高二数学上册期末试卷及答案
2023-2024学年江苏省扬州市高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省扬州市高二（上）期末数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．直线x+y﹣1＝0的倾斜角是（）A．π4B．π3C．3π4D．2π32．在等比数列{a n}中，a1＝2，a3＝8，则a5＝（）A．14B．16C．28D．323．某质点沿直线运动，位移S（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为S（t）＝t2+3，则当t＝5s时该质点的瞬时速度为（）A．10m/s B．11m/s C．13m/s D．28m/s4．已知双曲线C：x 24−y2m=1的一条渐近线方程为y=34x，则m＝（）A．3B．6C．32D．945．已知k为实数，则直线l：kx﹣y+k﹣1＝0与圆x2+y2＝4的位置关系为（）A．相交B．相离C．相切D．无法确定6．已知M是椭圆x23+y2=1上一动点，则该点到椭圆短轴端点的距离的最大值为（）A．2B．92C．3√22D．√3−√27．已知定义在R上的可导函数f（x），其导函数为f′（x），若2f（x）+f′（x）＞0，且f（1）＝e，则不等式e2x f（x）﹣e3＞0的解集为（）A．（1，+∞）B．（e，+∞）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，e）8．在△ABC中，已知D为边BC上一点，CD＝λDB，∠BAD=π4．若tan∠ACB的最大值为2，则常数λ的值为（）A．√10−34B．√10+34C．√10+14D．√10−14二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要9．已知l1，l2为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有（）A．若l1，l2斜率相等，则l1，l2平行B．若l1，l2平行，则l1，l2的斜率相等C．若l1，l2的斜率乘积等于﹣1，则l1，l2垂直D ．若l 1，l 2垂直，则l 1，l 2的斜率乘积等于﹣1 10．椭圆C 1：y 225+x 29=1与双曲线C 2：x 29+k −y 27−k=1（﹣9＜k ＜7）（ ）A ．有相同的焦点B ．有相等的焦距C ．有相同的对称中心D ．可能存在相同的顶点11．已知函数f(x)=lnxx，下列说法中正确的有（ ） A ．函数f （x ）的极大值为1eB ．函数f （x ）在点（1，0）处的切线方程为y ＝x ﹣1C ．20232024＜20242023D ．若曲线y ＝f （x ）与曲线y ＝x α无交点，则α的取值范围是(1e−1，+∞)12．已知无穷数列{a n }，a 1＝1．性质s ：∀m ，n ∈N *，a m +n ＞a m +a n ；性质t ：∀m ，n ∈N *，2≤m ＜n ，a m ﹣1+a n +1＞a m +a n ，下列说法中正确的有（ ） A ．若a n ＝3﹣2n ，则{a n }具有性质s B ．若a n ＝n 2，则{a n }具有性质t C ．若{a n }具有性质s ，则a n ≥nD ．若等比数列{a n }既满足性质s 又满足性质t ，则其公比的取值范围为（2，+∞） 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．写出过点（1，2）的被圆C ：x 2+y 2＝4所截的弦长为2√3的直线方程 .（写出一条直线即可） 14．曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标．定义：若f ′（x ）是f （x ）的导函数，f ″（x ）是f ′（x ）的导函数，则曲线y ＝f （x ）在点（x ，f （x ））处的曲率K =|f″(x)|[1+(f′(x))2]32．已知f （x ）＝2cos （x ﹣1），则曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的曲率为 ．15．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差会成等差数列．在杨辉之后，对这类高阶等差数列的研究一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前5项分别为1，4，10，20，35，则该数列的第6项为 ． 16．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作斜率为√a 2−b 2的直线交椭圆C 于A ，B 两点，以AB 为直径的圆过F 1，则椭圆C 的离心率为 ． 四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1，b 2＝2，b 3＝4，a 8＝b 4．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n＝a n﹣b n，求数列{c n}的前n项和．18．（12分）已知函数f（x）＝2x3﹣ax2+12x+b在x＝2处取得极小值5．（1）求实数a，b的值；（2）当x∈[0，3]时，求函数f（x）的最小值．19．（12分）已知数列{a n}的首项a1＝1，前n项和为S n，且S n+1＝2S n+n+1（n∈N*）．设b n＝a n+1．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）设c n=14(log2b n)2−1，数列{c n}的前n项和为T n，证明：13≤T n＜12．20．（12分）已知点A（4，0），P是圆C：x2+y2＝4上的一动点，点Q（x，y）是线段AP的中点．（1）求点Q的轨迹方程；（2）已知M，N是直线l：x﹣y+2＝0上两个动点，且MN＝6．若∠MQN恒为锐角，求线段MN中点G的横坐标取值范围．21．（12分）已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过点A（1，﹣2）．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若抛物线C开口向右，准线l上两点P，Q关于x轴对称，直线P A交抛物线C于另一点M，直线QA交抛物线C于另一点N，证明：直线MN过定点．22．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣alnx﹣be．（e＝2.71828…是自然对数的底数）（1）若a＝﹣1，b＝1，求不等式f（x）＞0的解集；（2）若a＝b＝0，证明：对任意x∈（0，+∞），f（x）＞12x2+x+1成立；（3）若b＝1，试讨论函数f（x）的零点个数，并说明理由．2023-2024学年江苏省扬州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．直线x+y﹣1＝0的倾斜角是（）A．π4B．π3C．3π4D．2π3解：直线x+y﹣1＝0的斜率为﹣1，则直线的倾斜角为3π4．故选：C．2．在等比数列{a n}中，a1＝2，a3＝8，则a5＝（）A．14B．16C．28D．32解：设等比数列{a n}的公比为q，a1＝2，a3＝8，则q2=a3a1=82=4，故a5=a3q2=8×4=32．故选：D．3．某质点沿直线运动，位移S（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为S（t）＝t2+3，则当t＝5s时该质点的瞬时速度为（）A．10m/s B．11m/s C．13m/s D．28m/s解：位移S（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为S（t）＝t2+3，则S'（t）＝2t，当t＝5时，S'（5）＝2×5＝10m/s．故选：A．4．已知双曲线C：x 24−y2m=1的一条渐近线方程为y=34x，则m＝（）A．3B．6C．32D．94解：由已知可得m＞0，且双曲线的焦点在x轴上，a＝2，b=√m，又双曲线的渐近线为y＝±ba=±√m2x，双曲线C：x24−y2m=1的一条渐近线方程为y=34x，即√m2=34，m=94，故选：D．5．已知k为实数，则直线l：kx﹣y+k﹣1＝0与圆x2+y2＝4的位置关系为（）A．相交B．相离C．相切D．无法确定解：由kx﹣y+k﹣1＝0，得k（x+1）﹣（y+1）＝0，因为k 为实数，所以{x +1=0y +1=0，解得{x =−1y =−1，所以直线l 恒过定点（﹣1，﹣1），因为（﹣1）2+（﹣1）2＝2＜4，所以定点在圆内，所以直线与圆相交． 故选：A ． 6．已知M 是椭圆x 23+y 2=1上一动点，则该点到椭圆短轴端点的距离的最大值为（ ）A ．2B ．92C ．3√22D ．√3−√2解：设M （√3cos θ，sin θ），θ∈[0，2π），设A 为椭圆的上顶点，则A （0，1）， 所以|MA |=√(√3cosθ)2+(sinθ−1)2=√4−2(sinθ+12)2+2×14，当sin θ=−12时，|MA |max =3√22．故选：C ．7．已知定义在R 上的可导函数f （x ），其导函数为f ′（x ），若2f （x ）+f ′（x ）＞0，且f （1）＝e ，则不等式e 2x f （x ）﹣e 3＞0的解集为（ ） A ．（1，+∞）B ．（e ，+∞）C ．（﹣∞，1）D ．（﹣∞，e ）解：构造函数g （x ）＝e 2x f （x ），该函数的定义域为R ， 则g '（x ）＝2e 2x f （x ）+e 2x f '（x ）＝e 2x [2f （x ）+f '（x ）]＞0， 所以函数g （x ）在R 上为增函数，且g （1）＝e 2f （1）＝e 3，由e 2x f （x ）﹣e 3＞0，可得e 2x f （x ）＞e 3，即g （x ）＞g （1），解得x ＞1， 所以不等式e 2x f （x ）﹣e 3＞0的解集为（1，+∞）． 故选：A ．8．在△ABC 中，已知D 为边BC 上一点，CD ＝λDB ，∠BAD =π4．若tan ∠ACB 的最大值为2，则常数λ的值为（ ） A ．√10−34B ．√10+34C ．√10+14D ．√10−14解：令BD ＝2，则CD ＝λDB ＝2λ且0≤λ≤1， 则△ABD 外接圆半径为r =BD2sin∠BAD =√2，若B （﹣1，0），D （1，0），△ABD 的外接圆方程为（x ﹣m ）2+（y ﹣n ）2＝2，所以{(m +1)2+n 2=2(m −1)2+n 2=2⇒⇒{m =0n =±1，令圆心（m ，n ）为（0，1）， 即点A 在圆x 2+（y ﹣1）2＝2被BD 分割的优弧上运动，如图，要使tan ∠ACB 最大，只需AC 与圆相切，易知C （1+2λ，0）， 则|AC|=√(1+2λ)2+1−2=2√λ(λ+1)， 而|BC |＝2（λ+1），由圆的性质有∠DAC ＝∠B ， 在△ABC 中，|AC|sin∠B=|BC|sin(∠B+π4)，∠ACB =π−(2∠B +π4)=3π4−2∠B ，显然 ∠B ＜3π8，由tan ∠ACB =tan(3π4−2∠B)=2，则1+tan2∠B tan2∠B−1=2⇒tan2∠B =3， 所以2tan∠B 1−tan 2∠B=3⇒3tan 2∠B +2tan∠B −3=0，可得tan ∠B =√10−13（负值舍），故sin ∠B =10−1√20−2√10cos∠B =3√20−2√10，而√λsin∠B =√λ+1sin(∠B+π4)，所以√λsin∠B=√2(λ+1)sin∠B+cos∠B ⇒λsin 2∠B =2(λ+1)1+2sin∠Bcos∠B，整理得11−2√10=7+2√10，则λ=104(√10−1)=√10−14．故选：D ．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 9．已知l 1，l 2为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有（ ） A ．若l 1，l 2斜率相等，则l 1，l 2平行 B ．若l 1，l 2平行，则l 1，l 2的斜率相等C ．若l 1，l 2的斜率乘积等于﹣1，则l 1，l 2垂直D ．若l 1，l 2垂直，则l 1，l 2的斜率乘积等于﹣1 解：l 1，l 2斜率相等，则l 1，l 2平行，故A 正确； l 1，l 2平行，该两条直线斜率可能不存在，故B 错误；l1，l2的斜率乘积等于﹣1，则l1，l2垂直，故C正确；l1，l2垂直，则l1，l2的斜率可能不存在，故D错误．故选：AC．10．椭圆C1：y225+x29=1与双曲线C2：x29+k−y27−k=1（﹣9＜k＜7）（）A．有相同的焦点B．有相等的焦距C．有相同的对称中心D．可能存在相同的顶点解：椭圆C1：y225+x29=1的焦点为（0，±4），焦距为8，对称中心为坐标原点，左右顶点为（±3，0），上下顶点为（0，±5），双曲线C2：x29+k −y27−k=1（﹣9＜k＜7）的焦点在x轴上，焦距为8，对称中心为坐标原点，当k＝0时，双曲线C2的顶点为（±3，0），综上，椭圆C1与双曲线C2的焦点不同，焦距相同，对称中心相同，顶点可能相同．故选：BCD．11．已知函数f(x)=lnxx，下列说法中正确的有（）A．函数f（x）的极大值为1 eB．函数f（x）在点（1，0）处的切线方程为y＝x﹣1C．20232024＜20242023D．若曲线y＝f（x）与曲线y＝xα无交点，则α的取值范围是(1e−1，+∞)解：易知函数f(x)=lnxx的定义域为（0，+∞），则f′(x)=1−lnxx2，令f′（x）＝0可得x＝e，当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，可得f（x）在（0，e）上单调递增，当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，可得f（x）在（e，+∞）上单调递减，对于A，由单调性可得f（x）在x＝处取得极大值f(e)=1e，即A正确；对于B，易知切线斜率为k=f′(1)=1−ln112=1，所以切线方程为y＝x﹣1，即B正确；对于C，利用f(x)=lnxx的单调性可得f（2023）＞f（2024），即ln20232023＞ln20242024，也即2024ln2023＞2023ln2024，可得ln20232024＞ln20242023，所以20232024＞20242023，即C错误；对于D，若曲线y＝f（x）与曲线y＝xα无交点，即方程lnxx=xα没有实数根，也即xα+1﹣lnx＝0无解，令g（x）＝xα+1﹣lnx，则g′(x)=(α+1)xα−1x=(α+1)xα+1−1x，若α+1≤0，g′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，即g（x）在（0，+∞）上单调递减，不妨取α＝﹣2，则g（x）＝x﹣1﹣lnx，易知g（1）＝1﹣ln1＞0，g（e2）＝e﹣2﹣lne2＝e﹣2﹣2＜0，此时g（x）在（1，e2）上有解，不合题意，若α+1＞0，令g′（x）＝0，解得x=(1α+1)1α+1，所以当0＜x＜(1α+1)1α+1时，g′（x）＜0，此时g（x）在0＜x＜(1α+1)1α+1时单调递减，当x＞(1α+1)1α+1时，g′（x）＞0，此时g（x）在x＞(1α+1)1α+1时单调递增，此时g（x）在x=(1α+1)1α+1处取得极小值，也是最小值，即g(x)min=g((1α+1)1α+1)=1α+1−1α+1ln(1α+1)=1α+1(1−ln(1α+1))=1α+1(1+ln(α+1))，依题意可得g(x)min=1α+1(1+ln(α+1))＞0，所以1+ln（α+1）＞0即可，解得α＞1e−1，即α的取值范围是(1e−1，+∞)，所以D正确．故选：ABD．12．已知无穷数列{a n}，a1＝1．性质s：∀m，n∈N*，a m+n＞a m+a n；性质t：∀m，n∈N*，2≤m＜n，a m﹣1+a n+1＞a m+a n，下列说法中正确的有（）A．若a n＝3﹣2n，则{a n}具有性质sB．若a n＝n2，则{a n}具有性质tC．若{a n}具有性质s，则a n≥nD．若等比数列{a n}既满足性质s又满足性质t，则其公比的取值范围为（2，+∞）解：由a n＝3﹣2n，可得a m+n﹣a m﹣a n＝3﹣2（m+n）﹣3+2m﹣3+2n＝﹣3＜0，即有a m+n＜a m+a n，故A错误；由a n＝n2，可得∀m，n∈N*，2≤m＜n，a m﹣1+a n+1﹣a m﹣a n＝（m﹣1）2+（n+1）2﹣m2﹣n2＝2n﹣2m+2＞0，即a m﹣1+a n+1＞a m+a n，故B正确；若{a n}具有性质s，可得a1+n＞a1+a n＝1+a n，则a n＝a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+...+（a n﹣a n﹣1）≥1+1+...+1＝n，故C正确；若等比数列{a n}既满足性质s又满足性质t，设公比为q，则q m+n﹣1＞q m﹣1+q n﹣1，令m＝n＝1，可得q＞2， 又1q m+1qn＜12m+12n≤12+12=1恒成立，又q ＞2时，∀m ，n ∈N *，2≤m ＜n ，可得q m ﹣2+q n ﹣q m ﹣1﹣q n ﹣1＝（q ﹣1）（q n ﹣1﹣q m ﹣2）＞0恒成立， 即有a m ﹣1+a n +1＞a m +a n ，故其公比的取值范围是（2，+∞），故D 正确． 故选：BCD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．写出过点（1，2）的被圆C ：x 2+y 2＝4所截的弦长为2√3的直线方程 x ＝1（或3x ﹣4y +5＝0） .（写出一条直线即可）解：设圆心到直线的距离为d ，由圆的弦长公式得：2√4−d 2=2√3，所以d ＝1，当直线的斜率不存在时，直线方程为：x ＝1，此时圆心到直线的距离为1，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为：y ﹣2＝k （x ﹣1），即kx ﹣y ﹣k +2＝0， 则d =|−k+2|√k +1=1，解得k =34，所以直线l 的方程为：34x −y −34+2=0，即3x ﹣4y +5＝0，所以直线l 的方程为x ＝1或3x ﹣4y +5＝0． 故答案为：x ＝1（或3x ﹣4y +5＝0）．14．曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标．定义：若f ′（x ）是f （x ）的导函数，f ″（x ）是f ′（x ）的导函数，则曲线y ＝f （x ）在点（x ，f （x ））处的曲率K =|f″(x)|[1+(f′(x))2]32．已知f （x ）＝2cos （x ﹣1），则曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的曲率为 2 ． 解：f （x ）＝2cos （x ﹣1），则f '（x ）＝﹣2sin （x ﹣1），f ''（x ）＝﹣2cos （x ﹣1）， 故f '（1）＝﹣2sin0＝0，f ''（1）＝﹣2， 故K =|f″(1)|[1+(f′(1))2]32=2．故答案为：2．15．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差会成等差数列．在杨辉之后，对这类高阶等差数列的研究一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前5项分别为1，4，10，20，35，则该数列的第6项为 56 ．解：设该数列的第6项为x ，对前6项作差可得，3，6，10，15，x ﹣35，对该算式继续作差可得，3，4，5，x ﹣50， 则x ﹣50＝6，解得x ＝56． 故答案为：56． 16．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作斜率为√a 2−b 2的直线交椭圆C 于A ，B 两点，以AB 为直径的圆过F 1，则椭圆C 的离心率为 √55． 解：由椭圆的方程可得F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）， 因为√a 2−b 2=bc ，由题意可设直线AB 过椭圆的下顶点A （0，﹣b ）， 由题意可设直线AB 的方程为y =bc（x ﹣c ），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立{y =bc (x −c)x 2a 2+y 2b2=1，整理可得（a 2+c 2）x 2﹣2a 2cx ＝0，解得x B =2a 2c a 2+c 2，y B =b 3a 2+c 2，即B （2a 2c a 2+c 2，b 3a 2+c2），因为以AB 为直径的圆过F 1，所以F 1A →•F 1B →=0， 即（c ，﹣b ）•（2a 2c a 2+c 2+c ，b 3a 2+c 2）＝0，整理可得2a 2c 2a 2+c2+c 2=b4a 2+c 2，而b 2＝a 2﹣c 2，所以2a 2c 2+a 2c 2+c 4＝a 4﹣2a 2c 2+c 4，即a 2＝5c 2， 所以椭圆的离心率e =c a =1√5=√55． 故答案为：√55． 四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1，b 2＝2，b 3＝4，a 8＝b 4． （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）设c n ＝a n ﹣b n ，求数列{c n }的前n 项和． 解：（1）设等比数列{b n }的公比为q ， 由b 2＝2，b 3＝4 可得q =b 3b 2=2，b n =b 2q n−2=2⋅2n−2=2n−1， 设等差数列{a n }的公差为d ， 由a 1＝b 1＝1，a 8＝b 4＝8．所以d =a 8−a 18−1=8−18−1=1，所以a n＝a1+（n﹣1）d＝1+（n﹣1）×1＝n，所以a n＝n，b n=2n−1．（2）c n=a n−b n=n−2n−1，所以数列{c n} 的前n项和为：c1+c2+…+c n＝（1﹣1）+（2﹣2）+…+（n﹣2n）＝（1+2+3+…+n）﹣（1+2+22+…+2n）=n(n+1)2−1−2n1−2=n2+n2−2n+1．18．（12分）已知函数f（x）＝2x3﹣ax2+12x+b在x＝2处取得极小值5．（1）求实数a，b的值；（2）当x∈[0，3]时，求函数f（x）的最小值．解：（1）由f（x）＝2x3﹣ax2+12x+b，得f'（x）＝6x2﹣2ax+12，因为f（x）在x＝2处取极小值5，所以f（2）＝24﹣4a+12＝0，解得a＝9，此时f'（x）＝6x2﹣18x+12x＝6（x﹣1）（x﹣2），所以f（x）在（1，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，所以f（x）在x＝2时取极小值，符合题意，所以a＝9，f（x）＝2x3﹣9x2+12x+b．又f（2）＝4+b＝5，所以b＝1，所以a＝9，b＝1．（2）f（x）＝2x3﹣9x2+12x+1，所以f'（x）＝6（x﹣1）（x﹣2），f（x）和f'（x）随着x的变化情况如下表所示．所以x∈[0，3]时，f（x）min＝f（0）＝1．19．（12分）已知数列{a n}的首项a1＝1，前n项和为S n，且S n+1＝2S n+n+1（n∈N*）．设b n＝a n+1．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）设c n=14(log2b n)2−1，数列{c n}的前n项和为T n，证明：13≤T n＜12．解：（1）∵S n+1=2S n+n+1(n∈N∗)①，∴S n＝2S n﹣1+n（n≥2）②，由①﹣②得：a n+1＝2a n+1（n≥2），∴a n +1+1＝2（a n +1）（n ≥2），即b n +1＝2b n （n ≥2）， 在①中令n ＝1，得S 2＝2S 1+2，即a 1+a 2＝2a 1+2， 而a 1＝1，故a 2＝3，则a 2+1＝2（a 1+1），即b 2＝2b 1， 又∵b 1＝2≠0，∴b n+1b n=2(n ∈N ∗)，∴数列{b n }是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴b n =2n ；（2）证明：∵b n =2n ， ∴c n =14(log 2b n )2−1=14n 2−1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)， ∴T n =12[(11−13)+(13−15)+⋯+(12n−1−12n+1)]=12(1−12n+1)＜12，又∵c n =14n 2−1＞0，∴T n ≥c 1=13，∴13≤T n ＜12． 20．（12分）已知点A （4，0），P 是圆C ：x 2+y 2＝4上的一动点，点Q （x ，y ）是线段AP 的中点． （1）求点Q 的轨迹方程；（2）已知M ，N 是直线l ：x ﹣y +2＝0上两个动点，且MN ＝6．若∠MQN 恒为锐角，求线段MN 中点G 的横坐标取值范围． 解：（1）设P （x ′，y ′），则由题意得{x =x′+42y =y′2，即{x ′=2x −4y′=2y ， 因为点P 在圆C ：x 2+y 2＝4上，所以x ′2+y ′2＝4，即（2x ﹣4）2+（2y ）2＝4， 所以点Q 的轨迹方程为（x ﹣2）2+y 2＝1． （2）设G （a ，b ），则b ＝a +2，当P 在圆C 上运动时，∠MQN 恒为锐角，等价于以MN 中点G 为圆心，3为半径的圆与圆：（x ﹣2）2+y 2＝1外离． 所以√(a −2)2+b 2＞3+1，解得a ＜﹣2或a ＞2，所以线段MN 中点G 的横坐标取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．21．（12分）已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过点A （1，﹣2）．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若抛物线C开口向右，准线l上两点P，Q关于x轴对称，直线P A交抛物线C于另一点M，直线QA交抛物线C于另一点N，证明：直线MN过定点．（1）解：设抛物线C的标准方程为y2＝2px（p＞0）或x2＝﹣2py（p＞0），将A坐标代入y2＝2px，得p＝2，所以y2＝4x；将A坐标代入x2＝﹣2py，得p=14，所以x2=−12y，所以抛物线C的标准方程为y2＝4x或x2=−12 y．（2）证明：由抛物线C开口向右得标准方程为y2＝4x，准线l：x＝﹣1，设P（﹣1，m），Q（﹣1，﹣m），（m≠±2），则l AP：y+2=m+2−2(x−1)，即x=−2m+2y+m−2m+2，由{y+2=m+2−2(x−1)y2=4x，得y2+8m+2y−4(m−2)m+2=0，所以y M⋅y A=−4(m−2)m+2，所以y M=2(m−2)m+2，x M=−2m+2y M+m−2m+2=(m−2m+2)2，所以M(m−2m+2)2，2(m−2)m+2)，用﹣m代m，得N(m+2m−2)2，2(m+2)m−2)，则k MN=m2−4 m2+4，所以l MN：y−2(m−2)m+2=m2−4m2+4[x−(m−2m+2)2]，化简得l MN：y=m2−4m2+4(x+1)，所以直线MN过定点（﹣1，0）．22．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣alnx﹣be．（e＝2.71828…是自然对数的底数）（1）若a＝﹣1，b＝1，求不等式f（x）＞0的解集；（2）若a＝b＝0，证明：对任意x∈（0，+∞），f（x）＞12x2+x+1成立；（3）若b＝1，试讨论函数f（x）的零点个数，并说明理由．解：（1）当a＝﹣1，b＝1时，f（x）＝e x+lnx﹣e（x＞0），则f′(x)=e x+1x＞0对x＞0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，又f（1）＝0，∴f（x）＞0的解集为（1，+∞）．（2）证明：当a＝b＝0时，令m(x)=f(x)−12x2−x−1=e x−12x2−x−1(x＞0)，则m'（x）＝e x﹣x﹣1，令n（x）＝m（x），则n'（x）＝e x﹣1＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立，∴n（x）在（0，+∞）上单调递增，又n（0）＝0，∴n（x）＞n（0）＝0，即m'（x）＞0，∴m（x）在（0，+∞）上单调递增，又m（0）＝0，∴m（x）＞m（0）＝0，∴对任意x∈（0，+∞），f(x)＞12x2+x+1成立．（3）当b＝1时，f（x）＝e x﹣alnx﹣e（x＞0），则f′(x)=e x−ax=xe x−ax，①当a≤0时，f（x）＞0对x＞0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，又f（1）＝0，∴f（x）仅有1个零点；②当a＞0时，令g（x）＝f（x），g′(x)=e x+ax2＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，令h（x）＝xe x﹣a，（x＞0），则h（0）＝﹣a＜0，h（a）＝a（e a﹣1）＞0，又∵h（x）＝xe x﹣a在（0，+∞）上单调递增，∴存在唯一x0∈（0，a），使得h（x0）＝0，即f'（x0）＝0，当x∈（0，x0）时，f'（x0）＜0，∴f（x）在（0，x0）上单调递减；当x∈（x0，+∞）时，f'（x0）＞0，∴f（x）在（x0，+∞）上单调递增，∴f（x）极小值＝f（x0），若x0＝1，则f（x）极小值＝f（1）＝0，∴f（x）仅有1个零点，此时a=x0e x0=e，若0＜x0＜1，则f（x）在（x0，+∞）上递增且f（1）＝0，∴f（x）在（x0，+∞）上仅有1个零点，且f（x0）＜f（1）＝0．当x∈（0，x0）时，f（x）＝e x﹣alnx﹣e＞﹣alnx﹣e，∴f(e−ea)＞0，∵a＞0，∴0＜e−ea＜1，又x∈[x0，1）时，f（x）＜0，e−ea∈(0，x0)，∴f（x）在（0，x0）上仅有一个零点，∴f（x）在（0，+∞）上共有两个零点，此时a=x0e x0∈(0，e)，若x0＞1，则f（x）在（0，x0）上递减且f（1）＝0，∴f（x）在（0，x0）上仅有1个零点，且f（x0）＜f（1）＝0，当x∈（x0，+∞）时，由（2）可知，e x＞12x2+x+1＞x，两边取对数得x＞lnx，又e x＞12x2+x+1＞12x2，∴f(x)=e x−alnx−e＞12x2−ax−e，不妨取x1=max{2x0，a+√a2+2e}，则x1∈（x0，+∞）且f（x1）＞0，又∵f（x0）＜0，∴f（x）在（x0，+∞）上仅有1个零点．∴f（x）在（0，+∞）上共有两个零点，此时a=x0e x0∈(e，+∞)．综上，当a≤0或a＝e时，函数f（x）有1个零点；当a＞0且a≠e时，函数f（x）有2个零点．。
2023-2024学年江苏省常州市高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省常州市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．A 72−C 75=（ ）A ．63B ．10C ．21D ．02．用最小二乘法得到一组数据（x ，y ）（i ＝1，2，3，4，5，6）的线性回归方程为y =2x +3，若∑ 6i=1x i =30，则∑ 6i=1y i =（ ） A ．11B ．13C ．63D ．783．方程x 22+k +y 28−k =1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为（ ）A ．k ＞﹣2B ．k ＜8C ．﹣2＜k ＜8D ．﹣2＜k ＜34．若双曲线E ：x 29−y 216=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝7，则|PF 2|等于（ ） A ．1B ．13C ．1或13D ．155．定义：“各位数字之和为8的三位数叫幸运数”，比如116，431，则所有幸运数的个数为（ ） A ．21B ．35C ．36D ．456．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6＝6，则8S 3+S 9的最小值为（ ） A ．18B ．24√2C ．30D ．337．已知圆M ：x 2+y 2+4x ＝0和圆N ：x 2+y 2﹣4y ﹣12＝0相交于A ，B 两点，点P 是圆M 上任意一点，则|PA →+PB →|的取值范围是（ ） A ．[2√2，4+√2] B ．[4−√2，4+√2]C ．[4−√2，2√2]D ．[4−2√2，4+2√2]8．经过双曲线C ：x 212−y 2b2=1(b ＞0)的右焦点F 作该双曲线的一条渐近线的垂线l ，垂足为M ，且l 交另一条渐近线于点N ，若3FN →=5MF →，则b 的值为（ ） A ．2√6B ．4C ．2D ．√3二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．点A （﹣2，1），B （a ，1﹣a ），过A ，B 的直线为l ，下列说法正确的有（ ）A ．若a ＝1，则直线l 的方程为x +3y ﹣1＝0B ．若a ＝﹣1，则直线l 的倾斜角为π4C ．任意实数a ，都有|AB|≥√3D ．存在两个不同的实数a ，能使直线l 在x ，y 轴上的截距互为相反数 10．甲、乙、丙等6人排成一列，下列说法正确的有（ ） A ．若甲和乙相邻，共有240种排法 B ．若甲不排第一个共有480种排法C ．若甲与丙不相邻，共有480种排法D ．若甲在乙的前面，共有360种排法11．已知直线l ：mx ﹣y ﹣m ＝0（m ∈R ）与圆O ：x 2+y 2＝r 2（r ＞0）交于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点，且点T 的坐标为（3，0）．当m ＝1时，|AB|=√14，则（ ） A ．r ＝2B ．|AB |的最小值为2√3C ．存在点A ，使∠ATO ＝45°D ．存在m ，使QO →⋅QT →=−5412．在等比数列{a n }中，a 2＞0，a 1+a 2＜0，T n 为数列{a n }的前n 项积，下列说法正确的有（ ） A ．﹣1＜q ＜0 B ．a 10+a 11＜0C ．若（a 10﹣1）（a 12﹣1）＜0，则T n 的最大项为T 11D ．若（a 9+1）（a 11+1）＜0，则T n 的最小项为T 10 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（x 2﹣y ）6的展开式中，各项系数的绝对值之和为 ．14．已知等差数列{a n }的公差不为0，其前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 3+a 4a 1+a 2= ．15．在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 为抛物线C ：y 2＝4x 上两个不同的点，F 为抛物线的焦点，若AF →=3FB →，则△OAB 的面积为 ． 16．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为e ，点T （b ，0），若椭圆C 上存在四个不同的点到点T 的距离相等，则e 2的取值范围为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）杭州第19届亚运会，是继1990年北京亚运会、2010年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事．中国体育代表团获得201金111银71铜，共383枚奖牌，取得亚运会参赛历史最好成绩．亚运会结束后，某调查小组为了解杭州市不同年龄段的市民每日运动的情况，在市民中随机抽取了200人进行调查，结果如下表所示，其中每日平均运动低于1万步的人数占样本总数的2，40岁以上（含40岁）的人数占样本总数的1．（1）将题中表格补充完整（填写在答题卡上）；（2）判断是否有99.9%的把握认为该市市民每日平均运动的步数与年龄有关． 附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ．18．（12分）设S n 是正项数列{a n }的前n 项和，且a 1=1，S n +S n−1−2a n=0(n ∈N ∗，n ≥2)． （1）求证；数列{S n 2}是等差数列；（2）求数列{a n }的通项公式． 19．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的右焦点为（1，0），点A(−1，32)在C 上．（1）求C 的方程；（2）斜率为1的直线l 与C 交于M ，N 两点，线段MN 的中点为P ，求点P 的横坐标的取值范围． 20．（12分）已知f(x)=(x 2+2x +3)8=a 0+a 1(x +1)+a 2(x +1)2+⋯+a 16(x +1)16． （1）求a n （n ＝0，1，2，…，16）的最大值； （2）求f （5）﹣5被13除的余数．21．（12分）已知等差数列{a n }满足a 3+a 4＝12，a 5+a 7＝22，数列{b n }满足b 1＝3，且b n +1＝2b n ﹣n +1． （1）证明：{b n ﹣n }是等比数列，并求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）将数列{a n }和{b n }的公共项从小到大排成的数列记为{c n }，求{（﹣1）n c n }的前2n 项和S 2n ． 22．（12分）已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点Q （﹣1，0）的直线l （斜率为正数）与C 由左至右交于A ，B 两点，连结BF 并延长交C 于点D ． （1）证明：∠BQF ＝∠DQF ；（2）当△BDQ 的内切圆半径r ∈[12，23]时，求|QA |•|QB |的取值范围．2023-2024学年江苏省常州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．A 72−C 75=（ ）A ．63B ．10C ．21D ．0解：A 72−C 75=A 72−C 72=7×6−7×62=21． 故选：C ．2．用最小二乘法得到一组数据（x ，y ）（i ＝1，2，3，4，5，6）的线性回归方程为y =2x +3，若∑ 6i=1x i =30，则∑ 6i=1y i =（ ） A ．11B ．13C ．63D ．78解：∵∑ 6i=1x i =30，∴x =16×30=5， ∵线性回归方程y =2x +3一定过点（x ，y ）， ∴y =2x +3＝2×5+3＝13， ∴∑ 6i=1y i =6×13＝78． 故选：D ．3．方程x 22+k +y 28−k =1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为（ ）A ．k ＞﹣2B ．k ＜8C ．﹣2＜k ＜8D ．﹣2＜k ＜3解：∵方程x 22+k +y 28−k=1表示焦点在y 轴上的椭圆，∴8﹣k ＞2+k ＞0， ∴﹣2＜k ＜3，∴实数k 的取值范围是（﹣2，3）． 故选：D ．4．若双曲线E ：x 29−y 216=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝7，则|PF 2|等于（ ） A ．1B ．13C ．1或13D ．15解：双曲线E ：x 29−y 216=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝7，a ＝3，b ＝4，c ＝5．点P 在双曲线E 左支上． 则|PF 2|＝2a +|PF 1|＝6+7＝13． 故选：B ．5．定义：“各位数字之和为8的三位数叫幸运数”，比如116，431，则所有幸运数的个数为（ ） A ．21B ．35C ．36D ．45解：按百位数字分类讨论：①百位数字为1时，后两位相加为7，有8种； ②百位数字为2时，后两位相加为6，有7种； ③百位数字为3时，后两位相加为5，有6种； ④百位数字为4时，后两位相加为4，有5种； ⑤百位数字为5时，后两位相加为3，有4种； ⑥百位数字为6时，后两位相加为2，有3种； ⑦百位数字为7时，后两位相加为1，有2种； ⑧百位数字为8时，后两位相加为0，有1种， 故共有8+7+6+5+4+3+2+1＝36种． 故选：C ．6．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6＝6，则8S 3+S 9的最小值为（ ） A ．18B ．24√2C ．30D ．33解：正项等比数列{a n }中，S 6＝6， 又S 3，S 6﹣S 3，S 9﹣S 6成等比数列， 所以（6﹣S 3）2＝S 3（S 9﹣6），整理得，S 9=36S 3+S 3﹣6，S 3＞0， 则8S 3+S 9=36S 3+9S 3﹣6≥2√36S 3⋅9S 3−6＝30，当且仅当36S 3=9S 3，即S 3＝2时取等号． 故选：C ．7．已知圆M ：x 2+y 2+4x ＝0和圆N ：x 2+y 2﹣4y ﹣12＝0相交于A ，B 两点，点P 是圆M 上任意一点，则|PA →+PB →|的取值范围是（ ） A ．[2√2，4+√2] B ．[4−√2，4+√2]C ．[4−√2，2√2]D ．[4−2√2，4+2√2]解：根据题意，圆M ：x 2+y 2+4x ＝0和圆N ：x 2+y 2﹣4y ﹣12＝0相交于A ，B 两点， 联立两圆的方程有{x 2+y 2+4x =0x 2+y 2−4y −12=0，两式相减可得：4x +4y +12＝0，变形可得x +y +3＝0， 即AB 所在直线的方程为x +y +3＝0； 设AB 的中点为C ，易得MC ⊥AB ，圆M ：x 2+y 2+4x ＝0，即（x +2）2+y 2＝4，其圆心M 为（﹣2，0），半径为2， M 到直线AB 的距离d ＝|MC |=|−2+3|√1+1=√22， C 为AB 的中点，由平行四边形法则，有PA →+PB →=2PC →，则有|PA →+PB →|＝2|PC →|， P 为圆M 上任意一点，则|PC →|的最小值为r ﹣|MC |＝2−√22，最大值为r +|MC |＝2+√22，故|PA →+PB →|的取值范围是[4−√2，4+√2]． 故选：B ．8．经过双曲线C ：x 212−y 2b2=1(b ＞0)的右焦点F 作该双曲线的一条渐近线的垂线l ，垂足为M ，且l 交另一条渐近线于点N ，若3FN →=5MF →，则b 的值为（ ） A ．2√6B ．4C ．2D ．√3解：根据题意可得F （c ，0），点F （c ，0）到直线y =ba x 的距离|MF |=√b +(−a)=bcc=b ，因为3FN →=5MF →，所以|FN →|=53|MF →|=53b ，过点F 作FH ⊥ON ，垂足为H ，则|FH |＝b ，则tan ∠FNO =b√(53b)2−b2=34=ab+53b， 从而b a =12=2√3，所以b =√3．故选：D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．点A （﹣2，1），B （a ，1﹣a ），过A ，B 的直线为l ，下列说法正确的有（ ） A ．若a ＝1，则直线l 的方程为x +3y ﹣1＝0B ．若a ＝﹣1，则直线l 的倾斜角为π4C ．任意实数a ，都有|AB|≥√3D ．存在两个不同的实数a ，能使直线l 在x ，y 轴上的截距互为相反数 解：当a ＝1时，点B 的坐标为（1，0），直线的斜率k =0−11+2=−13， 所以直线方程为y =−13(x −1)即x +3y ﹣1＝0，所以A 正确；当a ＝﹣1时，点B 的坐标为（﹣1，2），直线的斜率k =2−1−1+2=1， 所以直线倾斜角为π4，所以B 正确．|AB |=√(a +2)2+(1−a −1)2=√2a 2+4a +4，当a ＝﹣1时，|AB |取得最小值√2，所以任意实数a ，都有|AB|≥√2，所以C 错误； 直线的方程为y−1x+2=1−a−1a+2，即y =−aa+2(x +2)+1，在x 轴上的截距为2−a a，在y 轴上的截距为2−a a+2，若2−a a+2−a a+2=0，则a ＝﹣1或a ＝2，所以存在两个不同的实数a 使直线l 在x ，y 轴上的截距互为相反数，所以D 正确． 故选：ABD ．10．甲、乙、丙等6人排成一列，下列说法正确的有（ ） A ．若甲和乙相邻，共有240种排法 B ．若甲不排第一个共有480种排法C ．若甲与丙不相邻，共有480种排法D ．若甲在乙的前面，共有360种排法解：对于A ，若甲和乙相邻，共有A 22⋅A 55=240种排法，故A 正确；对于B ，若甲不排第一个，共有A 51⋅A 55=600种排法，故B 错误； 对于C ，若甲与丙不相邻，共有A 44⋅A 52=480种排法，故C 正确；对于D ，若甲在乙的前面，共有A 66A 22=360种排法，故D 正确．故选：ACD ．11．已知直线l ：mx ﹣y ﹣m ＝0（m ∈R ）与圆O ：x 2+y 2＝r 2（r ＞0）交于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点，且点T 的坐标为（3，0）．当m ＝1时，|AB|=√14，则（ ） A ．r ＝2B ．|AB |的最小值为2√3C ．存在点A ，使∠ATO ＝45°D ．存在m ，使QO →⋅QT →=−54解：当m ＝1时，直线l ：x ﹣y ﹣1＝0，点O 到直线l 的距离为d =|−1|√1+(−1)2=√22，所以|AB |＝2√r 2−d 2=2√r 2−12=√14，解得r ＝2，故A 正确； 直线l ：mx ﹣y ﹣m ＝0过定点（1，0），圆O 的方程为x 2+y 2＝4，当点（1，0）为AB 的中点时，|AB |最小，最小值为2√4−1=2√3，故B 正确； 设∠ATO ＝α，当TA 与圆O 相切时，∠ATO 最大，此时sin α=23＜√22，所以∠ATO ＜45°，故C 错误；设Q （x ，y ），因为点Q 为线段AB 的中点，所以OQ ⊥AB ，所以Q 的轨迹是以（12，0）为圆心，12为半径的圆，所以点Q 的轨迹方程为（x −12）2+y 2=14，由QO →⋅QT →=−54，得x （x ﹣3）+y 2=54，即（x −32）2+y 2=72，而√142−1＜32−12＜√142+1， 所以圆（x −12）2+y 2=14与圆（x −32）2+y 2=72相交，所以存在m ，使QO →⋅QT →=−54，故D 正确．故选：ABD ．12．在等比数列{a n }中，a 2＞0，a 1+a 2＜0，T n 为数列{a n }的前n 项积，下列说法正确的有（ ） A ．﹣1＜q ＜0 B ．a 10+a 11＜0C ．若（a 10﹣1）（a 12﹣1）＜0，则T n 的最大项为T 11D ．若（a 9+1）（a 11+1）＜0，则T n 的最小项为T 10 解：根据题意，依次分析选项：对于A ，等比数列{a n }中，a 2＞0，a 1+a 2＜0，即a 1＜﹣a 2＜0，变形可得0＜a 2＜﹣a 1， 所以q =a 2a 1＞−1，且q ＜0，即﹣1＜q ＜0，A 正确； 对于B ，由题意得，a 10+a 11＝a 10（1+q ）＞0，B 错误；对于C ，若（a 10﹣1）（a 12﹣1）＜0，则0＜a 12＜1＜a 10，a 11＜0， 则T 10＜0，T 11＞0，T 12＞0，T 12＝T 11•a 12＜T 11， T n 的最大项为T 11，C 正确；对于D ，若（a 9+1）（a 11+1）＜0，则a 9＜﹣1＜a 11＜0，又由﹣1＜q ＜0，a 1＜0，则等比数列{a n }奇数项为负，偶数项为正， 则有a 1＜a 3＜……a 9＜﹣1， 则T 9＜0，T 10＜0，T 11＞0，但T 9﹣T 10＝T 9（1﹣a 10），不能确定1﹣a 10的符号，则T n 的最小项不一定是T 10，D 错误． 故选：AC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（x 2﹣y ）6的展开式中，各项系数的绝对值之和为 64 ．解：二项式的展开式T r+1=C 6r ⋅(−1)r ⋅x 12−2r ⋅y r ，令x ＝1，y ＝﹣1，故各项系数的绝对值之和26＝64． 故答案为：64．14．已知等差数列{a n }的公差不为0，其前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 3+a 4a 1+a 2= 3 ．解：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 1，S 2，S 4成等比数列，且S 1＝a 1，S 2＝2a 1+d ，S 4＝4a 1+6d ，得(2a 1+d)2=a 1(4a 1+6d)， ∵d ≠0，∴d ＝2a 1， ∴a 3+a 4a 1+a 2=2a 1+5d 2a 1+d=6d 2d=3．故答案为：3．15．在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 为抛物线C ：y 2＝4x 上两个不同的点，F 为抛物线的焦点，若AF →=3FB →，则△OAB 的面积为4√33．解：因为抛物线C ：y 2＝4x ，则F （1，0）， 又AF →=3FB →，可得A ，F ，B 三点的共线，设直线AB 为：x ＝my +1，代入y 2＝4x ，可得y 2﹣4my ﹣4＝0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），故y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣4， 由AF →=3FB →，可得（1﹣x 1，﹣y 1）＝3（x 2﹣1，y 2），求得﹣y 1＝3y 2，故y 1＝6m ，y 2＝﹣2m ，可得﹣12m 2＝﹣4，求得m 2=13，故|y 1﹣y 2|＝|8m |=8√33．则△OAB 的面积为：12×|OF |×|y 1﹣y 2|=4√33． 故答案为：4√33． 16．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为e ，点T （b ，0），若椭圆C 上存在四个不同的点到点T 的距离相等，则e 2的取值范围为 （√5−12，1） ． 解：由椭圆C 上存在四个不同的点到点T 的距离相等， 可得在直线x ＝b 的右侧有两个点满足题意，设P （x 0，y 0），则y 02=b 2−b 2a2x 02，则|TP |=√(x 0−b)2+y 02=√c2a2x 02−2bx 0+2b 2，﹣a ≤x 0≤a ，可得﹣a ＜−−2b2c 2a 2＜a ，化为﹣c 2＜ab ＜c 2，即为c 4＞a 2（a 2﹣c 2），化为e 4+e 2﹣1＞0，解得e 2＞√5−12，又e 2＜1，可得√5−12＜e 2＜1． 故答案为：（√5−12，1）．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）杭州第19届亚运会，是继1990年北京亚运会、2010年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事．中国体育代表团获得201金111银71铜，共383枚奖牌，取得亚运会参赛历史最好成绩．亚运会结束后，某调查小组为了解杭州市不同年龄段的市民每日运动的情况，在市民中随机抽取了200人进行调查，结果如下表所示，其中每日平均运动低于1万步的人数占样本总数的2，40岁以上（含40岁）的人数占样本总数的1．（1）将题中表格补充完整（填写在答题卡上）；（2）判断是否有99.9%的把握认为该市市民每日平均运动的步数与年龄有关． 附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ．解：（1）由题意可知，40岁以上（含40岁）的人数为200×12=100，40岁以下的人数为100， 每日平均运动低于1万步的人数为200×25=80， 所以2×2列联表如下：（2）由2×2列联表可得，K 2=200×(80×60−40×20)2120×80×100×100=1003＞10.828，所以有99.9%的把握认为该市市民每日平均运动的步数与年龄有关． 18．（12分）设S n 是正项数列{a n }的前n 项和，且a 1=1，S n +S n−1−2a n=0(n ∈N ∗，n ≥2)． （1）求证；数列{S n 2}是等差数列；（2）求数列{a n }的通项公式． （1）证明：因为S n +S n−1−2a n=0， 所以S n 2−S n−12=(S n −S n−1)(S n +S n−1)=(S n −S n−1)2a n=2， 所以S n 2−S n−12=2 （常数）．所以{S n 2} 是以1为首项，2为公差的等差数列． （2）解：S n 2=1+2(n −1)=2n −1，且a n ＞0，所以S n =√2n −1，当n ≥2时，S n−1=√2n −3， a n =S n −S n−1=√2n −1−√2n −3． n ＝1时，a 1＝1不满足上式，所以a n ={1，n =1√2n −1−√2n −3，n ≥2．19．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的右焦点为（1，0），点A(−1，32)在C 上．（1）求C 的方程；（2）斜率为1的直线l 与C 交于M ，N 两点，线段MN 的中点为P ，求点P 的横坐标的取值范围． 解：（1）易知椭圆C 的左右焦点分别为F 1（﹣1，0），F 2（1，0）， 因为点A(−1，32)在C 上，所以AF 1+AF 2＝2a ＝4，解得a ＝2， 则b =√a 2−c 2=√3， 故C 的方程为x 24+y 23=1；（2）不妨设直线l 的方程为y ＝x +m ，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），P （x 0，y 0）， 联立{y =x +mx 24+y 23=1，消去y 并整理得7x 2+8mx +4m 2﹣12＝0，此时Δ＝（8m ）2﹣4×7×（4m 2﹣12）＝48（7﹣m 2）＞0， 解得−√7＜m ＜√7， 由韦达定理得x 1+x 2=−8m 7，x 1x 2=4m 2−127， 因为线段MN 的中点为P ，所以x 0=x 1+x 22=−47m ，此时−47√7＜x 0＜47√7， 故点P 的横坐标的取值范围为(−47√7，47√7)．20．（12分）已知f(x)=(x 2+2x +3)8=a 0+a 1(x +1)+a 2(x +1)2+⋯+a 16(x +1)16． （1）求a n （n ＝0，1，2，…，16）的最大值； （2）求f （5）﹣5被13除的余数．解：（1）因为(x 2+2x +3)8=[2+(x +1)2]8=a 0+a 1(x +1)+a 2(x +1)2+⋯+a 16(x +1)16，所以T r+1=C 8r 28−r [(x +1)2]r =C 8r 28−r(x +1)2r ，r =0，1，2，⋯，8， 所以a 1＝a 3＝⋯＝a 15＝0，a 2n =C 8n 28−n ，n ＝0，1，2， (8)令 C 8n 28−n ≥C 8n+127−n，则2≤n ≤3，所以a n 的最大值为1792．（2）因为f(5)−5=388−5=(39−1)8−5=C 80398+C 81397(−1)+⋯+C 8739(−1)7+1−5，所以f （5）﹣5 被13除的余数，即为﹣4被13除的余数为9．21．（12分）已知等差数列{a n }满足a 3+a 4＝12，a 5+a 7＝22，数列{b n }满足b 1＝3，且b n +1＝2b n ﹣n +1． （1）证明：{b n ﹣n }是等比数列，并求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）将数列{a n }和{b n }的公共项从小到大排成的数列记为{c n }，求{（﹣1）n c n }的前2n 项和S 2n ． 解：（1）由a 3+a 4＝12，a 5+a 7＝22，可得{a 1+2d +a 1+3d =12a 1+4d +a 1+6d =22，解得a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n ﹣1．根据b n +1＝2b n ﹣n +1，整理得b n +1﹣（n +1）＝2（b n ﹣n ）， 因为b 1﹣1＝2≠0，可知b n ﹣n ≠0，所以b n+1−(n+1)b n −n=2（常数），所以{b n ﹣n }是公比为2的等比数列，首项为b 1﹣1＝2，可得b n ﹣n ＝2×2n ﹣1＝2n ，即b n =2n +n ． （2）根据（1）的结论，可知：c n =b 2n−1=22n−1+(2n −1)，则S 2n ＝﹣c 1+c 2﹣c 3+c 4+⋯﹣c 2n ﹣1+c 2n ＝﹣（2+1）+（23+3）﹣（25+5）+⋯﹣（24n ﹣3+4n ﹣3）+（24n﹣1+4n ﹣1）＝（﹣2+23﹣25+27+…﹣24n ﹣3+24n ﹣1）+[﹣1+3﹣5+7+…﹣（4n ﹣3）+（4n ﹣1）] =−2−24n−1×(−4)1−(−4)+[(−1+3)+(−5+7)+⋯+(−4n +3+4n −1)]=24n+1−25+2n ．22．（12分）已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点Q （﹣1，0）的直线l （斜率为正数）与C 由左至右交于A ，B 两点，连结BF 并延长交C 于点D ． （1）证明：∠BQF ＝∠DQF ；（2）当△BDQ 的内切圆半径r ∈[12，23]时，求|QA |•|QB |的取值范围．（1）证明：设BF ：x ＝ny +1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），D （x 3，y 3），y 2＞y 1， 由 {x =nyy 2=4x，得y 2﹣4ny ﹣4＝0，y 2+y 3＝4n ，k BQ +k DQ =y 2x 2+1+y 3x 3+1=y 2ny 2+2+y 3ny 3+2=2ny 2y 3+2(y 2+y 3)(ny 2+2)(ny 3+2)=2n(−4)+2(4n)(ny 2+2)(ny 3+2)=0，所以∠BQF ＝∠DQF ．（2）解：过B 作BB ′垂直抛物线的准线于B ′，设直线l 的倾斜角为θ，如图：由（1）可知：△BDQ 的内切圆圆心在x 轴上，所以设圆心M （a ，0），﹣1＜a ＜1，设直线l ：x ＝my ﹣1（m ＞0）， 由{x =my −1y 2=4x，得y 2﹣4my +4＝0，则Δ＞0⇒m 2＞1⇒m ＞1，y 2+y 1＝4m ，y 1y 2＝4， 因为△BDQ 的内切圆为圆M ，所以|QM||FM|=|BQ||BF|=|BQ||BB′|=1cosθ=√1+m 2m，即a+11−a=√1+m 2m，又点M 到直线l 的距离为r =|a+1|√1+m ，所以√m 2+1=1−a m=r ，所以a =r 24，所以m =1−a r =1−r 24r =1r −r4，因为y =1r −r 4 在 r ∈[12，23] 上单调减，所以m ∈[43，158]， 所以|QA|⋅|QB|=(√1+m 2⋅y 1)(√1+m 2⋅y 2)=(1+m 2)y 1y 2=4(1+m 2)∈[1009，28916|．。
2023-2024学年四川省成都市校级联考高二(上)期末数学试卷(含答案)
2023-2024学年四川省成都市校级联考高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量a =(1,1,2),b =(−3,2,0)，则a +b 在a 上的投影向量为( )A. (32,32,322) B. (1510, 1510, 3010)C. (34,34,3 24) D. (−25,35, 25)2.平面直角坐标系内，与点A(1,1)的距离为1且与圆(x−1)2+(y−4)2=4相切的直线有( )A. 4条B. 3条C. 2条D. 0条3.设−A 、−B 分别是事件A 、B 的对立事件，P(A)>0，P(B)>0，则下列结论不正确的是( )A. P(A)+P(−A )=1B. 若A 、B 是互斥事件，则P(A ∩B)=P(A)P(B)C. P(A ∪−A )=1D. 若A 、B 是独立事件，则P(A ∩B)=P(A)P(B)4.如图，在平行六面体ABCD−A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°，则AC1⋅BD 1=( )A. 12B. 1C. 32D. 25.在样本频率分布直方图中共有9个小矩形，若其中1个小矩形的面积等于其他8个小矩形面积和的25，且样本容量为210，则该组的频数为( )A. 28B. 40C. 56D. 606.已知双曲线C ：x 22−y 24=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作其中一条渐近线的垂线，垂足为P ，则|P F 2|为( )A.3B. 23C. 2D. 47.已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，其上有两点A ，B ，若AB 的中点为M ，满足MF 的斜率等于1，则|BF|的最大值是( )A. 7B. 8C. 5+23D. 108.半径为R 的光滑半球形碗中放置着4个半径为r 的质量相同的小球，且小球的球心在同一水平面上，今将另一个完全相同的小球至于其上方，若小球不滑动，则Rr 的最大值是( )A. 25+1B. 27+1C. 211+1D. 213+1二、多选题：本题共4小题，共20分。
2023-2024学年江苏省苏州市高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在平面直角坐标系中，直线l ：x +√3y +1＝0的倾斜角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 24−y 2=1的左焦点为F ，点A 在C 的右支上，A 关于O的对称点为B ，则|AF |﹣|BF |＝（ ） A ．−2√5B ．2√5C ．﹣4D ．43．若{a →，b →，c →}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）A ．b →+c →，b →，b →−c →B ．a →，a →+b →，a →−b →C ．a →+b →，a →−b →，c →D ．a →+b →，a →+b →+c →，c →4．已知{a n }是等比数列，若a 2a 4＝a 3，a 4a 5＝8，则a 1＝（ ） A ．14B ．12C ．2D ．45．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：mx +y ﹣m ＝0被圆M ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0截得的最短弦的长度为（ ） A ．√2B ．2C ．2√2D ．46．已知平面α＝{P |n →•P 0P →=0}，其中点P 0（1，2，3），法向量n →=（1，1，1），则下列各点中不在平面α内的是（ ） A ．（3，2，1）B ．（﹣2，5，4）C ．（﹣3，4，5）D ．（2，﹣4，8）7．在平面直角坐标系xOy 中，已知一动圆P 经过A （﹣1，0），且与圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝9相切，则圆心P 的轨迹是（ ） A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线8．2020年7月23日，“天问一号”在中国文昌航天发射场发射升空，经过多次变轨后于2021年5月15日头现软着陆火星表面．如图，在同一平面内，火星轮廓近似看成以O 为圆心、R 1为半径的圆，轨道Ⅰ是以M 为圆心、R 2为半径的圆，着陆器从轨道Ⅰ的A 点变轨，进入椭圆形轨道Ⅱ后在C 点着陆．已知直线AC 经过O ，M ，与圆O 交于另一点B ，与圆M 交于另一点D ，若O 恰为椭圆形轨道Ⅱ的上焦点，且R 1R 2=35，AB ＝3CD ，则椭圆形轨道Ⅱ的离心率为（ ）A ．13B ．23C ．25D ．35二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：x 2m−1+y 2=m ，则下列说法正确的有（ ）A ．若m ＞1，则C 是椭圆B ．若m ＞2，则C 是椭圆C ．若m ＜0，则C 是双曲线D ．若m ＜1，则C 是双曲线10．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n +1＝pa n +q （p ，q ∈R ，n ∈N *），设{a n }的前n 项和为S n ，则下列说法正确的有（ ）A ．若p ＝﹣1，q ＝3，则a 10＝2B ．若p ＝﹣1，q ＝3，则S 10＝30C ．若p ＝2，q ＝1，则a 10＝1024D ．若p ＝2，q ＝1，则S 10＝203611．如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝AD ＝AA 1＝1，∠A 1AD ＝∠A 1AB ＝∠BAD ＝60°，E 为棱CC 1上一点，且C 1E →=2EC →，则（ ）A ．A 1E ⊥BDB ．A 1E ⊥平面BDD 1B 1C ．BD 1=√2D ．直线BD 1与平面ACC 1A 1所成角为π412．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，点A ，B 为C 上异于O 不同两点，故OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，T 是C 的准线与x 轴的交点．若k 1k 2＝﹣4，则（ ） A ．以AB 为直径的圆与C 的准线相切B ．存在k 1，k 2，使得|AB |=52C ．△AOB 面积的最小值为34D ．|AF||BF|=|AT||BT|三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知菱形ABCD 的边长为2，一个内角为60°，顶点A ，B ，C ，D 均在坐标轴上，以A ，C 为焦点的椭圆Γ经过B ，D 两点，请写出一个这样的Γ的标准方程 ． 14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （2，2），记抛物线C ：y 2＝4x 上的动点P 到准线的距离为d ，则d ﹣|P A |的最大值为 ．15．已知圆台的高为2，上底面圆O 1的半径为2，下底面圆O 2的半径为4，A ，B 两点分别在圆O 1、圆O 2上，若向量O 1A →与向量O 2B →的夹角为60°，则直线AB 与直线O 1O 2所成角的大小为 ． 16．函数y ＝[x ]被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中[x ]为不超过实数x 的最大整数，例如：[﹣1]＝﹣1，[4.2]＝4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝[log 2（2n +1）]，设{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n ≤300的最大正整数n 的值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 为平行四边形，A （﹣1，﹣1），B （2，0），D （0，1）．（1）设线段BD 的中点为E ，直线l 过E 且垂直于直线CD ，求l 的方程； （2）求以点C 为圆心、与直线BD 相切的圆的标准方程．18．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且4S n ＝（2n +1）a n +1（n ∈N *）． （1）求{a n }的通项公式； （2）记b n =1a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ． 19．（12分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，已知∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，点E ，F 分别为线段AB ，AC 上的动点（不含端点），且AF ＝BE ，B 1F ⊥C 1E ． （1）求该直三棱柱的高；（2）当三棱锥A 1﹣AEF 的体积最大时，求平面A 1EF 与平面ACC 1A 1夹角的余弦值．20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的长轴长是短轴长的2倍，焦距为4√3． （1）求C 的标准方程；（2）若斜率为12的直线l （不过原点O ）交C 于A ，B 两点，点O 关于l 的对称点P 在C 上，求四边形OAPB 的面积．21．（12分）已知数列{a n }满足a 1＝1，a n +1＝a n +1+cos n π（n ∈N *）． （1）求a 2，a 3及{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b 2＝2且b 2k ﹣1＝a 2k ﹣1，b 2k +2＝3b 2k （k ∈N *），记{b n }的前n 项和为S n ，试求所有的正整数m ，使得S 2m ＝2S 2m ﹣1成立．22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：x 2a 2−y 2a 2+2=1的右焦点为F （2，0），左、右顶点分别为A 1，A 2，过F 且斜率不为0的直线l 与C 的左、右两支分别交于P 、Q 两点，与C 的两条渐近线分别交于D 、E 两点（从左到右依次为P 、D 、E 、Q ），记以A 1A 2为直径的圆为圆O ． （1）当l 与圆O 相切时，求|DE |；（2）求证：直线A 1Q 与直线A 2P 的交点S 在圆O 内．2023-2024学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在平面直角坐标系中，直线l ：x +√3y +1＝0的倾斜角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解：由于直线l ：x +√3y +1＝0的斜率为−√33，故它的倾斜角为5π6，故选：D ．2．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 24−y 2=1的左焦点为F ，点A 在C 的右支上，A 关于O的对称点为B ，则|AF |﹣|BF |＝（ ） A ．−2√5B ．2√5C ．﹣4D ．4解：设双曲线C 的右焦点为F '， 由双曲线的对称性可知，|BF |＝|AF '|，所以由双曲线的定义知|AF |﹣|BF |＝|AF |﹣|AF '|＝2a ＝4． 故选：D ．3．若{a →，b →，c →}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）A ．b →+c →，b →，b →−c →B ．a →，a →+b →，a →−b →C ．a →+b →，a →−b →，c →D ．a →+b →，a →+b →+c →，c →解：由共面向量的充要条件可得：对于A 选项，b →=12（b →+c →）+12（b →−c →），所以b →+c →，b →，b →−c →三个向量共面；对于B 选项，同理：a →，a →+b →，a →−b →三个向量共面； 对于D 选项，a →+b →+c →=(a →+b →)+c →，所以三个向量共面； 故选：C ．4．已知{a n }是等比数列，若a 2a 4＝a 3，a 4a 5＝8，则a 1＝（ ） A ．14B ．12C ．2D ．4解：根据题意，{a n }是等比数列，设其公比为q ，若a 2a 4＝a 3，则有a 32=a 3，又由a 3＞0，则a 3＝1，又由a 4a 5＝8，则（a 3q ）（a 3q 2）＝q 3＝8，解可得q ＝2，所以a 1=a 3q 2=14． 故选：A ．5．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：mx +y ﹣m ＝0被圆M ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0截得的最短弦的长度为（ ） A ．√2B ．2C ．2√2D ．4解：直线l ：mx +y ﹣m ＝0过定点A （1，0），圆M ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0化为圆M ：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝4，可知圆的圆心M （2，1），半径R ＝2， 因为点A （1，0）在圆M 内，如图， 由圆的几何性质可知，当AM ⊥直线l 时， 弦长最短为2√R 2−|MA|2=2√4−2=2√2． 故选：C ．6．已知平面α＝{P |n →•P 0P →=0}，其中点P 0（1，2，3），法向量n →=（1，1，1），则下列各点中不在平面α内的是（ ） A ．（3，2，1）B ．（﹣2，5，4）C ．（﹣3，4，5）D ．（2，﹣4，8）解：对于A ，P 0P →=（2，0，﹣2），n →⋅P 0P →=1×2+1×0+1×（﹣2）＝0，故选项A 在平面α内； 对于B ，P 0P →=（﹣3，3，1），n →⋅P 0P →=1×（﹣3）+1×3+1×1＝1≠0，故选项B 不在平面α内； 对于C ，P 0P →=（﹣4，2，2），n →⋅P 0P →=1×（﹣4）+1×2+1×2＝0，故选项C 在平面α内； 对于D ，P 0P →=（1，﹣6，5），n →⋅P 0P →=1×1+1×（﹣6）+1×5＝0，故选项D 在平面α内． 故选：B ．7．在平面直角坐标系xOy 中，已知一动圆P 经过A （﹣1，0），且与圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝9相切，则圆心P 的轨迹是（ ）A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解：根据题意，可知点A （﹣1，0）位于圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝9的内部， 所以圆P 与圆C 内切，且圆P 在圆C 的内部，作出圆C 过切点Q 的半径CQ ，则根据两圆内切的关系，得到点P 在CQ 上， 因为QC ＝PQ +PC ＝3，且P A ＝PQ ，所以P A +PC ＝3，根据AP +PC ＝3＞AC ＝2，可知点P 轨迹是以A 、C 为焦点的椭圆．故选：B ．8．2020年7月23日，“天问一号”在中国文昌航天发射场发射升空，经过多次变轨后于2021年5月15日头现软着陆火星表面．如图，在同一平面内，火星轮廓近似看成以O 为圆心、R 1为半径的圆，轨道Ⅰ是以M 为圆心、R 2为半径的圆，着陆器从轨道Ⅰ的A 点变轨，进入椭圆形轨道Ⅱ后在C 点着陆．已知直线AC 经过O ，M ，与圆O 交于另一点B ，与圆M 交于另一点D ，若O 恰为椭圆形轨道Ⅱ的上焦点，且R 1R 2=35，AB ＝3CD ，则椭圆形轨道Ⅱ的离心率为（ ）A ．13B ．23C ．25D ．35解：不妨设R 1＝3，R 2＝5，CD ＝m ，则AB ＝3m ，MB ＝R 2﹣AB ＝5﹣3m ，OM ＝R 1﹣MB ＝3m ﹣2， 所以MD ＝R 2＝OM +OC +CD ＝3m ﹣2+R 1+m ＝4m +1＝5⇒m ＝1，所以a ﹣c ＝OC ＝R 1＝3①，2a ＝AC ＝MA +OM +OC ＝R 2+3m ﹣2+R 1＝9②，联立①②解得a=92，c=32，所以椭圆离心率e=ca=13．故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：x2m−1+y2=m，则下列说法正确的有（）A．若m＞1，则C是椭圆B．若m＞2，则C是椭圆C．若m＜0，则C是双曲线D．若m＜1，则C是双曲线解：当m＞1时，曲线C：x2m−1+y2=m化为x2m(m−1)+y2m=1，若m＝2，曲线为圆，故A错误；当m＞2时，曲线C：x2m−1+y2=m化为x2m(m−1)+y2m=1，曲线为椭圆，故B正确；当m＜0时，曲线C：x2m−1+y2=m化为x2m(m−1)+y2m=1，此时m（m﹣1）＞0，m＜0，曲线为双曲线，故C正确；当m＜1时，若m＝0，曲线C：x2m−1+y2=m化为y2﹣x2＝0，即y＝±x，曲线为两条直线，故D错误．故选：BC．10．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝pa n+q（p，q∈R，n∈N*），设{a n}的前n项和为S n，则下列说法正确的有（）A．若p＝﹣1，q＝3，则a10＝2B．若p＝﹣1，q＝3，则S10＝30C．若p＝2，q＝1，则a10＝1024D．若p＝2，q＝1，则S10＝2036解：对于选项AB，若p＝﹣1，q＝3，则a n+1+a n＝3，a n+2+a n+1＝3，两式相减可得a n+2＝a n，∴{a n}为周期2的周期数列，a1＝1，a2＝2，则a10＝a2＝2，故A正确；S10＝5（a1+a2）＝5×3＝15，故B错误；对于CD，若p＝2，q＝1，则a n+1＝2a n+1，可得a n+1+1＝2（a n+1），∵a1+1＝2，∴数列{a n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n+1=2n，则a n=2n−1，∴a10=210−1=1023，故C错误；S10=2(1−210)1−2−10=2036，故D正确．故选：AD．11．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝AD＝AA1＝1，∠A1AD＝∠A1AB＝∠BAD＝60°，E 为棱CC 1上一点，且C 1E →=2EC →，则（ ）A ．A 1E ⊥BDB ．A 1E ⊥平面BDD 1B 1C ．BD 1=√2D ．直线BD 1与平面ACC 1A 1所成角为π4解：在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝AA 1＝1，∠A 1AD ＝∠A 1AB ＝∠BAD ＝60°， E 为棱CC 1上一点，且C 1E →=2EC →，对于A ，由题意知△A 1AB ≌△A 1AD ，∴A 1D ＝A 1B ， 设AC ∩BD ＝O ，O 为BD 中点，连接A 1O ，则A 1O ⊥BD ， ∵四边形ABCD 为菱形，∴BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面A 1ACC 1， ∵A 1E ⊂平面A 1ACC 1，∴A 1E ⊥BD ，故A 正确；对于B ，∵A 1E →=−23AA 1→+AB →+AD →，∴A 1E →⋅AA 1→=(−23AA 1→+AB →+AD →)⋅AA 1→−23AA 1→2+AB →⋅AA 1→+AD →⋅AA 1→=−23+12+12=13≠0，∴A 1E →与AA 1→不垂直，即A 1E →与BB 1→不垂直，∴A 1E 与平面BDD 1B 1不垂直，故B 错误； 对于C ，BD 1→=BA →+AA 1→+A 1D 1→=−AB →+AA 1→+AD →， ∴|BD 1→|2=|−AB →+AA 1→+AD →|2=(AB →)2+(AA 1→)2+(AD →)2−2AB →⋅AA 1→−2AB →⋅AD →+2AA →1⋅AD →=3−2×12−2×12+2×12=2⇒BD 1=√2，故C 正确对于D ，由A 知BD ⊥平面A 1ACC 1，∴直线BD 1与平面ACC 1A 1所成角即为直线BD 1与BD 所成角的余角， BD →=AD →−AB →，∵|BD →|=1，BD →⋅BD 1→=(AD →−AB →)⋅(−AB →+AA →1+AD →)=1 ∴|cos〈BD →，BD 1→〉|=|BD →⋅BD 1→|BD →|⋅|BD 1→||=11×√2=√22，∴直线BD 1与BD 所成角为π4，∴直线BD 1与平面ACC 1A 1所成角为π4，故D 正确．故选：ACD ．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，点A ，B 为C 上异于O 不同两点，故OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，T 是C 的准线与x 轴的交点．若k 1k 2＝﹣4，则（ ） A ．以AB 为直径的圆与C 的准线相切 B ．存在k 1，k 2，使得|AB |=52C ．△AOB 面积的最小值为34D ．|AF||BF|=|AT||BT|解：抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F （12，0），p ＝1，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则k 1k 2=y 1y 2x 1x 2=4y 1y 2=−4，得：y 1y 2=−1=−p 2，故直线AB 过焦点F ，点T 和点F 重合，选项D 正确； 由抛物线的性质得|AF |＝x 1+12，|BF |＝x 2+12，|AB |＝x 1+x 2+1，线段AB 的中点M 到准线的距离为|AF|+|BF|2=x 1+x 2+12=|AB|2，所以以AB 为直径的圆与C 的准线相切，选项A 正确； |AB |≥2p ＝2，故选项B 正确； 设直线AB 的倾斜角为θ，则S △AOB =p 22sinθ=12sinθ≥12，选项C 错误． （或当AB 为通径时，S △AOB =p 22=12＜34，故选项C 错误）． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知菱形ABCD 的边长为2，一个内角为60°，顶点A ，B ，C ，D 均在坐标轴上，以A ，C 为焦点的椭圆Γ经过B ，D 两点，请写出一个这样的Γ的标准方程： x 24+y 2=1（答案不唯一） ．解：根据题意，顶点A ，B ，C ，D 均在坐标轴上，则该菱形对角线的交点为坐标原点，如图：假设A 、C 在x 轴上，B 、D 在y 轴上，∠BCD ＝60°， 由菱形的性质，∠BCA ＝30°，又由菱形ABCD 的边长为2，则OB ＝1，则BC ＝2，OC =√3， 即b ＝1，c =√3，则a 2＝b 2+c 2＝4， 故该椭圆的一个方程为x 24+y 2=1．故答案为：x 24+y 2=1（答案不唯一）．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （2，2），记抛物线C ：y 2＝4x 上的动点P 到准线的距离为d ，则d ﹣|P A |的最大值为 √5 ．解：抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F （1，0），由抛物线的定义知d ＝|PF |，所以d ﹣|P A |＝|PF |﹣|P A |≤|AF |=√(2−1)2+(2−0)2=√5， 当点P 位于射线F A 与抛物线交点时，取最大值√5．答案为：√5．15．已知圆台的高为2，上底面圆O 1的半径为2，下底面圆O 2的半径为4，A ，B 两点分别在圆O 1、圆O 2上，若向量O 1A →与向量O 2B →的夹角为60°，则直线AB 与直线O 1O 2所成角的大小为 π3．解：作出示意图形，如下图所示，向量O 1A →与向量O 2B →的夹角为60°，结合O 1A ∥O 2C ，得∠BO 2C ＝60°， 所以△BO 2C 为等边三角形，设点A 在圆O 2所在平面内的射影为D ，连接AD 、BD ， 则AD 与O 1O 2平行且相等，且D 为O 2C 中点，∠BAD （或其补角）就是异面直线AB 与直线O 1O 2所成角， Rt △BCD 中，BD =√42−22=2√3， 在Rt △ADB 中，AD ＝O 1O 2＝2，得tan ∠BAD =BD AD =√3，所以∠BAD =π3， 即直线AB 与直线O 1O 2所成角为π3．故答案为：π3．16．函数y ＝[x ]被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中[x ]为不超过实数x 的最大整数，例如：[﹣1]＝﹣1，[4.2]＝4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝[log 2（2n +1）]，设{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n ≤300的最大正整数n 的值为 59 ． 解：a n ＝[log 2（2n +1）]，可得a 2k−1=[log 2（2k +1）]＝k ，a 2k =[log 2(2k+1+1)]=k +1， 故2k ﹣1≤n ＜2k 时，a n ＝k ，共2k ﹣2k ﹣1＝2k﹣1项，其和为k •2k ﹣1＝（k ﹣1）•2k ﹣（k ﹣2）•2k ﹣1，S 2k −1=0⋅21−(−1)⋅20+1⋅22−0⋅21+⋅⋅⋅+(k −1)⋅2k −(k −2)⋅2k−1=(k −1)⋅2k +1， 则S 63＝（6﹣1）×26+1＝321＞300，又32≤n ≤63时，a n ＝6，故S 60＝303，S 59＝297， 因此，所求正整数n 的最大值为59． 故答案为：59．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 为平行四边形，A （﹣1，﹣1），B （2，0），D （0，1）．（1）设线段BD 的中点为E ，直线l 过E 且垂直于直线CD ，求l 的方程； （2）求以点C 为圆心、与直线BD 相切的圆的标准方程． 解：（1）根据B （2，0），D （0，1），可得BD 的中点为E(1，12)．由A （﹣1，﹣1）、B （2，0），得k AB =0+12+1=13， 因为四边形ABCD 为平行四边形，所以AB ∥CD ，得k CD =k AB =13，而直线l ⊥CD ，可知直线l 的斜率为−113=−3，所以直线l 的方程为y −12=−3(x −1)，整理得6x +2y ﹣7＝0． （2）设C （m ，n ），根据A （﹣1，﹣1），B （2，0），D （0，1）， 可得BC →=(m −2，n)，AD →=(1，2)，结合BC →=AD →，得{m −2=1n =2，，m ＝3，n ＝2，即C （3，2），根据k BD =1−00−2=−12，k BC =2−03−2=2，得k BD •k BC ＝﹣1，即BC ⊥BD ， 所以点C 到BD 的距离为BC =√(3−2)2+(2−0)2=√5，因此，以点C 为圆心且与直线BD 相切的圆的标准方程为（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝5． 18．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且4S n ＝（2n +1）a n +1（n ∈N *）． （1）求{a n }的通项公式； （2）记b n =1a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ． 解：（1）因为4S n ＝（2n +1）a n +1． 令n ＝1得a 1＝1， 因为4S n ＝（2n +1）a n +1，所以4S n ﹣1＝（2n ﹣1）a n ﹣1+1（n ≥2），两式相减得4a n ＝（2n +1）a n ﹣（2n ﹣1）a n ﹣1（n ≥2），即（2n ﹣3）a n ＝（2n ﹣1）a n ﹣1． 所以a n a n−1=2n−12n−3（n ≥2）， 所以a 2a 1⋅a 3a 2⋅⋅⋅⋅⋅⋅a n a n−1=31⋅53⋅⋅⋅2n−12n−3，即a na 1=2n −1， 所以当n ≥2时，a n ＝2n ﹣1， 又a 1＝1，所以a n ＝2n ﹣1． （2）由（1）可得b n =1a n a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，所以T n =12[(11−13)+(13−15)+⋅⋅⋅+(12n−1−12n+1)]=12(1−12n+1)=n2n+1．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，已知∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，点E ，F 分别为线段AB ，AC 上的动点（不含端点），且AF ＝BE ，B 1F ⊥C 1E ． （1）求该直三棱柱的高；（2）当三棱锥A 1﹣AEF 的体积最大时，求平面A 1EF 与平面ACC 1A 1夹角的余弦值．解：（1）在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∵∠BAC ＝90°，∴AB ，AC ，AA 1两两垂直， 以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，∵AB ＝AC ＝2，则A （0，0，0），B （2，0，0），C （0，2，0）， 设AA 1＝a （a ＞0），则A 1（0，0，a ），B 1（2，0，a ），C 1（0，2，a ）， 设AF ＝BE ＝λ（0＜λ＜2），则E （2﹣λ，0，0），F （0，λ，0）， ∴B 1F →=(−2，λ，−a)，C 1E →=(2−λ，−2，−a)，∵B 1F ⊥C 1E ，∴B 1F →⋅C 1E →=0，即2λ﹣4﹣2λ+a 2＝0，解得：a ＝2， 即该直三棱柱的高为2；（2）在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，有AA 1⊥平面AEF ， 又∠BAC ＝90°，由（1）知AA 1＝2，AE ＝BE ＝λ（0＜λ＜2），∴V A 1−AEF =13S △AEF ⋅AA 1=13λ⋅(2−λ)≤13，当且仅当λ＝1时取“＝”，即点E ，F 分别为线段AB ，AC 的中点时，三棱锥A 1﹣AEF 的体积最大， 此时E （1，0，0），F （0，1，0），A 1（0，0，2）， ∴A 1E →=(1，0，−2)，A 1F →=(0，1，−2)，设平面A 1EF 的法向量为n 1→=(x ，y ，z)， 则{A 1E →⋅n 1→=0A 1F →⋅m 1→=0，即{x −2z =0y −2z =0，取z ＝1，则n 1→=(2，2，1)， 又平面ACC 1A 1的一个法向量为n 2→=(1，0，0)，所以|cos〈n 1→，n 2→〉|=|n 1→⋅n 2→|n 1→|⋅|n 2→||=23×1=23， 因为平面A 1EF 与平面ACC 1A 1的夹角θ为锐角，所以cosθ=23．20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的长轴长是短轴长的2倍，焦距为4√3． （1）求C 的标准方程；（2）若斜率为12的直线l （不过原点O ）交C 于A ，B 两点，点O 关于l 的对称点P 在C 上，求四边形OAPB 的面积．解：（1）由题意2c =4√3，所以c =2√3=√a 2−b 2，又因为a ＝2b ，所以a ＝4，b ＝2， 所以C 的标准方程为x 216+y 24=1．（2）设直线l ：y =12x +m （m ≠0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （x 3，y 3）．将y =12x +m 代入C ：x 216+y 24=1中，化简整理得x 2+2mx +2m 2﹣8＝0，于是有{Δ=32−4m 2＞0，x 1+x 2=−2m ，x 1x 2=2m 2−8，所以|AB|=√1+(12)2|x 1−x 2|=√52√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√52√(−2m)2−4(2m 2−8)=√5√8−m 2， 因为点O 关于l 的对称点为P ，所以{y 3−0x 3−0=−2，y 3+02=12⋅x 3+02+m ，解得{x 3=−45my 3=85m，即P(−45m ，85m)， 因为P 在C 上，所以(−45m)216+(85m)24=1，解得m 2=2517． 又因为点O 到直线l 的距离d =|m|√1+(12)=2√5， 所以由对称性得S 四边形OAPB =2S △OAB =|AB|⋅d =√5√8−m 2⋅√5=2|m|√8−m 2=25√17×√8−2517=1017√111．21．（12分）已知数列{a n }满足a 1＝1，a n +1＝a n +1+cos n π（n ∈N *）． （1）求a 2，a 3及{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b 2＝2且b 2k ﹣1＝a 2k ﹣1，b 2k +2＝3b 2k （k ∈N *），记{b n }的前n 项和为S n ，试求所有的正整数m ，使得S 2m ＝2S 2m ﹣1成立．解：（1）将n ＝2，3代入a n +1＝a n +1+cos n π，得a 2＝1，a 3＝3， 令n ＝2k ，2k ﹣1，得a 2k +1＝a 2k +2，a 2k ＝a 2k ﹣1，所以a 2k +1＝a 2k ﹣1+2，又a 1＝1，从而a 2k ﹣1＝1+2（k ﹣1）＝2k ﹣1， 所以a 2k ＝a 2k ﹣1＝2k ﹣1，从而a n ={n ，n 为奇数，n −1，n 为偶数.；（2）：由b 2k ﹣1＝a 2k ﹣1＝2k ﹣1，又b 2＝2，b 2k +2＝3b 2k ， 所以{b 2k }是以2为首项，3为公比的等比数列， 所以b 2k =2⋅3k−1，所以b n ={n ，n =2k −1(k ∈N ∗)，2⋅3n2−1，n =2k(k ∈N ∗)， 因为S 2m ＝2S 2m ﹣1，所以b 2m ＝S 2m ﹣1．因为S 2m ﹣1＝b 1+b 2+•+b 2m ﹣1＝（b 1+b 3+•+b 2m ﹣1）+（b 2+b 4+•+b 2m ﹣2） =m(1+2m−1)2+2(3m−1−1)3−1=3m−1+m 2−1，所以2•3m ﹣1＝3m ﹣1+m 2﹣1，即3m ﹣1＝m 2﹣1当m ＝1时，3m ﹣1＝m 2﹣1无解；当m ＞1时，因为(m+1)2−13m−m 2−13m−1=−2m 2+2m+33m＜0，所以当且仅当m ＝2时，m 2−13m−1取最大值1，即3m ﹣1＝m 2﹣1的解为m ＝2．综上所述，满足题意的m 的值为2．22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：x 2a 2−y 2a 2+2=1的右焦点为F （2，0），左、右顶点分别为A 1，A 2，过F 且斜率不为0的直线l 与C 的左、右两支分别交于P 、Q 两点，与C 的两条渐近线分别交于D 、E 两点（从左到右依次为P 、D 、E 、Q ），记以A 1A 2为直径的圆为圆O ． （1）当l 与圆O 相切时，求|DE |；（2）求证：直线A 1Q 与直线A 2P 的交点S 在圆O 内．解：（1）因为F （2，0），所以a 2+（a 2+2）＝4，所以a 2＝1， 所以圆O 的半径r ＝1，由题意知l 的斜率存在，设l ：y ＝k （x ﹣2）（k ≠0），当l 与圆O 相切时，O 到l 的距离d ＝r ，即√1+k 2=1，解得k =±√33，由{y =k(x −2)，x 2−y 23=0，得（k 2﹣3）x 2﹣4k 2x +4k 2＝0，即2x 2+x ﹣1＝0，解得x D ＝﹣1，x E =12， 所以|DE|=√1+k 2|x D −x E |=√3．（2）证明：设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），由{y =k(x −2)，x 2−y 23=1，得（k 2﹣3）x 2﹣4k 2x +4k 2+3＝0， 此时k ≠0，Δ＞0，x 1x 2=4k 2+3k 2−3＜0，解得0＜k 2＜3，且{x 1+x 2=4k 2k 2−3=4+12k 2−3，x 1x 2=4k 2+3k 2−3=4+15k 2−3，所以x 1x 2=54(x 1+x 2)−1， 因为A 1（﹣1，0），A 2（1，0），所以A 1Q ：y =y 2x 2+1(x +1)，A 2P ：y =y1x 1−1(x −1)，联立A 1Q ，A 2P 方程，消去y 得x+1x−1=(x 2+1)y 1(x 1−1)y 2=k(x 2+1)(x 1−2)k(x 1−1)(x 2−2)=x 1x 2+x 1−2x 2−2x 1x 2−x 2−2x 1+2．所以x 1x 2+x 1−2x 2−2x 1x 2−x 2−2x 1+2=54(x 1+x 2)−1+x 1−2x 2−254(x 1+x 2)−1−x 2−2x 1+2=94x 1−34x 2−3−34x 1+14x 2+1=−3，即x+1x−1=−3，所以x =12．将x=12代入A2P方程，得y=−y12(x1−1)，即S(12，−y12(x1−1))．因为x1＜﹣1，所以(−y12(x1−1))2=3(x12−1)4(x1−1)2=3(x1+1)4(x1−1)=34[1+2x1−1]∈(0，34)，所以(12)2+(−y12(x1−1))2＜1，即直线A1Q，A2P的交点S在圆O内．。
2023-2024学年北京市丰台区高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市丰台区高二（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知直线l 经过A （﹣1，0），B(0，√3)两点，则直线l 的倾斜角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n +1＝﹣3a n ，S 3＝7，则a 1＝（ ） A ．﹣3B ．﹣1C ．1D ．33．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，点P （m ，n ）在抛物线C 上．若|PF |＝3，则m ＝（ ） A ．2B ．3C ．4D ．54．已知椭圆x 2m−3+y 27−m =1的焦点在x 轴上，则m 的取值范围是（ ）A ．3＜m ＜7B ．3＜m ＜5C ．5＜m ＜7D ．m ＞35．如图，在四面体OABC 中，OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →．点M 在OC 上，且OM =12MC ，N 为AB 的中点，则MN →=（ ）A ．−12a →−12b →+13c →B ．−12a →−12b →−13c →C ．12a →+12b →+13c →D ．12a →+12b →−13c →6．已知椭圆C ：x 29+y 24=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上．若∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．97．月相是指天文学中对于地球上看到的月球被太阳照亮部分的称呼.1854年，爱尔兰学者在大英博物馆所藏的一块巴比伦泥板上发现了一个记录连续15天月相变化的数列，记为{a n }，其将满月等分成240份，a i （1≤i ≤15且i ∈N *）表示第i 天月球被太阳照亮部分所占满月的份数．例如，第1天月球被太阳照亮部分占满月的5240，即a 1＝5；第15天为满月，即a 15＝240．已知{a n }的第1项到第5项是公比为q 的等比数列，第5项到第15项是公差为d 的等差数列，且q ，d 均为正整数，则a 5＝（ ） A ．40B ．80C ．96D ．1128．已知点P 在由直线y ＝x +3，y ＝5和x ＝﹣1所围成的区域内（含边界）运动，点Q 在x 轴上运动．设点T （4，1），则|QP |+|QT |的最小值为（ ） A ．√30B ．4√2C ．√34D ．2√109．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为棱A 1D 1的中点，F 为棱AA 1上一动点．给出下列四个结论：①存在点F ，使得EF ∥平面ABC 1； ②直线EF 与BC 1所成角的最大值为π2；③点A 1到平面ABC 1的距离为√2； ④点A 1到直线AC 1的距离为2√63． 其中所有正确结论的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．过双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 引圆x 2+y 2＝a 2的切线，切点为P ，延长FP 交双曲线C 的左支于点Q ．若QP →=2PF →，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．√415B ．√133 C ．53D ．√132二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2023-2024学年北京市西城区高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．直线3x﹣4y+1＝0不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．抛物线x2＝6y的焦点到准线的距离为（）A．12B．1C．2D．33．在空间直角坐标系O﹣xyz中，点A（4，﹣2，8）到平面xOz的距离与其到平面yOz的距离的比值等于（）A．14B．12C．2D．44．在(2x+1x)3的展开式中，x的系数为（）A．3B．6C．9D．12 5．正四面体ABCD中，AB与平面BCD所成角的正弦值为（）A．√63B．√36C．√24D．√336．已知直线a，b和平面α，其中a⊄α，b⊂α，则“a∥b”是“a∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．设A，B为双曲线E：x 2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，M为双曲线E上一点，且△AMB为等腰三角形，顶角为120°，则双曲线E的一条渐近线方程是（）A．y＝x B．y＝2x C．y=√2x D．y=√3x8．在正方体的8个顶点中任选3个，则这3个顶点恰好不在同一个表面正方形中的选法有（）A．12种B．24种C．32种D．36种9．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝CC1＝4，E为棱B1C1的中点，P为四边形BCC1B1内（含边界）的一个动点．且DP⊥BE，则动点P的轨迹长度为（）A．5B．2√5C．4√2D．√1310．在直角坐标系xOy 内，圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝1，若直线l ：x +y +m ＝0绕原点O 顺时针旋转90°后与圆C 存在公共点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[−√2，√2]B ．[−4−√2，−4+√2]C ．[−2−√2，−2+√2]D ．[−2+√2，2+√2]二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11．过点A （2，﹣3）且与直线x +y +3＝0平行的直线方程为 ． 12．在（2x +1）4的展开式中，所有项的系数和等于 ．（用数字作答）13．两个顶点朝下竖直放置的圆锥形容器盛有体积相同的同种液体（示意图如图所示），液体表面圆的半径分别为3，6，则窄口容器与宽口容器的液体高度的比值等于 ．14．若方程x 2m+2+y 24−m =1表示的曲线为双曲线，则实数m 的取值范围是 ；若此方程表示的曲线为椭圆，则实数m 的取值范围是 ．15．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，E 为棱BB 1的中点，F 为棱CC 1（含端点）上的一个动点．给出下列四个结论：①存在符合条件的点F ，使得B 1F ∥平面A 1ED ； ②不存在符合条件的点F ，使得BF ⊥DE ； ③异面直线A 1D 与EC 1所成角的余弦值为√55； ④三棱锥F ﹣A 1DE 的体积的取值范围是[23，2]．其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16．（10分）从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动．（1）共有多少种不同的选择方法？（2）若要求选出的3名志愿者中有2男1女，且他们分别从事经济、文化和民生方面的问卷调查工作，求共有多少种不同的选派方法？17．（15分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BA⊥BC，BC＝3，AB＝AA1＝4．（1）证明：直线AB1⊥平面A1BC；（2）求二面角B﹣CA1﹣A的余弦值．18．（15分）已知⊙C经过点A（1，3）和B（5，1），且圆心C在直线x﹣y+1＝0上．（1）求⊙C的方程；（2）设动直线l与⊙C相切于点M，点N（8，0）．若点P在直线l上，且|PM|＝|PN|，求动点P的轨迹方程．19．（15分）已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的一个焦点为(√5，0)，四个顶点构成的四边形面积等于12．设圆（x﹣1）2+y2＝25的圆心为M，P为此圆上一点．（1）求椭圆C的离心率；（2）记线段MP与椭圆C的交点为Q，求|PQ|的取值范围．20．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面P AB，AB∥DC，E为棱PB的中点，平面DCE与棱P A相交于点F，且P A＝AB＝AD＝2CD＝2，再从下列两个条件中选择一个作为已知．条件①：PB＝BD；条件②：P A⊥BC．（1）求证：AB∥EF；（2）求点P到平面DCEF的距离；（3）已知点M在棱PC上，直线BM与平面DCEF所成角的正弦值为23，求PMPC的值．21．（15分）设椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与椭圆C相交于A，B两点．已知椭圆C的离心率为12，△ABF2的周长为8．（1）求椭圆C的方程；（2）判断x轴上是否存在一点M，对于任一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，使得MF1为△AMB的一条内角平分线？若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由．2023-2024学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
2023-2024学年福建省厦门市高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年福建省厦门市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知等比数列{a n }满足a 3=√3，a 7=3√3，则a 5＝（ ） A ．−2√3B ．﹣3C ．3D ．2√32．已知直线l 1的倾斜角为π3，直线l 2过点(−1，√3)，若l 1∥l 2，则l 2在y 轴上的截距为（ ）A ．−2√3B ．﹣2C ．2D ．2√33．点P （0，2）到双曲线C ：x 2−y 24=1的渐近线的距离为（ ）A ．2√55B ．4√55C ．2√1717D ．4√17174．在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，点E 满足CE →=2EP →，则AE →=（ ） A ．12AB →+12AD →−12AP →B ．12AB →+12AD →−23AP →C ．13AB →+13AD →+23AP →D ．23AB →+23AD →+13AP →5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若3S n ＝a n ﹣2，则a n 的最大值为（ ） A ．﹣1B ．−12C ．12D ．16．已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，上一点P 满足PF 1⊥PF 2，A 为线段PF 2的中垂线与Γ的交点，若△APF 1的周长为72a ，则Γ的离心率为（ ）A ．√64B ．√104C ．√63D ．√327．已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABD ＝120°，AB ＝3，BD ＝2，DC ＝1．如图，将△ABD 沿对角线BD 翻折至△A ′BD ，使得A ′C =3√3，则异面直线A ′B ，CD 所成角的余弦值为（ ）A ．34B ．45C ．56D ．678．抛物线有一个重要的性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，此时反射面为抛物线在该点处的切线．过抛物线C ：x 2＝8y 上的一点P （异于原点O ）作C 的切线l ，过O 作l 的平行线交PF （F 为C 的焦点）于点Q ，则|OQ |的取值范围为（ ）A ．（0，2）B ．（0，4）C ．（0，6）D ．（0，8）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知集合M ＝{（x ，y ）|x 2+y 2≤4}，N ＝{（x ，y ）|（x ﹣a ）2+y 2≤1}．若N ⊆M ，则实数a 可以为（ ） A ．0B ．12C ．1D ．210．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是DD 1和BD 1的中点，则（ ）A ．C 1F ∥AEB ．C 1F ⊥A 1DC ．点F 到平面EAC 的距离为√63D ．直线C 1F 与平面EAC 所成角的正弦值为√7311．已知曲线C ：x 2sin α﹣y 2cos α＝1，其中α∈[0，π]，则（ ） A ．存在α使得C 为圆 B ．存在α使得C 为两条直线C ．若C 为双曲线，则α越大，C 的离心率越大D ．若C 为椭圆，则α越大，C 的离心率越大12．若数列{a n }满足a n+12+2a n a n+1−2a n 2=0，则（ ）A ．数列{a n }是等比数列B ．当a 1＝1时，a 3的所有可能取值的和为6C ．当a 1＝1时，a 10的取值有10种可能D ．当a 1＞0时，12a 1+a 2+12a 2+a 3+12a 3+a 4+⋯+12a 2023+a 2024＜1a 2024三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知A （1，1，0），B （1，0，﹣1），C （1，x +2，2x ）三点共线，则x ＝ ．14．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，M 是C 上一点，△MOF 的面积为2，则|MF |＝ ． 15．已知圆O ：x 2+y 2＝1和圆O 1：(x −2)2+y 2=1，过动点P 分别作圆O ，圆O 1的切线P A ，PB （A ，B 为切点），且|P A |2+|PB |2＝18，则|P A |的最大值为 ．16．已知直线l 1：y ＝2x 与直线l 2：y ＝x ﹣1，点P 1是l 2与x 轴的交点．过P 1作x 轴的垂线交l 1于点Q 1，过Q 1作y 轴的垂线交l 2于点P 2，过P 2作x 轴的垂线交l 1于点Q 2，过Q 2作y 轴的垂线交l 2于点P 3，依此方法一直继续下去，可得到一系列点P n ，Q n ，则|P 3Q 3|＝ ；设P n 的坐标为（x n ，y n ），则数列{x n +1x n+1⋅y n+1}的前n 项和为 ．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 4＝4S 2，a 3n =3a n +2(n ∈N ∗)． （1）求a n ；（2）设b n =2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．18．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，点A （﹣4，0），B （﹣1，0），动点P 满足|P A |＝2|PB |． （1）求点P 的轨迹Γ的方程；（2）过点A 的直线l 与Γ交于M ，N 两点，∠MON ＝120°，求l 的方程． 19．（12分）已知双曲线C ：x 2﹣y 2＝4的左顶点为A ，P 为C 上（异于A ）一点． （1）已知点M （6，0），求当|PM |取得最小值时直线PM 的方程； （2）若直线AP 与直线l ：x ＝﹣1交于点Q ，证明：OP →⋅OQ →为定值．20．（12分）某工厂去年12月试产了1000个电子产品，产品合格率为0.85．从今年1月开始，工厂在接下来的一年中将生产这款产品，1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高10%，产品合格率比前一个月增加0.01．（1）求今年2月生产的不合格产品的数量，并判断哪个月生产的不合格产品的数量最多； （2）求该工厂今年全年生产的合格产品的数量． 参考数据：1.111≈2.85，1.112≈3.14．21．（12分）如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，DD 1⊥平面ABCD ，DC ＝2DA ＝4，DD 1=2√3，DC 1⊥D 1B ．（1）求证：DA ⊥DB ；（2）线段C 1D 1上是否存在点E ，使得平面EBD 与平面ABB 1A 1的夹角为π4？若存在，求D 1E 的长；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1（﹣1，0），F 2（1，0），C 上不同两点A ，B 满足F 1A →=λF 2B →(λ＞0)，当λ＝1时，|F 1A →|=83．（1）求C 的方程；（2）设直线F 1B ，F 2A 交于点P ，已知△P AB 的面积为1，求△P AF 1与△PBF 2的面积之和．2023-2024学年福建省厦门市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知等比数列{a n }满足a 3=√3，a 7=3√3，则a 5＝（ ） A ．−2√3B ．﹣3C ．3D ．2√3解：因为等比数列{a n }满足a 3=√3，a 7=3√3，所以（a 5）2＝a 3•a 7＝9． 又因为a 5＝a 3•q 2，即a 5与a 3同号， 故a 5＝3． 故选：C ．2．已知直线l 1的倾斜角为π3，直线l 2过点(−1，√3)，若l 1∥l 2，则l 2在y 轴上的截距为（ ）A ．−2√3B ．﹣2C ．2D ．2√3解：l 1的倾斜角为π3，其斜率为k ＝tan π3=√3，则直线l 2的方程为：y −√3=√3（x +1），令x ＝0，得y =2√3． 故选：D ．3．点P （0，2）到双曲线C ：x 2−y 24=1的渐近线的距离为（ ） A ．2√55B ．4√55C ．2√1717D ．4√1717解：∵双曲线C ：x 2−y 24=1的渐近线方程为：y ＝±2x ，即2x ±y ＝0， ∴点P （0，2）到双曲线C ：x 2−y 24=1的渐近线的距离d =|0±2|√2+(±1)=2√55． 故选：A ．4．在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，点E 满足CE →=2EP →，则AE →=（ ） A ．12AB →+12AD →−12AP →B ．12AB →+12AD →−23AP →C ．13AB →+13AD →+23AP →D ．23AB →+23AD →+13AP →解：∵CE →=2EP →，∴CE →=23CP →，∴AE →=AC →+CE →=AB →+AD →+23CP →=AB →+AD →+23(AP →−AC →)=AB →+AD →+23AP →−23(AB →+AD →)=13AB →+13AD →+23AP →．故选：C ．5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若3S n ＝a n ﹣2，则a n 的最大值为（ ） A ．﹣1B ．−12C ．12D ．1解：3S n ＝a n ﹣2，当n ＝1时，3a 1＝a 1﹣2，∴a 1＝﹣1， 当n ≥2时，3S n ﹣1＝a n ﹣1﹣2，两式相减得，3（S n ﹣S n ﹣1）＝a n ﹣a n ﹣1， ∴3a n ＝a n ﹣a n ﹣1， ∴a n a n−1=−12（n ≥2），∴数列{a n }是首项为﹣1，公比为−12的等比数列，∴a n ＝﹣1×(−12)n−1=（﹣1）n ×(12)n−1，∵（12）n ﹣1的值随着n 的增大而减小，∴当n ＝2时，a n 的值最大，最大值为a 2=12．故选：C ．6．已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，上一点P 满足PF 1⊥PF 2，A 为线段PF 2的中垂线与Γ的交点，若△APF 1的周长为72a ，则Γ的离心率为（ ）A ．√64B ．√104C ．√63 D ．√32解：因为△APF 1的周长为72a ，所以|AP|+|AF 1|+|PF 1|=7a2，因为A 为线段PF 2的中垂线与Γ的交点，所以|AP |＝|AF 2|，所以|AF 2|+|AF 1|+|PF 1|=7a2， 由因为|AF 1|+|AF 2|＝2a ， 所以|PF 1|=7a 2−2a =3a 2， 所以|PF 2|=2a −3a 2=a2，又因为PF 1⊥PF 2，|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=4c 2， 所以(3a 2)2+(a2)2=4c 2， 即5a 2＝8c 2，即c 2a 2=58，所以e =c a =√104．故选：B ．7．已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABD ＝120°，AB ＝3，BD ＝2，DC ＝1．如图，将△ABD 沿对角线BD 翻折至△A ′BD ，使得A ′C =3√3，则异面直线A ′B ，CD 所成角的余弦值为（ ）A ．34B ．45C ．56D ．67解：因为AB ∥CD ，∠ABD ＝120°，所以∠BDC ＝120°，因为A ′C →=A ′B →+BD →+DC →，所以|A ′C →|2=A′B →2+BD →2+DC →2+2A ′B →⋅BD →+2BD →⋅DC →+2A ′B →⋅DC →，所以27＝9+4+1+2×3×2×cos60°+2×2×1×cos60°+2×3×1×cos ＜A′B →，DC →＞， 解得cos ＜A′B →，DC →＞=56，因为异面直线夹角的范围为（0°，90°]， 所以异面直线A ′B ，CD 所成角的余弦值为56．故选：C ．8．抛物线有一个重要的性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，此时反射面为抛物线在该点处的切线．过抛物线C ：x 2＝8y 上的一点P （异于原点O ）作C 的切线l ，过O 作l 的平行线交PF （F 为C 的焦点）于点Q ，则|OQ |的取值范围为（ ） A ．（0，2）B ．（0，4）C ．（0，6）D ．（0，8）解：抛物线C ：x 2＝8y 的焦点F （0，2）， 由题意可设P （x 0，x 028），x 0≠0，由x 2＝8y ，得y =18x 2，则y ′=14x ，所以k OQ＝k l=x0 4，所以l OQ：y=x04x，l FP：y=x02−168x0x+2，联立方程可得Q（16x0x02+16，4x o2x02+16），所以|OQ|2=16x02(16+x02)(x02+16)2=16x02x02+16=161+16x02∈（0，16），即|OQ|∈（0，4）．故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知集合M＝{（x，y）|x2+y2≤4}，N＝{（x，y）|（x﹣a）2+y2≤1}．若N⊆M，则实数a可以为（）A．0B．12C．1D．2解：∵N⊆M，∴圆（x﹣a）2+y2＝1在圆x2+y2＝4内部，如图所示：∴﹣1≤a≤1，观察四个选项可知，A，B，C正确，D错误．故选：ABC．10．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是DD1和BD1的中点，则（）A ．C 1F ∥AEB ．C 1F ⊥A 1DC ．点F 到平面EAC 的距离为√63D ．直线C 1F 与平面EAC 所成角的正弦值为√73解：建系如图，则根据题意可得C 1（2，2，2），F （1，1，1），A （0，0，0）， E （0，2，1），A 1（0，0，2），D （0，2，0），C （2，2，0）， ∴C 1F →=(−1，−1，−1)，AE →=(0，2，1)，A 1D →=(0，2，−2)， AF →=(1，1，1)，AC →=(2，2，0)，∴C 1F →与AE →不共线，∴C 1F 与AE 不平行，∴A 选项错误； ∵C 1F →⋅A 1D →=0，∴C 1F ⊥A 1D ，∴B 选项正确；设平面EAC 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅AE →=2y +z =0n →⋅AC →=2x +2y =0，取n →=(1，−1，2)，∴点F 到平面EAC 的距离为|AF →⋅n →||n →|=√6=√63，∴C 选项正确； ∴直线C 1F 与平面EAC 所成角的正弦值为： |cos ＜C 1F →，n →＞|=|C 1F →⋅n →||C 1F →||n →|=2√3×√6=√23，∴D 选项错误． 故选：BC ．11．已知曲线C ：x 2sin α﹣y 2cos α＝1，其中α∈[0，π]，则（ ） A ．存在α使得C 为圆 B ．存在α使得C 为两条直线C ．若C 为双曲线，则α越大，C 的离心率越大D ．若C 为椭圆，则α越大，C 的离心率越大解：由α∈[0，π]，得sin α∈[0，1]，cos α∈[﹣1，1]， 对于A ，当α=3π4时，sin α=√22，cos α=−√22，曲线C 可化为√22x 2+√22y 2=1，即x 2+y 2=√2，表示圆，即A 正确；对于B ，当α=π2时，sin α＝1，cos α＝0，曲线C 可化为x 2＝1，即x ＝1或x ＝﹣1，表示两条直线，即B 正确；对于C ，当α∈（0，π2）时，曲线C 为双曲线，离心率e =√1+1cosα1sinα=√1+tanα，在α∈（0，π2）上单调递增，所以α越大，C 的离心率越大，即C 正确；对于D ，当α∈（π2，3π4）∪（3π4，π）时，曲线C 为椭圆，若焦点在x 轴上，则α∈（3π4，π），离心率e =√1−1−cosα1sinα=√1+tanα，在α∈（3π4，π）上单调递增，若焦点在y 轴上，则α∈（π2，3π4），离心率e =√1−1sinα1−cosα=√1+1tanα，在α∈（π2，3π4）上单调递减， 所以α越大，C 的离心率不是越大，即D 错误． 故选：ABC ．12．若数列{a n }满足a n+12+2a n a n+1−2a n 2=0，则（ ）A ．数列{a n }是等比数列B ．当a 1＝1时，a 3的所有可能取值的和为6C ．当a 1＝1时，a 10的取值有10种可能D ．当a 1＞0时，12a 1+a 2+12a 2+a 3+12a 3+a 4+⋯+12a 2023+a 2024＜1a 2024解：选项A ：由a n+12+2a n a n+1−2a n 2=0，可知当a 1＝0，a 2＝0时，满足递推式，但此时数列{a n }不是等比数列，故选项A 错误； 当a n ≠0时，(a n+1a n )2+2an+1a n −2=0，则a n+1a n=−1−√3或a n+1a n=−1+√3，所以a n =a 1⋅a 2a 1⋅a 3a 2⋯⋯an a n−1=a 1⋅(−1−√3)k ⋅(−1+√3)n−1−k ，其中k ＝0，1，2，3，⋯，n ﹣1， 化简可得：a n =a 1⋅(−1+√3)n−1⋅(−1−3−1+√3)k=a 1⋅(−1+√3)n−1⋅(−2−√3)k ，其中k ＝0，1，2，3，⋯，n ﹣1，当a 1＝1时，a n 的取值共有n 种，其和A n =∑ n−1k=0(−1+√3)n−1⋅(−2−√3)k =(−1+√3)n−1∑ n−1k=0(−2−√3)k，故选项B ，C 正确； 由a n+12+2a n a n+1−2a n 2=0，可得a n+12+2a n a n+1=2a n 2⇔1a n+1(2a n +a n+1)=12a n2⇔2a n a n+1(2a n +a n+1)=1a n，即1a n=a n+1+2a n −a n+1a n+1(2a n +a n+1)=1a n+1−12a n +a n+1，所以1a n+1+2a n=1a n+1−1a n，累加可得12a 1+a 2+12a 2+a 3+12a 3+a 4+⋯+12a n +a n+1=1a n+1−1a 1， 故当a 1＞0时，12a 1+a 2+12a 2+a 3+12a 3+a 4+⋯+12a 2023+a 2024＜1a 2024，故选项D 正确．故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知A （1，1，0），B （1，0，﹣1），C （1，x +2，2x ）三点共线，则x ＝ 1 ． 解：因为A （1，1，0），B （1，0，﹣1），C （1，x +2，2x ）， 所以a →=AB →=（0，﹣1，﹣1），b →=AC →=（0，x +1，2x ）， 因为A ，B ，C 三点共线，所以a →与b →共线，所以存在实数λ，使a →=λb →，即（0，﹣1，﹣1）＝（0，λ（x +1），2λx ）， 所以λ（x +1）＝﹣1，2λx ＝﹣1，解得λ=−12，x ＝1．故答案为：1．14．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，M 是C 上一点，△MOF 的面积为2，则|MF |＝ 5 ． 解：由题意知，F （1，0），p ＝2，因为△MOF 的面积为2，所以2=12•|OF |•|y M |=12⋅1⋅|y M |，即|y M |＝4，所以x M =y M 24=164=4，由抛物线的定义知，|MF |＝x M +p2=4+1＝5．故答案为：5．15．已知圆O ：x 2+y 2＝1和圆O 1：(x −2)2+y 2=1，过动点P 分别作圆O ，圆O 1的切线P A ，PB （A ，B 为切点），且|P A |2+|PB |2＝18，则|P A |的最大值为 √15 ． 解：根据题意，设P 的坐标为（m ，n ），圆O ：x 2+y 2＝1，其圆心为（0，0），半径为r 1＝1， P A 为圆O 的切线，则|PO |2＝|P A |2+1，则有m 2+n 2＝|P A |2+1， 圆O 1：(x −2)2+y 2=1，其圆心O 1为（2，0），半径为r 2＝1，PB为圆O1的切线，则|PO1|2＝|P A|2+1，则有（m﹣2）2+n2＝|PB|2+1，又由|P A|2+|PB|2＝18，则有（m2+n2）+[（m﹣2）2+n2]＝20，变形可得：（m﹣1）2+n2＝9，则P的轨迹是以（1，0）为圆心，半径为R＝3的圆，设M为（1，0），则|MO|的最大值为3+1＝4，故|P A|的最大值为√16−1=√15．故答案为：√15．16．已知直线l1：y＝2x与直线l2：y＝x﹣1，点P1是l2与x轴的交点．过P1作x轴的垂线交l1于点Q1，过Q1作y轴的垂线交l2于点P2，过P2作x轴的垂线交l1于点Q2，过Q2作y轴的垂线交l2于点P3，依此方法一直继续下去，可得到一系列点P n，Q n，则|P3Q3|＝8；设P n的坐标为（x n，y n），则数列{x n+1x n+1⋅y n+1}的前n项和为2n−12n+1−1．解：根据题意可得y n＝x n﹣1，P n（x n，x n﹣1），则Q n（x n，2x n），P n+1（x n+1，2x n），∴y n+1＝2x n，即x n+1﹣1＝2x n，∴x n+1+1＝2（x n+1），又x1+1＝2，∴x n+1=2n，∴x n=2n−1，∴|P n Q n|＝2x n﹣（x n﹣1）＝x n+1＝2n，∴|P3Q3|＝23＝8；∴x n+1x n+1⋅y n+1=2n(2n+1−1)(2n+1−2)=2n−1(2n+1−1)(2n−1)=12(12n−1−12n+1−1)，∴数列{x n+1x n+1⋅y n+1}的前n项和为：1 2[(1−13)+(13−17)+⋅⋅⋅+(12n−1−12n+1−1)]=12(1−12n+1−1)=2n−12n+1−1．故答案为：8；2n−12n+1−1．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，满足S4＝4S2，a3n=3a n+2(n∈N∗)．（1）求a n；（2）设b n=2a n，求数列{b n}的前n项和T n．解：（1）设数列{a n}的公差为d，由S4＝4S2得，4a1+6d＝4（2a1+d），即d＝2a1①，因为a3n＝3a n+2，所以a1+（3n﹣1）d＝3[a1+（n﹣1）d]+2，即d＝a1+1②，联立①②解得d＝2，a1＝1，所以a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；（2）b n=2a n=22n−1=2•4n﹣1，所以数列{b n}是以2为首项，4为公比的等比数列，所以T n=2(1−4n)1−4=2(4n−1)3．18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣4，0），B（﹣1，0），动点P满足|P A|＝2|PB|．（1）求点P的轨迹Γ的方程；（2）过点A的直线l与Γ交于M，N两点，∠MON＝120°，求l的方程．解：（1）设P（x，y），因为|P A|＝2|PB|，所以√(x+4)2+y2=2√(x+1)2+y2，化简得x2+y2＝4，所以点P的轨迹Γ的方程为x2+y2＝4．（2）因为∠MON＝120°，|OM|＝|ON|＝2，所以圆心O到直线l的距离d＝2sin30°＝1，①当直线l的斜率不存在时，l与圆无交点，舍去；②当直线l的斜率存在时，设l：y＝k（x+4），即kx﹣y+4k＝0，所以d=|4k|√k+1=1，解得k=±√1515，所以l的方程为x+√15y+4=0或x−√15y+4=0．19．（12分）已知双曲线C：x2﹣y2＝4的左顶点为A，P为C上（异于A）一点．（1）已知点M（6，0），求当|PM|取得最小值时直线PM的方程；（2）若直线AP 与直线l ：x ＝﹣1交于点Q ，证明：OP →⋅OQ →为定值．（1）解：设P （x 0，y 0），则x 02−y 02=4，x 0＜﹣2或x 0＞2，|PM |=√(x 0−6)2+y 02=√x 02−12x 0+36+x 02−4=√2(x 0−3)2+14≥√14， 当x 0＝3时，|PM |取得最小值√14，此时y 0=±√5， 即P （3，√5），或P （3，−√5）， 所以直线PM 的方程y =√53−6(x −6)，或y =−√53−6(x −6)，即直线PM 的方程√5x +3y ﹣6√5=0，或√5x −3y ﹣6√5=0． （2）证明：双曲线C ：x 2﹣y 2＝4的左顶点为A （﹣2，0）， 依题意设AP ：x ＝my ﹣2（m ≠0且m ≠±1）， 令x ＝﹣1，则y =1m ，即Q （﹣1，1m）， 所以OQ →=(−1，1m)，联立{x 2−y 2=4x =my −2，消x 得（m 2﹣1）y 2﹣4my ＝0，解得y P =4mm 2−1，y A ＝0，所以x P =4m 2m 2−1−2=2m 2+2m 2−1，即P （2m 2+2m 2−1，4m m 2−1），所以OP →=（2m 2+2m 2−1，4mm 2−1），所以OP →⋅OQ →=−2m 2+2m 2−1+4m m 2−1×1m =−2m 2+2m 2−1=−2，故OP →⋅OQ →为定值﹣2．20．（12分）某工厂去年12月试产了1000个电子产品，产品合格率为0.85．从今年1月开始，工厂在接下来的一年中将生产这款产品，1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高10%，产品合格率比前一个月增加0.01．（1）求今年2月生产的不合格产品的数量，并判断哪个月生产的不合格产品的数量最多； （2）求该工厂今年全年生产的合格产品的数量． 参考数据：1.111≈2.85，1.112≈3.14．解：（1）记从今年1月起，第n 月的产量为a n ，第n 月的产品合格率为b n ， 由题可知，数列{a n }为等比数列，首项a 1＝1000，公比q ＝1+10%＝1.1， 数列{b n }为等差数列，首项b 1＝0.85，公差d ＝0.01，所以a n ＝1000×1.1n ﹣1，b n ＝0.85+（n ﹣1）×0.01＝0.0ln +0.84，所以今年2月份生产的不合格产品数为a 2（1﹣b 2）＝1000×1.1×（1﹣0.86）＝154， 设第n 月生产的不合格产品数为c n ，则c n =a n (1−b n )=10×1．1n−1×(16−n)，所以c n+1c n=10×1．1n ×(15−n)10×1．1n−1×(16−n)=16.5−1.1n16−n ，当n ＜5时，c n+1c n ＞1；当n ＝5时，c n+1c n =1；当n ＞5时，c n+1c n＜1，所以c 1＜c 2＜••＜c 5＝c 6＞c 7＞••＞c 12，即5月或6月生产的不合格产品数最多； （2）设今年前n 个月生产的合格产品总数为S n ，则S n ＝a 1b 1+a 2b 2+•+a n b n ， 所以S 12＝850×1.10+860×1.11+870×1.12+…+950×1.110+960×1.111①， 所以1.1S 12＝850×1.11+860×1.12+870×1.13+…+950×1.111+960×1.112②， ①﹣②得﹣0.1S 12＝850+10×（1.1+1.12+…+1.111）﹣960×1.112 ＝850+10×1.1(1−1．111)1−1.1−960×1.112＝740﹣840×1.112，所以S 12=10×(860×1．112−740)≈19604， 即该工厂今年全年生产的合格产品总数约为19604个．21．（12分）如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，DD 1⊥平面ABCD ，DC ＝2DA ＝4，DD 1=2√3，DC 1⊥D 1B ．（1）求证：DA ⊥DB ；（2）线段C 1D 1上是否存在点E ，使得平面EBD 与平面ABB 1A 1的夹角为π4？若存在，求D 1E 的长；若不存在，请说明理由．（1）证明：因为DD 1⊥平面ABCD ，DA ⊂平面ABCD ，所以DD 1⊥DA ，所以DD 1→⋅DA →=0， 因为DC 1⊥D 1B ，所以DC 1→⋅D 1B →=0，又因为DC 1→=DC →+DD 1→，D 1B →=DB →−DD 1→=DA →+DC →−DD 1→， 所以(DC →+DD 1→)⋅(DA →+DC →−DD 1→)=0，化简得DA →⋅DC →=−4，所以DA →⋅DB →=DA →⋅(DA →+DC →)=DA →2+DA →⋅DC →=4−4=0，所以DA ⊥DB ． （2）解：假设存在E 点满足条件．因为DD 1⊥平面ABCD ，DA ⊥DB ， 以D 为原点，建立如图所示空间直角坐标系D ﹣xyz ，则D （0，0，0），A （2，0，0），B(0，2√3，0)，C(−2，2√3，0)，D 1(0，0，2√3)，C 1(−2，2√3，2√3)，DB →=(0，2√3，0)，AA 1→=(0，0，2√3)，D 1C 1→=(−2，2√3，0)， 设D 1E →=λD 1C 1→(0≤λ≤1)，则DE →=DD 1→+D 1E →=（﹣2λ，2√5λ，2，5），设平面EBD 的一个法向量为n 1→=(x 1，y 1，z 1)，由{n 1→⋅DB →=2√3y 1=0n 1→⋅DE →=−2λx 1+2√3λy 1+2√3z 1=0，令x 1=√3，得z 1＝λ，所以 n 1→=(√3，0，λ)，设平面ABB 1A 1的一个法向量n 2→=(x 2，y 2，z 2)，可得{n 2→⋅AA 1→=2√3z 2=0n 2→⋅AB →=−2x 2+2√3y 2=0，令x 2=√3，得y 2＝1，所以n 2→=(√3，1，0)，所以cos〈n 1→，n 2→〉=n 1→⋅n 2→|n 1→|⋅|n 2→|=32√3+λ，因为平面EBD 与平面D 1BD 的夹角为π4，即2√3+λ2=√22，解得λ=±√62，又因为0≤λ≤1，所以λ=±√62（舍去），所以线段C 1D 1上不存在点E 使得平面EBD 与平面ABB 1A 1的夹角为π4．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1（﹣1，0），F 2（1，0），C 上不同两点A ，B 满足F 1A →=λF 2B →(λ＞0)，当λ＝1时，|F 1A →|=83．（1）求C 的方程；（2）设直线F 1B ，F 2A 交于点P ，已知△P AB 的面积为1，求△P AF 1与△PBF 2的面积之和． 解：（1）当λ＝1时，F 1A →=F 2B →，则四边形F 1F 2BA 为平行四边形，由椭圆的对称性可知，四边形F 1F 2BA 为矩形，即F 1A ⊥x 轴，所以|F 1A|=b 2a ，所以{b 2a 2=83a 2−b 2=1，解得{a =3b =2√2，所以椭圆C 的标准方程为x 29+y 28=1．（2）因为F 1A →=λF 2B →，所以|F 1P||PB|=|AP||PF 2|=|F 1A||F 2B|=λ，由对称性，不妨设P （x 0，y 0），y 0＞0， 由S △PAB =S △PFF 1=1，可得y 0＝1，又S △PAF 1=λS △PAB =λ，S △PBF =1λS △PAB =1λ，所以S △PAF 1+S △PBF 2=λ+1λ，延长AF 1交C 于点D ，易知B ，D 关于原点对称，设直线F 1A ：x ＝ty ﹣1，t 显然存在，设A （x 1，y 1），D （x 2，y 2），B （﹣x 2，﹣y 2）， 联立方程组{x =ty −18x 2+9y 2=72，化简可得：（8t 2+9）y 2﹣16ty ﹣64＝0， 所以Δ＝256t 2+256（8t 2+9）＞0，y 1+y 2=16t 8t 2+9，y 1y 2=−648t 2+9， 直线F 1B ：x +1=−x 2+1−y 2y ，直线F 2A ：x −1=x 1−1y 1y ， 所以{x 0+1=x 2−1y 2x 0−1=x 1−1y 1，即x 2−1y 2−x 1−1y 1=2，所以x 2−1y 2−x 1−1y 1=ty 2−2y 2−ty 1−2y 1=2(y 2−y 1)y 1y 2=2，即y 2﹣y 1＝y 1y 2，所以(y 2−y 1)2=y 12y 22，(y 2+y 1)2=y 12y 22+4y 1y 2，代入韦达定理可得：(16t 8t 2+9)2=(648t 2+9)2−2548t 2+9，解得t 2=79，由F 1A →=λF 2B →，可得y 1＝﹣λy 2， 所以S △PAF 1+S △PBF 2=λ+1λ=−y 1y 2−y 2y 1=−y 12+y 22y 1y 2=−(y 1−y 2)2+2y 1y 2y 1y 2=−y 1y 2−2=648t 2+9−2=302137．。
河北省石家庄市2023-2024学年高二上学期期末考试 数学(含答案)
石家庄市2023~2024学年度第一学期期末教学质量检测高二数学（答案在最后）（时间120分钟，满分150）注意事项：本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上.第I 卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.直线10+-=的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°2.空间直角坐标系O xyz -中，平行四边形ABCD 的,,A B C 三点坐标分别为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，则D 的坐标为（）A.()0,1,3-- B.()2,5,3- C.()4,1,3- D.()3,2,0-3.若圆心坐标为(2,2)的圆被直线0x y +=截得的弦长为，则该圆的一般方程为()A.224480x y x y +---=B.224480x y x y +++-=C.2244160x y x y +---= D.224440x y x y ++++=4.设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（）A.12B.24C.30D.325.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，将第一次向上的点数记为m ，第二次向上的点数记为n ，则2n m n <≤的概率等于（）A.56B.16C.34D.146.若抛物线22(0)y px p =>上的点(0A x 到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于A.12B.1C.32D.27.斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则35720211a a a a ++++⋅⋅⋅+是斐波那契数列{}n a 中的第（）项A.2020B.2021C.2022D.20238.在三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，E 是BC 的中点，F 满足14AF AD =，则异面直线AE ，CF 所成角的余弦值为（）A.15B.265C.7010D.3010二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）9.袋子中有六个大小质地相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从中随机摸出两个球，设事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，则下列说法全部正确的是（）A.事件A 与B 是互斥事件B.事件A 与C 是互斥事件C.事件B 与C 是对立事件D.事件A 与B 相互独立10.已知椭圆C ：22162x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的动点，点()1,1A ，则下列结论正确的是（）A.12PF PF +=B.12PF F △面积的最大值是C.椭圆C 的离心率为63D.1PF PA +最小值为-11.已知向量()1,2,2a = ，(2,1,1)b =-，则下列说法不正确的是（）A.向量(2,4,4)--与向量,a b共面B.向量b 在向量a上的投影向量为244,,999⎛⎫⎪⎝⎭C.若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，则αβ⊥D.若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，则直线l 与平面α所成角的余弦值为1312.在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第()*n n ∈N次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2；…记1212n k a x x x =+++++ ，数列{}n a 的前n 项为n S ，则（）A.12nk += B.133n n a a +=- C.()2332n a n n =+ D.()133234n n S n +=+-第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c = ，点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点，且115CN CA = ，若MN xa yb zc =++，则x y z ++=___________.14.天气预报预测在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率，用1，2，3，4，5，6表示下雨，7，8，9，0表示不下雨.用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206.据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为____________.15.等差数列{}{},n n a b的前项和分别为n S 和n T ，若2132n n S n T n +=+，则31119715a a ab b ++=+_____.16.已知过点()1,1P 的直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b-=≥>交于A 、B 两点，若点P 是线段AB 的中点，则双曲线C 的离心率取值范围是____________.四、解答题（本大题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知直线l 经过点()3,4P .（1）若向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，求直线l 的方程；（2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.18.已知圆C ：()22222320x x y y λλλ+-+++-=.（1）当2λ=时，求直线y x =被圆C 截得的弦长；（2）若直线y x =与圆C 没有公共点，求λ的取值范围.19.已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==.(I)求数列{a n }通项公式；(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .20.如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面,2,33ABCD PB AC AD PA BC =====.（1）证明：平面PAC ⊥平面PBC .（2）若AD AB ⊥，求平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值.21.甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四周结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为12，负的概率为13，且每局比赛之间的胜负相互独立．（1）求第三局结束时乙获胜的概率；（2）求甲获胜的概率．22.已知(2,0)A -是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左顶点，过点(1,0)D 的直线l 与椭圆C 交于P Q ，两点（异于点A ），当直线l 的斜率不存在时，3PQ =．（1）求椭圆C 的方程；（2）求APQ △面积的取值范围．石家庄市2023~2024学年度第一学期期末教学质量检测高二数学（时间120分钟，满分150）注意事项：本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上.第I 卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.直线10+-=的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】C 【解析】【分析】化成斜截式方程得斜率为k =.【详解】将直线一般式方程化为斜截式方程得：y =+，所以直线的斜率为k =，所以根据直线倾斜角与斜率的关系得直线的倾斜角为120︒.故选：C2.空间直角坐标系O xyz -中，平行四边形ABCD 的,,A B C 三点坐标分别为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，则D 的坐标为（）A.()0,1,3-- B.()2,5,3- C.()4,1,3- D.()3,2,0-【答案】B 【解析】【分析】利用在平行四边形ABCD 中有AB DC =，计算即可.【详解】结合题意：设D 的坐标为(),,x y z ，因为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，所以()1,3,3AB =--,()1,2,DC x y z =---- ，因为在平行四边形ABCD 中有AB DC =，所以11323x y z =--⎧⎪-=-⎨⎪-=-⎩，解得253x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以D 的坐标为()2,5,3-.故选：B.3.若圆心坐标为(2,2)的圆被直线0x y +=截得的弦长为)A.224480x y x y +---=B.224480x y x y +++-=C.2244160x y x y +---=D.224440x y x y ++++=【答案】A 【解析】【分析】根据题意，设圆的半径为r ，求出圆心到直线0x y +=的距离，由直线与圆的位置关系可得r 的值，即可得圆的标准方程，变形可得答案.【详解】根据题意，设圆的半径为r ，圆心坐标为()2,2，到直线0x y +=的距离d ==，该圆被直线0x y +=截得的弦长为22216r =+=，则圆的方程为22221)6()(x y -+-=，变形可得224480x y x y +---=，故选：A.4.设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（）A.12 B.24 C.30D.32【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件求得q 的值，再由()5678123a a a qa a a ++=++可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==，因此，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q++=++=++==.故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．5.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，将第一次向上的点数记为m ，第二次向上的点数记为n ，则2n m n <≤的概率等于（）A.56B.16C.34D.14【答案】D 【解析】【分析】根据题意，利用列举法求得所求事件中所包含的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，将一颗骰子先后抛掷2次，第一次所得点数m ,第二次所得点数n ,记为(),m n .1,2,3,4,5,6m =，1,2,3,4,5,6n =，共有6636⨯=种结果，其中满足2n m n <≤的有：(2,1),(3,2),(4,2),(4,3),(5,3),(5,4)(6,3),(6,4),(6,5)，，共有9种结果，由古典概型的概率计算公式，可得满足2n m n <≤的概率为91364P ==.故选：D.6.若抛物线22(0)y px p =>上的点(0A x 到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于A.12B.1C.32D.2【答案】D 【解析】【分析】根据抛物线的定义及题意可知3x 0=x 0+2p,得出x 0求得p ，即可得答案．【详解】由题意，3x 0=x 0+2p ，∴x 0=4p ∴222p =∵p ＞0，∴p=2.故选D ．【点睛】本题主要考查了抛物线的定义和性质．考查了考生对抛物线定义的掌握和灵活应用，属于基础题．7.斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则35720211a a a a ++++⋅⋅⋅+是斐波那契数列{}n a 中的第（）项A.2020 B.2021C.2022D.2023【答案】C 【解析】【分析】根据题意，结合121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，利用累加法，即可求解.【详解】由斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则2231375720520211a a a a a a a a a =+++++++++⋅⋅⋅+ 45720216792021a a a a a a a a =++++=++++ 8920212022a a a a =+++== .故选：C.8.在三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，E 是BC 的中点，F 满足14AF AD =，则异面直线AE ，CF 所成角的余弦值为（）A.15B.5C.10D.10【答案】D 【解析】【分析】根据三棱锥A BCD -的对棱相等可以补成长方体AGBI HCJD -，计算长方体的长宽高，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算即可求得异面直线AE ，CF 所成角的余弦值.【详解】解：三棱锥A BCD -中，由于3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，则三棱锥A BCD -可以补在长方体AGBI HCJD -，则设长方体的长宽高分别为,,AG a AI b AH c ===，则2222222229,9,16a c AC a b AB b c AD +==+==+==，解得1,a b c ===，如图以C 为原点，,,CH CJ CG 分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系，则((()()(1,0,,0,,0,0,0,1,,0,A B C D E ，所以(110,0,,4422AF AD ⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭，则(AE =-，(1,0,0,,1,,2222CF CA AF ⎛⎫⎛⎫=+=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以cos ,10AE CF AE CF AE CF⋅===-⋅，则异面直线AE ，CF所成角的余弦值为10.故选：D .二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）9.袋子中有六个大小质地相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从中随机摸出两个球，设事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，则下列说法全部正确的是（）A.事件A 与B 是互斥事件B.事件A 与C 是互斥事件C.事件B 与C 是对立事件D.事件A 与B 相互独立【答案】BC 【解析】【分析】由题意可知摸出的两球的编号可能都是奇数或都是偶数或恰好一个奇数一个偶数，共三种情况，由此可判断,,A B C 之间的互斥或对立的关系，再由古典概型求出(),(),()P AB P A P B 判断是否相互独立可得答案.【详解】由题意知，事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，即摸出的小球编号都为奇数或都为偶数，故事件A ，B 不互斥，故A 错误；事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，即摸出的两球编号为一个奇数和一个偶数，其反面为摸出的小球编号都为奇数或都为偶数，故B ，C 是对立事件，故C 正确；事件A ，C 不会同时发生，故A ，C 是互斥事件，故B 正确；每次摸出两个小球，所有基本事件为：()()()()()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,()()()()2,6,3,4,3,5,3,6,()()()4,5,4,6,5,6，共有15个，所以由古典概型可得31()155P A ==，62()155P B ==，31()155P AB ==,所以()()()P AB P A P B ≠，故事件A 与B 不相互独立，故D 错误.故选：BC.10.已知椭圆C ：22162x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的动点，点()1,1A ，则下列结论正确的是（）A.12PF PF += B.12PF F △面积的最大值是C.椭圆C 的离心率为3D.1PF PA +最小值为-【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，根据椭圆定义求出答案；B 选项，数形结合得到当P 在上顶点或下顶点时，12PF F △面积最大，求出最大值；C 选项，由ce a=直接求解即可；D 选项，作出辅助线，结合椭圆定义得到()12PF PA PA PF +=+-，当2,,P A F 三点共线且A 在2PF 之间时,2PA PF -取得最小值，得到答案.【详解】A 选项，由题意得2a b c ====，由椭圆定义可得122PF PF a +==A 正确；B 选项，当P 在上顶点或下顶点时，12PF F △面积最大，最大值为1212F F b bc ⋅==B 错误；C 选项，离心率3c e a ===，C 正确；D 选项，因为2211162+<，所以点()1,1A 在椭圆内，连接2PF ，由椭圆定义可知12PF PF +=，故12PF PF =，故()122PF PA PF PA PA PF +=-+=-，当2,,P A F 三点共线且A 在2PF 之间时，2PA PF -取得最小值，最小值为2AF -==，所以1PF PA +最小值为D 正确.故选：ACD11.已知向量()1,2,2a = ，(2,1,1)b =-，则下列说法不正确的是（）A.向量(2,4,4)--与向量,a b共面B.向量b 在向量a上的投影向量为244,,999⎛⎫⎪⎝⎭C.若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，则αβ⊥D.若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，则直线l 与平面α所成角的余弦值为13【答案】ACD 【解析】【分析】根据空间向量的基本定理，可判定A 错误；根据投影向量的求法，可判定B 正确；根据20a b ⋅=≠，可判定C 错误；根据线面角的空间的向量求法，可判定D 错误.【详解】对于A 中，设()(2,4,4)1,2,2(2,1,1)x y --=+-，可得222424x y x y x y -=-⎧⎪+=-⎨⎪+=⎩，此时，方程组无解，所以向量(2,4,4)--与向量,a b不共面，所以A 错误；对于B 中，由向量()1,2,2,(2,1,1)a b ==-，可得向量b 在向量a 上的投影向量为21244(1,2,2),,33999a ba aa ⋅⎛⎫⋅=⨯⋅= ⎪⎝⎭，所以B 正确；对于C 中，若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，因为20a b ⋅=≠ ，所以a 与b不垂直，所以平面α与平面β不垂直，所以C 错误；对于D 中，若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，设直线l 与平面α所成角为θ，其中π02θ≤≤，则·sin cos ,a b a b a b θ===，所以cos 9θ==，所以D 错误.故选：ACD.12.在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第()*n n ∈N次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2；…记1212n k a x x x =+++++ ，数列{}n a 的前n 项为n S ，则（）A.12n k +=B.133n n a a +=- C.()2332n a n n =+ D.()133234n n S n +=+-【答案】ABD 【解析】【分析】根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算即可.【详解】由题意可知，第1次得到数列1,3,2，此时1k =第2次得到数列1,4,3,5,2，此时3k =第3次得到数列1,5,4,7,3,8,5,7,2，此时7k =第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此时15k =第n 次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2此时21n k =-所以12n k +=，故A 项正确；结合A 项中列出的数列可得：123433339339273392781a a a a =+⎧⎪=++⎪⎨=+++⎪⎪=++++⎩123333(*)n n a n N ⇒=++++∈ 用等比数列求和可得()33132n na -=+则()121331333322n n n a +++--=+=+23322n +=+又()3313333392n n a ⎡⎤-⎢⎥-=+-=⎢⎥⎣⎦22393332222n n +++--=+所以133n n a a +=-，故B 项正确；由B 项分析可知()()331333122n nn a -=+=+即()2332n a n n ≠+，故C 项错误.123n nS a a a a =++++ 23133332222n n+⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭ ()231331322nn --=+2339424n n +=+-()133234n n +=+-，故D 项正确.故选：ABD.【点睛】本题需要根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，对于复杂问题，著名数学家华罗庚指出:善于“退”，足够的“退”，退到最原始而不失重要的地方,是学好数学的一个诀窍.所以对于复杂问题我们应该先足够的退到我们最容易看清楚的地方,认透了,钻深了,然后再上去，这就是以退为进的思想.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c = ，点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点，且115CN CA = ，若MN xa yb zc =++，则x y z ++=___________.【答案】310##0.3【解析】【分析】利用空间向量的加减及数乘运算，以{},,a b c为基底，用基向量表示MN ，再空间向量基本定理待定系数即可.【详解】在平行六面体1111ABCD A B C D -中,因为点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点,所以111114152MN A N A M A C A D =-=- ()()11111141415252AC AA A D AB AD AA A D =--=+--()14152AB AD AA AD =+--14345105AB AD AA =+-4345105a b c =+- .又MN xa yb zc =++ ，由空间向量基本定理得，434,,5105x y z ===-，则310x y z ++=.故答案为：310.14.天气预报预测在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率，用1，2，3，4，5，6表示下雨，7，8，9，0表示不下雨.用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206.据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为____________.【答案】25##0.4【解析】【分析】分析数据得到三天中恰有两天下雨的有417，386，196，206，得到答案.【详解】10组随机数中，表示三天中恰有两天下雨的有417，386，196，206，故这三天中恰有两天下雨的概率近似为42105=.故答案为：2515.等差数列{}{},n n a b的前项和分别为n S 和n T ，若2132n n S n T n +=+，则31119715a a ab b ++=+_____.【答案】129130【解析】【分析】利用等差数列前n 项和公式，将题目所求的式子中的,n n a b 有关的式子，转化为,n n S T 有关的式子来求解.【详解】原式11111212111111212132333322111292222223212130a a a a Sb b b b T +⨯+==⋅=⋅=⋅=⋅=+⨯+.【点睛】本小题主要考查了等差数列通项公式的性质，考查了等差数列前n 项和公式，考查了通项公式和前n 项和公式的转化.对于等比数列{}n a 来说，若m n p q +=+，则有m n p q a a a a +=+，而前n 项和公式()12n n a a n S +⋅=，可以进行通项和前n 项和的相互转化.属于基础题.16.已知过点()1,1P 的直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b-=≥>交于A 、B 两点，若点P 是线段AB 的中点，则双曲线C 的离心率取值范围是____________.【答案】(【解析】【分析】利用点差法得到22l b k a=，根据题意和渐近线方程得到l b k a <，故01b a <<，从而求出离心率的取值范围.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧-=⎨-=⎩，两式相减得()()()()2212121212b x x x x a y y y y +-=+-，若12x x =，则AB 的中点在x 轴上，不合要求，若12x x =-，则AB 的中点在y 轴上，不合要求，所以2121221212y y y y b x x x x a-+⋅=-+，因为()1,1P 为AB 的中点，所以1212212y y x x +==+，故22l b k a=，因为()222211,0x y a b a b-=≥>的渐近线方程为b y x a =±，要想直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b -=≥>交于A 、B 两点，则l b k a <，即22b ba a <，解得01b a <<，所以离心率(c e a ==.故答案为：(【点睛】直线与圆锥曲线相交涉及中点弦问题，常用点差法，该法计算量小，模式化强，易于掌握，若相交弦涉及AM MB λ=的定比分点问题时，也可以用点差法的升级版—定比点差法，解法快捷.四、解答题（本大题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知直线l 经过点()3,4P .（1）若向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，求直线l 的方程；（2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.【答案】（1）2100x y +-=；（2）70x y +-=或430x y -=.【解析】【分析】（1）根据给定的方向向量，求出直线的斜率，利用直线的点斜式方程求解即得.（2）由已知，按截距是否为0，结合直线的截距式方程分类求解即得.【小问1详解】由向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，得直线l 的斜率2k =-，又l 经过点()3,4P ，则l 方程为：()423y x -=--，即：2100x y +-=，所以直线l 的方程为2100x y +-=.【小问2详解】依题意，当直线l 过原点时，而直线l 又过点()3,4P ，则直线l 的方程为43y x =，即430x y -=；当直线l 不过原点时，设直线l 的方程为x y a +=，则有34a +=，解得7a =，即直线l 的方程为70x y +-=，所以直线l 的方程为70x y +-=或430x y -=.18.已知圆C ：()22222320x x y y λλλ+-+++-=.（1）当2λ=时，求直线y x =被圆C 截得的弦长；（2）若直线y x =与圆C 没有公共点，求λ的取值范围.【答案】（1）（2）11,22⎛+⎝⎭【解析】【分析】（1）求出圆心和半径，得到圆心到直线的距离，利用垂径定理求出弦长；（2）求出圆心和半径，根据圆心()2,λλ--到y x =的距离大于半径得到不等式，求出答案.【小问1详解】当2λ=时，圆C ：22410x y y ++-=，圆心()0,2C -，半径r =，所以圆心到直线的距离d ==设直线与圆交于A 、B 两点，则弦长AB ==故直线y x =被圆C截得的弦长为【小问2详解】圆C 方程为()()2222221x y λλλλ+-++=⎡-⎤⎣+⎦，22012221122λλλ⎛⎫-+=- ⎪+⎭>⎝恒成立，因为直线y x =与圆C 没有公共点，圆心()2,λλ--到y x =>所以22221λλ>-+，即22210λλ--<，解得：1122λ-<<，故λ的取值范围是11,22⎛+ ⎝⎭.19.已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==.(I)求数列{a n }通项公式；(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（Ⅰ）2n n a =.（Ⅱ）2552n nn T +=-.【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）列出关于1,a q 的方程组,解方程组求基本量；（Ⅱ）用错位相减法求和.试题解析：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，由题意知：22111(1)6,a q a q a q +==.又0n a >，解得：12,2a q ==，所以2n n a =.（Ⅱ）由题意知：121211(21)()(21)2n n n n b b S n b +++++==+，又2111,0,n n n n S b b b +++=≠所以21n b n =+,令nn nb c a =,则212n nn c +=，因此12231357212122222n n n n n n T c c c --+=+++=+++++ ,又234113572121222222n n n n n T +-+=+++++ ,两式相减得2111311121222222n n n n T -++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 所以2552n nn T +=-.【考点】等比数列的通项,错位相减法求和.【名师点睛】(1)等比数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公比q ,然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．等比数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1,a n ,q ,n ,S n ,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想．(2)用错位相减法求和时,应注意：在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式，若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解．20.如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面,2,33ABCD PB AC AD PA BC =====.（1）证明：平面PAC ⊥平面PBC .（2）若AD AB ⊥，求平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）4515【解析】【分析】（1）先证明线面垂直，再应用面面垂直判定定理证明即可；（2）应用空间向量法求出二面角余弦.【小问1详解】因为PB ⊥平面ABCD ，所以PB AB ⊥.在Rt PAB中可求得AB ==在ABC 中，因为1,2BC AC ==，所以2225AC BC AB +==，所以ACBC ⊥.又PB ⊥平面ABCD ，所以AC PB ⊥.因为PB BC B ⋂=，PB BC ⊂，平面PBC ，所以AC ⊥平面PBC .又AC ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面PBC .【小问2详解】因为,AB AD PB ⊥⊥平面ABCD ，所以分别以,,AD BA BP的方向为,,x y z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,2,,2,0,0,2,0,0,0,55P C D AD AP ⎛⎫-==- ⎪ ⎪⎝⎭.由（1）知AC ⊥平面PBC ，所以,,055AC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 为平面PBC 的一个法向量.设平面PAD 的法向量为(),,n x y z =r，可得2020x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，令2y =，得(n =.设平面PBC 与平面PAD 的夹角为θ，则cos cos ,15n AC n AC n ACθ⋅===.21.甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四周结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为12，负的概率为13，且每局比赛之间的胜负相互独立．（1）求第三局结束时乙获胜的概率；（2）求甲获胜的概率．【答案】（1）427（2）265432【解析】【分析】（1）对乙来说共有两种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）,根据独立事件的乘法公式即可求解.（2）以比赛结束时的场数进行分类，在每一类中根据相互独立事件的乘法公式即可求解.【小问1详解】设事件A 为“第三局结束乙获胜”由题意知，乙每局获胜的概率为13，不获胜的概率为23．若第三局结束乙获胜，则乙第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．故()121211433333327P A =⨯⨯+⨯⨯=【小问2详解】设事件B 为“甲获胜”．若第二局结束甲获胜，则甲两局连胜，此时的概率1111224P =⨯=．若第三局结束甲获胜，则甲第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．此时的概率211111112222224P =⨯⨯+⨯⨯=．若第四局结束甲得两分获胜，则甲第四局必定获胜，前三局为1胜2平或1胜1平1负，总共有9种情况：（胜，平，平，胜），（平，胜，平，胜），（平，平，胜，胜），（胜，平，负，胜），（胜，负，平，胜），（平，胜，负，胜），（负，胜，平，胜），（平，负，胜，胜），（负，平，胜，胜）．此时的概率311111111562662263248P =⨯⨯⨯⨯3+⨯⨯⨯⨯=若第四局结束甲以积分获胜，则乙的积分为0分，总共有4种情况：（胜，平，平，平），（平，胜，平，平），（平，平，胜，平），（平，平，平，胜）．此时的概率41111142666108P =⨯⨯⨯⨯=故()3124265432P B P P P P =+++=22.已知(2,0)A -是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左顶点，过点(1,0)D 的直线l 与椭圆C 交于P Q ，两点（异于点A ），当直线l 的斜率不存在时，3PQ =．（1）求椭圆C 的方程；（2）求APQ △面积的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）90,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.【解析】【分析】（1）根据给定条件，确定椭圆C 过点3(1,)2，再代入求解作答.（2）设出直线l 的方程，与椭圆C 的方程联立，结合韦达定理求出APQ △面积的函数关系，再利用对勾函数的性质求解作答.【小问1详解】依题意，2a =，当直线l 的斜率不存在时，由3PQ =，得直线l 过点3(1,)2，于是219144b+=，解得23b =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=．【小问2详解】依题意，直线l 不垂直于y 轴，设直线l 的方程为()()11221,,,,x ty P x y Q x y =+，由221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 整理得()2234690t y ty ++-=，则12122269,3434t y y y y t t --+==++，APQ △的面积121||||2S AD y y =-=218134t ==++，令1u =≥，对勾函数13y u u=+在[1,)+∞上单调递增，则134u u+≥，即4≥，从而189012<≤+，当且仅当0t =时取等号，故APQ △面积的取值范围为90,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.。
2023-2024学年山东省潍坊市高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省潍坊市高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．C 53+C 54=（ ）A ．15B ．25C ．60D ．1802．设空间向量a →=（1，2，﹣1），b →=（﹣2，﹣4，k ），若a →∥b →，则实数k 的值为（ ） A ．2B ．﹣10C ．﹣2D ．103．已知两直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，且k 1，k 2是方程x 2+x ﹣1＝0的两根，则l 1与l 2的位置关系为（ ） A ．平行 B ．相交且垂直 C ．重合D ．相交且不垂直4．如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，点P 在AC 1上，且AP →=23AC 1→，则AP →=（ ）A ．23a →+23b →+23c →B ．13a →+13b →+13c →C ．−23a →+23b →+23c →D ．13a →−13b →−13c →5．月光石是由两种长石混合组成的具有月光效应的长石族矿物．它的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的上焦点F （0，1），半椭圆的短轴与半圆的直径重合．若直线x =√22与半圆交于点A ，与半椭圆交于点B ，则△ABF 的面积为（ ）A ．9(√2+1)4B ．3(√2+1)2C ．√2+1D ．√2+146．有6名大学生到甲、乙、丙3个学校支教，要求一个学校3人，一个学校2人，另一学校1人，则不同的分法种数为（ ） A ．240B ．360C ．480D ．7207．若圆C 1：(x +2)2+(y −2)2=m 与圆C 2：(x −1)2+(y +2)2=1相交，则实数m 的取值范围为（ ） A ．（4，6）B ．（4，10）C ．（4，36）D ．（16，36）8．如图，已知二面角α﹣l ﹣β的度数大小为π3，在α与β的交线l 上取线段AB =√3，且AC ，BD 分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线l ，且AC ＝1，BD ＝2，则CD 的长为（ ）A ．6B ．10C ．√6D ．√10二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分. 9．已知直线l ：y ＝x ，点A （0，﹣1），则（ ） A ．过点A 与l 平行的直线的方程为y ＝x ﹣1B ．点A 关于l 对称的点的坐标为（0，1）C ．点A 到直线l 的距离为√22D ．过点A 与l 垂直的直线的方程为y ＝﹣x ﹣110．若(2x −1)4=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4，则（ ） A ．a 0＝1 B ．a 0+a 1+a 2+a 3+a 4＝16 C ．a 0+a 2+a 4＝41D ．a 1+a 3＝4011．一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回的依次取出两个球，A 表示事件“取出的两球不同色”，B 表示事件“第一次取出的是黑球”，C 表示事件“第二次取出的是黑球”，D 表示事件“取出的两球同色”，则（ ） A ．A 与D 相互独立 B ．A 与B 相互独立 C ．B 与D 相互独立 D ．A 与C 相互独立12．已知椭圆C ：x 24+y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，且点M 是直线x ＝4上任意一点，过点M 作C 的两条切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ，则（ ）A．△AF1F2的周长为6B．A，F2，B三点共线C．A，B两点间的最短距离为2D．∠AMF1＝∠BMF2三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13．在(x+2x)6的展开式中，常数项为.（结果用数字作答）14．针对某种突发性的流感病毒，各国的医疗科研机构都在研制疫苗．已知甲、乙两个机构各自研制成功的概率为15，14，而且两个机构互不影响，则甲、乙两个机构中，至少有一个研制成功的概率为．15．已知抛物线y2＝8x，F为抛物线的焦点，且P是该抛物线上一点，点A（6，2），则|P A|+|PF|的最小值为．16．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=4，AB=2√3，平面α经过点A，且直线AA1与平面α所成的角为30°，过点A1作平面α的垂线，垂足为H，则点A1到平面α的距离为，直线AA1与BH所成角的范围为．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，点E是B'C的中点．（1）证明：D′E∥平面A′BD；（2）求直线D′E与平面ABCD所成角的正弦值．18．（12分）如图，已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M在其准线上，|MF|=2√2，直线MF 的倾斜角为135°，且与C交于A，B两点，O为坐标原点．（1）求C的方程；（2）求△AOB的面积．19．（12分）现有两台车床加工同一型号的零件，第1台车床加工的零件次品率为6%，第2台车床加工的零件次品率为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1台车床加工的零件数与第2台车床加工的零件数之比为2：3，从这些零件中任取一个． （1）求这个零件是次品的概率；（2）已知这个零件是次品，求它是第一台车床加工的概率．20．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)，点A 1（﹣1，0），A 2(√2，√3)都在双曲线C 上，且C 的右焦点为F ．（1）求C 的离心率及其渐近线方程；（2）设点P （x 0，y 0）（x 0≠2）是双曲线C 右支上的任意一点，记直线PF 和P A 1的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 1=2k 2k 22−1． 21．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，△P AD 是等边三角形，平面P AD ⊥平面ABCD ，∠BCD ＝∠ABC ＝90°，AB =2CD =2BC =4√2，M 是棱PC 上的点，且PM →=λPC →，0≤λ≤1． （1）求证：BD ⊥平面P AD ；（2）设二面角M ﹣BD ﹣C 的大小为θ，若cosθ=√1313，求λ的值．22．（12分）如图，已知圆T ：x 2+y 2+2√3x −21=0，圆心是点T ，点G 是圆T 上的动点，点H 的坐标为(√3，0)，线段GH 的垂直平分线交线段TG 于点R ，记动点R 的轨迹为曲线E ． （1）求曲线E 的方程；（2）过点H 作一条直线与曲线E 相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，若CA →=λAH →，CB →=μBH →，试探究λ+μ是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；（3）过点M （2，1）作两条直线MP ，MQ ，分别交曲线E 于P ，Q 两点，使得k MP •k MQ ＝1，且MD ⊥PQ ，点D 为垂足，证明：存在定点F ，使得|DF |为定值．2023-2024学年山东省潍坊市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．C 53+C 54=（ ）A ．15B ．25C ．60D ．180解：C 53+C 54=C 52+C 51=5×42×1+5=15． 故选：A ．2．设空间向量a →=（1，2，﹣1），b →=（﹣2，﹣4，k ），若a →∥b →，则实数k 的值为（ ） A ．2B ．﹣10C ．﹣2D ．10 解：空间向量a →=（1，2，﹣1），b →=（﹣2，﹣4，k ），a →∥b →，则−21=−42=k −1，解得k ＝2．故选：A ．3．已知两直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，且k 1，k 2是方程x 2+x ﹣1＝0的两根，则l 1与l 2的位置关系为（ ） A ．平行 B ．相交且垂直 C ．重合D ．相交且不垂直解：因为k 1，k 2是方程x 2+x ﹣1＝0的两根，所以k 1k 2＝﹣1，所以两条直线垂直． 故选：B ．4．如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，点P 在AC 1上，且AP →=23AC 1→，则AP →=（ ）A ．23a →+23b →+23c →B ．13a →+13b →+13c →C ．−23a →+23b →+23c →D ．13a →−13b →−13c →解：AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，则AP →=23AC 1→=23(AB →+BC →+CC 1→)=23(AB →+AD →+AA 1→)=23a →+23b →+23c →．故选：A ．5．月光石是由两种长石混合组成的具有月光效应的长石族矿物．它的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的上焦点F （0，1），半椭圆的短轴与半圆的直径重合．若直线x =√22与半圆交于点A ，与半椭圆交于点B ，则△ABF 的面积为（ ）A ．9(√2+1)4B ．3(√2+1)2C ．√2+1D ．√2+14 解：由题意可得，半圆所在圆的方程为x 2+y 2＝1，半椭圆所在椭圆方程为y 22+x 2=1，把x =√22分别代入圆与椭圆方程，可得A （√22，−√22），B （√22，1）， ∴|AB |=√22+1，又F 到AB 所在直线的距离为√22， ∴△ABF 的面积为12×√2+22×√22=√2+14．故选：D ．6．有6名大学生到甲、乙、丙3个学校支教，要求一个学校3人，一个学校2人，另一学校1人，则不同的分法种数为（ ） A ．240B ．360C ．480D ．720解：先把6人分为3组，一组3人，一组2人，一组1人，有C 63C 32C 11=60种分法，再把这3组人员分配到甲、乙、丙3个学校支教，所以不同的分法种数为60×A 33=360． 故选：B ．7．若圆C 1：(x +2)2+(y −2)2=m 与圆C 2：(x −1)2+(y +2)2=1相交，则实数m 的取值范围为（ ） A ．（4，6）B ．（4，10）C ．（4，36）D ．（16，36）解：根据题意，圆C 1：(x +2)2+(y −2)2=m ，圆心为（﹣2，2），半径R =√m ， 圆C 2：(x −1)2+(y +2)2=1，圆心为（1，﹣2），半径r ＝1，圆心距d =√9+16=5，若两圆相交，则有|√m −1|＜5＜√m +1，解可得16＜m ＜36，即m 的取值范围为（16，36）． 故选：D ．8．如图，已知二面角α﹣l ﹣β的度数大小为π3，在α与β的交线l 上取线段AB =√3，且AC ，BD 分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线l ，且AC ＝1，BD ＝2，则CD 的长为（ ）A ．6B ．10C ．√6D ．√10解：CD →=CA →+AB →+BD →，两边平方得（CD →）2＝（CA →+AB →+BD →）2， 所以|CD →|2=CA →2+AB →2+BD →2+2CA →•AB →+2CA →•BD →+2AB →•BD →，由题可知|AB →|=√3，|CA →|＝1，|BD →|＝2，＜CA →，AB →＞=π2，＜CA →，BD →＞=2π3，＜AB →，BD →＞=π2，所以|CD →|2＝12+（√3）2+22+2•1•√3cos π2+2•1•2•cos 2π3+2•√3•2•cos π2=6，所以|CD →|=√6． 故选：C ．二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分. 9．已知直线l ：y ＝x ，点A （0，﹣1），则（ ） A ．过点A 与l 平行的直线的方程为y ＝x ﹣1B ．点A 关于l 对称的点的坐标为（0，1）C ．点A 到直线l 的距离为√22D ．过点A 与l 垂直的直线的方程为y ＝﹣x ﹣1 解：因为直线l ：y ＝x ，对于A ：设与l 平行的直线方程为y ＝x +b ，代入A （0，﹣1），得b ＝﹣1， 所以，过点A 与l 平行的直线的方程为y ＝x ﹣1，故A 正确；对于B ：点A （0，﹣1）关于y ＝x 对称的点的坐标为（﹣1，0），故B 错误； 对于C ：点A 到直线x ﹣y ＝0的距离为√2=√22，故C 正确； 对于D ：设与l 垂直的直线方程为y ＝﹣x +m ，代入A（0，﹣1），得m＝﹣1，所以，过点A与l垂直的直线的方程为y＝﹣x﹣1，故D正确．故选：ACD．10．若(2x−1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则（）A．a0＝1B．a0+a1+a2+a3+a4＝16C．a0+a2+a4＝41D．a1+a3＝40解：对于A，令x＝0得，a0＝（﹣1）4＝1，故A正确；对于B，令x＝1得，a0+a1+a2+a3+a4＝（2×1﹣1）4＝1，故B错误；对于C，D，令x＝﹣1得，a0﹣a1+a2﹣a3+a4＝（﹣2﹣1）4＝81，又因为a0+a1+a2+a3+a4＝1，所以两式相加得，2（a0+a2+a4）＝82，两式相减得，2（a1+a3）＝﹣80，所以a0+a2+a4＝41，a1+a3＝﹣40，故C正确，故D错误．故选：AC．11．一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回的依次取出两个球，A表示事件“取出的两球不同色”，B表示事件“第一次取出的是黑球”，C表示事件“第二次取出的是黑球”，D表示事件“取出的两球同色”，则（）A．A与D相互独立B．A与B相互独立C．B与D相互独立D．A与C相互独立解：一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回的依次取出两个球，A表示事件“取出的两球不同色”，B表示事件“第一次取出的是黑球”，C表示事件“第二次取出的是黑球”，D表示事件“取出的两球同色”，P（A）=24×23+24×23=23，P（B）=24=12，P（C）=24×13+24×23=12，P（D）=24×13+24×13=13，P（AD）＝0，P（AB）=24×23=13，P（BD）=24×13=16，P（AC）=24×23=13，∵P（AD）≠P（A）P（D），∴A与D不是相互独立事件，故A错误；P（AB）＝P（A）P（B），∴A与B是相互独立事件，故B正确；P（BD）＝P（B）P（D），∴B与D是相互独立事件，故C正确；P（AC）＝P（A）P（C），∴A与C是相互独立事件，故D正确．故选：BCD．12．已知椭圆C：x 24+y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，且点M是直线x＝4上任意一点，过点M作C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B，则（）A．△AF1F2的周长为6B．A，F2，B三点共线C．A，B两点间的最短距离为2D．∠AMF1＝∠BMF2解：根据题意可得a＝2，b=√3，c＝1，对A选项，∵△AF1F2的周长为2a+2c＝4+2＝6，∴A选项正确；对B选项，设M（4，t），A（x1，y1），B（x2，y2），则x124+y123=1，∴3x12+4y12=12，同理可得3x22+4y22=12，对x24+y23=1两边关于x求导可得：x2+2y⋅y′3=0，∴y′=−3x4y，∴切线AM方程为y−y1=−3x14y1(x−x1)，∴3x1x+4y1y=3x12+4y12=12，故切线AM方程为3x1x+4y1y＝12，同理可得切线BM的方程为3x2x+4y2y＝12，又切线AM与切线BM都过M（4，t），∴{12x1+4y1t=12 12x2+4y2t=12，∴AB直线方程为12x+4ty＝12，∴AB直线过定点F2（1，0），∴A，F2，B三点共线，∴B选项正确；对C选项，由B选项分析可知AB直线过F2（1，0），∴AB为焦点弦，根据椭圆的几何性质可得焦点弦AB为通径时最短，∴|AB|≥2b2a=3＞2，∴C选项错误；对D选项，如图，由B选项分析可知AB直线斜率为−3 t ，又MF2直线的斜率为t−04−1=t3，∴k AB⋅k MF2=−1，∴AB⊥MF2，在直线AB上取AF′＝AF1，BF1＝BF″，则|AF1′|+|AF2|＝|AF1|+|AF2|＝2a＝4，同理可得|BF1″|+|BF2|＝|BF1|+|BF2|＝2a＝4，∴|F1′F2|＝|F1″F2|，又AB⊥MF2，∴∠F1′MF2＝∠F1″MF2，设∠F1MA＝θ，∠F1MF2＝φ，∠F2MB＝γ，∵MA，MB为椭圆C的两条切线，∴根据椭圆的光学性质可得：∠F1′MA＝∠F1MA＝θ，∠F1″MB＝∠F1MB＝φ+γ，又∠F1′MF2＝∠F1″MF2，∴2θ+φ＝γ+φ+γ，∴θ＝γ，∴∠AMF1＝∠BMF2，∴D选项正确．故选：ABD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13．在(x+2x)6的展开式中，常数项为160.（结果用数字作答）解：二项式(x+2x)6的展开式的通项为T r+1=C6r x6﹣r（2x）r＝2r C6r x6﹣2r，令6﹣2r＝0，得r＝3，故常数项是23•C63=160．故答案为：160．14．针对某种突发性的流感病毒，各国的医疗科研机构都在研制疫苗．已知甲、乙两个机构各自研制成功的概率为15，14，而且两个机构互不影响，则甲、乙两个机构中，至少有一个研制成功的概率为25．解：甲、乙两个机构中，至少有一个研制成功的对立事件是甲、乙两个机构都没有研究成功，∴甲、乙两个机构中，至少有一个研制成功的概率为：P＝1﹣（1−15）（1−14）=25．故答案为：2 5．15．已知抛物线y2＝8x，F为抛物线的焦点，且P是该抛物线上一点，点A（6，2），则|P A|+|PF|的最小值为8．解：抛物线y2＝8x，p＝2，焦点F（2，0），准线方程为x＝﹣2．设P 到准线的距离为PD ，（即PD 垂直于准线，D 为垂足），则|P A |+|PF |＝|P A |+|PD |≥|AD |＝8，（当且仅当P 、A 、D 共线时取等号）． 故答案为：8．16．在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1=4，AB =2√3，平面α经过点A ，且直线AA 1与平面α所成的角为30°，过点A 1作平面α的垂线，垂足为H ，则点A 1到平面α的距离为 2 ，直线AA 1与BH 所成角的范围为 [30°，60°] ． 解：如图，连接AH ，因为A 1H ⊥α，AH ⊂α，所以A 1H ⊥AH ，所以H 在以AA 1为直径的球面上，又直线AA 1与平面α所成角为30°，而∠A 1AH 即为直线AA 1与平面α所成的角，因此∠A 1AH =30°，因此H 在以AA 1为轴，顶角为60°的圆锥面上，过H 作HO ⊥AA 1于点O ，则HA 1=2，HA =2√3，HO =√3，A 1O =1，AO =3，其中HA 1的长即为A 1到平面α的距离，所以H 在圆锥AO 的底面圆上，O 为圆心，半径为√3，以AB 为y 轴，AA 1为z 轴，过A 与AB 垂直的直线的为x 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(0，2√3，0)，设H(√3cosθ，√3sinθ，3)，BH →=(√3cosθ，√3sinθ−2√3，3)，取AA 1→的一个方向向量为n →=(0，0，1)， cos〈BH →，n →〉=|BH →⋅n →||BH →||n →|=3√3cos 2θ+3(sinθ−2)2+9=324−12sinθ∈[12，√32]， 又0≤＜BH →，n →＞π，所以〈BA →，n →〉∈[π6，π3]，所以直线BH 与AA 1所成角的范围是[π6，π3]，即[30°，60°]，故答案为：2；[30°，60°]．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（10分）如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 'B 'C 'D '中，点E 是B 'C 的中点．（1）证明：D ′E ∥平面A ′BD ；（2）求直线D ′E 与平面ABCD 所成角的正弦值．（1）证明：在正方体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′中，B ′D ′∥BD ，A ′D ∥B ′C ，B ′D ′∩B ′C ＝B ′，BD ∩A ′D ＝D ， 所以平面A ′BD ∥平面B ′D ′E ，又D ′E ⊂平面BD ′E ， 所以D ′E ∥平面A ′BD ；（2）解：以D 为原点，DA →，DC →，DD′→的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A （1，0，0），C ′(0，1，1)，D ′(0，0，1)，E(12，1，12)，所以D ′E →=(12，1，−12)，又平面ABCD 的法向量n →=(0，0，1)，设直线D ′E 与平面ABCD 所成角为θ，sinθ=|cos〈n →，D′E →〉|=|D′E →⋅n →||D′E →|⋅|n →|=12√32=√66，所以直线D ′E 与平面ABCD 所成角的正弦值为√66． 18．（12分）如图，已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，点M 在其准线上，|MF|=2√2，直线MF 的倾斜角为135°，且与C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点． （1）求C 的方程； （2）求△AOB 的面积．解：（1）由已知及抛物线的定义可得p ＝|MF |cos （180°﹣135°）=2√2cos45°＝2， 所以抛物线C 的方程为y 2＝4x ．（2）由（1）知F （1，0），设直线AB ：x +y ﹣1＝0，将其代入抛物线方程得y 2+4y ﹣4＝0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），y 1+y 2＝﹣4，y 1y 2＝﹣4，△AOB 面积为：12|OF ||y 1﹣y 2|=12√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=12√32=2√2．19．（12分）现有两台车床加工同一型号的零件，第1台车床加工的零件次品率为6%，第2台车床加工的零件次品率为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1台车床加工的零件数与第2台车床加工的零件数之比为2：3，从这些零件中任取一个． （1）求这个零件是次品的概率；（2）已知这个零件是次品，求它是第一台车床加工的概率．解：（1）根据题意，记事件A 为“车床加工的零件为次品”，事件B i 为“该零件由第i 台车床加工的零件”，i ＝1，2，则P （A |B 1）＝6%，P （A |B 2）＝5%，已知第1台车床加工的零件数与第2台车床加工的零件数之比为2：3，则P （B 1）＝40%，P （B 2）＝60%，故P （A ）＝P （B 1）P （A |B 1）+P （B 2）P （A |B 2）＝40%×6%+60%×5%＝0.054； （2）根据题意，由贝叶斯公式P （B 1|A ）=P(AB 1)P(A)=P(B 1)P(A|B 1)P(A)=0.4×0.060.054=0.0240.054=49． 20．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)，点A 1（﹣1，0），A 2(√2，√3)都在双曲线C 上，且C 的右焦点为F ．（1）求C 的离心率及其渐近线方程；（2）设点P （x 0，y 0）（x 0≠2）是双曲线C 右支上的任意一点，记直线PF 和P A 1的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 1=2k 2k 22−1． 解：（1）因为点A 1（﹣1，0），A 2(√2，√3)都在双曲线C 上，所以{1a 2=12a 2−3b 2=1，解得a ＝1，b =√3， 则双曲线C 的方程为x 2−y 23=1， 又c =√a 2+b 2=2， 所以C 离心率e =ca=2，渐近线方程为y =±√3x ； （2）证明：易知k 1，k 2一定存在且k 2≠±1， 因为F （2，0），x 0＞0， 所以k PF =k 1=y 0x 0−2，k PA 1=k 2=y0x 0+1， 此时2k 21−k 22=2y 0x 0+11−y 02(x 0+1)2=2y 0(x 0+1)(x 0+1)2−y 02，因为点P 在双曲线C 上，所以x 02−y 023=1，即y 02=3x 02−3， 则2k 21−k 22=2y 0(x 0+1)(x 0+1)2−y 02=2y 0(x 0+1)−2(x 0−2)(x 0+1)=−y 0x 0−2=−k 1．故k 1=2k 2k 22−1． 21．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，△P AD 是等边三角形，平面P AD ⊥平面ABCD ，∠BCD ＝∠ABC ＝90°，AB =2CD =2BC =4√2，M 是棱PC 上的点，且PM →=λPC →，0≤λ≤1． （1）求证：BD ⊥平面P AD ；（2）设二面角M ﹣BD ﹣C 的大小为θ，若cosθ=√1313，求λ的值．解：（1）证明：因为∠BCD ＝90°，CD ＝BC ＝2√2， 所以BD ＝4，∠CBD ＝45°，在△ABD 中，∠ABD ＝45°，AB ＝4√2，由余弦定理可得AD =√AB 2+BD 2−2AB ⋅BDcos∠ABD =4， 所以AD 2+BD 2＝AB 2，所以∠ADB ＝90°，即AD ⊥BD ， 取AD 的中点O ，连接PO ， 因为△P AD 是等边三角形， 所以PO ⊥AD ，又因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PO ⊂面P AD ， 所以PO ⊥面ABCD ， 因为BD ⊂面ABCD ， 所以PO ⊥BD ，又因为PO ∩AD ＝O ，PO ，AD ⊂面P AD ， 所以BD ⊥面P AD ．（2）取AB 的中点N ，连接ON ，ON ∥BD ， 所以AD ⊥ON ，以O 为原点，ON ，OD ，OP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系：则A （0，﹣2，0），D （0，2，0），B （4，2，0），C （2，4，0），P （0，0，2√3），AP →=（0，2，2√3），DM →=DP →+PM →=DP →+λPC →=（0，﹣2，2√3）+λ（2，4，﹣2√3）＝（2λ，4λ﹣2，2√3（1﹣λ）），0≤λ≤1， 又DB →=（4，0，0），设平面MBD 的一个法向量为n →=（x ，y ，z ）， 则{DM →⋅n →=2λx +(4λ−2)y +2√3(1−λ)z =0DB →⋅n →=4x =0，当λ=12时，平面MBD ⊥平面ABCD ，不合题意，当λ≠12时，令z ＝2λ﹣1，得平面MBD 的法向量为n →=（0，√3（λ﹣1），2λ﹣1），又平面ABCD 的一个法向量为m →=（0，0，1），由于平面MBD 与平面ABCD 所成角的余弦值为√1313， 所以|cos ＜m →，n →＞|=√[√3(λ−1)]+(2λ−1)=√1313，解得λ=13或λ=35． 22．（12分）如图，已知圆T ：x 2+y 2+2√3x −21=0，圆心是点T ，点G 是圆T 上的动点，点H 的坐标为(√3，0)，线段GH 的垂直平分线交线段TG 于点R ，记动点R 的轨迹为曲线E ． （1）求曲线E 的方程；（2）过点H 作一条直线与曲线E 相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，若CA →=λAH →，CB →=μBH →，试探究λ+μ是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；（3）过点M （2，1）作两条直线MP ，MQ ，分别交曲线E 于P ，Q 两点，使得k MP •k MQ ＝1，且MD ⊥PQ ，点D 为垂足，证明：存在定点F ，使得|DF |为定值．解：（1）因为x 2+y 2+2√3x −21=0， 所以(x +√3)2+y 2=24， 所以T(−√3，0)，半径r =2√6，因为线段GH 的中垂线交线段TG 于点R ， 所以|RH |＝|RG |，所以|RT|+|RH|=|RT|+|RG|=|TG|=2√6＞|TH|=2√3，所以动点R 的轨迹是以T(−√3，0)，H(√3，0)为焦点，长轴长为2√6的椭圆， 所以a =√6，c =√3，b =√3， 故曲线E 的方程为x 26+y 23=1；（2）λ+μ＝4．证明：当直线AB 的斜率不存在时，其方程为x =√3，与y 轴不相交，不合题意，舍去，当直线AB 的斜率存在时，设AB 所在直线方程为y ＝k （x ﹣3）， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由{y =k(x −√3)x 26+y 23=1，消去y ，整理得(1+2k 2)x 2−4√3k 2x +6k 2−6=0，Δ＞0恒成立， 所以{x 1+x 2=4√3k1+2k2x 1x 2=6k 2−61+2k 2， 又因为直线AB 与y 轴的交点为C ，所以C(0，−√5k)， 所以CA →=(x 1，y 1+√3k)，AH →=(√3−x 1−y 1)， CB →=(x 1，y 2+√3k)，BH →=(√3−x 2，−y 2)，又因为CA →=λAH →，所以x 1=λ(√3−x 1)，同理x 2=μ(√3−x 2)， 所以λ=13−x 1μ=23−x 2， 所以λ+μ=x 1√3−x 1x 2√3−x 2=√3(x 1+x 2)−2x 1x 23−√3(x 1+x 2)+x 1x 2=√3×4√3k21+2k 2−2×6k2−61+2k23−√3×4√3k 21+2k 2+6k 2−61+2k2， 整理后得λ+μ=12k 2−12k 2+123+6k 2−12k 2+6k 2−6=−123=−4， 所以λ+μ 为定值﹣4，原题得证．（3）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），显然PQ 的斜率存在，x1≠2，x 2≠2，设PQ 的方程是y ＝hx +m ，由{y =kx +mx 2+2y 2=6，消去y 得：（2k 2+1）x 2+4kmx +2m 2﹣6＝0， 由韦达定理得{x 1+x 2=−2km2k 2+1x 1x 2=2m 2−62k 2+1，由已知k MP •k MQ ＝1，可得y 1−1x 1−2−y 2−1x 2−2=1，即y 1y 2﹣（y 1+y 2）+1＝x 1x 2﹣2（x 1+x 2）+4， 又y 1＝kx 1+m ，y 2＝kx 2+m ，代入上式整理得m 2+（8k +2）m +12k 2﹣3＝0， 则m ＝﹣6k ﹣3或m ＝1﹣2k ，当m ＝﹣6k ﹣3时，直线PQ 的方程为y ＝k （x ﹣6）﹣3， 所以直线PQ 经过定点（6，﹣3），当m ＝1﹣2k 时，直线PQ 的方程为y ＝k （x ﹣2）+1， 所以直线PQ 经过定点（2，1）与M 重合，舍去， 故直线PQ 经过定点K （6，﹣3），又因为MD ⊥PQ ，所以D 在以线段MK 为直径的圆上， 所以F 为线段ME 的中点，即F （4，﹣1），所以|DF|=12|MK|=12×√(6−2)2+(−3−1)2=2√2为定值．。
2023-2024学年江苏省南通市高二(上)期末数学试卷(含答案)
2023-2024学年江苏省南通市高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数列1,53,52，…的通项公式可能是a n =( )A. n 2+1n +1B. n +1n 2+1C. n 22n−1D. n 2+12n−12.圆(x +1)2+y 2=1和圆(x−2)2+(y−4)2=16的位置关系为( )A. 相离B. 相交C. 外切D. 内切3.某校文艺部有7名同学，其中高一年级3名，高二年级4名.从这7名同学中随机选3名组织校文艺汇演，则两个年级都至少有1名同学入选的选法种数为( )A. 12B. 30C. 34D. 604.已知F 是抛物线C ：x 2=2py(p >0)的焦点，点A(1,14)在C 上，则|AF|=( )A. 38B. 58C. 54D. 945.设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4=6，S 8=18，则S 16=( )A. 48B. 90C. 96D. 1626.已知椭圆C ：x 24+y 23=1，直线l 经过点T(1,12)与C 交于A ，B 两点.若T 是线段AB 的中点，则l 的方程为( )A. 4x−6y−1=0 B. 3x−2y−1=0 C. 4x +6y−7=0 D. 3x +2y−4=07.已知平行六面体ABCD−A 1B 1C 1D 1中，AA 1=3，BD =4，AD 1⋅DC−AB 1⋅BC =5，则cos <AA 1，BD >=( )A. 512B. −512C. 415D. −4158.已知F 是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点，直线y = 52b 与C 交于A ，B 两点.若△ABF 的周长为7a ，则C 的离心率为( )A. 43 B. 65 C. 2 105二、多选题：本题共4小题，共20分。
高二数学上学期期末考试题精选及答案
高二数学上学期期末考试题精选及答案一、选择题（每题5分，共40分）1. 有七名同学站成一排拍毕业照，其中甲必须站在正中间，乙和丙两位同学必须站在一起，则不同的站法一共有（）A. 180种B. 90种C. 60种D. 30种答案：A2. 若函数f(x) = x^2 + mx + 1有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A. m > 2B. m < -2C. m > -2D. m < 2答案：D3. 已知函数f(x) = (x - 2)^2 + 1的最小值是（）A. 0B. 1C. 4D. 5答案：B4. 若a，b是方程x^2 - 3x + 1 = 0的两根，则a^2 + b^2的值等于（）A. 5B. 7C. 9D. 11答案：C5. 设函数f(x) = x^3 - 3x + 1，则方程f(x) = 0在区间（0，3）内的实根个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B6. 设函数f(x) = x^2 + 2x + 3，若f(x) > 0，则x的取值范围是（）A. x > 0B. x < -3C. x > -1D. x < 1答案：C7. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 4，若f(x) > 0，则x 的取值范围是（）A. x > 1B. x < 1C. x > 2D. x < 2答案：A8. 已知函数f(x) = 2x - 3，若f(x) < 0，则x的取值范围是（）A. x > 3/2B. x < 3/2C. x > 3D. x < 3答案：B二、填空题（每题5分，共30分）9. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，求f(3)的值。
答案：710. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，求f(-1)的值。
答案：011. 若函数f(x) = x^2 + kx + 1的图象上存在点P(m，n)，使得f(m) = n，求实数k的取值范围。
2023-2024学年江苏省淮安市高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省淮安市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线√3x+y＝0的倾斜角为（）A．π3B．π6C．5π6D．2π32．在等差数列{a n}中，若a2＝5，a1+a4＝8，则{a n}的公差为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．23．已知双曲线C：x2a2−y2=1(a＞0)的左、右焦点为F1，F2，若双曲线C上存在点P满足PF1﹣PF2＝4，则双曲线C的一条渐近线方程为（）A．x+4y＝0B．4x+y＝0C．2x+y＝0D．x+2y＝04．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，⊙C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，射线OP绕O点从x轴正半轴逆时针匀速旋转到y轴正半轴，所扫过的内部图形（图中阴影部分）面积S可表示为时间t的函数y＝S（t），则下列图象中与y＝S（t）图象类似的是（）A．B．C．D．5．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦点为F，上、下顶点分别为B1，B2，M是FB1的中点，若FB1⊥MB2，则椭圆C的离心率为（）A．14B．12C．√32D．346．“勾股数”，也被称为毕达哥拉斯树，是根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形．如图所示，以边长为4的正方形ABCD的一边为直角三角形的斜边向外作一个等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边为正方形的边长向外作两个正方形，如此继续，若得到的“勾股树”上所存正方形的面积为96，则“勾股树”上所有正方形的个数为（）A．63B．64C．127D．1287．已知函数f（x）＝e x+1+e﹣x（e为自然常数），记a＝f（﹣2.1），b＝f（1），c＝f（1.2），则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．b＜c＜a8．已知抛物线y2＝2px上三点A（2，2），B，C，直线AB，AC是圆(x−2)2+y2=r2(0＜r＜4√55)的两条切线，则△ABC的面积最大值为（）A．8√2B．12C．64√39D．72√39二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年浙江省台州市高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省台州市高二（上）期末数学试卷一、单项选择题。
（本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．直线y ＝2x ﹣1的斜率等于（ ） A ．﹣1B ．1C ．2D ．﹣22．若双曲线x 2m 2−y 212=1(m ＞0)的离心率为2，则实数m ＝（ ）A ．2B ．2√3C ．4D ．163．若空间向量a →=（1，0，1），b →=（2，1，2），则a →与b →的夹角的余弦值为（ ） A ．23B ．√23C ．2√23D ．−134．已知等差数列{a n }(n ∈N ∗)的前n 项和为S n ．若S 5＝35，a 4＝3a 1，则其公差d 为（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．25．如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，记AB →=a →，AD →=b →，AD 1→=c →，则D 1C →=（ ）A ．a →+b →−c →B ．−a →+b →+c →C ．a →−b →+c →D ．−a →−b →+c →6．人们发现，任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述运算，必会得到1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”．现给出冰雹猜想的递推关系如下：对于数列{a n }（n ∈N ′），a 1＝m （m 为正整数），a n +1={a n2，a n 为偶数3a n +1，a n 为奇数，若a 5＝1，则m 所有可能的取值的和为（ ） A ．16B ．18C ．20D ．417．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，A ，B 两点在抛物线C 上，并满足AF →=3FB →，过点A 作x 轴的垂线，垂足为M ，若|FM |＝1，则p ＝（ ） A ．12B ．1C ．2D ．48．在空间四边形ABCD 中，若AB →⋅BC →=BC →⋅CD →=CD →⋅DA →=DA →⋅AB →，则下列结论中不一定正确的是（ ）A ．AB →+BC →=−(CD →+DA →) B ．AB 2+BC 2＝CD 2+DA 2 C ．△ABD ≌△DCAD ．AC ⊥BD二、多项选择题。
高二数学上学期期末考试题及答案
高二数学上学期期末考试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 设函数$f(x) = x^3 - 3x + 1$，则$f(-1)$的值为（）A. -3B. 0C. 3D. 4答案：C2. 函数$y = 2x^3 - 3x^2 + 1$的导数为（）A. $6x^2 - 6x$B. $6x^2 + 6x$C. $6x^2 - 3x$D. $6x^2 + 3x$答案：A3. 设函数$y = \sqrt{1 - x^2}$，则其定义域为（）A. $x \in (-\infty, 1]$B. $x \in [0, 1]$C. $x \in [-1, 1]$D. $x \in (-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$答案：C4. 已知函数$f(x) = \frac{1}{x}$，$g(x) = x^2$，则$f(g(x))$的解析式为（）A. $\frac{1}{x^3}$B. $\frac{1}{x^2}$C. $x^3$D. $x^4$答案：A5. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$，求$f(1)$的值（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B6. 设函数$f(x) = 2x + 3$，$g(x) = 4x - 5$，求$f(g(x))$的值（）A. $8x - 7$B. $8x + 7$C. $6x - 7$D. $6x + 7$答案：A7. 已知函数$f(x) = x^2 - 2x + 1$，求$f(-1)$的值（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B8. 设函数$f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1$，则$f'(x)$的值为（）A. $6x^2 - 6x$B. $6x^2 + 6x$C. $6x^2 - 3x$D. $6x^2 + 3x$答案：A9. 函数$y = x^2 + 2x + 1$的极值点为（）A. 0B. 1C. -1D. 2答案：C10. 设函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$，则$f(2)$的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：D二、填空题（每题4分，共40分）11. 函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$的导数为________。
2023-2024学年浙江省温州市高二(上)期末数学试卷(A卷)【答案版】
2023-2024学年浙江省温州市高二（上）期末数学试卷（A 卷）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线x +y +1＝0的倾斜角为（ ） A ．135°B ．120°C ．60°D ．45°2．在空间四边形ABCD 中，点M ，G 分别是BC 和CD 的中点，则AB →+12(BD →+BC →)=（ ）A ．AD →B ．GA →C ．AG →D ．MG →3．已知函数f （x ）满足f(x)=f ′(π3)sinx −cosx ，则f ′(π3)的值为（ ）A ．√3B ．√32C ．−√3D ．−√324．已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，S n =m ⋅2n −1，则a 4＝（ ） A ．2B ．4C ．8D ．165．已知圆锥有一个内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，圆柱与圆锥的高之比为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．√226．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒或小石子来研究数．他们根据沙粒或小石头所排列的形状把数分成许多类，如图的1，5，12，22称为五边形数，若五边形数所构成的数列记作{a n }，下列不是数列{a n }的项的是（ ）A ．35B ．70C ．145D ．1707．已知F 为椭圆x 24+y 23=1的左焦点，过点F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，|AF |•|BF |=125，则直线AB 的斜率为（ ） A ．±2B ．±√3C ．±√2D ．±18．若函数f （x ）＝a x +b x 在（0，+∞）上单调递增，则a 和b 的可能取值为（ ） A ．a ＝ln 1.1，b ＝10 B ．a ＝ln 11，b ＝0.1 C ．a ＝e 0.2，b ＝0.8D ．a ＝e﹣0.2，b ＝1.8二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．以下选项中的两个圆锥曲线的离心率相等的是（ ） A ．x 24−y 22=1与x 24+y 22=1 B ．x 24−y 22=1与y 22−x 24=1C ．x 24+y 22=1与x 22+y 24=1D ．y 2+4x ＝0与x 2+2y ＝010．已知函数f （x ）＝x 3+3x 2，则（ ） A ．f ′（﹣1）＝﹣3B ．f （x ）有两个极值点C ．f （x ）在区间（﹣3，3）上既有最大值又有最小值D ．f(−52)+f(−1)+f(12)=611．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＜0，a 1+a 2＞0，则下列命题正确的是（ ） A ．若{a n }为等差数列，则数列{S n }为递增数列 B ．若{a n }为等比数列，则数列{S n }为递增数列 C ．若{a n }为等差数列，则数列{|a n |}为递增数列D ．若{a n }为等比数列，则数列{|a n |}为递增数列12．已知在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1＝4，AC ＝BC ＝2，AC ⊥BC ，点E ，F ，T 分别为棱A 1A ，C 1C ，AB 上的动点（不含端点），点M 为棱BC 的中点，且A 1E =FC =√2BT ，则（ ）A ．A 1B ∥平面EFTB ．M ∈平面EFTC ．点A 到平面EFT 距离的最大值为√142 D ．平面B 1EF 与平面ABC 所成角正弦值的最小值为√22三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知3S 3＝S 2+2S 4，且a 4＝1，则公差d ＝ ．14．已知圆C 1：x 2+y 2﹣8x +7＝0和圆C 2：x 2+y 2+6y +m ＝0外离，则整数m 的一个取值可以是 ． 15．两个正方形ABCD ，ABEF 的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，M 和N 分别是对角线AC 和BF 上的动点，则MN 的最小值为 ．16．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，l ：y =√3x 是C 的一条渐近线，P 是C 第一象限上的点，直线PF 1与l 交于点Q ，QF 1⊥QF 2，则tan∠F 1PF 22= ． 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面是边长为1的菱形，∠ABC =23π，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝1，M 为PB 的中点．（1）求证：平面MAC ⊥平面PDB ； （2）求CP 与平面MAC 所成角的正弦值．18．（12分）已知圆满足： ①截y 轴所得的弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1； ③圆心到直线l ：x ﹣2y ＝0的距离为√55．求该圆的方程．19．（12分）已知数列{a n }满足a n+1=a n a n +1，a 1=12． （1）求证：数列{1a n}为等差数列； （2）设数列{a n }前n 项和为S n ，且S 2n ﹣S n ＞k 对任意的n ∈N *恒成立，求k 的取值范围． 20．（12分）已知函数f （x ）＝lnx ﹣ax ． （1）讨论f （x ）的单调性； （2）求证：当a ＞0时，f(x)+44√a． 21．（12分）已知点A(−√5，2)在双曲线C ：x 2a 2−y 2a 2=1上，（1）求C 的方程；（2）如图，若直线l 垂直于直线OA ，且与C 的右支交于P 、Q 两点，直线AP 、AQ 与y 轴的交点分别为点M 、N ，记四边形MPQN 与三角形APQ 的面积分别为S 1与S 2，求S 1S 2的取值范围．22．（12分）设函数f（x）＝（x﹣2）e ax．（1）若曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣3x+b＝0，求a，b的值；（2）若当x＞0时，恒有f（x）＞﹣x﹣2，求实数a的取值范围；（3）设n∈N*时，求证：312+22+522+32+⋯+2n+1n2+(n+1)2＜ln(n+1)．2023-2024学年浙江省温州市高二（上）期末数学试卷（A 卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线x +y +1＝0的倾斜角为（ ） A ．135°B ．120°C ．60°D ．45°解：直线x +y +1＝0的向量为﹣1，直线的倾斜角为α，∴tan α＝﹣1，∴α＝135°． 故选：A ．2．在空间四边形ABCD 中，点M ，G 分别是BC 和CD 的中点，则AB →+12(BD →+BC →)=（ ）A ．AD →B ．GA →C ．AG →D ．MG →解：由题意可知，12CD →=CG →，故AB →+12(BD →+BC →)=AB →+12(BC →+CD →+BC →)=AB →+BC →+12CD →=AC →+CG →=AG →．故选：C ．3．已知函数f （x ）满足f(x)=f ′(π3)sinx −cosx ，则f ′(π3)的值为（ ）A ．√3B ．√32C ．−√3D ．−√32解：f ′(x)=f ′(π3)cosx +sinx ，∴f ′(π3)=12f′(π3)+√32，∴f ′(π3)=√3．故选：A ．4．已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，S n =m ⋅2n −1，则a 4＝（ ） A ．2B ．4C ．8D ．16解：因为S n 为等比数列{a n }的前n 项和，S n =m ⋅2n −1， 根据等比数列的求和公式S n =a 11−q −a11−q⋅q n ，可知，q ＝2，m ＝1， 则q ＝2，m ＝1，a 1＝1，则a 4=a 1q 3=8． 故选：C ．5．已知圆锥有一个内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，圆柱与圆锥的高之比为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．√22解：根据题意，画出轴截面△ABC ，DEFG 为内接矩形，如图所示： 设圆柱的高为h ，圆柱的底面半径为r ，圆锥的高为H ，底面半径为R ，则ℎH=R−r R，所以h =H(R−r)R， 所以圆柱的侧面积为S 侧＝2πrh ＝2πr •H(R−r)R =2πH(Rr−r 2)R；则当r =−R 2×(−1)=R2时，圆柱的侧面积最大，此时ℎH=R−R2R=12． 故选：B ．6．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒或小石子来研究数．他们根据沙粒或小石头所排列的形状把数分成许多类，如图的1，5，12，22称为五边形数，若五边形数所构成的数列记作{a n }，下列不是数列{a n }的项的是（ ）A ．35B ．70C ．145D ．170解：由题意可知，a 1＝1，a 2＝5，a 3＝12，a 4＝22，则数列{a n }的后项与前项的差依次为4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，…， 所以a 5＝35，a 6＝51，a 7＝70，a 8＝92，a 9＝117，a 10＝145，a 11＝176，a 12＝210，…． 故选：D ． 7．已知F 为椭圆x 24+y 23=1的左焦点，过点F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，|AF |•|BF |=125，则直线AB 的斜率为（ ） A ．±2B ．±√3C ．±√2D ．±1解：根据题意可得a ＝2，b =√3，c ＝1，设直线AB 的倾斜角为θ，A 到左准线的距离为d ， 则|AF|d=e ，∴|AF |＝ed ＝e （a 2c−c +|AF |cos θ），∴|AF |＝e （b 2c+|AF |cos θ），∴（1﹣e cos θ）|AF |=b2a ，∴|AF |=b 2a1−ecosθ，同理可得|BF |=b 2a1+ecosθ，∴|AF |•|BF |=b 4a 21−e 2cos 2θ=125， ∴941−14cos 2θ=125，解得cos 2θ=14，∴cos θ＝±12，又θ∈[0，π），∴θ=π3或2π3，∴k ＝tan θ＝±√3． 故选：B ．8．若函数f （x ）＝a x +b x 在（0，+∞）上单调递增，则a 和b 的可能取值为（ ） A ．a ＝ln 1.1，b ＝10 B ．a ＝ln 11，b ＝0.1 C ．a ＝e 0.2，b ＝0.8D ．a ＝e﹣0.2，b ＝1.8解：f （x ）＝a x +b x ，a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1，f ′（x ）＝a x lna +b x lnb ， 令g （x ）＝f ′（x ），则g ′（x ）＝a x （lna ）2+b x （lnb ）2＞0恒成立， 故f ′（x ）＝a x lna +b x lnb 在（0，+∞）上单调递增， 要想f （x ）＝a x +b x 在（0，+∞）上单调递增， 只需f ′（0）＝lna +lnb ≥0，即只需ab ≥1， A 选项，ab ＝10ln 1.1， 令h （x ）＝x ﹣1﹣lnx ，x ＞1，则h ′（x ）＝1−1x =x−1x＞0在（1，+∞）上恒成立，故h （x ）＝x ﹣1﹣lnx 在（1，+∞）上单调递增， 故h （1.1）＞h （1）＝0，即0.1＞ln 1.1＞0， 故ab ＝10ln 1.1＜10×0.1＝1，A 错误； B 选项，由于ln 11＜10，故ab ＝0.1ln 11=ln1110＜1，B 错误； C 选项，ab ＝0.8e 0.2，令q （x ）＝（1﹣x ）e x ，x ∈（0，1），则q ′（x ）＝﹣e x +（1﹣x ）e x ＝﹣xe x ＜0恒成立， 故q （x ）＝（1﹣x ）e x 在（0，1）上单调递减， 故q （0.2）＜q （0）＝1，即0.8e 0.2＜1，C 错误； D 选项，ab ＝1.8e﹣0.2，令w （x ）＝e x ﹣x ﹣1，x ∈（﹣1，0），则w ′（x ）＝e x ﹣1＜0恒成立，故w （x ）＝e x ﹣x ﹣1在（﹣1，0）上单调递减， 故w （﹣0.2）＞w （0）＝0，即e ﹣0.2＞1﹣0.2＝0.8，故ab ＝1.8e ﹣0.2＞1.8×0.8＝1.44＞1，D 正确．故选：D ．二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9．以下选项中的两个圆锥曲线的离心率相等的是（ ） A ．x 24−y 22=1与x 24+y 22=1 B ．x 24−y 22=1与y 22−x 24=1C ．x 24+y 22=1与x 22+y 24=1D ．y 2+4x ＝0与x 2+2y ＝0解：对于A ：双曲线的离心率e =c a =√4+24=√62，椭圆的离心率e =c a =√4−24=√22，故A 错误； 对于B ：第一个双曲线的离心率e =c a =√4+24=√62，第二个双曲线的离心率e =c a =√2+42=√3，故B 错误；对于C ：第一个椭圆的离心率e =c a =√4+24=√62，第二个椭圆的离心率e =c a =√4+24=√62，故C 正确；对于D ：所以抛物线的离心率都为1，故D 正确． 故选：CD ．10．已知函数f （x ）＝x 3+3x 2，则（ ） A ．f ′（﹣1）＝﹣3B ．f （x ）有两个极值点C ．f （x ）在区间（﹣3，3）上既有最大值又有最小值D ．f(−52)+f(−1)+f(12)=6解：A ．由f （x ）＝x 3+3x 2，得f ′（x ）＝3x 2+6x ，所以f ′（﹣1）＝3﹣6＝﹣3，故A 正确； B ．由f ′（x ）＞0，可得x ＜﹣2或x ＞0，所以f （x ）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（0，+∞）上单调递增；由f ′（x ）＜0，可得﹣2＜x ＜0，所以f （x ）在（﹣2，0）上单调递减． 所以f （x ）在x ＝﹣2处取得极大值，在x ＝0处取得极小值，故B 正确； C ．由B 知，f （x ）在x ＝﹣2处取得极大值，在x ＝0处取得极小值．f （﹣3）＝﹣27+27＝0，f （﹣2）＝﹣8+12＝4，f （0）＝0，f （3）＝27+27＝54．显然f （3）＞f （﹣2），所以f （x ）在区间（﹣3，3）上没有最大值，故C 错误；D ．因为f(−52)=(−52)3+3×(−52)2=258，f(−1)=−1+3=2，f(12)=(12)3+3×(12)2=78．所以f(−52)+f(−1)+f(12)=6．故D 正确．故选：ABD ．11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＜0，a 1+a 2＞0，则下列命题正确的是（ ） A ．若{a n }为等差数列，则数列{S n }为递增数列 B ．若{a n }为等比数列，则数列{S n }为递增数列 C ．若{a n }为等差数列，则数列{|a n |}为递增数列D ．若{a n }为等比数列，则数列{|a n |}为递增数列 解：因为a 1＜0，a 1+a 2＞0， 所以a 2＞﹣a 1＞0，若{a n }为等差数列，则公差d ＝a 2﹣a 1＞0，则{a n }为递增数列，数列{S n }也为递增数列，A 正确； 若{a n }为等比数列，则公比q =a 2a 1＜−1，则{a n }为摆动数列，则数列{S n }不具有单调性，B 错误； 若{a n }为等差数列，则公差d ＝a 2﹣a 1＞0，则a n ＞a n ﹣1＞…＞a 2＞|a 1|，即{|a n |}为递增数列，C 正确； 若{a n }为等比数列，则q =a 2a 1＜−1， 故对于数列{|a n |}，|a n ||a n−1|＞1，|a 1|＞0，即数列{|a n |}为递增数列，D 正确．故选：ACD ．12．已知在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1＝4，AC ＝BC ＝2，AC ⊥BC ，点E ，F ，T 分别为棱A 1A ，C 1C ，AB 上的动点（不含端点），点M 为棱BC 的中点，且A 1E =FC =√2BT ，则（ ）A ．A 1B ∥平面EFTB ．M ∈平面EFTC ．点A 到平面EFT 距离的最大值为√142 D ．平面B 1EF 与平面ABC 所成角正弦值的最小值为√22解：如图，以点C 为原点，建立空间直角坐标系，设CF ＝t （0＜t ＜4），则AE =4−t ，BT =√22t ，AB =2√2，故BT BA =t 4，所以BT =t4BA ， 则E （2，0，4﹣t ），F （0，0，t ），A （2，0，0），B （0，2，0），故BT →=t 4BA →=t 4(2，−2，0)=(t 2，−t2，0)，所以T （t 2，2−t 2，0），对于A ，A 1（2，0，4），则A 1B →=(−2，2，−4)，ET →=(t 2−2，2−t 2，t −4)=(1−t 4)⋅(−2，2，4)=(1−t 4)A 1B →，所以ET →∥A 1B →，则ET ∥A 1B ，又ET ⊂平面EFT ，A 1B ⊄平面EFT ，所以A 1B ∥平面EFT ，故A 正确； 对于B ，M （0，1，0），则FM →=(0，1，−t)，FT →=(t 2，2−t2，−t)，FE →=(2，0，4−2t)，假设M ∈平面EFT ，则M ，E ，F ，T 四点共面， 所以存在唯一实数对（λ，μ），使得FT →=λFE →+μFM →， 即(12t ，2−12t ，−t)=λ(2，0，4−2t)+μ(0，1，−t)， 所以{12t =2λ2−12t =μ−t =(4−2t)λ−tμ，解得{λ=14tμ=2−12t ，所以M ，E ，F ，T 四点共面，即M ∈平面EFT ，故B 正确； 对于C ，AE →=(0，0，4−t)，设平面EFT 的一个法向量为m →=(x ，y ，z)，则有{m →⋅FE →=2x +(4−2t)z =0m →⋅FM →=y −tz =0，令z ＝1，则y ＝t ，x ＝t ﹣2，所以m →=(t −2，t ，1)，所以点A 到平面EFT 的距离为|m →⋅AE →||m →|=22，令4﹣t ＝p ，p ∈（0，4），则t ＝4﹣p ， 故|m →⋅AE →||m →|=22=22=2=√2−p +p 2，当1p =27，即p =72时，(|m →⋅AE →||m →|)max =1√2−12×27+127=√142，所以点A 到平面EFT 距离的最大值为√142，故C 正确； 对于D ，因为AA 1⊥平面ABC ，所以AA 1→=(0，0，4)即为平面ABC 的一个法向量， 又B 1（0，2，4），则FB 1→=(0，2，4−t)， 设平面B 1EF 的法向量为n →=(a ，b ，c)，则有{n →⋅FE →=2a +(4−2t)c =0n →⋅FB 1→=2b +(4−t)c =0，令c ＝1，则a =t −2，b =12t −2，故n →=(t −2，12t −2，1)，设平面B 1EF 与平面ABC 所成的角为θ， 则|cosθ|=|cos〈AA 1→，n →〉|=|AA 1→⋅n →||AA 1→||n →|=44√(t−2)2+(12t−2)2+1=1√54t 2−6t+9，则sinθ=√1−cos 2θ=√1−154t 2−6t+9， 当t =125时，(sinθ)min =23， 所以平面B 1EF 与平面ABC 所成角正弦值的最小值为23，故D 错误．故选：ABC ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知3S 3＝S 2+2S 4，且a 4＝1，则公差d ＝ ﹣1 ． 解：设等差数列{a n } 的公差为d ，因为3S 3＝S 2+2S 4，a 4＝1，可得3（3a 1+3d ）＝2a 1+d +2（4a 1+6d ），即且a 4＝a 1+3d ＝1，解得d ＝﹣1．故答案为：﹣1．14．已知圆C 1：x 2+y 2﹣8x +7＝0和圆C 2：x 2+y 2+6y +m ＝0外离，则整数m 的一个取值可以是 7（答案不唯一） ．解：根据题意，圆C 1：x 2+y 2﹣8x +7＝0，即（x ﹣4）2+y 2＝9，其圆心为（4，0），半径为3； 圆C 2：x 2+y 2+6y +m ＝0，即x 2+（y +3）2＝9﹣m ，必有m ＜9， 其圆心为（0，﹣3），半径为√9−m ，若两圆外离，则有3+√9−m ＜5，解可得：m ＞5， 综合可得：5＜m ＜9，又由m 为整数，则m 的值为6、7、8，则m 的一个取值可以是7． 故答案为：7（答案不唯一）．15．两个正方形ABCD ，ABEF 的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，M 和N 分别是对角线AC 和BF 上的动点，则MN 的最小值为√33． 解：∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ，BC ⊥AB ，BC ⊂平面ABCD ， 根据面面垂直的性质定理知CB ⊥平面ABEF ，∴BC ⊥BE ，从而BC ，AB ，BE 两两垂直，如图建立空间直角坐标系，设A （1，0，0），C （0，0，1），F （1，1，0），E （0，1，0）， ∵CM ＝a ，BN ＝b ，(a ，b ∈[0，√2])，∴M(a √20，1−a √2)，N(b √2b√20)， MN =√(a √2b √2)2+(0−b √2)2+(1a √2)2=√a 2−√2a +1+b 2−ab =√(b −a 2)2+34(a −2√23)+13，当a =2√23，b =√23时，MN 最小，最小值为√33． 故答案为：√33． 16．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，l ：y =√3x 是C 的一条渐近线，P 是C 第一象限上的点，直线PF 1与l 交于点Q ，QF 1⊥QF 2，则tan∠F 1PF 22= √3−1 ．解：设∠F1PF2＝α，y=√3x的倾斜角为60°，即∠QOF2＝60°，由双曲线的渐近线方程可得ba=√3，则c=√a2+b2=2a，即e=c a=2，由QF1⊥QF2，可得∠PF1F2＝30°，∠PF2F1＝150°﹣α，在△PF1F2中，由正弦定理可得|PF1|sin∠PF2F1=|PF1|sin(150°−α)=|PF2|sin30°=|F1F2|sinα，则|PF1|−|PF2|sin(150°−α)−12=12cosα+√32sinα−12=2csinα，即有e=ca=12cosα+√32sinα−12=2，化为1﹣cosα＝（√3−1）sinα，即1−cosαsinα=2sin2α22sinα2cosα2=tanα2=tan∠F1PF22=√3−1．故答案为：√3−1．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的菱形，∠ABC=23π，PD⊥平面ABCD，PD＝1，M为PB的中点．（1）求证：平面MAC⊥平面PDB；（2）求CP与平面MAC所成角的正弦值．解：（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PD⊥AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵BD∩PD＝D，∴AC⊥平面PDB，∵AC⊂平面AMC，∴平面MAC⊥平面PDB；（2）过点P作PH⊥平面AMC，交平面AMC于点H，连接CH，则∠PCH是CP与平面MAC所成角，连接BD ，交AC 于O ，连接OM ，∵PD ∥OM ，∴PD ∥平面AMC ，∴PH 是点D 到平面AMC 的高， ∵PD ⊥平面ABCD ，∴OM ⊥OD ，∵平面AMC ⊥平面PDB ，平面AMC ∩平面PDB ＝OM ， ∴OD ⊥平面AMC ，∴PH ＝OD =12，PC =√2，设CP 与平面MAC 所成角为θ，则CP 与平面MAC 所成角的正弦值为sin θ=ODPC =122=√24．18．（12分）已知圆满足： ①截y 轴所得的弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1； ③圆心到直线l ：x ﹣2y ＝0的距离为√55．求该圆的方程．解：设所求圆心为P （a ，b ），半径为r ，则圆心到x 轴，y 轴的距离分别为|b |、|a |，因圆P 截y 轴得弦长为2，由勾股定理得r 2＝a 2+1，又圆被x 轴分成两段圆弧的弧长的比为3：1， ∴劣弧所对的圆心角为90°， 故r =√2b ，即r 2＝2b 2， ∴2b 2﹣a 2＝1①，又∵P （a ，b ）到直线x ﹣2y ＝0的距离为√55， 即√5=√55，即a ﹣2b ＝±1．② 解①②组成的方程组得：{a =1b =1或{a =−1b =−1，于是即r 2＝2b 2＝2， ∴所求的圆的方程为（x +1）2+（y +1）2＝2或（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝2． 19．（12分）已知数列{a n }满足a n+1=a n a n +1，a 1=12． （1）求证：数列{1a n}为等差数列； （2）设数列{a n }前n 项和为S n ，且S 2n ﹣S n ＞k 对任意的n ∈N *恒成立，求k 的取值范围． 解：（1）证明：由a n+1=a n a n +1，a 1=12，可得1a n+1=1a n+1， 即有数列{1a n}是首项为2，公差为1的等差数列； （2）1a n=2+n ﹣1＝n +1，则a n =1n+1，数列{a n}前n项和S n=12+13+...+1n+1，S2n=12+13+...+1n+1+1n+2+...+12n+12n+1，S2n﹣S n=1n+2+...+12n+12n+1，由S2n﹣S n＞k对任意的n∈N*恒成立，可得k＜（S2n﹣S n）min．设b n=1n+2+...+12n+12n+1，b n+1=1n+3+1n+4+...+12n+1+12n+2+12n+3，b n+1﹣b n=12n+2+12n+3−1n+2=3n+4(2n+2)(2n+3)(n+2)＞0，则n∈N*，S2n﹣S n递增，可得n＝1时，（S2n﹣S n）min=1 3，则k＜13，即k的取值范围是（﹣∞，13）．20．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax．（1）讨论f（x）的单调性；（2）求证：当a＞0时，f(x)+44√a．解：（1）因为f′（x）=1x−a，所以当a≤0时，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，当a＞0时，令f′（x）＝0，得x=1 a ，在（0，1a）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，在（1a，+∞）上f′（x）＜0，f（x）单调递减．综上所述，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，当a＞0时，f（x）在（0，1a）上单调递增，在（1a，+∞）上单调递减．（2）证明：由（1）知当a＞0时，f（x）max＝f（1a ）＝ln1a−1，只需要证（ln 1a −1）+44√a，即证√a+lna﹣3＞0，令g（a）=4√alna﹣3，则g′（a）=√a−2a√a，所以g（a）在（0，4）上单调递减，在（4，+∞）上单调递增，所以g（a）≥g（4）＝ln4﹣1＞0，所以f（x）+44√a ．21．（12分）已知点A(−√5，2)在双曲线C：x2a2−y2a2=1上，（1）求C 的方程；（2）如图，若直线l 垂直于直线OA ，且与C 的右支交于P 、Q 两点，直线AP 、AQ 与y 轴的交点分别为点M 、N ，记四边形MPQN 与三角形APQ 的面积分别为S 1与S 2，求S 1S 2的取值范围．解：（1）由点A(−√5，2)在双曲线C ：x 2a 2−y 2a 2=1上，可得5a 2−4a2=1，解得a 2＝1， 所以双曲线C 的方程为x 2﹣y 2＝1．（2）由直线l 垂直于OA ，可得直线l 的斜率k =−1k OA =√52， 设直线l 的方程为y =√52x +m 且P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），联立方程组{y =√52x +m x 2−y 2=1，整理得x 2+4√5mx +4(m 2+1)=0，因为直线l 与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点，所以{Δ=(4√5m)2−16(m 2+1)＞0x 1+x 2=−4√5m ＞0x 1x 2=4(m 2+1)＞0，解得m ＜−12，所以x 1+x 2=−4√5m ，x 1x 2=4(m 2+1)， 则|PQ|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+(√52)2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+(√52)2√(−4√5m)2−4×4(m 2+1)=6√4m 2−1，又由点A 到直线l ：√5x −2y +2m =0的距离为d =√5×√5−2×2+2m|√(√5)+(−2)=13|2m −9|， 所以S 2=12|PQ|⋅d =√4m 2−1⋅|2m −9|，直线AP 的方程为y −2=1x 1+√5+√5)，令x ＝0，可得y M =√5⋅(1x 1+√5)+2， 直线AQ 的方程为y −2=2x 2+5+√5)，令x ＝0，可得y N =√5⋅(2x 2+5)+2， 则|MN|=|y M −y N |=√5|1x 1+52x 2+5=√5|√52x 1+m−2x 1+5√52x 2+m−2x 2+5=√5|122(x 1+√5)(x 2+√5)=√5|√22x 1x 2+2√5(x 1+x 2)+10=√5|(2m−9)√(−4√5m)−16(m 2+1)8(m 2+1)+2√5⋅(−4√5m)+10=2√5⋅√4m 2−1|2m−1|，所以△AMN 的面积S 3=5⋅√4m 2−1|2m−1|，又由S 1S 2=S 2−S 3S 2=1−S 3S 2，得S 1S 2=1−5|(2m−1)(2m−9)|=1−5|4m 2−20m+9|，m ＜−12，令f(m)=4m 2−20m +9=4(m −52)2−16，可得函数f （m ）在(−∞，−12)上单调递减，且f(−12)=20，所以f （m ）＞20，所以S 1S 2∈(34，1)，即S 1S 2的取值范围为(34，1)．22．（12分）设函数f （x ）＝（x ﹣2）e ax ．（1）若曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程为y ﹣3x +b ＝0，求a ，b 的值； （2）若当x ＞0时，恒有f （x ）＞﹣x ﹣2，求实数a 的取值范围； （3）设n ∈N *时，求证：312+22+522+32+⋯+2n+1n 2+(n+1)2＜ln(n +1)．解：（1）由f （x ）＝（x ﹣2）e ax ，得f ′（x ）＝e ax +a （x ﹣2）e ax ，则f （0）＝﹣2，f ′（0）＝1﹣2a ，即切点坐标为（0，﹣2），切线的斜率k ＝1﹣2a ， 由曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程为y ﹣3x +b ＝0， 可得{−2−3×0+b =01−2a =3，解得a ＝﹣1，b ＝2．（2）由g （x ）＝f （x ）+x +2＝（x ﹣2）e ax +x +2， 得g ′（x ）＝e ax +a （x ﹣2）e ax +1＝（ax ﹣2a +1）e ax +1， 由题意可知，当x ＞0时，恒有g （x ）＞0，且g （0）＝0， 则g ′（0）＝1﹣2a +1≥0，解得a ≤1，若a ≤1，则当a ＜0时，g(x)=(x −2)e ax +x +2=(x +2)e ax (x−2x+2+e −ax )=(x +2)e ax (1−4x+2+e −ax )，因为x ＞0，所以（x +2）e ax ＞0， 令ℎ(x)=1−4x+2+e −ax ，则h （x ）＞h （0）＝0，即g （x ）＝（x +2）e ax h （x ）＞0，符合题意； 当a ＝0时，则g （x ）＝x ﹣2+x +2＝2x ＞0在（0，+∞）内恒成立，符合题意；当0＜a ≤1时，令φ（x ）＝g ′（x ），则φ′（x ）＝ae ax +a （ax ﹣2a +1）e ax ＝a （ax ﹣2a +2）e ax ， 因为x ＞0，则ax ﹣2a +2＞﹣2a +2≥0，e ax ＞0，可知φ′（x）＝a（ax﹣2a+2）e ax＞0在（0，+∞）内恒成立，则φ（x）在（0，+∞）内单调递增，可得φ（x）＞φ（0）＝2﹣2a≥0，则g（x）在（0，+∞）内单调递增，可得g（x）＞φ（0）＝0，符合题意；综上，实数a的取值范围为（﹣∞，1]．（3）证明：由（2）可知，当a≤1，x＞0时，（x﹣2）e ax+x+2＞0，令a＝1，可得（x﹣2）e x+x+2＞0，令t=e 12x＞1，则t2＝e x，x＝2lnt，则（2lnt﹣2）t2+2lnt+2＞0，所以t2−11+t2＜lnt，令t=n+1n＞1，n∈N∗，则(n+1n)2−11+(n+1n)2＜lnn+1n，所以2n+1n2+(n+1)2＜ln(n+1)−lnn，则312+22＜ln2−ln1，522+32＜ln3−ln2，⋯，2n+1n2+(n+1)2＜ln(n+1)−lnn，所以312+22+522+32+⋯+2n+1n2+(n+1)2＜ln(n+1)−ln1=ln(n+1)．。
2023-2024学年浙江省嘉兴市高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省嘉兴市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线x =√3的倾斜角为（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．π22．数列{a n }满足a n+1=1−1a n，a 1＝﹣1，则（ ） A ．a 1＜a 4B ．a 1＝a 4C ．a 2＜a 3D ．a 2＝a 33．抛物线y 2＝2x 的准线方程是（ ） A ．x =12B ．x ＝1C ．x =−12D ．x ＝﹣14．已知空间向量a →=(x ，4，1)，b →=(2，y ，−2)，且a →∥b →，则x +2y ＝（ ） A ．﹣17B ．﹣1C ．1D ．175．已知点P 为圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝1外一动点，过点P 作圆C 的两条切线P A ，PB ，切点分别为A ，B ，且P A ⊥PB ，则动点P 的轨迹方程为（ ） A ．（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝2 B ．（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝2 C ．（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝4D ．（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝46．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 24+y 23=1的两个焦点，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的不同的两点，则|AF 1|•|BF 2|的取值范围为（ ） A ．（2，3]B ．(3，72]C ．(72，4]D ．（3，4]7．如图，把正方形纸片ABCD 沿对角线AC 进行翻折，点E ，F 满足AD →=3AE →，CB →=3CF →，O 是原正方形ABCD 的中心，当∠EOF =2π3，直线AD 与BC 所成角的余弦值为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．158．已知数列{a n }和{b n }均为等差数列，它们的前n 项和分别为S n 和T n ，且a n ＞0，a n b n =n 2+36n ，S 23＝T 23，则a 1+b 1＝（ ） A ．272B ．312C ．372D ．412二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年福建省泉州市高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年福建省泉州市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知直线l 1的倾斜角为60°，且与直线l 2垂直，则直线l 2的斜率为（ ） A ．√3B ．−√3C ．√33D ．−√332．已知数列{a n }满足a 1=12，a n +1=11−a n（n ∈N *），则a 5的值为（ ）A ．2B ．12C ．−12D ．﹣13．椭圆绕长轴旋转所成的面为椭球面，椭球面镜一般指椭球面反射镜，老花眼镜、放大镜和胶片电影放映机聚光灯的反射镜等镜片都是这种椭球面镜片．从椭球面镜的一个焦点发出的光，经过椭球面镜反射后，必经过椭球面镜的另一个焦点．现有一个轴截面长轴长为24cm 的椭球面镜，从其一焦点发出的光经两次反射后返回原焦点，所经过的路程为（ ） A ．24cmB ．48cmC ．72cmD ．96cm4．四棱锥P ﹣ABCD 的底面为矩形，PC ⊥平面ABCD ，M 在棱PC 上，|AD →|=2，则AM →⋅BC →=（ ） A ．﹣4B ．4C ．−3√2D ．3√25．已知F 1，F 2为双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的两个焦点，P 为双曲线上的任意一点，若PF 1→⋅PF 2→的最小值为﹣a 2，则双曲线的离心率为（ ） A ．√2B ．√3C ．2D ．36．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 12＜S 11＜S 13，则使S n ＞0的最小整数n ＝（ ） A ．12B ．13C ．24D ．257．已知A （0，﹣1），B （0，2），若直线l ：y ＝ax +2上有且只有一点P 满足|PB |＝2|P A |，则a ＝（ ） A ．√33B ．√3C ．√33或−√33D ．√3或−√38．棱长为4的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为BD ，C 1B 1的中点，点P 在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的表面上运动，若MP ⊥CN ，则AP 的最大值为（ ） A ．4B ．6C ．√33D ．√41二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省汕头市潮阳区2023-2024学年高二上学期期末考试 数学含答案
潮阳区2023—2024学年度第一学期高二级教学质量监测试卷数学（答案在最后）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动用橡皮擦千净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡对应答题区域上．写在本试卷上无效．第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．拼音chao 所有字母组成的集合记为A ，拼音yang 所有字母组成的集合记为B ，则A B = （）A ．{}cB ．{}hC ．{}a D ．{}02．设31iiz +=，则z =（）A ．1B ．CD ．23．已知A 为抛物线C ：22y px =（0p >）上一点，点A 到C 的焦点的距离为8，到y 轴的距离为5，则p =（）A ．2B ．3C ．6D ．94．已知函数()21log 3xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若实数0x 是函数()f x 的零点，且100x x <<，则()1f x 的值（）A ．恒为正B ．等于0C ．恒为负D ．不大于05．设22tan 251tan 25a ︒=-︒，2sin 25cos 25b =︒︒，c =，则有（）A ．b c a <<B ．a b c<<C ．a c b<<D ．c b a<<6．若等差数列{}n a 的前项和为n S ，且10a >，3100a a +>，670a a <，则满足0n S >的最大自然数n 的值为（）A ．6B ．7C ．12D ．137．已知函数()()ln ln 2f x x x =+-，则（）A ．()f x 在()0,2单调递增B ．()f x 在()0,2单调递减C ．()y f x =的图像关于点()1,0对称D ．()y f x =的图像关于直线1x =对称8．如图，在一个单位正方形中，首先将它等分成4个边长为12的小正方形，保留一组不相邻的2个小正方形，记这2个小正方形的面积之和为1S ；然后将剩余的2个小正方形分别继续四等分，各自保留一组不相邻的2个小正方形，记这4个小正方形的面积之和为2S ．以此类推，操作n 次，若1220232024n S S S ++⋅⋅⋅+≥，则n 的最小值是（）A ．12B ．11C ．10D ．9二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．若直线y b =+与圆221x y +=相切，则b 的取值可以是（）A ．2-B ．C ．2D 10．已知一组样本数据1x ，2x ，…，15x ，其中2i x i =（1,2,,15i =⋅⋅⋅），由这组数据得到另一组新的样本数据1y ，2y ，…，15y ，其中20i i y x =-，则（）A ．两组样本数据的样本方差相同B ．两组样本数据的样本平均数相同C ．1y ，2y ，…，15y 样本数据的第30百分位数为10-D ．将两组数据合成一个样本容量为30的新的样本数据，该样本数据的平均数为511．在长方体1111ABCD A B C D -中，已知4AB =，12BC AA ==，点P 在线段1AD 上运动（不含端点），则下列说法正确的是（）A ．4,BP ⎡∈⎣B ．三棱锥111B A BC -的体积为83C ．平面11CD P ⊥平面1B CPD ．若点P 是线段1AD 的中点，则三棱锥P ABD -的外接球的表面积为20π12．设1F ，2F 为椭圆C ：2212516x y +=的两个焦点，()00,P x y 为C 上一点且在第一象限，()11,I x y 为12F PF △的内心，且12F PF △内切圆半径为1，则（）A ．2IP =B ．083y =C ．OI =D ．O 、I 、P 三点共线第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．将函数sin y x =的图象纵坐标不变，横坐标扩大为原来的3倍，则得到了函数为______．14．已知数列{}n a 为等比数列，11a =，516a =，则3a =______．15．如图，正方形ABCD 中，2DE EC =，P 是线段BE 上的动点且AP xAB y AD =+ （0x >，0y >），则31x y+的最小值为______．16．定义：点P 为曲线L 外的一点，A ，B 为L 上的两个动点，则APB ∠取最大值时，APB ∠叫点P 对曲线L 的张角．已知点P 为双曲线C ：2218y x -=上的动点，设P 对圆M ：()2231x y -+=的张角为θ，则cos θ的最小值为______．四、解答题：本题共6小题，第17题满分10分，其它5个小题满分均为12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin 2sin b A a B =．（1）求A ；（2）若2a =，ABC △，求ABC △的周长．18．（12分）2023年上海书展于8月16日至22日在上海展览中心举办．展会上随机抽取了50名观众，调查他们每个月用在阅读上的时长，得到如图所示的频率分布直方图：（1）求x 的值，并估计这50名观众每个月阅读时长的平均数；（2）用分层抽样的方法从[)20,40，[)80,100这两组观众中随机抽取6名观众，再若从这6名观众中随机抽取2人参加抽奖活动，求所抽取的2人恰好都在[)80,100这组的概率．19．（12分）已知正项数列{}n a 的前n 项和n S ，满足：212nn a S +⎛⎫= ⎪⎝⎭．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记n b =，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T ．20．（12分）如图，已知长方体1AC 中，1AB BC ==，12BB =，连接1B C ，过B 点作1B C 的垂线交1CC 于E ，交1B C 于F．（1）求证：1A C ⊥平面EBD ；（2）求点A 到平面11A B C 的距离；（3）求直线DE 与平面11A B C 所成角的正弦值．21．（12分）随着科技的发展，手机上各种APP 层出不穷，其中抖音就是一种很火爆的自媒体软件，抖音是一个帮助用户表达自我，记录美好生活的视频平台．在大部分人用来娱乐的同时，部分有商业头脑的人用抖音来直播带货，可谓赚得盆满钵满，抖音上商品的价格随着播放的热度而变化．经测算某服装的价格近似满足：()1012hb b J J J J ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，其中0J （单位：元）表示开始卖时的服装价格，J （单位：元）表示经过一定时间t （单位：天）后的价格，b J （单位：元）表示波动价格，h （单位：天）表示波动周期．某位商人通过抖音卖此服装，开始卖时的价格为每件120元，波动价格为每件20元，服装价格降到70元每件时需要10天时间．（1）求h 的值；（2）求服装价格降到60元每件时需要的天数．（结果精确到整数）参考数据：lg 20.3010≈22．（12分）已知1F ，2F 分别为椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点，椭圆E 的离心率为12，过2F 且不与坐标轴垂直的直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，1F AB △的周长为8．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过1F 且与l 垂直的直线l '与椭圆E 交于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最小值．潮阳区2023—2024学年度第一学期高二级教学质量监测试卷数学参考答案一､单项选择题：1．C 2．B3．C4．A5．D6．C7．D8．B二､多项选择题：9．AC10．AC11．BCD12．BC三､填空题：13．1sin 3y x=14．415．16316．12四、解答题：【解】由sin 2sin b A a B =，得2sin cos sin b A A a B =由正弦定理得：2sin sin cos sin sin B A A A B =，由于sin sin 0A B ≠，则1cos 2B =.因为0A π<<，所以3A π=.由余弦定理得：2222cosA a b c bc =+-，又2a =，则224b c bc =+-①又ABC △，则1sin 2bc A =即1sin 23bc π=4bc =②由①②得228b c +=，则222()28816b c b c bc +=++=+=，则4b c +=.所以ABC △的周长为6．18．【解】（1）由频率分布直方图得：()0.0040.020.0080.002201x ++++⨯=，解得0.016x =，阅读时长在区间[20,40),[40,60),[60,80),[80,100),[100,120]内的频率分别为0.08,0.32,0.40,0.16,0.04，所以阅读时长的平均数0.08300.32500.40700.16900.0411065.2x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（2）由频率分布直方图，得数据在[)[)20,40,80,100两组内的频率比为0.004:0.0081:2=，则在[)20,40内抽取2人，记为12,A A ，在[)80,100内抽取4人，记为1234,,,B B B B ，从这6名志愿者中随机抽取2人的不同结果如下：()()()()()()()()()121112131421222324,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B A B A B ()()()()()()121314232434,,,,,,,,,,,B B B B B B B B B B B B ，共15个，其中抽取的2人都在[)80,100内的有()()()()()()121314232434,,,,,,,,,,,B B B B B B B B B B B B ，共6个，所以所抽取2人都在[)80,100内的概率62155P ==．19．【解】（1）当1n =时，21112a a +⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得11a =．当2n ≥时，由212n n a S +⎛⎫= ⎪⎝⎭①，可得21112n n a S --+⎛⎫= ⎪⎝⎭，②①-②得：2211422n n n n n a a a a a --=-+-，即()()1120n n n n a a a a --+--=．0n a > ，12n n a a -∴-=．{}n a ∴是以1为首项，以2为公差的等差数列，∴数列{}n a 的通项公式1(1)221n a n n =+-⨯=-．（2）由（1）可得2(121)2n n nS n +-==，111(1)1n b n n n n ∴==-++1211111111112233411n n T b b b n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++⋅⋅⋅+=-+-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1111nn n =-=++20．【解】（1）如图，分别以AB ，AD ，1AA 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，()()()()()10,0,0,0,0,2,1,0,0,0,1,0,1,1,0A A B D C ，()11,0,2B ，因为E 在1CC 上，故可设()1,1,E t ，又1BE B C ⊥，所以()()10,1,0,1,20120BE B C t t ⋅=⋅-=+-= ，解得12t =，所以11,1,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1111,1,2,0,1,,1,0,22A C BE DE ⎛⎫⎛⎫∴=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()11·1011202A C BE =⨯+⨯+-⨯= ，()11·1110202A C DE =⨯+⨯+-⨯= 11,AC BE AC DE ∴⊥⊥ ，即11,A C BE A C DE ⊥⊥BE DE E = ，,BE DE ⊂平面EBD ．所以1A C ⊥平面EBD ．（2）设平面11A B C 的一个法向量为(),,m x y z = ，()()1111,0,0,0,1,2A B B C ==-，则111·0·0A B m B C m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，02x y z =⎧∴⎨=⎩，令1z =，得()0,2,1m = ，()10,0,2AA = ，所以所求的距离为1·AA m d m === （3）由（2）知，()0,2,1m = ，11,0,2ED ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，ED设与m 所成角为θ，则·1sin 5·m ED m ED θ==所以直线ED 与平面11A B C 所成角的正弦值为15．21．【解】（1）在()012htb b J J J J ⎛⎫=+-⎪⎝⎭中，070,20,120,10b J J J t ====，则有()1017020120202h⎛⎫=+-⎪⎝⎭，整理得102121h⎛⎫=⎪⎝⎭，即101h=，解得10h =，所以h 的值为10．（2）由（1）知，101220100t J ⎛⎫⎪⎝⎭=+，当60J =时，10201006012t ⎛⎫= ⎪⎭+⎝，即有105122t⎛⎫= ⎪⎝⎭，取常用对数得：12lg lg 1025t =，解得()10lg 5lg 21110210213.22lg 2lg 20.3010t -⎛⎫⎛⎫==-≈≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而N t *∈，则14t =，所以服装价格降到60元每件时需要14天．22．【解】（1）解：由题意，椭圆E 的离心率为12，可得12c a =，又由椭圆的定义，可知1248AB AF AF a ++==，所以2a =，所以1c =，又因为222a b c =+，所以23b =，所以椭圆E 的标准方程为22143x y +=．（2）解：设()()1122,,A x y B x y ，直线l 的方程为1x my =+，由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()2234690m y my ++-=，则有122634m y y m -+=+，122934y y m -⋅=+，故221 1234m AB m +===⨯+，同理，直线l '的方程为11x y m=--，设()33,C x y ，()44,D x y ，则222211112123434m m CD m m++=⨯=⨯++，所以四边形ABCD 的面积：22221117223443m m S AB CD m m ++==⨯⨯++()()22221172311411m m m m ++=⨯⨯+++-2272113411m m =⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭，因为222221134114911341124m m m m ⎛⎫++-⎪⎛⎫⎛⎫+++-≤= ⎪ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，当且仅当21m =时，等号成立，所以227228811493411S m m =≥⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭，。
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与椭圆 M有两个不同的交点 A， B．
（Ⅰ）求椭圆 M的方程；
（Ⅱ）将 | AB| 表示为 m的函数，并求△ OAB面积的最大值（ O为坐标原点）．
20．（ 10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，动点 P 与两定点 A（﹣ 2，0）， B（2， 0）连线的斜率之积为﹣ P 的轨迹为曲线 C．
，记点
8 / 16
【解答】解：如图，当动点 大，
P 在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，
P 对两个焦点的张角∠ F1PF2 渐渐增
当且仅当 P点位于短轴端点 P0 处时，张角∠ F1PF2 达到最大值．
∵椭圆上存在点 P 使得∠ F1PF2 是钝角，
∴△ P0F1F2 中，∠ F1P0F2 ＞90°，
（Ⅰ）求曲线 C的方程；
（Ⅱ）若过点（﹣
， 0）的直线 l 与曲线 C交于 M， N两点，曲线 C上是否存在点 E使得四边形 OMEN为平行四
边形？若存在，求直线 l 的方程，若不存在，说明理由．
数学试题答案
一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1． 【分析】通过抛物线的标准方程，直接求出抛物线的焦点坐标即可．
＝ +＝ ．
故选： C． 【点评】本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5．
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【分析】 ＝（ 4， 2， 3）是直线 l 的方向向量， 与平面 α 的位置关系是相交但不垂直．
＝（﹣ 1， 3， 0）是平面 α 的法向量，由
≠ 0，得到直线 l
【解答】解：∵ ＝（ 4， 2， 3）是直线 l 的方向向量，
|
y|+
0．
①请写出曲线 W的一条对称轴方程
；
②曲线 W上的点的横坐标的取值范围是
．
三、解答题共 6 题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15．（ 15 分）已知复数 z1＝ a+2i ， z2＝ 3﹣4i （ a∈R， i 为虚数单位）．
（Ⅰ）若 z1?z2 是纯虚数，求实数 a 的值；
＜ a21﹣ a1＝ 20d≤ 6，解得 d 的范围，则答案可求．
【解答】解：由椭圆
＝1，得 a＝5， b＝ 4，则 c＝
．
由已知可得等差数列是增数列，则 a1≥ | FP1| ＝ 5﹣ 3＝2， a21≤ | FP21| ＝ 5+3＝ 8， ∴ a21＝a1+20d，∴ 0＜ a21﹣ a1＝ 20d≤ 6， 解得 0＜ d≤ ．
∴ c＝
，
∴ e＝
＝，
求得 m＝ 2， 故选： B． 【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．应熟练掌握双曲线标准方程中， 4． 【分析】根据向量三角形法则、向量共线定理即可得出． 【解答】解：连接 AF， E， F 分别是 BC，CD的中点，
a， b 和 c，及离心率 e 的关系．
则 + （ ﹣ ）＝ +
∴ d 的最大值为 ．
故选： B． 【点评】本题考查了椭圆的定义及其性质、等差数列的通项公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，
属于中档题． 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 9． 【分析】利用复数代数形式的乘除运算变形，再由复数相等的条件求解． 【解答】解：由（ a+bi ） i ＝﹣ b+ai ＝2+3i ， 得﹣ b＝ 2，a＝ 3，即 a＝ 3，b＝﹣ 2． 故答案为： 3，﹣ 2． 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．
（Ⅱ）若复数
在复平面上对应的点在第二象限，求实数
a 的取值范围．
16．（ 15 分）如图，三棱柱 ABC﹣ A1B1C1 中， CC1⊥平面 ABC， AC⊥AB， AB＝ AC＝ 2， CC1＝4， D为 BC的中点． （Ⅰ）求证： AC⊥平面 ABB1A1； （Ⅱ）求证： A1C∥平面 ADB1； （Ⅲ）求平面 ADB1 与平面 ACC1A1 所成锐二面角的余弦值．
在 B 中，当 P 与 A1 重合时，∠ APD1＝ ，∴∠ APD1 的取值范围不是（ 0， ），故 B错误；
在 C 中，∵△ B1D1C 的面积是定值， P 到平面 B1D1C 的距离是定值，
∴三棱锥 B1﹣D1PC的体积为定值，故 C正确；
在 D 中，∵ DC1⊥ D1C， DC1⊥ BC，
D1C∩ BC＝ C，∴ DC1⊥平面 BCD1A1，∴ DC1⊥ D1P，故 D正确．
关系是（
）
A．垂直
B．平行
C．直线 l 在平面 α 内
D．相交但不垂直
6．“ m≠ 0”是“方程 x2﹣ y2＝ m表示的曲线为双曲线”的（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
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7．如图，棱长为 1 的正方体 ABCD﹣ A1B1C1D1 中， P 为线段 A1B 上的动点，则下列结论错误的是（
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10． 【分析】根据两点间的距离公式，进行计算即可． 【解答】解：空间直角坐标系中，点 M（1， 0， 1）， N（﹣ 1， 1， 2），
所以线段 AB的长度为 | MN| ＝
＝．
故答案为： ． 【点评】本题考查了空间直角坐标系中两点间的距离公式的应用问题，是基础题目． 11．
【分析】已知双曲线的渐近线方程的双曲线系方程，可设双曲线方程为：
【点评】本题考查了椭圆的简单几何性质，考查数形结合的数学思想，属于中档题． 14． 【分析】①利用曲线方程，通过（ x，﹣ y）代入方程，推出过程中即可． ②利用绝对值的范围，求解横坐标的范围．
）
A．平面 D1A1P⊥平面 A1AP B．∠ APD1 的取值范围是（ 0， ） C．三棱锥 B1﹣ D1PC的体积为定值 D． DC1⊥D1P
8．设 F 是椭圆
＝ 1 的右焦点，椭圆上至少有 21 个不同的点 Pi （ i ＝ 1， 2， 3，…）， | P1F| ，| P2F| ，
| P3F| ，…组成公差为 d（ d＞ 0）的等差数列，则 d 的最大值为（
【解答】解：由
＝
．
所以
的共轭复数为 1﹣ i ．
故选： B．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
3．
【分析】先根据双曲线方程可知 的值．
a 和 b，进而求得 c，则双曲线离心率的表达式可得，最后根据离心率为
2 求得 m
【解答】解：根据双曲线
＝ 1 可知 a＝ ， b＝ ，
【解答】解：∵
＝ ++ ，
∴
? ＝（ + +
）？ ＝ ＝ 1
故答案为： 1．
【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．
13．
【分析】当动点 P 在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，
P 对两个焦点的张角∠ F1PF2 渐渐增大，当且仅
当 P 点位于短轴端点 P0 处时，张角∠ F1PF2 达到最大值，由此可得结论．
△ B1D1C 的面积是定值， P 到平面 B1D1C 的距离是定值，从而三棱锥 由 DC1⊥D1 C， DC1⊥ BC，得 DC1⊥平面 BCD1A1，从而 DC1⊥ D1P．
B1﹣D1PC的体积为定值，故 C 正确；在 D 中，
【解答】解：在 A 中，∵ A1D1⊥平面 A1AP， A1 D1? 平面 D1A1P，∴平面 D1A1 P⊥平面 A1AP，故 A 正确；
17．（ 13 分）已知抛物线 C：y2＝ 2px（ p＞ 0）的准线方程为 x＝﹣ ， F 为抛物线的焦点． （Ⅰ）求抛物线 C的方程； （Ⅱ）若 P是抛物线 C上一点，点 A 的坐标为（ ， 2），求 | PA|+| PF| 的最小值； （Ⅲ）若过点 F 且斜率为 1 的直线与抛物线 C交于 M， N两点，求线段 MN的中点坐标． 18．（ 14 分）如图，在四棱锥 P﹣ ABCD中，底面 ABCD为正方形，平面 PAD⊥底面 ABCD， PD⊥ AD， PD＝AD， E 为棱
【解答】解：因为抛物线 x2＝ 8y， P＝ 4，
，所以抛物线 x2＝8y 的焦点坐标是（ 0， 2）．
故选： A．
【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．解本题的关键是判断出抛物线的焦点坐标所在坐标轴以及方向．
4 / 16
2． 【分析】首先利用复数的除法运算化简，然后取徐不得相反数的其共轭复数．
故选： B．
6 / 16
【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力， 考查数形结合思想，是中档题．
8．
【分析】由已知知这个等差数列是增数列，则
a1≥| FP1| ＝ 5﹣ 3＝ 2， a21≤ | FP21| ＝ 5+3＝ 8，又 a21＝ a1+20d，可得 0
D．2﹣ 2i
3．已知双曲线
＝ 1 的离心率为 ，则 m＝（ ）
A． 4
B． 2
C．
D．1
4．如图，在空间四边形 ABCD中，设 E， F 分别是 BC， CD的中点，则 + （ ﹣ ）等于（
）
A．
B．
C．
D．
5．若 ＝（ 4， 2， 3）是直线 l 的方向向量， ＝（﹣ 1， 3， 0）是平面 α 的法向量，则直线 l 与平面 α 的位置
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）
9．已知 a， b∈ R， i 是虚数单位，（ a+bi ） i ＝ 2+3i ，则 a＝