函数与极限ppt 下载

x
2
lim arctan x不存在
x
lim arctan x
x
2
(二)、自变量趋向有限值时函数的极限
当x从左侧无限接近于2时,
若x取1.99,1.999,1.9999, 2时,
对应的函数f (x)从2.995, 2.9995, 2.99995, 3; 当x从右侧无限接近于2时,
若x取2.1, 2.01, 2.001, 2.0001, 2时,
有水平渐进线 y =a .
lim (1 1 ) 1 lim (1 1 ) 1 lim(1 1 ) 1
x
x
x
x
x
x
注：x 趋于无穷大表示它既趋于正无穷大，又
趋于负无穷大
定理1：lim f ( x) 存在的充分必要条件是 x
lim
x
f
(
x)
和
lim
x
f
(x)
均存在且相等．
lim f ( x) a lim f ( x) lim f ( x) a
x
0, X 0, 使当x X时, 恒有 f ( x) A .
几何解释 y
a+ y=f(x)
a
a-
O
X
x
lim f ( x)＝a x + 时，
x
曲线y = f (x) 有水平渐进线 y =a .
lim f ( x) A
x
0, X 0,使当x X时, 恒有 f ( x) A .
lim sin x 0. x x
几何解释:
y sin x x
A
X
X
当x X或x X时, 函数 y f ( x)图形完全落在以
直线y A 0为中心线, 宽为2的带形区域内.
例2：观察反正切函数的图像
y /2
y=arctanx
O
x
-/2
写出自变量三种变化情况下函数的极限.
lim arctan x
以A为极限，记作
lim
x
f
(x)
A
定义2(解析定义)：若存在常数A, 对 0
X 0 ，当 x X 时，都有
f ( x) A ，则称当 x 时，
f
( x)以A为极限，记作
lim
x
f
(x)
A
" X "定义 lim f ( x) A x
0,X 0,使当 x X时,恒有 f ( x) A .
若 x ，则称 x趋于无穷大，记为 x
自变量趋向无穷大时函数的极限——引例1
观察函数 sin x 当 x 时的变化趋势. x
自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函数 sin x 当 x 时的变化趋势. x
自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函数 sin x 当 x 时的变化趋势. x
当x的绝对值无限增大时, f (x)的值无限接近于0.
y
O
x
x 时f (x) 1 变化趋势 x
定义1 如果当x (或x )时,函数f (x)无限接近于一
个确定的常数A, 那么称A为函数f (x)当x (或x )时极限
记作 lim f (x) A,简记x , f (x) A x
(或 lim f (x) A,简记x , f (x) A.)
自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函数 sin x 当 x 时的变化趋势. x
自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函数 sin x 当 x 时的变化趋势. x
自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函数 sin x 当 x 时的变化趋势. x
自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函数 sin x 当 x 时的变化趋势. x
自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函数 sin x 当 x 时的变化趋势. x
自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函数 sin x 当 x 时的变化趋势. x
自变量趋向无穷大时函数的极限——引例2
x 时,函数f (x) 1 的值无限接近于0; x
x 时,函数f (x) 1 的值也无限接近于常数0. x
2.2 函数的极限
重点内容： 1 函数极限的概念 (解析定义) 2 极限存在的充要条件 3 分段函数在分段点处的极限
数列 (特殊的函数)的极限
函数的极限
在自变量的某个变化过程中， 如果函数值无限接近于某个确 定的数，则这个确定的数就称 为在这一变化过程中的函数的 极限.
一、函数极限的定义
y f (x)在自变量x的某个变化过程中有 什么样的变化趋势
y y1x2 2
3
对应的函数f (x)从3.05,3.005,3.0005,3.00005 3 2
x
lim 1 0及 lim 1 0
x x
x x
y
lim arctan x , lim arctan x
x
2 x
2
2 yБайду номын сангаас arctan x
O
x
2
x 时f (x) arctan x变化趋势
定义1：若当 x 时, f ( x) 的值与常数 A
无限地接近，则称当 x 时，f ( x)
lim f ( x) A
x
0, X 0, 使当x X时, 恒有 f ( x) A .
lim f ( x) A
x
0, X 0,使当x X时, 恒有 f ( x) A .
极 限 lim f ( x) A和 lim f ( x) A称 为 单 侧 极 限.
x
x
lim f ( x) A
几何解释
y
a
-X
O
lim f ( x) ＝a x - 时，曲线 y = f (x)
x
有水平渐进线 y =a 。
lim f ( x) A
x
0,X 0,使当 x X时,恒有 f ( x) A .
几何解释
y
a
-X
O
X
x lim f ( x)＝a x 时， 曲线 y = f (x) x
x
x
x
例1 证明 lim sin x 0. x x
y sin x x
证
sin x 0 sin x
x
x
1 x
0,要 | sin x 0 | , 只要 1 , 即 | x | 1 ,
x
|x|
取X
1,
则当 x X时恒有 sin x 0 ,
x
故 lim sin x 0. x x
(1)x , x x
(2)x x0 ,即x无限趋近于x0 ,但不等于x0 , x x0 0; x x0 0.
(一) 自变量趋向无穷大时函数的极限
记法：若 x 0 且沿x 轴正向趋于 ，则称
x趋于正无穷大，记为 x
同理：若 x 0 且沿x 轴负向趋于 ，则称
x趋于负无穷大，记为 x