于直线l 60，//AE x 轴，60EAF ∴∠=，由抛物线的定义可知，AE AF =，则AEF ∆为等边三角形，60EFP AEF ∴∠=∠=，则30PEF ∠=，228AF EF PF p ∴====，得4p =， A 选项正确；2AE EF PF ==，又//PF AE ，F ∴为AD 的中点，则DF FA =，B 选项正确； 60DAE ∴∠=，30ADE ∴∠=，22BD BM BF ∴==（抛物线定义），C 选项正确；2BD BF=，118333 BF DF AF∴===，D选项错误. 故选：ABC.。
2020年福建省厦门市国际学校高二数学文期末试卷含解析
2020年福建省厦门市国际学校高二数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在中,已知,则等于（）．（A）19 （B）（C）（D）参考答案：D略2. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）A．B．C．D．参考答案：B3. 棱台上、下底面面积之比为,则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是( )A．Ｂ．Ｃ．Ｄ．参考答案：C 解析：中截面的面积为个单位，4. 圆与圆的位置关系是（）A、相离B、相外切C、相交D、相内切参考答案：C5. 下列有关命题的说法错误的为（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“|x|＜2”是“x2﹣x﹣6＜0”的充分不必要条件C．命题“存在∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是“对任意x∈R，均有x2+x+1≥0”D．若p∧q为假命题，则p，q均为假参考答案：D【考点】命题的真假判断与应用．【分析】写出原命题的逆否命题，可判断A；根据充要条件的定义，可判断B；写出原命题的否定可判断C；根据复合命题真假判断的真值表，可判断D．【解答】解：命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，故A正确；“|x|＜2”?“﹣2≤x≤2“，“x2﹣x﹣6＜0”?“﹣2≤x≤3“，故“|x|＜2”是“x2﹣x﹣6＜0”的充分不必要条件，故B正确；命题“存在∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是“对任意x∈R，均有x2+x+1≥0”，故C正确；p∧q为假命题，则p，q中存在假命题，但不一定均为假，故D错误；故选：D6. “直线与平面内无数条直线垂直”是“直线与平面垂直”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件参考答案：B7. 设，则“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件参考答案：A分析：首先求解绝对值不等式，然后求解三次不等式即可确定两者之间的关系.详解：绝对值不等式，由.据此可知是的充分而不必要条件.本题选择A选项.点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8. 如图，在边长为2的正六边形ABCDEF内任取一点P，则点P到正六边形六个顶点的距离都大于1的概率为（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】先求出正六边形的面积，再求出到正六边形一个顶点的距离小于等于的图形面积，利用面积比即可求出结果.【详解】因为正六边形的边长为2，所以其面积为；又到正六边形顶点的距离小于等于1的图像面积为，所以点到正六边形六个顶点的距离都大于的概率为.故选A.【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型，熟记概率计算公式即可，属于基础题型.9. 对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据（x i，y i）（i=1，2，…8），其回归直线方程是x+a，且x1+x2+x3+…+x8=2（y1+y2+y3+…+y8）=6，则实数a的值是（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】BK：线性回归方程．【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a 的方程，解方程即可．【解答】解：∵x1+x2+x3+…+x8=2（y1+y2+y3+…+y8）=6，∴=， =，∴样本中心点的坐标为（，），代入回归直线方程得， =×+a，∴a=．故选：B10. 下面说法正确的有:（1）演绎推理是由一般到特殊的推理；（2）演绎推理得到的结论一定是正确的；（3）演绎推理一般模式是“三段论”形式；（4）演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形有关A．1个 B、2个 C、3个 D、4个参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知椭圆与双曲线在第一象限的交点为，则点到椭圆左焦点的距离为_________________；参考答案：12. 设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使不等式成立的x的取值范围是__________．参考答案：13. 一个多面体从前面、后面、左侧、右侧、上方看到的图形分别如图所示（其中每个正方形边长都为1），则该多面体的体积为_________，表面积为___________．参考答案：试题分析:如图,从三视图所提供的信息可以看出该几何体是一个正方体截取一个三棱锥角所剩余的几何体,其体积,表面积,故应填.考点：三视图的识读和理解．14. 命题“”是假命题，则的取值范围为__________.参考答案：15. 已知函数f（x）=kx+1，其中实数k随机选自区间[﹣2，1]．对?x∈[0，1]，f（x）≥0的概率是．参考答案：【考点】几何概型．【分析】由题意知本题是一个几何概型，概率的值对应长度之比，根据题目中所给的条件可求k的范围，区间的长度之比等于要求的概率．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，概率的值对应长度之比，∵﹣2≤k≤1，其区间长度是3又∵对?x∈[0，1]，f（x）≥0且f（x）是关于x的一次型函数，在[0，1]上单调∴∴﹣1≤k≤1，其区间长度为2∴P=故答案为：．16. 已知函数的最大值是，当取得最小值时，的取值为__________参考答案：17. 由直线上的动点P引圆的两切线，切点为，则四边形的面积最小值为 .参考答案：8三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2021年福建省厦门市外国语学校高二数学文上学期期末试题含解析
2021年福建省厦门市外国语学校高二数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 将正整数排成下表：则在表中数字2017出现在（）A．第44行第80列B．第45行第80列C．第44行第81列D．第45行第81列参考答案：D观察可得每一行的最后一个数分别为1,4,9,16…,由此归纳出第n行的最后一个数为,又,所以2017出现在第45行,又2017-1936=81,故2017出现在第81列,应选D.2. 两平行线与间的距离为（）A． B． C． D．参考答案：C3. 两定点F1（﹣3，0），F2（3，0），P为曲线=1上任意一点，则（）A．|PF1|+|PF2|≥10B．|PF1|+|PF2|≤10C．|PF1|+|PF2|＞10 D．|PF1|+|PF2|＜10参考答案：B【考点】曲线与方程．【分析】根据题意，曲线=1表示的图形是图形是以A（﹣5，0），B（0，4），C（5，0），D（0，﹣4）为顶点的菱形，而满足|PF1|+|PF2|=10的点的轨迹恰好是以A、B、C、D为顶点的椭圆，由此结合椭圆的定义即可得到|PF1|+|PF2|≤10．【解答】解：∵F1（﹣3，0），F2（3，0），∴满足|PF1|+|PF2|=10的点在以F1、F2为焦点，2a=10的椭圆上可得椭圆的方程为，∵曲线=1表示的图形是图形是以A（﹣5，0），B（0，4），C（5，0），D（0，﹣4）为顶点的菱形∴菱形ABCD的所有点都不在椭圆的外部，因此，曲线=1上的点P，必定满足|PF1|+|PF2|≤10故选：B．4. 为大力提倡“厉行节约，反对浪费”，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下2×2列联表：参照附录，得到的正确结论是( )A．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”B．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”C.有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”D．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”参考答案：D5. 设离散型随机变量ξ的概率分布如下：则p的值为( )A． B. C． D.参考答案：A试题分析：∵＋＋＋p＝1，∴p＝，故选A．考点：分布列6. 在两个变量y与x的回归模型中，选择了4个不同模型，其中拟合效果最好的模型是（）A．相关指数R2为0.95的模型B．相关指数R2为0.81的模型C．相关指数R2为0.50的模型D．相关指数R2为0.32的模型参考答案：A【考点】BG：变量间的相关关系．【分析】相关指数R2越大，拟合效果越好．【解答】解：相关指数R2越大，拟合效果越好．∵R2=0.95在四个选项中最大，∴其拟合效果最好，故选：A．【点评】本题考查了拟合效果的判断，相关指数R2越大，拟合效果越好；属于基础题．7. 曲线y=2x2在点P(1，2)处的切线方程是（）A 4x-y-2=0B 4x+y-2=OC 4x+y+2=OD 4x-y+2=0参考答案：A 8. 已知数列的前项和，而，通过计算，猜想等于( )A、 B、 C、 D、参考答案：B9. 已知，若不等式的解集为，则的值为()A．B．C．D．参考答案：C略10. 如果a < 0 , -1 < b < 0 ,那么下列不等式成立的是（）A ．a> ab > a B． ab > a>a C．ab >a > a D．a>ab >a参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在△ABC中，已知=2，且∠BAC=30°，则△ABC的面积为．参考答案：1【考点】平面向量数量积的运算．【专题】转化思想；分析法；平面向量及应用．【分析】运用向量的数量积的定义，可得||||cos30°=2，即有||||=4，再由三角形的面积公式计算即可得到所求值．【解答】解：由=2，且∠BAC=30°，可得||||cos30°=2，即有||||=4，可得△ABC的面积为||||sin30°=4=1．故答案为：1．【点评】本题考查向量的数量积的定义，考查三角形的面积公式的运用，属于基础题．12. 已知平面区域如图所示，在平面区域内取得最大值的最优解有无数多个，则 .参考答案：13. 给出下列命题：①若，则；②若，且，则；③若，则；④若，则.其中假命题是________(只需填序号)．参考答案：③④略14. 数列{a n}满足a1=2016，前n项和S n=（1+2+…+n）?a n，对任意n∈N*成立，则a2015= ．参考答案：【考点】数列递推式．【分析】由前n项和S n=（1+2+…+n）?a n=a n，可得n≥2时，a n=S n﹣S n，化为：=．利用“累乘求积”即可得出．【解答】解：∵前n项和S n=（1+2+…+n）?a n=a n，∴n≥2时，a n=S n﹣S n=a n﹣，化为： =．∴a n=??…?a1=??…××××2016=．∴a2015==．故答案为：．15. 已知向量，，，函数的图象在轴上的截距为，并且过点(Ⅰ)求函数的单调区间；(Ⅱ)若是三角形的内角，，求的值．参考答案：解.(1)证明:过B作CD的垂线交CD于F,则在在,故由(2),同理,因此.设点B1到平面的距离为d,则,从而略16. 函数的值域是.参考答案：17. 函数f （x ）=x 3+sinx，（﹣1＜x＜1），若f（x2）+f（﹣x）＞0，则实数x的取值范围是：．参考答案：（﹣1，0）【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】根据题意，分析可得函数f（x）为奇函数且在（﹣1，1）上增函数，由此可以将f（x2）+f（﹣x）＞0转化为，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）=x3+sinx，f（﹣x）=（﹣x）3+sin（﹣x）=﹣（x3+sinx）=﹣f （x），故函数f（x）为奇函数，其导数f′（x）=3x2+cosx，又由﹣1＜x＜1，则有f′（x）=3x2+cosx≥0，故函数f（x）为增函数，f（x2）+f（﹣x）＞0?f（x2）＞﹣f（﹣x）?f（x2）＞f（x）?，解可得：﹣1＜x＜0，即x的取值范围是（﹣1，0）；故答案为：（﹣1，0）三、解答题：本大题共5小题，共72分。
福建省厦门市2021-2022学年高二上学期期末质量检测数学试题及答案
福建省厦门市2021-2022学年高二上学期期末质量检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．直线12l l ⊥，若1l 的倾斜角为60°，则2l 的斜率为（ ）A B ．C D ．2．等差数列{}n a 中，466a a +=，84a =，则2a =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．已知{},,a b c 是空间的一个基底，AB a b =+，AC a c =+，AD b c λ=+，若,,,A B C D 四点共面．则实数λ的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．24．抛物线有一条重要的性质：平行于抛物线的轴的光线，经过抛物线上的一点反射后经过它的焦点．反之，从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．已知抛物线28y x =，从点()14,A y 发出一条平行于x 轴的光线，经过抛物线两次反射后，穿过点()24,B y ，则光线从A 出发到达B 所走过的路程为（ ） A ．8B ．10C ．12D ．145．“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的门洞．如图，某园林中的圆弧形挪动高为2.5m ，底面宽为1m ，则该门洞的半径为（ ）A ．1.2mB ．1.3 mC ．1.4 mD ．1.5 m6．直线l 的方向向量为()1,0,1m =-，且l 过点()1,1,1A ，则点()1,1,1P --到l 的距离为( )A B CD ．7．在四面体OABC 中，OA OB OC ==，60AOB AOC ∠==︒，90BOC ∠=°，则OB 与AC 所成角的大小为（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°8．椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，E 上存在两点A 、B 满足122F A F B =，243AF a =，则E 的离心率为（ ）AB ．23CD ．12二、多选题9．圆()2221:0C x y r r +=>与圆222:430C x y x +-+=只有1个公共点，则r 的值可以是（ ） A ．4B ．3C ．2D ．110．曲线2:14x C y y +=，则（ ）A ．C 上的点(),x y 满足x ∈R ，1y ≤B ．C 关于x 轴、y 轴对称 C ．C 与x 轴、y 轴共有3个公共点D ．C 与直线2xy =只有1个公共点 11．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，CA CB ⊥，1CA CB CC ==，D ，E ，M 分别为11B C ，1CC ，1AB 的中点，点N 是棱AC 上一动点，则( )A ．1MN BC ⊥B ．存在点N ，MN ⊥平面1BC N C ．MN ∥平面1A DED ．存在点N ，MN DE ∥12．设函数()21,0,1,0x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩数列{}n a 满足()1n n a f a +=，则（ ）A ．当112a =时，1n a < B ．若{}n a 为递增数列，则11a > C ．若{}n a 为等差数列，则10a ≤ D ．当12a =时，12311111na aa a ++++< 三、填空题13．写出直线210x y ++=的一个方向向量m =______．14．双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点(),0F c 到C，则C 渐近线方程为______．15．如图的一系列正方形图案称为谢尔宾斯基地毯，图案的做法是：把一个正方形分成9个全等的小正方形，对中间的一个小正方形进行着色得到第1个图案（图1）；在第1个图案中对没有着色的小正方形再重复以上做法得到第2个图案（图2）；以此类推，每进行一次操作，就得到一个新的正方形图案，设原正方形的边长为1，记第n 个图案中所有着色的正方形的面积之和为n a ，则数列{}n a 的通项公式n a =______．四、双空题16．圆()()22:224C x y -+-=与x 轴相切于点A ．点B 在圆C 上运动，则AB 的中点M 的轨迹方程为______（当点B 运动到与A 重合时，规定点M 与点A 重合）；点N 是直线0x y +=上一点，则MN AN +的最小值为______． 五、解答题17．数列{}n a 的前n 项和为n S ，2n S n =．(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)令11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()2,0A ，120OAB ABC ∠=∠=︒，2AB =．(1)求直线BC 的方程；(2)记OAB 的外接圆为圆M ，若直线OC 被圆M 截得的弦长为4，求点C 的坐标．19．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为AC 的中点，点P 在棱1BB 上．(1)若112BP PB =，证明：1D O 与平面PAC 不垂直； (2)若1D O ⊥平面PAC ，求平面1PCD 与平面PAC 的夹角的余弦值．20．在平面直角坐标系xOy 中，点()4,0M ，直线l x ⊥轴，垂足为H ，HN NM =，圆N 过点O ，与l 的公共点的轨迹为Γ． (1)求Γ的方程；(2)过M 的直线与Γ交于A ，B 两点，若2MA MB =，求AB ．21．2017年复门金砖会晤期间产生碳排放3095吨．2018年起厦门市政府在下潭尾湿地生态公园通过种植红树林的方式中和会晤期间产生的碳排放，拟用20年时间将碳排放全部吸收，实现“零碳排放”目标，向世界传递低碳，环保办会的积极信号，践行金砖国家倡导的可持续发展精神．据研究估算，红树林的年碳吸收量随着林龄每年递增2%，2018年公园已有的红树林年碳吸收量为130吨，如果从2019年起每年新种植红树林若干亩，新种植的红树林当年的年碳吸收量为m （0m >）吨．2018年起，红树林的年碳吸收量依次记1a ，2a ，3a ，…(1)∥写出一个递推公式，表示1n a +与n a 之间的关系； ∥证明：{}50n a m +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；(2)为了提前5年实现厦门会蹈“零碳排放”的目标，m 的最小值为多少？ 参考数据：141.02 1.32≈，151.02 1.35≈，161.02 1.37≈22．已知椭圆()2222:10x y a b a bΓ+=>>，焦点()1,0F ，A ，B 是Γ上关于原点对称的两点，ABF 的周长的最小值为4+ (1)求Γ的方程；(2)直线F A与Γ交于点M（异于点A），直线FB与Γ交于点N（异于点B），证明：直线MN过定点．参考答案：1．D 【解析】 【分析】直线12l l ⊥,斜率乘积为1-， 斜线斜率等于倾斜角的正切值. 【详解】1tan60k =︒121k k ，所以2k =.故选：D. 2．B 【解析】 【分析】根据给定条件利用等差数列性质直接计算作答. 【详解】在等差数列{}n a 中，因466a a +=，84a =，而2846a a a a +=+，于是得246a +=，解得22a =，所以22a =. 故选：B 3．A 【解析】 【分析】由共面定理列式得AB x AC y AD =+，再根据对应系数相等计算. 【详解】因为,,,A B C D 四点共面，设存在有序数对(),x y 使得AB x AC y AD =+，则()()a b x a c y b c λ+=+++，即()a b xa yb x y c λ+=+++，所以得1,1x y λ===-.故选：A 4．C 【解析】 【分析】利用抛物线的定义求解. 【详解】 如图所示：焦点为()2,0F ，设光线第一次交抛物线于点A '，第二次交抛物线于点B '，A B ''过焦点F ，准线方程为：2x =-，作AA ''垂直于准线于点A ''，作BB ''垂直于准线于点B ''， 则AA A B B B ''''++，AA A F B F B B ''''=+++，AA A A B B B B ''''''''=+++， 6612AA BB ''''=+=+=，故选：C 5．B 【解析】 【分析】设半径为R ，根据垂径定理可以列方程求解即可. 【详解】设半径为R ，()22212.52R R ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭,解得251544R +=,化简得 1.3R =.故选：B. 6．C【解析】 【分析】利用向量投影和勾股定理即可计算. 【详解】∥()1,1,1A ，()1,1,1P -- ∥()0,2,2AP =-- 又()1,0,1m =-，∥AP 在m 方向上的投影2cos 2AP m AP AP m m ⋅⋅⋅=== ∥P到l 距离2||(d AP -= 故选：C. 7．B 【解析】 【分析】以{,,}OA OB OC 为空间的一个基底，求出空间向量求,OB AC 的夹角即可判断作答. 【详解】在四面体OABC 中，,,OA OB OC 不共面，则AC OC OA =-，令1OA OB OC ===， 依题意，1()cos90cos602AC OB OC OA OB OC OB OA OB ⋅=-⋅=⋅-⋅=-=-，设OB 与AC 所成角的大小为θ，则||1cos |cos ,|2||||AC OB AC OB AC OB θ⋅=〈〉==，而090θ<≤，解得60θ=，所以OB 与AC 所成角的大小为60. 故选：B 8．A 【解析】 【分析】作点B 关于原点的对称点C ，连接1BF 、1CF 、2CF 、BC ，推导出A 、1F 、C 三点共线，利用椭圆的定义可求得1AF 、2AF 、AC 、2CF ，推导出290CAF ∠=，利用勾股定理可得出关于a 、c 的齐次等式，即可求得该椭圆的离心率. 【详解】作点B 关于原点的对称点C ，连接1BF 、1CF 、2CF 、BC ，则O 为BC 、12F F 的中点，故四边形12BF CF 为平行四边形，故12//CF BF 且12CF BF =，则12CF F B =，所以，112F A CF =，故A 、1F 、C 三点共线， 由椭圆定义，122AF AF a +=，有123AF a =，所以13aCF =，则AC a =，再由椭圆定义122CF CF a +=，有253aCF =， 因为22222CF AC AF =+，所以290CAF ∠=，在12AF F △中，2221212F F AF AF =+即222049c a =，所以，离心率e =． 故选：A. 9．BD 【解析】 【分析】根据圆与圆的位置关系，列出r 的等量关系式，求解即可. 【详解】对圆1C ，其圆心为()0,0，半径为r ；对圆2C ，其圆心为()2,0，半径为1，则122C C =，因为圆()2221:0C x y r r +=>与圆222:430C x y x +-+=只有1个公共点，故圆12,C C 外切或内切，则21r =+或21r =-，故可得1r =或3r =. 故选：BD . 10．ACD 【解析】 【分析】去掉绝对值即可根据双曲线和椭圆的性质判断. 【详解】220,:14x y C y +=表示椭圆在x 轴上方的部分，220,:14x y C y <-=表示双曲线在x 轴下方的部分，作出图象：双曲线的一条渐近线为2x y =， 故选项ACD 正确，选项B 错误. 故选：ACD. 11．AD 【解析】 【分析】A ：连接11,BCBC ，证明1BC ⊥平面1AB C 即可；B ：建立空间直角坐标系，判断MN 与BN 是否可能垂直即可； CD ：当N 是AC 中点时，MN ∥DE . 【详解】 A 选项：连接11,BC B C ，由题可知四边形11BCC B 是正方形，则11BC B C ⊥， 由题知平面11BCC B ⊥平面ABC ，平面11BCC B 平面ABC BC =，AC BC ⊥，AC ⊂平面ABC ，∥AC ⊥平面11BCC B ，又111BC BCC B ⊂，∥1AC BC ⊥， 又1B C AC C ⋂=，1,B C AC ⊂平面1AB C ，∥1BC ⊥平面1AB C ， ∥MN ⊂平面1AB C ，∥1BC MN ⊥. 故A 正确； B 选项：如图建立空间直角坐标系，设AC ＝BC ＝1CC ＝2，则()0,0,0C ，()2,0,0B ，()0,2,0A ，()12,0,2B ，()1,1,1M ，设()0,,0N t ，02t <<，则()2,,0BN t =-，()1,1,1NM t =-，若BN ∥MN ，则()0210BN NM t t ⋅=⇒-+-=，即220t t -+=，方程无实数根，即BN 与MN 不垂直，则不存在点N ，使得MN ⊥平面1BC N ，B 错误； C 选项：当N 是AC 中点时，MN ∥1B C ，1B C ∥DE ，∥MN ∥平面1A DE ；当N 不是AC 中点时，MN 和B 1C 相交，若MN ∥平面1A DE ，结合1B C ∥平面1A DE 可知平面1AB C ∥平面1A DE ，这显然与图形不符(1A E 与AC 相交)，故此时MN 与平面1A DE 不平行；故C 错误； D 选项：由C 项可知，N 为AC 中点满足题意，故D 正确.故选：AD. 12．AD 【解析】 【分析】分(],0n a ∈-∞，()0,1n a ∈，()1,n a ∈+∞，1n a =四种情况讨论，在逐一分析判断各个选项即可得出答案. 【详解】解：∥(],0n a ∈-∞时，()110n n n a f a a +==-≤，∥()0,1n a ∈时，()()()211110,1n n n n n n a f a a a a a +==-+=-+∈， ∥()1,n a ∈+∞时，()()211111n n n n n n a f a a a a a +==-+=-+>，∥1n a =时，()2111n n n n a f a a a +==-+=，因此，11211,0,1,0n n nn a a a a a a +-≤⎧=⎨-+>⎩，有10a ≤时，11n n a a +-=-，10a >时，()211n n n a a a +-=-，对于选项A ，()110,12a =∈，1n a <，故A 正确；对于选项B ，{}n a 为递增数列时，则10n n a a +->，当0n a ≤时，110n n a a +=-≤，则110n n a a +-=-<，不符题意，当0n a >时，211n n n a a a +=-+，则()2212110n n nn n a a a a a +-=-+=->， 所以10a >且11a ≠，综上10a >且11a ≠，故B 错误；对于选项C ，{}n a 为等差数列时，则1n n a a d +-=，（d 为常数）， 当0n a ≤时，11n n a a +=-，则11n n a a +-=-，符合题意，当0n a >时，211n n n a a a +=-+，则()221211n n nn n a a a a a +-=-+=-， 要使()21n a -为常数，则10n a -=，所以11a =，综上10a ≤或11a =（其中，11a =时，{}n a 为常数列），故C 错误；对于选项D ，12a =，211n n n a a a +-=-，有()11111111n n n n na a a a a +==----，所以111111n n n a a a +=---， 则1212231111111111111111+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n n a a a a a a a a a 111111n a a +=---， 因为121a =>，所以11n a +>，即1101n a +>-，所以121111111n a a a a ++⋅⋅⋅+<=-，故D 正确. 故选：AD ． 13．()1,2- 【解析】 【分析】本题可先将直线的一般式化为斜截式，然后根据斜率即可得到直线的一个方向向量. 【详解】由题意可知，直线210x y ++=可以化为21y x =--， 所以直线的斜率为2-，直线的一个方向向量可以写为()1,2-.故答案为：()1,2-.14．y = 【解析】 【分析】根据给定条件求出双曲线的渐近线，再用点到直线的距离公式计算作答 【详解】双曲线2222:1x y C a b-=的渐近线为：b y x a =±，即0bx ay ±=，==b =，所以C 渐近线方程为y =.故答案为：y = 15．()819n-【解析】 【分析】根据题意，归纳总结，结合等比数列的前n 项和公式，即可求得{}n a 的通项公式. 【详解】结合已知条件，归纳总结如下： 第一个图案中，着色正方形的面积即119a =； 第二个图案中，新着色的正方形面积是189a ，故着色正方形的面积即2118999a =+⨯；第三个图案中，新着色的正方形面积是289a ，故着色正方形的面积即231181899999a ⎛⎫=+⨯+⨯ ⎪⎝⎭；第n 个图案中，新着色的正方形面积是189n a -，故着色正方形的面积即2111818189999999n n a -⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故18199819nna ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==-()819n -.故答案为：()819n-.16． ()()22211x y -+-=1 【解析】 【分析】将点M 的轨迹转化为以AC 为直径的圆，再确定圆心及半径即可求解，将MN AN +的最小值转化为点到圆心的距离再减去半径可求解. 【详解】依题意得()2,0A ，()2,2C ，因为M 为AB 中点，所以CM AM ⊥， 所以点M 的轨迹是以AC 为直径的圆，又AC 中点为()2,1，2AC =， 所以点M 的轨迹方程为()()22211x y -+-=，圆心()2,1D ，设()2,0A 关于直线0x y +=的对称点为(),A m n '， 则有0122022n m m n -⎧=⎪⎪-⎨+⎪+=⎪⎩，解得02m n =⎧⎨=-⎩，所以()0,2A '-，所以由对称性可知MN AN +的最小值为111A D '-==．故答案为：()()22211x y -+-=1 17．(1)21n a n =-；(2)21n nT n =+. 【解析】 【分析】(1)根据给定条件结合“当2n ≥时，1n n n a S S -=-”计算作答. (2)由(1)求出n b ，利用裂项相消法计算得解. (1)数列{}n a 的前n 项和为n S ，2n S n =，当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，111a S ==，满足上式，则21n a n =-， 所以数列{}n a 的通项公式是21n a n =-． (2)由(1)知，()()111111()212122121n n n b a a n n n n +===-⋅-+-+，所以1211111111[(1)()()()]2335572121n n T b b b n n =+++=-+-+-++--+11(1)22121n n n =-=++，所以数列{}n b 的前n 项和21n nT n =+． 18．0y +-=； (2)(2,. 【解析】 【分析】(1)延长CB 交x 轴于点N ，根据给定条件求出ANB ∠即可计算作答.(2)利用待定系数法求出圆M 的方程，再由给定弦长确定C 点位置，推理计算得解. (1)延长CB 交x 轴于点N ，如图，因120OAB ∠=︒，则60NAB ∠=︒，又2AB OA ==，则有(B ，又120ABC ∠=︒，于是得60ANB ∠=︒，则直线BC 的倾斜角为120°，直线BC的斜率BC k =)3y x -，即0y +-=所以直线BC0y +-=. (2)依题意，设圆M 的方程为22220D E 4F 0x y Dx Ey F ++++=+->，，由(1)得：04209330F D F D F ⎧=⎪++=⎨⎪+++=⎩，解得20D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 于是得圆M的方程为2220x y x +--=，即()(2214x y -+=，圆心(M ，半径2r =，因直线OC 被圆M 所截的弦长为4，则直线OC过圆心(M，其方程为y =，由0y y +-=⎪⎩解得2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩(2,C ，所以点C的坐标是(2,. 19．(1)证明见解析【解析】 【分析】（1）设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，计算出10DO AP ⋅≠，即可证得结论成立； （2）利用空间向量法可求得平面1PCD 与平面PAC 的夹角的余弦值. (1)证明：以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则()0,0,0A 、()1,1,0O 、()2,2,0C 、()10,2,2D ， 由112BP PB =得P 点的坐标为22,0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，()11,1,2DO =--，22,0,3AP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为1203D O AP ⋅=≠， 所以1D O 与AP 不垂直，所以1D O 与平面PAC 不垂直．(2)解：设()()2,0,02P a a ≤≤，则()2,0,AP a =，()2,2,0AC =，因为1D O ⊥平面PAC ，所以1D O AP ⊥，所以1220DO AP a ⋅=-=，得1a =， 且1220DO AC ⋅=-=，即1D O AC ⊥， 所以()0,2,1CP =-，()12,0,2CD =-，设平面1PCD 的法向量为(),,m x y z =，由122020m CD x z m CP y z ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩，取1y =，可得()2,1,2m =，因为1D O ⊥平面PAC ，所以平面PAC 的一个法向量为()11,1,2DO =--，所以111cos ,6m D O m D O m DO⋅<>==-⋅ 所以平面1PCD 与平面PAC20．(1)24y x =； (2) 【解析】 【分析】(1)设出圆N 与l 的公共点坐标，再探求出点N 的坐标，并由圆的性质列出方程化简即得. (2)设出直线AB 的方程，与Γ的方程联立，结合已知条件并借助韦达定理计算作答. (1)设(),P x y 为圆N 与l 的公共点，而直线l x ⊥轴，垂足为H ，则(),0H x ，又()4,0M ，HN NM =，于是得4,02x N +⎛⎫⎪⎝⎭，因O ，P 在圆N 上，即NO NP =， 则有42x +=，化简整理得：24y x =，所以Γ的方程为24y x =. (2)显然直线AB 不垂直于y 轴，设直线AB 的方程为4x my =+，()11,A x y ，()22,B x y由244x my y x =+⎧⎨=⎩消去x 并整理得：24160y my --=，则124y y m +=，1216y y =-． 因为2MA MB =，则点A 到x 轴距离是点B 到x 轴距离的2倍，即122y y =-， 由1212216y y y y =-⎧⎨=-⎩解得12y y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩12y y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩1242y ym +==，因此有12AB y =-= 所以AB =21．(1)∥1 1.02n n a a m +=+；∥证明见解析，()113050 1.0250n n a m m -=+⨯-(2)最少为6.56吨【解析】 【分析】（1）∥根据题意直接写出一个递推公式即可； ∥要证明{}50n a m +是等比数列，只要证明15050n n a ma m+++为一个常数即可，求出等比数列{}50n a m +的通项公式，即可求出{}n a 的通项公式；（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，根据题意求出15S ，利用分组求和法求出数列{}n a 的前n 项和，再令153095S >，解之即可得出答案. (1)解：∥依题意得()()12132130,12%,12%a a a m a a m ==++=++, 则1 1.02n n a a m +=+，∥因为1 1.02n n a a m +=+，所以150 1.0251n n a m a m ++=+， 所以()150 1.0250n n a m a m ++=+，因为150130500a m m +=+≠ 所以数列{}50n a m +是等比数列，首项是13050m +，公比是1.02， 所以()15013050 1.02n n a m m -+=+⨯，所以()113050 1.0250n n a m m -=+⨯-；(2)解：记n S 为数列{}n a 的前n 项和， 151215S a a a =+++()()()14130505013050 1.025013050 1.0250m m m m m m ⎡⎤=+-++⨯-+++⨯-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()141305013050 1.0213050 1.021550m m m m =+++⨯+++⨯-⨯()()15130501 1.027501 1.02m m +-=--()()130501 1.357501 1.02m m +-≈--2275125m =+，依题22751253095m +≥，所以 6.56m ≥， 所以m 最少为6.56吨． 22．(1)22143x y +=(2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）设椭圆Γ的左焦点为F '，根据椭圆的对称性可得BF AF '=，则三角形ABF 的周长为22a AO +，再设(),A x y 根据二次函数的性质得到AO b ≥，即可求出ABF 的周长的最小值为22a b +，从而得到224a b +=+221a b -=，即可求出a 、b ，从而求出椭圆方程；（2）设直线MN 的方程x my n =+，0m ≠，()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，再设直线FA 的方程11x m y =+、()33,A x y ，直线FB 的方程21x m y =+、()33,B x y --，联立直线方程，消元列出韦达定理，即可表示3y ，即可得到()221122123340m y m y y y +++=，整理得()()()()2212121234121310y y m y y m b n y y ++++-+-=，再代入122634mn y y m +=-+，212231234n y y m -=+，即可得到()580m n -=，从而求出n ，即可得解； (1)设椭圆Γ的左焦点为F '，则由对称性，BF AF '=，所以ABF 的周长为22AF BF AB AF AF AB a AO '++=++=+设(),A x y ，则AO b =， 当A ，B 是椭圆Γ的上下顶点时，ABF 的周长取得最小22a b +，所以224a b +=+2+=a b ()1,0F ，所以221a b -=，所以()()1a b a b -+=，所以2a b -=解得2a =，b =Γ的方程为22143x y +=.(2)解：当A ，B 为椭圆左右顶点时，直线MN 与x 轴重合； 当A ，B 为椭圆上下顶点时，可得直线MN 的方程为85x =；设直线MN 的方程x my n =+，0m ≠，()11,M x y ，()22,N x y ，由22143x my nx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2223463120m y mny n +++-=，0∆>，122634mn y y m +=-+，212231234n y y m -=+， 设直线FA 的方程11x m y =+，其中1111x m y -=，()11,M x y ，()33,A x y ， 由1221143x m y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()221134690m y m y ++-=，0∆>，1321934y y m -=+，()3211934y m y -=+， 设直线FB 的方程21x m y =+，其中2221x m y -=，()22,N x y ，()33,B x y --由2221143x m y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222234690m y m y ++-=，0∆>，2322934y y m --=+，()3222934y m y -=-+ 所以()()221122993434m y m y --=+-+，所以()()22112234340m y m y +++=， 所以()221122123340m y m y y y +++=，2222121122121211x x m y m y y y y y ⎛⎫⎛⎫--+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()()2221221212121211411my n my n y y m y y m n n y y y y +-+-+=+=++-+- 则()()()()221212121231213140y y my y m n n y y y y +++-+-++=，即 ()()()()2212121234121310y y my y m b n y y ++++-+-=，代入122634mn y y m +=-+，212231234n y y m -=+，得()()()2222663412131034312mn mn m m n n m n --++-+-=+-，整理得()580m n -=，又0m ≠所以85n =，直线MN 的方程为85x my =+，综上直线MN 过定点8,05⎛⎫⎪⎝⎭。
2020-2021学年福建省厦门市康桥学院高二数学理上学期期末试题含解析
2020-2021学年福建省厦门市康桥学院高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若函数的图象与轴有公共点，则的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：A2. 在中，“”是“”的（）．（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件参考答案：C略3. 已知的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )A. －80B. －40C. 40D. 80参考答案：D【分析】中，给赋值1求出各项系数和,列出方程求出，展开式中常数项为的常数项与的系数和，利用二项展开式的通项公式求出通项,进而可得结果【详解】令二项式中的为1得到展开式的各项系数和为，，展开式中常数项为的常数项与的系数和展开式的通项为，令得;令，无整数解，展开式中常数项为，故选D.【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与各项系数和，属于中档题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.4. 已知等比数列中，是方程的两个根，则等于A. 1或B.C. 1D. 2参考答案：C5. 已知,则（）A．B．C．D．参考答案：B略6. 椭圆上有一点P，F1，F2是椭圆的左、右焦点，△F1PF2为直角三角形，则这样的点P有（）A．3个B．4个C．6个D．8个参考答案：C【考点】椭圆的简单性质．【分析】本题中当椭圆短轴的端点与两焦点的张角小于90°时，∠P为直角的情况不存在，此时等价于椭圆的离心率小于；当椭圆短轴的端点与两焦点的张角等于90°时，符合要求的点P有两个，即短轴的两个端点，此时等价于椭圆的离心率等于；当椭圆短轴的端点与两焦点的张角大于90°时，根据椭圆关于y轴对称这个的点P有两个．【解答】解：当∠F1为直角时，根据椭圆的对称性，这样的点P有两个；同理当∠F2为直角时，这样的点P有两个；由于椭圆的短轴端点与两个焦点所张的角最大，这里这个角恰好是直角，这时这样的点P也有两个．故符合要求的点P有六个．故选C．7. 易知点M是直线上的动点，点N为圆上的动点，则|MN|的最小值为（）A. B. 1 C. D.参考答案：A的最小值为,选A.8. 已知函数，若函数在区间[0,1]上是单调递减函数，则的最小值为 ( )A、 B、 C、2 D、1参考答案：A9. 如图，已知平面，、是上的两个点，、在平面内，且，，在平面上有一个动点，使得，则体积的最大值是（）A. B. C. D.参考答案：C略10. 已知过双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的中心的直线交双曲线于点A，B，在双曲线C上任取与点A，B不重合的点P，记直线PA，PB，AB的斜率分别为k1，k2，k，若k1k2＞k恒成立，则离心率e的取值范围为（）A．1＜e＜B．1＜e≤C．e＞D．e≥参考答案：D【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设A（x1，y1），P（x2，y2），由双曲线的对称性得B（﹣x1，﹣y1），从而得到k1k2=?=，将A，P坐标代入双曲线方程，相减，可得k1k2=，又k=，由双曲线的渐近线方程为y=±x，则k趋近于，可得a，b的不等式，结合离心率公式，计算即可得到．【解答】解：设A（x1，y1），P（x2，y2），由题意知点A，B为过原点的直线与双曲线﹣=1的交点，∴由双曲线的对称性得A，B关于原点对称，∴B（﹣x1，﹣y1），∴k1k2=?=，∵点A，P都在双曲线上，∴﹣=1，﹣=1，两式相减，可得：=，即有k1k2=，又k=，由双曲线的渐近线方程为y=±x，则k趋近于，k1k2＞k恒成立，则≥，即有b≥a，即b2≥a2，即有c2≥2a2，则e=≥．故选D．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，涉及到导数、最值、双曲线、离心率等知识点，综合性强，难度大，解题时要注意构造法的合理运用．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 一质点位移s(单位：米)与时间t(单位：秒)的运动方程为s=t2＋10，则该质点在t=3秒时的瞬时速度为▲。
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2020-2021厦门市高二数学上期末试题(附答案)一、选择题1．在区间[]0,1上随机取两个数x ，y ，记P 为事件“23x y +≤”的概率，则(P = ) A ．23B ．12C ．49 D ．292．如图，ABC ∆和DEF ∆都是圆内接正三角形，且//BC EF ，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在ABC ∆内”，B 表示事件“豆子落在DEF ∆内”，则(|)P B A =（ ）A ．334πB ．32πC ．13D ．233．学校为了解新课程标准提升阅读要求对学生阅读兴趣的影响情况，随机抽取了100名学生进行调查.根据调查结果绘制学生周末阅读时间的频率分布直方图如图所示：将阅读时间不低于30分钟的观众称为“阅读霸”，则下列命题正确的是（ ） A ．抽样表明，该校有一半学生为阅读霸 B ．该校只有50名学生不喜欢阅读 C ．该校只有50名学生喜欢阅读 D ．抽样表明，该校有50名学生为阅读霸4．若执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为( )A ．10072015B ．10082017C ．10092019D ．101020215．如果数据12,,,n x x x L 的平均数为x ，方差为28，则152x +，252x +，…，52n x +的平均数和方差分别为（ ） A ．x ，28B ．52x +，28C ．52x +，2258⨯D ．x ，2258⨯6．某市委积极响应十九大报告提出的“到2020年全面建成小康社会”的目标，鼓励各县积极脱贫，计划表彰在农村脱贫攻坚战中的杰出村代表，已知A ，B 两个贫困县各有15名村代表，最终A 县有5人表现突出，B 县有3人表现突出，现分别从A ，B 两个县的15人中各选1人，已知有人表现突出，则B 县选取的人表现不突出的概率是（ ） A ．13B ．47C ．23D ．567．《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出m 的值为67，则输入a 的值为( )A ．7B ．4C ．5D ．118．某工厂对一批新产品的长度(单位：mm )进行检测，如下图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数与平均数分别为( )A ．20，22.5B ．22.5，25C ．22.5，22.75D ．22.75，22.759．在R 上定义运算：A()1B A B =-，若不等式()x a -()1x a +<对任意的实数x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．11a -<<B ．02a <<C ．1322a -<< D ．3122a -<< 10．已知线段MN 的长度为6，在线段MN 上随机取一点P ，则点P 到点M ，N 的距离都大于2的概率为( ) A ．34B ．23C ．12D ．1311．已知统计某校1000名学生的某次数学水平测试成绩得到样本频率分布直方图如图所示，则直方图中实数a 的值是( )A ．0.020B ．0.018C ．0.025D ．0.0312．甲、乙两人约定晚6点到晚7点之间在某处见面，并约定甲若早到应等乙半小时，而乙还有其他安排，若他早到则不需等待，则甲、乙两人能见面的概率（ ） A ．38B ．34C ．35D ．45二、填空题13．已知四棱锥P ABCD -的所有顶点都在球O 的球面上，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形， 2.PA AB ==现在球O 的内部任取一点，则该点取自四棱锥P ABCD-的内部的概率为______． 14．阅读如图所示的程序框图，若，，，则输出的结果是________.15．玉林市有一学校为了从254名学生选取部分学生参加某次南宁研学活动，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为42的样本，那么从总体中应随机剔除的个体数目为__________．16．某公司的广告费支出x 与销售额y （单位：万元）之间有下列对应数据：由资料显示y 对x 呈线性相关关系。
x 2 4 5 6 8 y3040605070根据上表提供的数据得到回归方程y b x a ∧∧∧=+中的7b ∧=，预测广告费支出10万元时，销售额约为 _____________万元.（参考公式：a y b x ∧-∧-=-）17．从边长为4的正方形ABCD 内部任取一点P ，则P 到对角线AC 2的概率为________.18．投掷一枚均匀的骰子，则落地时，向上的点数是2的倍数的概率是_________， 19．使用如图所示算法对下面一组数据进行统计处理，则输出的结果为__________．数据：19.3a =，29.6a =，39.3a = 49.4a =，59.4a =，69.3a = 79.3a =，89.7a =，99.2a = 109.5a =，119.3a =，129.6a =20．为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，L ，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为__________．三、解答题21．A B 两个班共有65名学生，为调查他们的引体向上锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生引体向上的测试数据（单位：个），用茎叶图记录如下：(1)试估计B 班的学生人数；(2)从A 班和B 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，B 班选出的人记为乙，假设所有学生的测试相对独立，比较甲、乙两人的测试数据得到随机变量X .规定：当甲的测试数据比乙的测试数据低时，记1X =-；当甲的测试数据与乙的测试数据相等时，记X 0=；当甲的测试数据比乙的测试数据高时，记1X =.求随机变量X 的分布列及数学期望.(3)再从A 、B 两个班中各随机抽取一名学生，他们引体向上的测试数据分别是10，8（单位：个），这2个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记1μ，表格中数据的平均数记为0μ，试判断0μ和1μ的大小.（结论不要求证明）22．甲，乙两人玩摸球游戏，每两局为一轮，每局游戏的规则如下：甲，乙两人均从装有4只红球、1只黑球的袋中轮流不放回摸取1只球，摸到黑球的人获胜，并结束该局. （1）若在一局中甲先摸，求甲在该局获胜的概率；（2）若在一轮游戏中约定：第一局甲先摸，第二局乙先摸，每一局先摸并获胜的人得1分，后摸井获胜的人得2分，未获胜的人得0分，求此轮游戏中甲得分X 的概率分布及数学期望.23．某新上市的电子产品举行为期一个星期（7天）的促销活动，规定购买该电子产品可免费赠送礼品一份，随着促销活动的有效开展，第五天工作人员对前五天中参加活动的人数进行统计，y 表示第x 天参加该活动的人数，得到统计表格如下：x1 2 3 4 5 y 46102322（1）若y 与x 具有线性相关关系，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+$$$；（2）预测该星期最后一天参加该活动的人数（按四舍五入取到整数）．参考公式：()()()1122211nniii ii i nniii i x x y y x y nx ybx x xn x====---⋅==--⋅∑∑∑∑$，$ay bx =- 24．为了调查某中学学生在周日上网的时间，随机对名男生和名女生进行了不记名的问卷调查,得到了如下的统计结果： 表1：男、女生上网时间与频数分布表 上网时间（分钟） [30,40） [40,50） [50,60） [60,70） [70,80] 男生人数 5 25 30 25 15 女生人数1020402010（Ⅰ）若该中学共有女生750人,试估计其中上网时间不少于60分钟的人数； （Ⅱ）完成下表，并回答能否有90%的把握认为“学生周日上网时间与性别有关”？上网时间少于60分钟 上网时间不少于60分钟 合计男生 女生 合计附：公式22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中20()P k k ≥ 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.635 7.879 10.8325．某高校在2017年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如表： 组号 分组频率第1组 [)160,165 0.05 第2组[)165,1700.35170,175①第3组[)175,1800.20第4组[)180,1850.10第5组[]()1求出频率分布表中①处应填写的数据，并完成如图所示的频率分布直方图；()2根据直方图估计这次自主招生考试笔试成绩的平均数和中位数(结果都保留两位小数)．26．某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：组数分组低碳族的人数占本组的频率第一组[25，30)1200.6第二组[30，35)195p第三组[35，40)1000.5第四组[40，45)a0.4第五组[45，50)300.3第六组[50，55]150.3n a p的值；(1)补全频率分布直方图并求,,(2)从年龄段在[40，50)的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45)岁的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】由题意结合几何概型计算公式求解满足题意的概率值即可. 【详解】如图所示，01,01x y ≤≤≤≤表示的平面区域为ABCD ， 平面区域内满足23x y +≤的部分为阴影部分的区域APQ ，其中2,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，20,3Q ⎛⎫⎪⎝⎭，结合几何概型计算公式可得满足题意的概率值为1222233119p ⨯⨯==⨯. 本题选择D 选项.【点睛】数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，据此求解几何概型即可.2．D解析：D 【解析】如图所示，作三条辅助线，根据已知条件，这些小三角形全等，ABC ∆包含9 个小三角形，同时又在DEF ∆内的小三角形共有6 个，所以(|)P B A =6293= ，故选D. 3．A解析：A 【解析】 【分析】根据频率分布直方图得到各个时间段的人数，进而得到结果. 【详解】根据频率分布直方图可列下表： 阅读时间（分） [0,10)[10,20)[20,30) [30,40) [40,50) [50,60]抽样人数（名）10 18 22 25 20 5故选A. 【点睛】这个题目考查了频率分布直方图的实际应用，以及样本体现整体的特征的应用，属于基础题.4．C解析：C 【解析】 【分析】首先确定流程图的功能为计数111113355720172019S =++++⨯⨯⨯⨯L 的值，然后利用裂项求和的方法即可求得最终结果. 【详解】由题意结合流程图可知流程图输出结果为111113355720172019S =++++⨯⨯⨯⨯L ， 11(2)111(2)2(2)22n n n n n n n n +-⎛⎫=⨯=- ⎪+++⎝⎭Q，111113355720172019S ∴=++++⨯⨯⨯⨯L 11111111123355720172019⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 1110091220192019⎛⎫=-=⎪⎝⎭. 本题选择C 选项. 【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路： (1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证．5．C解析：C 【解析】根据平均数的概念，其平均数为52x +，方差为2258⨯，故选C.6．B解析：B 【解析】 【分析】由古典概型及其概率计算公式得：有人表现突出，则B 县选取的人表现不突出的概率是6041057=，得解． 【详解】由已知有分别从A ，B 两个县的15人中各选1人，已知有人表现突出，则共有111115*********C C C C ⋅-⋅=种不同的选法，又已知有人表现突出，且B 县选取的人表现不突出，则共有1151260C C ⋅=种不同的选法，已知有人表现突出，则B 县选取的人表现不突出的概率是6041057=. 故选：B ．【点睛】本题考查条件概率的计算，考查运算求解能力，求解时注意与古典概率模型的联系.7．C解析：C 【解析】模拟程序框图的运行过程，如下：输入a ，23m a =-，1i =，()223349m a a =--=-；2i =，()2493821m a a =--=-； 3i =，()282131645m a a =--=-； 4i =，()2164533293m a a =--=-；输出3293m a =-，结束； 令329367a -=，解得5a =. 故选C.8．C解析：C 【解析】 【分析】根据平均数的定义即可求出．根据频率分布直方图中，中位数的左右两边频率相等，列出等式，求出中位数即可．9．C解析：C 【解析】 【分析】根据新运算的定义, ()x a -()x a +22x x a a =-++-,即求221x x a a -++-<恒成立,整理后利用判别式求出a 范围即可【详解】Q A()1B A B =-∴()x a -()x a +()()()()22=11x a x a x a x a x x a a --+=--+-=-++-⎡⎤⎣⎦Q ()x a -()1x a +<对于任意的实数x ∈R 恒成立,221x x a a ∴-++-<,即2210x x a a -++--<恒成立,()()2214110a a ∴∆=-⨯-⨯--<,1322a ∴-<<故选：C 【点睛】本题考查新定义运算,考查一元二次不等式中的恒成立问题, 当x ∈R 时,利用判别式是解题关键10．D解析：D 【解析】 【分析】根据题意画出图形，结合图形即可得出结论． 【详解】 如图所示，线段MN 的长度为6，在线段MN 上随机取一点P ， 则点P 到点M ，N 的距离都大于2的概率为2163P ==． 故选D ． 【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．11．A解析：A 【解析】 【分析】由频率分布直方图的性质列方程，能求出a ． 【详解】由频率分布直方图的性质得：()100.0050.0150.0350.0150.0101a +++++=，解得0.020a =． 故选A ． 【点睛】本题考查实数值的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．12．A解析：A 【解析】设甲到达时刻为x ，乙到达时刻为y ，依题意列不等式组为{0.50,1y xx y x y ≥+≥≤≤，画出可行域如下图阴影部分，故概率为11138218--=.二、填空题13．【解析】【分析】根据条件求出四棱锥的条件和球的体积结合几何概型的概率公式进行求解即可【详解】四棱锥扩展为正方体则正方体的对角线的长是外接球的直径即即则四棱锥的条件球的体积为则该点取自四棱锥的内部的概 解析：39π【解析】 【分析】根据条件求出四棱锥的条件和球的体积，结合几何概型的概率公式进行求解即可． 【详解】四棱锥P ABCD -扩展为正方体， 则正方体的对角线的长是外接球的直径， 即32R =，即3R =则四棱锥的条件1822233V =⨯⨯⨯=，球的体积为34(3)433ππ⨯=， 则该点取自四棱锥P ABCD -的内部的概率823343P π==， 23【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，结合条件求出四棱锥和球的体积是解决本题的关键．本题考查了几何概型概率的求法；在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．14．a 【解析】【分析】首先分析程序框图的作用是输出三个数中的最大值从而比较三个数的大小求得结果【详解】根据题中所给的程序框图可以判断出其作用是输出三者中的最大出那个数因为a=log1213=log23> 解析：【解析】 【分析】首先分析程序框图的作用是输出三个数中的最大值，从而比较三个数的大小，求得结果. 【详解】根据题中所给的程序框图，可以判断出其作用是输出三者中的最大出那个数， 因为，而，所以其最大值是， 故答案是：. 【点睛】该题考查的是有关程序框图的输出结果的求解问题，属于简单题目.15．2【解析】【分析】根据系统抽样的概念结合可得最后结果为2【详解】学生总数不能被容量整除根据系统抽样的方法应从总体中随机剔除个体保证整除∵故应从总体中随机剔除个体的数目是2故答案为2【点睛】本题主要考解析：2 【解析】 【分析】根据系统抽样的概念结合2544262=⨯+，可得最后结果为2. 【详解】学生总数不能被容量整除，根据系统抽样的方法，应从总体中随机剔除个体，保证整除. ∵2544262=⨯+，故应从总体中随机剔除个体的数目是2，故答案为2. 【点睛】本题主要考查系统抽样，属于基础题；从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本，系统抽样的前面两个步骤是：（1）将总体中的N 个个体进行编号；（2）当Nn为整数时，抽样距即为N n ；当N n 不是整数时，从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中的个体的个数N '能被n 整除．16．【解析】【分析】求出样本数据中心点代入即可求出线性回归直线方程当时代入方程求即可【详解】由所给表格可知所以即线性回归直线方程为当时即销售额大约为85万元故填85【点睛】本题主要考查了线性回归直线方程解析：【解析】 【分析】求出样本数据中心点(),x y ，代入a y b x ∧∧=-，即可求出线性回归直线方程，当10x =时，代入方程求y ∧即可.【详解】由所给表格可知5,50x y ==，所以 507515ˆa=-⨯=, 即线性回归直线方程为715y x ∧=+，当10x =时，ˆ85y= ，即销售额大约为85万元， 故填85. 【点睛】本题主要考查了线性回归直线方程的求法，及应用线性回归直线方程进行估计，属于中档题.17．【解析】如图所示分别为的中点因为到对角线的距离不大于所以点落在阴影部分所在区域由对立事件的概率公式及几何概型概率公式可得到对角线的距离不大于为故答案为解析：34【解析】如图所示，,,,E F G H 分别为,,,AD DC AB BC 的中点，因为P 到对角线AC 的距离不大2P 落在阴影部分所在区域，由对立事件的概率公式及几何概型概率公式可得，P 到对角线AC 21222321444⨯⨯⨯-=⨯，故答案为34.18．【解析】分析：先确定总事件数再确定向上的点数是2的倍数的事件数最后根据古典概型概率公式求结果详解：因为投掷一枚均匀的骰子向上的点数有6种情况向上的点数是2的倍数的事件数为3所以概率为点睛：古典概型中解析：12【解析】 分析：先确定总事件数，再确定向上的点数是2的倍数的事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.详解：因为投掷一枚均匀的骰子，向上的点数有6种情况，向上的点数是2的倍数的事件数为3，所以概率为31=62. 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.19．【解析】【分析】分析程序框图的功能在于寻找和输出一组数据的最大值观察该题所给的数据可知其最大值为M的值即为取最大时对应的脚码从而求得结果【详解】仔细分析程序框图的作用和功能所解决的问题是找出一组数据解析：9.7,8【解析】【分析】分析程序框图的功能，在于寻找和输出一组数据的最大值，观察该题所给的数据，可知其最大值为9.7，M的值即为取最大时对应的脚码，从而求得结果.【详解】仔细分析程序框图的作用和功能，所解决的问题是找出一组数据的最大值，并指明其为第几个数，观察数据得到第八个数是最大的，且为9.7，所以答案是9.7,8.【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有框图的作用和功能，观察所给的数据，从而得到结果，所以要读取框图的作用非常关键.20．12【解析】分析：由频率=以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人的频率即可求出第三组中有疗效的人数得到答案详解：由直方图可得分布在区间第一组和第二组共有20人分布唉区间第一组与第二组的频率解析：12【解析】分析：由频率=频数样本容量，以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人的频率，即可求出第三组中有疗效的人数得到答案.详解：由直方图可得分布在区间第一组和第二组共有20人，分布唉区间第一组与第二组的频率分别为0.24,0.16，所以第一组有12人，第二组8人第三组的频率为0.36，所以第三组的人数为18人，第三组中没有疗效的有6人，第三组由疗效的有12人.点睛：1、用样本估计总体是统计的基本思想，而利用频率分布表和频率分布直方图来估计总体则是用样本的频率分布去估计总体分布的两种主要方法，分布表在数量表示上比较准确，直方图比较直观.2、频率分布表中的频数之和等于样本容量，各组中的频率之和等于1；在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所以，所有小长方形的面积的和等于1.三、解答题21．（1）35，（2）随机变量X 的分布列： X -1 0 1P27221 1321()3E X =（3）10μμ> 【解析】 【分析】(1)由题意可知，抽出的13名学生中，来自B 班的学生有7名，根据分层抽样方法，能求出B 班的学生人数(2)由题意可知X 的可能取值为：1,0,1- ，分别求出相应的概率，由此能求出X 的概率分布列和期望(3)利用数学期望的性质能得出10μμ> 【详解】（1）由题意可知，抽出的13名学生中，来自B 班的学生有7名， 根据分层抽样方法可得：B 班的学生人数估计为7653513⨯= (2)X 的可能取值为：1,0,1-()1221677P X =-==⨯，()4206721P X ===⨯， ()()()13111021P X P X P X ==-=--==则随机变量X 的分布列： X -1 01P27221 1321101721213EX =-⨯+⨯+⨯=(3) 10μμ> 【点睛】本题考查的是离散型随机变量得分布列及期望，在解题的时候关键是要把概率求正确. 22．（1） (2)见解析 【解析】【分析】（1）利用古典概型的概率公式求得甲在该局获胜的概率值；（2）由题意知随机变量X 的可能取值，求出对应的概率值，写出分布列，计算数学期望值． 【详解】（1）记“一局中甲先摸，甲在该局获胜”为事件A ，共有三种情况：黑球在1号、3 号或5号位置，共有3种，而黑球的位置有5种. 所以.答：甲在该局获胜的概率为. （2）随机变量， 则, ， ， ，所以X 的概率分布为： X 0123P 数学期望【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题． 23．（1）$ 5.3 2.9y x =-（2）34 【解析】 【分析】（1）利用最小二乘法求y 关于x 的线性回归方程$ 5.3 2.9y x =-；（2）将7x =代入$ 5.3 2.9y x =-中得解.【详解】解：（1）根据表中的数据， 可得()11234535x =++++=，()146102322135y =++++=，则()()()51521iii ii x x y y bx x ==--=-∑∑$()()()()()()()()()()()()()()()2222213413236133310134323135322131323334353--+--+--+--+--=-+-+-+-+- 5.3=，又由$13 5.33 2.9a=-⨯=-， 故所求回归直线方程为$ 5.3 2.9y x =-．（2）将7x =代入$ 5.3 2.9y x =-中，求得$ 5.37 2.934.234y =⨯-=≈， 故预测最后一天参加该活动的人数34． 【点睛】本题主要考查最小二乘法求线性回归方程，考查回归方程的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.24．（Ⅰ）225；（Ⅱ）没有90%的把握认为“学生周日上网时间与性别有关”． 【解析】分析：（1）根据样本比例=总体比例，再计算总体人数 （2）先填表，再利用卡方公式计算详解：（Ⅰ）设估计上网时间不少于60分钟的人数x , 依据题意有30750100x =，解得：225x =， 所以估计其中上网时间不少于60分钟的人数是225人. （Ⅱ）根据题目所给数据得到如下列联表：其中()2200603040702002.198 2.7061001001307091K ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯,因此，没有90%的把握认为“学生周日上网时间与性别有关”.点睛：本题考查概率、统计学的基础内容，卡方的计算要先化简后计算． 25．(1) 0.30, 频率分布直方图见解析，(2) 平均数为172.25，中位数为170.10 【解析】 【分析】（1）由表中所有频率和为1可求得①处频率，由频率分布图的作法作出频率分布直方图；（2）由频率分布直方图，取各小矩形中点处值作为此组的估计值进行计算可得平均值，中位数是把所有小矩形面积等分的那点的值．【详解】（1）由频率分布表的性质得：①处应填写的数据为：()10.050.350.200.100.30-+++=．完成频率分布直方图如下：（2）平均数为：0.05162.50.35167.50.3172.50.2177.50.1182.5172.25⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 0.050.350.5x ++=Q ，解得0.1x =，∴中位数为：1700.1170.10+=．【点睛】本题考查频率分布直方图，属于基础题，考查了学生的数据处理能力．26．（1）1000,60,0.65n a p === （2）815P =【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）根据频率的定义由频率分布直方图可计算出第二组的频率，除以组距得小矩形的高，由第一组人数及频率可得总人数n ，再根据频率分布直方图及表格中数据可计算出,a p ； （2）由分层抽样法知抽取6人，[)40,45岁中有4人，[)45,50岁中有2人.把它们分别编号可用列举法列出任选2人的所有选法，从而计算出所求概率．试题解析：（1）第二组的频率为()10.040.040.030.020.0150.3-++++⨯=， 所以高为0.30.065=. 频率分布直方图如图：第一组的人数为1202000.6=，频率为004502..⨯=， 所以20010000.2n ==， 由题意可知，第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为10000.3300⨯=， 所以1950.65300p ==. 第四组的频率为0.0350.15⨯=，所以第四组的人数为10000.15150⨯=， 所以1500.460a =⨯=. （2）因为[)40,45岁年龄段的“低碳族”与[)45,50岁年龄段的“低碳族”的比值为60:302:1=，所以采用分层抽样法抽取6人，[)40,45岁中有4人，[)45,50岁中有2人. 设[)40,45岁中的4人为a b c d ,,,，[)45,50岁中的2人为,m n ，则选取2人作为领队的选法有(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a m ，(),a n ，(),b c ，(),b d ，(),b m ，(),b n ，(),c d ，(),c m ，(),c n ，(),d m ，(),d n ，(),m n 共有15种，其中恰有1人年龄在[)40,45岁的有(),a m ，(),a n ，(),b m ，(),b n ，(),c m ，(),c n ，(),d m ，(),d n 共8种，所以选取的2名领队中恰有1人年龄在[)40,45岁的概率为815.。