函数的单调区间的求法
高中数学讲义：求函数的单调区间
函数的单调区间单调性是函数的一个重要性质，对函数作图起到决定性的作用，而导数是分析函数单调区间的一个便利工具。
求一个已知函数的单调区间是每一个学生的必备本领，在求解的过程中也要学会一些方法和技巧。
一、基础知识：1、函数的单调性：设()f x 的定义域为D ，区间I D Í，若对于1212,,x x I x x "Î<，有()()12f x f x <，则称()f x 在I 上单调递增，I 称为单调递增区间。
若对于1212,,x x I x x "Î<，有()()12f x f x >，则称()f x 在I 上单调递减，I 称为单调递减区间。
2、导数与单调区间的联系（1）函数()f x 在(),a b 可导，那么()f x 在(),a b 上单调递增()',()0x a b f x Þ"γ， 此结论可以这样理解：对于递增的函数，其图像有三种类型： ，无论是哪种图形，其上面任意一点的切线斜率均大于零。
等号成立的情况：一是单调区间分界点导数有可能为零，例如：()2f x x =的单调递增区间为[)0+¥，，而()'00f =，另一种是位于单调区间内但导数值等于零的点，典型的一个例子为()3f x x =在0x =处的导数为0，但是()0,0位于单调区间内。
（2）函数()f x 在(),a b 可导，则()f x 在(),a b 上单调递减()',()0x a b f x Þ"Σ，（3）前面我们发现了函数的单调性可以决定其导数的符号，那么由()',()x a b f x "Î，的符号能否推出()f x 在(),a b 的单调性呢？如果()f x 不是常值函数，那么便可由导数的符号对应推出函数的单调性。
确定函数的单调性方法
确定函数的单调性方法
确定函数的单调性有以下几种方法：
1. 使用导数：对于可导函数，可以通过求导数来确定函数的单调性。
如果导数大于零，则函数是递增的；如果导数小于零，则函数是递减的。
2. 使用二阶导数：对于二次可导函数，可以通过求二阶导数来确定函数的单调性。
如果二阶导数大于零，则函数是凹的，即在该区间上递增；如果二阶导数小于零，则函数是凸的，即在该区间上递减。
3. 使用基本不等式：对于一些特定的函数，可以使用基本不等式来确定函数的单调性。
例如，对于正数的平方根函数，可以使用平均值不等式来证明它的单调性。
4. 使用图像：对于一些简单的函数，可以通过绘制函数的图像来确定函数的单调性。
通过观察图像的上升或下降趋势，可以确定函数的单调性。
需要注意的是，以上方法只能确定函数在某个特定的区间上的单调性。
对于整个定义域上的单调性，可能需要结合多个区间的单调性来确定。
单调性极值及判定最大值最小值
思考题解答 结论不成立. 因为最值点不一定是内点.
例 y f ( x) x x [0,1] 在 x 0 有最小值，但 f (0) 1 0
y
y
y
oa
bx o a
bx o a
bx
步骤:
1.求驻点和不可导点;
2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比 较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个 就是最小值;
注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就 是最值.(最大值或最小值)
二、应用举例
例1 求函数 y 2x3 3x2 12x 14 的在[3,4] 上的最大值与最小值.
驻点和不可导点统称为临界点.
函数的极值必在临界点取得.
第一充分条件;
判别法
(注意使用条件)
第二充分条件;
函数的最大值 与最小值
一、最值的求法
若函数 f ( x) 在 [a, b] 上连续，除个别点外处处可导， 并且至多有有限个导数为零的点，则 f ( x) 在 [a, b] 上的最大值与最小值存在 .
1 x f ( x)在[0,)上连续,且(0,)可导，f ( x) 0,
在[0,)上单调增加； f (0) 0,
当x 0时，x ln(1 x) 0, 即 x ln(1 x).
试证当x 0时, x arctanx.
证 : 设f (x) x, g(x) arctanx,
G(x) f (x) g(x),则
解 f ( x) 6( x 2)(x 1)
解方程 f ( x) 0,得 x1 2, x2 1.
计算 f (3) 23;
f (2) 34;
f (1) 7;
f (4) 142;
y 2x3 3x2 12x 14
34 函数的单调性、凹凸性与极值
(2)求拐点的方法
方法: 设函数f ( x )在 x0的邻域内二阶可导, 且 f ′′( x0 ) = 0, 则有：
1) x0 两近旁f ′′( x )变号, 点( x0 , f ( x0 ))为拐点;
2) x0 两近旁f ′′( x )不变号, 点( x0 , f ( x0 ))不是拐点.
例9 求曲线 y = 3 x 4 − 4 x 3 + 1 的拐点及凹、凸的区间. 解 易见函数的定义域为 ( −∞ ,+∞ ),
定理4 (第一充分条件) 设函数 f ( x ) 在点 x0 的某个邻域内连续并且 可导(导数 f ′( x0 ) 也可以不存在), (1)如果在点 x0的左邻域内 f ′( x ) > 0; 在点 x0的右 邻域内 f ′( x ) < 0, 则 f ( x ) 在 x0 处取得极大值 f ( x0 ); (2)如果在点 x0的左邻域内 f ′( x ) < 0; 在点 x0的右 邻域内 f ′( x ) > 0, 则 f ( x ) 在 x0 处取得极小值 f ( x0 ); (3)如果在点 x0的邻域内, 在 x0处没有极值.
例3
2 3 y = x 讨论函数 的单调区间.
解 Q D : ( −∞ ,+∞ ).
y′ = 32 ( x ≠ 0), 3 x 当 x = 0 时， 导数不存在.
当 x < 0时，y′ < 0,
∴ 在 ( −∞ , 0]上单调减少；
当 x > 0时，y′ > 0,
∴ 在 [0, +∞ )上单调增加；
向上凸：图形 上任意弧段位 于所张弦的上 方
定义 设 f ( x ) 在区间 I 内连续,
x1 + x 2 f ( x1 ) + f ( x 2 ) ∀x1 , x2 ∈ I , 恒有 f ( )< , 2 2 则称 f ( x ) 在 I 上的图形是(向上)凹的. x1 + x 2 f ( x1 ) + f ( x 2 ) ∀x1 , x2 ∈ I , 恒有 f ( )> , 2 2
含参数的函数单调区间的求法浅析
例１ ： 求函数 ） ＝ ÷ 一 ２ ａ ｘ 。 ＋ ２ ｘ ＋ １ 的 单调区间．
Ｊ
解： ‘ ． ‘ ／ （ ）＝ 一 ４ 似＋ ２ ， △＝ １ ６ ａ 一 ８
摘 要： 求函数 ， ， ＝ ， （ ） 的单调区间， 事实上就是在其定义域的范围内解不等式， （ ） ＞ Ｏ或， （ ） ＜ ０ 。而含参数的函数的单调 区 间就 涉及到舍参 不等式， （ ） ＞ Ｏ 或， （ ） ＜ Ｏ的分类讨论 问题 。常遇到的分类标准有哪些呢？笔者下面通过几道例题予以说明。 关键词 ： 参数 ； 函数 ； 单调 区间
『 二
，
２ 、 当口 ＝ Ｏ时 ， ‘ ． ‘ ， （ ）＝ ３ ｘ ≥Ｏ ， 则函数， （ ） 的单 增 区 间 为 （一 ∞ ， ＋∞） ； 不 等 式 一 ４ 似＋ ２ ＞ Ｏ的 解集为 （－ 一 ∞， ２ ａ 一￣ ， ， ４ 口 一 ２ ） Ｕ（ ２ ａ ３ 、 当口 ＞ ０时 ， 。 ＜ ： ， 函数 ， （ ） 的单增区间为 （ 一ａ Ｏ， ０ ） 和
语 数外学 习
Ｎｏ ． ０ ９． ２ ０ １ ３
Ｙ ｕ Ｓ ｈ ｕ ｒ ａ ｉ Ｘ ｕ ｅ Ｘ ｉ
２ ０ １ ３年第 ９期
含 参 数 的 函数 单调 区 间的 求 法 浅 析
张 红
（ 巴彦淖 尔市杭锦 后旗奋斗 中学， 内蒙古 巴彦 淖尔 ０ １ ５ ４ ０ ０ ）
１
’
．
．
１
一
， （ ） ＝ ０的两 个根 为 ＝ ｏ ， ： ＝
函数单调性方法和各种题型
函数单调性奇偶性方法和各种题型总结一、单调性总结：(一)判断函数单调性的基本方法Ⅰ、定义法：定义域判断函数单调性的步骤：取值、作差（或商）变形、定号、判断。
例1：已知函数f(x)=x3+x,判断f(x)在(-∞，+∞)上的单调性并证明Ⅱ、直接法（一次函数、二次函数、反比例函数的单调可直接说出）：在公共区间内，增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数例2：判断函数y=-x+1+1/x在（0，+∞）内的单调性Ⅲ、图像法：说明：⑴单调区间是定义域的子集⑵定义x1、x2的任意性⑶代数：自变量与函数值同大或同小→单调增函数自变量与函数相对→单调减函数例3：y＝|x2＋2x－3|练习：(二)函数单调性的应用Ⅰ、利用函数单调性求连续函数的值域（最值） 根据增函数减函数的定义我们可得到如下结论：（1）若 f(x)在某定义域[a,b]上是增函数，则当x=a 时, f(x) 有最小值f(a)，当 x=b 时, f(x)有最大值 f(b)。
（2）若 f(x)在某定义域[a,b]上是减函数，则当x=a 时, f(x) 有最大值f(a)，当 x=b 时, f(x)有最小值 f(b)。
例1：求下列函数的值域 (1)y=x 2-6x+3, x ∈[-1,2] (2)y=-x 2+2x+2, x ∈[-1,4] 练习题：1.已知函数f(x)在区间[a,c]上单调减小，在区间[c,b]上单调增加,则f(x)在[a,b]上的最小值是 ( )2.数f(x)=4x 2-mx+5在区间[-2,+∞)上是增函数，则f(1)的取值范围是( )3、()有函数13+--=x x y存在、最大值、最小值都不，最小值、最大值，最小值、最大值，最小值、最大值D C B A 4-44-0044、](()()的值域为时，函数当1435,02+-=∈x x x f x()()][()()]()][5,5,323205,0f c D f f C f f B f f A 、、、、、⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎪⎭⎫ ⎝⎛ 5、求函数y=-x-6+ 的值域x -1Ⅱ、利用函数单调性求单调区间1、()________..62是的单调区间函数-+=x x x f2、()的递增区间是函数245x x y --=](][][)[∞+∞∞、、、、、、、、11-2-2--2--D C B A3、函数的增区间是（ ）。
如何利用导数讨论函数单调性？
高三复习：利用导数讨论函数单调性、求极值、最值1． 函数的单调性在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内是增加的；如果f ′(x )<0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内是减少的． 2． 函数的极值(1)判断f (x 0)是极值的方法一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时，①如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值； ②如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤 ①求f ′(x )；②求方程f ′(x )＝0的根；③检查f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值． 3． 函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上是增加的，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上是减少的，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．(3)设函数f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，求f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求f (x )在(a ，b )内的极值；②将f (x )的各极值与f (a )，f (b )进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．1． 若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________.2． 函数f (x )＝x 3＋ax －2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．3. 如图是y ＝f (x )导数的图像，对于下列四个判断：①f (x )在[－2，－1]上是增函数； ②x ＝－1是f (x )的极小值点；③f (x )在[－1,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数； ④x ＝3是f (x )的极小值点．4． 设函数g (x )＝x (x 2－1)，则g (x )在区间[0,1]上的最小值为( )A ．－1B ．0C ．－239D.335． (·辽宁)函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)典例透析题型一 利用导数研究函数的单调性 例1 已知函数f (x )＝x 3－ax 2－3x .(1)若f (x )在[1，＋∞)上是增加的，求实数a 的取值范围； (2)若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )的单调区间． 解探究提高(1)利用导数求函数f (x )的单调区间的一般步骤：①确定函数f (x )的定义域；②求导数f ′(x )《③在函数f (x )的定义域内解不等式f ′(x )>0和f ′(x )<0； ④根据③的结果确定函数f (x )的单调区间． (2) 要注意对含参数的函数的单调性进行讨论． 例2.（2018年新课标1）已知函数()1ln f x x a x x=-+.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：()()12122f x f x a x x -<--.1.如果函数()y f x =的图象如右图，那么导函数()y f x '=的图象可能是（ ）2.（2014广东文数）已知函数321()1()3f x x x ax a R =+++∈， 求函数()f x 的单调区间；3 .当0x >时,讨论函数2()xg x e x =-的单调性例3.（2017年新课标1）已知函数)f x =（a e 2x+(a ﹣2) e x ﹣x .（1）讨论()f x 的单调性；练习1.若函数f (x ) =e x (x 2- 2x + 1- a ) - x 恒有2个零点， 则a 的取值范围是 ()A. (-1e ，+∞) B. (-∞,1) C. (0，1e ) D. (-∞，-1e )2.. (安徽)设f (x )＝e x 1＋ax 2，其中a 为正实数． (1)当a ＝43时，求f (x )的极值点； (2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围． 解2.（2020年新课标1理科）已知函数2()e x f x ax x =+-. （1）当a =1时，讨论f （x ）的单调性； （2）当x ≥0时，f （x ）≥12x 3+1，求a 的取值范围.3.(2021年新高考1)22. 已知函数()()1ln f x x x =-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e a b<+<.A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1. 若函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图像如图所示，则y ＝f (x )的图像可能为( )2． 设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则( )A ．a <－1B ．a >－1C ．a >－1eD ．a <－1e3． 函数f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( )A ．－2B ．0C ．2D ．44． 若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)内为减函数，在区间(6，＋∞)内为增函数，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．a ≤2 B ．5≤a ≤7 C ．4≤a ≤6 D ．a ≤5或a ≥7二、填空题(每小题5分，共15分)5． 已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为________．6． 已知函数f (x )＝(m －2)x 2＋(m 2－4)x ＋m 是偶函数，函数g (x )＝－x 3＋2x 2＋mx ＋5在(－∞，＋∞)内单调递减，则实数m ＝________.7． 函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3[(a ＋2)x ＋1]有极大值又有极小值，则a 的取值范围是________．B 组 专项能力提升一、选择题(每小题5分，共15分)1．(2012·重庆)设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图像可能是( )2． 函数y ＝x e －x ，x ∈[0,4]的最小值为( )A ．0 B.1eC.4e4D.2e23． f (x )是定义在R 上的偶函数，当x <0时，f (x )＋x ·f ′(x )<0，且f (－4)＝0，则不等式xf (x )>0的解集为( )A ．(0,4)B ．(－4,4)C ．(－∞，－4)∪(0,4)D ．(－∞，－4)二、填空题(每小题5分，共15分)4． 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c (x ∈[－2,2])对应的曲线C 过坐标原点，且在x ＝±1处切线的斜率均为－1，则f (x )的最大值和最小值之和等于________．5． 设函数f (x )＝p ⎝⎛⎭⎫x －1x －2ln x (p 是实数)，若函数f (x )在其定义域内是增加的，则实数p 的取值范围为______．6． 已知函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围是________．。
证明函数的单调性的步骤
证明函数的单调性的步骤
利用定义证明函数单调性的步骤
①任意取值：即设x1、x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2
②作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并因式分解、配方、有理化等方法将差式向有利于判断差的符号的方向变形
③判断定号：确定f(x1)－f(x2)的符号
④得出结论：根据定义作出结论（若差0，则为增函数；若差0，则为减函数）
即“任意取值——作差变形——判断定号——得出结论”
函数单调性的判断方法有导数法、定义法、性质法和复合函数同增异减法。
首先对函数进行求导，令导函数等于零，得X值，判断X与导函数的关系，当导函数大于零时是增函数，小于零是减函数。
1。
高中数学含参数函数的单调区间
x
x
例 4：讨论函数 f x a 1 ln x ax 2 1 的单调区间
解： f ' x a 1 2ax 2ax 2 a 1 令 f ' x 0
x
x
即 2ax2 a 1 0 2ax2 a 1 （注意定义域为 0, + ，所以导函数分母恒正，去掉后简
化所解不等式）
的取值决
定，所以自然考虑再结合小大根进行进一步讨论了。（重视①③的对比）
x1
x2
0
a
1 时，不等式解集为
,1
1 a
,
x1 x2 a 1时，不等式化为 x 12 0 x 1
x1
x2
a
1
时，不等式解集为
,
1 a
1,
希望通过此例能够体会分类讨论的时机与分界，若能领悟，其分类讨论不再是一个难点，而
a
f x 的单调区间为：
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x
0,
1 a
1 a
,
f ' x
+
f x
当 a 0 时， ax 1 0,a 0 f ' x 0 恒成立
f x 为增函数:
例 2：已知函数 f x ax3 3x2 1 3
a
（1）若 f x 的图像在 x 1 处的切线与直线 y 1 x 1垂直，求实数 a 的值
①当 a 0 时，此时不等式的解集为小大根之间，而由于 a 0 ，以此为前提 x1 0 1 x2 ，
故小大根不存在问题，解集为
1 a
,1
②当 a 0 时，不等式变为 x 1 0 x ,1
③当
a
0 时，不等式解集为小大根之外，而
x1
导数单调区间的求法
导数单调区间的求法导数单调区间的求法在微积分中，导数是一个十分重要的概念，它刻画了函数在某一点的变化率。
在分析一个函数的性质时，我们经常需要确定函数的单调性，这就需要求出函数的导数单调的区间。
本文将详细介绍导数单调区间的求法。
一、导数单调性的定义当函数$f(x)$在区间$(a,b)$内连续时，如果对于任意的$x_1$和$x_2(x_1<x_2)$，都有$f'(x_1)<f'(x_2)$或$f'(x_1)>f'(x_2)$成立，则称函数$f(x)$在$(a,b)$上单调增加或单调减少。
其中$f'(x)$表示$f(x)$在$x$处的导数。
二、导数单调区间的判定方法1. 导数的符号表首先，我们需要求出$f'(x)$在每个区间上的符号，并绘制出符号表。
当$f'(x)>0$时，$f(x)$在该区间上单调增加；当$f'(x)<0$时，$f(x)$在该区间上单调减少；当$f'(x)=0$时，函数可能达到极值，不能判断单调性。
2. 导数的一阶差商一阶差商$f''(x)$可以提供更多有关导数单调性的信息。
如果$f''(x)>0$，则$f'(x)$单调递增；如果$f''(x)<0$，则$f'(x)$单调递减；如果$f''(x)=0$，则不能判断导数的单调性。
3. 常见函数的导数单调性（1）$f(x)=ax+b$，其中$a$为常数。
在整个实数域内，$f(x)$单调递增当且仅当$a>0$，单调递减当且仅当$a<0$。
（2）$f(x)=x^n$，其中$n\geqslant 2$。
在正实数区间上，$f(x)$单调递增当且仅当$n$为偶数，单调递减当且仅当$n$为奇数。
在负实数区间上，$f(x)$的单调性与$n$的奇偶性相反。
函数的单调性、凹凸性与极值
(1 , 1) , (2 3 , 1 3) , (2 3 , 1 3)
84 3
84 3
因为
1 84
3 3
1
1 84
3 3
1
2 3 1 2 3 1
所以三个拐点共线.
三、函数的极值及其求法
定义:
在其中当
时,
(1)
则称 为 的极大点 ,
称 为函数的极大值 ;
(2)
则称 为 的极小点 ,
称 为函数的极小值 . 极大点与极小点统称为极值点 .
f (x2)
f (x1 x2)
2
f
(
x1
2
x2)(x2
x1
2
x2)
f
(2
2!
)(
x2
x1
2
x2)2
两式相加
f (x1)
f
(
x2
)
2
f
(x1
2
x2)
1 2!
(
x2
2
x1
)2
[
f
(1)
f (2 )]
当 f (x) 0时,
f
( x1
) 2
f
(
x2
)
f (x1 x2 ),
2
说明 (1) 成立; (2) 证毕
的一个拐点.
例8. 求曲线
的凹凸区间及拐点.
解: 1) 求 y
y 12x3 12x2,
36x(x 32)
2)
求拐点可疑点坐标
令 y 0 得 x1 0 ,
x2
2 3
,
对应
y1
(0,1)
1,
y(232
, 12121717)
微专题----函数单调性常见题型及解题方法总结-学生版
微专题----函数单调性常见题型及解题方法总结【特别提醒】1.函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f （x ）的单调性相反.2.“对勾函数”y ＝x ＋ax (a >0)的单调增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)；单调减区间是[－a ，0)，(0，a ].3、函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数xy 1=分别在)0,(-∞和),0(+∞内都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即),0()0,(+∞-∞ 内是单调递减的，只能说函数xy 1=的单调递减区间为)0,(-∞和),0(+∞。
即：多个单调区间之间用“和”或“，”，不能用“ ”。
【对勾函数】一.对勾函数by ax x=+)0,0(>>b a 的图像与性质：1.定义域：（-∞，0）∪（0，+∞）2.值域：(-∞,-√ab]U[√ab,+∞)3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即0)()(=-+x f x f4.图像在一、三象限,当0x >时，b y a x x =+≥2√ab （当且仅当x =取等号），即)(x f 在x=ab时，取最小值ab2由奇函数性质知：当x<0时，)(x f 在x=ab -时，取最大值ab 2-5.单调性：增区间为（∞+,ab ），（a b -∞-,）,减区间是（0，a b ），（a b-,0）【判断函数单调性方法技巧】(1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论．(2)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性．(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间．（在区间(,)a b 内，若总有()0f x '>，则()f x 为增函数；反之，若()f x 在区间(,)a b 内为增函数，则()0f x '≥，(4)性质法：①对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及f (x )±g (x )增减性质进行判断；（5）在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，（6）复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减，注意定义域【求函数最值(值域)方法技巧】(1)二次函数法：根据二次函数性质求最值或范(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(4)换元法：如三角换元或者带根号的式子换元（5）导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.（6）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.（7）三角函数有界性：根据1cos 1-,1sin 1-≤≤≤≤x x 求参数或者变量范围（8）分离常数法（9）判别式法（10）数形结合法一、单选题1．（复合函数单调性：同增异减，注意定义域）函数()2ln 23y x x =-++的减区间是（）A ．(]1,1-B ．[)1,3C ．(],1-∞D ．[)1,+∞2．（抽象函数的的应用；注意求函数的解析式或找出最值的关系）定义域为R 的函数()f x 满足()()12f x f x +=，且当(]0,1x ∈时，()2f x x x =-，则当(]2,1x ∈--时，()f x 的最小值为()A ．116-B ．18-C ．14-D ．03．（函数的奇偶性单调性，构造函数，注意定义域）已知函数()1ln 11xf x x x+=++-,且()()12f a f a ++>,则a 的取值范围是A ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．11,2⎛⎫--⎪⎝⎭C ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭4．（函数的奇偶性、单调性、比大小）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(,0]-∞上是增函数，设(ln ),a f π=5(log 2),b f =-12(),c f e -=则,,a b c 的大小关系是A ．b c a<<B ．a b c<<C ．c b a<<D ．a c b<<5．（函数的奇偶性、单调性、函数图像）设f(x)为奇函数，且在（-∞，0）内是减函数，f （2）=0，则f(x)x<0的解集为（）A ．（-∞，-2）∪（2，+∞）B ．（-∞，2）∪（0，2）C ．（-2，0）∪（2，+∞）D ．（-2，0）∪（0，2）6．（函数奇偶性、构造函数、单调性、比大小）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数12,x x ，都有211212()()0x f x x f x x x -<-，记0.20.2(4.1)4.1f a =， 2.12.1(0.4)0.4f b =，0.20.2(log 4.1)log 4.1f c =，则（）A ．a c b<<B ．a b c<<C ．c b a<<D ．b c a<<7．（构造函数、单调性）已知,(0,)2παβ∈，sin sin 0βααβ->，则下列不等式一定成立的是（）A ．2παβ+<B ．2παβ+=C ．αβ<D ．αβ>8．（奇偶性、单调性、参变分离解不等式）已知函数31()sin 31x x f x x x -=+++，若[2,1]x ∃∈-，使得2()()0f x x f x k ++-<成立，则实数k 的取值范围是（）A ．(1,)-+∞B ．(3,)+∞C ．(0,)+∞D ．(,1)-∞-二、填空题9．（双变量求最值）已知函数()223f x x x a =-+，()21g x x =-．若对任意[]10,3x ∈，总存在[]22,3x ∈，使得()()12f x g x ≤成立，则实数a 的值为____．10.（结合导数构造函数解不等式）设定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x '>，则不等式()()121x ef x f x -<-的解集为__________．11.（分段函数单调性，注意端点值）已知函数2152(1)()24log (1)a a x x x f x xx -⎧+-<⎪=⎨⎪≥⎩是(),-∞+∞上的增函数，则实数a 的取值范围为_____．12.（构造函数、依据单调性解不等式）已知函数()f x 是奇函数，且120x x ≤<时，有1212()()1f x f x x x -<-，(2)1f -=，则不等式3()x f x x -≤≤的解集为____．13.（偶函数解不等式，注意加绝对值）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上单调递增，若()30f -=，实数a 满足()250f a -≤，则a 的最小值为________．14.（反比例类型函数的单调性）若2()2f x x ax =-与21()1ax g x x -+=+在区间[1,2]上都是减函数，则实数a 的取值范围是__________．15.（结合奇偶性单调性解不等式）已知函数()12cos 2xx f x e x e π⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，其中e 为自然对数的底数，若()()()22300f a f a f +-+<，则实数a 的取值范围为___________.16．下列命题：①集合{},,a b c 的子集个数有8个；②定义在R 上的奇函数()f x 必满足(0)0f =；③()()2()21221f x x x =+--既不是奇函数又不是偶函数；④偶函数的图像一定与y 轴相交；⑤1()f x x=在()(),00,-∞⋃+∞上是减函数，其中真命题的序号是______________（把你认为正确的命题的序号都填上）.17．（构造函数、结合导数求单调性、解不等式）已知()()y f x xR =的导函数为()f x '，若()()32f x f x x --=，且当0x ≥时()23f x x '>，则不等式()2()1331f x f x x x -->-+的解集是__________．三、解答题18．（常见函数的性质、恒成立问题的求解方法和灵活运用分类讨论思想）已知函数212()log (1)f x x =+，2()6g x x ax =-+.（Ⅰ）若()g x 为偶函数，求a 的值并写出()g x 的增区间；（Ⅱ）若关于x 的不等式()0<g x 的解集为{|23}x x <<，当1x >时，求()1g x x -的最小值；（Ⅲ）对任意的1[1,)x ∈+∞，2[2,4]x ∈-，不等式12()()f x g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.参考答案1．B 【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法求出函数的定义域，在定义域内求出二次函数的减区间即可.【详解】令2t x 2x 30=-++>，求得1x 3-<<，故函数的定义域为()1,3-，且y lnt =递增，只需求函数t 在定义域内的减区间．由二次函数的性质求得2t (x 1)4=--+在定义域内的减区间为[)1,3，所以函数()2y ln x 2x 3=-++的减区间是[)1,3，故选B．【点睛】本题主要考查对数函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增→增，减减→增，增减→减，减增→减）.2．A 【解析】【分析】(](]21201x x ，，∈--⇒+∈，由1224f x f x f x f x +=⇒+=（）（）（）（），结合题意01x ∈（，]时，2f x x x =-（），即可求得()f x 的最小值．【详解】当(]2,1∈--时，(]201x ，+∈，2222232f x x x x x ∴+=+-+=++（）（）（），又()12f x f x +=（），()2[11]214f x f x f x f x （）（）（）∴+=++=+=，()243221f x x x x ∴=++-<≤-（），22113132(,2144216f x x x x x ∴=++=+--<≤-（）（）（），∴当32x =-时，f（x）取得最小值-116-．故选A．【点睛】本题考查抽象函数及其应用，着重考查转化思想与理解能力，求得21324f x x x =++（）（）是关键，也是难点，属于中档题．3．C 【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式求出函数的定义域，设g （x ）＝f （x ）﹣1，分析可得g （x ）为奇函数且在（﹣1，1）上为增函数，据此f （a ）+f （a +1）＞2⇒()111111a a a a ⎧-⎪-+⎨⎪-+⎩＜＜＜＜＞，解可得a 的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，函数f （x ）＝ln 11x x ++-x +1，有11xx+-＞0，解可得﹣1＜x ＜1，即函数f （x ）的定义域为（﹣1，1），设g （x ）＝f （x ）﹣1＝ln 11x x ++-x ，则g （﹣x ）＝ln 11x x -++（﹣x ）＝﹣[ln 11xx++-x ]＝﹣g （x ），则函数g （x ）为奇函数；分析易得：g （x ）＝ln11xx++-x 在（﹣1，1）上为增函数，f （a ）+f （a +1）＞2⇒f （a ）﹣1＞﹣[f （a +1）﹣1]⇒g （a ）＞﹣g （a +1）⇒g （a ）＞g （﹣a ﹣1）⇒()111111a a a a ⎧-⎪-+⎨⎪-+⎩＜＜＜＜＞，解可得：12-＜a ＜0，即a 的取值范围为（12-，0）；故选：C ．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键构造新函数g （x ）＝f （x ）﹣1，属于中档题．4．D 【解析】【分析】首先比较自变量的大小，然后结合函数的奇偶性确定函数在区间()0,+∞上的单调性，最后利用单调性比较函数值的大小即可.【详解】注意到ln 1π>，510log 2log 2<<=，且112=<<，据此可得：125ln log 2eπ->>，函数为偶函数，则：()()125ln ,log 2,a f b f c f e π-⎛⎫=== ⎪⎝⎭，由偶函数的性质可知：函数在区间()0,+∞上单调递减，故()()125ln log 2f f e f π-⎛⎫<<- ⎪⎝⎭，即a c b <<.故选D .【点睛】本题主要考查函数的单调性，函数的奇偶性，实数比较大小的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．A 【解析】【分析】利用函数的奇偶性与单调性，结合函数图象求解即可.【详解】∵f x 为奇函数，且在−∞,0内是减函数，所以函数在0,+∞上单调递减．∵f 2=0,∴f −2=−f 2=0，故函数f x 的图象如图所示：<0，可得x ⋅f x <0，即x 和f x 异号，由图象可得x <−2，或x >2，f(x)x<0的解集为−∞,−2∪2,+∞，故选A ．【点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查是，一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.6．A 【解析】设120x x <<，则12211212()()()()0f x f x x f x x f x x x ->⇒>所以函数()()f x g x x=在(0,)+∞上单调递减，因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()g x 是定义在R 上的偶函数，因此()0.20.24.14.1f a =0.2(4.1)(1)g g =<，()2.12.10.40.4f b =2.12(0.4)(0.4)(0.5)g g g =>>，()0.20.2log 4.1log 4.1f c =0.251(log 4.1)(log 4.1)((1),())2g g g g ==∈，即a c b<<，选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行7．C 【解析】【分析】构造函数()sin ,0,2x f x x x π⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，原不等式等价于()(),f f αβ>两次求导可证明()sin x f x x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上递减，从而可得结论.【详解】由题意，sin sin βααβ>，sin sin αβαβ∴>，设()sin ,0,2x f x x x π⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，()2cos sin '0,2x x x f x x x π-⎛⎫∴=∈ ⎪⎝⎭，设()cos sin ,0,2g x x x x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，()'cos sin cos sin 0g x x x x x x x ∴=--=-<，()g x ∴在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，且()()00g x g <=，()'0f x ∴<,所以()sin x f x x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，()()sin sin ,f f αβαβαβ>⇔> αβ∴<，故选C.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于难题.利用导数判断函数单调性的步骤：（1）求出()'f x ；（2）令()'0f x >求出x 的范围，可得增区间；（3）令()'0f x <求出x 的范围，可得减区间.8．A【解析】由题函数()31sin 31x x f x x x -=+++的定义域为R，且()()()()3131sin sin ,3131x x x x f x x x x x f x --⎛⎫---=+-+-=-++=- ⎪++⎝⎭即函数()f x 为及奇函数，且()()22ln 331cos 031xx f x x ⋅=++'+>在[]2,1x ∈-上恒成立，即函数函数()f x 在[]2,1x ∈-上单调递增，若[]2,1x ∃∈-，使得()()20f x x f x k ++-<成立，即()()()()222f x x f x k f x x f k x x x k x+<--⇒+<-⇒+<-则问题转化为[]2,1x ∃∈-，22k x x >+，即()2min 2,k x x>+在[]2,1x ∈-上22y x x=+得最小值为-1，故实数k 的取值范围是()1,-+∞.故选A.9．13-【解析】【分析】将问题转化为()()max max f x g x ≤，根据二次函数和分式的单调性可求得()f x 在[]0,3上的最小值和最大值及()g x 在[]2,3上的最大值；分别讨论()f x 最大值小于零、最小值小于零且最大值大于零、最小值大于零三种情况，得到()f x 每种情况下的最大值，从而得到不等式，解不等式求得结果.【详解】不等式()()12f x g x ≤恒成立可转化为：()()maxmax f x g x ≤当[]0,3x ∈时，()()min 113f x f a ==-+，()()max 333f x f a==+当[]2,3x ∈时，()()max 22g x g ==①若330a +≤，即1a ≤-时，()max 1313f x a a=-+=-132a ∴-≤，解得：13a ≥-（舍）②若13033a a -+≤<+，即113a -<≤时，()()(){}max max 1,3f x f f =-又()113f a -=-，()333f a=+当1333a a ->+，即113a -<<-时，()max 13f x a =-132a ∴-≤，解得：13a ≥-（舍）当1333a a -≤+，即1133a -≤≤时，()max 33f x a =+332a ∴+≤，解得：13a ≤-13a ∴=-③若130a -+>，即13a >时，()max 3333f x a a =+=+332a ∴+≤，解得：13a ≤-（舍）综上所述：13a =-本题正确结果：13-【点睛】本题考查恒成立和能成立综合应用的问题，关键是能够将不等式转化为两个函数最值之间的大小关系，从而根据函数的单调性求得函数的最值，通过最值的比较构造不等式求得结果.10．(1,)+∞【解析】【分析】根据条件构造函数F （x ）()x f x e =，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．【详解】设F （x ）()x f x e =，则F ′（x ）()()'x f x f x e -=，∵()()f x f x '>，∴F ′（x ）＞0，即函数F （x ）在定义域上单调递增．∵()()121x e f x f x -<-∴()()2121x x f x f x e e --＜，即F （x ）＜F （2x 1-）∴x 2x 1-＜，即x＞1∴不等式()()121x e f x f x -<-的解为()1,+∞故答案为：()1,+∞【点睛】本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键．11．532a ≤≤【解析】【分析】因为函数2152(1)()24log (1)a a x x x f x xx -⎧+-<⎪=⎨⎪≥⎩是(),-∞+∞上的增函数，所以当1x ≥，时()log a f x x =是增函数，当1x <，()215224a f x x x -=+-也是增函数，且max min ()(1)()(1)f x x f x x <≤≥，从而可得答案。
第06讲 函数的单调性的判断、证明和单调区间的求法
精品二轮第06讲：函数的单调性的判断、证明和单调区间的求法【知识要点】一、判断函数单调性的方法判断函数单调性一般有四种方法：单调四法 导数定义复合图像 1、定义法用定义法判断函数的单调性的一般步骤：①取值，设D x x ∈21,，且12x x <；②作差，求)()(21x f x f -；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）；④判断)()(21x f x f -的正负符号；⑤根据函数单调性的定义下结论.2、复合函数分析法设()y f u =，()u g x =[,]x a b ∈，[,]u m n ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在[,]a b 上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数.如下表：3、导数判断法设()f x 在某个区间(,)a b 内有导数()f x '，若()f x 在区间(,)a b 内，总有()0(()0)f x f x ''><，则()f x 在区间(,)a b 上为增函数（减函数）.4、图像法一般通过已知条件作出函数图像的草图，如果函数的图像，在某个区间D ，从左到右，逐渐上升，则函数在这个区间D 是增函数；如果从左到右，是逐渐下降，则函数是减函数. 二、证明函数的单调性的方法证明函数的单调性一般有三种方法：定义法、复合函数分析法和导数法.由于数学的证明是比较严谨的，所以图像法只能用来判断函数的单调性，但是不能用来证明.三、求函数的单调区间求函数的单调区间：单调四法，导数定义复合图像 1、定义法 :由于这种方法比较复杂，所以一般用的较少.2、复合函数法:先求函数的定义域，再分解复合函数，再判断每一个内层函数的单调性，最后根据复合函数的单调性确定函数的单调性.3、导数法:先求函数的定义域D ，然后求导()f x '，再解不等式()()0f x '>< ,分别和D 求交集，得函数的递增（减）区间 .4、图像法:先利用描点法或图像的变换法作出函数的图像，再观察函数的图像，写出函数的单调区间.四、一些重要的有用的结论1、奇函数在其对称区间上的单调性相同，如函数xy 1=、x y =和3x y =；偶函数在其对称区间上的单调性相减，如函数2x y =.2、在公共的定义域内，增函数+增函数是增函数，减函数+减函数是减函数.其他的如增函数⨯增函数不一定是增函数，函数x y =和函数3x y =都是增函数，但是它们的乘积函数4x y =不是增函数. 3、求函数的单调区间，必须先求函数的定义域，即遵循“函数问题定义域优先的原则”. 4、单调区间必须用区间来表示，不能用集合或不等式，单调区间一般写成开区间，不必考虑端点问题.5、在多个单调区间之间不能用“或”和“”连接，只能用逗号隔开.如函数()y f x =的增区间为(1,2),(3,5).不要写成(1,2)(3,5).【方法讲评】【例1】证明函数()(0)f x x a x=+>在区间)+∞是增函数.【反馈检测1】讨论函数21)(++=x ax x f )21(≠a 在),2(+∞-上的单调性.【例2】已知函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数，对定义域内的任意12,x x ，都有1212()()()f x x f x f x =+，且当1x >时()0f x >，(2)1f =.（1）求证()f x 是偶函数；（2）()f x 在(0,)+∞上时增函数；（3）解不等式2(21)2f x -<.【反馈检测2】已知()f x 是定义在区间[1,1]-上的奇函数，且(1)1f =，若,[1,1],0m n m n ∈-+≠时，有()()0f m f n m n +>+.（1）解不等式1()(1)2f x f x +<-（2）若2()21f x t at ≤-+对所有[1,1],[1,1]x a ∈-∈-恒成立，求实数t 的取值范围.【例3】已知函数1ln )1()(2+++=ax x a x f （1）讨论函数)(x f 的单调性；（2）设1-<a .如果对任意),0(,21+∞∈x x ，||4)()(|2121x x x f x f -≥-，求a 的取值范围.【反馈检测3】已知函数1()ln 1af x x ax x-=-+-()a R ∈. (1)当12a ≤时，讨论()f x 的单调性； （2）设2()2 4.g x x bx =-+当14a =时，若对任意1(0,2)x ∈，存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ≥，求实数b 取值范围.【例4】 设函数()sin cos 1f x x x x =-++，02x π<<，求函数()f x 的单调区间与极值.【反馈检测4】 某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点,A B 及CD 的中点P 处，已知20AB km =,10CB km = ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且,A B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道,,AO BO OP ，设排污管道的总长为y km ． （1）按下列要求写出函数关系式：①设()BAO rad θ∠=，将y 表示成θ的函数关系式； ②设OP x =(km ) ，将y 表示成x 的函数关系式．（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．【反馈检测5】函数()f x 的导函数'()f x ，对x R ∀∈，都有'()()f x f x >成立，若(ln 2)2f =，则满足不等式()xf x e >的x 的范围是（ ）A ．1x >B ．01x <<C ．ln 2x >D ．0ln 2x <<CBPOAD【反馈检测6】【2017天津，理6】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） （A ）a b c << （B ）c b a << （C ）b a c <<（D ）b c a <<方法三 复合函数分析法 使用情景 较简单的复合函数.解题步骤先求函数的定义域，再分解复合函数，再判断每一个内层函数的单调性，最后根据复合函数的单调性确定函数的单调性.【例5】【2017课标II ，文8】函数2()ln(28)f x x x =-- 的单调递增区间是（ ） A.(,2)-∞- B. (,1)-∞- C. (1,)+∞ D. (4,)+∞ 【反馈检测7】 已知函数22()sin 3sin sin()2cos 2f x wx wx wx wx π=+++ (0)x R w ∈>，在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为6π. (1) 求w ；(2)(2)若将函数()f x 的图象向右平移6π个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =的最大值及单调递减区间．方法四 图像法使用情景 函数的图像比较容易画出.解题步骤一般通过已知条件作出函数图像的草图，如果函数的图像，在某个区间，从左到右，逐渐上升，则函数在这个区间是增函数；如果从左到右，是逐渐下降，则函数是减函数.【例6】求函数2()||f x x x =-+的单调区间.【反馈检测8】 已知函数),1()(0)(-=≥x x x f x R x f 时上的偶函数，当是定义在 （1）求函数)(x f 的解析式；（2）若)(x f =2，求x 的值； （3）画出该函数的图像并根据图像写出单调区间.精品二轮第06讲：函数的单调性的判断、证明和单调区间的求法参考答案【反馈检测1答案】当12a >时，原函数是增函数；当12a <时，原函数是减函数.【反馈检测2答案】（1）104x ≤≤；（2）022t t t =≥≤-或或 【反馈检测2详细解析】212121212121()()(1)1,()()()()()()f x f x x x f x f x f x f x x x x x +->>-∴-=+-=--设1>212121212121()()()()()00()()f x f x f x f x x x x x x x x x +-+-=->->+-+-由已知得21111211()()0()(1)111024112x f x f x f x f x x x x x⎧-≤+≤⎪⎪∴->∴+<-∴-≤-≤∴≤<⎨⎪⎪+<-⎩函数在定义域内单调递增。
函数单调区间的求法
函数单调区间的求解误区与处理建议东莞市第十高级中学 罗朝举【摘要】 本文从分析函数单调区间的定义运用、单调区间求解过程中出现的一些误区提出一些处理建议【关键词】 单调区间；误区；建议函数是中学数学中最重要的内容，高中数学以函数为纲，可以说函数贯穿高中数学的始终．高考考查内容几乎覆盖了中学阶段的所有函数知识,涉及到函数的所有主要性质,而函数单调性则是函数最重要的性质.在教学过程中, 笔者发现学生在求解函数单调区间时出现了一系列的问题,本文中对于学生解题过程中出现的误区进行分析,并尝试提出一些解决办法.1 对函数单调区间定义理解的误区1.1 对函数单调区间定义的理解误区函数单调区间的定义:若函数()y f x =在某个区间是增函数（或减函数），就说函数()y f x =在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数()y f x =的单调递增区间（或单调递减区间），此时就说函数()y f x =是这一区间上的单调函数.学生对于函数单调区间定义的理解与运用过程中出现的误区主要有以下几种:1.函数单调性和单调区间都是建立在函数定义域的基础上的,部分学生在求函数单调区间时忘记定义域而得到错误的答案. 如有学生在求函数21()2ln 2f x x x x =--的单调区间时没有考虑到对数的真数为正数这一条件导致得到错误答案.2.求出单调区间后将增区间并起来.3.用特殊值来代替整个区间上的单调性,尤其是用端点来代替的居多4.用集合或不等式表示单调区间的.1.2 对函数单调区间定义的理解误区的处理建议教学中,教师要提醒学生在讨论函数的单调性或求单调区间时应注意：1.先求定义域，单调区间是定义域的子集.2.在多个单调区间不能添加符号“⋃”和“或”,也就是说函数的单调性是对某一个区间而言的.()f x 在区间A 与B 上都是增（或减）函数，在A B ⋃上不一定单调.3.单调性是函数在某一区间上的性质，因此定义中的12,x x 在这一区间上具有任意性，不能用特殊值代替.4.单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示.5.注意函数单调性与奇偶性的逆用（比较大小、解不等式、求参数范围）6.注意()f x 在区间A 上单调增与()f x 的单调增区间为A 的区别.2 教材设计引起的端点处理误区2.1 教材设计前后不一教材(本文以人民教育出版社A 版教材为例)在处理求函数单调区间时给出了不同的标准,主要体现在以下内容部分:必修1(2007年1月第2版)在使用图象法求解函数的单调区间过程中,教材将端点归属于且仅归属于一个单调区间.如第27页,例1 图1.3-4是定义在区间[5,5]-上的函数()y f x =,根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数?解:函数()y f x =的单调区间有[5,2)-,[2,1)-,[1,3),[3,5],其中()y f x =在区间[5,2)-,[1,3)上是减函数,在区间[2,1)-,[3,5]上是增函数.必修4在使用图象法求三角函数单调区间时,则将同一端点归属于两个不同的单调区间.如函数s i n y x =的单调递增区间是[2,2]22k k k Z ππππ-++∈,单调递减区间是3[2,2]22k k k Z ππππ++∈ 选修2-2 用导数法求函数单调区间时则将端点不归属于任何一个单调区间.同一版本教材在处理同一问题时给出了不同的标准,导致学生在遇到求单调区间问题时不知道用哪种标准来做.如最简单的问题:求函数2()32f x x x =-+的单调区间,在用图象法和导数法时得到的结果不相同,到底以哪种方法为准?学生产生了疑惑.2.2 单调区间端点的处理建议单调区间端点如何处理？一直存在异议. 理论上来说,一个函数的所有单调区间并起来等于定义域（完备性），两两交起来等于空集（纯粹性）. 理论是清楚的，但是实践是混沌的,可以说是函数理论中一个奇特的现象.从函数单调性的定义可以知道,对于;笔者建议对单调区间端点作如下处理:1.对于某一点来说,函数不存在单调性.2.对于周期函数的单调区间,一般采用单调区间的端点并入单调区间,也就是用闭区间来表示,这样有利于后续的解题.如教材中(包括高考中),正弦型函数和余弦型函数的单调区间均采用闭区间的形式.3.单调区间的端点如果属于定义域,最好归属于该单调区间,若没有并入该单调区间,不能算错，只能说不够严密.如用导数法求函数y 的单调区间时,最好将0归属于单调区间.4.单调区间端点如果不属于定义域，而归属于该单调区间时,一般算作错误.5.对于三次多项式函数,利用导数法求解单调区间时一般写成开区间的形式/3 导数与函数单调性的关系误区3.1 函数单调性的充要条件利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意'()0f x >（或'()0f x <）仅是()f x 在某个区间上递增（或递减）的充分条件.1.(函数单调性的充分条件)设函数()y f x =在某个区间(,)a b 内有导数，如果在(,)a b 内'()0f x >，那么函数()y f x =在(,)a b 内为增函数；如果在(,)a b 内'()0f x <，那么函数()y f x =在(,)a b 内为减函数.2.(函数单调性的必要条件)设函数()y f x =在某个区间(,)a b 内有导数，如果函数()y f x =在(,)a b 内为增函数，那么在(,)a b 内'()0f x ≥；如果函数()y f x =在(,)a b 内为减函数，那么在(,)a b 内'()0f x ≤.3. (函数单调性的充要条件)在区间(,)a b 内可导的函数()f x 在(,)a b 内递增（或递减）的充要条件应是'()0f x ≥（或'()0f x ≤），(,)x ab ∈恒成立，且'()f x 在(,)a b 的任意子区间内都不恒等于0.在运用导数研究函数的单调性及单调区间时要特别注意充要条件的应用. 3.2 利用导数研究与单调性有关的参数范围的处理建议函数()f x 在区间上的单调性并不排斥在该区间内个别点0x 处有0'()0f x =，甚至可以在无穷多个点处0'()0f x =，只要这样的点不能充满所给区间的任何子区间.如函数3()f x x =在0x =处有'()0f x =,但并不影响函数3()f x x =在(,)-∞+∞上单调递增.因此在已知函数()f x 是增函数（或减函数）求参数的取值范围时，应令'()0f x ≥（或'()0f x ≤）恒成立，解出参数的取值范围，然后检验参数的取值能否使'()f x 恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去，若'()f x 不恒等于0，则由'()0f x ≥（或'()0f x ≤），(,)x ab ∈恒成立解出的参数的取值范围确定.如东莞市2010-2011学年度第二学期教学质量检查高二理科数学(B 卷)第20题 已知21()2ln ,()2a f x x x x g x x x=--=-- ………(2)若对任意11[,]43x ∈均有()()f x g x ≥,求实数a 的取值范围.解：……………（2）要使对任意]31,41[∈x 均有)()(x g x f ≥，即应使得 0ln 2212≥-+x x a x 在]31,41[∈x 上恒成立， 亦即321ln 2x x x a -≥在]31,41[∈x 上恒成立. 亦即max 3)21ln 2(x x x a -≥在]31,41[∈x 上恒成立. 令321ln 2)(x x x x h -=，]31,41[∈x ， ……………12812ln --≥∴a ，∴实数a 的取值范围是),12812ln [+∞--. 4 求函数单调区间的常用方法与技巧建议4.1 求函数单调区间的常用方法与技巧求函数单调区间的常用方法有定义法、导数法、图象法.在解答题中常用定义法、导数法,而在解决选择题、填空题时还可用数表结合法、特殊值法等等.1.利用导数法求函数单调区间的步骤为:(1)确定函数()y f x =的定义域.(2)计算导数'()f x ，令'()0f x =，解此方程，求出它们在定义域内的一切实根.(3)把函数()y f x =的间断点（即()f x 无定义的点）的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把()y f x =的定义域分成若干个小区间.(4)确定'()f x 在各个开区间内的符号，根据'()f x 的符号判定函数()y f x =在每个相应小区间的增减性（若'()0f x >,则()f x 在相应区间内为增函数,若'()0f x <,则()f x 在相应区间内为减函数）.2.在学习过程中可以运用一些常用的有用结论,如:(1)注意函数(0,0)by a x a b x=+>>型函数的图象和单调性在解题中的运用：函数(0,0)b y ax a b x =+>>的递增区间为(,)-∞+∞,递减区间为[. (2)奇函数在其对称区间上的单调性相同,偶函数在其对称区间上的单调性相反(3)在公共定义域内①增函数()f x +增函数()g x 是增函数②减函数()f x +减函数()g x 是减函数③增函数()f x -减函数()g x 是增函数④减函数()f x -增函数()g x 是减函数结语:函数的单调性是函数性质中最重要的一条,学生在解决有关单调性与单调区间的问题时会出现一系列的误区,本文中仅对部分误区提出自己的一些不太成熟的看法和建议, 不妥之处，敬请同行指正．【参考文献】[1]人民教育出版社数学室编著.普通高中课程标准实验教科书•数学必修1.北京：人民教育出版社，2007，1[2]人民教育出版社数学室编著.普通高中课程标准实验教科书•数学必修4.北京：人民教育出版社，2007，1[3]人民教育出版社数学室编著.普通高中课程标准实验教科书•数学选修2-2.北京：人民教育出版社，2007，1。
正弦函数的单调区间公式
正弦函数的单调区间公式首先要记住f(x)=sinx的单调增区间是x∈[2kπ-π/2,2kπ+π/2],单调减区间是x∈[2kπ+π/2,2kπ+3π/2],k∈Zf(x)=cosx的单调增区间是x∈[2kπ-π,2kπ],单调减区间是x∈[2kπ,2kπ+π],k∈Z遇到复合函数时,把ωx+φ看作一个整体,以余弦函数为例,函数简化为f(x)=Asin α由于单调区间和A没有关系,所以单调增区间为α∈[2kπ-π,2kπ],k∈Z这时把α=ωx+φ带回,有ωx+φ∈[2kπ-π,2kπ],k∈Z解得单调增区间为x∈[(2kπ-π-φ)/ω,(2kπ-φ)/ω],k∈Z举个例子：求f(x)=5sin(2x+π/4)的单调增区间f(x)的单调增区间为2x+π/4∈[2kπ-π/2,2kπ+π/2],k∈Z则2x∈[2kπ-3π/4,2kπ+π/4],k∈Z即x∈[kπ-3π/8,kπ+π/8],k∈Z扩展资料:单调区间是指函数在某一区间内的函数值y，随自变量x的值增大而增大（或减小）恒成立。
若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数的单调区间。
此时也说函数是这一区间上的单调函数。
若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数的单调区间。
此时也说函数是这一区间上的单调函数。
注：在单调性中有如下性质。
图例：↑（增函数）↓（减函数）↑+↑=↑两个增函数之和仍为增函数↑-↓=↑增函数减去减函数为增函数↓+↓=↓两个减函数之和仍为减函数↓-↑=↓减函数减去增函数为减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时都有f(x1)<f(x2)。
那么就说f(x)在这个区间上是增函数。
相反地，如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时都有f(x1)>f(x2)，那么f(x)在这个区间上是减函数。
求二次函数单调区间
求二次函数单调区间二次函数是高中数学中非常重要的一个概念，它的图像是一个开口朝上或朝下的平滑曲线，有着许多特殊的性质。
在图像上，二次函数的单调性指的是函数在某一区间内是单调递增还是单调递减，对于学习和应用二次函数都有着重要的作用。
一、二次函数的基本性质1. 二次函数一般式：y=ax^2+bx+c（a≠0）其中，a、b、c为常数，a的符号决定了二次函数的开口方向，当a>0时，函数开口朝上，当a<0时，函数开口朝下。
2. 二次函数的对称轴：x=-b/2a。
可以通过求出二次函数的对称轴，来求出函数的最值。
3. 二次函数的顶点坐标：( -b/2a , c-b^2/4a)。
在二次函数的对称轴上，函数的取值达到最大或最小值，称为函数的极值点或顶点。
当a>0时，函数的最小值为顶点，当a<0时，函数的最大值为顶点。
二次函数的单调性与二次函数的导数有着密切的关系，通过求导进行分析，可以确定二次函数在哪些区间是单调递增或单调递减。
下面，将介绍二次函数单调区间的求法：1. 求导二次函数的导函数为f'(x)=2ax+b，利用导数的符号可以判断其原函数在哪些区间内单调递增或单调递减。
当导数为正值时，函数单调递增；当导数为负值时，函数单调递减；当导数为零时，函数的极值点即为函数的最值点。
2. 分析导数符号分析导数符号，可以将整个定义域分成若干个区间，每个区间内的导数符号相同，代表函数在该区间内单调递增或单调递减。
将导数符号的变化情况用不等式来表达，求解不等式，得出函数单调性的区间解。
具体步骤如下：（1）求出二次函数的导数：f'(x)=2ax+b（2）分析导数的符号并求出导数为0的临界点：f'(x)>0，x∈(x1,x2);f'(x)<0，x∈(-∞,x1)U(x2,+∞);f'(x)=0，x=x1或x2。
（3）将函数定义域拆解成若干个小区间，并根据导数符号确定每个小区间内函数的单调性，如下表所示：| 区间 | 符号 | 单调性 || ------- | ------- | -------------- || 有理数 | f'(x)>0 | 递增 || (x1,x2) | f'(x)=0 | 拐点 || 无理数 | f'(x)<0 | 递减 || ------- | ------- | -------------- || 全区间 | f'(x)>0 | $x \in(x_{1}, x_{2})$ || | f'(x)<0 | $x \in(-\infty, x_{1}) \cup\left(x_{2},+\infty\right)$ |三、例题分析例1：已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c，其中，a<0，且f(1)>0，求函数f(x)的单调递减区间。
求单调递增区间的方法
求单调递增区间的方法
求单调递增区间是数学中的一个重要概念，它是指在一个区间内，一个函数的值只能逐渐增大，而不能减小，或者保持不变。
这种现象也称为单调递增性。
那么，如何求单调递增区间呢？首先，我们需要先确定函数的极限点。
极限点可以确定函数在某一点处的极限值，即函数在这一点处的值不可能再增大，也不可能再减小。
如果函数在极限点处为最小值，那么这一点就是单调递增区间的起点；如果函数在极限点处为最大值，那么这一点就是单调递增区间的终点。
我们需要确定函数的单调性。
如果函数在某一点处是单调递增的，那么函数的值只能逐渐增大，而不能减小，或者保持不变，这样就可以确定这一点是单调递增的。
我们需要确定函数在某个区间内的取值范围。
如果函数在某一点处是单调递增的，那么函数在整个区间内都是单调递增的，这样就可以确定这一点是单调递增的区间。
求单调递增区间的步骤主要有三步：首先，确定函数的极限点；其次，确定函数的单调性；最后，确定函数在某个区间内的取值范围。
只有在这三个条件都满足的情况下，我们才能求出一个函数的单调递增区间。