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函数的极限(高等数学课件
极限存在的充分条件
通过研究极限存在的充分条件，我们能够判断函数极限是否存在，从而分析函数的性质。
极限不存在的充分条件
极限不存在的充分条件揭示了函数在某一点无法达到收敛状态的原因，帮助我们理解函数的特性。
极限的计算方法
通过掌握极限的计算方法，我们能够简化复杂函数的分析，快速求得函数在某一点的极限值。
无穷远处的极限研究函数在无穷远处的行为，了解函数在无穷远的趋势和特征。
函数连续的定义
函数连续的定义是描述函数在一个区间内各点之间没有突变，平滑过渡的性质。
极限的性质
通过研究极限的性质，我们能够推导出一些重要的定理和计算方法，深入理解函数的行为。
夹逼定理
夹逼定理是一种重要的判断函数极限存在与计算的方法，让我们能够找到极限或证明其不存在。
极限的唯一性
极限的唯一性告诉我们，函数在某一点的极限只可能有一个确定的值，没有 歧义性。
极限的应用：导数和积分的概念
函数极限的应用非常广泛，例如在微积分中，导数和积分的概念都是基于极限的。
中值定理
中值定理是一组重要的定理，它揭示了函数在某一区间内的行为特点，是函 数研究的重要工具。
极值和最值的定义
极限与无的行为，探讨函数的无限增长和无限减小。
极限与无穷小
极限与无穷小研究函数在某一点附近的变化，帮助我们分析函数的微小变化 和趋势。
L'Hôpital法则
L'Hôpital法则是一种处理函数极限的重要方法，适用于特定的极限计算。
渐近线的定义与分类
渐近线研究函数在无穷远处的趋势，分为水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近 线三种。
函数的极限(高等数学课 件)
探索函数极限的奥秘，从基本的概念到应用、定理和计算方法，打开数学世 界的大门。
函数的极限【高等数学PPT课件】
A(或f
( x0
0)
A)
右极限: 定理1
lim
xx0
f (x)
A(或f (x0
0)
A)
lim f (x) A lim f (x) lim f (x) A
xx0
xx0
xx0
x sin x, x 0
例1
试问函数f ( x)
10, x 0
(c) Sketch the graph of F.
例2 lim sin x不存在 x
lim sin 1 不存在.
x0
x
y sin 1 x
思考与练习
1. 若极限 lim f ( x) 存在, 是否一定有
x x0
lim f ( x) f ( x0 ) ？
x x0
2. 设函数 f ( x) a x2, x 1 且 2x 1, x 1
lim f ( x)
x1
存在, 则 a 3 .
3.Let F (x) x 2 1 .
x 1
(a) Find (i) lim F (x) x 2 1 .
x1
x 1
(ii) lim x1
F(x)
x2 1 .
x 1
(b) Does lim F(x). exist?
x1
lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x) 不存在.
x0
x0
x0
二、函数极限的性质
1.惟一性
定理1 (极限的惟一性) 如果函数极限
存在，则极限值惟一.
2.有界性
定理2 (局部有界性)
如果极限 lim f (x) xx0
大学高数第一章函数和极限ppt课件
lim 3x
x
28
2、当 x x0 时函数极限
定义 1.6 设函数在点 x0 附近有定义（但在这一点可以没有
定义），若 x （ x x0 ）无论以怎样的方式趋近于 x0 ，函
数 f (x) 都无限趋近于一个常数 A ，就称当 x 趋近于 x0 时，
函数以 A 为极限，记为：
lim f (x) A 或
解：由于函数表达式中带有| x | ，
y
所以要分别求函数的左右极限。
因为： lim | x | lim x 1，
x x0
x x0
lim | x | lim x 1，
x
x x0
x x0
左右极限不相等，所以， lim | x | 不存在. x0 x
也可以从函数的图像上明确地看出该函数的极限不存在
变量 u 称为中间变量。
如：y sin3 x 可视为 y u3,u sin x 复合而成的 复合函数。 类似地，可以定义多于两重复合关系的复合函数。
11
例 已知 y arcsin[ln(x 1)]
（1）分析 y 的复合结构；（2）求 y 的定义域.
解：(1) y arcsinu ， u ln v ， v x 1
常见的周期函数有：sin x 、cos x 、tan x ，cot x
前两者周期为 2 ，后两者周期为 。
9
5.函数的有界性
若存在某个正数 M ，使得不等式 f (x) M
对于函数 f (x) 的定义域 D 内的一切 x 值都成立，则称函数 f (x) 在定义域内是有界函数； 如果这样的正数 M 不存在，则称函数 f (x) 在定义域 D 内是
考研高数总复习函数的极限(讲义)PPT课件
无穷小是函数极限的必要条件，即如果函数在某点的极限存在，那么函数在该点的值必定是无穷小。
无穷小与函数极限的关系是相互依存的，无穷小是函数极限的一种表现形式，而函数极限又是无穷小的 一种表现形式。
无穷小在求极限中的应用
利用无穷小的性质，可以将复杂的函数极限转化为简单的无穷小量，从而 简化计算过程。
在求函数极限时，可以利用等价无穷小替换，将复杂的函数表达式替换为 简单的无穷小量，从而得到更易处理的极限表达式。
利用极限的四则运算法则，消去零因子，化 简函数形式，再求极限。
利用两个重要极限求解
利用重要极限$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$求解：当函数 形式为$frac{sin x}{x}$时，可以利用此重要极限求解。
利用重要极限$lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0$求解：当函数 形式为$frac{1}{x}$时，可以利用此重要极限求解。
考研高数总复习函数的极限(讲义 )ppt课件
contents
目录
• 函数极限的基本概念 • 函数极限的求解方法 • 函数极限的应用 • 函数极限的深入理解 • 总结与展望
01 函数极限的基本概念
函数极限的定义
1 2
函数极限的定义
当自变量趋近某一特定值时，函数值的变化趋势。
函数极限的表示方法
lim f(x) = A，表示当x趋近于某个值时，f(x)趋 近于A。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
在物理学中，函数极限被用来描述物体运动的速度、加速度等概念；在 工程中，函数极限被用来描述信号的变化趋势；在经济中，函数极限被
用来描述市场的变化趋势。
通过对函数极限的学习，我们可以更好地理解和应用这些概念，为未来 的学习和工作打下坚实的基础。
无穷小与函数极限的关系是相互依存的，无穷小是函数极限的一种表现形式，而函数极限又是无穷小的 一种表现形式。
无穷小在求极限中的应用
利用无穷小的性质，可以将复杂的函数极限转化为简单的无穷小量，从而 简化计算过程。
在求函数极限时，可以利用等价无穷小替换，将复杂的函数表达式替换为 简单的无穷小量，从而得到更易处理的极限表达式。
利用极限的四则运算法则，消去零因子，化 简函数形式，再求极限。
利用两个重要极限求解
利用重要极限$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$求解：当函数 形式为$frac{sin x}{x}$时，可以利用此重要极限求解。
利用重要极限$lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0$求解：当函数 形式为$frac{1}{x}$时，可以利用此重要极限求解。
考研高数总复习函数的极限(讲义 )ppt课件
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目录
• 函数极限的基本概念 • 函数极限的求解方法 • 函数极限的应用 • 函数极限的深入理解 • 总结与展望
01 函数极限的基本概念
函数极限的定义
1 2
函数极限的定义
当自变量趋近某一特定值时，函数值的变化趋势。
函数极限的表示方法
lim f(x) = A，表示当x趋近于某个值时，f(x)趋 近于A。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
在物理学中，函数极限被用来描述物体运动的速度、加速度等概念；在 工程中，函数极限被用来描述信号的变化趋势；在经济中，函数极限被
用来描述市场的变化趋势。
通过对函数极限的学习，我们可以更好地理解和应用这些概念，为未来 的学习和工作打下坚实的基础。
极限的概念ppt课件
x 时，y ex 0 为无穷小量
由函数图形可知
x 0时，y e x 1 x 时，y e x 0
为无穷小量
x 时，y e x
x
为无穷大量
例2：指出当 x 趋于何值时， y是无穷小量？
(1) y x 1 (2) y ln x (3) y ex 1
y
y
y x1
y ln x
(1)
lim
2x2
2x
1
lim
2
2 x
1 x2
200 2
(2)
x
lim
x
x2 5x 4 x2 4 lim x 2 x
x 1 5
1
4 x2
x
1 x
2 x2
4 x2
100
x2
(3)
lim
x
x2
4
lim x
1 x
2 x2
1
4 x2
0
从而可以总结出下列规律：
设P( x)、Q( x)分别是n次和m次多项式，则
-1
-0.5
sin x lim x x
y ex
0.5
1
(1) lim( x2 2x 3) 11 x2
(2) lim ex 1 x0
2.4
ln10
2.3
2.2
2.1
y ln( x 9)
-2
-1
1
2
3
0.8 0.6 0.4 0.2
-0.2
y sin x x
2
3
4
5
(3) limln( x 9) ln10 x1
lim f ( x) A
x
lim f ( x) B
由函数图形可知
x 0时，y e x 1 x 时，y e x 0
为无穷小量
x 时，y e x
x
为无穷大量
例2：指出当 x 趋于何值时， y是无穷小量？
(1) y x 1 (2) y ln x (3) y ex 1
y
y
y x1
y ln x
(1)
lim
2x2
2x
1
lim
2
2 x
1 x2
200 2
(2)
x
lim
x
x2 5x 4 x2 4 lim x 2 x
x 1 5
1
4 x2
x
1 x
2 x2
4 x2
100
x2
(3)
lim
x
x2
4
lim x
1 x
2 x2
1
4 x2
0
从而可以总结出下列规律：
设P( x)、Q( x)分别是n次和m次多项式，则
-1
-0.5
sin x lim x x
y ex
0.5
1
(1) lim( x2 2x 3) 11 x2
(2) lim ex 1 x0
2.4
ln10
2.3
2.2
2.1
y ln( x 9)
-2
-1
1
2
3
0.8 0.6 0.4 0.2
-0.2
y sin x x
2
3
4
5
(3) limln( x 9) ln10 x1
lim f ( x) A
x
lim f ( x) B
函数的极限-课件
函数的极限-PPT课件
通过这个PPT课件，我们将深入了解函数的极限，探讨其定义、性质、求解方 法、连续性以及应用领域，帮助您更好地理解和应用相关知识。
什么是函数的极限
函数的极限是指随着自变量趋近某个特定值，函数取值的趋势。我们将讨论 其定义和概念，以及极限的基本性质。
如何求解函数的极限
重要极限公式、极限的运算法则以及夹逼定理等是求解函数极限的关键工 具。我们将学习它们的应用方法。
参考资料
常用函数极限表格
提供常见函数的极限值和性质的表格，作为学 习和记忆的参考。
相关专业书籍和资料
推荐一些深入学习函数极限的专业书籍和学术 资料，供进一步研究使用。
函数的极ห้องสมุดไป่ตู้与连续性
极限存在的充分条件
我们将研究函数极限存在的条件，并探讨它们与函 数连续性之间的关系。
极限与函数的连续性
了解极限与函数连续性之间的关联，以及在函数图 像上的表现。
函数极限的应用
1 极限与导数的关系
探索函数的极限与导数之间的联系，以及这种联系在微积分中的重要性。
2 极限在微积分中的应用
了解如何使用函数极限解决微积分问题，例如求曲线的切线、曲线的变率等。
3 极限在实际问题中的应用
通过实际问题案例，展示函数极限在科学、工程、经济等领域的实际应用。
练习与总结
练习题解析
通过解析一些典型练习题，加深对函数极限的理解 和应用能力。
总结和回顾
总结已学习的知识点，回顾整个课程，确保对函数 的极限有全面的理解。
通过这个PPT课件，我们将深入了解函数的极限，探讨其定义、性质、求解方 法、连续性以及应用领域，帮助您更好地理解和应用相关知识。
什么是函数的极限
函数的极限是指随着自变量趋近某个特定值，函数取值的趋势。我们将讨论 其定义和概念，以及极限的基本性质。
如何求解函数的极限
重要极限公式、极限的运算法则以及夹逼定理等是求解函数极限的关键工 具。我们将学习它们的应用方法。
参考资料
常用函数极限表格
提供常见函数的极限值和性质的表格，作为学 习和记忆的参考。
相关专业书籍和资料
推荐一些深入学习函数极限的专业书籍和学术 资料，供进一步研究使用。
函数的极ห้องสมุดไป่ตู้与连续性
极限存在的充分条件
我们将研究函数极限存在的条件，并探讨它们与函 数连续性之间的关系。
极限与函数的连续性
了解极限与函数连续性之间的关联，以及在函数图 像上的表现。
函数极限的应用
1 极限与导数的关系
探索函数的极限与导数之间的联系，以及这种联系在微积分中的重要性。
2 极限在微积分中的应用
了解如何使用函数极限解决微积分问题，例如求曲线的切线、曲线的变率等。
3 极限在实际问题中的应用
通过实际问题案例，展示函数极限在科学、工程、经济等领域的实际应用。
练习与总结
练习题解析
通过解析一些典型练习题，加深对函数极限的理解 和应用能力。
总结和回顾
总结已学习的知识点，回顾整个课程，确保对函数 的极限有全面的理解。
函数极限ppt课件
在常数A 对于任意给定的正数e 总存在正数d 使得当x
满足不等式0<|x-x0|d 时 对应的函数值f(x)都满足不等式 |f(x)-A|e
那么常数A就叫做函数f(x)当xx0时的极限 记为
lim
x x0
f(x)A
或
f(x) A(当
x
x0
)
•定义的简记形式
lim
x x0
f(x)A或fe(x>)0 Ad(x>0x当0)。0<|x-x0|<d
但f(g(x))在x0时无极 . 限
取 x n 2 n 1,x n 0 ,而 y n f( g ( x n ) )f( 0 ) 0 .
取 x n 2 n1 +,x n 0 ,而 y n f(g (x n ) )f(2 n+ 2 ) 1 . 2
取 xnn22(n1,2, )n , +, xn +, 且s有 inxnsin n)(0 0.
取xn(2n+2)2(n1,2, ),n+ ,xn+ ,
且有 sinxn
sin2n(+)11.
2
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铃
❖收敛函数的运算法则 •定理5(四则运算法则)
自变量的同一变化过程中，若lim f(x)A lim g(x)B 那么
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铃
例例33
求 lim
x3
x-3 x2 -9
解解 lim x - 3 lim x - 3 lim 1 x 3 x 2 - 9 x 3 (x - 3)(x + 3) x 3 x + 3
lim 1
x3
1
满足不等式0<|x-x0|d 时 对应的函数值f(x)都满足不等式 |f(x)-A|e
那么常数A就叫做函数f(x)当xx0时的极限 记为
lim
x x0
f(x)A
或
f(x) A(当
x
x0
)
•定义的简记形式
lim
x x0
f(x)A或fe(x>)0 Ad(x>0x当0)。0<|x-x0|<d
但f(g(x))在x0时无极 . 限
取 x n 2 n 1,x n 0 ,而 y n f( g ( x n ) )f( 0 ) 0 .
取 x n 2 n1 +,x n 0 ,而 y n f(g (x n ) )f(2 n+ 2 ) 1 . 2
取 xnn22(n1,2, )n , +, xn +, 且s有 inxnsin n)(0 0.
取xn(2n+2)2(n1,2, ),n+ ,xn+ ,
且有 sinxn
sin2n(+)11.
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❖收敛函数的运算法则 •定理5(四则运算法则)
自变量的同一变化过程中，若lim f(x)A lim g(x)B 那么
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例例33
求 lim
x3
x-3 x2 -9
解解 lim x - 3 lim x - 3 lim 1 x 3 x 2 - 9 x 3 (x - 3)(x + 3) x 3 x + 3
lim 1
x3
1
函数的极限06146PPT精品文档33页
证:
故
取
当
时 , 必有
因此
函数在某变化过程是否存在极限与函数 在该点是否有定义无关， 因为函数极限是考察函数在某去心邻域内的变化趋势。
北京邮电大学 软件学院 练习 p37 5-(1) 5
例4. 证明: 当
时
证:
欲使
而
可用
m x 0 i,n x 0 ,则当
只要
且
保证 . 故取 时, 必有
因此
问题:
如 何 语 言 刻 画 x 的 过 程 .：
X0>0, x X0
如何用数学语言刻划函数“无限接近”
f(x )A 表f(示 x )A 任;意
北京邮电大学 软件学院
13
定义2. 设函数 A 为函数
大于某一正数时有定义, 若 则称常数
时的极限, 记作
几何解释:
北京邮电大学 软件学院
14
例8. 证明 lim sin x 0
limf(x)A
x
0,X0,当 xX时, 有
f(x)A
limf(x)A
x
0,X0,当 xX时, 有
f(x)A
几何意义: 直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的水平渐近线 .
例如，f(x)1, g(x) 1
x
1x都有水平渐近线 y0;1y 11 x
又如，f(x ) 1 2 x , g (x ) 1 2 x
11 2x 1x 2x
都有水平渐近线 y 1
北京邮电大学 软件学院
16
命题：limf(x)A x
limf(x)A
x
limf(x)A
x
例 讨 论lim(arctanx)(11)
x
《高中数学-函数与极限》课件PPT
我们将学习一些常用的极限公式和定理，如幂函数的极限、三角函数的极限和指数函数的极限等。
1
幂函数的极限
特定幂函数的极限计算方法。
2
三角函数的极限
特定三角函数的极限计算方法。
3
指数函数的极限
特定指数函数的极限计算方法。
数列极限的概念和性质
我们将学习数列极限的概念和性质，如收敛数列和发散数列的判定。
1 数列极限的定义
高中数学-函数与极限
在本课程中，我们将深入探讨函数与极限的概念，掌握函数的性质和极限的 计算方法，并学习如何应用极限解决数学问题。
函数的概念和分类
函数是数学中的一个重要概念，我们将学习函数的定义、图像以及分类，如线性函数、二次函数和指数函数等。
线性函数
函数图像呈直线，具有常量斜率。
二次函数
函数图像呈抛物线，具有二次项。
2 极大值和极小值
判定函数在某一区间内的最大值和最小值。
1 无穷大
表示函数在某一点的函数值无限增大。
2 无穷小
表示函数在某一点的函数值无限接近于零。
极限等价性
我们将学习极限等价性的概念和应用，以及利用极限等价性求解复杂极限。
1 极限等价性的定义
2 极限等价性的应用
描述两个函数在某一点附近极限的相似性质。
通过极限等价性简化复杂极限的求解过程。
常用极限公式和定理
描述数列中的数值无限接 近某一值的情况。
2 收敛数列
数列逐渐趋近某一值。
3 发散数列
数列无限远离某一值。
数列极限的计算方法
我们将学习常见的数列极限计算方法，如等差数列和等比数列的极限计算。
1
等差数列的极限
求解等差数列的极限值。
一章函数与极限PPT资料29页
N
nK
从而有 xnk a ,由此证明 lki mxnk a.
说明: 由此性质可知 , 若数列有两个子数列收敛于不同的极 限 , 则原数列一定发散 . 例如，
xn(1)n1(n1,2,)发散 !
kl i m x2k11;
kl i mx2k 1
内容小结
1. 数列极限的 “ – N ” 定义及应
n
100010000
一般地，不论给定的正数 多么小，总存在一个正整数N，
当n>N时，总有不等式 | xn 1|
（距离要多小的就会有多小，或说：要多近就有多近）
定义: 自变量取正整数的函数称为数列, 记作 xn f(n)
或 x n . x n 称为通项(一般项) . 若数列 x n 及常数 a 有下列关系 :
qn10
故
limqn1 0
n
二、收敛数列的性质
ba ba
2
2
1. 收敛数列的极限唯一.
a ab
2
b
证: 用反证法. 假设 lnim xn a 及 lnimxn b, 且 a b.
取
ba 2
,
因
lnimxn a, 故存在 N1 , 使当 n > N1 时,
xnab2a,
从而
xn
ab 2
同理, 因 lnimxn b, 故存在 N2 , 使当 n > N2 时, 有
证: 用反证法.
假设数列 x n 收敛 , 则有唯一极限 a 存在 .
取
1 2
,则存在 N , 使当 n > N
时, 有
a1 2x na1 2
a
1 2
a
a
1 2
但因 x n 交替取值 1 与－1 , 而此二数不可能同时落在
函数与极限_.ppt
有界数列不一定收敛.
定理3
收敛的数列的保号性.
设 lim x a , 且 a 0 ( or a 0 ), 那么存在 N 0 正 , n
n
当 n N 时 ,都x 有 0 ( x 0 ). n n
证
a 不妨 a 设 0 ,对 , 2
a 则 N , 使得 n N 时 当 恒 x a 有 , n 2 a a 即有 a x a . n 2 2
第二节 数列极限
(Limits of Sequences)
自然界中有很多量仅仅通过有限次的算术运算 是计算不出来的，而必须通过分析一个无限变化趋 势才能求得结果，这正是极限概念和极限方法产生 的客观基础。本节中我们将介绍微积分发展史中的 两个典型问题，在解决这两个问题的过程中，孕育 了极限思想，并产生了微积分的两个分支------微分 学和积分学。
2 . x b x a n n
上式仅当 a b 时才能成立 .故收敛数列极限唯一.
20.03.2019 17
n 1 例4 证明数列 x ( 1 ) 是发散的 . n 1 lim x a , 由定义, 对于 , 证 设 n n 2 1 则 N , 使得当 n N 时 , 有 x a 成立 , n 2 1 1 即当 n N 时 , x ( a , a ), 区间长度为1. n 2 2 而 x 无休止地反复取 1 , 1 两个数 , n
例如,
x 数 轴 上 对 应 于 有 界 数 列 的 点 落 在 闭 区 间 n都
[ M ,M ] 上 .
20.03.2019
19
定理2
收敛的数列必定有界.
lim x a , 取 证 设 1 , n n
第一章函数与极限共83页文档
Y{(x,0)| x1}
f : XY
显然,
对每个 (x,y)X, 有唯一确定的
(x,0)Y 与它对应. f 是映射.
y
(x, y)
它的定义域 D f X
它的值域 R f Y
-1
x
o (x,0) 1
例3 设 f:[,][1,1]
22
对每个 x[ ,], f(x)sinx
例如
RR{x (,y)|x R 且 y R }
即: xoy面上的全体点的集合, 即:整个 xoy平面 通常记
RRR2
研究某个问题一般是限定在一个大的集合中进行的,
这个大的集合称为全集,记为 I
设 AI 称 I \ A 为集合 A的余集或补集,记为 Ac
即 Ac I \ A
例如，A{x|0x6}, IR
比如， 开始下落的时刻为 t 0
t 0
s
t
落地的时刻为 t T
它的定义域是什么？ [0,T]
t T
（2） 抽象地用算式表达的函数
约定： 这种函数的定义域是使得算式有意义的一切实数 所组成的集合 这样的定义域称为自然定义域。
在这一约定下，一般的用算式表达的函数可用
"yf(x)" 表达， 不必再写为
这种法则 确定了一个多值函数。
例如： 设变量 x和 y 之间的对应法则由方程
x2y2r2 给出.
对每个 x[r,r] , 由方程 x2y2r2
可确定出对应的 y 值: y r2x2
当 xr或r时，对应于 y 0 (一个值) 当 x(r , r)时，对应于
y r2x2,yr2x2 (两个值) 这是一个多值函数. 可化为单值函数来研究.
22
函数与极限ppt课件
21
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(3) 有界性
设函数 f (x)的定义域为 D, 数集 X D,
常数 M 0，使得 对 x X , 有 f (x) M,
则称 f ( x)在X上有界. 否则称为无界.
y
M y = f (x)
OX
x
-M
若 f ( x) 在D上有界, 则称 f (x) 为有界函数.
二、 区间与邻域
区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a,b R,且a b.
{x a x b} 称为开区间, 记作 (a,b)
oa
b
x
{x a x b} 称为闭区间, 记作 [a,b]
oa
b
x
8
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半开区间
表示法：
(1) 列举法：按某种方式列出集合中的全体元素 .
例:
有限集合
A a1
, a2
, , an
ai
n i 1
自然数集 N 0, 1 , 2 , , n, n
(2) 描述法：M x x 所具有的特征 例: 整数集合 Z x x N 或 x N 实数集合 R x x 为有理数或无理数
一般地，函数的周期性主要是指三角函数，如
y=sinx，y=cosx 的最小正周期是2π，
y=tanx, y=cotx 的最小正周期是π．
27
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注意：两个周期函数的和或积是不是周期函数，取 决于这两个周期函数的周期之比是否是有理数.
例 下列函数是不是周期函数.
(1) f ( x) sin x
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2.2 函数的极限
重点内容： 1 函数极限的概念 (解析定义) 2 极限存在的充要条件 3 分段函数在分段点处的极限
数列 (特殊的函数)的极限
函数的极限
在自变量的某个变化过程中， 如果函数值无限接近于某个确 定的数，则这个确定的数就称 为在这一变化过程中的函数的 极限.
一、函数极限的定义
y f (x)在自变量x的某个变化过程中有 什么样的变化趋势
x
x
x
例1 证明 lim sin x 0. x x
y sin x x
证
sin x 0 sin x
x
x
1 x
0,要 | sin x 0 | , 只要 1 , 即 | x | 1 ,
x
|x|
取X
1,
则当 x X时恒有 sin x 0 ,
x
故 lim sin x 0. x x
若 x ，则称 x趋于无穷大，记为 x
自变量趋向无穷大时函数的极限——引例1
观察函数 sin x 当 x 时的变化趋势. x
自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函数 sin x 当 x 时的变化趋势. x
自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函数 sin x 当 x 时的变化趋势. x
有水平渐进线 y =a .
lim (1 1 ) 1 lim (1 1 ) 1 lim(1 1 ) 1
x
x
x
x
x
x
注：x 趋于无穷大表示它既趋于正无穷大，又
趋于负无穷大
定理1：lim f ( x) 存在的充分必要条件是 x
lim
x
f
(
x)
和
lim
x
f
(x)
均存在且相等．
lim f ( x) a lim f ( x) lim f ( x) a
自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函数 sin x 当 x 时的变化趋势. x
自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函数 sin x 当 x 时的变化趋势. x
自变量趋向无穷大时函数的极限——引例2
x 时,函数f (x) 1 的值无限接近于0; x
x 时,函数f (x) 1 的值也无限接近于常数0. x
x
lim 1 0及 lim 1 0
x x
x x
y
lim arctan x , lim arctan x
x
2 x
2
2 y arctan x
O
x
2
x 时f (x) arctan x变化趋势
定义1：若当 x 时, f ( x) 的值与常数 A
无限地接近，则称当 x 时，f ( x)
以A为极限，记作
lim
x
f
(x)
A
定义2(解析定义)：若存在常数A, 对 0
ห้องสมุดไป่ตู้ 0 ，当 x X 时，都有
f ( x) A ，则称当 x 时，
f
( x)以A为极限，记作
lim
x
f
(x)
A
" X "定义 lim f ( x) A x
0,X 0,使当 x X时,恒有 f ( x) A .
自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函数 sin x 当 x 时的变化趋势. x
自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函数 sin x 当 x 时的变化趋势. x
自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函数 sin x 当 x 时的变化趋势. x
自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函数 sin x 当 x 时的变化趋势. x
x
2
lim arctan x不存在
x
lim arctan x
x
2
(二)、自变量趋向有限值时函数的极限
当x从左侧无限接近于2时,
若x取1.99,1.999,1.9999, 2时,
对应的函数f (x)从2.995, 2.9995, 2.99995, 3; 当x从右侧无限接近于2时,
若x取2.1, 2.01, 2.001, 2.0001, 2时,
lim sin x 0. x x
几何解释:
y sin x x
A
X
X
当x X或x X时, 函数 y f ( x)图形完全落在以
直线y A 0为中心线, 宽为2的带形区域内.
例2：观察反正切函数的图像
y /2
y=arctanx
O
x
-/2
写出自变量三种变化情况下函数的极限.
lim arctan x
lim f ( x) A
x
0, X 0, 使当x X时, 恒有 f ( x) A .
lim f ( x) A
x
0, X 0,使当x X时, 恒有 f ( x) A .
极 限 lim f ( x) A和 lim f ( x) A称 为 单 侧 极 限.
x
x
lim f ( x) A
几何解释
y
a
-X
O
lim f ( x) ＝a x - 时，曲线 y = f (x)
x
有水平渐进线 y =a 。
lim f ( x) A
x
0,X 0,使当 x X时,恒有 f ( x) A .
几何解释
y
a
-X
O
X
x lim f ( x)＝a x 时， 曲线 y = f (x) x
(1)x , x x
(2)x x0 ,即x无限趋近于x0 ,但不等于x0 , x x0 0; x x0 0.
(一) 自变量趋向无穷大时函数的极限
记法：若 x 0 且沿x 轴正向趋于 ，则称
x趋于正无穷大，记为 x
同理：若 x 0 且沿x 轴负向趋于 ，则称
x趋于负无穷大，记为 x
x
0, X 0, 使当x X时, 恒有 f ( x) A .
几何解释 y
a+ y=f(x)
a
a-
O
X
x
lim f ( x)＝a x + 时，
x
曲线y = f (x) 有水平渐进线 y =a .
lim f ( x) A
x
0, X 0,使当x X时, 恒有 f ( x) A .
y y1x2 2
3
对应的函数f (x)从3.05,3.005,3.0005,3.00005 3 2
当x的绝对值无限增大时, f (x)的值无限接近于0.
y
O
x
x 时f (x) 1 变化趋势 x
定义1 如果当x (或x )时,函数f (x)无限接近于一
个确定的常数A, 那么称A为函数f (x)当x (或x )时极限
记作 lim f (x) A,简记x , f (x) A x
(或 lim f (x) A,简记x , f (x) A.)
重点内容： 1 函数极限的概念 (解析定义) 2 极限存在的充要条件 3 分段函数在分段点处的极限
数列 (特殊的函数)的极限
函数的极限
在自变量的某个变化过程中， 如果函数值无限接近于某个确 定的数，则这个确定的数就称 为在这一变化过程中的函数的 极限.
一、函数极限的定义
y f (x)在自变量x的某个变化过程中有 什么样的变化趋势
x
x
x
例1 证明 lim sin x 0. x x
y sin x x
证
sin x 0 sin x
x
x
1 x
0,要 | sin x 0 | , 只要 1 , 即 | x | 1 ,
x
|x|
取X
1,
则当 x X时恒有 sin x 0 ,
x
故 lim sin x 0. x x
若 x ，则称 x趋于无穷大，记为 x
自变量趋向无穷大时函数的极限——引例1
观察函数 sin x 当 x 时的变化趋势. x
自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函数 sin x 当 x 时的变化趋势. x
自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函数 sin x 当 x 时的变化趋势. x
有水平渐进线 y =a .
lim (1 1 ) 1 lim (1 1 ) 1 lim(1 1 ) 1
x
x
x
x
x
x
注：x 趋于无穷大表示它既趋于正无穷大，又
趋于负无穷大
定理1：lim f ( x) 存在的充分必要条件是 x
lim
x
f
(
x)
和
lim
x
f
(x)
均存在且相等．
lim f ( x) a lim f ( x) lim f ( x) a
自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函数 sin x 当 x 时的变化趋势. x
自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函数 sin x 当 x 时的变化趋势. x
自变量趋向无穷大时函数的极限——引例2
x 时,函数f (x) 1 的值无限接近于0; x
x 时,函数f (x) 1 的值也无限接近于常数0. x
x
lim 1 0及 lim 1 0
x x
x x
y
lim arctan x , lim arctan x
x
2 x
2
2 y arctan x
O
x
2
x 时f (x) arctan x变化趋势
定义1：若当 x 时, f ( x) 的值与常数 A
无限地接近，则称当 x 时，f ( x)
以A为极限，记作
lim
x
f
(x)
A
定义2(解析定义)：若存在常数A, 对 0
ห้องสมุดไป่ตู้ 0 ，当 x X 时，都有
f ( x) A ，则称当 x 时，
f
( x)以A为极限，记作
lim
x
f
(x)
A
" X "定义 lim f ( x) A x
0,X 0,使当 x X时,恒有 f ( x) A .
自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函数 sin x 当 x 时的变化趋势. x
自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函数 sin x 当 x 时的变化趋势. x
自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函数 sin x 当 x 时的变化趋势. x
自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函数 sin x 当 x 时的变化趋势. x
x
2
lim arctan x不存在
x
lim arctan x
x
2
(二)、自变量趋向有限值时函数的极限
当x从左侧无限接近于2时,
若x取1.99,1.999,1.9999, 2时,
对应的函数f (x)从2.995, 2.9995, 2.99995, 3; 当x从右侧无限接近于2时,
若x取2.1, 2.01, 2.001, 2.0001, 2时,
lim sin x 0. x x
几何解释:
y sin x x
A
X
X
当x X或x X时, 函数 y f ( x)图形完全落在以
直线y A 0为中心线, 宽为2的带形区域内.
例2：观察反正切函数的图像
y /2
y=arctanx
O
x
-/2
写出自变量三种变化情况下函数的极限.
lim arctan x
lim f ( x) A
x
0, X 0, 使当x X时, 恒有 f ( x) A .
lim f ( x) A
x
0, X 0,使当x X时, 恒有 f ( x) A .
极 限 lim f ( x) A和 lim f ( x) A称 为 单 侧 极 限.
x
x
lim f ( x) A
几何解释
y
a
-X
O
lim f ( x) ＝a x - 时，曲线 y = f (x)
x
有水平渐进线 y =a 。
lim f ( x) A
x
0,X 0,使当 x X时,恒有 f ( x) A .
几何解释
y
a
-X
O
X
x lim f ( x)＝a x 时， 曲线 y = f (x) x
(1)x , x x
(2)x x0 ,即x无限趋近于x0 ,但不等于x0 , x x0 0; x x0 0.
(一) 自变量趋向无穷大时函数的极限
记法：若 x 0 且沿x 轴正向趋于 ，则称
x趋于正无穷大，记为 x
同理：若 x 0 且沿x 轴负向趋于 ，则称
x趋于负无穷大，记为 x
x
0, X 0, 使当x X时, 恒有 f ( x) A .
几何解释 y
a+ y=f(x)
a
a-
O
X
x
lim f ( x)＝a x + 时，
x
曲线y = f (x) 有水平渐进线 y =a .
lim f ( x) A
x
0, X 0,使当x X时, 恒有 f ( x) A .
y y1x2 2
3
对应的函数f (x)从3.05,3.005,3.0005,3.00005 3 2
当x的绝对值无限增大时, f (x)的值无限接近于0.
y
O
x
x 时f (x) 1 变化趋势 x
定义1 如果当x (或x )时,函数f (x)无限接近于一
个确定的常数A, 那么称A为函数f (x)当x (或x )时极限
记作 lim f (x) A,简记x , f (x) A x
(或 lim f (x) A,简记x , f (x) A.)